SILOS METÁLICOS
LUÍS MIGUEL DE OLIVEIRA LEITE
Dissertação submetida para satisfação parcial dos requisitos do grau de
MESTRE EM ENGENHARIA CIVIL — ESPECIALIZAÇÃO EM ESTRUTURAS
Orientador: Professor José António Fonseca da Mota Freitas
Co-Orientador: Professora Elsa de Sá Caetano
MARÇO DE 2008
MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA CIVIL 2007/2008
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
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Editado por
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mencionado o Autor e feita referência a Mestrado Integrado em Engenharia Civil 2007/2008 - Departamento de Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia da
Universidade do Porto, Porto, Portugal, 2008.
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Este documento foi produzido a partir de versão electrónica fornecida pelo respectivo
Autor.
Silos Metálicos
Aos meus Pais
Silos Metálicos
AGRADECIMENTOS
O meu sincero agradecimento ao Professor Mota Freitas que sempre me atendeu e escutou, e a quem
devo todo o conhecimento adquirido nesta tese. À Professora Elsa Caetano pelo grande apoio e
indispensável aconselhamento. Ao Professor António Ferreira, por todos os conhecimentos que me
legou. À minha colega Diana Peres (ETEC) pela transmissão de conhecimentos e experiência.
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Silos Metálicos
RESUMO
Neste trabalho estudam-se fenómenos e metodologias relacionadas com a construção de silos
metálicos. No início descrevem-se as diferentes formas de arranjo espacial dos silos e os critérios que
regem a escolha dos materiais utilizados na sua construção. De seguida, examinam-se as propriedades
do material armazenado e características geométricas associadas aos silos (em particular dos silos
metálicos). São ainda observadas as causas da explosão de silos, acção correntemente negligenciada.
Projectam-se dois silos que se distinguem entre si pela sua secção transversal: uma circular e a outra
rectangular. As acções consideradas são as definidas no Eurocódigo 1 (Parte 4); na verificação
estrutural adoptam-se os critérios do Eurocódigo 3 (Parte 4.1) para o silo circular, e os das normas
canadianas para o rectangular.
Realiza-se ainda um programa de elementos finitos, em MATLAB, com o objectivo de criar uma
alternativa de cálculo ao programa comercial utilizado (ROBOT).
PALAVRAS-CHAVE: silos metálicos, circular, rectangular, MATLAB
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Silos Metálicos
ABSTRACT
In the present work, steel silos construction and related phenomena and methodology are studied. It
begins with a description of the physical arrangement made with silos, and the criteria taken for the
selection of construction material. Following, bulk solids physical properties and silo’s geometry are
examined (with especial focus on steel silos). Due to the neglect of dust explosions, a chapter is
written for a better understanding on this subject.
Two types of silos are studied with the difference in their cross section area (one of them has a circular
cross section, the latter a rectangular one). General principles and actions are taken from Eurocode 1
(Part 4); strength assessment of the circular structure is based on Eurocode 3 (Part 4.1) rules, while the
rectangular one follows the Canadian technical specifications.
Yet, a MATLAB code is presented, an alternative way to the commercial program ROBOT.
KEYWORDS: steel silos, circular, rectangular, MATLAB
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Silos Metálicos
ÍNDICE GERAL
AGRADECIMENTOS ................................................................................................................................... i
RESUMO ................................................................................................................................. iii
ABSTRACT ............................................................................................................................................... v
1. INTRODUÇÃO ....................................................................................................................1
2. HISTÓRIA................................................................................................................................3
2.1. INTRODUÇÃO ....................................................................................................................................3
2.2. ÁREAS DE UTILIZAÇÃO DOS SILOS .................................................................................................4
2.3. MATERIAL ESTRUTURAL ..................................................................................................................6
2.3.1. SILOS DE AÇO ..................................................................................................................................6
3. PROPRIEDADES DO MATERIAL UTILIZADO ................................15
3.1. PROPRIEDADES DO FLUXO E O SEU EFEITO NA GEOMETRIA DO SILO ........................................15
3.2. DENSIDADE ....................................................................................................................................15
3.3. COMPRESSIBILIDADE .....................................................................................................................15
3.4. ÂNGULO DE REPOUSO, φ .............................................................................................................16
3.5. COEFICIENTE DE ATRITO DA PAREDE, µ ....................................................................................16
3.6. RÁCIO DA PRESSÃO LATERAL, K ................................................................................................17
3.7. TIPOS DE FLUXO.............................................................................................................................17
3.7.1. FLUXO EM MASSA ...........................................................................................................................19
3.7.2. FLUXO EM FUNIL .............................................................................................................................19
3.7.3. PRESSÕES ESTÁTICAS/ DINÂMICAS..................................................................................................23
3.8. PROPRIEDADES DOS MATERIAIS ...................................................................................................25
4. ACÇÕES ................................................................................................................................27
4.1. INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................27
4.2. CLASSES ESTRUTURAIS DOS SILOS .............................................................................................27
4.3. SITUAÇÕES DE DIMENSIONAMENTOS PARA OS SILOS .................................................................29
4.4. CARGAS NAS PARADES VERTICAIS...............................................................................................30
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Silos Metálicos
4.4.1. CARGAS NAS PAREDES VERTICAIS DEVIDAS AO ENCHIMENTO........................................................... 30
4.4.2. CARGAS NAS PAREDES VERTICAIS DEVIDAS AO ESVAZIAMENTO ....................................................... 33
4.5. CARGAS NAS TREMONHAS E BASES DOS SILOS ......................................................................... 34
4.5.1. GERAL ........................................................................................................................................... 34
4.5.2. PRESSÕES NAS TREMONHAS DURANTE O ENCHIMENTO.................................................................... 36
4.5.3. PRESSÕES NAS TREMONHAS DURANTE O ESVAZIAMENTO ................................................................ 37
4.6. RESULTADOS ................................................................................................................................ 37
4.6.1. PAREDES VERTICAIS ...................................................................................................................... 38
4.6.2. TREMONHA .................................................................................................................................... 40
4.7. ACÇÃO DO VENTO ......................................................................................................................... 42
4.8. COMBINAÇÕES .............................................................................................................................. 45
5. EXPLOSÕES EM SILOS ....................................................................................... 47
5.1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 47
5.2. AQUECIMENTO ESPONTÂNEO ....................................................................................................... 50
5.3. ESTUDO QUANTITATIVO DOS FACTORES QUE INFLUENCIAM A EXPLOSÃO DE PÓ DE PRODUTOS
COMBUSTÍVEIS ...................................................................................................................................... 51
5.4. ANÁLISE MATEMÁTICA DE UMA EXPLOSÃO DE PÓ ...................................................................... 51
6. SILO CIRCULAR ........................................................................................................... 55
6.1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 55
6.2. TIPOS DE ANÁLISE......................................................................................................................... 56
6.2.1. TEORIA DE MEMBRANA.................................................................................................................... 56
6.2.2. TEORIA DE FLEXÃO DE CASCAS ...................................................................................................... 56
6.2.3. ANÁLISE DESENVOLVIDA ................................................................................................................ 56
6.3. COMBINAÇÕES DE ACÇÕES E FACTORES PARCIAIS ................................................................... 56
6.4. PAREDES CILÍNDRICAS ................................................................................................................. 57
6.4.1. GERAL ........................................................................................................................................... 57
6.4.2. PAREDES CILÍNDRICAS SOB CARREGAMENTO SIMÉTRICO ................................................................ 58
6.5. TREMONHA .................................................................................................................................... 59
6.5.1. ESFORÇOS DE MEMBRANA ............................................................................................................. 60
6.6. SILOS SOBRE SUPORTES DISCRETOS .......................................................................................... 64
6.6.1. EFEITO DOS SUPORTES DISCRETOS................................................................................................ 64
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Silos Metálicos
6.6.2. PAREDES CILÍNDRICAS SOBRE APOIOS DISCRETOS .........................................................................66
6.6.3. TREMONHAS DE SILOS SUPORTADAS POR APOIOS DISCRETOS .........................................................66
6.7. ANÁLISE DO ANEL-VIGA ................................................................................................................66
6.7.1. ESFORÇOS RESULTANTES NO ANEL-VIGA ........................................................................................66
6.7.2. TENSÕES MÁXIMAS NO ANEL-VIGA .................................................................................................70
VERIFICAÇÃO ESTRUTURAL
6.8. PAREDES CILÍNDRICAS ..................................................................................................................71
6.8.1. ESTADOS LIMITE PARA AS PAREDES ................................................................................................71
6.8.2. RUPTURA DA PAREDE DO SILO ........................................................................................................72
6.8.3. VERIFICAÇÃO DA COMPRESSÃO AXIAL (VAREJAMENTO)....................................................................73
6.8.4. PRESSÃO EXTERNA, VÁCUO PARCIAL INTERNO E VENTO ..................................................................77
6.8.5. FADIGA ..........................................................................................................................................79
6.9. TREMONHAS CÓNICAS ..................................................................................................................79
6.9.1. RUPTURA DA PAREDE .....................................................................................................................79
6.9.2. COLAPSO PLÁSTICO DA TREMONHA .................................................................................................81
6.10. ANEL DE TRANSIÇÃO OU ANEL-VIGA ..........................................................................................82
6.10.1. MODOS DE ROTURA DO ANEL-VIGA ...............................................................................................82
6.10.2. COLAPSO PLÁSTICO DA JUNÇÃO SOB CARREGAMENTO AXISSIMÉTRICO ...........................................82
6.10.3. VAREJAMENTO DA JUNÇÃO............................................................................................................84
6.10.4. ANEL-VIGA DE TRANSIÇÃO SOBRE APOIOS DISCRETOS...................................................................88
6.11. SUPORTE......................................................................................................................................88
7. ANÁLISE ESTRUTURAL DO SILO CIRCULAR..............................89
7.1. INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................89
7.2. MODELAÇÃO EM ELEMENTOS FINITOS (DESCRIÇÃO DO MODELO) .............................................93
7.3. VERIFICAÇÃO ESTRUTURAL ..........................................................................................................97
7.3.1. PAREDES CILÍNDRICAS ....................................................................................................................98
7.3.2. TREMONHA CÓNICA ......................................................................................................................104
7.3.3. ANEL DE TRANSIÇÃO .....................................................................................................................108
7.4. COMPORTAMENTO DINÂMICO .....................................................................................................117
8. SILO RECTANGULAR ...........................................................................................121
8.1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................................121
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Silos Metálicos
8.2. REGRAS PRINCIPAIS ................................................................................................................... 123
8.2.1. PAREDES ..................................................................................................................................... 123
8.2.2. TREMONHA .................................................................................................................................. 124
8.3. ANÁLISE ESTRUTURAL................................................................................................................ 127
8.3.1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................................... 127
8.3.2. FORÇAS DE TRACÇÃO NAS PAREDES VERTICAIS ............................................................................ 128
8.3.3. MOMENTOS NAS PAREDES VERTICAIS ........................................................................................... 129
8.3.4. PAREDES VERTICAIS- TEORIA DAS PEQUENAS DEFORMAÇÕES ....................................................... 130
8.3.5. PAREDES VERTICAIS- TEORIA DAS GRANDES DEFORMAÇÕES ........................................................ 132
8.3.6. FORÇAS NAS PAREDES DA TREMONHA .......................................................................................... 134
8.3.7. DIMENSIONAMENTO DOS REFORÇOS VERTICAIS ............................................................................ 136
9. ANÁLISE ESTRUTURAL DO SILO RECTANGULAR ............ 137
9.1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................................... 137
9.2. FORÇAS NA PAREDE ................................................................................................................... 138
9.3. FORÇAS NA TREMONHA .............................................................................................................. 138
9.3.1. FORÇAS ESTÁTICAS ...................................................................................................................... 138
9.3.2. FORÇAS DINÂMICAS ...................................................................................................................... 140
9.4. DIMENSIONAMENTO DAS PAREDES ............................................................................................ 144
9.5. DIMENSIONAMENTO DA TREMONHA ........................................................................................... 149
9.6. ANÁLISE SILO RECTANGULAR .................................................................................................... 152
9.7. COMPORTAMENTO DINÂMICO ..................................................................................................... 156
10. SILO DE CHAPA QUINADA ......................................................................... 161
10.1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................................. 161
10.2. SILO QUADRADO ....................................................................................................................... 162
10.3. FLEXÃO SIMPLES ...................................................................................................................... 165
10.4. FLEXÃO DESVIADA .................................................................................................................... 166
10.5. FLEXÃO LOCAL ......................................................................................................................... 169
11. PROGRAMA MATLAB ....................................................................................... 171
11.1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................................. 171
11.2. CONCEITOS ............................................................................................................................... 171
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11.3. PROGRAMA ................................................................................................................................172
11.4. RESULTADOS E CONCLUSÕES ..................................................................................................175
12. CONCLUSÕES ...........................................................................................................179
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1
INTRODUÇÃO
Os silos, tema desta tese, são estruturas muito particulares cujo interesse tem vindo a aumentar, o que
se reflecte na crescente bibliografia que lhes é dedicada, e no grande número de teses de mestrado e
doutoramento que se debruçam sobre esta matéria.
Para se realizar uma análise de um silo há que ter em conta conceitos de várias áreas do conhecimento
da engenharia civil, nomeadamente conceitos de mecânica dos solos, de hidráulica e ainda os da
engenharia estrutural, mais em particular da construção metálica.
O conhecimento sobre silos metálicos é ainda escasso, não só devido ao facto de ser um tema recente
da área da engenharia civil, mas também por serem estruturas usadas em áreas muito particulares da
vida civil, tais como portos e industria agrícola.
No entanto, devido ao grande desafio que constitui a realização do dimensionamento de um silo (e o
estudo acrescido para o exercício da profissão), pois obriga a um grande rigor estrutural e elevado
conhecimento técnico, têm-se tornado um estímulo para quebrar a barreira do desconhecimento. Um
maior conhecimento sobre silos metálicos traduzir-se-á em importantes avanços noutras áreas, como
por exemplo na engenharia aeronáutica, onde os elementos de casca têm especial relevo.
Neste trabalho procura-se compreender o método de dimensionamento de um silo metálico, bem como
o seu comportamento estrutural. São especialmente estudados o silo de secção circular, e depois, o de
secção rectangular. Em primeiro, definem-se as acções a aplicar ao silo, de acordo com as regras do
Eurocódigo 1(Parte 4- silos e reservatórios). Com as acções determinadas, procede-se à verificação de
cada um dos silos: o silo circular respeita as determinações do Eurocódigo 3 (Parte 4.1- silos e
reservatórios), enquanto que o rectangular segue as regras das normas canadianas.
Ambos os silos são modelados pelo software recorrendo ao programa comercial ROBOT, que permite
a obtenção de esforços (tensões principais máxima e mínima, e esforços de membrana), para posterior
verificação, de acordo com cada um dos regulamentos.
Foi ainda desenvolvido um programa na linguagem de programação MATLAB com o objectivo de
criar um processo alternativo de verificação do silo, sem a utilização de um programa comercial.
Elaborou-se assim um programa que sendo posteriormente melhorado, constitui uma ferramenta
bastante completa para o dimensionamento de silos.
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HISTÓRIA
2.1. INTRODUÇÃO
A aleatoriedade do rendimento das colheitas sazonais e a desigual distribuição de cereais no mundo
provocou um irregular consumo dos mesmos. Para obviar esta situação constituem-se reservas com os
excedentes dos anos agrícolas bons, para futuro consumo em anos menos produtivos.
O armazenamento destes produtos (milho, trigo, cevada, etc.) é feito geralmente em silos, sendo
posteriormente daí expedidos a granel ou ensacados.
Vários produtos de utilização industrial, como por exemplo cimento, clinker, minérios etc., são
igualmente armazenados em silos.
Os silos são geralmente de aço ou betão (armado ou pré esforçado) e são compostos por uma ou mais
células, colocadas lado a lado neste último caso. As células são dotadas de aberturas apropriadas, nos
topos e nas bases (tremonhas), por onde se faz o seu enchimento e esvaziamento, respectivamente.
A Fig. 2.1 representa a constituição e o esquema de funcionamento de um silo de várias células:
Fig. 2.1- Silo de várias células
•
F- poço de recepção para o qual os materiais são vertidos à chegada.
•
E- elevador que transporta os materiais do poço até ao piso acima das células.
•
T- cinta transportadora que os carrega após descarga do elevador para os orifícios nos topos
das células.
3
Silos Metálicos
•
C- as células dos silos.
•
T´- cinta transportadora (por baixo dos silos), que transporta os grãos após descarga das
células.
Os cuidados a ter com a matéria-prima são da responsabilidade de especialistas da empresa, enquanto
que o dimensionamento dos silos é geralmente encargo de engenheiros civis.
Tendo em vista os elevados esforços actuantes nas paredes por efeito da pressão e do atrito produzidos
pelos materiais armazenados, numerosas propostas foram feitas na intenção de os definir, no curso do
estudo do comportamento dos primeiros silos empiricamente calculados, e durante sucessivos testes
levados a cabo por contínuos e melhorados métodos.
Assim, os primeiros construtores de silos calcularam as paredes das células como se estas fossem
solicitadas por um líquido com a mesma densidade do material armazenado.
Seguindo este pensamento, outros construtores procuraram estender aos silos a teoria de cálculo da
pressão dos silos numa parede de contenção.
Depois, alguns estudiosos tais como PRANTE, engenheiro de Hamburgo, e AIRY em França
começaram por demonstrar que estes métodos de cálculo eram erróneos, e que a pressão dos grãos e a
pressão no fundo de um silo não cresciam indefinidamente, mas que tendiam para limites definidos.
Finalmente, autores como JANSSEN, KOENEN e MORSCH levaram a cabo as suas teorias baseadas
na hipótese de invariabilidade da razão K (razão entre a tensão horizontal e vertical num elemento do
material armazenado, tal como é apresentado na figura do anexo A.1).
A interpretação matemática para estas teorias foi facilitada pelo facto destas hipóteses permitirem: 1º a
extracção da razão constante K da integração da função do equilíbrio do material armazenado num
elemento infinitamente pequeno da parede do silo; 2º a obtenção de uma expressão na forma
exponencial, relativamente simples para o cálculos de pressões de uma massa pulverulenta sobre as
suas paredes (a sua demonstração é feita no anexo A.1).
Desde então, graças a novos métodos de medição de pressões por piezo-electricidade e extensometria,
foram realizados alguns testes de elevada precisão em modelos de escala reduzida de silos de várias
formas.
2.2. ÁREAS DE UTILIZAÇÃO DOS SILOS
Os silos são bastante utilizados quer na agricultura, quer na indústria.
Na agricultura, os silos têm como finalidade o armazenamento de cereais. Distinguem-se dois tipos de
silos:
Um silo “externo”, consistindo numa ou mais células de 5 a 10 toneladas, cada qual com o seu tecto,
geralmente próximos de um celeiro ou armazém. Na generalidade das vezes, o material utilizado na
sua construção é o aço, podendo por vezes ser o betão pré-esforçado.
Um silo “interno”, erigido dentro de um armazém e com células com uma capacidade de 15 a 50
toneladas, feito de aço, com construção lamelar ou de madeira ou outro qualquer material apropriado.
Estes silos são normalmente compostos por unidades pré fabricadas e são facilmente montados e/ou
desmontados.
4
Silos Metálicos
Nas grandes cooperativas agrícolas chegam-se a utilizar silos com capacidade para 10 000 toneladas
ou mais. Nesses casos, o betão pré-esforçado é o material mais apropriado para a sua construção. As
células deste silos têm anexadas algumas células de menor capacidade, requeridas para o
armazenamento secundário de cereais.
A capacidade dos silos utilizados em portos é impressionante: excede frequentemente as 10 000 e 20
000 toneladas, chegando mesmo às 50 000 toneladas ou mais. Pré-esforço e aço são os materiais de
eleição para a sua construção, prestando-se especial cuidado à sua manutenção, pela localização em
ambiente marítimo.
Os silos industriais são particularmente robustos, devido à grande quantidade de material que
armazenam. Um problema comum neste tipo de silos é a formação de arcos no interior da massa
armazenada, que impedem o normal escoamento do material. A fermentação é a causa deste
fenómeno, pois favorece a aglomeração entre partículas. Actualmente, a detecção de sobre
aquecimento e uma correcta ventilação permitem minimizar os efeitos da fermentação.
Os silos inclinados da figura 2.2 e 2.3 são especialmente adequados para o armazenamento de
produtos industriais, pois facilitam o escoamento do material armazenado.
Fig. 2.2- Silos inclinados
5
Silos Metálicos
Fig. 2.3- Silos inclinados
2.3. MATERIAL ESTRUTURAL
A escolha do material a usar num silo depende de vários factores. A maior parte dos silos são de betão
(armado ou pré-esforçado) ou de aço. A escolha entre estes dois, depende dos custos de produção,
transporte e montagem.
As principais vantagens dos silos de aço relativamente aos de betão são:
Para silos em aço de pequeno tamanho, o tempo de construção é consideravelmente mais
baixo;
Se a estrutura é aparafusada, é fácil a sua desmontagem e deslocação para outro local.
Por outro lado, a construção de silos com aço traz também alguns inconvenientes, tais como a corrosão
e a criação de água de condensação que poderá ser prejudicial a alguns dos materiais armazenados.
A escolha do material está ainda dependente do tipo de esforços a que o silo estará sujeito. Nos silos
de betão, os esforços de tracção terão de ser cuidadosamente monitorizados. No caso de silos
metálicos, em particular os de secção circular, os esforços transversais são suportados por anéis
abraçadeiras que ficarão traccionadas. Nestes silos há que ter em conta fenómenos de varejamento.
Os silos de betão são indicados para silos altos, e os de aço para os restantes casos.
Nesta tese serão estudados apenas silos metálicos, sendo por isso o aço o material de eleição no
seguimento deste estudo.
2.3.1. SILOS DE AÇO
A geometria dos silos depende de vários aspectos como os económicos, volume de material a
armazenar, espaço disponível, o tipo de descarga pretendido, etc.
6
Silos Metálicos
Os silos cilíndricos são estruturas preferidas em relação aos prismáticos, do ponto de vista de custo
estrutural. No entanto, em termos de capacidade de armazenamento, um silo quadrado armazena 27%
de volume a mais, em relação a um silo cilíndrico de diâmetro igual ao lado do quadrado.
2.3.1.1. Silos de aço com base poligonal regular
Estas células são construídas segundo o mesmo princípio que consiste em colocar lado a lado painéis
pré fabricados.
Nesta tese vai-se considerar em particular a célula com uma base octogonal, que constitui o exemplo
típico deste tipo de construção de células poligonais.
Cada painel é pré fabricado com chapas de aço moldadas de acordo com o perfil calculado para dar a
máxima resistência à pressão exercida em cada face. Duas barras planas, com o comprimento do
painel de chapa quinada, são soldadas aos dois topos verticais do painel, tornando-o uma estrutura
bastante rígida à flexão.
Fig. 2.4- Parede de silo (pré fabricada)
A chapa laminada da parede tem de ser calculada para suportar os esforços de flexão (flexão desviada
ou flexão local).
Os painéis sucessivos são ligados por soldadura das barras verticais (fig. 2.5) formando-se um núcleo
triangular, cuja espessura varia com a altura do painel e que forma o esqueleto resistente da célula,
funcionando como pilar.
7
Silos Metálicos
Fig. 2.5- Detalhe da ligação de paredes do silo
Estes “pilares” são calculados para suportar a tensão de compressão vertical devida ao peso próprio da
célula e ao atrito dos grãos na parede. Estes “pilares” podem ser preenchidos com betão se se
pretender aumentar a sua capacidade de carga.
Cada célula é coberta com um tecto de chapa de aço com a forma de uma pirâmide.
Os vários componentes das células pré fabricadas são transportados para o local onde são montados
por soldadura, de modo que não haja o mais pequeno interstício entre painéis celulares componentes
garantindo-se assim que a célula seja completamente estanque.
Por fim, as células são sujeitas a um teste de impermeabilidade ao ar, através de ar comprimido. Esse
facto permite que os grãos sejam conservados numa atmosfera confinada com todas as vantagens
inerentes a este método de conservação.
As células podem ser montadas individualmente: as suas dimensões e forma são calculadas para
providenciar a máxima capacidade de armazenamento, em relação à área de superfície utilizada. As
várias alturas para as quais podem ser fornecidas, permitem muitas variações da capacidade. Podem
também ser montadas num conjunto de várias células e as dimensões normalizadas dos seus painéis
oferecem uma dupla vantagem.
Em primeiro lugar, elas permitem um alargamento pela adição de células suplementares às células já
existentes, usando uma ou mais das paredes já construídas.
Um exemplo clarificará esta vantagem: uma simples célula octogonal requer 8 painéis para a sua
montagem. Se uma segunda célula for montada junto a esta primeira, serão apenas necessários 7
painéis, já que o oitavo será comum à primeira célula. Se 4 células forem montadas, não serão precisos
32 painéis, mas apenas 28 já que 4 deles são comuns. Se 6 células foram ligadas, 41 painéis serão
precisos em vez de 48, e sempre assim (fig. 2.6). Por isso, quanto maior for a capacidade, ou seja, o
número de células, menor será o aumento do custo de primário por volume armazenado.
A segunda vantagem importante do agrupamento de 4 células octogonais é a de criar no seu centro,
uma pequena célula quadrada (cuja capacidade é de cerca de um quinto da célula octogonal). É
formada integralmente por cada uma das 4 células octogonais em redor, e tem apenas o custo da
cobertura e da base (sobre a qual repousa). Cada grupo de duas células octogonais além das 4
providencia assim, gratuitamente, uma pequena célula quadrada suplementar.
8
Silos Metálicos
Estas pequenas células quadradas são aproveitadas para:
Armazenamento de cereais com características especiais,
Formar uma célula báscula,
Permitir a mistura de vários cereais,
No caso do manuseamento mecânico, providenciar o estabelecimento do elevador.
É claro que células quadradas podem ser adicionadas na periferia das células já construídas. A fig.2.6
mostra as diferentes combinações pelas quais as células podem ser agrupadas.
Fig. 2.6- Agrupamento de células octogonais
As células podem ser usadas de acordo com as circunstâncias, com um conjunto de base plana ou em
galerias, ou até em cima de tremonhas. A superestrutura de aço mantém-se a mesma, apenas as
fundações de betão reforçado variam.
•
Silos de base plana
Este é o método de instalação mais simples, e portanto mais barato. Assume, em princípio, um sistema
pneumático de manobra (por exemplo, um sistema de vácuo).
Este tipo de instalação de estruturas de armazenamento do tipo “silos” é frequentemente adoptado
quando o silo é colocado junto a um complexo já existente, com um sistema de elevador e manobra e
com máquinas apropriadas, onde as operações podem continuar a ser levadas a cabo, servindo o silo
apenas para armazenamento.
9
Silos Metálicos
•
Silos com galeria
Quando um silo pode ser equipado com um elevador suficientemente alto para o enchimento das
células, é muitas vezes vantajoso realizar o seu esvaziamento através de cintas horizontais e
subterrâneas, ligadas até à base do elevador existente. Neste caso, é disposta uma galeria nas
fundações ao longo de um dos eixos do sistema de células, suficientemente profunda para permitir o
escoamento dos grãos por gravidade. (ver figuras 2.7, 2.8 e 2.9).
Fig. 2.7- Preparação das fundações para o silo
Fig. 2.8- Silo com galeria
10
Silos Metálicos
Fig. 2.9- Silo com galeria
•
Silos com tremonha
De preferência, as células dos silos são dotadas de tremonhas que permitem a descarga por gravidade.
Um arranjo especial leva a um armazenamento adicional abaixo das tremonhas. Isto é conseguido sem
consideráveis custos adicionais. As várias instalações de manobra podem também ser agrupadas neste
armazém; maquinaria de pesagem e transporte, plataforma de esvaziamento, tremonha de escoamento
do material, secador, máquina separadora, etc.
2.3.1.2. Silos do tipo circular
Estas células consistem num grupo composto por células cilíndricas e intercaladas, estando estas
últimas contidas entre as primeiras (ver fig.2.10)
11
Silos Metálicos
Fig. 2.10- Combinações possíveis entre silos circulares (com células intercaladas)
As células cilíndricas são do tipo mais comum, com cerca de 4 a 6 m de diâmetro, e com uma altura
até 20 m.
São construídas com chapas de aço dobradas formando uma curva e erigidas no local por soldadura.
•
Vantagens
Estes silos de células circulares permitem aos grãos serem conservados numa atmosfera confinada,
com as vantagens inerentes a este método de armazenamento.
Podem ser dimensionadas para permitir uma capacidade de armazenamento máxima: em primeiro
lugar, permitem extensões pela adição de células suplementares construídas sobre as já existentes,
utilizando as paredes já construídas. Mais, e esta é uma vantagem deveras importante deste sistema, o
agrupamento de três ou quatro células tem como resultado a criação de uma célula intercalada entre
elas, para as quais são apenas necessários os painéis devidamente atirantados, o tecto e a pequena
chapa de aço na base.
A fig. 2.11 mostra as diversas combinações possíveis com estas células. De notar que parte das células
intercaladas podem ser utilizadas para permitir que elevadores ou cadeia de baldes sejam instalados
para o enchimento das células.
12
Silos Metálicos
Fig. 2.11- Arranjo espacial de silos circulares
2.3.1.3. Silos do tipo circular (individuais)
A estrutura típica dos silos circulares é a que se apresenta de seguida:
Fig. 2.12- Silo circular
Geralmente, existe uma parte circular por cima da tremonha cónica. A separar essas duas zonas,
encontra-se a chamada zona de transição, onde estão situados o anel-viga, a “saia” e/ou a ligação às
colunas de suporte (caso do silo elevado).
13
Silos Metálicos
Tanto as paredes cilíndricas como as da tremonha têm de ser verificadas para os respectivos modos de
ruptura, que se dão sobretudo por varejamento ou colapso plástico.
Os silos podem ser apoiados directamente no solo ou elevados:
Fig. 2.13- Silos circulares apoiados directamente no solo (à esquerda), e elevados (à direita)
Os silos elevados ficam apoiados ora pela “saia”, ora por colunas de apoio.
Em termos estruturais, os silos dividem-se em três categorias distintas:
Silos de paredes lisas
Silos de paredes reforçadas
Silos de paredes quinadas
14
Silos Metálicos
3
PROPRIEDADES
ARMAZENADO
DO
MATERIAL
3.1. INTRODUÇÃO
A determinação das propriedades do material armazenado antepassa o dimensionamento do silo . As
forças devidas ao material armazenado são dependentes dessas propriedades, tais como a densidade,
ângulo de repouso, compressibilidade, etc. Outro aspecto do dimensionamento relacionado com essas
propriedades é a prevenção de problemas relacionados com o fluxo do material (tal como o
aparecimento de arcos internos). Estas propriedades estão interligadas com o tamanho das partículas,
forma, grau de humidificação, coesão e outras características dos materiais.
3.2. PESO VOLÚMICO
Peso volúmico γ , é a massa de material por unidade de volume e é determinada pela medição física
da massa de um material compactado num volume pré-definido. O peso volúmico é muitas vezes
referido como peso volúmico compactado. Outro peso volúmico, não compactado, pode também ser
determinado.
O peso volúmico de trabalho (“working bulk density”), γ w , é definido como:
γw =γ p +
1
γp
(γ
−γa) ,
2
p
(3.1)
sendo γ a o peso volúmico não compactado e γ p o compactado, ambos calculados em quilogramas por
metro cúbico. O peso volúmico não compactado serve para avaliar a capacidade do silo (ou caixa) e da
tremonha, enquanto o peso volúmico compactado é usado para dar uma estimativa conservativa da
força de compressão. O peso volúmico de trabalho é usado para determinar a taxa de enchimento
/esvaziamento do silo.
3.3. COMPRESSIBILIDADE
A compressibilidade é uma medida da variação de volume do material armazenado causada por uma
mudança no sistema de forças actuantes. O coeficiente de compressibilidade k c permite caracterizar a
qualidade de fluxo do material armazenado e é definido pela equação (3.2):
15
Silos Metálicos
kc =
γ p −γa
γ
= 1− a
γp
γp
(3.2)
O efeito da compressibilidade do material na caracterização da qualidade do fluxo é realçado na tabela
3.1.
Tabela 3.1 – Efeito da compressiblidade no fluxo do material
Coeficiente de
compressibilidade
Classe do material sólido
Fluxo
De 0,05 a 0,15
De 0,15 a 0,18
De 0,18 a 0,22
De 0,22 a 0,28
De 0,28 a 0,33
De 0,33 a 0,38
> 0,38
granular de fluxo livre
fluxo livre; granular em pó
fluido, granular em pó
pós com grande fluidez
fluido, pós coesivos
pós coesivos
pós muito coesivos
excelente
bom
razoável
mau-instável
mau
muito mau
ruim
Os materiais granulares são geralmente não coesivos e de fluxo fácil, enquanto os pós muitas das
vezes são o oposto. Regra geral: quando maior for o peso volúmico do material, mais fina será a
partícula do pó.
3.4. ÂNGULO DE REPOUSO, φ
O ângulo de repouso é o declive do cone formado quando um material sólido não consolidado é
vertido livremente por um tubo para uma superfície horizontal. Para a maior parte dos sólidos (de
fluxo fácil) que têm uma pequena faixa de dimensões de partículas, o ângulo de atrito é igual ao
ângulo de repouso.
3.5. COEFICIENTE DE ATRITO DA PAREDE, µ
Este parâmetro é de uma enorme importância por reger o cálculo de pressões actuantes sobre as
paredes do silo, bem como na definição do regime de fluxo e de fenómenos de interrupção de fluxo
(como o arqueamento, por exemplo).
O coeficiente de atrito da parede µ está relacionado com o ângulo de atrito da parede φ w da seguinte
forma:
µ = tan (φ w )
A não confundir φ w com φi , ângulo de atrito do material.
16
(3.3)
Silos Metálicos
Para a definição do coeficiente de atrito da parede ( µ ) é de enorme relevância a rugosidade da parede
do silo. O Eurocódigo distingue quatro tipos de parede:
Tabela 3.2 – Tipos de parede
Categoria Descrição
D1
polida
D2
macia
D3
rugosa
D4
corrugada
3.6. RÁCIO DA PRESSÃO LATERAL, K
É definido como o rácio entre a tensão horizontal do sólido próximo da parede (considerada constante
ao longo do sólido, a um determinado nível) e a tensão vertical (que varia com a profundidade a que se
encontra o sólido). Apesar de ser um parâmetro influenciado pela rugosidade e flexibilidade da parede,
é considerado como constante para um determinado material.
3.7. TIPOS DE FLUXO
O tipo de fluxo determina de uma forma importante o dimensionamento dos silos metálicos. Durante a
descarga do material, diferentes tipos de escoamento podem-se realizar, cada qual com uma tipologia
de acções própria. Daí a sua importância no capítulo do dimensionamento e da escolha do tipo de silo.
Neste trabalho apenas se consideraram, por comodidade, os enchimentos não-excêntricos. Uma série
de outros factores deveriam ser considerados, caso se optasse por um enchimento excêntrico do silo.
O EC1 descreve três tipos de categorias de fluxo (fig. 3.1):
-fluxo em massa (a)
-fluxo em funil (em tubo (b) ou em mistura (c))
17
Silos Metálicos
Fig. 3.1- Tipos de fluxo
O tipo de fluxo pode ser determinado pelos gráficos das figs 3.2 e 3.3, tendo presentes os valores do
semi-ângulo da tremonha ( β em graus) e tipo de tremonha, e o coeficiente de atrito das paredes da
tremonha ( µ h ).
Fig. 3.2- Tipo de fluxo (tremonhas cónicas)
18
Silos Metálicos
Fig. 3.3- Tipo de fluxo (tremonhas em forma de cunha)
3.7.1. FLUXO EM MASSA
Os silos de fluxo em massa caracterizam-se por terem tremonhas íngremes e paredes lisas, permitindo
o livre escoamento do material armazenado aquando da abertura da parte inferior da tremonha. É o
desejável no caso de materiais que se degradam ou consolidam ao longo do tempo, já que com este
tipo de fluxo se assegura o seu completo esvaziamento.
Este tipo de silos tem as seguintes características:
O volume total de material armazenado pode ser transferido por gravidade.
Fenómenos como o arqueamento e outros que impedem o normal escoamento do material
não ocorrem.
A densidade do material escoado é constante e independente do material armazenado. Isto
é vantajoso num escoamento de fluxo controlado em que a taxa de escoamento seja
controlada volumetricamente.
Um primeiro enchimento/ esvaziamento é facilmente obtido. Esta é uma característica
desejável quando a segregação ou deterioração do material sólido se torna possível com
o decorrer do tempo.
Desde que não hajam regiões mortas dentro do contentor, degradação, resíduos,
combustão espontânea, oxidação e consolidação serão minimizados.
A pressão ao longo do sólido e das paredes do silo é relativamente baixa, originando
baixo atrito do sólido e de insignificante a baixa abrasão das paredes.
Um fluxo uniforme pode ser obtido, resultando assim numa análise com um elevado nível
de confiança e correcção.
Vazios de ar são virtualmente não existentes e por isso, a necessidade de pás giratórias é
nula.
3.7.2. FLUXO EM FUNIL
Este tipo de fluxo estabelece-se geralmente em silos verticais rectangulares ou quadrados e que
tenham uma base horizontal ou tremonha de fluxo contrário ao de massa. O material armazenado num
silo de fluxo em funil flui para a saída através de um canal formado no interior da massa. Este canal é
tipicamente circular, assumindo uma forma cónica aberta a partir da saída. O ângulo do cone é
dependente da humidade do material armazenado, temperatura, tempo de armazenamento e sequência
19
Silos Metálicos
de enchimento/ esvaziamento. Os silos de fluxo em funil são úteis para armazenamento de material
pesado, abrasivo e granuloso, porque o desgaste provocado nas paredes do silo é pequeno/ nulo. Este
tipo de silos tem as seguintes características:
Apenas uma pequena porção do material está em movimento aquando da descarga.
A sequência de um primeiro enchimento/ esvaziamento pode ser obtida; no entanto, o
material em redor do canal de fluxo no topo do silo permanecerá em repouso até que o
canal de fluxo esteja completamente vazio. Isto pode causar consolidação, aglomeração,
deterioração, combustão espontânea ou oxidação.
Qualquer sólido que permaneça estático sob pressão por um longo período de tempo,
pode ganhar força e eventualmente obstruir o fluxo.
Pode ocorrer uma grave segregação, porque algumas partículas não se movem na
tremonha.
3.7.2.1. Fenómenos de instabilidade
Para este tipo de fluxo (em funil), por não se conseguir assegurar a total mobilização do material
armazenado aquando do esvaziamento do silo, há que assegurar que certos fenómenos não ocorram.
Esses fenómenos são a formação de arco no interior do material (que funciona como um tampão) que
impede de todo a movimentação do material; e a formação de um túnel no interior do material.
Para cada um dos fenómenos acima referidos, há que garantir uma dimensão mínima B (diâmetro no
caso de secção circular, ou diagonal no caso de secção quadrada/rectangular).
Formação de túnel:
A figura em baixo explicita melhor este fenómeno.
Fig. 3.4- Formação de túnel
Este fenómeno é caracterizado pela existência de um canal (vazio) que se cria acima da tremonha, por
onde o material passa. Além desse material do canal, todo o restante fica imóvel não se dando o seu
escoamento. É muito comum que isto aconteça em silos de fluxo em funil.
20
Silos Metálicos
Para se prevenir que isto aconteça, a menor dimensão da tremonha B vale:
Br = 0,71 ×
σc
× e (φ
γl
i
25
)
(3.4)
O valor de σ c é obtido através de uma função do fluxo do material (as chamadas curvas FF), com o
valor de σ m (que equivale ao valor da pressão vertical aquando do enchimento, à distancia x0 ).
γ l é o menor valor do peso volúmico do material armazenado;
φi é o ângulo de atrito;
De referir que o resultado obtido através da expressão (3.4) é algo conservativo.
Formação de arco:
Materiais com partículas de grande dimensão são favoráveis à formação de um arco no seio do
material armazenado.
Uma regra básica para a escolha da dimensão B é tomá-la como o valor oito a dez vezes superior ao
diâmetro máximo das partículas.
O caso crítico dá-se quando, nalgum ponto da tremonha, o diagrama das pressões σ c (obtido através
dos valores de σ m tal como anteriormente explicado) coincide com o valor de σ a (o valor mínimo
para que o arco ganhe estabilidade).
Fig. 3.5- Formação de arco
Caso σ a seja superior ao valor de σ c , o arco não se chega a formar.
21
Silos Metálicos
Mediante diversos factores, tais como o factor de fluxo da tremonha (as chamadas curvas ff ), o semiângulo da tremonha ( β ) e o ângulo de atrito das paredes da tremonha ( φ w ), utilizando a seguinte
expressão obtém-se o valor mínimo a garantir numa qualquer secção da tremonha:
Ba =
G1 × σ cc
γl
G1 = G10 +
β
βn
(3.5)
(3.6)
Sendo:
σ cc a tensão de cedência crítica do sólido;
G10 = 2,0 para tremonhas de secção circular;
G10 = 1,8 para tremonhas de secção quadrada;
G10 = 1,0 para tremonhas com uma das dimensões muito grande;
β n = 65° para tremonhas cónicas;
β n = 73° para tremonhas de secção quadrada;
β n = 193° para tremonhas com uma das dimensões muito grande.
3.7.2.2. Melhoramento do fluxo
Existem métodos para garantir um melhor fluxo do material aquando do seu escoamento. O ideal (e
mais económico) é a sua não utilização; no entanto, em certos casos, a sua necessidade torna-se
imperiosa. Convém portanto conhecer alguns métodos e práticas utilizadas na construção de silos.
Reed e Duffel (1983) dividiram os dispositivos de ajuda de fluxo em três categorias:
Pneumáticos: que passam pela introdução de ar para iniciar o seu fluxo;
Vibratórios: aplicação de vibrações de elevadas frequências e baixas amplitudes à
tremonha;
Mecânicos: utilização de meios mecânicos que ajudem na extracção do material da
tremonha.
Dentro dos dispositivos mecânicos, de nomear dois tipos muito conhecidos: a utilização de uma
“tremonha interior”, e de um tubo anti-dinâmico (inventado por Reimbert).
22
Silos Metálicos
Fig. 3.6- “Tremonha interior”
Fig. 3.7- Tubo de Reimbert
3.7.3. PRESSÕES ESTÁTICAS/DINÂMICAS
3.7.3.1. Silos de Fluxo em Massa
Para se ter um silo estruturalmente seguro e económico, é necessário estimar que cargas (aplicadas nas
paredes do silo) são criadas aquando das operações de enchimento/ esvaziamento.
Um ponto importante é que, a máxima pressão não resulta nem do estado estático nem dinâmico, mas
sim da passagem da condição estática para a dinâmica.
No caso de silos de fluxo em massa, as pressões resultantes do fluxo dinâmico são geralmente mais
baixas que as do fluxo estático, o que resulta na área A (figura 3.8) entre as duas curvas.
23
Silos Metálicos
Fig. 3.8- Regimes estático e dinâmico
3.7.3.2. Silos de Fluxo em Funil
Neste tipo de silos, existe a necessidade de um coeficiente de majoração C d , de modo a transformar
as pressões estáticas em dinâmicas.
Isto acontece porque durante o esvaziamento do material as pressões estáticas podem aumentar. A
pressão total pode ser três a quatro vezes a pressão determinada pelas equações de Janssen ou
Reimbert.
Pressão de cálculo = C d × Pressão estática
3.7.3.3. Campo de Pressões nos Silos de Fluxo em Massa
As cargas aplicadas nas paredes do silo ou tremonha estão dependentes do facto do material estar a ser
carregado ou descarregado. Durante o enchimento inicial, quando a saída está fechada, o material
introduzido compacta-se numa direcção vertical ou quase vertical na tremonha, de acordo com as
principais linhas de pressão. Isto provoca um campo de pressões estáticas como o mostrado na figura
3.8 (à esquerda).
Quando a descarga se inicia, o material armazenado contrai lateralmente na tremonha de modo a
permitir a descida do fluxo. Para que tal aconteça, as linhas principais de pressão têm de arquear ao
longo da tremonha, como mostrado na figura 3.8, formando um campo de pressões dinâmico ou
arqueado. A transição do regime estático para o dinâmico começa no fundo da tremonha após a
abertura da comporta de descarga, propagando-se rapidamente para cima na forma de um choque/
distúrbio ou alteração.
Abaixo do nível da alteração, as pressões dinâmicas são menores que as originais estáticas, e uma
sobrepressão é exercida nas paredes da tremonha de modo a manter o equilíbrio. Assume-se que actua
sobre a região entre a alteração e o ponto de transição tremonha-parede vertical do silo.
24
Silos Metálicos
3.8. PROPRIEDADES DOS MATERIAIS
No anexo E do EC1 apresenta-se uma tabela, com todas as características dos materiais.
Tabela 3.3 – Propriedades dos materiais
Para o dimensionamento dos silos realizado nos capítulos mais à frente, foi escolhido como material
armazenado o cimento, com as propriedades físicas acima descritas.
25
Silos Metálicos
26
Silos Metálicos
4
ACÇÕES
4.1. INTRODUÇÃO
Segundo o EC1 (parte 4, versão de Setembro de 2002), para a definição das cargas aplicadas nas
paredes verticais dos silos, existe a seguinte classificação entre silos:
hc
(excepto como definido em 3.3);
dc
h
Silos medianamente esbeltos, onde 1,0 < c ≤ 2,0 (excepto como definido em 3.3);
dc
h
Silos entroncados, onde 0,4 < c ≤ 1,0 (excepto como definido em 3.3);
dc
h
Silos de retenção, onde a base é horizontal e c ≤ 0,4 ;
dc
Silos esbeltos, onde 2,0 ≤
Silos contendo sólido com ar misturado
(o ponto 3.3 do Eurocódigo impõe outras regras de classificação de silos, regras essas que têm em
conta factores como a excentricidade do material aquando do enchimento, dispositivos mecânicos e
processos de extracção; nada disto foi tomado em consideração para a classificação dos silos).
De notar ainda o ponto (4) de 5.1 que diz:
“A carga aplicada às paredes verticais é composta por uma carga fixa, chamada de carga simétrica, e
uma carga livre, chamada de carga local, que são tomadas como actuando em conjunto.”
Seleccionando os silos esbeltos (estruturalmente mais desafiadores), estudamos as cargas existentes
aquando do seu enchimento e esvaziamento.
4.2. CLASSES ESTRUTURAIS DE SILOS
Para o dimensionamento de um silo, é necessário realizar uma prévia classificação. Os silos serão da
classe 1, classe 2 ou classe 3, de acordo com as seguintes descrições:
27
Silos Metálicos
Tabela 4.1 – Classificação dos silos
Classes
Descrição
Classe 1
Silos com capacidade inferior a 100 toneladas
Classe 2
Classe 3
Silos que não pertençam nem à classe 1, nem à classe 3
Silos com capacidade inferior a 1000 toneladas, em que qualquer uma das seguintes
condições seja conseguida:
a) descarga excêntrica com
e0 d c > 0,25 (ver figuras 4.1 e 4.3)
b) silos entroncados com excentricidade da superfície no topo
et d c > 0,25
Fig. 4.1- Geometria do silo (notações)
Sendo o silo pertencente à classe 1, existe uma série de cálculos e verificações que ficam
automaticamente dispensados de realização.
28
Silos Metálicos
4.3. SITUAÇÕES DE DIMENSIONAMENTO PARA OS SILOS
Um silo é sempre dimensionado para um determinado material (caso o silo tenha ao longo da sua vida
útil múltiplos materiais armazenados, dimensionar-se-á com aquele cujas propriedades afectem de
forma mais gravosa as cargas a si aplicadas), e dentro das suas propriedades, três grandezas tomam
lugar prioritário na definição dos diferentes combinações a realizar: o coeficiente de atrito da parede
do silo ( µ ), a razão entre a pressão horizontal e vertical ( K ) e o ângulo de atrito ( φi ).
Para este trabalho defini três estados limite para as paredes cilíndricas do silo, e dois estados limite
para as paredes da tremonha, como a seguir se apresenta:
Tabela 4.2 – Estados limite
Situação de dimensionamento
Valor característico a adoptar
µ
K
φi
ELU 1
ELU 2
ELU 3
Parede vertical
Pressão normal à parede máxima
Tracção friccional máxima
Máxima carga vertical sobre a tremonha
Mínimo
Máximo
Mínimo
Máximo
Máximo
Mínimo
Mínimo
Mínimo
Máximo
ELU 1
ELU 2
Parede da tremonha
Pressões máximas na tremonha (enchimento)
Pressões máximas na tremonha (esvaziamento)
Máximo
Mínimo
Mínimo
Máximo
Mínimo
Máximo
Os valores máximo e mínimo de cada uma das variáveis, são obtidos através da multiplicação /divisão,
respectivamente, do valor médio da variável pelo respectivo factor a j (apresentado na tabela 3.3), do
seguinte modo:
Valor máximo característico de µ = a µ × µ m
Valor mínimo característico de µ = µ m a µ
A justificação para a existência de um valor superior e outro inferior reside no facto do material
armazenado ir variando as suas características físicas, à medida que o tempo se vai desenrolando. Por
isso, e para efeitos de dimensionamento, aumentam-se ou diminuem-se as suas propriedades, de modo
a que se obtenham as condições mais desfavoráveis (em termos de cargas) para o silo a dimensionar.
Nota: para silos de classe 1, podem-se usar única e exclusivamente os valores médios, sem ser
portanto necessário calcular um valor superior e inferior.
29
Silos Metálicos
4.4. CARGAS NAS PAREDES VERTICAIS
4.4.1. CARGAS NAS PAREDES VERTICAIS DEVIDAS AO ENCHIMENTO
4.4.1.1. Carga fixa
Fig. 4.2- Pressões nas paredes verticais
Os valores da pressão horizontal p hf , pressão de atrito na parede p wf e pressão vertical pvf a qualquer
profundidade após o enchimento e durante o armazenamento, são:
p hf ( z ) = p h 0 × YJ ( z )
(4.1)
p wf ( z ) = µ × p h 0 × YJ ( z )
(4.2)
p vf ( z ) =
p h0
× YJ ( z )
K
(4.3)
Em que:
p h0 = γ × K × z 0
(4.4)
1
A
×
K ×µ U
(4.5)
z0 =
YJ ( z ) = 1 − e − z z 0
(4.6)
Sendo:
γ o valor característico do peso volúmico;
µ o valor característico do coeficiente de atrito da parede quando o sólido desliza pela parede
vertical;
30
Silos Metálicos
K o valor característico da razão da pressão lateral;
z a profundidade abaixo da superfície equivalente do sólido;
A a área da secção do silo;
U o perímetro interno da secção do silo.
O valor característico resultante da força vertical (de compressão) na parede n zSk por unidade de
comprimento de perímetro, após enchimento e à profundidade z , é:
z
n zSk = ∫ p wf (z )dz = µ × p h 0 × [z − z 0 × YJ ( z )]
(kN m)
(4.7)
0
4.4.1.2. Carga livre
A carga livre, ou uma qualquer alternativa apropriada, deve ser usada de modo a representar um
carregamento acidentalmente assimétrico, associado a excentricidades e imperfeições durante o
processo de enchimento.
A magnitude da pressão causada p pf :
p pf = C pf × p hf
(4.8)
Em que:


 h
C pf = 0,24 × C op × 1 + 2 × E 2 × 1 − exp− 1,5 ×  c


 d c

[
]
E = 2×
ef
dc
   
 − 1 
   
(4.9)
(4.10)
Mas C pf ≥ 0
Em que:
e f é a excentricidade máxima da superfície da pilha de material durante o enchimento (fig. 4.3);
31
Silos Metálicos
Fig. 4.3- Notações
p hf é o valor local da pressão de enchimento (expressão 4.1) à altura a que a carga livre é aplicada
C op é o factor de referência do sólido para a carga local (tabela 3.3)
Ainda:
s=
π × dc
16
≈ 0,2 × d c
s é a altura da zona na qual está aplicada a força localizada
Fig. 4.4- Força localizada
32
(4.11)
Silos Metálicos
4.4.2. CARGAS NAS PAREDES VERTICAIS DEVIDAS AO ESVAZIAMENTO
4.4.2.1. Carga fixa
p he = C h × p hf
(4.12)
p we = C w × p wf
(4.13)
Em que:
C h é o factor de descarga para a pressão horizontal;
C w é o factor de descarga para a tracção de atrito da parede;
Os valores de C h e C w devem ser determinados de acordo com a classe de segurança/confiança.
O valor característico resultante da força vertical (de compressão) na parede n zSk por unidade de
comprimento de perímetro, durante esvaziamento, à profundidade z , é:
z
n zSk = ∫ p we ( z )dz = C w × µ × p h 0 × [z − z 0 × YJ ( z )]
(kN m)
(4.14)
0
4.4.2.2. Carga livre
A carga livre deve ser usada de modo a representar um carregamento acidentalmente assimétrico
durante o esvaziamento, assim como excentricidades internas e externas.
p pe = C pe × p he
(4.15)
Da qual:


 h
C pe = 0,48 × C op × 1 + 2 × E 2 1 − exp− 1,5 ×  c


 d c

[
]
E = 2×
e
dc
   
 − 1 
   
(4.16)
(4.17)
Mas C pe ≥ 0
e = max(e f , e0 )
(4.18)
33
Silos Metálicos
Em que:
e f é a excentricidade máxima da superfície da pilha de material durante o enchimento;
e0 é a excentricidade do centro da tremonha;
p he é o valor local da pressão de esvaziamento à altura a que a carga livre é aplicada (expressão 4.4);
C op é o factor de referência do sólido para a carga local (tabela 3.3).
4.5. CARGAS NAS TREMONHAS E BASE DOS SILOS
4.5.1. GERAL
As bases/ tremonhas dos silos podem ser classificadas como:
horizontais;
íngremes;
baixas.
Uma base horizontal tem uma inclinação com a horizontal α menor que 5º.
Uma tremonha íngreme é a que segue o seguinte critério:
tan β <
(1 − K )
2 × µh
Em que:
K é o menor valor característico do rácio da pressão lateral nas paredes verticais
β é metade do ângulo do vértice da tremonha
µ h é o menor valor característico do coeficiente de atrito na parede da tremonha
A figura 4.5 também permite deliberar se a tremonha é íngreme ou baixa.
34
(4.19)
Silos Metálicos
Fig. 4.5- Distinção entre tremonhas íngremes e baixas
O critério estabelecido na expressão (4.19) é essencial para, a par da utilização de paredes lisas, se
atingir o fluxo em massa aquando da abertura da tremonha.
A principal pressão vertical na transição entre o segmento da parede vertical e a tremonha ou a base do
silo, vale:
p vft = C b × p vf
(4.20)
Em que:
p vft é o valor da pressão vertical de enchimento calculada usando a expressão (4.3) de acordo com a
esbelteza do silo, com a coordenada z igual à altura da parede vertical hc e usando os valores das
propriedades dos sólidos que induzam ao máximo carregamento da tremonha (tabela 4.2)
Cb é o exagerador de carga na base para ter em conta a possibilidade de mais cargas provenientes das
paredes verticais serem transferidas para a tremonha ou base.
O coeficiente Cb é atribuído de acordo com a classe de segurança/ confiança.
Para cada um dos tipos de bases/ tremonhas, existem fórmulas para determinar as pressões a que estão
sujeitas as bases/ tremonhas.
No entanto, existe o anexo H, que a nível informativo, nos fornece regras alternativas para o cálculo
das pressões em tremonhas, regras essas que a seguir se mostram.
Notação:
l h Distância inclinada do vértice da tremonha à transição (figura 4.6)
pn Pressão normal à parede inclinada da tremonha
35
Silos Metálicos
p ni Componentes da pressão normal à parede inclinada, ( i = 1, 2 e 3)
p s Pressão na transição
Esta pressão na transição p s pode ocorrer durante o esvaziamento de um silo de fluxo de massa.
4.5.2. PRESSÕES NAS TREMONHAS DURANTE O ENCHIMENTO
As regras seguidas para a determinação das pressões a aplicar nas paredes da tremonha encontram-se
dispostas no anexo H do Eurocódigo 1. Este anexo apresenta um processo alternativo, cujas
expressões estão em baixo escritas.
Quando a inclinação da parede da tremonha com a horizontal é superior a 20º, a pressão normal pn ,
aplicada na parede inclinada da tremonha, vale:
p n = p n 3 + p n 2 + ( p n1 − p n 2 ) ×
Com:
x
lh
(
p n1 = p v 0 × C b × sin 2 β + cos 2 β
(4.21)
)
p n 2 = pv 0 × Cb × sin 2 β
p n 3 = 3,0 ×
A γ × Ks
×
× cos 2 β
U
µ
(4.22)
(4.23)
(4.24)
Em que:
β é o ângulo da tremonha em relação à direcção vertical (ver figura 4.6);
x é o comprimento entre 0 e l h ;
p n1 e p n 2 definem a pressão distribuída devida ao enchimento;
p n3 é a pressão na tremonha devida à pressão vertical no material armazenado na transição;
Cb é exagerador de carga ( C b = 1,6 );
p v 0 é a pressão vertical actuante na transição após o enchimento, calculada utilizando a expressão
(4.3).
36
Silos Metálicos
Fig. 4.6- Pressões nas paredes da tremonha
O valor da pressão de atrito sobre a parede pt é dado por:
pt = p n × µ
(4.25)
4.5.3. PRESSÕES NAS TREMONHAS DURANTE O ESVAZIAMENTO
No caso de silos de escoamento em funil, as cargas devidas ao esvaziamento podem ser calculadas
usando as fórmulas do enchimento.
Para os silos de escoamento em massa, uma pressão normal fixa é adicionada, p s , sobre uma
distância inclinada de 0,2d c na tremonha, e em redor do seu perímetro.
p s = 2 × K × p vft
(4.26)
Em que:
p vft é a pressão vertical actuante na transição após enchimento, calculada usando a expressão (4.3).
4.6. RESULTADOS
Em capítulos subsequentes analisam-se dois silos: um de secção circular, e outro rectangular. Para
isso, definem-se as pressões a que estes estão sujeitos. São precisos os valores da altura da parede
cilíndrica, da tremonha, e as dimensões da secção (raio hidráulico), que estão patentes na seguinte
figura (fig. 4.7). Com estes dados obtêm-se os valores das pressões de enchimento e de esvaziamento
tabelados. Os valores das pressões de esvaziamento são obtidos através da multiplicação dos das
pressões de enchimento pelos respectivos coeficientes C h = 1,15 e C w = 1,10 .
37
Silos Metálicos
Fig. 4.7- Geometria dos silos em estudo (de secção circular e rectangular)
O raio hidráulico vale:
R=
π ×r2
A
r
=
= = 0,75
U 2×π × r 2
(4.27)
4.6.1. PAREDES
ELU 1
38
(
z (m )
z0
YJ ( z )
ph0
0
1
2
3
4
5
3,02
3,02
3,02
3,02
3,02
3,02
0,00
0,28
0,48
0,63
0,73
0,81
31,32
31,32
31,32
31,32
31,32
31,32
p hf kN m
(
2
)
Enchimento
0
8,83
15,17
19,72
22,99
25,33
0
3,38
5,81
7,56
8,81
9,71
Esvaziamento
z (m )
p he kN m 2
0
1
2
3
4
5
0
10,2
17,4
22,7
26,4
29,1
)
(
p wf kN m 2
(
p we kN m 2
0
3,7
6,4
8,3
9,7
10,7
)
)
(
pvf kN m 2
0
13,62
23,40
30,43
35,47
39,10
)
Silos Metálicos
ELU 2
(
z (m )
z0
YJ ( z )
ph0
0
1
2
3
4
5
2,64
2,64
2,64
2,64
2,64
2,64
0,00
0,32
0,53
0,68
0,78
0,85
27,35
27,35
27,35
27,35
27,35
27,35
p hf kN m
(
2
)
Enchimento
(
p wf kN m 2
0
8,63
14,54
18,58
21,35
23,24
0
3,79
6,38
8,15
9,37
10,20
Esvaziamento
z (m )
p he kN m 2
0
1
2
3
4
5
0
9,9
16,7
21,4
24,6
26,7
)
)
(
p we kN m 2
(
pvf kN m 2
)
0
13,32
22,43
28,67
32,94
35,87
)
0
4,2
7,0
9,0
10,3
11,2
ELU 3
(
z (m )
z0
YJ ( z )
ph0
0
1
2
3
4
5
4,35
4,35
4,35
4,35
4,35
4,35
0,00
0,21
0,37
0,50
0,60
0,68
31,32
31,32
31,32
31,32
31,32
31,32
p hf kN m
(
2
)
Enchimento
0
6,43
11,54
15,60
18,83
21,40
0
2,46
4,42
5,98
7,22
8,20
Esvaziamento
z (m )
p he kN m 2
0
1
2
3
4
5
0
7,4
13,3
17,9
21,7
24,6
)
(
p wf kN m 2
(
p we kN m 2
)
(
pvf kN m 2
)
0
14,29
25,65
34,68
41,85
47,55
)
0
2,7
4,9
6,6
7,9
9,0
39
Silos Metálicos
4.6.2. TREMONHA
ELU 1
x(m )
(
p v 0 kN m 2
0
0,55
1,10
1,64
2,19
2,74
3,29
)
(
p n1 kN m 2
)
43,0
43,0
43,0
43,0
43,0
43,0
43,0
39,10
(
p n 2 kN m 2
)
10,5
10,5
10,5
10,5
10,5
10,5
10,5
(
p n 3 kN m 2
)
(
p n kN m 2
20,3
20,3
20,3
20,3
20,3
20,3
20,3
)
(
pt kN m 2
30,9
36,3
41,7
47,1
52,5
58,0
63,4
)
(
p s kN m 2
13,5
15,9
18,3
20,7
23,1
25,4
27,8
)
35,2
ELU 2
x(m )
0
0,55
1,10
1,64
2,19
2,74
3,29
(
p v 0 kN m 2
39,10
)
(
p n1 kN m 2
43,0
43,0
43,0
43,0
43,0
43,0
43,0
)
(
p n 2 kN m 2
10,5
10,5
10,5
10,5
10,5
10,5
10,5
)
(
p n 3 kN m 2
31,3
31,3
31,3
31,3
31,3
31,3
31,3
)
(
p n kN m 2
41,9
47,3
52,7
58,1
63,5
69,0
74,4
)
(
pt kN m 2
16,0
18,1
20,2
22,3
24,4
26,4
28,5
)
(
p s kN m 2
50,7
Na figura 4.8 tem-se o diagrama de pressões aplicadas ao silo (paredes cilíndricas + paredes da
tremonha) para ELU 1 (da parede vertical e da tremonha). É perceptível a sua semelhança com a
figura 4.9 do EC1.
O “salto” que se dá na zona da transição ( z = 5m ) é justificado pelo enorme cuidado que se deve ter
nesta área, como mais à frente se verá pelos cálculos efectuados.
40
)
Silos Metálicos
Pressões durante o esvaziamento
phf(kN/m^2)
0
20
40
60
0
1
2
3
z (m) 4
parede
tremonha
5
6
7
8
Fig. 4.8- Pressões perpendiculares às paredes durante o esvaziamento (ELU 1)
Fig. 4.9- Pressões nas paredes durante o esvaziamento (para tremonhas íngremes e pouco fundas)
41
Silos Metálicos
4.7. ACÇÃO DO VENTO
A acção do vento foi modelada segundo as regras impostas pelo RSA (Regulamento de Segurança e
Acções), capítulo V.
Considerou-se, de um modo bastante conservativo, que o silo se encontrava na zona B (que inclui os
arquipélagos dos Açores e da Madeira, e as regiões do continente situadas numa faixa costeira com 5
km de largura ou altitudes superiores a 600m) e que a rugosidade aerodinâmica do solo correspondia
ao segundo tipo (rugosidade do tipo II-rugosidade a atribuir às zonas rurais e periferia de zonas
urbanas).
O artigo 22º refere no seu terceiro ponto:
“No caso de estruturas identicamente solicitadas pelo vento qualquer que seja o rumo deste (como por
exemplo estruturas com simetria de revolução ou estruturas cuja resistência nas diversas situações seja
proporcionada às acções do vento que nessas direcções se exercem), os valores característicos da
velocidade do vento a considerar devem ser obtidos multiplicando por
1,3 os valores característicos
definidos no anexo I.”
Considerando que o silo se situa a altura de 15m (a sua altura total é de 8m, mas temendo que esteja
apoiado a uma cota superior), obtém-se através da seguinte figura o valor característico da pressão
dinâmica.
Fig. 4.10- Valor característico da pressão dinâmica,
(
Wk kN m 2
)
Este valor será majorado, por estar localizado na zona B (multiplicando por 1,2), e por ser uma
estrutura referida no ponto 3, do artigo 22º (multiplicando por 1,3).
Em conformidade com os critérios do artigo 23º, além do parâmetro w há que conhecer os
coeficientes de forma da construção em estudo.
42
Silos Metálicos
Para se conhecerem as pressões a aplicar às diferentes placas do silo utiliza-se a seguinte expressão:
p =δp ×w
(4.28)
Os coeficientes de pressão δ p , são definidos para uma superfície particular da estrutura, e permitem
determinar as pressões p exercidas normalmente às superfícies.
No anexo I apresenta-se o quadro I-XIV, que fornece os valores dos coeficientes de pressão de acordo
com o ângulo θ .
Fig. 4.11- Coeficientes de pressão exterior para construções de forma cilíndrica (quadro I-XIV)
Considerando lisas as paredes do silo em estudo e de acordo com o quadro precedente, calculam-se
facilmente as pressões a aplicar.
43
Silos Metálicos
Tabela 4.3 – Coeficientes de pressão
Coeficientes de pressão
Ângulo
Graus
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
120
140
160
180
Superfície rugosa
h/d=10
1
0,9
0,7
0,4
0
-0,5
-0,95
-1,25
-1,2
-1
-0,8
-0,5
-0,4
-0,4
-0,4
h/d~2,5
1
0,9
0,7
0,4
0
-0,4
-0,8
-1,1
-1,05
-0,85
-0,65
-0,35
-0,3
-0,3
-0,3
Superfície lisa
h/d=10
1
0,9
0,7
0,35
0
-0,7
-1,2
-1,4
-1,45
-1,4
-1,1
-0,6
-0,35
-0,35
-0,35
h/d~2,5
1
0,9
0,7
0,35
0
-0,5
-1,05
-1,25
-1,3
-1,2
-0,85
-0,4
-0,25
-0,25
-0,25
wk
(kN
m
2
)
1,04
majorações
1,56
Pressão
(kN
m2
)
1,62
1,46
1,14
0,57
0
-0,81
-1,7
-2,03
-2,11
-1,95
-1,38
-0,65
-0,41
-0,41
-0,41
Através de uma interpolação quadrática, obtêm-se finalmente os valores a aplicar em cada uma das
placas (determinou-se que o ângulo segundo o qual deveria ser aplicada a pressão seria o mesmo que o
centro de gravidade da placa (CG) ligado ao centro do silo faria com a horizontal).
Fig. 4.12- Secção silo circular
44
Silos Metálicos
Quadro 4.1– Pressões aplicadas
Ângulo
CG
(kN
w
m2
0
1,62
11,25
1,33
33,75
0,19
56,25
-1,06
78,75
-2,41
101,25
-0,58
123,75
0,53
146,25
1,35
168,75
1,88
)
4.8. COMBINAÇÕES
Realizaram-se seis combinações. A cada um dos casos de carga foi aplicado o factor amplificador de
1,35 (tal foi feito devido à indicação do anexo I (EC1, Parte 4), que no ponto 1.2 (2), dedicada aos
estados limite últimos estabelece essa cláusula). Apenas a carga do vento (caso de cargas número 12)
foi diminuída por um coeficiente de 0,6. Em baixo explicitam-se os diferentes casos de carga definidos
no ROBOT, e as diferentes combinações utilizadas.
Tabela 4.2 – Estados limite
Situação de dimensionamento
Valor característico a adoptar
µ
K
φi
ELU 1
ELU 2
ELU 3
Parede vertical
Pressão normal à parede máxima
Tracção friccional máxima
Máxima carga vertical sobre a tremonha
Menor
Maior
Menor
Maior
Maior
Menor
Menor
Menor
Maior
ELU 1
ELU 2
Parede da tremonha
Pressões máximas na tremonha (enchimento)
Pressões máximas na tremonha (esvaziamento)
Maior
Menor
Menor
Maior
Menor
Maior
Caso1: peso próprio da estrutura;
Caso 2: p n _tremonha(ELU1);
Caso 3: p t _tremonha(ELU1);
Caso 4: p he _parede(ELU1);
Caso 5: p we _parede(ELU1)
45
Silos Metálicos
Caso 6: p he _parede(ELU2);
Caso 7: p we _parede(ELU2);
Caso 8: p he _parede(ELU3);
Caso 9: p we _parede(ELU3)
Caso 10: p n _tremonha(ELU2);
Caso 11: p t _tremonha(ELU2);
Caso 12: vento;
Caso 13: 1 kN m sobre o perímetro da abertura da tampa do silo;
2
Caso 14: 2,5 kN m sobre a tampa do silo.
Com os 14 casos de carga acima explicitados, foram obtidas 6 combinações de cargas diferentes tal
como apresentado na tabela 4.4.
Tabela 4.4 – Tabela de combinações de acções
46
Silos Metálicos
5
EXPLOSÕES EM SILOS
5.1 INTRODUÇÃO
Desde finais do século XIX iniciou-se a construção massiva de instalações para o armazenamento dos
mais diversos tipos de produtos, e até aos nossos dias deram-se milhares de explosões com a perca de
vidas humanas e consideráveis danos materiais.
Desde 1900, registaram-se oficialmente nos EUA 1085 explosões de pós combustíveis.
Destas explosões resultaram 640 mortos, 1712 feridos e danos materiais da ordem dos 98 milhões de
dólares.
Muitas mais explosões se produziram nos EUA durante este período que não foram assinaladas pela
sua baixa magnitude ou por falta de informação.
No quadro seguinte apresentam-se algumas explosões ocorridas:
47
Silos Metálicos
Quadro 5.1 – Número de explosões
Descrição
Número de
explosões
1.
Silos para cereais
14
2.
Silos para carvão
9
3.
Silos para farinhas
6
4.
Silos para plásticos
5
5.
Silos para madeira
5
6.
Silos para soja
4
7.
Silos para milho
3
8.
Silos para rações animais
3
9.
Farinha de madeira
3
10.
Algodão
2
11.
Silos para amido
2
12.
Alumínio, cortiça, ferromagnésio, aveia, papel, borracha,
sabão, açúcar de beterraba em polpa
1
Como se pode constatar, os silos para cereais são os mais perigosos e que apresentam um maior
número de explosões, seguidos pelos silos para carvão e silos para farinhas.
Como dado curioso, no mundo, e em 1975, produziram-se 271 explosões em instalações destinadas ao
armazenamento de cereais. Mas, qual a causa de uma explosão numa instalação destinada ao
armazenamento de cereais ou à fabricação e manejo de farinhas? A resposta é imediata: a explosão do
pó que se encontra em suspensão no ar.
As investigações realizadas em laboratório e o estudo das grandes explosões ocorridas no mundo
indicam que o pó que se encontra em suspensão no ar seja altamente explosivo.
Pode-se afirmar que o pó de muitos materiais combustíveis, quando se mistura com ar em certas
proporções, pode explodir. Por outro lado, nem todos os pós são igualmente perigosos.
48
Silos Metálicos
Muitos são os factores que afectam a probabilidade de uma explosão, a saber:
Quantidade de pó;
A sua distribuição no recinto;
Tamanho das partículas;
Humidade;
Concentração de oxigénio;
Tamanho e temperatura da fonte de ignição.
Existem três grandes grupos nos quais são frequentes as explosões deste tipo:
Pós de materiais metálicos;
Pós de materiais plásticos;
Pós de produtos agrícolas.
No capítulo dos produtos agrícolas destacam-se pela sua importância:
Silos para armazenamento e manejo de cereais;
Fábricas de farinhas (alimentação humana);
Fábricas de rações (alimentação animal);
Feitorias para produção de amido;
Feitorias para pulverização de açúcar e cacau;
Elementos pneumáticos para transporte de grãos e farinhas.
Eliminação das fontes de ignição
A proibição de fumar e todo o tipo de chamas directas é uma precaução que elimina possíveis fontes
de ignição na nuvem de pó.
Os equipamentos mecânicos têm de ser calculados com a máxima segurança, para evitar elevado
aquecimento por atrito ou fadiga. Evitar velocidades elevadas e faíscas por choque entre partículas
metálicas.
Os equipamentos eléctricos têm de cumprir as normas anti-deflagrantes, todo o equipamento eléctrico
será munido de sistemas especiais para eliminar a electricidade estática.
Colocar-se-ão electro-ímans para separar todas as partículas metálicas que possam levar o produto a
armazenar e que possam ser causa indirecta de uma grave explosão.
Controlo do pó
A explosão do pó sucede frequentemente em duas fases. Uma primeira explosão limitada que se
estende à nuvem de pó que se tenha acumulado em máquinas, vigas, cantos e uma segunda explosão
muito mais violenta que a primeira e devida ao anterior acendimento da nuvem de pó.
Para prevenir estas explosões recomenda-se projectar as paredes para que não se deposite o pó, as
vigas com pendentes adequadas, e tremonhas sem cantos onde se possa depositar o pó.
49
Silos Metálicos
A maquinaria e as células de armazenamento terão sistemas de ventilação forçada, que absorva os pós
com separação através de ciclones e filtros.
Nalguns casos previne-se a possibilidade de uma explosão nas células e elementos mecânicos através
de gás inerte. Esta solução, muito prática e interessante, tem o inconveniente de representar um sério
perigo para as pessoas que, ocupadas da manutenção da instalação, tenham um descuido e possam
sofrer uma intoxicação (seria necessária a colocação de alarmes). Os gases mais utilizados são:
dióxido de carbono, nitrogénio, árgon, anidrido sulfuroso e diclorometano.
A protecção mediante gás inerte não é recomendável para pó de alumínio, plásticos e celulose, que na
sua decomposição dão origem a oxigénio ou outro gás combustível que anula os efeitos do gás inerte.
Aberturas para prevenir danos da explosão
O dimensionamento de estruturas nas quais possa ocorrer uma explosão tem de se efectuar mediante
elementos débeis em vãos de paredes que permitam manter a estabilidade do edifício.
Em instalações de grande altura o problema é muito mais grave, e as normas exigem que se cumpram
medidas tais como prever uma abertura de 1 metro quadrado por cada 15 metros cúbicos de volume.
Se a estrutura é hermética e está construída com paredes de betão armado, pode-se considerar que por
cada metro quadrado de abertura deve existir um volume de 24 metros cúbicos.
Na hora de apagar um incêndio provocado por uma nuvem de pó, o melhor é utilizar pequenas
mangueiras com pulverizador já que com uma mangueira de grandes dimensões podem levantar-se
novas nuvens de pó que produzirão outras explosões.
No caso de pós metálicos tais como magnésio, alumínio, titânio, etc., a melhor maneira de apagar o
incêndio é mediante a aplicação de produtos inertes tais como areia ou talco. A administração de água
nestes casos, mais não faz que avivar o fogo.
5.2 AQUECIMENTO ESPONTÂNEO
O aquecimento espontâneo começa com uma pequena oxidação que provoca um ligeiro aquecimento e
este processo acelera até que se dá uma rápida oxidação. Poucos detalhes se conhecem sobre estes
complicados processos. Produtos agrícolas tais como feno, cereais, alimentos e estrume aquecem,
começando a arder espontaneamente.
O aquecimento de trigo, milho, aveia, ainda que não produza incêndio, pode afectar os valores
nutritivos, os quais indicam que as precauções no manejo e armazenamento de cereais tenham de ser
cumpridas.
No caso de estrume, a ignição espontânea deve-se a dois processos. Primeiro: aquecimento até 77º C
devido à acção micróbia; segundo: aquecimento devido a um processo de oxidação.
A acção micróbia pode ser prevenida controlando a humidade e ventilação. O aquecimento pode
retardar-se mediante uma adequada ventilação.
Actualmente existem sistemas de insuflação de ar frio que permitem armazenar cereais com
humidades superiores a 20%. Neste caso torna-se imprescindível a colocação de uma rede de sondas
termométricas, com controlo de leitura contínua e automática de temperaturas, prevendo um alarme
quando se passar uma temperatura pré-estabelecida.
50
Silos Metálicos
5.3 ESTUDO QUANTITATIVO DOS FACTORES QUE INFLUENCIAM A EXPLOSÃO DE PÓ DE PRODUTOS
COMBUSTÍVEIS
Para que uma explosão ocorra, vários parâmetros têm que ser atendidos:
Granulometria dos produtos: é um factor fundamental e pode dizer-se que abaixo de
200 µ todo o pó de material combustível é explosivo;
Energia de inflamação: a energia procedente de uma fonte eléctrica necessária para
inflamar uma nuvem de pó combustível no ar ou em qualquer outra atmosfera
comburente é de 10 m/ joule para os pós mais inflamáveis e 1 joule para os menos
inflamáveis;
Concentração mínima explosiva: corresponde ao limite inferior de explosividade do gás.
A escala é da ordem de 50 g m 3 ;
Pressão da explosão: as cifras normais que se mediram são de 2 a 8 k g cm 2 ;
O gradiente das máximas pressões no caso de uma explosão pode variar entre 35 e 316
kg cm 2 segundo ;
Temperatura de inflamação da nuvem: pode estar compreendida entre 400 e 1000 º C;
Coesão do pó: caracterizado pela propensão do pó em elevar-se pela acção de uma
corrente de ar; no entanto e ao contrário do gás, o pó em suspensão tem tendência a
sedimentar-se não sendo inofensivo. Por causas fortuitas e apesar do efeito de uma
pequena explosão local, podem voltar a estar em suspensão e tornar à sua perigosidade
explosiva;
Trabalho em atmosfera inerte: pode-se estimar que a maioria das explosões não se podem
produzir numa atmosfera com menos de 10% de oxigénio. A contribuição de um gás
inerte anula completamente a possibilidade de explosão.
5.4 ANÁLISE MATEMÁTICA DE UMA EXPLOSÃO DE PÓ
A explosão produzida por uma nuvem de pó de produtos combustíveis causa danos que são função da:
Pressão máxima criada no recinto pela explosão de pó;
Velocidade de crescimento da pressão no curso da explosão;
Resistência do recinto onde se produz a explosão, ou, dito de outra forma, do coeficiente
de ventilação que é a relação existente entre a superfície total de aberturas e o volume do
recinto.
Conhecidos os dois parâmetros (pressão máxima da explosão e velocidade de crescimento da pressão
no curso da explosão) pode-se calcular a resistência de um dado recinto.
Realizaram-se ensaios como o representado na figura 5.1. O recinto tem um volume de 1,30 litros e
está servido de uma abertura superior onde se pode colocar um tampão com orifício central variável,
que permita obter para cada ensaio o coeficiente de ventilação correspondente. Pode-se comprovar que
existe um limite superior da velocidade de crescimento da pressão no curso da explosão devida à
quantidade de oxigénio presente no recinto. Para um dado volume de um recinto fechado há uma
superfície óptima de partículas; qualquer tentativa para aumentar a velocidade de crescimento da
pressão, aumentando a superfície das partículas ou fazendo diminuir a distância que as separa, seria
limitada pela quantidade de oxigénio existente.
51
Silos Metálicos
Por outro lado, há que ter em conta que os ensaios realizados em laboratório com recipientes pequenos
em que se garante a homogeneização do recinto onde se vai ensaiar a explosão, difere muito da
realidade com grandes volumes e onde a distribuição de pó não é uniforme. Os resultados obtidos em
laboratório são considerados como aproximados.
Fig. 5.1- Dispositivo para estudo de explosões
O resumo destes resultados indica que a pressão máxima de explosão está compreendida entre os 2,8 e
5 k g cm 2 . A velocidade máxima de crescimento da pressão durante a explosão varia entre 35 e 316
k g cm 2 por segundo.
Quanto ao coeficiente de ventilação efectuaram-se duas explosões em silos reais provocadas mediante
suspensão de partículas metálicas, considerando-se um coeficiente de ventilação de 19 m 2 m 3 e não
aparecendo nenhum desgaste na estrutura. Apenas se apreciaram os danos causados pelo incêndio que
apareceu posteriormente à explosão e que foi imediatamente apagado.
O resultado dos ensaios efectuados deu origem a um gráfico que permite determinar a pressão de
explosão ou o coeficiente de ventilação.
Fig. 5.2- Determinação da pressão de explosão
52
Silos Metálicos
Conclusões:
Três tipos de pós são explosivos: pós metálicos, plásticos e agrícolas;
As pressões máximas de explosão dão-se com produtos agrícolas, sendo estes os mais perigosos e o
que maiores danos causam; seguem-se-lhes os materiais plásticos e por último, os materiais metálicos;
Os produtos que normalmente se armazenam têm as seguintes pressões máximas de explosão:
Amido de trigo……………………....................................................... 7,0 k g cm 2
Farinha de trigo...................................................................................... 6,4 k g cm 2
Pó de arroz…………………………………………………………..... 6,5 k g cm 2
Pó de milho…………………………………………………............….6,7 k g cm 2
Amido de milho……………………………………………….….... .... 8,1 k g cm 2
Pó de cereais……………………………………………………......…. 6,8 k g cm 2
Açúcar em pó…………………………………………………...……. 6,4 k g cm 2
Proteína de soja……………………………………………………….. 5,5 k g cm 2
53
Silos Metálicos
54
Silos Metálicos
6
SILO CIRCULAR
6.1. INTRODUÇÃO
O objectivo deste trabalho é o de dimensionar silos metálicos. Neste capítulo mostram-se os passos a
seguir para a obtenção de esforços num silo circular, para depois serem verificados pelas regras do
Eurocódigo 3 (Parte 4.1) [4].
Anteriormente foram definidas as pressões a que as paredes e a tremonha do silo estão sujeitas. Neste
capítulo definem-se os esforços que se desenvolverão nas paredes do silo. Estes resultados são depois
comparados com os seus respectivos valores resistentes.
Tensões resultantes na parede do silo:
Devido às diferentes acções a que o silo está submetido, dois tipos de esforços são gerados: esforços
de membrana e momentos.
O esforço de membrana σ m corresponde a uma força por unidade de comprimento n :
σm =
n
t
(6.1)
Em que t é a espessura da casca. Esta equação é igualmente válida para análise elástica e plástica.
Fig. 6.1-
Resultantes de esforços de membrana
55
Silos Metálicos
Fig. 6.2-
Esforços de membrana
Os esforços de membrana podem ser determinados quer utilizando a teoria de membrana, quer a teoria
de flexão de cascas. Quando os cálculos são utilizados no caso de cascas de pequena espessura
submetidas a carregamentos axissimétricos, os valores obtidos pela teoria de flexão são mais precisos,
mas normalmente é pequena a diferença, excepto nas zonas fronteira, descontinuidades e junções.
6.2. TIPOS DE ANÁLISE
6.2.1 TEORIA DE MEMBRANA
Esta teoria tem sido amplamente utilizada para analisar e dimensionar grande parte dos pequenos e
médios silos. É geralmente adequada para o dimensionamento sob condições simétricas, apesar do
efeito causado pelos momentos locais não poder ser avaliado. Sob condições não simétricas, os
resultados obtidos segundo esta teoria são insuficientes.
6.2.2 TEORIA DE FLEXÃO DE CASCAS
É exigida a utilização desta teoria em situações nas quais existam momentos locais.Sob condições não
simétricas a teoria de flexão de cascas tem de ser sempre utilizada. Sendo preciso este tipo de análise,
o recurso a elementos finitos torna-se imprescindível.
6.2.3 ANÁLISE DESENVOLVIDA
O silo em estudo pode ser considerado um silo pequeno, e por isso a teoria que será aplicada será a
teoria de membrana, com a devida atenção aos momentos locais. Foram seguidas as regras dispostas
no Eurocódigo 3, Parte 4.1.
6.3. COMBINAÇÕES DE ACÇÕES E FACTORES PARCIAIS
Para o dimensionamento de um silo metálico, as combinações a realizar bem como os factores parciais
a aplicar a cada tipo de força (caso se tratem de forças favoráveis/desfavoráveis ou
variáveis/permanentes) estão, respectivamente, apresentadas nas seguintes tabelas:
56
Silos Metálicos
Tabela 6.1 – Acções dominantes
Situação de
dimensionamento
Esvaziamento do
material
Acções
permanentes
Peso próprio
Cargas impostas ou
deformação
Peso próprio
Neve
Peso próprio
Vento e enchimento
Peso próprio
Vento e esvaziamento
Peso próprio
Temperatura
Peso próprio
Assentamento da
fundação
Peso próprio
Explosão
Peso próprio
Impacto de um veículo
Peso próprio
Acção variável
1
Assentamento
da fundação
Enchimento de
material
Enchimento de
material
Enchimento de
material
Esvaziamento
de material
Enchimento de
material
Esvaziamento
de material
Enchimento de
material
Enchimento de
material
ψ0
1,0
1,0
Acção variável 2
ψ0
Neve, vento ou
temperatura
Cargas impostas
ou deformação
Neve, vento ou
temperatura
0,7
Neve, vento ou
temperatura
0,6
0,6
0,6
1,0
1,0
0,0
1,0
1,0
ψ1
0,9
0,3
Cargas impostas
ou deformação
Cargas impostas
ou deformação
ψ2
0,3
0,3
Tabela 6.2 – Factores parciais
Efeito da acção
desfavorável
Material armazenado
sólidos tóxicos,
corrosivos ou
perigosos
Acções variáveis
Acções permanentes
1,75
1,35
outros sólidos
1,5
1,35
desfavorável
6.4. PAREDES CILÍNDRICAS
6.4.1. GERAL
Tendo por base a teoria de membrana, as resultantes bidimensionais do campo de esforços de
membrana resultantes n xSd , nθSd e n xθSd (fig.6.2) são transformadas na tensão equivalente:
σ e, Ed =
1 2
n xSd + nθ2Sd − n xSd × nθSd + 3 × n x2θSd
t
(6.2)
57
Silos Metálicos
Podem-se ainda calcular para cada uma das direcções as tensões:
σ xEd =
n xSd mxSd
± 2
t
t 4
,
σ θEd =
nθSd mθSd
n
m
± 2 , τ xθEd = xθSd ± 2xθSd
t
t 4
t
t 4
(6.3)
Pela teoria de Von Mises, obtém-se a tensão equivalente:
2
σ eEd = σ xEd
+ σ θ2Ed − σ xEd × σ θEd + 3 × τ x2θEd
(6.4)
que será comparada com o valor resistente determinado tendo em conta as propriedades do aço
utilizado.
6.4.2. PAREDES CILINDRICAS SOB CARREGAMENTO SIMÉTRICO
6.4.2.1. Tensões de membrana
Tomando para valores de pressão normal à parede e de tracção de atrito p h e p w os valores obtidos na
secção 4.4.2.1 com a denominação de p he e p we respectivamente (associados ao esvaziamento do silo)
e para valores dos factores de descarga C h e C w os anteriores 1,15 e 1,10, resultam as seguintes
expressões para a p h em qualquer ponto à profundidade z :
ph = C h × p h 0 × (1 − e − z z0 )
(6.5)
E a para p w
p w = C w × µ × p h = C w × µ × p h 0 × (1 − e − z z0 )
(6.6)
Os esforços de dimensionamento desenvolvidos na parede (figs. 6.1 e 6.2), admitindo que é suportada
inferiomente, são então dados por:
nθ , Sd = γ F × C h × ph 0 × r × (1 − e − z z0 )
(6.7)
z

n x , Sd = −γ F × C w × µ × ph 0 × z 0 ×  − 1 + e − z z0 
 z0

(6.8)
em que γ F corresponde ao factor de segurança.
De notar que n x , Sd toma sempre valores negativos já que a parede está em compressão.
Para todos os casos de cargas simétricas, o valor do esforço de membrana resultante de
dimensionamento ne em cada ponto pode ser calculado baseado no critério de cedência de Von Mises:
2
ne = n xSd
− n xSd × nθSd + nθ2Sd
58
(6.9)
Silos Metálicos
6.4.2.2. Flexão local
Sob carregamentos axissimétricos, ocorrem fenómenos de flexão local próximos de zonas onde há
mudanças de espessura de parede, ou de um anel, ou de um anel-viga.
O valor de dimensionamento da tensão máximo σ mθ ,max, Sd é ligeiramente maior que o valor devido ao
esforço de membrana em resultado da flexão local, e tensões de flexão meridionais são também
induzidas próximas da fronteira com um valor de pico σ bx ,max, Sd caso a base esteja duplamente
apoiada.
σ mθ ,max, Sd = 1,07 × nθ ,Sd t
(6.10)
σ bx ,max, Sd = 0,59 × nθ ,Sd t
(6.11)
Ambas as tensões são aumentadas pelo esforço axial de compressão (comportamento não linear).
Contudo, esta verificação não precisa de ser realizada, caso se tenham em conta certas determinações
que serão apresentadas na secção 6.8.3.
6.5. TREMONHA
A tremonha suporta a pressão normal às suas paredes, e as tracções de atrito ao longo do seu
comprimento, que induzem um estado de tensão biaxial no elemento casca.
A seguinte análise segue a teoria de membrana para os casos de carga simples, o que é suficiente para
tremonhas com carregamentos simétricos, com excepção do seu topo, onde ocorrem significativos
momentos locais.
Os esforços a ter em conta nesta análise são devidos às flexões locais, já que são os esforços de flexão
junto do topo de tremonha (na área da junção de transição) os esforços críticos da estrutura.
59
Silos Metálicos
6.5.1. ESFORÇOS DE MEMBRANA
Fig. 6.3-
Esforços de membrana na tremonha
Os esforços de membrana máximos nφ e nθ (fig. 6.3) que resultam das pressões aplicadas à tremonha
(em termos genéricos, uma pressão normal e de atrito, pn e pt , retiradas do caso de esvaziamento)
podem ser determinados usando algumas expressões simplificadas. As pressões normal e de atrito
pn e pt são expressas através de:
p n = F × pv
(6.12)
pt = µ h × p n = µ h × F × p v
(6.13)
em que
n
γ × hh  x   x  
 x
pv =
×   −    + pvft ×  
n − 1  hh   hh  
 hh 


(6.14)
n = 2 × (F × µ h × cot β + F − 1)
(6.15)
1 + senφi × cos ε
1 − senφi × cos(2β + ε )
(6.16)
F=
60
n
Silos Metálicos

ε = tan −1 (µ h ) + sen −1 
1
 senφi

µ h2
1 + µ h2




(6.17)
Nas expressões (6.14) a (6.17), x representa a altura acima do vértice da tremonha, hh designa a
altura da tremonha (fig 4.1), µ h é o coeficiente de atrito da parede da tremonha, p vft é a pressão
vertical na transição e φ i é o ângulo de atrito interno do material armazenado.
Os valores de dimensionamento (tracções positivas) dos esforços de membrana nθSd e nφSd na
tremonha para este carregamento são definidos a partir destas quantidades através de
nθSd
nφSd
γ × h  x
h
=γF ×
× 
 (n − 1)  hh
 γ ×h
 x
h
=γF ×
× 
 3 × (n − 1)  hh
2
 
γ × hh   x
 +  p vft −
 × 
(
)
n
−
1

  hh




n +1

 × F × hh × sec β × tan β

2


γ × hh   x
1
 +
×
×  p vft −
n+2 
(n − 1)   hh




n +1
(6.18)

 × F × hh × sec β × (tan β + µ h )

(6.19)
Estes esforços são de novo combinados, obtendo-se a seguinte expressão de dimensionamento:
neSd = nθ2Sd − nθSd × nφSd + nφ2Sd
(6.20)
6.5.1.1. Localização dos esforços máximos
O esforço de membrana meridional (representado por nφ ) geralmente assume o seu valor máximo
junto da zona de transição, no topo da tremonha. Este esforço é particularmente importante para o
dimensionamento do anel (ou anel-viga) a instalar junto da transição. O seu valor é calculado pela
expressão que a seguir se apresenta, derivada da condição de equilíbrio da tremonha (fig. 6.4).
γ × hh   hh 

nφSd = γ F ×  p vft +
 ×   × sec β × tan β
3   2

(6.21)
61
Silos Metálicos
Fig. 6.4-
Esforços de membrana na tremonha
Quando se utilizam anéis muito esbeltos, este esforço assume um valor inferior ao obtido pela
expressão (6.21). No entanto, negligencia-se este efeito, para que se faça um dimensionamento
conservativo e pelo lado da segurança.
Se o silo tiver uma parede circular bastante alta acima da tremonha então:
p vft >
γ × hh
n −1
(6.22)
Quando a expressão (6.22) é verificada então o esforço máximo ocorre no topo da tremonha, sendo
aproximado por:
nθSd = γ F × p vft × F × hh × sec β × tan β
(6.23)
Se pelo contrário, a tremonha tiver uma parede baixa por cima, a inequação (6.22) não é satisfeita, e o
valor máximo da tensão por unidade de comprimento nφSd que se atinge no seu interior passa a ser
obtido através da equação (6.18), com
p vft × (n − 1)   n + 1 
x 
×
= 1 −

hh 
γ × hh   2 
(6.24)
6.5.1.2. Tensões devidas à flexão local (na tremonha, junto à transição)
O topo da tremonha, tal como foi dito anteriormente, é um local ao qual se deve prestar especial
atenção devido à magnitude dos esforços criados por fenómenos de flexão localizada.
Os silos da classe tipo 1 não precisam de passar por esta verificação.
No entanto, e a título informativo, apresenta-se a metodologia de cálculo (manual) para os esforços
devido à flexão local, baseados no Eurocódigo 3 Parte 4.1.
62
Silos Metálicos
A força radial Fe , Sd e o momento M e, Sd a actuar no anel de transição são determinados através de:
Fe , Sd = nφSd × sin β − Fh − Fc
(6.25)
M e , Sd = Fc × xc − Fh × x h
(6.26)
em que:
Fc = 2 × xc × p c
(6.27)
Fh = 2 × xh × (0,85 − 0,15 × µ h × cot β ) × ph
(6.28)
xc = 0,39 × r × t c
(6.29)
r × th
cos β
(6.30)
xh = 0,39 ×
Nas expressões (6.25) a (6.30), t h é a espessura da parede da tremonha, t c é a espessura da parede
cilíndrica junto da transição, r é o raio da transição (igual ao raio do topo da tremonha), β é o semi
ângulo do vértice da tremonha, µ h é o coeficiente de atrito da parede da tremonha, nφSd é o valor de
dimensionamento da tensão meridional no topo da tremonha, p h é o valor local da pressão normal na
tremonha abaixo da transição e p c é o valor local da pressão normal na parede do cilindro acima da
transição.
Fig. 6.5-
Compressão na zona de transição
63
Silos Metálicos
O tensão de flexão σ bφh , Ed no topo da tremonha (fig. 6.5) é determinada por:
6
2
 th
σ bφh, Ed =   × {(a 2 − 2 × a1 × η ) × M e, Sd − ρ × (a3 − a 2 × η ) × Fe, Sd }− 
6
∆

 × Fe , Sd × x h

(6.31)
com
∆ = 2 × a1 × a 3 − a 22
(6.32)
ρ = 0,78 × r
(6.33)
η = t h × cos β
(6.34)
a1 = t s3 2 + t c3 2 +
t h3 2
cos β
+
Aep
ρ
(6.35)
a 2 = t s2 − t c2 + t h2
(6.36)
a3 = t s5 2 + t c5 2 + t h5 2 × cos β
(6.37)
Nas expressões (6.31) a (6.37), t h representa a espessura da parede da tremonha, t c a espessura da
parede cilíndrica na transição, t s a espessura da “saia” abaixo do anel da transição, Aep a área do anel
na transição e r é o raio da transição (topo da tremonha).
6.6. SILOS SOBRE SUPORTES DISCRETOS
6.6.1. EFEITO DOS SUPORTES DISCRETOS
Nas figuras 6.6 e 6.7 ilustram-se diferentes tipos de suportes e exemplos da forma dos anéis de
transição, respectivamente.
64
Silos Metálicos
Fig. 6.6-
Fig. 6.7-
Diferentes arranjos possíveis em silos apoiados em suportes
Pormenores da ligação entre suporte e zona de transição
No caso de silos largos, o modelo de dimensionamento considera que a parede cilíndrica do silo fica
apoiada de uma maneira uniforme no anel-viga (fig. 6.8), funcionando este último como uma viga
curva que redistribui as cargas. De salientar que este modelo é apenas válido caso se usem anéis-viga
muito rígidos. Em termos de flexão, uma viga larga é relativamente flexível, enquanto que uma parede
cilíndrica é razoavelmente rígida para deslocamentos verticais na sua base (fig.6.8 ). Caso o anel-viga
não seja suficientemente rígido, corre-se o sério risco de se obterem valores de tensão vertical na
parede do silo acima do anel, e esforços de membrana meridionais na tremonha junto do apoio,
superiores aos calculados, levando a fenómenos locais de varejamento no cilindro, e falhas por ruptura
na tremonha.
65
Silos Metálicos
6.6.2. PAREDES CILÍNDRICAS SOBRE APOIOS DISCRETOS
Quando um silo é suportado por apoios discretos não têm de ser tomados especiais cuidados de análise
de esforços, caso tenhamos um silo de classe 1.
Para silos de classe 2, os requisitos expostos no Eurocódigo 3 Parte 4.1. devem ser cumpridos ou ainda
feito o dimensionamento completo de um anel-viga.
Para silos de classe 3, é requerido um criterioso estudo com análise em elementos finitos de modo a
determinarem-se as tensões locais associadas aos suportes.
6.6.3. TREMONHAS DE SILOS SUPORTADAS POR APOIOS DISCRETOS
Um silo suportado por apoios discretos fica sujeito a esforços superiores àqueles que teria caso fosse
suportado por apoios uniformes. O esforço mais significativo e importante está associado ao esforço
de membrana no topo da tremonha junto ao apoio, nφ max, Sd .
Uma determinação correcta deste esforço seria obtida por uma análise com elementos finitos. No
entanto também se pode aproximar conservativamente por:
nφ max, Sd = nφh,Sd + nφ sup x ,Sd
(6.38)
Obtendo-se nφh ,Sd pela equação (6.21), e nφ sup x , Sd por:
nφ sup x , Sd =
QSd
2,4 × r × t h × cos β
×
1
(6.39)
32


 
tc
1
 
1 +
× 
 cos β  t h × cos β  
Em que QSd é a reacção vertical no apoio do silo.
Esta forma manual de obter o esforço meridional máximo é bastante aproximada, mas serve para se ter
a ideia do possível perigo de um elevado esforço de membrana meridional de pico, pela existência de
apoios discretos como suporte do silo.
6.7. ANÁLISE DO ANEL VIGA
6.7.1. ESFORÇOS RESULTANTES NO ANEL VIGA
Normalmente, quando um silo é suportado por apoios discretos instala-se no silo um anel-viga. Não é
clara a interacção entre o anel-viga e a parede.
A interacção entre os dois e o modelo seguido são apresentados na figura 6.8. A notação usada
apresenta-se na figura 6.9.
66
Silos Metálicos
Fig. 6.8-
Relação assumida entre o anel e a parede cilíndrica
Fig. 6.9-
Notação do anel-viga e excentricidades
A força vertical (de sentido descendente) uniformemente distribuída wv , Sd transversal ao anel (fig.
6.10), é calculada como:
wv ,Sd = − n xc,Sd + nφh ,Sd × cos β
(6.40)
67
Silos Metálicos
Em que:
n xc , Sd é o valor de dimensionamento do esforço de membrana meridional por unidade de
circunferência na parede imediatamente acima do anel;
nφh,Sd é o valor de dimensionamento do esforço de membrana meridional no topo da tremonha;
β é o semi-ângulo da tremonha.
Fig. 6.10- Forças aplicadas ao anel-viga
A força radial por unidade de comprimento (centrípeta) no anel (fig.6.10)vale:
wr ,Sd = nφh , Sd × sin β
(6.41)
A força circunferencial (negativa de compressão) que se desenvolve no anel (fig.6.5) é:
N Sd = − wr , Sd × r + p c × r × l ec + p h × (cos β − µ h × sin β ) × r × l eh
(6.42)
Em que:
r é o raio da parede cilíndrica do silo;
er é a excentricidade horizontal do centróide do anel viga da parede do silo (positivo no sentido
centrífugo)(fig. 6.9);
l ec é o comprimento efectivo do segmento do cilindro acima da transição (fig. 6.5);
leh é o comprimento efectivo do segmento da tremonha (fig. 6.5);
p c é a pressão local média actuando no comprimento efectivo do segmento do cilindro(fig. 6.5);
p h é a pressão média actuando no comprimento efectivo do segmento da tremonha(fig. 6.5);
µ h é o coeficiente de atrito da parede da tremonha.
68
Silos Metálicos
O momento de flexão no anel-viga varia ao longo da circunferência. Para a coordenada polar θ ,
medida do centro de um dos suportes, o momento M r , Sd (positivo segundo a regra do saca-rolhas)
segundo o eixo radial do anel-viga vale:
[
]
M r , Sd = (rg − er )× {wv , Sd × (rg − es )× θ 0 × (sin θ + cot θ 0 × cos θ ) − rg + er + wr , Sd × e x }
(6.43)
E o momento torsor TSd relativo ao eixo da circunferência, em qualquer ponto:
[
]
TSd = (rg − er )× wv ,Sd × (rg − e s )× θ 0 × (cot θ 0 × sin θ − cos θ ) + rg × (θ 0 − θ )
(6.44)
Com:
θ0 =
π
n
(em radianos)
(6.45)
Em que:
rg é o raio do centróide do anel viga;
θ é a coordenada polar em radianos, com origem num dos suportes;
θ 0 é o ângulo de circunferência em radianos, de metade do vão entre dois suportes;
n é o numero de suportes discretos ao longo da circunferência do silo.
es é a excentricidade horizontal do centróide do anel viga relativamente ao apoio discreto (positivo no
sentido centrifugo) (fig.6.9);
e x é a excentricidade vertical do centróide do anel viga relativamente à junta de transição (positivo no
sentido descendente) (fig.6.9).
Os valores máximos dos momentos de dimensionamento (regra do saca-rolhas) em relação ao eixo
radial, que ocorrem no suporte M rs , Sd , e a meio vão M rm , Sd podem ser determinados a partir de:
[
]
M rs , Sd = (rg − er )× {wv , Sd × (rg − es )× θ 0 × cot θ 0 − rg + er + wr , Sd × e x }
[
]
M rm, Sd = (rg − er )× {wv , Sd × (rg − e s )× θ 0 × cos ecθ 0 − rg + er + wr , Sd × e x }
(6.46)
(6.47)
Quando o anel-viga tem uma secção aberta, considera-se que a torção é inteiramente resistida pela
secção, caso não se use uma análise mais precisa. Tal acontecendo, os valores de dimensionamento
máximos em cada um dos banzos ( M fs , Sd no suporte, e M fm , Sd a meio vão) são obtidos através de:
69
Silos Metálicos
M fs , Sd = wv , Sd
rg × (rg − er ) 
rg × θ 02 
×
× (rg − es )× (1 − θ 0 × cot θ 0 ) −

h
3 

M fm , Sd = wv ,Sd
rg × (rg − er ) 
rg × θ 02 
×
× (rg − es )× (1 − θ 0 × cos ecθ 0 ) −

h
6 

(6.48)
(6.49)
Em que h é a separação vertical entre banzos.
6.7.2. TENSÕES MÁXIMAS NO ANEL VIGA
O valor máximo da tensão circunferencial σ θ , Ed (quer seja de tracção quer seja de compressão), que se
desenvolve no anel viga em qualquer posição da circunferência, é determinado utilizando σ mθ , Ed :
σ mθ , Ed =
N Sd M rSd M f , Sd
+
+
Aet
Zr
Z xf
(6.50)
Onde:
N Sd é o valor de dimensionamento da força circunferencial efectiva de compressão;
Aet é a área efectiva total do anel;
M r , Sd é o momento flector no anel, segundo o eixo radial;
Z r é o módulo elástico da secção do anel, segundo o eixo radial
M fSd é o momento num banzo do anel segundo o eixo vertical causado por torção;
Z xf é o modulo elástico da secção do banzo isolado do anel segundo um eixo vertical.
O maior valor da tensão na circunferência σ θ , Ed que se desenvolve em qualquer dos banzos do anelviga e em qualquer posição da circunferência deve ser determinado como σ cθ , Ed antevendo uma
verificação ao varejamento. Esta verificação deve ser feita no banzo inferior próximo do apoio e no
banzo superior a meio vão.
σ cθ , Ed = − max(−σ θ , Ed )
70
(6.51)
Silos Metálicos
VERIFICAÇÃO ESTRUTURAL DO SILO
A verificação estrutural do silo circular é feita de acordo com as regras do Eurocódigo 3, Parte 4.1.
Para cada uma das combinações de dimensionamento, cada um dos valores de dimensionamento
obtidos S deverá ser sempre inferior ao valor de dimensionamento resistente R :
S≤R
(6.52)
(Para silos de classe 1, existe um processo simplificado para verificar estruturalmente o silo definido
no apêndice F do Eurocódigo 3).
Tabela 6.3 – Factores parciais
Resistência
Resistência de paredes soldadas ou aparafusadas
ao estado limite plástico
Resistência de paredes soldadas ou aparafusadas
à ruptura
Resistência de paredes à plasticidade cíclica
Estabilidade da parede
Resistência da parede à fadiga
Resistência das conexões
Aplicável
Valor de
γM
γM
γ M 1a
1,10
γ M 1b
1,25
γM2
γ M3
γM4
γ M5
1,00
1,10
1,10
1,25
6.8. PAREDES CILÍNDRICAS
6.8.1. ESTADOS LIMITE PARA AS PAREDES
São os seguintes os estados limite a serem considerados na verificação da resistência da estrutura:
colapso plástico ou ruptura da parede;
varejamento sob compressão axial;
varejamento sob pressão externa, vácuo parcial e vento;
varejamento sob esforço transverso de membrana;
varejamento ou colapso plástico próximo do suporte ou de um detalhe.
71
Silos Metálicos
6.8.2. RUPTURA DA PAREDE DO SILO
6.8.2.1. Geral
Sob o carregamento do material sólido armazenado e as outras acções relevantes a considerar, a
resistência de dimensionamento tem de ser verificada em cada um dos pontos da estrutura.
O valor de dimensionamento da resistência à ruptura é dado por:
f e , Rd =
fy
γ M 1b
(6.53)
Em todos os pontos da estrutura, ter-se-á que verificar se:
σ e, Ed ≤ f e, Rd
(6.54)
Em que σ e , Ed é o valor de tensão efectiva de dimensionamento (fig.6.11).
Fig. 6.11- Interacção entre forças de membrana
6.8.2.2. Juntas aparafusadas
Em todas as juntas aparafusadas, a resistência será avaliada de acordo com o Eurocódigo 3 Parte 1.1
ou Eurocódigo 3 Parte 1.3 como for apropriado.
A resistência da secção eficaz é avaliada, utilizando a secção reduzida para cada uma das direcções:
n x , Rd = f u ×
72
(sθ − d ) × t
sθ × γ M 1b
(6.55)
Silos Metálicos
nθRd = f u ×
(s x − d ) × t
s x × γ M 1b
(6.56)
Em que:
d é o diâmetro do parafuso;
t é a espessura da placa aparafusada mais fina ;
s x é a separação axial do centro da abertura;
sθ é a separação circunferencial da abertura da soldadura;
f u é a tensão ultima do material.
A resistência de corte dos parafusos em cada direcção deverá ser também avaliada e, onde um esforço
de membrana de corte seja transmitido pela junta, a resistência ao corte de membrana n xθ , Rd deve
também ser verificada.
Os esforços de dimensionamento devem então verificar as seguintes condições:
n xSd ≤ nxRd
(6.57)
nθSd ≤ nθRd
(6.58)
n xθSd ≤ nxθRd
(6.59)
6.8.3. VERIFICAÇÃO DA COMPRESSÃO AXIAL (VAREJAMENTO)
6.8.3.1. Geral
Sob compressão axial, a resistência de dimensionamento é determinada em qualquer ponto da casca de
acordo com o parâmetro da qualidade de construção Q , a intensidade da pressão interna existente p e
a uniformidade da tensão de compressão. A verificação deverá ser feita em todos os pontos da placa.
6.8.3.2. Resistência Crítica de Varejamento da Parede Cilíndrica
Apesar de o esforço de varejamento elástico crítico da parede isotrópica não poder ser alcançado na
prática, é utilizado na avaliação da resistência da parede.
A resistência crítica de varejamento é obtida por:
σ xRc =
E
(
3 × 1 −ν 2
)
×
t
t
= 0,605 × E ×
r
r
(6.60)
73
Silos Metálicos
6.8.3.3. Valores de Dimensionamento das Tolerâncias de Imperfeições Geométricas de Fabricação
A qualidade de fabricação é um factor muito importante para a quantificação da resistência da parede.
O parâmetro que a quantifica Q é obtido através da tabela 6.4 de acordo com a classe do silo.
A amplitude da imperfeição vale:
wok =
t
r
×
Q
t
(6.61)
A fig. 6.12 mostra a relação entre as imperfeições admitidas para diferentes tipos de construção
(normal, boa e excelente).
Tabela 6.4 – Classes de qualidade em cascas cilíndricas
Tolerância de fabricação
da construção
Descrição
Parâmetro de
qualidade Q
Classe A
Classe B
Classe C
Excelente
Alta qualidade
Normal
40
25
16
Restrições de classe
Apenas permitido para silos de classe 3
Obrigatório para silos de classe 1
Fig. 6.12- Tolerâncias de imperfeição para diferentes qualidades de fabricação
6.8.3.4. Redução da resistência elástica devido às imperfeições geométricas
As imperfeições geométricas das paredes do silo são deveras importantes para a determinação da sua
resistência máxima. A sua existência determina uma redução a essa mesma resistência, redução essa
quantificada pelo parâmetro α , cujo valor varia entre 0 e 1.
Três valores de α são calculados: α 0 para o caso de compressão axial sem pressão interna; α pe
quando a pressão interna aumenta a capacidade da parede para fenómenos de varejamento; e
74
Silos Metálicos
α pp quando elevadas pressões reduzem a resistência ao varejamento induzindo o efeito plástico de
“pé-de-elefante”.
O parâmetro α 0 é calculado através de:
α0 =
0,62
w 
1 + 1,91 ×ψ ×  ok 
 t 
1, 44
(6.62)
Em que wok é determinado pela expressão (6.61). O parâmetro ψ é de uma forma conservativa
tomado como 1.
Devido à existência de dois fenómenos distintos (o aumento de rigidez da parede aquando do aumento
da pressão e a posterior diminuição pelo fenómeno plástico de “pé-de-elefante”), o factor de
imperfeição elástico (com pressão) α p , é tomado como o menor dos parâmetros α pe e α pp .
O factor de imperfeição elástica (com pressão) α pe é calculado tendo em conta a menor das pressões
localizadas no ponto em estudo, coexistente com o esforço de compressão axial. Vale então:
α pe


p

= α 0 + (1 − α 0 ) × 
0,3
 p+

α0

p=







(6.63)
p×r
t × σ xRc
(6.64)
σ x, Rc é a resistência crítica ao varejamento dada pela equação (6.60) e p = p hf ,min é o valor mínimo
de pressão interna existente na parede.
O factor de imperfeição plástico (com pressão) α pp é calculado com o valor da maior pressão interna
coexistente com o esforço axial de compressão.
α pp
 
p

= 1 − 
 2
  λ x




2

1
  s 2 + 1,21 × λ2x
 
×
 × 1 −
32  
  1,12 + s   s × (s + 1)




(6.65)
sendo,
p=
p×r
t × σ x.Rc
(6.66)
s=
1
r
×
400 t
(6.67)
75
Silos Metálicos
e
λ2x =
fy
σ x , Rc
(6.68)
Na expressão (6.66) p é o valor de pressão interna máxima aquando da descarga, com γ F = 1,50 .
Para o caso de silos de classe 1, α p toma o valor de α 0 , o que equivale a não se permitir um aumento
da resistência da parede por meio da pressão interna.
6.8.3.5. Resistência característica ao varejamento
O valor da tensão característica ao varejamento, menor que o valor crítico, é calculado usando
α = α p (excepto, tal como referido, para silos de classe 1):
σ x, Rk = κ x × f y
(6.69)
Em que:
κ x = 1 quando λ x < λ0
 λ x − λ0 
 quando λ < λ < λ
0
x
p
λ −λ 
0 
 p
κ x = 1 − 0,6 × 
κx =
α
λx
2
(6.70)
(6.71)
quando λ p < λ x
(6.72)
Dos quais:
λx =
76
fy
σ xRc
(6.73)
λ0 = 0,2
(6.74)
λ p = 2,5 × α
(6.75)
Silos Metálicos
O valor de dimensionamento da resistência ao varejamento é obtido através do valor característico por:
σ xRd =
σ xRk
γ M3
(6.76)
O valor de dimensionamento da tensão axial na parede deverá verificar a seguinte condição:
n x , Sd
t
= σ x , Ed ≤ σ x , Rd
(6.77)
6.8.4. PRESSÃO EXTERNA, VÁCUO PARCIAL INTERNO E VENTO
Pela acção do vento ou de vácuo o silo pode sofrer uma deformação por varejamento ao longo de toda
a altura do silo, ou entre uma mudança de espessura da placa, ou anéis. É por isso importante fazer
esta análise por segmento de placa entre elementos rígidos.
A pressão externa crítica indutora de varejamento, para o caso de uma parede isotrópica, é
determinada por:
r t 
pnRcu = 0,92 × Cb × C p × E ×   ×  
l  r
2 ,5
(6.78)
Em que:
t é a menor das espessuras da parede;
l é a altura entre anéis ou fronteiras rígidas;
p n , Rcu é a diferença entre a pressão exterior e interior, sendo positiva quando actua no sentido
centrípeto.
O parâmetro C b é atribuído de acordo com a tabela 6.5.
Tabela 6.5 – Valores de
Cb
Condição fronteira no topo
do silo
Tecto do silo
estruturalmente conectado
à parede (contínuo)
Anel superior maior que o
de tamanho critico
Anel superior menor que
o de tamanho critico
Cb
1.0
1.0
0.6
77
Silos Metálicos
C p é obtido pela fórmula:
Cp =
2,2

r
r
1 + 0,1 × C b × ×



l
t


(6.79)
A pressão de dimensionamento máximo a que o silo estará sujeito, sob a acção do vento ou do vácuo
parcial, vale:
p nRd = α n ×
p nRcu
(6.80)
γ M3
Em que:
α n = 0,5
Mais uma vez, a seguinte condição terá se ser respeitada:
p Sd ≤ p nRd
(6.81)
Sendo p Sd o valor de dimensionamento da pressão externa máxima derivada da acção do vento ou do
vácuo parcial.
A acção do vento e/ ou do vácuo parcial podem induzir fenómenos de varejamento não só nas paredes
do silo, mas também nos anéis, caso estes não sejam suficientemente rígidos. Convém por isso garantir
uma inércia mínima nesses anéis para que este fenómeno não ocorra.
Regula-se por isso um valor de rigidez à flexão crítico EI z , segundo o eixo vertical do anel, que é
dado pelo maior dos dois valores:
EI z , min = 0,1 × E × L × t 3
EI z ,min =
E × L × r 2 × t  2 × p nRd × a1 × r 2  r 
− 

48 × a 2  E × wr max × t
L
(6.82)
2



Em que:
p n, Rd é o valor máximo de cálculo da pressão exterior (devida ao vento ou vácuo parcial);
I z é o momento de inércia do anel para a flexão circunferencial;
L é a altura da parede vertical;
t corresponde à espessura da parede vertical;
r o raio da parede cilíndrica;
a1 , a 2 e a3 são parâmetros de cálculo dados por (6.86), (6.87) e (6.88), respectivamente.
78
(6.83)
Silos Metálicos
wr max corresponde ao valor máximo permitido para a deformação radial sob a acção do vento, e
tomado como o menor dos valores:
wr max = 0,05 × r
(6.84)
wr max = 20 × t
(6.85)
Sendo t a menor das espessuras da parede do silo e r o raio da parede cilíndrica.
r
a1 = 1 + 2,6 ×  
L
2
r
a 2 = 1 + 1,95 ×  
L
a 3 = 48 ×
(6.86)
2
Iz  L 
 
3
r ×t  r 
(6.87)
3
(6.88)
6.8.5. FADIGA
Existe regulamentação a seguir para o caso dos silos de classe 3 (ENV 1993-1-6). Para outras classes,
os fenómenos de fadiga só devem ser estudados quando hajam mais de 10 000 ciclos de carga/
descarga.
6.9. TREMONHAS CÓNICAS
Na verificação da resistência da tremonha são estudados dois estados limite:
Ruptura da parede;
Colapso plástico da tremonha.
6.9.1. RUPTURA DA PAREDE
Faz-se uma distinção entre silos construídos por soldadura e aparafusados.
6.9.1.1. Silos construídos por soldadura
Os esforços de membrana têm que respeitar:
ne , Rd = t ×
fy
γ M 1b
(6.89)
79
Silos Metálicos
Com o valor obtido da expressão (6.20) há que verificar se:
ne , Sd ≤ ne , Rd
(6.90)
6.9.1.2. Silos com ligações aparafusadas
É necessário verificar todas as juntas da tremonha ligadas por parafusos.
A resistência na secção efectiva tem de ser avaliada em cada uma das direcções, sendo dada por:
nφRd = f u ×
e
nθRd = f u ×
(sθ
− d )× t
sθ × γ M 1b
(s
φ
− d )× t
sφ × γ M 1b
(6.91)
(6.92)
Será então necessário verificar
nφSd ≤ nφRd
(6.93)
nθSd ≤ nθRd
(6.94)
nφθSd ≤ nφθRd
(6.95)
6.9.1.3. Ruptura da transição
Qualquer que seja o tipo de silo construído (ora por soldadura, ora com ligações aparafusadas), é
obrigatório o estudo da ruptura na zona da transição. A tremonha recebe grande parte dos esforços
devidos ao peso próprio do material armazenado, esforços esses que passam pela zona da transição (de
fabrico delicado e difícil), e daí a atenção requerida neste local.
As cargas existentes na transição dificilmente serão simétricas, e por isso o Eurocódigo usa um factor
amplificador de 1,2 para o esforço de membrana actuante.
Quando a junta da transição tem uma força pelo menos igual à da placa mais fina contígua, a ruptura
da junta de transição precede o colapso plástico da tremonha (fig. 6.13) no caso de tremonhas
inclinadas e de paredes rugosas.
A junta de transição é o elemento mais crítico no dimensionamento da tremonha.
Muitas vezes aumentam-se as espessuras das paredes confluentes na zona da transição com o objectivo
de tornar a junta mais resistente (e não para melhor resistir aos elevados momentos locais existentes na
zona, como por vezes se refere).
A resistência de dimensionamento da junta nφRd é dada por:
nφRd = 0,80 × t ×
80
fu
γ M 1b
(6.96)
Silos Metálicos
Sendo f u a tensão última e γ M 1b retirado da tabela 6.3.
Deverá então verificar-se a expressão:
γ Fh × nφSd ≤ nφRd ( γ Fh =1,2)
(6.97)
6.9.2. COLAPSO PLÁSTICO DA TREMONHA
Na figura 6.13 mostra-se o esquema do colapso plástico típico no topo da tremonha. A resistência
plástica da tremonha deve ser avaliada aquando de uma mudança de espessura ou no seu topo, pelo
cálculo do esforço de membrana máxima segundo a direcção φ (ver figura 6.3) :
nφRd =
1
γ Ma1

r ×t × fy
×
 r − 2,4 × r × t × sin β × tan β

  0,91 × µ h + 0,27 
×

 
+
µ
0
,
15
h



(6.98)
A subsequente figura explicita o fenómeno em estudo:
Fig. 6.13- Deformada correspondente ao colapso plástico da tremonha
No topo da tremonha, verificar se:
nφSd ≤ nφRd
(6.99)
Geralmente, na tremonha. o segmento crítico é aquele (no topo) que apresenta maior rácio raioespessura.
Elevados esforços de flexão local são de relevante importância em silos que possam ter falhas por
fadiga.
81
Silos Metálicos
6.10. ANEL DE TRANSIÇÃO OU ANEL-VIGA
6.10.1. MODOS DE ROTURA DO ANEL-VIGA
A transição de um silo encontra-se sempre em compressão, sendo elevados os esforços a que fica
sujeita devido à necessidade de equilibrar a componente radial da tensão meridional existente no topo
da tremonha (fig. 6.14 ). No anel, o colapso plástico é o modo de rotura mais provável.
Fig. 6.14- Transição parede vertical/ parede da tremonha
6.10.2. COLAPSO PLÁSTICO DA JUNÇÃO SOB CARREGAMENTO AXISSIMÉTRICO
O colapso plástico (fig.6.15) a acontecer, afecta a tremonha, o cilindro e a “saia” (caso exista).
Aquando do processo de plastificação, a rótula formada no topo da tremonha rebaixa do nível da
junção para a tremonha, redistribuindo os elevados esforços de flexão no seu topo. O colapso plástico
da junção é afectado pela espessura da tremonha; os modos de colapso plástico da tremonha e do anel
não interagem entre si. A existência de um anel junto da transição é primordial para o controlo do
fenómeno de plastificação.
Fig. 6.15- Mecanismo de colapso da junção (a figura à esquerda representa a correspondente deformação)
82
Silos Metálicos
O valor de dimensionamento da resistência nφhRd da junção (existindo ou não anel) no estado plástico,
é determinado por:
nφhRd =
1
sin β
 A p + l oc × t c + l os × t s + l oh × t h

r



f
 × y + p c × l oc + p h × (cos β − µ h × sin β ) × l eh 
 γ M 1a


(6.100)
Em que:
α=
t c2
t s2 + t h2
(6.101)
ψ = 0,7 + 0,6 × α 2 − 0,3 × α 3
(6.102)
As larguras efectivas l0 em cada um dos segmentos contíguos à zona de transição, valem:
l oc = 0,975 × r × t c
(6.103)
l os = 0,975 × r × t s
(6.104)
l oh = 0,975 ×
r × th
cos β
(6.105)
em que:
A p é a secção do anel na zona da junção;
t c é a espessura do cilindro;
t s é a espessura da “saia”;
t h é a espessura das paredes da tremonha;
p c é a pressão local média (sem ser multiplicada pelo factor) actuante na largura efectiva do cilindro;
p h é a pressão local média (sem ser multiplicada pelo factor) actuante na largura efectiva da
tremonha;
µ h é o coeficiente de atrito da parede da tremonha.
O valor de dimensionamento anteriormente calculado ( nφhRd ) terá de ser sempre superior ao calculado
pela expressão (6.21).
nφhSd ≤ nφRd
(6.106)
83
Silos Metálicos
6.10.3. VAREJAMENTO DA JUNÇÃO
O dimensionamento da junção de uma tremonha é quase sempre determinado pelo seu colapso
plástico. Há no entanto que verificar o seu varejamento (para dentro e fora do seu plano).
No primeiro caso (para dentro do seu plano), a resistência vale:
σ ip , Rd =
4× E × Iz
1
×
2
γ M3
Aet × rg
(6.107)
em que:
EI z é a rigidez à flexão da secção efectiva do anel (fig. 6.16) segundo o seu eixo z , Aet é a área
efectiva do anel (equação (6.108)) e rg é o raio do centróide da secção efectiva do anel.
Fig. 6.16- Secção efectiva na transição
∑A
Aet = Aep +
e
(6.108)
segmentos
Na expressão (6.108) Aep corresponde à área do perfil do anel-viga, e Ae a área efectiva de cada um
dos segmentos confluentes à zona de transição.
De acordo com a figura 6.16 existem dois grupos A e B, acima e abaixo da junta, respectivamente.
A espessura equivalente de cada um desses grupos vale:
t eq , A =
∑t
A
84
2
(6.109)
Silos Metálicos
t eq , B =
∑t
2
(6.110)
B
α é a razão entre a menor e a maior das espessuras equivalentes, ou seja
α=
(t )
(t )
eq menor
,
(6.111)
eq maior
sendo
(t )
= min(t eq , A ; t eq , B )
(6.112)
(t )
= max(t eq , A ; t eq , B )
(6.113)
eq menor
eq maior
O comprimento efectivo l e para cada um dos segmentos é calculado por:
l e1 = 0,778 ×
r ×t
,
cos β
(6.114)
para o grupo de menor espessura equivalente, e
[
l e 2 = 0,389 × 1 + 3α 2 − 2α 3
]
r×t
,
cos β
(6.115)
para o de maior espessura equivalente, em que β é o ângulo entre o eixo de simetria do silo e a linha
média da parede da tremonha (fig. 6.17).
85
Silos Metálicos
Fig. 6.17- Zona de transição
Basta depois calcular a área de influência de cada um dos segmentos, através da fórmula:
Ae = l e × t
(6.116)
A verificação é conseguida respeitando-se a seguinte condição:
σ uθ , Ed ≤ σ ip , Rd
(6.117)
A resistência ao varejamento (para fora do plano) vale:
σ op , Rd
tp
= k × E × 
b
2

1
 ×
 γ M3
(6.118)
Com:
k=
ηc × kc + η s × ks
η c ×η s
b
r
k s = 0,385 + 0,452
k c = 1,154 + 0,56 ×
86
(6.119)
b
r
(6.120)
(6.121)
Silos Metálicos
 r 
η s = 0,43 + 0,1 × 

 20 × b 
 t

η c = 0,5 ×  c
 t p




52
t
+ s
t
 p
2




(6.122)
52
t
+ h
t
 p




52




(6.123)
Em que (fig. 6.16):
t c é a espessura da parede do cilindro;
t s é a espessura da “saia”;
t h é a espessura da parede da tremonha;
t p é a espessura do anel;
b é o comprimento do anel;
k c e k s coeficientes de varejamento.
O varejamento da junção (para fora do seu plano) é então verificado por:
σ uθ , Ed ≤ σ op , Rd
(6.124)
6.10.4. ANEL VIGA DE TRANSIÇÃO SOBRE APOIOS DISCRETOS
Quando um silo se encontra apoiado sobre apoios discretos actuando a junção de transição como um
anel-viga, convém ter em conta a não uniformidade de esforços ao longo da sua secção e ao longo da
circunferência. Daí a necessidade de realizar as seguintes verificações.
O estado limite plástico está assegurado caso se cumpra a seguinte condição:
σ mθ , Ed ≤
fy
γ M 1a
(6.125)
Também aqui o fenómeno de varejamento tem a sua relevância e mais uma vez dois casos de estudo
são verificados (para dentro e para fora do seu plano):
σ cθ , Ed ≤ σ ip , Rd
(6.126)
σ cθ , Ed ≤ σ op , Rd
(6.127)
87
Silos Metálicos
Sendo os valores de
σ ip, Rd
e
σ op, Rd
calculados através das expressões (6.107) e (6.118),
respectivamente.
6.11. SUPORTE
Apesar de toda a complexidade que envolve a ligação do suporte com o silo, existem cálculos
simplificados para prevenir a sua rotura. Foram já registadas roturas nos silos devidas a fenómenos de
instabilidade causados por varejamento na zona em redor do suporte.
Atente-se na seguinte figura:
Fig. 6.18- Interacção suporte/parede
Considera-se que a força total que é transmitida pelo suporte é dispersa para a parede cilíndrica numa
zona definida pelo ângulo de 30º com a vertical, levando a uma uniformização das tensões.
A zona crítica a estudar situa-se logo acima do topo do suporte, devendo-se comparar o esforço aí
encontrado com o valor limite para o varejamento para compressão axial ( σ x, Rd ).
Sendo assim, pela fórmula
σ=
P
t × l2
(6.128)
e limitando o valor da tensão máxima ao valor de σ x, Rd , consegue-se para um valor máximo de
P (reacção vertical máxima proporcionada pelos apoios) obter uma secção viável ( t × l 2 ) para os
suportes que apoiarão o silo.
88
Silos Metálicos
7
ANÁLISE ESTRUTURAL DO SILO
CIRCULAR
7.1. INTRODUÇÃO
Fig. 7.1-
Silo circular
Apresenta-se nesta secção o estudo de um silo dimensionado para o armazenamento de cimento, com
as propriedades atrás enunciadas na tabela 3.3 (propriedades dos materiais).
89
Silos Metálicos
Este silo é dimensionado para o armazenamento de cimento, com as propriedades atrás enunciadas na
tabela 3.3 (propriedades dos materiais) e com as características geométricas e mecânicas apresentadas
na figura 7.2.
Fig. 7.2-
material : aço (S235)
altura das paredes cilíndricas: 5 m
altura da tremonha: 3 m
raio da secção circular: 1,5 m
raio da secção circular da base da tremonha: 0,15 m
espessura das paredes verticais: 5 mm
espessura das paredes da tremonha: 10 mm
Características mecânicas e geométricas do silo em estudo
O anel-viga utilizado no silo circular é formado por um perfil C15 × 50 , com as seguintes
características:
Fig. 7.3-
90
Secção do Anel-Viga
Silos Metálicos
Fig. 7.4-
Características da secção usada para o anel-viga
Para os cálculos que mais à frente se fazem, foi ainda necessário calcular certos valores que na tabela
anterior não se apresentam:
- a área do perfil A :
16700 × 10 4
⇔ 133 =
⇔ A = 9440mm 2
A
A
Iy
iy =
- a altura do perfil h , através do valor do módulo de flexão elástica segundo a direcção y ( W y ):
Wy =
2× I y
⇔ 877 × 10 3 =
h
2 × 16700 × 10 4
⇔ h = 380,8mm
h
- a largura do perfil b , através do módulo de flexão elástica segundo a direcção z ( W z ):
Wz =
2× Iz
2 × 454 × 10 4
⇔ 61,5 × 10 3 =
⇔ b = 147,6mm
b
b
tf :
e por fim a espessura do perfil
Iw =
t f × b3
24
× (h − t f
)
2
⇔ 118,2 × 10 =
9
t f × 147,6 3
24
× (380,8 − t f
)
2
⇔ t f = 6,3mm
Com estes dados, rapidamente se classifica o silo de acordo com a tabela 4.1, após o cálculo do peso
de material que este silo pode armazenar.
91
Silos Metálicos
O silo da figura acima tem um volume:
(
)
V = π × 1,5 2 × 5 +
(
)
1
× π × 1,5 2 + π × 0,15 2 × 3 = 46,1m 3
2
Considerando o peso volúmico máximo do cimento ( γ = 16 kN m 3 ),
peso = 16 kN m 3 × 46,1m 3 = 737,6kN ≈ 74ton
Por este valor ser inferior às 100 toneladas este silo é considerado de classe 1, de acordo com a tabela
4.1.
É ainda necessário classificar a tremonha para se saber que tipo de fluxo ocorre, tendo por base a
geometria e o material armazenado. Um silo terá fluxo em massa caso tenha paredes lisas e tremonhas
íngremes. Às paredes deste silo atribui-se a categoria D1 (tabela 3.2). Quanto à tremonha, o critério
para que esta seja íngreme é estabelecido na expressão (4.19), sendo os valores de K e µ retirados da
tabela 3.3.
tan β <
(1 − K ) (1 − 0,54 )
=
= 0,56
2 × µh
2 × 0,41
Fig. 7.5-
Geometria da tremonha
Como
tan β = tan (24,2°) = 0,45 < 0,56 ,
92
Silos Metálicos
conclui-se que este silo (e para este material armazenado) é um silo de fluxo em massa. Não será
portanto necessária a verificação dos diâmetros mínimos da base da tremonha exigidos para que os
fenómenos de interrupção de fluxo não ocorram, já que estes só se verificam em silos de fluxo em
funil.
7.2. MODELAÇÃO EM ELEMENTOS FINITOS (DESCRIÇÃO DO MODELO)
O silo foi modelado através do programa ROBOT, com a utilização do Método dos Elementos Finitos.
Uma questão pertinente que se colocava era que tipo e qual a densidade da malha a utilizar. Para o silo
circular, tal apresentou-se como uma dificuldade devido ao pequeno número de malhas compatíveis
com a estrutura (poucas eram as malhas “coerentes”).
Fez-se portanto um teste, de modo a identificar a malha mais razoável e realista. Este problema
colocava-se em particular para o silo circular, pois nenhuma das malhas obtidas era suficientemente
refinada do ponto de vista de caracterização geométrica, colocando em dúvida os resultados obtidos.
O teste consistiu em modelar uma pequena faixa do silo com o mesmo diâmetro de 3m (a faixa
correspondente ao metro mais profundo da parede cilíndrica) como a seguir se mostra, utilizando
diferentes malhas de elementos finitos.
A espessura dos painéis é a mesma das paredes verticais do silo, ou seja, 5 mm.
Estuda-se o caso de carga mais simples (e que permite verificar facilmente a congruência de
resultados), que é o das cargas perpendiculares às placas ( ver 4.8 combinações: caso 4),
Fig. 7.6-
Malha de elementos finitos de uma secção em estudo com cargas aplicadas (faixa de 1m de
altura)
93
Silos Metálicos
Interessava obter os esforços de membrana, particularmente segundo a direcção local X (pois são
correspondentes do esforço de membrana nθ , Sd ). Os resultados obtidos com uma malha constituída
por elementos quadrangulares de 8 nós e de 4 nós (elementos de dimensão de 0,5m) são os seguintes:
Quadro 7.1 – Esforços de membrana obtidos com uma malha de 8 nós (elementos de dimensão 0,5m)
Quadro 7.2 – Esforços de membrana obtidos com uma malha de 4 nós (elementos de dimensão 0,5m)
Multiplicando estes valores pelo factor de segurança de 1,35, resulta:
nθ , Sd = 1,35 × 42,67 = 57,6 kN m
nθ , Sd = 1,35 × 84,93 = 114,7 kN m
Para o mesmo caso de carga, o esforço de membrana é calculado pela expressão (6.7):
(
)
nθ , Sd = 1,35 × 1,15 × 31,32 × 1,5 × 1 − e (−5 3, 02 ) = 59,0 kN m
94
Silos Metálicos
Constata-se que os resultados obtidos com a referida malha (8 nós, dimensão de 0,5m) são os mais
aproximados dos calculados pela expressão (6.7).
Uma análise mais alargada, que faça variar a dimensão dos elementos pode auxiliar.
O gráfico da figura 7.7 mostra os diferentes valores da tensão de membrana Nxx , em função da
dimensão dos elementos e do número de nós por elemento.
Análise por elementos finitos
esforços de membrana Nxx (kN/m)
100,00
90,00
80,00
70,00
60,00
8 nós
50,00
4 nós
40,00
30,00
20,00
10,00
0,00
0.50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,05
dimensão dos elementos (m)
Fig. 7.7-
Esforços de membrana na secção em estudo, para diferentes dimensões dos elementos (com 4 e
8 nós)
Conclui-se que para valores da dimensão dos elementos superiores a 0,20m, que os esforços de
membrana (multiplicados pelo factor de segurança) mais próximos do valor de 59 kN/m são os que se
obtêm com uma malha de 8 nós.
Analisou-se ainda a parede cilíndrica na zona imediatamente acima da transição (fig.7.8) para o
mesmo caso de cargas 4. Observando apenas os esforços de membrana da parede cilíndrica obtiveramse os seguintes resultados (mais uma vez para a referida malha com 8 nós, elementos de dimensão
0,5m, e para o caso das cargas perpendiculares às placas):
95
Silos Metálicos
Fig. 7.8-
Faixa de parede vertical em estudo (colorida a vermelho)
Com os esforços de membrana obtidos nos nós dos elementos coloridos da figura 7.8, obteve-se a
seguinte gama de valores:
Elementos de 8 nós (de dimensão 0,5m)
54
Nxx (kN/m)
53
52
51
50
49
48
valores de Nxx
Fig. 7.9-
valor máximo de Nxx (=53,08kN/m)
Esforços de membrana na faixa de parede vertical em estudo
O valor máximo (53,08 kN m ) volta a ser muito próximo dos valores obtidos anteriormente. Por esta
razão, foi esta a malha usada para a análise do silo circular, apesar do seu relativamente baixo
refinamento (sendo no entanto o máximo atingível, com o ROBOT).
96
Silos Metálicos
7.3. VERIFICAÇÃO ESTRUTURAL
Neste capítulo faz-se a verificação estrutural do silo de acordo com as regras apresentadas no capítulo
anterior. O modelo no ROBOT será para isso fundamental, na obtenção de tensões e esforços de
membrana máximos.
A seguinte figura mostra o modelo concebido no ROBOT:
Fig. 7.10- Silo circular modelado no ROBOT
97
Silos Metálicos
7.3.1 PAREDES CILÍNDRICAS
Para a análise da ruptura da parede, e tendo por base as expressões (6.53) e (6.54)considera-se que,
f e , Rd =
fy
γ M 1b
=
235
= 213MPa
1,1
(6.53)
σ e, Ed ≤ f e, Rd = 213MPa
(6.54)
Através do modelo do ROBOT chegaram-se aos seguintes resultados, para cada uma das
combinações:
Quadro 7.3 – Resultados da tensão máxima obtida pela teoria de Von Mises
comb
comb 1
comb 2
comb 3
comb 4
comb 5
comb 6
σ e, Ed
( MPa )
133,1
133,0
133,0
133,0
132,9
132,9
OK
OK
OK
OK
OK
OK
A condição imposta pela equação (6.54) é verificada, ficando a hipótese da ruptura da parede vertical
do silo irradiada.
A resistência crítica de varejamento da parede cilíndrica é dada, de acordo com a expressão (6.60), por
σ xRc =
E
(
3 × 1 −ν 2
)
×
(
)
1
t
0,005
= 0,605 × E × = 0,605 × 210 × 10 6 ×
= 423,5MPa
r
r
1,5
(6.60)
O factor de imperfeição elástica é obtido considerando a amplitude de imperfeição igual a
wok =
0,005
1,5
×
= 0,00541
16
0,005
(6.61)
e o parâmetro α 0 (expressão 6.62) dado por
α0 =
98
0,62
w 
1 + 1,91 ×ψ ×  ok 
 t 
1, 44
=
0,62
 0,00541 
1 + 1,91 × 1 × 

 0,005 
1, 44
= 0,197
(6.62)
Silos Metálicos
O factor de imperfeição elástica calculado com a menor das pressões localizadas
p=
p×r
21,40( ELU 3) × 1,5
=
= 0,0151
t × σ xRc 0,005 × 423,5 × 10 3
(
α pe
)


p

= α 0 + (1 − α 0 ) × 
0,3
 p+

α0




 = 0,215



(6.64)
(6.63)
E também com a maior das pressões internas através de
p=
p×r
(29,1 × 1,50) × 1,5 = 0,0309
=
t × σ x.Rc 0,005 × 423,5 × 10 3
(
)
(6.66)
A quantidade s é dada por
s=
r
1
1
1,5
× =
×
= 0,75
400 t 400 0,005
(6.67)
sendo
λ2x =
α pp
 
p

= 1 − 
 2
  λ x




2
fy
σ x , Rc
=
235
= 0,555
423,5

1
  s 2 + 1,21 × λ2x
 
×
1
−

×
 
32  
1
,
12
+
s

  s × (s + 1)

(6.68)

 = 0,408


(6.65)
Então:
α p = min(0,215;0,408) = 0,215
No entanto, como o silo é de classe 1 o valor de α p é tomado como o valor de α 0 , ficando:
α = 0,197
99
Silos Metálicos
De modo a calcular a resistência característica de varejamento, determina-se
λx =
fy
σ xRc
=
235
= 0,745
423,5
(6.73)
λ0 = 0,2
(6.74)
λ p = 2,5 × α = 2,5 × 0,197 = 0,702
(6.75)
0,197
= 0,356 quando λ p < λ x
0,555
(6.72)
Então:
κx =
σ x , Rk = κ x × f y = 0,356 × 235 = 83,5MPa
σ xRd =
σ xRk 83,5
=
= 76MPa
γ M 3 1,10
(6.69)
(6.76)
Na figura 7.11 mostra-se o gráfico com todos os valores das tensões σ x, Ed (tensões segundo a
direcção x , ou seja, a direcção vertical ou do eixo de revolução do silo, ver figura 6.1) da parede
vertical do silo, obtidos para a combinação 1 (segundo o eixo das abcissas estão os valores de tensão
σ x, Ed , enquanto no eixo vertical se encontram dispostos todos os nós dos elementos da parede vertical
do silo). O valor de 76 MPa fica verificado, para quase todos os pontos do silo.
Noutras combinações excede-se pontualmente este valor, mas isso é corrigido quando se restringe o
topo do silo (com a colocação por exemplo de mais uma anel ou reforço em redor do perímetro da
tampa do silo).
100
Silos Metálicos
Valor limite da
tensão de
compressão
Verificação ao varejamento
1171
1041
911
781
651
521
391
261
131
1
-90,0
-70,0
-50,0
-30,0
-10,0
10,0
30,0
σxed (MPa)
Fig. 7.11- Gráfico com os valores de tensões verticais em todos os pontos da parede vertical do silo (para a
combinação 1)
Interessa ver os elementos que apresentam os maiores valores de σ x, Ed . Como era expectável, são os
elementos que estão imediatamente acima dos apoios, pois é aí que são suportadas as pressões de
atrito aplicadas às paredes dos silos (fig. 7.12).
101
Silos Metálicos
apoios
Fig. 7.12- Elementos de maior valor de tensão vertical ( σ x, Ed ) para a combinação 1
Tendo por base a expressão (6.78) para a pressão externa crítica indutora de varejamento, determinam-se os parâmetros C , sendo C p obtido pela fórmula
Cp =
2,2

r
r
1 + 0,1 × C b × ×



l
t


=
2,2

1,5
1,5 
1 + 0,1 × 1,0 ×

×


5
0
,
005


e C b = 0,5 de acordo com a tabela 6.5.
102
= 1,129
(6.79)
Silos Metálicos
Vem então
p nRcu
r t 
= 0,92 × C b × C p × E ×   ×  
l  r
= 41,9 kN m
2 ,5
(
)
 1,5   0,005 
= 0,92 × 1,0 × 1,129 × 210 × 10 ×   × 

 5   1,5 
6
2,5
(6.78)
2
A pressão de dimensionamento máximo a que o silo estará sujeito, sob a acção do vento ou do vácuo
parcial, vale:
p nRd = α n ×
p nRcu
γ M3
= 0,5 ×
41,9
= 19,0 kN m 2
1,10
(6.80)
Em que:
α n = 0,5
Comparando este valor com os aplicados ao silo (capítulo 4.7 Acção do Vento ), conclui-se que as
pressões aplicadas são então insuficientes para causar fenómenos de instabilidade nas paredes
verticais.
Para análise da estabilidade ao varejamento nos anéis por acção do vento e/ou vácuo parcial,
determinam-se os valores críticos de rigidez à flexão segundo o eixo, tendo por base as expressões
(6.82) e (6.83).
(
)
EI z , min = 0,1 × E × L × t 3 = 0,1 × 210 × 10 6 × 5 × 0,005 3 = 13,125
EI z ,min =
E × L × r 2 × t  2 × p nRd × a1 × r 2  r 
− 

48 × a 2  E × wr max × t
L
2



(6.82)
(6.83)
Nas expressões utiliza-se o menor dos valores
wr max = 0,05 × r = 0,05 × 1,5 = 0,075
(6.84)
wr max = 20 × t = 20 × 0,005 = 0,1
(6.85)
Sendo t a menor das espessuras da parede do silo, r o raio da parede cilíndrica e L a altura da parede.
Os parâmetros a1 a 2 e a3 são dados pelas expressões (6.86) a (6.88).
103
Silos Metálicos
2
2
r
 1,5 
a1 = 1 + 2,6 ×   = 1 + 2,6 ×   = 1,234
L
 5 
2
(6.86)
2
r
 1,5 
a 2 = 1 + 1,95 ×   = 1 + 1,95 ×   = 1,176
L
 5 
(6.87)
3
I L
454 × 10 −8  5 
a3 = 48 × 3 z   = 48 × 3
×   = 0,478
r ×t  r 
1,5 × 0,005  1,5 
3
EI z , min =
(210 × 10 )× 5 × 1,5
× 0,005  2 × 19,0 × 1,234 × 1,5 2
 1,5 
− 

6
48 × 1,176
 210 × 10 × 0,075 × 0,005  5 
6
2
(
)
(6.88)
2

 = −18553,34

O valor obtido pela expressão (6.83), para o silo em estudo, é um valor irracional, devido ao elevado
rácio entre o raio da parede circular e a altura dessa mesma parede.
Como o valor obtido é ilógico, considerar-se-á apenas o valor obtido pela expressão (6.82).
I z ,min =
13,125
= 6,25cm 4
E
Este valor é francamente inferior ao que a perfil escolhido proporciona!
7.3.2 TREMONHA CÓNICA
De acordo com a expressão (6.39) apresentada no capítulo 6, o esforço máximo que se desenvolve na
tremonha do silo suportado por apoios discretos é dado por
nφ sup x , Sd =
QSd
2,4 × r × t h × cos β
×
1
32


 
tc
1
 
1 +
× 
 cos β  t h × cos β  
377
1
=
×
1, 5
2,4 × 1,5 × 0,010 × cos(24,2°) 

 
1
0,005
 
× 
1 +
 cos(24,2°)  0,010 × cos(24,2°)  
= 929,4 kN m
(6.39)
Este valor é superior a qualquer um dos valores obtidos para o esforço de membrana no topo da
tremonha, como se pode constatar ao compará-lo com os valores do quadro 7.4. obtidos através da
análise por elementos finitos.
104
Silos Metálicos
Quadro 7.4 – Resultados do esforço de membrana máximo (para cada combinação e para a direcção
comb
comb 1
comb 2
comb 3
comb 4
comb 5
comb 6
φ / yy
)
N yy
(kN m)
668,6
683,5
631,2
736,9
751,8
699,5
OK
OK
OK
OK
OK
OK
Confirma-se então o quão conservativo pode ser este método manual de calcular o esforço de
membrana máximo nφs max, Sd .
Assumindo que o silo é construído por soldadura, a resistência de membrana é dada por
ne , Rd = t ×
fy
γ M 1b
= 0,010 ×
235 × 10 3
= 1880 kN m
1,25
(6.89)
Com o valor obtido da expressão (6.5) há que verificar se:
ne , Sd ≤ ne, Rd = 1880 kN m
(6.90)
Quadro 7.5 – Resultados obtidos pela análise de elementos finitos
comb
comb 1
comb 2
comb 3
comb 4
comb 5
comb 6
ne ,Sd
(kN m )
668,6
684,8
632,2
735,5
751,7
699,1
OK
OK
OK
OK
OK
OK
O quadro 7.5 resume os valores máximos obtidos para cada uma das combinações, utilizando a
modelação de elementos definidos, podendo constatar-se que a resistência da tremonha é largamente
verificada.
105
Silos Metálicos
A resistência de cálculo na junta de transição é dada por
nφRd = 0,80 × t ×
fu
γ M 1b
360 × 10 3
= 2304 kN m
1,25
= 0,80 × 0,010 ×
(6.96)
Assim, terá de verificar-se, de acordo com (6.97) se
γ Fh × nφSd ≤ nφRd = 2304 kN m ( γ Fh =1,2)
(6.97)
Compendiam-se no quadro 7.6 os valores obtidos através da modelação por elementos finitos, que
satisfazem o valor acima determinado.
Quadro 7.6 – Resultados obtidos pela análise de elementos finitos
comb
1,2 × N yy
(kN m)
comb 1
comb 2
comb 3
comb 4
comb 5
comb 6
802,3
820,2
757,5
884,2
902,2
839,4
OK
OK
OK
OK
OK
OK
A resistência plástica da tremonha é dada, de acordo com (6.98) por
nφRd =
=
1
γ Ma1

r ×t× fy
×
 r − 2,4 × r × t × sin β × tan β

(
  0,91 × µ h + 0,27 
×

 
µ h + 0,15 
 
)
  0,91 × 0,41 + 0,27 
1 
1,5 × 0,010 × 235 × 10 3
×
×

1,10  1,5 − 2,4 × 1,5 × 0,010 × sen(24,2°) × tan (24,2° )   0,41 + 0,15 
(6.98)
= 2678,6 kN m
Representa-se na figura 7.13 o diagrama de esforços de membrana considerando um corte vertical no
silo, de modo a se obter o diagrama dos esforços de membrana associados (escolheu-se,
arbitrariamente, a combinação 1).
106
Silos Metálicos
Fig. 7.13- Corte vertical: diagrama de tensões de membrana para a combinação de acções 1
Fig. 7.14- Colapso plástico da tremonha
É grande a semelhança entre as figuras 7.13 e 7.14, o que permite verificar ser a zona do topo da
tremonha aquela em que os esforços de membrana atingem valores mais elevados e onde ocorrerá a
plastificação se as acções forem incrementadas.
nφSd ≤ nφRd = 2678,6 kN m
(6.99)
Observando os valores do quadro 7.6 conclui-se que não se dará o colapso plástico da tremonha.
107
Silos Metálicos
7.3.3 ANEL DE TRANSIÇÃO
De acordo com o referido na secção 6.10.2, a resistência de cálculo nφhRd do anel de transição depende
das diferentes larguras efectivas l0 em cada um dos segmentos contíguos à zona de transição, que
valem:
l oc = 0,975 × r × t c = 0,975 × 1,5 × 0,005 = 0,084m = 8,44cm
(6.103)
l os = 0,975 × r × t s = 0 (não existe saia)
(6.104)
r × th
1,5 × 0,010
= 0,975 ×
= 0,1250m = 12,50cm
cos β
cos(24,2°)
l oh = 0,975 ×
(6.105)
Vem então o valor de resistência máximo por
(
nφhRd
)
 94,40 × 10 −4 + 0,084 × 0,005 + 0,1250 × 0,010  235 × 10 3 
 ×
1


=
1,5
1,10

 = 3882,9 kN m

sin (24,2°) 

+ 29,10 × 0,084 + 74,4 × (cos(24,2°) − 0,41 × sin (24,2°)) × 0,125
(6.100)
Para analisar a influência do anel viga, repetindo o mesmo cálculo, mas sem entrar com o valor da sua
área, resultaria,
nφhRd
 0,084 × 0,005 + 0,1250 × 0,010  235 × 10 3

×
1


=
1,5
1,10

 = 603,1 kN m

sin (24,2°) 

+ 29,10 × 0,084 + 74,4 × (cos(24,2°) − 0,41 × sin (24,2°)) × 0,125
(6.100)
Conclui-se portanto ser muito grande a influência do anel viga colocado no silo (6 vezes maior a
resistência da junção com anel do que sem anel).
nφhSd ≤ nφRd = 3024,7 kN m
(6.106)
Este valor é amplamente verificado, em todas as combinações (quadro 7.5), não havendo portanto
qualquer risco de se atingir o colapso plástico na zona da transição.
108
Silos Metálicos
A verificação do varejamento da junção é feita seguindo as determinações da secção 6.10.3, como a
seguir se demonstra.
Determinando os valores das espessuras equivalentes de cada um dos grupos A e B,
Figura 6.16 –Secção efectiva na transição
t eqA = t c = 5mm
(6.109)
t eqB = t h = 10mm
(6.110)
e a razão α , entre a menor e a maior das espessuras equivalentes calculada por
α=
t eqA
t eqB
= 0,5
(6.111)
Obtêm-se os valores dos comprimentos efectivos de cada um dos grupos (A e B) através das equações
(6.114) e (6.115).
r ×t
1,5 × 0,005
= 0,778 ×
= 0,0705m ≈ 7,1cm ⇒ Ae1 = l e1 × 0,005 = 3,53cm 2
cos β
cos(24,2°)
l e1 = 0,778 ×
[
l e 2 = 0,389 × 1 + 3α 2 − 2α 3
]
⇒ Ae 2 = l e 2 × 0,010 = 7,48cm
[
r×t
= 0,389 × 1 + 3 × 0,5 2 − 2 × 0,5 3
cos β
]
1,5 × 0,010
= 0,0748m ≈ 7,5cm
cos(24,2°)
(6.114)
(6.115)
2
109
Silos Metálicos
A área efectiva do anel-viga é dada pela soma da área do perfil utilizado ( C15 × 50 ) com a área de
cada um dos elementos concorrentes com a zona de transição, soma essa traduzida pela equação
(6.108).
Aet = Aep +
∑A
e
= 94,4 + 3,53 + 7,48 = 105,41cm 2
segmentos
(6.108)
A análise da estabilidade ao varejamento da junção é feita pelo cálculo da resistência ao varejamento
para dentro do seu plano (“in-plane buckling”) através da expressão (6.107).
σ ip , Rd =
(
) (
)
)
4× E × Iz
1
4 × 210 × 10 6 × 454 × 10 −8
1
×
=
×
= 146MPa
2
−4
2
γ M3
1,10
Aet × rg
105,41 × 10 × 1,50202
(
Fig. 7.15- Notações do anel viga e excentricidades
A verificação é conseguida respeitando-se a seguinte condição:
σ uθ , Ed ≤ σ ip , Rd = 146MPa
110
(6.107)
Silos Metálicos
A resistência ao varejamento para fora do plano (“out-of-plane buckling”) é calculada pela expressão
(6.118)
σ op , Rd
tp
= k × E × 
b
2
2

1
 0,0063 
 ×
= 2,93 × 210 × 10 6 × 
 = 1114,9 MPa
 0,148 
 γ M3
(
)
(6.118)
em que os parâmetros k , k s e k c se determinam pelas equações (6.119), (6.120) e (6.121)
k=
η c × k c + η s × k s 1,868 × 1,209 + 0,456 × 0,527
=
= 2,93
η c ×η s
1,868 × 0,456
k s = 0,385 + 0,452
k c = 1,154 + 0,56 ×
b
0,148
= 0,385 + 0,452
= 0,527
r
1,5
b
0,148
= 1,154 + 0,56 ×
= 1,209
r
1,5
(6.119)
(6.120)
(6.121)
e as variáveis η s e η c pelas expressões (6.122) e (6.123), respectivamente.
2
2
1,5


 r 
η s = 0,43 + 0,1 × 
 = 0,456
 = 0,43 + 0,1 × 
 20 × b 
 20 × 0,148 
(6.122)
 t  5 2  t  5 2  t  5 2 


η c = 0,5 ×  c  +  s  +  h  
t 
t 
t 
 p 
 p  
 p
2, 5
 0,005  2,5
 0,010  
2,5
= 0,5 × 
 + (0 ) + 
  = 1,868
 0,0063 
 0,0063  
(6.123)
O varejamento da junção (para fora do seu plano) é então verificado desde que:
σ uθ , Ed ≤ σ op , Rd = 1114,9MPa
111
Silos Metálicos
Estando para o caso em estudo o anel-viga de transição sobre apoios discretos, fazem-se ainda mais
algumas verificações.
A verificação do anel-viga de transição do silo que se encontra apoiado sobre apoios discretos é
aferida respeitando-se as condições impostas pelas inequações (6.125), (6.126) e (6.127), sendo estas
últimas duas respeitantes à resistência ao varejamento.
σ mθ , Ed ≤
fy
γ M 1a
=
235
= 213MPa
1,10
(6.125)
σ cθ , Ed ≤ σ ip , Rd = 146MPa
(6.126)
σ cθ , Ed ≤ σ op , Rd = 1114,9 MPa
(6.127)
Através da análise de tensões na barra (anel-viga), conseguiram-se extrair as tensões máximas e
mínimas resultantes das acções a si aplicadas.
Quadro 7.7 – Resultados obtidos pelo modelo em elementos finitos (tensões máxima e mínima no anel viga)
comb
S max(MPa )
S min(MPa )
comb 1
comb 2
comb 3
comb 4
comb 5
comb 6
41,51
42,39
40,20
46,68
47,56
45,37
-73,94
-74,43
-72,57
-84,00
-84,49
-82,64
OK
OK
OK
OK
OK
OK
Pode-se assim concluir que os valores limite de tensões em cima apresentados, para se assegurar a
estabilidade do anel viga, são por completo verificados.
Interessa comparar estes resultados com os obtidos pela expressão (6.50). Calcula-se, para um dos
estados limite (ELU 1):
Fig.6.10 – Forças aplicadas ao anel-viga
112
Silos Metálicos
Pela expressão (6.21), determina-se o esforço de membrana no topo da tremonha:
γ × hh   hh 

nφSd = γ F ×  p vft +
 ×   × sec β × tan β
3   2

16 × 3   3 

= 1,35 ×  39,10 +
 ×   × sec(24,2° ) × tan (24,2°)
3  2

= 55,0 kN m
(6.21)
Pela expressão (6.8), o esforço de membrana na parede vertical:
z

n x , Sd = −γ F × C w × µ × p h 0 × z 0 ×  − 1 + e − z z0 
 z0

 5

= −1,35 × 1,10 × 0,38 × 31,32 × 3,02 × 
− 1 + e −5 3, 02 
 3,02

(6.8)
= −45,2 kN m
A força radial por unidade de circunferência (centrípeta) no anel (fig.6.10) vale:
wr ,Sd = nφh , Sd × sin β = 55,0 × sin (24,2°) = 22,5 kN m
(6.41)
Enquanto a força vertical vale:
wv , Sd = −n xc , Sd + nφh, Sd × cos β = −(− 45,2) + 55,0 × cos(24,2°) = 95,4 kN m
(6.40)
O esforço de compressão é obtido através da expressão (6.42):
N Sd = − wr , Sd × r + p c × r × l ec + p h × (cos β − µ h × sin β ) × r × l eh
= −22,5 × 1,5 + 29,1 × 1,5 × 0,071 + 74,4 × (cos 24,2° − 0,38 × sin 24,2°) × 1,5 × 0,075
(6.42)
= −24,3kN
Falta apenas calcular os momentos aplicados ao anel-viga, pelas expressões (6.46) e (6.48), do
seguinte modo:
[
]
M rs , Sd = (rg − er )× {wv , Sd × (rg − es )× θ 0 × cot θ 0 − rg + er + wr , Sd × e x }
= 1,5 × {95,4 × [1,5 × 0,785 × cot 0,785 − 1,5]} + 22,5 × 0
(6.46)
= −46,0kN .m
113
Silos Metálicos
M fs , Sd = wv , Sd
rg × (rg − er ) 
rg × θ 02 
×
× (rg − es )× (1 − θ 0 × cot θ 0 ) −

h
3 

1,50202 × 1,5 
1,50202 × 0,785 2 
= 95,4 ×
× 1,5 × (1 − 0,785 × cot 0,785) −

0,3808
3


(6.48)
= 7,36kN .m
Finalmente, segundo a expressão (6.50), resulta:
σ mθ , Ed =
N Sd M rSd M f , Sd
− 24,3
− 46
7,36
+
+
=
+
+
= 64,7 MPa
−6
−6
Aet
Zr
Z xf
9440 × 10
877 × 10
61,5 × 10 −6
(6.50)
O valor obtido é concordante com os resultados apresentados no quadro 7.7.
Estudou-se a influência da existência do anel-viga, colocado na zona da transição do silo. O gráfico da
figura 7.16 ilustra os valores da tensão σ x, Ed para cada um dos nós dos elementos situados na
transição parede vertical/ tremonha. Como a figura o demonstra, é clara a influência positiva nos
valores da tensão vertical σ x, Ed , à qual está associado o fenómeno de varejamento.
Tensões na parede
80,0
60,0
40,0
20,0
0,0
-20,0
σ x , Ed -40,0
( MPa )-60,0
-80,0
-100,0
-120,0
-140,0
sem anel
com anel
pormenor
Fig. 7.16- Influência do anel-viga (varejamento) (combinação 1)
114
Silos Metálicos
Tensões na parede
80,0
60,0
40,0
20,0
0,0
σ x , Ed
sem anel
com anel
-20,0
-40,0
( MPa )
-60,0
-80,0
-100,0
-120,0
Fig. 7.17- Pormenor do gráfico da figura 7.16
Com o gráfico da figura 7.17 verifica-se a capacidade de distribuição de esforços de um anel-viga. De
facto, é à sua custa que não só se minimizam esforços de compressão na zona de transição (devidos
essencialmente às forças de compressão que lhe são aplicadas), como também se repartem esforços no
plano perpendicular ao plano da secção circular. Está então demonstrada a importância e contribuição
de um anel-viga num silo circular.
Mostra-se na figura 7.18 o mapa de tensões s1(tracções máximas) no silo, para a combinação 1.
Fig. 7.18- Mapa de tensões (s1) para a combinação 1
115
Silos Metálicos
É possível constatar que os maiores esforços de tracção se dão na tampa do silo. As tensões de
compressão mais elevadas (zonas a azul) ocorrem nas paredes verticais, imediatamente acima dos
apoios (zonas criticas nas quais é preciso verificar o fenómeno de varejamento) e nas paredes da
tremonha, entre a saída e zona da transição.
Fig. 7.19- Mapa de tensões (s2) de compressão para a combinação 1
Apresenta-se na figura 7.19 o mapa das tensões máximas de compressão (também para a combinação
1). Como era de esperar, as maiores compressões dão-se nas paredes verticais (zonas a azul) e ao
longo da zona de transição (onde são verificadas as compressões no anel viga, por exemplo).
116
Silos Metálicos
7.4. COMPORTAMENTO DINÂMICO
O estudo do comportamento dinâmico de um silo é fundamental. De facto, são os fenómenos de
varejamento, acção do vento e pressão interna (causada pelo material armazenado) que causam a
ruptura do silo. Qualquer uma destas acções induz instabilidade à estrutura, e convém saber descrever
os diferentes modos de instabilidade. Sabendo o seu comportamento para os principais modos de
vibração, antecipar-se-á a fatalidade que poderá ser a destruição de um silo. Foram estudados os 10
primeiros modos de vibração e observadas as configurações modais correspondentes, sistematizandose no quadro 7.8 as principais frequências naturais.
Quadro 7.8 – Resultados da análise dinâmica
Modo
Frequência
(Hz)
Pulsação
(1/seg)
Descrição
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5,76
8,76
12,83
15,26
19,77
22,63
23,56
23,57
27,27
27,58
36,21
55,03
80,64
95,9
124,23
142,19
148,05
148,09
171,31
173,32
oscilação local da tampa
torção da parede vertical
oscilação local da tampa
oscilação local da tampa
oscilação local da tampa
oscilação local da tampa
flexão da parede vertical
flexão da parede vertical
vibração conjunta parede vertical/ tampa
vibração conjunta parede vertical/ tampa
A primeira frequência natural ( f = 5,76 Hz ) está associada a uma oscilação local da tampa do silo:
Fig. 7.20- 1º Modo
117
Silos Metálicos
O segundo modo ( f = 8,76 Hz ), reflecte-se na torção da parede vertical do silo, segundo o seu eixo
vertical z.
Fig. 7.21- 2º Modo
Os modos 3 a 6 correspondem a oscilações locais da tampa do silo.
Fig. 7.22- 3º Modo
118
Silos Metálicos
Os modos 7º e 8º estão associados a flexão circunferencial da parede vertical:
Fig. 7.23- 7º Modo
Os últimos dois modos de valores (9º e 10º), com frequências da ordem dos 27 Hz, envolvem
vibração conjunta das paredes verticais do silo e tampa do silo.
Fig. 7.24- 9º Modo
De notar que nenhum dos 10 primeiros modos estudados envolve vibração das paredes da tremonha,
muito provavelmente devido à sua geometria cónica e ao confinamento associado ao anel viga.
119
Silos Metálicos
120
Silos Metálicos
8
SILO RECTANGULAR
8.1. INTRODUÇÃO
O comportamento estrutural de um silo rectangular é muito distinto do de um silo circular. A relação
entre as pressões e os deslocamentos é ainda pouco conhecida, levando-se a dimensionamentos algo
conservativos dos silos rectangulares. Os silos rectangulares são apropriados até dimensões para
d c (diagonal da secção rectangular) de 4 a 5m (silos rectangulares com reforços). A partir daí não se
justifica a sua utilização, sendo melhor a opção pelos silos circulares.
Nas figuras 8.1, 8.2 e 8.3, mostram-se algumas disposições possíveis de um silo rectangular:
Fig. 8.1-
Silo rectangular de cantos arredondados
121
Silos Metálicos
Fig. 8.2-
Silo rectangular com reforços (representados pelas linhas a tracejado)
Fig. 8.3-
Silo rectangular com reforços verticais e horizontais
Para uma mesma espessura das paredes, um silo rectangular e um circular não apresentam a mesma
capacidade resistente. Daí a necessidade de aumentar a rigidez da estrutura (rectangular) por meio de
reforços (ou nervuras de rigidez). Se é verdade que a sua existência aumenta os custos de construção
(material e transporte), não é menos verdade que a rapidez na construção é francamente superior.
Também neste tipo de silos se colocam as questões relativas ao tipo de fluxo do material (em massa ou
em funil), bem como as da instabilidade (formação de túnel e de arco). O tipo de fluxo preferível para
122
Silos Metálicos
os silos rectangulares é o de massa: existe uma maior probabilidade da retenção de material nos
cantos, onde os fenómenos de corrosão seriam amplificados, caso tal acontecesse. Garantindo o fluxo
em massa, o fenómeno de corrosão dos cantos fica minimizado (a figura 8.1 mostra a secção a usar
para evitar o fenómeno de corrosão nos cantos).
8.2. REGRAS PRINCIPAIS
8.2.1. PAREDES
Seguem-se também aqui os preceitos da Teoria de Janssen. As pressões horizontal, de atrito e vertical
(fig. 4.2), a uma altura z abaixo da superfície equivalente do sólido, são dadas por:
p hf ( z ) = p h 0 × YJ ( z )
(8.1)
p wf ( z ) = µ × p h 0 × YJ ( z )
(8.2)
p vf ( z ) =
p h0
× YJ ( z )
K
(8.3)
Em que:
p h0 = γ × K × z 0
(8.4)
A
1
×
K ×µ U
(8.5)
YJ ( z ) = 1 − e − z z 0
(8.6)
z0 =
Sendo:
γ o valor característico do peso volúmico;
µ o valor característico do coeficiente de atrito da parede quando o sólido desliza pela parede
vertical;
K o valor característico da razão da pressão lateral;
A a área da secção do silo;
U o perímetro interno da secção do silo.
123
Silos Metálicos
8.2.2. TREMONHA
Fig. 8.4-
Geometria da tremonha do silo rectangular
A pressão média vertical Pvy1 (adimensional) aplicada sobre as paredes da tremonha vale:
Pvy1
K −1
K
 1 − 2 z tan w 
1 − 2 × z × tan w   1 − 2 z tan w  
  + Pvo × 

=
× 1 − 
2 × tan w × (K − 1)   1 − 2 z 0 tan w  
1
−
2
z
tan
w
0




(8.7)
Com:
z0 =
y1
D
(8.8)
 K × K3

+ K 3 − 1
K = 2×  2
 tan w

(8.9)
e a pressão lateral na parede (adimensional)
 K × K4
Ph 0 =  3
 µ´

 × Pvy1

(8.10)
O tensão de corte (também adimensional) vale:
τw =
124
Ph
µ´
(8.11)
Silos Metálicos
Com as variáveis K 2 , K 4 e K 3 obtidas pelas equações (8.12), (8.13) e (8.14).
K2 =
K4 =
sen(δ ) × sen(2ε + 2 w)
1 − sen(δ ) × cos(2ε + 2 w)
(8.12)
senδ × sen(2ε )
1 − senδ × cos(2ε + 2 w)
(
)
(
(8.13)
cosη × 1 + sen 2δ ± 2 × sen 2δ − sen 2η
K3 =
cosη × 1 + sen 2δ ± 2 × K 1 × senδ
[(
)
]
)
0, 5
(8.14)
Em que δ é o ângulo de atrito interno do material.
Nas expressões (8.14) a (8.16) o sinal + utiliza-se nas condições estáticas, e o sinal – para condições
dinâmicas.
2ε =
 sen(φ´) 

+ φ´± cos −1 
2
sen
(
δ
)


π
π
 senη 
+ η ± cos −1 

2
 senδ 
2ε + 2 w =

sen(2ε + 2 w)

 cos(2ε + 2 w) + cos ec(δ ) 
(8.15)
(8.16)

η = tan −1 
(8.17)
sendo φ´ o ângulo de repouso.
K1 é definido como:
K1 =
[
2
1, 5
1 − (1 − c )
3× c
]
(8.18)
com c a valer:
 tan η 
c=

 tan δ 
2
(8.19)
125
Silos Metálicos
Quando K = 0 , Pvy1 torna-se igual à pressão hidrostática. É questionável a validade de valores
negativos de K . Para qualquer material em que sejam conhecidos os parâmetros δ (ângulo de atrito
interno do material armazenado) e φ´ (ângulo de repouso), a constante K será baixo para condições
estáticas, e elevado em condições dinâmicas. K pode ser negativo sobre condições estáticas quando
2w + 2ε 1 > π em que 2ε 1 = π 2 + φ´+ cos −1 (senφ´ senδ ) e o valor limite de K é expresso por:
2 w + φ´=
π
 senφ´ 
= cos −1 

2
 senδ 
(8.20)
Na fig. 8.5, a teoria para condições estáticas com valores não negativos de K é apenas aplicável para a
os pontos pertencentes à área à direita das curvas. Para evitar valores negativos de K ou quando
2w + 2ε 1 > η então K deverá ser tomado como zero caso seja negativo. Sendo feito, então K 3 toma
o valor unitário, e as equações (8.7) a (8.19) ficam:
Pvy1 = Pvo + ( z − z 0 )
Fig. 8.5-
Curvas para a equação (8.20) indicando condições limite para
Ph 0 =
sen(2 × w) × cos(φ´)
× Pvy1
sen(φ´+2 × w) + sen(φ´)
(8.21)
K (para condições estáticas)
(8.22)
A equação (8.22) é válida até que se dê a seguinte igualdade:
sen(2w + φ´) × senδ = senφ´
(8.23)
que é equivalente à condição expressa pela expressão (8.20). A teoria expressa pelas equações (8.21) e
(8.22) é válida para a área à esquerda das curvas desenhadas na figura 8.5.
126
Silos Metálicos
Assumindo que durante o carregamento é estabelecido o estado activo de tensões, a mudança para o
estado passivo da descarga cria uma onda de choque ascensional partindo da abertura da tremonha. O
valor da sobre-pressão devido à alteração de estado de tensão é dado por:
Pmax =
(K 3 × K 4 )dinâmica ( )
× Ph estático
(K 3 × K 4 )estática
(8.24)
De notar que a equação (8.24) é válida desde que a limitação imposta pela equação (8.20) não seja
excedida, e que a transição (de condições estáticas para dinâmicas) não chegue até à secção vertical do
silo. Quando a transição (de condições estáticas para dinâmicas) se situa na zona de transição (entre
paredes verticais e paredes da tremonha), então z = z 0 = 0 e as equações (8.7), (8.10) e (8.11) podem
ser utilizadas.
8.3. ANÁLISE ESTRUTURAL
8.3.1. INTRODUÇÃO
Para este tipo de silos exigem-se reforços estruturais, tais como os apresentados na figura 8.6.
Fig. 8.6-
Sistema estrutural típico de um silo rectangular
São portanto incluídos elementos de reforço nas paredes do silo; caso contrário, ter-se-iam que usar
espessuras de parede francamente antieconómicas.
A estrutura é analisada através da transformação das pressões causadas pelo material armazenado em
forças de tracção e de flexão, tal como mostrado na figura 8.7.
127
Silos Metálicos
Fig. 8.7-
Forças actuantes num silo rectangular
Geralmente a espessura das paredes é determinada para que vença o vão entre dois reforços
consecutivos. Estes reforços são geralmente verticais e horizontais.
O mesmo se passa nas paredes inclinadas da tremonha, adicionando-se ainda as forças de tracção
inclinadas Tma e Tmb devidas ao seu peso próprio e às forças de atrito a si aplicadas.
A pressão máxima na parede da tremonha ocorre na zona mais baixa da tremonha, onde está sujeita a
esforços de flexão, de corte e tensão. Geralmente, a parede é dimensionada tendo em vista apenas os
esforços de flexão, sendo os esforços de corte negligenciados e as tensões horizontais assumidas como
suportadas pelos reforços horizontais, que se poderão incluir na respectiva parede.
8.3.2. FORÇAS DE TRACÇÃO NAS PAREDES VERTICAIS
Devido ao material armazenado, criam-se as seguintes forças de tracção nas paredes verticais do silo:
Fig. 8.8-
128
Forças de tracção
Silos Metálicos
Lado a:
Ta =
1
× Pb × b
2
(8.25)
Tb =
1
× Pa × a
2
(8.26)
Lado b:
8.3.3. MOMENTOS NAS PAREDES VERTICAIS
A seguinte figura mostra o diagrama de momentos actuantes sobre as paredes verticais do silo.
Fig. 8.9-
Diagrama de Momentos
Os momentos no canto ( M c ) valem:
Pa × a 2 × K + Pb × b 2
Mc = −
12 × (1 + K )
(8.27)
Ib × a
Ia × b
(8.28)
Em que:
K=
Sendo I a e I b , as respectivas inércias das paredes a e b.
129
Silos Metálicos
Os momentos a meio vão das paredes valem:
no lado a,
Ma =
Pa × a 2
+ Mc
8
(8.29)
Ma =
Pb × b 2
+ Mc
8
(8.30)
e no lado b,
Caso as duas paredes tenham igual inércia, o momento no canto ( M c ) vale:
Pa × a 3 + Pb × b 3
Mc = −
12 × (a + b )
(8.31)
E para silos de secção quadrada em que a = b , I a = I b e Pa = Pb = P :
Mc = −
Pa × a 2
12
Ma = Mb =
P × a2
24
(8.32)
(8.33)
8.3.4. PAREDES VERTICAIS- TEORIA DAS PEQUENAS DEFORMAÇÕES
A parede (tal como representado na figura 8.10) abrangerá os esforços entre reforços (esforços na
direcção paralela e perpendicular aos reforços), respeitando-se a condição:
b
≤3
a
Sendo a e b definidos tal como na fig. 8.10:
130
(8.34)
Silos Metálicos
Fig. 8.10-
Reforços numa parede
A transformação de pressões não uniformes (causadas pelo material armazenado) sobre uma direcção
vertical, em pressões uniformes (em valor médio), demonstrou ser seguro para o dimensionamento.
Para o caso de uma parede rectangular uniformemente carregada com apoios encastrados em seu
redor, o momento de flexão máximo ocorre segundo o eixo x-x, no centro da parede, tal como
mostrado na figura 8.11 e vale:
M máx = α × Pn × a 2 × b
(8.35)
Sendo a > b , Pn a pressão normal média e α um coeficiente de proporcionalidade definido pela
tabela 8.1.
Fig. 8.11-
Parede de contornos fixos (encastrados)
131
Silos Metálicos
Tabela 8.1 – Coeficientes
α (para ν = 0,3 )
a
b
Apoios
fixos
Apoios
simples
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
3,0
4,0
0,0513
0,0581
0,0639
0,0687
0,0726
0,0757
0,0780
0,0799
0,0812
0,0822
0,0829
0,0831
0,0832
0,0833
0,0479
0,0553
0,0626
0,0693
0,0753
0,0812
0,0862
0,0908
0,0948
0,0985
0,1017
0,1189
0,1235
0,1250
∞
Caso a parede esteja limitada por apoios simples, utiliza-se igualmente a equação (8.35), mudando
apenas o valor de α , cujos valores são apresentados na tabela 8.1.
Para determinar a espessura da parede segundo esta teoria (das Pequenas Deformações), utiliza-se a
seguinte fórmula:
t=
6 × M máx
+ (1ou 2 )mm
b × Fb
(8.36)
A adição de 1 ou 2 mm à espessura da placa é uma medida de compensação do fenómeno de corrosão,
e Fb é a tensão admissível máxima de flexão do material pela qual é composta a parede.
8.3.5. PAREDES VERTICAIS- TEORIA DAS GRANDES DEFORMAÇÕES
Fig. 8.12-
Parede como membrana
Segundo esta teoria, baseada nas propriedades geométricas da parede em estudo e nas propriedades
elásticas do material utilizado, a espessura é obtida pela fórmula (8.37):
132
Silos Metálicos
(
)
13
 π × P × L2  π × 1 − ν 2
 
n
 
t ≥ 0,9213 × 
× 
2
8

4 × (Pn × L ) × E  



34
(mm)
(8.37)
Determinada a espessura da parede, há que verificar a tensão máxima:
f =
S 6× M
+ 2 ≤ Fb
t
t
(8.38)
Tal é feito numa pequena faixa da parede vertical de vão L , como mostrado na figura 8.12.
Os valores de S , S E e M são obtidos pelas três seguintes expressões:
2
1  4 × (Pn × L ) × E × t 
S= ×

π 
π × 1 −ν 2

(
SE =
13
)
(8.39)
π 2 × EI
L2 × (1 − ν 2 )
Pn × L2 
S
M =
× 1 − 1,032 ×
8
S + SE

(8.40)



(8.41)
Sendo:
Pn a carga uniformemente distribuída por metro de comprimento de parede ( kN m );
L o vão entre reforços da parede ( m );
t a espessura da parede ( mm );
I o momento de inércia por unidade de comprimento ( mm 4 );
E = 200000 MPa (aço);
ν = 0,3 coeficiente de Poisson.
133
Silos Metálicos
8.3.6. FORÇAS NAS PAREDES DAS TREMONHAS
As tremonhas estão sujeitas a esforços de flexão e de tracção.
Atente-se na figura 8.13 para se conhecerem as forças (e sua designação) em estudo:
Fig. 8.13-
Forças actuantes sobre a tremonha
Trata-se portanto de forças horizontais ( Th ) e forças ao longo do plano da parede ( Tm ). Por
simplicidade considera-se que esta última força (por unidade de comprimento) é constante ao longo da
parede.
A pressão de dimensionamento Pn ,des , normal à parede da tremonha, é calculada pela expressão:
Pn ,des = Ph,des × sen 2α + Pv , des × cos 2 α
(8.42)
As pressões de dimensionamento para cada uma das paredes a e b valem:
Pna = Ph × sen 2α a + Pv × cos 2 α a
(8.43)
Pnb = Ph × sen 2α b + Pv × cos 2 α b
(8.44)
Há ainda a acrescentar a parcela devida ao peso próprio das paredes da tremonha:
g n = 9,81 × g × cos α
Em que:
g é a massa da parede ( kg m 2 );
g n é a força normal à parede ( Pa );
α é a inclinação da parede.
134
(8.45)
Silos Metálicos
As forças de tracção horizontais, para cada uma das paredes:
Tha =
1
× Pnb × senα b
2
(8.46)
Thb =
1
× Pna × senα a
2
(8.47)
E as forças ao longo do plano das paredes:
Tma =
Tmb =
C a × W + Aa × Pa ,des + C a × G
a × senα a
C b × W + Ab × Pb, des + C b × G
b × senα b
(8.48)
(8.49)
C a e Cb tomam o valor de 0,25, quando a secção da tremonha é quadrada e Aa e Ab são as áreas
definidas pela figura 8.14.
Fig. 8.14-
Aa e Ab (variáveis ao longo da tremonha)
W corresponde ao peso do material armazenado na tremonha, e G ao peso da tremonha.
135
Silos Metálicos
8.3.7. DIMENSIONAMENTO DOS REFORÇOS VERTICAIS
No caso de existirem reforços verticais intercalados com reforços horizontais, existe uma forma
expedita de calcular o momento máximo a que ficam sujeitos os reforços verticais (valor esse
necessário para o posterior dimensionamento).
Existe para isso a tabela 8.2, que para cada valor de β faz corresponder os parâmetros K e α (a
grandeza K difere das outras grandezas K anteriormente apresentadas, sendo aqui um parâmetro de
cálculo do momento máximo aplicado a um reforço).
Tabela 8.2 – Coeficientes
β para o cálculo do momento flector
β
K
α
0
0,25
0,5
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
2,50
3,00
4,00
0,4226
0,4516
0,4726
0,4904
0,500
0,5092
0,5166
0,5228
0,5276
0,5352
0,5408
0,5486
0,0641
0,0789
0,094
0,1094
0,125
0,1406
0,1564
0,1722
0,1881
0,2199
0,2517
0,3155
O valor de β corresponde ao rácio entre a pressão (horizontal) superior e inferior aplicadas ao
reforço.
β=
P(sup )
P(inf )
(8.50)
x é a distância contada do topo do reforço até ao ponto de momento máximo, calculada pela equação
(8.51).
x = K×L
(8.51)
sendo L o comprimento total do reforço.
Consegue-se assim obter o valor do momento máximo existente no reforço:
M x = α × PB × L2
136
(8.52)
Silos Metálicos
9
ANÁLISE ESTRUTURAL DO SILO
RECTANGULAR
9.1. INTRODUÇÃO
A análise realizada no silo rectangular, foi baseada na revista canadiana “Design Guidelines for
Rectangular Steel Bins” [5].
Este silo é também dimensionado para o armazenamento de cimento, com as propriedades já
anunciadas. Tem dimensões iguais às do silo circular, variando apenas a geometria da sua secção. O
objectivo era o de comparar metodologias de cálculo e comportamentos estruturais, diversos para o
silo circular e rectangular.
- material : aço (S235)
- altura das paredes verticais: 5 m
- altura da tremonha: 3 m
- lado da secção quadrangular: 3 m
- lado da secção da base da tremonha: 0,30 m
- espessura das paredes verticais: a determinar
- espessura das paredes da tremonha: a determinar
- w = 24,2° (fig.8.4)
Fig. 9.1-
Geometria e propriedades geométricas do silo rectangular
137
Silos Metálicos
9.2. FORÇAS NA PAREDE
Interessava primeiramente determinar as pressões a que as paredes estariam sujeitas.
Considerou-se para a parede vertical, as pressões anteriormente calculadas para o silo circular (ELU
1), pois são estes os maiores valores de entre os três estados limite estudados no silo circular.
Quadro 9.1 – Resultados das pressões horizontais e de atrito, a aplicar às paredes verticais do silo
Esvaziamento
z (m )
0
1
2
3
4
5
p he (kPa )
p we (kPa )
0
10,2
17,4
22,7
26,4
29,1
0
3,7
6,4
8,3
9,7
10,7
O cálculo dos forças e momentos flectores actuantes sobre as paredes verticais do silo é feito através
das expressões (8.25), (8.30) e (8.31).
T=
1
1
× Ph × b = × Ph × 3 = 1,5 × Ph
2
2
M meiovão =
Ph × b 2
+ M canto = 0,375 × Ph
8
(P × b )× 2 = − 54 × P
=−
(8.25)
(8.30)
3
M canto
h
12 × (2 × b )
72
h
(8.31)
9.3. FORÇAS NA TREMONHA
9.3.1. FORÇAS ESTÁTICAS
Considerando que o material a armazenar (cimento) no silo rectangular apresenta as seguintes
propriedades:
φ´= 24° (ângulo de repouso)
δ = 30° (ângulo efectivo de atrito)
µ = 0,38 (coeficiente de atrito da parede)
determinam-se as forças estáticas aplicadas às paredes da tremonha.
138
Silos Metálicos
Em condições estáticas, utiliza-se o sinal + na expressão (8.15):
2ε 1 =
 sin φ´ 
−1  sin (24° ) 
 = 149,6°
+ φ´± cos −1 
 = 90° + 24° + cos 
2
 sin δ 
 sin (30°) 
π
(8.15)
Nestas condições, resulta que
2w + 2ε 1 = 2 × 24,2° + 149,6° = 198° > π
(8.16)
Sendo assim, a teoria de Walker aplica-se.
A sobrecarga vertical na tremonha ( Pv 0 ) vale:
Ph = σ w × γ × D ⇔ σ w =
Pv 0 =
σw
K
=
29,1
= 0,606
16 × 3
0,606
= 1,60
0,38
Uma vez que se estuda a condição estática, não haverá fluxo na tremonha (a tremonha está cheia) e por
isso z 0 = 0 . Assim sendo, a expressão (8.21) fica:
Pvy1 = Pv 0 + ( z − z 0 ) = 1,60 + z
(8.21)
Com:
z=
y y
=
D 3
(8.8)
e
Ph 0 =
sen(2 × w) × cos(φ´)
sen(2 × 24,2°) × cos(24°)
× Pvy1 =
× Pvy1 = 0,5023 × Pvy1
sen(φ´+2 × w) + sen(φ´)
sen(24° + 2 × 24,2°) + sen(24°)
(8.22)
As anteriores pressões (adimensionais) transformam-se da seguinte maneira em pressões verticais:
Pv =
1600 kg m 3 × 9,81 × 3m
× Ph 0 = 47,09 × Ph 0
1000
Segundo a revista canadiana, o valor de K é obtido pela seguinte equação:
K=
1 − senδ
,
1 + senδ
139
Silos Metálicos
pela qual obtemos o valor de K = 0,33 . No entanto, na mesma publicação aconselha-se o uso do
valor 0,40. Decide-se portanto por um valor intermédio: 0,38. A pressão horizontal obtém-se da
pressão vertical por:
Ph = Pv × K = Pv × 0,38
Por fim, obtém-se a distribuição de pressões ao longo da tremonha, apresentada no Quadro 9.2.
Quadro 9.2 – Resultados do carregamento estático (tremonha)
Carregamento estático
y
m
Pvy1
Pho
Pv
kPa
Ph
KPa
0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
1,6
1,77
1,93
2,1
2,27
2,43
2,6
0,804
0,887
0,971
1,055
1,139
1,222
1,306
37,8
41,8
45,7
49,7
53,6
57,6
61,5
14,4
15,9
17,4
18,9
20,4
21,9
23,4
9.3.2. FORÇAS DINÂMICAS
É preciso comparar as anteriores pressões estáticas com as obtidas em regime dinâmico, para se saber
quais são mais determinantes.
Agora nas condições dinâmicas utiliza-se o sinal – para a expressão (8.15):
2ε 2 =
 sen(φ´) 
 sen(24°) 
 = 90 + 24 − cos −1 
 = 78,4°
+ φ´− cos −1 
sen
(
δ
)
sen
(
)
2
30
°




π
(8.15)
Nestas condições, pela expressão (8.16) resulta
2ε 2 + 2w = 78,4° + 2 × 24,2° = 126,8° < π
(8.16)
Respeitando-se a condição em cima anunciada, aplica-se a teoria de Walter.
Assim sendo, o cálculo das pressões passa pela determinação das grandezas η , K 2 , c , K 1 , K 3 , K 4
e
K:



sen(2ε + 2 w)
sen(126,8°)
= tan −1 

 = 29,75°
 cos(2ε + 2 w) + cos ec(δ ) 
 cos(126,8° ) + cos ec(30°) 

η = tan −1 
140
(8.17)
Silos Metálicos
K2 =
sen(δ ) × sen(2ε + 2 w)
sen(30°) × sen(126,8°)
=
= 0,3081
1 − sen(δ ) × cos(2ε + 2 w) 1 − sen(30°) × cos(126,8°)
 tan (29,75°) 
 tan η 
 = 0,9800
c=
 = 
 tan δ 
 tan (30°) 
2
2
K1 =
(8.12)
[
]
(8.19)
[
]
2
2
1,5
1, 5
1 − (1 − c ) =
1 − (1 − 0,9800 ) = 0,6783
3× c
3 × 0,9800
(
)
(
cosη × 1 + sen 2δ ± 2 × sen 2δ − sen 2η
K3 =
cosη × 1 + sen 2δ ± 2 × K 1 × senδ
[(
(
)
)
]
)
0, 5
(
)
cos(29,75°) × 1 + sen 2 (30°) − 2 × sen 2 (30°) − sen 2 (29,75°)
=
cos(29,75°) × 1 + sen 2 (30°) − 2 × 0,6783 × sen(30° )
[(
(8.18)
)]
0,5
(8.14)
= 1,939
 0,3081 × 1,939

 K × K3

K = 2×  2
+ K 3 − 1 = 2 × 
+ 1,939 − 1 = 4,54
 tan w

 tan (24,2°)

K4 =
senδ × sen(2ε )
sen(30°) × sen(78,4°)
=
= 0,3769
1 − senδ × cos(2ε + 2 w) 1 − sen(30° ) × cos(126,8°)
Desta vez a expressão da pressão adimensional
Pvy1 =
=
[
]
(8.9)
(8.13)
Pvy1 é alcançada através da expressão (8.7).
1 − 2 × z × tan w
K −1
K
× 1 − (1 − 2 × z × tan w)
+ Pvo × (1 − 2 × z × tan w)
2 × tan w × (K − 1)
(8.7)
1 − 2 × z × tan (24,2°)
(4 , 54 −1)
4 ,54
× 1 − (1 − 2 × z × tan(24,2°)
+ 1,60 × (1 − 2 × z × tan (24,2°))
2 × tan (24,2°) × (4,54 − 1)
[
]
Para agilizar o cálculo utiliza-se uma variável a que vale:
a = 1 − 2 × z × tan w
A também adimensional pressão horizontal é expressa por:
 K × K4
Ph 0 =  3
 µ´

 1,939 × 0,3769 
 × Pvy1 = 
 × Pvy1 = 1,923 × Pvy1
0,38



(8.10)
141
Silos Metálicos
Por fim, chega-se às expressões que permitem obter as pressões (dinâmicas) verticais e horizontais na
parede da tremonha:
Pv =
1600 × 9,81 × 3
× Ph 0 = 47,09 × Ph 0
1000
Ph = Pv × K = Pv × 0,38
Apresenta-se no quadro 9.3. a distribuição de pressões dinâmicas na parede da tremonha.
Quadro 9.3 – Resultados do carregamento dinâmico (tremonha)
Carregamento dinâmico
y1
Z
a
Pvy1
Pho
0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3
0
0,166667
0,333333
0,5
0,666667
0,833333
1
1
0,850194
0,700388
0,550582
0,400776
0,25097
0,101164
1,6
0,883
0,475
0,259
0,146
0,081
0,032
3,08
1,70
0,91
0,50
0,28
0,16
0,06
Pv
KPa
144,9
79,9
43,0
23,4
13,2
7,4
2,9
Ph
KPa
55,1
30,4
16,4
8,9
5,0
2,8
1,1
Observando pressões estáticas e dinâmicas na tremonha (fig.9.2), nota-se que as do carregamento
dinâmico são maiores até uma profundidade de 1m (a contar da transição), e que a partir daí se
sobrepõem as oriundas do cálculo estático.
Diagrama de pressões na tremonha
Pressões (kPa)
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
0
0,5
1
y1 (m) 1,5
dinâmico
estático
2
2,5
3
Fig. 9.2-
142
Pressões perpendiculares às paredes da tremonha ( Ph ) (regime estático/ dinâmico)
Silos Metálicos
Convém assim utilizar os valores máximos de cada um dos carregamentos, definindo como resultado
final o quadro 9.4:
Quadro 9.4 – Pressões de cálculo na tremonha
y1
0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
Design pressure (kPa)
Ph
Pv
55,1
144,9
30,4
79,9
16,4
43
18,9
49,7
20,4
53,6
21,9
57,6
23,4
61,5
Pn
70,2
38,7
20,8
24,1
26
27,9
29,8
Para além das pressões do quadro 9.4 há ainda a adicionar as devidas à massa da tremonha.
A força Fw é a força causada pelo peso próprio do material armazenado na tremonha (cimento), de
volume:
V = 10m 3
Fw = 10m 3 × 1600 kg m 3 ×
9,81
= 157 kN
1000
De seguida, há que adicionar o peso da própria tremonha:
FH = γ S × Ah × t g
Em que
γ S corresponde à densidade do aço ( 7850 kg m 3
),
Ah a área das paredes da tremonha, e
t g é a espessura da parede (a espessura da parede da tremonha nunca é inferior a 10mm; por agora,
considere-se o dobro desse valor).
1

3
Ah = 4 ×  × (3 + 0,30 ) ×
= 21,7 m 2

cos(24,2° )
2
FH = γ S × Ah × t g = 7850 × 21,7 × 0,020 ×
Tomando para
C a o valor 0,25 e Aa pela figura 8.14, obtêm-se as forças Tm (forças existentes ao
longo das paredes) e
Tm =
9,81
= 33,5kN
1000
Th (forças horizontais).
C a × Fw + Aa × Pa ,des + C a × FH
b × sen(α b )
=
0,25 × 157 + Aa × Pv + 0,25 × 33,5
3 × sen(65,8°)
(8.48)
143
Silos Metálicos
Th =
1
× Pn × senα = 0,5 × Pn × sin(65,8°)
2
(8.46)
Pn = Ph × sen 2 (65,8°) + Pv × cos 2 (65,8°)
(8.43)
Com as equações (8.46) e (8.48) chega-se aos valores das forças horizontais ( Th ) e das forças ao
longo do plano da parede da tremonha ( Tm ), apresentadas no Quadro 9.5.
Quadro 9.5 – Pressões de cálculo na tremonha
y1
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
Design pressure (kPa)
Ph
Pv
55,1
30,4
16,4
18,9
20,4
21,9
23,4
144,9
79,9
43,0
49,7
53,6
57,6
61,5
Pn
70,2
38,7
20,8
24,1
26,0
27,9
29,8
( )
A m2
9,000
7,515
6,030
4,545
3,060
1,575
0,090
Design forces (kN)
Th
Tm
32,0
17,6
9,5
11,0
11,8
12,7
13,6
136,5
72,3
41,1
38,0
32,4
25,7
17,9
9.4. DIMENSIONAMENTO DAS PAREDES
Para o dimensionamento das paredes, considera-se que os reforços horizontais suportam as forças
horizontais e momentos, estudando-se por isso a parede entre reforços verticais.
A teoria das pequenas deformações é aplicável para troços de parede (limitados pelos reforços
verticais e horizontais), em que exista uma relação de 3:1 entre o seu lado maior e menor.
Assume-se um espaçamento entre anéis horizontais de 3,00 m e um espaçamento vertical máximo de
1,00 m .
144
Silos Metálicos
Fig. 9.3-
Pressões entre reforços horizontais
A média das pressões aplicadas ao troço da parede em estudo vale
w=
29,1 + 17,4
= 23,3 kPa m
2
O momento flector máximo é calculado pela equação (8.35),
M máx = α × Pn × a 2 × b
(a > b )
(8.35)
O valor de α depende do rácio entre as dimensões vertical e horizontal da parede
b 3
= = 3 → α 3 = 0,1189
a 1
Calcula-se o momento máximo
M máx = 0,1189 × 23,3 × 32 ×1 = 25,0kN .m
(8.35)
Em que Fb corresponde à tensão máxima permitida na secção, devida a esforços de flexão, e vale
Fb = 0,6 × Fy = 0,6 × 235 = 141MPa
Pela teoria das pequenas deformações obtém-se a espessura de:
t=
6 × M máx
6 × 25,0
+ (1ou 2)mm =
= 18,8mm → 20mm
b × Fb
3 × 141 × 10 3
(
)
(8.36)
145
Silos Metálicos
Já pela teoria das grandes deformações resulta a seguinte espessura,
(
)
34
(
)
13
 π × P × L2  π × 1 − ν 2
 
n
 
t ≥ 0,9213 × 
× 
2
8

4 × (Pn × L ) × E  



 π × 23,3 × 1,0 2 
π × 1 − 0,3 2
= 0,9213 × 
× 
2
6
8

 4 × (23,3 × 1,0 ) × 200 × 10
(
)




13



34
(8.37)
= 7,8 → 8mm
Escolhe-se a menor das espessuras, desde que se verifique a tensão máxima.
A verificação da tensão na placa passa pela determinação das grandezas S ,
2
1  4 × (Pn × L ) × E × t 
S= ×

π 
π × 1 −ν 2

(
)
13
2
1  4 × (23,3 × 1) × 200 × 10 6 × 0,008 


= ×

π 
π × 1 − 0,3 2

I=
(
)
13
= 340 kN mm
b × h 3 1× 83
=
= 42,7 mm 4 mm
12
12
SE ,
π 2 × EI
π 2 × 200 × 42,7
SE = 2
= 2
= 92,6 × 10 −3 kN mm
2
2
L × (1 − ν )
1 × (1 − 0,3 )
(8.40)
e do momento M ,
M =
Pn × L2 
S
× 1 − 1,032 ×
8
S
+
SE

(
)
 23,3 × 10 −6 × 1000 2 
340 
 =
× 1 − 1,032 ×
 = 550 × 10 −3 kN mm
8
340
+
92
,
6



(8.41)
Atingindo-se por fim o valor da tensão máxima na parede de espessura de 8mm:
f =
(
)
S 6 × M 340 × 10 −3 6 × 550 × 10 −3
+ 2 =
+
= 94,1MPa ≤ Fb = 141MPa (OK )
t
8
t
82
Conclui-se que uma espessura de 8 mm para a parede vertical é suficiente.
146
(8.38)
(8.39)
Silos Metálicos
A próxima etapa de cálculo passa pelo dimensionamento dos reforços verticais na parede vertical:
β=
29,1
= 1,67
17,4
(8.50)
Da tabela 8.2 extrai-se:
α = 0,1671
K = 0,5208
Obtendo-se o momento pela expressão (8.52),
M = α × p b × L2 = 0,1671 × 17,4 × 3 2 = 26,2 kN .m m
(8.52)
A secção que o reforço tem terá que respeitar certas condicionantes como a grandeza S req´d ,
S req´d =
M
26,2 × 1
=
= 185,8 × 10 3 mm 3
3
Fb 141 × 10
E uma área mínima de corte,
VA =
26,2
= 18,2kN
(1 − 0,5208)× 3
FV = 0,40 × Fy = 0,40 × 235 = 94 MPa
AV =
F
σ
=
18,2
= 193,6mm 2
3
94 × 10
Este valor de AV é a área mínima de corte que o perfil do reforço vertical tem que assegurar.
Escolhendo um meio perfil W 100 × 20,0 com as características geométricas:
I xx = 1,79 × 10 6 mm 4
AT = 2940mm 4
A porção de parede que contribui para a secção em T vale:
40t = 40 × 8 = 320mm
147
Silos Metálicos
Proponha-se a seguinte secção:
Fig. 9.4-
Secção do reforço
Que apresenta as seguintes características mecânicas:
y=
17,1 × 2940 + (110 − 4) × 2560
= 58,5mm
2940 + 2560
[
] [
]
I nn = 1,79 × 10 6 + 2940 × (58,5 − 17,1) + 0,1365 × 10 6 + 2560 × (51,5 − 4) = 12,62 × 10 6 mm 4
2
Sc =
12,62 × 10 6
= 245 × 10 3 mm 3
51,5
St =
12,62 × 10 6
= 215 × 10 3 mm 3
58,5
2
Como tanto S c como S t são maiores que o S req´d , a secção respeita a segurança à flexão. A
resistência ao corte é assegurada pela área conjunta do perfil ser superior a AV .
A secção acima desenhada é portanto suficiente para ser utilizada como reforço vertical nas paredes
verticais do silo rectangular.
148
Silos Metálicos
9.5. DIMENSIONAMENTO DA TREMONHA
Utilizando os mesmos princípios utilizados no dimensionamento da parede vertical, dimensiona-se a
espessura a utilizar nas paredes da tremonha, bem como os respectivos reforços verticais. Como na
tremonhas as pressões aplicadas são maiores, decide-se reduzir o espaçamento entre reforços
horizontais para metade, ou seja, de 1,5 em 1,5m.
b 1,5
=
= 1,5 → tab8.1 → α = 0,0812
a
1
Fig. 9.5-
Pressões na parede da tremonha
O valor médio das pressões aplicadas à metade superior da parede da tremonha vale:
Pn =
70,2 + 24,1
= 47,2kPa
2
Com o qual se determina o momento máximo
2
M máx


1,5
 × 1 = 10,4kN .m
= 0,0812 × 47,2 × 
 cos(24,2°) 
(8.35)
Segundo a teoria das pequenas deformações:
t=
6 × 10,4
= 16,4mm → 18mm
1,645 × 141 × 10 3
(
)
(8.36)
149
Silos Metálicos
E respeitando a teoria das grandes deformações:
(
)
 π × 47,2 × 1,0 2 
π × 1 − 0,3 2
t ≥ 0,9213 × 
× 
2
6
8

 4 × (47,2 × 1,0 ) × 200 × 10
(
)




13



34
= 9,3 → 11mm
(8.37)
Uma vez mais, escolhe-se o menor dos valores obtidos por (8.36) ou (8.37), desde que se faça a
seguinte verificação.
A tensão na parede é calculada por
2
1  4 × (47,2 × 1) × 200 × 10 6 × 0,011 


S = ×

π 
π × 1 − 0,3 2

(
I=
SE =
8
(
1 × 1 − 0,3
2
2
= 605 kN mm
(8.39)
b × h 3 1×113
=
= 110,9 mm 4 mm
12
12
π 2 × 200 ×110,9
(47,2 × 10 )× 1000
M =
−6
)
13
2
)
= 240,6 ×10 −3 kN mm
605


× 1 − 1,032 ×
 = 1554 × 10 −3 kN .mm mm
605 + 240,6 

(8.40)
(8.41)
Obtendo-se o valor de
(
)
S 6 × M 605 × 10 −3 6 × 1554 × 10 −3
f = + 2 =
+
= 131,5MPa ≤ Fb = 141MPa (OK )
t
11
t
112
(8.38)
Passando ao dimensionamento dos anéis verticais entre A e B:
β=
70,2
= 2,91
24,1
(8.50)
Da tabela 8.2 extrai-se:
α = 0,2460
K = 0,5397
Com os quais se acha o momento M
M = α × p b × L2 = 0,2460 × 24,1 × 1,645 2 = 16,0 kN .m m
150
(8.52)
Silos Metálicos
A garantir uma vez mais os valores mínimos de S req´d e AV calculados como:
S req´d =
VA =
M
16,0 × 1
=
= 113,58 × 10 3 mm 3
3
Fb 141× 10
16
= 23,2kN
(1 − 0,5397 )×1,5
FV = 0,40 × Fy = 0,40 × 235 = 94 MPa
e
AV =
F
σ
=
23,2
= 246,8mm 2
3
94 × 10
Propondo a mesma meia secção anteriormente apresentada:
Fig. 9.6-
y=
Secção do reforço da tremonha
17,1 × 2940 + (113 − 5,5) × (440 × 11)
= 73,3mm
2940 + 440 × 11
[
I nn = 1,79 × 10 + 2940 × (73,3 − 17,1)
6
Sc =
2
]
 440 × 10 3
2
+
+ 440 × 11 × (39,7 − 5,5)  = 16,79 × 10 6 mm 4
 12

16,79 × 10 6
= 422,8 × 10 3 mm 3
39,7
151
Silos Metálicos
St =
16,79 × 10 6
= 229 × 10 3 mm 3
73,3
Como tanto S c e S t são maiores que o S req´d , a secção respeita a segurança à flexão. A resistência ao
corte é assegurada pelo facto da área conjunta do perfil ser superior a AV .
A secção acima desenhada é portanto suficiente para ser utilizada como reforço vertical nas paredes da
tremonha do silo rectangular.
9.6. ANÁLISE SILO RECTANGULAR
Como se viu anteriormente, utilizando a teoria plástica conseguem-se obter dimensionamentos das
paredes do silo mais económicas. O programa utilizado para este tipo de silos foi o ROBOT; no
entanto, este programa de cálculo só faz análises elásticas dos elementos casca. De qualquer das
maneiras, decidiu-se estudar o silo pela teoria elástica, até para comprovar alguns dos resultados
obtidos anteriormente.
Apresenta-se na figura 9.7 a malha de elementos finitos construída utilizando o “software” ROBOT.
Fig. 9.7-
Silo rectangular modelado no ROBOT
Foi feito um estudo da malha de elementos finitos a utilizar (antes da inclusão de reforços na estrutura;
daí os elevados valores de tensão que mais à frente se referem no parágrafo). Foram utilizados
elementos quadrados de dimensão 0,30m. Um maior grau de refinamento era desnecessário, já que os
resultados obtidos com elementos desta dimensão se aproximam de uma maneira bastante satisfatória
de uma malha bastante refinada (o máximo que se conseguiu foi ter uma malha com elementos de
0,10m, cuja tensão máxima s1 era de 2538,92 MPa, enquanto que com elementos de 0,30m se tinha o
valor de 2519,67 MPa, valor portanto satisfatoriamente próximo do anterior).
152
Silos Metálicos
Os reforços verticais têm a secção anteriormente determinada pelos cálculos manuais. À falta de mais
dados, foram repetidas as mesmas secções também para os reforços horizontais.
A espessura dos painéis é de 15mm, pois era suficiente o necessário para respeitar os valores de tensão
máxima, como a seguir se demonstrará.
Fig. 9.8-
Deformadas no silo rectangular (em cima o silo sem reforços e em baixo, com reforços)
153
Silos Metálicos
É visível a importância dos reforços verticais para este tipo de estruturas, pois permitem a redução
significativa dos deslocamentos (de notar que a escala da deformada de cima é muito superior à da
deformada de baixo).
Mais uma vez, a importância dos reforços no silo é constatada no gráfico da figura 9.9. Comparando
valores de tensões principais máximas (para as mesmas paredes do silo, e na combinação 1) num silo
com reforços, com as de um sem reforços, é clara e notória a importância da existência de reforços
para os silos rectangulares (o gráfico da figura abaixo representa para cada um dos nós da estrutura
com e sem reforços, os correspondentes valores da tensão principal máxima, num silo com paredes de
espessura de 15mm).
Tensões s1 (espessura de 15mm)
300
200
Tensão s1 (MPa)
100
0
com reforços
sem reforços
-100
-200
-300
-400
Fig. 9.9-
Tensões principais máximas num silo rectangular com e sem reforços (horizontais e
verticais)
Considerando o silo reforçado, apresentam-se no quadro 9.6 os valores máximos das tensões
principais para as várias combinações de acções consideradas.
Quadro 9.6 – Tensões principais
comb
comb 1
comb 2
comb 3
comb 4
comb 5
comb 6
154
s1( MPa )
s 2( MPa )
64,62
65,04
65,55
77,63
78,09
78,60
-149,87
-147,34
-136,13
-160,50
-157,97
-146,76
OK
OK
OK
OK
OK
OK
Silos Metálicos
O valor da tensão máxima (
f e , Rd =
fy
γ M 1b
=
235
= 213MPa ) é amplamente verificado.
1,1
Apresentam-se nas figuras 9.10 e 9.11 mapas de tensões principais máximas e mínimas,
respectivamente, para a combinação de acções 1.
Fig. 9.10- Mapa de tensões s1 (combinação 1)
155
Silos Metálicos
Fig. 9.11- Mapa de tensões s2 (combinação 1)
De realçar as zonas de tracção entre reforços verticais e horizontais, e as zonas de compressão nas
zonas da intersecção (nos cantos) das paredes verticais. Estes resultados tornam-se bastante óbvios
após o visionamento da deformada da estrutura apresentada na fig. 9.8.
9.7. COMPORTAMENTO DINÂMICO
Apresentam-se no quadro 9.7 os valores das primeiras dez frequências naturais e caracterizam-se os
modos de vibração em correspondência.
Quadro 9.7 – Resultados da análise dinâmica
156
Modo
Frequência
(Hz)
Pulsação
(1/seg)
Descrição
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8,43
11,68
11,78
18,91
27,13
27,19
27,95
29,12
38,38
41,01
52,94
73,38
74,03
118,83
170,47
170,63
175,63
182,99
241,12
257,66
torção das paredes verticais
oscilação das paredes verticais
oscilação das paredes verticais
oscilação da tampa
oscilação conjunta da parede vertical, tremonha e tampa
oscilação conjunta da parede vertical, tremonha e tampa
vibração conjunta da parede vertical/ tampa
oscilação das paredes verticais
oscilação da tampa
vibração conjunta da parede vertical/ tampa
Silos Metálicos
O 1º modo de vibração está associada à torção das paredes verticais, enquanto que o 2º modo
corresponde à oscilação da parede vertical, ilustrado nas figuras 9.12 e 9.13.
Fig. 9.12- 1º modo (
f = 8,43Hz )
Fig. 9.13- 2º modo (
f = 11,68 Hz )
O 3º modo de vibração é semelhante ao segundo, mudando a direcção de vibração.
Os modo 4º e 9º correspondem a oscilações locais na tampa do silo, enquanto que os modos 7º e 10º
causam a vibração conjunta das paredes verticais com a tampa do silo.
Fig. 9.14- 4º modo (
f = 18,91Hz )
Fig. 9.15- 7º modo (
f = 27,95 Hz )
157
Silos Metálicos
Fig. 9.16- 9º modo (
f = 38,38 Hz )
Fig. 9.17- 10º modo (
f = 41,01Hz )
Neste trabalho, para se reforçar o silo, utilizaram-se nervuras de rigidez com as secções das figuras 9.4
e 9.6. No entanto, uma outra solução poderia ter sido escolhida. Esta solução é muito usada em países
como França e Alemanha, e passa por usar tirantes tal como se apresenta nas figura 9.18 e 9.19:
Fig. 9.18- Diversas formas de colocar tirantes
158
Silos Metálicos
Fig. 9.19- Pormenorização dos tirantes num silo rectangular
A vantagem deste método é a da maior facilidade em construir e reparar o silo em casa de avaria, além
da maior facilidade de cálculo para o dimensionamento. A desvantagem é devida ao posicionamento
dos reforços internos, que podem perturbar o fluxo do material
159
Silos Metálicos
160
Silos Metálicos
10
SILO DE CHAPA QUINADA
10.1. INTRODUÇÃO
Muitas vezes a secção das paredes do silo segue um padrão ondulado, que permite um melhor
comportamento em flexão (a inércia da secção é aumentada pelo simples aumento da altura do perfil).
Em seguida, estudam-se os fenómenos a ter em conta para o seu dimensionamento.
Algumas expressões a utilizar,
Silos de base poligonal regular:
Pressão lateral máxima: p máx =
Abcissa característica: A =
L
π
×
δ ×r
tgϕ´
1
π ϕ 
4 × tgϕ´×tg 2  − 
4 2
−
h
3
Pressão lateral unitária sobre as paredes, à profundidade z :
−2
 z
 
p z = p máx × 1 −  + 1 
  A  
Pressão vertical unitária média sobre o fundo, à profundidade z :
−1
 z

q z = δ ×  z ×  + 1 +
  A 
h

3 
161
Silos Metálicos
Esforço de tracção T exercido sobre uma faixa vertical em contacto com uma massa armazenada:
Sejam:
c a circunferência exterior à faixa
ϕ´´ o ângulo de atrito dos grãos sobre a faixa
r raio hidráulico médio do silo
A a abcissa característica correspondente ao silo
T = δ ×r×c×
tgϕ´´
z2
×
tgϕ´ z + A
Nota: as fórmulas em cima apresentadas são aplicáveis para a determinação de esforços sobre as
paredes e sobre o fundo dos silos no momento do enchimento das células. Precauções suplementares
devem ser usadas para a estimação das sub pressões consideráveis provocadas pelo esvaziamento dos
silos.
10.2. SILO QUADRADO
Calculem-se as espessuras das chapas das paredes reforçadas por ondulação e por pilares, de um silo
de trigo de secção quadrada com 3,00 m de lado.
Descrição:
Os painéis metálicos, constituindo as paredes das células, são compostos por chapas finas dobradas em
ondas de 0,174 m de profundidade, apresentando alternativamente forças verticais e de faces
inclinadas de 0,25 m de largura.
162
Silos Metálicos
Fig. 10.1- Chapa quinada
As chapas são soldadas electricamente sobre batentes metálicos que resistirão, aquando da obra
finalmente concluída, às reacções verticais devidas ao atrito entre grãos sobre as chapas dos painéis.
Os batentes adjacentes após a colocação dos painéis, são soldados e constituem verdadeiros pilares
que transmitem as cargas que recebem até às fundações.
Os painéis têm uma largura de 3,00 m e eles são soldados sobre os batentes de 0,18 m de largura e
uma espessura tal que a dimensão do quadrado limitador da secção total das células seja de 4,19 m
segundo os eixos no desenho.
A altura dos painéis verticais é de 24,00 m.
Características do trigo:
Densidade: 800 kg m 3
Ângulo de atrito interno ϕ = 25º
Devido à presença das ondas e da massa dos grãos que se imobiliza nos buracos que estas formam, o
equilíbrio da matéria armazenada estabelece-se em função do atrito grão sobre grão.
Os cálculos dos esforços são portanto estabelecidos com os seguintes elementos de base:
tg 25º = 0,466
 π 25º 
tg 2  −
 = 0,406
2 
4
163
Silos Metálicos
Cálculos:
Superfície de uma célula segundo os eixos do desenho: S = 3,20 2 = 10,24m 2
Perímetro correspondente: c = 4 × 3,20 = 12,60m
Raio hidráulico médio: r =
10,24
= 0,80
12,60
Altura do cone superior de material armazenado: h =
Abcissa característica: A =
12,60
π
×
3,20
a
× tgϕ =
× 0,466 = 0,745m
2
2
1
0,745
−
= 5,051
4 × 0,466 × 0,406
3
Pressão horizontal máxima no silo indefinido:
p máx =
800 × 0,80
= 1375 kg m 2
0,466
Pressões por m 2 à profundidade z :
−2
  z
 
p z = p máx × 1 − 
+ 1 
  5,051  
Da qual resulta o seguinte quadro:
Quadro 10.1 – Pressões ao longo da parede do silo
z (m )
z
5,051
4,00
8,00
12,00
16,00
20,00
24,00
0,792
1,584
2,376
3,168
3,960
4,752
 z

1− 
+ 1
 5,051 
0,689
0,850
0,912
0,942
0,959
0,970
−2
(
p z kg m 2
)
947
1169
1254
1296
1319
1333
As paredes devem ser calculadas segundo as diversas solicitações das ondas:
1º À flexão simples entre os dois pilares, sobre o efeito da pressão horizontal dos grãos;
2º À flexão desviada entre os pilares ou entre os pilares e os elementos de reforço verticais dos pilares,
sobre o efeito da resultante da pressão horizontal e da força de atrito dos grãos sobre as paredes;
3º À flexão local das faces verticais ou inclinadas das ondas sobre o efeito da pressão e da força de
atrito anteriormente definidos.
164
Silos Metálicos
10.3. FLEXÃO SIMPLES
Os cálculos são feitos no caso do equipamento das células com colunas de depressão impedindo o
aumento de pressões sobre as paredes no momento do enchimento.
As paredes são solicitadas pela flexão simples entre os pilares de apoio e por um esforço de tracção
devido à pressão dos grãos sobre as paredes vizinhas.
Altura de uma onda: 0,86 m
Módulo de inércia de uma onda em chapa de espessura e :
I 4
4
= × a × e × l = × 17,4 × e × 25 = 580 × e
v 3
3
Fig. 10.2- Secção da parede vertical
Secção da onda: A = 4 × 0,25 × e = e
Momento-flector máximo: M = p z ×
3,00 2
× 0,86 = 0,645 × p z
2
Esforço de tracção das paredes vizinhas: N = p z ×
3,20
× 0,86 = 1,376 × p z
2
165
Silos Metálicos
Tensão do metal: R´a =
M
N
+
580 × e 100 × e
O quadro em baixo dá os valores dos esforços do metal para as diferentes profundidades z da matéria
armazenada a partir do topo das paredes e para as espessuras de chapas determinadas:
Quadro 10.2 – Tensões obtidas (flexão simples)
z (m )
4,00
8,00
12,00
16,00
20,00
24,00
(
p z kg m
2
)
947
1169
1254
1296
1319
1333
M (kg.cm )
N (kg )
61067
75403
80905
83582
85082
86007
1303
1609
1726
1783
1815
1835
Tensão
Chapa de
25/10
473
584
627
648
659
667
(kg
cm 2
Chapa de
30/10
)
Chapa de
35/10
10.4. FLEXÃO DESVIADA
O estudo das deformações de uma onda tal que ABCDE (fig.10.3) mostra que as faces verticais BC e
DE tendem a rodar respectivamente sobre os pontos B e E e a porção de parede BCDE toma a posição
a pontilhado BC´D´E.
Fig. 10.3- Secção da parede vertical
166
Silos Metálicos
É preciso estudar particularmente o equilíbrio desta porção de parede segundo o eixo BE
correspondente a uma altura de parede de 0,67.
O módulo de inércia da porção de parede BCDE segundo o eixo BE, negligenciando o termo
insignificante do módulo de inércia de cada face em relação ao eixo que passa pelo seu centro de
gravidade, vale:
I
= e × l 2 × senβ = e × 25 2 × senβ = 155,0 × e ( cm 3 )
v
A secção da porção de parede considerada é
w = 3 × 25 × e = 75 × e ( cm 2 )
A pressão horizontal calculada para uma profundidade de 24,00 m é: 1333 kg m 2
A força vertical de atrito à mesma profundidade é:
 24 2

23 2
2
F = 800k × 0,80 × 
−
 = 620 kg m
24
5
,
051
23
5
,
051
+
+


Resultante da pressão e da força de atrito:
R = 1333 2 + 620 2 = 1471kg
A componente desta resultante normal ao eixo BE considerado (fig.10.4): 1446 kg m 2
167
Silos Metálicos
Fig. 10.4- Forças no eixo BE
De uma forma geral, e com uma aproximação satisfatória, a composta da resultante normal ao eixo
BE, será tomada como o valor da pressão horizontal, multiplicado por um coeficiente médio de:
1446
= 1,08
1333
O momento-flector respectivo à porção de parede BCDE sobre o efeito das forças normais ao eixo BE,
tem a forma:
M = p z × 1,08 × 0,67 ×
3,00 2
= 0,5427 × p z
12
O esforço de tracção devido às paredes vizinhas é:
N = p z × 0,67 ×
3,20
= 1,072 × p z
2
Tensão respectiva do metal:
R´a =
168
M
N
+
155 × e 75 × e
Silos Metálicos
Daí o quadro 10.3 dando as tensões do metal sobre o efeito da secção desviada:
Quadro 10.3 – Tensões obtidas (flexão desviada)
z (m )
(
p z kg m
4,00
8,00
12,00
16,00
20,00
24,00
2
)
947
1169
1254
1296
1319
1333
M (kg.cm )
N (kg )
51382
63444
68073
70325
71588
72365
1015
1253
1345
1389
1414
1429
Tensão
Chapa de
25/10
1380
1704
(kg
cm 2
Chapa de
30/10
1420
1524
)
Chapa de
35/10
1306
1349
1373
1388
O quadro de cima comparado com o anterior da flexão simples, mostra que as espessuras de chapa
necessárias resultarão dos cálculos das ondas das paredes sujeitos a flexão desviada.
10.5. FLEXÃO LOCAL
A face mais solicitada é a face inclinada submetida à flexão local devida à componente normal a esta
face, da resultante da pressão horizontal e da força de atrito dos grãos sobre as paredes.
Esta componente medida sobre o desenho (fig. 10.4 ) é de 1213 kg m 2 .
Como anteriormente, a componente normal às faces inclinadas será igual ao valor da pressão
horizontal, multiplicada por um coeficiente médio de:
1213
= 0.91
1333
Momento-flector máximo:
M = pz ×
0,25 2
× 0,91 = 0,004740 × p z
12
Módulo de inércia da chapa de espessura e :
I 100 × e 2
=
= 16,66 × e 2
v
6
Tensão no metal:
R´a =
0,004740 × p z
16,66 × e 2
169
Silos Metálicos
Daí o quadro seguinte dando as tensões do metal sobre o efeito da flexão local:
Quadro 10.4 – Tensões obtidas (flexão local)
z (m )
4,00
8,00
12,00
16,00
20,00
24,00
(
p z kg m
947
1169
1254
1296
1319
1333
2
)
M M (kg .cm )
449
554
595
614
625
632
Tensão
Chapa de
25/10
431
532
571
590
600
607
(kg
cm 2
)
Chapa de
30/10
Comparando o quadro 10.4 com o correspondente da flexão desviada, conclui-se que as espessuras de
chapa necessárias serão condicionadas pelos resultados do quadro da flexão desviada.
170
Silos Metálicos
11
PROGRAMA MATLAB
11.1. INTRODUÇÃO
Foi criado um programa em MATLAB com o intuito de validar os resultados obtidos com o programa
comercial ROBOT. A utilização de “software” comercial como o ROBOT, traduz-se por um conjunto
de limitações que exigem simplificações, as quais devem ser validadas.
O programa que a seguir se apresenta pretende ser uma alternativa à solução comercial.
11.2. CONCEITOS
Tal como foi feito no ROBOT, em que se modelaram as cascas das paredes do silo como uma série de
placas, também essa metodologia foi seguida para o programa MATLAB.
Fig. 11.1- Elemento casca
As cascas podem portanto ser modeladas como uma junção de elementos de estado plano de tensão
(que asseguram a deformação de membrana) com elementos de placa (responsáveis pela flexão).
A figura 11.2 mostra os graus de liberdade locais: u´ , v´ (para elementos planos) e w´ , θ x ´ e θ y ´ (para
elementos de placa).
171
Silos Metálicos
Fig. 11.2- Graus de liberdade
11.3. PROGRAMA
Em baixo apresenta-se o programa realizado. Foram sendo escritas notas (a verde) para melhor
compreensão dos passos que se seguem.
Uma dificuldade que se apresentou foi a colocação de pressões normais e paralelas aos elementos
casca. Por isso, e como o objectivo era o de comparar este programa com o ROBOT, fez-se um
pequeno exemplo, colocando uma força de 100 kN num nó no topo do silo (como apresentado na
figura 11.4), sendo os resultados comparados com os obtidos no ROBOT (para a mesma estrutura e
mesmo caso de cargas, obviamente).
Apresenta-se um organograma do programa criado com o MATLAB:
172
Silos Metálicos
Programa MATLAB
INPUT
Características
do material
(aço)
Coordenadas
dos nós do
silo
OUTPUT
Definição
dos
elementos
Definição da
espessura
dos
elementos
Aplicação
das cargas
Graus de
liberdade
Matrizes K e
R
Apresenta-se também uma versão resumida do programa (a versão completa utilizada para o silo em
estudo é reproduzida no anexo A.2):
% casca cilíndrica, 2 x 2 elementos
% h=espessura
% e=modulo de elasticidade
% nu=coeficiente de Poisson
% q1 = pressão segundo xx, q2 e q3 idem, yy e zz
% node = coordenadas dos nos (x,y,z)
% element = conectividadees (números dos nos em elementos)
% gdlElemento = numeração dos graus de liberdade em cada elemento
% condFronteira = numeração dos graus de liberdade prescritos
% K = matriz de rigidez em eixos globais
% R = vector de forcas nodais em eixos globais
Clf
%definição das características do material (aço)
%h=0.25; e = 210e6; nu = 0.3; q1 = 0; q2=20; q3=-36.7347*9.8*0.25;
e = 210e6;nu = 0.3; q1 = 0; q2=0; q3=0;
%coordenadas dos nós do silo [x,y,z](referencial global)
%definição dos elementos (cada um deles composto por 4 nós)
173
Silos Metálicos
% definição da espessura para cada um dos elementos atrás definidos (10 mm
para os elementos que constituem a tremonha, e 5 mm para os elementos que
constituem a parede cilíndrica)
Nota: para facilitar o cálculo, não foi considerada a tampa do silo.
h(1:208)=0.010;
h(41:80)=0.005;
h(121:185)=0.005;
% não se aplicaram quaisquer cargas aos elementos casca
qz(1:208)=0.;
qy(1:208)=0.;
qx(1:208)=0.;
desenhoMalhas(node,element,'Q4','black.-')
%graus de liberdade (6 no total)
ne = size(element,1); nd = length(node); dof = 6*nd;
gdlElemento = zeros(ne,24);
for i=1:ne
lm1 = [6*element(i,1)-5, 6*element(i,1)-4, 6*element(i,1)-3,...
6*element(i,1)-2, 6*element(i,1)-1, 6*element(i,1)];
lm2 = [6*element(i,2) - 5, 6*element(i,2) - 4, 6*element(i,2)-3,...
6*element(i,2)-2, 6*element(i,2)-1, 6*element(i,2)];
lm3 = [6*element(i,3) - 5, 6*element(i,3) - 4, 6*element(i,3)-3,...
6*element(i,3)-2, 6*element(i,3)-1, 6*element(i,3)];
lm4 = [6*element(i,4) - 5, 6*element(i,4) - 4, 6*element(i,4)-3,...
6*element(i,4)-2, 6*element(i,4)-1, 6*element(i,4)];
gdlElemento(i,:) = [lm1, lm2, lm3, lm4];
end
%foram aplicadas condições de encastramento em 4 pontos afectando por isso
4*6 graus de liberdade; estes 4 pontos são os mesmos onde no ROBOT foram
aplicados os apoios.
condFronteira = [481:486 505:510 528:533 552:557];
K=zeros(dof); R = zeros(dof,1);
% calcula K e R para cada elemento e assembla
rotzStiffFactor = 0.00000035;
for i=1:ne
con = element(i,:);
lm = gdlElemento(i,:);
[k,r] = CascaPlana(node(con,:), h(i), e, nu, qx(i), qy(i), qz(i),...
'Local', rotzStiffFactor);
K(lm, lm) = K(lm, lm) + k;
R(lm) = R(lm) + r;
End
174
Silos Metálicos
% Carga aplicada segundo a direcção x
R(961)=-100;
%desenho das malhas
activeDof=setdiff([1:dof]',[condFronteira]);
U=K([activeDof],[activeDof])\R([activeDof]);
U1=zeros(dof,1);
U1(activeDof)=U;
d=U1;
desenhoMalhas(node+0.5e1*[d(1:6:dof) d(2:6:dof)
d(3:6:dof)],element,'Q4','red.-')
11.4. RESULTADOS E CONCLUSÕES
Fig. 11.3- Estrutura (ROBOT)
175
Silos Metálicos
Fig. 11.4- Deformada (ROBOT)
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
Fig. 11.5- Deformada (MATLAB)
176
Silos Metálicos
Fig. 11.6- Deformada das estruturas (à esquerda pelo ROBOT; à direita pelo MATLAB)
É clara e notória a semelhança entre as deformadas obtidas pelos dois programas (ROBOT e
MATLAB).
Há ainda que confirmar pelos valores dos deslocamentos dos nós.
No nó onde é aplicada a força de 100kN, o deslocamento segundo x , pelo ROBOT vale:
Fig. 11.7- Resultados do ROBOT (em cm)
UX = −34,78cm
UY = 0,00cm
Ux = 1,17cm
Obs: a numeração dada aos nós no ROBOT não coincide com a determinada no MATLAB (o nó em
questão, é numerado como 177 no ROBOT, sendo 160 no MATLAB).
177
Silos Metálicos
Já no MATLAB, foram obtidos para esse mesmo nó (nó 160):
O deslocamento segundo x equivale a escrever d ([160 × 6 grausliberdade] + 1) = d (961) , fazendo o
mesmo para y ( + 2 ) e z ( + 3 ).
Fig. 11.8- Resultados do MATLAB (em m)
Como se pode comprovar, não só pelo desenho da deformada, mas também pelos resultados analíticos
obtidos, pode-se concluir que este programa MATLAB recria com fidelidade o modelo criado no
ROBOT. Apesar de não se ter feito, poder-se-iam ainda calcular tensões criadas na estrutura para um
determinado tipo de carregamento (que não foi realizado devido à dificuldade em colocar cargas
normais e tangentes às placas). Serve portanto este programa para estabelecer o início de um futuro
trabalho que se venha a realizar, mais aprofundado, em que se queira rentabilizar ao máximo um
determinado programa.
178
Silos Metálicos
12
CONCLUSÕES
Os silos são estruturas muito particulares, que servem essencialmente para o armazenamento de
cereais e produtos pulverulentos. Apresentam capacidades de armazenamento absolutamente
invulgares, com valores a atingirem as 50 000 toneladas. Conseguem-se criar estruturas com grande
capacidade através de agrupamentos apropriados entre células, com uma maior rapidez de construção
e menores custos unitários.
Dois materiais são habitualmente utilizados na construção dos silos: betão (armado ou pré-esforçado)
e aço. O primeiro é escolhido quando os esforços de flexão da parede são importantes, utilizando-se
paredes de grande espessura. No caso dos silos metálicos, as paredes terão uma pequena espessura,
que obrigam a uma redobrada atenção ao fenómeno de varejamento.
Quando à secção, de referir que a opção pela circular é devida ao uso eficiente do material e facilidade
de construção. Se se pretender um maior rendimento do espaço disponível, aconselha-se a escolha da
secção rectangular.
O objectivo deste trabalho foi o de conhecer e analisar o comportamento estrutural dos silos metálicos
(de secção circular ou rectangular).
Através de uma pesquisa bibliográfica, estudaram-se os principais aspectos envolvidos no
dimensionamento de um silo, e as regras específicas de alguns regulamentos (caso do Eurocódigo para
o silo circular e das normas canadianas para o rectangular).
No caso do silo circular analisou-se a problemática da malha de elementos finitos a utilizar com o
“software” comercial ROBOT. Fez-se a verificação estrutural do silo, que foi feita para a parede
vertical e para a tremonha. Foram feitas as verificações da ruptura e de varejamento para a parede
vertical, e da resistência plástica para a tremonha. Verificou-se ainda o anel-viga (ou de transição) para
a situação de varejamento, para dentro e para fora do seu plano.
No caso do silo rectangular foi feito um dimensionamento das paredes verticais e da tremonha, de
acordo com as regras das normas canadianas. Foram dimensionados reforços verticais e horizontais,
que incluídos na estrutura asseguram a sua estabilidade estrutural.
Por fim, realizou-se uma outra opção de cálculo para o silo circular, através da escrita de um programa
em MATLAB; o programa foi feito para analisar cascas com elementos planos, obtendo-se uma
ferramenta que permite analisar um silo circular, e aferir a veracidade dos valores de cálculo do
ROBOT. Através da definição das características geométricas e mecânicas do silo em estudo, o
programa permite a obtenção de esforços e deslocamentos num qualquer nó da estrutura.
179
Silos Metálicos
Face aos estudos realizados e às aplicações desenvolvidas, apresentam-se as seguintes considerações
sob os tópicos enunciados:
1- Teoria preconizada no Eurocódigo 1 para as acções a aplicar a um silo: a teoria de Janssen só
será válida para condições de enchimento e de armazenamento; dever-se-á procurar uma
alternativa (à simples multiplicação das pressões obtidas por Janssen por factores
amplificativos). Neste trabalho não é feita uma comparação entre as teorias de Janssen e de
Reimbert (esta última também muito citada em outros trabalhos). Uma teoria que melhor
expressasse as condições dinâmicas do esvaziamento de um silo seria necessária.
2- Ainda relativamente às acções, deve-se ter uma particular atenção ao capítulo dos
carregamentos excêntricos. O Eurocódigo 1 tem em conta tais fenómenos, já que uma
considerável percentagem de enchimentos de silos é feita excentricamente. Um futuro trabalho
não deverá ser tão simplificado como este, e deverá ter em conta a excentricidade do
enchimento e do esvaziamento, apesar de serem acontecimentos ainda muito pouco estudados
e conhecidos. Deve-se também prestar uma maior atenção às condições de pressões
assimétricas. Estas são mais comuns que as simétricas, e os seus efeitos mais nefastos. De
facto, baixas pressões locais assimétricas são mais perigosas que altas pressões simétricas.
Apesar da complexidade que é tomar em conta as assimetrias de carga, o Eurocódigo 1
apresenta já algumas regras, que apesar de simplificadas permitem a chamada de atenção.
3- Uma ponderação sobre o diagrama de pressões aplicadas às paredes do silo dimensionado:
comparando as figuras 4.8 e 4.9, nota-se que não existe uma total correspondência entre as
duas. De relembrar que as pressões na tremonha foram obtidas através das fórmulas escritas
no anexo H do Eurocódigo 1, que apenas distingue entre silos de fluxo em massa dos de fluxo
em funil pela aplicação de uma carga suplementar p s . Julga-se que o método apresentado no
anexo H tem em conta a pior das solicitações. Veja-se: as pressões no topo da tremonha para
silos de fluxo em funil são inferiores às do fluxo em massa. Observando a figura 4.8 detecta-se
isso mesmo, com um claro aumento de pressões na zona de transição. No entanto, e ao
contrário do que se apresenta na figura 4.9, as pressões na base da tremonha não são nulas (ou
praticamente nulas). Isto porque nessa zona (no fundo da tremonha), as pressões para um
fluxo em massa são inferiores às de um fluxo em funil, e este método alternativo tenta
expressar isso mesmo. Ou seja, o método do anexo H para o cálculo das pressões da tremonha
é conservativo, pois considera sempre a pior das solicitações; para o topo da tremonha
considera que o silo é um silo de fluxo em massa; para a base considera que é de fluxo em
funil. Tendo isso em conta é fácil compreender o diagrama de pressões da figura 4.8, diagrama
esse que serviu para o posterior dimensionamento e verificação do silo.
4- O fenómeno de varejamento é muito sensível às imperfeições geométricas. As falhas por
varejamento são aliás as causas mais comuns do colapso de silos metálicos. Neste trabalho é
feito um tratamento simplificado, já que se deveriam ainda considerar outras variáveis tais
como o tipo de junta utilizada e a “rigidez” do material armazenado (quando a parede se
deforma, a existência de material no interior do silo pode ter um efeito bastante positivo, na
medida em que pode minorar a sua deformação).
5- De criticar a verificação de varejamento do anel-viga. A análise feita não tem conta a
existência de apoios discretos: dever-se-iam utilizar factores amplificativos para as tensões
máximas de varejamento nas localidades próximas dos suportes.
6- Neste trabalho, provou-se a relevância da introdução de um anel-viga na estrutura: este é
responsável pela redistribuição de esforços na zona de transição (e daí o abaixamento dos
180
Silos Metálicos
esforços σ x, Ed , tensão pela qual se verifica o varejamento das paredes verticais) como
também pelo aumento de rigidez na direcção do plano da secção circular e na direcção
perpendicular a este último. A resistência máxima ao colapso plástico da junção (sob
carregamento axissimétrico) é aumentada cerca de 6 vezes caso se utilize um anel-viga, como
se observou pela aplicação da equação (6.100).
7- No dimensionamento dos silos (circular e rectangular) considera-se que as estruturas têm 4
apoios. A escolha de um reduzido número de suportes não foi ocasional, pois pretendia-se
estudar uma estrutura menos convencional; as fórmulas apresentadas para a verificação das
tensões de membrana máximas são todas muito conservativas devido à reduzida informação
prática que se tem sobre os fenómenos que ocorrem na zona de ligação suporte/ zona de
transição. Não é ainda claro o comportamento conjunto da parede vertical com um apoio
isolado. Ainda assim, verificaram-se todas as restrições a aplicar a esta zona do silo. Seria
portanto importante conceber teorias mais aproximadas e realistas.
8- Pouco realistas são também as expressões de verificação de colapso plástico da tremonha. São
para o silo circular em estudo completamente verificadas, não se apresentando o colapso
plástico como critério principal no seu dimensionamento.
9- O silo rectangular distingue-se muito do silo circular. Observa-se que utilizando as mesmas
espessuras de parede, para as mesmas dimensões, que estas não bastam. No silo rectangular
foram precisos reforços verticais e horizontais que garantissem valores aceitáveis de tensão
máxima. A teoria das pequenas deformações é pouco realista, pois origina espessuras
francamente anti-económicas. Deve-se optar pela obtenção de espessuras segundo a teoria das
grandes deformações, desde que devidamente verificadas as tensões máximas. O
dimensionamento proposto pela revista canadiana “Design Guidelines for Rectangular Steel
Bins” parece ser demasiado conservativo: as espessuras fornecidas pela teoria das pequenas
deformações (que se baseia na teoria elástica), quando aplicadas no modelo do ROBOT
apresentam-se um pouco excessivas. De realçar ainda o cuidado que também nesta revista
(baseada nas normas canadianas) se detecta para com as pressões no topo da tremonha, local
onde se atingem os valores máximos (ver figura 9.2). A relação entre o material armazenado e
as paredes da estrutura é ainda pouco conhecida. Este assunto é focado em alguns trabalhos.
10- O programa utilizado (ROBOT) apresentou algumas contrariedades. Não se conseguem obter
malhas muito refinadas (especialmente para silos circulares), pois a zona da transição
apresenta-se frequentemente como uma zona crítica. A tentativa de obter malhas definidas
manualmente demonstrou ser infrutífera, pois era necessária a constante correcção da malha,
tarefa que se torna demasiado extensa quando se pretendem ter malhas muito refinadas.
Segundo a bibliografia consultada, é aconselhável a utilização de programas como NEPAS e
ABAQUS, sendo o primeiro indicado para análises elasto-plásticas, e o segundo uma
alternativa comercial ao ROBOT. O programa ANSYS poderá também ser utilizado; ele é
frequentemente usado para o dimensionamento de reservatórios; apesar de não saber se é
adequado para a obtenção dos esforços de flexão locais da zona de transição, poderá ser uma
ferramenta útil.
11- Uma conclusão a retirar do estudo dos modos principais de vibração, é de que nenhum deles
envolve vibração das paredes da tremonha, no caso do silo circular; nos silos rectangulares já
não se pode dizer o mesmo.
12- Por fim, considera-se ser útil o melhoramento do programa MATLAB realizado. Devem-se
melhorar aspectos como o aumento do número de nós por elemento (passar de elementos de 4
181
Silos Metálicos
nós para de 8 nós), e uma mais fácil aplicação de cargas (variáveis) perpendiculares e
paralelas aos elementos.
182
Silos Metálicos
BIBLIOGRAFIA
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The Hong Kong Polytechnic University, 2001.
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[19] http://www.jenike.com/pages/education/papers/silo-failures.pdf. 20/Jan/2008.
[20] http://www.dietmar-schulze.de/spanne.html. 5/Jan/2008.
183
Silos Metálicos
ANEXOS
184
Silos Metálicos
A.1 Demonstração da fórmula de
Janssen
A fórmula de Janssen foi obtida tendo em conta uma fatia do silo circular, através das condições de
equilíbrio:
Fig. A.1.1- Fatia de material armazenado em estudo
Em que:
s o comprimento da secção em estudo;
A a área da secção circular do silo;
P o perímetro da secção circular do silo;
z a profundidade desde o topo do silo;
dz a espessura do fatia em estudo;
σ v pressão vertical média;
dσ v dz variação da pressão vertical ao longo de z ;
185
Silos Metálicos
τ esforço de corte entre o material e a parede do silo;
σ h pressão horizontal
γ densidade do material armazenado;
δ coeficiente de atrito da parede.
Assegurando o equilíbrio de forças na fatia do silo em estudo:
dσ v 

dz  × A + τ × P × dz = σ v × A + γ × A × dz
σ v +
dz


(A.1)
Simplificando a equação anterior:
dσ v
τ ×P
=γ −
dz
A
(A.2)
Num silo de secção circular, a razão P A vale:
(
)
P A = π × D π × D2 4 = 4 D
(A.3)
O esforço de corte existente entre o material armazenado e a parede do silo é:
τ = σ h × tan δ = σ h × µ
(A.4)
Janssen assumiu constante o razão K = σ h σ v = K a , ao longo do silo.
Substituindo as equações (A.3) e (A.4), com σ h = K σ v , na equação (A.2), surge a seguinte
expressão:
z

σ v = ∫ γ −
0

4 ×σ h × µ 
γ ×D
× 1 − e − z×4×K ×µ
dz =
D
4
×
K
×
µ

(
D
)
Para a obtenção desta fórmula, foram considerados quatro pressupostos:
a pressão vertical é constante a uma determinada profundidade;
a razão K = σ h σ v é constante, qualquer que seja a profundidade;
a densidade do material armazenado γ é invariável;
a fricção da parede é totalmente mobilizada.
186
(A.5)
Silos Metálicos
Segundo resultados experimentais obtidos por Roberts (1995), a pressão vertical não era na realidade
uniforme ao longo da secção circular do silo: no centro, era mais alta (cerca de 1,15 vezes o valor
médio), sendo mais baixa nos cantos (cerca de 0,8 vezes o valor médio). Conclui no entanto que
considerando a uniformidade de pressões se obtinham resultados suficientemente acertados.
A partir da fórmula da pressão vertical, obtém-se a correspondente para a pressão horizontal, a aplicar
às paredes do silo:
σ h = K ×σv =
γ ×D
× (1 − e − z×4×K ×µ D )
4× µ
(A.6)
187
Silos Metálicos
A.2 Programa MATLAB
% casca cilíndrica, 2 x 2 elementos
% h=espessura
% e=modulo de elasticidade
% nu=coeficiente de Poisson
% q1 = pressão segundo xx, q2 e q3 idem, yy e zz
% node = coordenadas dos nos (x,y,z)
% element = conectividadees (números dos nos em elementos)
% gdlElemento = numeração dos graus de liberdade em cada elemento
% condFronteira = numeração dos graus de liberdade prescritos
% K = matriz de rigidez em eixos globais
% R = vector de forcas nodais em eixos globais
Clf
%definição das características do material (aço)
%h=0.25; e = 210e6; nu = 0.3; q1 = 0; q2=20; q3=-36.7347*9.8*0.25;
e = 210e6;nu = 0.3; q1 = 0; q2=0; q3=0;
%coordenadas dos nós do silo [x,y,z](referencial global)
node=[0.38,0,-2.5;0.35,0.14,-2.5;0.27,0.27,-2.5;0.14,0.35,-2.5;0,0.38,2.5;-0.14,0.35,-2.5;-0.27,0.27,-2.5;-0.35,0.14,-2.5;-0.38,0,-2.5;-0.35,0.14,-2.5;-0.27,-0.27,-2.5;-0.14,-0.35,-2.5;0,-0.38,-2.5;0.14,-0.35,2.5;0.27,-0.27,-2.5;0.35,-0.14,-2.5;0.6,0,-2;0.55,0.23,-2;0.42,0.42,2;0.23,0.55,-2;0,0.6,-2;-0.23,0.55,-2;-0.42,0.42,-2;-0.55,0.23,-2;-0.6,0,2;-0.55,-0.23,-2;-0.42,-0.42,-2;-0.23,-0.55,-2;0,-0.6,-2;0.23,-0.55,2;0.42,-0.42,-2;0.55,-0.23,-2;0.83,0,-1.5;0.76,0.32,-1.5;0.58,0.58,1.5;0.32,0.76,-1.5;0,0.83,-1.5;-0.32,0.76,-1.5;-0.58,0.58,-1.5;-0.76,0.32,1.5;-0.83,0,-1.5;-0.76,-0.32,-1.5;-0.58,-0.58,-1.5;-0.32,-0.76,-1.5;0,0.83,-1.5;0.32,-0.76,-1.5;0.58,-0.58,-1.5;0.76,-0.32,-1.5;1.05,0,1;0.97,0.4,-1;0.74,0.74,-1;0.4,0.97,-1;0,1.05,-1;-0.4,0.97,-1;-0.74,0.74,1;-0.97,0.4,-1;-1.05,0,-1;-0.97,-0.4,-1;-0.74,-0.74,-1;-0.4,-0.97,-1;0,1.05,-1;0.4,-0.97,-1;0.74,-0.74,-1;0.97,-0.4,-1;1.28,0,-0.5;1.18,0.49,0.5;0.9,0.9,-0.5;0.49,1.18,-0.5;0,1.28,-0.5;-0.49,1.18,-0.5;-0.9,0.9,-0.5;1.18,0.49,-0.5;-1.28,0,-0.5;-1.18,-0.49,-0.5;-0.9,-0.9,-0.5;-0.49,-1.18,0.5;0,-1.28,-0.5;0.49,-1.18,-0.5;0.9,-0.9,-0.5;1.18,-0.49,0.5;1.5,0,0;1.39,0.57,0;1.06,1.06,0;0.57,1.39,0;0,1.5,0;-0.57,1.39,0;1.06,1.06,0;-1.39,0.57,0;-1.5,0,0;-1.39,-0.57,0;-1.06,-1.06,0;-0.57,1.39,0;0,-1.5,0;0.57,-1.39,0;1.06,-1.06,0;1.39,0.57,0;1.5,0,1;1.39,0.57,1;1.06,1.06,1;0.57,1.39,1;0,1.5,1;-0.57,1.39,1;1.06,1.06,1;-1.39,0.57,1;-1.5,0,1;-1.39,-0.57,1;-1.06,-1.06,1;-0.57,1.39,1;0,-1.5,1;0.57,-1.39,1;1.06,-1.06,1;1.39,0.57,1;1.5,0,2;1.39,0.57,2;1.06,1.06,2;0.57,1.39,2;0,1.5,2;-0.57,1.39,2;1.06,1.06,2;-1.39,0.57,2;-1.5,0,2;-1.39,-0.57,2;-1.06,-1.06,2;-0.57,1.39,2;0,-1.5,2;0.57,-1.39,2;1.06,-1.06,2;1.39,0.57,2;1.5,0,3;1.39,0.57,3;1.06,1.06,3;0.57,1.39,3;0,1.5,3;-0.57,1.39,3;-
188
Silos Metálicos
1.06,1.06,3;-1.39,0.57,3;-1.5,0,3;-1.39,-0.57,3;-1.06,-1.06,3;-0.57,1.39,3;0,-1.5,3;0.57,-1.39,3;1.06,-1.06,3;1.39,0.57,3;1.5,0,4;1.39,0.57,4;1.06,1.06,4;0.57,1.39,4;0,1.5,4;-0.57,1.39,4;1.06,1.06,4;-1.39,0.57,4;-1.5,0,4;-1.39,-0.57,4;-1.06,-1.06,4;-0.57,1.39,4;0,-1.5,4;0.57,-1.39,4;1.06,-1.06,4;1.39,0.57,4;1.5,0,5;1.39,0.57,5;1.06,1.06,5;0.57,1.39,5;0,1.5,5;-0.57,1.39,5;1.06,1.06,5;-1.39,0.57,5;-1.5,0,5;-1.39,-0.57,5;-1.06,-1.06,5;-0.57,1.39,5;0,-1.5,5;0.57,-1.39,5;1.06,-1.06,5;1.39,-0.57,5;0.2,0,2.9;0.18,0.07,-2.9;0.14,0.14,-2.9;0.07,0.18,-2.9;0,0.2,-2.9;-0.07,0.18,2.9;-0.14,0.14,-2.9;-0.18,0.07,-2.9;-0.2,0,-2.9;-0.18,-0.07,-2.9;-0.14,0.14,-2.9;-0.07,-0.18,-2.9;0,-0.2,-2.9;0.07,-0.18,-2.9;0.14,-0.14,2.9;0.18,-0.07,-2.9;0.24,0,-2.8;0.22,0.09,-2.8;0.17,0.17,-2.8;0.09,0.22,2.8;0,0.24,-2.8;-0.09,0.22,-2.8;-0.17,0.17,-2.8;-0.22,0.09,-2.8;-0.24,0,2.8;-0.22,-0.09,-2.8;-0.17,-0.17,-2.8;-0.09,-0.22,-2.8;0,-0.24,-2.8;0.09,0.22,-2.8;0.17,-0.17,-2.8;0.22,-0.09,-2.8;0.15,0,-3;0.14,0.06,3;0.11,0.11,-3;0.06,0.14,-3;0,0.15,-3;-0.06,0.14,-3;-0.11,0.11,-3;0.14,0.06,-3;-0.15,0,-3;-0.14,-0.06,-3;-0.11,-0.11,-3;-0.06,-0.14,-3;0,0.15,-3;0.06,-0.14,-3;0.11,-0.11,-3;0.14,-0.06,-3;];
%definição dos elementos (cada um deles composto por 4 nós)
element=[177 178 210 209;180 181 213 212;181 182 214 213;184 185 217
216;185 186 218 217;188 189 221 220;189 190 222 221;192 177 209 224;178 179
211 210;179 180 212 211;182 183 215 214;183 184 216 215;186 187 219 218;187
188 220 219;190 191 223 222;191 192 224 223;193 194 178 177;196 197 181
180;197 198 182 181;200 201 185 184;201 202 186 185;204 205 189 188;205 206
190 189;208 193 177 192;194 195 179 178;195 196 180 179;198 199 183 182;199
200 184 183;202 203 187 186;203 204 188 187;206 207 191 190;207 208 192
191;1
2
194 193;4
5
197 196;5
6
198 197;8
9
201 200;9
10
202 201;12 13 205 204;13 14 206 205;16 1
193 208;2
3
195 194;3
4
196 195;6
7
199 198;7
8
200 199;10 11 203 202;11 12 204
203;14 15 207 206;15 16 208 207;70 71 55 54;71 72 56 55;74 75
59 58;75 76 60 59;78 79 63 62;79 80 64 63;66 67 51 50;67 68
52 51;22 23 7
6;23 24 8
7;26 27 11 10;27 28 12 11;30 31 15
14;31 32 16 15;18 19 3
2;19 20 4
3;21 22 6
5;24 25 9
8;25 26 10 9;28 29 13 12;29 30 14 13;32 17 1
16;17 18 2
1;
20 21 5
4;38 39 23 22;39 40 24 23;42 43 27 26;43 44 28
27;46 47 31 30;47 48 32 31;34 35 19 18;35 36 20 19;37 38 22
21;40 41 25 24;41 42 26 25;44 45 29 28;45 46 30 29;48 33 17
32;33 34 18 17;36 37 21 20;54 55 39 38;55 56 40 39;58 59 43
42;59 60 44 43;62 63 47 46;63 64 48 47;50 51 35 34;51 52 36
35;53 54 38 37;56 57 41 40;57 58 42 41;60 61 45 44;61 62 46
45;64 49 33 48;49 50 34 33;52 53 37 36;69 70 54 53;72 73 57
56;73 74 58 57;76 77 61 60;77 78 62 61;80 65 49 64;65 66 50
49;68 69 53 52;85 86 70 69;88 89 73 72;89 90 74 73;92 93 77
76;93 94 78 77;96 81 65 80;81 82 66 65;84 85 69 68;86 87 71
70;87 88 72 71;90 91 75 74;91 92 76 75;94 95 79 78;95 96 80
79;82 83 67 66;83 84 68 67;101 102 86 85;104 105 89 88;105 106 90
89;108 109 93 92;117 118 102 101;120 121 105 104;121 122 106 105;124 125
109 108;133 134 118 117;136 137 121 120;137 138 122 121;140 141 125 124;149
150 134 133;152 153 137 136;153 154 138 137;156 157 141 140;165 166 150
149;168 169 153 152;169 170 154 153;172 173 157 156;109 110 94 93;112 97
81 96;97 98 82 81;100 101 85 84;125 126 110 109;128 113 97 112;113
114 98 97;116 117 101 100;141 142 126 125;144 129 113 128;129 130 114
113;132 133 117 116;157 158 142 141;160 145 129 144;145 146 130 129;148 149
133 132;173 174 158 157;176 161 145 160;161 162 146 145;164 165 149 148;102
103 87 86;103 104 88 87;106 107 91 90;107 108 92 91;118 119 103 102;119
120 104 103;122 123 107 106;123 124 108 107;134 135 119 118;135 136 120
189
Silos Metálicos
119;138 139 123
139 138;155 156
172 156 155;110
127 111 110;127
126;143 144 128
144 143;146 147
163 147 146;163
122;139 140 124 123;150 151 135 134;151 152 136 135;154 155
140 139;166 167 151 150;167 168 152 151;170 171 155 154;171
111 95 94;111 112 96 95;98 99 83 82;99 100 84 83;126
128 112 111;114 115 99 98;115 116 100 99;142 143 127
127;130 131 115 114;131 132 116 115;158 159 143 142;159 160
131 130;147 148 132 131;174 175 159 158;175 176 160 159;162
164 148 147];
% definição da espessura para cada um dos elementos atrás definidos (10 mm
para os elementos que constituem a tremonha, e 5 mm para os elementos que
constituem a parede cilíndrica)
Nota: para facilitar o cálculo, não foi considerada a tampa do silo.
h(1:208)=0.010;
h(41:80)=0.005;
h(121:185)=0.005;
% não se aplicaram quaisquer cargas aos elementos casca
qz(1:208)=0.;
qy(1:208)=0.;
qx(1:208)=0.;
desenhoMalhas(node,element,'Q4','black.-')
%graus de liberdade (6 no total)
ne = size(element,1); nd = length(node); dof = 6*nd;
gdlElemento = zeros(ne,24);
for i=1:ne
lm1 = [6*element(i,1)-5, 6*element(i,1)-4, 6*element(i,1)-3,...
6*element(i,1)-2, 6*element(i,1)-1, 6*element(i,1)];
lm2 = [6*element(i,2) - 5, 6*element(i,2) - 4, 6*element(i,2)-3,...
6*element(i,2)-2, 6*element(i,2)-1, 6*element(i,2)];
lm3 = [6*element(i,3) - 5, 6*element(i,3) - 4, 6*element(i,3)-3,...
6*element(i,3)-2, 6*element(i,3)-1, 6*element(i,3)];
lm4 = [6*element(i,4) - 5, 6*element(i,4) - 4, 6*element(i,4)-3,...
6*element(i,4)-2, 6*element(i,4)-1, 6*element(i,4)];
gdlElemento(i,:) = [lm1, lm2, lm3, lm4];
end
%foram aplicadas condições de encastramento em 4 pontos afectando por isso
4*6 graus de liberdade; estes 4 pontos são os mesmos onde no ROBOT foram
aplicados os apoios.
condFronteira = [481:486 505:510 528:533 552:557];
K=zeros(dof); R = zeros(dof,1);
190
Silos Metálicos
% calcula K e R para cada elemento e assembla
rotzStiffFactor = 0.00000035;
for i=1:ne
con = element(i,:);
lm = gdlElemento(i,:);
[k,r] = CascaPlana(node(con,:), h(i), e, nu, qx(i), qy(i), qz(i),...
'Local', rotzStiffFactor);
K(lm, lm) = K(lm, lm) + k;
R(lm) = R(lm) + r;
End
% Carga aplicada segundo a direcção x
R(961)=-100;
%desenho das malhas
activeDof=setdiff([1:dof]',[condFronteira]);
U=K([activeDof],[activeDof])\R([activeDof]);
U1=zeros(dof,1);
U1(activeDof)=U;
d=U1;
desenhoMalhas(node+0.5e1*[d(1:6:dof) d(2:6:dof)
d(3:6:dof)],element,'Q4','red.-')
191
Silos Metálicos
A.3 Malha da estrutura (AutocadROBOT)
Foi feito, posteriormente, uma experimentação, no sentido de se obter uma malha mais refinada para o
silo circular.
São seguidos os seguintes passos:
1º- Definição da geometria do silo, para o desenho das paredes da estrutura no autocad.
2º- No caso de uma estrutura anteriormente definida no Excel, é necessário concatenar as coordenadas
(x,y,z), sendo as unidades separadas da decimas por ponto, e não vírgula (caso contrário, o autocad
não reconhecerá o valor numérico introduzido)
Exemplo: (x,y,z)=(0, 365.45, 74.59)
No bloco de notas, introduzir a série de valores concatenados, após “point”. Deixar sempre um espaço
no fim de cada linha!
Exemplo:
point
1,500 0,000 1
1,386 0,574 1
1,061 1,061 1
0,574 1,386 1
0,000 1,500 1
-0,574
1,386 1
-1,061
1,061 1
-1,386
0,574 1
-1,500
0,000 1
-1,386
-0,574
-1,061
-1,061
-0,574
-1,386
0,000 -1,500
1
0,574 -1,386
1
1,061 -1,061
1
1,386 -0,574
1
1,500 0,000 1
1
1
1
Por fim, gravar o ficheiro no formato “.scr”
3º- No autocad, escrever na linha de comandos “scr”, onde se poderá ir buscar os dados escritos no
bloco de notas. Nesta altura, temos já a estrutura definida no autocad!
192
Silos Metálicos
4º Definição dos limites da parede: basta criar linhas a ligar os pontos introduzidos.
5º Desenho da malha da estrutura: o autocad possui uma ferramenta deveras útil, que nos permite obter
malhas tão refinadas quanto queiramos/pretendamos.
Draw -> Surfaces -> Edge Surface
Um exemplo:
Tendo eu a parede em baixo desenhada, pretendo que ela fique “dividida” segundo as duas direcções,
em 5 partes iguais.
Para isso, defino, pela linha de comandos:
E em vez das anteriores 6 divisões, opto pelas 5:
193
Silos Metálicos
Definindo na outra direcção, surftab2=5, resulta:
Após isto, basta passar a estrutura para o ROBOT.
No caso do silo, obtive a seguinte malha (muito mais refinada que a obtida automaticamente):
194