ELETROMAGNETISMO I
5
34
O GRADIENTE DO POTENCIAL E A
ENERGIA NO CAMPO ELETROSTÁTICO
5.1 - O GRADIENTE DO POTENCIAL
Vimos no capítulo 4 que a expressão obtida para o cálculo da diferença de potencial entre dois
pontos, um final a e outro inicial b é dada por uma integral de linha do tipo:
a
r r
Vab = Va − Vb = − ∫ E ⋅ dL ( V)
(5.1)
b
r
r
Se o caminho incremental escolhido for dado pelo vetor ∆L em que o campo elétrico E é
admitido constante, podemos escrever que ao longo deste caminho retilíneo teremos:
r r
∆V = − E ⋅ ∆L (V)
r
(5.2)
r
Se os vetores do campo elétrico E e do incremento ∆L do caminho formam entre si um ângulo
genérico θ, então o produto escalar fica assim expresso:
r r
E ⋅ ∆L = E∆L cos θ (V)
(5.3)
Desta forma, a diferença de potencial ∆V é dada por:
∆V = − E∆L cos θ (V )
(5.4)
r
Assim, uma variação do potencial em relação ao caminho ∆L pode ser escrita como
∆V
= − E cos θ (V / m)
∆L
(5.5)
r
Passando ao limite do mínimo ∆L obtemos a expressão da derivada direcional dos potenciais
onde:
dV
= − E cos θ (V / m)
dL
(5.6)
Uma análise na expressão acima nos mostra que esta derivada direcional é máxima quando o
cos θ = – 1. Daí
dV
dL
= E (V / m)
(5.7)
max
Tendo o ângulo máximo θ = π e lo indicado na equação (5.7), podemos então concluir que:
•
A magnitude do campo elétrico é dada pela máxima taxa de variação do potencial com a
distância.
•
Este valor máximo é obtido quando a direção do caminho incremental for oposta à direção
r
dada pelo campo elétrico E .
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ELETROMAGNETISMO I
35
Pelo ilustrado na figura 5.1, vamos partir do ponto P localizado na superfície equipotencial
V(x, y, z) = c1 com destino à superfície equipotencial V(x,y,z) = c2, maior do que c1. A maior taxa
de variação do campo escalar V ocorrerá então na direção crescente dos potenciais, numa
direção orientada da esquerda para a direita e debaixo para cima.
r
De acordo com o exposto na equação (5.6), a direção do vetor E será então para a
esquerda e para baixo, oposto assim à maior variação do campo potencial V.
z
V(x,y,z) = c2>c1
∇V
P
dr
V(x,y,z) = c1
y
x
Figura 5.1 Gradiente dos potenciais em V (x, y, z).
Definindo um vetor unitário â n como o versor normal a cada superfície equipotencial e
orientado na direção crescente dos potenciais escalares, o vetor campo elétrico fica então definido:
r
dV
E=−
dL
max
â n (V / m)
(5.8)
Assim sendo, a derivada direcional máxima pode ser escrita como:
dV
dL
=
max
dV
dN
(5.9)
Com isto, o vetor do campo elétrico pode então ser descrito como:
r
dV
E=−
â n (V / m)
dN
(5.10)
A operação (dV dN ). â n é conhecida como gradiente dos potenciais V. Esta operação
vetorial não aparece apenas no caso dos potenciais elétricos, mas também na hidráulica, na
termodinâmica, no magnetismo, na topografia, etc. Empregando este novo conceito, podemos
escrever que:
r
E = − grad V
(5.11)
Observemos aqui que o gradiente é uma operação vetorial realizada sobre um escalar cujo
resultado é um vetor. Você também já deve ter notado que o vetor intensidade de campo elétrico está
sendo agora expresso em volts/metro no Sistema Internacional de Unidades.
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ELETROMAGNETISMO I
36
A expressão 5.11, da forma como está colocada ainda nos parece sem muita utilidade. Vamos
agora encontrar uma maneira de escrever o vetor do campo elétrico em termos de derivadas parciais
do potencial elétrico. Em coordenadas cartesianas podemos escrever o diferencial de potencial dV
como sendo:
dV =
∂V
∂V
∂V
.dx +
.dy +
.dz
∂x
∂y
∂z
(5.12)
Por outro lado, a equação (5.2) passada ao limite fornece:
r r
dV = − E ⋅ dL = − E x dx − E y dy − E z dz
(5.13)
r
Igualando as equações (5.12) e (5.13) vemos que cada componente do vetor E será dada por:
∂V
∂x
∂V
E y =−
∂y
∂V
E z =−
∂z
E x =−
(5.14)
onde:
r
⎛ ∂V
∂V
∂V ⎞ V
â z ⎟⎟
â y +
â x +
E = − ⎜⎜
∂y
∂z
⎝ ∂x
⎠ m
(5.15)
Relembrando a definição do operador vetorial ∇ (nabla) no sistema cartesiano:
∇=
∂
∂
∂
â x +
â y + â z
∂x
∂y
∂z
e aplicando-o sobre o potencial elétrico escalar V, teremos:
∇ V=
∂V
∂V
∂V
â x +
â y +
â z
∂x
∂y
∂z
(5.16)
De acordo com a equação (5.15) e a definição do operador nabla aplicado aos potenciais
escalares temos que
r
E = − ∇ V ( V / m)
(5.17)
Em um sistema de coordenadas esféricas, o gradiente dos potenciais é dado por:
∇V =
∂V
1 ∂V
1 ∂V
.â r +
.â θ +
.â φ
∂r
r ∂θ
rsenθ ∂φ
(5.18)
De forma análoga, em coordenadas cilíndricas,
∇V =
∂V
∂V
1 ∂V
.â r +
.â φ +
.â z
∂r
r ∂φ
∂z
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(5.19)
ELETROMAGNETISMO I
37
Como pode ser visto, o gradiente indica a direção onde uma função escalar possui a maior
variação possível. A título de exemplo, consideremos a subida em um morro onde podemos ter várias
alternativas para chegarmos ao seu cume. Como casos extremos, podemos optar por um caminho
tortuoso em baixa declividade ou pela escalada direta por um caminho o mais inclinado possível. É
fácil ver que esta última opção indica a direção do gradiente dos potenciais gravitacionais, onde suas
variações são as maiores possíveis de um nível a outro.
Exemplo 5.1
Encontrar o campo elétrico devido a uma carga pontual, utilizando o potencial eletrostático.
Solução
O campo elétrico de uma carga pontual possui
apenas a componente radial, em coordenadas
esféricas. Pela eq. (5.18):
r
∂V
E = − ∇V = −
.â r (V / m)
∂r
V=
1 Q
. (V)
4πε0 r
Logo:
∂V
1 Q
=−
. ( V / m)
4πε0 r 2
∂r
Sabe-se que o potencial eletrostático em um
ponto distante r m da carga pontual é:
r
1 Q
E=
. .â r (V / m)
4πε 0 r 2 .
Exemplo 5.2
Dado V = (x − 2 ) .(y + 2 ) .(z −1) V encontre na origem:
r
a) – O campo elétrico E ,
dV
b) – A derivada direcional
,
dN
c) – O versor â n .
2
2
3
Solução
a) -
r
E = − ∇V
dV
é a magnitude do campo elétrico.
dN
( V / m)
r
)
E = − 2.(x− 2)(
. y + 2)2 .(z − 1)3 .a x −
)
2.(x − 2)2 .(y + 2)(
. z − 1)3 a y −
)
3.(x − 2)2 .(y + 2)2 .(z − 1)2 a z
r
E ( 0,0,0) = − 16. a$ x + 16. a$ y − 48. a$ z
r
E ( 0,0,0) = − 16(a$ x − a$ y + 3a$ z )
b) -
Portanto na origem:
dV
= 16 1 + 1 + 9 = 53,1
dN
c) -
( V / m)
( V / m)
r
dV
E = −
. a$ n
dN
(
( V / m)
( V / m)
)
− 16 â x − â y + 3â z = − 53,1.â n
)
(
a n = 0,301(â x − â y + 3â z )
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ELETROMAGNETISMO I
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5.2 - DENSIDADE DE ENERGIA NO CAMPO ELETROSTÁTICO
Suponhamos a existência de n cargas, Q1, Q2,..., Qn, em princípio positivas e localizadas no
infinito conforme pode ser visto na figura 5.2. Imaginemos agora uma região qualquer totalmente
r
desprovida de campo elétrico ( E = 0). Nestas condições, se desejarmos trazer a carga Q1 de um
r
ponto 1 para essa região, o trabalho contra o campo será nulo, pois E = 0.
Q1
infinito
Q2
1
Q3
2
3
4
n
Q4
Qn
Q1
Q2
Q3
Q4
Qn
Região com E = 0
Figura 5.2 Sistema de cargas.
Em seguida, vamos trazer a carga Q2 do infinito para um ponto próximo à carga Q1. A fonte
externa deverá então realizar um trabalho, devido agora à presença da carga Q1, dado por:
W2 = Q2 . V2 ,1 (J )
(5.20)
A notação para V2 ,1 expressa o potencial existente na nova posição da carga Q2, devido ao
campo criado pela presença da carga Q1 nas suas proximidades.
Se a carga for mantida nessa posição a energia dispendida, pelo princípio da conservação de
energia, se transforma em energia potencial. Uma vez retirada a força que mantem a carga nessa
posição, ela será acelerada para longe de sua posição, adquirindo energia cinética, portanto
realizando trabalho.
Voltando à nossa tarefa de mover cargas do infinito à região em questão, ao trazer a carga Q3
da posição 3, o trabalho realizado será agora contra a ação do campo elétrico resultante criado pelas
cargas Q1 e Q2, já dispostas na vizinhança. Logo:
W3 = Q 3 .V3,1 + Q 3 .V3, 2 ( J )
(5.21)
onde:
V3,1 = potencial em Q3 devido à carga Q1.
V3,2 = potencial em Q3 devido à carga Q2.
Expandindo o nosso raciocínio, o trabalho para mover as n cargas será então aquele realizado
contra a presença das (n – 1) cargas já presentes. Daí:
WE = Q 2 .V2 ,1 +Q 3 .V3,1 +Q 3 .V3, 2 +... +Q n .Vn ,1 +... +Q n .Vn ,n −1 ( J )
(5.22)
WE representa a energia potencial total armazenada no campo elétrico. Tomemos agora um
termo qualquer da equação acima, por exemplo:
Q 3 .V3,1 = Q 3 .
Q3
Q1
= Q1 .
= Q1 .V1,3
4πε 0 R 13
4πε 0 R 31
Pela notação apresentada, V1,3 é então o potencial na carga Q1 devido à carga Q3.
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(5.23)
ELETROMAGNETISMO I
39
Assim, a equação (5.22) pode ser reescrita reciprocamente como:
WE = Q1 .V1, 2 +Q1 .V1,3 +..+ Q1 .V1,n +Q 2 .V2,3 +Q 2 .V2, 4 +..+Q 2 .V2,n + ...+Q n −1 .Vn −1,n
(5.24)
Adicionando esta expressão à equação (5.22) temos o dobro da energia armazenada onde:
2WE = Q1 (V1, 2 +V1,3 +...+V1,n )+Q 2 (V2,1 +V2,3 +...+V2,n )+
...+Q n (Vn ,1 +Vn , 2 +...+Vn ,n −1 )
(5.25)
Cada soma entre parêntesis representa o potencial resultante em cada ponto, devido a todas
as cargas exceto aquela que está no próprio ponto. Em uma notação mais simplificada, o potencial
no local da carga Q1 será dado por:
V1,2 + V1,3 + ... + V1, n = V1
(5.26)
Assim, estendendo o raciocínio para todas as cargas do sistema teremos por (5.25) que:
WE =
1
(Q1 V1 +Q 2 V2 +...+Q n Vn ) (J)
2
(5.27)
1 n
∑ Q i Vi (J)
2 i =1
(5.28)
ou ainda:
WE =
em que cada
Vi =
n
∑ Vi, j (V)
(5.29)
j=1, j≠i
Substituindo cada carga pontual pela densidade volumétrica de carga ρ multiplicada pelo
volume infinitesimal ocupado dv, temos que:
WE =
1
ρVdv ( J )
2 ∫vol
(5.30)
r
Aplicando o teorema da divergência e substituindo ρ por ∇ ⋅ D , podemos escrever:
WE =
1
2
∫vol (∇ ⋅ D )Vdv
r
(J)
(5.31)
r
Entretanto, a seguinte identidade (vetorial) é válida para qualquer função vetorial D :
( ) (
)
r
r r
∇ ⋅ VD = V ∇ ⋅ D + D ⋅ (∇V )
(5.32)
Portanto:
WE =
1
2
[∫ ∇ ⋅ (VDr )dv − ∫ Dr ⋅ (∇V )dv ] (J)
v
v
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(5.33)
ELETROMAGNETISMO I
40
Esta expressão merece algumas considerações. A primeira integral de volume da equação
acima pode ser substituída pela integral de uma superfície fechada recorrendo-se ao teorema da
divergência. Assim,
WE =
( )
r 1
r
r
1
VD ⋅ dS − ∫ D ⋅ (∇V )dv (J )
∫
2 s
2 vol
(5.34)
A equação (5.33) é uma integral de volume. A única restrição imposta é que este volume
contenha toda a carga considerada, conforme nossa hipótese inicial. Desta forma, nada nos impede
de considerar este volume como sendo aquele preenchido por todo o universo, onde a soma das
cargas resulta obviamente nula. Portanto, o potencial V na superfície que envolve este volume será
r
nulo e a primeira integral torna-se igual a zero. Por outro lado, sabemos que ∇V =− E . Portanto:
WE =
(
)
r r
1
1
D ⋅ E dv = ∫ ε 0 E 2 dv (J )
∫
2 vol
2 vol
(5.35)
Derivando a equação acima em relação ao volume teremos:
dWE 1
1
= ε0 E 2 =
D 2 (J / m 3 )
dv 2
2 ε0
(5.36)
que representa a densidade de energia armazenada no campo elétrico.
Exemplo 5. 3
Calcular a energia armazenada em uma seção de um capacitor co-axial de L m de comprimento, raio
interno a m e externo b m.
Solução
A expressão para o campo elétrico no interior
do capacitor é:
r a.ρ
E = s â r (V / m)
ε 0 .r
1 L b 2 π a 2 .ρ 2
WE = ∫ ∫ ∫ ε 0 2 2s r dφ dr dz ( J )
2 0 a 0
ε 0 .r
WE = ∫
L b 2π
0
∫a ∫0
a 2 .ρ s2
1
WE = .L 2π
2
ε0
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b
∫a
a 2 ρ s2
dφ dr dz
ε 0 .r
dr π.L.a 2 ρ s2
b
ln ( J )
=
r
a
ε0
ELETROMAGNETISMO I
41
EXERCÍCIOS
1)
O potencial elétrico em uma região do espaço é dado por V (x,y,z) = A (x2 – 3 y2 + z2) volts,
onde A é uma constante. Sabe-se que o trabalho realizado pelo campo elétrico quando uma
carga de 1,50 µC é deslocada do ponto (0; 0; 0,25 m) até a origem é igual a 6,00 x 10-5 joules.
Deduza uma expressão para o campo elétrico nesta região.
2)
Uma descarga atmosférica provoca sobretensões no solo, determinadas por superfícies
equipotenciais decrescentes a partir do ponto de queda da descarga para a terra. A aplicação
do método das imagens apresenta estas equipotenciais na forma de elipsóides de revolução,
sendo uma delas definida com 500 V na superfície 9 x2 + 9 y2 + 2 z2 = 72. Determine o campo
elétrico no ponto P (2; 2; 0) metros, dado que sua magnitude é de 100 V/m. Até que nível
abaixo do solo, este potencial de 500 V se faz presente?
3)
A intersecção de uma superfície equipotencial com o plano x = 3 m forma uma linha que no
ponto (3, 2, 3) m tem a direção do vetor ( 4â y − 3â z ) m. Se a máxima taxa de variação do
potencial é de 500 V/m, com Ex = 0, determine o vetor do campo elétrico neste ponto.
4)
Calcule a energia armazenada por cargas pontuais idênticas de 4 nC situadas nos vértices de
um cubo com 1 m de aresta imerso no vácuo.
5)
Dois semiplanos condutores, pouco espessos, em φ = 0 e φ = π/6, acham-se isolados entre si
ao longo do eixo z. A função potencial elétrica é V = (– 60 φ / π) volts para φ entre 0 e π/6.
Determine a energia armazenada entre estes semiplanos delimitando uma região dentro de
uma distância radial r entre 0,1 m e 0,6 m, no eixo z entre 0 e 1 m, no espaço livre.
6)
Um capacitor de placas paralelas com área A separadas por uma distância d tendo um meio
dielétrico de permissividade ε0, com capacitância C = ε0 A / d, apresenta uma diferença de
potencial constante V aplicada entre as placas. Pede-se a energia armazenada no campo
elétrico, desprezando o efeito das bordas.
7)
Um capacitor plano de placas paralelas quadradas com 1 m de lado apresenta uma distância
de 2 cm entre os condutores e uma diferença de potencial de 200V. Calcule a energia
armazenada pelo campo elétrico estabelecido quando o meio dielétrico entre as armaduras é o
vácuo, isto é, quando ε = ε0.
8)
Determine a energia armazenada por um capacitor plano com placas quadradas de 1 m de
lado. Uma das placas encontra-se no plano horizontal e está separada da outra por uma
distância de 2 cm numa extremidade e 2,2 cm na outra, ambas imersas no vácuo, sob uma
tensão aplicada de 200V. Despreze o efeito das bordas nas linhas do campo elétrico.
9)
Uma casca esférica condutora, de raio a, com centro na origem, apresenta um potencial
elétrico
⎧V0
V=⎨
⎩V0a / r
r≤a
r>a
com a referência zero no infinito. Calcule a energia armazenada que este potencial representa.
10)
A direção da linha formada pela intercessão de uma superfície equipotencial e o plano z = 1 m
no ponto (2, -6,1) m é a do vetor 6âx + 2ây. Se a máxima taxa de variação de V é 500 V/m,
r
com Ez = 0 e com Ex > 0, encontre E
11)
Determine a distribuição volumétrica de cargas que geram um campo potencial V = 5r2 volts.
12)
A porção de um potencial bidimensional (Ez = 0) é mostrada na figura 1 no final deste capítulo.
r
O espaçamento entre as linhas (horizontais e verticais) é de 1 mm. Determine E em
coordenadas cartesianas em a e b.
13)
Quatro cargas idênticas Q = 3 nC são colocadas no vértice de um quadrado de 0.6 m de lado,
uma de cada vez. Calcule a energia do sistema, logo após cada carga ser colocada.
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ELETROMAGNETISMO I
42
r
−r
E = − 5e a . a$ r em coordenadas cilíndricas, calcule a energia
armazenada no volume descrito por r ≤ 2a m, 0 ≤ z 5a m.
14)
Dado o campo elétrico
15)
Dado um potencial definido por V = 3x 2 + 4 y 2 ( V) , calcule a energia armazenada no volume
definido por um cubo de 1 m de aresta, com um dos vértices na origem.
y
x
b
130 V
a
120 V
110 V
100 V
Figura 1 para o problema 12
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140 V