IV– ELETROMAGNETISMO
1. Introdução
“Os primeiros relatos sobre as propriedades "maravilhosas" de um certo minério de ferro
foram feitos pelos gregos e datam de 800 a.C.. O minério, depois reconhecido como sendo
Fe3O4, foi chamado de magnetita, pois era encontrado na Magnésia, região da Ásia Menor.
Durante séculos ele intrigou cientistas e filósofos com suas propriedades de atrair e repelir
minérios de ferro e de se orientar na Terra.” (Rev. Bras. Ens. Fís. v.22, n.3, 2000)
Em 1820, Oersted observou que a corrente elétrica era capaz de desviar a orientação de
uma bússola:
Figura 1: experimento de Oersted
Apartir deste experimento, dois campos da ciência que até o momento eram separados
(eletricidade e magnetismo) formaram um novo campo chamado eletromagnetismo.
O campo magnético que sensibiliza imãs, correntes e cargas em movimento tem sua
origem, em qualquer caso, nas cargas em movimento. O campo magnético de um imã, por
S
(a) Imã
(b) Condutor com corrente
N
(c) Solenóide
Figura 2: linhas de indução. Fonte: Halliday, Resnick e Walker, vol 3.
exemplo, é explicado pelos movimentos orbital e de spin dos elétrons. Na figura 2, é
representado o campo magnético B por linhas de indução.
2. Força Magnética sobre uma Carga


Quando uma carga está inserida em um campo elétrico, sofre uma força F  q E que será paralela
ou antiparalela ao campo E. Da mesma forma, uma carga elétrica sofre uma força magnética
quando está inserida num campo magnético B, porém esta força dependerá da velocidade V da
carga e será perpendicular ao plano formado por B e V.
-
+
Figura 3: Força magnética sobre uma carga Fonte: Halliday, Resnick e Walker, vol 3.
A direção e sentido de F pode ser encontrados pela “regra do tapa” e seu valor é dado por:
FB  qVB sen  (1) onde  é ângulo entre V e B.
Estas informações se encontram na equação vetorial:



FB  qV  B (2)
Note que:

FB será máximo com =90o e nula se =0o e 180o ;

O sentido de FB depende do sinal da carga q.
A unidade do S. I. para B é Tesla (T).
Exemplo 1: Um campo magnético uniforme B,de módulo 1,2 mT, aponta verticalmente para
cima por todo o volume de uma câmara de laboratório. Um próton com uma energia cinética
de 5,3 MeV entra na câmara, movendo-se horizontalmente do sul para o norte. Que força
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defletora magnética atua sobre o próton quando ele entra na câmara? A massa do próton é
1,67 X 10-27 kg.
3. Força Magnética Sobre um Condutor com Corrente Elétrica
Como a corrente elétrica é constituída por cargas em movimento, uma força magnética
atuará sobre o fio condutor. Na figura 2 é mostrado três situações: (a) condutor sem corrente
onde não há força magnética (b) corrente para cima e força magnética para direita e (c)
corrente para baixo e força magnética para esquerda.
Figura 4: Força magnética sobre um fio condutor com corrente. Fonte: Halliday, Resnick e Walker, vol 3.
A direção e sentido, neste caso, também pode ser determinado pela “regra do tapa”. Agora
vamos encontrar a equação que nos dá o módulo da força magnética.
A corrente flui com uma velocidade Vd chamada velocidade de arraste ou velocidade de
deriva. Em um comprimento L, que está submetido a um campo magnético B, temos:
Vd 
L
L
(3)
t 
t
Vd
A intensidade da corrente é:
i
q
q
 t  (4)
t
i
Com as equações (3) e (4):
L q
iL
(5)
 q
Vd i
Vd
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57
A força magnética que atua sobre q é FB  qVB sen  , então:
FB 
iL
VB sen 
Vd
(6)
Como V=Vd, teremos:



FB  iLB sen  ou FB  i L B (7)
Figura 5: Força sobre um condutor
com corrente quando está inserido
num campo magnético B. Fonte:
Halliday, Resnick e Walker, vol 3.
Quando o condutor forma uma espira (Uma volta) a força provocará
um torque (tendência a rotação). Veja a figura 6, onde a direção e
sentido da força é determinado pela “regra do tapa”.
Exemplo 2: A figura 7 mostra um comprimento de fio com um arco central, colocado num
campo magnético uniforme B que aponta para fora do plano da figura. Sabendo-se que o fio
transporta uma corrente i, que força magnética resultante F atua sobre ele?
Figura 7: Um segmento de fio transportando corrente i está imerso num campo
magnético. Fonte: Halliday, Resnick e Walker, vol 3.
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58
4. Torque sobre uma espira com corrente
Figura 6: Torque produzido pela força
magnética,
é
o
princípio
de
funcionamento dos motores elétricos.
Fonte: Alvarenga e Máximo, vol 3.
Na figura acima vemos uma espira recebendo um torque devido as formas elétricas que
agem nos trechos CD e EG. Nos trechos DE e GE a força é zero, pois o ângulo formado
entre o fio condutor e o campo magnético aplicado é 900. No trecho CD a força é para
cima e no trecho EG é para baixo. Essas duas forças promovem um torque cujo módulo é
dado pela expressão:
(
) , como
, como
, então:
(
):
, onde N é o número de voltas.
Exemplo: Determinar a constante da mola que produz um
contra torque no ponteiro de um galvanômetro. A bobina tem 2,1
cm de altura, 1,2 cm de largura, 250 espiras, o campo B aplicado tem
valor de 0,2 T e é necessária uma deflexão de 28 graus quando
registra uma corrente elétrica de 100μA.
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5. Lei de Biot-Savart
“Em 30 de Outubro de 1820, os físicos franceses Jean Baptiste Biot (17741862) e Félix Savart (1791-1841) comunicaram à Academia Francesa de
Ciências a descoberta experimental que fizeram sobre a lei que permite
calcular a intensidade do campo magnético criado por uma corrente elétrica
que circula em um fio condutor...” (BASSALO, 1998)
Analogia com lei de Coulomb:
Para o problema do cálculo do campo elétrico devido a um anel carregado, escrevemos a
expressão:
dE 
1 dq
4 0 r 2
Que também poderia ser escrita como:

dE 
1 dq 
r (8)
4 0 r 3
Veja a figura ao lado, onde é possível
observar algumas semelhanças entre o
cálculo do campo elétrico e o cálculo do
campo magnético.
De
forma
análoga
a
equação
(8),
Figura 8: Analogia entre o cálculo de E e de B. Fonte: Halliday,
Resnick e Walker, vol 3.
escrevemos a equação para cálculo do campo magnético:
dB 
 0 ids sen 
4
r2
onde 0 é uma constante chamada constante permeabilidade do vácuo. O valor de o é
4  10-7 T.m/A. Na forma vetorial essa expressão fica:
  0 ids  r
dB 
4 r 3
(9) (Lei de Biot-Savart)
Exemplo 4: Mostrar que o campo magnético a uma distância r de um fio que transporta uma
corrente i é dado pela equação B 
 0i
, dada pelos livros do ensino médio.
2r
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60
6. Lei de Ampère
Vimos que segundo a experiência de Oersted, uma corrente produz um campo B ao seu
redor, veremos, agora, a lei de Ampère, afim de calcular o valor deste campo. Esta lei é
semelhante a lei de Gauss da eletrostática (cap.III), porém, não imaginaremos uma superfície
fechada mas uma linha fechada, chamada de curva
amperiana. A Lei de Ampère é escrita como:


 B ds   i
o
(10)
onde o = 4  10-7 T.m/A é a constante de
permeabilidade do vácuo, i é a corrente resultante que
passa por dentro da curva amperiana. Para a curva ao
lado, podemos escrever:


Figura 9: Lei de Ampère aplicada a uma
curva amperiana arbitrária. Fonte:
Halliday, Resnick e Walker, vol 3.
 B ds  o (i1  i2 )
Pela lei de Ampère também encontramos que o campo magnético a uma distância r de um
condutor onde passa uma corrente i é dado por:
B
 0i
(11)
2r
Exemplo 5: Mostrar que o campo magnético a uma distância r de um fio que transporta uma
corrente i é dado pela equação 11.
7. Lei da Indução de Faraday
Vimos que uma corrente elétrica é capaz de produzir um torque, será que o processo
inverso não pode ocorrer?
Faraday observou que a variação do fluxo do campo magnético na região de uma espira é
capaz de produzir uma corrente induzida.
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61
Figura 10: produção de uma corrente induzida, apartir de uma variação do fluxo magnético.
Fonte: Halliday, Resnick e Walker, vol 3.
O fluxo magnético é dado por:


 B   B dA (12)
A força eletromotriz que aparece na espira quando o fluxo varia, é dado por:
 
d B
(13) Lei de Faraday
dt
Para compreender o sinal negativo na lei de Faraday, precisamos conhecer a lei de Lens
que afirma que a corrente induzida produzida na espira, dá origem a um campo magnético com uma
polaridade que sempre se oporá a variação que o produziu.
Observe na figura 11-a, a convenção usada para determinar o sentido do vetor área (A).
Na figura 11 e 12, a mão direita no imã, indica, através do polegar, o sentido do vetor área e os
demais dedos indicam o sentido positivo de alguma grandeza que possa "circular" pelo espira. Agora,
vamos nos deter no caso em que o imã está sendo aproximado com o polo norte voltado para
a espira como na figura 11-b, 11-c , 12. Na figura 12 , 11-b e 11-c observamos que o fluxo é
positivo e deverá aumentar durante a aproximação, portanto
d B
 0 . Veja que o fluxo final
dt
será maior que o inicial.
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62
Figura 11: (a) escolha do sentido positivo da grandeza que circula pela espira, (b) fluxo positivo,
pois  é menor que 900, (c) Fluxo aumentando pela aproximação do imã. Fonte: Halliday, Resnick e
Walker, vol 3.
Agora vamos verificar o sentido da força eletromotriz que é o mesmo da corrente elétrica
que surge na espira. Pela lei de Lenz, a polaridade e o campo magnético na espira, durante a
aproximação, deverá obedecer a figura 12. Olhando, então para a direção do campo magnético
da espira e usando a regra do saca rolha, concluímos que o sentido da corrente e da força
eletromotriz é contrário ao sentido convencionado como positivo. Por esse motivo, a força
eletromotriz é negativa, como
d B
d B
 0 , deverá haver o sinal (-) na equação   
.
dt
dt
Figura 12: (a) imã aproximando. Figura. (b) polaridade da espira. Fonte: Halliday, Resnick e
Walker, vol 3.
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63
8. Equações de Maxwell
Para escrever as equações na forma diferencial, será necessário aplicar os seguintes
teoremas:
(i)
Teorema da Divergência ou de Gauss: afirma que o fluxo de um vetor através
de uma superfície fechada é igual à integral da divergência do vetor no volume
delimitado pela superfície fechada considerada, ou seja:




 
X

d
A



  X dV onde X é um vetor qualquer
S
V
(ii)
Teorema de Stokes: a circulação de um vetor através de uma curva fechada é
igual ao fluxo do rotacional deste vetor através de uma superfície delimitada por
esta curva fechada, ou seja:
 X  ds     X dA onde X é um vetor qualquer



C

S
Também é importante lembrar que o operador vetorial diferencial apresenta a forma:
      
i
j
 k , que pode ser aplicado das seguintes formas:
x
y
z

 Gradiente f : relacionado a direção de máxima variação de um campo escalar.
 
 Divergente   f : relacionado ao fluxo por um cubo infinitesimal.
 
 Rotacional   f : relacionado às propriedades de circulação/rotação de um campo
vetorial.
Lei de Gauss da eletricidade
A lei de Gauss relaciona o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada com
a carga em seu interior:
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  q
ou
 E   E dA 
0
  1
E
 dA 
0
Aplicando o teorema da divergência
 dV
(14)
V




 
X

d
A
    X dV chegamos a:

S
V
  
(15) (lei de Gauss na forma diferencial.
 E 
0
Lei de Ampère
A lei de Ampère relaciona a distribuição do campo magnetico em pontos sobre a curva
amperiana (hipotética) com a corrente que passa através da curva,


 B ds  oi (16)
onde o = 4  10-7 T.m/A é a constante de permeabilidade do vácuo, i é a corrente
resultante que passa por dentro da curva amperiana. Para a curva ao lado, podemos
escrever:


 B ds   o (i 2  i1  i3 )
I2
B
i1
I3
I4
ds
Figura 13: comportamento do campo magnético sobre
uma curva amperiana.
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A lei de Ampère também pode ser escrita como
 
 
B
  ds   0  J  ds onde J é a densidade
s
de corrente.
Com o teorema de Stokes


 
 
X

d
s



  X dA podemos chegamos a:
C
S
 

  B   0 J (17) lei de ampère na forma diferencial.
Lei da Indução de Faraday
Vimos a lei da indução de Faraday como:
 


d B
(18) onde  B   B  dA
dt
Ela indica que ao variar o fluxo do campo Magnético  B surge na espira uma força
eletromotriz . O sinal negativo1 é justificado a partir da lei de Lenz: através de experimentos
observa-se que o campo magnético gerado pela corrente induzida, se opõe a variação do
campo magnético que a gerou.
Se colocarmos um anel de cobre num campo magnético variável, surgirá nele uma corrente
induzida, então, um campo elétrico E deve estar presente em todos os pontos do interior do
anel. Este campo, chamada mais precisamente de campo elétrico induzido, existe somente
quando há variação do fluxo do campo magnético. Este campo elétrico é tão real quanto ao
campo gerado por uma carga eletrostática q, e estará presente mesmo na ausência do anel de
cobre. Resumindo o que falamos até aqui:
Um campo magnético variável
GERA
Um campo elétrico
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Imaginando o anel ampliado, vamos fazer pequenas alterações no formalismo matemático:
Fd  F 2r  W
F
F  Eq
F
Portanto:
Eq 2r  W
F
Para uma pequena carga (infinitezimal):
E 2rdq  dW ou E 2r 
Lembrado
que

F
dW
dq
dW
dq
chegamos
a:
Figura 14: anel percorrido por uma
corrente i devido a forças elétricas que
neles atuam.
E2r   (19)
 
Escrevendo a equação (19) generalizada, temos:    E  ds (20)
A partir da equação (20) e da equação (18), chegamos a uma nova face para lei de
faraday.
 
d B
E
(21)
  ds  
dt
Assim temos a terceira equação de Maxwell na forma integral. Para escrever essa equação na
forma diferencial, aplicamos o teorema de Stokes e chegamos a:

 
B
(22) Lei da indução de Faraday na forma diferencial.
 E  
t
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Lei de Gauss do Magnetismo
A lei de Gauss do magnetismo é a formalização da afirmação de que não existe
monopolos magnéticos, ou, não há como separar os pólos magnéticos sul e norte de uma
imã.
(b)
(a)
Figura 15: o fluxo do campo magnético é igual a zero para qualquer superfície fechada.
 
 B   B  dA  0
(23)
Devido a natureza do campo magnético, a integral acima sempre será igual a zero. Veja
figura 15. Para escrever essa equação na forma diferencial, aplicamos o teorema da divergência
e chegamos em:
 
  B  0 (24)
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Lei de Ampère-Maxwell
Antes de continuar, vamos observar as quatro principais equações citadas até aqui na sua
forma integral.
  q
 E dA 
Leis de Gauss da eletricidade
0


 B  dA  0
Leis de Gauss do magnetismo
 
d B
 E  ds  
dt
Lei de Faraday


 B ds  oi

Lei de Ampère
Veja a similaridade do lado esquerdo das quatro equações; enquanto que do lado
direito isto não ocorre.

A equação indica que variando-se um campo magnético (
d B
) , produz-se um
dt
 
campo elétrico (  E  ds ). De acordo como o princípio de simetria, podemos
suspeitar que: variando-se um campo elétrico (
d B
) , produz-se um campo
dt
 
magnético (  B  ds ).
Esta hipótese foi confirmada experimentalmente. O campo elétrico entre duas placas de
um capacitor durante a carga e descarga é variável, então observa-se o surgimento de um
campo magnético.
Com este fato, podemos complementar a lei de Ampère com expressão
  d E
B
  ds  dt ,
porém não está dimensionalmente correta, é necessário incluir as constantes o e º Assim:


 B  ds   
0
0
d E
dt
(25)
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Veja que o campo magnético, além de ser produzido por uma corrente – como afirma a
lei de Ampère – pode ser produzido por um campo magnético, portanto a lei de Ampère
necessita de um complemento, isto conduz a uma nova equação chamada de Lei de
Ampère-Maxwell.


 B ds  0 0
d E
 oi
dt
(26)
Aplicando o teorema de Stokes é possível escrever essa equação na forma diferencial:
 

E
(27)
  B  0 J   0 0
t
Quadro final das equações de Maxwell:
Equação
Forma integral
Forma diferencial
  q
 E dA 
Lei de Gauss da eletricidade
0
Lei de Ampère-Maxwell

Lei de Faraday
Lei
de
Gauss

 B ds  0 0
do
(14)
d E
  o i (26)
dt
 
d B
(21)
 E  ds  
dt


 B  dA  0 (23)
  
(15)
 E 
0
 

E
(27)
  B  0 J   0 0
t

 
B
(22)
 E  
t
 
  B  0 (24)
Magnetismo
Exemplo 6: Determine E pela lei de Faraday nas formas integral e diferencial na seguinte
condição: ⃗
̂
Exemplo 7: Determinine o valor da corrente de deslocamento id no momento da descarga
do capacitor.
9. Produção das Ondas Eletromagnéticas
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70
Segundo a lei de Faraday um campo magnético variável produz um campo elétrico,
e segundo a lei de Ampère-Maxwell, um campo elétrico variável produz um campo
magnético. Caso o campo elétrico produzido pela variação do magnético também for
variável, então este mesmo produzirá um novo campo magnético, sendo este
novamente variável produzirá um elétrico, e o processo continuará formando assim uma
onda eletromagnética.
Um campo magnético
variável
Um campo elétrico
variável
Esta previsão de Maxwell foi confirmada
pela experiência Realizada por Hertz em
1888.
Ele
produziu
uma
onda
eletromagnética a partir de um dipolo
elétrico oscilante. A oscilação tem origem
no circuito LC que é formado basicamente
por um indutor L (enrolamento) e um
capacitor C. O circuito secundário por
Figura 16: o experimento de Hertz
(fonte:Nussenzveig, v.4, p.287).
indução magnética recebe a corrente alternada do primário e o dipolo gera um campo
eletromagnético variável que se propaga até a espira semicircular. O dipolo que origina a onda
possui uma faisca alternada. O interessante é que para cada faisca no primeiro dipolo, surge
uma faisca no segundo dipolo, comprovando que informações elétricas e magnéticas são
transportadas, semelhante ao pulso em uma corda que se propaga por ela.
Imagine um capacitor sendo carregado por uma bateria. Em pouco tempo o capacitor
atinge a carga máxima, ficando com uma diferença de potencial entre suas placas igual da
bateria. Fazendo um análogo com um oscilador massa-mola, temos neste instante, algo
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71
equivalente a mola distendida. Agora, ligamos uma bobina as extremidades do capacitor. O
capacitor irá descarregar, porém será um processo relativamente lento, devido a auto-indução
da bobina.
Mas, o que é auto-indução?
R: Por uma espira mergulhada em um campo magnético variável, circula uma corrente
induzida, este fenômeno chamamos de Indução. No nosso caso, a bobina gera através da
corrente variável que passa por ele um campo variável, este gera na própria bobina uma
corrente induzida, que pela lei de Lenz, tentará se opor ás variações, isto é auto-indução.
Figura 17 : Corrente alternada no circuito oscilante (fonte: Greef, vol. 3, p. 240).
Quando a corrente que surge devido a descarga do capacitor cresce, a corrente induzida é
oposta gerando uma inércia em sua variação. Quando a corrente devido a descarga passa a
diminuir por estar chegando ao fim a carga do capacitor, a corrente induzida é no sentido da
mesma levando o capacitor ficar carregado com cargas opostas da situação anterior. O
capacitor agora esta novamente carregado e o processo se repete.
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72
A freqüência das oscilações dependerá da capacitância do capacitor e da indutância do
indutor. Estas propriedades dependem da geometria de ambos.
Uma estação de rádio possui um circuito deste tipo para gerar ondas eletromagnéticas. Cada
estação é autorizada para funcionar numa certa freqüência.
O aparelho receptor de rádio também tem um circuito desse tipo. Ë através dele que
sintonizamos uma certa estação, variando sua capacitância e indutância de modo que a
freqüência própria do circuito oscilante do aparelho receptor coincida com a da
estação sintonizada. Nessas condições, dizemos que ocorre ressonância elétrica.
Entretanto, para que seja possível sintonizar as diferentes estações, o circuito oscilante
do aparelho receptor de rádio deve ser capaz de permitir diferentes calibrações. Isto
significa variar a capacitância e a indutância do circuito e, conseqüentemente, sua
freqüência própria.
Os aparelhos de rádio utilizam um tipo de capacitor, cuja capacitância varia através da
alteração no tamanho das placas, quando mudamos a posição do botão de sintonia.
Assim, a freqüência própria do circuito vai se alterando e coincidindo com a
freqüência das diferentes estações. (Greef, vol. 3, p.241)
As ondas eletromagnéticas são produzidas quando cargas elétricas livres são aceleradas ou
quando os elétrons dos átomos sofrem transições para níveis de menor energia. Cargas em
repouso produzem apenas um campo elétrico estático, uma carga em movimento retilíneo
uniforme que é uma corrente elétrica contínua produz um campo elétrico e magnético estático,
mas uma carga acelerada produz uma onda eletromagnética, isto é conseguido em uma antena
de dipolo elétrico.
Fonte
Figura 18: Produção de uma onda eletromagnética por uma antena (fonte: Halliday, Resnick e Walquer, vol 4, p. 3).
Para ter uma visão de todo processo, é mostrado a figura 19. Veja que a propagação é
praticamente nula na direção vertical. A intensidade do campo E cai na forma 1/r.
As linhas representam o campo elétrico vertical e os pontos e cruzes representam o
campo magnético horizontal. Na figura 20 são apresentados o comportamento de E e B
para um ponto distantes da fonte.
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73
Figura 19: propagação da onda no espaço (fonte: Halliday, Resnick e Walquer,
vol 4, p. 3).
Na figura 20 é mostrado uma onda eletromagnética plana propagando-se em linha reta na
direção de um observador parado no ponto distante da fonte.
Figura
20:eletromagnética
onda eletromagnética
Resnick
Walquer, vol 4,entre
p.6).e com
A onda
sempre(fonte:
mantémHalliday,
os campos
E e B eperpendiculares
a velocidade de propagação.
Qualquer onda transversal, mecânica ou não, pode ser descrita por uma senóide 2 que é
solução da equação diferencial de onda:
y( x, t )  y m sen(kx  t )
(28)
onde :
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74

k é o número de onda angular, k 

e a velocidade é dado por V 

k
2

;  é freqüência angular  
2
T
, ou por V  f .
As equações abaixo descrevem as componentes do campo Elétrico magnético de uma onda
eletromagnética como mostrada na figura 20.
E ( x, t )  E m sen(kx  t )
(29)
B( x, t )  Bm sen(kx  t )
(30)
Os campos E e B oscilam numa direção transversal a direção de propagação e são
perpendiculares entre si.
10. Cálculo da velocidade da onda eletromagnética
Observando a figura 21 que o campo elétrico E oscila no plano xy e o campo magnético B
oscila no plano zx, de tal forma que: Ez =Ex=0, EY≠0 e Bz≠0, BY=Bx=0.

 
B
Trabalhando também com a lei de Faraday   E  
:
t
 
B
 E   z k
t



i
j
k
 
E y
E y



B
E
B
 E 

, logo
ou
(31)

 z
x y z
x
x
t
x
t
Ex E y Ez
Derivando a equação (31) com relação a x e depois em relação ao tempo, obtemos:
2E
2B

xt
x 2
(32)
2E
2B
 2
xt
t
(33)
Para esse caso, na ausência de correntes e cargas, a lei de Ampère – Maxwell fica
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
i
 
 
E y 

  B   0 0
j sendo que   B 
x
t
Bx
E y 
 B z
 j
  0 0
j
x
t
ou
B
x

j

y
By
  0  0
E
t

k
 B z

j
então:
z
x
Bz
(34)
Derivando a equação (34) em relação a x, encontramos:
2B
x 2
2E
  0 0
xt
(35)
Com (35) e (33) emcontramos:
2B
x 2
2B
  0 0 2
t
(36)
Lembrando da equação geral de onda:
 2Y
x 2
esse equação com a equação (36), obtemos:
v
1
 0 0
1  2Y
 2 2 onde v é a velocidade. Comparando
v t
(37), nesse caso chamaremos v de c (vem da palavra grega celere, que que significa
rapidez ou velocidade).
1
c
8,85  10 12
 2,99792  10 8 m / s
2
C
m
1,26  10 6 T
2
A
Nm
Derivando a equação (34) em relação a t, encontramos:
2B
xt
  0  0
2E
t 2
(38)
Com (38) e (32) emcontramos:
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76
2E
x 2
  0 0
2E
t 2
(39)
Que também está de acordo com a forma da equação geral de onda:
leva ao resultado:
1
v
 0 0
1
e c
8,85  10 12
 2Y
x 2

1  2Y
o que
v 2 t 2
 2,99792  10 8 m / s .
2
C
m
1,26  10 6 T
2
A
Nm
Na época de Maxwell, o valor de c era conhecido pelas experiências com observações
astronômicas dos satélites de júpiter e por medições terrestres de Fizeau e de Foucolt. O valor
de 0 e 0 havia sido determinados por experiência puramente eletromagnética de Kohlrausch e
Weber. A equivalência dos dois resultados sugere que a luz é uma onda eletromagnética
11. Espectro Eletromagnético
Ondas de rádio, TV, telefone Celular, raios-x, infravermelho, luz visível, apesar da diferença
na utilização e propriedades, são todas ondas eletromagnéticas formadas pela propagação
campo elétrico e magnético. O que as torna diferente é o seu comprimento de onda. Todas
possuem a mesma velocidade c no vácuo que também pode ser considerada no ar. Quando as
mesmas mudam de meio, mudam também de velocidade. O comprimento de onda  e a
freqüência f são inversamente proporcionais, por isso podemos classifica-las pelo
comprimento ou pela freqüência, é importante perceber que quanto maior o comprimento de
onda, menor é a freqüência e vice-versa. A freqüência, velocidade e comprimento de uma onda
eletromagnética estão relacionados pela equação:
c  f
(27)
onde  é dado em metros, f em s-1=Hz (Hertz) e c=3,0x108m/s.
Segue o espectro e a seguir uma tabela sobre a luz visível.
Luz
Comprimento de
-7
Freqüência
onda (10 m)
(1014Hz)
Violeta
4,0 a 4,5
6,7 a 7,5
Anil
4,5 a 5,0
6,0 a 6,7
Azul
5,0 a 5,3
5,7 a 6,0
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77
Verde
5,3 a 5,7
5,3 a 5,7
Amarela
5,7 a 5,9
5,0 a 5,3
Alaranjada
5,9 a 6,2
4,8 a 5,0
Vermelha
6,2 a 7,5
4,0 a 4,8
12. Energia: vetor de Poynting
Já mostramos que
E
w
E
 V  c , também é possível mostrar que m  V  c e  V  c .
k
B
Bm
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78
O valor da densidade de energia elétrica (energia/volume) transportada na onda a cada instante
é dada por:
uE 
1
1
 0E 2 B 
B2
2
2 0
e
1
1
1
, é possível mostrar que u E   0 E 2 
B 2 ou u E  u B
2
2 0
 0 0
Como c 
Então podemos escrever:
u  uE  uB
u  2u E
u  0E2 
1
0
B2
Agora vamos trabalhar com uma onda eletromagnética. Quando a onda passa pela volume
imaginário abaixo, a energia nesse volume é dado por dU  dudV onde dV é o volume do
objeto imaginário abaixo que possui uma área A e uma largura cdt.
Então:
dU
 c 0 E 2
Adt
Nessa expressão temos a energia que interage com uma área, pode-se pensar que a energia está
sendo medida nessa área e o tempo para essa medida ser executada é o tempo dt.
Essa quantidade é chamada de vetor Poyting (S).
S  c 0 E 2  c 2 0 EB 
1
0
 1  
EB e na forma vetorial: S 
E  B o vetor S também é.
0
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79
É interessante escrever a intensidade I, que é a potência por área. Essa quantidade é igual ao S
médio (divide por 2):
I
Potência
1
1
c
2
2
 S médio 
Em 
Em Bm 
Bm .
2
c

2

2

Área
0
0
0
13. Momento e Pressão da radiação
Além de energia, as ondas possuem momento linear e o transfere a matéria. Quando a
onda encontra uma partícula com carga q, o campo E provoca uma força (F=Eq) levando a
partícula a oscilar na direção y. A ação de E não desloca a partícula de uma posição média,
apenas provoca oscilação e transfere energia.
v y  v0 y  at
v y  at 
F
qE
t
t
m
m
Calculando a energia cinética, teremos:
1 2
mvy
2
1 q2E 2 2
Ec  m
t U
2
m
Ec 
Essa é a energia transferida, que chamamos de U.
O campo magnético B encontra a partícula vibrando em y e gera uma força sobre ela igual a:

FM  qv y Biˆ
Portanto haverá uma força que aponta para x crescente, que provoca transferência de
momento.

FM  qv y Biˆ
Essa força também pode ser escrito como:

q 2 EVt 
FM 
i
m
Conhecendo a força que opera num instante t é possível determinar a variação da quantidade
de movimento:
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80
 dp
F
dt
dp  Fdt
q 2 EBt
dt 1 q 2 EBt 2
p m

2 m
0
t
Usando a relação B=E/c, é possível escrever:
1 qE 2 t 2
p
c 2m
Como
1 q2E 2 2
m
t  U , temos então um momento p transferido a partícula com carga q
2
m
igual a:
p
U
c
Para a absorção completa da radiação p 
U
e para reflexão p  2 U .
c
c
Cerca de 30 anos após as previsões de Maxwell os russos Nichols e Hull fizeram um
experimento onde mediram a força encontrando um valor de acordo com a previsão de
Maxwell.
A pressão instantânea exercida pela onda com incidência normal a uma superfície totalmente
absorvedora de área A é:
P
F 1 dp

A A dt
Como p 
P
U
1 dU
dU
, P
, como S 
c
Ac dt
Adt
S
(essa é a pressão instantânea sofrida por uma superfície).
c
A pressão média pode ser escrita em função do Smédio que é a intensidade I:
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81
Pmédia 
I
C
Quarta Lista de Exercícios – Eletromagnetismo
1. Imagine que você esteja sentado numa sala com as costas voltadas para uma parede e
que um feixe de elétrons, se movendo horizontalmente, a partir dessa parede para a
parede em frente, seja defletido para a sua direita. Quais serão a direção e o sentido do
campo magnético uniforme existente na sala? R: Vertical para baixo.
2. Um elétron que tem velocidade V = 2,0 x 106 i + 3,0 x 106 j, penetra num campo
magnético
B = 0,030 i – 0,15 j. (a) Determine o módulo direção e sentido da força
sobre o elétron. (b) Repita o cálculo para um próton tendo a mesma velocidade. R: (a)
6,2x10-14 N k (b) - 6,2x10-14 N k
3. Determine a força magnética sobre um elétron que se move na direção x com velocidade
v=200,0 m/s i + 150,0m/s j e interage com um campo elétrico na direção y B=10 mT j.
4. Um fio de 1,80 m de comprimento transportando uma corrente de 13,0 A e faz um
ângulo de 35,0
O
com um campo magnético uniforme B = 1,50 T. Calcular a força
magnética sobre o fio. R: 20,1 N
5. Um fio de 62,0 cm de comprimento e 13,0 g de massa está
suspenso por um par de condutores flexíveis num campo
magnético de 0,440 T. Quais são a intensidade e o sentido da
corrente necessários para anular a tensão no fio suporte? R: 0,46 A
(direita)
6. O módulo do campo magnético a 88,0 cm do eixo de um fio retilíneo longo é 7,30 T.
Calcular a corrente no fio. R: 32,12 A
7. Um fio longo transportando uma corrente de 100 A é colocado num campo magnético
externo de 5,0 mT. O fio é perpendicular ao campo. Localize um ponto onde o campo
magnético resultante é zero. R; 4mm
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82
8. Um topógrafo está usando uma bússola a 6 m abaixo de uma linha de transmissão na
qual existe uma corrente constante de 100 A. (a) Qual o campo magnético no local da
bússola em virtude da linha de transmissão? (b) Isso irá interferir seriamente na leitura da
bússola? O componente horizontal do campo da terra no local é de 20T. (a) 3,3x10-6 T
(b) Sim
9. Cada um dos oito condutores mostrados na figura ao lado, transporta uam corrente de
2,0 A para dentro ou para fora da página. Dois caminhos são indicados para integral de
linha



B ds . Qual é o valor da integral para (a) o caminho pontilhado (b) para o
caminho tracejado.
10. Fale sobre o surgimento da corrente elétrica registrada no amperímetro da figura
abaixo, levando em consideração que não há contato elétrico entre os
enrolamentos primário e secundário. (2,0)
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83
11. Um imã pólo norte voltado para um anel de cobre, é afastado do anel como mostra a
figura, qual é a polaridade da espira e qual é o sentido da corrente na parte do anel mais
afastada do leitor?
12. Uma barra metálica está se movendo com velocidade constante ao longo de dois trilhos
metálicos paralelos, como mostra a figura deste exercício. Um campo magnético B de
0,350 T aponta para fora da página. (a) sabendo-se que os trilhos estão separados em 25,0
cm e a velocidade escalar da barra é 55,0 cm/s, que fem é gerada? (b) Sabendo-se que a
resistência da barra vale 18,0  e que a resistência dos trilhos é desprezível, qual é a
corrente na barra? R: (a) 48,1 mV (b) 2,67 mA
13. Uma bobina retangular, com N espiras, comprimento a e largura b, é girada com uma
freqüência f (f=/2) num campo magnético uniforme B, como mostra a figura deste
exercício. Mostre que uma força eletromotriz é dado por:
  2fNabB sen 2ft
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84
14. O fio abaixo transporta uma corrente i e consiste num arco circular, de raio R e ângulo
central de 3/2 rad e de dois trechos retilíneos cujos prolongamentos interceptam o centro
C do arco. Que campo magnético a corrente produz em C. R:
i
i
i
i
R
C
15. Determinar o campo magnético gerado no ponto P da figura abaixo, por meio da lei de
Biot-Savart. R: B  0i
4r
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85
16. módulo do campo magnético entre os pólos de eletroimã aumenta a uma taxa crescente de 0,020
T/s. A área da espira condutora imersa no campo é igual a 120 cm2 e a resistência total do circuito
incluindo o galvanômetro, é igual a 5,0 . Calcule a força eletromotriz induzida e a corrente
induzida no circuito. R:0,24 mV e 0,048 mA
17. (a) Escreva as equações de Maxwell na forma diferencial apropriadas para o estudo de fenômenos
eletromagnéticos em regiões do espaço onde não existam cargas nem correntes elétricas. (b)
Indique em que circunstância se produz uma onda.
18. Qual a dimensão da expressão
  E 
?
 t 
0 
19. Considere uma onda eletromagnética plana se propagando ao longo do eixo x. Escreva a expressão
do módulo (a) do campo elétrico, (b) do campo magnético, (c) fixe o valor de x e verifique o
comportamento do campo elétrico num ponto do espaço e após fixe o valor de t (como se fosse
uma fotografia) e verifique o comportamento do campo elétrico de uma onda eletromagnética
progressiva (represente com gráficos de E com relação a x e E com relação a t)
20. Mostre que as funções de onda E y  Em sen(kx  t ) e Bz  Bm sen(kx  t ) são realmente
soluções das equações de uma onda eletromagnética
2 Ey
x 2

2
1  2 Bz
1  E y  2 Bz
e
.

x 2
c 2 t 2
c 2 t 2
21. Qual é a dimensão do vetor poyinting? E quais são as unidades no sistema MKS?
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86
22. (a) Um feixe de ondas eletromagnéticas planas e paralelas possui intensidade de 2000 W/m 2.
Calcule a potência incidente sobre uma área de 0,05 m2 ortogonal á direção de propagação do feixe.
R: 100 W
(b) Caso esta área fosse preenchida por uma certa substância absorvente semelhante a um filme
fotográfico e ficasse exposto por 2 s, qual a energia absorvida, considerando que a superfície
absorve totalmente a onda. R: 200 J
23. Uma lâmpada emite ondas eletromagnéticas uniformemente em todas as direções. Determine (a) a
intensidade; (b) os campos elétricos e magnéticos (suas amplitudes) a uma distância de 3 m da
lâmpada, supondo que a potência total da radiação eletromagnética emitida seja 50 W. R: (a)
0,442W/m2 (b) 6,08x10-8T, 18,2 V/m.
24. Um satélite em órbita em torno da Terra possui um painel coletor de energia solar com área total
igual a 4,0 m2. Sabendo que a luz solar é perpendicular à superfície do painel e sua intensidade é
1,4x103W/m2 sendo totalmente absorvida, calcule a potência solar média absorvida. R: 5,6kW,
25. Considere uma onda de rádio plana. Suponha que a amplitude do campo elétrico desta onda seja
dada por E0= 1,5 x 10-4 V/m. Calcule o módulo: (a) da amplitude da indução magnética, (b) da
amplitude do vetor de Poyinting. R: (a) Bm=5x10-13 Wb/m2 (b) 6,0x10-11 W/m2.
26. Como vimos, velocidade de uma onda eletromagnética viajando no vácuo é c 
ondas que se propagam num meio transparente a velocidade é menor V 
1
0 0
1
00
. Mas para
, onde  é
constante dielétrica do material. Esta constante é adimensional. Para ter uma idéia de seu
significado, imagine um capacitor de placas paralelas com vácuo no seu interior, existe um campo E
entre as placas, agora é colocado um dielétrico entre as placas e um campo elétrico menor E 0
passará a existir. A constante dielétrica  é a razão entre E e E0. (a) Para um determinado tipo de
vidro temos = 2,2, qual é velocidade da luz neste material? (b) A velocidade da luz na água é de
2,25x108m/s, qual a sua constante dielétrica? R: (a) 2,0 x 108 m/s (b) 1,78
27. Questão que caiu na prova do ENADE 2008: Qual das equações do eletromagnetismo
apresentadas a seguir implica a não-existência de monopólos magnéticos?
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87
  
(a) 
E 
0
 
(b)   B  0

  B
(c)   E 
0
t

 

E
(d)   B   0 0
 0 J
t
(e)
  
 J 
0
t
28. Determine as componentes de E pela forma integral e diferencial da lei de Faraday, para a situação
̂ é estabelecido. R: ⃗
̂
em que um campo ⃗
29. Usando a equação da questão 26 V 
1
00
e a equação
onde n é o índice de refração e V
a velocidade da luz no meio determine o índice de refração do vidro a partir da sua constante
dielétrica k=3,8. R: 1,95 (esse é um cálculo aproximado)
30. Uma lâmpada de 100 W emite ondas eletromagnéticas esféricas uniformemente em todas as
direções. Um anteparo não refletor é colocado é colocado a 5m da lâmpada. (a) Determine a
intensidade das ondas eletromagnéticas no anteparo. (b) Quais são os valores máximos dos
campos elétrico e magnético no anteparo? R: (a) 0,32W/m2; (b) 5,1x10-8T, 15,5N/C
31. Um laser tem potência de 10 mW e emite um feixe de 2mm de diâmetro que é refletido por um
anteparo a 5m (a) Determine a intensidade das ondas eletromagnéticas no anteparo. (b) Quais
são os valores máximos dos campos elétrico e magnético no anteparo? (c) Compare com as
respostas da questão 30 e justifique as diferenças. R: (a) 3,2 kW/m2; (b) 5,7x10-6T, 1,7 kN/C
32. A intensidade da radiação solar na atmosfera da Terra é de 1340 W/m 2. Determine a pressão média
sobre um objeto metálico que absorve toda radiação e um que reflete toda. R: 4,5x10-6Pa e 9,0x106Pa.
33. Determine a força média exercida num objeto circular de raio R=1 cm por um laser de alta
potência de intensidade 3,3x1013 W/m2. Considere que o objeto (a) absorve totalmente a energia do
laser, (b) a reflita totalmente. R: (a) 35 N (b) 70N.
34. Um feixe de luz com uma potência de 18 W incide sobre um espelho plano perfeitamente refletor
de 1,5 cm2. Qual a força exercida sobre o espelho? R: 1,2x10-7N
35. Um capacitor de placas paralelas está sendo descarregado de forma que o campo elétrico decresce a
uma taxa de 1,50x108 N/Cs. (a) Nessa situação ocorre a formação de um campo magnético na
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88
região do capacitor? (b) Quanto vale a densidade de corrente de deslocamento no espaço entre as
placas? R: (a) Sim... (b) 1,3 x10-3 A/m2
36. Um capacitor de placas paralelas de área de 50 cm2 está preenchido com material cuja constante
dielétrica vale 7. O campo elétrico no material dielétrico varia à taxa
. (a) Qual
a densidade de corrente de deslocamento no material? (b) Qual a corrente elétrica no circuito que
alimenta o capacitor? R: (a) ~5,0 A/m2 (b) ~0,025 A.
37. A indutância de uma bobina compacta de 400 espiras vale 8,0 mH. Calcule o fluxo magnético
através da bobina quando a corrente é de 5,0 mA. R: 0,1μWb
38. A energia armazenada num certo indutor é 25 mJ quando a corrente é 60,0 mA. (a) Calcular a
indutância. (b) Que corrente é necessária para a energia magnética armazenada ser quatro vezes
maior? R: (a) 13,9 H (b) 120 mA
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