Instituto Tecnológico de Aeronáutica
Mestrado Profissional em Produção
MB-746
Otimização
Modelagem de Sistemas
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Modelagem de Sistemas
Modelo: “representação das características essenciais do sistema em estudo”
Pao
Rc
Paw
Q
CS
QA
Pao
Rp
Paw
Q
Ppl
QA
PA
Rp
Rc
PA
CL
Cpl
Q
CS
S
Ppl
CL
Cpl
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Modelo Matemático
Sistema Massa-Mola-Amortecedor
8
mola
MP
massa
y [cm]
6
4
y
amortecedor
2
0
0
2
tr
4
6
8
10 12
t [s]
14
16
18
20
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Modelo para o Problema de Otimização
Programação Matemática
sujeito a
Vinculo ou
Restrição de
Desigualdade
Vinculo ou
Restrição de
Igualdade
Função Custo
Variável de Decisão
Conjunto Viável =
{ pontos x que satisfazem
essas condições }
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Exemplo: Otimização Unidimensional
(apenas 1 variável de decisão “x”)
f(x)
Valor Mínimo
f(x*)
x
[
Conjunto viável
Pontos que satisfazem
g(x) ≤ 0
]
x*
Solução
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Exemplo de Função “Custo”
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Curvas/Contornos de Nível
Curvas de Nível
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Observações Gerais
• Min × Max
• Subjetividade na escolha do f(.)
• Max ≠ Grande ou Ótimo ≠ Bom
• Nem sempre Ótimo é melhor que Sub-Ótimo
• Problema de Seleção
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Passos para Modelagem
Passo 1: Às vezes, é interessante fazer um diagrama esquemático
Passo 2: Caracterizar as variáveis de decisão
•Selecionar as grandezas cujos valores podem ser alteradas
•Atribuir símbolos para essas grandezas
Passo 3: Caracterizar a função custo
•Verificar qual a grandeza a ser maximizada/minimizada
•Expressar essa grandeza como função das variáveis de decisão
Passo 4: Caracterizar as restrições
•Verificar qual a faixa em que as variáveis de decisão podem estar
•Expressar, em forma de igualdades ou desigualdades, essa faixa.
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Exemplo de Modelagem
Retirado de: http://www.uff.br/cdme/pot/pot-html/pot-br.html
Com 80 metros de cerca um fazendeiro deseja circundar uma região retangular junto
a um rio para confinar alguns animais. O lado da região retangular junto a margem
do rio não é cercado. Como deve ser o retângulo de modo que a área cercada seja
máxima?
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Exemplo de Modelagem
Retirado de: http://www.uff.br/cdme/pot/pot-html/pot-br.html
Com 80 metros de cerca um fazendeiro deseja circundar uma região retangular junto a um rio
para confinar alguns animais. O lado da região retangular junto a margem do rio não é cercado.
Como deve ser o retângulo de modo que a área cercada seja máxima?
Passo 1: Às vezes, é interessante fazer um diagrama esquemático
Rio
A
80m de cerca
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Retirado de: http://www.uff.br/cdme/pot/pot-html/pot-br.html
Com 80 metros de cerca um fazendeiro deseja circundar uma região retangular junto a um rio
para confinar alguns animais. O lado da região retangular junto a margem do rio não é cercado.
Como deve ser o retângulo de modo que a área cercada seja máxima?
Passo 2: Caracterizar as variáveis de decisão
•Selecionar as grandezas cujos valores podem ser alterados
•Atribuir símbolos para essas grandezas
y
A
x
y
x,y
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Exemplo de Modelagem
Retirado de: http://www.uff.br/cdme/pot/pot-html/pot-br.html
Com 80 metros de cerca um fazendeiro deseja circundar uma região retangular junto a um rio
para confinar alguns animais. O lado da região retangular junto a margem do rio não é cercado.
Como deve ser o retângulo de modo que a área cercada seja máxima?
Passo 3: Caracterizar a função custo
•Verificar qual a grandeza a ser maximizada/minimizada
•Expressar essa grandeza como função das variáveis de decisão
y
A
x
y
A = xy
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Exemplo de Modelagem
Retirado de: http://www.uff.br/cdme/pot/pot-html/pot-br.html
Com 80 metros de cerca um fazendeiro deseja circundar uma região retangular junto a um rio
para confinar alguns animais. O lado da região retangular junto a margem do rio não é cercado.
Como deve ser o retângulo de modo que a área cercada seja máxima?
Problema de Otimização:
max A = xy
s.a.
x>0
y>0
x < 80
y < 80
x + 2y = 80
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Retirado de: http://www.uff.br/cdme/pot/pot-html/pot-br.html
Com 80 metros de cerca um fazendeiro deseja circundar uma região retangular junto a um rio
para confinar alguns animais. O lado da região retangular junto a margem do rio não é cercado.
Como deve ser o retângulo de modo que a área cercada seja máxima?
Problema de Otimização:
max A = xy
s.a.
A’ = 40 – x
A = x(40 – x/2)
x>0
y>0
x < 80
y < 80
x + 2y = 80
= 40x –
y = 40 – x/2
x2/2
ou
x = 40
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Exercícios
de Modelagem
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Um bebedouro será construído na forma de um prisma reto cuja altura
mede 7 m e cujas bases são trapézios. Cada trapézio tem base menor
e laterais de medidas sempre iguais a 1 m. Se x representa a medida,
em radianos, do ângulo entre uma lateral e uma altura de cada um dos
dois trapézios congruentes usados na construção do bebedouro,
quanto deve ser x para que a forma do bebedouro correspondente
tenha o maior volume V possível? [sol = pi/6 rad]
Um fabricante quer construir uma embalagem no formato de uma
pirâmide regular de base quadrada a partir de uma folha de papelão
quadrada medindo 2 m por 2 m. Para construir a embalagem,
triângulos isósceles são removidos das laterais da folha de papelão.
As pontas que sobram são então dobradas para cima de modo a
formar uma pirâmide regular de base quadrada. Quanto deve ser x,
a metade da medida em metros da diagonal da base quadrada da
pirâmide, para que o volume V da embalagem seja o maior
possível? [sol = 4/5 m]
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Na construção de um transformador de corrente alternada, insere-se na bobina
circular do transformador um núcleo de ferro cuja seção transversal tem o formato
de uma cruz. É importante que esta seção transversal tenha a maior área
possível. Se o raio da seção transversal circular da bobina mede 18 milímetros e
se x representa a metade da medida, em milímetros, dos lados da cruz cujas
extremidades estão sobre a seção circular, quanto deve ser x para que a área A
da cruz seja a maior possível? [sol = 9.463 mm]
Um agricultor está em sua casa C situada a 80 metros da margem
retilínea de um rio. Ele quer encher primeiro o seu regador de água
em um ponto M na margem deste rio e, depois, se dirigir para sua
horta H, situada a 50 metros da margem do rio. A distância entre os
pés A e B das perpendiculares traçadas de C e H sobre a margem
do rio é igual a 100 metros. Considere um sistema de coordenadas
onde A = (0, 0), B = (100, 0), C = (0, 80), H = (100, 50) e M = (x,
0). Quanto deve ser x, a abscissa do ponto M sobre o eixo x, para
que o comprimento d do trajeto casa (C), rio (M) e horta (H) seja o
menor possível? [sol = 61.5 m]
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Muito Obrigado