Aula-4
O potencial elétrico
Curso de Física Geral F-328
1º semestre, 2013
F328 – 1S20123
1
Pontos essenciais
• Diferença de potencial ∆V
Pontos no espaço
• Energia potencial elétrica U
Sistema de cargas
r
Ambos dependem de E
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2
Potencial elétrico
Como podemos relacionar a noção de força elétrica
com os conceitos de energia e trabalho?
Definindo a
energia potencial elétrica
(Força elétrica conservativa)
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3
Energia potencial (U)
Gravitacional vs Eletrostático
(Campos uniformes)
yi
yf
r
• Campo g
r
r
• Força: Fg = mg
r
• Campo E
r
r
• Força: FE = q0 E
• Energia potencial:
• Energia potencial:
U = mgy
r
• Trabalho realizado por Fg :
y
f
U = q0 Ey
r
• Trabalho
realizado por FE:
y
r r
W = ∫ mg ⋅ ds = − mgh = −(U f − U i ) W =
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y
i
h = y f − yi
r r
∫ q0 E ⋅ ds = − q0 Eh = −(U f − U i )
f
yi
4
Energia potencial elétrica (U)
r r
F (r )
z
f
r
ds
r
rf
C
i
r
ri
y
Q
x
Se a força é devida a uma
distribuição finita de cargas,
r
convém tomar | ri |→ ∞ como a
configuração de referência tal que
Ui = 0
Com isto, podemos definir a
r
função energia potencial U (r ):
r
r
r r
r
U ( r ) = − ∫ q 0 E ⋅ ds
∝
r
Ou seja, U (r ) é o negativo do trabalho realizado pela
força do campo elétrico sobre a partícula com carga q0
r
para trazê-la desde o infinito até r . (Unidade SI: J = Nm)
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5
Potencial elétrico (V)
Definição: energia potencial por unidade de carga
∆U
∆V ≡
q0
U
V≡
q0
• Definição válida em todos os pontos do espaço, havendo carga
ou não neste ponto
• V não depende de q0
• Unidade SI: joule/coulomb = J/C = volt (V)
• Aumenta no sentido oposto das linhas de campo elétrico
r
E
VA > VB
VB
VA
• Analogia: linhas de campo indicam a corrente numa
cachoeira. Quanto mais alto estamos, mais potencial temos.
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Potencial (V) e diferênça de potencial (∆V)
Em função do campo elétrico
Diferença de potencial
r
rf
r v r
∆V = V f − Vi = − ∫ E (r ) ⋅ ds
r
ri
• Entre dois pontos do espaço
r
• s vai de i a f
• Depende unicamente dos pontos
i e f, não do caminho seguido
• Força elétrica conservativa
r
r
Potencial
r v
r
r
V ( r ) = − ∫ E ( r ) ⋅ ds
∝
• Definido para cada ponto do espaço
• O infinito é escolhido como referência
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7
Campo elétrico uniforme
r
rf
a)
r v
r
V f − Vi = − ∫ E (r ) ⋅ ds
b)
rr
EE
r
ri
a) V f − Vi = − Ed
b) V f − Vi = − Ed
r
ds
r
ds
r
ds
(Vf < Vi)
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r
E
r
E
Vf
• Resultado não depende do caminho efetuado
• Portanto, para se calcular ∆V, pode-se sempre
escolher o caminho mais simples
∆V = − Ed
r r
= −E ⋅ s
Vi
(
r r
d || E
)
r
E
i
f
8
Superfícies equipotenciais
Superfícies em que todos os pontos têm o mesmo potencial
r
E
WI , WII ,WIII e WIV = ?
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9
Superfícies equipotenciais
r
As linhas de E são perpendiculares às superfícies equipotenciais.
Por quê?
r
E
Campo uniforme
Carga positiva
Deslocamento ao longo de uma
equipotencial não requer trabalho
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r
E
r
E
Dipolo elétrico
(
r r
E ⋅ ds = 0
)
10
Carga puntiforme (V)
r
rf
r v r
V f − Vi = − ∫ E ( r ) ⋅ ds
r
ri
rf
r
ds
= − ∫ E (r ) dr
r
E
ri
rf
q
r r
1 q 
= −∫
dr

E (r ) =
rˆ
2
2


4πε0 r
4
πε
r
ri
0


1
V (r )
Escolhendo Vi = 0 para ri → ∞ :
V (r ) =
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q
4πε0 r
Carga +
Carga 11
Carga puntiforme (U)
Energia potencial de uma carga q0 ao redor de q
r
ds
r
E
Uq0 ?
1
q0 q
U = q0V =
4πε0 r
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Equivalente ao trabalho executado
por um agente externo para trazer as
duas cargas do infinito até uma
distância r.
12
Sistema de cargas puntiformes (V)
-
+
r r
r − ri
z
r ri
-
r
r
-
r
Vi (r ) =
+
y
qi
r r
4πε 0 | r − ri |
Princípio de superposição: (soma escalar!)
r
V (r ) =
∑
i
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Potencial no ponto P devido
a cada carga:
+
+
x
P
r
Vi (r ) =
∑
i
qi
r r
4πε 0 | r − ri |
13
Sistema de cargas puntiformes (V)
Exemplos
d = 1,3m
q1 = 12 nC
q2 = −24 nC
q3 = 31 nC
q4 = 17 nC
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q = 12 × e
VP = ?
−12 e
VC =
4πε 0 R
r
r
EC = 0
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Sistema de cargas puntiformes (U)
Energia potencial de um sistema de cargas é o trabalho executado
por um agente externo para trazer todas as cargas do infinito até a
configuração desejada.
Pelo princípio de superposição:
V =∑
i
qi
4πε0 ri
U =∑
i< j
qi q j
4πε0 rij
Contar só uma vez cada
par de carga, Uij = Uji
Exemplo
Dois casos possíveis:
• U > 0: cargas livres
• Trabalho para unir
• U < 0: cargas ligadas
• Trabalho para separar
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q1 = q
q2 = −4q
q3 = 2q
10q 2
W =−
4πε0 d
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Dipolo elétrico (r >> d)
r
r
V (r ) = ∑ Vi ( r )
i
qi
=∑
r r
i 4πε0 | r − ri |
=
q
4πε0 r( + )
r >> d ⇒
−
q
4πε0 r( − )
r( − ) − r( + ) ≈ d cos θ
r( − ) r( + ) ≈ r
2
r r
r
p cos θ
p⋅r
V (r ) =
=
2
3
4πε0 r
4πε0 r
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r
p
Momento de dipolo elétrico
r
p = qd
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Distribuição contínua finita de cargas
z
r
dq (r ′)
r
r′
r r
r − r′
P
r
r
r r
dV ( r , r ′)
y
r
1 dq (r ′)
r
V (r ) =
r r
′
4
πε
|
r
−
r
|
0
(V , S ou L )
∫
x
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• V = 0 no infinito
• Válido somente para distribuição finita de cargas
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Exemplos de distribuições finitas e contínuas
de cargas
Linha
Anel
Disco
dq = σ 2πrdr
dq = λdx
d
L
L
V=
λdx
1
∫ 4πε
0
0
x2 + d 2
dV ( P ) =
1
dq
4πε0 a 2 + x 2
dV ( P ) =
V ( x) =
1
 L + L2 + d 2 
λ
V
(
x
)
=
V (d ) =
ln 

4πε0
d
4πε0 

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q
a2 + x2
1
dq
4πε0
r 2 + x2
1
a
4πε0 ∫0
2π rdr
r2 +x2
σ
V ( x )=
( x 2 +a 2 −|x|)
2ε 0
18
Obtenção do campo a partir do potencial
Trabalho sobre q0 ao se deslocar entre
duas equipotenciais:
r r
dW = − q0 dV = q0 E .ds = q0 E cosθ ds
dV
E cos θ = −
ds
r
Como E cos θ é a componente de E
r
na direção de ds :
r
∂V
Es = −
= −∇V ⋅ sˆ
∂s
r
Isto é, a componente de E em qualquer
direção é o negativo da taxa de variação do
potencial com a distância naquela direção
(derivada direcional).
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r
E
r
ds
duas superfícies
equipotenciais
Generalizando:
r
r
E = −∇V
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Obtenção do campo a partir do potencial
Dedução alternativa
r
rf
r v r
V f − Vi = − ∫ E (r ) ⋅ ds
r
ri
r r
dV = − E ⋅ ds
Sejam, em coordenadas cartesianas:
Então:
(1)
r
E = E xiˆ + E y ˆj + E z kˆ
V = V ( x, y , z )
r r
E ⋅ dl = E x dx + E y dy + E z dz
dV =
∂V
∂V
∂V
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
∂V
∂V
∂V
; Ey = −
; Ez = −
Por (1): E x = −
∂x
∂y
∂z
r
∂V ˆ ∂V ˆ ∂V ˆ
Como ∇V =
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
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r
r
E = −∇V
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Campo de um disco uniformemente carregado
Vimos que neste caso:
σ
2
2
V = V ( x) =
( x + R − | x |)
2ε 0
r
r
dV
Então: E = −∇V ⇔ E x = −
dx
r
E
Derivando V , obtemos:
r
x
σ  x

E ( x) =
−

2ε 0  | x |
x2 + R2
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
 xˆ


(resultado já conhecido!)
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Potencial de um condutor isolado
Os pontos dentro e na superfície de um condutor qualquer estão
ao mesmo potencial?
r r
Sim, pois E = 0 dentro do condutor
Consequências para um condutor isolado, carregado ou não :
• O volume é equipotencial
• A superfície é uma equipotencial
r r
E=0
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Condutor esférico
r
E
r r
E =0
Condutor esférico
• Carga Q (na superfície)
• Raio R
r
rf
r r r
Potencial: V f − Vi = − E (r ) ⋅ dr
∫
r
ri
 Q
 4πε r , r > R (fora)
0
V (r) = 
 Q
, r < R (dentro)
 4πε0 R
Campo elétrico:
r
r
E = −∇V
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(ou E r = −
∂V
)
∂r
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Distribuição das cargas em um condutor
Excluindo-se os condutores esféricos, a carga de um condutor não
se distribui uniformemente sobre sua superfície, mas vai depender
do raio de curvatura local.
Duas esferas condutoras carregadas, ligadas
por um fio condutor muito longo, estão ao
mesmo potencial V:
q1
q2
σ
r
1
V=
=
⇔ 1 = 2 ⇔σ ∝
4πε0 r 1 4πε0 r 2 σ 2 r1
r
qi = 4πri 2σ i
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Em pontos onde
o condutor é mais
“pontiagudo”, σ (e,
portanto, E) é maior.
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Descarga corona
Este campo pode ser suficiente intenso para ionizar o ar em volta
da ponta, tornando-o condutor e permitindo uma descarga.
Bobina de alta tensão
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Roda de Wartenberg
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Resumo
• Potencial elétrico em um ponto:
U
V≡
q0
• Diferença de potencial entre dois pontos:
r
rf
r v r
∆V = V f − Vi = − ∫ E (r ) ⋅ ds
r
ri
• As linhas de campo elétrico são perpendiculares às superfícies
equipotenciais e no sentido dos potenciais decrescentes
• Cálculo do campo elétrico a partir do potencial:
r
r
E = −∇V
• Os pontos dentro e na superfície de um condutor em equilíbrio
eletrostático estão no mesmo potencial.
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Lista de exercícios do capítulo 24
Os exercícios sobre Potencial elétrico estão na página da disciplina :
(http://www.ifi.unicamp.br).
Consultar: Graduação
Disciplinas
F 328 Física Geral III
Aulas gravadas:
http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures (Prof. Roversi)
ou
UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin)
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