02) se tal sequência é uma progressão geométrica de
4a
Rascunho
razão 3/4, a soma de
seus termos converge para 1 .
3
PROVA 3 - CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
04) se tal sequência é uma progressão geométrica nãoconstante, satisfazendo, para todo natural n,
16) CORRETA:
MATEMÁTICA
an 2 4(an1 an ) , sua razão é necessariamente 2.
08) se tal sequência é uma progressão aritmética, e dois
Questão 01
termos em posições distintas coincidem, isto é,
existem naturais i z j tais que ai a j , então, sua
Sobre uma sequência infinita de números reais
a1 , a2 , a3 ,!, an ,!, é correto afirmar que,
razão é 0.
16) se tal sequência é uma progressão aritmética, e a
01) se tal sequência é uma progressão geométrica de
soma de seus 2011 primeiros termos é 2011, então,
razão 1/2, a mesma converge para zero.
a1006 1 .
02) se tal sequência é uma progressão geométrica de
4a
razão 3/4, a soma de seus termos converge para 1 .
3
04) se tal sequência é uma progressão geométrica não
constante, satisfazendo, para todo natural n,
an 2 4(an1 an ) , sua razão é necessariamente 2.
MATEMÁTICA
08) se tal sequência é uma progressão aritmética, e dois
termos em posições distintas coincidem, isto é,
existem naturais i z j tais que ai a j , então, sua
razão é 0.
16) se tal sequência é uma progressão aritmética, e a
soma de seus 2011 primeiros termos é 2011, então,
a1006 1 .
Resposta: 29 – Nível Médio
01) CORRETA.
Se a1 ≠ 0 e -1 < q <1 então se n → ∞ → an → 0
Questão
02
02) que
INCORRETA:
Supondo
o nível de uma substância tóxica hipotética
, a2, a3....an
1 uma
no sangue ade
pessoa em Pg/mL, imediatamente após
atingir um pico, começa a decrescer segundo a função
f (t ) 100.(0,8) t , em que t representa o tempo, em horas,
assumindo-se
log 2 0,3 , assinale a(s) alternativa(s)
correta(s).
CORRETA:
01) O04)
tempo
gasto para que a concentração da substância
an+2será
= 4de(a10
- an) para n=1 temos
n+1horas.
seja deSendo
10 Pg/mL
a
=
4(a
a
)
para
n=2
temos
= 4(a3- a
veja
3
2 dessa
1
4
02) A concentração
substância noasangue,
no2),pico,
o
exemplo.
é de 100 Pg/mL.
(5,10,20,40...)
g , que expressa a concentração da
04) A função
substância no sangue, em minutos após atingido o
Então:
100.(0,8)t
.
pico, é g (t )
60= 4.5 = 20
a3 = 4(10 - 5)
08) Após
atingir
a44 =horas
4(20 de
- 10)
= 4.10o =pico,
40 a quantidade da
substância cai pela metade.
16) Após
2 horas de atingir o pico, a concentração da
08) CORRETA.
substância
é de 640 Pg/mL.
a1, a2no
,....sangue
an
a1= a2 coincidem
Razão a2– a1
Então a2– a2 = 0
Questão
02
Supondo que o nível de uma substância tóxica hipotética
no sangue de uma pessoa em Pg/mL, imediatamente após
atingir um pico, começa a decrescer segundo a função
f (t ) 100.(0,8) t , em que t representa o tempo, em horas,
assumindo-se log 2 0,3 , assinale a(s) alternativa(s)
correta(s).
01) O tempo gasto para que a concentração da substância
seja de 10 Pg/mL será de 10 horas.
02) A concentração dessa substância no sangue, no pico,
é de 100 Pg/mL.
04) A função g , que expressa a concentração da
substância no sangue, em minutos após atingido o
100.(0,8)t
.
pico, é g (t )
60
08) Após 4 horas de atingir o pico, a quantidade da
substância cai pela metade.
16) Após 2 horas de atingir o pico, a concentração da
substância no sangue é de 640 Pg/mL.
Resposta: 03 – Nível Fácil
01) CORRETA.
f(t) = 100.(0,8)t
10 = 100(0,8)t
GABARITO
Página 1
GABARITO 1
UEM/CVU
Vestibular de Inverno/2011 – Prova 3
Matemática
2
PROVA 3 - CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
Resposta: 28 – Nível Difícil
log10-1 = t [log8 – log10]
log10-1 = t [log23 - 1]
–1 = t . [3log2 – 1]
–1 = t . [3 . 0,3 – 1] ⇒ t = 10.
01) INCORRETA.
Veja o exemplo:
02) CORRETA.
f(t)=100.(0,8)t
considerando 100 mg/ml.
100=100(0,8)t
Verifique que “g” é injetora e “gof” não é.
(0,8)t=1 ⇒ t = 10.
então:
f(0)=100.(0,8)0
f(0)=100mg/ml
02) INCORRETA.
x ↑ → g ↓ → fog ↑
04) CORRETA.
Veja o exemplo:
04) INCORRETA.
A função correta seria g(t) = 100.(0,8)t.60
08) INCORRETA.
f(4) = 100.(0,8)4
f(4) = 100.0,4096
f(4) = 40,96
16) INCORRETA:
08) CORRETA.
f(z)=100.(0,8)2
f(z)=100.0,64
f(z)=64
Veja o exemplo:
Questão
03
Sejam f e g duas funções cujos domínio e contradomínio
são o conjunto dos números reais, é correto afirmar que,
01) sempre que g é injetora, g D f : \ o \ é injetora.
02) se f é decrescente e g também é decrescente, então,
f D g também é decrescente.
04) se f é crescente, g é decrescente e g ( x) ! 0 para todo
x real, então, f / g é crescente.
08) se f é decrescente e g decrescente, então, f g é
decrescente.
16) se os gráficos de f e de g não interceptam o eixo das
abscissas, então, o gráfico de f  g também não
intercepta o eixo das abscissas.
Página 2
16) CORRETA:
Rascunho
Veja o exemplo:
Concluímos que
(f . g) apresenta raízes não reais.
PROVA 3 - CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
Questão
04
Considere um triângulo equilátero ABC cuja base AB está
apoiada sobre uma reta r e mede L cm. A partir do ponto
B, constrói-se um novo triângulo equilátero BB’C’ cuja
base BB’ também está apoiada na reta r e mede a metade
de AB. Esse processo é novamente repetido a partir do
ponto B’ e assim por diante, gerando uma sequência
infinita de triângulos. Com base nessas informações,
assinale o que for correto.
01) A sequência numérica, formada pelas medidas das
áreas dos triângulos em ordem decrescente, é uma
progressão geométrica de razão 1 .
2
L2 3 cm 2 .
3
04) Para qualquer que seja L ! 0 , a sequência numérica
formada pelas áreas dos triângulos sempre conterá
pelo menos um número inteiro.
08) A sequência numérica, formada pelas medidas das
alturas dos triângulos em ordem decrescente, é uma
progressão aritmética de razão 2.
16) A soma das medidas das alturas é L 3 cm.
04) INCORRETA. Pela soma das áreas
para qualquer L real a área é irracional.
,
08) INCORRETA. A sequência numérica formada
pelas alturas é uma PG de razão .
16) CORRETA.
02) A soma das áreas dos triângulos mede
Resposta: 18 - Nível Médio
01) INCORRETA.
Questão
05
p
q
seja irredutível, e considerando um sistema de
coordenadas cartesianas xOy, o círculo de centro no
§p
·
ponto ¨ , 1 ¸ e raio 1 é chamado de círculo de
¨ q 2q 2 ¸
2q 2
©
¹
Ford e é representado por C[p,q]. Com base no exposto,
assinale o que for correto.
01) A área de C[p,q] é 1 .
16q 4
02) Nenhum círculo de Ford tangencia o eixo das
abscissas.
04) A equação cartesiana da circunferência que delimita
y
C[1,2] pode ser escrita como x 2 y 2 x 1 .
4
4
08) Se dois círculos de Ford, com centros nos pontos M e
N, com M z N , são tangentes no ponto T, então, os
pontos M, N e T são colineares.
UEM/CVU
Inverno/2011
– Prova
3 si.3
e C[1,3]de são
tangentes
entre
16) Os círculos C[1,2]Vestibular
Dados números inteiros p e q de forma que a fração
GABARITO 1
Matemática
Resposta: 28 – Nível Médio
02) CORRETA.
01) INCORRETA.
Questão
cm2
06
as funções definidas por f ( x) 2 1/ x e
g ( x) 1 x 2 cujos domínios são ambos o intervalo ]0,1]
2
da reta real, é correto afirmar que
01) ambas
são funções injetoras.
02)
ambas
funções são decrescentes no intervalo em
Página 3
questão.
04) a imagem da função g corresponde ao intervalo
Sobre
PROVA 3 - CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
02) INCORRETA.
16) CORRETA.
Como a ordenada do centro é igual ao raio,
então todos os cálculos vão tangenciar o eixo
das abscissas.
Questão
p
q
seja irredutível, e considerando um sistema de
coordenadas cartesianas xOy, o círculo de centro no
§p
·
ponto ¨ , 1 ¸ e raio 1 é chamado de círculo de
¨ q 2q 2 ¸
2q 2
©
¹
Ford e é representado por C[p,q]. Com base no exposto,
assinale o que for correto.
01) A área de C[p,q] é 1 .
16q 4
02) Nenhum círculo de Ford tangencia o eixo das
abscissas.
04) A equação cartesiana da circunferência que delimita
y
C[1,2] pode ser escrita como x 2 y 2 x 1 .
4
4
08) Se dois círculos de Ford, com centros nos pontos M e
N, com M z N , são tangentes no ponto T, então, os
pontos M, N e T são colineares.
16) Os círculos C[1,2] e C[1,3] são tangentes entre si.
Dados números inteiros p e q de forma que a fração
04) CORRETA.
05
Se p = 1 e q = 2, então teremos:
08) CORRETA.
Questão
06
as funções definidas por f ( x) 2 1/ x e
g ( x) 1 x 2 cujos domínios são ambos o intervalo ]0,1]
2
da reta real, é correto afirmar que
01) ambas são funções injetoras.
02) ambas funções são decrescentes no intervalo em
questão.
04) a imagem da função g corresponde ao intervalo
]0,1/2].
08) O vértice do gráfico de g é o ponto 1 , 1 .
2 8
16) ( g D f )(1/ 2) ! 1/10.
Sobre
Página 4
Questão
05
PROVA 3 - CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS Rascunho
p
Resposta: 05 – Nível Médio
Dados
números inteiros p e q de forma que a fração
q
CORRETA.
seja 01)
irredutível,
e considerando um sistema de
coordenadas cartesianas xOy, o círculo de centro no
§p
·
ponto ¨ , 1 ¸ e raio 1 é chamado de círculo de
¨ q 2q 2 ¸
2q 2
©
¹
Ford e é representado por C[p,q]. Com base no exposto,
assinale o que for correto.
01) A área de C[p,q] é 1 .
16q 4
02) Nenhum círculo de Ford tangencia o eixo das
abscissas.
04) A equação cartesiana da circunferência que delimita
y
C[1,2] pode ser escrita como x 2 y 2 x 1 .
4
4
08) Se dois círculos de Ford, com centros nos pontos M e
com
São
≠ x2 ⇒ f(xno
) ≠ f(x2) T, então, os
N,
M injetoras
z N , sãoxtangentes
1
1 ponto
pontos M, N e T são colineares.
02)círculos
INCORRETA.
C[1,2] e C[1,3] são tangentes entre si.
16) Os
Ambas são crescentes no intervalo.
04) CORRETA.
Analisando o gráfico acima realmente a
imagem está entre
Questão
06
08) INCORRETA.
Sobre as funções definidas por f ( x) 2 1/ x e
O vértice de
g ( x) 1 x 2 cujos domínios são ambos o intervalo ]0,1]
2
16) INCORRETA:
da reta
real, é correto afirmar que
01) ambas
são funções injetoras.
02) ambas funções são decrescentes no intervalo em
questão.
04) a imagem da função g corresponde ao intervalo
]0,1/2].
08) O vértice do gráfico de g é o ponto 1 , 1 .
2 8
16) ( g D f )(1/ 2) ! 1/10.
Resposta:
01) INCORRETA.
Os divisores N = 25! são:
D(N) = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; ... 25!}
Os divisores primos de N são:
{2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23}
Então temos: 9 divisores primos.
02) CORRETA.
25!=25x24x23x22x21x...x14x13x12x...
x7x6x5x4x3x2x1
Então verificamos que:
1=70
7=71
49=72 (7x14=7x7x2)
343=73 (7x14x21=7x7x2x7x3)
Concluímos que: a soma de todos inteiros
positivos que são potências de 7 e divisores
de N é:
Soma= 1+7+49+343
04) INCORRETA:
Decompondo o número 435 temos:
O número primo 29 não é divisor de N.
08) INCORRETA:
2525 = 25x25x25x25x....2525
25! = 25x24x23x22x....3x2x1
18 – Nível Médio
Então:
Questão
07
Considerando N 25! , assinale o que for correto.
01) Existem 10 números primos distintos que são
divisores de N.
02) A soma de todos os inteiros positivos que são
potências de 7 e divisores de N é igual a 400.
04) 435 é divisor de N.
08) N ! 2525 .
16) N é divisor de 30!.
16) CORRETA:
30! = 30x29x28x27x26x25x....3x2x1
25! = 25x24x23x22x21x20x.....3x2x1
Página 5
GABARITO 1
UEM/CVU
Vestibular de Inverno/2011 – Prova 3
4
PROVA 3 - CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
Questão
08) CORRETA. Rascunho
08
Uma pequena empresa possui em sua linha de produção 4
funcionários que, em conjunto, produzem 800 peças a
cada 5 dias (uma semana útil). Sabendo que quaisquer
dois funcionários produzem, todos os dias, o mesmo
número de peças, assinale a(s) alternativa(s) correta(s).
01) A produção semanal de cada funcionário é de 200
peças.
02) Para conseguir atender a uma encomenda de 1600
peças, em um prazo de 2 dias, será necessário
contratar mais 12 funcionários.
04) Em 4 semanas de trabalho, 2 funcionários produzem
2000 peças.
08) Se cada funcionário ganha um bônus salarial de 10
centavos de real por peça produzida, em um mês em
que trabalhou 22 dias, o bônus é de 88 reais.
16) Se a jornada de trabalho é de 8 horas, é necessário
que cada um trabalhe mais 90 minutos por dia, a fim
de produzir 1000 peças em uma semana útil.
Resposta: 22 – Nível Médio
01) CORRETA.
Questão
09
João foi submetido a uma prova constituída por 10
de múltipla escolha, com 5 alternativas em cada
questões
questão, dentre as quais apenas uma é correta. Das dez
02) INCORRETA.
questões,
João respondeu corretamente às quatro
primeiras. Nas questões de 05 a 08, ficou em dúvida entre
a alternativa correta e uma falsa; na questão 09, ficou em
dúvida entre três alternativas, sendo que uma delas era a
correta; e na questão restante não conseguiu eliminar
nenhuma alternativa. Nas questões em que ficou em
dúvida, assinalou uma das alternativas entre as quais
ficou em dúvida. Considerando que ele escolheu de
maneira
equiprovável essas alternativas, é correto
afirmar que
01) João
pode responder à prova de 120 maneiras
04) INCORRETA:
diferentes.
02) a probabilidade de João errar todas as questões em
que ficou em dúvida entre duas alternativas é de 1/16.
04) a probabilidade de João errar apenas uma dentre as
duas últimas questões é de 7/15.
08) a probabilidade de João acertar apenas as questões
pares, a partir da quarta questão, é maior do que a
probabilidade de acertar apenas as questões ímpares,
a partir da quinta questão (inclusive).
16) a probabilidade de João errar todas as questões, a
partir da quinta (inclusive), é oito vezes a
probabilidade de gabaritar a prova.
Questão
08
Uma pequena empresa possui em sua linha de produção 4
funcionários que, em conjunto, produzem 800 peças a
cada 5 dias (uma semana útil). Sabendo que quaisquer
dois funcionários produzem, todos os dias, o mesmo
número
peças, assinale a(s) alternativa(s) correta(s).
16)de
INCORRETA:
01) A produção semanal de cada funcionário é de 200
peças.
02) Para conseguir atender a uma encomenda de 1600
peças, em um prazo de 2 dias, será necessário
contratar mais 12 funcionários.
04) Em 4 semanas de trabalho, 2 funcionários produzem
2000 peças.
08) Se
cada funcionário ganha um bônus salarial de 10
centavos de real por peça produzida, em um mês em
que
22 dias,
o bônus édeverão
de 88 reais.
trabalhou
Os quatro
funcionários
trabalhar 10
16) Se a jornada
trabalho
horas ade
mais,
logo:é de 8 horas, é necessário
que
trabalhe
mais 90 minutos por dia, a fim
cada
10hum
x 60
= 600min
de produzir 1000 peças em uma semana útil.
Então, cada funcionário deverá trabalhar a
mais:
Questão
09
João foi submetido a uma prova constituída por 10
questões de múltipla escolha, com 5 alternativas em cada
questão, dentre as quais apenas uma é correta. Das dez
questões, João respondeu corretamente às quatro
primeiras. Nas questões de 05 a 08, ficou em dúvida entre
a alternativa correta e uma falsa; na questão 09, ficou em
dúvida entre três alternativas, sendo que uma delas era a
correta; e na questão restante não conseguiu eliminar
nenhuma alternativa. Nas questões em que ficou em
dúvida, assinalou uma das alternativas entre as quais
ficou em dúvida. Considerando que ele escolheu de
maneira equiprovável essas alternativas, é correto
afirmar que
01) João pode responder à prova de 120 maneiras
diferentes.
02) a probabilidade de João errar todas as questões em
que ficou em dúvida entre duas alternativas é de 1/16.
04) a probabilidade de João errar apenas uma dentre as
duas últimas questões é de 7/15.
08) a probabilidade de João acertar apenas as questões
pares, a partir da quarta questão, é maior do que a
probabilidade de acertar apenas as questões ímpares,
a partir da quinta questão (inclusive).
16) a probabilidade de João errar todas as questões, a
Página 6 partir da quinta (inclusive), é oito vezes a
probabilidade de gabaritar a prova.
duas últimas questões é de 7/15.
08) a probabilidade de João acertar apenas as questões
pares, a partir da quarta questão,
é maior
que a
PROVA
3 -do
CONHECIMENTOS
ESPECÍFICOS
probabilidade de acertar apenas as questões ímpares,
a partir da quinta questão (inclusive).
16) a probabilidade de João errar todas as questões, a
Questão 10
partir da quinta (inclusive), é oito vezes a
probabilidade de gabaritar a prova.
O pregão da bolsa de valores de São Paulo se inicia às
10 h e é encerrado às 17 h. Supondo que em um dia de
pregão o índice IBOVESPA (em pontos) obedeceu à
Resposta: 18 – Nível Médio
função
I (t ) 200t 2 800t 68000 , em que t
01) CORRETA.
representa horas decorridas a partir da abertura do
pregão, é correto afirmar que
Existe 510 maneiras de João responder a
01) o pregão se encerrou com queda entre 3% e 4%.
prova, logo a proposição é correta pois João
02) a diferença entre oVestibular
valor máximo do UEM/CVU
índice
no dia e o
– Prova 3
5
GABARITOvalor
1 inicial foi maior dode Inverno/2011
pode responder de 120 maneiras.
que 1%Matemática
sobre o índice
inicial.
02) INCORRETA.
04) às 14 h o índice IBOVESPA ficou igual ao índice da
abertura do pregão.
São as questões de 5 à 10.
08) ao meio-dia o índice atingiu seu valor máximo.
16) o valor mínimo do índice ao longo do pregão foi de
65000 pontos.
Resposta: 14 – Nível Fácil
04) INCORRETA.
01) INCORRETA.
I(t) = - 200t2 + 800t + 68000
Questão
08) INCORRETA.
16) CORRETA.
Probabilidade de gabaritar todas as questões
é (P1)
Possibilidade de errar todas as questões é
(P2):
11
a) 10h → t = 0
O GPS(global
sattelite) é um sistema
I(0) position
= 68000 by
(Início)
computadorizado
de
posicionamento
no solo, cada vez
b) 17h → t = 7
mais utilizado I(7)
nos=veículos,
2por meio do qual nos são
- 200 . 7 + 800 . 7 + 68000
enviadas
via satélite,
que nos localizam e
informações
I(7) = 63800
(Fechamento)
permitem localizar os destinos desejados em uma
pequena
tela
gráfica. Em um determinado modelo de
Então:
GPS, uma das opções de tela é a localização através de
68000 – 100%
um sistema de coordenadas cartesianas, com medidas em
4200 – x
centímetros, em que a origem O (0,0) representa
ponto
x @ importante
6%
algum
escolhido pelo usuário. A partir
dessas informações, considerando que um motorista que
CORRETA.
esteja02)
viajando
a uma velocidade constante de 100 km/h
se encontra no ponto P (3, 4) e deseja atingir a
origem O e que, nesse momento, o GPS indica que esse
motorista atingirá o destino em cinco horas e usando
S 3 , assinale o que for correto.
HJJG
01) A equação da reta OP é y 3 x .
4
02) A distância entre o lugar em que se encontra o
motorista e o seu destino é de 500 km.
04) Se após 3 horas de viagem, o motorista parar por 30
minutos para descansar e quiser manter o tempo de
viagem
inalterado, ele deve continuar sua viagem a,
aproximadamente, 133 km/h.
08) A equação da circunferência em que o segmento OP
04) CORRETA.
é um diâmetro é dada por ( x 2) 2 ( y 3 ) 2 25 .
2
4
I(4) = - 200 . 42 + 800 . 4 + 68000
16) Se a partir de P o motorista dirigisse exatamente
sobre a circunferência em que o segmento OP é um
I(4) = 68000
diâmetro, ele percorreria 750 km.
Página 7
01) o pregão se encerrou com queda entre 3% e 4%.
02) a diferença entre o valor máximo do índice no dia e o
valor inicial foi maior do quePROVA
1% sobre
o índice
3 - CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
inicial.
04) às 14 h o índice IBOVESPA ficou igual ao índice da
08) CORRETA.
04) CORRETA.
abertura
do pregão.
08) ao
índiceéatingiu
seucomo
valor máximo.
meio-dia
I(2) = o68800
máximo
apresentamos
200 = v . 1,5
16) o valornomínimo
do
índice
ao
longo
do pregão foi de
item 02.
65000 pontos.
16) INCORRETA.
V = 133,33Km/h
O valor mínimo será no fechamento do pregão,
08) INCORRETA.
ou seja:
I(7) = 63800
Questão
11
O GPS (global position by sattelite) é um sistema
computadorizado de posicionamento no solo, cada vez
mais utilizado nos veículos, por meio do qual nos são
enviadas informações via satélite, que nos localizam e
permitem localizar os destinos desejados em uma
pequena tela gráfica. Em um determinado modelo de
GPS, uma das opções de tela é a localização através de
um sistema de coordenadas cartesianas, com medidas em
centímetros, em que a origem O (0,0) representa
algum ponto importante escolhido pelo usuário. A partir
dessas informações, considerando que um motorista que
esteja viajando a uma velocidade constante de 100 km/h
se encontra no ponto P (3, 4) e deseja atingir a
origem O e que, nesse momento, o GPS indica que esse
motorista atingirá o destino em cinco horas e usando
S 3 , assinale o que for correto.
HJJG
01) A equação da reta OP é y 3 x .
4
02) A distância entre o lugar em que se encontra o
motorista e o seu destino é de 500 km.
04) Se após 3 horas de viagem, o motorista parar por 30
minutos para descansar e quiser manter o tempo de
viagem inalterado, ele deve continuar sua viagem a,
aproximadamente, 133 km/h.
08) A equação da circunferência em que o segmento OP
é um diâmetro é dada por ( x 2) 2 ( y 3 ) 2 25 .
2
4
16) Se a partir de P o motorista dirigisse exatamente
sobre a circunferência em que o segmento OP é um
diâmetro, ele percorreria 750 km.
Resposta: 22 – Nível Médio
01) INCORRETA.
Se P(-3, 4) então:
02) CORRETA.
=v.t
= 100 x 5h
= 500Km
16) CORRETA.
Questão
12
Uma caixa com tampa possui a forma de um cilindro
circular reto, com altura de 10 cm e a base com diâmetro
medindo o triplo da altura. Essa caixa será preenchida
com esferas idênticas que possuem o maior volume
possível e de modo que uma das esferas tangencie o
centro do disco que forma o fundo da caixa. Com base
nessas informações, assinale a(s) alternativa(s)
UEM/CVU
correta(s).
Vestibular de Inverno/2011 – Prova 3
6
GABARITO
1
01) O volume da caixa é de 2250S cm 3 . Matemática
02) O volume de cada esfera é de 500 S cm 3 .
3
04) A caixa conterá 13 esferas.
08) O volume livre restante na caixa, após a colocação
das esferas, é de 3250 S cm 3 .
3
16) Seja C a esfera no centro da caixa e C1 uma esfera
Página 8
tangente a C, o volume da região interna da caixa
determinada por dois planos, ambos tangentes a
3
04) A caixa conterá 13 esferas.
08) O volume livre restante na caixa, após a colocação
PROVA 3 - CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
das esferas, é de 3250 S cm 3 .
3
16) Seja C a esfera no centro da caixa e C1 uma esfera
Questão 13
tangente a C, o volume da região interna da caixa
determinada por dois planos, ambos tangentes a
C1 , que contenham o eixo do cilindro (caixa) é de
750S cm 3 .
' {w x iy | x, y  \ e x 2 y 2 1} , ou
conjunto dos pontos interiores do disco
equação x 2 y 2 1 e que, para medir a
w  ' até a origem O (0,0) , usa-se
Resposta: 11 – Nível Difícil
01) Correta.
Vcilindro = pr2h = p.152.10 = p.225.10 = 2250p
Questão
Considerando H e ' os seguintes subconjuntos do
plano complexo: H {z a ib | a, b  \ e b ! 0} , ou
H
é
o
semiplano
superior,
e
seja,
13
02) Correta.
Considerando H e ' os seguintes subconjuntos do
plano complexo: H {z a ib | a, b  \ e b ! 0} , ou
H
é
o
semiplano
superior,
e
seja,
' {w x iy | x, y  \ e x 2 y 2 1} , ou seja, ' é o
conjunto dos pontos interiores do disco unitário de
equação
x 2 y 2 1 e que, para medir a distância de
w  ' até a origem O (0,0) , usa-se a fórmula
04) Incorreta.
d ( w,O) Olhando
log 2 1 wde, écima
correto
paraafirmar
baixo oque,
cilindro, temos
1 w
a seguinte figura.
01) se w 3  ' , então, sua distância até a origem
5
mede 4.
02) se z 1 i  H , então, z i  ' .
zi
1
 ' , então, não existe z  H tal que
04) se w
2
w z i .
zi
tem-se
que
08) para
toda
constante
k !0,
seja, ' é o
unitário de
distância de
a fórmula
d ( w, O) log 2 1 w , é correto afirmar que,
1 w
01) se w 3  ' , então, sua distância até a origem
5
mede 4.
02) se z 1 i  H , então, z i  ' .
zi
1
 ' , então, não existe z  H tal que
04) se w
2
w z i .
zi
tem-se
que
08) para
toda
constante
k !0,
k
w 2k 1  ' .
2 1
16) para toda constante k ! 0 , existe w  ' , com w real,
tal que d ( w, O ) k .
Resposta: 26 – Nível Difícil
GABARITO
2k 1  ' .
2k 1
16) para toda constante k ! 0 , existe w  ' , com w real,
tal que d ( w, O ) k .
w
08) Correta.
Vcilindro – 7 . volume da esfera
GABARITO 1
16) Incorreta. O plano vai dividir em 6 partes
o volume do cilindro
Página 9
UEM/CVU
Vestibular de Inverno/2011 – Prova 3
Matemática
7
w = x + yi ⇒ pontos interiores a circunferência
x2 + y2 = 1
Distância de w ∈ D até (0, 0)
PROVA 3 - CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
01) Incorreta.
Questão
14
Representando por \ o conjunto dos números reais, _ o
conjunto dos números racionais, ] o conjunto dos
números inteiros e ` o conjunto dos números naturais
sem o zero e considerando \ como conjunto universo,
assinale a(s) alternativa(s) correta(s).
01) 0  (]  _) (]  _).
02) Correta.
04) 2  (\  _) (\  _).
02) 0,333...  [(]  _) (]  _)]C .
08) ( \  _) C ] contém todos os números primos.
16) 0  (_  ` ) C  (] ` ) C .
Resposta: 21 – Nível Médio
01) CORRETA.
Questão
04) Incorreta.
15
02) sistema
INCORRETA.
Em um
de coordenadas cartesianas xOy, em que
ABCD seja o quadrilátero determinado pelos vértices e
pelos pontos de interseções das parábolas y
08) Correta.
16) Incorreta.
2 x 2 2 e
x 2 1 ; seja S {r1 , r2 , r3 , r4 } o conjunto das retas
distintas determinadas pelos pontos consecutivos de
ABCD , é correto afirmar que
01) ABCD é um retângulo.
02) S contém retas paralelas.
04) a área de ABCD mede 3 u.a..
08) a área da região plana determinada pela interseção
das parábolas é maior que 3 u.a. e é menor que 6 u.a..
16) o eixo das abscissas divide o quadrilátero ABCD em
duas regiões de áreas iguais.
y
04) CORRETA.
08) INCORRETA.
Questão
16
Considerando
a
função
f
definida
por
f ( x) cos(2 x) cos(4 x) e seja S o conjunto das raízes
S ^CORRETA.
x  \ f ( x)
de f, 16)
0` , é correto afirmar que
01) o valor máximo de f é 2, e existem infinitos pontos do
domínio de f que atingem esse valor máximo.
02) S é um conjunto infinito.
04) existem
cinco raízes de f no intervalo [0, S] .
08) existem raízes de f da forma x (2k 1)S , com
k ] .
16) existem raízes de f da forma x 2 k S , com k  ] .
Página 10
PROVA 3 - CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
Questão
O vértice dessa parábola é V2(0; -1)
15
Em um sistema de coordenadas cartesianas xOy, em que
ABCD seja o quadrilátero determinado pelos vértices e
pelos pontos de interseções das parábolas y
Veja o gráfico abaixo
2 x 2 2 e
x 2 1 ; seja S {r1 , r2 , r3 , r4 } o conjunto das retas
distintas determinadas pelos pontos consecutivos de
ABCD , é correto afirmar que
01) ABCD é um retângulo.
02) S contém retas paralelas.
04) a área de ABCD mede 3 u.a..
08) a área da região plana determinada pela interseção
das parábolas é maior que 3 u.a. e é menor que 6 u.a..
16) o eixo das abscissas divide o quadrilátero ABCD em
duas regiões de áreas iguais.
y
Resposta: 12 - Nível Médio
De acordo com o enunciado teremos o seguinte:
a) Determianr os pontos de interseções das
Questão
16
parábolas.
Considerando
a
função
f
definida
por
f ( x) cos(2 x) cos(4 x) e seja S o conjunto das raízes
de f, S
^x  \
f ( x)
01) INCORRETA. O quadrilátero ABCD é um
trapezóide (não tem lados paralelos).
02) INCORRETA. Todos os pares de retas são
concorrentes.
04) CORRETA.
0` , é correto afirmar que
01) o valor máximo de f é 2, e existem infinitos pontos do
domínio de f que atingem esse valor máximo.
02) S é um conjunto infinito.
04) existem cinco raízes de f no intervalo [0, S] .
08) existem raízes de f da forma x (2k 1)S , com
k ] .
16) existem raízes de f da forma x 2 k S , com k  ] .
Então:
Dois vértices são os pontos (1; 0) e (-1; 0)
08) CORRETA.
Analisando o gráfico
GABARITO 1
b) Determinar os vértices das parábolas
UEM/CVU
Vestibular de Inverno/2011 – Prova 3
Matemática
O vértice dessa parábola é V1(0; 2)
a) Cálculo da área do quadrilátero ABCD.
SABCD = 3 u.a
Página 11
8
08) ( \  _) C ] contém todos os números primos.
16) 0  (_  ` ) C  (] ` ) C .
PROVA 3 - CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
b) Cálculo da área do quadrilátero BPDQ.
Questão
04) INCORRETA.
15
Em um sistema de coordenadas cartesianas xOy, em que
ABCD
Então
(S) determinada
pelapelos
interseção
dase
sejaa região
o quadrilátero
determinado
vértices
parábolas é:
pelos pontos de interseções das parábolas y 2 x 2 2 e
y x 2 1 ; seja S {r1 , r2 , r3 , r4 } o conjunto das retas
distintas determinadas pelos pontos consecutivos de
correto afirmar que
ABCD
16), éINCORRETA.
01) ABCD é um retângulo.
retas
paralelas.(eixo x) divide o quadrilátero
02) SOcontém
eixo das
abscissas
3 u.a..cujas áreas são:
04) aABCD
área deem
ABCD
dois mede
triângulos
08) a área da região plana determinada pela interseção
das parábolas é maior que 3 u.a. e é menor que 6 u.a..
16) o eixo das abscissas divide o quadrilátero ABCD em
duas regiões de áreas iguais.
08) INCORRETA. Não existe raízes da forma
16) INCORRETA. Não existe raízes da forma
Questão
16
Considerando
a
função
f
definida
por
f ( x) cos(2 x) cos(4 x) e seja S o conjunto das raízes
de f, S
^x  \
f ( x)
0` , é correto afirmar que
01) o valor máximo de f é 2, e existem infinitos pontos do
domínio de f que atingem esse valor máximo.
02) S é um conjunto infinito.
04) existem cinco raízes de f no intervalo [0, S] .
08) existem raízes de f da forma x (2k 1)S , com
k ] .
16) existem raízes de f da forma x 2 k S , com k  ] .
Resposta: 03 – Nível Médio
Questão
17
Fernando e Guilherme se correspondem por e-mail
cifrando as mensagens conforme exposto a seguir. Eles
associaram as palavras mais comuns a matrizes-linha
com 2 colunas, cujas duas entradas são números inteiros
com a mesma paridade, isto é, ou ambas são ímpares ou
ambas são pares (um número negativo é ímpar, se o seu
módulo é ímpar; uma regra análoga vale para número
negativo par). Cada entrada aij satisfaz 10 aij 10 .
Todas as matrizes desse tipo são utilizadas e, para
matrizes distintas, são associadas palavras distintas.
Então, eles multiplicam a matriz [a11 a12 ] assim obtida
ª 1/ 2 1/ 2 º
01) CORRETA. f(x) = cos 2x + cos 4x, fatorando
pela matriz «
» , obtendo-se uma nova matriz¬ 1/ 2 1/ 2 ¼
temos: f(x) = 2 . cos 3x . cos x.
UEM/CVU
linha com
2 colunas, que
corresponde
à palavra
Para cos(x) ou cos(3x) máximo, igual
a 1
Vestibular
de Inverno/2011
– Prova 3 cifrada.
8
GABARITO
1
Matemática
Eles enviam um ao outro a mensagem,
trocando as
temos f(x) = 2 e existe infinitos valores de “x”
palavras cifráveis pelas matrizes assim obtidas. Com
do domínio de f que verifica f(x) = 2.
essas informações, é correto afirmar que
02) CORRETA.
01) a palavra correspondente à matriz > 4 2@ , quando
cifrada, é representada pela matriz >3 1@ .
02) é possível decifrar as mensagens cifradas recebidas,
multiplicando-se à direita cada matriz recebida pela
ª1 1º
matriz «
».
¬1 1 ¼
04) a matriz >5 5@ nunca é enviada em uma mensagem
cifrada dessa forma.
08) a única matriz-linha que não se altera após ser cifrada
Página 12
16) o número total de palavras cifráveis é de 361.
02) é possível decifrar as mensagens cifradas recebidas,
multiplicando-se à direita cada matriz recebida pela
PROVA 3 - CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
ª1 1º
matriz «
.
»
¬1 1 ¼
04) a matriz >5 5@ nunca é enviada em uma mensagem
cifrada dessa forma.
08) a única matriz-linha que não se altera após ser cifrada
é a matriz > 0 0@ .
16) o número total de palavras cifráveis é de 361.
Resposta: 03 – Nível Médio
M = [a11 a12]
a11 e a12 é
Questão
18par ou a11 e a12 é impar sendo
< 10
Sobre-10 o< aij polinômio
P ( x ) x 4 bx 3 cx 2 dx 3 ,
assinale o que for correto.
01) CORRETA.
01) P( x) é divisível por Q ( x) x 2 bx c , se
b c 2 .
02) Se P( x) possui somente raízes racionais e todos os
seus coeficientes são números inteiros, então,
P( x) possui somente raízes inteiras.
04) Se i e 3i são raízes desse polinômio, então, b 0 .
08) A02)
soma
dos inversos das raízes, levando-se em conta
CORRETA.
suas
multiplicidades, é d / 3 .
16) Se P( x) possui somente raízes inteiras, então, alguma
raiz possui multiplicidade maior do que 1.
04) CORRETA.
Questão
18
Sobre o polinômio P ( x ) x 4 bx 3 cx 2 dx 3 ,
assinale o que for correto.
01) P( x) é divisível por Q ( x) x 2 bx c , se
b c 2 .
02) Se P( x) possui somente raízes racionais e todos os
seus coeficientes são números inteiros, então,
P( x) possui somente raízes inteiras.
04) Se i e 3i são raízes desse polinômio, então, b 0 .
08) A soma dos inversos das raízes, levando-se em conta
suas multiplicidades, é d / 3 .
16) Se P( x) possui somente raízes inteiras, então, alguma
raiz possui multiplicidade maior do que 1.
Na multiplicação
Resposta: 30 – Nível Fácil
P(x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + 3
01) INCORRETA.
Para b = c = – 2
Q(x) = x2 – 2x – 2
Q(x) = x4 – 2x3 – 2x2 + dx + 3
Não podemos afirmar esta condição pois
depende do coeficiente “d”.
02) CORRETA. Pois o coeficiente do termo de
maior grau de P(x) é 1.
04) CORRETA:
GABARITO 1
UEM/CVU
Vestibular de Inverno/2011 – Prova 3
Matemática
08) CORRETA.
08) CORRETA.
Sendo x1 ,x2 ,x3 ,x4 as raízes temos:
16) INCORRETA.
•
•
Com duas entradas par temos 81 palavras.
Com duas entradas impar temos 100
palavras.
Total 181 palavras.
Página 13
GABARITO
9
PROVA 3 - CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
16) CORRETO.
Sabemos que x1.x2.x3.x4 = 3, podemos concluir
que no produto é possível haver fatores
iguais.
Questão
19
Nosso sistema de numeração é chamado de decimal, pois
a representação posicional do número indica uma soma
de potências de dez. Assim, o número cinquenta e dois é
representado por 52 5.101 2.100 . Com respeito às
bases três e quatro, o mesmo número é representado,
respectivamente, por 1221 1.33 2.32 2.31 1.30 e
310 3.4 2 1.41 0.40 . Em uma base b entre 2 e 10, são
utilizados b dígitos 0,1, 2,..., b 1 . A esse respeito,
assinale o que for correto.
01) Sessenta e um é representado por 123 na base 7.
02) A igualdade 31 12 13 é verdadeira, se a base
empregada para escrever todos os números for a
base 4.
04) 121 é a representação de um número quadrado
perfeito em qualquer base maior do que 2.
08) 1011 é a representação do número quinze na base 2.
16) 31 é a representação de um número par na base 5.
Resposta: 22 – Nível Médio
Questão
20
O principal monumento da cidade de Maringá é a sua
catedral, cuja altura é de 124 m, já incluída a cruz, que é
de 10 m. A catedral possui o formato de um cone com,
aproximadamente, 50 m de diâmetro externo e 40 m de
diâmetro interno. AlémRascunho
disso, a geratriz do cone externo
que delimita a catedral mede, aproximadamente, 116,7 m.
Levando-se em conta esses dados e supondo a catedral
formada por uma “casca” delimitada por dois cones de
bases concêntricas e geratrizes paralelas e usando S 3 ,
é correto afirmar que
01) a altura livre da catedral (distância entre a base e o
ponto mais alto do teto) é superior a 80 m.
02) a superfície lateral do cone externo que delimita a
catedral é superior a 9600 m2.
04) em aglomerações estima-se o número de pessoas
presentes, considerando que cada metro quadrado
comporte 6 pessoas. Sendo assim, se o térreo da
catedral, completamente vazio, pudesse ser
livremente tomado por pessoas em uma aglomeração,
poderia comportar mais de 8000 pessoas.
08) a coroa circular, na base da catedral, delimitada pelos
cones externo e interno, possui área inferior a 600 m2.
16) se o cone externo que delimita a catedral fosse
planificado teríamos um setor circular de ângulo
superior a 45 graus.
01) INCORRETA.
(123)7 = 1.72 + 2.71 + 3.70 = 49 + 14 + 3 = 66
02) CORRETA.
Questão 20
31 - 12 = 13
(31)
= 3.41 + 1.4
= 13 de Maringá é a sua
O principal
monumento
da 0cidade
4
1
0
catedral,
é
de
124
m,
cuja
(12)altura
=
1.4
+
2.4
= 6já incluída a cruz, que é
4
1
0
de 10 m. A
catedral
possui
o
de um cone com,
(13)
=
1.4
+
3.4
=formato
7
4
aproximadamente,
13 - 6 = 50
7 m de diâmetro externo e 40 m de
diâmetro interno. Além disso, a geratriz do cone externo
que delimita
a catedral mede, aproximadamente, 116,7 m.
04) CORRETA.
Levando-se em conta esses dados e supondo a catedral
1
formada
por
uma
delimitada
(121)
= “casca”
1.22 + 2.2
+ 1.20 = por
9 dois cones de
2
bases concêntricas e geratrizes paralelas e usando S 3 ,
é correto
que
08) afirmar
INCORRETA.
01) a altura livre da catedral (distância entre a base e o
2
ponto
mais3 +
alto
(1011)
= (1.2
0.2do
+teto)
1.21é+superior
1.20) = a8 80
+ 0m.+ 2 + 1 = 11
2
02) a superfície lateral do cone externo que delimita a
catedral
é superior a 9600 m2.
16) CORRETA.
04) em
aglomerações estima-se o número de pessoas
presentes,
(31)5 considerando
= 3.51 + 1.50 =que
16 cada metro quadrado
comporte 6 pessoas. Sendo assim, se o térreo da
catedral, completamente vazio, pudesse ser
livremente tomado por pessoas em uma aglomeração,
poderia comportar mais de 8000 pessoas.
08) a coroa circular, na base da catedral, delimitada pelos
cones externo e interno, possui área inferior a 600 m2.
16) se o cone externo que delimita a catedral fosse
Página 14
planificado teríamos um setor circular de ângulo
superior a 45 graus.
Resposta: 17 - Nível Fácil
De acordo com o enunciado temos a seguinte
figura.
GABARITO
PROVA 3 - CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
01) CORRETA.
16) CORRETA. Planificando o cone externo,
teremos um setor circular abaixo:
OF = Altura livre da catedral.
Os triângulos BOF e COG são semelhantes então
teremos:
02) INCORRETA.
04) INCORRETA. A base do cone é um círculo,
então teremos:
08) INCORRETA.
Página 15
Então, teremos:
PROVA 3 - CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
COMENTÁRIO SOBRE O
CONTEÚDO DE MATEMÁTICA
É fundamental que os candidatos que pretendem
estudar nos cursos que dependem da matemática do
ensino médio tenham bom domínio da mesma. Para
tanto, é preciso muito cuidado na elaboração de uma
prova para selecionar os melhores candidatos destes
cursos. Devemos levar em consideração a relação
entre o número de questões e o nível de dificuldade
das mesmas com o tempo disponível.
Tratando-se de uma prova somatória, onde cada
proposição exige um raciocínio único e diferenciado, a
prova de matemática da UEM contém na verdade 100
questões para resolvê-las em apenas 4 horas. É barra
pesada, não???
É importante frisar ainda que, aproximadamente
30% da prova, foram questões cujos enunciados eram
apresentados numa linguagem confusa e não adequada
para avaliar um aluno concludente do ensino médio.
Mais uma vez os elaboradores da prova de
matemática exageraram na quantidade de cálculos
exigidos nas resoluções das questões, sem falar
dos dados numéricos com valores elevados para
serem desenvolvidos numa prova sem uso de uma
calculadora.
Esperamos que para os próximos vestibulares, a
CVU da UEM apresente uma prova mais compatível
com o nível dos candidatos.
Página 16
PROVA 3 - CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
Trigonometria
MATEMÁTICA – Formulário
sen(x r y) = sen(x)cos(y) r sen(y)cos(x)
Â
cos(x r y) = cos(x)cos(y) B sen(x)sen(y)
b
c
tg ( x ) r tg ( y)
tg(x r y) =
1 B tg ( x ) tg ( y)
B̂
Análise
Combinatória
n!
A n, r
C n, r
n!
(n r )!
(a b) n
Geometria
Plana e Espacial
Comprimento da circunferência: C
Área do losango: A =
dD
2
Área do trapézio: A =
(b + B)h
2
n!
(n r )! r!
n
¦C
Volume do prisma: V = B  h
Bh
Volume da pirâmide: V
3
Volume do cilindro: V = SR2h
R 2D
2
SR 2 h
3
4
Volume da esfera: V
SR 3
3
Volume do cone: V
SRG
Área da superfície esférica: A = 4SR2
Área total do tetraedro regular: A=
3 a2
Progressão Geométrica (P. G.):
a n a 1q n 1
Progressão Aritmética (P. A.):
Progressões
a n i bi
Volume do cubo: V = a3
Área lateral do cilindro: A = 2SRh
Sn
n,i
Volume do paralelepípedo: V=B.h
Área do círculo: A = SR
an
C
2SR
2
Área lateral do cone: A
a1 (n 1)r
(a 1 a n ) n
Sn
2
Geometria Analítica
Sf
Conversão
de
unidades
Ponto Médio do segmento de extremidades
A( x1, y1) e B (x2, y2):
§ x 1 x 2 y1 y 2 ·
,
¸
2
2
©
¹
d P, r
Área do triângulo de vértices
P(x1 , y1 ) , Q(x 2 , y2 ) e R(x 3 , y3 ) :
1 | D |, onde D
2
x1
x2
x3
y1
y2
y3
a 1 a 1q n
1 q
a1
1 q
,q z1
, | q | 1
Distância de um ponto P(x 0 , y0 ) à reta r: ax + by + c = 0 :
M¨
A
a2 = b2 + c2 – 2bccos(Â)
Ĉ
a
i 0
Área do setor circular: A
c
sen (Ĉ)
Lei dos cossenos:
B
Pn
Lei dos senos:
a
b
sen (Â) sen (B̂)
A
ax 0 by 0 c
a 2 b2
1
1
1
1 m3 = 1000 l
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GABARITO
1
UEM/CVU
Vestibular de Inverno/2011 – Prova 3
Matemática
11