Circuitos de 1ª ordem
Parte 1
Considerações iniciais
• Indutor
I
+
V
-
dI
V =L
dt
t
1
I = ∫ Vdτ + i (t0 )
L t0
dI
L⋅I2
W = ∫ P ⋅ dt = ∫ (V ⋅ I ) ⋅ dt = ∫ I ⋅ L dt =L ∫ I ⋅ dI =
dt
2
• Duas observações importantes:
1. Se a corrente for cte, a tensão no indutor ideal é zero (curto).
2. A corrente não pode variar por uma quantidade finita em tempo zero.
A equação de V nos diz que essa variação exigiria tensão infinita.
Ex: abertura de um interruptor (centelhamento)
Considerações iniciais
• Capacitor
+
V
dV
I =C
dt
t
1
V (t ) = ∫ idτ + V (t0 )
C t0
2
1
1 Q
CV
W = ∫ V ⋅ dq = ∫ q ⋅ dq = ⋅
=
C 0
C 2
2
Q
2
• Duas observações importantes:
1. Se a tensão for cte, a corrente no capacitor ideal é zero (aberto).
2. A tensão não pode variar por uma quantidade finita em tempo zero.
A equação de I nos diz que essa variação exigiria corrente infinita.
Circuito RL
resposta natural- sem excitação
• Considere que a corrente Is =I0 é corrente inicial do indutor.
• Na convenção passiva:
•
VL+VR = 0
Ldi/dt + Ri =0
Cálculo da expressão de corrente
(di/dt) dt=-R/L idt
di/i = -R/L dt
i (t )
t
R
dx
/
x
=
−
dy
∫
∫
L t0
i ( t0 )
Com t0 =0, temos:
i(t)=i(0)e-(R/L)t, t≥ 0
i(0+)=i(0-) =I0
Curva da corrente do circuito RL
sem excitação
Expressão da tensão e da energia
V=Ri = I0R e-(R/L)t, t>0+
Em t< 0 a tensão é zero (derivada da corrente)
A expressão da energia pode ser deduzida e é :
W=(1/2) LI02(1-e-2(R/L)t) , t≥0
Pela equação acima, qdo t tende para infinito, a energia
dissipada no resistor se aproxima da energia inicial
armazenada no indutor
Constante de tempo
• τ = constante de tempo = L/R
R/L - Determina a taxa à qual a corrente ou
tensão se aproxima de zero. A recíproca
dessa razão é a cte de tempo.
Na maioria das finalidades práticas, as
correntes e tensões alcançam seus
valores finais após cinco cte de tempo
(regime permanente ou longo tempo após
o chaveamento)
Interpretação gráfica da cte de
tempo do circuito RL
Exemplo 1
• A chave do circuito abaixo esteve fechada por um longo
tempo antes de ser aberta em t=0.
• Calcule iL (t), i0(t) e v0(t) para t≥0
• Calcule a porcentagem da energia total armazenada no
indutor de 2H que é dissipada no resistor de 10 Ohms.
Solução
A tensão no indutor é zero (chave fechada por longo tempo). Logo, iL
(0) é 20 A.
Substituindo o circuito resistivo ligado aos terminais do indutor por um
único resistor de 10 Ohms:
Req = 2+ (40//10) = 10 Ω
A cte de tempo será L/Req ou 0,2 s
iL = 20 e-5t A, t≥0
Solução
Usando divisão de corrente para encontrar a corrente no resistor de 40 Ω
i0 =-iL 10/(10+40) , t≥0+
Para t=0-, i0 =0.
Então, i0 = -4 e-5t A, t≥0+
v0(t) = 40 i0 = - 160 e-5t V, t≥0+
A potência dissipada no resistor de 10 Ohms é p(t) = vo2/10 = 2560 e-10t W
A energia total dissipada no resistor de 10 ohms é
∞
w(t ) = ∫ 2560e −10t dt = 256 J
0
A energia inicial armazenada no indutor é : w(0)=(1/2) Li2(0) = 400J
A porcentagem é 256/400 x 100 = 64%
Exemplo 2
• No circuito abaixo, as correntes iniciais nos indutores foram
estabelecidas por fontes não mostradas. A chave é aberta em t=0
• Determine i1 ,i2 e i3 para t≥0
• Calcule a energia inicial armazenada nos indutores em paralelo
• Determine qual é a energia armazenada nos indutores quando t
∞
Solução
• Para encontrar as correntes precisamos
da tensão v.
• Simplificando o circuito para a figura
abaixo:
• A cte de tempo é 4/8 ou 0,5 s.
i(t) = 12 e-2t A, t≥0
Solução
• v(t) =8i = 96 e-2t V, t≥0+
Logo,
t
1
i1 = ∫ 96e − 2 x dx − 8 = 1,6 − 9,6e − 2t A, t ≥ 0.
50
t
1
−2 x
− 2t
i2 =
96
e
dx
−
4
=
−
1
,
6
−
2
,
4
e
A, t ≥ 0.
∫
20 0
i3 =
v(t ) 15
= 5,76e − 2t A, t ≥ 0 +
10 25
Solução
• A energia inicial armazenada:
W=(1/2) 5(64) + (1/2)20(16)=320J
Ao longo de muito tempo após a chave ter sido aberta i1=1,6 A e i2=-1,6 A,
logo:
W=(1/2)5(1,6)2 + (1/2)20(-1,6)2=32J
A energia total fornecida à rede resistiva é:
∞
∞
W = ∫ pdt = ∫ 1152e − 4t = 288 J
0
0
Esse resultado é a diferença entre a energia inicial armazenada e a energia
final armazenada pelos indutores.
Exercício:
a chave esteve fechada por muito tempo e é aberta em
t=0.
Determine o valor inicial de i , a cte de tempo e a expressão de corrente
para t>0.
Circuito RC
resposta natural
• Inicialmente temos o circuito RC abaixo,
em t=0 a chave é levada para b.
• Após o chaveamento temos:
Expressão de tensão
• Cdv/dt + v/R =0
Comparando com o circuito RL pode ser
utilizada a mesma técnica para obter a
solução de v logo:
v(t) = v(0) e-t/RC
v(0-)=v(0+)=Vg =V0
Logo:
v(t) = V0 e-t/RC , t≥0
τ = RC é a cte de tempo
Interpretação gráfica da cte de
tempo do circuito RC
A expressão de corrente
• iC = Cdv/dt = (-V0 /R) e-t/RC , t≥0
• iR = - iC , logo:
• iR = (V0 /R) e-t/RC , t≥0
• Como será o gráfico das correntes?
A expressão de energia
P=vi= V02/R e-t/RC, t≥0+, integrando temos a
energia:
W=(1/2) CV02(1 – e-t/RC), t≥0
Exemplo 3
•
a)
b)
A chave do circuito abaixo esteve na posição x por longo tempo.
Em t=0 ela passa para a posição y. determine:
vC , v0 e i0
A energia total dissipada no resistor de 60 kΩ
Solução
•
Como a chave esteve na posição x por longo tempo, o capacitor
se carregará até 100V. A rede resistiva pode ser substituída por
um equivalente de 80 kΩ. Logo a cte de tempo será:
τ = (0,5 10-6)(80 103) ou 40 ms.
vC (t) = 100 e-25t V, t≥0
Solução
• v0(t) = (48/80) vC (t) = 60 e-25t V, t≥0+
• i0 (t) = v0(t)/(60 x103) = e-25t mA , t≥0+
b) P = i02(t) (60 x 103) = 60e-50t mW, t≥0+
A energia portanto é: 1, 2 mJ
Exemplo 4
• As tensões iniciais nos capacitores do circuito abaixo foram
estabelecidas por fontes não mostradas. A chave é fechada em t=0.
a) Determine v1, v2 e v
b) Calcule a energia inicial armazenada nos capacitores
c) Determine a energia que fica nos capacitores t
∞
Solução
• Calculando v, teremos i e com i podemos calcular v1 e v2 ( tensão
no capacitor é função da corrente que passa por ele).
• Primeiramente encontra-se um capacitor equivalente, logo temos o
circuito abaixo:
• A cte de tempo será: (4 )x (250)x 10-3 ou 1s, logo:
V(t) = 20 e-t V, t≥0
Solução
•
A corrente i(t) será:
i(t) = v(t)/R = 80 e-t µA, t≥0+
Calculem agora v1(t) e v2(t).
E a energia inicial e final dos capacitores?