TRÊS TEORIAS EMBASANDO A ELABORAÇÃO DE
ATIVIDADES PARA A APRENDIZAGEM DE CONTEÚDOS
MATEMÁTICOS
Davidson Paulo Azevedo Oliveira
Instituto Federal de Minas Gerais, Brasil
[email protected]
Marger da Conceição Ventura Viana
Universidade Federal de Ouro Preto, Brasil
[email protected]
Milton Rosa
Universidade Federal de Ouro Preto, Brasil
[email protected]
RESUMO
O presente trabalho procura apresentar uma alternativa metodológica para o
ensino da Matemática que vincule a História da Matemática ao contexto
sociocultural dos alunos, por meio da utilização dos Fundos de Conhecimento, em
atividades curriculares elaboradas na perspectiva da Pedagogia Culturalmente
Relevante. O objetivo principal foi discutir e analisar como os professores podem
elaborar atividades embasadas teoricamente nessas três teorias. Essa alternativa
metodológica mostrou possibilidades de entender algumas das dificuldades que os
alunos enfrentam na aprendizagem do conteúdo matemático relacionado com o
ensino de funções. Além disso, que o convívio dos professores com os alunos é
essencial para que os Fundos de Conhecimento sejam conhecidos e utilizados na
elaboração de atividades curriculares que ressaltem a utilização das três
proposições sugeridas pela Pedagogia Culturalmente Relevante: sucesso
acadêmico, competência cultural e consciência crítica.
Palavras-chave: Fundos de Conhecimento, História da Matemática,
Pedagogia Culturalmente Relevante
ABSTRACT
V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
28 a 31 de outubro de 2012, Petrópolis, Rio de janeiro, Brasil
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This paper seeks to present an alternative methodology for the teaching of
mathematics that links the history of mathematics to student socio-cultural
contexts through the use of Funds of Knowledge, in curricular activities designed
from the perspective of Culturally Relevant Pedagogy. The main objective was to
discuss and analyze how teachers can develop activities grounded in these three
theories. This alternative methodology showed possibilities in understanding
some of the difficulties students face in learning mathematical content related to
teaching duties. Furthermore, this interaction between teachers and students is
essential to the creation of funds of knowledge that are known and used in the
preparation of curricular activities that highlight the use of the three propositions
suggested by Culturally Relevant Pedagogy: academic success, cultural
competence and critical awareness.
Keywords: Funds of Knowledge, History of Mathematics, Culturally
Relevant Pedagogy.
1
Introdução
Pode-se pensar que o conhecimento matemático emerge das necessidades de ordem
econômica, política, social e ambiental que membros de grupos culturais distintos enfrentam
em seu cotidiano. Nesse sentido, Boyer (1996) afirma que a Matemática surgiu nos
primórdios das civilizações como parte integrante da vida diária da humanidade.
Porém, de acordo com Karlson (1961), a hipótese de que a Matemática tenha surgido
somente a partir da prática de atividades diárias pode ser refutada, considerando que ela se
antecipou a outras ciências: “com a antecedência de uma ou duas gerações, às vezes mesmo
de séculos, ela cria o instrumental que será depois aplicado pelo físico e pelo técnico”
(KARLSON, 1961, p. 374).
Dessa maneira, os matemáticos utilizam-se da própria Matemática para desenvolver um
conhecimento matemático abstrato, criando teorias que, posteriormente, podem ser utilizadas
no próprio conteúdo matemático ou em outras áreas do conhecimento, como as geometrias
não euclidianas.
No entanto a utilização das novas teorias matemáticas por profissionais de diferentes
áreas do conhecimento depende do meio em que estão inseridos, que pode determinar as
dificuldades enfrentadas na antecipação das teorias matemáticas a serem utilizadas na
resolução de situações-problema, principalmente as relacionadas com a abstração de conceitos
matemáticos.
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Nossa compreensão está em conformidade com D’Ambrosio (1990), para quem existe a
necessidade de que o ensino da Matemática esteja relacionado com o ambiente sociocultural
da época em que o conteúdo matemático a ser estudado foi construído. Assim, esse ensino
depende da história das condições em que esse conhecimento foi desenvolvido, estando,
portanto, vinculado à História da Matemática. Para D’Ambrosio (1990), existe a necessidade
de analisar o contexto da produção do conhecimento, pois a utilização da Matemática na vida
cotidiana varia de acordo com as necessidades cotidianas de cada grupo cultural. Por isso, os
professores devem ter consciência de que, para ensinar conteúdos matemáticos utilizando a
História da Matemática, é necessário conhecer o contexto sociocultural da época em que eles
foram desenvolvidos (ROSA, 2010).
Nessa perspectiva, este trabalho procura apresentar uma alternativa metodológica para o
ensino da Matemática que vincule a História da Matemática aocontexto sociocultural dos
alunos, por meio da utilização dos Fundos de Conhecimento, em atividades curriculares
elaboradas na perspectiva da Pedagogia Culturalmente Relevante.
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Revisão Bibliográfica
Este trabalho está fundamentado em três pilares teóricos, a História da Matemática, os
Fundos de Conhecimento e a Pedagogia Culturalmente Relevante, que fornecem os subsídios
pedagógicos necessários para que os professores tenham condições de elaborar atividades
culturalmente relevantes.
Furinghetti e Radford (2002) afirmam que a cultura influencia os trabalhos pedagógicos
realizados na perspectiva sociocultural da História da Matemática. E concluem que, nessa
abordagem, os textos matemáticos são investigados de acordo com o ambiente sociocultural
no qual foram desenvolvidos. Esse fato permite aos pesquisadores examinar o modo pelo qual
os conceitos, as notações e os significados matemáticos foram produzidos no decorrer dos
tempos. Radford (1997), por exemplo, mostra que, durante a história, os números negativos
impactaram culturas distintas de maneira diferenciada. Para esse autor, a dificuldade
apresentada pelos números negativos em relação aos positivos não foi um problema intrínseco
ao conhecimento, pois dependeu do local, dos métodos e das ideias culturais sobre a produção
do conhecimento matemático.
Assim, ele afirma que é importante considerar a influência da cultura no
desenvolvimento do conhecimento matemático, fator relevante para essa evolução. E ressalta
a importância do aspecto sociocultural no desenvolvimento da Matemática, ao afirmar que
uma simples inspeção nas diferentes culturas, ao longo da história, indica que cada uma tem
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interesses matemáticos e científicos próprios. Desse modo, existe a necessidade de que os
recursos metodológicos de ensino utilizados pelos professores ressaltem a presença dos
aspectos socioculturais no ensino e aprendizagem dos alunos.
Os resultados do estudo conduzido por Rosa (2010), na Califórnia, mostram que é de
suma importância que os professores considerem a influência que os ambientes social e
cultural exercem sobre o desenvolvimento dos conteúdos matemáticos, em sala de aula. Nessa
direção, Moll, Amanti e Gonzáles (1992) assinalam que é importante que essa influência seja
percebida, para que as aulas e as atividades curriculares de Matemática também sejam
baseadas em situações-problema que ocorrem no ambiente sociocultural no qual estão
inseridos, sobretudo com a utilização dos fundos de conhecimento dos próprios alunos.
Gonzáles, Andrade, Civil e Moll (2001) definem os Fundos de Conhecimento como um
corpo de conhecimento cultural e habilidades, que são historicamente adquiridos e
acumulados, sendo essenciais para auxiliar nas tarefas realizadas no lar bem como para
promover o bem-estar dos indivíduos. Nesse sentido, esses autores afirmam que os fundos de
conhecimento podem ser considerados como uma parte específica da cultura dos alunos, na
qual habilidades essenciais são desenvolvidas para o bom funcionamento dos afazeres
domésticos e comunitários e, também, para o bem-estar da família e da comunidade.
Dessa maneira, os fundos de conhecimento, historicamente acumulados, são essenciais
para o desenvolvimento das tarefas cotidianas, pois têm relação com os fenômenos que
ocorrem nos ambientes natural, social, político, cultural e econômico, sendo, pois, relevantes
para o ensino e a aprendizagem (MOLL et al, 1992). Portanto, esses conhecimentos podem
ser incorporados às atividades curriculares de Matemática desenvolvidas nas salas de aula,
com a utilização da Pedagogia Culturalmente Relevante.
Diante dessa perspectiva, a Pedagogia Culturalmente Relevante (Ladson-Billings,
1995) é descrita como um método pedagógico que visa empoderar os alunos intelectualmente,
socialmente, emocionalmente e politicamente por meio da utilização de referências culturais
para a transmissão de conhecimentos, habilidades e atitudes. A utilização das referências
culturais, das experiências e as diversas perspectivas étnicas dos alunos têm como objetivo
conduzi-los, de modo efetivo, ao processo de ensino e de aprendizagem (GAY, 2002).
No ensino culturalmente relevante, os professores criam uma ponte entre as
experiências vivenciadas no lar e na comunidade com a vida escolar dos alunos. Assim,
“esses professores utilizam muitos exemplos da vida real e familiar dos alunos para que a sala
de aula se torne viva” (LADSON-BILLINGS, 2006, p. 35). Esse ensino utiliza os fundos de
conhecimento e as experiências dos alunos para nortear a prática pedagógica dos professores.
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Ladson-Billings (1995) mostra que a Pedagogia Culturalmente Relevante pode ser
considerada como uma pedagogia da oposição, crítica e comprometida com o coletivo. Além
disso, a autora afirma que a teoria mencionada está fundamentada em três proposições:
consciência crítica, competência cultural e sucesso acadêmico. A figura 1 mostra o conexao
entre as três proposições da Pedagogia Culturalmente Relevante.
Figura 1: Proposições da Pedagogia Culturalmente Relevante
Dessa maneira, no sucesso acadêmico, existe a necessidade de que os professores
busquem alternativas de ensino para o desenvolvimento de práticas instrucionais
diferenciadas para que os alunos possam experimentar e atingir o aprendizado, tendo acesso a
novos conhecimentos. De acordo com Ladson-Billings (2006), a competência cultural é a
proposição mais difícil de ser atingida, pois é preciso que os professores auxiliem os alunos a
reconhecerem e honrarem as próprias crenças e práticas culturais enquanto adquirem o acesso
a cultural domintante. Por outro lado, a grande dificuldade de se atingir a proposição da
consciência crítica é o fato de os professores, muitas vezes, não terem desenvolvido neles
próprios a consciência sociopolítica.
Assim, a Pedagogia Culturalmente Relevante emerge como o resultado da adoção,
implantação e implementação dessas três proposições no currículo escolar, não como uma
disciplina específica, mas como fatores presentes em todas as disciplinas.
Por exemplo, o sucesso acadêmico significa que os professores devem buscar
alternativas de ensino para práticas instrucionais diferenciadas, para que os alunos possam
experimentar e atingir o aprendizado, tendo acesso a novos conhecimentos. Porém, para que
isso ocorra adequadamente, existe a necessidade de que esses professores utilizem o
background cultural dos alunos como um veículo para a efetivação da aprendizagem, com a
elaboração de atividades culturalmente relevantes. Desse modo, a utilização dessas atividades
no currículo escolar permite a formação de uma consciência crítica que pode tornar os
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participantes cidadãos capazes de desafiar a ordem social predominante na sociedade
contemporânea (LADSON-BILLINGS, 1995).
Por outro lado, Gay (2002) ressalta que as práticas pedagógicas dos professores
embasadas nos referenciais culturais dos alunos são ações importantes para a adoção da
Pedagogia Culturalmente Relevante no currículo escolar, tornando-o multicultural. De acordo
com Ladson-Billings (1995), espera-se que, em salas de aula nas quais os professores a
adotam, sejam realizadas atividades curriculares que forneçam aos alunos a oportunidade de
se engajarem criticamente na resolução dos problemas enfrentados no cotidiano.
Nesse contexto, a utilização da História da Matemática como prática pedagógica pode
ser considerada como um aliado importante dos professores no processo de ensino e de
aprendizagem em matemática, pois um de seus mais importantes objetivos é salientar a
cultura dos alunos ao mostrar como o conhecimento foi construído e acumulado por vários
povos ao longo da história. Furhinghetti (1997) apud Troutman e Maccoy (2008) argumentam
que uma referência cultural específica disponível para os professores que queiram elaborar
aulas de matemática culturalmente relevantes é a utilização história da disciplina. Nesse
sentido, as lições sobre os principais eventos e os matemáticos que contribíram para o
desenvolvimento do conhecimento matemáticos são aspectos importantes que satisfazem os
objetivos da pedagogia culturalmente relevante.
Então, de acordo com o resultado do estudo realizado por Troutman e McCoy (2008),
que elaboraram atividades baseadas na história de várias culturas, os alunos foram capazes de
afirmar que o conhecimento matemático é útil no cotidiano das pessoas e puderam apresentar
exemplos da utilização da matemática na própria rotina diária, o que os auxiliou a enxergarem
a matemática de uma maneira contextualizada. Além disso, a História da Matemática auxiliou
alguns alunos a reafirmarem a própria origem cultural pela observação de como pessoas de
vários grupos culturais desenvolveram conteúdos matemáticos ao longo da história.
Outro ponto importante a ser destacado, nessa perspectiva de ensino, é a possibilidade
de entendimento das respostas fornecidas pelos alunos às situações-problema por meio da
lente da História da Matemática em seu próprio contexto e no contexto dos alunos.
3
Metodologia
Neste trabalho, uma parte específica da cultura dos alunos, isto é, os fundos de
conhecimento, foi utilizada na elaboração de uma das cinco atividades curriculares utilizadas
no estudo conduzido por Azevedo Oliveira (2012). A elaboração dessa atividade procurou
incluir o conhecimento matemático cotidiano, considerando as metodologias apropriadas para
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essa utilização.
A coleta de dados foi realizada no mês de março de 2011, sendo iniciada com o
questionário I respondido no dia 15. A atividade desenvolvida nesse estudo foi desenvolvida
no dia 24 com a turma A e no dia 29 com a turma B. A população alvo foi composta,
inicialmente, por 72 alunos enquanto que as atividades analisadas nesse documento foram
respondidas por 64 alunos pertencentes as duas turmas. Esses participantes estudam em uma
escola técnica, em uma cidade localizada no interior do Estado de Minas Gerais, cursando,
concomitantemente, o Ensino Básico e o Técnico, portanto, permaneciam na escola em
período integral. As aulas tinham início às 7h e terminavam às 16h40. O intervalo para o
almoço era das 10h50 às 13h.
Nesse estudo, os instrumentos utilizados para a coleta de dados foram dois
questionários, dois grupos focais, caderno de campo do professor-pesquisador, as atividades
respondidas pelos alunos em três registros documentais e as entrevistas de acompanhamento.
A escolha desses tipos de instrumentos ocorreu devido à sua flexibilidade, pois pode-se
trabalhar com difererentes tipos de coleta de dados, tanto qualitativa quanto quantitativa
(ROSA, 2010). Os dados foram coletados e analisados utilizando o método misto de pesquisa,
que é uma tendência crescente em educação (TASHAKKORI e TEDDLIE, 2003). Nesse tipo
de pesquisa, a combinação dos métodos qualitativo e quantitativo para coleta e análise de
dados oferece uma alternativa para a abordagem dos problemas específicos e complexos da
área de Educação Matemática (ROSA, 2010).
Assim, realizaram-se simultaneamente análises entre os dados qualitativos e
quantitativos para que se pudesse compreender, em profundidade, o tema desse estudo. Dessa
maneira,
os
dados
qualitativos
e
quantitativos
foram
coletados
e
analisados
concomitantemente, de maneira igualitária, no método misto QUAN+QUAL (CRESWELL e
PLANO, 2007). Essa complementaridade não seria possível se, na análise dos dados, fosse
utilizado apenas um desses métodos de pesquisa. Essa abordagem permitiu aos pesquisadores
analisar os dados qualitativos e os quantitativos combinando-os de modo a obter informações
completas e complexas em relação aos dados levantados (CRESWELL e PLANO, 2007). Os
resultados também foram analisados de acordo com as informações obtidas na revisão de
literatura, com relação à Pedagogia Culturalmente Relevante, aos Fundos de Conhecimento e
à Perspectiva Sociocultural da História da Matemática.
De acordo com Minayo e Sanches (1993), ambas as abordagens, qualitativa e
quantitativa, são necessárias e complementares, mesmo sem referenciarem esse método em
seus estudos. Assim, o método misto é importante para que se obtenha uma visão holística dos
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resultados obtidos (ROSA, 2010). Neste estudo, essa abordagem foi utilizada desde o início
da pesquisa, em todas as suas etapas, ou seja, em sua elaboração, na elaboração dos
questionários, na organização das atividades exploratórias de Matemática, na construção das
questões orientadoras do grupo focal, nas entrevistas de acompanhamento e na análise de
dados.
De acordo com Creswell (2003), o símbolo de adição indica que o método qualitativo e
quantitativo foram implementados simultaneamente durante a coleta e a análise de dados. A
figura 9 mostra o método misto adotado nessa pesquisa para a análise dos dados.
Figura 2: Design de estudo misto. Adaptado de Creswell e Plano Clark (2007, p.63)
Neste estudo, o professor-pesquisador utilizou questões abertas do questionário para
coletar dados qualitativos relacionados ao estudo e aos fundos de conhecimento dos alunos
para determinar o conhecimento matemático previamente adquirido por eles. Por exemplo, as
atividades exploratórias de Matemática do Registro Documental I foram baseadas nas
respostas obtidas para as questões dos questionários I e II. Essas questões continham
informações relacionadas ao cotidiano dos alunos.
Na fase quantitativa, o professor-pesquisador realizou um estudo utilizando o método
estatístico descritivo para tabular e organizar as respostas dos questionários e, na fase
qualitativa, determinar os termos mais frequentes, que mais apareciam nas respostas dos
alunos, para a estruturação das próximas fases da pesquisa. Isso significa que, durante a
análise de dados, a abordagem qualitativa forneceu o suporte necessário para a abordagem
quantitativa e vice-versa. Assim, a utilização da combinação desses métodos de pesquisa teve
como objetivo buscar resultados melhores, em termos de qualidade para responder à questão
de investigação por meio da integração das abordagens qualitativa e quantitativa
(CRESWELL, 2003).
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3.1 Triangulação
A triangulação é um dos tipos de análise de dados sugeridos por Creswell e Plano Clark
(2007) para o método misto. Assim, durante a análise dos dados, a triangulação auxilia os
pesquisadores a “comparar e contrapor diretamente resultados estatísticos quantitativos com
os resultados qualitativos” (CRESWELL e PLANO CLARK, 2007, p.62) para a determinação
de resultados a serem validados nesta análise. Neste estudo, a triangulação foi utilizada para
garantir a complementaridade dos dados qualitativos e quantitativos. Então, as três fontes de
triangulação utilizadas nesse estudo foram:
a) Os questionários I e II;
b) Os grupos focais, o diário de campo e as entrevistas de acompanhamento;
c) As atividades matemáticas exploratórias constantes nos registros documentais I, II e
III.
Nesta pesquisa, os questionários I e II foram utilizados para a obtenção de informações
que instrumentalizassem o professor-pesquisador para elaborar as atividades baseadas na
teoria da Pedagogia Culturalmente Relevante (LADSON-BILLINGS, 1995a) e nos Fundos de
Conhecimento dos alunos (MOLL et al, 1992) e, também, para realizar uma conexão dessas
teorias com a História da Matemática. Dessa maneira, os grupos focais, o diário de campo do
professor-pesquisador e as atividades matemáticas exploratórias dos registros documentais
foram instrumentos utilizados para a coleta e a análise dos dados sob o ponto de vista da
História da Matemática, na perspectiva sociocultural.
Os dados quantitativos e qualitativos foram coletados para a obtenção de resultados
confiáveis e válidos (PATTON, 1990). Nessa perspectiva, os dados qualitativos foram
quantificados para permitir ao professor-pesquisador a análise concorrente (simultânea) dos
dados, permitindo, dessa maneira, uma comparação entre esses dados e um entendimento
mais profundo das informações obtidas pela coleta de dados (CRESWELL e PLANO
CLARK, 2007).
Sendo assim, a triangulação dos dados e os procedimentos metodológicos descritos
serviram como um guia para que o professor-pesquisador caminhasse em direção à resposta
para a questão de investigação mediante a análise dos dados por meio dos instrumentos de
coleta e das teorias discutidas, ou seja, da História da Matemática na Perspectiva
Sociocultural, da Pedagogia Culturalmente Relevante e dos Fundos de Conhecimento. A
figura 11 ilustra a triangulação dos dados utilizada nesse estudo.
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A Atividade
Uma das atividades que emergiu da fundamentação teórica e da metodologia utiliza
nessa pesquisa foi elaborada como:
Para o almoço na escola os alunos pagam o valor de R$1,70, enquanto que o custo para
servidores é de R$2,70. Algumas vezes os estudantes e os professores almoçam tomando
refrigerante que custa, na cantina, R$ 2,00 a garrafa de 500 ml, servindo duas pessoas. E fora
da escola, a garrafa pet de 2 litros custa R$ 5,00. Um professor resolve almoçar cada dia com
um número de estudantes e compra sempre um pet de 2 litros de Coca-Cola.
Essa atividadade foi realizada com duas turmas de alunos que frequentavam a primeira
série do Ensino Médio, denominadas de A e B. No entanto, é importante salientar os 72
(100%) participantes desse estudo responderam aos questionários enquanto que 64 (88,89%)
desses participaram da atividade mencionada,, havendo uma abstenção de 8 (11,11%) alunos
durante a sua realização.
As observações realizadas pelo professor-pesquisador no próprio ambiente escolar e os
dois questionários respondidos pelos participantes desse estudo foram os instrumentos
utilizados para levantar os fundos de conhecimento, que foram utilizados na elaboração dessa
atividade. O principal objetivo dessa atividade foi oferecer uma oportunidade para que os
alunos pudessem estudar um determinado conteúdo de Funções por meio da aplicação do
pensamento funcional.
Nesse sentido, a História da Matemática foi utilizada para mostrar que a matemática
começou a se desenvolver a partir das necessidades humanas relacionadas com um contexto
sociocultural específico. Então, a partir das necessidades dos alunos em suas comunidades e
com a utilização de seus fundos de conhecimento, pode-se elaborar a atividade matemática
apresentada nesse estudo. Outro objetivo importante dessa atividade era o de desenvolver a
competência cultural dos alunos em busca do próprio aprendizado e, também, sucesso
acadêmico por meio do desenvolvimento de competências que os auxiliem a se tornarem
cidadãos críticos para atuarem na sociedade.
5
Apresentação dos Dados
Os dados coletados nesses questionários permitiram detectar que 19 (53%) dos 36
participantes da Turma A e 11 (33,3%) dos 33 participantes da Turma B não residiam na
cidade onde se localiza a escola. Ressalta-se que 3 (4,17%) alunos não responderam a esse
questionamento. Portanto, os dados mostram que 30 (43,47%) dos 69 participantes que
responderam a esse questionário podiam almoçar nas dependências da escola ou em
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restaurantes localizados em seus arredores. Na escola, há um restaurante no qual os alunos
almoçam a um preço único de R$1,70; mas os servidores e outros funcionários da escola
pagam R$2,70 pela refeição.
Nesse contexto, elaborou-se uma questão que solicitava aos alunos que descrevessem,
no mínimo, duas situações diárias nas quais utilizavam ideias e procedimentos matemáticos.
Como exemplos de respostas dadas a essa pergunta temos: Nádia respondeu que utiliza
aMatemática “para comprar o ticket”, Victor respondeu que utiliza o conhecimento
matemático para “comprar ticket para fazer uso do restaurante escolar“ e Nívea respondeu que
as ideias matemáticas podem ser utilizadas para “comprar ticket alimentação na escola”. Essas
respostas demonstram que existe uma ideia matemática prévia que está relacionada com os
fundos de conhecimento (MOLL et al, 1992) desses participantes. Dessa maneira, o
pagamento do ticket do almoço pode ser considerado como uma atividade que faz parte do
cotidiano dos participantes e que pode ser relacionada com os conceitos matemáticos
acadêmicos, que foi utilizado pelos pesquisadores para a elaboração dessa atividade por meio
da Pedagogia Culturalmente Relevante (LADSON-BILLINGS, 1995).
De acordo com a tabulação e quantificação das respostas dadas a essa questão, um dos
termos mais utilizados pelos participantes estava relacionado com tickets, almoço e lanche,
que apareceram nas respostas de 9 (12,5%) dos 72 participantes que responderam à questão.
Os nomes utilizados para os alunos participantes não são reais, mas codinomes criados pelos
autores para garantir a não identificação desses sujeitos.
A análise dos dados mostra que esses temas estão relacionados com os fundos de
conhecimento dos alunos. O Quadro 1 apresenta os temas que emergiram das respostas dadas
à questão citada.
Quadro 1: Temas emergentes das respostas à questão do questionário
6
Resultados
O item a dessa atividade estava relacionado com a ação de completar uma tabela que
propunha correspondência entre o número de participantes que almoçavam na escola e o valor
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necessário para o pagamento do almoço. Nesse item, a História da Matemática assumiu o
papel de orientar o trabalho de elaboração de atividades curriculares relacionado com o
desenvolvimento do pensamento funcional dos participantes, de maneira implícita, pois não
são apresentadas informações históricas referentes ao desenvolvimento da Matemática com
relação a esse conteúdo matemático.
Apesar de ter sido esse tipo de tabela uma das primeiras manifestações de representação
do pensamento funcional pelos babilônios, não se trata de uma reconstrução desse conceito
matemático como ocorreu ao longo da história, pois a tabela utilizada por esse povo
relacionava n³  n² com o seu valor numérico (BELL, 1992). Nesse sentido, Radford (1997)
afirma que a História da Matemática pode ser utilizada nas atividades curriculares de modo
adaptado para o contexto escolar atual, pois não se consegue obter uma reconstrução cultural
e um contexto social idêntico ao da época de seu desenvolvimento. Diante dessa perspectiva,
foi requerido que os alunos preenchessem a tabela para determinarem a resposta para essa
situação-problema.
Por outro lado, essa atividade permitiu que os participantes discutissem criticamente o
bem coletivo, pois se poderia questionar o fato de o professor pagar sozinho o valor do
refrigerante e não dividi-lo com os alunos. Além disso, de acordo com a análise dos dados,
essa atividade também permitiu que os participantes agregassem conhecimentos novos, pois
foi trabalhado o conceito de função e houve uma ênfase na competência cultural dos
participantes com a elaboração de atividades envolvendo situações-problema vivenciadas por
eles em seus lares e na comunidade escolar.
O item b dessa atividade estava relacionado com a questão: É possível determinar a
quantidade de alunos sabendo que foram gastos R$ 19,60? O Quadro 2 apresenta as respostas
que os participantes forneceram para esse item.
Quadro 2: Respostas dadas pelos participantes ao item b
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Dos 72 (100%) participantes, esse item foi respondido por 64 (88,89%) deles, sendo que
6 (8,33%) participantes não o responderarm enquanto que 2 (2,78%) participantes estiveram
ausentes no dia da realização dessa atividade. Por exemplo, o participante Antônio preencheu
a última célula da tabela com o valor de R$ 16,60, enquanto o participante Hernane
preencheu-a com o valor de R$16,40. Contudo esses dois participantes não mencionaram o
modo pelo qual determinaram esse resultado. Os demais participantes preencheram essa
última célula com o valor esperado de R$16,20. Portanto o valor correto desse item foi
determinado por 62 (86,11%), 2 (2,78%) determinaram o valor errado, 6 (8,33%) não
responderam a essa questão e 2 (2,78%) estavam ausentes. Os dados também mostraram que a
participante Débora preencheu a Tabela e apresentou os cálculos utilizados na resolução dessa
situação-problema. A figura 2 mostra a resposta dada por esse participante.
Figura 3: Resposta da participante Débora
A análise dos dados coletados nesse item indicou que os participantes aplicaram um
pensamento inverso para a sua realização, pois foi possível observar que foram capazes de
operar com funções inversas, mesmo antes de terem estudado a conceituação formal desse
conteúdo matemático.
De acordo com os resultados obtidos, 1 participante (1,56%) respondeu incorretamente
à questão, 2 (3,12%) responderam que não seria possível encontrar o valor solicitado,
enquanto 61 (95,3%) participantes responderam de maneira satisfatória, acertando o resultado
final. Débora apresentou a resolução dessa questão: “ Sim. 7 alunos almoçaram”.
Quanto ao participante Marcos, primeiramente utilizou uma fórmula algébrica para
representar a situação e depois determinar a quantidade de participantes requeridos pelo
problema, através de manipulações algébricas ao resolver uma equação do primeiro grau. No
entanto apresentou duas equações, uma do lado esquerdo e outra do direito, e resolveu
somente a equação que está à direita na Figura 5.
Figura 4: Resposta dada pelo participante Marcos
A análise de dados também mostrou que a participante Márcia respondeu a essa questão
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de modo incorreto, não apresentando justificativas para a resolução. Essa aluna respondeu que
“Sim, são 17 alunos”. Por outro lado, a participante Silvia afirmou não ser possível responder
a essa questão, pois “8 alunos é 18,60 e 9 dá 20,30”
No item c - Como você representaria matematicamente a relação entre o número de
alunos e o valor pago? - foi solicitado que os participantes representassem matematicamente
essa situação-problema.
O Quadro 3 contém a classificação e o quantitativo das respostas dadas pelos
participantes a essa questão.
Quadro 3: Representações matemáticas da situação
A análise dos dados mostra que a representação matemática solicitava ocorreu com a
utilização de diversos tipos de notação, ou seja, por meio da notação algébrica e retórica,
algébrica simbólica, uma combinação de algébrica, retórica, sincopada e simbólica e, também,
gráfica.
De acordo com a análise dos dados, apresenta-se uma síntese sobre os diversos tipos de
representação, como, por exemplo, a gráfica e a analítica, utilizados pelos participantes desse
estudo para solucionar uma situação-problema relacionada com o conceito de função.
A representação algébrica e retórica foi utilizada por 9 (14,06%) participantes. Como
exemplo a participante Elisabete representou esse problema retoricamente: “ Que a cada aluno
o professor iria pagar R$1,70do almoço mais o valor da coca cola dividido entre eles” .
A representação algébrica simbólica foi utilizada por 31 (48,44%) participantes. A
resposta apresentada pelo participante Mateus ilustra esse tipo de representação: “ y=1,7x +
7,7” .
A combinação das representações algébrica e retórica, sincopada e simbólica foi
utilizada por 7 (10,93%) participantes. Como exemplo, a solução da participante Ana Lúcia: “
x = nº de alunos
2,70+5,00 + 1,70x = valor gasto”.
Verifica-se que essa aluna representou o número de participantes escrevendo a
expressão de maneira sincopada, pois utilizou a abreviação n.º para representar a palavra
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número. Assim, a expressão que representa a quantidade de participantes é igual a x, que está
representado simbolicamente. Ao mesmo tempo, a participante escreveu retoricamente valor
gasto em linguagem corrente para representar uma expressão de escrita simbólica.
A representação gráfica foi utilizada por 11(17,19%) participantes. O gráfico de barras
foi utilizado por 4 (6,25%) participantes. Por exemplo, o participante André construiu o
gráfico de barras da Figura 11 para representar essa situação-problema.
Figura 5: Resposta dada pelo participante André
Porém, 7 (10,93%) participantes resolveram essa situação-problema com a
representação gráfica dos dados no plano cartesiano utilizando uma reta. Contudo não
estavam atentos para a condição de continuidade da reta. A Figura 12 mostra a representação
dessa situação pelo participante Arnaldo, na qual se constata a dificuldade em relação ao
discreto.
Figura 6: Resposta dada pelo participante Arnaldo
Por outro lado, a representação gráfica e sincopada foi utilizada por 1 (1,56%)
participante, a analítica f(x) por 5 (7,81%) participantes, e 1 (1,56%) participante não resolveu
essa atividade. A análise dos dados mostra que a notação sincopada não foi utilizada
isoladamente, sendo utilizada em conjunto com outras notações.
A análise desses dados dos ítens b e c revela que esses alunos utilizaram os estágios da
evolução da notação algébrica que ocorreram ao longo da história (BAUMGART, 1992) para
solucionarem a situação-problema proposta. No período de 1700 aC a 1700 dC., houve uma
evolução do gradual da utilização do conhecimento matemático algébrico de uma linguagem
retórica para simbólica. Essa evolução foi denominada de estágios, que foram classificados
por Nesselmann, em 1842, como retórico (verbal), sincopado (abreviações de palavras) e
simbólico (utilização de símbolos).
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Assim, como a humanidade precisou de muitos séculos para atingir o estágio simbólico
da álgebra, os alunos também necessitam de uma preparação mais duradoura, para atingir esse
estágio na resolução de problemas. Contudo, existe a necessidade de que os professores
tenham um conhecimento mais profundo da história da matemática para auxiliar os seus
alunos em suas necessidades educacionais.
Do ponto de vista histórico, com relação aos gráficos analisados nesse estudo, observase que 11 (17,19%) participantes utilizaram gráficos de barras parecidos com as
representações gráficas desenvolvidas por Oresme (1323–1382), que no final da idade méda
elaborou a Teoria das Latitudes das Formas ao empregar um gráfico de movimento para
representar a velocidade constante e representou como pode ser visto na figura a seguir
Figura 7: Representação gráfica de função utilizada por Oresme (BOYER, 1996, p.181)
Nesse sentido, Radford (1997) afirma que não se deve ignorar a influência da cultura no
desenvolvimento histórico do conhecimento matemático.
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Considerações Finais
A atividade realizada para este estudo apresentou situações que ressaltam as três teorias
utilizadas em sua fundamentação teórica: a História da Matemática, os Fundos de
Conhecimento e a Pedagogia Culturalmente Relevante. Porém, para que os professores
possam utilizá-las em atividades curriculares, em sala de aula, existe a necessidade de que
tenham conhecimentos a respeito da história dos conteúdos trabalhados e de que conheçam
bem os alunos, entendendo o contexto sociocultural no qual estão inseridos.
Para isso, os professores devem cumprir estes passos:
a) Estudar a história do conteúdo matemático a ser desenvolvido em sala de aula.
b) Conhecer os alunos individualmente, seus interesses e perspectivas profissionais.
c) Conhecer os familiares e a comunidade escolar na qual os alunos estão inseridos.
d) Utilizar o conhecimento histórico do conteúdo matemático e os fundos de
conhecimento dos alunos para a elaboração de atividades curriculares que sejam
culturalmente relevantes.
Contudo é importante enfatizar que esses passos são apenas sugestões iniciais
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fornecidas pelos pesquisadores para a elaboração de atividades matemáticas fundamentadas
nos três pilares teóricos utilizados na fundamentação deste estudo. Porém Gay (2002) afirma
que essa é uma tarefa difícil, pois exige a dedicação e a conscientização dos professores
interessados em trabalhar com essa metodologia no ensino e aprendizagem da Matemática.
Na atividade apresentada nesta pesquisa, as respostas elaboradas pelos participantes
mostram que o conhecimento da História da Matemática auxiliou o professor-pesquisador a
elaborar as atividades baseadas nos Fundos de Conhecimento, que foram descobertos por
meio de questionários, e também pelas observações realizadas pelo professor em sua
convivência com eles no ambiente escolar.
Portanto, o convívio dos professores com os alunos é essencial para que os Fundos de
Conhecimento sejam conhecidos e utilizados na elaboração de atividades curriculares que
ressaltem a utilização das três proposições sugeridas pela Pedagogia Culturalmente Relevante.
Referências
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de atividades baseadas nos fundos de conhecimento e ancoradas na perspectiva
sociocultural da história da matemática para a aprendizagem de funções por meio da
pedagogia
culturalmente
relevante.
Ouro
Preto,
MG:
UFOP,
2012.
215
p.
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Ciências Exatas e Biológicas, Universidade Federal de Ouro Preto, Ouro Preto, 2012.
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