Ministério da Educação
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
Campus Curitiba
Professor Gilmar Bornatto
1. P a ra fa ze r uma ca ixa s e m ta mpa com um único pe da ço de pa pe lã o, utilizou-s e um re tâ ngulo de 16 cm de
la rgura por 30 cm de comprime nto. De ca da um dos qua tro ca ntos de s s e re tâ ngulo fora m re tira dos qua dra dos de
á re a idê ntica e , de pois , fora m dobra da s pa ra cima a s a ba s re s ulta nte s .
De te rmine a me dida do la do do ma ior qua dra do a s e r corta do do pe da ço de pa pe lã o, pa ra que a ca ixa forma da
te nha :
a ) á re a la te ra l de 204 cm£;
b) volume de 600 cm¤.
2. A e xpre s s ã o V(x) = x(16 - 2 x)(24 - 2 x) re pre s e nta o volume e m cm¤ de uma ca ixa na forma de um
pa ra le le pípe do re tâ ngulo re to, e m que x é a a ltura e os la dos da ba s e s ã o 16 - 2x e 24 - 2x.
a ) S e ne nhuma da s a re s ta s da ca ixa pode s e r me nor que 1 cm, de te rmine os va lore s pos s íve is da va riá ve l x.
b) Qua ndo x = 5 cm, o volume da ca ixa é 420 cm¤. Inve s tigue s e e xis te m outros va lore s de x pa ra os qua is o
volume é 420 cm¤. Em ca s o a firma tivo, dê e s s e s va lore s .
3. Da da a e qua çã o polinomia l x¤ - 5x£ + 8x - m = 0, onde m é um pa râ me tro re a l:
a ) Mos tre que ta l e qua çã o te m a o me nos uma ra iz re a l.
b) Obte nha m de modo que 3 s e ja ra iz, e e ncontre a s outra s ra íze s .
4. O produto de dua s da s ra íze s do polinômio p(x) = 2x¤ - mx£ + 4x + 3 é igua l a -1. De te rmina r
a ) o va lor de m.
b) a s ra íze s de p.
5. De te rmine o va lor de k pa ra que os polinômios
f = x¤ - x£ - 5x - 3 e g = x¤ + 2x£ + kx a dmita m e m comum uma ra iz inte ira de multiplicida de 2.
6. Qua l a ma ior ra iz inte ira da e qua çã o
x¥ - 20x¤ + 90x£ + 20x - 91 = 0?
7. Cons ide re a e qua çã o a lgé brica - x¥ + kx¤ - kx£ + kx - 4 = 0, na va riá ve l x, com k Æ C.
a ) De te rmine k = a + bi, com a e b re a is , pa ra que o núme ro comple xo 2i s e ja uma da s ra íze s da e qua çã o.
b) De te rmine toda s a s ra íze s da e qua çã o qua ndo k = 5.
8. Ache toda s a s ra íze s (re a is e comple xa s ) da e qua çã o x§-7x¤-8=0.
9. As trê s ra íze s da e qua çã o x¤ - 3x£ + 12x - q = 0, onde q é um pa râ me tro re a l, forma m uma progre s s ã o
a ritmé tica .
a ) De te rmine q.
b) Utiliza ndo o va lor de q de te rmina do no ite m (a ), e ncontre a s ra íze s (re a is e comple xa s ) da e qua çã o.
TEXTO P ARA A P RÓXIMA QUES TÃO
Na (s ) que s tã o(õe s ) a s e guir e s cre va nos pa rê nte s e s a le tra (V) s e a a firma tiva for ve rda de ira ou (F) s e for fa ls a .
10.
(
(
(
(
(
Cons ide ra ndo-s e a funçã o polinomia l p:IRëIR de finida por p(x)=x¤+x+21 pode mos a firma r que :
) A e qua çã o p(x)=0 nã o te m s oluçã o inte ira .
) O grá fico da funçã o p(x) inte rce pta o e ixo ox e m um ponto de a bcis s a inte ira .
) A e qua çã o p(x) =0 pos s ui uma s oluçã o re a l.
) O grá fico da funçã o p(x) inte rce pta o e ixo ox num ponto de a bcis s a ne ga tiva .
) A e qua çã o p(x) -21 =0 pos s ui e xa ta me nte trê s s oluçõe s re a is .
11. S e x¤ - 2x£ + 5x - 4 = 0 te m uma ra iz x = 1, e ntã o a s outra s dua s ra íze s da e qua çã o s ã o:
a ) comple xa s nã o re a is .
b) ra ciona is .
c) pos itiva s .
d) ne ga tiva s .
e ) re a is de s ina is opos tos .
12. S obre a s ra íze s da e qua çã o 2x¤ - x£ - 2x + 1 = 0, é ve rda de que
a ) ne nhuma de la s é re a l.
b) e xa ta me nte dua s de la s s ã o ne ga tiva s .
c) s ome nte uma de la s é irra ciona l.
d) a s trê s s ã o núme ros inte iros .
e ) pe rte nce m a o inte rva lo [-1, 1].
13. As trê s ra íze s de 9x¤-31x-10=0 s ã o p, q e 2. O va lor de p£+q£ é :
a ) 5/9
b) 10/9
c) 20/9
d) 26/9
e ) 31/9
14. S a be -s e que o produto de dua s ra íze s da e qua çã o a lgé brica 2x¤-x£+kx+4=0 é igua l a 1.
Entã o o va lor de k é :
a ) - 8.
b) - 4.
c) 0.
d) 4.
e ) 8.
15. O produto dos va lore s re a is de x que torna m ve rda de ira a igua lda de 2x¤ + x£ - 8x - 4 = 0 é
a) - 4
b) - 1/2
c) 3/2
d) 2
Professor Gilmar Bornatto
pag.2
16. S e ja
que
a ) todos
b) 4 s ã o
c) 4 nã o
d) 3 s ã o
e) 3 são
S o conjunto de toda s a s ra íze s da e qua çã o 2x§-4x¦+4x-2=0. S obre os e le me ntos de S pode mos a firma r
s ã o núme ros re a is .
núme ros re a is pos itivos .
s ã o núme ros re a is .
núme ros re a is pos itivos e 2 nã o s ã o re a is .
núme ros re a is ne ga tivos .
17. S obre o polinômio p(x) = x¦ - 5x¤ + 4x£ - 3x - 2 pode mos a firma r que
a ) x = 2 nã o é ra iz de p
b) p s ó a dmite ra íze s re a is , s e ndo uma de la s inte ira , dua s ra ciona is e dua s irra ciona is
c) p a dmite uma única ra iz re a l, s e ndo e la uma ra iz inte ira
d) p s ó a dmite ra íze s re a is , s e ndo dua s de la s inte ira s
e ) p a dmite s ome nte 3 ra íze s re a is , s e ndo uma de la s inte ira e dua s irra ciona is
18. S e 3 + 2 i é ra iz da e qua çã o x£ + a x + b = 0 com a e b núme ros re a is , e ntã o a + b va le :
a) 7
b) - 4
c) - 6
d) 19
e) 2
19. Cons ide re a e qua çã o 3x¤ - 2x£ + 12x - 8 = 0, que a dmite uma ra iz igua l a 2i, e m que i é a unida de ima giná ria .
Entã o, pode mos a firma r que a e qua çã o da da a dmite :
a ) uma ra iz ra ciona l no inte rva lo [1/2, 3/4].
b) dua s ra íze s re a is no inte rva lo [1/2, 3/4].
c) uma ra iz re a l irra ciona l no inte rva lo [1/2, 3/4].
d) dua s ra íze s re a is irra ciona is no inte rva lo [1/2, 3/4].
e ) uma ra iz re a l irra ciona l no inte rva lo [3/4, 1].
20. A s oma da s ra íze s da e qua çã o a x¤ + bx£ + cx = 0, onde a , b , c Æ IR e a ·0, te ndo 4i como ra iz é
a) 0
b) 1
c) 2
d) 8i
e ) -8i
21. O polinômio p(x) = kx¤ + x£ + kx + 1 nã o pos s ui ra íze s re a is . Entã o, o va lor de "k" é
a ) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2
Professor Gilmar Bornatto
pag.3
22. S a be -s e que -1 é ra iz do polinômio f=x¤+x£-2x-2.
As de ma is ra íze s de s s e polinômio s ã o núme ros .
a ) irra ciona is .
b) nã o re a is .
c) ra ciona is nã o inte iros .
d) inte iros pos itivos .
e ) inte iros e opos tos e ntre s i.
23. Os ze ros do polinômio a s e guir forma m uma P .A.
p(x) = x¤ - 12x£ + 44x - 48
O conjunto s oluçã o da e qua çã o p(x) = 0 pode s e r de s crito por:
a ) {0, 4, 8}
b) {2, 4, 6}
c) {-1, 4, 9}
d) {-2,- 4,- 6}
24. As me dida s , e m ce ntíme tros , dos la dos de um triâ ngulo re tâ ngulo s ã o da da s pe los núme ros que s ã o ra íze s da
e qua çã o 4x¤-24x£+47x-30=0. Entã o, a á re a de s s e triâ ngulo, e m cm£, é :
a ) 1,5.
b) 0,5.
c) 7,5.
d) 6.
e ) 3.
25.
(
(
(
(
Cons ide re o polinômio P (x) = x§ - 1 e julgue os ite ns a ba ixo:
) O núme ro - 1 é ra iz de P (x).
) As ra íze s comple xa s do polinômio Q(x) = x¥ + x£ + 1 s ã o ta mbé m ra íze s de P (x).
) A s oma de toda s a s ra íze s (re a is e comple xa s ) de P (x) é igua l a ze ro.
) P (x) > 0 pa ra todo núme ro re a l x, com |x| < 1.
26. Os núme ros -1 e 1 s ã o dua s ra íze s do polinômio
P (x) = cx¤ + a x£ + bx + 2c.
A te rce ira ra iz de P (x) é
a) - 3
b) - 2
c) 0
d) 1/2
e) 2
Professor Gilmar Bornatto
pag.4
27. S e ja m
p(x) = a x£ + (a - 15)x + 1 e q(x) = 2x£ - 3x + (1/b)
polinômios com coe ficie nte s re a is .
S a be -s e que e s s e s polinômios pos s ue m a s me s ma s ra íze s .
Entã o, é corre to a firma r que o va lor de a + b é
a ) 3.
b) 6.
c) 9.
d) 12.
28. Cons ide ra ndo a s ra íze s do polinômio p(x) = x¥ + 16, pode -s e a firma r que p(x)
a ) nã o te m ra íze s no conjunto dos núme ros comple xos .
b) te m uma ra iz de multiplicida de 4.
c) te m qua tro ra íze s comple xa s dis tinta s .
d) te m dua s ra íze s dupla s .
e ) te m por grá fico uma curva que troca de conca vida de .
29. S e ndo z e z‚ a s ra íze s nã o re a is da e qua çã o a lgé brica x¤ + 5x£ + 2x + 10 = 0, o produto zz‚ re s ulta e m um
núme ro
a ) na tura l.
b) inte iro ne ga tivo.
c) ra ciona l nã o inte iro.
d) irra ciona l.
e ) comple xo nã o re a l.
30. S e m, p, mp s ã o a s trê s ra íze s re a is nã o nula s da e qua çã o x¤ + mx£ + mpx + p = 0, a s oma da s ra íze s de s s a
e qua çã o s e rá
a ) 3.
b) 2.
c) 1.
d) 0.
e ) -1.
Professor Gilmar Bornatto
pag.5
GABARITO
1. a ) 3 cm
b) 5 cm
2. a ) 1 ´ x ´ 7,5
b) [15 - Ë(141)]/2
3. a ) Como m é um núme ro re a l, tra ta -s e de uma e qua çã o polinomia l de coe ficie nte s todos re a is . S e ndo a s s im,
pode -s e a firma r, pe lo te ore ma da s ra íze s ima giná ria s , que o núme ro de ra íze s ima giná ria s é P AR.
Como a e qua çã o a dmite , a o todo, trê s ra íze s , porque e la é de gra u 3, conclui-s e que o núme ro de ra íze s re a is é
ÍMP AR. P orta nto a e qua çã o a dmite pe lo me nos uma ra iz re a l.
b) m = 6
As outra s ra íze s s ã o 1 + i e 1 - i.
4. a ) m = 7
b) 3/2; 1 - Ë2 e 1 + Ë2
5. k = 1
6. 13
7. a ) (20/13) + (30/13)i
b) {1, 4, -i, i}
8. V = {2, -1  iË3, -1, 1/2  iË3/2}
9. a ) q = 10
b) 1, 1 - 3i e 1 + 3i
10. V F V V F
11. [A]
12. [E]
13. [D]
14. [A]
15. [D]
16. [D]
17. [E]
18. [A]
19. [A]
20. [A]
21. [C]
22. [A]
23. [B]
24. [A]
25. V V V F
26. [E]
27. [C]
28. [C]
29. [A]
30. [E]
Professor Gilmar Bornatto
pag.6