MATEMÁTICA
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fórmula de Báskara:
EQUAÇÕES DO 2º GRAU
b2 - 4ac = ∆
DEFINIÇÃO
É toda a equação que pode ser reduzida à forma:
2
ax + bx + c = 0
I)
 -b + b2 - 4ac -b - b2 - 4ac 
S= 
;

2a
2a


a≠0
II)
Em que:
Quando ∆ > 0, ∆ maior que zero, a
equação tem duas raízes reais e
diferentes entre si..
Quando ∆ = 0, ∆ igual a zero, a equação
tem duas raízes reais e iguais.
• x é a incógnita
• a, b e c são constantes reais denominadas
coeficientes.
• c é o termo independente
RESOLUÇÃO
Nas equações, é costume chamar os valores que
satisfazem as equações de raízes.
Resolver uma equação significa determinar o seu
conjunto-verdade, isto é, o conjunto de suas raízes.
Para a equação do 2º grau
 -b -b 
S=  ;

 2a 2a 
III)
Quando ∆ < 0, ∆ menor que zero, a
equação tem duas raízes não reais e
diferentes entre si.
S = φ conjunto vazio, as raízes não
são reais.
OBTER AS RAÍZES PELO PRODUTO E SOMA
(RELAÇÕES DE GIRARD)
Seja a equação:
2
ax + bx + c = 0
2
1x - Sx + P = 0
Use a formula de Báskara
x=
-b ± b2 - 4ac
2a
a=1
e x1 e x2 as raízes da equação, então podemos ter:
O conjunto solução é:
 -b + b2 - 4ac -b - b2 - 4ac 
S= 
;

2a
2a


x1 + x2 = S
produto
x1 . x2 = P
TESTES
Considerações
Para a equação do 2º grau, quando o
discriminante da equação, radicando na
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soma
01. A razão entre a soma e o produto das raízes da
2
equação 2x - 7x + 3 = 0.
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b) 1
c) 2
d) 2,5
a) 7/3
b) 7/2
c) 3/2
d) 3/7
e) 2/7
3+ 19
4
e)
02. (UFRJ-NCE) A diferença entre os valores das
2
raízes da equação 2x – 26x + 80 = 0
10. O número de soluções inteiras da equação
x-3 4
4
- =
x - 4 x x(x - 4)
pode ser igual a:
a) 0
b)1
c)2
d)3
e) 4
a) 0;
b) 2;
c) 3;
d) 12;
e) 20.
03. (PUC-MG) Os valores de x que verificam a
2
equação 0,01x + 0,05x = 2,50 − 0,10x pertencem ao
conjunto:
a) {–25, –17, 10, 16}
b) {–23, –14, 11, 12}
c) {–17, –10, 14, 25}
d) {–23, –16, 17, 21}
11. (ACAFE-SC) Uma torneira deixa cair x gotas de
água a cada 20 segundos. Sabendo-se que esse
número x corresponde à raiz positiva da equação x(
x-2 ) = 21 + 2x, o volume de água que vaza por
hora, supondo que cada gota corresponde a 0,4ml,
é:
a)
b)
c)
d)
e)
504ml
540ml
5040ml
50,4ml
5400ml
2
04. x - 8x + 7 = 0
12. Qual o menor número que se deve somar a
cada fator do produto de 5 x 13 , para que este
produto , aumente de 175 unidades ?
2
05. x - 6x + 9 = 0
2
06. x - 2x + 5 = 0
2
07. 3x + 12x = 0
2
08. 9 - 4x = 0
a)
b)
c)
d)
e)
7
25
–7
–25
13
13. Qual é o menor valor de "x" de modo que a
divisão de 0,5 por "x" tenha o mesmo resultado da
adição de 0,5 com "x"?
a) 0,5
b) –0,5
c) –1
d) 1
e) 0
09. (Unificado-RJ) A maior raiz da equação - 2x2
+ 3x + 5 = 0 vale:
a) -1
2
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GABARITO
y
01
A
02
C
03
A
04
1e7
05
3
06
Vazio em R
07
-4 e 0
08
-3/2 e 3/2
09
D
10
B
11
A
12
D
13
C
Ponto de
V
yv
0
xv
PONTO DE MÍNIMO V( xv , yv )
O ponto de mínimo é ponto de menor ordenada ( yv
) da função:
2
f( x ) = ax + bx + c = 0
a>0
2
Obs.: O coeficiente a de x é POSITIVO.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
y
FUNÇÃO DO 2° GRAU
xv
0
VÉRTICE DE UMA PARÁBOLA
Toda a função do 2° grau tem um ponto de máximo
ou de mínimo.
2
f( x ) = ax + bx + c = 0
a≠0
O ponto de máximo é ponto de maior ordenada ( yv
) da função:
2
2
yv
V
Ponto de
CÁCULO DO VÉRTICE DA FUNÇÃO DO 2°
GRAU
CÁLCULO DA ABSCISSA xv DO VÉRTICE
PONTO DE MÁXIMO V( xv , yv )
f( x ) = ax + bx + c = 0
x
xv =
−b
2⋅a
a<0
Obs.: O coeficiente a de x é NEGATIVO.
Ou também, calculando a média aritmética das
raízes ( x1 e x2 ):
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
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xv =
b)
c)
d)
e)
x1 + x 2
2
CÁLCULO DA ORDENADA yv DO VÉRTICE
(MÁXIMO OU MÍNIMO)
yv =
04. (UEL-PR) Se x e y são as coordenadas do
2
vértice da parábola y= 3x -5x + 9, então x + y é
igual a:
− (b 2 - 4 ⋅ a ⋅ c)
4⋅a
a)
b)
c)
d)
e)
Ou também, substituindo xv na função:
f ( x v ) = a ⋅ ( x v )2 + b ⋅ ( x v ) + c
Imagem
Se a > 0
y ≥ yv
2)
Se a < 0
y ≤ yv
5/6
31 /14
83/12
89/18
93/12
05. (FCC/2008-PREFEITURA/SALVADOR) Uma
peça metálica, usada na manutenção dos veículos
da Guarda Municipal, ao passar por certo
tratamento, sofre uma variação de temperatura, que
é descrita pela função T(t), na qual T é a
temperatura em graus Celsius e t é o tempo medido
2
em horas. Sabendo que T(t) = - 2t + 18t + 25,
sendo o intervalo do tratamento de 0 a 10 horas,
para qual intervalo de tempo a temperatura é maior
ou igual a 25 °C?
IMAGEM DA FUNÇÃO DO 2° GRAU
1)
2
3
4
5
a)
b)
c)
d)
e)
TESTES
0 ≤ t ≤ 10
9 ≤ t ≤ 10
5 ≤ t ≤ 10
0≤t≤9
6 ≤ t ≤ 10
2
01. (ACAFE-SC) A função f(x) = x - 2x + 1 tem
mínimo no ponto em que x vale:
a)
b)
c)
d)
e)
0
1
2
3
4
02. (PUC-MG) O valor máximo da função f(x) = - x
+ 2x + 2 é:
a)
b)
c)
d)
e)
06. (UEPI-PI) O lucro mensal de uma fábrica é
2
dado por L(x) = –x + 60x – 10 onde x é a
quantidade mensal de unidades fabricadas e
vendidas de um certo bem, produzido por esta
empresa e L é expresso em Reais (Obs.: Real →
unidade monetária).
O maior lucro mensal possível que a empresa
poderá ter é dado por:
a)
b)
c)
d)
e)
2
3
4
5
6
03. (CEFET-PR) O maior valor que y pode de
2
assumir na expressão y= - x +2x é:
a) 1
4
2
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R$ 890,00
R$ 910,00
R$ 980,00
R$ 1.080,00
R$ 1.180,00
07. (EsPCEX) Um curral retangular será construído
aproveitando-se um muro pré-existente no terreno,
por medida de economia. Para cercar os outros
três lados, serão utilizados 600 metros de tela de
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arame. Para que a área do curral seja a maior
possível, a razão entre as suas menor e maior
dimensões será:
a) 0,25
12. (Unifor-CE) Considere dois números reais tais
que a soma de um deles com o triplo do outro é
igual a 48. O valor máximo que se pode obter para
o produto desses números é:
a)
b)
c)
d)
e)
b) 0,50
c) 0,75
186
192
224
236
252
d) 1,00
e) 1,25
08 Um artesão produz lembranças que vende a
turistas por x reais cada uma. Com esse preço, ele
sabe, por experiência, que seu lucro mensal é
obtido da expressão L(x) = 400(15 – x)(x – 3).
Determine, em reais, o preço pelo qual ele deverá
vender cada lembrança para obter o maior lucro
mensal possível, está compreendido no intervalo 9
≤ x ≤ 20 .
09. (UFF-RJ) Um fazendeiro pretende destinar um
terreno retangular à plantação de mudas. Para
limitar o terreno, deverá estender 1000 m de tela ao
longo de três de seus lados, o quarto lado coincidirá
com um muro reto. Nestas condições calcule, em
metros quadrados, a maior área possível de ser
limitada.
13. (FCC/2008-PREFEITURA/SALVADOR)
Durante um treinamento da guarda municipal, uma
bola foi lançada verticalmente para cima a partir do
solo. A relação entre a altura h da bola em relação
ao solo (em metros) e o tempo t (em segundos)
2
respeita a equação h(t) = 5t + 10t. Depois de
quantos segundos, contados a partir do
lançamento, a bola retorna ao solo?
a)
b)
c)
d)
e)
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
GABARITO
01
B
02
B
03
A
04
E
05
D
06
A
07
B
b) De quantos metros foi a altura máxima
alcançada pela bola?
08
Correta
09
125 000
11. (FGV-SP) O lucro mensal de uma empresa é
2
dado por L = - x + 30x - 5, onde x é a quantidade
mensal vendida. Qual o lucro mensal máximo
possível?
10
4 e 16
11
220
12
B
10.. Em uma partida de vôlei, um jogador deu um
saque em que a bola atingiu uma altura h em
metros, num tempo t, em segundos, de acordo com
a relação h(t) = -t² + 8t.
a) Em que instante a bola atingiu a altura máxima?
[Nota]: observem o vértice
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A constante 2, obtida pela diferença, conforme
mostra quadro, define a seqüência como uma
progressão aritmética (PA) de razão.
D
SEQUÊNCIAS E SUCESSÕES
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)
FÓRMULA GERAL DA RAZÃO ( r )
DEFINIÇÃO:
Uma seqüência (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an) de
números reais, com a1=primeiro termo, a2=segundo
termo, a3=terceiro termo, assim sucessivamente até
o último termo an, é uma progressão aritmética
(PA), se a diferença entre um termo qualquer a
partir do segundo, pelo seu antecessor imediato,
produzir um resultado (resto) constante real,
denominado razão ( r ) da progressão.
r = a2 - a1
r = a n+1 - a n
Para todo o n pertencente
aos naturais positivos
CLASSIFICAÇÃO
ARITMÉTICA
DE
UMA
PROGRESSÃO
Seja r a razão de uma progressão aritmética (PA),
temos que:
r = a3 - a2
r = a4 - a3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
r = a n - a n-1
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Verificar se a seqüência (2, 4, 6, 8, 10) é uma
progressão aritmética (PA) de razão 2.
1 PA estritamente
crescente
r>0
2 PA estritamente
decrescente
r<0
3 PA constante
r=0
TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO
ARITMÉTICA (PA)
A definição de progressão aritmética (PA), sugere
que:
Resolução
a 2 = a 1 + 1r
6
r = a2 - a1 = 4–2=2
a 3 = a 1 + 2r
r = a3 - a2 = 6–4=2
a 4 = a 1 + 3r
r = a4 - a3 = 8–6=2
a 5 = a 1 + 4r
r = a 5 - a 4 = 10 – 8 = 2
a 6 = a 1 + 5r
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Forma simplificada para a representação de uma
progressão aritmética com três termos em duas
variáveis.
e assim sucessivamente
Generalizando para termo de ordem n (n = ao
número de termos da progressão), temos a fórmula
geral:
( x-r, x , x+r )
SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO
ARITMÉTICA
a n = a 1 + ( n - 1 ).r
Podemos ter um termo de ordem n relacionado com
qualquer outro termo antecessor de ordem k. Neste
caso a fórmula do termo geral abrangente, é:
Sendo (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an ) uma progressão
aritmética e Sn a soma desses termos, Sn= a1+ a2+
a3+ a4+a5+ ... +an .
Segue a fórmula para o somatório de qualquer
progressão aritmética.
a n = a k + ( n - k ).r
Por exemplo:
n é igual ao número
de termos somados.
01. Na seqüência (10, 6, 2, ...), calcular o décimo
termos.
Sn =
(a1 + an )
⋅n
2
an é o último termo.
Resolução:
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
a n = a 1 + ( n-1 )r
a 10 = a 1 + (10 - 1)r
r=a2-a1=6-10 = -4
1. Calcular a soma dos 20 primeiros termos de
progressão aritmética (2, 5, 8, ...).
a 10 = 10 + 9(-4)
a 10 = 10 - 36
Resolução:
a 10 = -26
I) Dados para cálculo da soma: a1=2, n=20 e a20
não foi fornecido, deverá ser calculado, veja item II.
PROGRESSÃO
TERMOS
ARITMÉTICA
COM
TRÊS
II) Pela fórmula do termo geral,
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a n = a 1 + ( n-1 )r
a 20 = a 1 + ( 20-1 )r
r=a2-a1=5-2=3
a 20 = 2 + 19x3
Disponível em:
http://www.agenciapetrobrasdenoticias.com.br/
a 20 = 59
II) A soma dos 20 primeiros termos, S20.
(a1 + an )
⋅n
2
S20 =
(2 + 59)
× 20
2
(...)A carga a ser processada nas refinarias da
Petrobras no Brasil e no exterior deverá passar dos
atuais 2 milhões de barris por dia para 2,5 milhões
em 2012 (...).”
Notícia publicada em 07 maio 2008.
a 20 = 2 + 57
Sn =
Prefeitura de Jaguarão
Se, de 2008 a 2012, a carga processada
diariamente pelas refinarias da Petrobras aumentar,
anualmente, em progressão aritmética, quantos
milhões de barris diários serão produzidos em
2011?
a)
b)
c)
d)
e)
2,100
2,125
2,200
2,250
2,375
S20 = 61×10
3. (PUC-MG) Acompanhando o desenvolvimento
de uma população de vírus, certo biólogo montou a
seguinte tabela, que apresenta o número de vírus
ao final de cada um dos 5 primeiros minutos:
S20 = 610
TESTES
1. Complete as seqüências a seguir, mantendo a
formação lógica.
a) ( 2, 4, 6, 8, ....., ....., ....., ..... )
Supondo-se que o ritmo de crescimento dessa
população tenha continuado a obedecer a essa
mesma lei, então o biólogo concluiu que na etapa
correspondente a 50 minutos a população, era:
b) ( 35, 30, 25, 20, ....., ....., ....., ..... )
a)
b)
c)
d)
c) ( 8, 8, 8, 8, ....., ....., ....., ..... )
87
90
197
200
4. (CESGRANRIO) Quantos números múltiplos de
7 ou de 11 há entre 1 e 1000?
a) 90
2. (CESGRANRIO-PETROBRAS-2008) “Modelo
de Gestão do abastecimento está preparado para a
expansão da Petrobras
8
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b) 142
c) 220
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d) 229
e) 232
5. (NC.UFPR) Em uma progressão aritmética, o 11º
termo excede o 2º em 27. Sabendo-se que o 5º
termo é 14, então o 12º é:
a) 33
8. (CESGRANRIO-TRANSPETRO-2008) Uma
empresa de propaganda instalou dois painéis em
uma estrada, o primeiro no km 78 e o segundo no
km 246. A mesma empresa pretende instalar outros
7 painéis entre esses dois, de modo que a
distância entre dois outdoors consecutivos seja
sempre a mesma. Qual será, em km, essa
distância?
a)
b)
c)
d)
e)
b) 34
c) 35
21
24
26
28
31
d) 36
e) 37
9. (UFF-RJ) Uma certa quantidade de latas de
atum vai ser disposta em uma pilha de 30 camadas,
conforme a figura abaixo.
a)
b)
c)
d)
e)
30 camadas
6. (PUC-RS) As quantias, em reais, de cinco
pessoas estão em progressão aritmética. Se a
segunda e a quinta possuem, respectivamente, R$
250,00 e R$ 400,00, a primeira possui:
R$ 200,00
R$ 180,00
R$ 150,00
R$ 120,00
R$ 100,00
7. (BACEN) A 11ª figura da seqüência abaixo terá:
Determine a quantidade de latas da pilha.
10. (Unifor-CE) Em um restaurante, os preços de
três pratos estão em progressão aritmética de
razão R$ 12,00. Se o primeiro e o segundo prato
custam juntos R$ 42,00, então o segundo e terceiro
prato custam juntos:
a)
b)
c)
d)
e)
10 quadradinhos pretos.
10 quadradinhos brancos.
22 quadradinhos pretos.
86 quadradinhos brancos.
110 quadradinhos brancos.
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a) R$ 54,00
b) R$ 60,00
c) R$ 66,00
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d) R$ 68,00
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assim sucessivamente. Ao final de 20 dias foi
arrecadado um total de 73 500 Kg. A quantidade de
Kg arrecada no primeiro dia foi de:
e) R$ 70,00
a) 150 Kg
11. (UFAM-AM) Durante 13 dias, um automóvel é
submetido a testes de desempenho mecânico. No
primeiro dia ele percorre 30 km; no segundo, 45
km; no terceiro, 60 km; e assim sucessivamente,
x
até o último dia, quando percorre x km. Então
.
10
a)
b)
c)
d)
e)
35
30
45
60
21
12. (Mackenzie-SP) A seqüência de números
reais, com 12 termos, (89, a, b, c, ..., p, 45) é uma
progressão aritmética cujo oitavo termo vale:
a)
b)
c)
d)
e)
b) 200 Kg
c) 250 Kg
d) 300 Kg
e) 350 Kg
15. Em janeiro depositei R$ 100,00 no banco, em
fevereiro, R$ 200,00, em março, R$ 300,00, e
assim sucessivamente, aumentando R$ 100,00 a
cada mês nos depósitos, sem falhar em nenhum
deles. Terei depositado R$ 66 600,00 ao final do
período de três anos, se mantiver esse mesmo
procedimento.
16. (UFSM-RS) Tisiu ficou sem parceiro para jogar
bolita (bola de gude); então pegou sua coleção de
bolitas e formou uma seqüência de “T” (a inicial de
seu nome), conforme a figura
57
59
61
63
65
13. (FCC) Assinale a opção que apresenta
corretamente o oitavo termo de
uma PA onde a 5 = 6 e a 17 = 30.
a) 10
b) 12
d) 16
Supondo que o guri conseguiu formar 10 “T”
completos pode-se, seguindo o mesmo padrão,
afirmar que ele possuía
e) 18
a) mais de 300 bolitas.
c) 14
b) pelo menos 230 bolitas.
14. Durante uma feira agropecuária foi realizada
uma campanha para arrecadar alimentos para
famílias pobres. No primeiro dia foi arrecadado x Kg
de alimentos, no segundo dia o dobro de Kg do que
foi arrecadado no primeiro dia; no terceiro dia o
triplo de Kg do que foi arrecadado no primeiro dia; e
10
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c) menos de 220 bolitas.
d) exatamente 300 bolitas.
e) exatamente 41 bolitas.
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17. (Fatec-SP) Um auditório foi construído de
acordo com o esquema abaixo:
15
C
16
B
17
C
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG)
A platéia tem 18 filas de assentos e cada fila tem 4
lugares a mais que a anterior. Se forem convidadas
800 pessoas para assistir a um evento e todas
comparecerem,
a)
b)
c)
d)
e)
ficarão vagos 140 lugares.
ficarão vagos 64 lugares.
faltarão 44 lugares.
faltarão 120 lugares.
não sobrarão nem faltarão lugares.
GABARITO
01
DEFINIÇÃO:
Uma seqüência (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an) de
números reais, com a1=primeiro termo, a2=segundo
termo, a3=terceiro termo, assim sucessivamente até
o último termo an, é uma progressão geométrica
(PG), se a divisão entre um termo qualquer a partir
do segundo, pelo seu antecessor imediato, produzir
um resultado (quociente) constante real,
denominado razão ( q ) da progressão geométrica.
a) 10, 12, 14, 16
b) 15, 10, 5, 0
q=
a2
a1
q=
a3
a2
q=
a4
a3
c) 8, 8, 8, 8
02
E
03
C
04
C
05
C
.
06
A
.
07
E
.
08
A
09
900
10
C
11
E
12
C
13
B
14
E
q=
an
an-1
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Verificar se a seqüência (2, 4, 8, 16, 32) é uma
progressão geométrica (PG).
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a 2 = a 1x q
Resolução
a 3= a 1 x q
q=
q=
a2 4
= =2
a1 2
a3 8
= =2
a2 4
q=
q=
a 4 16
=
=2
a3
8
a 5 32
=
=2
a 4 16
1
2
a4 = a1xq
3
a5 = a1xq
4
a6 = a1xq
5
e assim sucessivamente
A constante 2 obtida pela divisão, conforme mostra
quadro, define a seqüência como uma progressão
geométrica (PG) de razão 2.
Generalizando para termo de ordem n (n = ao
número de termos da progressão), temos a fórmula
geral:
an = a1x q
FÓRMULA GERAL DA RAZÃO ( q )
q=
an
an-1
Para todo o n pertencente
aos naturais positivos
Podemos ter um termo de ordem n relacionado com
qualquer outro termo antecessor de ordem k. Neste
caso a fórmula do termo geral abrangente, é:
an = akx q
CLASSIFICAÇÃO
GEOMÉTRICA
DE
UMA
n-1
n-k
PROGRESSÃO
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Seja q a razão de uma progressão geométrica
(PG), temos que:
1 PG
estritamente
crescente
a1 > 0
a1 < 0
2 PG
estritamente
decrescente
e q>1
ou
e 0<q<1
3 PG constante
PG alternante
Resolução:
a1 > 0 e 0 < q < 1
ou
a1 < 0 e q > 1
4
01. Na seqüência (3, 6, 12, ...), calcular o décimo
termos.
q=1
a1
≠0 e q<0
an= a1xq
n-1
a 10 = a 1 x(q)
a 10 = 3 x (2)
10-1
r=a2/a1=6/ 3= 2
9
a 10 = 3 x 512
TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO
GEOMÉTRICA (PG)
a 10 = 1536
A definição de progressão geométrica (PG), sugere
que:
12
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PROGRESSÃO
TERMOS
GEOMÉTRICA
COM
TRÊS
Forma simplificada para a representação de uma
progressão geométrica com três termos em duas
variáveis.
(
x
, x ,
q
x ⋅q )
SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO
GEOMÉTRICA FINITA
Sendo (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an ) uma progressão
geométrica e Sn a soma desses termos, Sn= a1+
a2+ a3+ a4+a5+ ... +an .
Segue a fórmula para o somatório de qualquer
progressão geométrica finita.
an= a1xq
a 10 = a 1 x q
10-1
a 10 = 1 x (2)
9
Sn =
a1 (qn - 1)
q-1
an é o último termo.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Calcular a soma dos 10 primeiros termos de
progressão geométrica ( 1, 2, 4, ...).
a 10 = 512
II) A soma dos 10 primeiros termos, S20.
Sn =
a1 (qn - 1)
q-1
1× (210 - 1)
2 -1
1× (1024 - 1)
Sn =
2 -1
Sn =
1023
1
Sn = 1023
SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO
GEOMÉTRICA INFINITA
Sendo (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an ) uma progressão
geométrica de razão –1<q<1e Sn a soma desses
termos, Sn= a1+ a2+ a3+ a4+a5+ ... , temos uma
forma simplificada para o somatório de qualquer
seqüência infinita em PG, dada pela fórmula:
a
S∞ = 1
1- q
Resolução:
r=a2/a1=2-1=2
a 10 = 1 x 512
Sn =
n é igual ao número
de termos somados.
n-1
∞ = símbolo que
representa o infinito
I) Dados para cálculo da soma: a1=1, n=10 e a10
não foi fornecido, deverá ser calculado, veja item II.
II) Pela fórmula do termo geral,
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a) ( 2, 4, 8, 16, ....., ....., ....., ..... )
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Calcular a soma dos termos da progressão
geométrica ( 1, 1/2, 1/4, ...).
Resolução:
b) ( 729, 243, 81, 27, ....., ....., ....., ..... )
I) Dados para cálculo da soma: a1=1, n= ∞ e a
razão não foi fornecida, deverá ser calculado, veja
item II.
II) Pela fórmula do termo geral,
q=
1
2
=
1
c) ( 3, 3, 3, 3, ....., ....., ....., ..... )
1
1
x1 =
2
2
II) A soma dos infinitos ( ∞ ) termos, S ∞ , é:
d) ( 2, -4, 8, -16, ....., ....., ....., ..... )
S∞ =
S∞ =
a1
1- q
2. (CESGRANRIO-TRANSPETRO-2008)
Atualmente, Marcelo tem 12 anos e as idades de
Pedro, Joana e Marcelo, em anos, formam, nessa
ordem, uma progressão geométrica de razão 2.
Qual será a idade de Joana quando Pedro estiver
com 5 anos?
1
1
12
S∞ =
1
1
2
S∞ = 2
a)
b)
c)
d)
e)
TESTES
1. Complete as seqüências a seguir, mantendo a
formação lógica.
14
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6
8
10
12
14
3. (UEPB-PB) Durante os sete dias destinados às
inscrições de um concurso, o número de candidatos
cresceu em progressão geométrica do primeiro ao
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sétimo dia. Sabendo que no 1º dia se inscreveram
2 candidatos e no sétimo dia 1.458, concluímos que
o total de candidatos inscritos para o referido
concurso foi de:
a)
b)
c)
d)
e)
2.916
1.460
2.186
1.458
1.944
4. (BB) Numa PG, o quarto termo é 20% do terceiro
termo. Sabendo-se que a1 = 2.000, o valor de a5 é:
d) 6 e 9
e) 9/2 e 3
7. (UDESC-SC) Três números formam uma
progressão aritmética de razão r = 7 . Subtraindo-se
uma unidade do primeiro termo, vinte unidades do
segundo termo e trinta e uma unidades do terceiro
termo, a seqüência resultante é uma progressão
geométrica de razão:
a) 20/3
a) – 3
b) 1
c) 3
b) 18/7
d) −
c) 16/5
d) e)
1
3
1
3
d) 14/5
e) 12/7
5. (CESGRANRIO-ANP-2008) Quando três
números representam termos consecutivos de uma
progressão geométrica, o termo do meio
corresponde à média geométrica dos outros dois.
Se a seqüência (x-1; x + 2; 2x-4) é uma progressão
geométrica crescente, o maior termo dessa
progressão é igual a
8. Recreações matemáticas já apareciam no papiro
de Ahmes (1650 a.C.). Aos fragmentos do
problema 79 deste papiro associa-se a posterior
versão da poesia infantil:
to
“Quando ia a S Ives,
encontrei um homem com sete mulheres,
cada mulher tinha sete sacos,
cada saco tinha sete gatos,
a)
b)
c)
d)
e)
9
10
12
15
16
cada gato tinha sete gatinhos.
Gatinhos, gatos, sacos e mulheres, quantos iam a
to
S Ives?”
(Do livro – História da matemática – Carl Boyer)
6. (UF-MG) Os números 3, a e b são, nessa ordem,
termos consecutivos de uma progressão aritmética
cuja razão é positiva. Por sua vez, os números
reais a, b e 8 são, nessa ordem termos de uma
progressão geométrica. Determinando a e b,
obtemos respectivamente:
a) 9/2 e 6
A resposta correta a esta questão é:
4 3
2
a) 7 + 7 + 7 +7+1
b) 9 e 3
3
2
b) 7 + 7 +7+1
c) 3 e 9
4 3
2
c) ( 7 + 7 + 7 )7
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ângulo. A medida do menor desses quatro ângulos,
em graus, é:
4 3
2
d) ( 7 + 7 + 7 +7)7
4 3
2
e) 7 + 7 + 7 +7
9. (UFPR) Três pessoas se reuniram no dia 1º de
janeiro de 2004 para iniciar uma ação de
voluntariado junto a organizações de proteção ao
meio ambiente. Em fevereiro, cada uma daquelas
pessoas tinha conseguido a adesão de um novo
voluntário. Observaram que tinham começado a
aplicar uma boa estratégia para aumentar o grupo
de voluntários e decidiram o seguinte: a cada mês,
cada voluntário traria um novo voluntário para
participar do grupo e, sempre que alguém
desistisse, seria substituído. Assim, o total de
voluntários no mês de janeiro de 2005, já incluídos
os novos participantes do mês, será de:
12
a) 3x2
12
12
b) 3+2
a)
b)
c)
d)
e)
18
26
22
20
24
13. (ACAFE-SC) O vazamento em um tanque de
água provocou a perda de 2 litros de água no
primeiro dia. Como o orifício responsável pela
perda ia aumentando, no dia seguinte o vazamento
foi o dobro do dia anterior. Se essa perda foi
dobrando a cada dia, o número total de litros de
0
água perdidos, até o 10 dia, foi de:
a)
b)
c)
d)
e)
2046
1024
1023
2048
512
11
c) 3x2
11
d) 2
e) 3
GABARITO
10. Uma indústria produziu 74.400 unidades de
certo produto num período de 5 anos. Supondo
que a produção tenha dobrado a cada ano, o
número de unidades produzidas nos dois primeiros
anos, foi de:
a)
b)
c)
d)
7400
7200
4800
3600
11. O financiamento de um carro foi feito nos
seguintes moldes. Sem entrada e a primeira
mensalidade de R$ 1,00, no segundo mês R$ 2,00,
no terceiro mês R$ 4,00, e assim por diante até um
total de 12 prestações. Qual é o custo final do
carro.
12. (UEPB-PB) Os ângulos internos de um
quadrilátero formam uma P.G. de modo que o
último ângulo é quatro vezes maior que o segundo
16
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01
a) 32, 64, 128, 256
b) 9, 3, 1, 1/3
c) 3, 3, 3, 3
d) 32, -64, 128, 256
02
B
03
C
04
C
05
A
06
E
07
E
08
E
09
A
10
B
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11
4 095
12
E
13
A
MATEMÁTICA FINANCEIRA
2. TAXA
DEFINIÇÃO
Taxa é uma razão usada como um valor comparativo, tendo como referência um todo previamente concebido.
A taxa representa uma razão que informa:
I)
II)
III)
Parte de uma grandeza.
Comparação entre duas ou mais grandezas de mesma espécie.
Acréscimo ou decréscimo em uma grandeza para outra grandeza.
Em matemática financeira, é muito comum fornecer a taxa em termos percentuais.
3. TAXA PERCENTUAL
DEFINIÇÃO
É uma razão centesimal do tipo
n
100
(ou n%), sendo n um número real que indica o número de unidades
consideradas das 100 partes iguais que o todo foi dividido.
QUADRO EXEMPLIFICANDO AS FORMAS USADAS DE TAXAS
Notação com o
símbolo de %
Notação por
fração
30
30%
Notação em
unitário decimal
0,30
100
150
150%
1,50
100
2
2%
0,02
100
1,5
1,5%
100
Atualizada Janeiro/2010
=
15
0,015
1000
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100
100%
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1
100
2 000
2000%
20
100
10. TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA, EM JUROS SIMPLES
Se for informada a taxa nominal (inominal), geralmente em termos anuais, para determinar da taxa efetiva, usamos
a conversão proporcional. A unidade de tempo que desejamos será o da forma de capitalização informada,
período de anexação dos juros.
Se a capitalização for mensal, convertemos proporcionalmente para mês,
Se a capitalização for bimestral, convertemos proporcionalmente para bimestre,
Se a capitalização for semestral, convertemos proporcionalmente para semestre,
e assim por diante, usando as relações abaixo.
1⋅ iaa = 2 ⋅ ias
= 3 ⋅ iaq
= 4 ⋅i
at
= 6 ⋅i
ab
= 12 ⋅ iam = 360 ⋅ i
ad
A resultante dessa conversão é a taxa efetiva. É a taxa que será usada na fórmula.
11. TAXA EQUIVALENTE À JUROS SIMPLES
Para obter qualquer equivalência em relação à taxa efetiva, usamos a conversão proporcional, repetição do
estágio anterior.
1⋅ iaa = 2 ⋅ ias
= 3 ⋅ iaq
= 4 ⋅i
at
= 6 ⋅i
ab
= 12 ⋅ iam = 360 ⋅ i
ad
Duas taxas expressas em unidades de tempo diferentes são equivalentes, se aplicadas a mesmo capital e
prazo, produzirem montantes iguais.
14. REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES OU JUROS SIMPLES
DEFINIÇÃO
No regime de juros simples de taxa i, um capital “C” transforma-se, em n períodos com umidade de tempo igual
ao da taxa, em um montante “M”. O gráfico da evolução do dinheiro no tempo determina uma linha gráfica de
comportamento linear como na figura que segue.
18
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Montante ou
M
Capital ou
Cpresente
Valor
i ao período = taxa
Períodos
0
1
2
3
4
...
n
(mesma unidade
15. ESTUDO ANALITICO
1. É uma função do 1º grau, y = ax + b.
2. Evolui em progressão aritmética de razão r = C.i.
3. É crescente se a taxa for positiva e decrescente se a taxa for negativa.
4. Formas de apresentação da taxa
Notação com o
símbolo de %
Notação por fração
30
30%
Notação em unitário
decimal
0,30
100
Para ser usada nas fórmulas, a taxa deve estar na notação fracionária ou unitária decimal
5. A taxa normalmente é representada pela letra i, pode estar na notação com o símbolo %, na forma fracionária
ou na forma unitária decimal. Para uso nas fórmulas é indispensável que esteja na notação numeral unitário
decimal ou fracionária.
Para iad = taxa ao dia, a unidade de tempo do período deve estar ao dia.
Para iam = taxa ao mês, a unidade de tempo do período deve estar ao mês.
Para iab = taxa ao bimestre, a unidade de tempo do período deve estar ao bimestre.
Para iat = taxa ao trimestre, a unidade de tempo do período deve estar ao trimestre.
Para iaq = taxa ao quadrimestre, a unidade de tempo do período deve estar quadrimestre.
Para ias = taxa ao semestre, a unidade de tempo do período deve estar ao semestre.
Para iaa = taxa ao ano, a unidade de tempo do período deve estar ao ano.
Ano comercial tem 360 dias.
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Ano civil tem 365 não bissexto dias. Denominado de tempo exato.
Ano civil tem 366 bissexto dias. Denominado de tempo exato.
6. Gráfico
7. Evolução do dinheiro no tempo a juros compostos
C1
C2
C3
C4
C5
C6
L1
n
Capital
Taxa
Juro = C.i.n
Montante = C + J
C evidenciado
L2
0
C0
-
-
-
-
L3
1
C0
i
J1 = C0.i.1
M1 = C0 + C0.i.1
M1 = C0 ( 1 + i.1)
L4
2
C0
i
J2 = C0.i.2
M2 = C0 + C0.i.2
M2 = C0 ( 1 + i.2)
L5
3
C0
i
J3 = C0.i.3
M3 = C0 + C0.i.3
M3 = C0 ( 1 + i.3)
...
...
...
...
...
...
...
Ln
n
C0
i
Jn = C0.i.n
Mn = C0 + C0.i.n
Mn = C0 ( 1 + i.n)
8. Na linha Ln, a generalização permite construir as funções
Na linha n com coluna C4, obtemos a fórmula dos juros
J = C ⋅i ⋅n
9. Na linha Ln com coluna C6, obtemos a fórmula do montante
M= C ⋅ ( 1 + i ⋅n )
20
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Tabela exemplo: Capital C = R$ 10,00, taxa i = 10% ao mês e prazo n = 5 meses
n
C
J
M
0
10,00
-
-
1
10,00
1
11,00
2
10,00
1
12,00
3
10,00
1
13,00
4
10,00
1
14,00
5
10,00
1
15,00
Obs.: O montante cresce em progressão aritmética de razão r = 1.
10. Fórmulas derivadas de
n
e
M = C ⋅( 1 + i )
n
0
Para calcular C, conhecendo-se M, i e n
C=
Para calcular
i , conhecendo-se M, C e n
i=
Para calcular
n, conhecendo-se M, C e i
J = C ⋅i⋅n
n
0
M
(1 + i ⋅ n)
J
C ⋅n
n=
J
C⋅i
11. O movimento do dinheiro para equivalência de capitais
Para obter o valor futuro (montante), basta multiplicar o valor atual (capital) pelo
fator ( 1 + i.n )
Para obter o valor atual (capital), basta dividir o valor futuro (montante) pelo
fator ( 1 + i.n )
TESTES
1. (FUNRIO) O valor de R$ 18.000,00, aplicado a juros simples, no período de 3 anos à taxa de 5% a. a.,
produzirá um rendimento de:
a) R$ 2.700,00
b) R$ 2.800,00
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c) R$ 3.000,00
d) R$ 3.100,00
e) R$ 3.300,00
Resposta: A
2. (ESAF-TTN) Qual é o capital que diminuído dos seus juros simples de 18 meses, à taxa de 6% a.a. reduz-se
a R$ 8.736,00?
a) R$ 9.706,66
b) R$ 9.600,00
c) R$ 10.308,48
d) R$ 9.522,24
e) R$ 9.800,00
Resposta: B
3. (FCC-PMSP) Marcos tomou emprestados R$ 6.000,00 para pagar após 4 meses, à taxa de juros simples de
3,0 % ao mês. Após os 4 meses, Marcos deverá pagar, só de juros, uma quantia, em reais, de
a)
b)
c)
d)
e)
180
240
360
600
720
Resposta : E
4. (FCC-PBGAS) Um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado no mercado financeiro à taxa de juros simples de
12% a.a. durante quatro quadrimestres consecutivos. O valor total dos juros recebidos pelo investidor no
vencimento da aplicação foi de
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 800,00
R$ 2.400,00
R$ 3.200,00
R$ 4.800,00
R$ 9.600,00
Resposta: C
5. (ESAF-TTN) Carlos aplicou 1/4 de seu capital a juros simples comerciais de 18% a.a., pelo prazo de 1 ano, e
o restante do dinheiro a uma taxa de 24% a.a., pelo mesmo prazo e regime de capitalização. Sabendo-se que
uma das aplicações rendeu R$ 594,00 de juros, mais do que a outra, o capital inicial era de R$
a) 4.200,00
22
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b) 4.800,00
c) 4.900,00
d) 4.600,00
e) 4.400,00
Resposta: E
6. (ESAF-TTN) Três capitais são colocados a juros simples: o primeiro a 25% a.a., durante 4 anos; o segundo a
24% a.a., durante 3 anos e 6 meses e o terceiro a 20% a.a., durante 2 anos e quatro meses. Juntos renderam
um juro de R$ 27.591,80. Sabendo que o segundo capital é o dobro do primeiro e que o terceiro é o triplo do
segundo, o valor do terceiro capital é de:
a) R$ 30.210,00
b) R$ 10.070,00
c) R$ 15.105,00
d) R$ 20.140,00
e) R$ 5.035,00
Resposta: A
7. (FGV-SP) Antônio investiu a quantia recebida de herança em três aplicações distintas: 35% do total recebido
em um fundo de renda fixa; 40% do valor herdado em um fundo cambial e o restante da herança em ações. No
final de um ano as aplicações renderam, de juro, um total de R$ 28 500,00. Determine a quantia herdada por
Antônio, sabendo que os rendimentos anuais foram de 30%, 20% e 40%, respectivamente, no fundo de renda
fixa, no fundo cambial e nas ações.
Resposta : R$ 100 000,00.
8. (FCC-PBGAS) Um capital de R$ 50.000,00 foi aplicado durante 8 meses no regime de capitalização simples
e gerou o montante de R$ 62.000,00 na data de vencimento. A taxa de juros semestral correspondente a essa
aplicação foi de
a)
b)
c)
d)
e)
36%
30%
24%
18%
3%
Resposta: D
9. (ESAF-TTN) Quanto se deve aplicar a 12% ao mês, para que se obtenha os mesmos juros simples que os
produzidos por Cr$ 400.000,00 emprestados a 15% ao mês, durante o mesmo período?
a) Cr$ 420.000,00
b) Cr$ 450.000,00
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c) Cr$ 480.000,00
d) Cr$ 520.000,00
e) Cr$ 500.000,00
Resposta: E
10. (FCC-TRF) Um capital de R$ 5 500,00 foi aplicado a juro simples e ao final de 1 ano e 8 meses foi retirado o
montante de R$ 7 040,00. A taxa mensal dessa aplicação era de
a)
b)
c)
d)
e)
1,8%
1,7%
1,6%
1,5%
1,4%
Resposta: E
11. Uma geladeira é vendida à vista por $ 1 000,00 ou em duas parcelas, sendo a primeira como uma entrada
de $ 200,00 e a segunda, dois meses após, no valor de $ 880,00. Qual a taxa mensal de juros simples
utilizada?
a)
b)
c)
d)
e)
6%
5%
4%
3%
2%
Resposta: B
12. (FCC-TCE-MG) O capital de R$ 25.000,00 permaneceu aplicado em uma instituição financeira durante 1
ano e 3 meses. Se a taxa de juros adotada foi de 12% a.a., os juros simples desse período corresponderam a
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 3.750,00
R$ 3.550,00
R$ 3.250,00
R$ 3.150,00
R$ 2.950,00
Resposta: A
13. (AFRF-ESAF) Um capital no valor de 50, aplicado a juros simples a uma taxa de 3,6% ao mês, atinge, em
20 dias, um montante de:
a) 51
b) 51,2
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c) 52
d) 53,6
e) 68
Resposta: B
14. (FUNRIO) O capital de R$ 15.000,00, aplicado à taxa de 30 % a.a. pelo prazo de cinco anos, com
capitalização simples, produzirá o montante de:
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 45.500,00
R$ 44.000,00
R$ 42.500,00
R$ 39.000,00
R$ 37.500,00
Resposta: E
15. (FCC-TRT) Uma pessoa aplicou 2 de C reais à taxa mensal de 1,5% e, após 3 meses da data desta
3
aplicação, aplicou o restante à taxa mensal de 2%. Considerando que as duas aplicações foram feitas em um
regime simples de capitalização e que, decorridos 18 meses da primeira, os montantes de ambas totalizavam
R$ 28 800,00, então o valor de C era
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 24 000,00
R$ 24 200,00
R$ 24 500,00
R$ 22 800,00
R$ 22 500,00
Resposta: E
(CESPE-BANESE) Considere um título de valor nominal igual a R$ 1.000,00, cujo vencimento ocorrerá daqui a
12 meses. Se a taxa de juros simples, no mercado é de 150% a.a., julgue os itens seguintes, no contexto de
juros simples.
16. (CESPE-BANESE) A taxa mensal de juros simples equivalente à taxa anual dada é 12,5% a.m.
Resposta : Correta
17. (FGV-SP) Um capital C foi aplicado a juros simples durante 10 meses, gerando um montante de
R$10.000,00; esse montante, por sua vez, foi também aplicado a juros simples, durante 15 meses, à mesma
taxa da aplicação anterior, gerando um montante de R$ 13.750,00. Qual o valor de C?
Resposta: R$ 8 000,00
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1. TABELAS FINANCEIRAS
1.1. TABELA 1
n
FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL
1%
2%
3%
4%
5%
6%
(1+ i)n
7%
8%
9%
10%
12%
15%
18%
1
1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,0600 1,0700 1,0800 1,0900 1,1000 1,1200
1,1500
1,1800
2
1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,1236 1,1449 1,1664 1,1881 1,2100 1,2544
1,3225
1,3924
3
1,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,1910 1,2250 1,2597 1,2950 1,3310 1,4049
1,5209
1,6430
4
1,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155 1,2625 1,3108 1,3605 1,4116 1,4641 1,5735
1,7490
1,9388
5
1,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382 1,4026 1,4693 1,5386 1,6105 1,7623
2,0114
2,2878
6
1,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 1,4185 1,5007 1,5869 1,6771 1,7716 1,9738
2,3131
2,6996
7
1,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 1,5036 1,6058 1,7138 1,8280 1,9487 2,2107
2,6600
3,1855
8
1,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 1,5938 1,7182 1,8509 1,9926 2,1436 2,4760
3,0590
3,7589
9
1,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513 1,6895 1,8385 1,9990 2,1719 2,3579 2,7731
3,5179
4,4355
10
1,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 1,7908 1,9672 2,1589 2,3674 2,5937 3,1058
4,0456
5,2338
15%
18%
n
1%
2%
3%
4%
5%
6%
7%
8%
9%
10%
12%
11
1,1157 1,2434 1,3842 1,5395 1,7103 1,8983 2,1049 2,3316 2,5804 2,8531 3,4785
4,6524
6,1759
12
1,1268 1,2682 1,4258 1,6010 1,7959 2,0122 2,2522 2,5182 2,8127 3,1384 3,8960
5,3503
7,2876
13
1,1381 1,2936 1,4685 1,6651 1,8856 2,1329 2,4098 2,7196 3,0658 3,4523 4,3635
6,1528
8,5994
14
1,1495 1,3195 1,5126 1,7317 1,9799 2,2609 2,5785 2,9372 3,3417 3,7975 4,8871
7,0757
10,1472
15
1,1610 1,3459 1,5580 1,8009 2,0789 2,3966 2,7590 3,1722 3,6425 4,1772 5,4736
8,1371
11,9737
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA OU JUROS COMPOSTOS
DEFINIÇÃO
No regime de juros compostos de taxa i, um capital “C” transforma-se, em n períodos com umidade de tempo
igual ao da taxa, em um montante “M”. O gráfico da evolução do dinheiro no tempo determina uma linha gráfica
de comportamento exponencial como na figura que segue.
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Montante ou
M
Capital ou
Cpresente
Valor
i ao período = taxa
Períodos
0
1
2
3
4
...
n
(mesma unidade
17. ESTUDO ANALITICO
x
1. É uma função do exponencial, y = a.(b) .
2. Evolui em progressão geométrica de razão q = ( 1 + i )
3. É crescente se a taxa for positiva e decrescente se a taxa for negativa.
4. Formas de apresentação da taxa
Notação com o
símbolo de %
Notação por fração
Notação em unitário
decimal
30
30%
0,30
100
Para ser usada nas fórmulas, a taxa deve estar na notação fracionária ou unitária decimal
5. A taxa normalmente é representada pela letra i, pode estar na notação com o símbolo %, na forma fracionária
ou na forma unitária decimal. Para uso nas fórmulas é indispensável que esteja na notação numeral unitário
decimal ou fracionária.
Para iad = taxa ao dia, a unidade de tempo do período deve estar ao dia.
Para iam = taxa ao mês, a unidade de tempo do período deve estar ao mês.
Para iab = taxa ao bimestre, a unidade de tempo do período deve estar ao bimestre.
Para iat = taxa ao trimestre, a unidade de tempo do período deve estar ao trimestre.
Para iaq = taxa ao quadrimestre, a unidade de tempo do período deve estar quadrimestre.
Para ias = taxa ao semestre, a unidade de tempo do período deve estar ao semestre.
Para iaa = taxa ao ano, a unidade de tempo do período deve estar ao ano.
Ano comercial tem 360 dias.
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Ano civil tem 365 não bissexto dias. Denominado de tempo exato.
Ano civil tem 366 bissexto dias. Denominado de tempo exato.
6.Gráfico
7. Evolução do dinheiro no tempo a juros compostos
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
L1
n
Capital
Taxa
Juro
Montante = C + J
C evidenciado
M para C
L2
0
-
-
-
-
-
-
L3
1
C0
i
J1 = C0.i
M1 = C0 + C0.i
M1 = C0(1 + i)
-
L4
2
C1
i
J2 = C1.i
M2 = C1 + C1.i
M2 = C1(1 + i)
M1 = C1
L5
3
C2
i
J3 = C2.i
M3 = C2 + C2.i
M3 = C2(1 + i)
M2 = C2
...
...
...
...
...
...
...
...
Ln
n
Cn-1
i
Jn = Cn-1.i
Mn = Cn-1 + Cn-1.i
Mn = Cn-1(1 + i)
Mn-1 = Cn-1
8. Das igualdades construídas na tabela acima, podemos relacionar Mn, i e n, com o capital inicial C0, como
segue:
M2 = C1(1 + i)
⇔ M2 = C0(1 + i)(1 + i)
⇔
M2 = C0(1 + i)
M3 = C2(1 + i)
⇔ M3 = C0(1 + i)(1 + i) (1 + i)
⇔
M3 = C0(1 + i)
2
3
.
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.
⇔ Mn = C0(1 + i)(1 + i) (1 + i)…(1 + i)
Mn = Cn-1(1 + i)
⇔
Mn = C0(1 + i)
n
Fórmula do montante
M = C ⋅ ( 1 + i )n
n
0
9. Cálculo do total de juros no tempo.
Como Jn = Mn - C0
⇔
n
Jn = C0(1 + i) - C0
⇔
n
Jn = C0((1 + i) – 1)
J = C ⋅ (( 1 + i )n − 1)
n
0
Tabela exemplo: Capital C = R$ 10,00, taxa i = 10% ao mês e prazo n = 5 meses
n
C
J
M
0
10
-
-
1
10
1,00
11,00
2
10
1,10
12,10
3
10
1,21
13,31
4
10
1,31
14,64
5
10
1,46
16,10
Obs.: O montante cresce em progressão geométrica de razão q = 1,10.
10. Fórmulas derivadas de
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n
M = C ⋅( 1 + i )
n
0
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Para calcular C, conhecendo-se M, i e n
C=
M
(1 + i)n
Para calcular i , conhecendo-se M, C e n
i=n
M
−1
C
Para calcular n, conhecendo-se M, C e i , ou com o uso
n
da tabela 1 de fator (1+i) .
n=
log M − log C
log (1 + i)
11. O movimento do dinheiro para equivalência de capitais
Para obter o valor futuro (montante), basta multiplicar o valor atual (capital) pelo
n
fator ( 1 + i )
Para obter o valor atual (capital), basta dividir o valor futuro (montante) pelo
n
fator ( 1 + i )
TESTES
1. (FCC-MP-RS) Se uma dívida, contraída a juros compostos e a uma taxa fixa, aumentou 125% em 2 anos, a
taxa anual de juros cobrada foi de
a)
b)
c)
d)
e)
25%
27,5%
45%
47,5%
50%
Resposta: E
2. (FCC-TRF) Um capital de R$ 400,00 foi aplicado a juros simples por 3 meses, à taxa de 36% ao ano. O
montante obtido nessa aplicação foi aplicado a juros compostos, à taxa de 3% ao mês, por um bimestre. O total
de juros obtido nessas duas aplicações foi
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 149, 09
R$ 125,10
R$ 65,24
R$ 62,55
R$ 62,16
Resposta: D
3. (FGV-SP) No regime de juros compostos, a taxa de juro anual que produz um montante 44% superior ao
capital inicial, no prazo de aplicação de 2 anos, com capitalização anual.
30
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é:
a) 20%
b) 21,5%
c) 21%
d) 20,5%
e) 22%
Resposta: A
4. (FCC-TRT) Para que ao final de 2 anos de aplicação num regime de capitalização composta, um capital de
R$ 15 800,00 produza o montante de R$ 24 687,50, a taxa anual da aplicação deverá ser de
a)
b)
c)
d)
e)
25%
22,5%
22%
20%
18,5%
Resposta: E
5. (FCC-PBGAS) João dos Santos fez uma aplicação de R$ 28.500,00 numa instituição financeira por dois
anos, com capitalização composta anual. Sabendo que a taxa composta de juros anual da aplicação
correspondeu a 10%, o montante resgatado pelo investidor no vencimento da aplicação foi de
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 34.200,00
R$ 34.485,00
R$ 35.200,00
R$ 35.485,00
R$ 36.200,00
Resposta: B
6. O montante gerado por um capital de R$ 160.400,00, no fim de 5 anos, com juros de 40% a.a.
capitalizados trimestralmente é de:
20
Considere que (1+10%) =6,7275.
a) R$ 1.079.090,84
b) R$ 2.079.090,84
c) R$ 3.079.090,84
d) R$ 4.079.090,84
e)R$ 5.079.090,84
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Resposta: A
7. Calcular o valor presente ou capital mais próximo de uma aplicação de R$ 98 562,25, efetuada pelo prazo de
6 meses a uma taxa de 1,85 ao mês.
6
Considere que: 1,0185 ≅ 1,116
Resposta: R$ 88 317,43
8. Determinar o prazo de uma aplicação de R$ 550.000,00 a juros compostos se desejo obter um
montante de R$ 1.106.246,50, a uma taxa de 15% a.m. capitalizada mensalmente.
a) 5 meses
b) 6 meses
c) 7 meses
d) 8 meses
e) 4 meses
Resposta: A
9. O capital R$ 1.060.000,00 foi aplicado a juros compostos, com capitalização mensal, durante 4 meses.
Ao final do prazo o montante será igual a R$ 1.288.440,00. Qual a taxa da aplicação?
a) 9% a.m.
b) 8% a.m.
c) 7% a.m.
d) 6% a.m.
e) 5% a.m.
Resposta: E
10. Um capital de R$ 40,00, aplicado sob o regime de juros compostos, após 20 meses, foi resgatado por R$ 120,00. Qual a
taxa de juro implícita nessa transação?
Considere:
20
3 ≅ 1,0565
Resposta: 5,65%
11. Determinar o valor de um investimento que foi realizado pelo regime de juros compostos, com uma taxa de
2,8% ao mês, produzindo um montante de R$ 2.500,00 ao final de 25 meses.
25
Considere: (1,028) =2
Resposta: R$ 1 250,00
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12. Um capital de R$ 2.000.000,00 é aplicado durante um ano e três meses à taxa de 2% am. Quais os juros
gerados no período?
15
Dado: (1,02)
= 1,3458
Resposta: R$ 691 600,00
13. (AFRF-ESAF) Uma empresa obteve um financiamento de $10.000,00 à taxa de 120% ao ano capitalizado
mensalmente (juros compostos). A empresa pagou $ 6.000,00 ao final do primeiro mês e $ 3.000,00 ao final do
segundo mês. O valor que devera ser pago ao final do terceiro mês para liquidar o financiamento (juros +
principal) é:
a) $ 3.250,00
b) $ 2.5 00,00
c) $ 3.050,00
d) $ 2.975,00
e) $ 2.750,00
Resposta: E
14. Um aplicado a 5% ao mês no regime de juros compostos, após 40 meses, foi resgatado por R$ 300,00.
Qual o valor aproximado do capital?
40
Considere: (1,05) =7,04
Resposta: 42,61
15. Qual o montante gerado por um capital de R$ 500,00 durante o período de 36 meses, a taxa de 3% ao mês,
no regime de juros compostos.
36
Considere: (1,03) =2,898
Resposta: 1 449,00
DESCONTOS
Quando o portador de títulos de crédito, tais como:
• Duplicatas
• Nota Promissória
• Cheque Pré Datado
• Letras de Câmbio (papéis federais)
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• etc
com vencimentos certos e líquidos, necessita de caixa (dinheiro), pode, mediante a transferência da
propriedade desses títulos, levantar fundos de que necessita junto às instituições financeiras ou a um
capitalista.
A instituição financeira desconta esses títulos, pagando, naturalmente pelo empate de capital, até o vencimento,
a quantia menor do que o nominal do título. Essa diferença, entre o valor nominal e o líquido pago ao portador,
dito valor atual, é chamado de desconto.
▬ Valor Nominal “N”
È o valor de um fluxo de caixa na data de seu vencimento.
▬ Valor Atual “A”
È o valor de um fluxo de caixa numa data anterior ao seu vencimento (anterior ao valor nominal).
▬ Valor Futuro “M”
É o valor de um fluxo de caixa posterior a data presente.
18.1. DESCONTOS NO REGIME SIMPLES DE FORMAÇÃO
LEGENDA
▬
Valor de face
N = Valor nominal pode estar expresso como:
Valor futuro
Valor do título
Montante
▬
Valor atual
A = Valor líquido pode estar expresso como:
Valor presente
Valor descontado
Capital
▬
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id = taxa de desconto
nd = números de unidades de tempo do desconto que falta decorrer até o vencimento.
18.1.1. DESCONTO RACINAL SIMPLES [DRS] “POR DENTRO”
INFORMAÇÕES:
▬ Denominado desconto por dentro.
▬ A taxa de desconto no tempo incide sobre o valor atual (valor presente).
▬ Usa o regime simples de formação [Juros Simples ].
▬ Tem comportamento linear.
▬ Tipo de desconto matematicamente justo [ correto ].
▬ Utilizado em operações de desconto a curto prazo.
▬ O valor atual é igual ao valor presente na data de desconto.
FORMULAS IMPORTANTES
I) Relação entre N, A e D
D=N–A
II) Cálculo do desconto racional simples
D = A ⋅ id ⋅ nd
III) Cálculo do valor líquido.
A=
N
1 + id ⋅ nd
FÓRMULA OPCIONAL
IV) Cálculo do desconto racional simples
D=
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N ⋅ id ⋅ nd
1 + id ⋅ nd
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18.1.2. DESCONTO COMERCIAL SIMPLES [DCS]
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“POR FORA”
INFORMAÇÕES:
▬ Denominado desconto por fora.
▬ A taxa no tempo incide sobre o valor nominal (N)
▬ Usa o regime simples de formação [juros simples].
▬ Utilizado em operações de desconto à curto prazo.
▬ Tem comportamento linear.
▬ A taxa efetiva de desconto é diferente da taxa efetiva para a formação de juros no mesmo fluxo de caixa.
▬ A taxa de desconto é fornecida pela instituição financeira.
FORMULAS IMPORTANTES
I) Relação entre N, A e D
D=N–A
II)
Cálculo do desconto comercial simples
D = N ⋅ id ⋅ nd
III) Cálculo do valor líquido.
A = N ⋅ ( 1− id ⋅ nd )
RELAÇÃO ENTRE AS FÓRMULAS DE JUROS SIMPLES COM DESCONTOS SIMPLES E DE JUROS
COMPOSTOS COM DESCONTOS COMPOSTOS– PARA MEMORIZAÇÃO
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TESTES
1. (BACEN) O valor do desconto simples por fora, de um título de R$ 2 000,00,
com vencimento para 120 dias à taxa de 3% ao mês, é, em reais:
a) 320,00;
b) 120,00;
c) 240,00;
d) 340,00;
e) 420,00.
Resposta: C
2. (CESGRANRIO-EPE) Na operação de desconto comercial (por fora) de um título cujo valor nominal é R$
150,00, três meses antes do seu vencimento, à taxa simples de 5% ao mês, o valor líquido recebido (valor
atual), em reais, é:
a)
b)
c)
d)
e)
127,50
132,50
135,50
142,50
147,50
Resposta: A
3. (AFTN-ESAF) O desconto comercial simples de um título 4 meses antes do seu vencimento é de R$ 600,00.
Considerando uma taxa de 5% ao mês, obtenha o valor correspondente no caso de um desconto racional
simples.
Resposta: R$ 500,00
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4. (AFPS-ESAF) Um título no valor nominal de R$ 10.900,00 deve sofrer um desconto comercial simples de R$
981,00 três meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou a troca do desconto comercial por
um desconto racional simples. Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de desconto mensal.
a) R$ 890,00
b) R$ 900,00
c) R$ 924,96
d) R$ 981,00
e) R$ 1.090,00
Resposta: B
5. (ANALISTA DE COMÉRCIO EXTERIOR - ESAF) O desconto simples racional de um título descontado à
taxa de 24% ao ano, três meses antes de seu vencimento, é de R$ 720,00. Calcular o valor do desconto
correspondente caso fosse um desconto simples comercial.
a) R$ 43,20
b) R$ 676,80
c) R$ 720,00
d) R$ 763,20
e) R$ 12.000,00
Resposta: D
6. (AFTN-ESAF) O desconto comercial simples de um título quatro meses antes do seu vencimento é de R$
600,00. Considerando uma taxa de 5% ao mês, obtenha o valor correspondente no caso de um desconto
racional simples.
a) R$ 400,00
b) R$ 800,00
c) R$ 500,00
d) R$ 700,00
e) R$ 600,00
Resposta: C
7. (AFCE-ESAF) Qual o valor hoje de um título de valor nominal de R$ 24.000,00, vencível ao fim de 6 meses,
a uma taxa de 40% ao ano, considerando um desconto simples comercial?
a) R$ 19.200,00
b) R$ 20.000,00
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c) R$ 20.400,00
d) R$ 21.000,00
e) R$ 21.600,00
Resposta: E
8. (TTN - ESAF) O valor atual racional de um título é igual a metade de seu valor nominal. Calcular a taxa de
desconto, sabendo-se que o pagamento desse título foi antecipado de 5 meses.
a) 200% a.a.
b) 20% a.m.
c) 25% a.m.
d) 28% a.m.
e) 220% a.a.
Resposta: B
9. (TTN - ESAF) Utilizando o desconto racional, o valor que devo pagar por um título com vencimento daqui a 6
meses, se o seu valor nominal for de R$ 29.500,00 e eu desejo ganhar 36% ao ano, é de:
a) R$ 24.000,00
b) R$ 25.000,00
c) R$ 27.500,00
d) R$ 18.880,00
e) R$ 24.190,00
Resposta: B
10. (ISS-SP) Um título de valor nominal de R$ 59.895,00 foi pago 3 meses antes do vencimento. Se a taxa
mensal de desconto racional composto era 10%, o valor líquido desse título era:
Resposta: R$ 45.000,00
11. Uma empresa deseja descontar uma nota promissória 3 meses antes de seu vencimento. O valor nominal
deste título é de R$ 50 000,00. Sendo de 4% ao mês a taxa de desconto racional composto. Calcule o valor
liquido.
Resposta: 44 450,00
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