CVGA
Edézio 1
LISTA 3 DE CVGA - Prof. Edézio
1. Verificar se são coplanares os pontos:
(a) A(1,1,1), B(-2,-1,-3), C(0,2,-2) e D(-1,0,-2);
(b) A(1,0,2), B(-1,0,3), C(2,4,1) e D(-1,-2,2).

 x = 1 − 2t
y = −3 − t
2. Determinar m e n para que o ponto P(3,m,n) pertença à reta s :

z = −4 + t
3. O ponto P(2,y,z) pertence à reta determinada por A(3,-1,4) e B(4,-3,-1). Calcular P.
4. Citar um ponto e um vetor diretor de cada uma das seguintes retas:

{ x+1
{
z−3
 x = 2t
x = 2y
=
y = −1
c)
a)
b)
3
4
z = 3

y = 1
z = 2−t
{
{
y =
3
y = −x
d)
e)
f ) {x = y = z
z = −1
z = 3+x
5. Calcular o valor de m para que as retas abaixo sejam paralelas.

 x = mt
z−1
x+5
y =
4
=
; y=6
r:
e s:

6
2
z = 5 + 3t
6. Sabendo que as retas
{
y = mx + 3
r1 :
z =
x−1

1 + 2t
 x =
y = −1 + 3t
e r2 :

z =
t
são ortogonais, determinar o valor de m.
{
y = mx + 3
é ortogonal à reta determinada pelos pontos A(1,0,m) e
z = x−1
B(-2,2m,2m). Calcule o valor de m.
7. A reta r :
8. Determinar as equações das seguintes retas:
(a) reta que passa por A(1,-2,4) e é paralela ao eixo dos x;
(b) reta que passa por B(3,2,1) e é perpendicular ao plano x0z;
(c) reta que passa por A(2,3,4) e é ortogonal ao mesmo tempo aos eixos dos x e dos y;
−
→ −
→
(d) reta que passa por A(4,-1,2) e tem direção do vetor i − j ;
(e) reta que passa pelos pontos M(2,-3,4) e N(2,-1,3).
→
9. Dado o ponto A(2,3,-4) e o vetor −
v = (1, −2, 3), pede-se:
→
(a) As equações paramétricas da reta r que passa por A e tem a direção do vetor −
v;
(b) Os valores de m e n para que o ponto P(m,5,n) pertença a r;
(c) As equações simétricas da reta s que passa por F(5,2,-4) e é paralela a r.
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Edézio 2
→
10. Dado o ponto A(4,-3,-2) e o vetor −
v = (3, −4, −1) pede-se:
→
(a) As equações simétricas da reta r que passa por A e tem direção do vetor −
v;
(b) As equações paramétricas da reta s que passa por B(1,2,3) e é paralela a r;
(c) O ponto de abscissa 4 na reta s.
11. Encontrar as equações paramétricas da reta que passa por A(3,2,1) e é simultaneamente ortogonal às retas
{
{
x = 3
y = −2x + 1
r:
e s:
z = 1
z = −x − 3
12. Determinar as equações reduzidas, com variável independente x, da reta que passa pelo ponto
−
→
→
−
−
→
→
A(4,0,-3) e tem a direção do vetor −
v =2 i +4j +5k
13. Determinar

 x
y
a) r :

z
{
y
b) r :
z
o ângulo entre as seguintes retas:
= −2 − 2t
=
2t
= 3 − 4t
e
= −2x − 1
=
x+2
e
x
y+6
z−1
=
=
4
2
2
{
x = 2
z+1
y
s:
=
3
−3
s:
Respostas:
1. a) sim; b) não.
2. m = −2 e n = −5.
3. P (2, 1, 9)
4. −
a) →
v = (3, 0, 4) e P (−1, 1, 3)
−
→
d) v = (1, 0, 0) e P (0, 3, −1)
→
b) −
v = (1, 12 , 0) e P (0, 0, 3)
−
→
e) v = (1, −1, 1) e P (0, 0, 3)
→
c) −
v = (2, 0, −1) e P (0, −1, 2)
−
→
f ) v = (1, 1, 1) e P (0, 0, 0)
5. m = 9
6. m = −1
7. m = 1 e m = −
{
a)
{
8.
d)
3
2
y = −2
.
z=4
z=2
x = −y + 3

 x=2+t
y = 3 − 2t
9. a)

z = −4 + 3t
{
b)
x=3
z=1
{
c)
{
e)
x=2
y=3
x=2
y+1
z−3
=
2
−1
b) m = 1 e n = −7 c) x − 5 =
y−2
z+2
=
−2
−1
CVGA

 x = 1 = 3t
x−4
y+3
z+2
y = 2 − 4t
10. a)
=
=
b)

3
−4
−1
z =3−t

 x=3−t
y=2
11.

z =1−t
{
y = 2x − 8
5
12.
z = x − 13
2
13. a) 60o e b) 30o
Edézio 3
c) P (4, −2, 2)