Capítulo 24: Potencial Elétrico
• Havendo uma força eletrostática entre duas ou mais partículas podemos associar um energia
potencial elétrica U ao sistema.
• Suponha que o sistema muda sua configuração de um estado inicial i para um estado final f . A
força eletrostática exerce um trabalho de W sobre as partículas. Assim:
∆U = U f −Ui
∆U = W
• Trabalho independe da trajetória pois a força é conservativa.
• Configuração de Refêrencia: sistema de partículas carregadas na qual a distância entre as partículas é infinita.
• Energia Potencial de Referência: corresponde a configuração de referência e tem valor zero. Suponha
o seguinte sistema:
– Estado i: n partículas carregadas com distância infinita entre si.
– Estado j: a distância passa a ser finita.
Portanto: W realizado pelas forças durante o deslocamento é infinito: W∞
Exemplo (24-1): Perto da superfície terrestre o campo elétrico é de 150 N/C e aponta para o centro
da Terra. Quanto vale ∆U de um elétron livre na atmosfera quando uma força eletrostática faz com
que se mova verticalmente para cima uma distância d = 520 m?
1
Potencial Elétrico
A energia potencial por unidade de carga em um ponto do espaço é chamado de potencial elétrico V :
V=
U
q
A diferença de potencial elétrico entre dois pontos i e f é:
∆V
= V f −Vi =
∆V
=
∆U
q
1
U f Ui
−
q
q
Substituindo ∆U por −W :
∆V = V f −Vi
W
q
Tomando Ui = 0 (infinito como referência para energia potencial), V no infinito também será nulo.
Deste modo, podemos definir o potencial elétrico em qualquer ponto do espaço como:
∆V = −
V =−
W∞
q
W∞ é o trabalho executado pelo campo elétrico sobre uma partícula carregada quando ela se desloca
do ∞ para o ponto f .
Unidade: J/C = Volt(V)
Para o campo ~
E:
N
V.C
J
1 N/C = 1
1
1
= 1 V /m
C
J
N.m
Definição: Elétron-volt(ev) é a energia igual ao trabalho necessário para deslocar uma carga elementar e através de uma diferença de potencial de um volt.
1 eV = e (1V) = (1.6 × 10−19 C)(1 J/C) = 1.6 × 10−19 J
2
Trabalho Realizado por uma Força Aplicada
Suponha uma partícula de carga q, transportada do ponto i para o ponto f , na presença de um campo
elétrico, através da aplicação de uma força.
• A força realiza um trabalho Wap sobre a carga.
• O Campo elétrico realiza um trabalho W sobre a carga. De acordo com o teorema trabalhoenergia:
∆K = Wtot
K f − Ki = Wap +W
Supondo a partícula parada antes e depois do deslocamento.
0 = Wap +W
Wap = −W
• Wap é igual ao negativo do trabalho realizado pelo campo elétrico. Fazendo: (substituir W por
−Wap )
∆U = U f −Ui = Wap
e usando ∆V = − Wq → W = −q∆V , então
Wap = q∆V
3
Superfícies Equipotenciais
Pontos vizinhos que possuem o mesmo potencial elétrico formam uma superfície equipotencial.
Em uma superfície equipotencial, o campo ~E não realiza nenhum trabalho W sobre uma partícula
carregada.
W
Observe a equação: ∆V = − , como V f = Vi ⇒ W = 0, para qualquer trajetória que ligue os pontos i e f .
q
2
4
Cálculo do Potencial a Partir do Campo
Considere um campo elétrico qualquer, representado na figura abaixo:
• A carga de prova qo se move do ponto i ao
ponto f , percorrendo a trajetória strada na
figura.
• Em todos os pontos da trajetória temos uma
força eletrostática qo ~E e um deslocamento s~s.
• O trabalho infinitesimal realizado sobre a partícula é:
dW = ~F.d~s
ou, para esse caso
dW = qo~e.d~s
portanto, o trabalho total é:
W = qo
Z f
~E.d~s
i
substituindo W pelo seu valor em termos de ∆V :
V f −Vi = −
Z f
~E.d~s
i
A diferença V f −Vi é a integral de linha de ~E.d~s ao longo da trajetória (para qualquer trajetória
o valor será o mesmo0. Se escolhermos Vi = 0
V =−
Z f
~E.d~s
i
Exemplo (24-2): A carga de prova qo (positiva) se desloca no ponto i ao ponto f ao longo da trajetória indicada. Qual a diferença de potencial entre os dois pontos?
b)
a)
3
Observe a figura abaixo com diversas superfícies equipotenciais:
4
5
Potencial Produzido por uma Carga Pontual
Uma carga pontual q produz um campo elétrico ~E e um potencial elétrico V no ponto P.
Calcularemos o potencial deslocando uma carga
de prova qo do ponto P até o infinito.
• Lembrando: no infinito o potencial é zero.
• A trajetória é irrelevante, por isso escolhemos a mais simples: uma linha reta.
• ~E.d~s = E cos 0°ds = Eds.
Como a trajetória é radial,
assim



Z f

V f −Vi = −
Edr

i


faremos ds = dr,
ri = R
rf = ∞
V (R) = V
V f = V (∞) = 0
• O campo elétrico é dado por:
E=
q
0 −V = −
4πεo
1 q
4πεo r2
Z ∞
1
R
∞
1
q
dr =
2
r
4πεo r R
−V = −
1 q
4πεo R
Substituindo R por r:
V =−
6
1 q
4πεo r
Potencial Produzido por um Grupo de Cargas Pontuais
Usaremos o princípio da superposição e a equação V =
por um grupo de cargas.
Para n cargas, o potencial total é dado por
n
V = ∑ Vi
i=1
V=
1 n qi
∑ ri
4πεo i=1
• O sinal das cargas tem que entrar nesta conta.
5
1 q
para calcular o potencial produzido
4πεo r
Exemplo (24-3): Calcule o valor do potencial elétrico no ponto P, situado no centro do quadrado.

q1 = +12 nC




 q2 = −24 nC
q3 = +31 nC


 q4 = +17 nC


d = 1.3 m
Exemplo (24-4): 12 elétrons são mantidos fixos, com espaçamento uniforme, sobre um circunferência re raio R. Em relação a V = 0 no infinito, quais são o potencial elétrico e o campo elétrico no
centro da circunferência?
7
Potencial Produzida por um Grupo de Cargas Pontuais
Qual o potencial em um ponto arbitrário P devido
a um dipolo elétrico?
No ponto P:
- carga (+): produz potencial V(+)
- carga (-): produz potencial V(−)
Então,
2
1
V = ∑ Vi = V(+) +V(−) =
4πεo
i=1
V=
q
−q
+
r(+) r(−)
q r(−) − r(+)
4πεo r(−) .r(+)
Considerando r >> d ⇒ r(−) − r(+) ∼
= d cos θ e
2
∼
r(−) .r(+) = r
q d cos θ
V=
4πεo r2
Usando a definição de dipolo elétrico p = qd, temos
V=
1 p cos θ
4πεo r2
dipolo elétrico
6
8
Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Cargas
No caso de distribuições contínuas devemos escolher um elemento de carga dq e calcular o ponto dV
produzido em um ponto P.
Tatando o elemento de carga dq como uma carga pontual.
dV =
1 dq
4πεo r
Então,
V=
9
r → distancia entre P e dq
Z
1
dV =
4πεo
Z
dq
r
Linha de Cargas
Considere uma barra fina não-condutora de comprimento L com uma densidade linear de cargas
positivas λ.
Para um elemento dx da barra:
dq = λdx
e produz um potencial dV no ponto P que está a uma distância r = (x2 + d 2 )( 1/2)
dV =
Integrando de x = 0 a x = L
V=
Z
λdx
1
1 dq
=
4πεo r
4πεo (x2 + d 2 ) 12
dV =
Z L
0
λ
V=
4πεo
1
λ
dx
4πεo (x2 + d 2 ) 12
Z L
0
7
dx
1
(x2 + d 2 ) 2
Tabela:
Z
p
dx
√
= ln(x + x2 + a2 )
x2 + a2
iL
λ h
ln(x + (x2 + a2 )1/2 )
V=
4πεo
0
h
i
λ
ln(L + (L2 + d 2 )1/2 ) − ln d
V=
4πεo
Usando a identidade ln A − ln B = ln(A/B)
#
"
L + (L2 + d 2 )1/2
λ
ln
V=
4πεo
d
10
Cálculo do Campo Elétrico a Partir do Potencial
Suponhaque uma carga de prova positiva qo sofra um deslocamento d~s de uma seperfície equipotencial para a superfície vizinha.
O trabalho realizado pelo campo sobre qo é −qo dV
−qo dV = qo E(cos θ)ds
E(cos θ) = −
dV
ds
E cos θ é a componente ~
E na direção de d~s, então:
Es = −
∂V
∂s
A derivada parcial mostra que a variação de V é ao longo de um certo eixo. Generalizando:
Ex = −
∂V
∂V
∂V
, Ey = − , Ez = −
∂x
∂y
∂z
No caso de campos uniformes:
E =−
8
∆V
∆s