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PARA QUEM CURSA O 9.O ANO EM 2014
Colégio
Disciplina:
Prova:
MaTeMÁTiCa
desafio
nota:
QUESTÃO 16
Dois garotos, tentando pular um muro, encostaram um banco de 50 cm de altura no muro e
colocaram uma escada sobre ele, conforme a figura.
B
Muro
Escada
4,5 m
A
50 cm
2m
O pé da escada precisou ser colocado no ponto A, para que a extremidade superior dela
atingisse o topo do muro, no ponto B.
O comprimento AB dessa escada, em metros, é:
Dado 5 2,2.
a) 4,0
b) 4,4
c) 4,8
d)5,2
e) 5,5
RESOLUÇÃO
B
4m
50 cm
A
C
0,5 m
2m
OBJETIVO
1
MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO
–––
Como 50 cm = 0,5 m, em metros, a medida de BC é 4,5 – 0,5 = 4,0.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos:
AB2 = AC2 + BC2 = 22 + 42 = 20.
20 = 4 . 5 = 2
5 2 x 2,2 = 4,4
Assim: AB = Resposta: B
QUESTÃO 17
A medida do raio de uma circunferência, em metros, corresponde à solução da equação:
2
– ––– + x
3
–––––––––– = 1
1
––– – 3x
3
O diâmetro dessa circunferência, em metros, mede:
a) 5 . 10–2
b) 5 . 10–1
c) 5 . 100
RESOLUÇÃO
Resolvendo a equação, teremos
2
– ––– + x
2
3
––––––––– = 1 ⇔ – ––– + x = 1 .
1
3
––– – 3x
3
d)5 . 102
e) 5 . 103
que:
–––31 – 3x ⇔ x + 3x = –––13 + –––23 ⇔ 4x = 1 ⇔
1
⇔ x = ––– (medida do raio)
4
1
2
Portanto, o diâmetro mede, em metros, ––– . 2 = ––– = 0,5 = 5 . 10–1.
4
4
Resposta: B
QUESTÃO 18
Um aluno do 9.o ano partiu da seguinte hipótese: sejam a e b dois números não nulos, reais
e iguais; usou alguns procedimentos e encontrou um resultado falso.
Analise os procedimentos do aluno:
Se a = b, então:
Etapa I – multiplico os dois membros da igualdade por a e obtenho: a2 = ab.
Etapa II – subtraio b2 nos dois membros da igualdade: a2 – b2 = ab – b2.
Etapa III – fatoro ambos os membros: (a + b) (a – b) = b (a – b).
Etapa IV – divido os dois membros por (a – b):
b (a – b)
(a + b) (a – b)
––––––––––––– = ––––––––– Æ a + b = b
a–b
a–b
OBJETIVO
2
MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO
Etapa V – como a = b, tenho 2b = b, então, divido por b, obtendo 2 = 1.
Esse aluno cometeu um erro na etapa:
a) I
b) II
c) III
d)IV
e) V
RESOLUÇÃO
O erro foi cometido na etapa IV, pois se a = b, então, a – b = 0.
Ao dividir os dois membros da equação por a – b, o aluno está dividindo por zero e a
divisão por zero não existe.
Resposta: D
QUESTÃO 19
Resolvendo a expressão:
1
1 + –––
2
–––––––– +
1
1 + –––
3
1
2 – –––
3
––––––––
1
2 – –––
4
314
a) ––––
267
:
1
3 – –––
4
––––––––
1
3 – –––
5
425
b) ––––
264
0,323232
. ––––––––– , obtemos como resultado o número:
0,646464
467
c) ––––
324
d)
264
––––
457
267
e) ––––
324
RESOLUÇÃO
Resolvendo a expressão, temos:
1
1 + –––
2
––––––– +
1
1 + –––
3
3
3
= ––– . ––– +
2
4
1
2 – –––
3
––––––––
1
2 – –––
4
:
5
4
––– . –––
3
7
1
3 – –––
4
–––––––
1
3 – –––
5
:
3
–––
1
2
0,323232
. ––––––––– = –––– +
0,646464
4
–––
2
3
11
5
––– . –––
4
14
4
8 4
1
9
. ––– = ––– +
2
8
5
–––
3
––––
7
–––
4
11
–––
4
––––
14
–––
5
:
20
55
––– : –––
21
56
1
. –– =
2
1
. ––– =
2
9
16
297 + 128
425
9
20
56
9
1
20
56
1
= ––– + ––– . ––– . ––– = ––– + –––– . –––– . ––– = ––– + ––– = –––––––––– = –––––
21
55
2
8
33
264
264
8
21
55
8
2
3
11
1
Resposta: B
OBJETIVO
3
MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO
QUESTÃO 20
Uma padaria tem 3 fornos de mesma capacidade que assam juntos 400 pãezinhos em
2 horas. Se apenas 2 fornos estiverem trabalhando, o tempo necessário para assar
700 pãezinhos será
a) 5 horas e 55 minutos.
b) 5 horas e 45 minutos.
c) 5 horas e 35 minutos.
d) 5 horas e 25 minutos.
e) 5 horas e 15 minutos.
RESOLUÇÃO
Chamando de x o tempo necessário para assar os 700 pãezinhos, temos:
fornos
pães
horas
3
2
400
700
2
x
G.D.P
G.I.P
Assim, em horas, o valor de x é tal que:
2
8
2
21 . 2
42
2
40/ 0/
––– . ––––– = ––– € ––– = ––– € x = ––––––– € x = ––––
x
21
x
8
8
3
70/ 0/
42 h
42
–––– h equivalem a 5h e 15 min, pois:
8
x 60
2h
8
5h
120 min 8
0
15 min
Resposta: E
OBJETIVO
4
MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO
QUESTÃO 21
Os triângulos de um logotipo são semelhantes entre si.
Se AB = 14 cm, BC = 18 cm, DE = 7cm, DF = 10 cm, HI = 4,5 cm e GI = 5 cm, podemos
afirmar que (HG : AC) . EF é igual a:
a) 0,575 cm
b) 0,615 cm
c) 1,205 cm
d)1,575 cm
e) 1,615 cm
RESOLUÇÃO
Se os 3 triângulos são semelhantes, os lados correspondentes possuem medidas
proporcionais.
Assim, em cm, temos que:
14
AB
AC
AC
–––– = –––– Æ –––– = –––– Æ AC = 20
DE
DF
10
7
14
20
AB
AC
–––– = –––– Æ –––– = –––– Æ HG = 3,5
HG
GI
HG
5
7
ED
EF
EF
–––– = –––– Æ –––– = –––– Æ EF = 9
HG
HI
4,5
3,5
Assim:
(HG : AC) . EF = (3,5 : 20) . 9 = 1,575 cm
Resposta: D
OBJETIVO
5
MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO
QUESTÃO 22
Em um paralelogramo, as medidas de dois ângulos internos consecutivos estão na razão 1 : 3.
O ângulo menor desse paralelogramo mede:
a) 65°
b) 60°
c) 55°
d) 50°
e) 45°
RESOLUÇÃO
Sejam k e 3k (pois estão na razão 1 : 3) as medidas dos dois ângulos internos consecutivos do paralelogramo abaixo.
Como a soma de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo é 180°, temos:
3k + k = 180° ⇔ k = 45°
Resposta: E
QUESTÃO 23
(OBM-Adaptado) – No fim de 1994, Neto tinha a metade da idade de sua avó. A soma dos
anos de nascimento dos dois é 3 844. Quantos anos Neto completará em 2014?
a) 55
b) 56
c) 60
d) 62
e) 68
RESOLUÇÃO
Chamando de x a idade de Neto em 1994 e 2x a idade de sua avó, temos que os anos
dos nascimentos dos dois são dados por:
(1994 – x) e (1994 – 2x), respectivamente:
Logo: (1994 – x) + (1994 – 2x) = 3844 ⇔ – 3x = – 3988 + 3844 ⇔ – 3x = – 144 ⇔ x = 48
Assim, em 2014, o Neto terá 20 + 48 = 68 anos, pois, de 1994 para 2014, passaram-se
20 anos.
Resposta: E
OBJETIVO
6
MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO
QUESTÃO 24
No país onde a unidade monetária é a Lua, as moedas existentes são da seguinte forma:
r
r
r = 1 cm
1 lua
1
lua
4
1
lua
2
1
lua
6
Se você tiver 120 unidades de cada moeda, qual é a área total das moedas?
MAT-0015021-cpb
a) 230 b) 232 c) 322 d) 323 e) 332 RESOLUÇÃO
Sendo a área do círculo dada pela fórmula:
A = . r2, a área da moeda que vale uma Lua é:
A = . (1 cm)2 ⇔ A = cm2
cm2, de “um quarto de Lua” será cm2 e de “um sexto
A área de “meia Lua” será ––
––
2
4
cm2.
de Lua” será ––
6
Logo, a área total das moedas, em cm2, será igual a:
. 120 + . 120 + . 120 = .(120 + 60 + 30 + 20) = 230 . 120 + –––––––
–––––––
–––––––
6
2
4
Resposta: A
QUESTÃO 25
Elevei um número não nulo ao quadrado, subtraí do resultado o mesmo número e o que
restou dividi ainda pelo mesmo número. O resultado que achei foi igual
a) ao próprio número.
b) ao dobro do número.
c) ao número mais 1.
d) à raiz quadrada do número.
e) ao número menos 1.
OBJETIVO
7
MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO
RESOLUÇÃO
Chamando o número de x, temos:
x2 – x
––––––– , fatorando-se o numerador, resulta:
x
x (x – 1)
–––––––– = x – 1, ou seja, o número menos 1.
x
Resposta: E
QUESTÃO 26
(OBM-2005) – Na figura, os dois triângulos são equiláteros.
x
75º
Qual o valor do ângulo x?
a) 30°
b) 40°
65º
MAT-0014904-bpb
c) 50°
d) 60°
e) 70°
RESOLUÇÃO
Como ABC e DEF são triângulos equiláteros, seus ângulos medem 60°.
Analisando o triângulo AGD, podemos escrever:
^
^
m (GAD) = 180° – 75° – 60° = 45° e m (GDA) = 180° – 65° – 60° = 55°
E
B
F
x
G
75°
C
60°
x + 60°
60°
60°
45°
55°
A
65°
D
Assim: 45° + 55° = x + 60° ⇒ x = 100° – 60°⇔ x = 40°
Resposta: B
MAT-0014906-bpb
OBJETIVO
8
MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO
QUESTÃO 27
Um gato está sobre um muro vertical de 4 m de altura quando avista um rato a uma distância
de 8 m da base do muro, como mostra a figura.
Quando o rato se dirige a sua casa (em linha reta perpendicular ao muro), é comido pelo gato,
que pulou diagonalmente sobre o rato e em linha reta. A distância que o gato pulou é a
mesma que o rato tinha andado até então. Se, inicialmente, o gato está na vertical que passa
pela casa do rato, qual a distância que o rato percorreu?
a) 5 m
b) 4 m
c) 7 m
d)6 m
e) 2 m
RESOLUÇÃO
Chamando de d a distância que cada um percorreu e esquematizando o problema,
temos:
Aplicando o Teorema de Pitágoras, em metros, temos que:
d2 = (8 – d)2 + 42 ⇔ d2 = 64 – 16 d + d2 + 16 ⇔ 16 d = 80 ⇔ d = 5
Resposta: A
OBJETIVO
9
MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO
QUESTÃO 28
Para medir o lado AB de uma sala de aula, um aluno utilizou o maior lado de um esquadro de
madeira (que tem a forma de um triângulo retângulo), cujo ângulo P é reto, conforme mostra
a figura.
P
30 cm
40 cm
x
Sabendo que a sala é um retângulo cujo perímetro é 28 metros e que a largura AB mede 2 metros a menos que o comprimento, então, o número de vezes que o lado maior do esquadro
MAT-0014907-bpb
coube no lado AB da sala foi:
a) 12
b) 16
c) 20
d) 24
e) 28
RESOLUÇÃO
Sendo x a medida da hipotenusa do triângulo retângulo com catetos de medida 30 cm
e 40 cm, temos que:
x2 = 302 + 402 ⇒ x2 = 2500 ⇒ x = 50 cm, pois x > 0
Se a sala tem 28 metros de perímetro e a largura mede 2 metros a menos que o
comprimento, então, em metros, para um comprimento y teremos uma largura (y – 2).
A
y
y-2
B
y-2
y
O perímetro da sala é y + (y – 2) + y + (y – 2) = 4y – 4.
Assim, 28 = 4y – 4 ⇔ 32 = 4y ⇔ y = 8.
MAT-0014908-bpb
Assim, a largura AB da sala é de (8 – 2) m = 6 m = 600 cm.
Portanto, o esquadro foi usado:
600 cm : 50 cm = 12 vezes.
Resposta: A
OBJETIVO
10
MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO
QUESTÃO 29
y
x
(FAAP-SP) – Sabendo que x + 2 = y – x e que ––
= –– , o valor de (x . y)–1 é:
16
y
1
a) ––
3
1
c) ––
4
b) 5
1
d) ––
5
e) 4
RESOLUÇÃO
Resolvendo o sistema, temos que:
x+2=y–x
x
y
–– = –––
y
16
⇔
y = 2x + 2
y2
x = ––––
16
Substituindo o valor de x na 1.a equação, obtemos:
2y2
y = –––– + 2 ⇔ 16 y = 2y2 + 32 ⇔ 2y2 – 16y + 32 = 0 ⇔ y2 – 8y + 16 = 0
16
Assim:
8 ± 0
8±
(–8)2 – 4 . 1 . 16
y2 – 8y + 16 = 0 ⇔ y = –––––––––––––––––––––– ⇔ y = –––––––– ⇔ y = 4
2
2
y2
42
Se x = –––– , então, x = –––– = 1.
16
16
Logo:
1
(x . y)–1 = (1 . 4)–1 = 4–1 = –––
4
Resposta: C
OBJETIVO
11
MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO
QUESTÃO 30
Sofia comprou uma camisa e um vestido. Pelo vestido, pagou o dobro do preço que pagou
pela camisa. Como pagamento, deu três notas de R$ 20,00 e uma de R$ 50,00, recebeu de
troco uma nota de R$ 10,00, três notas de R$ 2,00 e uma moeda de R$ 1,00. Qual foi o custo
do vestido comprado por Sofia?
a) R$ 31,00
b) R$ 62,00
c) R$ 93,00
d) R$ 110,00
e) R$ 127,00
RESOLUÇÃO
Analisando a forma de pagamento e o troco recebido, temos que, em reais, a compra
custou para Sofia (3 . 20 + 50) – (10 + 3 . 2 + 1) = 110 – 17 = 93.
Sendo c o preço da camisa e v o preço do vestido, podemos montar o sistema:
c + v = 93
Substituindo a 2a. equação na 1.a, encontramos:
v = 2c
c + 2c = 93 € 3c = 93 € c = 31
Se a camisa custou R$ 31,00, o vestido custou o dobro, ou seja, R$ 62,00.
Resposta: B
OBJETIVO
12
MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO