TEOREMAS DA EFICIÊNCIA DO CIRCUITO
EQUIVALENTE DE THÉVENIN
Ivo Barbi, Fellow, IEEE (*)
RESUMO: Neste documento são apresentados dois
teoremas tratando das perdas e da eficiência do
circuito equivalente de Thévenin. É demonstrado
analiticamente e confirmado por simulação numérica,
que a eficiência do circuito equivalente de Thévenin,
para qualquer rede onde ele exista, é sempre maior ou
igual à eficiência do circuito real.
I. INTRODUÇÃO
De acordo com Teorema de Thévenin, qualquer circuito linear visto de um par de terminais pode ser
representado por uma fonte de tensão (igual à tensão
medida no par de terminais em circuito aberto) em série
com uma impedância (igual à impedância do circuito vista
do mesmo par de terminais).
Esta configuração é chamada de Circuito Equivalente
de Thévenin, em homenagem a Léon Charles Thévenin
(1857–1926). É um conceito de grande utilidade prática na
análise de circuitos, pois permite a redução de um circuito
dado, a um circuito equivalente de menor complexidade,
com apenas dois elementos vistos a partir de um par de
terminais, onde se deseja, por exemplo, determinar as
grandezas elétricas como tensão, corrente ou potência.
Apesar da importância desse teorema e de sua
popularidade, não há referência na literatura consultada
pelo autor deste documento, sobre a eficiência do circuito
equivalente, comparada com a eficiência do circuito
original.
No presente documento essa questão é analisada e
demonstra-se que a eficiência do circuito equivalente é
sempre maior ou igual à eficiência do circuito original
sendo, portanto, limitada a sua equivalência.
II. PROPOSIÇÃO E DEMONSTRAÇÃO
DO PRIMEIRO TEOREMA
(a) Seja uma rede resistiva linear, representada na Fig.
1(a) por NA, com dois terminais, “a” e “b”. Uma
resistência externa R0 encontra-se conectada entre os
pontos “a” e “b”.
ΔP1
ΔPA
ΔPT
Fig. 1: (a) Rede NA formada por resistores e fontes com R0 conectado;
(b) Rede NA com a resistor R0 desconectado; (c) Circuito equivalente de
Thévenin da rede NA com o resistor R0 conectado.
P0 representa a potência dissipada no resistor R0.
Δ P1 representa a potência dissipada nas resistências
internas do circuito NA, quando o resistor R0 está
conectado.
(b) Seja a Fig. 1(b), onde R0 é removido; desse modo a
tensão entre os terminais “a” e “b”, denominada VT, é a
tensão do circuito equivalente de Thévenin. Nesse caso, a
potência dissipada nos resistores internos do circuito é
representada por Δ PA .
(c) Seja o circuito equivalente de Thévenin, representado
na Fig. 1(c), onde VT representa a tensão equivalente
enquanto RT representa a resistência equivalente de
Thévenin. A potência dissipada em RT é representada
por ΔPT .
O teorema proposto é enunciado como segue.
“A potência dissipada nos resistores da rede real,
com o resistor de carga R0 conectado, é igual à soma
da potência dissipada no resistor RT do circuito
equivalente de Thévenin com R0 conectado, com a
potência dissipada nos resistores internos da rede real
com R0 desconectado (I0 = 0).”
___________________________________________________________
(*) Instituto de eletrônica de Potência
Departamento de Engenharia Elétrica – EEL
Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC
Esta proposição é traduzida matematicamente pela
expressão (1).
ΔP1 = ΔPA + ΔPT
d) De acordo com o princípio da superposição podemos
escrever a expressão (2), que demonstra o teorema
proposto.
(1)
ΔP1 = ΔPA + ΔPT
(2)
A demonstração do teorema é apresentada a seguir. (a) Seja a Fig. 2. Segundo o Teorema da Substituição, R0
pode ser substituído por uma fonte de corrente com valor
igual a I0, como está representado na Fig. 3. (b) Seja I0 = 0; o circuito para esse caso encontra-se
representado na Fig. 4. A potência dissipada pela rede NA
é igual a Δ PA .
(c) Sejam todas as fontes internas de tensão curtocircuitadas (e as fontes internas de corrente abertas). Essa
situação, para I0 ≠ 0, é mostrada nas Figs. 5 (a) e (b), que
são equivalentes.
Nesse caso, a resistência vista dos terminais “a” e “b”
é a resistência RT de Thévenin. A potência dissipada em
RT é representada por ΔPT .
ΔPT
ΔPT
Fig. 5: Rede NA com fonte de corrente I0 conectada entre os pontos “a”
e “b”.
III. PROPOSIÇÃO E DEMONSTRAÇÃO
DO TEOREMA DA EFICIÊNCIA DO
CIRCUITO EQUIVALENTE DE
THÉVENIN (Segundo Teorema)
O segundo teorema, aqui denominado de Teorema da
Eficiência do Circuito Equivalente de Thévenin, é assim
enunciado:
“A eficiência ηT do circuito equivalente de Thévenin é
maior ou igual à eficiência η1 do circuito real”.
A demonstração deste teorema é apresentada a seguir.
Fig. 2: Rede NA com o resistor R0 conectado.
Seja uma rede NA, com 2 terminais “a” e “b”, nos quais é
conectado um resistor externo R0, como está representado
na Fig. 6.
ΔP1
Sejam as seguintes definições:
P0
Fig. 3: Rede NA conectada a uma fonte I0, de acordo com o princípio da
substituição.
P0 → Potência entregue à carga;
ΔP1 → Potência dissipada internamente;
P1 → Potência entregue pelas fontes do circuito.
ΔPA
ΔP1
P0
Fig. 4: Rede NA com os terminais “a” e “b” abertos.
Fig. 6: Rede NA com resistor R0 conectado nos terminais “a” e “b”.
2
De acordo com o princípio de conservação de energia,
ηT ≥ η1
P1 = P0 + ΔP1
Fica então demonstrado que a eficiência do circuito
equivalente de Thévenin é maior ou igual à eficiência do
circuito real. A igualdade das eficiências ocorre quando
(3)
Seja o circuito equivalente mostrado na Fig.7.
ΔPA
(11)
ΔPA = 0 .
ΔPT
IV. VERIFICAÇÃO NUMÉRICA DOS
DOIS TEOREMAS
Seja o circuito representado na Fig. 8, com os
parâmetros indicados.
Fig. 7: Circuito equivalente.
De acordo com o primeiro Teorema apresentado,
ΔP1 = ΔPA + ΔPT
(4)
P1 = P0 + ΔPA + ΔPT
(5)
Então,
A eficiência do circuito real é definida pela expressão
(6).
η1 =
P0
=
P1
P0
P0 + ΔPA + ΔPT
(6)
Fig. 8: Circuito utilizado para a verificação numérica dos teoremas
enunciados, por simulação.
O circuito foi simulado numericamente e os seguintes
resultados foram encontrados:
A eficiência do circuito equivalente de Thévenin é
definida pela expressão (7).
P0
ηT =
=
PT
P0
P0 + ΔPT
(7)
⎛ P0
=⎜
η1 ⎝ P0 + ΔPT
ηT
η1
⎛ P0 + ΔPA + ΔPT ⎞
⎟
⎝ P0 + ΔPT ⎠
=⎜
ηT
η1
Desse modo:
⎞ ⎛ P0 + ΔPA + ΔPT ⎞
⎟⋅⎜
⎟
P0
⎠ ⎝
⎠
= 1+
ΔPA
P0 + ΔPT
(12)
P0 = 116, 07 W ( entregue à carga )
(13)
ΔP1 = 137,56 W ( perdida em R1 e R 2 )
(14)
Em seguida, foi simulado o circuito mostrado na Fig. 9,
onde RT = 16,666 Ω.
Portanto:
ηT
P1 = 253, 6 W ( fornecida por V1 e V2 )
ΔPA
ΔPT
(8)
(9)
(10)
Fig. 9: Circuito simulado numericamente.
Foram obtidos os seguintes valores:
3
ΔPA = 40, 83 W
(15)
(perdida em R1 e R2 quando I0 = 0)
ΔPT = 96, 73 W
(16)
P0 = 116, 67 W
(17)
Portanto,
ΔPT + ΔPA = 96, 73 + 40,83 = 137,56 W
(18)
Fig. 10: Circuito de corrente alternada simulado para a verificação dos
teoremas propostos.
Foram empregados os seguintes os parâmetros:
Portanto,
ΔPT + ΔPA = ΔP1
(19)
R0=10 Ω;
como prevê o primeiro Teorema.
A partir dos resultados obtidos na simulação, podem ser
determinadas as eficiências, como segue.
η1 =
P0 116, 7
=
= 0, 452
P1 253, 6
ηT =
P0
P0
=
= 0,545 PT P0 + ΔPT
V1 = 200sen(377t) ;
(20)
(21) V2 = 40sen(377t + 100º);
R1 = 2 Ω;
L0 = 2 mH;
R2 = 150 Ω;
L1 = 5 mH;
Foram encontrados os seguintes valores para as
potências e o rendimento do circuito:
P1 = 1685,8 W
(23)
P0 = 1284,9 W
(24)
ΔP1 = 400,8 W
(25)
Portanto,
ηT > η1
(22)
o que está de acordo com o segundo Teorema .
η1 =
1284, 9
1685, 8
= 0, 762
(26)
Em seguida foi simulado o circuito mostrado na Fig. 11,
tendo sido encontrados os resultados apresentados a
seguir.
V. EXTENSÃO DOS DOIS TEOREMAS
PARA CIRCUITOS DE CORRENTE
ALTERNADA COM OU SEM
ELEMENTOS REATIVOS
Embora não tenha sido explicitamente enunciado nem
demonstrado, verificou-se por simulação que ambos os
teoremas são também válidos para circuitos de corrente
alternada, com ou sem a presença de elementos reativos.
Fig. 11: Circuito de corrente alternada simulado para a verificação
dos teoremas propostos.
P0 = 1284,9 W
(27)
Um circuito simulado, tomado como exemplo,
encontra-se representado na Fig. 10.
ΔPA = 145,95 W
(28)
4
ΔPT = 256, 49 W
(29)
VII. CONCLUSÃO
PT = 1541,32 W
(30)
O presente documento apresentou dois teoremas sobre a
eficiência do circuito equivalente de Thevenin. O segundo
torema, neste documento denominado Teorema da
Eficiência do Circuito Equivalente de Thévenin,
estabelece que tal eficiência é de fato sempre maior ou
igual à eficiência do circuito real, tanto para circuitos de
corrente contínua quanto para circuitos de corrente
alternada. Além da demonstração matemática, o teorema
proposto foi verificado através de exaustivas simulações
numéricas de diferentes circuitos para diferentes
combinações paramétricas.
ηT =
1284, 9
1541, 32
= 0, 834
(31)
Portanto, ηT > η1 , como prevê o segundo Teorema .
Adicionando-se as potências, obtém-se:
ΔPT + ΔPA = 145,95 + 256, 49 = 402, 44 W
(32)
Fica então confirmado que ΔP1 = ΔPA + ΔPT como prevê o
primeiro Teorema .
VI. DISCUSSÃO ADICIONAL
Foi demonstrado, tanto para circuitos de corrente
contínua quanto para circuitos de corrente alternada, que
ΔP1 = ΔPA + ΔPT
(33)
onde
Δ P1 → Potência perdida no circuito real.
ΔPT → Potência perdida no circuito equivalente de
Thévenin. De fato esta parcela da potência é perdida na
componente resistiva da impedância equivalente de
Thévenin.
Então podemos concluir que ΔPT é uma potência que
A partir dos estudos apresentados, pode-se afirmar que
o circuito equivalente de Thévenin só é equivalente para a
análise da tensão, corrente e potência da carga, não sendo
válido para a análise das grandezas elétricas que ocorrem
no circuito interno ou no circuito visto pela carga.
AGRADECIMENTOS
O autor agradece ao Prof. Hans Helmut Zürn, por seus
comentários construtivos e por ter observado que os
teoremas propostos são igualmente válidos para o circuito
equivalente de Norton, dual do circuito equivalente de
Thévenin; agradece também ao Prof. Enio Valmor
Kassick por seus comentários criteriosos, por ter
contribuído para o aperfeiçoamento do texto e por ter
observado que a eficiência do circuito equivalente é igual
à eficiência do circuito original, para o caso particular em
que ΔPA = 0 , situação não prevista pelo autor deste
documento em sua primeira reflexão.
depende da carga e que se torna nula quando a corrente de
carga é nula.
Por outro lado, a potência Δ PA não depende da carga; é
uma parcela constante, dissipada internamente pelo
circuito real a vazio.
Há um caso particular, que é aquele em que as perdas
do circuito interno são nulas quando a carga é removida,
onde a eficiência do circuito equivalente é igual à
eficiência do circuito original.
5