Eletromagnetismo e Ótica (MEAer/LEAN)
Campos e Potencial Elétrico
2ª Semana
Probl. 1) A figura mostra três cargas q1 = 50 μC, q2 = -80 μC e q3 = 10 μC formando um triângulo rectângulo com
lados d 12 = 50 cm, d 13 = 30 cm e d 23 = 40 cm .
a) Determine a força exercida sobre cada uma das cargas q1 , q2 e q3 .
b) Qual é o trabalho que é necessário realizar para trazer a carga q3 do infinito para a sua posição actual, mantendo
as outras cargas fixas?
Resposta
R. 1-a)
F 1 = 114 ex - 40 e y ; F 2 = -180 ex + 27 e y ; F 3 = 66 ex + 13 e y
R. 1-b)
W3 =
W3 =
∞ r3
q3
4 π εo
q
F a · ⅆ r = -
= -
q
1 + 2 = -3 J
r3 -r1
r3 -r2
q
3
∞ r3
E (r) · ⅆ r =
r - r1
q3 q2
+
3
4 π εo r - r1
4 π εo
q3 q1
∞ r3
=
q3
4 π εo
=
∞ r3
∇
q1
q2
·ⅆ r =
+
r - r1 r - r2
q3
4 π εo
=
r - r2
·ⅆ r =
r - r2 3
∞ r3
ⅆ
q1
q2
=
+
r - r1 r - r2
q3
q1
4 π εo
r3 - r1
+
q2
r3 - r2
= q3 ϕ (r3 )
Probl. 2) Determine em que condições três cargas pontuais q1 = q, q2 = 2 q e q3 podem estar em equilíbrio sem a
aplicação de forças exteriores. Calcule a carga q3 em função de q e a sua posição em termos da separação d
entre q1 e q2 . O equilíbrio assim atingido é estável?
Resposta
1º Semestre 2014-2015
-1-
ARS
R. 2-a)
2q
A carga q3 = 1+
R. 2-b)
2
2
tem que estar entre q1 e q2 , à distância x =
d
1+
2
de q1 .
Não.
Probl. 3) Considere que 12 cargas iguais q são colocadas nos vértices de um polígono regular de 12 lados.
a) Qual é a força que actua numa carga Q colocada no seu centro?
b) Se se remover uma das cargas, qual é a força resultante agora sobre Q?
c) Faça o mesmo exercício com 13 cargas nos vértices de um polígono regular com 13 lados. Justifique a sua
resposta.
Reposta
R. 3-a)
A força é nula porque há forças simétricas a actuar em Q por cada par de vértices opostos.
R. 3-b)
A força resultante é a causada em Q pela carga no vértice oposto ao da carga removida.
R. 3-c)
A força ainda é nula por razões de simetria: se rodarmos as cargas em torno do centro do polígono dum
360 °
,
13
ângulo Δθ =
a distribuição de cargas mantém-se igual à anterior, mas qualquer força não-nula em
Q seria diferente da anterior. Não é possível ter duas forças diferentes sobre Q para a mesma distribuição
de cargas.
N
Probl. 4) Um electrão ⅇ mⅇ = 9.1 ×10-31 Kg, qⅇ = -1.6 ×10-19 C) é acelerado num campo elétrico E = ex + 2 e y a
C
partir do repouso.
a) Determine a sua velocidade ao fim de um segundo. Qual distância que percorreu?
b) Um electrão-Volt (1 eV ) é a energia cinética que um electrão adquire ao ser acelerado por um campo eléctrico de
magnitude 1
N
C
=1
V
m
ao longo de um metro. Determine em eV o aumento de energia do electrão ao fim de um
segundo.
Resposta
R. 4-a)
Sob a acção de E a carga acelera na direcção u = pela equação
mⅇ v
1-(v/c)2
ⅆp
ⅆt
mⅇ
1+
mⅇ v
1-(v/c)2
=-
1
5
ex + 2 e y com uma velocidade definida
é o momento linear relativista. Obtém-se assim
= q E t (usando q = qⅇ e Ε = E) donde
qtΕ
v (t) =
= qⅇ E onde p =
E
E
⟹ v (1 s) = 2.99723 × 108 (m / s) ≈ c
q2 t2 Ε2
c2 m2ⅇ
A distância percorrida será
τ
d (τ) = v (t) ⅆ t =
0
R. 4-b)
c2 mⅇ
qΕ
1+
q2 Ε2 τ2
c2 m2ⅇ
- 1 ⟹ d (1 s) = 2.99564× 108 m
1 eV = 1.6 ×10-19 J ; Como o campo é conservativo, Δℰ = 0 eV . A energia cinética relativista final é
ℰcin = m c2 - mo c2 =
ℰ pot = qe Ε d
1
1-(v/c)2
= -1.07321 ×10-10
- 1 mo c2 = 1.07321 ×10-10 J , a variação da energia potencial é
J
Probl. 5) Duas cargas pontuais q1 = 4 nC e q2 = -9 nC estão localizadas, respectivamente, nos pontos P1 = (-2, 0) e
P2 = (3, 0) no plano xy (coordenadas em metros).
a) Determine a força que a carga q1 exerce sobre a carga q2 .
b) Determine o potencial elétrico no ponto P onde o campo elétrico se anula.
c) Qual o trabalho que é necessário realizar para transportar desse ponto P até ao infinito uma carga q = 3 nC .
ARS
-2-
1º Semestre 2014-2015
d) Determine a localização no espaço de todos pontos em que o potencial elétrico se anula.
Resposta
q1 q2
1
4 π εo r2 -r1 2
R. 5-a)
F 21 =
R. 5-b)
E (r P ) = 0 =
ϕP =
R. 5-c)
R. 5-d)
ϕ=0 =
q
q
1
1 + 2 2 ex ⟹ r P = -12 ex . O potencial
4 π εo (x+2)2
(x-3)
q
q
1
4 × 10-9
9 × 10-9
9
1 + 2 = 9 × 109
= - (V )
r P -r2
10
15
4 π εo r P -r1
5
W =
P∞
F ·ⅆ r = -q
q2
P∞
1
4 π εo
q1
q2
+
r - r1 r - r2
2
5
36
13
42
centrada em rc = - ex .
13
⟹ q1 2 r - r2 2 = q2 2 r - r2 2
r2 - 2 r · r1 + r12 ⟹ (1 - η) r2 - 2 r · (r2 - η r1 ) = η r12 - r22
2
q1
η r12 - r22
r2 - η r1
r2 - 2 r ·
=
⟹
1-η
1-η
r - rc 2 = R2
r2 - η r1
42
rc =
=ex
1-η
13
R=
em r P é
27
E ·ⅆ r = q (ϕ∞ - ϕP ) = -q ϕP = 10-9 J
O potencial elétrico é zero no infinito e numa esfera de raio R =
q2
r2 - 2 r · r2 + r22 =
q1
η=
4 × 10-9 -9 × 10-9
324
ex = 9 × 109
ex = ×10-9 ex (N )
25
52
r2 - η r1
r1-η
2
=
r2 - η r1 2
(1 - η)2
+
η r12 - r22
1-η
η
=
(1 - η)2
r2 - r1 2
36
r2 - r1 =
1 - η
13
η
r -r c
r
q1
rc
q2
r1
0
r2
Probl. 6) Uma barra rectilínea homogénea de comprimento L = 1 m e carga Q = -2 μ C uniformemente distribuída é
colocada na direção do eixo e x entre duas cargas fixas q1 = 2 μC, na posição x1 = (-2, 0), e q2 = 6 μC, na
posição x2 = (3, 0).
a) Determine a força que cada carga exerce sobre a barra em função da posição x cm do seu centro de massa.
b) Existe alguma posição do centro de massa da barra em que esta ficaria em equilíbrio? Se sim, determine-a.
1º Semestre 2014-2015
-3-
ARS
Resposta
F1 = -
R. 6-a)
F1 =
1
(2+xcm )2 -
q1 (x - x1 ) ex
1
4 π εo
=
F2 =
9
250
x - x1 3
barra
q1
Q
=-
barra
q2
L
(x - x1 )2
2
ex =
Q
Q
xcm-
1
x2 - xcm +
250 - + (-3 + xcm )2
F barra = 0 ⟹ x cm =
9
-2
+
1
L
(x2 - x)2
2
- + (2 + xcm
4
ⅆx=
q1
-ex
1
-
ex (N )
L2
4
)2
ex
ⅆx=
Q
q2
ex = 4 π εo (x - x )2 cm
2
L
2
3
1
1
4
4 π εo (x - x )2 cm
1
xcm+L/2
-
L
2
4
R. 6-b)
xcm-
(xcm -3)2 -
ex
xcm+L/2
- x1
4 π εo L
1
9
L
2
q2
ⅆq =
4 π εo L x2 - xcm -
F barra = F 1 + F 2 =
xcm +
- x1
x - x2 3
Q
Q
4 π εo L
-
q2 (x - x2 ) ex
4 π εo
q1
ⅆq =
1
L
2
3
250
1
4 π εo L xcm -
1
9
ex (N ); F 2 =
1
4
L2
4
ex
ex
19 ≈ -0.14 (m)
Probl. 7) Uma barra fina de comprimento 2 L está uniformemente carregada com uma carga positiva de Q Coulombs.
a) Determine directamente o potencial elétrico ϕ(x) a uma distância x > L do centro da barra e na direção do seu eixo
(assuma ϕ(∞) = 0).
b) Qual seria a variação da energia potencial de um eletrão que se deslocasse de x = 4 L para x = 3 L ?
c) Qual seria a sua velocidade final se começasse do repouso?
d) É possivel deduzir o campo elétrico E (x) na região considerada a partir da expressão de ϕ(x) ? Justifique a
resposta!
Respostas:
Q
1
4 π εo 2 L
log
x+L
x-L
R. 7-a)
ϕ (x) =
R. 7-b)
ΔU =
R. 7-c)
ve ⩵
R. 7-d)
Sim, porque por simetria só existe a componente E x (x) = - ∂x ϕ(x) =
qe Q
1
4 π εo 2 L
1
-4 πε
o
6
log 5
qe Q
me L
6
log 5
∂
Q
1
4 π εo x2 -L2
ao longo de ex .
Probl. 8) Uma barra rectilínea de comprimento 2 L está carregada com uma carga Q, distribuída de forma não uniforme
com densidade λ = λo s, onde s representa a distância ao centro da barra.
a) Determine a constante λo em função da carga total Q e do comprimento R da barra.
b) Calcule o potencial elétrico ϕ e o campo E num ponto do plano perpendicular à barra passando pelo seu centro.
c) Determine E quando r ≪ L e quando r ≫ L .
ARS
-4-
1º Semestre 2014-2015
Resposta
Q
L2
R. 8-a)
λo =
R. 8-b)
Em coordenadas cilíndricas {r, θ, z}, quando z = 0, obtemos ϕ(r, θ, 0) =
E(r, θ, 0) =
R. 8-c)
Q
2 π ε o L2
r
1-
r2 + L2 - r
er (θ)
r2 +L2
Quando r ≪ L, E(r, θ, 0) ≈
Q
2 π ε o L2
Q
2 π ε o L2
er (θ). Quando r ≫ L, E(r, θ, 0) ≈
Q
4 π εo r 2
er (θ)
Probl. 9) Duas esferas condutoras, uma com um raio R1 = 4 cm e a outra com um raio R2 = 6 cm , estão separadas por
uma distância d ≫ R1, R2 . Inicialmente a esfera mais pequena continha uma carga Q = 20×10-6 C, enquanto a
outra estava descarregada. A certa altura estas esferas são ligadas por um longo fio condutor muito fino.
Desprezando os efeitos de influência elétrica entre as esferas (por se encontrarem tão longe) e depois de cessar
todo o movimento de cargas:
a) Qual vai ser a diferença de potencial entre as esferas?
b) Qual é a carga final em cada esfera? Como se encontra distribuída?
c) Qual é o potencial eléctrico ϕ de cada uma das esferas, assumindo ϕ = 0 no infinito?
d) Como é o campo elétrico E à superfície de cada uma das esferas? Que esfera possui o maior campo?
Respostas:
R. 9-a)
A superfície de um condutor em equilíbrio eletrostático é uma equipotencial, Δϕ = 0
R. 9-b)
Calculando o potencial no centro de cada esfera causado pelas cargas à superfície de cada condutor, e
desprezando efeitos de influência elétrica, obtemos da igualdade dos potenciais e da conservação de
carga Q = q1 + q2 , que as cargas finais são
q1 =
q2 =
R. 9-c)
Q R1 1R1 1-
R2
d
2 R2
+R2
d
Q R2 1-
R1
d
2R
R1 1- 2 +R2
d
ϕ1 = ϕ2 ≈
Q R1
R1 +R2
≈
Q R2
R1 +R2
Q
1
4 π εo (R1 +R2 )
E1 (R1 ) =
R. 9-d)
≈
E2 (R2 ) =
(V )
Q
1
4 π εo (R1 +R2 ) R1
Q
1
4 π εo (R1 +R2 ) R2
N
C
n1
n2
N
C
⟹
E 1 =
R2
R1
E2
Probl. 10) Considere uma superfície semi-esférica de raio R, uniformemente carregada com uma densidade de carga
superficial σ Cm2 , assente numa superfície horizontal.
a) Escreva a expressão que dá a contribuição de um elemento de área ⅆ S para o potencial elétrico ϕ num ponto
arbitrário P do seu eixo de simetria, acima do plano horizontal.
b) Calcule o potencial elétrico ϕ no ponto P .
c) Qual é a direcção do campo elétrico E num ponto arbitrário P do eixo de simetria das cargas? Porquê? Determine
a partir do potencial ϕ a expressão do campo elétrico E no ponto P .
1º Semestre 2014-2015
-5-
ARS
d) Determine o campo elétrico E no centro O da esfera diretamente e compare com o valor obtido pela via anterior.
z2
(Obs: Quando z2 ≪ R2 pode fazer
R2 + z2 ≈ R + 2 R )
R:
R. 10-a)
Para r = z ez e r q = R er (θ, φ)
ⅆq
1
=
4 π εo r - rq 4 π εo
σ R2 sin(θ)
1
ⅆϕ =
R. 10-b)
Use u = cos(θ), ⅆ u = -sin(θ) ⅆ θ para calcular o integral em θ .
σ R2 R + z ϕP =
2 εo
R. 10-c)
E P (z) =
R. 10-d)
EO =
R2 + z 2
Rz
Vertical, devido à simetria axial (relativamente ao eixo ez ) da distribuição de cargas na superfície.
σ R2
2 εo
R2 + z 2 - R
ez
z 2 R2 + z 2
Pela simetria da distribuição de carga o campo em O só tem componente vertical. Consideramos assim
só a componente er ·ez = cos(θ) do versor er (θ, φ).
-er (θ, φ)
1
4 π εo
R2
EO = lim E P (z) ≈ lim
z→0
ARS
ⅆθ ⅆφ
z2 + R2 - 2 R z cos(θ)
z→0
ⅆq = -
1
2π
4 π εo
σ R2
1
2 εo
2 R2 + z 2
0
π
cos(θ) ez
π/2
R2
σ R2 sin(θ) ⅆ θ ⅆ φ =
σ
ez
4 εo
σ
ez =
ez
4 εo
-6-
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