UFSC
Uma introdução à
modelagem quase-estática
de automóveis
Publicação interna do GRANTE
Departamento de Engenharia
Mecânica da UFSC
Autores:
Longuinho da Costa Machado Leal – [email protected]
Edison da Rosa – [email protected]
Lauro Cesar Nicolazzi – [email protected]
Fevereiro de 2012
Sumário
1 Pneus
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Partes constituintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Carcaça . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Banda de rodagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Resistência ao rolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Comentários iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Perdas no pneu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Perdas no solo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Perdas no contato pneu-solo . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Coeficiente de resistência ao rolamento . . . . . . . . . . .
1.4 Aderência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Deriva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Coeficiente de atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Carga sobre a roda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Pressão do pneu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Relação altura/largura do pneu . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.5 Tipos de construção do pneu . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.6 Estado da banda de rodagem . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.7 Influência do camber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Capacidade de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Capacidade de carga de pneus de automóveis e caminhões
1.6.2 Pneus de veículos fora de estrada . . . . . . . . . . . . . .
1.6.3 Capacidade de carga de pneus agrícolas . . . . . . . . . . .
1.7 Designação de pneus de automóveis . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Tamanho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2 Séries de pneus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.3 Capacidade de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.4 Velocidade limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.7.5 Tipo de carcaça . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Designação de outros pneus . . . . . . . . . . . .
1.8.1 Pneus de camionetas, caminhões e ônibus .
1.8.2 Tratores agrícolas e industriais . . . . . . .
1.8.3 Pneus para veículos fora de estrada . . . .
2 Forças e acelerações em um veículo em
2.1 Resistências ao movimento . . . . . . .
2.2 Resistência mecânica . . . . . . . . . .
2.3 Resistência ao aclive . . . . . . . . . .
2.4 Resistência de inércia . . . . . . . . . .
2.4.1 Massas em translação . . . . . .
2.4.2 Massas em rotação . . . . . . .
2.4.3 Superposição dos efeitos . . . .
2.5 Resistência ao rolamento . . . . . . . .
2.6 Forças aerodinâmicas . . . . . . . . . .
2.6.1 Resistência aerodinâmica . . . .
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2.6.2 Desprendimento da camada limite e turbulência . . . . .
2.6.3 Cálculo da resistência aerodinâmica . . . . . . . . . . . .
2.6.4 Área da seção transversal . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.5 Pressão dinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.6 ??Coeficiente de resistência aerodinâmica . . . . . . . . .
2.6.7 Coeficientes de penetração aerodinâmica de alguns carros
2.7 Forças de sustentação e centrípeta . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Forças de sustentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2 Força centrípeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Determinação do coeficiente de resistência aerodinâmica . . . . .
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3 Transmissão de força pneu pista: Modelo quase estático
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Posição do centro de gravidade . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Carga nos eixos de um veículo parado em aclive . . . . . .
3.4 Carga nos eixos com o veículo em movimento . . . . . . .
3.5 Força motriz máxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Aclives máximos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Acelerações máximas . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Escorregamento e tombamento em curva . . . . . . . . . .
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4 Mecânica da frenagem e freios
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 A importância dos freios para o setor automotivo . . . . . . . .
4.3 Sistema de freio: definições básicas e princípio de funcionamento
4.4 Manutenção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Manutenção corretiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Manutenção preventiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 Manutenção preditiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Carga nos eixos com o veículo em frenagem . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Freios na dianteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Freios na traseira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3 Freios nas quatro rodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Desaceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1 Caso 1 - Freio na dianteira apenas . . . . . . . . . . . . .
4.6.2 Caso 2 - Freio na traseira apenas . . . . . . . . . . . . .
4.6.3 Caso 3 - Freio nas quatro rodas . . . . . . . . . . . . . .
4.6.4 Parâmetros de frenagem . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Desempenho de frenagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Balanço de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.1 Freiadas moderadas de longa duração . . . . . . . . . . .
4.8.2 Freiada de emergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9 Tipos de freios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 Problemas com freios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10.1 Fading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10.2 Aquecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10.3 Ruído . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10.4 Ecologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Diagramas de desempenho
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Diagrama de potência líquida no cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Possibilidade de vencer aclives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Balanço de potências
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Potência gerada no motor . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Velocidade do veículo em função da rotação do motor
5.4 Potência consumida pelas resistências ao movimento .
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6.4 Possibilidade de aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.5 Tempo para mudar a velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.6 Critérios para obtenção das relações de transmissão . . . . . . . . . . . . . . 135
7 Princípios de carrocerias aerodinâmicas
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Formas de baixa resistência aerodinâmica
7.3 Princípio de Jaray (Forma J) . . . . . .
7.4 Pricípio de Kamm (Forma K) . . . . . .
7.5 Estudos de Lay . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Meios de diminuir a resistência do ar . .
7.6.1 Sucção da camada limite . . . . .
7.6.2 Palhetas direcionais . . . . . . . .
7.6.3 Cantos auxiliares . . . . . . . . .
7.7 Distribuição de pressão . . . . . . . . . .
7.8 Forças de sustentação . . . . . . . . . . .
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8 Estabilidade direcional
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8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
8.2 Estabilidade em retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.2.1 Forças e momentos sobre o veículo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.2.2 Influência do comportamento do pneu na estabilidade . . . . . . . . . 164
8.3 Comportamento do veículo em reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.3.1 Força perturbadora transitória agindo no CG . . . . . . . . . . . . . 167
8.4 Defições básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.5 Força lateral permanente agindo sobre o CG . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8.6 Veículos sujeitos a ventos laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8.6.1 Força do vento agindo no centro de gravidade . . . . . . . . . . . . . 172
8.6.2 Força do vento agindo na frente do centro de gravidade . . . . . . . . 172
8.6.3 Força do vento agindo atrás do centro de gravidade . . . . . . . . . . 173
8.7 Manutenção da direção primitiva através do volante . . . . . . . . . . . . . 175
8.8 Considerações adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
8.9 Estabilidade em curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
8.9.1 Geometria da direção e centro da curva . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
8.9.2 Comportamento do veículo em curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
8.10 Influência da posição do eixo de tração na estabilidade direcional de um veículo183
8.11 Disposição dos elementos mecânicos no veículo . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.11.1 Concepção convencional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
4
8.11.2 Tração dianteira, motor longitudinal ou transversal . . . . . . . . . . 184
8.11.3 Motor traseiro longitudinal ou transversal . . . . . . . . . . . . . . . 186
8.12 Influência da disposição dos elementos mecânicos no comportamento do veículo187
8.12.1 Concepção convencional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
8.12.2 Concepção com tração dianteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
8.12.3 Concepção com motor traseiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
8.12.4 Outras concepções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
8.13 Comportamento das concepções com carregamento total . . . . . . . . . . . 189
8.13.1 Concepção convencional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8.13.2 Concepção com tração dianteira. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8.13.3 Concepção com motor traseiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8.13.4 Concepção com motor central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.13.5 Concepção transaxle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.14 Comparação de diferentes concepções em testes de pista . . . . . . . . . . . . 191
8.14.1 Teste em pista circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
8.14.2 Sensibilidade a ventos laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
8.14.3 Verificação da dirigibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
8.14.4 Teste de ultrapassagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
8.14.5 Aquaplanagem em curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
8.14.6 Aquaplanagem em reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
8.14.7 Conclusões dos ensaios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
9 Sistema de direção
197
9.1 Geometria da direção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
9.1.1 Esterçamento e raio de retorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
9.2 Ângulos da direção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
9.3 Camber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
9.4 Braço à terra e inclinação do pino mestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
9.5 Convergência das rodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
9.5.1 Eixo não motriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
9.5.2 Eixo motriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
9.5.3 Correção do comportamento em curvas com a variação da convergência 210
9.6 Caster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
10 Suspensões planas
214
10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
10.2 Centro de gravidade das massas suspensas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
10.3 Centro e eixo de rolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5
10.4 Comportamento em curvas de um veículo com molas lineares . . .
10.5 Transferência de carga das rodas internas para as externas . . . .
10.5.1 Ação do momento  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5.2 Ação das parcelas da força de inércia das massas suspensas
10.5.3 Ação do estabilizador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5.4 Ação da força de inércia das massas não suspensas . . . .
10.6 Carga dinâmica nas rodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6.1 Superposição das parcelas de transferência de carga . . . .
10.6.2 Considerações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.7 Ângulo de rolamento da carroceria . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.7.1 Momentos de rolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.7.2 Ângulo de rolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.7.3 Possibilidades de melhorar o comportamento em curvas .
10.8 Exemplo de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.9 Exemplo de cálculo (sistema de unidades SI) . . . . . . . . . . . .
10.10Exemplo de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11 Modelos dinâmicos
11.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Definição de algumas variáveis básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Deflexão dos pneus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.1 Deflexão dos pneus para eixos com suspensões independentes . . .
11.3.2 Deflexão nos pneus para suspensões de eixo rígido . . . . . . . . .
11.4 Deflexão das molas das suspensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4.1 Deflexão das molas para suspensões independentes . . . . . . . . .
11.4.2 Deflexão das molas para suspensões de eixos rígidos . . . . . . . .
11.5 Modelos com dois graus de liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5.1 Modelo para bounce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5.2 Determinação de alguns parâmetros da suspensão . . . . . . . . .
11.5.3 Massas não suspensas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.6 Modelos com sete graus de liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.6.1 Veículos com dois eixos rígidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.6.2 Veículos com suspensão independente na dianteira e eixo rígido
traseira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.6.3 Veículos com suspensão independente na dianteira e na traseira .
11.6.4 Modelo para arfagem e bounce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.7 Unificação dos modelos desenvolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.7.1 Modelo de excitação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
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236
236
236
239
240
242
252
261
264
264
265
266
266
267
269
270
271
274
274
280
283
287
287
299
309
318
318
320
12 Aplicações em dinâmica torcional
323
12.1 Modelo torcional de um grau de liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
12.2 Modelo torcional de dois graus de liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
12.3 Problema torcional de duas inércias e uma relação de transmissão . . . . . . 326
12.4 Problema torcional de dois graus de liberdade com uma redução entre as inércias330
12.5 Vibrações torcionais de um eixo rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
7
Capítulo 1
Pneus
1.1
Introdução
Nos primórdios da indústria automobilística, os pneus tinham seção quase circular, pois
eram, praticamente, um tubo de borracha reforçada montada sobre a roda. Com o tempo, as
exigências sobre os pneus aumentaram, devido às maiores potências e velocidades atingidas
pelos veículos.
Características como alta capacidade de carga, elevada estabilidade lateral quando submetidos a forças transversais, máxima aderência em pisos secos e molhados, conforto e durabilidade são requisitos importantes para um bom desempenho dos pneus.
Os fabricantes procuram soluções de compromisso onde essas características são combinadas de modo a satisfazer convenientemente as diferentes formas de utilização de seus
produtos, porém a custas da redução do desempenho do pneu para cada tipo de pista.
Os pneus com perfis mais baixos, por exemplo, permitem obter melhor performance
em alta velocidade e maior capacidade de carga. Com flancos mais curtos, sua flexibilidade
vertical e lateral fica reduzida impedindo que se deformem muito sob carga, o que é favorável
para uma boa estabilidade direcional, principalmente em curvas feitas em alta velocidade.
Essa menor flexibilidade, por outro lado, torna os pneus mais "duros", consequentemente
menos confortáveis. Adicionalmente, como o pneu não se deforma tanto, a zona de contato
fica mais curta, tornando mais crítico o desenho da banda de rodagem a fim de obter ranhuras
que possam garantir, em situações de pista molhada, um escoamento adequado da água
evitando a aquaplanagem.
Para se ter um entendimento de como um pneu funciona, e conseqüentemente quantificar
o seu desempenho, é necessário conhecer as suas características construtivas e os fenômenos
associados ao seu funcionamento.
1.2
Partes constituintes
Todos os pneus, que utilizam a pressão do ar armazenado no seu interior para suportar
carga, são de constituição bastante semelhante, apresentando como elementos principais a
carcaça, que forma a estrututa suportante do pneu, e a banda de rodagem, que entra em
1
Capítulo 1 - Pneus
2
Figura 1.1: Disposição dos cordéis da lona de uma carcaça de pneu diagonal.
contato com o solo transmitindo esforços longitudinais de tração e frenagem e absorvendo
esforços transversais ocasionados pela ação do vento ou por forças de inércia em curvas e
pistas inclinadas lateralmente.
1.2.1
Carcaça
A carcaça deve suportar, com pequenas deformações, a pressão do ar com que o pneu é
inflado. Ela é formada por um conjunto de lonas impregnadas com borracha e vulcanizadas
de forma a constituir uma única peça. As lonas são compostas por tecidos de cordéis de
fibras de materiais tais como: rayon, kevlar, nylon, polyester, fibra-de-vidro e aço. No
passado foram usadas fibras naturais, como algodão e linho. Em cada lona, os fios são
paralelos, havendo aproximadamente um fio por milímetro.
Antes de serem cortadas no tamanho adequado para a montagem da carcaça, as lonas são
impregnadas com borracha, o que impede um contato direto entre elas quando da deformação
do pneu e elimina o atrito entre os fios.
Na montagem da carcaça, as lonas são cortadas e seus extremos são enlaçados e enrolados
em torno de dois anéis de arame de aço, formando um cilindro, como mostrado na Figura 1.1.
Montadas todas as lonas, os anéis são aproximados e ar sob pressão é injetado no cilindro,
fazendo com que o conjunto de lonas adquira a forma toroidal, próxima a do pneu. Nesta
etapa, é montada a banda de rodagem e o conjunto passa para a vulcanização.
Dependendo do ângulo de inclinação dos cordéis das lonas, obtem-se pneus com características bastante distintas, tanto em conforto como em desempenho sob carga, já que
esse ângulo afeta a altura do pneu e, consequentemente, a sua rigidez radial. O ângulo dos
cordéis das lonas é medido a partir do plano médio do pneu e denotado pela letra grega ,
e é mostrado na Figura 1.1.
Existem diversos tipos construtivos de pneus, dependendo de como é formada a carcaça.
3
Capítulo 1 - Pneus
Figura 1.2: Disposição dos cordéis das lonas em a-pneus diagonais, b-radiais e c-diagonais
cintados.
Figura 1.3: - Seções transversais dos pneus diagonal a e radial b.
A divisão mais freqüente é a de pneus com estruturadiagonal, Figura 1.2 - a, e pneus com
estrutura radial Figura 1.2 - b. Além destes dois tipos, existe o pneu diagonal cintado, que
é mostrado na Figura 1.2-c, mas que está caindo em desuso.
Na Figura 1.3 são mostradas as seções transversais dos pneus diagonal e radial.
Nos pneus diagonais, a carcaça é formada por lonas cruzadas com igual ângulo, o qual
influi na sua capacidade de carga e no seu limite de velocidade; como valores comumente
encontrados tem-se:
 = 35 − 38 - pneus normais;
 = 30 − 34 - pneus para uso esportivo;
  26
- pneus de corrida.
O valor do ângulo influi na forma da seção do pneu quando inflado, devido aos esforços
de tração que atuam sobre os cordéis. Na Figura 1.4 é mostrada a variação da altura do
pneu, para uma mesma largura do aro e diversos ângulos da disposição dos cordéis das lonas
4
Capítulo 1 - Pneus
Figura 1.4: Altura do pneu em função do ângulo 
da carcaça. Verifica-se, ainda nessa figura, que a altura do pneu também varia de acordo
com o ângulo de inclinação dos cordéis das lonas da carcaça.
Nos pneus radiais, Figuras 1.2-a e 1.3-b, a carcaça é formada por umas poucas lonas com
 variando entre 85 e 90 , ou seja, com os cordéis tendo uma orientação essencialmente
radial. Acima dessas lonas radiais, aparece a cinta do pneu, constituída por um conjunto de
lonas situadas exatamente sob a banda de rodagem, não se estendendo pelos flancos do pneu.
A cinta funciona como um reforço para a banda de rodagem, tornando-a bem mais rígida
tangencialmente mas com boa flexibilidade no sentido radial. Os cordéis da cinta formam
um ângulo  pequeno, em geral entre 0 e 30 .
Esta maior rigidez lateral do pneu radial na zona de contato com o solo permite a absorção
de grandes esforços laterais com deformações menores do que os diagonais, o que é importante
na estabilidade direcional do veículo. Para não perder esta vantagem, os pneus radiais são
construídos com seção baixa.
A tendência dos fabricantes de adotar perfis mais baixos para todos os tipos de carcaça
é justificada pelas seguintes vantagens:
• melhor transmissão de forças de tração;
• alta absorção de forças laterais;
• baixa resistência ao rolamento e
• maior capacidade de carga para igual volume de ar.
Existem diferentes possibilidades de construção da cinta, dependendo do fabricante e
do uso do pneu. Na tabela 1.1, são mostradas diversas composições de lonas utilizadas na
construção de pneus radiais.
5
Capítulo 1 - Pneus
Tabela 1.1: Tipos de carcaça para vários fabricantes de pneus.
Fabricante e tipo
Tamanho
Lonas da Cinta
Lonas da Carcaça
Continental TS 771
165 SR 13
2 de rayon e 2 de aço
2 de rayon
Dunlop SP Sport
165 HR-13
6 de rayon
2 de rayon
Goodyear G800
165 SR-13
6 de rayon
2 de rayon
Goodyear Polyester GT
6,60-15
2 de aço e 2 de polyester
2 de polyester
Michelin XAS
165 HR-13
2 de aço 2 de rayon
2 de rayon
Michelin XWX
215/70-VR-15
2 de de aço e 2 nylon
1 nylon
Pirelli CF 67
165-SR 13
7 de rayon
2 de rayon
Pirelli HS CN12
215/70-VR 15
2 de nylon e 5 de rayon
2 de rayon
Firestone Steel Belt
175R-13
1 de rayon e 2 de aço
1 lona rayon
Firestone Steel radial
GR 70-15
2 de aço 2 de polyester
2 de polyester
Zona de
contato
Zona de
escorregamento
Figura 1.5: Efeito da contração do pneu na região de atrito.
Nos pneus, as lonas sofrem um leve deslocamento entre si durante o contato do pneu com
o solo. Isto é resultado das distensões e contrações locais que elas sofrem para acomodar as
distorções causadas pela mudança de forma do pneu ao entrar na zona de contato. Como
conseqüência, a área de contato fica sensivelmente comprimida no seu ponto médio, reduzindo
a área livre das ranhuras da banda de rodagem, como se pode observar na Figura 1.5.
Estas deformações da banda ocasionam um movimento relativo entre a borracha e o piso,
provocando um aquecimento adicional do pneu pelo atrito e, também, seu desgaste. No lado
direito inferior desta mesma figura, pode-se observar uma região achurada conhecida como
zona de escorregamento. Esta zona é a região do contato do pneu com o solo em que a
borracha escorrega sobre o piso. O escorregamento da borracha desta zona causa o ruído
característico de pneu cantando.
Nos pneus com carcaça radial, este movimento é praticamente impossível, já que a cinta,
na zona de contato com o solo, não permite deformações transversais apreciáveis. A quase
ausência deste movimento relativo nos pneus radiais se traduz em menor desgaste, quando
comparados com os diagonais.
Quanto à transmissão de choques e vibrações do piso para o veículo, o pneu com carcaça
Capítulo 1 - Pneus
6
Figura 1.6: Comportamento da rigidez do pneu com a velocidade, para carcaças diagonal e
radial.
radial é mais desconfortável do que o pneu diagonal, pela quase ausência do amortecimento
interno originado pelo movimento relativo das lonas. Isso é verdadeiro para velocidades até
cerca de cem quilômetros horários. A partir dessa velocidade, a situação se altera e o pneu
radial torna-se mais confortável do que aquele com construção diagonal. Essa diferença de
comportamento está ligada ao efeito da força centrípeta sobre o pneu em altas velocidades.
No pneu diagonal, a estrutura da carcaça permite que ocorra um aumento do diâmetro pela
ação da força centrífuga que, em um determinado tipo de pneu, chega a ser da ordem de
quatro por cento a cerca de cento quarenta e cinco quilômetros por hora para alguns tipos
de pneus. Com o aumento do diâmetro, as lonas nos flancos do pneu assumem uma posição
mais íngreme, reduzindo sua flexibilidade radial e ocasionando um rolamento mais duro e,
portanto, menos confortável.
Com os radiais têxteis ocorre, também, um aumento da rigidez com a velocidade, embora
bem menor do que o verificado nos diagonais.
Os pneus radiais metálicos são quase insensíveis à velocidade. A presença da cinta
metálica impede, quase que totalmente, o aumento do diâmetro e a sua rigidez radial não é
significativamente afetada pela velocidade.
Na Figura 1.6 é apresentada uma comparação qualitativa da rigidez de pneus diagonais
e radiais em função da velocidade de deslocamento do veículo.
A seguir, são apresentadas vantagens e desvantagens dos pneus radiais em relação aos
diagonais.
Vantagens:
1. Maior durabilidade;
Capítulo 1 - Pneus
7
2. Menor resistência ao rolamento;
3. Maior conforto em altas velocidades;
4. Melhor absorção de forças laterais;
5. Maior estabilidade direcional e
6. Menor sensibilidade à aquaplanagem.
Desvantagens:
1. Menos confortável em baixas velocidade e
2. Maior custo.
1.2.2
Banda de rodagem
Toda transmissão de forças do pneu para o solo, sejam longitudinais ou transversais, é
feita pelo atrito existente na zona de contato da banda de rodagem com o solo. Procura-se
obter o máximo possível de aderência nas mais diversas condições de piso, seja ele de asfalto,
concreto, pedra, terra, limpo ou contaminado, seco ou molhado. Essa aderência depende
do composto do pneu e do tipo de pista, sendo a influência destes elementos na aderência
discutidos a seguir.
O comportamento da banda de rodagem depende do composto da borracha utilizada
e do desenho das ranhuras, já que ambos afetam a aderência no piso. Em pista seca, o
máximo de aderência é obtido com um pneu totalmente liso, visto que este coloca em contato
com o solo o máximo possível de borracha. A menor presença de água, porém, torna esse
pneu extremamente perigoso, conforme pode ser visto na Figura 1.7. Nela é apresentado o
comportamento do coeficiente de atrito em função da velocidade de deslocamento e do estado
da pista, para um pneu liso, sem ranhuras, e outro com 100% das ranhuras intactas; uma
situação intermediária é mostrada no caso 4, onde os sulcos da banda têm apenas quatro
milímetros de profundidade.
Com chuva e em piso liso, o desenho da banda de rodagem do pneu é vital, pois somente
através das suas ranhuras é possível escoar a água existente sobre o piso de forma a permitir
o contato pneu/pista. Em piso rugoso, algum efeito de auto drenagem se verifica e a banda
de rodagem não precisa ser tão eficiente no escoamento da água.
De um modo geral, o desenho da banda de rodagem deve possibilitar duas funções: a
primeira é propiciar uma drenagem adequada e a segunda uma pega na superfície do piso,
principalmente com pisos irregulares. Quanto à pega do pneu, a banda de rodagem deve
possuir uma quantidade de arestas razoavelmente bem definidas de modo a se amoldar nas
irregularidades do piso e prover um meio mecânico para transmissão de força, adicionalmente às forças de atrito. Estas bordas devem ser transversais para uma carga de tração e
frenagem e longitudinais para curvas. Como muitas manobras são efetuadas tanto acelerando
como freando em curvas, são adotadas ranhuras diagonais que melhor absorvem os esforços
resultantes.
Capítulo 1 - Pneus
8
Figura 1.7: Coeficiente de atrito em função da velocidade, para diferentes estados da pista
e da banda de rodagem.
Quando a pista está molhada, é necessário drenar o filme de água existente entre a
borracha e a pista, de forma que se consiga contato. A drenagem da água é feita tanto por
ranhuras longitudinais como transversais; na região mais central do contato, entretanto, a
água só pode ser eficientemente drenada por ranhuras longitudinais. As ranhuras devem
permitir um fluxo de água o mais livre possível, pois o tempo disponível para evacuá-la é
muito pequeno.
Na Figura 1.17 é mostrada a influência da água no contato pneu/pista. Se o volume de
água a ser drenado for maior do que aquele que o pneu pode drenar, ocorre a aquaplanagem,
que é o efeito de flutuação do pneu sobre o filme de água residual que as ranhuras não
conseguem drenar. Sua ocorrência depende da velocidade de deslocamento do veículo, do tipo
de carcaça usado e do desenho da banda de rodagem. De forma geral, pode-se afirmar que,
para o mesmo filme de água, os pneus com carcaça diagonal estão sujeitos a aquaplanagem
em velocidades mais baixas do que os radiais, devido à contração da banda de rodagem no
local de contato pista/pneu (ver Figura 1.5).
Relativamente ao desenho da banda, há uma série de fatores conflitantes para se chegar
à melhor configuração, como ruído, absorção de cargas de frenagem e aceleração e boa
drenagem da água. Hoje em dia, os fabricantes de pneus desenvolveram modelos matemáticos
com solução numérica, de forma que, com o auxílio de computadores, conseguem chegar ao
desenho que melhor satisfaça estes quesitos conflitantes. O resultado desse trabalho pode
ser observado nos pneus disponíveis no mercado, com "biscoitos"assimétricos distribuídos de
forma aparentemente aleatória.
9
Capítulo 1 - Pneus
Figura 1.8: Ensaio de compressão em um pneu.
1.3
1.3.1
Resistência ao rolamento
Comentários iniciais
Para manter um pneu girando sobre o solo, é necessário dispender uma certa quantidade
de energia, consumida pelos diversos tipos de perdas que ocorrem. Estas perdas dão origem
à resistência ao rolamento do pneu e são provenientes principalmente de duas fontes dissipadoras. Uma é o próprio pneu e a outra é o solo onde o veículo trafega. Fica mais claro
o estudo da resistência ao rolamento quando se considera separadamente as influências do
pneu e do solo.
1.3.2
Perdas no pneu
Quando um pneu está rodando sobre um solo idealmente rígido, a totalidade das perdas
ocorrem no pneu. Para entender o porque destas perdas e como afetam a resistência ao
rolamento, faz-se um teste estático de compressão em um pneu, medindo-se a força aplicada
e a deformação radial. Traçando-se as curvas de carga e descarga, tem-se algo parecido ao
ilustrado na Figura 1.8.
Como o pneu não é perfeitamente elástico, apresenta um amortecimento interno e apenas
parte do trabalho é recuperado ao ser descarregado. O atrito interno é provocado pela
deformação do pneu na zona de contato. Esta deformação faz com que as lonas da carcaça
movam-se entre si e este movimento, embora pequeno, solicita, por cisalhamento, a borracha
que separa as lonas consumindo energia. A banda de rodagem também é deformada e,
ficando sujeita a solicitações mecânicas, contribui com uma parcela do consumo de energia.
Assim, as curvas de carga e descarga formam um laço de histerese e a área contida neste
laço representa a energia consumida no ciclo e corresponde ao trabalho dissipado pelo atrito
interno na forma de calor. A forma do laço de histerese, ou seja a área englobada pelo laço,
depende do tipo de carcaça usada e do composto da borracha da banda.
Como exemplo, em competições automobilísticas é comum o uso de pneus com banda
de rodagem de alta histerese. Este tipo de composto permite que o pneu tenha grande
aderência, porém, devido à grande geração de calor, o seu desgaste é elevadíssimo.
10
Capítulo 1 - Pneus
Figura 1.9: Modelo de interação pneu pista.
1.3.3
Perdas no solo
Considerando, agora, o pneu rígido e o solo deformável, todas as perdas que levam a um
consumo de energia ocorrem no solo. Em seu movimento o pneu deixa um sulco no terreno
deformável, conforme mostrado na Figura 1.9. Para manter esse movimento, é necessário
que atue na roda uma força de mesmo sentido e que compense a resistência ao avanço  que
o solo impõe.
Na mesma figura, observa-se que a carga Fr suportada pela roda fica equilibrada pela
reação do solo, mas essas forças não são colineares, ou seja, existe um momento resistente
Fr. s que deve ser equilibrado para manutenção do movimento do pneu. O momento
necessário para esse equilíbrio deve ser aplicado no eixo da roda e tem como valor o produto
da resistência ao avanço  e o raio da roda  
Do equilíbrio de momento em relação ao ponto , tem-se:

(1.1)

e, como valor da resistência ao avanço, ou parcela da resistência ao rolamento devido à
deformação do solo:
 = 

(1.2)

Pela observação da equação acima, pode-se dizer que quanto maior for a profundidade
do sulco maior será o valor de ”” e, conseqüentemente, maior a resistência ao rolamento do
veículo oferecida pela deformação do solo.
 = 
1.3.4
Perdas no contato pneu-solo
Outra causa da resistência ao rolamento é o escorregamento que ocorre na superfície de
contato do pneu com o solo. A Figura 1.10 ilustra a deformação na periferia do pneu ao
entrar na zona de contato. O arco ”” deve assumir um tamanho menor, o da corda ””,
causando um escorregamento tangencial e originando forças de compressão nos dois bordos
11
Capítulo 1 - Pneus
Figura 1.10: Perdas por retificação do arco.
que limitam longitudinalmente a zona de contato. Pelo efeito do atrito entre a borracha da
banda de rodagem e o solo, este escorregamento consome energia.
Na seção transversal, se a banda for curva como mostrado no corte da Figura 1.10,
ocorre o mesmo efeito, com um escorregamento na direção transversal e compressão das
bordas laterais da banda de rodagem na zona de contato. Para uma banda de rodagem
cilíndrica, o que implica numa região de contato com o solo aproximadamente retangular,
o escorregamento transversal é quase nulo. Para pneus de construção radial, a presença da
cinta estabiliza a banda de rodagem e reduz grande parte deste efeito de deformação da
banda, diminuindo o escorregamento e a perda de energia.
1.3.5
Coeficiente de resistência ao rolamento
A resistência ao rolamento quando se consideram todos os efeitos mencionados anteriormente, ou seja, a força que deve ser fornecida para manter o movimento é proporcional
à carga normal que age sobre a roda. Esta proporcionalidade pode ser expressa de forma
empírica como:
 =  
(1.3)
sendo:
 - resistência ao rolamento [];
 - coeficiente de resistência ao rolamento;
 - força normal da roda sobre o solo [].
Verifica-se experimentalmente que o coeficiente de resistência ao rolamento varia com a
velocidade, pressão de enchimento, carga radial, tipo de pneu e de solo, temperatura e outras
variáveis de menor importância. Sem considerar todos esses efeitos, na tabela 2.2, conforme
referência [2], é dada uma orientação geral do coeficiente de resistência ao rolamento para
vários tipos de terreno.
12
Capítulo 1 - Pneus
Tabela 1.2: Coeficientes de atrito de rolamento.
Tipo de solo

Asfalto liso
0 010
Asfalto rugoso
0 011
Cimento rugoso
0 014
Paralelepípedo
0 020
Pedras irregulares
0 032
Pedra britada compacta
0 045
Pedra britada solta
0 080
Terra batida
0 060
Areia solta
0 100 ∼ 0 300
Grama
0045 ∼ 0100
Barro
0 100 ∼ 0 400
Neve profunda
0 075 ∼ 0 300
Figura 1.11: Comportamento de  em função da profundidade do sulco.
Pode-se observar que os primeiros cinco tipos de solo são praticamente rígidos, enquanto
que os outros são deformáveis.
Na Figura 1.10 é mostrada a influência do solo, ou seja, da profundidade do sulco, no
valor do coeficiente de resistência ao rolamento (os parâmetros são mostrados na Figura 1.9).
Em ensaios, [2], verifica-se que a resistência ao rolamento do pneu cresce com a velocidade,
como mostrado na Figura 2.10 para diferentes pressões de enchimento do pneu.
.
Nesta figura se pode observar que, a partir de uma dada velocidade, as curvas se inclinam
acentuadamente, aumentando ””. Isto se deve à formação de ondas na banda de rodagem
ocasionadas pela ressonância. Nesta situação, ” ”, bem como o nível de vibração e ruído,
crescem bruscamente. Se o efeito permanecer, o pneu fica em pouco tempo destruído. O
modo de deformação do pneu durante a ressonância está mostrado na Figura 2.11.
Para pneus de série em condições normais de uso, uma orientação para o coeficiente de
Capítulo 1 - Pneus
13
Figura 1.12: Variação do coeficiente de atrito de rolamento com a pressão, para um pneu
diagonal.
Figura 1.13: Ressonância do pneu devido ao rolamento em alta velocidade.
14
Capítulo 1 - Pneus
Tabela 1.3: Coeficientes a e b em função do tipo de pneu.


Pneus normais
0 0150 0 052
Pneus de alta histerese 0 0258 0 052
resistência ao rolamento, considerando o efeito velocidade, é dada por:
 2
)
100
As constantes  e  são dadas na tabela 2.3, sendo  em [].
 =  + (
(1.4)
Outra orientação para o coeficiente de resistência ao rolamento é fornecida em Reimpell
[2]. Aqui é considerada a influência do tipo de pneu, da carga que age sobre ele, da pressão
de enchimento e da velocidade do veículo. Wiegner, [2], propôs o que chamou de coeficiente
de resistência ao rolamento de referência ” ”, válido para determinados valores, também de
referência, de carga normal e de pressão:
 =  + 1  + 2  2
(1.5)
sendo:
 = velocidade do veículo em ;
 , 1 e 2 são dados na tabela 1.4.
Quando a carga radial que atua no pneu, ou sua pressão, for diferente do valor de referência apresentado na tabela 1.4, o coeficiente de resistência ao rolamento, para a condição
real, deve ser corrigido pelas expressões:
- Pneu Diagonal ou Radial Textil
 =  (1 5 − 0 5

)

(1.6)

)

(1.7)

)

(1.8)

)

(1.9)
 =  (1 5 − 0 5
- Pneu Radial Metálico
 =  (1 3 − 0 3
 =  (1 3 − 0 3
Exemplo: Qual o valor do coeficiente de resistência ao rolamento para um pneu 155  15
submetido a uma carga radial de 4  e com uma pressão de 2 2 ?
15
Capítulo 1 - Pneus
Tabela 1.4: Valores das constantes  , 1 e 2 .
2
Carga F [kN]
Pressão p [atm] a 10
a1 105
a2 106
1,330
-10,32
2,337
1,90
1,385
- 4,369
2,181
1,70
1,612
-3,533
3,009
3,9
1,70
1,611
-3,601
3,778
3,7
1,70
1,837
-6,741
3,830
Pneu
Tipo de pneu
155-15 X
Radial - Fios de aço
4,0
1,65
155 - SR -15
Radial - Fios testeis
4,0
6.45/165-14
Diagonal super baixo
4,0
6.00/15L
Daigonal perfil baixo
5.60/15
Diagonal super balão
Fo nte: R eim p e ll, p p . 1 9 4 -19 6 , AT Z 7 5 , 19 7 3 , N - 1 1 , p p . 4 0 7 -4 0 9 ( W ieg n e r-Pe ter).
Nessas condições, o coeficiente de resistência ao rolamento deve ser corrigido quanto à
pressão, pois esta é diferente da pressão de referência. Na velocidade de 100 , ou seja
27 77 , o valor de  será:
 = 0 0143
e o valor do coeficiente de resistência ao rolamento, para a pressão de operação de 2 2 ,
é:
 = 0 0143(0 921) = 0 0132
Se a carga radial é diferente da de referência, o valor de " "deve ser novamente corrigido
pela expressão 1.6.
1.4
Aderência
A possibilidade de transmissão de esforços entre o pneu e a pista, esforços esses que
ocorrem durante os processos de frenagem e aceleração ou quando da absorção de forças
laterais, como a força centrípeta em curvas, depende do atrito disponível no contato, também
chamado aderência entre pneu e pista.
A aderência pode ser atribuída, principalmente, a duas diferentes formas de interação
entre a borracha e o piso: adesão molecular, que depende dos materiais em contato, e
deformação da borracha em contato com as irregularidades do solo, que propicia uma interpenetração entre ambas, ou endentamento da borracha com o piso, e uma conseqüente
transmissão por forma.
A resistência da borracha à ruptura, bem como a sua resistência à abrasão, são fatores
limitantes da aderência. O efeito limitante da aderência por estes dois últimos fatores, em
determinadas situações, define a aderência do pneu, visto que a região da banda de rodagem
que mantem contato com o solo pode ser arrancada quando solicitada.
Para que um pneu possa transmitir uma força longitudinal através da superfície de contato com a pista, como uma força de tração, é necessário que ocorra um certo movimento
relativo entre pneu e pista; a velocidade tangencial do pneu tracionante é maior que a velocidade do próprio veículo. É exatamente devido a esses movimentos relativos, bem como
a deformação da sua estrutura, que os pneus flexíveis conseguem transferir cargas muito
maiores ao solo que os pneus rígidos ou maciços.
16
Capítulo 1 - Pneus
Figura 1.14: Variação do coeficiente de atrito com o escorregamento.
Os pneus, devido a sua flexibilidade e ao mecanismo de aderência, escorregam em relação
ao solo quando na transmissão de força para a pista. O escorregamento é definido como
segue:
Na tração
=
 − 

(1.10)
=
 − 

(1.11)
Na frenagem
sendo:
 - Escorregamento;
 - Velocidade de translação do veículo
 - Velocidade tangencial da roda.
Em termos de espaço percorrido pela periferia do pneu  e pelo veículo  , tem-se o
escorregamento na tração, em percentagem, dado por:
¶
µ

100(%)
= 1−

sendo:
 - Comprimento de arco do pneu;
 - Distância percorrida pelo veículo.
A regra geral é que quanto maior a força a ser transmitida, ou quanto mais irregular
ou molhada a pista, tanto maior o escorregamento. No desenvolvimento que segue, estes
aspectos são tratados de maneira mais detalhada.
Na Figura 1.14, [2], é ilustrado um comportamento característico do coeficiente de atrito
pneu/pista em função do escorregamento.
17
Capítulo 1 - Pneus
Figura 1.15: Coeficientes de aderência para pneus em alguns tipos de pista em variadas
condições.
O máximo valor do coeficiente de atrito, em pista seca, ocorre para escorregamento
variando entre 11 e 20%, dependendo do tipo de pneu utilizado. Esse valor máximo é denominado coeficiente de aderência, e é denotado por  . Dele decorre o máximo valor da
força de tração e de frenagem possível de transmitir nos eixos do veículo, dadas respectivamente por:
(1.12)
 =  ( − ∆)
 =  ( + ∆)
(1.13)
  =  ( + ∆)
(1.14)
  =  ( − ∆)
(1.15)
e
sendo que ∆ representa a transferência de carga entre os eixos durante a aceleração ou a
frenagem (conforme visto no curso Análise Dinâmica).
Uma maior aceleração ou frenagem ocasiona um maior escorregamento, com diminuição
do coeficiente de atrito e da capacidade de transmissão de força. Com 100% de escorregamento, o que ocorre durante a frenagem com rodas bloqueadas ou aceleração com rodas
deslizando e veículo parado, o valor do coeficiente de atrito é denominado coeficiente de
escorregamento e denotado por  . De maneira geral, o valor de  é 15 a 30% menor do
que  , dependendo das condições da pista.
Vários fatores influem no valor do coeficiente de atrito entre pneu e pista. Dentre eles,
os principais são: estado da pista, tipo de pneu, velocidade do veículo e estado da banda de
rodagem.
Na Figura 1.15 se mostra a variação do coeficiente de aderência em função do escorregamento, para diferentes tipos de pista e considerando um determinado tipo de pneu.
Nesta figura é apresentado o coeficiente de aderência  em função do escorregamento
para diferentes tipos de pista e pneu com relação  ≥ 0 82, com 80 a 90% da profundidade
dos sulcos e velocidade aproximada de 60 km/h.
Capítulo 1 - Pneus
18
Figura 1.16: Coeficiente de escorregamento para um pneu bloqueado em diversas condições
da pista.
O coeficiente de atrito pneu/pista é, também, dependente da velocidade do veículo. Na
Figura 1.16 se mostra a variação do coeficiente de escorregamento com a velocidade, em
diferentes pistas. Segundo Reimpell, [2], os ensaios foram feitos com um pneu diagonal, com
profundidade dos sulcos entre 80 e 90%. A temperatura do gelo era, aproximadamente, 0◦ .
Na Figura 1.16, observa-se que, em pista seca e velocidades baixas, o coeficiente de
escorregamento  , pode chegar a 1 25. Esse valor pode ser explicado pela redução, nessas
velocidades, do raio do pneu, que passa do dinâmico para o estático, com uma conseqüente
maior superfície de contato e, portanto, uma maior área onde o endentamento comentado
anteriormente ocorre.
O estado da banda de rodagem afeta significativamente o coeficiente de atrito pneu/pista.
Ainda na Figura 1.7, pode ser verificado que, em pista seca, um pneu liso apresenta um maior
coeficiente de escorregamento do que um pneu com sulcos profundos. Em pista molhada,
entretanto, ocorre o contrário. Essa situação ocorre porque com pista seca e pneu liso, ou
"careca", a área para transmissão por forma é maior, enquanto que, com pista molhada,
facilmente ocorreria aquaplanagem, com perda de contato pneu/pista. Pneus com sulcos,
neste caso, drenam a água permitindo que o contato seja mantido.
Na Figura 1.17, divulgada pela Dunlop, é mostrado o surgimento da aquaplanagem em
um pneu sem perfil, bem como o comportamento da aderência com presença da água em
função da velocidade. Nesta figura, o coeficiente de aderência para, aproximadamente,
100 é de somente  = 0 1, o que praticamente impossibilita a transmissão de força
entre pneu e pista. Se fosse necessário frear, o veículo continuaria se deslocando com a
velocidade quase inalterada; forças laterais não seriam absorvidas pelos pneus e qualquer
tentativa de mudança de direção, através do volante, seria infrutífera. Vale salientar que,
observando o comportamento do coeficiente de atrito, mesmo para pneus com sulcos, existe
uma velocidade no qual ocorrerá a aquaplanagem, ou seja, o fenômeno da hidroplanagem
sempre irá ocorrer, só depende da velocidade.
Capítulo 1 - Pneus
19
Figura 1.17: Comportamento de um pneu sem perfil, em diferentes velocidades, em uma
pista com uma lamina de água.
Tabela 1.5: Coeficientes de atrito para automóveis em vários tipos de pista.
Tipo de pista

Asfalto
0 6 a 0 95
Pedra britada 0 5 a 0 65
Terra seca
0 5 a 0 70
Terra úmida
0 5 a 0 60
Areia
0 2 a 0 3
Neve
0 30 a 0 35
Na Figura 1.18, [2], é mostrado o comportamento do coeficiente de aderência imediatamente após o início de uma chuva. A queda abrupta desse coeficiente se deve à mistura
da água com a poeira, ou outro contaminante qualquer existente sobre a pista, ocasionando
uma ação lubrificante. Em seguida, a água da chuva lava essa mistura e o coeficiente de
aderência volta a crescer.
Finalmente, na tabela 1.5 estão indicados valores esperados para o coeficiente de aderência
para pisos distintos bem como para diferentes condições destes pisos.
Em um solo rígido, como concreto ou asfalto, todo o escorregamento é devido à deformação do pneu; em solos pouco rígidos, sua deformação é preponderante e a interpenetração
entre o pneu e a pista é decisiva para a tração. Quando da transmissão de força para o piso,
a parte do solo situada dentro dos sulcos do pneu escorrega em relação ao restante do solo
Capítulo 1 - Pneus
20
Figura 1.18: Variação do coeficiente de aderência com o tempo durante uma chuva fraca.
Tabela 1.6: Coeficientes de atrito para pistas em diversos estados.
Coeficientes de atrito  para as condições
Tipo de piso
Seca Molhada Contaminada Congelada
Cimento
0 85
0 75
0 50
0 11
Asfalto
0 85
0 60
0 30
0 10
Paralelepípedos
0 70
0 65
0 35
0 08
Calçamento de pedras irregulares 0 80
0 55
0 30
0 08
Capítulo 1 - Pneus
21
e a aderência fica limitada, praticamente, pela resistência ao cisalhamento do solo. Neste
caso, o pneu deve possuir uma banda de rodagem com desenhos de sulcos profundos para
poder utilizar a máxima capacidade de tração disponível.
1.5
Deriva
As forças laterais, bem como seus momentos, sejam elas devidas à ação do vento ou forças
de inércia que ocorrem em curvas ou inclinações da pista, não teriam influência alguma no
movimento de um veículo dotado de pneus lateralmente rígidos, desde que o valor destas
forças não ultrapassasse o limite imposto pelo atrito, quando, então, haveria o escorregamento total na direção da resultante.
Os pneus, porém, são corpos elásticos, que se deformam quando submetidos a forças
laterais, e seu comportamento sob a ação dessas forças não é o mesmo que o de corpos
rígidos nas mesmas condições de carregamento.
Quando o veículo está parado, a região de contato do pneu com o solo é aproximadamente
retangular. Com a roda do veículo girando, uma dada superfície de referência marcada no
pneu, com a forma da superfície de contato pneu/pista, sofre um deslocamento ao penetrar na
zona de contato devido à deformação ocasionada pela força lateral ””, como está mostrado
na Figura 1.19. No contato, a superfície de referência fica deformada, mostrada em tom
cinza na figura, e a roda se desloca com um ângulo  em relação à direção primitiva, como
mostrado na figura. Ainda nesta mesma figura é mostrada a vista de topo de um pneu
deformado pelo peso próprio com e sem a ação de uma carga transversal. O ângulo formado
pelo plano médio do pneu e a direção de deslocamento do pneu seguida após a aplicação da
força ””, é denominado ângulo de deriva sendo, grafado pela letra grega .
Um pneu que rola sobre uma pista, portanto, somente pode suportar uma força lateral se
seu plano médio se deslocar com um determinado ângulo em relação à direção do movimento.
Quanto maior o valor dessa força perturbadora, tanto maior o ângulo de deriva, ou seja, existe
uma relação direta entre força e ângulo.
A força externa é equilibrada por uma força de atrito , igual e contrária, que surge
na superfície de contato pneu-pista. Como se mostra na Figura 1.20, a distribuição de
pressão normal à pista não é uniforme na zona de contato e, pela ação da força lateral,
ocorrem escorregamentos nos pontos onde essa pressão é baixa. Nesta figura, a área da
distribuição de reações é subdividida nas Zonas I e II. Na Zona I o pneu tem aderência
elevada com o solo e não escorrega significativamente, enquanto que a Zona II é a região
onde acontece o escorregamento. Como a distribuição das reações à força lateral é não
uniforme, o ponto de atuação da resultante dessas se situa atrás do centro de contato do
pneu com a roda no solo, criando um momento que levará a roda a se alinhar com direção
real do deslocamento (trajetória final do deslocamento). Este momento é denominado de
torque de auto alinhamento do pneu.
Como pode ser observado na Figura 1.20, a distância  entre o ponto de aplicação da
resultante da distribuição de reação no solo, , e o centro teórico do contato pneu solo, , é o
braço de alavanca do momento de auto alinhamento  . Esta distância está associada com a
22
Capítulo 1 - Pneus
Figura 1.19: Deriva de um pneu.
zona de escorregamento mostrada na Figura 1.5. Quanto maior esta zona de escorregamento
menor é a distância  e maior é o ângulo de deriva. Isto significa que a medida que se
aproxima do limite de aderência do pneu o torque de auto alinhamento se reduz, podendo
até a mudar de sentido. A situação limite, onde o momento muda de sentido, é raramente
atingida pelos condutores normais de automóveis porém, em competições, é praticado de
maneira bastante intensa, já que o ângulo de deriva pode atingindo valores bastante grandes
exige uma forma de condução altamente especializada e arriscada.
Na figura 1.21 é mostrado, para um tipo de pneu (Taborek [3]), o comportamento da
força de atrito em função do momento de auto alinhamento. É interessante observar que a
força de atrito aumenta continuamente até a de limite de aderência imposta pelo coeficiente
de atrito de escorregamento, enquanto que o momento de auto alinhamento aumenta até um
valor máximo e, em seguida, se reduz e atinge valores negativos perto do limite de aderência
do pneu. Isto se deve a alteração da distância  mostrada na Figura 1.20.
A reação lateral do pneu depende de uma série de variáveis que devem ser analisadas
para prosseguir no estudo da deriva, como será feito nos itens que seguem.
1.5.1
Coeficiente de atrito
O estado da pista de rolamento influi no valor da força lateral que pode ³
ser absorvida
´

pelo pneu. Na Figura 1.22 se mostram as curvas do coeficiente de atrito lateral  =  em
função do ângulo de deriva, para um pneu diagonal com noventa por cento de profundidade
do perfil. Verifica-se que, com asfalto liso, dificilmente se consegue   0 8, mesmo com
deriva elevada. Já com asfalto rugoso pode-se obter   1 com maiores ângulos de deriva.
Capítulo 1 - Pneus
23
Figura 1.20: Distribuição de pressão na região de contato pneu/solo.
Figura 1.21: Comportamento da força de atrito em curva com o momento de auto alinhamento do pneu.
Capítulo 1 - Pneus
24
Figura 1.22: Variação do coeficiente de atrito com ângulo de deriva.
Figura 1.23: Variação do coeficiente de atrito, com o ângulo de deriva, para pista úmida.
No caso de pista molhada, o coeficiente de atrito depende da espessura do filme de água,
conforme é mostrado na Figura 1.23; observa-se que o máximo valor de  já é atingido com
 ' 8◦ .
1.5.2
Carga sobre a roda
No estudo dos pneus submetidos a forças laterais, são usados dois tipos de diagramas,
como mostrado na Figura 1.24. O primeiro é a representação gráfica de  = (), com o
ângulo de deriva como parâmetro, e o segundo a representação de  = (), com a carga
normal como parâmetro. O primeiro é mais usado no estudo do comportamento dos pneus.
Na figura  = (), observa-se que para pequenos valores de  a variação de ”” é
praticamente linear. Nesta zona não ocorre, praticamente, escorregamento na superfície de
contato. Com o aumento da força lateral, mantendo a mesma carga normal sobre o pneu,
aumenta a zona de escorregamento resultando numa maior curvatura no gráfico, até que a
curva passa a ser horizontal. A este valor máximo de ”” corresponde o valor do coeficiente
de aderência lateral.
Em um veículo se deslocando em linha reta e sob a ação de cargas transversais, o ângulo
25
Capítulo 1 - Pneus
Figura 1.24: Diagramas de comportamento dos pneus em termos de ,  e .
de deriva pode atingir valores de três graus, dificilmente ultrapassando cinco graus . Em
curvas feitas em alta velocidade, podem ocorrer ângulos de deriva da ordem de dez a quinze
graus, dependendo do tipo de piso e pneu.
O gráfico  =  () mostra que com o aumento de ”” aumenta também o valor de ,
mas não proporcionalmente. Esse comportamento pode ser melhor entendido com a análise
que segue.
Sejam os pneus de um eixo submetidos a uma carga radial ”” e uma variação ∆ de
carga radial em função da transferência de caraga das rodas do mesmo eixo. Desta forma a
carga normal ao solo de um pneu é expressada, genericamente, por:
 ± ∆
(1.16)
Assim, para a roda externa à curva, a carga radial sobre o pneu e respectiva carga transversal
são:
(1.17)
 + ∆ →  + ∆1
e para o pneu interno à curva, tem-se:
 − ∆ →  − ∆2
(1.18)
Com o auxílio da Figura 1.25, observa-se que:
∆1  ∆2
(1.19)
Esta não proporcionalidade de  com  é de grande importância para o entendimento
do comportamento de um veículo sujeito à ação de forças perturbadoras laterais, conforme
será visto no capítulo referente a estabilidade direcional.
Na Figura 1.26 se mostra que um pneu pouco carregado admite maiores velocidades
em curva que um pneu carregado até seu limite de capacidade de carga. Para melhorar o
comportamento em curvas, o uso de pneus com maior capacidade de carga, ou seja sobre
dimensionados, é recomendável, porém pode causar as seguintes desvantagens:
Capítulo 1 - Pneus
Figura 1.25: Variação de  em função de  para um mesmo ângulo de deriva.
Figura 1.26: Pneus com capacidades de carga diferentes, com mesma deriva.
26
27
Capítulo 1 - Pneus
Figura 1.27: Característica  =  () com diferentes pressões do pneu e igual ângulo de
deriva.
Tabela 1.7: Variação da rigidez do pneu com a pressão.
Pressão Carga transversal [] por grau de deriva
0 8 P
250
0 9 P
280
1 0 P
312
1 1 P
340
1 2 P
365
Obs.: P é a pressão recomendada para o pneu 660 − 14
• - maior preço;
• - perigo de contato com o paralama ou estrutura, quando girado pelo volante ou durante
o trabalho da suspensão.
1.5.3
Pressão do pneu
Com o aumento da pressão do pneu, aumenta a tensão nos fios das lonas, o que torna
o pneu mais rígido lateralmente. Para uma mesma carga normal, um aumento na pressão
ocasiona uma maior capacidade de absorção de força lateral, para um mesmo ângulo de
deriva, como está representado na Figura 1.27. Ou, dito de outra forma, para uma mesma
carga normal e uma mesma força lateral, o aumento da pressão ocasiona um ângulo de deriva
menor.
Para ilustrar a influência da pressão de inflagem na capacidade dos pneus em absorver
cargas transversais, na Tabela 1.7 é apresentada a variação da rigidez com a pressão para
um dado tipo de pneu.
1.5.4
Relação altura/largura do pneu
Experiências realizadas com pneus de diferentes seções transversais mostram que aqueles
cuja relação altura/largura é menor são lateralmente mais rígidos, ou seja, deformam-se
Capítulo 1 - Pneus
28
Figura 1.28: Influência do tipo de construção do pneu na absorção de forças laterais.
menos quando submetidos a uma mesma força lateral.
Aros mais largos propiciam, também, uma melhoria na absorção de forças laterais. Em
geral, a largura dos aros é de setenta a setenta e cinco por cento da largura do pneu, não
devendo ultrapassar oitenta por cento, de maneira a evitar solicitações muito grandes nos
flancos e ombros do pneu. O uso de um aro mais largo ocasiona um correspondente aumento
da largura efetiva do pneu, resultando em uma relação  mais favorável à absorção de
forças laterais; mas isso implica, também, no aumento do volume interno da câmara de ar.
De um modo aproximado, pode-se dizer que meia polegada de aumento na largura do aro
requer um aumento de duas 2 na pressão do pneu para mantê-lo com a mesma rigidez.
1.5.5
Tipos de construção do pneu
A variável com maior influência na deriva é o ângulo que os fios das lonas formam com o
plano médio do pneu. Quanto menor o ângulo dos fios, tanto maior a parcela da periferia do
pneu que colabora na absorção da força lateral. No pneu radial, devido a presença da cinta,
praticamente toda a periferia colabora nessa absorção. Na Figura 1.28 se tem a variação da
relação  em função de , para diferentes tipos de construção de carcaça.
Para igual relação , o ângulo de deriva no pneu radial é bem menor, evitando grandes
interferências no volante para corrigir a direção quando o veículo fica submetido à ação de
forças laterais.
1.5.6
Estado da banda de rodagem
Do estado da banda de rodagem depende o valor da força lateral , conforme mostram
as pesquisas realizadas em tambores rotativos no Instituto para automóveis da Universidade
Capítulo 1 - Pneus
29
Figura 1.29: Comportamento de um pneu, sob ação de cargas transversais, para vários
estados da banda de rodagem.
de Stuttgart e sintetizadas na Figura 1.29, [2].
As verificações foram feitas com pneus novos (perfil completo) e pneus gastos, bem como
com o tambor seco e molhado. Com tambor seco, a reação lateral do pneu sem perfil é,
aproximadamente, 15% maior do que a do pneu novo, enquanto que, com tambor molhado,
a curva do pneu liso fica 20 a 30% abaixo da do pneu novo.
Aqui também é comprovada a importância de pneus perfilados em estrada molhada, pela
expulsão da água da superfície de contato. Em pisos secos, a menor flexibilidade dos sulcos
mais rasos em pneus desgastados contribui para uma menor deformação e, portanto, um
menor ângulo de deriva para uma determinada força lateral.
1.5.7
Influência do camber
Devido ao camber, o peso do veículo deforma o pneu de forma assimétrica e a superfície
de contato pneu/pista fica submetida a uma força lateral  0 . Com a aplicação de uma
força lateral externa, primeiramente ela deve vencer a deformação correspondente a  0 para,
somente então, deformar o pneu no outro sentido. Com  = 0, uma força  causa o ângulo
. Com   0, deve-se ter  +  0 para o mesmo ângulo de deriva e, com   0,  −  0 , como
pode ser visualizado na Figura 1.30.
1.6
1.6.1
Capacidade de carga
Capacidade de carga de pneus de automóveis e caminhões
A capacidade de carga define qual a força radial que pode atuar, com segurança, sem
que o pneu seja danificado. No caso de pneus de automóveis e caminhões, a capacidade de
Capítulo 1 - Pneus
30
Figura 1.30: Influência do camber na absorção de forças laterais.
Figura 1.31: Resistência da borracha em função da temperatura.
carga é limitada pela geração de calor no pneu. Isso porque o calor gerado com o movimento
aumenta a temperatura da borracha e, como a sua desvulcanização ocorre com temperaturas
entre 120 e 150 , o aquecimento do pneu é crítico para a sua durabilidade. Na Figura 1.31 é
mostrado o comportamento da tensão de resistência da borracha em função da temperatura.
O calor gerado depende, dentre um número bastante grande de variáveis, da carga sobre
o pneu, de sua pressão e da velocidade do veículo. A carga e a pressão influem sobre a maior
ou menor deformação que o pneu sofre; com maior carga, a pressão deve ser também maior
de modo a diminuir a deformação do pneu. A velocidade influi sobre a freqüência com que
o pneu é solicitado, o que afeta a capacidade de dissipação do calor gerado internamente.
A carga máxima que um dado pneu pode suportar está limitada pela pressão que ele
admite, sendo que esta pressão não deve ser excedida sob risco de colapso da sua carcaça.
Para possibilitar uma maior pressão é necessário um pneu com maior número de lonas, de
31
Capítulo 1 - Pneus
Tabela 1.8: Capacidade de carga de pneus.
PR 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
CC A B C D E F G H J L M N
Tabela 1.9: Capacidade de carga de pneus, segundo as recomendações da ABPA (Associação
Brasileira de Pneus e Aros).
Índice Carga [ ]−[ ]
Índice Carga [ ]−[ ]
60
250 − 2450
71
345 − 3384
61
257 − 2521
72
355 − 3482
62
265 − 2600
73
365 − 3581
63
272 − 2668
74
375 − 3678
64
280 − 2747
75
387 − 3796
65
290 − 2845
76
400 − 3924
66
300 − 2943
77
412 − 4042
67
307 − 3012
78
425 − 4169
68
315 − 3090
79
437 − 4287
69
325 − 3188
80
450 − 4414
70
335 − 3286
81
462 − 4532
modo a dar maior resistência à carcaça.
Uma carcaça com maior número de lonas não implica, necessariamente, numa maior
capacidade de carga, como é mostrado a seguir. Um pneu com 4 lonas e outro com 6 lonas
possuem a mesma capacidade de carga quando inflados na mesma pressão; o pneu com 6
lonas, entretanto, admite uma pressão superior e, ficando mais rígido pelo efeito da maior
pressão, se deforma menos, o que acarreta uma geração menor de calor. Pode-se dizer que a
capacidade de carga fica indiretamente definida ou limitada pelo número de lonas.
A tabela 1.8 fornece duas formas de representar a capacidade de carga de um pneu: em
termos do número de lonas, Ply Rating, ou, então, por um código de letras.
Sendo:
PR - Play Rating ou capacidade de carga em lonas;
CC - Capacidade de carga.
Deve ser salientado que este é um número nominal de lonas, não necessariamente o
número de lonas usado na construção da carcaça.
Hoje, há a normalização da ANBT para especificação da capacidade de carga dos pneus
de camionetes e automóveis, a qual, para alguns pneus, está mostrada na Tabela 1.9.
1.6.2
Pneus de veículos fora de estrada
Para máquinas e equipamentos que trabalham fora de estrada, existe uma grande influência da velocidade de deslocamento do veículo sobre a capacidade de carga dos pneus,
32
Capítulo 1 - Pneus
pois, devido ao tamanho do pneu, é necessária uma banda de rodagem com grande espessura o que ocasiona uma maior resistência à troca de calor e, conseqüentemente, um maior
aquecimento. Além deste efeito, a velocidade em que a operação de carregamento é realizada
é também importante, pois uma velocidade de carregamento grande implica em um fator
de impacto elevado, o que pode causar uma uma carga dinâmica que supere a capacidade
estática do pneu e ocasionar a sua destruição.
Para que estes efeitos possam ser considerados, é definida uma capacidade de carga
estática,  , importante nas operações de carga e descarga, e adotado um fator de correção
devido à velocidade,  , para se chegar à capacidade de carga dinâmica,  .
A capacidade de carga estática depende das dimensões do pneu bem como da pressão
com que ele é inflado. A máxima capacidade de carga fica limitada pela maior pressão que
o pneu admite. Esta pressão máxima depende da resistência da carcaça, ou seja, do número
de lonas nominal. A capacidade de carga estática, para o veículo imóvel, pode ser estimada
com boa aproximação por:
 =   15
(1.20)
Sendo
 = 165  para pressões até 4 ,
ou
 = 170  para pressões até 60 2 
sendo:
 - capacidade de carga estática;
 - diâmetro externo do pneu;
 - largura nominal do pneu.
Para outras pressões, a capacidade de carga estática pode ser estimada multiplicando-se
a expressão anterior por 059 , em que  é a relação de pressões.
É importante a determinação da capacidade de carga estática porque o carregamento
destes veículos sempre é realizado com procedimento dinâmico, o que causa uma sobrecarga
bastante elevada por um intervalo bastante pequeno.
A capacidade de carga sofre uma redução acentuada quando o veículo está em movimento
devido ao aquecimento do pneu e aos impactos ocasionados pelas irregularidades do piso;
assim, a determinação da capacidade de carga dinâmica é fundamental.
Na Figura 1.32 é ilustrada a redução da capacidade de carga em função da velocidade,
segundo dados de vários fabricantes.
A forma de calcular a capacidade de carga dinâmica é dada, de forma aproximada, pela
seguinte equação:
 =  
sendo:
 - fator de carga dinâmica, obtido na Figura 1.32;
 - capacidade de carga estática.
(1.21)
33
Capítulo 1 - Pneus
kv
1,0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
20
10
30
40
50
v [km/h]
Figura 1.32: Redução da capacidade de carga em função da velocidade.
No caso de rodado dual, a capacidade de carga fica um pouco reduzida pela impossibilidade de uma repartição perfeita de carga entre os pneus.
Exemplo:
O pneu 1800 − 25 com 32 lonas admite até 5 6  (80  2 ); determinar a sua
capacidade de carga na velocidade de 50 
Dados:
 = 18”
 = 25” (̂  )
 = 0 96
 = 17 3”
 = 25” + 34 6” = 59 6” = 1513 
Para a pressão de 4  tem-se a capacidade de carga estática:
 = 140 
Utilizando-se 5 6  de pressão:
5 6 059
= 171 
)
4
que é a capacidade de carga estática desse pneu na pressão de trabalho.
Para 50 , obtem-se da Figura 1.22  = 0 45, como valor médio, logo:
 = 140 (
 = 77 0 
que é sua capacidade de carga dinâmica.
Como se pode notar, a capacidade de carga dinâmica é bem menor do que a estática.
34
Capítulo 1 - Pneus
Tabela 1.10: Pressões de pneus para máuinas agrícolas.
Tipo de uso
Pressão
Pneus dianteiros
24 − 52 2
Pneus traseiros
12 − 28 2  0 85 − 2 0 
Pneus para implementos 20 − 52 2  1 4 − 3 7 
1.6.3
Capacidade de carga de pneus agrícolas
Estes pneus são utilizados com pressões relativamente baixas, de modo a permitir um
contato suficientemente grande com o solo, geralmente macio. A faixa usual da pressão de
inflagem está mostrada na tabela 1.10.
A capacidade de carga dinâmica,  , para velocidades máximas de 32  e pressão
de 20  2 , pode ser estimada pela expressão:
 = 29  13
(1.22)
Onde as dimensões da largura  e do diâmetro externo  são dadas em  e  em
. Para outras pressões, tem-se:
 = 059
(1.23)
Onde  e  são relações de pressões e de capacidade de carga, respectivamente.
1.7
Designação de pneus de automóveis
A designação de um pneu informa sobre o seu tamanho, capacidade de carga, limite
de velocidade e forma construtiva da sua carcaça. A seguir, será apresentada a forma de
especificação destas grandezas para pneus comerciais.
1.7.1
Tamanho
A designação deve ser tomada como definição das dimensões nominais, não como medida
exata do pneu. A designação de tamanho é composta de dois grupos de valores. O primeiro
grupo corresponde à largura nominal do pneu ou à largura nominal complementada pela
razão percentual entre a altura da seção e a largura. O segundo grupo representa o tamanho
do diâmetro interno, ou o diâmetro do aro de montagem.
A largura  e o diâmetro de montagem  são as dimensões principais para identificação
do pneu e normalmente estão colocados da seguinte forma
 − 
Sendo:
(1.24)
35
Capítulo 1 - Pneus
Figura 1.33: Dimensões características de um pneu.
 - largura nominal;
 - diâmetro interno nominal.
Quanto ao aro do pneu, recomenda-se que sua largura fique entre 70 e 75% da largura
nominal do pneu para que os flancos e ombros deste não trabalhem fora das especificações
de projeto.
1.7.2
Séries de pneus
No caso de pneus para automóveis tem-se várias séries, onde as dimensões da seção
são proporcionais e a relação  é aproximadamente constante. Dentro de cada série, a
seqüência de larguras nominais do pneu segue um padrão que permite identificar a que série
pertence o pneu, como por exemplo:
• Pneu super balão (1948)
 = 0 95 → série 95
Aros - 10; 12; 13; 14; 15 
Largura - 480; 520; 560; 590; 640
Obs.: Dimensões em polegadas.
• - Pneu de perfil baixo (1959)
 = 0 88 → série 88
Aros - 12; 13; 14; 15 
Largura - 500; 550; 600; 650
Obs.: Dimensões em polegadas.
• - Pneu de perfil super baixo (1964)
36
Capítulo 1 - Pneus
 = 0 82 → Série 82
Aros - 13; 14; 15
Largura - 615155; 645165; 695175
Obs.: Dimensões dos aros em polegadas e a das larguras polegadas/milímetros.
• - Pneus das séries 80 70 65 60 55 50
Estes pneus começaram a ser introduzidos no mercado em 1967. O número da série
indica a relação  em percentagem. Assim, um pneu da série 70 possui  = 0 70,
aproximadamente. O número indicativo da série a que o pneu pertence aparece logo após o
número que especifica a largura, separado por uma barra.
Exemplos:
Caso 1 : Pneu 650 − 13
A partir dos números que especificam as dimensões dos pneus, tem-se:
Largura nominal do pneu.................. = 6 5”
Diâmetro do aro................................  = 13”
Relação altura/largura do pneu....  = 0 88
Com estes resultados pode-se calcular o diâmetro externo do pneu da maneira que segue:
 = 2( 0 88)( 6 5) + 13
 = 24 44” = 620 
Caso 2 : Pneu 21570 − 15
A partir dos números tem-se que:
Largura nominal do pneu...........  = 215 
Diâmetro do aro..........................  = 15”
Relação altura/largura.............  = 0 70
Diâmetro externo........................  = 682 
1.7.3
Capacidade de carga
A especificação da capacidade de carga de pneus de automóveis é feita de acordo com a
Tabela 1.9.
A definição da capacidade de carga do pneu, é localizada logo após o número de define o
diâmetro do aro do pneu. Um exemplo da definição da especificação da capacidade de carga
é mostrado no Caso 2, apresentado no final do item 1.7.5.
Capítulo 1 - Pneus
37
Tabela 1.11: Limites de velocidade [km/h], segundo a nomenclatura mais antiga para pneus
montados em aros com pelo menos 13 polegadas.
Pressão
Marca
Velocidades limites
150
Diagonal
S
180
H
200
S
180
S(M+S)
160
S (M+S) ref
150
Radial
H
210
H (M+S)
200
V
210
Z
 240
1.7.4
Velocidade limite
Todo pneu possui uma velocidade máxima a que pode resistir sem sofrer danos. A marca
que indica a velocidade limite situa-se entre os dois grupos de números de designação do
tamanho.
Os limites de velocidade são representados por um traço horizontal ou as letras S, H
ou V, como mostrado na Tabela 1.11, e determinam a velocidade máxima que pode ser
desenvolvida pelo veículo sem causar dano aos pneus.
Os símbolos ”(M+S)” signicam lama e neve (mud and snow) e ”ref” reforçado.
Atualmente, tanto no Brasil como na maioria dos países fabricantes de componentes
automotivos, a nomenclatura apresentada na Tabela 1.11 esta caindo em desuso. Em substituição é adota a nomenclatura mostrada na Tabela 1.12, normalizada pela ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas http://www.abnt.org.br/), onde se tem a equivalência
entre as marcas impressas nos flancos dos pneus e as correspondentes velocidades limites. A
definição da velocidade na carcaça do pneu é localizada logo após o índice de especificação
da capacidade de carga do pneu.
Informações adicionais a respeito de normas, ensaios, eventos e especificações técnicas
podem ser encontradas junto Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade
Industrial, INMETRO (http://www.inmetro.gov.br), uma autarquia Federal vinculada ao
Ministério do Desenvolvimento, Indústria e Comércio Exterior bem como com a Associação
Latinoamericana de Pneus e Aros, ALAPA (http://www.alapa.com.br).
Capítulo 1 - Pneus
38
Tabela 1.12: Equivalência entre a velocidade [km/h] e as marcas no pneu pela nomenclatura
normalizada pela ABNT.
Símbolo Velocidade limite
P
150
Q
160
R
170
S
180
T
190
U
200
H
210
V
240
W
270
Y
300
1.7.5
Tipo de carcaça
Essa informação também está contida na designação dos pneus e está localizada entre
os dois grupos de números que especificam o tamanho. As marcas que aparecem são as
seguintes:
- : Pneu diagonal
R : Pneu radial
B : Pneu diagonal cintado
Exemplos:
Determinar as características gerais dos seguintes pneus:
Caso 1 : 21565   15
Este pneu segue a nomenclatura antiga.
Largura nominal .................- 215 
Diâmetro do aro .................- 15 polegadas
Relação altura/largura ....... - 0 65
Diâmetro externo ................- 15(25 4) + 2(0 65)215 = 660 5 
Tipo da carcaça ..................- Radial
Velocidade limite ................- Marca V significa velocidade limite de 210 
Caso 2 : 17570  13 82 
Esse pneu segue a nomenclatura moderna de especificação de pneus.
Largura nominal ................- 175 
Diâmetro do aro ................- 13 polegadas
Relação altura/largura....... - 0 70
Diâmetro externo ...............- 13(25 4) + 2(0 7)175 = 575 2 
Tipo da carcaça .................- Radial
Capacidade de carga .......- O número 82 significa uma carga nominal de 4660  (Tabela
1.9)
39
Capítulo 1 - Pneus
Tabela 1.13: Classificação para rodas motrizes.
Símbolo
Rodas motrizes
R1
Agricultura
R2
Culturas de cana e arroz
R3
Uso industrial e areia
R4
Uso industrial
Velocidade limite ...............- A letra  significa velocidade máxima de 160  (Tabela
1.12)
1.8
1.8.1
Designação de outros pneus
Pneus de camionetas, caminhões e ônibus
Os pneus para uso normal em ônibus, camionetas e caminhões, apresentam uma designação mais simples do que a de automóveis, pois as dimensões são sempre expressas em
polegadas, apenas com indicação suplementar para o caso de pneus radiais.
Exemplos:
Caso 1 : Pneu 650 − 16
Largura ....................- 6 5 polegadas
Diâmetro do aro......- 16 polegadas
Tipo da carcaça......- Diagonal
Caso 2 : Pneu 900  20
Largura ....................- 9 polegadas
Diâmetro do aro......- 20 polegadas
Tipo de carcaça......- Radial
1.8.2
Tratores agrícolas e industriais
Os pneus para estes equipamentos operam em condições bastante adversas de terreno.
De modo a possibilitar uma rápida identificação do tipo de trabalho para o qual o pneu é
adequado, eles são classificados de acordo com o código mostrado nas tabelas 1.13 e 1.14.
Nesses tipos de pneus, existe uma diferença quanto à forma de designar os tamanhos
para os eixos dianteiro e traseiro:
• para o eixo dianteiro (somente direcional) as dimensões dos pneus são especificadas
por dois grupos de números,   (largura do pneu e diâmetro do aro), seguidos do
código de serviço a que se prestam.
40
Capítulo 1 - Pneus
Tabela 1.14:
Símbolo
F1
F2
F3
I1
I2
I3
I6
Classificação para rodas direcionais.
Rodas direcionais
Ranhura única
Agricultura geral
Ranhuras múltiplas
Implementos agrícolas, ranhurados
Implementos, tração moderada
Implemento motriz
Implemento de banda lisa
• para o eixo traseiro as dimensões dos pneus também são especificadas por dois grupos
de números, porém o primeiro grupo contém a especificação da largura do aro "”
além da largura nominal do pneu e do diâmetro do aro  −  (largura nominal
do pneu/ largura do aro e diâmetro do aro).
É importante salientar que estes pneus não são recomendados para serem usados com
velocidades superiores a 32.
Exemplos:
Caso 1 : Pneu 750 − 18( 2)
Largura..................................- 7 5 polegadas
Diâmetro do aro...................- 18 polegadas
Código de serviço................-  2 - Agricultura geral
Posicionamento....................- Roda direcional.
Caso 2 : Pneu 16914 − 30(1)
Largura nominal do pneu.... - 16 9 polegadas
Largura do aro......................- 14 polegadas
Diâmetro do aro...................- 30 polegadas
Código de serviço................- 1- Agricultura
Posicionamento....................- Roda motriz.
1.8.3
Pneus para veículos fora de estrada
Assim como no caso de tratores agrícolas, os pneus para veículos fora de estrada são
classificados segundo o tipo de serviço recomendado. Devido à grande variedade de condições
de serviço, existem diversos desenhos de confecção da banda de rodagem, porém, para cada
tipo de serviço, existe uma relativa padronização entre os vários fabricantes de pneus. Em
função disto, eles são classificados de acordo com a tabela 1.15.
Cada tipo de serviço possui uma subdivisão que indica as características do piso a que
o pneu é adequado, o que, por sua vez, implica na construção da banda de rodagem com
41
Capítulo 1 - Pneus
Tabela 1.15: Tipos de serviço para pneus fora de estrada.
T ip o s d e S erv iç os (S A E J 5 7 1 )
Fu n ç ã o
C a ra c terística
E (E a rth m ove s)
Tra n sp o rte d e te rra , a reia e m in é rio .
R esistên c ia a o c a lo r, a co rtes, d esga ste e ru p tu ra p or im p a cto .
G (G rad es)
M o to n ivela d o ra s.
Tra çã o e d irig ib ilid a d e (v  4 0 k m / h ).
L (L o a d e r)
C a rre g a d eira s
R esistên c ia a o d esg a ste e a c o rte s (v  8 k m / h ).
L S (L o g - S k id d er)
Tra to res fl o resta is
Tra çã o , fl u tu a ç ão e resistê n cia a c o rte s.
C (C o m p a cto r)
C o m p ac ta çã o
R esistente a o ó le o , a c o rtes e a o d esga ste (v  8 k m / h ).
Tabela 1.16: Subdivisão
Subdivisão
E1
E2
E3
E4
E5
E6
E7
G1
G2
G3
G4
L2
L3
L4
L5
C1
C2
LS2
dos tipos de serviço de pneus fora de estrada.
Aplicação
Direcionais
Tração
Para pedras
Banda espessa, para pedras
Resistente ao calor
Extra resistente ao calor
Flutuação
Direcionais
Tração
Para pedras
Banda espessa, para pedras
Tração
Para pedras
Banda espessa, para pedras
Banda extra espessa, para pedras
Banda lisa
Ranhura
Intermediário (uso geral)
Capítulo 1 - Pneus
42
desenhos, reforços e volume de borracha distintos de uma para outra classificação, como
mostra a tabela 1.16.
Para esses tipos de pneus, tem-se três séries de largura:
Convencional - série 96- a caracterização desta série é feita através do número que especifica a largura, sempre inteiro e expresso em polegadas.
Pneus Base Larga - série 83 - a caracterização desta série também é feita através do
número que especifica a largura, que, neste caso, é sempre expresso em frações de polegadas.
Pneus de perfil baixo - série 65 - a caracterização desta série é feita pelo número 65 que
sempre antecede a largura nominal do pneu.
Observação: quando os quatro tipos acima forem seguidos da letra S, a banda é lisa (ex.:
L4S).
Exemplos:
Caso 1: Pneu 1800 − 25.
Como a largura é expressa por um número inteiro, este pneu é da série 96 e possui as
seguintes características:
Largura nominal......................... = 18 polegadas
Série........................................ = 0 96
Diâmetro do aro......................... = 25 polegadas
Diâmetro externo do pneu........ = 60 polegadas.
Caso 2: Pneu 3325 − 35
Como a largura é expressa por um número fracionário, esse pneu é da série 83 e possui
as seguintes características:
Largura nominal......................... = 33 25 polegadas
Série........................................ = 0 83
Diâmetro do aro......................... = 35 polegadas
Diâmetro externo do pneu........ = 90 polegadas.
Caso 3: Pneu 6535 − 33
Como a largura é antecedida pelo número 65 este pneu é da série 65 e possui as seguintes
características:
Largura nominal......................... = 35 polegadas
Série........................................ = 0 65
Diâmetro do aro......................... = 33 polegadas
Diâmetro externo do pneu........ = 78 5 polegadas.
Capítulo 2
Forças e acelerações em um veículo
em operação
2.1
Resistências ao movimento
Nesta primeira parte do estudo das forças que agem sobre um veículo se deslocando,
o interesse é naquelas que se opõem ao seu movimento e determinam o nível de potência
necessário para manter esse movimento. A força resistente total deve ser equilibrada pela
força transmitida por atrito ao solo, através das rodas motrizes, proveniente da potência
gerada pelo motor. Para que se tenha idéia de como o veículo se comportará nas diversas
situações de uso, é necessário que se conheça o nível de potência que o motor possui, a
cada rotação, para várias posições do acelerador. Dispondo de curvas características do
motor, como as mostradas na Figura 2.1, bem como da curva de consumo específico, é
possível estimar, com boa precisão, o comportamento do veículo em termos de acelerações
possíveis, consumo, velocidade final, bem como o seu desempenho em ultrapassagens e em
aclives para as mais diversas situações de carga e terreno. Para tanto, é de fundamental
importância o levantamento da potência líquida do motor em testes de dinamômetro, bem
como a determinação da potência gasta para manter a condição de deslocamento do veículo.
As resistências que se opõem do movimento, para todos tipos de veículos, são:
Figura 2.1: Curva de potência de um motor para diferentes níveis de carga.
43
Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação
44
Figura 2.2: Elementos da transmissão de potência do motor às rodas.
• - Resistência mecânica;
• - Resistência de aclive;
• - Resistência de inércia;
• - Resistência de rolamento;
• - Resistência aerodinâmica.
Cada parcela citada será apresentada detalhadamente nos itens que se seguirão.
2.2
Resistência mecânica
A potência gerada no motor deve ser levada às rodas motrizes para que o veículo possa
efetivamente fazer uso dela. Neste percurso, mostrado na Figura 2.2, existem vários elementos mecânicos sujeitos ao atrito que irão consumir parte dela. A resistência mecânica é
considerada como toda e qualquer perda que ocorra entre o volante do motor e os mancais
das rodas motrizes. Neste valor estão incluídas perdas na caixa de câmbio, no eixo cardam,
no diferencial, nos mancais e em outros pontos.
Uma maneira bastante simples de considerar as perdas é pelo uso do conceito do rendimento da transmissão de força, desde o motor até o eixo das rodas, aplicando a seguinte
equação empírica:
 =  
(2.1)
sendo:
 - Potência no cubo;
 - Potência efetiva no motor;
 - Rendimento mecânico da transmissão.
Como a potência efetiva do motor é a soma das potências no cubo e a perdida na transmissão, pode-se escrever que:
 = (1 −   ) 
sendo:
(2.2)
Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação
45
Figura 2.3: Comportamento do rendimento da transmissâo com a carga.
Figura 2.4: Potência bruta disponível, no cubo da roda, em cada marcha.
 - Potência consumida na transmissão (perda mecânica).
Em geral, as perdas podem ser decompostas em uma parte que é, independentemente da
carga transmitida, proveniente em grande parte do movimento do óleo lubrificante e outra
devido ao atrito propriamente dito que varia, aproximadamente, de uma forma linear com
a carga. Em cargas leves há predominância das perdas do lubrificante, as quais diminuem
com o aumento da carga, como se mostra na Figura 2.3. Pela forma da curva de rendimento
torna-se flagrante que não é interessante que o sistema opere com carga inferior à carga
nominal, pois o rendimento sofre uma drástica redução.
O rendimento mecânico da transmissão de automóveis está, em geral, na faixa de 0 84
a 0 93, variando conforme as soluções construtivas que foram adotadas e com a marcha que
está sendo utilizada. Para alguns tipos de câmbios, onde há uma marcha direta e não ocorre
transmissão de força através das engrenagens da caixa de câmbio, tem-se, nesta marcha, o
maior o rendimento da transmissão.
A partir da curva de potência do motor, é possível obter-se a curva de potência do veículo
na roda, em função da velocidade, conhecendo-se as relações de transmissão e o raio da roda
de tração. O resultado deste procedimento está representado na Figura 2.4.
Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação
46
Figura 2.5: Veículo percorrendo uma rampa.
2.3
Resistência ao aclive
Um veículo ao subir um aclive apenas parte do seu peso é absorvido pelo solo, na forma
de força normal, e o restante do peso fica agindo sobre o CG na forma de uma componente
paralela ao piso, tendendo a fazer o veículo descer o aclive, como mostrado na Figura 2.5.
Esta componente do peso é a resistência de aclive, ou seja é a força que deve ser vencida
para que o equilíbrio estático seja mantido. Deste modo a resistência de aclive,  , é obtida
por:
 =   
(2.3)
Na literatura especializada é usual referir-se a um aclive pela percentagem de quanto se
sobe em relação à horizontal e não pelo ângulo de inclinação da pista. A seguir é mostrada
a relação entre estas grandezas com um exemplo de aplicação.
Na Figura 2.6 é mostrado um aclive de 40 %, ou seja, de  = 0 4. Pela análise da figura
tem-se que:
 =  
(2.4)
Sendo  = 0 40, pode-se calcular a partir desta última equação a inclinação do aclive em
graus.
 = 21 8
Para um aclive de 20 % tem-se  = 0 2 e logo  = 11 31 . Um aclive de 100 %
corresponde a um ângulo de 45 .
Se em lugar de aclive houver um declive então o ângulo que entra na equação (2.3) é
negativo e o seu resultado também será negativo, ou seja, haverá uma força que facilitará o
movimento do veículo.
Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação
47
Figura 2.6: Definição do aclive  = 0 4 (40%).
Figura 2.7: Inércia de translação de um veículo.
2.4
Resistência de inércia
Segundo Newton, um corpo para ter o seu estado de movimento (em repouso ou em
movimento retilíneo uniforme) alterado é necessário aplicar uma força. Para um automóvel,
que é um conjunto de inércias em translação e rotação, no cálculo da força a ser aplicada
para variar a velocidade deve ser levado em conta, além das massas em translação, as inércias rotativas. Isto porque as inércias rotativas são submetidas a acelerações angulares
proporcionais a linear e, em função das relações de transmissão da caixa e do diferencial,
podem ser responsáveis por uma grande parcela de consumo de força (consequentemente
potência) durante a aceleração de um automóvel . Assim a abordagem será subdividida em
duas parcelas, uma devido as massas em translação e outra devida as massas em rotação. No
final, o efeito das duas parcelas será somado e corresponderá a resistência total de aceleração.
2.4.1
Massas em translação
Sabe-se da dinâmica que para acelerar uma massa "m" de uma quantidade "a" é necessário
aplicar uma força, mostrada na Figura 2.7, dada por:
 = 
(2.5)
Esta força, que deve ser colocada a disposição do veículo pelo motor, corresponde a
resistência de inércia de translação dada por
0 =  
(2.6)
48
Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação
Figura 2.8: Inércias rotativas de um veículo.
Esta força de inércia de translação corresponde a primeira parcela da resistência de
inércia.
2.4.2
Massas em rotação
Para causar uma aceleração angular,  [2 ], em uma inércia rotacional,  [2 ],
é necessário aplicar-se um momento dado por:
 =
(2.7)
sendo:
 - é a aceleração angular;
 - inércia de rotação, proporcional a massa e a geometria da peça girante.
No caso de veículos que possuam caixas de redução de rotações, tem-se diferentes inércias
girando a velocidades diferentes e a equação acima não pode ser aplicada diretamente. Para
contornar este problema se divide as inércias rotativas nos três grupos, representadas na
Figura 2.8, que seguem:
 - Inércias das rodas e agregados tais como: rodas dianteiras, traseiras, parte do diferencial do lado das rodas, dos discos e tambores de freio e dos cubos de roda.
 - Inércia da transmissão. Parte do diferencial do lado da caixa mais eixo cardam e
juntas, bem como a parte acionada da caixa.
 - Inércia do motor. Motor e acessórios, volante, embreagem e parte acionante da
caixa de marchas.
Para obter a força de equivalente a de inércia no ponto de contato com o solo, é necessário
dividir o momento dado pela equação (2.7) pelo raio dinâmico do pneu como segue:
00 =


(2.8)
00 =


(2.9)
ou
49
Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação
Figura 2.9: Transformação de inércia.
A relação entre a aceleração angular e linear, de uma roda no ponto de contato com o
solo é dada por:
 =  
(2.10)
sendo:
 - aceleração linear;
 - raio dinâmico do pneu (ver página 126 deste texto);
 - aceleração angular.
Assim, pode-se escrever:

(2.11)

Substituindo-se esta aceleração na expressão do torque, consegue-se relacionar a resistência de inércia rotativa com a aceleração linear como segue:
=
00 =

2
(2.12)
O problema, que surge, é devido ao fato de que as rodas não estão girando com a velocidade das inércias  e  , e uma soma direta destas grandezas não pode ser usada para o
cálculo da inércia total . Supondo-se uma inércia unida a um eixo que através de uma redução  transmite movimento para outro, Figura 2.9, pode-se achar uma inércia equivalente
neste último e resolver o problema acima descrito.
Para obter-se a inércia equivalente,  0 , no outro eixo, deve-se respeitar a lei da conservação
de energia, ou seja, a energia cinética deve ser a mesma em um e no outro caso. Assim, temse:
50
Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação
1
1
 21 =  0 22
2
2
(2.13)
sendo:
 - inércia real;
 1 - velocidade angular da inércia ;
 0 - inércia equivalente;
 2 - velocidade angular da inércia equivalente.
Como:
1 =  2
(2.14)
(2 )2 =  0  22
(2.15)
 0 = 2 
(2.16)
e assim:
com as devidas simplificações, tem-se:
sendo  a relação de transmissão.
Deste modo se pode calcular uma inércia equivalente a do motor e da transmissão, nas
rodas, considerando a ´́ relação de transmissão da caixa de câmbio ( ) e do diferencial
( ), como segue:
 0 = 2 ( + 2  )
(2.17)
A inércia rotativa total nas rodas, para um veículo como o mostrado na Figura 2.8, é
dada pela soma das parcelas do motor, da caixa e das rodas como segue
 =  + 2 ( + 2  )
(2.18)
Vals salientar que esta equação serve para análise de qualquer sistema que possua massas
girando com velocidades diferentes, tal como o mostrado na Figura 2.8.
2.4.3
Superposição dos efeitos
A resistência total da aceleração é então dada pela soma das inércias de translação e da
de rotação, como segue
 = 0 + 00
(2.19)
ou
 =  (1 +

)
 2
Para facilitar o manuseio desta expressão, escreve-se:
(2.20)
51
Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação
Tabela 2.1: Momentos de inércia de massa para alguns pneus.
Pneu
 [ 2 ]
600 − 12
1 00
600 − 13
1 33
640 − 13
1 64
155 − 13
1 76
165 − 13
1 55
165 − 13
1 33
700 − 14
2 23
165 − 14
1 52
165 − 14
1 55
175 − 14
2 35
175 − 14
1 97
185 − 14
3 12
 70 − 14
2 30
560 − 15
1 63
600 − 15
1 81
18570   − 15
2 03
 =  (1 + )
(2.21)
sendo:
=

 2
(2.22)
é a inércia de translação equivalente a de rotação. Na Tabela 2.1 estão listados momentos
de massa para alguns pneus de uso normal, porém, para maior precisão se recomenda a
determinação experimental destes valores.
A inércia equivalente,  representa o acréscimo da massa do veículo devido a necessidade
de acelerar as inércias rotativas. Em primeira marcha pode chegar a 50%, da massa total do
veículo, diminuindo para aproximadamente 5% nas marchas mais elevadas.
Uma boa estimativa de , para o anteprojeto de um automóvel, é dada por:
 = 0 004 + 0 052 
(2.23)
 = 0 15 + 0 001(  )2 
(2.24)
e para o caso de tratores
Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação
52
Tabela 2.2: Coeficientes de atrito de rolamento.
Tipo de piso
Valor de ” ”
Asfalto liso
0 010
Asfalto rugoso
0 011
Cimento rugoso
0 014
Paralelepípedo
0 020
Pedras irregulares
0 032
Pedra britada compacta
0 045
Pedra britada solta
0 080
Terra batida
0 060
Areia solta
0 100 a 0 300
Grama
0 045 a 0 100
Barro
0 100 a 0 400
Neve profunda
0 075 a 0 300
2.5
Resistência ao rolamento
A resistência ao rolamento é devida as perdas no par paneu pista. A mesma pode ser
calculada aproximadamente pela expressão empírica que segue
 =   
(2.25)
sendo:
 - coeficiente de atrito de rolamento;
 - peso do veículo;
 - é a inclinação da pista.
Na Tabela 2.2 são dadas algumas orientações para os valores do coeficiente de rolamento,
onde os primeiros cinco tipos de piso são praticamente rígidos, enquanto que os outros
deformáveis.
Verifica-se experimentalmente que o coeficiente de resistência de rolamento varia com a
velocidade, pressão de inflagem, carga radial e tipo de pneu, além do tipo do piso, temperatura e outras variáveis de menor importância. Vale salientar que os valores apresentados na
Tabela 2.2 são apenas uma orientação geral do coeficiente de resistência ao rolamento para
vários tipos de terrenos e que, para desenvolvimentos mais precisos, é necessário levantar
estes dados experimentalmente.
Para mostrar que a resistência de rolamento é variável, na Figura 2.10 é mostrado
o comportamento do coeficiente de atrito de rolamento com a velocidade, para diferentes
pressões que o pneu está inflado.
Pode-se observar que a partir de uma dada velocidade as curvas se inclinam acentuadamente, aumentando o coeficiente de atrito de rolamento "". Isto acontece pelo fato de
formarem-se ondas na banda de rodagem, devido a ressonância. Nesta situação o coeficiente
Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação
53
Figura 2.10: Variação do coeficiente de atrito de rolamento com a pressão, para um pneu
diagonal.
Tabela 2.3: Coeficientes a e b em função do tipo de pneu.


Pneus normais
0 0150 0 052
Pneus de alta histerese 0 0258 0 052
de atrito de rolamento, "", bem como o nível de vibrações e ruído crescem bruscamente.
Se o efeito permanecer, o pneu fica em pouco tempo destruído.
O modo de deformação do pneu durante a ressonância está mostrado na Figura 2.11.
Para pneus de série, em condições normais de uso, uma orientação para o coeficiente de
resistência de rolamento, considerando o efeito velocidade, é dada por:
 2
)
100
As constantes  e  são dadas na Tabela 2.3, sendo  em [].
 =  + (
2.6
(2.26)
Forças aerodinâmicas
Um corpo movendo-se no ar, devido a distribuição de pressão sobre a sua superfície
livre, fica submetido a uma força resultante. Esta força resultante pode ser decomposta nas
seguintes componentes:
• Força na direção axial do corpo, conhecida como força de arraste ou resistência aerodinâmica;
• Força na direção vertical, denominada de força de sustentação;
Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação
54
Figura 2.11: Ressonância do pneu devido ao rolamento sobre a pista.
• Força transversal horizontal à direção do deslocamento do corpo, denominado de efeito
de ventos laterais.
A primeira preocupação dos construtores foi justamente com o problema da resistência
aerodinâmica, já que esta afeta sensivelmente a potência consumida pelo veículo. Embora
os primeiros estudos detalhados tenham sido iniciados em 1920, até o dia de hoje a maioria
dos carros possuem uma forma que leva a um desperdício de potência da ordem de 30 %.
Os efeitos das forças de sustentação influenciam a aderência de cada pneu e, portanto, o
comportamento direcional do veículo sob a ação de forcas laterais bem como a potência que
pode ser transmitida pelas rodas e a capacidade de frenagem. Por isso a sua análise também
é muito importante no projeto de veículos de grande desempenho.
A última componente de força devido a aerodinâmica, em função do bom desempenho que
a maioria dos veículos comerciais hoje apresentam, é considerada em estudos de estabilidade
direcional. Esta componente de força não será considerada nos modelos aqui desenvolvidos.
2.6.1
Resistência aerodinâmica
Nos automóveis a resistência aerodinâmica provém de três fontes distintas, que são:
Resistência de forma - Ocorre devido a geometria da carroceria.
Um corpo, ao se deslocar no ar, como mostrado na Figura 2.12, produz um turbilhonamento
na sua parte posterior. Esse turbilhonamento depende especialmente da forma do corpo e é
tanto maior quanto maior a velocidade de deslocamento. Na Figura 2.12 estão representados
os fluxos em torno de uma placa plana e de um fuso, sendo que na primeira coluna o fluxo é
de baixíssima velocidade e na segunda o fluxo é de grande velocidade. Apenas em baixíssimas
velocidades a turbulência não ocorre de forma tão significativa, como pode ser visualizado na
figura. Dependendo da forma do corpo é possível evitar o descolamento da camada limite, o
Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação
55
Figura 2.12: Escoamento sobre uma placa plana.
que impede a formação de turbulência, até valores de velocidades bastante elevados. Porém,
a partir de uma determinada velocidade que depende da pressão e temperatura do meio, a
ocorrência da turbulência é inevitável. Assim é correto afirmar-se que quanto maior a área
transversal em que ocorre turbulência maior é a resistência aerodinâmica.
Resistência de atrito - Ocorre devido a viscosidade existem perdas por atrito do ar
com a superfície externa do veículo.
Em geral, a resistência de atrito do ar com a superfície do veículo, é relativamente pequena,
para os carros atuais. Apenas em formas bastante aerodinâmicas é que o atrito do ar passa
a ser sensível. Nesses casos, como em aviões ou veículos para recordes de velocidade, o
acabamento superficial é de suma importância, exigindo-se assim uma superfície polida, pois
a existência de rugosidades na superfície de atrito com o ar reduz a velocidade máxima do
veículo.
Perdas por correntes de ar - Ocorre devido ao ar que penetra no veículo, para refrigeração do motor e ventilação.
O ar perde parte de sua velocidade ao entrar no veículo e, assim, ao sair deve ser acelerado,
consumindo portanto potência do veículo. As perdas por efeito de circulação do ar dentro
do veículo, seja no motor ou no habitáculo, contribuem com 1 a 10% da resistência total,
dependendo do veículo.
2.6.2
Desprendimento da camada limite e turbulência
Como foi descrito anteriormente o descolamento da camada limite está intimamente
ligado com a geometria do corpo que atravessa um fluido. Para um melhor entendimento do
fenômeno é necessária uma melhor descrição do mecanismo do desprendimento da camada
limite, como a que segue. No corpo ilustrado na Figura 2.13, o ar para passar de  para 
adquire maior velocidade, pois diminui a seção de fluxo. Com o aumento da velocidade, a
pressão estática do ar diminui e assim, neste trecho, o ar flui sem qualquer problema, pois vai
de uma zona de alta pressão para uma zona de baixa pressão. O problema agora é no trecho
BD, no qual o fluído começa a deixar o veículo. Devido a aceleração sofrida no primeiro
trecho, as moléculas da camada limite também ganham energia, devido à viscosidade do
fluído. No entanto, na parte posterior do corpo há um aumento na seção de fluxo de ar e,
56
Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação
Figura 2.13: Escoamento do ar em torno de um corpo.
assim, uma redução da velocidade. Esta redução de velocidade produz uma desaceleração da
camada limite, ou seja um aumento na pressão estática, e um gradiente de pressão adversa
ao movimento das partículas. Como as moléculas da camada limite são as que possuem
menor energia, elas sentem primeiro o efeito deste gradiente de pressão adversa e em um
dado ponto do contorno do corpo, a pressão alcança um valor que força o fluxo a voltar em
direção a zona de baixa pressão. A quantidade de ar que retorna aumenta, até a separação
da camada limite e, na zona em que o fluxo é reverso, formam-se turbilhões que agitam todo
escoamento. A zona de turbulência formada na parte traseira do corpo pelo deslocamento
da camada limite, é denominada de esteira.
Quanto mais rapidamente reduzir-se a seção do corpo maior o gradiente de pressão adversa, o que facilita a separação da camada limite. Cantos vivos produzem uma variação
brusca de seção e, desta forma, originam sempre uma separação da camada limite, com
forte turbulência na esteira. Por outro lado, o escoamento em torno de um corpo cuja seção
diminui progressivamente tem um gradiente de pressões bastante suave, de modo que o fluxo
permanece em contato com a superfície até quase o seu final. Devido ao pequeno gradiente
de pressões, a camada limite se descola quase que somente no final do corpo e a energia que
recebe das camadas de ar mais externas, é suficiente para evitar grandes turbulências. Com
isso, pode-se afirmar que a resistência do ar é pequena para formas com variação suave de
geometria. Porém se a velocidade aumentar significativamente e a forma do corpo não se
alterar também ocorrerá grande turbulência. Isso é devido ao fato que a forma aerodinâmica
ótima de um corpo depende da sua velocidade no meio.
2.6.3
Cálculo da resistência aerodinâmica
A resistência aerodinâmica é dada, considerando os três efeitos conjuntamente, por:
 =   
sendo:
(2.27)
57
Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação
Figura 2.14: Formação da esteira em um corpo com variação brusca de seção.
 - pressão dinâmica;
 - coeficiente de resistência aerodinâmica (em geral determinado em testes com
modelos em escalas reduzidas ou em tamanho natural);
 - área projetada da seção transversal do veículo.
Essa expressão é uma relação empírica bastante utilizada em mecânica dos fluidos, para
a determinação experimental do coeficiente de resistência de forma e de atrito de corpos das
mais variadas geometrias. A pressão dinâmica que é função da velocidade relativa entre o
veículo e o ar, da temperatura e da pressão atmosférica, pode ser calculada por:
1
 =  2
2
(2.28)
sendo:
 = 1 22557 [3 ] (massa específica do ar a 15  e 760  );
 = velocidade relativa do vento [].
Para outras condições de temperatura e pressão a massa específica do ar pode ser obtida,
com boa precisão, através da expressão que segue:
 = 0 4647

[3 ]

(2.29)
sendo:
 - a pressão atmosférica em  de ;
 - a temperatura absoluta .
A resistência aerodinâmica, conforme visto, depende da área da seção transversal, da
pressão dinâmica e do coeficiente de resistência. A seguir, cada uma destas variáveis será
analisada de forma mais detalhada.
2.6.4
Área da seção transversal
No estudo da resistência aerodinâmica, tem-se interesse na maior área projetada da
seção transversal do veículo na direção do movimento. Uma maneira de se obter esta área
é a partir dos desenhos do projeto da carroceria do veículo, quando disponíveis. Outro
é o método experimental que faz uso da projeção da área sobre uma parede vertical, ou
sobre uma película fotográfica, como é descrito a seguir. Também é possível a utilização de
métodos de medição direta através máquinas de medição de coordenadas.
58
Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação
Figura 2.15: Determinação da área da seção transversal por projeção da sombra do veículo.
Desses procedimentos o mais preciso é o de projetar a sombra do veículo sobre um
anteparo. Na Figura 2.15 está mostrado o caso em que um holofote de 150 W com 250
mm de diâmetro projeta um feixe de luz através de um diafragma com 40 mm de diâmetro,
resultando em uma sombra bastante nítida sobre o anteparo. Assim, traçando-se o contorno,
é possível determinar a área projetada da maior seção transversal do corpo. Para permitir um
perfeito alinhamento, do automóvel, são colocadas duas varetas sobre o plano longitudinal
de simetria, sendo que a superposição das sombras das varetas garante o alinhamento. O
feixe de luz do holofote é colocado na altura do eixo das rodas. De modo a possibilitar uma
medida com boa precisão da área projetada, a distância "", entre o automóvel e o holofote,
deve ser de cinqüenta a oitenta metros. Apesar dessa distância ser grande há uma pequena
ampliação da sombra projetada e a maneira de considerar este efeito é apresentada a seguir.
A partir da Figura 2.15, a dimensão projetada  ’, em relação a dimensão real, é:

0
=
+

(2.30)
0 2

+
(2.31)
1 2
( + )2
(2.32)
e assim:
=
Portanto
=
sendo:
 - Área projetada do veículo;
1 - Área da sombra no anteparo.
Atualmente o foco de luz do holofote é substituído por um feixe de raios laser, o que
aumenta bastante a precisão da medição da área, pois não há penumbra apreciável para este
tipo de luz.
O último método utilizado, cujo tratamento das distorções pela ampliação da imagem
é idêntico ao descrito anteriormente, é o do levantamento fotográfico do veículo. Como no
caso anterior deve haver uma distância mínima entre o veículo e a câmara, da ordem de 50
a 80 , para evitar distorções excessivas. É conveniente fazer a fotografia com uma câmara
equipada com teleobjetiva e ampliá-la posteriormente ou então fazer slides.
59
Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação
h1
Tubo estático de Pitot
h2
B
A
Fluxo
h1 - mede a pressão dinâmica
h 2 - mede a pressão estática
Figura 2.16: Medição das pressões dinânica e estática.
2.6.5
Pressão dinâmica
A pressão dinâmica pode ser definida como a pressão que o ar exerce sobre uma superfície
disposta transversalmente as linhas de fluxo (ver Figura 2.16). Quando a velocidade do fluxo
de ar cai a zero em um ponto, devido a um obstáculo, neste faz-se sentir a pressão dinâmica na
sua plenitude. A pressão dinâmica é justamente a energia cinética contida em uma unidade
de volume de ar em movimento totalmente transformada em energia potencial, ou seja em
pressão. A energia cinética de uma determinada quantidade de ar é dada por:
1
 =   2
2
(2.33)
1
 =  =   2
2
(2.34)
ou
sendo:
 - massa específica;
 - velocidade do fluido;
 - volume.
A pressão dinâmica é obtida pela divisão da equação (2.34) pelo volume, ou seja:
1
 =  2
2
(2.35)
Em um automóvel, a pressão dinâmica produz-se em diversas zonas, como se mostra na
Figura 2.18. A principal é na dianteira, 1, onde as linhas de fluxo se separam e a velocidade
cai a zero. Outra ocorre no parabrisas, 2, mas não com pressão dinâmica total, já que os
mesmos são inclinados em relação a vertical. Outras saliências, como espelho retrovisor, 3,
calhas de água, maçanetas e etc, são áreas de represamento do ar que devem ser evitadas,
ou pelo menos projetadas de maneira a reduzir os seus efeitos danosos para a aerodinâmica.
Além da pressão dinâmica existe a pressão estática, da qual vale a pena relembrar a
definição. A pressão estática pode ser definida como a pressão em uma superfície paralela à
linha de fluxo, ou seja, é a pressão que o ar exerce pelo deslocamento sobre uma parede (ver
Figura 2.16).
60
Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação
Linhas de fluxo
Fuso
Pressão dinâmica
Solo
Pressão estática
P
+
+
-
x
Figura 2.17: Distribuição de pressão em um corpo.
Figura 2.18: Locais onde a pressão dinâmica é predominante.
61
Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação
2.6.6
??Coeficiente de resistência aerodinâmica
O coeficiente de penetração aerodinâmica  , serve de medida para a aerodinâmica de
um corpo e é determinado experimentalmente. Em seu valor estão considerados a influência
de forma, do acabamento superficial e do fluxo necessário para refrigeração do motor e
ventilação do interior do carro. Quanto menor o seu valor, tanto menor a resistência do ar.
O valor do coeficiente aerodinâmico é independente da área da seção transversal do corpo
que se desloca no fluído, no entanto, a área deve permanecer tão pequena quanto possível,
já que o seu produto com o coeficiente de resistência aerodinâmica resulta no que poderia
chamar-se de área efetiva quanto à resistência aerodinâmica do corpo.
A determinação de  pode ser feita através do estudo em túneis de vento, seja com
modelo reduzido ou mesmo com automóveis em tamanho real. Outra possibilidade é um
teste em pista com o veículo.
Na confecção dos modelos em escala reduzida, para testes em túnel de vento, algumas
recomendações básicas devem ser seguidas:
-Para medidas precisas é necessário considerar o ar de refrigeração e ventilação. Em
situações extremas de precisão, o ventilador do radiador pode ser acionado por um motor
elétrico, já que a influência apesar de pequena varia de 3 a 10%.
-As rodas do modelo, em geral, não giram. Os desvios, na medida, são pequenos no caso
das rodas serem protegidas por paralamas. Para carros de corrida as rodas, que ficam girando
livremente contra o fluxo de ar, ocasionam grande resistência quando comparadas com o
aquelas que ficam protegidas por paralamas. No caso das rodas desprotegidas, é interessante
o acionamento destas através de motores elétricos, de modo a não distorcer os resultados.
-É necessário usar o maior número possível de detalhes mecanicamente semelhantes ao
do carro real, como palhetas do limpador do parabrisas, maçanetas, calhas de chuva, etc. A
parte inferior do chassi também apresenta importância, pois o modelo com a parte de baixo
lisa, apresenta x inferior ao real. De modo que as medidas feitas em modelos possam ser
transportadas para um caso real, é necessário haver similaridade mecânica entre os fluxos
real e do túnel de vento. Esta similaridade é garantida quando o número de Reynolds para
os dois fluxos for igual. Da mecânica dos fluidos, o número de Reynolds é dado por:
< =
l


(2.36)
sendo:
 - velocidade do fluido;
 - dimensão característica ;
 - densidade do fluido;
 - viscosidade do fluído.
Assim, para testes em que o fluido do túnel é o ar, a velocidade do fluxo deve crescer na
proporção em que o tamanho diminui. Um problema com escalas pequenas, da ordem de
1 : 10, é que as velocidades exigidas para manter a similaridade mecânica, são muito altas,
as vezes superiores a do som e, neste caso, os resultados são completamente errôneos, não
correspondendo ao caso real, pois o efeito de compressibilidade do ar passa a ser sensível o
que não ocorre com o caso real.
Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação
62
Figura 2.19: Variação do coeficiente de arrasto em função do número de Reynolds.
A semelhança no acabamento superficial é de suma importância. Como no veículo real
o acabamento superficial é bom (rugosidade da pintura), é bastante difícil ter-se um modelo
em escala um acabamento semelhante e, assim, o coeficiente  será menor que o obtido nas
medidas feitas no modelo.
Verificações realizadas com modelos de automóveis mostraram que o coeficiente de resistência do ar  praticamente independe de < (número de Reynolds), ao contrário de alguns
sólidos, como a esfera, como pode ser observado na Figura 2.19.
O número de Reynolds varia entre < = 1 5106 ( na cidade onde as velocidades giram de
20 a 40 ) e < = 12106 ( nas rodovias, onde as velocidades giram entre 80 e 120 ).
Para modelos em escala 1 : 5 e velocidades do ar no túnel de vento entre 10 e 60 , o
número de Reynolds estará entre 0 5106 e 3106 , correspondendo a valores semelhantes do
caso real, o que permite que se faça os ensaios com esta escala.
2.6.7
Coeficientes de penetração aerodinâmica de alguns carros
Segundo os fabricantes e revistas especializadas os coeficientes de penetração aerodinâmica
de alguns carros nacionais são dados na Tabela 2.4.
Dessas fontes, por ensaios em túnel de vento, a resistência aerodinâmica é aproximadamente distribuída como segue:
• Forma - 55%;
• Faróis, emblemas, frisos, antenas, guarnições, espelhos, calhas e outros
acabamentos - 29%;
• Parte inferior do chassi (sulcos, volumes e outras obstruções que causem
turbulência - 8%;
• Tomada de ar para o motor e habitáculo - 8%.
63
Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação
Tabela 2.4: Coeficientes de penetração aerodinâmica para alguns veículos nacionais:
Carro

FIAT 147 (todos)
0 50
Uno
0 35
Corcel II
0 44
Del Rey
0 44
Escort (até 91)
0 386
Pampa
0 44
Monza Hatch (90)
0 34
Monza 3 volumes (90) 0 40
Fusca
0 48
Gol (até 90)
0 42
Gol GT
0 41
Voyage
0 43
Parati
0 41
Passat
0 46
Santana (até 90)
0 39
Quantum (até 91)
0 38
Kadett
0 32
Kadett GS
0 30
Audi A3
0 31
Golf
0 31
2.7
2.7.1
Forças de sustentação e centrípeta
Forças de sustentação
Todo corpo imerso em um fluído sofre a ação deste. Esta ação é a força resultante da
distribuição de pressões que o fluído exerce sobre o corpo, a qual pode ser decomposta em
três componentes, uma na direção axial do veículo, outra na direção transversal e outra na
vertical. A força resultante da distribuição de pressões devido ao fluxo do fluido em torno
do corpo age no centro de pressão,  , mostrado na Figura 2.20.
A componente vertical, é a que propicia a força de sustentação, como por exemplo a
necessária para um avião voar. Da mecânica dos fluidos, tem-se que a força de sustentação
é dada por:
 =   
(2.37)
sendo:
  - força de sustentação vertical;
- área da plataforma de um aerofólio;
 - coeficiente de sustentação aerodinâmica;
 - pressão dinâmica.
A determinação da força de sustentação, do seu ponto de aplicação, bem como a sua
distruibuição nos eixos é feita experimentalmente em túneis de vento com modelos em escala
64
Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação
aI
a II
FZ
Qa
ev
CP
eh
ha
CG
h
u II
uI
Figura 2.20: Posição do centro de pressão.
aI
a II
FZ
FZ
Qa
CP
CG
ha
h
uI
eh
ML
ev
Qa
u II
Figura 2.21: Cargas aerodinâmicas equivalentes agindo no CG.
real. Outra maneira possível é através de simulação numérica.
Para o desenvolvimento que segue, é conveniente trabalhar apenas com o centro de gravidade do veículo. Para isso, as forças que estão atuando no centro de pressão,  , devem ser
substituídas por forças equivalentes agindo no centro de gravidade. Para isso, transfere-se
a força de sustentação e a resistência aerodinâmica para o centro de gravidade juntamente
com com um momento associado a estas duas forças. Na Figura 2.21 está esquematizado
este procedimento.O momento assocido a forçade sustentação e a resistência de inércia,  ,
é calculado da forma que segue:
ML = Fz eh + Qa ev 
(2.38)
O sentido positivo deste momento é no horário, como indicado na Figura 2.21.
2.7.2
Força centrípeta
Quando um veículo percorre uma trajetória curva, com raio "" com uma certa velocidade
"", ocorre a aceleração centrípeta " ". Esta aceleração centrípeta é dada, a partir da
65
Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação
velocidade tangencial do corpo se deslocando na trajetória curva, por:
 =
2

(2.39)
A força centrípeta associada é dada por
 =  
(2.40)
ou, substituindo a expressão 2.39 na equação 2.40, por
 = 
2


(2.41)
sendo:
 - raio da curva;
 - massa do veículo;
 - velocidade tangencial do veículo à curva.
O efeito preciso da força centrípeta, na carga sobre as rodas de um veículo em movimento,
só pode ser levada em conta com a modelagem da transferência de carga entre os eixos em
função das suspensões usadas nos eixos dianteiro e traseiro do veículo. Sendo assim, a
consideração precisa deste efeito sobre as cargas normais às rodas serão tratadas em um
curso de suspensões a ser visto em outra ocasião.
2.8
Determinação do coeficiente de resistência aerodinâmica
A determinação do efeito do escoamento do ar sobre um veículo durante o seu deslocamento é feita através da solução das equações de movimento de Navier Stokes. Essas
equações, na forma vetorial, são:
¶
¶
µ
µ
1
v
2

+ v·∇v = −∇ + ∇ v +
 +  ∇ (∇ · v) + f
(2.42)


3
A solução desse conjunto de equações não é simples, especialmente em automóveis cuja
superfície externa é definida por um conjunto de funções muito distintas entre si, a aplicação
das condições de contorno do sistema de equações diferenciais não é um procedimento simples,
devido a dificuldade de se ter toda a superfície do automóvel expressada por uma única
função. Com isso é praticamente impossível determinar a solução exata para o campo de
velocidades do fluido em torno do corpo a partir da integração das equações de movimento.
Sendo assim a primeira alternativa eficiente para a determinação da solução do sistema
de equações diferenciais mostrado é através das soluções aproximadas obtidas a partir de
métodos numéricos. Os principais métodos numéricos usados para a solução aproximadas
de sistemas de equações diferenciais, tal como o mostrado na equação 2.42, são:
• Diferenças finitas, que levam ao método dos Volumes Finitos;
66
Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação
Qa
CG
QrI
QrII
Figura 2.22: Modelo diagramático de um veículo em movimento livre no plano.
• Método dos Elementos Finitos;
• Método dos Elementos de Contorno.
Esses métodos, conhecidos há muito tempo, são comercializados por diversas empresas
desenvolvedoras de programas comerciais de computação, ou seja, os softwares comerciais .
Mesmo com esses programas comerciais de alto desempenho, a modelagem da carroceria de
automóveis é bastante cara e, por muitas vezes, impossível de ser feita devido a capacidade
finita da precisão e do tamanho da memória dos computadores comercializados atualmente.
Essas limitações impõem restrições ao número de graus de liberdade e, consequentemente
ao tamanho da malha usada para a discretização da superfície livre do veículo, o que limita
a precisão dos resultados. Mesmo assim, hoje em dia, já são feitas análises de escoamentos
em torno de automóveis usando vários milhares de graus de liberdade, porém ainda há
bastante a ser desenvolvido em termos de equipamento para que análises numéricas precisas
da aerodinâmica de automóveis sejam corriqueiras e simples de serem efetuadas.
Outra linha para o estudo do escoamento em torno de corpos é a experimentação. Como
foi explanado, na experimentação, a ferramenta mais utilizada é o túnel de vento, seja em
escala real ou em escala reduzida. Apesar de ser uma ferramenta muito precisa e fundamental
para o desenvolvimento da aerodinâmica em veículos, o túnel de vento e a sua utilização são
caras e restritas a poucas empresas de grande porte que, mesmo nessas, prestam serviços
para terceiros para manter a sustentabilidade econômica da estrutura. Outra maneira de
fazer a experimentação é através de ensaios em pista. Esses ensaios, apesar de permitir pouco
controle em variáveis tais como velocidade do ar, estado na pista, diferenças mecânicas entre
os protótipos etc., são uma excelente ferramenta para comparações entre diversas concepções
de uma determinada modificação em um veículo, especialmente no custo.
Esse ensaio, denominado por Coast Down, que tem uma normalização específica para sua
aplicação, consiste em levar o veículo até uma determinada velocidade e, a partir dessa, é
solto em movimento livre. Desprezando as perdas mecânicas da transmissão, o veículo pode
ser modelado como mostrado na Figura 2.22.
Do modelo diagramático mostrado na figura, pode-se escrever a seguinte equação de
equilíbrio.
X
F = a
(2.43)
67
Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação
Qa + Qr
v1
v2
v [m/s]
Figura 2.23: Curva de consumo de força por um veículo se deslocando no plano.
− −  −  =  (1 + )
(2.44)
− −  =  (1 + )
(2.45)
ou
sendo:
 +  =  - Resistência de rolamento;
 - Resistência aerodinâmica;
 - Massa do veículo;
 - Inercia de translação equivalente à de rotação.
Lembrando do que foi desenvolvido nesse capítulo, a última equação pode ser reescrita
como segue.
1
(2.46)
−  −    2 =  (1 + )
2
Observa-se, nessa equação, que há duas incógnitas: o coeficiente de atrito de rolamento,  , e
o coeficiente de arrasto aerodinâmico,  . para que essas duas incónitas sejam determinadas
basta que sejam medidas a aceleração do veículo em duas velocidades diferentes, 1 e 2 ,
como mostrado na Figura 2.23.
Com a medição da aceleração nas velocidades 1 e 2 , a última equação pode ser escrita,
para essas duas velocidades, da forma que segue.
1
−  −    12 =  1 (1 + )
2
1
−  −    22 =  2 (1 + )
2
A solução dessas equações para  e  , são:
 = 2(1 + )
 = (1 + )
(2 − 1 )
(12 − 22 )
(22 1 − 12 2 )
(22 1 − 12 2 )
=
(1
+
)
(12 − 22 )
(12 − 22 )
(2.47)
(2.48)
(2.49)
(2.50)
Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação
68
sendo:
 - massa do veículo em ;
 - inércia de translação equivalente à de rotação (adimensional);
1 - velocidade do veículo no ponto 1 da Figura 2.23 [];
2 - velocidade do veículo no ponto 2 da Figura 2.23 [];
1 - desaceleração medida na velocidade 1 [2 ];
2 - desaceleração medida na velocidade 1 [2 ];
 - área da seção transversal do veículo [2 ];
 - densidade do ar [3 ];
 - aceleração da gravidade [9 812 no nível do mar].
Exemplo. Um veículo com as propriedades mostradas na tabela é ensaiado em um teste
de coast doawn. Para a velocidade de 20 a aceleração medida é de −0 232 e para
o segundo ponto, na velocidade de 30 a desaceleração é de −0 382 . Determinar o
coeficente de arrasto aerodinâmico e o coeficente de atrito de rolamento .


1
2
1
2


1300

0 01
20

30

−0 23 2
−0 38 2
1 98
2
1 225 3
 = 2 1300 (1 + 0 01)
 = (1 + 0 01)
(−0 38 − (−0 23))
= 0 32
1 98 1 225(202 − 302 )
(302 (−0 23) − 202 (−0 38))
= 0 011
9 81(202 − 302 )
Capítulo 3
Transmissão de força pneu pista:
Modelo quase estático
3.1
Introdução
Nesse capítulo é desenvolvida uma formulação simples, que permite que seja avaliada
a carga média sobre as rodas de um veículo se deslocando no plano. Essa modelagem
quase estática, dependendo do interesse, pode ser empregada como um modelo estrutural de
carregamentos ou então como um modelo de desempenho. O modelo é completado com a
análise do escorregamento e tombamento do veículo em curvas, juntamente com a definição
do polígono de estabilidade.
3.2
Posição do centro de gravidade
Para a determinação das cargas sobre as rodas com o veículo em movimento, de maneira
a verificar qual a capacidade de transmissão de força entre o pneu e a pista, é de importância
fundamental a posição do centro de gravidade, pois é nele que agem as forças do peso e de
inércia.
A determinação da posição longitudinal do , mostrado na Figura 3.1, pode ser feita
simplesmente pesando os dois eixos do veículo. Supondo que sejam 0 e 0 as reações
sobre o eixo dianteiro e sobre o eixo traseiro, respectivamente, e  o peso total do veículo,
tem-se, do equilíbrio de forças na direção vertical, que:
 = 0 + 0 
(3.1)
 = 0 
(3.2)
Definindo
pode-se expressar as reações normais dos pneus ao solo como
0 = (1 − ) 
(3.3)
0 = 
(3.4)
69
70
Capítulo 3 - Transmissão de força pneu e pista: Modelo quase estático
CG
G
h
a II
aI
R0I
R0II
Figura 3.1: Posição longitudinal do .
Para se obter a posição do , toma-se o equilíbrio de momentos em relação ao eixo
dianteiro do veículo esquematizado na Figura 3.1, o que resulta
  = 0 
(3.5)
Logo:
 =
0


(3.6)
ou ainda:
 =  
(3.7)
De forma semelhante, para o eixo traseiro:
 = 0 
(3.8)
 = (1 − )
(3.9)
ou ainda
sendo:
 - distância entre os eixos dianteiro e traseiro;
 - distância do  ao eixo dianteiro;
 - distância do  ao eixo traseiro.
Para se obter a altura do centro de gravidade em relação ao solo, ou seja a sua posição
vertical, é necessário fazer uma pesagem do veículo em um plano com uma inclinação  em
relação ao plano horizontal, como é mostrado na Figura 3.2.
Do equilíbrio de momentos em torno do centro da roda traseira se tem:
0 ( + ) −   = 0
(3.10)
Capítulo 3 - Transmissão de força pneu e pista: Modelo quase estático
71
Figura 3.2: Posição vertical do CG.
Do triângulo , mostrado na Figura 3.2, tem-se a seguinte relação:
 +  =  cos 
(3.11)
Assim a equação de equilíbrio de momentos, pode ser rescrita como:
0  cos  −   = 0
(3.12)
0  =  [ − ( − 0 ) tan ]
(3.13)
ou ainda
a qual rearranjada resulta em:
∙
¸
 0
( − 0 ) tan  = 
−



(3.14)

= (1 − )

(3.15)
0


(3.16)
Usando a definição de , pode-se escrever que:
e ainda definindo que:
1 − 0 =
Assim, a posição vertical do  é dada por
72
Capítulo 3 - Transmissão de força pneu e pista: Modelo quase estático
Figura 3.3: Carga nos eixos, de um veículo colocado em uma rampa.
( − 0 ) =  cot  [0 − ] 
(3.17)
que pode ser rescrita como
( − 0 ) =

cot  [0 − 0 ] 

(3.18)
sendo:
0 - é a reação do eixo dianteiro medida com o carro na horizontal;
0 - é a reação vertical do eixo dianteiro medida com o carro na rampa.
É interessante salientar que esta expressão é válida somente para veículos de pneus de
mesmo tamanho, porém, para veículos com rodas de tamanhos diferentes, o problema pode
ser contornado se o centro destas não forem usados como referência para traçar a reta .
3.3
Carga nos eixos de um veículo parado em aclive
Para o veículo estacionado em um aclive as reações normal dos pneus sobre o solo variam,
pois a força normal ao solo é na realidade uma componente de peso do veículo. A partir do
esquema representado na Figura 3.3 (nesta figura a linha paralela a base da folha é a da pista
inclinada), onde está representado um veículo estacionado sobre uma rampa com inclinação
, e das condições de equilíbrio, no plano, desenvolve-se o modelo matemático que permite
a avaliação da variação da força normal ao solo, em função do aclive, como segue.
Do equilíbrio de momentos em torno do eixo traseiro e dianteiro se tem, respectivamente:
∙
¸

(3.19)
 =  (1 − )   −  

¸
∙

(3.20)
 =     +   

Lembrando das equações 3.3 e 3.4, estas equações podem ser reescritas como :

 = 0   −   

(3.21)
Capítulo 3 - Transmissão de força pneu e pista: Modelo quase estático
73

 = 0   +   

(3.22)
 = 0   − ∆
(3.23)
 = 0   + ∆
(3.24)
ou ainda por
sendo:
∆ - a transferência de carga entre eixo dianteiro e traseiro;
0 - a reação normal do eixo dianteiro para o veículo parado no plano;
0 - a reação normal do eixo traseiro para o veículo no plano;
 - a distância entre eixos;
 - a altura do centro de gravidade em relação a pista e
 - a inclinação da pista em relação ao horizonte.
Em outras palavras, este modelo pode ser traduzido como a transferência de carga entre
os eixos dianteiro e traseiro devida a componente do peso de veículo no sentido contrário à
direção do seu deslocamento deslocamento. Esta força, que é a resistência de aclive e está
mostrada na Figura 3.3, causa um momento em relação ao solo dado por
   
que deve ser equilibrado pelo binário causado pela força "∆"que age nas rodas dos eixos
dianteiro e traseiro distantes entre si de .
Esta análise preliminar é importante porque mostra claramente que uma força horizontal
agindo no  do veículo afeta a reação normal das rodas ao solo.
3.4
Carga nos eixos com o veículo em movimento
Com o movimento do veículo surgem outras forças, além do peso, que agem no ponto
de contato pneu-pista, no centro de gravidade e no centro de pressão, ocasionando uma
alteração sensível na componente de força normal do solo, como mostra-se a seguir.
Do equilíbrio de forças na direção do movimento de um veículo, como o mostrado na
Figura 3.4, tem-se:
 =  +  +  + 
sendo:
 =  +  - força motriz;
 - resistência aerodinâmica;
 =  +  - resistência de rolamento;
 - resistência de inércia;
 - resistência ao aclive;
 ,  - força motriz nos eixos dianteiro e traseiro;
 ,  - resistência ao rolamento dos eixos dianteiro e traseiro.
(3.25)
74
Capítulo 3 - Transmissão de força pneu e pista: Modelo quase estático
Figura 3.4: Modelo diagramático de um veículo em movimento.
No caso da resistência de inércia, apenas a de translação é importante, já que as massas
rotativas não alteram nem a distribuição de carga entre os eixos nem a máxima força possível
de ser transmitida pelo atrito dos pneus com o solo.
As resistências ao movimento modificam as cargas nos eixos de um veículo como aquele
representado na Figura 3.4. Assim, para quantificar a variação da carga normal ao solo, da
aplicação das condições de equilíbrio no plano se tem:
  =  (   −  ) − ( +  +  )  − 
(3.26)
  =  (   −  ) + ( +  +  )  + 
(3.27)
onde  é o momento causado pelas forças de sustentação e resistência aerodinâmica, dado
pela equação 2.38 desenvolvida no item 2.7.1 repetida a seguir:
ML = Fz eh + Qa ev 
(3.28)
Desenvolvendo um pouco mais as equações 3.26 e 3.27, tem-se:
 = (1 − ) (   −  ) − ( +  +  )
 =  (   −  ) + ( +  +  )
 
−


 
+


(3.29)
(3.30)
sendo:
 - Parcela de carga sobre o eixo traseiro (adimensional);
 - Peso do veículo;
 - Ângulo da inclinação da pista;
 - Força de sustentação;
 +  +  - Resistências ao movimento;
 - Altura do centro de gravidade;
 - Distância entre eixos;
 - Momento devido as forças aerodinâmicas.
Analizando as equações 3.26 e 3.27, percebe-se que a força de sustentação aliviam as
cargas dos eixos dianteiro e traseiro, proporcionalmente a x, enquanto que o momento  ,
75
Capítulo 3 - Transmissão de força pneu e pista: Modelo quase estático
caso as duas parcelas da equação 3.28 sejam positivas, descarrega o eixo dianteiro e carrega
o eixo traseiro. Esta última afirmação também vale para as resistências ao movimento que
agem no centro de gravidade do veículo mostrado na Figura 3.4.
Considerando que as forças de sustentação  e o momento resultante  sejam desprezáveis, as últimas duas expressões podem ser rescritas como
 = (1 − )    − ( +  +  )




as quais representam a carga atuante sobre as rodas de um veículo em movimento.
Por outro lado, da expressão (4.1) rearranjada se tem:
 =     + ( +  +  )
 +  +  =  − 
(3.31)
(3.32)
(3.33)
Com isto, as equações (4.4) e (4.5) simplificam-se para:
 = (1 − )    − ( −  )
 =     + ( −  )




(3.34)
(3.35)
É importante salientar mais uma vez que, nas equações 4.7 e 4.8, o efeito de forças
aerodinâmicas verticais e momentos devido a aerodinâmica não foram consideradas.
3.5
Força motriz máxima
De um modo geral, a força motriz que age sobre o veículo é a soma das forças motrizes
dos dois eixos.
 =  + 
(3.36)
Porém como existem vários layouts possíveis de transmissão de potência ao solo, é de se
esperar que cada tipo tenha um rendimento inerente da sua conceituação, como se mostra
no que segue.
Veículo com tração dianteira
Fazendo  = 0 e grafando com  o coeficiente de atrito entre o pneu e a pista, a
máxima força tangencial possível de transmitir pelas rodas dianteiras será:
́
=  

(3.37)
ou
́

∙
¸
¡ ́
¢
=  (1 − )    −  −    

(3.38)
Capítulo 3 - Transmissão de força pneu e pista: Modelo quase estático
com os devidos rearranjos, pode-se escrever que:
"
¡ ¢#
(1 − ) +  
́
¡ ¢
 =    
1 +  
76
(3.39)
sendo que na equação 4.7, a resistência de rolamento foi tomada como sendo:
 =    
(3.40)
Veículo com tração traseira
Neste caso, usando a expressão para  , obtém-se
́
=  

(3.41)
ou
́

ou ainda
∙
¸
¡ ́
¢
=      +  −    

(3.42)
"
(3.43)
́

Veículo com tração integral
¡ ¢#
 −  
¡ ¢ 
=    
1 −  
Neste caso a força que os pneus exercem sobre o solo é a parcela do peso do veículo
normal ao solo, sendo assim a força motriz dada por:
́ =    
3.5.1
(3.44)
Aclives máximos
Para determinar os valores máximos de aclives, considera-se que a velocidade do veículo
seja constante e baixa, logo a força de inércia é nula e, por ser a velocidade baixa, a resistência aerodinâmica é muito pequena. A força motriz deve vencer apenas as resistências
de rolamento e aclive. Assim
 =  + 
(3.45)
 = (  +   )
(3.46)
ou
Dependendo do tipo de tração iguala-se esta força com a força máxima disponível, ́ .
Tem-se então:
77
Capítulo 3 - Transmissão de força pneu e pista: Modelo quase estático
Veículo com tração dianteira
tan |́
Veículo com tração traseira
"
¡ ¢#
(1 − ) +  
¡ ¢
=
−
1 +  
tan |́ = 
Veículo com tração integral
"
(3.47)
¡ ¢#
 −  
¡ ¢ −
1 −  
(3.48)
tan |́ =  − 
3.5.2
(3.49)
Acelerações máximas
A experiência mostra que as acelerações máximas ocorrem somente com velocidades
baixas e isto implica que:
 = 0
(3.50)
 =  +  + 
(3.51)
 =   (1 + ) +     +   
(3.52)
logo
ou
Esta força deve ser igualada com a força motriz máxima disponível, de forma a se obter
a aceleração máxima que o veículo pode ter. Dependendo do tipo de tração tem-se:
Veículo com tração dianteira
́
"
#
 (1 − ) − 

¡
¡ ¢¢   −   
=
(1 + )
1 +  
Veículo com tração traseira
́ =
"
#

 − 
¡
¡ ¢¢   −   
(1 + ) 1 −  
(3.53)
(3.54)
Veículo com tração integral
́ =

[( − )   −  ] 
(1 + )
(3.55)
Capítulo 3 - Transmissão de força pneu e pista: Modelo quase estático
3.6
78
Escorregamento e tombamento em curva
Um ente importante na definição da capacidade de um automóvel ficar sobre as suas
quatro rodas é o de polígono de estabilidade e sendo assim se define:
Polígono de estabilidade é a maior figura gerada pelos pontos de contato de um corpo
com o solo. Para exemplificar, no caso de uma veículo de quatro rodas, com bitola igual dos
eixos dianteiro e traseiro, é um retângulo, no caso de um veículo de duas rodas é uma reta.
Com este conceito introduzido pode-se determinar de uma maneira simplificada a velocidade máxima de que um veículo pode fazer uma curva sem que o mesmo tombe ou derrape,
como segue. Para isso seja uma curva de raio  percorrida com uma certa velocidade  causa
uma força centrípeta  no veículo, dada pela equação 2.41 e repetida a seguir
 = 
2


(3.56)
sendo:
 - raio da curva;
 - massa do veículo;
 - velocidade do veículo.
A intensidade desta força, dependendo da situação, pode provocar a derrapagem ou
capotagem do veículo, como mostra-se a seguir.
A força centrípeta é equilibrada pela força de atrito e quando  ≥   ocorrerá o escorregamento. Considerando  = , ou seja as forças de sustentação não são apreciáveis,
tem-se que velocidade máxima de curva, em quilometros por hora [], é dada por
√
 ≥ 3 6   
(3.57)
sendo:
 - coeficiente de atrito do par pneu pista;
 - raio da curva;
 - aceleração da gravidade no local.
Quando a força centrípeta for menor do que a de atrito, ou seja  ≤  , o veículo poderá
tombar. Para que isso aconteça a direção da resultante, , das forças  e , mostrada
na Figura 3.5, tem que interseptar o plano do solo em um ponto que não é contido pelo
polígono de estabilidade, desde que não haja escorregamento antes. Com isto a velocidade,
para ocorrer o tombamento, é dada por
r


(3.58)
 ≥ 11 3
2
sendo:
 =   - peso do veículo;
 - massa do veículo;
 - aceleração da gravidade, foi considerada igual a 9 81 2 ;
 - bitola do veículo;
 - raio da curva;
Capítulo 3 - Transmissão de força pneu e pista: Modelo quase estático
Figura 3.5: Força centrífuga e peso agindo no CG.
Figura 3.6: Veículo trafegando em pista inclinada lateralmente.
79
80
Capítulo 3 - Transmissão de força pneu e pista: Modelo quase estático
 - altura do centro de gravidade em relação ao solo.
Para uma pista inclinada, como mostrado na Figura 3.6, a velocidade de tombamento
pode ser calculada de forma semelhante, como faz-se a seguir.
Ocorrerá escorregamento quando:
   ≥    +  (   +   ) 
(3.59)
Desenvolvendo e considerando o valor de  dado na expressão (2.41), chega-se ao valor
da velocidade em [], para o escorregamento, como segue.
s
( + )
(3.60)
  3 6 
(1 −  )
Ocorrerá o tombamento se a direção de  passar fora do ponto de contato. Para 
passando no limite direito do quadrilátero de estabilidade tem-se:
tan ( + ) =
2

(3.61)
ou
¸
∙
µ ¶

2
− 
tan  =
= tan  tan


(3.62)
√
 ≥ 11 3  cot ]
(3.63)
v "
#
u ¡¢
u
+

tan

 ≥ 3 6 t 2 ¡  ¢
 − 2 tan 
(3.64)
Desenvolvendo e utilizando a definição de   obtém-se
ou
para a velocidade [] de tombamento em curva. Nesta equação tem-se que:
 - bitola do veículo;
 - raio da curva;
 - inclinação da pista;
 - altura do centro de gravidade em relação ao solo.
Exemplo Analisar a capacidade de transferir carga ao solo dos veículos com as características apresentadas na Tabela 3.1.
Cálculo das reações estáticas no eixo dianteiro e traseiro, equações 3.3 e 3.4 :
0 = (1 − )  = (1 − 0 5) 16503 = 8251 5 
0 =  = 0 5 16503 = 8251 5 
Capítulo 3 - Transmissão de força pneu e pista: Modelo quase estático
81
Tabela 3.1: Características do veículo.
Grandeza
Dimensão Definido Veículo1
Veículo2 Veículo3
Tração
−
   
Distribuição de carga

−
Eq. 3.2
0 50
0 50
0 50
Bitola dianteira


Fig. 3.5
1 4
1 4
1 4
Bitola Traseira


Fig. 3.3
1 5
1 5
1 5
Distância entre eixos


Fig. 3.3
2 48
2 48
2 48
Altura do CG


Fig. 3.3
0 66
0 66
0 66
Peso do veículo


16503
16503
16503
Raio dinâmico do pneu


Eq. 3.5
0 32
0 32
0 32
Escorregamento

−
Eq. 3.5
0 02
0 02
0 02
Coef. atrito de rolamento 
−
Tab.2.2
0 015
0 015
0 015
Coef. de atrito

−
0 85
0 85
0 85
Cálculo da posição longitudinal do centro de gravidade
 =   = 0 5 2 48 = 1 24 
(3.65)
 = (1 − ) = (1 − 0 5) 2 48 = 1 24 
(3.66)
Ângulo de aclive máximo para o veículo estacionado, considerando freio de estacionamento traseiro.
Caso 1: Veículo apontado para baixo da rampa Da equação 3.19 é possível escrever que:
¸
∙

   =  sup  =  (1 − )   −  
(3.67)

ou seja, considera-se que a componente do peso que empurra o carro rampa abaixo de ser
suportada pelo eixo traseiro do veículo estacionado com a fente apontada para baixo da rampa.
Isolando o  da expressão acima se tem:
"
#
 (1 − )
¡ ¢
 =  
(3.68)
1 +  
a qual, nada mais é do que uma simplificação da equação 4.21, na qual substituindo os valores
das grandezas envolvidas se tem:
⎡
⎤
0 85 (1 − 0 5) ⎦
³ ´ = 19 11o ou ́ = 34 6%
́ =   ⎣
(3.69)
1 + 0 85 066
248
Com o valor do aclive máximo para o veículo estacionado, pode-se calcular a reação nos
eixos dianteiro e traseiro, a partir das equações 3.19 e 3.20, como segue:
¸
∙

(3.70)
 =  sup  =  (1 − )   −   = 6358 5 

Capítulo 3 - Transmissão de força pneu e pista: Modelo quase estático
 = 
inf 
¸
∙

=     +   = 9234 7 

82
(3.71)
Caso 2: Veículo apontado para cima da rampa Da equação 3.20 é possível escrever que:
¸
∙

(3.72)
   =  =      +  

ou seja, considera-se que o veículo está com a frente apontada para o topo da rampa. Isolando
 desta equação se obtem:
"
#

¡ ¢
́ =  
(3.73)
1 −  
que é uma versão simplificada da equação 4.23. Assim:
⎤
⎡
0 85 0 5 ⎦
³ ´ = 28 8o ou ́ = 55 2%
́ =   ⎣
1 − 0 85 066
248
(3.74)
Com o valor do aclive máximo para o veículo estacionado, pode-se calcular a reação nos
eixos dianteiro e traseiro, a partir das equações 3.19 e 3.20, como segue:
∙
¸

 =  sup  =  (1 − )   −   = 5118 1 
(3.75)

¸
∙

(3.76)
 =  inf  =     +   = 9346 7 

Cálculo da força motriz máxima e reações normais ao solo nos eixos dianteiro
e traseiro de um veículo se deslocando no plano
Veículo com tração dianteira
Da equação 4.13 se tem:
́

= 5765 6 
A resistência ao rolamento, dada por
 =     = 0 015 16503 cos 0 = 247 55 
(3.77)
Com estes resultados, as reações normais ao solo nos eixos dianteiro e traseiro calculadas a
partir das equações 4.7 e 4.8, repetidas a seguir, valem
¡ ́
¢
= 6783 
 = (1 − )    − 
− 

¡ ́
¢
 =     + 
= 9720 
− 

sendo que a transferência de carga para este caso vale:
¢
¡ ́
= 1468 5 
− 
∆ = 

(3.78)
(3.79)
(3.80)
Capítulo 3 - Transmissão de força pneu e pista: Modelo quase estático
Veículo com tração traseira
83
Da equação 3.43 se tem:
́

= 8991 8 
A resistência ao rolamento, é a mesma do caso que o veículo tem tração dianteira.
Com estes resultados, as reações normais ao solo nos eixos dianteiro e traseiro também
calculadas a partir das equações 4.7 e 4.8, valem
¡ ́
¢
= 5924 4 
− 
 = (1 − )    − 

¡ ́
¢
= 10578 6 
 =     + 
− 

sendo que a transferência de carga, para este caso, vale:
¡ ́
¢
− 
= 2327 1 
∆ = 

Veículo com tração integral
(3.81)
(3.82)
(3.83)
Da equação 3.44 se tem:
́
= 14027 6 

Com este resultado e a resistência de rolamento calculada anteriormente, as reações normais
ao solo nos eixos dianteiro e traseiro valem
¡
¢
= 4584 2 
(3.84)
 = (1 − )    − ́ − 

¡
¢
= 11918 8 
(3.85)
 =     + ́ − 

sendo que a transferência de carga para este caso vale:
¡
¢
= 3667 3 
∆ = ́ − 

(3.86)
Aclives e acelerações máximas Depois de determinadas as forças motrizes máximas
de cada configuração dos veículos, o ângulo de aclive máximo, bem como a aceleração máxima
podem ser facilmente calculadas a partir das equações 4.21, 4.23, 4.25, 3.53, 3.54 e 3.55.
Veículo com tração dianteira
́ = 3 28 2 ou 0 33 
onde g é a aceleração da gravidade.
́ = 18 5o ou 33 4%
Veículo com tração traseira
́ = 5 20 2 ou 0 53 
́ = 27 9o ou 53 0%
Capítulo 3 - Transmissão de força pneu e pista: Modelo quase estático
84
Figura 3.7: Cargas sobre uma roda do veículo
Veículo com tração integral
́ = 8 20 2 ou 0 86 
́ = 39 86o ou 83 5%
Algumas observações
Verifica—se, na análise anteriormente desenvolvida, que o desempenho dos três layouts de tração
são bastante distintos entre si. A vantagem do veículo com tração integral em relação ao veículo
com tração dianteira é de cerca de 59% , enquanto que em relação ao de tração traseira é cerca de
36%, isso considerando a configuração apresentada na tabela 3.1.
Um veículo com tração dianteira para ter o mesmo desempenho do que o de tração traseira,
precisa ter a posição do centro de gravidade em  = 0 22, o que implica que cerca de 78% do
peso do veículo estará sobre o eixo dianteiro. Para que ele tenha o mesmo desempenho que o de
tração integral a posição do centro de gravidade é  = − 0 22, o que é impossível, pois o centro
de gravidade precisaria estar na frente do eixo dianteiro.
Um veículo com tração traseira para ter o mesmo desempenho que um com tração integral deve
ter a posição do centro de gravidade em  = 0 78. Isto significa dizer que cerca de 78% do peso
de veículo deveria estar sobre o eixo traseiro.
A distribuição de carga tão distinta nos dois eixos de um automóvel, como a sugerida nos dois
parágrafos anteriores, é factível somente em termos da distribuição de cargas, porém é inviável
em termos de estabilidade direcional, já que os veículos ficariam excessivamente subesterçantes ou
sobreesterçantes, no caso de tração dianteira e traseira, respectivamente.
Forças que atuam sobre as rodas do veículo O veículo analisado quando se deslocando no plano e em linha reta tem suas rodas submetidas a um conjunto de cargas que é
sintetizado na Tabela 3.2. As cargas que cada roda estão submetidas estão esquematizadas
na Figura 3.7.
Capítulo 3 - Transmissão de força pneu e pista: Modelo quase estático
Tabela 3.2: Síntese do desempenho do veículo.
Condição de deslocamento Variável Unid.
Tipo de tração
do veículo

 



1 24
1 24
1 24
Plano


1 24
1 24
1 24
0

8251 5 8251 5 8251 5
0

8251 5 8251 5 8251 5
Estacionado
Rampa

%
54 9
54 9
54 9
acima


5118 1 5118 1 5118 1


9346 7 9346 7 9346 7
Rampa

%
34 6
34 6
34 6
abaixo


9234 7 9234 7 9234 7


6358 5 6358 5 6358 5
́


5765 6 8991 8 14027 6


247 55 247 55 247 55
∆

1468 5 2327 1 3667 3
Em velocidade


6783
5924 4 4584 2


9720
10578 6 11918 8
2
́

3 28
5 20
8 20

%
33 4
53 0
83 5
85
Capítulo 4
Mecânica da frenagem e freios
4.1
Introdução
A roda foi e continua sendo uma das descobertas mais fantásticas da história da humanidade. Ela possibilita mover cargas muito maiores do que seria possível sem a sua
utilização, devido ao fato do coeficiente de atrito de rolamento ser menor do que o atrito de
escorregamento. Por isso, tem-se conseguido deslocar cada vez mais cargas de forma mais
rápida e com menor gasto de energia.
O efeito das grandes velocidades e a grande capacidade de transportar cargas nos veículos
atuais, tem levado os projetistas a se preocuparem cada vez mais com os procedimentos de
parada ou frenagem, tanto em relação ao projeto quanto em relação à manutenção. O
problema não se resume a parar ou diminuir a intensidade do movimento, o que se deseja
e muitas vezes se necessita é fazer um dispositivo parar o veículo na hora e/ou num lugar
específico. É nesse momento que os freios devem entrar em ação e a importância da sua
eficiência evidenciada.
O sistema de freios deve ser capaz de parar um veículo na menor distância possível sob
as mais diversas condições de uso, tais como: veículo carregado ou descarregado, piso seco,
úmido ou contaminado, velocidade baixa ou alta, em aclive ou declive, pista reta ou sinuosa
etc.
Os freios e o sistema de freios devem ser completamente confiáveis e não serem afetados
pela temperatura, poeira etc. A sua performance não pode se deteriorar com o desgaste.
Adicionalmente, o sistema de freios deve exigir o mínimo de manutenção e regulagens, visto
que a maioria dos motoristas não tem percepção da perda de rendimento, já que raramente
usam o freio em situações limites e, também, são descuidados com a manuteção.
O sistema de freio não é utilizado só nos veículos automotivos. Eles estão presentes nos
veículos ferroviários, aeroviários, veículos não autopropelidos tais como bicicletas, carroças,
carros de boi e em equipamentos industriais como prensas, guindastes, pontes rolantes,
transportadores industriais, nos elevadores industriais ou residenciais.
Para veículos automotivos, existem conjuntos de normas técnicas e legislações específicas
para o projeto do sistema de frenagem, ensaios, qualificação e regulamentação dos sistemas
de freios, as quais têm particularidades específicas em função do país ou região econômica.
A legislação define terminologia, descreve conceitos básicos e os requisitos mínimos que cada
86
Capítulo 4 - Mecânica da frenagem e freios
87
um dos itens que compõem os sistemas ou circuitos de freio devem satisfazer.
Para compreender o princípio de funcionamento de um sistema de freios é preciso levar
em consideração o conceito de frenagem, que por sua vez está associado ao conceito de
atrito, que é o fenômeno provocado pelas forças de adesão existentes entre duas superfícies
em contato, com movimentos relativos. Esses conceitos foram aplicados empiricamente nas
primeiras concepções de equipamentos que se movem e param. Porém, o controle da ação da
frenagem através da aplicação da força, do tamanho das áreas de contato, das características
dos materiais atritantes, da quantidade de energia que deve ser dissipada e agressão ao
meio ambiente, hoje são tratados com um ferramental científico adequado à importância
que esses elementos têm na segurança. Devido a complexidade dos diferentes dispositivos
que compõem um sistema de freios e as exigências legais impostas por nomalizações, muito
investimento em pesquisa e desenvolvimento ainda deve ser feito nessa área de conhecimento.
Para iniciar a abordagem sobre freios, vale transcrever uma frase de Campbell [7] que
evidencia a importância do par pneu pista nas operações de frenagem: "Não importa a força
aplicada nas sapatas dos freios, não interessa quanto se pode manter os tambores de freio
frios, a limitação final da taxa de desaceleração é a aderência dos pneus sobre a superfície
da pista".
4.2
A importância dos freios para o setor automotivo
Como está subentendido no item anterior, a utilização do freio é tão antiga quanto
a da roda. Segundo Dias [6], o uso da roda para transporte de cargas pesadas data de
aproximadamente 4000 AC. Concomitantemente ao emprego da roda, era preciso buscar
dispositivos que controlassem o movimento das cargas sobre as rodas e as fizessem parar na
hora e no local desejado. Apareceram, então, os primeiros freios.
Os freios desenvolvidos para equipamentos do começo da era industrial possuíam cintas
flexíveis de aço envolvendo um tambor, também de aço. As cintas eram fixadas por pinos
em suas extremidades e o acionamento das mesmas era feito por alavancas. O sistema era
ineficiente e o desgaste das partes atritantes muito acentuado. Ao revestir a cinta de aço com
madeira ou couro, o freio ganhou um pouco mais de eficiência. Posteriormente, as cintas,
já na forma de sapatas, passaram ao interior do tambor ganhando as formas dos freios a
tambor atuais. A potência de frenagem possível de ser dissipada aumentou bastante com
essa solução.
Em aplicações automotivas, tanto o freio de tambor quanto o de cinta eram usados
em apenas duas rodas do carro, tendo em conta as limitações dos sistemas de acionamento
puramente mecânicos dos freios dos veículos daquela época. Somente em 1923, [6], a indústria
automotiva passou a utilizar freios nas 4 rodas. Devido à dificuldade de equalizar a freada
nas quatro rodas dos veículos dotados com freios de acionamento mecânico, desenvolveramse os sistemas de acionamento hidráulicos e pneumáticos, até hoje utilizados nos veículos
comerciais. Os freios mecânicos ainda são utilizados em algumas máquinas agrícolas e na
maioria dos freios de estacionamento de veículos leves.
Normalmente não se tem a noção exata ou mesmo parcial do esforço necessário para
Capítulo 4 - Mecânica da frenagem e freios
88
frear um veículo, principalmente, quando este se encontra em alta velocidade e carregado.
A frenagem tem relação direta com o peso do veículo. Se o freio foi dimensionado para um
veículo de uma tonelada, ele tem capacidade de dissipar, em condições normais, a energia de
frenagem gerada para essa condição de carregamento. Por exemplo, caso o peso do veículo
seja duplicado, em uma sobrecarga, a energia gerada na frenagem também o será. Nessa
situação, o freio não consegue dissipar o calor gerado em uma operação de frenagem, tendo
efeitos na desaceleração prevista e, por conseguinte, fará o veículo parar numa distância maior
do que a inicialmente estabelecida. Também produzirá super aquecimento nos elementos
atritantes e elevada solicitação no sistema como um todo.
Quanto a velocidade, o problema é ainda mais crítico. Os efeitos da energia cinética se
manifestam de forma quadrática na quantidade de calor gerada no instante da frenagem. Em
termos práticos, ao se duplicar a velocidade, deve-se quadruplicar a potência de frenagem
para o freio operar nas mesmas condições de projeto. Por exemplo: a energia térmica gerada
durante a frenagem de um veículo a 100 km/h é em torno de quatro vezes maior do que para
a velocidade de 50 km/h.
Outra variável importante para os freios é a desaceleração. O nível de desaceleração
depende do nível de conforto requerido na frenagem, da segurança de frenagem e dos dispositivos que executam a frenagem. A Norma Brasileira recomenda uma desaceleração média
de 5 8 2 . Segundo a referência [6], a desaceleração média para freios perfeitamente
regulados, pneus novos e calibrados, no plano, estrada asfaltada com rugosidade normal e
seca, carga bem distribuída, é de 6 2 para freio a tambor e 7 2 para freio a disco.
A desaceleração é um fator de projeto e deve estar apropriada para as características do
veículo.
A distância de frenagem ou distância de parada é o outro parâmetro fundamental para a
definição do desempenho de um freio automotivo. Ela depende da desaceleração e de todas
as variáveis que estão relacionadas a esta. A inércia do sistema, a velocidade e os coeficientes
de atrito envolvidos na ação de frenagem são as variáveis que mais influenciam a distância
de parada enquanto que a desaceleração e a distância de frenagem são as variáveis mais
importantes para caracterização da eficiência do freio. Os testes de avaliação dos sistemas
de freio são normalizados, e os requisitos normativos baseiam-se nas duas ou em uma dessas
últimas grandezas.
As normas que regulam os sistemas de freio para veículos rodoviários, fixam as condições
gerais para execução dos ensaios. Também impõem que o desempenho de um sistema de
freio seja determinado em função da distância de parada em relação à velocidade inicial, ou
ainda, pelo tempo de reação do sistema e da desaceleração média, em operação normal.
4.3
Sistema de freio: definições básicas e princípio de
funcionamento
O sistema de freio, ou simplesmente o freio, é um dispositivo utilizado para moderar ou
fazer cessar o movimento de mecanismos ou veículos. O freio, segundo o dicionário Aurélio,
é também chamado de travão ou breque. A Norma Brasileira, define o sistema de freio como
Capítulo 4 - Mecânica da frenagem e freios
89
a combinação de peças cuja função é reduzir progressivamente a velocidade de um veículo
em movimento, ou fazê-lo parar, ou conservá-lo imóvel se já estiver parado.
O sistema de freio constitui-se em uma das partes mais importantes e vitais da segurança
dos veículos automotores. Enquanto um veículo leva muitos segundos para atingir uma
velocidade razoável, o sistema de freios tem que, em tempo e distância muito menores, reduzir
essa velocidade a zero, ou diminuí-la à velocidade desejada. Se os mecanismos encarregados
de tracionar o veículo não forem eficientes, as conseqüências estarão relacionadas com o
desempenho do veículo. Já na frenagem, se isso ocorrer, na melhor das hipóteses haverá o
aumento da distância de parada, ou falta de dirigibilidade do veículo, com conseqüências
imprevisíveis.
Na medida em que diferentes meios de transporte foram surgindo, o freio foi se diversificando, exigindo o constante aperfeiçoamento dos mecanismos de controle do movimento e da
parada. Assim, passou-se a desenvolver freios específicos para serem aplicados a cada caso
particular. Nos veículos automotores, a frenagem é feita basicamente por dois princípios:
• Multiplicação mecânica, por isso denominado de freio mecânico;
• Multiplicação por pressão.
No primeiro princípio, o mecânico, onde alavancas são usadas como multiplicadores de
forças, tem sua aplicação restrita ao freio de estacionamento, ou freio de mão, nos automóveis
e veículos médios. Para o freio de estacionamento de veículos maiores, essa multiplicação de
força se dá através de molas helicoidais montadas nos pistões pneumáticos de acionamento
das sapatas.
O segundo princípio, usado em freios de serviço, é baseado narelaõa área/pressão. Quando
se utiliza líquido, este segundo princípio, é chamado de freio hidráulico, quando utiliza ar é
chamado de freio pneumático e quando os dois fluidos são usados combinados é chamado de
freio hidropneumático. Para veículos menores, automóveis e caminhonetes, onde as pressões
de serviço são baixas, os freios são normalmente acionados hidraulicamente. Em veículos
médios também podem ser utilizados freios hidropneumáticos. Nos veículos de transporte
de carga e coletivos são montados freios pneumáticos.
Os freios ainda são caracterizados segundo a sua função no veículo, sendo a nomenclatura
usual a que segue:
• Freio de serviço - Segundo a ABNT deve possibilitar a diminuição progressiva da
velocidade do veículo e fazê-lo parar de forma segura, rápida e eficaz, qualquer que seja
a velocidade e carga, em pista ascendente ou descendente. Para frenagem, a norma
recomenda que a distância de parada deve ser calculada levando em consideração uma
desaceleração média de 5 8 2 . Essa distância sofre pequenas variações em função
do tempo de reação do sistema.
• Freio de emergência - Deve possibilitar a parada do veículo em uma distância razoável,
no caso de falha do freio de serviço. Dever ser possível graduar esta ação de frenagem.
Segundo as normas ABNT, para o veículos que usam freio pneumático a desaceleração
média recomendada é de 2 2 2 .
Capítulo 4 - Mecânica da frenagem e freios
90
• Freio retardador (retarder) - É um sistema cuja função é estabilizar a velocidade em
descidas longas sem utilizar os sistemas de freio de serviço, de emergência ou de estacionamento, nem o efeito frenante do motor. Poder ser um dissipador hidráulico ou
elétrico, sendo a energia absorvida dissipada na forma de calor.
• Freio motor - O freio motor tem a mesma função de retardador. A forma de dissipação
de energia também é por geração de calor.
• Freio de estacionamento - Deve manter o veículo parado em uma pista ascendente
ou descendente. Segundo a ABNT, os elementos que mantêm essa ação de frenagem
devem ser puramente mecânicos.
4.4
Manutenção
Em primeiro lugar, é preciso frisar que as intervenções de manutenção nos sistemas de
devem ser feitas mediante garantia da qualidade das peças de reposição e por mão de obra
qualificada, a fim de manter o sistema reparado tão bom quanto um novo ("good-as-new").
Billinton [8] e Lewis [9] afirmam que, na manutenção, os fatores humanos desempenham
papel fundamental para garantir os níveis de confiabilidade dos produtos reparáveis. É
preciso em qualquer situação, principalmente com os freios que estão diretamente associados com a segurança veicular, construir critérios que auxiliem na escolha de metodologias
de manutenção utilizando, preferencialmente, a confiabilidade como um eixo de referência.
A associação do conceito de confiabilidade ao de manutenção requer a implementação de
procedimentos normalizados para a aquisição e registro de dados em arquivos que possam
orientar a atividade de manutenção.
Para falar sobre manutenção em freios hidráulicos e pneumáticos é preciso primeiramente
definir os conceitos básicos de manutenção. Sabe-se que manutenção é a combinação de
todas as ações técnicas e administrativas, incluindo as de supervisão, destinadas a manter
ou recolocar um item num estado no qual possa desempenhar uma função requerida. Em
termos gerais tem-se três tipos de manutenção: corretiva, preventiva e preditiva.
4.4.1
Manutenção corretiva
Manutenção corretiva, como o nome indica, tem a função de corrigir os defeitos ou falhas
que já ocorreram. É a ação de manutenção que se faz após a ocorrência da falha. Em sistemas
de freio esse tipo de manutenção não é recomendável dado que a falha, normalmente, vai
aparecer no momento em que se precisa do freio. A possibilidade de acidentes, nesse condição,
é grande.
Tanto os freios hidráulicos como os pneumáticos são constituídos de muitas peças. Embora a grande maioria delas falhem de forma paramétrica (acontecem com o tempo de uso),
em muito dos casos essa falha não é percebido pelo condutor do veículo. Assim a possibilidade
da falha se apresentar, depois de algum tempo, de forma catastrófica é possível.
Além disso, as redundâncias que existem no sistema de freio, tanto hidráulico como
pneumático, são tão somente para não deixar o veículo totalmente sem freio. Ou seja, se
Capítulo 4 - Mecânica da frenagem e freios
91
algum dos circuitos falham, os que permanecem em condições de operação não conseguem
parar o veículo na distância de parada que ocorreria se todos estivessem funcionando. Assim,
a probabilidade de ocorrer acidente também é grande.
4.4.2
Manutenção preventiva
A manutenção preventiva está associada a ação de manutenção antes da ocorrência da
falha. Em termos gerais, cada componente do sistema de freio, tem um determinado tempo
de vida, estabelecido pelo fabricante, e antes que esse tempo seja atingido se deve fazer a
sua substituição por um novo. Contudo, várias ações podem e devem ser feitas quando se
opta por trabalhar com esse tipo de manutenção.
Um programa para regulagens periódicas, limpeza e lubrificação dos freios deve ser estabelecido pelo operador (condutor do veículo) com base na experiência passada e severidade
do uso do veículo.
Por exemplo, o cilindro mestre, tubo, mangueiras, cilindros de rodas e pinças de freio
constituem um sistema selado, nos quais normalmente não entram impurezas. No entanto,
após um tempo prolongado de uso, partículas finíssimas, decorrentes do desgaste normal,
se misturam ao fluído de freio e podem obstruir os furos de alimentação e de compensação,
prejudicando o bom funcionamento do sistema.
Com o tempo o fluido de freio absorve umidade do ar que, além de auxiliar na corrosão
interna da tubulação pode formar vapor, com o aumento da temperatura, ocasionando a
perda de eficiência do freio. Portanto, por segurança, recomenda-se trocar o fluido de freio
uma vez ao ano ou a cada 20000 km, ou então fazer um programa de revisões periódicas
O reservatório de fluido de freio, que se situa sobre o cilindro mestre, é sempre bem
visível, estando na posição mais alta e acessível no compartimento do motor. A verificação
do nível de fluido é também uma ação de prevenção. A necessidade de completar o nível do
reservatório com fluido de freio, indica que existe algum vazamento, sugerindo portanto uma
revisão geral no sistema.
Quando para a ação de frenagem é requerido o acionamento do pedal de freio mais de
uma vez, há indicação de fuga de fluido, ou problemas com os retentores nos cilindros de
rodas ou no cilindro mestre. Em caso de existência de ar na canalização hidraúlica do freio,
deve-se fazer uma sangria no sistema, ou seja, retirar do ar deste sistema. Esses testes devem
ser feitos com o carro parado e o motor ligado se possuir servo freio assistido com vácuo.
Nos veículos com freio assistido a vácuo e o motor desligado, depois de acionado duas ou três
vezes em sequência, o pedal fica mais duro, dado que a câmara de vácuo tem a sua depressão
diminuida em cada acionamento.
Sobre as pastilhas, lonas, discos e tambores de freio, a manutenção preventiva se restringe
a acompanhar a vida desses componentes, efetuando o controle de desgaste, medindo a
espessura dos mesmos. Esses componentes possuem recomendações bem precisas, quanto a
espessura mínima de funcionamento, definidas pelo fabricante. O tempo de vida de cada um
desses elementos depende do uso do veículo.
92
Capítulo 4 - Mecânica da frenagem e freios
4.4.3
Manutenção preditiva
A manutenção preditiva está associada a predição da falha. Assim sendo, ela exige
dispositivos que monitorem o item, indicando por intermédio desse sensor a condição limite
de vida. No sistema de freio hidráulico tem-se, por exemplo, o sensor de nível do fluido de
freio. Quando o nível de fluido está abaixo do mínimo indicado pela condição de projeto,
o sensor ascende a luz de freio, instalada no painel do veículo. Isso é uma indicação de
manutenção preditiva, dado que no instante de sinalização do sensor, tem-se ainda fluido
para atuar sobre o freio e executar a parada do veículo
A correção da falha é feita na medida que se recupere o nível do fluido. Evidentemente,
se isso ocorre, deve-se fazer uma verificação geral do circuito, pois algum dos problemas
anteriormente apresentados, podem estar ocorrendo.
Alguns carros vem dotados de pastilhas de freio, equipadas com sensor de espessura (ou
de desgaste), e indicam o momento da troca.
Observa-se, contudo, que o sensor pode falhar. Então é importante manter uma programação de manutenções preventivas, para detectar eventuais problemas e assim se antecipar
as falhas.
4.5
Carga nos eixos com o veículo em frenagem
Como visto no Curso de Análise Dinâmica, as resistências ao movimento alteram as
reações dos pneus em relação ao solo quando o veículo se desloca. Como o veículo durante a
frenagem está em movimento, esse efeito também se manifesta. A modelagem que é desenvolvida a seguir é bastante semelhante àquela desenvolvida no curso citado. As diferenças,
estão por conta de se ter força de frenagem em vez de força motriz e do sentido da força de
inércia mudar, em função da aceleração também ter mudado de sentido.
Seja o veículo mostrado na Figura 4.1. Do equilíbrio de forças na direção do movimento
se tem:
 =  − ( +  +  )
(4.1)
sendo:
 =   +   - força de frenagem;
  ,   - força de frenagem nos eixos dianteiro e traseiro;
 - resistência aerodinâmica;
 =  +  - resistência de rolamento;
 ,  - resistência ao rolamento dos eixos dianteiro e traseiro;
 - força de inércia;
 - resistência ao aclive.
As resistências ao movimento modificam as cargas nos eixos de um veículo como aquele
representado na Figura 4.1. Assim, para quantificar a variação da carga normal ao solo
aplicam-se as outras duas equações adicionais de equilíbrio no plano, o que resulta em:
93
Capítulo 4 - Mecânica da frenagem e freios
FI
Qs + Q a
CG
h
Ff I
QrI
aI
G cos  QrII
a II
Ff II
RI
RII
Figura 4.1: Modelo diagramático de um veículo em frenagem.
  =  (   −  ) − ( +  −  )  − 
(4.2)
  =  (   −  ) + ( +  −  )  + 
(4.3)
sendo:
 - a força de sustentação (age no centro de pressão);
 - o momento devido a resistência aerodinâmica e a força de sustentação.
Admitindo que a força de sustentação bem como os momentos devido a resistência aerodinâmica e a força de sustentação sejam desprezáveis, as últimas duas expressões podem ser
reescritas como:
  =     − ( +  −  ) 
(4.4)
  =     + ( +  −  ) 
(4.5)
Por outro lado, da expressão (4.1) rearranjada, tem-se:
 +  −  = − ( +  )
(4.6)
Com isto, as equações (4.4) e (4.5) se simplificam para:
 = (1 − )    + ( +  )


(4.7)

(4.8)

É importante salientar mais uma vez que, nesta modelagem, o efeito da força de sustentação, bem como o seu momento e o da resistência aerodinâmica não foram consideradas,
porém estes efeitos podem ser facilmente adicionados nas duas expressões anteriores.
Nas equações (4.7) e (4.8), o último termo do lado direito de ambas, é denominado de
transferência de carga entre os eixos dianteiro e traseiro. Assim a transferência de carga
entre eixos para um veículo em operação de frenagem é dada por:
 =     − ( +  )

∆ = ( +  ) 

(4.9)
94
Capítulo 4 - Mecânica da frenagem e freios
Numa análise preliminar considera-se três casos distintos, que são:
• Freio na dianteira, apenas;
• Freio na traseira, apenas;
• Freio nas quatro rodas.
4.5.1
Freios na dianteira
Na situação em que os freios só atuam sobre as rodas do eixo dianteiro, a força de
frenagem é o produto da força normal ao solo com o coeficiente de atrito entre pneu e pista,
ou seja
  =   
(4.10)
ou
 
¸
∙


=  (1 − )    + (  +  )

(4.11)
Lembrando que a resistência de rolamento é
 =    
(4.12)
a força de frenagem para um veículo com freios somente no eixo dianteiro é dada por:
"
¡ ¢#
(1 − ) +  
¡ ¢
  = 
 
(4.13)
1 −  
4.5.2
Freios na traseira
Na situação em que os freios só atuam sobre as rodas do eixo traseiro, a força de frenagem
é dada por
  =   
Assim, a equação (4.8) pode ser reescrita como:
∙
¸

  =      − (   +    )

Isolando a força de frenagem   desta última equação, tem-se:
"
¡ ¢#
 −  
¡ ¢  
  = 
1 +  
(4.14)
(4.15)
(4.16)
95
Capítulo 4 - Mecânica da frenagem e freios
4.5.3
Freios nas quatro rodas
No caso de freios nas quatro rodas a força de frenagem é:
 =  ( +  )
(4.17)
 =    
(4.18)
ou
Com o valor da força de frenagem determinado para cada um dos casos analisados, o
passo seguinte é o cálculo das reações  e  . Para isto, basta substituir o valor da força
frenagem determinados nas expressões (4.13), (4.16) e (4.18) nas equações (4.7) e (4.8).
4.6
Desaceleração
Tendo sido determinadas as forças de frenagem para os três casos de ação do freio, é
possível determinar as desacelerações para cada um dos casos. Para iniciar a abordagem,
parte-se da equação (4.6) reescrita como segue
ou
 =  −  −  −  
(4.19)
¶

 = 
(1 + ) −   −   −   

(4.20)
µ
sendo:
 - aceleração da gravidade;
 - peso do veículo;
 - inércia de translação equivalente à rotativa;
  - resistência de aclive;
 - ângulo do aclive;
    - resistência de rolamento;
 - coeficiente de atrito de rolamentoResistência de rolamento;
   - resistência aerodinâmica
 - coeficiente de resistência aerodinâmica;
 - área frontal projetada;
 - pressão dinâmica.
4.6.1
Caso 1 - Freio na dianteira apenas
Neste caso considera-se que a força de frenagem das rodas dianteiras, dada pela equação
(4.13), tem que ser igual a força de frenagem dada pela equação (4.20). Assim, com as
devidas manipulações, tem-se:
("
)
#
¡ ¢
(1 − ) +  


¡ ¢   +   +   +  


(4.21)
=
(1 + )

1 −  
96
Capítulo 4 - Mecânica da frenagem e freios
ou
4.6.2

=
(1 + )
½ µ
¶
¾
 (1 − ) + 


  +   +  

 − 

(4.22)
Caso 2 - Freio na traseira apenas
Neste caso considera-se que a força de frenagem das rodas traseiras, dada pela equação
(4.16), tem que ser igual a força de frenagem dada pela equação (4.20). Assim:
("
)
#
¡ ¢
 −  


¡ ¢   +   +   +  
=


(4.23)
(1 + )

1 +  
ou
4.6.3

=
(1 + )
½∙ µ
¶
¸
¾
 + 


  +   +  

 + 

(4.24)
Caso 3 - Freio nas quatro rodas
Neste caso considera-se que a força de frenagem das quatro rodas, dada pela equação
(4.18), tem que ser igual a força de frenagem dada pela equação (4.20). Assim:
½
¾


[( + )   +  ] +  

(4.25)
=
(1 + )

Vale salientar que as duas primeiras equações, (4.21) e (4.23), são importantes para o
caso de análise de casos limites, onde pode ser analisado o desempenho dos freios no caso
da falha do sistema em um dos eixos. Observa-se ainda que a massa do veículo só não afeta
a aceleração de frenagem se a inércia de translação equivalente a rotativa  for pequena e
o veículo se deslocar em baixa velocidade (a resistência aerodinâmica é desprezável nesta
situação). Em operações de frenagem é normal que o condutor acione a embreagem do
veículo, o que reduz a inércia rotativa do veículo e aumentam a aceleração de frenagem,
porém as rodas e parte do sistema de transmissão ainda são desacelerados conjuntamente
com a inércia de translação.
4.6.4
Parâmetros de frenagem
É de conhecimento geral que o layout que apresenta melhor desempenho é o de freio nas
quatro rodas. Sendo assim, a modelagem que será desenvolvida a seguir é baseada neste
tipo de layout. O ponto de partida para este equacionamento é força de frenagem, dada pela
equação 4.18 e repetida a seguir:
(4.26)
 =    
Com esta força de frenagem, as reações normais do eixo dianteiro e traseiro, equações 4.7
e 4.8 respectivamente, podem ser reescritas como:
 = (1 − )    + (    +  )


(4.27)
97
Capítulo 4 - Mecânica da frenagem e freios
 =     − (    +  )
ou
∙

 =    (1 − ) + ( +  )

¸
∙

 =     − ( +  )



¸
(4.28)
(4.29)
(4.30)
É conveniente lembrar que estas equações valem para um veículo subindo uma rampa.
As mesmas expressões são válidas para o caso de um declive, para o qual o ângulo  entra
com o sinal negativo.
A condição de máxima performace de frenagem ocorre quando a distribuição da força
de frenagem nos eixos for proporcional às reações dinâmicas  e  , dadas pelas equações
4.29 e 4.30. Sendo assim, define-se o índice de frenagem (braking ratio), , como segue:
¤
£
(1 − ) + ( + ) 


 
£
¤
(4.31)
=
=
=
=
 


 − ( + ) 
Para o veículo se deslocando no plano, desconsiderando os efeitos da resistência aerodinâmica e de resistência de inércia rotativa, a equação 4.25 pode ser reescrita como
=

( +  ) ≈  ( + ) 
(1 + )
Com isto, a equação 4.31 pode ser reescrita como:
£
¤

(1
−
)

+

£
¤  
∼
=
  −  
(4.32)
(4.33)
As duas formas de escrever mostram a dependência do índice de frenagem, equações 4.31
e 4.33, com a desaceleração ””, ou do coeficiente de atrito ”” do par pneu/pista. Durante
o acionamento dos freios essas duas grandezas variam e, consequentemente, o valor de 
também. O índice de frenagem define a força tangencial que deve ser aplicada pela sapata
ou pelas pastilhas sobre o tambor ou disco dos freios, nas rodas de cada um dos eixos do
veículo. Isso implica que as razões entre a área do cilindro mestre e as áreas dos cilindros
de roda dos freios dianteiros e traseiros também está definida pelo índice de frenagem, o
que impossibilita que a frenagem ótima seja atingida para quaisquer coeficientes de atrito ou
desacelerações. Com o objetivo de alterar o índice de frenagem para quaisquer acelerações e
maximizar o desempenho, o controle da pressão no sistema hidráulico através das válvulas
limitadoras de pressão é a solução mais eficiente. Essas válvulas limitadoras de pressão,
que não têm qualquer correlação com os sistemas de freio anti-bloqueio (ABS), têm o seu
funcionamento baseado em princípio hidraúlico, inercial ou eletrônico.
Pode-se determinar diretamente do índice de frenagem a distribuição de cargas de frenagem nos eixos, bem como as demais variantes relacionadas com esse índice tais como
potência e calor dissipados na operação de frenagem, bem como parcela da massa total dos
freios para cada eixo. Para isso basta lembrar que a força de frenagem total dos dois eixos,
98
Capítulo 4 - Mecânica da frenagem e freios
no caso de um veículo com freio nas quatro rodas, é igual a soma da força de frenagem das
rodas dianteiras e traseiras, como segue:
 =   +   =  
 
 
+   =
  +   =   +   = ( + 1)  (4.34)
 
 
Isolando, da última expressão, a força de frenagem no eixo traseiro se tem:
  =
1

( + 1)
(4.35)
  =


( + 1)
(4.36)
e, de forma similar:
Segundo Taborek, [3], desacelerações em torno de 0 35 são desconfortáveis para os passageiros, enquanto que desacelerações maiores, tal como 0 46 ocorrem apenas em freiadas
de emergência. Segundo Newcomb, [12], a recomendação para acelerações de frenagem suportadas com conforto para os ocupantes, gira em torno de 0 2 , enquanto que para frenagens
de emergência, em torno de 0 5 . Essas diferenças indicam que a solução do problema
não está bem definida e que cada fabricante deve calibrar os freios de seus veículos para o
máximo desempenho de frenagem possível, bem como máximo conforto e estabilidade.
Conclusões importantes podem ser obtidas a partir da análise do índice de frenagem.
Supondo que a distribuição de força de frenagem tenha sido determinada para um coeficiente
de atrito,  , as quatro rodas irão travar simultaneamente em uma frenagem de emergência.
Caso o veículo com esta distribuição de carga de frenagem estiver freiando onde o coeficiente
de atrito é menor do que  , a frenagem será deficiente, pois as rodas dianteiras irão travar
antes das traseiras. Caso a pista tenha um coeficiente de atrito maior, as rodas traseiras
travarão antes das dianteiras e a frenagem também será deficiente.
Quanto ao travamento das rodas dos dois eixos ocorrerem em instantes diferentes, valem
alguns comentários adicionais. Quando o eixo dianteiro trava antes do traseiro, a frenagem é
classificada como estável, já que sendo a força de frenagem no eixo traseiro maior do que no
dianteiro não há a tendência do centro de gravidade passar para a frente do eixo dianteiro.
Caso haja primeiro o travamente do eixo traseiro, devido ao desequilíbrio das forças de
frenagem que pode ocorrer entre as duas rodas dianteiras, há a geração de um momento em
torno do eixo vertical do veículo. Este momento faz com que o carro gire de tal forma que
o centro de gravidade do veículo passe para a frente do eixo dianteiro, o que caracteriza um
rodopio do veículo. Este tipo de frenagem é classificado como instável.
Alguns fabricantes de veículos, segundo Newcomb, [12], adotam o comportamento instável de frenagem, na calibração dos freios de seus veículos, porque permite que o condutor
mantenha o controle do veículo nesta operação. A contrapartida desta filosofia é que o
condutor tem que ser bastante hábil, já que a aceleração angular vertical é bastante elevada
e causa o rodopio do veículo em poucos décimos de segundo. Outros fabricantes preferem o
comportamento estável de frenagem, o que permite a condução do veículo por mãos não tão
hábeis. A contrapartida desta escolha é que manobras de evasão não podem ser efetuadas,
99
Capítulo 4 - Mecânica da frenagem e freios
isso porque o travamento das rodas dianteiras impede que seja feita qualquer mudança na
direção da trajetória retilínea seguida pelo veículo.
4.7
Desempenho de frenagem
Analisando as equações (4.21), (4.23) e (4.25) se verifica que as mesmas são função da
pressão dinâmica. A pressão dinâmica, função quadrática da velocidade, é dada por:
1
 = 2
2
(4.37)
sendo:
- a densidade por ar;
- a velocidade relativa entre ar e veículo.
Sendo assim, a desaceleração que o veículo experimenta em frenagens é função da velocidade. Em velocidades baixas, (menores do que 60 ), o efeito da resistência aerodinâmica
pode ser negligenciado na capacidade de frenagem, porém a mesma simplificação não deve
ser feita em alta velocidade. Também não pode ser esquecido que as inércias rotativas,
durante a frenagem, são desaceleradas a partir das forças de atrito do pneu com o solo
e, consequentemente, afetam a distância e o tempo necessário para variar a velocidade do
veículo em uma frenagem. Sendo assim, no desenvolvimento que é feito a seguir, os efeitos
da resistência aerodinâmica e das inércias rotativas serão levadas em conta na formulação.
De maneira geral, as expressões (4.21), (4.23) e (4.25) podem ser escritas em termos da
velocidade como:
(4.38)
 = Θ + Ξ 2
sendo, para o caso de freio nas quatro rodas,  a velocidade de translação do veículo. As
constantes Θ e Ξ são dados por:

[( + )   +  ] ;
(4.39)
Θ=
(1 + )
1
 
2 (1 + )
Lembrando da definição de aceleração
Ξ=
(4.40)


(4.41)

e considerando que o coeficiente de penetração aerodinâmico,   seja constante com a
velocidade, pode-se calcular o tempo de frenagem a partir da seguinte equação
=
=
Z2
1

Θ + Ξ 2
(4.42)
1
que integrada resulta em:
"
à r !
à r !#
Ξ
Ξ
1
−1 1
= √
− −1 2
+ ção 
Θ
Θ
ΞΘ
(4.43)
100
Capítulo 4 - Mecânica da frenagem e freios
Caso a freiada imobilize o veículo, a última expressão se reduz a:
à r !
Ξ
1
+ ção
 = √ −1 1
Θ
ΞΘ
(4.44)
A acelereração também pode ser expressa a partir da distância percorrida ”” com o
auxílio da seguinte relação
  
= 
(4.45)
=
 

pois

= 
(4.46)

Assim a expressão dada por

 = Θ + Ξ 2
(4.47)

pode ser reescrita como

 =
(4.48)
Θ + Ξ2
a qual, após a integração, resulta em
=
1
Θ + Ξ12
ln[
] + ção
2Ξ Θ + Ξ22
(4.49)
Caso o veículo esteja parado no final da freiada, a última expressão é reescrita como:
Ξ
1
(4.50)
ln[1 + 12 ] + ção
2Ξ
Θ
Nos equacionamentos acima desenvolvidos, os tempos necessários para o condutor perceber a situação de emergência bem como o seu tempo de reação e considerado como sendo
ção . É bastante razoável crer que o tempo gasto nestas duas etapas que precedem a
frenagem são fatores importantes, talvez os mais importantes, no tempo e na distância
necessários para o veículo parar.
=
4.8
Balanço de energia
Nos desenvolvimentos feitos anteriormente, observa-se que a capacidade de frenagem tem
uma limitação básica que é o coeficiente de atrito do par pneu/pista. Com a consideração
que o coeficiente de atrito é adequado, a preocupação com a limitação da capacidade de
frenagem se volta para a capacidade do sistema de freios absorver ou dissipar o calor gerado
durante a desaceleração, fatores estes não considerados nos equacionamentos anteriores.
O princípio de funcionamento de um freio consiste em transformar a energia cinética
em energia térmica ou calor, num processo irreversível, na maioria absoluta dos veículos
atuais. O desejável é que grande parte deste calor seja gerado no sistema de freio e não no
contato pneu-solo, o que caracterizaria escorregamento do pneu sobre o solo e uma redução
apreciável do coeficiente de atrito entre o pneu e a pista. No sistema de freios o calor é
gerado na interface de contato das guarnições com o tambor ou disco e dissipado para o
meio ambiente através dos seguintes mecanismos de transferência de calor:
Capítulo 4 - Mecânica da frenagem e freios
101
• Condução: se manifesta na dissipação do calor através das partes metálicas, na região
de contato da guarnição para o restante do disco (ou tambor) e deste para o cubo e
semi eixo;
• Convecção: se manifesta na transmissão de calor diretamente da superfície do disco
ou tambor (faces interna e externo no caso de um disco ventilado) para o ar ambiente.
O mesmo efeito ocorre das superfícies do cubo e do semi eixo, pois esses elementos se
comportam como superfícies estendidas do disco ou tambor;
• Radiação: se manifesta na transmissão de calor por radiação térmica das superfícies
aquecidas para a vizinhança, a qual inclui a pista de rodagem, o ar e demais partes do
veículo.
O calor gerado no atrito, em função da eficiência dos mecanismos de dissipação de calor
listados, faz com que a temperatura do sistema atinja valores que afetam a eficiência da
frenagem.
Caso a temperatura de operação seja baixa demais o freio opera frio e a eficiência não é
boa porque o coeficiente de atrito entre as partes atritantes ainda é baixo. Com o aumento
da temperatura o coeficiente de atrito entre estas partes aumenta e a eficiência do freio
também. Caso a temperatura do sistema ultrapasse um valor limite, o coeficiente de atrito
bem como a resistência a abrasão da guarnição decrescem rapidamente ocasionando a perda
de eficiência e redução da vida dos freios. Sendo assim, no projeto do sistema de freios deve
ser prevista a temperatura que o sistema deve operar para que a vida e a capacidade de
frenagem fiquem em valores aceitáveis, mesmo para as mais severas condições de uso.
A forma de armazenagem ou a dissipação do calor gerado é função de como os freios são
usados, como por exemplo, em longas descidas ou em situações de emergência. A modelagem
de como o calor gerado é dissipado ou armazenado é feita através do um balanço de energia
apresentado a seguir.
4.8.1
Freiadas moderadas de longa duração
Este tipo de freiada é bastante comum de ocorrer para veículos descendo grandes ladeiras
com velocidade constante. Nesta situação a temperatura de operação do sistema atinge um
regime estacionário, ou seja deixa de variar com o tempo, quando todo o calor gerado é
transmitido para o ambiente. Isso ocorre quando a diferença de temperatura entre o sistema
de freios e o ambiente atinge um determinado patamar. Este patamar depende de diversos
fatores, tais como:
• Temperatura do ambiente;
• Área de dissipação de calor;
• Tipo do freio (tambor, disco sólido ou disco ventilado);
• Material do disco ou tambor;
102
Capítulo 4 - Mecânica da frenagem e freios
• Velocidade;
• Massa do veículo.
Os mecanismos de troca de calor que agem de forma significativa nesta troca de calor são a
condução e a convecção. A influência do mecanismo de troca por radiação é desconsiderado
neste modelo, pois consider-ase que as temperaturas de operação dos freios permaneçam
abaixo de quinhentos graus centígrados.
A condução de calor ocorre a partir da região de atrito pela guarnição e pelo disco ou
tambor para a suspensão e para a carroceria sendo que, a partir dai, o mesmo é finalmente
dissipado para a atmosfera por convecção.
A convecção, especialmente do disco/pinça ou tambor, é o mecanismo dominante na
estabilização da temperatura do sistema de freios neste tipo de freiada. O calor trocado por
este mecanismo depende da área livre bem como da velocidade e turbulência do ar que passa
em torno do sistema de freios. Como o fenômeno de troca de calor por convecção depende
de um número muito grande de variáveis, especialmente da geometria do corpo aquecido,
é bastante comum a análise do mecanismo de troca de calor experimentalmente, ajustando
os parâmetros que representem adequadamente este tipo de troca de calor. Neste ensaio é
bastante comum o uso de túneis de vento para estabelecer um escoamento com velocidade
e condições conhecidas e constantes. Na Figura 4.2 é mostrado o comportamento típico do
mecanismo de troca de calor para o freio de um veículo ensaido em túnel de vento. Vale
salientar que, nesta figura Ψ é um valor adimensional dado por:
Ψ=
 
 ́    
(4.51)
onde a energia é medida em joules ( =   =  ). Nestes ensaios são obtidas famílias
de curvas, onde cada uma delas representra uma determinada temperatura de equilíbrio do
sistema de freios em função da velocidade do veículo e da força de frenagem.
Para o desenvolvimento do modelo matemático de geração de calor no sistema de freios de
um veículo em freiadas moderadas de grande duração, parte-se da equação 4.19, repetida a
seguir, onde a força de inércia,  , é nula, pois a velocidade do veículo na rampa é constante.
 = − −  −  
(4.52)
Na maioria dos veículos é normal que haja uma ajuda do motor ou de algum outro sistema
existente no veículo, que propicie uma força adicional de frenagem, batizada por   .
Esta força adicional de frenagem auxiliar é colocada no lado esquerdo da equação 4.52, que
resulta em:
(4.53)
 +   = − −  −  
Vale salientar que a resistência de aclive, dada por
 =   
(4.54)
muda de sinal (o ângulo  é negativo) quando a rampa é de descida. Desta forma, para
representar um declive, define-se:
 = −
103
Capítulo 4 - Mecânica da frenagem e freios

1,0
0,8
T3
0,6
T2
T1
0,4
0,2
0,1
0
20
0
25
30
35
m/s
Figura 4.2: Comportamento da temperatura de um freio em função da velocidade do veículo.
Multiplicando a equação 4.53 pela velocidade real de translação do veículo, se obtém uma
equação de balanço de potências, como segue.
= − −  −  
(4.55)
¸
∙
1
2
=    −   cos  −   
2
(4.56)
 + 

ou
 + 

sendo:
 - a taxa de conversão de energia cinética em calor;
  - a potência de frenagem suprida por um sumidouro de energia adicional, tal
como o motor ou um sistema auxiliar qualquer, tal como o retarder usado em caminhões
pesados ou um sistema regenerador de energia de frenagem.
É importante lembrar que esta equação é adequada para o veículo se deslocando em
velocidade constante.
Para facilitar a análise a equação 4.56 pode ser reescrita como:
 + 

=  [   −  cos ]

1
−    3
(1 − ) 2
(4.57)
Nesta equação o primeiro termo do lado direito representa a entrada de potência, enquanto
que o segundo e o terceiro termos, representam a potência de frenagem dissipada pelos
pneus (resistência de rolamento) e a potência dissipada pela aerodinâmica. Esta equação,
desconsiderando a ajuda da potência aerodinâmica, resulta em:
 + 

=  [   −  cos ] 
(4.58)
104
Capítulo 4 - Mecânica da frenagem e freios
Esta equação é bastante precisa em baixas velocidades (menores do que 60 ). Caso
a frenagem ocorra em velocidades maiores do que 60 , a omissão da ajuda da aerodinâmica na frenagem pode ser considerada como um coeficiente de segurança.
Sendo conhecida a potência dissipada, o próximo passo é a determinação das características dos freios que, como dito anteriormente, pode ser feita experimentalmente em túneis
de vento, ou então a partir da simulação analítica ou numérica do problema do sistema físico
e, como foge ao escopo do texto, não será apresentada aqui..
4.8.2
Freiada de emergência
Este tipo de freiada é de curta duração e, sendo assim, a dissipação de calor por convecção ao ambiente é negligenciável. Desta forma todo o calor gerado, que é equivalente
a variação energia cinética do veículo, deve ser armazenado na forma de energia térmica
através do aumento da temperatura do disco de freio, já que as guarnições são isolantes
térmicos eficientes.
A formulação para este tipo de frenagem é baseada na variação da energia cinética quando
o veículo é desacelerado, de uma velocidade  para uma velocidade  , pela ação do sistema
de freios. Sendo assim, a variação da energia cinética para a operação de frenagem é dada
por
1
1
(4.59)
(1 + )(2 − 2 )
 = (1 + )(2 − 2 ) =
2
2
sendo:
  - o peso/massa do veículo;
 - a inércia de translação equivalente a de rotação;
 - aceleração da gravidade;
 - a velocidade do veículo no início da frenagem;
 - a velocidade final do veículo após a frenagem.
Caso a frenagem imobilize o veículo, a energia cinética pode ser reescrita como:
=
1
(1 + ) 2
2
(4.60)
Da termodinâmica clássica, o calor absorvido por um corpo sólido de massa m, quando
sofre uam variação de temperatura, ∆ é dado por:
  =  m ∆
(4.61)
sendo:
  - a capacidade térmica do corpo;
 - o calor específico do material do corpo;
m - a massa do corpo;
∆ - o acréscimo de temperatura do corpo.
No caso do corpo que armazena a energia térmica ser o freio, a massa m é a do tambor
ou do disco, principalmente, a massa localizada na região que atrita com as garnições. É
interessante frisar que o modelo acima pressupõe que o calor seja armazenado de maneira
105
Capítulo 4 - Mecânica da frenagem e freios
que a temperatura seja uniforme no corpo. Isto, de fato, não acontece e a temperatura não
é uniforme ao longo da espessura do disco ou parede do tambor, o que ocasiona gradientes
térmicos severos nestes elementos e, concomitantemente, tensões térmicas elevadas.
O modelo matemático para este tipo de utilização dos freios é obtido igualando a energia
cinética de frenagem à capacidade de armazenar energia térmica da massa do freio. Assim,
igualando as equações 4.59 e 4.61 se obtém:
1
(1 + )(2 − 2 ) =  m ∆
2
(4.62)
Para o caso do veículo ser imobilizado no final da frenagem, a equação anterior pode ser
reescrita como:
1
(4.63)
(1 + ) 2 =  m ∆
2
Neste modelo a resistência de rolamento e a resistência aerodinâmica são negligenciadas.
O equacionamento acima permite duas análises:
• Determinação da massa do disco ou tambor para um aumento ∆ de temperatura;
• Determinação do aumento da temperatura do sistema de freios para uma determinada
variação da velocidade do veículo.
Assim, para a primeira análise, o peso de um dos freios do eixo dianteiro é dado por
  =


(1 + )(2 − 2 )
(1 + ) 4  ∆
(4.64)
  =

1
(1 + )(2 − 2 )
(1 + ) 4  ∆
(4.65)
e para o eixo traseiro por
sendo  o índice de frenagem, e


= m 


= m 
Para a segunda análise se escreve:
∆ =

2 (1 + ) 


(1 + )(2 − 2 )
(4.66)
para o eixo dianteiro, e
∆ =

2 (1 + ) 


(1 + )(2 − 2 )
(4.67)
para o eixo traseiro.
Genericamente estas equações podem ser reescritas como:
∆ =
1
Ω (2 − 2 )
2
(4.68)
106
Capítulo 4 - Mecânica da frenagem e freios
para o caso do veículo parar ao final da frenagem, a última equação se reduz a:
∆ =
1
Ω 2
2
(4.69)
sendo:
 =  ou  - eixo dianteiro ou taseiro, respectivamente;
 - o peso do veículo;
  ,   - o peso do freio dianteiro e traseiro, respectivamente


- a relação de peso para o eixo dianteiro;
Ω = 1+
 
1

Ω = 1+   - a relação de peso para o eixo traseiro.
Na equação 4.62 a 4.69 considerou-se que todo o calor gerado na frenagem é absorvido
apenas pelo tambor ou disco dos freios. Esta hipótese é conservativa, já que as guarnições
também são capazes de absorver um pouco do calor gerado na frenagem. Segundo a referência
[12], nos freios a tambor as guarnições são capazes de absorver cerca de 5% do calor total
gerado na frenagem, enquanto que os tambores absorvem os demais 95%. Nos freios a disco
cerca de 1% é absorvido pelas guarnições, enquanto que o disco absorve 99% do calor gerado
na frenagem. A proporção de calor armazenado no disco ou tambor, conforme a referência
[12], é dada pela seguinte equação:
=
1 (1 1 1 )12
1 (1 1 1 )12 + 2 (2 2 2 )12
sendo  ,  e  referentes a condutividade térmica, densidade e calor específico dos materiais
do tambor e da guarnição. O sub-índice  = 1 2 se refere aos materiais do tambor/disco
e da guarnição, respectivamente. As grandezas 1 e 2 se referem a área de atrito do
disco/tambor e da guarnição.
Sendo assim, as equações para determinação do peso e da temperatura dos freios, podem
ser reescritas como

(1 + )(2 − 2 )
(4.70)
  = 
4 (1 + )  ∆


∆ = 
∆ = 
4.9

(1 + )(2 − 2 )
4 (1 + )  ∆
(4.71)

2 (1 + ) 
(4.72)
=

2 (1 + ) 



(1 + )(2 − 2 )

(1 + )(2 − 2 )
(4.73)
Tipos de freios
Nos primórdios da indústria automobilística, os freios eram a tambor e o acionamento
mecânico. Com o desenvolvimento dos sitemas hidráulicos, a indústria automotiva passou a
empregá-los para o acionamento dos freios dos veículos por ela produzidos.
Capítulo 4 - Mecânica da frenagem e freios
107
Ainda nos primórdios desta indústria, em 1902, o engenheiro F. Lanchester, segundo
Campbell [7], patenteou na Inglaterra o freio a disco. Este sistema, ainda acionado mecanicamente, foi utilizado pela primeira vez em 1906, em um automóvel construído por este
engenheiro.
Durante a segunda guerra os freios a disco foram usados com muito sucesso na indústria
aeronáutica e, em 1949, o conhecimento desenvolvido para a aeronáutica foi aplicado na
indústria automobilística. Em 1952 ele foi introduzido nas corridas de automóveis, sendo o
fator responsável pelo sucesso da Jaguar em Le Mans em 1953, já que os pilotos da marca
podiam freiar quase 300  depois de seus rivais no final da reta Mulsanne.
O sucesso do freio a disco se deve a sua pouca sensibilidade ao fading. Isso ocorre graças
a sua excelente refrigeração, já que a sua forma construtiva expõe diretamente a região de
atrito guarnição/disco ou tambor com o ar. Devido à forma construtiva de um disco, é
possível construí-los um pouco mais largos com canais internos radiais para ventilação. Este
tipo de construção, denominada de disco ventilado, permite que o disco trabalhe como um
ventilador centrífugo, aumentando significativamente a eficiência da refrigeração. Nos discos
o efeito das deformações térmicas, que também são causadoras de fading em freios a tambor,
não tem influência na forma da área de contato pastilha/disco, já que o disco é plano.
Os freios a disco não sofrem perda de eficiência pela deposição de poeira gerada pela
desgaste da própria guarnição na região de fricção da guarnição, como nos freios a tambor,
por terem a área de contato exposta. Essa mesma característica construtiva impede, também,
a perda de eficiência devido a presença de água. Nos discos a tambor a perda de eficiência
pelo efeito da água é fortemente sentida devido a formação de uma cunha hidrodinâmica
que impede o contato da guarnição tambor, como num mancal hidrodinâmico. Este efeito
também ocorre nos freios a disco, porém de forma muito pouco sensível e de curta duração.
Isso é devido às tensões de contato disco-pastilha serem bem maiores que nos de tambor pelo
fato da área de contato pastilha-disco ser muito menor do que lona-tambor, bem como pela
eficiência da força centrípeta em expulsar a água da região de contato disco/pastilha.
4.10
Problemas com freios
Dentre os vários problemas que ocorrem com os freios, pode-se citar:
• Fading;
• Aquecimento de mancais;
• Ruído;
• Ecologia.
Neste item vão ser abordados de maneira bastante superficial apenas alguns problemas,
sendo que os demais, tais como desgaste, ressonâncias etc, bem como o detalhamento dos
problemas listados anteriormente, são tratados em textos exclusivamente voltados para freios,
tais como [12], [13].
Capítulo 4 - Mecânica da frenagem e freios
4.10.1
108
Fading
O problema de fading dos freios, fenômeno que será descrito posteriormente, e ocorre
especialmente naqueles do tipo tambor, é causado por dois efeitos: aquecimento exagerado da
guarnição e redução do contato tambor-guarnição pelo aumento da temperatura do sistema
de freio.
O primeiro efeito está relacionado com o fato de que a partir da temperatura crítica, cerca
de quatrocentos graus centígrados para as guarnições de asbesto, há uma redução severa do
coeficiente de atrito do par guarnição-tambor, o que implica na redução da força de atrito.
Na tentativa de aumentar a temperatura crítica da redução severa do coeficiente de
atrito, as guarnições dos freios a tambor são fabricadas com compostos duros. Esta maior
dureza da guarnição associada à variação do diâmetro do tambor de freio com o aumento da
temperatura, reduz a área de contato da guarnição com o tambor, por ser menos deformável,
e implica no segundo efeito causador do fading.
O segundo efeito do fading, está associado a não uniformidade da frenagem em ocasiões
distintas de acionamento do freio. Durante freiadas longas há o aumento do diâmetro do
tambor com da temperatura. Devido a este aumento do diâmetro do tambor, as lonas de freio
se atritam na sua posição média, no sentido longitudinal. Como a temperatura é alta ocorre
um desgaste acentuado desta região da guarnição, já que a resistência ao desgaste sofre uma
redução severa com o aumento excessivo da temperatura. Em seguida, quando o freio não
é utilizado, o sistema esfria e o diâmetro do tambor se reduz. Ao ser novamente acionado,
os extremos das lonas entram em contato primeiro com o tambor. Como a área de contato
da lona/tambor se altera em relação à frenagem anterior, a frenagem muda de intensidade e
o pedal de acionamento, se a regulagem da distância lona tambor for automática, também
muda de curso, de maneira inexperada ao condutor.
4.10.2
Aquecimento
Com o advento do freio a disco, devido à forma construtiva, há um maior aquecimento
dos cubos de rodas do que o dos freios a tambor. Com o aquecimento dos cubos de roda,
os rolamentos que nele estão alojados, também aquecem. Este aquecimento prejudica a
lubrificação, problema este normalmente contornado com o uso graxas com sabão de lítio, e
afeta significativamente a vida dos mancais.
Hoje em dia, com o emprego de pastilhas de metal sinterizado e consequente com alta
condutividade térmica (baixo isolamento térmico), ocorre o aquecimento do fluido de freio e
a sua vaporização. A presença deste vapor no sistema de acionamento hidráulico que pode
causar o travamento dos freios e a perda da ação, levou os fabricantes de fluidos de freio a
desenvolver novos produtos com grande resistência a vaporização. Outro aspecto importante
deste aquecimento é que a temperatura também causa a deterioração dos selos de borracha
dos cilindros hidraúlicos das rodas, podendo levar ao travamento dos pistões dos cilindros
hidraúlicos das pinças, pelo acúmulo de poeira e pó de pastilha .
A única maneira de contornar definitivamente esses problemas é aumentar a eficiência da
refrigeração dos freios.
Capítulo 4 - Mecânica da frenagem e freios
4.10.3
109
Ruído
Além do desempenho, o ruído gerado nos sistemas de freios de um automóvel, em mercados competitivos com consumidores exigentes (especialmente o brasileiro bastante exigente
nesse quesito), pode ser um fator determinante na compra de um veículo.
O componente mais importante na geração do ruído é a guarnição, especialmente as
pastilhas dos freios a disco. O problema do ruído ficou bastante agudo quando o principal
e mais eficiente componente das guarnições, no caso o asbesto, foi proibido de ser usado na
maioria dos países por ser um elemento altamente cancerígeno. Com isso, novos componentes
das guarnições começaram a ser empregados e os mais adequados, em termos de atrito e
durabilidade, são exatamente aqueles que aumentam o ruído emitido pelos sistema de freios.
Este problema foi e continua sendo motivo de estudos avançados, podendo citar os trabalhos
de Gonçalves [10] e [11].
4.10.4
Ecologia
Em termos ecológicos, os componentes das guarnições são altamente prejudiciais à saúde.
Merece atenção especial o asbesto, um dos melhores materiais empregados na confecção de
guarnições, que foi banido por ser um produto cancerígeno.
Os demais componentes das guarnições também são poluentes e contaminam facilmente
os recursos naturais, já que esses elementos ao atritarem com as partes girantes dos freios são
transformados em poeira muito fina e lançadas na atmosfera. Em seguida, seja pela ação da
chuva ou outro mecanismo qualquer, a poeira cai sobre o solo sendo carregada posteriormente
para os mananciais de água ou então para as plantações de produtos agrícolas destinados ao
consumo humano e animal.
Exemplo
Para veículos se deslocando no plano, com as características apresentadas na Tabela 4.1,
determinar a distribuição de força de frenagem para um atrito de 0 35 para o par pneu/pista.
Também fazer a análise do comportamento de frenagem quando o coeficiente de atrito for
maior e menor do que 0 35. Neste texto será analisado apenas o Caso 1, sendo deixados a
cargo do leitor a análise dos outros casos propostos.
Solução do caso 1
Para iniciar a análise é necessário cálcular do índice de frenagem.
h
i
¤
£
066

(1 − 0 48) + (0 35 + 0 011) 24
(1 − ) + ( + ) 
61 93
h
i
£
¤
= 1 63
=
=
=

38 07
 − ( + ) 
0 48 − (0 35 + 0 011) 066
24
110
Capítulo 4 - Mecânica da frenagem e freios
Tabela 4.1: Características do veículo.
Grandeza
Distribuição de carga
Distância entre eixos
Altura do CG veículo leve
Altura do CG veículo carregado
Peso do veículo leve
Peso do veículo carregado
Raio dinâmico do pneu
Braço sup. manga de eixo
Braço inf. manga de eixo
Off set da manga de eixo
Coef. atrito de rolamento
Velocidade máxima
Área projetada
Densidade do ar
Coeficiente de penetração
Dimensão















−









−

2
3
−
Caso1
Caso 2
Caso 3
0 48
0 50
0 52
2 40
2 40
2 40
0 66
0 66
0 66
0 68
0 68
0 68
16503
16503
16503
18500
18500
18500
0 32
0 32
0 32
0 035
0 035
0 035
0 03
0 03
0 03
0 012
0 012
0 012
0 011
0 011
0 011
50
50
50
2 0
2 0
2 0
1 22557 1 22557 1 22557
0 33
0 33
0 33
Neste caso, para o coeficiente de atrito de 0,35, a distribuição da carga de freiada é de
61,93% no eixo dianteiro e 38,07% para o eixo traseiro. Consequentemente o calor gerado
no freio dianteiro será 62% maior que no traseiro.
Cálculo da força de frenagem
A força de frenagem para esse coeficiente de atrito é dada pela equação 4.18, repetida a
seguir
 =   = 0 35 16503 = 5776 05 
Para essa força de frenagem as reações normais ao solo, equações 4.29 e 4.30, são:
¸
∙

 =  (1 − ) + ( +  )
=

∙
¸
0 66
16503 (1 − 0 48) + (0 35 + 0 011 )
= 10219 90 
2 4
¸
∙
¸
∙
0 66

= 16503 0 48 − (0 35 + 0 011)
= 6283 10 
 =   − ( +  )

2 4
e as forças de frenagem nos eixos dianteiro e traseiro são:
  =  = 0 35 10219 90 = 3576 97 
  =  = 0 35 6283 10 = 2199 09 
Considerando que os freios sejam a disco na dianteira e na traseira, os dois com diâmetro
de 250  e posição radial do centro das pastilhas de 100 , tem-se que a força que deve
ser exercida pela pastilha sobre os discos dianteiros e traseiros são:

0 32
1
1
= 5723 15 
= 3576 97
 =  
2
 
2
0 1
Capítulo 4 - Mecânica da frenagem e freios
111

1
1
0 32
 =  
= 2199 09
= 3518 54 
2
 
2
0 1
Considerando um valor típico para coeficiente de atrito entre as pastilhas de   = 0 45,
[10], e que a pressão de acionamento dos cilindros das pinças seja  = 2 45   (cerca
de 25 ), a área dos cilindros das pinças dianteiras e traseiras são:
 =


5723 15
=
= 5191 07 2
 
2 45 0 45

3518 54
= 3191 42 2
=
  
2 45 0 45
Como cada pinça possui pelo menos dois pistões ou é flutuante, as áreas calculadas correspondem a dois pistões de cerca de 41 e 32 mm de diâmetro para cada uma das pinças
dianteira e traseira, respectivamente. É interessante salientar que a razão entre área dos
cilindros das pinças dianteiras e traseiras é igual ao índice de frenagem, porém os diâmetros
não são, já que os mesmos tem uma relação não linear com as áreas.
 =
Influência do coeficiente de atrito Para ilustrar a diferença de frenagem que ocorre
quando o coeficiente de atrito dos pneus com o solo é diferente de 0 35, vai ser tomado um
valor igual a 0 85.
O índice de transferência de carga para esse caso vale
i
h
066
(1 − 0 48) + (0 85 + 0 011) 24
75 68
h
i
= 3 11
=
=
24 32
0 48 − (0 85 + 0 011) 066
24
Cálculo da força de frenagem
A força de frenagem para esse coeficiente de atrito é dada pela equação 4.18, repetida a
seguir
 =   = 0 85 16503 = 14027 55 
Para essa força de frenagem as reações normais ao solo, equações 4.29 e 4.30, são dadas
por:
∙
¸

 =  (1 − ) + ( +  )
= 16503 0 7568 = 12489 06 

∙
¸

 =   − ( +  )
= 16503 0 2432 = 4013 94 

e as forças de frenagem nos eixos dianteiro e traseiro são:
  =  = 0 85 12489 06 = 10615 7 
  =  = 0 85 4013 94 = 3411 85 
A força que é exercida pela pastilha de cada roda sobre cada um dos lados dos discos
dianteiro e traseiro são:

0 32
1
1
 =  
= 16985 12 
= 10615 7
2
 
2
0 1
112
Capítulo 4 - Mecânica da frenagem e freios

1
1
0 32
 =  
= 3411 85
= 5458 96 
2
 
2
0 1
Como o sistema de freios está projetado em função do coeficiente de atrito de 0 35, é
necessário determinar qual a pressão necessária para que a força de frenagem na pastilha
do eixo dianteiro seja de 16985 12 . Para isso se parte-se da seguinte expressão
 =

16985 12
= 7 27  
=
  
5191 07 0 45
Com esta pressão, a pastilha da roda traseira vai desenvolver uma força de frenagem
iogual a:
 =     = 7 27 3191 42 0 45 = 10440 73 
Comparando a força aplicada pela pastilha sobre o disco do freio traseiro com a pressão
de 7 30  , concluí-se que a roda traseira irá travar prematuramente em relação à roda
dianteira, já que a máxima força que esta pastilha pode exercer sobre o disco traseiro, sem
que ela trave, é de apenas 5458 96 , o que implica em uma redução da capacidade de
frenagem do veículo. Nesta situação o veículo se torna instável direcionalmente, já que o
mesmo tende a girar em torno do eixo dianteiro.
A análise que será desenvolvida a seguir considera um coeficiente de atrito dos pneus com
o solo menor do que 0 35, como por exemplo 0 20.
Para esta nova situação o índice de transferência de carga vale
h
i
066
(1 − 0 48) + (0 20 + 0 011) 24
57 80
h
i
= 1 36
=
=
42 20
0 48 − (0 20 + 0 011) 066
24
Cálculo da força de frenagem
A força de frenagem no plano para esse coeficiente de atrito é dada pela equação 4.18,
repetida a seguir
 =   = 0 20 16503 = 3300 6 
Para essa força de frenagem as reações normais ao solo, equações 4.29 e 4.30, são dadas
por:
¸
∙

 =  (1 − ) + ( +  )
= 16503 0 5780 = 9539 15 

∙
¸

= 16503 0 4220 = 6963 85 
 =   − ( +  )

e as forças de frenagem nos eixos dianteiro e traseiro são:
  =  = 0 20 9539 15 = 1907 83 
  =  = 0 20 7004 70 = 1392 77 
Neste caso, a força que deve ser exercida pela pastilha sobre os discos dianteiro e traseiro
de cada roda são:

1
= 3052 52 
 =  
2
 
Capítulo 4 - Mecânica da frenagem e freios
113

1
 =  
= 2228 43 
2
 
Como o sistema de freios foi projetado em função do coeficiente de atrito de 0 35, é necessário
determinar qual a pressão necessária para que a força de frenagem resultante em um disco
do eixo traseiro seja de 2228 43 . Para isso se parte-se da seguinte expressão
 =

2228 43
= 1 55  
=
  
3191 42 0 45
Com esta pressão, a pastilha da roda dianteira vai desenvolver uma força de frenagem no
disco deste eixo igual a:
 =     = 1 55 5191 07 0 45 = 3620 77 
Comparando a força aplicada pela pastilha sobre o disco do freio dianteiro com a pressão
de 1 55  , observa—se que a roda dianteira irá travar prematuramente em relação à roda
traseira, já que a máxima força que esta pastilha pode exercer sobre o disco dianteiro sem que
ela trave é de apenas 3052 52 . Esta situação, como era de se esperar, também implica
em uma redução da capacidade de frenagem do veículo.
Análise do veículo carregado Uma análise semelhante pode ser feita quando o veículo
está carregado. Nesta situação não ocorre somente o deslocamento longitudinal da posição
do centro de gravidade, mas também a sua altura varia em função da carga adicional, porém
o efeito da mudança da posição longitudinal do centro de gravidade será analisada pelo leitor
nos Casos 2 e 3.
A análise que será feita a seguir considera que o coeficiente de atrito é 0 9. O objetivo
de considerar o coeficiente de atrito tão elevado é o de determinar os valores máximos de
força que os elementos estruturais estão submetidos. Essa análise é justificada pelo fato da
capacidade de desaceleração de um veículo em operações de frenagem ser bem maior do que
a capacidade de aceleração propiciada pelo motor. Para ilustrar este aspecto, pode-se citar
os veículos esportivos, onde a capacidade de frenagem é cerca de quatro vezes a potência
instalada (motores com cerca de 300  ). Nos carros da Fórmula 1 esta razão é da ordem
de um para um.
Cálculo da força de frenagem
 =   = 0 9 18500 = 16650 
As reações normais ao solo, equações 4.29 e 4.30, são
∙
¸
∙
¸

0 68
 =  (1 − ) + ( +  )
= 18500 (1 − 0 48) + (0 9 + 0 011 )
= 14395 16 

2 4
∙
¸
∙
¸

0 68
 =   − ( +  )
= 18500 0 48 − (0 9 + 0 011)
= 4104 84 

2 4
e as forças de frenagem nos eixos dianteiro e traseiro são:
  =  = 0 9 14395 16 = 12955 64 
114
Capítulo 4 - Mecânica da frenagem e freios
  =  = 0 9 4104 84 = 3694 36 
Para esse caso o índice de frenagem vale
=
(1 − 0 48) + (0 9 + 0 011 ) 068
24
0 48 − (0 9 + 0 011)
A força que deve ser exercida pelas
roda são:

1
=
 =  
2
 
068
24
=
77 81
= 3 51
22 19
pastilhas sobre os discos dianteiro e traseiro de cada
1
0 32
12955 64
= 20729 02 
2
0 1

1
1
0 32
= 3694 36
= 5910 97 
 =  
2
 
2
0 1
As forças  e  devem ser suportadas pelos braços da suspensão, desde que os freios
sejam colocadas nas rodas. Quando os freios são "in board", os braços da suspensão não
precisam suportar os esforços de reação de frenagem. É importante observar que o esforço
de reação dos freios é cerca de três (exatamente 3 2) vezes maior do que as forças de frenagem
em cada eixo do veículo deste exemplo.
Considerando que o sistema de freios consiga controlar adequadamente a pressão de frenagem nos cilindros de roda, sem que haja travamento prematuro das rodas de um dos eixos,
a pressão necessária para a frenagem é a maior das duas pressões calculadas a seguir:
 =

20729 02
= 8 87  
=
  
5191 07 0 45
 =

5910 97
=
= 4 12  
  
3191 42 0 45
ou seja é 8 87  O dimensionamento do sistema de alavancas do pedal de freio, bem
como o tamanho do servo freio e tubulação, devem ser dimensionados a partir desse valor,
pois esta pressão vai ter que ser necessariamente desenvolvida em freiadas de emergência.
O mecanismo de acionamento deve ser projetado em função de fatores ergonômicos do sexo
feminino, já que nos dias de hoje as mulheres são grandes consumidoras de veículos automotores. Não se pode esquecer que, com o avanço da ciência, a idade média das populações
nas regiões mais desenvolvidas cresceu, o que implica que pessoas cada vez mais idosas são
consumidoras de automóveis.
Cálculo do peso dos discos de freio Coforme a Tabela 4.1, a velocidade máxima deste
veículo é de 50  ( 180 ). Considerando que as guarnições suportem uma temperatura máxima de 420  , onde a temperatura ambiente é de 20   o que implica que
∆ = 400   o peso dos discos de freio pode ser calculada com as equações 4.64 e 4.65,
repetidas a seguir.

  = 
(1 + )(2 − 2 )
4 (1 + )  ∆


=

(1 + )(2 − 2 )
4 (1 + )  ∆
115
Capítulo 4 - Mecânica da frenagem e freios
A temperatura de 420   é um valor crítico da guarnição. Esses valores críticos mudam
de acordo com a composição da guarnição. Há uma tendência dessa temperatura crescer, já
que os fabricantes de guarnição tem a preocupação de reduzir o fenômeno do "fading".
Considerando que o veículo fique imobilizado após a freiada e que a mesma ocorreu com
o pé na embreagem, o que permite estimar as inércias de translação equivalentes a rotativa
 ≈ 0 05 que os discos sejam de ferro fundido com calor específico  = 544 27    , índice
de frenagem  = 3 51 e que o o calor absorvido pelo disco  seja igual a 0 99, conforme
estudos desenvolvidos por Newcomb [12], o peso dos discos de freio dianteiros e traseiros são:


= 0 99
3 51 18500
(1 + 0 05)(502 ) = 43 0 
4 (1 + 3 51) 544 27 400
18500
(1 + 0 05)(502 ) = 12 2 
4 (1 + 3 51) 544 27 400
Vale observar que os pesos calculadas para os discos dianteiros e traseiros são referentes a
região de atrito disco/pastilha, portanto, faltando adicionar os pesos das flanges ou chapéus.
Tarefas propostas.
1- Qual será a temperatura dos freios, considerando uma freiada a partir da velocidade
máxima, porém com o veículo descarregado?
2- Qual será a temperatura dos freios, considerando uma freiada da velocidade de 100
para o veículo descarregado?


= 0 99
Análise de uma freiada de longa duração Para essa análise se considera, inicialmente, um declive de 5%, onde o veículo, com carga máxima, se desloca com velocidade
constante de 60 ( 16 67). Para isso usa-se a equação
 + 

=  [   −  cos ] 
Desconsiderando a potência adicional de frenagem dada pelo freio motor a potência de frenagem é:
 =  [   −  cos ]  = 18500 [  2 86 − 0 011 cos 2 86] 16 67 ≈ 12 
Caso o declive seja de 10% a potência de frenagem é
 =  [   −  cos ]  = 18500 [  5 71 − 0 011 cos 5 71] 16 67 ≈ 27 3 
Se o efeito da aerodinâmica for considerado, o equacionamento do problema é
1
 =  [   −  cos ]  −    3
2
Assim, para os dois casos acima avaliados, tem-se que as potências dissipadas nos freio são
1
 = 12000 − 0 33 2 0 1 22557 16 773 = 10 
2
1
1
 = 27 3 −  3 = 27300 − 0 33 2 0 1 22557 16 773 = 25 4 
2
2
para os aclives de 5% e 10%, respectivamente. Observa-se que o efeito da aerodinâmica
auxilia na frenagem, o que significa dizer que o neglicenciamento do seu efeito nessa análise
é uma medida conservativa.
116
Capítulo 4 - Mecânica da frenagem e freios
Cálculo de alguns outros parâmetros de frenagem Inicialmente vai ser calculado o
tempo necessário para o veículo leva para se imobilizar a partir da velocidade máxima e,
em seguida, das velocidades de 28  e 22 2  até a total imobilização. A condição de
lotação máxima também será usada para determinar a distância de frenagem máxima. Para
essa avaliação é usada a seguinte equação
à r !
1
Ξ
 = √ −1 1
Θ
ΞΘ
já que o veículo se imobiliza com a frenagem.
Nessa equação as constantes Ξ e Θ, são dadas por:
Θ=
9 81

[( + )   +  ] =
(0 9 + 0 002) = 8 43 2
(1 + )
(1 + 0 05)
Ξ=
1
  =
2 (1 + )
2
16503
981
1
0 33 2 0 1 22557 = 0 000229 −1
(1 + 0 05)
Assim da velocidade máxima até a imobilização o veículo leva:
µ r
¶
0 000229
1
−1
50
= 5 8 
= √

8 43
8 43 0 000229
Da velocidade de 28 m/s (100km/h) até a imobilização:
µ r
¶
0 000229
1
−1
28
= 3 3 

= √
8 43
8 43 0 000229
Finalmente, de velocidade de 22,2 m/s (80km/h) até a imobilização:
r
µ
¶
0 000229
1
−1
22 2
= 2 62 

= √
8 43
8 43 0 000229
As distâncias percorridas nas frenagens são dadas pela seguinte equação:
1
Ξ
ln[1 + 12 ]
2Ξ
Θ
Assim, das velocidades indicadas até a imobilização, o veículo percorre as seguintes distâncias
1
0 000229 2
=
ln[1 +
50 ] = 143 46 
2 0 000229
8 43
1
0 000229 2
=
ln[1 +
28 ] = 46 01 
2 0 000229
8 43
1
0 000229
=
ln[1 +
22 22 ] = 29 03 
2 0 000229
8 43
Tendo sido levantados esses valores, a seguir é determinada a desaceleraão do veículo em
função da velocidade. Para isso é usada a seguinte equação:
½
¾


[( + )   +  ] +  

=
(1 + )

=
117
Capítulo 4 - Mecânica da frenagem e freios
2
a [m/s ]
8,9
8,8
8,8
8,7
8,6
8,5
8,8
8,7
8,6
10
20
30
40
50
v [m/s]
Figura 4.3: Aceleração em função da velocidade.
Com o veículo se deslocando no plano e a pressão dinâmica dada por
1
 = 2
2
a última equação pode ser reescrita como:
∙
¸
1

2
( +  ) +  
=
(1 + )
2

assim:
ou
¸
∙
9 81
1
2 0 2
=
(0 9 + 0 011) + 0 33 1 22557

(1 + 0 05)
2
16503
 = 8 5113 + 0 000229  2
Na Figura 4.3, é mostrado o gráfico da aceleração em termos da velocidade do veículo.
Modelo de cargas na suspensão Quando um veículo freia com o máximo desempenho
possível, as forças de atrito, bem como a parcela de transferência de carga são muito superiores àquelas de tração possibilitadas pelo motor. Sendo assim, as cargas desenvolvidas
durante a frenagem definem alguns limites, talvez os maiores, da envoltória de carregamentos
que um veículo pode estar submetido.
Para uma roda dianteira, como a mostrada na Figura 4.4, em uma análise somente no
plano paralelo ao plano médio do pneu (supondo que o veículo tenha suspensão independente
e que a mola da suspensão seja fixada na balança inferior), atuam no pivo superior as forças
F  e F  nas direções horizontal e vertical, respectivamente. Vale salientar que se a mola
estiver ancorada na balança superior, a força F  é nula na balança inferior. Na balança
superior atua, nesta análise plana, apenas força horizontal F  .
As forças horizontais F  e F  são resultantes das forças de frenagem, da resistência ao
rolamento bem como da força de reação da pinça de freio, se esta estiver montada na roda.
118
Capítulo 4 - Mecânica da frenagem e freios

Fps
Pivo
superior
Fvi
Fpi
Pivo inferior
a
b
rd
s
Ff I
2
QrI
2
RI
2
Figura 4.4: Cargas de reação dos pivos da suspensão sobre a manga de eixo
Caso a pinça de freio esteja montada junto a caixa de transmissão, o momento reativo de
frenagem não contribui com estas forças horizontais.
Vale salientar que as forças que atuam nos pivos da suspensão ilustrada são horizontais.
Isto porque, implicitamente, está sendo considerada a hipótese que os braços da suspensão
tenham apenas movimento vertical, ou seja, a suspensão é plana. Caso a suspensão seja
espacial, a força resultante que atua nos pivos das balanças é normal aos seus planos de
deslocamento. Do equiíbrio de forças na direção horizontal, do modelo diagramático mostrado
na Figura 4.4, pode-se escrever:
 −  +
 
=0
2
(4.74)
Do equilíbrio de forças na direção vertical

2
Do equilíbrio estático de momentos em relação ao eixo da roda, tem-se:
 =
(4.75)
(  +  )
 = 0
(4.76)
2
Resolvendo o sistema de equações, as forças que agem nos pivos superior e inferior são:
  +   −   −
 =

2
1
[  + (  +  ) ( − )]
2 ( + )
1
 =
[  + (  +  ) ( + )]
2 ( + )
Para o caso de frenagem do veículo carregado, se tem:
 =
 =
12955 64
= 6478 
2
(4.77)
(4.78)
(4.79)
(4.80)
Capítulo 4 - Mecânica da frenagem e freios
119
 =
1
[14395 16 12 + (12955 64 + 14395 16 0 011) (320 − 30)] = 30583 
2 (35 + 30)
 =
1
[14395 16 12 + (12955 64 + 14395 16 0 011) (320 + 35)] = 37140 
2 (35 + 30)
Algumas conclusões Com o desenvolvimento apresentado, tem-se uma importante pergunta que deve ser respondida: qual destes índices de transferência de carga é a melhor opção
para ser implementado em um automóvel?
Para responder a esta questão é interessante fazer, calçadas em conhecimentos práticos,
as seguintes considerações.
• Quando no travamento das rodas traseiras, ocorre uma condição de instabilidade que
causa a perda completa do controle do veículo, já que o mesmo tende a girar em torno
do eixo dianteiro.
• Quando ocorre o travamento do rodado dianteiro, o veículo perde a capacidade de
mudar de trajetória, ou seja se desloca em uma trajetória reta estável (não tende a
girar) com as rodas dianteiras travadas.
• Quando o rodado dianteiro e traseiro travam simultaneamente, ocorre uma condição
que é razoavelmente estável, e o veículo se desloca em uma trajetória reta. Porém, se
o veículo está se deslocando em uma superfície em que as rodas de um dos lados estão
sujeitas a um coeficiente de atrito mais elevado que no outro, o veículo fará uma curva
para o lado que apresentar maior atrito, o que o desequilibra durante a frenagem.
A conclusão que obtém a partir dessas considerações, se for preciso travar um par de
rodas, é que sejam as do eixo dianteiro. Isto porque é a situação em que uma trajetória
linear estável durante a frenagem fica garantida. Como solução de compromisso, é bastante
usada a distribuição de 60 % de carga para o eixo dianteiro e 40% para o eixo traseiro para
veículos de passeio. Para carros de corrida ou esportivos, a razão de 65/35 pode ser usada.
Em situações especiais, onde a posição do centro de gravidade muda bastante, como acontece
em pick-ups e outros veículos de carga, outros coeficientes de transferência de carga, bastante
dispares das listadas acima, são adotadas para o veículo descarregado, tais como 100/0.
O ideal seria que a razão de transferência de carga fosse variável com a desaceleração do
veículo, assim garantindo o máximo desempenho do veículo para quaisquer situações de frenagem. Com o uso extensivo da eletrônica embarcada nos automóveis fabricados atualmente,
o desempenho ótimo dos freios nas mais diversas situações de aceleração (ou coeficiente de
atrito pneu-pista) pode ser alcançado.
Outra conclusão importante que pode ser obtida dos exemplos apresentados, é que um
sistema de freios desenvolvido especialmente para um veículo que opere em terreno com baixo
coeficiente de atrito, como por exemplo terra e gelo, terá desempenho sofrível em pista onde o
coeficiente de atrito for elevado, tal como pista asfaltada ou de concreto. Nestas pistas o freio
traseiro irá travar e a transferência de carga do eixo traseiro para o dianteiro não ocorrerá,
aumentando significativamente a distância necessária para a imobilização do veículo, bem
Capítulo 4 - Mecânica da frenagem e freios
120
como a frenagem será instável, pois o veículo tende a girar em torno do eixo dianteiro. Caso
o veículo tenha o seu sistema de freios desenvolvidos para operar em pista de alto coeficiente
de atrito, tal como asfalto ou concreto, a frenagem em pista com baixo coeficiente de atrito
também será de baixo desempenho, porém será estável, pois o eixo traseiro não trava antes
do dianteiro. Todas essas considerações apresentadas são válidas desde que que válvulas
limitadoras de frenagem não sejam usadas.
Capítulo 5
Balanço de potências
5.1
Introdução
Nos capítulos precedentes estudaram-se as diversas resistências que se opõem ao movimento do veículo, as quais consomem potência para que o movimento se mantenha, bem
como o desempenho do veículo em função da sua capacidade de transferir força para o solo,
independentemente da potência instalada. No presente capítulo, é apresentada uma modelagem que permite que seja feita a análise do desempenho de um veículo em termos da
diferença entre a demanda e a disponibilidade da potência instalada. Esse modelo, apesar
de não considerar alguns efeitos tais como as forças de sustentação, é uma excelente ferramenta quando o interesse é avaliar a capacidade de aceleração, de subida de aclives e na
determinação de relações de transmissão da primeira e da última marcha .
Na Figura 5.1, estão representadas as forças atuantes em um veículo, juntamente com
as resistências ao movimento, quando o mesmo se desloca. Em uma carroceria com boa
aerodinâmica é possível considerar a força de sustentação nula e não incluí-la nesta análise.
Assim o peso, agindo no centro da gravidade, é equilibrado pelas reações dos eixos dianteiro
e traseiro.
Para o veículo se deslocando no plano e com velocidade constante, as forças resistentes
ao movimento se reduzem apenas à resistência aerodinâmica e a de rolamento. Essas forças
devem ser equilibradas pela força motriz, proveniente da potência gerada pelo motor, de
forma que o movimento se mantenha. Se o motor estiver com a admissão parcialmente
aberta, ou seja, gerando só uma parcela da potência do que pode fornecer, o veículo se
desloca com velocidade constante. Se, no entanto, a admissão de ar for variada, a força
motriz também terá variação e o equilíbrio estático será rompido. A parcela de variação
da força motriz vai acelerar o veículo e, ao se considerar a resistência de inércia, tem-se o
equilíbrio dinâmico estabelecido. O resultado dessa análise indica se o veículo irá variar de
velocidade para mais ou para menos, o que é muito importante na análise do desempenho de
qualquer veículo em relação a sua potência instalada ou, se no caso de um anteprojeto, qual
o possível desempenho do futuro veículo para uma dada escolha do gerador de potência.
No caso do veículo ter que vencer um aclive, para que a velocidade se mantenha constante,
é necessário aumentar a oferta de potência do motor através do aumento da abertura da
borboleta do carburador. Este acréscimo de potência se for superior ao necessário para que
121
122
Capítulo 5 - Balanço de potências
Figura 5.1: Forças atuantes em um veículo.
a velocidade se mantenha constante, será gasta para acelerar o veículo.
Para que se faça este tipo de análise é necessário conhecer como a potência e o torque do
motor se distribuem nas mais diversas situações de carga e admissão de ar e é o que se fará
nos itens que seguem.
5.2
Potência gerada no motor
Conforme visto, a potência efetiva na saída do motor é a que interessa para o estudo do
desempenho do veículo, já que esta é a que vai ser transmitida às rodas motrizes. A principal
informação que interessa é a curva de potência ou a curva de torque do motor. A relação
entre estas grandezas é dada por:
 =  
(5.1)
sendo:
 = potência [ ];
 = velocidade angular [];
 = momento torçor [].
Porém, normalmente, a rotação é dada em rotações por minuto [], sendo a relação
dessa e a velocidade angular  do motor dada por:

(5.2)
30
A potência declarada do motor, dada pelo fabricante, seguem normas tais como a ABNT,
a SAE, a DIN etc.
=
5.3
Velocidade do veículo em função da rotação do motor
Os pneus, devido a sua flexibilidade e ao mecanismo de aderência, escorregam em relação
ao solo quando na transmissão de força para a pista. Esse efeito é definido como segue:
123
Capítulo 5 - Balanço de potências
• Na tração
=
 − 

(5.3)
=
 − 

(5.4)
• Na frenagem
sendo:
 - escorregamento;
 - velocidade de translação do veículo;
 - velocidade tangencial da roda.
Para que se possa chegar a uma relação entre a velocidade de translação do veículo e a
rotação do motor, considerando o escorregamento dos pneus, é desenvolvida a modelagem
mostrada a seguir.
A relação entre a velocidade angular e a tangencial de uma roda não motriz é dada por:
 =  
(5.5)
sendo:
 - velocidade de tangencial do pneu [];
 - raio dinâmico do pneu [];
  - velocidade angular da roda [].
A relação entre a frequência angular (em rotações por minuto  []) e a velocidade
angular da roda é dada por:
 
(5.6)
30
Lembrando que a rotação da roda,  , é proporcional a do motor,  , através de
 =
 =


 
(5.7)
pode-se escrever que a velocidade () teórica do veículo ou tangencial do pneu, em função
da rotação do motor, é dada por
 = 0 1047   (  )
sendo:
 - velocidade tangencial do pneu;
 - raio dinâmico do pneu;
0 1047 = 30 - uma constante;
 - rotações do motor em ;
 - relação de transmissão da caixa de marchas na -ésima marcha;
 - relação de transmissão do diferencial.
(5.8)
124
Capítulo 5 - Balanço de potências
Solo rígido
Solo macio
e [%]
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0
4
8
12
16
20
Fm [kN]
Figura 5.2: Variação do escorregamento, em função da forca motriz, para um pneu em dois
tipos diferentes de solo.
Essa expressão, para dar a resposta em quilômetros por hora, é reescrita como:
¡
¢
 = 0 377     
(5.9)
A partir da definição do escorregamento "” na tração, que relaciona a velocidade real
com a velocidade teórica do veículo, pode-se determinar a velocidade real do veículo, em
termos da velocidade teórica, da forma que segue:
 =

(1 − )
(5.10)
sendo que, na tração, para os casos limites se tem:
 =  - Não há escorregamento relativo;
 = 0 - O veículo não avança, há escorregamento total da roda.
Considerando o escorregamento da roda na tração, a velocidade real é dada por:
 = 0 1047 (1 − ) 

 
(5.11)
 = 0 377 (1 − ) 

 
(5.12)
ou
para a velocidades em [] e em [], respectivamente.
O coeficiente de escorregamento ""pode apresentar valores em uma faixa bastante ampla,
como visto na Figura 5.2. No caso de solos rígidos (asfalto, concreto), com o veículo em
marcha normal, o escorregamento dificilmente ultrapassa 5%, sendo 2% um valor típico.
Já no caso de solo macio, o escorregamento atinge valores apreciáveis e depende, de uma
maneira bastante sensível, da força de tração.
Devido ao efeito de escorregamento ocorre uma perda de potência no contato do pneu
com o solo, diminuindo, desse modo, a potência que o veículo efetivamente pode dispor. A
maneira de calcular esta potência perdida será vista no que segue.
125
Capítulo 5 - Balanço de potências
vt

v
vt

v
rd
Fm
-a-
Fm
-b-
Figura 5.3: Balanço de potências na região de contato pneu/pista.
No par pneu/pista, mostrado na Figura 5.3, a transmissão de força se faz pelo atrito.
Pelo princípio da ação e reação, a força que age no solo é igual a força que age no pneu,
Figura 5.3 -b-. Como as forças no pneu e no solo são iguais e a velocidade tangencial de um
ponto da periferia do pneu é diferente da velocidade de translação do veículo, as potências
calculadas nos pontos do contato do pneu com o solo serão diferentes, por conta da diferença
de velocidades.
No cubo, a potência é calculada por:
 =  
(5.13)
 =  
(5.14)
No solo, a potência é calculada por:
que, lembrando da relação dada por 5.10, pode ser reescrita como:
 =  (1 − ) 
(5.15)
Nessa última equação, o efeito de escorregamento pode ser pensado como análogo ao de um
rendimento na transmissão de força para o solo que vale (1 − ).
A perda de potência no contato pneu-pista é dada pela diferença entre a potência no
cubro e a no solo, como segue:
∆ =   −   = ( −  ) 
(5.16)
ou, multiplicando a equação 5.16 por   e lembrando da definição de escorregamento,
equação 5.3, por:
(5.17)
∆ =  
Esse equacionamento mostra a importância do controle de tração em veículos super esportivos, tratores e caminhões tratores na economia de combustível, já que a perda de
potência na transmissão de força entre o par pneu e pista é diretamente proporcional ao
escorregamento.
126
Capítulo 5 - Balanço de potências
Influência da elasticidade no raio do pneu
É conveniente salientar que devido a elasticidade, do pneu, o diâmetro da roda varia em
função da velocidade pelo efeito da forca centrífuga. Desta forma é conveniente definir raio
estático e raio dinâmico dos pneus.
• Raio estático -  : é definido como a distância do centro da roda ao plano de contato
do pneu com a pista, para a condição de carga máxima admissível e veículo parado.
• Raio dinâmico -  : é definido a partir da distância percorrida em um giro do pneu, na
condição de carga máxima admissível, com a velocidade padrão de 60 .
Para uma primeira aproximação pode-se usar, para valores do raio estático e raio dinâmico
de pneus de automóveis, as seguintes relações empíricas:
 = 0 47 
(5.18)
 = 1 02 
(5.19)
sendo:
 − raio dinâmico;
 − raio estático;
− diâmetro externo do pneu.
5.4
Potência consumida pelas resistências ao movimento
A potência do motor, disponível na embreagem, é utilizada para vencer as resistências
ao movimento. Essas resistências podem ser resumidas como:
• Resistência Mecânica  =  (1 −  ) ;
• Resistência Aerodinâmica  =   ;
• Resistência de Aclive  =   ;
• Resistência de Rolamento  =    ;
• Resistência de Inércia  =   (1 + )
A resistência total ao avanço do veículo é definida como a soma de todas as resistências
ao movimento excluída a mecânica, ou seja,
 =  +  +  + 
(5.20)
Como o veículo está se movendo, a cada uma dessas resistências vai corresponder uma
certa potência. De maneira genérica isso pode ser expressado por:
127
Capítulo 5 - Balanço de potências
 =  
(5.21)
sendo:
 − potência da i-ésima resistência [ ];
 − i-ésima resistência [];
− velocidade [].
Devido ao efeito do escorregamento, que dissipa potência, deve ser usado a velocidade
teórica e não a velocidade real do veículo no o cálculo da potência consumida, ou seja
 =   =
 

1−
(5.22)
É importante salientar que, para o cálculo da resistência aerodinâmica, a pressão dinâmica
é calculada usando a velocidade real do veículo.
Com isso definido, a partir da equação 5.20 de equilíbrio de forças, é possível escrever a
equação de consumo de potência como segue:
 =  +  +  +  
(5.23)
sendo  a potência que deve ser entregue no cubo da roda para manter o movimento do
veículo.
Como pode ser observado no desenvolvimento apresentado, as potências são função da
velocidade do veículo e, quando plotadas em função da velocidade de deslocamento, têm a
forma 2 apresentada na Figura 5.4.
A curva de potência máxima, no cubo, é obtida da curva de potência efetiva do motor,
usando o rendimento mecânico e as relações de transmissão da caixa e do diferencial. Na
Figura 5.4 a curva 1 representa a curva de potência máxima do motor no cubo da roda,
enquanto que as curvas 3 e 4 representam a potência do motor com 75 e 50% da injeção
aberta. Para os diversos níveis de abertura borboleta da injeção se têm velocidades diferentes
de equilíbrio, como por exemplo as interseções das curvas 1, 3 e 4 com a curva 2. O ponto
da interseção representa a condição de equilíbrio para velocidade constante.
Para o veículo à velocidade constante, no plano, a potência gasta para o movimento ser
mantido é dada por:
 =  + 
(5.24)
que na Figura 5.4, corresponde ao ponto de interseção da curva 1 ou das curvas 3 e 4 com a
curva 2, pois o veículo não esta gastando potência (velocidade constante) para acelerar ou
para vencer um aclive (se desloca no plano).
A potência líquida é a potência de reserva que o veículo ainda dispõe, sendo função da
velocidade. Essa potência líquida pode ser empregada tanto para acelerar o veículo, como
para vencer um aclive. A mesma é calculada simplesmente subtraindo da potência máxima
do cubo a potência de rolamento e aerodinâmica, para uma dada velocidade, como segue
 =  − ( +  )
(5.25)
128
Capítulo 5 - Balanço de potências
pe[kW]
Qa + Q r
100%
1
3
4
Potência
líquida
75%
50%
2
Potência
consumida
vmáx
v [m/s]
Figura 5.4: Potência consumida e potência disponível.
Como pode ser observado na Figura 5.4, a máxima velocidade do veículo é o ponto de
intercessão das curvas de potência máxima disponível com a de consumo de potência, ou seja,
quando a potência líquida é zero. Abaixo dessa velocidade há uma reserva de potência, que
pode ser utilizada para acelerações ou vencer aclives ao longo do percurso de deslocamento
do veículo.
Capítulo 6
Diagramas de desempenho
6.1
Introdução
A potência gerada pelo motor do veículo é absorvida, em cada instante, pelas diferentes
fontes de consumo de potência. Com o veículo se movendo com velocidade constante, no
plano, apenas uma parcela da potência que o motor pode desenvolver é absorvida, já que
o mesmo opera sob carga parcial, desde que não trafegue com velocidade máxima. Assim,
existe uma reserva de potência que pode ser aproveitada para vencer aclives, acelerar o
veículo ou rebocar uma carga, dependendo da velocidade.
O diagrama de potência líquida no cubo, que usa a modelagem a desenvolvido nesse
capítulo, permite uma visão das possibilidades de uso da potência do motor, indicando a
reserva de potência em termos da velocidade de deslocamento do veículo.
Existem outros tipos de diagramas de desempenho, porém, neste texto, será desenvolvido
apenas o de potência líquida no plano. Os demais são semelhantes ao desenvolvido aqui e o
uso é equivalente.
6.2
Diagrama de potência líquida no cubo
O diagrama de potência líquida representa a potência ainda disponível, descontadas as
potências resistentes que ocorrem com o veículo se deslocando no plano. A potência líquida
é obtida descontando da potência que chega ao cubo da roda as potências devido ao atrito
de rolamento e à resistência aerodinâmica, ou seja:
 =  − ( +  )
(6.1)
sendo que a potência no cubo já considera as perdas mecânicas. Sendo  a potência efetiva
na saída do motor, a potência no cubo da roda é:
 =  
(6.2)
As demais potências podem ser calculadas usando a velocidade teórica do veículo, como
se mostrou no Capítulo 5, da maneira que segue:
129
130
Capítulo 6 - Diagramas de desempenho
Pa + Pr
pc [kW]
1a
2a
3a
5a
4a
4a
PL
5a
PL
v
v máx
v [m/s]
Figura 6.1: Diagrama de potência no cubo.
 =  
(6.3)
ou
 
(6.4)
(1 − )
Conhecidas as relações de transmissão de cada marcha da caixa de câmbio e do diferencial, pode-se traçar as curvas das potências no cubo da roda em função da velocidade
de deslocamento do veículo. Incluindo as curvas de potências necessárias para vencer as
resistências de rolamento,  , e do ar,  , o diagrama resultante é mostrado na Figura 6.1.
De um diagrama de potência líquida como mostrado na Figura 6.1, podem ser obtidas várias
informações, tais como:
 =
• Número de marchas, no caso cinco;
• Velocidade máxima;
• Recobrimento das marchas;
• Aclives e acelerações para cada velocidade etc.
Descontando-se dos valores da potência no cubo os valores correspondentes as parcelas de
potência necessária para vencer as resistências de rolamento e do ar, para cada velocidade,
obtém-se o diagrama de potência líquida no cubo. Esse diagrama é apresentado na Figura
6.2.
Uma vez obtido o diagrama é possível avaliar o comportamento do veículo em termos de
seu desempenho, pois a potência líquida pode ser usada justamente para acelerar o veículo,
131
Capítulo 6 - Diagramas de desempenho
pL [kW]
1a
p
Ponto de vL
r máx
C
pL máx
pLA
pL B
A
B
2a
3a
4a
5a
máx

vB vC vA
vmáx v [m/s]
Figura 6.2: Diagrama de potência líquída.
fazer com que ele suba um aclive ou então tracionar uma carga adicional tal como um trailer
ou carreta. O fluxograma mostrado na Figura 6.3 ilustra o procedimento de obtenção do
diagrama de potência líquida no cubo de um veículo.
A seguir é apresentado uma maneira de avaliar o desempenho do veículo, em função da
potência líquida, em acelerações e em aclives. Além disto será apresentada uma maneira de
selecionar as relações de transmissão da primeira e da última marcha do câmbio.
6.3
Possibilidade de vencer aclives
Considerando que toda a potência líquida seja utilizada pelo veículo para vencer um
aclive, é possível se obter o valor do aclive máximo, que o veículo é capaz de subir, da forma
que segue:
 = 
(6.5)
e como a potência de aclive, dada genéricamente pela equação 5.21, vale
 =  
(6.6)
a força para vencer um aclive que o motor coloca a disposição do veículo, em cada marcha,
é então:


(6.7)

Por outro lado a resistência de aclive, em função do ângulo da rampa a ser vencida, é
dada por:
 =
132
Capítulo 6 - Diagramas de desempenho
nm
ic
id
ro

Cx , A
q = 1/2  v 2
Qa = q Cx A
e
v t = nm rd /(30 ic id )
Pa = Q a v t
G
v = v t (1 - e)
f
m
Qr = f G
Pr = Q r v t
v
Pe
Pc = Pe  m
PL = Pc - Pr - Pa
nm
Figura 6.3: Fluxograma de obtenção do diagrama de potência líquida.
 =   
Igualando as equações 6.7 e 6.8, tem-se o aclive que o veículo pode vencer
µ ¶
 1

  =
 
(6.8)
(6.9)
Da definição da velocidade tangencial da roda em função da velocidade de translação do
veículo, repetida a seguir:

1−
permite que a equação 6.9 possa ser reescrita como:
µ ¶
 (1 − )

  =


 =
(6.10)
(6.11)
Observando o ponto  sobre a curva da segunda marcha mostrado na Figura 6.2, tem-se
que a   nada mais é do que a tangente do ângulo , ou seja:
  =


(6.12)
Com isso definido, a equação 6.11 pode ser reescrita como:
  =  
(1 − )


A partir dessa equação, considerando que não há variação do escorregamento e do peso,
concluí-se que quanto maior o ângulo  maior o ângulo . Sendo assim, aclive não ocorre no
ponto de máxima potência líquida, mas sim no ponto de máxima força líquida, pois o que
133
Capítulo 6 - Diagramas de desempenho
interessa é a força disponível para vencer a resistência ao aclive. Isso pode ser facilmente
visualizado na Figura 6.2, onde o ponto  é o de maior aclive possível e não o ponto , para
o veículo na segunda marcha. Se fosse usado  máximo, ponto , então a relação  
seria menor que a anterior, ou seja, menor aclive, embora a velocidade  com que este possa
ser vencido, seja superior a do aclive máximo  . O ponto de aclive máximo ocorre para o
ponto de torque máximo do motor, como era de se esperar, somente para a primeira marcha.
Para as demais marchas isso não ocorre.
6.4
Possibilidade de aceleração
Considerando que toda a potência líquida,  , seja usada para acelerar a massa do
veículo se pode calcular a aceleração para cada velocidade que o veículo se desloca. Para
isso, considera-se que toda a potência líquida seja usada para acelerar o veículo, ou seja
 =   
(6.13)
Com isso, consegue-se desenvolver um equacionamento que permite relacionar a aceleração
com a potência colocada a disposição do veículo pelo seu motor.
A resistência de inércia, vista no Capítulo 2, em função das características do veículo é
dada por:
 =   (1 + )
Igualando as expressões 6.13 e 6.14, pode-se escrever que:
µ ¶

(1 − )
=

  (1 + )
(6.14)
(6.15)
Essa expressão permite calcular a aceleração do veículo para qualquer velocidade. Como no
de aclive máximo a máxima aceleração ocorre para a relação ( ) máxima e na marcha
mais curta.
6.5
Tempo para mudar a velocidade
Tendo sido determinada a curva de potência do motor, bem como a maneira de calcular a
aceleração máxima para cada velocidade do veículo, é possível fazer a determinação do tempo
gasto para variar a velocidade do veículo de  para 1 . Para isso parte-se da definição da
aceleração:

=
(6.16)

Comparando as equações (6.15) e (6.16), pode-se escrever:
µ
¶
 ()
(1 − )

=
(6.17)


 (1 + )
134
Capítulo 6 - Diagramas de desempenho
sendo que  ( ) é uma função contínua de  para cada marcha da caixa de transmissão.
Vale salientar que , a inércia de translação equivalente a de rotação, também é função de
cada relação de velocidades da transmissão. Essas grandezas podem ser estimadas, para
automóveis e caminhões, com a expressão (2.23), porém o ideal é conhecer as inércias de
todas as massas girantes que variam sua rotação com a variação da velocidade do veículo.
Com as devidas manipulações, a solução da equação diferencial anterior é dada genericamente por:
Z1

X

(1 + )
 +
 + 
(6.18)
=
(1 − )
 ()
=1

sendo:
 - a velocidade no tempo  ;
 - o tempo associado à velocidade  , normalmente tomado igual a zero;
1 - a velocidade no tempo ;
 - o tempo que o veículo leva para alcançar a velocidade 1 ;
 - o tempo gasto para cada troca de marchas;
 - o número de troca de marchas efetuadas entre as velocidades  e 1 .
A integral acima pode ser substituída por uma integração aproximada, já que em determinadas situações podem haver problemas com a integração exata da equação (6.18). Sendo
assim, pode-se escrever o que segue:
X
(1 + ) X 

∆ +
=
(1 − ) =1  ( )
=1


(6.19)
sendo  o número de incrementos de velocidade no intervalo entre  e 1 .
Como a inércia de translação equivalente a de rotação,  é função da relação de transmissão, a integral acima deve ser quebrada em partes associadas aos intervalos de velocidades
desenvolvidas em cada marcha, ou seja:
=
+1

X
(1 +   ) X
=1
(1 −  )
=1
X

∆ +

 ( )
=1

(6.20)
sendo:
 - o escorregamento dos pneus que ocorre na -ésima marcha da caixa;
  - a inércia de translação equivalente a de rotação para a -ésima marcha da caixa;
 - a curva de potência no cubo da roda para a -ésima marcha;
 - o número de incrementos de velocidade para cada marcha do veículo.
Na Figura 6.4 estão mostradas algumas das grandezas que aparecem na equação acima
discretizada.
135
Capítulo 6 - Diagramas de desempenho
FL [N]
1A
2a
3a
v
4a
v
5a
vo
v1
v máx v [m/s]
Figura 6.4: Elementos da discretização do cálculo do tempo de mudança de velocidade.
6.6
Critérios para obtenção das relações de transmissão
As relações de transmissão de um veículo têm importância fundamental sobre o desempenho desse. Em automóveis a relação na marcha mais alta é, normalmente, escolhida
fazendo com que o veículo venha a atingir a máxima rotação do motor. Desse modo é possível definir a relação de transmissão do diferencial supondo que na marcha mais alta ocorra
uma redução igual a 1 ou da ordem de 0 9, se houver subremultiplicação. O resultado dessa
análise é o produto da relação da -ésima relação de transmissão da caixa de marchas 
( = 01 2   , sendo  o número de marchas a frente da caixa de marchas) pela relação
de transmissão do diferencial  .
Vale a pena salientar que a relação total da transmissão é o produto de todas as relações
de transmissão entre o motor e as rodas, contando as da caixa de marchas, do diferencial,
das caixas de redução e dos redutores de roda (estas últimas duas reduções normalmente
só existem em veículos de grande capacidade de tração, tais como tratores, veículos fora
de estrada e cavalos trator). Na equação 6.21 é mostrado como se obtém a relação de
transmissão total de um sistema composta de três redutores em série, no caso a caixa de
transmissão, o diferencial e um redutor de roda, todos eles com mais de uma relação de
transmissão possível.
(6.21)
  =   
sendo:
  -a relação de transmissão final;
 - a relação de transmissão da -ésima marcha da caixa;
 - a relação de transmissão do -ésimo par de engrenagens do diferencial;
 - a relação de transmissão do -ésimo par de engrenagens do redutor de roda.
Capítulo 6 - Diagramas de desempenho
136
Para a redução da primeira marcha é importante a força máxima que se espera que o
veículo deva desenvolver. Isso pode ser feito especificando o aclive máximo que o veículo
deve subir (entre 22 e 25%) ou a capacidade máxima de tração. Assim, é obtido o produto
1  e, como o  já deve ter sido escolhido em função da velocidade máxima, a relação de
transmissão da primeira marcha, 1 , é obtida. Como a velocidade é baixa nessa situação,
é usual desprezar a resistência aerodinâmica já que a sua intensidade é muito pequena e,
consequentemente, o torque máximo do motor e respectiva rotação podem ser usados como
referência na determinação da relação de transmissão da primeira marcha.
Para o escalonamento das marchas intermediárias existem vários critérios que podem ser
utilizados para a determinação das relações de transmissão, podendo ser citados:
• Máximo desempenho em aceleração;
• Menor consumo;
• Mínima emissão de poluentes;
• Escalonamento geométrico;
• Experiência, etc.
As duas últimas filosofias têm perdido espaço no projeto dos veículos atuais. As três
primeiras filosofias só podem ser alcançadas com o perfeito conhecimento das curvas características do motor, tais como:
• Superfície da distribuição da potência ou torque;
• Superfície da distribuição de consumo específico;
• Superfícies de distribuição de emissão de cada tipo de poluente gerado na combustão.
A partir dessas superfícies são traçadas as estratégias para para maximisar ou minimizar
a grandeza desejada, tais como máxima aceleração ou mínimo consumo de combustível etc.
Normalmente as estratégias traçadas para a determinação das relações de transmissão,
para otimizar uma determinada característica do desempenho do veículo, são conflitantes.
Para os veículos com câmbios mecânicos, onde as relações de transmissão são fixas, é impossível satisfazer mais do que uma das filosofias, em função da pouca flexibilidade que este
sistema de propicia. Para exemplificar o esforço para compatibilizar estas filosofias conflitantes nos carros, basta observar como é determinada a relação de transmissão da quinta
marcha da grande maioria dos veículo produzidos no Brasil, onde as quatro primeiras marchas tem um escalonamento visando o desempenho e a quinta o ruído ou mínimo consumo
para velocidades em torno de 110 o que gera um "buraco"muito grande no escalonamento entre a quarta e quinta marchas.
Nos veículos com câmbios automáticos é comum que se tenha mais do que uma filosofia
de desempenho implementada, tal como: economia e maior aceleração. Porém, em função
Capítulo 6 - Diagramas de desempenho
137
do escalonamento não ser contínuo, essas duas filiosofias não podem ser exploradas na sua
potencialidade total, já que não se consegue o ótimo para quaisquer velocidades do veículo.
Com a disseminação da eletrônica embarcada na indústria automobilística, hoje em dia
já é possível que os de sistemas de comando de um automóvel, tais como acelerador, câmbio,
freios, etc., sejam feitos através de programas (softwares). Isso permite que a influência do
operador no controle da máquina seja reduzida e, na maioria das vezes, corrigida. Essa tecnologia somada com o advento dos câmbios com variação contínua de relação de transmissão
(tal como os CVTs) tornou possível a implementação de todas as filosofias anteriormente
listadas. Vale salientar que apenas uma das filosofias poderá ser selecionada pelo operador
em função das condições de uso do veículo naquele instante, já que são conflitantes na sua
maioria.
Exemplo Obter o diagrama  ×  para o veículo com as seguintes características de
transmissão e motor:
Motor:
180  DIN a 5800 
Câmbio:
1 = 2 909;
2 = 1 9776;
3 = 1 471;
4 = 1 0
Diferencial
 = 3 091
Rendimento da transmissão
 = 0 90
Dados dos pneus
 = 0 32 ;
 = 0 02;
 = 0 015 (pneu radial têxtil).
Carroceria:
 = 2 0 ;
 = 0 42
Peso do veículo
 = 16503 
A curva de potência, do motor, é dada na Tabela 6.1.
Com estes dados podem ser calculadas as seguintes grandezas.
Velocidade real
138
Capítulo 6 - Diagramas de desempenho
Tabela 6.1:
 [] 1500 2000 2500
 []
7,56 45,0 78,2
 [ ] 5,56 33,1 57,5
 [ ] 5,0 29,8 51,8
Potência versus
3000 3500
106,7 130,5
78,5
96,0
70,7
86,4
rotação
4000
149,7
110,1
99,1
do motor.
4500 5000
164,2 174,0
120,8 128,0
108,7 115,2
5500
179,2
131.8
118.6
6000
179,6
132.1
118.9



(6.22)
 = 0 51266 2 
(6.23)
 = 247 [] 
(6.24)
 =  − 
(6.25)
 = 0 01062
Resistência aerodinâmica
A resistência de rolamento
Potência líquida é calculada por
sendo  e  as potências perdida e no cubo, respectivamente. A potência no cubo é dada
por:
 =  
(6.26)
 = ( +  ) 
(6.27)
A potência perdida que é dada por
para esse problema, é:
 = (0 51266 2 + 247)
ou

(1 − )
³
´

¶2
µ
0
01062


+ 247)
 = (0 51266 0 01062

(1 − )
(6.28)
(6.29)
A seguir é feita uma análise do desempenho do veículo.
Do diagrama de potência no cubo, mostrado na Figura 6.5, observa-se que a intersecção
entre a curva de potência no cubo e a gasta ocorre para uma velocidade de 58,14 m/s, que é
a velocidade máxima do veículo. Chega-se a mesma conclusão observando a Figura 6.6, no
ponto onde a potência liquída na última marcha é zero.
Na Figura 6.7 é mostrado o diagrama de força líquida no cubo, obtido a partir do diagrama
de potência líquida. Esta força pode ser usada pelo veículo para acelerar, vencer um aclive
ou então rebocar uma carga. Neste diagrama, que mostra a força líquida em cada marcha,
é importante observar que a força líquida máxima não ocorre no ponto de potência líquida
139
Capítulo 6 - Diagramas de desempenho
P[W]
Vmáx =58,14
v[m/s]
Figura 6.5: Potência no cubo e potência consumida
P[W]
Vmáx =58,14
v[m/s]
Figura 6.6: Diagrama de potência líquida no cubo.
Capítulo 6 - Diagramas de desempenho
140
Figura 6.7: Diagrama de força líquida no cubo.
Tabela 6.2: Relações de rotações de torque máximo do motor e de força máxima na roda.
Grandeza 1  marcha 2  marcha 3  marcha 4  marcha
 
3798
3798
3798
3798
 
3735 5
3613 9
3409 4
2954 6
 [%]
1 65
4 85
10 23
22 21
máxima, nem na velocidade de torque máximo do motor. Este aspecto foi frisado nos itens
6.4 e 6.3 deste capítulo.
Para quantificar a diferença da rotação de força máxima na roda em relação à de força
(torque) máxima do motor é mostrado na Tabela 6.2 a relação entre a rotação de torque
máximo do motor e a de força máxima na roda. Esta relação é calculada por:
¶
µ
  −  
100
(6.30)
 =
 
onde:
  - Rotação de torque máxima do motor;
  - Rotação no motor de força máxima na roda para a i’ésima marcha.
O aspecto interessante do mostrado na Tabela 6.2, é que a velocidade associada a rotação
de força máxima na roda é sempre menor do a associada a rotação de torque máximo do
motor.
Segundo o equacionamento desenvolvido no item 6.5, equação 6.20, este veículo para
passar de 20 km/h até a sua velocidade máxima, cerca de 209 km/h, considerando que para
cada passagem de marcha se levou 0  2 s, gasta cerca de 60  8 s. Para acelerar de 20 km/h
até 100 km/h, a estimativa é de 12  5 s.
As acelerações desenvolvidas pelo veículo, calculadas pela equação 6.20, são mostradas
na Figura 6.8. Na Figura 6.9, estão mostradas as acelerações máximas possíveis de serem
desenvolvidas em cada velocidade de deslocamento do veículo. Como era de se esperar, a
141
Capítulo 6 - Diagramas de desempenho
a [m/s2]
10
20
30
40
50
60
v [m/s]
Figura 6.8: Acelerações desenvolvidas para variar a velocidade de 5,6 m/s para 58,1 m/s.
a [m/s2]
10
20
30
40
50
60
v [m/s]
Figura 6.9: Diagrama de acelerações para todas as marchas.
aceleração máxima do veículo ocorre na primeira marcha, enquanto que a aceleração é nula
na última marcha exataente no ponto de velocidade máxima.
Na Tabela 6.3 está sintetizado um conjunto de outros dados do desempenho do veículo.
Capítulo 6 - Diagramas de desempenho
142
Tabela 6.3: Resumo dos resultados.
Grandeza
1 marcha
2 marcha
3 marcha
4 marcha
Força máx. - N
6308 5
4061 6
2749 7
1366 1
Vel. de força máx. - m/s
13 9
19 8
25 1
32 0
Aclive máx. - % (graus) 40 4 (22 0o ) 21 1 (11 9o ) 16 6 (9 4o )
8 1 (4 7o )
Acel. máx. - m/s2 (g)
2 58 (0 26) 1 97 (0 20) 1 44 (0 15) 0 76 (0 08)
Vel. mín. - m/s (km/h)
5 6 (20 1)
8 2 (29 6)
11 1 (39 8) 16 6 (58 5)
Vel. máx. - m/s (km/h) 22 4 (80 5) 32 9 (118 4) 44 2 (159 2) 58 1 (209 3)
Capítulo 7
Princípios de carrocerias
aerodinâmicas
7.1
Introdução
O efeito do ar se movimentando em torno de um veículo afeta de três modos distintos o
seu comportamento. Estes três modos são:
- Resistência ao movimento
- Efeitos de sustentação ou contra pressão
- Efeito de ventos laterais
A primeira preocupação dos construtores foi justamente com o problema da resistência
aerodinâmica, já que esta afeta sensivelmente a potência consumida pelo veículo. Embora
os primeiros estudos detalhados tenham sido iniciados em 1920, até o dia de hoje a maioria
dos carros possuem uma forma que leva a um desperdício de potência da ordem de 30 a
40 %. Quanto aos ventos laterais, o projeto das carrocerias dos modelos em produção quase
os desconsidera completamente. Estes fatos se devem principalmente as seguintes causas:
- Quase todo estudo aerodinâmico deve ser experimental ou numérico, com grande dispêndio de tempo e dinheiro;
- As melhores soluções em termos de aerodinâmica se adaptam mal a um projeto de
automóvel, em termos de leiaute e disponibilidade do espaço interno;
- Do desenho seguir uma evolução mais comercial do que técnica, com carroceria de
formas esteticamente boas mas de baixo rendimento aerodinâmico.
Os efeitos de forças verticais, sobre o veículo, influenciam a aderência de cada pneu e,
portanto, o comportamento direcional do veículo sob a ação de forças laterais bem como a
potência que pode ser transmitida pelas rodas e a capacidade de frenagem. Por isto a sua
análise também é muito importante no projeto de veículos de grande desempenho.
Sendo assim, se o projetista tiver acesso a informações a respeito das formas mais adequadas para o desempenho aerodinâmico de um veículo, recursos e tempo podem ser economizados na otimização aerodinâmica. Assim, o que segue é bastante adequado para estes
objetivos.
143
Capítulo 7 - Princípios de carrocerias aerodinâmicas.
144
Figura 7.1: Fuso aerodinâmico.
Figura 7.2: Efeito do solo no escoamento do ar sobre um fuso.
7.2
Formas de baixa resistência aerodinâmica
De um modo geral a forma mais aerodinâmica é a de um fuso simétrico, Figura 7.1,
apresentando um valor de  da ordem de 0 05. As primeiras experiências com carrocerias
aerodinâmicas foram, portanto, inspiradas nessas formas.
Os resultados, no entanto, não foram animadores, pois a presença do solo perturba as
linhas de fluxo aumentando a resistência para valores de cerca de 0 20. A redução da
eficiência, da forma, deve-se a proximidade do solo pois o mesmo torna o fluxo assimétrico,
como se mostra na Figura 7.2.
Os fusos apresentam bons resultados quando afastados do solo, com  crescendo quando
aproxima-se do solo, como pode-se verificar nos resultados experimentais expressados na
Figura 7.3.
Foi tentando manter a simetria imaginária do fluxo que o fuso foi cortado no meio por
um plano pois o que ocorre em um lado do fuso não influi no fluxo outro lado. Deste modo,
é possível usar um meio fuso, junto ao solo, com resultado igual ao de um fuso isolado. Essa
tentativa está representada na Figura 7.4. Esta forma é eficiente, apenas, quando o veículo
fica bem próximo ao solo. Isto habitualmente não ocorre pois existe um vão entre o fundo e
o solo, da ordem de 200 a 250 , em todos os veículos de passeio. De modo a possibilitar
este espaço a forma indicada é a intermediária entre o fuso e o semi-fuso, ou seja um fuso
assimétrico, o que permite que linhas do fluxo sigam melhor a forma da sua linha média.
A forma de fuso assimétrico apresenta um  da ordem de 0 13, não tão bom quanto
o do fuso simétrico porém satisfatório. Essa forma, mostrada na Figura 7.5, no entanto,
apresenta três inconvenientes graves:
Capítulo 7 - Princípios de carrocerias aerodinâmicas.
145
Figura 7.3: Efeito da proximidade do solo no C de um fuso.
Figura 7.4: Semi fuso, com fluxo simétrico imaginário.
- No assoalho, devido a forma do fuso, há dificuldades de: colocação das rodas, acesso à
cabina e visibilidade para traz.
- O veículo é muito comprido, dificultando o tráfego.
- A forma cria uma forte força de sustentação em altas velocidades, que reduz a carga
sobre as rodas tornando o veículo perigoso sob a ação de forças laterais.
7.3
Princípio de Jaray (Forma J)
De modo a contornar alguns destes problemas, Jaray propôs uma forma de carroceria
derivada do fuso assimétrico. Esta forma é constituída de um perfil de asa, como corpo
inferior da carroceria, com um semi-fuso sobreposto de modo a formar a cabine, Figura 7.6-a.
Esse esquema obteve sucesso, por ser prático e permitir redução da resistência aerodinâmica
a menos da metade, nos carros existentes na época. Os modelos que seguiram esta receita
foram o Citroen DS e o Porsche 911. A forma de Jaray, também denominada de forma J,
pode ser derivada a partir do fuso assimétrico, modificando a parte dianteira de modo a
melhorar a visibilidade como mostra-se na Figura 7.6-b.
Figura 7.5: Fuso assimétrico.
Capítulo 7 - Princípios de carrocerias aerodinâmicas.
146
Figura 7.6: Formas de Jaray e maneira de obté-las.
Figura 7.7: Forma de Jaray modificada.
Carrocerias com este formato apresentam a vantagem de que a camada limite se conserva
colada até o seu final, o que implica em turbulência e  baixos. No entanto, para que isto
ocorra, o comprimento do carro deve ser grande, o que é uma desvantagem. Procurou-se
contornar este problema, inerente da forma de Jaray, encurtando a parte traseira do veículo,
como mostrado na Figura 7.7.
Porém, como era de se esperar, a camada limite não se mantém colada até o final do
veículo, sofrendo separação bem antes do final, o que causa um aumento significativo da
turbulência na traseira, com isto, aumentando a resistência do ar. Porém, mesmo assim,
alguns veículos usaram esta conceituação na década de 30, como por exemplo o VW Sedan,
obtendo sucesso apreciável.
7.4
Pricípio de Kamm (Forma K)
Por volta de 1940 o professor Wunibald Kamm apresentou sua concepção, Figura 7.8-a,
que caracteriza-se por:
- A traseira do veículo cortada, apresentando uma superfície e não uma ponta ou aresta.
- A diminuição de seção para a traseira é lenta, seguindo a lei de formação de um fuso,
de forma a não causar deslocamento da camada limite até o ponto do corte.
A idéia surge do fato de que pela perda de energia das partículas de ar da camada limite
Capítulo 7 - Princípios de carrocerias aerodinâmicas.
147
Figura 7.8: Área de turbulência para as formas de Kamm e Jaray encurtada.
ocorre a sua separação, em um determinado ponto da carroceria, criando turbulência a partir
dai. Após este ponto a forma do corpo não cumpre mais a missão de dirigir o fluxo de ar e de
diminuir a resistência aerodinâmica total, assim deixa de ter utilidade podendo simplesmente
ser cortada fora.
A solução apresenta uma resistência superior à forma J original, mas com comprimento
do carro bem menor. Para as duas formas com mesmo comprimento, Figura 7.9, a forma
de Kamm possui menor coeficiente de resistência, pois a área de turbulência é sensivelmente
menor. Com esta solução consegue-se valores de  bastante favoráveis, comprimentos razoáveis e, ainda, um melhor espaço interno do veículo. Por estas razões, a forma K é referida
como sendo um ovo de Colombo.
7.5
Estudos de Lay
O professor Walter E. Lay, da Universidade de Michigan, realizou uma série de estudos
a fim de verificar a influência da parte traseira do veículo, bem como da parte dianteira,
na resistência aerodinâmica. Os resultados estão resumidos no quadro 7.1. A pesquisa se
desenvolveu, em 1933, usando um modelo desmontável onde se podia variar e combinar,
a vontade, a forma da frente e traseira do veículo. Na Figura 7.10 está representado um
esquema da maquete utilizada nos ensaios.
Analisando a tabela observa-se que a dianteira do tipo C não ajuda em nada a redução
da resistência aerodinâmica comparada com a D (ângulo do parabrisa de 45 ), o que é ótimo,
já que a C prejudica bastante a visibilidade.
Quanto à traseira a redução de  é sensível apenas para formas adequadas do para-brisa
como se pode ver, comparando o  , para as combinações F - Z e C - X da Tabela 7.1.
148
Capítulo 7 - Princípios de carrocerias aerodinâmicas.
Figura 7.9: Comparação do Cx entre as formas J e K, para diferentes comprimentos.
Figura 7.10: Modelo usado por Lay em seus estudos.
Tabela 7.1: Estudo de Lay.
Traseira
W
X
Y
F 0 35 0 35 0 32
Frente do E 0 32 0 26 0 25
modelo
D 0 30 0 23 0 21
C 0 30 0 24 0 20
Z
0 24
0 17
0 12
0 12
149
Capítulo 7 - Princípios de carrocerias aerodinâmicas.
b)
a)
PONTO DE INÍCIO DE
DESCOLAMENTO
c)
PONTO DE INÍCIO DE
DESC LAMENTO
Figura 7.11: Meios de reduzir a resistência do ar.
Através desta análise verificou a importância de combinar tanto a traseira como a dianteira, não bastando somente uma delas ter forma favorável, para que se tenha uma forma
com bom rendimento aerodinâmico.
7.6
7.6.1
Meios de diminuir a resistência do ar
Sucção da camada limite
Em carros com motor traseiro, onde o ar de refrigeração do motor é fornecido pelo
ventilador, é interessante captar o ar em zonas de alta pressão dinâmica, ou seja sugá-lo na
zona onde a camada limite tende a se separar, como se mostra na figura 7.11-a. Consegue-se,
com isto, a diminuição da resistência do ar, devido a não existência de zonas de alta pressão
dinâmica. Este artifício é usado no Porsche 911 - fabricado na Alemanha, conforme se mostra
na Figura 7.11-b.
7.6.2
Palhetas direcionais
O uso de palhetas direcionais Figura 7.11-c, em locais de variação brusca da seção
transversal da carroceria, garantem um maior contato da camada limite com a superfície
do veículo. As palhetas direcionais, colocadas em locais onde a camada limite começa a se
descolar, impedem a propagação deste descolamento para a frente do veículo, garantindo
assim uma menor área de turbulência na sua traseira, o que reduz a força de arraste.
Em carrocerias com  baixo o emprego de palhetas direcionais para redução do  é
duvidoso, já que a própria palheta possui uma resistência aerodinâmica. O efeito global,
neste caso, é melhor analisado a partir de testes em túneis de vento ou por análise numérica.
Capítulo 7 - Princípios de carrocerias aerodinâmicas.
150
Figura 7.12: Emprego de cantos auxiliares em locais de deslocamento da camada limite.
7.6.3
Cantos auxiliares
Conforme visto anteriormente, a separação da camada limite se dá devido a um gradiente
adverso de pressão que vai freiando o ar. Uma vez formada turbulência, como mostrado na
Figura 7.12-a, esta age como uma cunha podendo prolongar a zona de separação.
A utilização de cantos auxiliares, Figura 7.12-b, nas zonas críticas na forma de um prolongamento da parede externa sobre a superfície posterior impede, em parte, o fluxo contrário
formador da cunha. O seu emprego pode causar uma diminuição apreciável da resistência
do ar.
7.7
Distribuição de pressão
O estudo de como se distribui a pressão, sobre e sob a carroceria do veículo, permite uma
previsão do seu comportamento. O estudo dessa distribuição é importante tanto em problemas de resistência ao avanço, como em problemas de estabilidade do veículo. A observação
das curvas de distribuição de pressões permite ao construtor de ter idéias de como melhorar
o desempenho do seu veículo.
O veículo pouco aerodinâmico, apresenta distribuição de pressão bastante irregular, com
picos acentuados. Essas irregularidades correspondem a flutuações bastante bruscas na velocidade do fluído e, conseqüente, formação de turbulência. Esse efeito, da variação da
geometria da carroceria sobre a distribuição de pressões, pode ser visualizado na Figura
7.13.
Para veículos com características mais aerodinâmicas, tais como as formas K e J, mostradas
Capítulo 7 - Princípios de carrocerias aerodinâmicas.
151
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Figura 7.13: Distribuição de pressão resultantes em um veículo de concepção antiga.
Figura 7.14: Distribuição de pressão nas formas de Jaray e de Kamm.
nas Figuras 7.14-a e b, a distribuição de pressões é mais suave o que justifica os baixos coeficientes de resistência aerodinâmica em relação às formas de veículos mais ntigos, tais como
o mostrado na Figura 7.13.
Nas carrocerias com as formas J e K, tal como as mostradas na Figura 7.14, tem-se três
zonas de pressão positiva, uma na frente do carro, outra no para-brisa e outra no fim da
carroceria. Nas duas primeiras zonas a pressão positiva é causada pela pressão dinâmica
do ar e a na última pela desaceleração da massa de ar. As duas zonas de depressão, uma
sobre o capo e outra no teto após o para-brisa, ocorrem devido a aceleração da massa de ar
pela variação da seção da carroceria e, como pode ser observado na Figura 7.14, a curva da
distribuição de pressões varia de forma relativamente suave entre esses pontos característicos.
Quanto à forma da parte dianteira da carroceria, um maior afilamento desta é conveniente
pois reduz o gradiente de pressão e a depressão sobre o capo. A redução desta depressão
diminui tanto a resistência ao avanço como a força de sustentação que age na frente. A
variação da pressão de forma menos acentuada é conveniente, pois impede a formação de
turbulência na parte anterior do veículo, reduzindo a resistência ao avanço. No caso de uma
carroceria com a frente pouco aerodinâmica, como a da Figura 7.15-a, o grande aumento da
velocidade na parte anterior do capo dianteiro origina uma redução da pressão muito grande
e, próximo ao para-brisa, a pressão passa a positiva com condições propícias para formação
de turbulência. Uma redução deste gradiente de pressão, com a utilização de uma forma
mais adequada da frente, como por exemplo a mostrada na Figura 7.15-b, reduz formação
da turbulência e, consequentemente, melhora a penetração aerodinâmica do veículo
Capítulo 7 - Princípios de carrocerias aerodinâmicas.
152
Figura 7.15: Comparação da distribuição de pressão em dois tipos de frente.
7.8
Forças de sustentação
Todo corpo imerso em um fluído sofre a ação deste. Esta ação é a força resultante da
distribuição de pressões que o fluído exerce sobre o corpo, a qual pode ser decomposta em três
componentes, uma na direção axial , outra na direção transversal e outra na direção vertical
do veículo. A componente vertical é a que propicia a força de sustentação que, por exemplo,
faz um avião voar, enquanto que a força axial se traduz em resistência ao deslocamento e a
transversal induz mudanças na trajetória do veículo.
Nesse análise se está interessado na componente de força vertical e a sua influência na
componente axial. Para isso se lança mão da modelagem do aparecimento de forças de sustentação para os aerofólios aeronáuticos de tal forma a se ter uma ferramenta matemática
para um entendimento mais adequado desse fenômeno. Finalmente, com as ferramentas
matemáticas desenvolvidas se faz uma extrapolação do modelo para as carrocerias de automóveis.
De maneira geral um aerofólio, tal como o mostrado na Figura 7.16, fica definido basicamente por quatro fatores, dois da plataforma e dois da seção transversal, que são:
• A envergadura;
• A corda;
• A distribuição de espessura e
• A linha média.
Prandtl propoz uma teoria aproximada para avaliar a intensidade da força de sustentação
usando a linha média como característica do aerofólio. Segundo prandtl, para o caso da linha
média ser um arco de círculo tal como mostrado na Figura 7.17, o coeficiente de sustentação
é dado por:
153
Capítulo 7 - Princípios de carrocerias aerodinâmicas.
Figura 7.16: Características básicas de um aerofólio.
Figura 7.17: Geometria de um aerofólio de arco circular.
 = 2  ( + )  
(7.1)
Esta equação é uma boa aproximação para pequenos ângulos de ataque, (o ângulo de
ataque deve ser pequeno para não haver descolamento da camada limite). Assim, a força de
sustentação, na direção vertical, é dada por:
 =   
(7.2)
sendo:
  - força de sustentação vertical;
 =  - área da plataforma, grandezas mostradas na Figura 7.16;
 - ângulo de ataque, mostrado na Figura 7.17;
 - metade do ângulo de compreendido entre a corda e a tangente à raiz do aerofólio,
mostrado na Figura 7.17;
 - coeficiente de sustentação aerodinâmica;
 - pressão dinâmica.
154
Capítulo 7 - Princípios de carrocerias aerodinâmicas.
Segundo Prandtl, o coeficiente de resistência do ar pode ser decomposto em duas parcelas,
uma natural e outra induzida pelo efeito de sustentação, como indicado na seguinte relação.
 =  + 
(7.3)
Sendo:
 - Coeficiente de resistência natural, que depende apenas do perfil;
 - coeficiente de resistência induzida, que depende do ângulo de ataque do aerofólio.
Existe uma relação entre o coeficiente de resistência induzido e coeficiente de sustentação,
como a que segue:
2

onde  é a relação de aspecto ( =  para uma plataforma retangular).
A equação 7.1, para o coeficiente de sustentação  , pode ser reescrita como:
 =
 =  ( )
(7.4)
(7.5)
sendo:
 = ( + ) - é o ângulo de ataque efetivo, grandezas mostradas na Figura 7.17;
 = 2    - uma constante.
Com o estabelecimento dos conhecimentos rudimentares da teoria de sustentação de
aerofólios, numa extrapolação desses para os automóveis é possível afirmar o que segue.
A carroceria pode ser considerada como sendo um aerofólio com relação de aspecto inferior
à unidade, porque a largura é menor do que o comprimento do veículo. Assim, a carroceria
possui coeficiente de resistência aerodinâmica mínimo, equação 7.3, quando o coeficiente de
sustentação for zero, ou seja,  = 0, equação 7.5. Com  diferente de zero, seja positivo
ou negativo, surge mais a parcela da resistência induzida que, pelo pequeno valor da relação
de aspecto, pode assumir uma porcentagem considerável do valor total do  Na Figura
7.18 se mostras a variações do coeficiente de sustentação dem como do coeficiente total de
resistência aerodinâmica em função do angulo de ataque  do aerofólio.
Numa carroceria de automóvel, para se obter uma estimativa do coeficiente de sustentação
 , é necessário determinar o seu ângulo de ataque efetivo. O ângulo de ataque efetivo de um
aerofólio, tal como o mostrado na Figura 7.17, é definido pela linha de velocidade do vento e
a sua linha de sustentação nula. Para um automóvel esse ângulo é dado, aproximadamente,
pela secante à linha média da carroceria na traseira do veículo, como mostrado na Figura
7.19. A secante é definida pela união do último ponto da linha média com o ponto localizado,
sobre a linha média, a uma distância de cerca de 30 a 40 % do comprimento da carroceria,
medida a partir da traseira do carro, como experimentalmente pode ser comprovado.
Uma melhor estimativa do ângulo de sustentação nula pode ser obtida pela expressão:
  =
sendo:
=
∗
100

X
( + )
- ordenada superior da carroceria, a partir da corda, dada em % desta;
(7.6)
Capítulo 7 - Princípios de carrocerias aerodinâmicas.
155
Figura 7.18: Variação do Cx com o Cz .
∗∗
 =  100 - idem, apenas que com referência à ordenada inferior da carroceria, a partir
da corda;
 - ângulo de sustentação, em radianos;
 - constante.
O valor de ”” é obtido da Tabela 7.2. Pelos valores de ”” mostrados nessa tabela se
observa que a geometria dos últimos 20 % da carroceria é que influem de forma sensível o
valor de  .
É imporante lembrar que uma variação no ângulo de ataque pode ocorrer na aceleração
ou na frenagem, assim como num carregamento excessivo do porta-malas, o que causa um
aumento no arraste aerodinâmico.
O efeito da resistência induzida ajuda a explicar, também, porque a forma K de carroceria
possui menor  em comparação com a forma J. Na forma K o ângulo de ataque é pequeno,
dando assim um baixo valor de  e uma resistência induzida pequena. Já na forma J o
ângulo de ataque é grande, com uma sustentação forte, causando uma resistência induzida
bem maior. Nesta última forma de carroceria o ângulo de ataque é da ordem de 15 a 20 e,
nestas condições, a resistência induzida pode contribuir em mais de 30% para a resistência
aerodinâmica total do veículo.
De forma a evitar forças de sustentação a parte final da carroceria, ao menos, deve ter
uma inclinação para cima, de modo que o ângulo de ataque efetivo fique próximo de zero
ou então seja negativo, como está representado na Figura 7.21. Esta forma de carroceria
apresenta uma força de compressão na parte traseira e uma certa força de sustentação na
Capítulo 7 - Princípios de carrocerias aerodinâmicas.
156
Figura 7.19: Linha média de um veículo convencional.
Figura 7.20: Ângulo de ataque efetivo para as formas de Jaray (J) e a de Kamm (K).
Capítulo 7 - Princípios de carrocerias aerodinâmicas.
157
Tabela 7.2: Valores de ””, para o cálculo do ângulo de ataque.
Abcissa Constante ””
0 0
1 45
0 025
2 11
0 05
1 56
0 1
2 41
0 2
2 94
0 3
2 88
0 4
3 13
0 5
3 67
0 6
4 69
0 7
6 72
0 8
11 75
0 9
21 72
0 95
99 85
1 0
−164 90
dianteira. Deste modo o efeito conjunto é de um momento que alivia perigosamente as rodas
dianteiras, principalmente a altas velocidades. Uma maneira de corrigir um pouco este efeito
é, sem alterar a forma da carroceria, introduzir spoilers na dianteira do veículo compensando
a força de sustentação, como se mostra na Figura 7.22.
O spoiler dianteiro, devido as suas características, produz uma força vertical orientada
para baixo que devolve a aderência às rodas dianteiras. Este artifício é bastante usado em
veículos de competição que empregam aerofólios na traseira. Outra possibilidade é alterar a
forma da carroceria, na frente, para que produza também uma contra pressão, Figura 7.23.
Assim o conjunto torna-se mais eficiente já que a forma mais afilada na dianteira é, também,
conveniente do ponto de vista da distribuição da pressão estática. A tendência atual é o uso
desta forma afilada e rebaixada para a dianteira do veículo, conjuntamente com traseiras
elevadas e truncadas.
Levando-se em conta o que foi explanado pode-se arriscar uma estimativa da geometria
de carrocerias, de veículos que serão desenvolvidos em futuro próximo, como sendo aquele
mostrado na Figura 7.24.
Convém salientar que o ângulo de ataque efetivo existente desta forma irá produzir uma
resistência induzida apreciável, porém aumentará a capacidade do veículo em fazer curvas e absorver outras cargas transversais melhorando, sensivelmente, a manobrabilidade do
veículo em altas velocidades. Também podem ser usadas carrocerias inteligentes, que mudam de forma de acordo com a velocidade de deslocamento do veículo, comandadas por
computador. Pode-se, nestes casos, chegar ao extremo de que o veículo mude a sua geometria completamente, para satisfazer exigências de fluxo mais adequado para cada velocidade.
Capítulo 7 - Princípios de carrocerias aerodinâmicas.
158
Figura 7.21: Uso de traseira alta para redução da força de sustentação.
Figura 7.22: Uso de spoiler na dianteira do veículo para redução de força de sustentação.
Figura 7.23: Alteração da carroceria de forma a reduzir a força de sustentação na dianteira
do veículo.
Capítulo 7 - Princípios de carrocerias aerodinâmicas.
Figura 7.24: Forma provável da carroceria de um carro do futuro.
159
Capítulo 8
Estabilidade direcional
8.1
Introdução
A estabilidade é caracterizada como a propriedade de um corpo de, retirado de uma
posição de equilíbrio ou movimento contínuo, produzir forças e momentos que o façam retornar à posição primitiva.
Um exemplo simples que permite visualizar o conceito de estabilidade é o de uma esfera
sobre uma superfície, quando retirada da sua posição de equilíbrio, como mostra a Figura
8.1.
A estabilidade de um veículo é entendida como sendo a propriedade de retornar ao estado
primitivo de marcha após cessada uma perturbação transitória, como, por exemplo, uma
rajada de vento. Isto não significa voltar à trajetória primitiva de deslocamento, mas sim à
condição estável de marcha. Na Figura 8.2, são mostradas trajetórias distintas seguidas por
dois veículos com concepções diferentes e submetidos a uma mesma ação de vento lateral.
Em geral, a direção seguida pelo veículo após cessar a perturbação é diferente da primitiva
e somente em casos especiais as direções coincidem. Através de medidas construtivas se
pode conseguir estabilidade de marcha e manter desvios de curso, devidos à perturbações
transversais, em valores reduzidos, sendo o retorno à direção primitiva obtido através de
pequenas correções no volante.
Com o avanço da tecnologia, os automóveis ficaram cada vez mais velozes e o estudo
da estabilidade direcional, que considera o efeito de forças transversais de pequena ou longa
Figura 8.1: Condições possíveis de equilíbrio.
160
Capítulo 8 - Estabilidade direcional.
161
Figura 8.2: Comportamento de dois veículos com concepções diferentes após perturbação
transversal.
duração, é fundamental. Essas forças podem ser consequência de ventos, inclinações laterais
da pista ou, então, por acelerações laterais causadas por mudanças de direção necessárias
para percorrer uma curva.
Considera-se, no estudo subsequente, duas condições distintas quanto à estabilidade do
veículo:
• estabilidade em retas e
• estabilidade em curvas.
com esse modelo se pretende-se permitir que o projetista tenha condições de melhor
avaliar o comportamento do veículo em desenvolvimento e de como atuar para, se necessário,
atenuar ou acentuar algumas características relativas a sua estabilidade direcional.
8.2
8.2.1
Estabilidade em retas
Forças e momentos sobre o veículo
A estabilidade de um veículo depende das forças e momentos que nele atuam nas diferentes condições de marcha; essas forças, por outro lado, dependerão das dimensões e forma
do veículo, logo sofrem influência do projetista.
Quando o veículo se desloca em linha reta numa pista plana, existe equilíbrio entre as
resistências ao movimento e a força de aderência dos pneus com o solo, quer seja na tração
ou na frenagem.
162
Capítulo 8 - Estabilidade direcional.
Figura 8.3: Força lateral perturbadora devida à inclinação da pista.
Como visto anteriormente, a resistência ao rolamento e as forças de tração ou frenagem
atuam nos pneus. As forças de inércia atuam no centro de gravidade. Quanto à força do ar,
o seu ponto de atuação depende não só da forma da carroceria como, também, do ângulo de
incidência do vento sobre o veículo.
As forças laterais que irão influenciar a estabilidade direcional do veículo podem ser
originadas de várias maneiras:
• Inclinação da pista.
Uma parcela do peso do veículo, devido à inclinação lateral da pista, irá atuar na direção
transversal deste, como mostra a Figura 8.3. O valor desta parcela é dado por:
(8.1)
 =   
• Força de inércia em curvas.
Quando o veículo estiver fazendo uma curva, a aceleração centrípeta implica no aparecimento de uma força de inércia na direção radial dada por:
 =  2  = 
sendo:
 - massa do veículo;
 - velocidade angular;
 - velocidade tangencial;
 - raio da curva.
2

(8.2)
163
Capítulo 8 - Estabilidade direcional.
Figura 8.4: Força lateral perturbadora devida ao vento.
• Vento incidindo na lateral do veículo.
Quando a direção do vento, na Figura 8.4 representada pelo ângulo , for oblíqua à
direção de movimento do veículo, a força resultante , orientada nessa figura pelo ângulo
 , pode ser decomposta na resistência aerodinâmica,  , e na força , normal à direção do
movimento.
O ponto de aplicação da força aerodinâmica resultante, , para as formas habituais de
carroceria, situa-se entre o eixo dianteiro e o centro de gravidade do veículo. Em túneis
de vento, com modelos em escala reduzida ou com veículos reais fazendo o vento incidir
em diferentes ângulos de inclinação sobre a carroceria, é possível obter o valor da força
transversal e o seu ponto de aplicação. Como esse ponto dificilmente coincide com o CG,
tem-se, geralmente, um momento agindo sobre o centro de gravidade do veículo, dado por:
 =  ,
(8.3)
snedo  a distância do CG ao ponto de aplicação de . O momento é considerado positivo
quando tende a fazer o veículo girar no sentido anti-horário.
Para facilitar as análises do comportamento do veículo em diferentes situações, é adotada
a modelagem mostrada na Figura 8.5; nela, considera-se o veículo dotado de pneus iguais,
com a mesma pressão, e, ainda, tanto as rodas dianteiras como as traseiras representadas
por uma só localizada no centro de cada eixo. A força lateral  atuante no CG e originada por qualquer das causas citadas anteriormente, ou por uma superposição delas, pode
ser substituida por suas componentes atuando nos eixos dianteiro e traseiro (se essa força
lateral for causada por ventos, o valor dessas componentes será afetado pelo momento da
componente lateral do vento em relação ao CG). Esse modelo elimina o efeito das suspensões
e do sistema de direção, enfatizando somente a distribuição de forças nos eixos e os ângulos
de deriva delas decorrentes.
164
Capítulo 8 - Estabilidade direcional.
Figura 8.5: Modelo simplificado de um automóvel.
8.2.2
Influência do comportamento do pneu na estabilidade
Veículo com CG na metade da distância entre eixos
Supondo que o veículo tenha o seu centro de gravidade na metade da distância entre eixos,
ou seja um veículo 50 − 50, e esteja submetido a uma força lateral , agindo nesse centro,
as componentes transversais nos eixos são dadas por:
 =

2
(8.4)

(8.5)
2
Como  =  = 2 e  =  = 2, os pneus se deformarão, sob a ação destas
forças laterais, com iguais ângulos de deriva, como mostra a figura 8.6 a).
Como  =  , o veículo se deslocará transversalmente e, após cessada a perturbação,
assumirá uma trajetória paralela à primitiva. Para o caso que o veículo pesa 12000  e que
esteja submetido a ação de uma força lateral de 5000 , as cargas transversias e a radiais,
bem como os ângulos de deriva, para o eixo dianteiro e o traseiro são apresentados na tabela
8.1.
 =
Veículo com CG na dianteira
Esse caso é mais facilment entendido considerando um veículo hipotético com pneus cujo
comportamento está representado na figura 8.6 b). Admite-se que a distribuição de peso
seja de 60% na dianteira e 40% na traseira, ou seja 60 − 40 e que a força lateral que atua
no CG se distribua, nos eixos, segundo essas porcentagens. Supondo, por exemplo, que o
veículo pese 12000  e que esteja submetido a ação de uma força lateral de 5000 , tem-se
para o eixo dianteiro:
 = 12000 (0 6) = 7200 
(8.6)
 = 5000 (0 6) = 3000 
(8.7)
 = 12000 (0 4) = 4800 
(8.8)
e para o eixo traseiro:
165
Capítulo 8 - Estabilidade direcional.
Figura 8.6: Modelo simplificado de um veículo com a força lateral perturbadora aplicada no
seu centro de gravidade.
 = 5000 (0 4) = 2000 
(8.9)
o que corresponde às cargas radiais e transversais de 3600  e 1500  para um pneu do eixo
dianteiro e de 2400  e 1000  para um pneu do eixo traseiro, considerando que a força
lateral não ocasiona inclinação da carroceria. É importante lembrar que a consideração da
inclinação da carroceria na modelagem causa um aumento da carga radial nos pneus que as
molas são comprimidas e uma diminuição nos pneus em que a molas são distendidas. Nessas
condições simplificadas, as derivas dos dois pneus de um mesmo eixo são iguais e, portanto,
iguais à deriva do eixo.
Da figura 8.7, as derivas do eixo dianteiro e traseiro correspondem, respectivamente, a
 = 4 8 e  = 4 e o veículo, sob a ação de , percorrerá uma trajetória curva, com o eixo
dianteiro afastando-se da trajetória primitiva no mesmo sentido de . Cessada a perturbação
o veículo seguirá uma direção inclinada em relação à direção primitiva, tal como mostrado
na figura 8.6 b), e não a paralela tal como no primeiro caso analisado.
Veículo com CG na traseira
Considerando o mesmo caso antrerior, ou seja um veículo pesando 12000  e submetido a
uma carga transversal de 5000 , porëm com uma distribuição de carga 40 − 60, ocorre
um comportamento semelhante com o CG situado mais perto do eixo traseiro, porém com
   . Nesse caso, sob a ação de , a trajetória também é curva mas com o eixo
dianteiro afastando-se da trajetória primitiva no sentido contrário ao de ; cessando essa
força, a direção seguida pelo veículo também é inclinada em relação à primitiva, figura 8.6
c).
166
Capítulo 8 - Estabilidade direcional.
S[kN]
 = 10 0
2,5
 = 80
2,0
 = 60
1,5
=4
1,0
0
 = 20
0,5
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
Q[kN]
Figura 8.7: Reação lateral do pneu em função da carga normal com o ângulo de deriva como
parâmetro.
Na tabela 8.1, são apresentadas as três situações de distribuição de carga analisadas
anteriormente.
É importante salientar que os valores reais de  e  não são exatamente os mostrados
na tabela, já que a força transversal ,, devido à característica do pneu não se distribui
entre os eixos na mesma proporção da variação de . Esse comportamento foi destacado no
capítulo 1. No capítulo 10, será apresentado um exemplo numérico de cálculo dos ângulos
de deriva nos eixos de um veículo percorrendo um curva.
Tabela 8.1: Deriva nos eixos de um veículo com distintas distribuições de cargas.
Carga
Distribuição % de carga
nos
nos eixos dianteiro e traseiro
pneus 50 − 50 60 − 40 40 − 60
 []
3000
3600
2400
 []
3000
2400
3600
 []
1250
1500
1000
 []
1250
1000
1500
 [ ]
5 4
4 8
4 0

 [ ]
5 4
4 0
4 8
167
Capítulo 8 - Estabilidade direcional.
8.3
Comportamento do veículo em reta
Na análise preliminar anterior, foi considerado o veículo no instante em que inicia a atuação da força lateral perturbadora e ele começa a modificar seu comportamento; entretanto,
persistindo essa força, aparecerão outros efeitos - como o da trajetória curvilínea que porventura ele percorra, com o surgimento de força de inércia radial, em muitos textos denominada
de força centrífuga agindo no seu centro de gravidade, e do momento das reações laterais
dos pneus, em relação a esse mesmo centro, - que irão influenciar no seu comportamento.
Para a análise a seguir, considera-se que o veículo não sofrerá correção de direção pela
ação do condutor.
8.3.1
Força perturbadora transitória agindo no CG
Essa força ocorre, por exemplo, devido a uma inclinação lateral da pista e a sua ação, na
estabilidade direcional, depende da distribuição de carga nos eixos.
Veículo com carga igualmente distribuída nos eixos
Como  =  , pela ação da força perturbadora o veículo sofre um deslocamento lateral
devido à elasticidade do pneu, permanecendo, entretanto, com seu eixo longitudinal paralelo
à direção primitiva. O ângulo de deriva aumenta até que as reações laterais nos pneus
equilibrem essa força. Neste caso, conforme foi visto,  =  ,  =  , e não ocorrerá
giro do veículo em torno do seu eixo vertical, figura 8.8 a).
Veículo com carga maior na dianteira
Neste caso, tem-se que    e a distância do CG ao eixo traseiro é maior do que
ao eixo dianteiro,    , de modo que   =   . Pela ação da força transversal,
surgem as reações laterais dos pneus, com    , e os ângulos de deriva nos eixos,
   ; o veículo tende a se desviar da direção primitiva percorrendo uma trajetória
curvilínea.
Dois efeitos se superpõem, então, ao ocasionado pela força transitória.
O primeiro se deve a não proporcionalidade da reação lateral do pneu com a carga normal
nele atuante - ver ítem 1.5.2. Devido a essa característica, no eixo mais carregado, a reação
lateral cresce relativamente menos que o crescimento da carga normal, enquanto que, no
eixo menos carregado, essa proporcionalidade é maior. Desse modo, surgirá, em relação ao
centro de gravidade, um momento das reações laterais, chamado momento de reação do solo
ou, mais simplificadamente, momento do solo. Sua expressão, neste caso, é
 =   −  
e o seu sentido é anti horário, ou seja, ele tende a aumentar o giro do veículo ocasionado
pela força transitória.
O segundo é ocasionado pelo surgimento de uma força centrífuga quando o veículo percorre a trajetória curvilínea e que é de sentido oposto ao da força transitória . Com o
Capítulo 8 - Estabilidade direcional.
Figura 8.8: Força lateral transitória agindo no CG.
168
169
Capítulo 8 - Estabilidade direcional.
desaparecimento de , permanece a força centrífuga que age como uma força perturbadora
em sentido contrário, funcionando como força restauradora. Logo, as reações laterais dos
pneus mudam também de sentido tendendo a trazer o veículo para a direção primitiva; o
movimento passa a ser semelhante a uma senóide amortecida, como mostra a figura 8.8 b).
Analisando o comportamento mostrado nesta figura, pode-se afirmar que, um veículo
com maior carga na dianteira é estável em relação a forças laterais transitórias atuantes no
seu CG, pois, logo após a perturbação, surgem forças e momentos que tendem a restaurar
sua trajetória original. Este caso corresponde à primeira situação mostrada na figura 8.2.
Veículo com carga maior na traseira
Aqui    ,    ,    e    ; deste modo, o veículo irá percorrer uma
trajetória curvilínea no sentido contrário ao da força perturbadora, tendendo à direção desta
última. Este comportamento é mostrado na figura 8.8 c).
A força centrífuga que surge na trajetória curvilínea tem o mesmo sentido de  ; assim,
mesmo que cesse a perturbação transitória, o veículo continuará se afastando da trajetória
primitiva. O momento do solo, que neste caso vale
 =   −  
contribui para esse afastamento e, a menos que se atue sobre o volante, o veículo se afastará
sempre mais da trajetória original.
Deste modo, um veículo com CG deslocado para trás não é estável em relação a forças
laterais transitórias agindo no CG, porque, mesmo com o seu desaparecimento, surgem forças
e momentos que continuam a desviá-lo de sua trajetória. Este caso corresponde à segunda
situação da figura 8.2.
8.4
Defições básicas
Um veículo é considerado estável em relação ao solo se, ao atuar uma força perturbadora
externa no seu CG, os pneus deformam-se de maneira que:
 ≥  
(8.10)
No caso da igualdade, a força centrífuga inexiste e, no outro, se opõe à força perturbadora,
tendendo a levar o veículo de volta à direção primitiva.
Um veículo é considerado instável em relação ao solo se:
   
(8.11)
Neste caso, a força centrífuga colabora na retirada do veículo de sua direção primitiva,
sendo necessárias correções bruscas no volante para manter a trajetória escolhida.
Em um veículo com pneus iguais e instável em relação ao solo, caso a diferença de
deriva do eixo traseiro e dianteiro não seja demasiada, pode-se diminuir esta instabilidade,
Capítulo 8 - Estabilidade direcional.
170
ou mesmo eliminá-la, aumentando a pressão dos pneus traseiros, ou seja, tornando-os mais
rígidos lateralmente.
O mesmo efeito é obtido pela utilização de pneus com diferentes tipos de construção e
tamanho na frente e atrás do veículo. Esta técnica é bastante utilizada em carros de corrida,
pois a necessidade de transmitir grande potência para o solo exige uma distribuição de carga
com parcela bem maior no eixo traseiro, que é o eixo motriz, a fim de se obter elevada força
de atrito. No entanto, a maior carga na traseira aumenta a instabilidade e, para compensála, utilizam-se, nas rodas motoras, pneus de maiores dimensões do que os usados nas rodas
dianteiras, já que pneus maiores apresentam maior rigidez lateral que os menores.
Outras maneiras de alterar o comportamento do veículo, através dos mecanismos de
direção e de suspensão, serão vistos nos capítulos 9 e 10.
8.5
Força lateral permanente agindo sobre o CG
Pode-se considerar, este caso, como uma extrapolação do caso anterior.
CG no centro do veículo
Pela ação de  , surgem as reações  e  . Os ângulos de deriva crescem até que a
força lateral e suas reações nos pneus se equilibrem. Como, neste caso,  =  , ter-se-á
 =  . O veículo percorrerá, então, uma trajetória inclinada em relação à primitiva, mas
com seu eixo longitudinal paralelo à posição anteriormente ocupada, como mostra a figura
8.9 a).
CG deslocado para a frente
Com , tem-se    e    , e o veículo percorre uma trajetória curva. A
força centrífuga se opõe à ação de  e, embora o veículo se afaste cada vez mais da direção
primitiva, o faz de forma suave, figura 8.9 b). O momento do solo colabora com o giro.
CG deslocado para a traseira
Sob a ação de ,    e    . O veículo tende a se afastar mais rapidamente
da direção primitiva, já que a força centrífuga se soma à força perturbadora e colabora no
desvio.
O momento do solo, aqui também, contribui para aumentar o desvio. Este caso está
representado na figura 8.9 c).
8.6
Veículos sujeitos a ventos laterais
Conforme visto anteriormente, a força lateral , resultante da ação do vento, age sobre
um ponto, chamado centro de pressão, que não coincide com o centro de gravidade, como
mostra a figura 8.4. Esta excentricidade provoca um momento em relação a este centro,
dado por:
Capítulo 8 - Estabilidade direcional.
Figura 8.9: Força lateral perturbadora permanente agindo no CG.
171
172
Capítulo 8 - Estabilidade direcional.
 =  .
A esse momento poderá se somar, ou se opor, o momento do solo visto nos ítens anteriores.
Suas ações conjuntas afetarão o comportamento de veículos submetidos a ventos laterais.
8.6.1
Força do vento agindo no centro de gravidade
Esta situação é semelhante à de uma força permanente agindo no CG apresentada no
ítem 8.5, pois  = 0 e  = .
Centro de gravidade no centro da distância entre eixos do veículo
O veículo se desloca obliquamente à direção original, mas com o eixo longitudinal paralelo
a sua posição primitiva; situação semelhante à representada pela figura 8.9 a).
Este caso é possível somente provendo o veículo com asas traseiras verticais - ou estabilizadores - de grande dimensões.
Centro de gravidade na dianteira do veículo
A força do vento ocasiona as reações dos pneus    e, consequentemente,    .
O veículo gira afastando-se da direção do vento, figura 8.10 a), fazendo com que  cresça.
O momento do solo colabora com esse giro. Com a trajetória curvilínea, surge uma força
centrífuga que se opõe à ação do vento.
Esta situação é possível na prática, sendo que o giro pode ser corrigido com relativa
facilidade através do volante, já que os momentos são pequenos.
Centro de gravidade na traseira do veículo
A força do vento origina    e    e faz com que o veículo percorra uma
trajetória curva para a direção em que o vento atua. O momento de reação dos pneus,
ou momento do solo, colabora nesse giro. A força do vento diminui, tendendo a anular-se.
A força centrífuga, entretanto, continua atuando no mesmo sentido da força do vento e o
veículo continua o giro, como mostra a figura 8.10 b).
Esta situação é difícil de ocorrer pois exigiria a utilização de asas traseiras verticais de
grandes dimensões.
8.6.2
Força do vento agindo na frente do centro de gravidade
Centro de gravidade no centro do veículo
Aqui  = 0 e  =   6= 0; o veículo, sob a ação deste momento, gira, afastando-se
da direção do vento, o que ocasiona o aumento da força transversal  ≡  com o giro. A
força centrífuga se opõe à força lateral perturbadora, figura 8.11 a).
Este é um caso comum; somente com pequenos momentos devido ao vento será fácil
corrigir a trajetória através de atuação no volante.
Capítulo 8 - Estabilidade direcional.
173
Figura 8.10: Força lateral perturbadora devido ao vento agindo no CG
Centro de gravidade na dianteira do veículo
Aqui,  6= 0 e  6= 0, agindo no mesmo sentido, figura 8.11 b).
O veículo percorre uma trajetória curvilínea, afastando-se da direção do vento e fazendo
com que a força perturbadora aumente. A força centrífuga se opõe a sua ação.
Este caso é praticamente possível de ocorrer e o giro pode ser facilmente corrigido por
atuação no volante; o momento devido ao vento é pequeno por ser pequena a distância do
centro de pressão ao centro de gravidade.
Centro de gravidade na traseira do veículo
Nesta situação,  6= 0 e  6= 0, mas agem em sentido contrário. Como    ,
por ser grande a distância entre o centro de pressão e o CG, o momento resultante sobre o
veículo é  −  , figura 8.11 c).
Pela ação desse momento, o veículo gira afastando-se da direção do vento, o que faz com
que a força perturbadora aumente. A força centrífuga age no sentido de reduzir essa força.
Esta situação é fácil de ocorrer e, pelo elevado valor do momento causado pelo vento, a
correção através do volante da direção é difícil de ser feita.
8.6.3
Força do vento agindo atrás do centro de gravidade
Centro de gravidade no centro do veículo
Para esta situação,  = 0 e  6= 0, figura 8.12 a).
Capítulo 8 - Estabilidade direcional.
Figura 8.11: Força lateral perturbadora devida ao vento agindo na frente do CG.
174
Capítulo 8 - Estabilidade direcional.
175
O veículo gira para a direção do vento, o que causa a diminuição da sua força. A força
centrífuga age no sentido de aumentar a força perturbadora.
Este é um caso difícil de ocorrer na prática, sendo possível somente com o uso de grandes
asas traseiras verticais.
Centro de gravidade na traseira do veículo
Nestas condições,  6= 0 e  6= 0, tendo o mesmo sentido, figura 8.12 d).
Pela ação conjunta desses momentos, o veículo gira para a direção do vento, causando
uma redução do seu efeito. A força centrífuga aumenta a força perturbadora.
Este caso não ocorre praticamente.
Centro de gravidade na dianteira do veículo
Dependendo da distância do centro de pressão ao centro de gravidade do veículo, podem
ocorrer diferentes situações:
a) centro de pressão pouco atrás do CG e de modo que  e  equilibrem-se, figura
8.12 b).
Com a igualdade desses momentos e sua ação em sentido contrário, o momento resultante
será nulo, ou seja, o veículo não girará em torno de seu eixo vertical. Pela atuação da força
do vento, entretanto, haverá um deslocamento lateral do veículo paralelamente à direção
primitiva.
Caso praticamente possível e ambicionado.
b) centro de pressão atrás do CG, de modo que  seja levemente superior a  , figura
8.12 c).
Nessas condições, o veículo, em um primeiro instante, gira na direção do vento, reduzindo
sua ação até que haja igualdade entre os momentos; como eles agem em sentidos opostos, se
equilibrarão. O veículo, então, se manterá na trajetória primitiva, com seu eixo longitudinal
adotando uma posição um pouco inclinada em relação à posição anterior à perturbação.
Este é o caso ambicionado de estabilidade total, não havendo necessidade de correção
através do volante.
Esta condição é possível de ser conseguida com a utilização de pequenas asas verticais,
precisamente dimensionadas, na traseira do veículo.
O resumo das situações em que o veículo está submetido a ventos laterais está mostrado
na tabela 8.2.
8.7
Manutenção da direção primitiva através do volante
A direção primitiva pode ser mantida, em qualquer dos casos anteriores, através de ação
sobre o volante da direção, de maneira a criar um momento sobre o veículo para corrigir sua
Capítulo 8 - Estabilidade direcional.
Figura 8.12: Força lateral perturbadora devida ao vento agindo atrás do CG.
176
177
Capítulo 8 - Estabilidade direcional.
Tabela 8.2: Resumo do comportamento de veículos submetidos a ventos laterais.
Atuação da força do vento
No CG
Na frente do CG
Atrás do CG
No centro
Só ocorre com o uso
de grandes asas traseiras.
Ocorrência comum;
fácil de corrigir com
o volante somente
com M pequeno.
Caso difícil de ocorrer; possível apenas
com o uso de grandes asas traseiras
verticais.
Posição do CG
Na traseira
Caso difícil de ocorrer
pois exige grandes
asas traseiras verticais
Fácil de ocorrer, porém difícil de corrigir
com o volante por
M ser grande.
Praticamente impossível para a concepção
dos veículos atuais.
Na frente
Possível de ocorrer; fácil
correção com o volante
pois os momentos são
pequenos.
Fácil de ocorrer; a
correção com o volante é
simples pois M é pequeno.
Ideal e possível de ocorrer (M M ). Estabilidade
total. Não é necessária
correção com o volante,
porém exige asas traseiras
verticais.
trajetória.
Como se conclui da análise das diferentes situações anteriores, a ação sobre o volante
depende da distribuição de carga sobre os eixos e a ação necessária para corrigir a trajetória
de um veículo com carga igualmente distribuida sobre seus eixos ou com maior carga no eixo
dianteiro é diferente e menos crítica do que a necessária para corrigir um veículo com maior
carga na traseira.
8.8
Considerações adicionais
Com velocidade inferiores a oitenta quilômetros horários, não há necessidade de preocupação com problemas de estabilidade. Para velocidades maiores, entretanto, é importante
que o projetista do veículo observe características construtivas que tornem o veículo mais estável direcionalmente, ou seja, que diminuam o desvio de curso quando forças perturbadoras
ocorrem. Com essas medidas, o trabalho do motorista para manter o veículo na trajetória
desejada será facilitado.
• O centro de gravidade do veículo deve ficar no centro da distância entre eixos, ou
deslocado para a frente. Essas distribuições do peso tornam o veículo estável em
relação ao solo.
• As rodas traseiras devem possuir pneus mais rígidos lateralmente, quaisquer que sejam
suas cargas, de forma a garantir que
   
(8.12)
178
Capítulo 8 - Estabilidade direcional.
Figura 8.13: Geometria ideal da direção.
• O ponto de atuação da força do vento deve estar tão próximo quanto possível do CG
(menor  ). Neste particular, as carrocerias baseadas na forma de Kamm trouxeram
uma melhoria quando comparadas com carrocerias cuja popa vai decrescendo gradativamente. Com aquela forma, o centro de pressão desloca-se para trás, aproximando-se
do CG.
É interessante salientar que para veículos esportivos esses conceitos também valem, embora nem sempre sejam seguidos por seus projetistas.
8.9
8.9.1
Estabilidade em curvas
Geometria da direção e centro da curva
Para realizar uma curva sem que haja escorregamento das rodas, a geometria da direção
deve ser executada de maneira que, para qualquer giro da direção, os prolongamentos dos
eixos das rodas diretoras cortem-se no prolongamento do eixo das rodas traseiras, como
mostra a figura 8.13.
As relações obtidas pela inspeção dessa figura permitem determinar o raio geométrico da
curva:

.
tan 
Para pequenos ângulos essas expressão pode ser aproximada por:
 =
 ≈

.

(8.13)
(8.14)
179
Capítulo 8 - Estabilidade direcional.
Ao percorrer a curva com velocidade, surgem, devido à força centrífuga, ângulos de deriva
nos pneus dianteiros e traseiros. Essa deriva ocasiona uma mudança do centro da curva
de  para  . Esse novo centro é chamado de centro instantâneo do movimento e está
representado na figura 8.14; para encontrá-lo, traçam-se retas perpendiculares às direções
dadas pelos ângulos de deriva. O ponto de cruzamento destas retas é o centro instantâneo
da curva  .
O raio real da curva é calculado, com algumas simplificações e para pequenos ângulos de
deriva, caso comum em rodovias, a partir da análise da figura 8.14.
O ângulo de esterçamento médio e os ângulos médios de deriva dos eixos dianteiro e
traseiro são:
=
1 + 2
2
(8.15)
1 + 2
2
1 + 2
 =
2
A distância entre eixos, considerando os ângulos médios, é dada por
 =
 +  =  tan  +  tan( −  ) = 
(8.16)
(8.17)
(8.18)
e o raio real da curva, para pequenos ângulos de deriva e esterço, é dado por:
 =

 − ( −  )
.
(8.19)
Os índices 1 e 2 se referem às rodas externa e interna, respectivamente, enquanto os
índices  e  aos eixos dianteiro e traseiro.
A posição do centro real da curva difere do seu centro geométrico tanto mais quanto
maior a diferença entre os ângulos de deriva dos eixos dianteiro e traseiro, como se pode
concluir da equação 8.19.
8.9.2
Comportamento do veículo em curvas
O comportamento de um veículo em curvas depende, essencialmente, da distribuição da carga
em seus eixos. De acordo com esse comportamento, os veículos em curva são classificados
como:
• neutros
• subesterçantes ou subdirecionais
• sobresterçantes ou sobredirecionais.
Capítulo 8 - Estabilidade direcional.
180
Figura 8.14: Geometria da direção, considerando a deriva de cada roda.
Centro de gravidade situado no centro
Neste caso, pela ação da força centrífuga, os ângulos de deriva nos dois eixos serão iguais,
ou seja ,  −  = 0 na equação 8.19. Esta situação está representada na figura 8.15 a).
Como as reações dos pneus são iguais, o momento do solo será nulo, ou seja,  = 0.
Consequentemente, o raio real da curva é igual ao raio teórico ou geométrico. O ângulo
de giro do volante da direção , necessário para executar uma curva em baixa velocidade,
é, aproximadamente, igual ao necessário para realizar a mesma curva com velocidade média
ou alta.
Na figura 8.16, a curva desejada é a de número 1 e será percorrida por este veículo.
O veículo possuidor destas características é classificado como neutro ou estável em curvas.
Centro de gravidade na frente
Conforme foi visto, este tipo de veículo, quando submetido a uma força lateral, sofre deformações nos pneus de modo que a deriva no eixo dianteiro é maior que a deriva no eixo
traseiro, ou seja,  −   0 na equação 8.19. A figura 8.15 b) ilustra este caso.
Desse modo, a curva que o veículo realmente percorre tem um raio maior do que a curva
real, o que significa que ele "sairá de dianteira"nesta curva.
O momento do solo, devido às reações laterais dos pneus, aumenta essa tendência.
Na figura 8.16, a curva realmente percorrida será a 3; para mantê-lo na trajetória desejada
1, será necessário um giro adicional ∆ no volante, no mesmo sentido de .
Um veículo com este comportamento é classificado como subesterçante ou subdirecional;
ele é, também, considerado estável em curvas porque, por tender a abrir na curva, necessitará
Capítulo 8 - Estabilidade direcional.
181
Figura 8.15: Comportamento de veículos em curva, com características de neuto,
subesterçante e sobresterçante.
Capítulo 8 - Estabilidade direcional.
182
Figura 8.16: Trajetórias reais de curva de um veículo neutro "1", subesterçante "3"e sobresterçante "2".
de um aumento no giro das rodas, pela atuação no volante, no mesmo sentido dado para
realizá-la. Isso poderá ser feito tranquilamente, sem sobressaltos.
Centro de gravidade atrás
Nestas condições, pela ação da força lateral perturbadora, o ângulo de deriva no eixo
dianteiro é menor do que no traseiro, ou eja,  −   0 na equação 8.19. A figura 8.15 c)
representa este caso.
Como consequência, haverá uma redução do raio da curva que o veículo realmente irá
percorrer, ou seja, ele tenderá a "sair de traseira"na curva real.
O momento do solo, também aqui, aumenta essa tendência.
Na figura 8.16, o veículo tenderá a percorrer a curva real 2; para mantê-lo em 1, será
necessário um giro ∆, no sentido contrário ao de .
Com esse comportamento, um veículo é classificado como sobresterçante ou sobredirecional e é considerado instável em curvas. Isto porque, em velocidades médias ou altas, o
veículo tende a fechar a curva e o ângulo de giro do volante da direção, para vencê-la, deve
ser menor do aquele necessário para executar a mesma curva em baixa velocidade. Desse
modo, será necessário girar o volante no sentido contrário ao inicialmente dado para manter
o veículo na curva; isto pode surpreender motoristas menos experimentados.
Em veículos esportivos, o comportamento sobredirecional pode ser considerado interessante por tornar o veículo mais "dócil"em curvas, enquanto que o subdirecional, por oferecer
uma certa "resistência"para realizá-la, já que exige um aumento no giro do volante, seria
considerado "indócil".
Como, entretanto, para a maioria dos motoristas, que não pode ser caracterizada como
esportiva, um comportamento sobredirecional é mais difícil de controlar, parece mais sensato
classificar como dócil aquele veículo que, ao percorrer uma curva com velocidade crescente,
exige uma atuação no volante sempre no mesmo sentido.
Capítulo 8 - Estabilidade direcional.
183
Figura 8.17: Influência da tração na estabilidade direcional de um veículo.
8.10
Influência da posição do eixo de tração na estabilidade direcional de um veículo
Em um veículo com tração dianteira, ocorre equilíbrio estável entre as forças de tração e
a força de inércia, enquanto que nos veículos com tração traseira esta situação favorável
não ocorre, como mostra a figura 8.17. Este fato justifica a tendência, cada vez maior, de
utilização de tração dianteira nos veículos modernos de passeio, apesar de sua desvantagem,
em relação à tração traseira, quanto à capacidade de transferência da força de tração ao solo.
8.11
Disposição dos elementos mecânicos no veículo
Os elementos mecânicos de um veículo podem ser dispostos de várias maneiras, dando origem
a diferentes concepções construtivas que influem significativamente na sua estabilidade direcional.
8.11.1
Concepção convencional
A concepção convencional pode ser definida como aquela em que a disposição do motor
é dianteira e a tração é traseira , como está ilustrado na f igura 8.18.
As vantagens desta concepção são:
- distribuição razoável de peso;
- eixo dianteiro de construção mais simples;
- boa carga nas rodas diretoras;
Capítulo 8 - Estabilidade direcional.
184
Figura 8.18: Disposição de elementos mecânicos na concepção convencional.
- possibilidade de usar um motor de grande comprimento;
- manutenção simples devido à posição do motor;
- desgaste mais uniforme dos pneus: maior frenagem na dianteira, tração na traseira;
- alavanca de câmbio simples;
- porta malas grande;
- boa refrigeração, já que tem radiador dianteiro - o ventilador pode ser comutável;
- rendimento bom na marcha direta, já que não há interferência de engrenagens na
transmissão de força;
- silencioso simples, com comprimento longo;
- boa estabilidade em retas (estável em relação ao solo);
- baixa sensibilidade a ventos laterais (menor braço de ação da força do vento em relação
ao CG);
- boa solução para deslocamento do motor acima de dois litros.
Suas desvantagens são:
- túnel no piso para eixo cardam e caixa;
- necessidade de eixo cardam, em geral longo e com mancais intermediários;
- direção pesada, com exigência de maior relação de transmissão, ou de ser assistida, já
que o motor está sobre as rodas dianteiras;
- eixo traseiro pouco carregado - arranque dificultado em pista molhada e rodas traseiras
com possibilidade de patinar em curvas fechadas;
- eixo traseiro mais caro - suporta o diferencial;
- devido à transferência de carga, perigo de bloqueio das rodas traseiras na frenagem recomendável uso de sistema antibloqueio (ABS);
- tendência fortemente subesterçante - pode ser diminuída com estabilizadores;
- com efeito da tração em curvas, pode alterar o comportamento, passando a ser sobresterçante;
- dificuldade de aumentar a distancia entre eixos, pois as rodas motrizes ficariam pouco
carregadas.
8.11.2
Tração dianteira, motor longitudinal ou transversal
Esta concepção é caracterizada por ter o motor colocado à frente do eixo dianteiro e a
tração também ser dianteira, como mostra a figura 8.19. É a concepção mais utilizada no
momento.
Capítulo 8 - Estabilidade direcional.
185
Figura 8.19: Veículo com tração dianteira convencional.
As vantagens dela são:
- maior estabilidade direcional, pois o veículo é puxado;
- baixa sensibilidade a ventos laterais (pequena distância do centro de pressão ao );
- distribuição razoável de peso;
- fluxo curto das forças de tração;
- maior carga sobre as rodas diretoras e motoras - boa capacidade de tração, que, entretanto, diminui nas arrancadas pela transferência de carga para o eixo traseiro;
- acesso fácil ao motor.
- possibilidade de maior distância entre eixos, logo, maior conforto;
- eixo traseiro simples (pode ser rígido);
- porta malas grande;
- piso plano;
- boa refrigeração - o radiador fica perto do motor;
- alavanca de câmbio simples;
- silencioso simples, com comprimento longo;
- boa estabilidade em retas e curvas;
- possibilidade de colocar os discos de freio dianteiros junto ao diferencial e, com isso,
diminuir as massas não suspensas (ver suspensões), além de poder usá-los com maiores
dimensões;
- solução conveniente para cilindrada até dois litros.
Suas desvantagens são:
- arranque dificultado em pista molhada e em aclives;
- eixos dianteiros caros, necessitando de juntas homocinéticas;
- direção pesada devido à maior carga no eixo dianteiro;
- raio mínimo de curva dificilmente inferior a cinco metros;
- a suspensão do motor deve absorver todo o torque de arranque;
- comprimento do motor limitado;
- distribuição desfavorável das forças de frenagem - capacidade de frenagem bem maior
do eixo dianteiro e risco de bloqueio das rodas traseiras (recomendável uso de sistema ABS);
- desgaste menos uniforme dos pneus - sensivelmente maior nos pneus do eixo dianteiro;
- possibilidade da tração influenciar na direção;
- desbalanceamento das rodas dianteiras mais sensível.
Capítulo 8 - Estabilidade direcional.
186
Figura 8.20: Veículo com motor traseiro.
8.11.3
Motor traseiro longitudinal ou transversal
Essa classificação é para aqueles veículos onde a tração é traseira e o motor está colocado
atrás do eixo traseiro, como mostra a figura 8.20. Poucos veículos, e na maioria esportivos,
ainda usam esta concepção.
Suas vantagens são:
- fluxo das forças de tração curto;
- direção leve;
- eixo dianteiro de construção simples;
- distribuição mais conveniente das forças de frenagem - devido à maior carga no eixo
traseiro e à transferência de carga para o eixo dianteiro em uma freada, a capacidade de
frenagem dos dois eixos é semelhante e pode ser melhor aproveitada;
- boa capacidade de tração pela concentração de massa sobre o eixo motor - melhorada
em arrancadas e aclives pela transferência de carga;
- inexistência de túneis no piso do veículo;
- solução economicamente conveniente para veículos até 1 2 litros de deslocamento, exceção feita para veículos esportivos;
As desvantagens desta concepção são:
- sensibilidade maior a ventos laterais - grande distância do centro de pressão ao ;
- rodas dianteiras pouco carregadas;
- tanque de gasolina difícil de dispor;
- porta malas limitado;
- sistema de acionamento do câmbio complicado;
- desgaste não uniforme dos pneus;
- a suspensão do motor suporta todo o torque de arranque;
- difícil amortecimento de ruídos;
- maior consumo de potência na refrigeração do motor;
- o motor pode se deslocar para a frente em caso de batidas;
- silencioso difícil de projetar, pois o percurso dos gases é muito curto.
Capítulo 8 - Estabilidade direcional.
8.12
187
Influência da disposição dos elementos mecânicos
no comportamento do veículo
A disposição dos elementos mecânicos no veículo afeta não apenas a distribuição de pesos
nos eixos dianteiro e traseiro e, em conseqüência, a sua estabilidade, como visto nos ítens
anteriores, mas também a sua dirigibilidade ou maneabilidade. Este efeito se deve a um maior
ou menor momento de inércia polar do veículo, ou seja, uma maior ou menor resistência para
sofrer acelerações angulares em torno do eixo vertical que passa pelo centro de gravidade e,
consequentemente, para mudar a sua trajetória de deslocamento.
Quanto mais distanciadas desse eixo vertical estão massas como a do motor, maior a
inércia ao giro. Por outro lado, um veículo com esse tipo de massa concentrada próximo a esse
eixo, ou seja, com baixo momento de inércia, caso sofra um momento de rotação perturbador
como, por exemplo, o ocasionado por forças desbalanceadas durante uma frenagem brusca,
pode rodopiar com mais facilidade - ver testes de pista a seguir.
8.12.1
Concepção convencional
A posição do centro de gravidade é favorável em relação à estabilidade direcional. Um
veículo com essa concepção apresenta boa estabilidade em retas, sendo considerado estável
em relação ao solo. Com o  deslocado para frente, diminui o braço de ação da força do
vento, baixando sua sensibilidade a ventos laterais.
Em curvas, apresenta tendência subesterçante, ou seja, estável; se essa tendência for
exagerada, pode ser diminuida com estabilizadores - ver suspensões. Como a tração é traseira,
pode influenciar na estabilidade em curvas, com o veículo passando o sobresterçante, ou seja,
instável. Isto ocorre porque um pneu já submetido a uma força longitudinal, seja de tração
ou de frenagem, apresenta um maior ângulo de deriva, sob ação de uma força lateral, do que
quando a força longitudinal inexistir.
Além disso, com o motor na frente e o eixo traseiro com diferencial, o momento de
inércia polar é alto. Isso faz com que o veículo não apresente grande sensibilidade a forças
perturbadoras que causem um giro em relação ao seu eixo vertical. Diminui, por outro lado,
sua maneabilidade, pois reage mais lentamente à atuação no volante pelo condutor.
8.12.2
Concepção com tração dianteira
Esta concepção apresenta centro de gravidade deslocado para frente. É estável em retas e
tem pequena sensibilidade a ventos laterais, já que a distância do centro de pressão ao 
é diminuída.
Em curvas, sua tendência é subesterçante, ou seja, estável. Com tração, essa tendência aumenta. Cuidados no projeto da suspensão - ver capítulo 10 - podem diminuí-la, se
exagerada.
A utilização de motor/caixa/diferencial na frente faz com que o momento de inércia
em relação ao eixo vertical do veículo também seja elevado. Com isso, sua sensibilidade a
momentos perturbadores é pequena, mas sua maneabilidade fica diminuida.
Capítulo 8 - Estabilidade direcional.
188
O emprego de motores transversais, além de baratear o sistema de transmissão de forças,
pois elimina o par de engrenagens cônicas do diferencial (essa distribuição permite obter a
redução final com engrenagens cilíndricas), permite melhorar sua maneabilidade por reduzir
o momento polar de inércia.
8.12.3
Concepção com motor traseiro
Com a posição do centro de gravidade deslocado para trás, essa concepção tem o eixo dianteiro pouco e o traseiro muito carregado, apresentando comportamento instável em retas.
Devido ao grande braço de ação da força do vento, é muito sensível a ventos laterais.
Em curvas, apresenta tendência fortemente sobresterçante, ou seja, instável. Um projeto
adequado da suspensão (ver capítulo 10) e a utilização de pressão maior nos pneus traseiros
podem reduzir essa tendência.
O momento de inércia polar pode ser considerado alto; entretanto, como o  está
deslocado para trás, a distância entre ele e o centro de pressão é grande e o veículo fica mais
sensível a forças perturbadoras laterais, como rajadas de vento. Sua maneabilidade é baixa.
Também neste caso, o uso de motores traseiros transversais pode trazer vantagens econômicas e de comportamento.
8.12.4
Outras concepções
Além da análise anterior, do comportamento das três concepções mais comuns em carros
de passeio, serão feitas, a seguir, algumas considerações sobre concepções encontradas em
veículos esportivos.
Concepção com motor central - tração traseira
Essa concepção está representada na figura 8.21 a).
A posição central do centro de gravidade garante uma estabilidade direcional em retas.
A sensibilidade a ventos laterais é maior do que as com CG na frente e menor do que aquelas
com esse centro deslocado para atrás.
Em curvas, poderá apresentar um comportamento neutro, que tenderá a sobresterçante
com a tração, o que é apreciado em um veículo esportivo.
Como o momento de inércia em relação ao eixo vertical é pequeno, devido à concentração
de massas no centro do carro, sua capacidade de absorção de momentos perturbadores, sem
que ocorram giros da carrroceria, é pequena.
Sua maneabilidade, por outro lado, é muito boa, reagindo prontamente à ações no volante.
Nela, além disso, a capacidade de tração, devido à alta carga no eixo traseiro, é, também,
muito boa.
A posição central do CG, garantindo bom carregamento do eixo traseiro, e a transferência
de carga para o eixo dianteiro durante a frenagem, fazem com que a distribuiçlão das forças
de frenagem seja boa.
Essas características justificam o uso bastante comum dessa concepção em carros esportivos.
Capítulo 8 - Estabilidade direcional.
189
Figura 8.21: Disposição de elementos mecânicos em carros esportivos.
Concepção transaxle
A concepção transaxle é mostrada na figura 8.21 b). É usada em alguns carros esportivos.
A distribuição das massas, com motor dianteiro entre eixos e caixa e diferencial traseiros,
fazem com que o centro de gravidade fique mais centralizado.
Apresenta, assim, estabilidade em relação ao solo, com sensibilidade média a ventos
laterais.
Em curvas, tenderá a um comportamento neutro, passando a sobresterçante com a tração.
A distribuição das massas e sua posição em relação ao eixo vertical, fazem com que o
momento polar de inércia seja médio. Sua sensibilidade a momentos perturbadores situa-se
entre as apresentadas por carros de passeio e a concepçãp com motor central, vista no ítem
anterior. Sua maneabilidade é boa.
Com o deslocamento da caixa de câmbio e diferencial para o eixo traseiro, tem-se uma
carga média sobre ele, que melhora com a aceleração pela transferência de carga, resultando
em uma boa capacidade de tração.
A distribuição de pesos permite utilizar melhor o eixo traseiro na frenagem, principalmente se for previsto um sistema antibloqueio das rodas.
8.13
Comportamento das concepções com carregamento
total
Neste ítem, é feita uma análise das concepções apresentadas anteriormente considerando
o veículo com carga máxima e lotação total. Nessas condições, podem ocorrer mudanças
importantes nos seus comportamentos porque a variação do carregamento modifica a posição
Capítulo 8 - Estabilidade direcional.
190
do centro de gravidade, bem como a inércia rotacional, o que poderá implicar em alteração da
estabilidade direcional do veículo, tanto em retas como em curvas, e da sua maneabilidade.
8.13.1
Concepção convencional
Nesta nova situação, tem-se uma alteração bastante sensível da posição do centro de
gravidade, que será deslocado para trás, e o veículo poderá mudar o seu comportamento
estável em retas e em curvas. Em curvas, poderá passar de subesterçante para sobresterçante
e, consequentemente, mais difícil de ser conduzido. Geralmente, alteram-se as pressões dos
pneus, principalmente elevando a dos traseiros, a fim de manter o comportamento original
do veículo.
Como o momento polar continua elevado, a sensibilidade a perturbações externas, que
tendam a girar o veículo em relação a seu eixo vertical, continua baixa. A maneabilidade
fica reduzida.
Aumenta sua capacidade de tração, pois, devido à nova posição do centro de gravidade,
tem-se um acréscimo da carga normal sobre o eixo traseiro.
A capacidade de frenagem pode ser melhorada pela redistribuição de carga, porém, para
que essa potencialidade seja utilizada, é necessário nova regulagem nos freios, ou, o que é
mais prático, usar sistema antibloqueio das rodas.
8.13.2
Concepção com tração dianteira.
Aqui também, devido à posição traseira do porta malas, o comportamento fica bastante
modificado, pois o centro de gravidade é deslocado para trás, afetando sua estabilidade
direcional.
O aumento da pressão dos pneus, com um valor mais elevado para os do eixo traseiro,
pode manter as condições favoráveis existentes antes do aumento de carga.
O momento polar continua elevado e a sensibilidade a perturbações externas se mantém
pequena. A maneabilidade fica menor.
A capacidade de tração não melhora; embora o veículo fique mais pesado, não há modificação sensível na carga do eixo motriz.
A capacidade de frenagem com a nova posição do centro de gravidade poderá aumentar,
pois haverá um acréscimo de carga sobre o eixo traseiro. Porém, este aumento da potencialidade de frenagem só será aproveitado com a utilização de freios com controle de bloqueio.
8.13.3
Concepção com motor traseiro
Como o porta malas, nesta concepção, é dianteiro, haverá um deslocamento do  para
frente. A capacidade dele, entretanto, é limitada pelo espaço necessário para as rodas diretoras, sistema de direção e suspensão. Com isso, a estabilidade direcional desta concepção,
tanto em retas como em curvas, tenderá a melhorar um pouco, embora continue instável,
principalmente em curvas; este comportamento poderá se agravar com a tração.
O momento polar aumentará e a sensibilidade a perturbações externas continuará baixa.
A maneabilidade, que era baixa, ficará mais reduzida.
Capítulo 8 - Estabilidade direcional.
191
Como uma parcela do novo carregamento se apoiará no eixo traseiro, sua capacidade de
tração aumentará.
A capacidade de frenagem praticamente não é alterada; haverá um maior aumento de
carga no eixo dianteiro, já dimensionado para exercer uma maior força de frenagem, e a
situação do eixo traseiro não se modificará significativamente.
8.13.4
Concepção com motor central
Como, nesta concepção, usam-se porta malas dianteiro e traseiro, quase não haverá mudança da posição do centro de gravidade, porém ocorrerá uma sensível mudança no momento
de inércia, com diminuição de sua maneabilidade; o veículo fica menos dócil.
A estabilidade direcional fica pouco afetada.
A capacidade de tração melhorará, com o aumento da carga sobre o eixo traseiro.
A capacidade de frenagem continua boa, pois ocorrem apenas pequenas variações na
distribuição das forças de frenagem.
8.13.5
Concepção transaxle
O carregamento do veículo fará com que seu centro de gravidade se desloque para trás,
podendo ocasionar uma leve alteração no seu comportamento.
Em retas, provavelmente continuará estável; em curvas poderá passar de subesterçante
para levemente sobresterçante, o que não preocupa em veículos esportivos.
O momento polar aumentará um pouco, tornando o veículo menos sensível a perturbações
mas, por outro lado, um pouco menos dócil.
A capacidade de tração melhorará com o aumento de carga no eixo traseiro, que é o
motriz.
A capacidade de frenagem modifica pouco, continuando a ser boa.
8.14
Comparação de diferentes concepções em testes
de pista
A revista Auto Motor und Sport de junho de 1972, apresenta os resultados de uma série
de testes realizados com quatro veículos de diferentes concepções. O objetivo desses testes
era verificar seu comportamento em várias situações que podem ocorrer nas pistas. Embora
os veículos representativos de cada uma das concepções analisadas possam, até mesmo, não
mais existir ou ser fabricados, a validade dos resultados persiste, já que novos modelos são
projetados dentro dessas mesmas concepções.
Na ocasião, os quatro veículos comerciais utilizados nos testes foram:
• Representando a concepção convencional
Veículo: BMW 1802
Distribuição de peso: 54 5% - 45 5%
Capítulo 8 - Estabilidade direcional.
192
Potência: 90  (DIN)
Peso: 1030  (DIN)
Pneus 165 SR 13
• Representando a concepção com tração dianteira
Veículo: Audi 100
Distribuição de peso: 60% - 40%
Potência: 85  (DIN)
Peso: 1050  (DIN)
Pneus 165 SR 14
• Representando a concepção com motor traseiro
Veículo: VW 411 E
Distribuição de peso: 42 5% - 57 5%
Potência: 80  (DIN)
Peso: 1080  (DIN)
Pneus 155 SR 15
• Representando a concepção com motor central
Veículo: VW Porsche 914
Distribuição de peso: 47 5% - 52 5%
Potência: 80  (DIN)
Peso: 900  (DIN)
Pneus 155 SR 15
Todos os veículos estavam equipados com pneus Michelin ZX.
Procurou-se, com os testes, verificar se o comportamento dos veículos seria o esperado e
até que ponto as medidas construtivas utilizadas por seus projetistas permitiram compensar
as desvantagens inerentes a cada concepção.
Os resultados dos ensaios em pista estão mostrados na tabela 8.3.
A convenção nela usada foi a seguinte.
Para as pistas:
P1 - pista da Daimler Benz;
P2 - pista de Hokenheim;
P3 - pista da Porsche;
P4 - pista da Pirelli.
Para os tipos de teste:
T1 - ensaio em pista circular (Φ = 65 ) molhada;
T2 - veículo submetido a vento lateral;
T3 - teste de slalon;
Capítulo 8 - Estabilidade direcional.
193
Tabela 8.3: Resultados dos ensaios de veículos de várias concepções em pista.
Pistas Tipo de teste Objetivos e
Veículos analisados
resultados
V1
V2
V3
V4
P1
T1
1
52 1 51 0 50 0 51 3
P1
T2
2
2 85 2 94 4 02 2 90
P1
T3
3: distância 1 55 1 54 0 53 1 56 2
distância 2 105 4 107 5 101 4 108 0
P2
T4
4
96 1 94 5 93 0 98 0
P3
T5
5: velocidade 1 8 25
9 5
8 7
10 6
velocidade 2 5 0
3 0
6 0
6 6
P4
T6
6
30
90
550
900
T4 - teste de ultrapassagem;
T5 - aquaplanagem em curva;
T6 - aquaplanagem em reta.
Para os objetivos e resultados:
1- teste em pista circular para verificar a tendência dos veículos e, também, qual a
velocidade máxima, em quilômetros horários, de realização do teste em cada caso;
2 - Teste de sensibilidade a ventos laterais, sendo o resultado o desvio lateral dado em
metros;
3 - Teste para verificação da maneabilidade, sendo a distância entre os obstáculos, 1 e
2, dezoito e trinta e seis metros, respectivamente (o resultado é apresentado em quilômetros
por hora);
4 - Teste para verificar o comportamento com o giro brusco da direção, sendo o resultado
dado em quilômetros por hora;
5 - Teste para verificar o desvio em curva molhada, para as velocidades, 1 e 2, de oitenta
e noventa quilômetros horários, respectivamente (o resultado apresentado é o desvio em
metros);
6 - Teste para verificar o efeito da aquaplanagem durante freadas, sendo o resultado
apresentado em graus.
Para os veículos:
V1 - Audi 100;
V2 - BMW 1802;
V3 - VW 411 E;
V4 - VW Porsche 914.
8.14.1
Teste em pista circular
O piso era composto de dois trechos, um com cobertura asfáltica e o outro com pedras.
O comportamento dos veículos, nestas condições de pista, foi:
Audi - nenhum problema ocorreu; a correção na direção consistiu apenas em um giro, no
volante, um pouco maior do que o necessário, devido à tendência subesterçante inerente a
esta concepção.
Capítulo 8 - Estabilidade direcional.
194
Figura 8.22: Pista para teste de ultrapassagem.
BMW - inicialmente neutro, após e próximo à velocidade crítica passa a ser sobresterçante.
VW 411 e Porsche 914 - no início subesterçantes, após a velocidade crítica, fortemente
sobresterçantes, exigindo giro do volante em sentido contrário ao da curva.
8.14.2
Sensibilidade a ventos laterais
O teste foi feito medindo-se o desvio dos veículos quando submetidos a um vento lateral
inclinado, resultante da composição da velocidade de deslocamento do veículo, de 100 
e da velocidade de um vento normal à sua trajetória, de 90 , originado por ventiladores
colocados na lateral da pista.
Com uma menor distância do centro de pressão ao centro de gravidade, tanto o Audi
quanto o BMW sofreram deslocamentos laterais menores. O maior braço de alavanca da
força do vento justifica a maior sensibilidade do VW 411. O pequeno desvio do Porsche se
deve a sua pequena área lateral.
8.14.3
Verificação da dirigibilidade
O melhor desempenho foi do Porsche 914, por ser bastante dócil. O Audi teve um
desempenho bastante bom, apesar da tendência subdirecional exigir um giro do volante um
pouco maior. O VW 411 e o BMW, devido à variação de tendência, obrigavam mudanças
no sentido de giro da direção, diminuindo a velocidade alcançada.
8.14.4
Teste de ultrapassagem
O objetivo deste teste foi o de verificar o efeito das características inerentes a cada
concepção nas ultrapassagens. A manobra deveria ser realizada em um trecho demarcado de
pista, conforme o esquema da figura 8.22, com a maior velocidade possível, sem que houvesse
qualquer choque com os marcos de sinalização do percurso.
Neste ensaio, o Porsche foi o que obteve melhor desempenho. Seu pequeno momento de
inércia, em torno de seu eixo vertical, permitiu grandes acelerações angulares, facilitando
muito a realização da manobra - mostrou-se mais dócil em rápidas mudanças da trajetória.
Também com bom desempenho, apresentou-se o Audi, por ser estável. Com o BMW e com
o VW 411, as saídas de traseira foram difíceis de ser evitadas, impedindo atingir velocidades
maiores.
Capítulo 8 - Estabilidade direcional.
8.14.5
195
Aquaplanagem em curvas
Este ensaio foi realizado em uma pista curva molhada de vinte metros de comprimento
e cinco metros de largura. A pista estava parcialmente coberta com um filme de água, com
espessura de vinte milímetros na sua borda interna e tendendo a zero na linha média.
O veículo deveria percorrê-la pela borda interna, com um giro fixo do volante da direção e
uma posição também fixa do pedal do acelerador. Era marcada a distância em metros que o
automóvel percorria até atingir a linha média da curva, que servia como linha de referência.
No teste com velocidade de oitenta quilômetros horários, o Audi atingiu a linha de referência mais rapidamente, enquanto que, para o teste realizado com a velocidade de noventa
quilômetros horários, o BMW atingiu mais rapidamente a referência. Ambos tem centro de
gravidade na dianteira.
O VW 411 e o VW Porsche 914 apresentaram um comportamento bom nas duas velocidades; os dois apresentam o centro de gravidade deslocado para trás.
8.14.6
Aquaplanagem em reta
A pista continha um filme de água de quatro milímetros de espessura e trezentos metros de
comprimento. O veículo, a uma velocidade de cento e trinta quilômetros por hora e após
penetrar vinte metros no trecho molhado, tinha o freio aplicado com força total e o volante
imobilizado até sua parada total. A freada ocasionou, em todos os casos, um impulso de
giro, observando-se os seguintes comportamentos:
Audi - permaneceu na direção, parando após cento e oitenta metros do ponto de aplicação
do freio e sofrendo pequena inclinação em relação a sua trajetória - 30◦ .
BMW - girou aproximadamente 90◦ e, após, pelo efeito de martelo ( situado na frente),
voltou à direção primitiva.
VW 411 - devido à posição traseira do centro de gravidade, sofreu um giro de uma volta
e meia em relação ao seu eixo vertical.
Porsche - devido à posição central do centro de gravidade e, consequentemente, do seu
pequeno momento de inércia em relação ao eixo vertical, o veículo girou duas voltas e meia.
Pode-se concluir , pela observação dos testes, que os veículos com centro de gravidade
deslocado para frente tem um bom comportamento para freadas de emergência em pistas
retas molhadas.
8.14.7
Conclusões dos ensaios
Como era de esperar, as desvantagens de cada concepção podem ser diminuídas por
medidas construtivas, mas as características típicas de cada uma delas se mantêm.
Considerando os resultados da totalidade dos testes, pode-se afirmar que a melhor concepção para consumidores normais é aquela com motor e tração dianteiros, seguida da convencional. Para eles, as concepções com motor traseiro ou central não são recomendadas;
podem, entretanto, ser aproveitadas em veículos esportivos ou de competição, pois espera-se
que este público seja iniciado em pilotagem de automóveis, enfrentando melhor situações
difíceis.
Capítulo 8 - Estabilidade direcional.
196
A forte tendência, dos grandes fabricantes mundiais de veículos de passeio, em adotar a
concepção com motor e tração dianteiros corrobora estas conclusões.
No mercado de carros esportivos, sobretudo naqueles de altíssimo desempenho, há a
tendência de utilização da tração integral e diferenciais com escorregamento controlado por
microprocessador. Esta tecnologia é adequada para veículos de uso esportivo, ou para aqueles
que serão utilizados em situações onde as pistas têm baixa aderência (como, por exemplo,
no gelo ou em pistas sem pavimentação rígida), porque a força motriz é controladamente
dividida entre suas rodas, permitindo um aumento da capacidade de absoção de forças
laterais e, consequentemente, a realização de curvas com velocidades maiores.
Capítulo 9
Sistema de direção
9.1
Geometria da direção
Na geometria de um sistema de direção ideal, para um veículo se deslocando em baixa
velocidade, os eixos das rodas diretoras se encontram no prolongamento do eixo das rodas
traseiras, para qualquer curva a ser realizada, como foi visto no capítulo 8, figura 8.13.
Neste capítulo, são desenvolvidas algumas equações adicionais, com o objetivo de definir os
requisitos cinemáticos que o mecanismo de esterçamento das rodas direcionais deve satisfazer.
Considerando a geometria ideal mostrada na figura 9.1, o raio geométrico  da curva, em
função do giro  1 e  2 das rodas externa e interna, respectivamente, é dado por:
 =


−
  1
2
(9.1)
 =


+
  2
2
(9.2)
sendo:
 - raio geométrico da curva;
 - distância entre eixos;
 - bitola do eixo dianteiro;
  - giro da roda dianteira externa e interna ( = 1 2 respectivamente).
Igualando as duas expressões acima, tem-se
1
1

=
−
.
(9.3)

  1   2
Esta equação é a lei cinemática que governa o mecanismo de esterçamento das rodas
direcionais de um veículo. Ela é fortemente não linear e indica que o mecanismo de esterçamento das rodas também deve ter um comportamento não linear. Para pequenos ângulos,
com as devidas linearizações, tem-se:

1
1
=
−
(9.4)

1 2
Esta expressão é bastante precisa quando o veículo executa curvas com raios grandes,
como é o caso em rodovias. Isso é muito favorável porque, nessa situação, as velocidades
197
198
Capítulo 9 - Sistema de direção
Figura 9.1: Geometria ideal da direção.
de deslocamento do veículo são grandes, a estabilidade direcional é importante e não será
influenciada por erro de esterçamento. Em curvas com pequenos raios, como ocorre por
exemplo em cidades, um mecanismo construído segundo a equação linearizada 9.4 irá causar
grandes erros de posicionamento das rodas; felizmente, porém, a estabilidade direcional será
menos afetada, pois as velocidades são baixas.
Mesmo com essa linearização, a equação que governa o esterçamento é difícil de ser
satisfeita com os mecanismos de quatro barras, pois ela continua sendo fortemente não
linear para esterçamento pequeno, médios e grandes das rodas. Na figura 9.2 se mostra a
geometria ideal para alguns sistemas possíveis de direção.
Do capítulo 1, onde o comportamento dos pneus sob a ação de forças transversais ao seu
plano médio foi descrito, sabe-se que um veículo se deslocando em uma curva, devido a força
de inércia associada a aceleração centrípeta, sofre deriva nas rodas dianteiras e traseiras. Os
ângulos de deriva das rodas traseiras e dianteiras afetam a posição do centro da curva como
está representado na figura 9.3. Desse modo, mesmo que se adote a solução correta para a
execução da curva, não se terá certeza de que o comportamento do veículo será o ideal, já
que, como foi mostrado no capítulo 8, a deriva dos eixos afeta sensivelmente o raio da curva.
9.1.1
Esterçamento e raio de retorno
Conforme salientado no ítem anterior, a curva percorrida por um veículo somente é
exata se as perpendiculares às quatro rodas se cortarem no centro da curva . Com rodas
traseiras não direcionais, portanto, as perpendiculares às duas rodas dianteiras devem cortar
o prolongamento da linha média do eixo traseiro em ; com isso, as rodas dianteiras externa
Capítulo 9 - Sistema de direção
Figura 9.2: Geometria ideal para vários sistemas de direção.
199
200
Capítulo 9 - Sistema de direção
Figura 9.3: Variação da posição do centro da curva para um veículo com deriva.
e interna deverão apresentar diferentes ângulos de esterçamento  1 e  2 .
Considerando as expressões vistas no ítem anterior e partindo do ângulo maior  2 , pode
ser calculado o ângulo ideal  1 da roda externa pela expressão

(9.5)

sendo  a distância, medida no solo, entre os prolongamentos dos pinos mestres, ou seja,
cot  1 = cot  2 +
 =  − 2
(9.6)
e  o raio de rolamento, figura 9.4.
A diferença entre  2 e  1 deve ser sempre positiva
∆  =  2 −  1  0 .
(9.7)
Com o ângulo  1 , pode-se calcular o raio teórico de giro  , ou seja, o raio do círculo
que a roda externa percorre em um plano para o máximo giro da direção. Esse raio, em um
veículo, deve ser o menor possível para facilitar retornos e estacionamentos. A expressão,
obtida com auxílio da figura 9.4,
 =

+
 1
(9.8)
mostra que essa exigência é alcançada com pequenas distâncias entre eixos e grandes ângulos
de exterçamento da roda externa. Um grande valor de  1 subentende um grande valor de
Capítulo 9 - Sistema de direção
201
Figura 9.4: Ângulos de esterçamento de um sistema de direção e grandezas características
do eixo dianteiro.
202
Capítulo 9 - Sistema de direção
 2 que, entretanto, é limitado pelos espaços disponíveis - as rodas, quando completamente
esterçadas e com o seu deslocamento máximo no molejamento, não podem tocar nos elementos construtivos do eixo dianteiro nem no paralama; com tração dianteira, além disso,
deve-se observar o máximo ângulo admitido pelas juntas do eixo de tração.
Enquanto o ângulo interno  2 é limitado, o externo não necessita sê-lo, podendo, inclusive,
ter o mesmo valor ( 1 =  2 ). A desvantagem seria um maior desgaste dos pneus na curva,
mas com a vantagem de obter um menor raio de giro. Este é o motivo da maioria dos
automóveis apresentar um ângulo externo real  1 diferente do valor ideal  1 obtido no
cálculo.
O erro desejado é dado por
  =  1 −  1 .
(9.9)
Para determinar o raio de giro  em uma direção com erro desejado, é necessário calcular
  e  1́ , ou seja, o ângulo ideal externo dado pela primeira equação apresentada neste
ítem.
Medidas feitas mostram que o raio de giro diminui cerca de 0,05 m para cada 1 de erro
desejado, de modo que seu valor pode ser calculado por
 =

◦
+  − 0 05  [].
 1
(9.10)
Exemplo: Calcular o raio de giro para um veículo com os seguintes dados:  = 2 527 ;
 = 0 015 ;  = 1 321 ;  2 = 38 ;  1 = 36◦ 200 
 = 1 321 − 2(0 015) = 1 291 
cot  1 = cot 38◦ +
1 291
= 1 7849
2 527
 1 = 29◦ 100
  = 36◦ 200 − 29◦ 100 = 7◦ 100 = 7 17◦
 =
2 527
+ 0 015 − (0 05)7 17 = 4 836 
29◦ 100
e o diâmetro de giro
 = 2 = (2)4 836 = 9 67 .
Para o motorista, mais importante que o raio de giro é o círculo que ele pode fazer entre
duas guias da calçada, ou seja,
 = 2 +  []
com  sendo a largura do pneu.
(9.11)
203
Capítulo 9 - Sistema de direção
Figura 9.5: Camber positivo.
Mais importante, ainda, é o círculo de retorno  que, segundo a DIN 70020, é definido
como o círculo percorrido pelo canto mais externo do veículo durante o máximo ângulo de
giro. Ele é medido em testes.
9.2
Ângulos da direção
Visando menores forças de acionamento das rodas direcionais, redução do desgaste dos
pneus bem como estabilidade de direção, há necessidade de um mecanismo que ligue as rodas
direcionais à carroceria com geometria que permita que essas rodas apresentem atitudes pré
estabelecidas. Essas atitudes pré estabelecidas compreendem os denominados ângulos da
direção: camber, inclinação do pino mestre, convergência e caster.
Algumas desses ângulos podem ser alteradas com o curso da suspensão. Estas alterações
são causadas pela forma com que os braços da suspensão são fixados na carroceria e da sua
disposição espacial, bem como, pela fixação do braço da direção na roda. Sabendo disso,
pode-se, ao projetar uma suspensão, atenuar ou acentuar algumas características referentes
à estabilidade direcional de um veículo em curva sem que haja necessidade de mudar, por
exemplo, a sua distribuição de massas.
A seguir são apresentados os diversos ângulos do mecanismo de direção bem como o seu
comportamento com o curso da suspensão
9.3
Camber
Camber é a inclinação do plano da roda em relação a uma vertical que passa pelo centro
da superfície de contato pneu/pista, como mostrado na figura 9.5.
204
Capítulo 9 - Sistema de direção
Figura 9.6: Camber de uma suspensão.Vista de frente
Quando a parte superior da roda é deslocada para fora, como mostra essa figura, o camber
é considerado positivo. Para dentro é negativo.
Uma cambagem positiva das rodas dianteiras é favorável devido à leve convexidade das
mesmas; com essa cambagem os pneus rodam mais perpendiculares à superfície da pista,
como mostrado na figura 9.6, diminuindo seu desgaste. Por outro lado, para que não haja
redução da capacidade de absorção de forças laterais em curvas pelos pneus, o camber deve
ter o menor valor possível.
Em condição normal de utilização do veículo, ou seja, carregado com duas pessoas, um
valor comum para o camber é
 = +300 
Analisando os valores usados para o camber nas três concepções mais comuns - standart
(motor dianteiro, tração traseira), motor e tração traseiros e motor e tração dianteiros observam-se valores variando entre 0 e 2 . A maior freqüência em todos os casos, entretanto,
é de valores entre 0 e 1 . Em veículos esportivos e de competição, é possível encontrar camber
negativo tanto nas rodas dianteiras como nas traseiras para melhorar o comportamento em
curvas, pois com essa configuração de posicionamento dos pneus em relação ao solo é possível
absorver esforços laterais maiores e, consequentemente, fazer curvas com maior velocidade.
Normalmente, são admitidas tolerâncias em relação ao valor absoluto do camber, ou seja,
tanto variação em relação ao valor escolhido quanto à diferença entre os valores das rodas
esquerda e direita. Como variação do valor do camber, é comum ±300 , a fim de tornar a
construção do eixo dianteiro mais econômica. Para evitar que o veículo puxe para um lado
quando em linha reta, a diferença entre os valores do camber das duas rodas não deve ser
superior a 200 .
Em resumo, as tolerâncias do camber no eixo dianteiro são:
Valor do camber: +300 ± 300
Máxima diferença entre esquerda e direita: 200 .
205
Capítulo 9 - Sistema de direção
Figura 9.7: Variação do camber em curvas.
Figura 9.8: Variação da cambagem da roda, função do curso da suspensão.
A cambagem no eixo traseiro é função do seu tipo. Nos eixos rígidos é comum o uso de
0 com tolerância de ±150 , a fim de que o desgaste dos pneus seja uniforme. Com suspensão
independente, é usual a cambagem negativa para melhorar a absorção de forças laterais. O
valor do camber, com o veículo carregado com duas pessoas, não deve ser superior a −1 ,
com as mesmas tolerâncias vistas para o eixo dianteiro.
Uma desvantagem da suspensão independente é que, em curvas, as rodas inclinam juntamente com a carroceria, ou seja, a roda externa tende a ficar com um camber positivo
acentuado, como pode ser observado na figura 9.8. Como essa roda é a mais carregada, uma
diminuição de sua capacidade de absorção de forças laterais não é favorável.
Esse problema pode ser minimizado no projeto da suspensão, de tal forma que quando
a roda suba em relação à carroceria a cambagem vá se tornando negativa progressivamente.
Este comportamento do camber em relação ao curso da roda, para um determinado tipo de
suspensão, está mostrado na figura 9.8.
A modificação do camber devida ao giro da carroceria e ao deslocamento da suspensão é
dada por:

206
Capítulo 9 - Sistema de direção
 = Ψ + 
(9.12)
sendo:
  - variação total da cambagem;
Ψ - giro da carroceria;
  - cambagem induzida pelo deslocamento da suspensão.
Exemplo: Um veículo tem a suspensão, de um de seus eixos, com o comportamento
representado na figura 9.8. Para um ângulo de 5 de giro da carroceria do veículo, calcular a
cambagem das rodas externa e interna; no giro, as rodas da suspensão deslocam-se 50 .
A variação total do camber na roda externa será:
  = 5 − 2 = 3
e na roda interna,
  = −5 + 1 5 = −3 5
Nota-se, com estes resultados, que a tendência das rodas externa e interna de adquirirem
cambagens positiva e negativa excessivas é reduzida de forma sensível com este tipo de suspensão, o que garante maior capacidade de absorção de cargas laterais deste eixo.
9.4
Braço à terra e inclinação do pino mestre
Para inciar o desenvolvimento e um melhor entendimento do que é apresentado é necessário
a definição do pino mestre bem comodo raio de rolamento ou braço à terra.
• Pino mestre é definido como sendo o eixo de revolução em torno do qual a roda gira
para esterçar. Esse eixo é mostrado na figura 9.9.
• Braço à terra ou raio de rolamento, mostrado na figura 9.9, é definido como a distância
 entre o plano médio do pneu e o ponto em que a direção do eixo do pino mestre
intersepta o plano do solo. Esta distância é muito importante na determinação dos
esforços que ocorrem nos braços da suspensão e da direção. O raio de rolamento pode
ser positivo ou negativo, conforme apresentado na figura 9.10.
Nos primórdios da indústria automobilística as rodas diretrizes eram normais ao solo e
giravam em torno de um eixo vertical, chamado pino mestre, como mostrado na figura 9.9.
Com isso o braço de alavanca  era bastante grande, o que acarretava momentos também
grandes para manter a roda em uma mesma posição quando o veículo se deslocava. Isto
tornava bastante desagradável a operação de dirigir um veículo com as rodas sofrendo impactos. Para contornar o problema, deu-se à roda um câmber positivo , visando diminuir
o braço de alavanca, como mostrado na figura 9.11 a). A diminuição desse braço, obtida
desta maneira, implicava em um câmber positivo excessivo. Uma solução complementar foi
207
Capítulo 9 - Sistema de direção
b
Figura 9.9: Posição do pino mestre em veículos antigos.
Figura 9.10: Raio de rolamento.
Capítulo 9 - Sistema de direção
208
Figura 9.11: a) Cambagem de uma roda de forma a reduzir o momento em torno do pino
mestre. b) Inclinação do pino mestre com o mesmo objetivo.
inclinar o pino mestre no plano vertical que contém o eixo das rodas; este ângulo , chamado
de inclinação do pino mestre, está mostrado na figura 9.11 b). A inclinação do pino mestre,
além de tornar o braço de alavanca menor, diminuindo o esforço sobre o volante, induz um
efeito colateral, talvez mais importante, que é o retorno da direção.
Sendo o eixo de rotação inclinado em relação ao plano médio da roda, pode-se imaginar
que a trajetória deste plano se faz sobre um cone, conforme está mostrado na figura 9.12.
Assim, o ponto de apoio da roda com o solo descreve uma circunferência em torno do pino
mestre e o plano em que esta circunferência é descrita é secante ao solo. Quando a roda
tem a sua posição alterada, o ponto de contato do pneu com o solo deveria penetrar no solo,
como isto não acontece, o veículo sobe. Deste modo, a condição de mínima energia potencial
do veículo ocorre com a direção alinhada. Assim, a inclinação do pino mestre funciona de
modo a restituir a direção, alinhando as rodas em relação ao eixo médio do veículo.
Valores usuais de inclinação do pino mestre variam entre 4 e 9 , sendo mais comum algo
em torno de 5 .
9.5
Convergência das rodas
Convergência, segundo a DIN 70020, é a diferença, em mm,  =  − , grandezas essas
mostradas na figura 9.13, medida entre os aros, na altura dos centros das rodas quando em
posição de linha reta.
O menor desgaste dos pneus ocorre quando a roda se desloca perfeitamente em linha reta.
No rolamento, entretanto, surge uma força longitudinal na superfície de contato pneu/pista
que, com o raio de rolamento, origina um momento que será absorvido pelos braços da
direção. A elasticidade dos elementos da direção, principalmente dos seus apoios, permite
que esse momento modifique a posição das rodas, fazendo com que se desloquem inclinadas
em relação à direção do movimento. Para que permaneçam em linha reta, é necessário que,
quando paradas, apresentem uma posição inclinada em sentido contrário.
209
Capítulo 9 - Sistema de direção
Figura 9.12: Inclinação do pino mestre e trajetórias de pontos da roda.
Figura 9.13: Convergência das rodas.
210
Capítulo 9 - Sistema de direção
Figura 9.14: Roda direcional não motriz.
9.5.1
Eixo não motriz
Quando um veículo se desloca em marcha normal, a única força que atua neste eixo é a
resistência ao rolamento, mostrada de forma esquemática na figura 9.14.
Com o raio de rolamento positivo, ver ítem 9.4, o momento atuante causará uma divergência das rodas com o veículo em marcha. Para compensar estas deformações e permitir
que o veículo se desloque com as rodas paralelas à direção do movimento é necessário uma
convergência das rodas quando o veículo está parado. Os valores usuais da convergência
ficam em torno de 2 a 3 .
A convergência pode ser ajustada pela alteração dos comprimentos das barras de direção, nos eixos direcionais. Nos eixos não direcionais pode ser alterada pela variação do
comprimento dos tensores que garantem a posição da roda.
Costuma-se admitir uma tolerância de ±1  no valor adotado para a convergência.
Com o raio de rolamento negativo, o momento resultante atua em sentido oposto ao
comentado anteriormente e as rodas deste eixo deverão ser divergentes com o veículo parado
para, quando em movimento, ficarem paralelas à direção de deslocamento.
9.5.2
Eixo motriz
Nos eixos de tração, além da resistência de rolamento atua a força motriz, que é predominante. Nesse caso, ainda considerando o raio de rolamento positivo, as rodas com o
veículo parado devem ser divergentes, para que, em movimento, fiquem paralelas à direção
de deslocamento. Com o raio de rolamento negativo as rodas devem ser convergentes.
9.5.3
Correção do comportamento em curvas com a variação da
convergência
A variação da convergência com o curso vertical da roda é de suma importância quando
o veículo faz curvas, sendo resultado do movimento vertical das rodas e dos pontos de
fixação do mecanismo que as liga rodas à carroceria do veículo. O termo em inglês para
designar esse comportamento é bump steering podendo ser traduzido por esterçamento por
curso da suspensão. Para ilustrar esse comportamento, considere-se a curva de variação da
convergência, em função do curso da roda, mostrada na figura 9.15.
Capítulo 9 - Sistema de direção
211
Figura 9.15: Correção do comportamento subesterçante em curvas com a variação da convergência
Em termos de estabilidade direcional o comportamento subesterçante de um veículo pode
ser minimizado, ou mesmo eliminado, ao adotar-se uma suspensão no eixo dianteiro com o
tipo de comportamento indicado nessa figura.
Da mesma forma, um veículo com comportamento sobresterçante pode ter esta característica minimizada, ou mesmo eliminada, ao adotar-se uma suspensão traseira com o
comportamento indicado na figura 9.16.
Quando o eixo é rígido, devido à ligação direta de ambas as rodas, não é possível obter
esses efeitos com o molejamento da suspensão.
Um efeito adicional da convergência é a eliminação da tendência a oscilar das rodas
dianteiras. Essa tendência é motivada pelas folgas existentes no sistema de direção. Como,
com a convergência, os elementos que compõem esse sistema são mantidos tensionados, as
folgas desaparecem e a oscilação também.
9.6
Caster
O caster é, segundo a DIN70020, a distância "n", mostrada na figura 9.17, entre o ponto
de contato pneu/pista e o ponto em que o prolongamento do pino mestre encontra o solo,
medida na projeção em um plano médio vertical do veículo.
O caster pode ser obtido, em veículos com tração traseira, através da inclinação do pino
mestre de um ângulo  (caso 1) ou através do deslocamento desse pino para a frente do eixo
(caso 2), figura 9.17.
Em veículos com tração dianteira, devido ao sentido da força de tração, é possível usar
Capítulo 9 - Sistema de direção
212
Figura 9.16: Correção do comportamento sobresterçante com o uso de suspensões adequadas.
Figura 9.17: Obtenção do caster em veículos com tração traseira, casos 1 e 2, e com tração
dianteira, casos 3 e 4.
Capítulo 9 - Sistema de direção
213
um valor negativo para o caster (-n), obtido através de uma inclinação contrária à do caso
1 para o pino mestre (caso 3) ou através de um deslocamento desse pino para trás do eixo
(caso 4), figura 9.17.
Com tração traseira, o caster, obtido como mostrado na figura 9.17, faz com que o
ponto de rotação da roda fique na frente do centro de contato pneu/pista; a resistência ao
rolamento, então, tende a alinhar a roda na direção do deslocamento do veículo.
Com tração dianteira e caster como mostrado na figura 9.17, a força de tração tenderá a
garantir esse alinhamento.
Uma análise da frequência de utilização do ângulo caster para as três concepções de
veículo - standart (motor dianteiro com tração traseira), motor e tração traseiros e motor e
tração dianteiros, mostra valores variando nas seguintes faixas:
- Concepção standart:  = 0 a 4 ;
- Motor e tração traseiros:  = 8 a 12 ;
- Motor e tração dianteiros:  = −1 a +3 ;
- Tolerância: ±300 
Capítulo 10
Suspensões planas
10.1
Introdução
Para estudo do comportamento de um veículo em curvas é de importância o ângulo de
rolamento da carroceria, que está sobre molas, e as correspondentes modificações da carga e
da posição das rodas, já que a carga e a posição das rodas influem nas reações laterais dos
pneus, reações essas que mantêm o veículo na pista.
Pela ação da aceleração centrípeta, age no veículo uma força de inércia no centro de
gravidade das massas suspensas que gera um momento que tende a incliná-lo lateralmente.
Se as rodas estiverem fixadas rigidamente na carroceria, esse momento será absorvido por elas
em função, simplesmente, da bitola e da distribuição de carga nos eixos; ocorre um aumento
de carga nas rodas externas e uma diminuição nas internas. A importância da suspensão
e do molejamento, além de propiciar conforto aos usuários e a estrutura, reside em que a
parcela do momento absorvida em cada eixo, ou seja, a diferença de carga nas rodas de um
mesmo eixo, pode ser modificada independentemente da distribuição de carga propiciada
pela posição do centro de gravidade. Utilizam-se, para isso, eixos dianteiro e traseiro com
diferentes tipos de suspensão e rigidez de molas; essa rigidez pode ser modificada pela escolha
das molas propriamente ditas e pelo uso de estabilizadores.
A parcela do momento absorvida por um eixo causará uma diferença na carga normal
de suas rodas e, consequentemente, uma variação do valor de seu ângulo de deriva, o que
influirá na estabilidade do veículo (ver Capítulo 8).
Como mostrado na figura 10.1, uma maior transferência de carga entre as rodas externa
e interna diminui a capacidade de absorção de forças laterais, ou seja, para uma mesma
força lateral perturbadora o eixo com maior transferência de carga apresentará um ângulo
de deriva maior. Esta afirmação é melhor entendida através do exemplo que segue.
Exemplo: Considere-se um dos eixos de um veículo dotado de pneus 5 6015 com aros
4 × 15 e pressão de 1 4 2 (aproximadamente 20 2 ). Considere-se, ainda,
que a carga em ambas as rodas seja de 3000  e que a força de inércia devido a aceleração
centrípeta, cause diferença de carga nas rodas externa e interna de 1000 N (caso 1) e 2000 N
(caso 2). Para a análise considere a curva  = () para o pneu, com um ângulo de deriva
de 8 , dada na figura 10.1.
Os resultados dessas duas análises estão apresentados na tabela 10.1.
214
215
Capítulo 10 - Suspensões planas
Figura 10.1: Carga lateral absorvida, em função da carga normal sobre a roda, para um
ângulo de deriva de 8 .
Tabela 10.1: Solução do exemplo.
Carga radial
Roda externa

Roda interna

Total
 + 
Carga lateral Roda externa

Roda interna

Reação total  + 
Caso 1
(∆ = 1000 )
4000 
2000 
6000 
2440 
1590 
4030 
Caso 2
(∆ = 2000 )
5000 
1000 
6000 
2500 
850 
3350 
Pelos valores das forças laterais totais possíveis de absorver em cada caso, conclui-se que,
quando o eixo sofre uma maior variação da carga normal em suas rodas, pode absorver uma
menor força lateral para uma mesma deformação do pneu (deriva), ou, em outras palavras,
para uma mesma força lateral, o eixo submetido a uma maior variação de carga nas rodas
sofrerá um maior ângulo de deriva (maior deformação do pneu).
A transferência de carga nas rodas de um eixo depende dos seguintes fatores:
1. da rigidez das molas do eixo;
2. do tipo de suspensão utilizado;
3. do uso ou não do estabilizador, bem como do tipo;
4. das massas não suspensas.
O método que será apresentado para cálculo da transferência de carga e do ângulo de
rolamento, é válido para os sistemas conhecidos de molas e suspensões e possibilita a comparação entre diferentes construções bem como a avaliação do comportamento de um novo
veículo em curvas. Considera, de maneira a simplificar a análise, molas com características
216
Capítulo 10 - Suspensões planas
CG das massas suspensas
WnI
WnII
W
RoI
hm
rd
bII
bI
RoII
l
Figura 10.2: Modelo para determinação da posição do centro de gravidade das massas suspensas.
lineares. Em um veículo com molas com essa característica, o ângulo de rolamento Ψ é relativamente fácil de determinar em função do coeficiente de aderência lateral  . Mais difícil
é calculá-lo quando as molas de um ou dos dois eixos são progressivas.
As molas flexíveis hoje usadas exigem batentes de borracha, na compressão e na tração,
como limitadores de curso; esses batentes ocasionam um aumento da rigidez da mola no final
do seu curso de compressão ou de distenção. A característica de mola de um conjunto mola
mais batente deixa de ser linear, passando a ser progressiva. Um procedimento de cálculo
com o uso desses conjuntos exigiria dispor das características de mola correspondentes; não
se dispondo dessas curvas, deve-se considerar características lineares para as molas e usar,
nos cálculos, o método mais simples apresentado a seguir.
10.2
Centro de gravidade das massas suspensas
A determinação da posição do centro de gravidade das massas suspensas pelas molas,
onde atua a força  , figura 10.2, é importante para verificação da inclinação lateral do
veículo, pois são essas massas que causam o momento que tende a girá-lo em relação ao seu
eixo longitudinal.
O significado das grandezas mostradas na figura 10.2 são:
 - peso das massas suspensas;
 - peso das massas não suspensas do eixo dianteiro;
 - peso das massas não suspensas do eixo traseiro;
 ;  - distância do CG das massas suspensas aos eixos;
 - altura do CG das massas suspensas;
 - distância entre eixos;
 - raio dinâmico do pneu;
 ,  - reação das rodas sobre o solo, com o veículo parado.
De maneira geral o peso de um veículo, , pode ser subdividido em três parcelas, peso
suspenso,  , peso não suspenso do eixo dianteiro,  , e peso não suspenso do eixo traseiro,
 . Os pesos  e  , por facilidade de desenvolvimento, são considerados agindo no
centro geométrico dos eixo das rodas. Essas grandezas devem satisfazer a seguinte relação:
217
Capítulo 10 - Suspensões planas
Figura 10.3: Posicionamento do veículo para a determinação da posição do centro de gravidade das massas suspensas.
 =  +  +  .
(10.1)
Os valores dos pesos das massas não suspensas  e  , devem ser obtidos por
pesagem ou por avaliação, então:
 =  −  −  .
(10.2)
Do equilíbrio de forças e momentos do modelo apresentado na figura 10.2, obtem-se:
 =

[ −  ]

(10.3)

[ −  ].
(10.4)

Para a determinação da altura do centro de garvidade das massas não suspensas utiliza-se,
para o equilíbrio, o modelo mostrado na figura 10.3. Disso resulta:
 =
 =
[  − ( +  )  ]
.

(10.5)
Em geral    , ou seja, o CG das massas suspensas fica situado acima do CG do
veículo de vinte a quarenta milímetros.
218
Capítulo 10 - Suspensões planas
Plano médio
do pneu
P
Pólo
A
Plano médio da
carroceria
P
Pólo
B
D
C
M ou N (centro de
rolamento)
N
N
Figura 10.4: Pólos e centro de rolamento de uma suspensão independente tipo duplo A.
10.3
Centro e eixo de rolamento
Para o estudo da transferência de carga em um eixo, é necessário conhecer a posição
de pontos caracteríticos dos mecanismos das suspensões do veículo em análise. O ponto de
partida para este estudo é a determinação do centro instantâneo de rolamento da suspensão;
ele é o único ponto de um plano vertical que passa pelo centro do eixo que, num determinado momento, permanece sem translação, o que permite desacoplar os efeitos da ação dos
momentos e das forças na análise das reações dos pneus ao solo. É, portanto, o ponto em
torno do qual a carroceria começa a girar quando submetida a uma força lateral e é nele que
atua a parcela correspondente dessa força.
Para determinar o centro de rolamento, em uma suspensão do tipo independente (para
outros tipos de suspensões reportar-se à figura 10.5) e plana, deve-se inicialmente obter o
centro instantâneo do movimento de uma roda, denominado de pólo, em relação à carroceria.
Na suspensão ilustrada na figura 10.4, do tipo braços transversais ou duplo A, as rótulas
junto à roda movem-se perpendicularmente aos braços e, assim, o pólo  , para este tipo de
suspensão, encontra-se na interseção do prolongamento dos braços  e .
O ponto de contato do plano médio da roda com o solo, , move-se perpendicularmente
à linha  , sobre a qual deverá situar-se, também, o centro de rolamento  da carroceria
quando, ao contrário, a roda permanece na pista e a carroceria gira. O mesmo vale para a
outra roda do eixo; desse modo  se situa na intersecção das retas   das suspensões desse
eixo. Quanto o veículo começa a girar em torno do centro de rolamento, ou seja o ângulo de
giro é zero, esse ponto também está contido no seu plano médio longitudinal, como pode ser
observado na figura 10.4.
O centro de rolamento é um ponto inerente ao tipo de suspensão, como pode ser observado nos diversos tipos ilustrados na figura 10.5. Em geral, as suspensões dos veículos são
diferentes na dianteira e na traseira, com centros de rolamento em diferentes alturas e, como
é visto adiante, isso implica em um comportamento de rolamento característico da carroceria
dos diversos veículos conhecidos.
Capítulo 10 - Suspensões planas
Figura 10.5: Características geométricas de vários tipos de suspensões.
219
220
Capítulo 10 - Suspensões planas
M
M=P
P
P
N
N
C)Pêndulo
e)Pêndulo encurtado
b/2
L
L3
M
m
p
P
P
N
N
N
p
m
M
f) Braços transversais
e)Braço e mola transversais
M
N
f) Braços longitudinais
A reta que passa por esses centros, mostrado na figura 10.6, é definida como eixo de
rolamento em torno do qual girará a carroceria.
Um dado importante para análise do comportamento do veículo sob a ação de cargas
laterais é a distância do eixo de rolamento ao centro de gravidade das massas suspensas.
Essa grandeza, mostrada no modelo da figura 10.6, a partir da semelhança de triângulos é
dada por:
 =  − 
(10.6)
ou
 =  −
(  +   )

sendo:
 - distância do centro de rolamento da suspensão dianteira ao solo;
(10.7)
Capítulo 10 - Suspensões planas
221
Figura 10.6: Distância do centro de gravidade das massas suspensas ao eixo de rolamento.
 - distância do centro de rolamento da suspensão traseira ao solo;
 - distância do centro de gravidade das massas suspensas ao eixo dianteiro;
 , distância do centro de rolamento das massas suspensas ao eixo traseiro;
 - distância entre eixos;
 - distância do centro de gravidade das massas suspensas ao solo.
Uma recomendação para o projeto do mecanismo de suspensão é que o eixo de rolamento
deve ser aproximadamente paralelo ao solo para que, em uma curva, não haja grande diferença na transferência de carga entre os eixos dianteiro e traseiro; com isso,o comportamento
do veículo será mais neutro. Uma posição alta do eixo de rolamento implica em um pequeno
ângulo de giro da carroceria, com consequente aumento do conforto; no entanto, em suspensões independentes, a posição do centro de rolamento não deve ser alta, para evitar grandes
variações de bitola durante o molejamento, como no caso de frenagens e arrancadas fortes,
o que poderia afetar a dirigibilidade do veículo bem como o desempenho de arrancada e
frenagem. Um valor de partida para o projeto do mecanismo é que para um curso de mola
de 80 mm, ou seja, ± 40 mm a partir do ponto neutro, a variação de bitola no eixo dianteiro
não deve ser superior a 25 mm (12 5 mm por roda); no eixo traseiro a variação de bitola
pode chegar a 35 mm.
Desse modo, no projeto de uma suspensão, o primeiro passo é determinar a altura do
centro de rolamento da suspensão dianteira (que, pelas limitações de variação de bitola,
dificilmente poderá ser superior a 150 mm) e, então, escolher uma suspensão traseira cuja
posição do centro de rolamento permita evitar um grande valor de  .
10.4
Comportamento em curvas de um veículo com
molas lineares
Como comentado brevemente anteriormente, em uma curva a ação da força de inércia
das massas suspensas, devido a aceleração centrípeta em trajetória curvilínea, em relação
ao eixo de rolamento ocasiona um momento que provoca a inclinação lateral da carroceria,
fazendo-a girar de um ângulo denominado ângulo de rolamento. Esse momento, dado por
222
Capítulo 10 - Suspensões planas
 =  [ −  ] =  
(10.8)
contribui, também, para a transferência de carga das rodas internas para as externas. Ele
é absorvido pelas suspensões dianteira e traseira, com as parcelas correspondentes variando
em função da rigidez das molas utilizadas em cada uma delas, mas satisfazendo, sempre, a
seguinte relação:
 =  +  .
(10.9)
Os momentos  e  produzem a primeira das quatro parcelas da transferência total
de carga entre a roda interna e a externa de um mesmo eixo.
Além disso, a força de inércia aplicada, agora, no eixo de rolamento, pode ser decomposta
parte para o eixo dianteiro,   parte para o traseiro,  , figura 10.7, agindo nos centros
de rolamento das suspensões, cujas distâncias ao solo são, respectivamente,  e . Vale
lembrar que essas componentes satisfazem a seguinte condição:
 =  +  
(10.10)
Vale observar que o produto de cada componente pela respectiva altura do centro de rolamento ao solo resulta um momento que, embora não cause inclinação da carroceria, colabora
na transferência de carga entre as rodas do eixo, originando a segunda parcela dessa transferência.
A terceira parcela é causada pelo estabilizador instalado no eixo, não representado na
figura 10.7. Dependendo do tipo empregado, ele aumenta a transferência de carga entre as
rodas de uma suspensão e reduz a inclinação da carroceria (tipo U) ou aumenta a inclinação
da carroceria e reduz a transferência de carga entre as rodas do eixo (tipo Z). Sua utilização
tem importância muito grande no comportamento em curvas e é uma solução muito empregada pelos fabricantes de automóveis para atenuar tendências indesejáveis dos veículos em
curvas.
A quarta e última parcela da transferência de carga é devida à ação da aceleração centrípeta sobre as massas não suspensas dos eixos,  e  . Essas forças e suas reações
na pista originam um binário que ocasiona diferença de carga nas rodas do eixo. A intenção
de reduzir esta quarta parcela tem acelerado o uso de novos materiais na construção dos
elementos que compõem as massas não suspensas, como ligas de alumínio, ligas de titânio
e compósitos. Com a redução das massas desses elementos, além disso, são reduzidas suas
inércias, aumentando a capacidade das rodas de seguirem as irregularidades do terreno sem
perda de contato com a pista, o que aumenta a estabilidade do veículo.
10.5
Transferência de carga das rodas internas para as
externas
Conforme destacado anteriormente, a transferência de carga da roda interna para a roda
externa de um eixo é proveniente de quatro influências distintas, que são analisadas sepa-
223
Capítulo 10 - Suspensões planas
WII
MII
FcII
Eixo de rolamento
n
N
Fc
CG
WnII
ho
WI
FcnII
ro
Solo
hm
W
hr
FcI
bII
M F
cnI
MI
WnI
m
bI
ro
Figura 10.7: Ação da força de inércia das massas suspensas em relação ao eixo de rolamento
e sua tranferência para os eixos dianteiro e traseiro.
radamente:
1. momento no eixo considerado,  ou  , devido à força de inércia das massas
suspensas;
2. momento devido à parcela da força de inércia das massas suspensas agindo no centro
de rolamento do eixo,  ou  ;
3. momento devido ao estabilizador existente no eixo,  ou  ;
4. momento devido à ação da aceleração centrípeta nas massas não suspensas do eixo,
 e  .
10.5.1
Ação do momento 
Em uma curva, a força de inércia devido a aceleração centrípeta das massas suspensas,
dada por
 =
 2
=  
 
(10.11)
é absorvida pelas rodas e, portanto, é igual à força de atrito   ; seu máximo valor depende
das condições da interface pneu/pista.
224
Capítulo 10 - Suspensões planas
Figura 10.8: Modelo do sistema de forças que atua em um veículo.
A distância dessa força de inércia ao eixo de rolamento faz com que atue sobre o veículo
um momento que tende a incliná-lo lateralmente. Esse momento é mais ou menos absorvido
pelo eixo dianteiro, ou traseiro, em função da rigidez das molas de cada eixo.
De maneira a se ter um entendimento mais preciso do modelo que está sendo desenvolvido,
na figura 10.8 é representado um esquema mais completo do veículo.
Se as rodas fossem fixadas rigidamente à carroceria, ou seja, sem a existência de molas,
a transferência de carga seria função, simplesmente, da distribuição da carga sobre os eixos
e das bitolas, ou seja,



=  =  



(10.12)



= 
=  



(10.13)
∆ =
∆ =
sendo:
∆ - variação de carga nas rodas do eixo considerado,  =  ;
 - parcela do momento da força de inércia das massas suspensas  =   absorvida
pelo eixo;
 - parcela da força de inércia das massas suspensas atuante no centro de rolamento;
 - força de inécia da massa não suspensa;
 - bitola do eixo;
 - coeficiente de aderência lateral pneu/pista;
 - altura do centro de gravidade das massas suspensas do veículo;
 - parcela do peso do veículo sobre o eixo,
225
Capítulo 10 - Suspensões planas
Figura 10.9: Suspensão com eixo rígido.
 - raio da curva percorrida pelo veículo ();
 - velocidade do veículo ();
 - aceleração da gravidade (2 )
Com a utilização de molas na suspensão o momento que é absorvido em cada um dos eixos
é transmitido para as rodas através da deflexão dessas molas e uma modelagem matemática
que considere a rigidez das mesmas é necessário ser desenvolvida, como segue.
Eixo rígido
Para o caso de uma suspensão traseira do tipo eixo rígido, tal como a mostrada na figura
10.9, o momento da força de inércia das massas suspensas ocasiona um giro da carroceria em
torno do centro de rolamento . As molas opõem-se à ação desse momento e suas reações
apoiam-se sobre o eixo, ocasionando diferença de carga nas rodas.
Sendo  a constante da mola, ∆ a variação da força em cada mola, devido ao giro
da carroceria, é dada por:
∆ =  
(10.14)
A relação entre o ângulo de giro da carroceria e a deflexão da mola, figura 10.10, é dada
através da seguinte expressão:
Ψ = 2


(10.15)
Para pequenos ângulos, pode-se considerar

 =Ψ ,
2
(10.16)
logo
∆ =  Ψ

.
2
(10.17)
226
Capítulo 10 - Suspensões planas
Figura 10.10: Relação entre o giro da carroceria e a deflexão das molas.
Como
 = ∆ 
(10.18)
tira-se
2

(10.19)
2
Pela análise desta equação, conclui-se que, para um mesmo momento da força de inércia
das massas suspensas, quanto maior a distância entre as molas da suspensão, tanto menor o
de giro da corroceria. Por outro lado, vale, também,
 =  Ψ
 = ∆ (1) 
(10.20)
2


= Ψ   = Ψ 

2 
2
(10.21)
e assim:
∆ (1) =
com
 2
).
(10.22)

Para o caso de uma suspensão de eixo rígido na dianteira um desenvolvimento semelhante
ao feito para a supensão traseira resulta no seguinte conjunto de equações:
 =  (
 = ∆ (1) 
(10.23)
e assim:
2


= Ψ   = Ψ 

2 
2
sendo  a rigidez equivalente da mola, dada por:
∆ (1) =
 =  (
 2
).

(10.24)
(10.25)
227
Capítulo 10 - Suspensões planas
Figura 10.11: Suspensão independente e seu ângulo de giro.
Suspensão independente
A determinação da primeira parcela de transferência de carga para uma suspensão independente, dianteira ou traseira, em função do momento da força de inércia causada pela
aceleração centrípeta das massas suspensas, é realizada a partir da análise da suspensão
mostrada na figura 10.11.
Para uma mola com rigidez  posicionada em , a constante de mola na rótula do braço
transversal é:

 = ( )2 .

O deslocamento da suspensão no plano médio do pneu é dado por:

 = Ψ
2
que, para pequenos ângulos, pode ser aproximado por:
(10.26)
(10.27)

(10.28)
∼
= Ψ.
2
A variação de carga na roda é dada a partir da equação 10.14, fazendo  =  e ∆ = ∆
ou seja:

(10.29)
∆(1) = Ψ  .
2
Portanto, se a suspensão independente for dianteira, a transferência de carga da roda
interna para a externa será
∆ (1) = Ψ 
De modo semelhante para a suspensão traseira:

.
2
(10.30)
228
Capítulo 10 - Suspensões planas

.
2
Os momentos absorvidos pelos eixos seriam, respectivamente,
(10.31)
∆ (1) = Ψ 
 = ∆ (1) = Ψ 
2
2
(10.32)
e
2
.
(10.33)
2
A transferência de carga devido ao momento da força de inércia das massas suspensas
em relação ao eixo de rolamento é, como se vê, um problema hiperestático, pois a parcela
absorvida em cada eixo depende do ângulo de giro da carroceria que, por sua vez, depende
do valor desse momento.
 = ∆ (1) = Ψ 
10.5.2
Ação das parcelas da força de inércia das massas suspensas
A componente da força de inércia das massas suspensas absorvida por um eixo age no
centro de rolamento da suspensão, conforme é mostrado na figura 10.12. Essa força provoca
uma transferência de carga adicional entre as rodas interna e externa.
O valor dessa parcela é obtido através do equilíbrio de momentos; para uma suspensão
dianteira,
(10.34)
  = ∆ (2)
ou


 
=   =  
.


 
De forma semelhante, para uma suspensão traseira,
(10.35)
∆ (2) = 
(10.36)
  = ∆ (2)
ou


 
=  
=  

(10.37)


 
Os momentos dessa transferência de carga absorvidos pelas rodas do eixo dianteiro e traseiro
são dados por
∆ (2) = 
 = ∆ (2) =   =    =  



(10.38)
e
 = ∆ (2) =   =    =  
respectivamente.



(10.39)
229
Capítulo 10 - Suspensões planas
Figura 10.12: Transferência de carga nas rodas de um eixo pela ação da força de inércia das
massas suspensas agindo no centro de rolamento.
Observa-se que quanto mais alto o centro instantâneo de rotação de uma suspensão ou
quanto menor a bitola do eixo, tanto maior será a transferência de carga entre as duas rodas
do eixo.
10.5.3
Ação do estabilizador
O tipo de estabilizador mais difundido é o de barra de torção, sendo que há dois tipos:
formas U e Z, os quais são mostrados nas figuras 10.13 a) e 10.13 b). Unindo os braços
transversais da suspensão, eles alteram a constante de mola do eixo, o ângulo de rolamento
da carroceria e, consequentemente a transferência de carga entre as rodas do eixo.
Os estabilizadores em U ocasionam um aumento da transferência de carga entre as rodas
do eixo, quando em curva, já que sua ação consiste em comprimir a roda externa e levantar
a interna, conforme mostrado na figura 10.14.
Os estabilizadores tipo U aumentam a transferência de carga do eixo e os estabilizadores
em Z, ao contrário, ocasionam uma diminuição da transferência de carga entre as rodas de
um mesmo eixo.
A constante de mola de um estabilizador tipo U é calculada como de uma barra de
torção, sendo o comprimento efetivo a metade do comprimento da barra, já que, em relação
à roda, a seção central da barra funciona como se estivesse engastada, pois não gira. Havendo
flexão de alguma parte do estabilizador ou das hastes, a rigidez à esse tipo de esforço deve
ser considerada, visto que pode ser bastante representativa na rigidez total do componente.
Chamando de  essa constante de mola, o valor efetivo da constante de mola do estabilizador,
considerada no extremo do braço transversal (figura 10.11) vale:

 =  ( )2 .

(10.40)
Capítulo 10 - Suspensões planas
Figura 10.13: Estabilizadores tipo barra de torção.
Figura 10.14: Ação do estbilizador em forma de U em uma curva.
230
231
Capítulo 10 - Suspensões planas
Esse equacionamento pode ser obtido a partir da conservação do trabalho.
Entre o momento estabilizante  e o ângulo de rolamento da carroceria existe a relação:
 =
2
 Ψ.
2
(10.41)
Desse modo, a terceira parcela da transferência de carga, devida ao uso do estabilizador
no eixo dianteiro, é dada por:

 Ψ
2
e, para o eixo traseiro, a transferência de carga é dada por:
∆ (3) =
(10.42)

 Ψ.
(10.43)
2
Os momentos absorvidos pelos estabilizadores das suspensões do eixo dianteiro e traseiro,
desenvolvidos a partir da equação 10.41, são:
∆ (3) =
 =
 =
2
 Ψ
2
(10.44)
2
 Ψ.
2
(10.45)
respectivamente.
É interessante frisar que essas equações são válidas para qualquer tipo de suspensão.
Com o uso de uma barra estabilizadora tipo Z, também conhecida como barra equilibradora , ocorre a diminuição da transferência de carga entre as rodas do mesmo eixo e o
sinal de ∆(3) deve ser trocado.
Do exposto se conclui que o uso de um estabilizador em U faz com que o eixo onde
foi instalado absorva uma maior parcela do momento devido à força de inércia das massas
suspensas e ocasione uma maior transferência de carga em suas rodas, com consequente
aumento do seu ângulo de deriva. No outro eixo, sem estabilizador ou com estabilizador em
Z, ocorre o contrário. Desse modo, o uso de estabilizadores pode alterar convenientemente
o comportamento de um veículo em curvas.
A rigidez de um establizador pode ser alterada a partir da mudança de algumas de
suas dimensões, como por exemplo, o aumento do braço ””, figura 10.13 a), diminui a
constante de mola do estabilizador. Para ilustrar esse efeito considera-se um veículo com
comportamento neutro dotado de estabilizadores em U, tanto no eixo dianteiro quanto no
traseiro, que poderia ter esse comportamento alterado somente pela variação de ””, da
seguinte forma:
• Estabilizador no eixo dianteiro
- aumentando , tende a sobresterçante (   );
- diminuindo , tende a subesterçante (   ).
232
Capítulo 10 - Suspensões planas
• Estabilizador no eixo traseiro
- aumentando , tende a subesterçante;
- diminuindo , tende a sobresterçante.
10.5.4
Ação da força de inércia das massas não suspensas
Como quarta parcela da diferença de carga entre as rodas externa e interna de um eixo,
tem-se a ocasionada pela aceleração centrípeta agindo nas massas não suspensas.
Eixo rígido
Em um eixo rígido, tal como o mostrado na figura 10.15, a força de inércia das massas
não suspensas age no centro de gravidade do eixo (considerado coincidente com o centro das
rodas) e ocasiona a variação adicional de carga nas rodas
∆ (4) = 


=  


(10.46)
sendo:
 - peso das massas não suspensas;
 - força de inércia correspondente as massas não suspensas;
 - coeficiente de aderência lateral pneu/pista;
 - raio dinâmico do pneu;
 - bitola.
Caso o eixo dianteiro seja rígido, como no caso de alguns veículos fora de estrada, essa
parcela de transferência de carga é dada por:


=   
(10.47)


Com isso definido, os momentos absorvidos pelas rodas dianteiras e traseiras para esse tipo
de seupensão são dados por
∆ (4) = 
 = ∆ (4) =    ,
(10.48)
 = ∆ (4) =    ,
(10.49)
respectivamente.
Suspensão independente
Para suspensões independentes, dianteiras ou traseiras, a diferença de carga devida à
ação da força de inércia das massas não suspensas depende não só das alturas  ou  dos
centros momentâneos de rolamento como, também, da altura do pólo .
No caso do eixo dianteiro mostrado na figura 10.16, tem-se o equilíbrio de momentos
233
Capítulo 10 - Suspensões planas
Figura 10.15: Massas não suspensas de um eixo rígido.
Figura 10.16: Alturas do pólo e do centro de rolamento de uma suspensão independente.
  =    =  
(10.50)
Considerando a figura 10.16, do equilíbrio de forças na direção vertical, obtém-se:
 = ∆ (4)
(10.51)
e de relações de semelhanças de triângulos, dada por:
=
 
2
(10.52)
obtém-se
 
 
o momento absorvido pelas rodas dianteiras é dado por:
∆ (4) = 2 
(10.53)
234
Capítulo 10 - Suspensões planas

.
(10.54)

O valor dessa expressão é positivo para a roda externa e negativo para a interna quando,
como é o caso mais frequente, o pólo e o centro momentâneo ficam acima do solo ou ambos
abaixo dele. Uma exceção é mostrada na figura 10.5 g), para a suspensão com braço e mola
transversais, onde  é negativo e os sinais da expressão anterior são trocados para as rodas
externa e interna. Com o pólo no infinito, como o caso mostrado na figura 10.5 h), que
corresponde ao centro momentâneo sobre o solo, ∆ (4) = 0.
Para o eixo traseiro com suspensão independente, a equação correspondente é:
 = ∆ (4) = 2  
 
.
 
o momento absorvido pelas rodas traseiras é dado por:
(10.55)
∆ (4) = 2 
 = ∆ (4) = 2  

.

10.6
Carga dinâmica nas rodas
10.6.1
Superposição das parcelas de transferência de carga
(10.56)
Para estabelecer o comportamento do veículo em curvas (neutro, sobresterçante ou
subesterçante), é importante a diferença entre os ângulos de deriva dos eixos dianteiro e
traseiro. No valor desses ângulos, influi a transferência de carga nas rodas desses eixos em
uma curva, conforme visto. O cálculo da transferência de carga deve ser feita em cada eixo
separadamente.
No eixo dianteiro, as forças que os pneus exercem sobre o solo são dadas por:
roda externa
 X
+
∆
2
=1
(10.57)
 X
−
∆
 =
2
=1
(10.58)
4
 =
roda interna
4
com
4
X
=1
∆ = ∆ (1) + ∆ (2) ± ∆ (3) + ∆ (4).
No eixo traseiro tem-se:
roda externa
(10.59)
235
Capítulo 10 - Suspensões planas
 X
+
=
∆
2
=1
(10.60)
 X
∆
−
2
=1
(10.61)
4

roda interna
4
 =
com
4
X
=1
∆ = ∆ (1) + ∆ (2) ± ∆ (3) + ∆ (4).
(10.62)
O sinal negativo em ∆ (3) vale para um estabilizador em Z, enquanto que o positivo
deve ser considerado quando um estabilizador em U for usado.
Exemplo
Para uma melhor visualização da formulação, considere-se um automóvel
cujas suspensões apresentam as seguintes características:
1 - eixo dianteiro - suspensão independente constituída por trapézio transversal e estabilizador do tipo U,
2 - eixo traseiro - eixo rígido, sem barra estabilizadora.
No eixo dianteiro, o equilíbrio de momentos é dado pela expressão:
 +  +  +  = ∆ 
(10.63)
e a transferência de carga por:
 

 
( + 1 ) Ψ +  
+ 2 
.
2
 
 
Para o eixo traseiro, o equilíbrio de momentos resulta na expressão dada por:
∆ =
 +  +  = ∆ 
com a correspondente transferência de carga:
µ
¶
Ψ
1
 
2
  +  
+    .
∆ =

2
 
(10.64)
(10.65)
(10.66)
Se fosse utilizada suspensão independente na traseira, a primeira parcela deveria ser
substituida por:

.
(10.67)
2
Empregando estabilizador em Z, para diminuir a tranferência de carga no eixo traseiro,
seria necessário diminuir de ∆ a parcela
Ψ 
236
Capítulo 10 - Suspensões planas

2 Ψ.
(10.68)
2
Com o uso de um estabilizador em U, entretanto, a variação de carga aumentaria e essa
parcela deveria ser somada a ∆ .
∆ (3) =
10.6.2
Considerações
Da formulação desenvolvida se pode concluir que o eixo que sofre a maior variação de
carga é aquele em que:
a) a maior parcela do peso do veículo se apoia (verificado pelos valores de  e  em
∆(2));
b) o centro de rolamento apresenta maior altura em relação ao solo ( ou  em ∆(2));
c) as molas apresentam maior rigidez, seja da suspensão, em ∆(1), ou do estabilizador,
em ∆(3);
d) as massas não suspensas são maiores, em ∆(4);
e) é equipado com pneus de maior raio dinâmico.
Quanto maior a variação de carga em um eixo, tanto maior será o ângulo de deriva nesse
eixo, como ilustrado no exemplo resolvido no item 10.1.
10.7
Ângulo de rolamento da carroceria
A fim de determinar o ângulo de rolamento da carroceria pela ação da força de inércia,
considera-se a condição de equilíbrio entre os momentos das forças de inércia das massas
suspensas e não suspensas e os momentos de reação das molas e estabilizadores usados nas
suspensões:
Σ momentos de rolamento = Σ momentos de reação.
10.7.1
(10.69)
Momentos de rolamento
Com um eixo rígido, os momentos das forças de inércia das massas não suspensas dos
eixos dianteiro e traseiro,    e     não influem na inclinação da carroceria,
mas sim na carga dinâmica das rodas, porém para as supensões independentes isso ocorre.
Isso se deve ao fato de que a suspensão independente é ligada ao chassi através dos braços.
Sendo assim, para determinação dos momentos de rolamento com suspensão independente,
considera-se a figura 10.17 representativa desse tipo de suspensão, que poderia estar tanto
na dianteira quanto na traseira do veículo.
237
Capítulo 10 - Suspensões planas
Figura 10.17: Influência da posição do pólo P na inclinação da carroceria.
Pela ação da força de inércia das massas suspensas de uma suspensão, surge no pólo uma
força − dirigida para baixo. Sua reação + ocasiona o momento de rolamento, dado por
µ
¶

1 =   −

(10.70)
2
que, cuja ação, implica no aumento da inclinação da carroceria.
Nessa análise caso, as forças mostradas na figura 10.17, são dadas por:
 =  =   ;
(10.71)
sendo:
 - peso das massas não suspensas do eixo dianteiro;
 - Força de atrito desenvolvida no par pneu/pista;
 - força de inércia devido a massa não suspensa do eixo dianteiro;
 - coeficiente de atrito do pneu com o solo.
No desenvolvimento que segue vai ser preciso ter uma equação que relacione a distância q
com as demais grandezas características do mecanismo da suspensão. Para isso, observando
a figura 10.17 e por semelhança de triângulos, pode ser escrito que:


=
 2

(10.72)
a qual, com o devido manuseio, transforma-se em:
 = 


2
(10.73)
238
Capítulo 10 - Suspensões planas
Com a relação 10.73, a equação 10.70 pode ser reescrita como
µ
¶
  
−

1 = 
2
2
(10.74)
Pela condição de equilíbrio de momentos na direção axial do modelo mostrado na figura
10.17, tem-se:
  
 
= 
.


a qual, com a relação 10.73, pode ser escrita como:
 =
 2
.
 
Ao substituir  na equação 10.74 do momento de rolamento 1 , tem-se :
¶µ
µ
¶
 2
  
1 =  
−

 
2
2
 =  
o qual, com as devidas manipulações, é reescrito como
µ
µ
¶
¶
 2  


−
=    1 −
1 =  
 
2
2

(10.75)
(10.76)
(10.77)
(10.78)
A equação correspondente a 10.78 para uma suspensão independente no eixo traseiro é
dada por:
µ
¶

.
(10.79)
2 =    1 −

Com esse desenvolvimento, antes de ir adiante e um para um melhor entendimento da
modelagem matemática, uma análise das possíveis combinações das posições do centro de
rolamento e do pólo é importante de ser feita.
1- com    (pêndulo encurtado e braços inclinados (45 )), 12 serão negativos e o
momento de inclinação total será menor;
2- com  =  (pêndulo),  = 0;
3- com    (tipos restantes de suspensão independente) 12 serão positivos; isto
também ocorre com o centro momentâneo de rolamento abaixo do solo, ou seja,  e
 negativos; com pólo acima do solo e centro momentâneo abaixo, a fração  , ou
 , será negativa e o sinal torna-se positivo;
4- com pólo no infinito (braços paralelos)  , ou  , tende a zero; também ocorre
com centro momentâneo sobre o solo (braços longitudinais).
239
Capítulo 10 - Suspensões planas
Feita essa análise volta-se ao desenvolvimento do modelo matemático iniciado anteriormente.
Com isso, a equação 10.8, repetida a seguir
 =  [ −  ] =  
(10.80)
e relembrando que
2

(10.81)

bem como que  é dada pela equação 10.7, a equação 10.80 pode ser escrita de forma mais
completa, como segue:
¶
µ
  +  
 =    −
(10.82)

 =   =
ou ainda por:

2
= 

µ
¶
  +  
 −

(10.83)
Os momentos de reação são os momentos originados pelas diferentes molas e estabilizadores instalados nos eixos dianteiro e traseiro, são dados pela soma das equações 10.32,
10.33, 10.44 e 10.45.
10.7.2
Ângulo de rolamento
Com o equacionamento desenvolvido nos itens anteriores, o ângulo de rolamento da
carroceria para um veículo com molas lineares e suspensões independentes na dianteira e na
traseira é obtido a partir da aplicação da equação 10.69, a qual com as devidas simplificações
resulta em:
Ψ=2
2
 + 1 + 2
( +  ) + 2 ( +  )
(10.84)
Essa equação pode ser desenvolvida um poco mais com a substituição das equações 10.80,
10.78 e 10.79, resultando no que segue.

Ψ = 2
¡
 −
 + 

¢
h
³
+   1 −


´
+ 
2 ( +  ) + 2 ( +  )
³
1−


´i
(10.85)
Essa equação também pode ser reescrita em termos da velocidade do veículo,  e do raio
de curva, , como segue
2
Ψ=
⎡
2 ⎣


¡
 −
 + 

¢
h
³
+   1 −


´
+ 
2 ( +  ) + 2 ( +  )
³
1−


´i ⎤
⎦
(10.86)
240
Capítulo 10 - Suspensões planas
Para o caso do veículo ter a suspensão dianteira independente e a traseira eixo rígido, as
equações anteriores se reduzem a:
³
´⎤
⎡
¡
¢
  −  +   +   1 − 
⎦
Ψ = 2 ⎣
(10.87)
2 ( +  ) + 2 ( +  )
2
Ψ=
⎡
2 ⎣


¡
 −
 + 

¢
+  
³
1−


2 ( +  ) + 2 ( +  )
´⎤
⎦
No caso das suspensões dinteira e traseiras serem eixo rígido, tem-se:
"
#
¡
¢
  −  +  
Ψ = 2 2
 ( +  ) + 2 ( +  )
"
#
¢
¡
  −  +  
2 2
Ψ=

 2 ( +  ) + 2 ( +  )
10.7.3
(10.88)
(10.89)
(10.90)
Possibilidades de melhorar o comportamento em curvas
As tendências subesterçante ou sobresterçante de um veículo podem ser diminuidas
através de medidas construtivas e, em determinadas velocidades de execução da curva, completamente eliminadas; isso pode ser feito através de combinações de tipos de suspensões,
escolha adequada das molas e uso ou não de barras estabilizadoras, sem necessidade de
alterar a distribuição de peso do veículo.
Veículo subesterçante
Em um veículo com tendência subesterçante, comum em casos de tração dianteira, certas modificações, economicamente viáveis, podem ser feitas com o objetivo de diminuir a
diferença de carga na dianteira e/ou aumentar a diferença na traseira, de modo a tornar seu
comportamento mais neutro.
1. Deslocar o centro de gravidade do veículo para trás (maior ∆ (2) e menor ∆ (2)).
Em veículos com tração dianteira, essa medida prejudica o arranque em aclives e em
terrenos com pouca aderência.
2. Retirar o estabilizador dianteiro (∆ (3) = 0). Isto implica em uma maior inclinação
da carroceria, com possibilidade da roda traseira interna perder contato com o solo;
reduz o preço da suspensão.
3. Reforçar o estabilizador traseiro (aumento de ∆ (3)). Tem a vantagem adicional de
diminuir a inclinação da carroceria.
4. Usar molas traseiras mais rígidas (maior ∆ (1)). Tem como desvantagem a redução
do conforto.
Capítulo 10 - Suspensões planas
241
5. Usar molas dianteiras mais flexíveis (menor ∆ (1)). Acarreta maior inclinação da
carroceria, porém, aumenta o conforto.
6. Baixar o centro de rolamento na frente e levantar atrás (∆ (2) diminui e ∆ (2)
aumenta). No eixo dianteiro, ocorrerá menor variação da bitola, o que é conveniente.
No eixo traseiro, se usada uma barra Panhard, sua elevação implicará na elevação do
centro de rolamento sem que surjam maiores desvantagens.
Outra possibilidade, já comentada anteriormente, seria diminuir a pressão dos pneus
traseiros. Entretanto, com o aumento da carga do veículo, essa pressão deveria ser aumentada
para, com diminuição da carga, ser novamente reduzida, o que é incômodo para o motorista.
Veículo sobresterçante
Nos veículos sobresterçantes, como costuma acontecer com tração traseira, principalmente com motor traseiro, a maneira mais simples de tornar seu comportamento mais neutro
em curvas é aumentando a pressão dos pneus traseiros (o que pressupõe uma adaptação dos
amortecedores); uma vantagem adicional da elevação dessa pressão é a independência do
estado de carregamento, já que os pneus traseiros teriam sempre uma pressão adequada.
Entretanto, também construtivamente se pode conseguir um aumento de  e uma
diminuição (mesmo com a tração) de  , através do aumento da diferença de carga na
dianteira e diminuição na traseira.
1. Deslocar o centro de gravidade do veículo para frente (aumenta ∆ (2) e diminui
∆ (2)). Essa medida tem como desvantagem diminuir a capacidade de tração com
o veículo pouco carregado.
2. Retirar o estabilizador traseiro e reforçar o dianteiro (∆ (3) = 0 e aumento de
∆ (3)). Como vantagem adicional, tem-se redução de custo.
3. Usar barra estabilizadora tipo Z no eixo traseiro (∆ (3)  0). Aumenta a inclinação
da carroceria.
4. Usar molas traseiras menos rígidas (∆ (1) menor). Como desvantagem, permite
uma maior inclinação da carroceria e, como vantagem, um maior conforto.
5. Usar molas dianteiras mais rígidas (∆ (1) maior). Menor conforto mas menor inclinação da carroceria.
6. Elevar o centro de rolamento dianteiro (∆ (2) aumenta). A desvantagem é aumentar
a variação da bitola dianteira.
7. Baixar o centro de rolamento traseiro (∆ (2) diminui). Uma barra Panhard colocada
mais baixo diminui o espaço livre sob o eixo; uma suspensão independente, entretanto,
permite conseguir qualquer altura do centro de rolamento, o que justifica a tendência de
utilizar, mesmo em carros com tração traseira, esse tipo de suspensão. Uma suspensão
independente no eixo traseiro teria a vantagem adicional de ser mais leve do que um
eixo rígido.
Capítulo 10 - Suspensões planas
242
Uma possibilidade adicional seria utilizar no eixo traseiro um sistema de suspensão das
rodas que ocasione, quando do giro da carroceria, uma convergência da roda externa e uma
divergência da interna, de modo a reduzir a "saída" desse eixo nas curvas.
10.8
Exemplo de cálculo
Para exemplificar as relações vistas, é calculado o comportamento em curva de um veículo
com tração dianteira, com molas lineares e carregado com 2 e 5 pessoas.
Para o carregamento com duas pessoas, os cálculos devem ser feitos com os seguintes
dados; valores que servem somente para esse carregamento receberam o índice 1:
Peso sobre o eixo dianteiro - 1 = 695 ;
Peso do eixo dianteiro -  = 50 ;
Bitola dianteira -  = 134 ;
Peso sobre o eixo traseiro - 1 = 420 ;
Peso do eixo traseiro -  = 60 ;
Bitola traseira -  = 132 ;
Altura do centro de gravidade do veículo - 1 = 58 ;
Distância entre eixos -  = 249 ;
Suspensão dianteira com braços transversais duplo:
altura do centro de rolamento - 1 = 7 ;
altura do pólo -  = 35 ;
Suspensão traseira com eixo rígido, braços longitudinais e barra Panhard:
altura do centro de rolamento - 1 = 28 7 ;
Distância entre os braços longitudinais que suportam as molas -  = 106 ;
Constante de mola na dianteira (barra de torção longitudinal) -  = 11 5 ;
Constante de mola na traseira (barra de torção transversal) -  = 14 0 ;
Constante de mola escolhida para o estabilizador dianteiro -  = 5 5 ;
Constante de mola escolhida para o estabilizador traseiro -  = 1 5  ;
Raio dinâmico (para pneus 6,00 - 13/4 PR) -  = 28 8 ;
Pressão considerada nos pneus (dianteiros e traseiros) - 1 = 1 7  2 ;
Coeficiente de aderência lateral -  = 0 5.
Observação: a altura do centro de rolamento na traseira foi tomada com a carroceria
paralela ao solo, ou seja, quando a força transversal começa a atuar. Com o uso de barra
Panhard, as inclinações da carroceria, para a esquerda ou direita, modificam essa altura, já
que a extremidade da barra presa na carroceria se desloca ora para cima ora para baixo;
a extremidade presa no eixo não muda sua altura. Em um cálculo preciso, essa influência
deveria ser considerada; no exemplo, será desprezada.
243
Capítulo 10 - Suspensões planas
Ângulo de rolamento da carroceria
1 = 1 + 1 − ( +  ) = 1115 − 110 = 1005  ;
1 − ( +  )
111558 − 11028 8
1 =
=
= 61 ;
1
1005
¶
µ
µ
¶
360
1 − 
=
1 =
249 = 89 5 ;
1
1005
1 =  −  = 249 − 89 5 = 159 5 ;
89 528 7 + 159 57
1 1 + 1 1
= 61 −
= 47 7 ;
1 = 1 −

249
1 =  1 1 = 0 5100547 7 = 24000  ;
µ
¶
µ
¶

7
= 0 55028 8 1 −
= 576 ;
 =    1 −

35
 = 0 ( ́);
Σ = 1 +  +  = 24000 + 576 + 0 = 24576  ;
Σ
Ψ1 =
=
2
2
( 2)  + ( 2)  + (2 2)  + (2 2) 
24576
=
=
2
2
(134 2) 11 5 + (106 2) 14 + (1342 2) 5 5 + (1322 2) 1 5
24576
= 0 1006
=
244200
em graus,
Ψ01 = 0 100657 3 = 5 8 
Variação de carga no eixo dianteiro
∆1 (1) = Ψ ( 2)  = 0 10066711 5 = 77 5 
   0 51005159 57
∆1 (2) =
= 16 8 
=

249134
∆1 (3) = Ψ ( 2)  = 0 1006675 5 = 37 1 
  
0 550728 8
=
= 1 1 
∆1 (4) =
 
13435
Σ∆1 = 132 5 
Carga na roda dianteira externa
1 =
1
+ Σ∆1 = 347 5 + 132 5 = 480 
2
Carga na roda dianteira interna
1 =
1
− Σ∆1 = 347 5 − 132 5 = 215 
2
244
Capítulo 10 - Suspensões planas
Variação de carga no eixo traseiro
µ 2 ¶

1062
 = 0 1006
14 = 60 0 
∆1 (1) = Ψ
2
2(132)
∆1 (2) =
 1 1 1
0 5100589 528 7
=
= 39 2 

249132
∆1 (3) = Ψ ( 2)  = 0 1006661 5 = 10 0 
∆1 (4) =
  
0 56028 8
= 6 5 
=

132
Σ∆1 = 115 7 
Carga na roda traseira externa
1 =
1
+ Σ∆1 = 210 + 115 7 ' 326 
2
Carga na roda traseira interna
1
− Σ∆1 = 210 − 115 7 ' 94 
2
Devido à maior carga no eixo dianteiro e ao estabilizador mais rígido, a diferença de
carga nas rodas dianteiras é maior do que nas traseiras. Atrás, o centro de rolamento é bem
mais alto, entretanto, devido à pequena distância entre as molas "v", a carroceria se apoia
menos no eixo traseiro.
Para mostrar a influência do carregamento, será verificado o comportamento em curva
quando o veículo estiver carregado com cinco pessoas; os valores correspondentes a esse
carregamento terão o índice 2:
1 =
2 = 730  ;
2 = 580  ;
2 = 25 8 
Em um eixo rígido com barra Panhard, o centro momentâneo de giro se desloca para
baixo com o carregamento; pode-se considerar que, com esse tipo de construção, o valor
desse deslocamento seja igual à metade do curso da mola. Com duas pessoas 1 = 28 7 .
Com 3 novas pessoas no banco traseiro, a carga sobre o eixo traseiro aumenta 160 kgf. Como
a constante de mola desse eixo é 28 kgf/cm, o deslocamento adicional das molas é de 5,7 cm
e a nova posição do centro de rolamento resulta em
2 = 1 −

= 28 7 − 2 85 ' 25 8 .
2
245
Capítulo 10 - Suspensões planas
O eixo dianteiro fica sobrecarregado com somente 35 kgf, de modo que uma correção de
 não é necessária; igualmente, a altura do centro de gravidade muda muito pouco.
Tem-se, então,
2 = 1200 ;
2 = 108 ;
2 = 141 ;
2 = 60 6 ;
2 = 45 4 ;
Σ = 27816  ;
Ψ2 = 0 1139;
Ψ02 = 6 50 
Com isso, as flechas nas molas dianteiras serão
 +  = Ψ2  = 0 1139134 = 15 2 ;
 =  = 76 ;
e nas molas traseiras
 +  = Ψ2  = 0 1139132 = 15 0 ;
 =  = 75 .
Variação de carga no eixo dianteiro
∆2 (1) = 87 80  ;
∆2 (2) = 17 70  ;
∆2 (3) = 42 0 ;
∆2 (4) = 1 1  ;
Σ∆2 = 148 60 
Carga nas rodas dianteiras externa e interna
2 ' 514 ;
2 ' 216 
246
Capítulo 10 - Suspensões planas
Variação de carga no eixo traseiro
∆2 (1) = 68 0 ;
∆2 (2) = 51 0 ;
∆2 (3) = 11 3 ;
∆2 (4) = 6 5 ;
Σ∆2 = 136 80 
Carga nas rodas traseiras externa e interna
2 ' 427  ; 2 ' 153 
Com molas lineares, o ângulo de giro da carroceria de 6 5◦ exige um espaço para compressão e distenção das molas do eixo dianteiro de
 +  = 152 .
Se esse espaço não for disponível, os batentes de borracha irão atuar, modificando a
constante de mola, que se tornará progressiva. Um cálculo mais preciso deveria, então, considerar as molas como progressivas, devendo-se, para tanto, dispor das curvas características
correspondentes; não se dispondo dessas curvas, deve-se considerar uma característica linear
para as molas e usar o método apresentado, mais simples, nos cálculos do comportamento
do veículo em curvas.
Determinação dos ângulos de deriva dos pneus
Para determinação dos ângulos de deriva que ocorrem nos eixos dianteiro e traseiro em
uma curva,  e  , é necessário conhecer o diagrama  =  (), veja Capítulo 1, com 
como parâmetro, dos pneus utilizados inflados com a pressão a ser empregada no veículo em
questão.
A figura 10.18 mostra esse diagrama para os pneus usados no exemplo,ou seja, 6.00-13/4
PR, com pressão de 1,7 kgf/cm2 (pneus Dunlop). Os valores de  e  são obtidos através
de interpolação.
Para determinar  e  , é necessário, primeiramente, calcular as forças laterais que
ambos os eixos absorvem,  e  , em função das cargas nesses eixos  e do coeficiente
de aderência adotado no cálculo. No exemplo, para o carregamento com 2 pessoas, tem-se
na dianteira e traseira, respectivamente,
1 =  1 = 0 5695 = 347 5 
1 =  1 = 0 5420 = 210 
Essas forças absorvidas pelos eixos, devem ser distribuidas nas parcelas a serem absorvidas pelas rodas externas e internas; para isso, são necessárias as cargas nessas rodas. Com
molas lineares e carregamento com 2 pessoas, tinha-se
247
Capítulo 10 - Suspensões planas
Figura 10.18: Carga transversal absorvida por um pneu em função da carga radial e do
ângulo de deriva.
1 = 480  ; 1 = 215 
1 = 326  ; 1 = 94 
Procuram-se, no diagrama  = (), as forças laterais absorvidas pelos dois pneus de
um eixo e os correspondentes ângulos de deriva, de modo que
1 + 1 = 1 =  1 = 0 5695 = 347 5 
1 + 1 = 1 =  1 = 0 5420 = 210 
Na figura 10.18, traçam-se verticais pelas cargas nas rodas dianteiras  e  e verificamse as forças laterais correspondentes aos ângulos  = 6◦ , 8 e 10 . A tabela seguinte mostra
os valores encontrados e fornece os correspondentes coeficientes de aderência
1 + 1
1
para comparação com o valor utilizado no cálculo, ou seja,  = 0 5.
 =
1
1
1

480 1
215 1
695 1

10
8
6
240
210
171
176
161
138
416
371
309
0 604 0 530 0 445
248
Capítulo 10 - Suspensões planas
Com  = 6 , o valor de  é menor do que o considerado no cálculo; com  = 8 , maior.
Isso significa que  fica entre esses dois valores e deve ser encontrado por interpolação.
Verifica-se, primeiramente, a diferença entre os dois coeficientes de aderência
∆1 = 8 − 6 = 0 53 − 0 445 = 0 085
que corresponderá a uma diferença de ângulo de deriva de
∆1 = 8 − 6 = 2
ou seja, para uma variação de 2 no ângulo de deriva, corresponde uma variação de 0,085 no
coeficiente de aderência.
A seguir, verifica-se a diferença entre os coeficientes de aderência utilizado no cálculo e o
menor valor encontrado
∆2 =  − 6 = 0 5 − 0 445 = 0 055.
Como
∆2
∆1
=
∆2
∆1
encontra-se
∆2 =
µ
¶
0 055 
2 = 1 3
0 085
valor esse que, somado ao menor ângulo considerado, fornece o ângulo de deriva real para
 = 0 5:
1 = 6 + 1 3 = 7 3 .
Para o eixo traseiro, um procedimento semelhante fornece, para pressão igual à do eixo
dianteiro, ou seja,  =  = 1 7 2 , os valores apresentados na tabela seguinte

1
1
1
326 1
94 1
420 1

6
4
166
116
75
52
241
168
0 5738 0 400
Neste caso,
∆1 = 6 − 4 = 0 1738
∆2 = 0 5 − 0 4 = 0 1
∆2 =
µ
¶
0 1
2 = 1 15
0 1738
249
Capítulo 10 - Suspensões planas
e o ângulo de deriva real no eixo traseiro, para  = 0 5,
1 = 4 + 1 15 = 5 15
menor do que a deriva no eixo dianteiro, ou seja,
  
e o veículo apresentaria comportamento subesterçante em curvas. Para diminuir essa tendência, a medida mais simples seria aumentar a pressão no eixo dianteiro ou diminuir no traseiro,
com a desvantagem apresentada no ítem anterior.
Para o veículo carregado com 5 pessoas, a situação é mostrada nas tabelas que seguem:
- ângulo de deriva do eixo dianteiro
2
2
2

514 2
216 2
730 2

10
8
225
195
178
165
403
360
0 5521 0 4932
∆1 = 10 − 8 = 0 0589
∆2 = 0 5 − 0 4932 = 0 0068
∆2 =
µ
¶
0 0068 
2 = 0 23
0 0589
2 = 8 + 0 23 = 8 23
- ângulo de deriva do eixo traseiro

2
2
2
427 2
153 2
580 2

8
6
215
175
125
110
340
285
0 5862 0 4914
∆1 = 8 − 6 = 0 0948
∆2 = 0 5 − 0 4914 = 0 0086
∆2 =
µ
¶
0 0086 
2 = 0 18
0 0948
2 = 6 + 0 18 = 6 18
250
Capítulo 10 - Suspensões planas
Nesse veículo, mesmo carregado, a tendência subesterçante persiste. Para torná-lo mais
neutro em curvas, uma, ou mais, das medidas salientadas no ítem anterior devem ser adotadas.
Na determinação dos ângulos de deriva feita anteriormente, foram consideradas somente
cargas normais e laterais, ou seja, desconsiderou-se a tração. Entretanto, para que a velocidade na curva seja mantida e, com isso, se mantenha um constante coeficiente de aderência, é
necessária a aplicação de uma força longitudinal A no ponto de contato das rodas de tração.
O valor de A depende das condições da pista e do raio da curva  e deve ser determinado
através de medições; os diagramas de desempenho (veja capítulo 6) fornecem as forças de
tração disponíveis em cada marcha.
Para continuar com o exemplo, será considerada uma força de tração no eixo dianteiro
do veículo em estudo, carregado com 2 pessoas, de A = 220 kgf; corresponde a uma curva
executada em segunda marcha.
Como visto no capítulo 1, a força de tração A no ponto de contato do pneu com a
pista é perpendicular à força lateral S e, para determinar o ângulo de deriva no eixo de
tração, quando essas duas forças atuam simultaneamente, é necessário calcular o coeficiente
de aderência resultante
 =
p
2 + 2 .
Para  , deve-se considerar o valor adotado (aqui 0 5) e, para  , a relação entre a força
de tração, diminuida da resistência ao rolamento  (em curvas sensivelmente maior), e a
carga no eixo de tração. No exemplo, para  = 60  , tem-se
 =
 − 
220 − 60
= 0 23
=
1
695
e
 =
p
0 52 + 0 232 = 0 55.
Com esse valor maior do coeficiente de aderência, deve-se determinar o ângulo de deriva
 das rodas dianteiras, sob a condição que
 +  =   = 0 55695 = 382  .
Os valores já lidos das forças laterais para essas condições de carregamento continuam
válidos, pois dependem do pneu, enquanto os valores adotados para  e  dependem das
características do veículo e condições da pista. Então, o ângulo de deriva para o eixo dianteiro
será:
1
1
1

480 1
215 1
695 1

10
8
240
210
176
161
416
371
0 604 0 530
251
Capítulo 10 - Suspensões planas
∆1 = 10 − 8 = 0 604 − 0 530 = 0 074
∆2 =  − 8 = 0 55 − 0 53 = 0 02
∆1 = 10 − 8 = 2
∆2 =
µ
¶
0 02
2 = 0 54
0 074
 = 8 + 0 54 = 8 54 .
O ângulo de deriva para o eixo traseiro, não tracionante, será o calculado anteriormente,
ou seja,
1 = 5 15 .
Como se pode constatar, o ângulo de deriva no eixo dianteiro passou de 1 = 7 3 para
 = 8 54 , ou seja, com a tração a tendência subesterçante tornou-se ainda maior.
Se a tração fosse no eixo traseiro, os ângulos de deriva correspondentes seriam:
- eixo dianteiro, não tracionante,
1 = 7 3
-eixo traseiro
 =
 − 
220 − 60
= 0 38
=
1
420
 =
p
0 52 + 0 382 = 0 62

1
1
1
326 1
94 1
420 1

8
6
206
166
85
75
291
241
0 6929 0 5738
∆1 = 8 − 6 = 0 6929 − 0 5738 = 0 1191
∆2 =  − 6 = 0 62 − 0 5738 = 0 0462
∆1 = 8 − 6 = 2
∆2 =
µ
¶
0 0462 
2 ' 0 78
0 1191
252
Capítulo 10 - Suspensões planas
 = 6 + 0 78 ' 6 8 .
Nessas condições, a deriva no eixo traseiro ficaria mais próxima da verificada no eixo
dianteiro, mas se manteria menor. A tendência subesterçante, embora permanecendo, ficaria
abrandada. Com o carregamento de 5 pessoas e tração traseira, o veículo, provavelmente,
tenderia a um comportamento neutro em curvas.
10.9
Exemplo de cálculo (sistema de unidades SI)
Para exemplificar as relações vistas, será calculado o comportamento em curva de um veículo
com tração dianteira, com molas lineares e carregado com 2 e 5 pessoas.
Para o carregamento com duas pessoas, os cálculos devem ser feitos com os seguintes
dados; valores que servem somente para esse carregamento receberam o índice 1:
Peso sobre o eixo dianteiro
1 =
695 
Peso do eixo dianteiro
 =
50 
Bitola dianteira

= 134 
Peso sobre o eixo traseiro
1
= 420 
Peso do eixo traseiro

= 60 
Bitola traseira

= 132 
Altura do centro de gravidade do veículo
1
=
58 
Distância entre eixos

= 249 
Suspensão dianteira com braços transversais duplo:
altura do centro de rolamento
1
=
7 
altura do polo

= 35 
Suspensão traseira com eixo rígido, braços longitudinais e barra Panhard:
altura do centro de rolamento
1
= 28 7 
Distância entre os braços longitudinais que suportam as molas

= 106 
Constante de mola na dianteira (barra de torção longitudinal)

= 11 5 
253
Capítulo 10 - Suspensões planas
Constante de mola na traseira (barra de torção transversal)

= 14 0 
Constante de mola escolhida para o estabilizador dianteiro

= 5 5  
Constante de mola escolhida para o estabilizador traseiro

= 1 5  
Raio dinâmico (para pneus 6,00 - 13/4 PR)

= 28 8 
Pressão considerada nos pneus (dianteiros e traseiros)
1
2
= 1 7  
Coeficiente de aderência lateral

= 0 5
Observação: a altura do centro de rolamento na traseira foi tomada com a carroceria
paralela ao solo, ou seja, quando a força transversal começa a atuar. Com o uso de barra
Panhard, as inclinações da carroceria, para a esquerda ou direita, modificam essa altura, já
que a extremidade da barra presa na carroceria se desloca ora para cima ora para baixo;
a extremidade presa no eixo não muda sua altura. Em um cálculo preciso, essa influência
deveria ser considerada; no exemplo, será desprezada.
Ângulo de rolamento da carroceria
1 = 1 + 1 − ( +  ) = 1115 − 110 = 1005 
1 − ( +  )
111558 − 11028 8
1 =
= 61 
=
1
1005
¶
µ
µ
¶
360
1 − 
1 =
=
249 = 89 5 
1
1005
1 =  −  = 249 − 89 5 = 159 5 
89 528 7 + 159 57
1 1 + 1 1
= 61 −
= 47 7 
1 = 1 −

249
1 =  1 1 = 0 5100547 7 = 24000 
¶
µ
¶
µ
7

= 0 55028 8 1 −
= 576  
 =    1 −

35
 = 0 ( ́)
Σ = 1 +  +  = 24000 + 576 + 0 = 24576 
Σ
Ψ1 =
=
2
2
( 2)  + ( 2)  + (2 2)  + (2 2) 
24576
=
=
2
2
(134 2) 11 5 + (106 2) 14 + (1342 2) 5 5 + (1322 2) 1 5
24576
= 0 1006
=
244200
em graus,
Ψ01 = 0 100657 3 = 5 80
254
Capítulo 10 - Suspensões planas
Variação de carga no eixo dianteiro
∆1 (1) = Ψ ( 2)  = 0 10066711 5 = 77 5 
   0 51005159 57
∆1 (2) =
= 16 8 
=

249134
∆1 (3) = Ψ ( 2)  = 0 1006675 5 = 37 1 
  
0 550728 8
∆1 (4) =
=
= 1 1 
 
13435
Σ∆1 = 132 5 
Carga na roda dianteira externa
1 =
1
+ Σ∆1 = 347 5 + 132 5 = 480 
2
Carga na roda dianteira interna
1 =
1
− Σ∆1 = 347 5 − 132 5 = 215 
2
Variação de carga no eixo traseiro
µ 2 ¶

1062
∆1 (1) = Ψ
 = 0 1006
14 = 60 0 
2
2(132)
∆1 (2) =
 1 1 1
0 5100589 528 7
= 39 2 
=

249132
∆1 (3) = Ψ ( 2)  = 0 1006661 5 = 10 0 
∆1 (4) =
  
0 56028 8
=
= 6 5 

132
Σ∆1 = 115 7 
Carga na roda traseira externa
1 =
1
+ Σ∆1 = 210 + 115 7 ' 326 
2
Carga na roda traseira interna
1 =
1
− Σ∆1 = 210 − 115 7 ' 94 
2
Devido à maior carga no eixo dianteiro e ao estabilizador mais rígido, a diferença de
carga nas rodas dianteiras é maior do que nas traseiras. Atrás, o centro de rolamento é bem
255
Capítulo 10 - Suspensões planas
mais alto, entretanto, devido à pequena distância entre as molas "v", a carroceria se apoia
menos no eixo traseiro.
Para mostrar a influência do carregamento, será verificado o comportamento em curva
quando o veículo estiver carregado com cinco pessoas; os valores correspondentes a esse
carregamento terão o índice 2:
2 = 730  ; 2 = 580  ; 2 = 25 8 
Em um eixo rígido com barra Panhard, o centro momentâneo de giro se desloca para
baixo com o carregamento; pode-se considerar que, com esse tipo de construção, o valor
desse deslocamento seja igual à metade do curso da mola. Com duas pessoas 1 = 28 7 .
Com 3 novas pessoas no banco traseiro, a carga sobre o eixo traseiro aumenta 160 kgf. Como
a constante de mola desse eixo é 28 kgf/cm, o deslocamento adicional das molas é de 5,7 cm
e a nova posição do centro de rolamento resulta em

= 28 7 − 2 85 ' 25 8 .
2
O eixo dianteiro fica sobrecarregado com somente 35 kgf, de modo que uma correção de
 não é necessária; igualmente, a altura do centro de gravidade muda muito pouco.
Tem-se, então,
2 = 1 −
2 = 1200  ; 2 = 108  ; 2 = 141 
2 = 60 6  ; 2 = 45 4  ; Σ = 27816  
Ψ2 = 0 1139 ; Ψ02 = 6 50
Com isso, as flechas nas molas dianteiras serão
 +  = Ψ2  = 0 1139134 = 15 2 
 =  = 76 
e nas molas traseiras
 +  = Ψ2  = 0 1139132 = 15 0 
 =  = 75 .
Variação de carga no eixo dianteiro
∆2 (1) = 87 80  ; ∆2 (2) = 17 70  ; ∆2 (3) = 42 0  ; ∆2 (4) = 1 1  ; Σ∆
256
Capítulo 10 - Suspensões planas
Carga nas rodas dianteiras externa e interna
2 ' 514  ; 2 ' 216 
Variação de carga no eixo traseiro
∆2 (1) = 68 0  ; ∆2 (2) = 51 0  ; ∆2 (3) = 11 3  ; ∆2 (4) = 6 5  ; Σ∆
Carga nas rodas traseiras externa e interna
2 ' 427  ; 2 ' 153 
Com molas lineares, o ângulo de giro da carroceria de 6 5◦ exige um espaço para compressão e distenção das molas do eixo dianteiro de
 +  = 152 .
Se esse espaço não for disponível, os batentes de borracha irão atuar, modificando a
constante de mola, que se tornará progressiva. Um cálculo mais preciso deveria, então, considerar as molas como progressivas, devendo-se, para tanto, dispor das curvas características
correspondentes; não se dispondo dessas curvas, deve-se considerar uma característica linear
para as molas e usar o método apresentado, mais simples, nos cálculos do comportamento
do veículo em curvas.
Determinação dos ângulos de deriva dos pneus
Para determinação dos ângulos de deriva que ocorrem nos eixos dianteiro e traseiro em
uma curva,  e  , é necessário conhecer o diagrama  =  (), veja capítulo 1, com 
como parâmetro, dos pneus utilizados inflados com a pressão a ser empregada no veículo em
questão.
A figura 9.19 mostra esse diagrama para os pneus usados no exemplo,ou seja, 6.00-13/4
PR, com pressão de 1,7 kgf/cm2 (pneus Dunlop). Os valores de  e  são obtidos através
de interpolação.
fig. 9.19 Diagrama S=f(Q)
Para determinar  e  , é necessário, primeiramente, calcular as forças laterais que
ambos os eixos absorvem,  e  , em função das cargas nesses eixos  e do coeficiente
de aderência adotado no cálculo. No exemplo, para o carregamento com 2 pessoas, tem-se
na dianteira e traseira, respectivamente,
1 =  1 = 0 5695 = 347 5 
1 =  1 = 0 5420 = 210 
Essas forças absorvidas pelos eixos, devem ser distribuidas nas parcelas a serem absorvidas pelas rodas externas e internas; para isso, são necessárias as cargas nessas rodas. Com
molas lineares e carregamento com 2 pessoas, tinha-se
257
Capítulo 10 - Suspensões planas
1 = 480  ; 1 = 215 
1 = 326  ; 1 = 94 
Procuram-se, no diagrama  = (), as forças laterais absorvidas pelos dois pneus de
um eixo e os correspondentes ângulos de deriva, de modo que
1 + 1 = 1 =  1 = 0 5695 = 347 5 
1 + 1 = 1 =  1 = 0 5420 = 210 
Na figura 9.19, traçam-se verticais pelas cargas nas rodas dianteiras  e  e verificamse as forças laterais correspondentes aos ângulos  = 6◦ , 8 e 10 . A tabela seguinte mostra
os valores encontrados e fornece os correspondentes coeficientes de aderência
1 + 1
1
para comparação com o valor utilizado no cálculo, ou seja,  = 0 5.

10
8
6
1 480 1 240
210
171
1 215 1
176
161
138
1 695 1
416
371
309
 0 604 0 530 0 445
Com  = 6 , o valor de  é menor do que o considerado no cálculo; com  = 8 , maior.
Isso significa que  fica entre esses dois valores e deve ser encontrado por interpolação.
Verifica-se, primeiramente, a diferença entre os dois coeficientes de aderência
 =
∆1 = 8 − 6 = 0 53 − 0 445 = 0 085
que corresponderá a uma diferença de ângulo de deriva de
∆1 = 8 − 6 = 2
ou seja, para uma variação de 2 no ângulo de deriva, corresponde uma variação de 0,085 no
coeficiente de aderência.
A seguir, verifica-se a diferença entre os coeficientes de aderência utilizado no cálculo e o
menor valor encontrado
∆2 =  − 6 = 0 5 − 0 445 = 0 055.
Como
∆2
∆1
=
∆2
∆1
encontra-se
258
Capítulo 10 - Suspensões planas
∆2 =
µ
¶
0 055 
2 = 1 3
0 085
valor esse que, somado ao menor ângulo considerado, fornece o ângulo de deriva real para
 = 0 5:
1 = 6 + 1 3 = 7 3 .
Para o eixo traseiro, um procedimento semelhante fornece, para pressão igual à do eixo
dianteiro, ou seja,  =  = 1 7 2 , os valores apresentados na tabela seguinte
4

6
1 326 1
166
116
1 94 1
75
52
1 420 1
241
168

0 5738 0 400
Neste caso,
∆1 = 6 − 4 = 0 1738
∆2 = 0 5 − 0 4 = 0 1
∆2 =
µ
¶
0 1
2 = 1 15
0 1738
e o ângulo de deriva real no eixo traseiro, para  = 0 5,
1 = 4 + 1 15 = 5 15
menor do que a deriva no eixo dianteiro, ou seja,
  
e o veículo apresentaria comportamento subesterçante em curvas. Para diminuir essa tendência, a medida mais simples seria aumentar a pressão no eixo dianteiro ou diminuir no traseiro,
com a desvantagem apresentada no ítem anterior.
Para o veículo carregado com 5 pessoas, a situação é mostrada nas tabelas que seguem:
- ângulo de deriva do eixo dianteiro
8

10
2 514 2
225
195
2 216 2
178
165
2 730 2
403
360
 0 5521 0 4932
∆1 = 10 − 8 = 0 0589
∆2 = 0 5 − 0 4932 = 0 0068
259
Capítulo 10 - Suspensões planas
∆2 =
µ
¶
0 0068 
2 = 0 23
0 0589
2 = 8 + 0 23 = 8 23
- ângulo de deriva do eixo traseiro

2
2
2
427 2
153 2
580 2

8
6
215
175
125
110
340
285
0 5862 0 4914
∆1 = 8 − 6 = 0 0948
∆2 = 0 5 − 0 4914 = 0 0086
∆2 =
µ
¶
0 0086 
2 = 0 18
0 0948
2 = 6 + 0 18 = 6 18
Nesse veículo, mesmo carregado, a tendência subesterçante persiste. Para torná-lo mais
neutro em curvas, uma, ou mais, das medidas salientadas no ítem anterior devem ser adotadas.
Na determinação dos ângulos de deriva feita anteriormente, foram consideradas somente
cargas normais e laterais, ou seja, desconsiderou-se a tração. Entretanto, para que a velocidade na curva seja mantida e, com isso, se mantenha um constante coeficiente de aderência, é
necessária a aplicação de uma força longitudinal A no ponto de contato das rodas de tração.
O valor de A depende das condições da pista e do raio da curva  e deve ser determinado
através de medições; os diagramas de desempenho (veja capítulo 5) fornecem as forças de
tração disponíveis em cada marcha.
Para continuar com o exemplo, será considerada uma força de tração no eixo dianteiro
do veículo em estudo, carregado com 2 pessoas, de A = 220 kgf; corresponde a uma curva
executada em segunda marcha.
Como visto no capítulo 1, a força de tração A no ponto de contato do pneu com a
pista é perpendicular à força lateral S e, para determinar o ângulo de deriva no eixo de
tração, quando essas duas forças atuam simultaneamente, é necessário calcular o coeficiente
de aderência resultante
 =
p
2 + 2 .
Para  , deve-se considerar o valor adotado ( aqui 0,5) e, para  , a relação entre a força
de tração, diminuida da resistência ao rolamento  (em curvas sensivelmente maior), e a
carga no eixo de tração. No exemplo, para  = 60  , tem-se
260
Capítulo 10 - Suspensões planas
 =
 − 
220 − 60
= 0 23
=
1
695
e
 =
p
0 52 + 0 232 = 0 55.
Com esse valor maior do coeficiente de aderência, deve-se determinar o ângulo de deriva
 das rodas dianteiras, sob a condição que
 +  =   = 0 55695 = 382  .
Os valores já lidos das forças laterais para essas condições de carregamento continuam
válidos, pois dependem do pneu, enquanto os valores adotados para  e  dependem das
características do veículo e condições da pista. Então, o ângulo de deriva para o eixo dianteiro
será:
8

10
1 480 1 240
210
1 215 1
176
161
1 695 1
416
371
 0 604 0 530
∆1 = 10 − 8 = 0 604 − 0 530 = 0 074
∆2 =  − 8 = 0 55 − 0 53 = 0 02
∆1 = 10 − 8 = 2
∆2 =
µ
¶
0 02
2 = 0 54
0 074
 = 8 + 0 54 = 8 54 .
O ângulo de deriva para o eixo traseiro, não tracionante, será o calculado anteriormente,
ou seja,
1 = 5 15 .
Como se pode constatar, o ângulo de deriva no eixo dianteiro passou de 1 = 7 3 para
 = 8 54 , ou seja, com a tração a tendência subesterçante tornou-se ainda maior.
Se a tração fosse no eixo traseiro, os ângulos de deriva correspondentes seriam:
- eixo dianteiro, não tracionante,
1 = 7 3
-eixo traseiro
261
Capítulo 10 - Suspensões planas
 =
 − 
220 − 60
= 0 38
=
1
420
 =
p
0 52 + 0 382 = 0 62
1
1
1

326 1
94 1
420 1

8
6
206
166
85
75
291
241
0 6929 0 5738
∆1 = 8 − 6 = 0 6929 − 0 5738 = 0 1191
∆2 =  − 6 = 0 62 − 0 5738 = 0 0462
∆1 = 8 − 6 = 2
∆2 =
µ
¶
0 0462 
2 ' 0 78
0 1191
 = 6 + 0 78 ' 6 8 .
Nessas condições, a deriva no eixo traseiro ficaria mais próxima da verificada no eixo
dianteiro, mas se manteria menor. A tendência subesterçante, embora permanecendo, ficaria
abrandada. Com o carregamento de 5 pessoas e tração traseira, o veículo, provavelmente,
tenderia a um comportamento neutro em curvas.
10.10
Exemplo de cálculo
Para exemplificar as relações vistas, será calculado o comportamento em curvas de um veículo
com três diferentes combinações de suspensões dianteira e traseira, com e sem estabilizador
tipo barra de torção em U na dianteira:
1. suspensão independente no eixo dianteiro
eixo rígido, tipo De Dion, no eixo traseiro.
2. suspensão independente nos eixos dianteiro e traseiro.
3. suspensão independente no eixo dianteiro
eixo tipo pêndulo encurtado no eixo traseiro.
O peso total do veículo, bem como algumas dimensões principais, foram considerados
constantes nos três casos analisados. As freqüências naturais das suspensões dianteira e traseira foram adotadas com 75 e 85 ciclos por minuto, respectivamente, e as constantes de mola
correspondentemente calculadas. Em todos os casos, a constante de mola do estabilizador
dianteiro foi considerada igual à da mola desse eixo.
Capítulo 10 - Suspensões planas
262
As distribuições de peso entre os eixos dianteiro e traseiro (50:50) e as alturas dos centros
de gravidade foram mantidas iguais, a fim de que se destacasse a influência dos tipos de
suspensão utilizados.
Não se procurou comparar veículos existentes porque as diferenças de dimensões, pesos,
centros de gravidade e constantes de mola tornariam essa comparação impossível.
Foram admitidas diferenças de peso das massas não suspensas e as conseqüentes mudanças na posição dos centros de gravidade das massas suspensas.
Dados a considerar:
Peso total do veículo
12700 
Peso sobre o eixo dianteiro
6350 
Peso sobre o eixo traseiro
6350 
Distância entre eixos
2 665 
Bitola dianteira
1 370 
Bitola traseira
1 370 
Altura do centro de gravidade do veículo
0 610 
Raio dinâmico dos pneus 6.00-13/4 PR
0 288 
Pressaõ considerada para os pneus dianteiros e traseiros
1 7 
Coeficiente de aderência lateral
0 5
=
 =
 =
=
 =
 =
=
 =
=

263
Capítulo 10 - Suspensões planas
Suspensão dianteira
Suspensão traseira
Massas não susp. diant. []
Massas não susp. tras. []
Dimensões
 []
 []
 []
 []
 []
 []
 []
 []
Constantes de mola  []
 []
 []
Caso 1
Caso2
Ca
Independente
Independente
Indepe
Eixo rígido De Dion Independente Pêndulo
910
910
9
1360
910
9
1 275
1 333
1
1 390
1 333
1
0 680
0 664
0
0
0
0 288
0
0
1 066
0
0
17100
17100
17
20150
22000
38
17100
17100
17
com:
 - distância entre as molas no eixo rígido;
 - distância da mola à rótula no eixo tipo pêndulo;
 - comprimento do pêndulo.
Capítulo 11
Modelos dinâmicos
11.1
Introdução
Os veículos dotados de rodas são sistemas mecânicos que operam sobre superfícies rugosas, no caso a superfície das estradas, sendo estas a principal fonte indutora de vibrações e
ruídos da estrutura quando no deslocamento. Além da pista existem outras fontes de geração
de vibrações e ruídos em automóveis, pode-se citar: os pneus, sistema de transmissão, motor
e aerodinâmica.
Para reduzir o efeito das acelerações induzidas pela pista sobre a estrutura bem como
aumentar o conforto dos ocupantes, os veículo são dotados de suspensões com molas. Apesar
das estruturas serem flexíveis, a maior parcela do molejamento de um automóvel é devido
a deflexão dos elementos elásticos das suspensões e dos pneus. Sendo assim, a seguir, é
apresentado o procedimento de obtenção das deflexões destes elementos para os tipos mais
comuns de eixos usados nos automóveis.
Neste capítulo é desenvolvida uma formulação dinâmica usando a técnica das múltiplas massas ou Multibody Model para veículos de quatro rodas e dois eixos, [1] [5]. As
características dos modelos a serem desenvolvidos usando esta técnica, dependem dos tipos
de suspensões usadas nos eixos dianteiro e traseiro. Dentro deste contexto serão feitas as
seguintes abordagens:
• Modelo com dois graus de liberdade;
• Modelo com sete graus de liberdade considerando eixo rígido na dianteira e traseira;
• Modelo com sete graus de liberdade considerando suspensão dianteira independe e eixo
traseiro rígido;
• Modelo com sete graus de liberdade considerando suspensões independentes na dianteira e na traseira.
Para o desenvolvimento da formulação, parte-se da definição dos graus de liberdade do
sistema, e, a partir destes, são deduzidas as equações diferenciais do movimento de cada um
dos casos acima listados.
264
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
265
Figura 11.1: Sistema de coordenadas e principais graus de liberdade da carroceria de um
automóvel.
Vale salientar que o modelo a ser denvolvido irá negligenciar as acelerações lineares nas direções axial e transversal bem como os deslocamentos serão considerados pequenos. O efeito
destas acelerações é considerado no modelo quase estático, onde as mesmas são consideradas
como um carregamento de corpo com intensidade constante.
Esse tipo de análise é fundamental porque permite determinar os deslocamentos, acelerações e velocidades que os ocupantes dos veículos estarão sujeitos quando em movimento. Os
seres vivos, bem como algumas cargas transportadas, são bastante sensíveis a esses parâmetros. Para seres humanos, há uma variedade bastante grande de ensaios para determinar uma
medida da tolerância a esses parâmetros, como descrito na Ride and Vibration Data Manual
J6a da SAE, ou na ISO 2631, enquanto que para cargas sensíveis, tais como compressores
de refrigeradores, orgãos humanos, pescados, aves, suinos, computadores, etc, há muito a ser
desenvolvido e pesquisado para determinar quais as condições mais adequadas do rodar do
veículo para garantir a integridade dessas cargas durante o seu transporte.
11.2
Definição de algumas variáveis básicas
Na abordagem do comportamento dinâmico de um automóvel, a definição dos graus de
liberdade do sistema dinâmico será de acordo com a SAE. Para isso, na Figura 11.1, são
mostrados os graus de liberdade da carroceria de um veículo sobre rodas.
Nesta figura, a direção de deslocamento do veículo é no sentido positivo do eixo x enquanto
que os pontos 1, 2, 3 e 4 definem a posição das rodas do veículo. Vale salientar que a rigidez
das molas neste modelo é equivalente a rigidez real das molas, porque não é possível colocar
fisicamente as molas nestes locais, por problemas construtivos. Convenciona-se, a partir de
agora, que:
− deslocamento vertical da carroceria (bounce);
− giro da carroceria em torno do eixo axial, denominado de ângulo de rolamento (roll);
− giro da carroceria em torno do eixo , denominado de ângulo de arfagem (pitch);
266
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
Figura 11.2: Sistema de coordenadas e deslocamento de uma roda.
Ψ−giro da carroceria em torno do eixo , denominado de ângulo de guinada (yaw).
O sentido positivo dos ângulos segue a regra da mão direita. O deslocamento vertical do
veículo (bounce), é positivo no mesmo sentido do eixo .
11.3
Deflexão dos pneus
11.3.1
Deflexão dos pneus para eixos com suspensões independentes
Considerando que o deslocamento vertical do centro de massa das rodas,  () é maior
do que os deslocamentos causados pela rugosidade do piso, definida por uma função  ()
conhecida. Para estas grandezas, que estão mostradas na Figura 11.2, tem-se que a deflexão
que o pneu está submetido é dada por:
  () =  () −  ()
(11.1)
sendo:
 - posição do pneu, conforme Figura 11.1;
 - é a variável tempo
  () - deflexão do i-ésimo pneu;
 () - deslocamento vertical da roda;
 () - rugosidade do solo.
Vale salientar que, nessa análise, a velocidade vertical do centro de massa do conjunto
pneu roda e acessórios será considerado igual ao do centro geométrico da roda.
267
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
Figura 11.3: Sistema de coordenadas e principais graus de liberdade de eixos rígidos.
11.3.2
Deflexão nos pneus para suspensões de eixo rígido
Para o caso de suspensões de eixo rígido, mostrada na Figura 11.3, a deflexão nos pneus
que equipam este tipo eixo é causada pela combinação do deslocamento vertical centro de
massa do eixo bem como da rotação deste em relação ao eixo axial do veículo.
Considerando pequenos ângulos, a deflexão do i-ésimo pneu do veículo é dada por
  () =   () +   () +   ()
(11.2)
sendo:
 - posição do pneu, conforme Figura 11.1;
  () - deslocamento vertical (bounce) da i-ésima roda;
  () - deslocamento vertical da i-ésima roda devido giro axial do eixo;
  () - rugosidade do solo.
Com estas relações definidas, parte-se para a ánalise de cada parcela que contribui na
deflexão das molas do eixo rígido.
Parcela   ()
Esta parcela é o deslocamento vertical do centro de massa do eixo rígido, ou seja
  () =  ()
(11.3)
268
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
sendo:
 =  ou  é o indice que indica eixo dianteiro ou traseiro, respectivamente;
 () é o deslocamento vertical do centro de massa do k-ésimo eixo rígido.
Parcela   ()
Esta parcela é associada ao giro  do eixo rígido em relação ao eixo axial do veículo.
Neste caso particular é necessário o desenvolvimento das parcelas de cada roda, como segue.
Roda dianteira esquerda

(11.4)
 1 () = − () 
2
Roda dianteira direita

(11.5)
2 () =  () 
2
Roda traseira direita

(11.6)
 3 () =  () 
2
Roda traseira esquerda

(11.7)
4 () = − () 
2
Sendo:
 ()  () são o giro do eixo dianteiro e traseiro na direção axial do veículo;
   são a bitola média do eixo dianteiro e traseiro, respectivamente.
Vale salientar que o sinal negativo da primeira e da última expressão do conjunto acima,
significa que a mola é tracionada.
Parcela   ()
Esta última é associada à rugosidade do solo, sendo genericamente dada por:
  () = − ()
(11.8)
sendo que o sinal negativo significa que a mola, no caso o pneu, é tracionada.
Após este desenvolvimento pode-se escrever que:
 1 () =  () −  ()

− 1 ();
2

− 2 ();
2

 3 () =  () +  ()
− 3 ();
2

− 4 ()
 4 () =  () −  ()
2
 2 () =  () +  ()
(11.9)
(11.10)
(11.11)
(11.12)
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
269
Figura 11.4: Rolagem, , da carroceria sobre suspensões independente e de eixo rígido.
Figura 11.5: Modelo de carroceria e respectivos eixos para consideração do bounce e da
arfagem.
11.4
Deflexão das molas das suspensões
As carrocerias dos automóveis são fixadas aos eixos através de molas. Sendo assim há o
deslocamento relativo destes elementos, o que ocasiona as deflexão das molas e dos amortecedores. A deflexão das molas e dos amortecedores são devidas aos seguintes deslocamentos:
• deslocamento vertical (bounce) do centro de massa da carroceria;
• ângulo de rolagem da carroceria (roll);
• ângulo de arfagem da carroceria (pitch);
• deslocamentos do centro de massa das rodas ou eixo.
A seguir será determinada a contribuição de cada uma das parcelas acima listadas na
deflexão das molas da suspensão.
A análise destas componentes será feita de acordo com os modelos representados nas
Figuras 11.4 e 11.5 que seguem:
270
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
11.4.1
Deflexão das molas para suspensões independentes
As molas de um eixo com suspensão independente, são submetidas as deflexões causadas
pelo deslocamento vertical da roda, bem como pelo deslocamento vertical, arfagem e rolamento da carroceria. Para este desenvolvimento, como nos demais, considera-se também que
os deslocamentos verticais da carroceria são maiores do que o das rodas. Genericamente a
deflexão das molas de um veículo é dada por
  () =   () +   () +   () +   ()
(11.13)
sendo:
  () - devido ao deslocamento vertical (bounce) do centro de massa da carroceria;
  () - devido ao ângulo de rolagem da carroceria (roll);
  () - devido ao ângulo de arfagem da carroceria (pitch);
  () - devido deslocamento do centro de massa das rodas ou eixo.
Cálculo da parcela   ()
Esta parcela, referente ao deslocamento vertical do centro de gravidade da carroceria e
mostrado na Figura 11.5, é dada por:
  () = ()
(11.14)
Cálculo da parcela   ()
Esta parcela é causada pelo ângulo de rolamento da carroceria. Sendo  e  as bitolas
dos eixos dianteiro e traseiro, respectivamente, e com a consideração que o ângulo de giro
da carroceria é pequeno, a deflexão das molas das posições 1 a 4 é:
Roda dianteira esquerda
Roda dianteira direita

 1 () = −() ;
2
(11.15)

 2 () = () ;
2
(11.16)

;
2
(11.17)
Roda traseira direita
 3 () = ()
Rara a roda traseira esquerda
 4 () = −()


2
sendo que o sinal negativo indica que a mola foi tracionada.
(11.18)
271
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
Cálculo da parcela   ()
Esta parcela, devido ao ângulo de arfagem da carroceria, é igual para as rodas de um
mesmo eixo. Assim a parcela da deflexão das molas devido a este movimento da carroceria (considerando pequenos ângulos de giro da carroceria e que as distâncias do centro de
gravidade às rodas dianteiras e traseiras são  e  ), são:
roda dianteira esquerda e direita
 1 () =  2 () = −() 
(11.19)
roda traseira direita e esquerda
 3 () = 4 () = () 
(11.20)
O sinal negativo nas duas primeiras equações indica que a mola é tracionada.
Cálculo da parcela   ()
Esta parcela da deflexão das molas depende do eixo ser eixo rígido ou suspensão independente. Neste caso, como a suspensão é independente, a deflexão das molas devido ao
deslocamento do centro de gravidade das rodas é dada por
 () = − ()
(11.21)
sendo que o sinal negativo indica que a mola é distendida.
Deflexão total das molas   ()
Com estas parcelas definidas em função dos deslocamentos dos elementos constituintes
do veículo, bem como da posição do centro de gravidade destes, pode-se escrever que:
 1 () = () − ()

− () − 1 ()
2

− () − 2 ()
2

+ () − 3 ()
 3 () = () + ()
2

 4 () = () − ()
+ () − 4 ()
2
 2 () = () + ()
11.4.2
(11.22)
(11.23)
(11.24)
(11.25)
Deflexão das molas para suspensões de eixos rígidos
As molas de um eixo rígido, tal como no item 11.4.1, são submetidas as deflexões causadas
pelo seu próprio deslocamento vertical e rotação em torno do eixo axial, bem como pelo
deslocamento vertical, arfagem e rolamento da carroceria. Com as mesmas considerações
feitas no item anterior, genericamente as deflexões das molas de um veículo dotado com este
tipo de suspensão podem ser escritas como:
272
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos

  () =    () +   () +   () +   () +   ()
(11.26)
sendo:
 = 1 2 3, ou 4 e
 =  ou , dependendo da ’-ésima posição da roda.
Vale a pena frisar que os dois primeiros termos das equações acima, são relativos ao
deslocamento e giro do eixo, enquanto que os três últimos são relativos aos deslocamentos
linear e angulares da carroceria. A seguir são desenvolvidos os procedimentos de cálculo de
cada uma das parcelas das equações acima apresentadas.
Cálculo da parcela    ()
Para o caso de eixo rígido, a deflexão das rodas devido ao deslocamento vertical é o
mesmo para ambas e igual ao do centro de massa do eixo. Assim para o eixo dianteiro e
traseiro, tem-se, respectivamente
 1 () =  2 () = − ()
(11.27)
 3 () =  4 () = − ()
(11.28)
sendo que o sinal negativo indica que a mola é tracionada.

Cálculo da parcela    ()
Considerando que o giro do eixo dianteiro e do traseiro sejam  () e  () e as bitolas
associadas a estes dois eixos  e  , respectivamente, as deflexões das molas para pequenos
giros do eixo são dadas por:


 1  () =  () 
2
(11.29)


 2  () = − () 
2
(11.30)

 3  () = − ()

4  () =  ()


2


2
(11.31)
(11.32)
Cálculo da parcela   ()
O deslocamento vertical da carroceria induz deflexões iguais para todas as molas do
veículo e assim:
(11.33)
 1 () =  2 () =  3 () =  4 () = 
273
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
Cálculo da parcela   ()
O ângulo de rolamento da carroceria induz deflexões nas molas da suspensão proporcionalmente à bitola do eixo. Sendo assim, considerando que o giro da carroceria é pequeno,
pode-se escrever a deflexão das molas do eixo dianteiro e traseiro como segue

 1 () = −() 
2

 2 () = () 
2

 3 () = () 
2

 4 () = −() 
2
Cálculo da parcela   ()
O ângulo de arfagem da carroceria, causa deflexões idênticas nas molas das suspensões de
um mesmo eixo. Considerando pequenos ângulos, as deflexões das molas do eixo dianteiro e
traseira são dadas por:
 1 () =  2 () = −() 
(11.34)
 3 () = 4 () = () 
(11.35)
Deflexão total das molas   ()
A seguir é aprensentada a superposição das componentes da deflexão das molas.
 1 () = () − ()


− () −   () +  () 
2
2
(11.36)
 2 () = () + ()


− () −   () −  () 
2
2
(11.37)


+ () −   () −  () 
2
2
(11.38)
3 () = () + ()


+ () −   () +  () 
(11.39)
2
2
Tendo sido determinadas as deflexões das molas e pneus em função dos deslocamentos e
do tipo de suspensão que podem equipar um veículo, as equações diferenciais do movimento
podem ser obtidas para veículos das mais variadas combinações de concepções de suspensões,
como citadas no item 11.1.
4 () = () − ()
274
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
Figura 11.6: Modelo de dois graus de liberdade de 1/4 do veículo.
11.5
Modelos com dois graus de liberdade
11.5.1
Modelo para bounce
Segundo a referência [1], uma análise dinâmica preliminar de um veículo pode ser feita
com um modelo da quarta parte do conjunto. Neste modelo o veículo é separado em quatro
partes, sendo cada parte associada a uma roda do veículo. Com estas considerações o
tratamento dinâmico é feito como sendo um sistema de massas e molas com dois graus de
liberdade, sendo que, neste caso, uma das molas é a da suspensão e a outra o pneu. As
massas associadas a este modelo são a metade da massa não suspensa do eixo e a outra
a metade da massa suspensa sobre o eixo. Vale salientar que a massa associada ao eixo é
função da posição do centro de gravidade das massas suspensas.
Com isto definido, o modelo matemático será desenvolvido a partir do modelo diagramático mostrado na Figura 11.6.
De acordo com o que foi desenvolvido nos itens anteriores, a deflexão das mola e do
amortecedor deste modelo, em função do deslocamento do centro de massa do eixo e do
deslocamento vertical da carroceria, é:
  () = () −  ()
(11.40)
sendo que o índice  indica a posição da roda, conforme a Figura 11.1.
A velocidade associada a esta deflexão é dada por:
̇  () = ̇() − ̇ ()
sendo que o ponto indica derivada em relação ao tempo, ou seja
̇  () =
  ()


(11.41)
275
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
Figura 11.7: Diagramas de corpo livre para o modelo com dois graus de liberdade.
A deflexão dos pneus, em termos do deslocamento do centro de massa do eixo e da
rugosidade do solo, é dada por:
  () =  () −  ()
(11.42)
sendo que, novamente, o índice  indica a posição da roda.
A partir desta equação, a velocidade é dada por:

̇  () = ̇ () − ̇ ()
(11.43)
Com isto definido, parte-se para a determinação das equações do movimento para este
problema. Para isto se constrói os diagramas de corpo livre mostrados na Figura 11.7.
Do equilíbrio de forças dos diagramas de corpo livre mostrados na Figura 11.7 a - e b -,
tem-se as seguintes equações.
(11.44)
− −  = 2 ̈()
 +  −  = 1 ̈ ()
(11.45)
sendo que os índices sobre-escritos das forças têm a seguinte interpretação:
 - representa força devido a deflexão da mola da suspensão;
 - representa força devido a ação do amortecedor;
 - representa força devido a deflexão do pneu.
Lembrando que as forças de mola e de amortecimento são dadas por
 =    () =  [() −  ()] 
(11.46)
 =  ̇  () =  [̇() − ̇ ()] 
(11.47)
 =    () =  [ () −  ()] 
(11.48)
as equações do movimento podem ser reescritas como:
2 ̈() +  [̇() − ̇ ()] +  [() −  ()] = 0
(11.49)
1 ̈ () −  [̇() − ̇ ()] −  () + [ +  ]  () =   ()
(11.50)
276
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
ou matricialmente por
∙
e, compactamente por:
¸½
¸½
¾ ∙
¾
2 0
̈()
̇()
 −
+
̈ ()
̇ ()
0 1
− 
¸½
¾ ½
¾
∙
()
−
0

=

+
 ()
−  + 
  ()
[M ẍ() + C ẋ() + K x()] = f()
sendo:
∙
M=
é a matriz de inércia;
C=
é a matriz de anortecimento;
K=
é a matriz de rigidez;
∙
∙
¸
2 0
0 1
 −
− 
x() =
é o vetor de deslocamentos e
½
()
 ()
(11.52)
(11.53)
¸
−

−  + 
(11.51)
¸
¾
(11.54)
(11.55)
(11.56)
¾
(11.57)
 () =  (Ω)Ω 
(11.58)
f() =
½
0
 
  ()
é o vetor força ou excitação.
Com as equações do movimento desenvolvidas, parte-se para a determinação das propriedades características deste sistema dinâmico. Para isso, considera-se que a excitação
seja harmônica, porém, podem ser usadas outras metodologias para a determinação das
características do sistema.
Para este desenvolvimento, adota-se a hipótese que o sistema dinâmico se comporte
linearmente.
A representação da excitação harmônica será feita na forma complexa, visto que a mesma
representa todas as grandezas possíveis de uma excitação, tais como frequência e ângulo de
fase, de maneira bastante compacta. Sendo assim, a excitação, a resposta bem como as suas
derivadas em relação ao tempo são dadas por:
 () =  (Ω)Ω 
̇ () = Ω (Ω)Ω =  (Ω)Ω 
̈ () = −Ω2  (Ω)Ω =  (Ω)Ω 
(11.59)
277
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
() = (Ω)Ω 
̇() = Ω(Ω)Ω =  (Ω)Ω 
2
Ω
̈() = −Ω (Ω)
(11.60)
Ω
= (Ω)
sendo:
 - é a entidade matemática imaginária;
Ω - é a frequência;
 - é a variável tempo;
 (Ω)  (Ω) (Ω)  (Ω)  (Ω) (Ω)  (Ω) - são as amplitudes dos deslocamentos,
das velocidades e das acelerações, em frequência.
Com isso e as devidas simplificações, as equações do movimento são reescritas como:
£
¤
−2 Ω2 (Ω) + Ω [(Ω) −  (Ω)] +  [(Ω) −  (Ω)] Ω = 0
(11.61)
[−1  (Ω) −  [(Ω) −  (Ω)] −  [(Ω) −  (Ω)] +   (Ω)] Ω =   (Ω)Ω
(11.62)
ou
−2 Ω2 (Ω) + Ω [(Ω) −  (Ω)] +  [(Ω) −  (Ω)] = 0
−1 Ω2  (Ω) − Ω [(Ω) −  (Ω)] −  (Ω) + [ +  ]  (Ω) =   (Ω)
(11.63)
(11.64)
Definindo
 = Ω
e lembramdo que
2 = (Ω)2 = −Ω2 
pode-se escrever que:
2 2 (Ω) +  [(Ω) −  (Ω)] +  [(Ω) −  (Ω)] = 0
1 2  (Ω) −  [(Ω) −  (Ω)] −  (Ω) + [ +  ]  (Ω) =   (Ω)
(11.65)
(11.66)
a qual pode ser expressada de forma matricial como segue
∙∙
¸
¸
∙
¸¸ ½
∙
¾ ½
¾
2 0

(Ω)
 −
−
0
2
 +
+
=
 (Ω)
0 1
− 
−  + 
  (Ω)
(11.67)
e mais sinteticamente por:
¤
£
M 2 + C  + K Z(Ω) = F(Ω)
sendo:
M, C e K são as matrizes definidas nas equações (11.53), (11.54) e (11.55);
(11.68)
278
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
½
¾
(Ω)
Z(Ω) =
e
½  (Ω)
¾
0
F(Ω) =

  (Ω)
Com estas definições a equação (11.68) pode ser reescrita como
Ð()Z(Ω) = F(Ω)
as quais são as equações de equilíbrio escritas compactamente em termos da frequência.
Verifica-se que estas equações são algébricas, sendo as suas soluções facilmente obtidas,
como é mostradoa aseguir.
Definindo a matriz receptância como
£
¤−1
(11.69)
Λ() = Ð()−1 = M 2 + C  + K
tem-se que a resposta, Z(Ω) do sistema é calculada por:
Z(Ω) = Λ()F(Ω)
A matriz receptância, em termos das propriedades do sistema, é dada por:
¸
∙
1
 +  + ( + 1 )
 +  
Λ() =
 +  
 + ( + 2 )
det Ð()
(11.70)
(11.71)
sendo:
det Ð() =  ( + (1 + 2 )2 ) + (2 ( + 1 2 ) +  ( + (1 + 2 )2 ))
(11.72)
é o determinante da matriz Ð(Ω)
Teoricamente, na ressonância, a resposta do sistema, equação (11.70), tende ao infinito
e para que isto aconteça é necessário que a inversa tenda a infinito, o que ocorre nos pólos
da razão 1 detÐ() da equação (11.71). A determinação destes pólos, que correspondem
as frequências de naturais do sistema, são obtidos a partir da solução da seguinte equação
algébrica:
det Ð() = 0
(11.73)
As raízes desta equação, ou os pólos, normalmente são complexas conjugadas aos pares,
sendo assim, na análise de estabilidade desse sistema, a condição de sistema estável somente
e satisfeita se a parte real das raízes da equação (11.73) forem negativas. Para o desenvolvimento que segue as raízes da equação podem ser escritas genericamente por:
 =   ±   
(11.74)
sendo  = 2 4 · · ·  2 e  é a dimensão da matriz Ð() No caso particular do sistema
com dois graus de liberdade  = 2, o que implica em quatro raízes.
Para um sistema com  graus de liberade pode-se escrever que:
|  | =   Ω
(11.75)
279
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
as quais invertidas resultam em:
q
  = Ω 1 −  2
1
 = r
³ ´2

1 + 
Ω =
| |

(11.76)
(11.77)
(11.78)
sendo:
  é a ’-ésima frequência natural amortecida;
Ω é denominada de ’-ésima frequência natural não amortecida.
A razão de amortecimento, grafada com a letra    é dada por
 =


(11.79)
sendo que  é o amortecimento crítico calculado por
 = 2  Ω 
(11.80)
Vale salientar que:
Ω
[] 
(11.81)
2
Lembrando da forma que o deslocamento, a velocidade e a aceleração das diversas partes
do modelo, equações (11.59) e (11.60), foram definidas, pode-se escrever a amplitude complexa da velocidade e da aceleração, em termos da amplitude complexa do deslocamento,
como
¾
½
¾
½
(Ω)
(Ω)
= Ω

(11.82)
V(Ω) =
 (Ω)
 (Ω)
¾
¾
½
½
(Ω)
(Ω)
2
= −Ω
(11.83)
G(Ω) =
 (Ω)
 (Ω)
 =
ou de maneira compacta por
V(Ω) = ΩZ(Ω)
(11.84)
G(Ω) = −Ω2 Z(Ω)
(11.85)
Introduzindo a equação (11.70) nestas duas últimas equações, pode-se escrever:
V(Ω) = ΩΛ()F(Ω) = Υ(Ω)F(Ω)
(11.86)
G(Ω) = −Ω2 Λ()F(Ω) = Ξ(Ω)F(Ω)
(11.87)
Υ(Ω) = ΩΛ()
(11.88)
Ξ(Ω) = −Ω2 Λ()
(11.89)
sendo:
é a mobilidade e
280
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
é a acelerância, ambas obtidas a partir da matriz de receptância Λ().
O módulo da receptância, Λ(), da mobilidade, Υ(Ω) ou da acelerância, Ξ(Ω) são
denominados de ganho. Em função das grandes amplitudes na região de ressonância o
ganho pode ser expressado em decibéis, . Para isso toma-se o logarítmo decimal do ganho
multiplicado por vinte, como segue:
20 10 |Λ()|
para a receptância;
20 10 |Υ(Ω)|
para a mobilidade e
20 10 |Ξ(Ω)|
para a acelerância. Essas funções de resposta em frequência, variáveis da frequência de
excitação, são plotadas normalmente em escala di-log.
11.5.2
Determinação de alguns parâmetros da suspensão
A determinação aproximada da rigidez das molas e da constante de amortecimento das
suspensões de um automóvel, é feita a partir da simplificação do modelo de dois graus de
liberdade desenvolvido anteriormente. Essa simplificação consiste em desprezar o grau de
liberdade associado a massa não suspensa do eixo e que a rigidez da mola é equivalente a
combinação em série da rididez do pneu e da mola da suspensão. Adicionalmente, a esse
modelo, é necessário lançar mão da experiência para que a rigidez da mola da suspensão e a
constante de amortecimento sejam determinadas de maneira a tornar a marcha (em inglês
ride) do automóvel adequada ao uso.
Para um modelo com um grau de liberdade apenas e negligenciando a excitação, a equação
de equilíbrio pode ser desenvolvida a partir da Figura 11.7 - b, sendo que a rigidez da mola
é equivalente a do pneu e da suspensão, ou seja:
 =
 
 + 
(11.90)
− −  = 2 ̈()
(11.91)
Considerando comportamento harmônico, a resposta em frequência desse sistema é:
£
¤
2 2 +  +  (Ω) = 0
(11.92)
Descartando a solução trivial, a solução desse problema é obtida a partir da seguinte equação
algébrica:
(11.93)
2 2 +  +  = 0
As raízes desse sistema algébrico são:
12

=−
±
22
sµ

22
¶2
−

2
(11.94)
281
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
ou
12 = −

±
22
r
⎤
⎡v
⎞2
u⎛
u
 ⎢u⎝

⎥
q ⎠ − 1⎦
⎣t
2
2 
2
(11.95)
2
Antes de continuar o desenvolvimento para o sistema amortecido, é importante uma
análise intermediária. Essa análise intermediária é a do sistema não amortecido, ou seja
£
¤
2 2 +  (Ω) = 0
As raízes da equação algébrica associada a esta última equação são:
r

12 = ±
2
o que implica em
(11.96)
(11.97)
r

(11.98)
2
ou
r
1 
(11.99)
2 =
2 2
que são a frequência fundamental ou natural não amortecida de um sistema com um grau
de liberdade, em  ou em , respectivamente.
Com as definições estabelecidas para o sistema de um grau de liberdade não amortecido,
pode-se retornar ao problema de autovalor para o problema amortecido e reescrever a equação
11.95 para o caso de amortortecimento subcrítco,   1, como segue:
q
(11.100)
 = −Ω2 ±  Ω2 1 −  2
Ω2 =
ou
=± 
sendo:
=

22p
Ω2
=

2
2
(11.101)
- é a razão de amortecimento;
 = Ω2 1 −  - é a frequência natural amortecida;
 = − Ω2 é a parte real do autovalor.
 - é entidade imaginária.
Segundo a referência [1], para uma marcha suave do veículo, a razão de amortecimento, 
dos carros de passeio se situa na faixa de 0 2 a 0 4. Vale salientar que nessa faixa da razão de
amortecimento, , a frequência natural não amortecida é levemente diferente da amortecida
e por isso a frequência natural não amortecida é utilizada para caracterizar o comportamento
dinâmico do veículo no ante-projeto. Porém, quando a razão de amortecimento é maior do
que 1, por exemplo 2, a suspensão torna-se tão rígida que o veículo balança somente sobre
os pneus e a frequência natural amortecida cresce para valores na faixa de 3 a 4 Hz.
A modelagem apresentada acima, não consegue captar o efeito do amortecedor na capacidade de aderência do veículo, tanto em curvas ou em acelerações, que é uma característica
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
282
essencial na manobrabilidade (handling) e segurança do veículo. Isso implica que a determinação da constante de amortecimento mais adequada para o veículo, considerando esse
modelo de análise, deve ser experimental. Outro fato, que é uma simplificação no modelo
desenvolvido, é a hipótese das propriedades do amortecedor serem iguais na distenção e na
compressão, o que não corresponde ao caso real, sendo que, na maioria das aplicações, os
amortecedores são de simples efeito ou de duplo efeito.
Para reduzir a força transmitida durante a subida da roda pelo efeito de uma irregularidade na pista, os amortecedores de simples efeito apresentam a constante de amortecimento
bastante baixo na compressão e um valor bastante grande na descida da roda ou extensão
do amortecedor. Nos amortecedores de duplo efeito existe um amortecimento significativo
na compressão, porém não tão grande quanto aquele existente na sua extensão.
Outro detalhe importante, relacionado com o amortecimento diferente nos dois sentidos
de delocamento do amortecedor, é o seu comportamento não linear (bi-linear), implica em um
comportamento não linear da equação do movimento desenvolvida. Dessa maneira, em uma
análise mais elaborada da resposta do equacionamento desenvolvido, é necessário considerar
a não linearidade desse elemento nas equações do movimento.
Finalmente, o efeito das buchas elásticas usadas nos pontos de fixação dos amortecedores
nos eixos e na carroceria, devem ser considerado na análise dos deslocamentos de pequena
amplitude e de alta frequência que os eixos do veículo estão submetidos.
Quanto a rigidez das molas da suspensão, que está em série com a dos pneus (a rigidez das
molas da suspensão é cerca de 10% da rigidez do pneu), há a sua predominância na rigidez
equivalente, equação (11.90), e no valor da frequência de ressonância. Como a amplitude
de aceleração cresce com a frequência o melhor isolamento do veículo das irregularidades da
pista, é conseguido mantendo o valor da frequência fundamental o mais baixo possível. A
escolha natural para a frequência fundamental de balanço (bounce) de um veículo é na faixa
de até 1 0 Hz. Porém, a adoção de valores menores do que a unidade tem um limite que é o
espaço necessário para o curso da suspensão. Sendo assim, o a faixa de frequência recomendada para a seleção da rigidez das molas da suspensão de veículos de passeio fica na faixa de
0 9 a 1 5 Hz, quando se deseja um veículo que tenha marcha suave de deslocamento. Carros
de alto desempenho, que sacrificam o conforto no rodar em troca de melhores características
de manobrabilidade, têm a rigidez das molas de suas suspensões selecionadas para a faixa
de frequência natural de 2 a 2 5 Hz , conforme a referência [1].
Quanto a relação da frequência natural com o curso da suspensão, com uma análise
bastante simples, consegue-se mostrar que para uma frequência natural de cerca de 1 0
Hz, é necessária uma deflexão estática de cerca de 240 mm da mola (pré-carga). Para a
suspensão que usa a mola com essa característica, é necessário um curso de cerca de 120
mm para absorver uma carga associada a uma aceleração vertical de 0 5 g. Isso implica que,
para acelerações relativamente modestas impostas pelo solo, o curso da suspensão precisa ser
relativamente grande para valores de frequências de 1 0 Hz. Quando o veículo é grande e o
espaço disponível da suspensão também, o uso de frequências naturais baixas para a seleção
da rigidez de mola é possível. Quando o veículo é pequeno e o espaço disponível para o curso
da suspensão é pequeno, usa-se frequências mais altas para a determinação da rigidez da
283
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
mola. Essa última opção, para a determinação da rigidez da mola, implica numa redução do
conforto do veículo, já que há um endurecimento da suspensão.
11.5.3
Massas não suspensas
A massa dos eixos, que inclui a massa da roda, pneu cubo, ponta de eixo, freios, juntas
e parte da massa dos semi eixos, balanças, amortecedores e molas, constitui o que se chama
de massa não suspensa. Essas massas, denotadas pela letra 1 no modelo com dois graus de
liberdade e mostrado na Figura 11.7 - a, tem o graus de liberdade,  (), associado. Como essa
massa é bastante menor que a massa suspensa (segundo a referência [1] cerca de 10% da massa
suspensa para os eixos não motrizes e cerca de 15% para os eixos motrizes), a sua frequência
de ressonância é bem maior do que a frequência de ressonância das massas suspensas. Sendo
assim, para uma análise preliminar, pode-se supor que a massa não suspensa é um sistema
de um grau de liberdade suportado pela molas em paralelo pneu e da suspensão, já que os
deslocamentos da carroceria serão muito menores do que os das massas não suspensas na
ressonância destas últimas. Com essa hipótese, a frequência natural da suspensão pode ser
estimada pela seguinte equação:
s
Ω1 =
 + 
1
(11.102)
sendo que os termos que compõem essa equação têm o significado definido anteriormente
neste item.
Segundo a referência [1], como a rigidez das molas da supensão giram em torno de 10%
da rigidez dos pneus e o valor das massas não suspensas em torno de 50 , os valores
típicos para a frequência natural das massas não suspensas é em torno de 10 . Esse valor
da frequência é afetado pela rigidez torcional e amortecimento histerético das buchas da
suspensão, cujos efeitos se traduzem no deslocamento da frequência de ressonância para a
faixa de 12 a 15 . Com uma análise simples de sensibilidade da frequência natural em
relação a massa não suspensa, concluí-se que os eixos mais leves são os mais indicados para
uma marcha de deslocamento suave do veículo em relação aos eixos mais pesados, porém
problemas, facilmente contornáveis, surgem em altas frequências de excitação.
Exemplo Determinar a rigidez de mola e a constante de amortecimento para o veículo
com as características apresentadas na Tabela 11.1
Solução: Para o desenvolvimento do problema é necessário calcular a rigidez das molas
da suspensão. Dessa forma é necessário determinar o valor da massa suspensa sobre cada
roda. Sendo assim,
2 =
1476(1 − 0 45)
(1 − )
=
= 405 9 kg
2
2
2 =
  1476 0 45
=
= 332 1 kg
2
2
284
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
Tabela 11.1: Características do veículo.
Grandeza
Dimensão
Dados
Tração
−
 
Distribuição de carga

−
0 45
Razão de amortecimento

−
0 3
Suspensão dianteira
McPherson
−
−
Suspensão traseira
Semi trailing
Peso do veículo


16503
Massa do veículo


1682 26
Massa suspensa


1476
Massa não suspensa eixo dianteiro


92 26
Massa não suspensa eixo traseiro


114
Rigidez do pneu


210000
Lembrando que a frequência natural deve girar em torno de 1,0 a 1,5 Hz, a rigidez das molas
da suspensão é determinada a partir da combinação das seguintes equações
r
1 
2 =
2 2
 =
 = ³
 
 + 


2 (22 )2
´
−1
Considerando que a suspensão traseira tem que ser um pouco mais rígida que a dianteira,
em função da estabilidade direcional, considera-se que as frequências naturais são 1 0 hz e
1 2 Hz para os eixos dianteiro e traseira, respectivamente. Sendo assim, tem-se:

 = ³
2 (22 )2
 = ³

2 (22 )2


210000
´=³
´ = 17348 05 
210000
−1
−
1
4059(210)2
210000
´=³
´ = 20744 51 
210000
−1
2 − 1
3321(212)
Determinada a rigidez das molas do eixo dianteiro e traseiro, o próximo passo é a determinação das constantes de amortecimento para os dois eixos. Para isso, como o veículo
é de passeio, considera-se como uma primeira aproximação que a razão de amortecimento
é de 0,3, ou seja  = 0 3 Assim, para continuar o desenvolvimento é necessário calcular o
amortecimento crítico das suspensões dianteira e traseira. Isso é feito a partir da seguinte
equação:
 = 2  Ω 
(11.103)
285
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
Cálculo da frequência natural em rad/s
Ω2
Ω2


= 22  = 21 0 = 6 283 rad/s
= 22

= 21 2 = 7 540 rad/s
Cálculo do amortecimento crítico para o eixo dianteiro:
 = 2 2  Ω2  = 2 405 9 6 283 = 5100 54 Ns/m
(11.104)
Cálculo do amortecimento crítico para o eixo traseiro:
 = 2 2

Ω2

= 2 332 1 7 540 = 5007 95 Ns/m
(11.105)
Com isso definido e com  = 0 3, tem-se que a constante de amortecimento para os eixos
dianteiro e traseiro são calculadas a partir da seguinte equação:
 =  
(11.106)
 =   = 5100 54 0 3 = 1530 16 Ns/m
(11.107)
 =   = 5007 95 0 3 = 1502 39 Ns/m
(11.108)
O cálculo das frequências naturais dos eixos é feito com a equação simplificada 11.102,
reescrita a seguir:
s
 + 
Ω1 =

(11.109)
1
Assim o período fundamental para o eixo dianteiro e traseiro é dado por:
s
s
  + 
17348 05 + 210000
=
= 70 20 rad/s = 11 73 Hz
Ω1  =
1 
92 262
Ω1

=
s
 + 
=
1 
s
20744 51 + 210000
= 63 63 rad/s = 10 13 Hz
1142
(11.110)
(11.111)
respectivamente.
A determinação das frequências naturais amortecidas é feita a partir da seguinte equação
q
 = Ω 1 −  2 
Assim, a frequência natural amortecida para a massa sobre o eixo dianteiro vale
q
p
 2  = Ω2  1 −  2 = 6 283 1 − 0 32 = 5 99 rad/s = 0 953 Hz
e para a massa sobre o eixo traseiro vale
q
p
 2  = Ω2  1 −  2 = 7 540 1 − 0 32 = 7 193 rad/s = 1 144 Hz.
(11.112)
(11.113)
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
Para o eixo dianteiro, a frequência natural amortecida vale
q
p
 1 = Ω1 1 −  2 = 70 20 1 − 0 32 = 66 97 rad/s = 10 65 Hz
286
(11.114)
e para o eixo traseiro vale
q
p
 1 = Ω1 1 −  2 = 63 63 1 − 0 32 = 60 70 rad/s = 9 66 Hz.
Nas equações apresentadas acima, observa-se que as frequências naturais amortecidas
diferem muito pouco das amortecidas, por isso que a frequência natural não amortecida é
bastante usada para definir as propriedades de um veículo na etapa de ante-projeto.
É importante observar também que a rigidez das molas bem como a constante de amortecimento calculadas acima, não são os valores reais da rigidez das molas e da constante de
amortecimento. Isto se deve ao fato que no modelo matemático as molas e os amortecedores
estão colocados no plano médio das rodas. Nos veículos reais isso não ocorre, pois basta
lembrar que as molas e amortecedores estão fixos nas balanças ou nos braços das suspensões
dos automóveis, exceto no caso de algumas suspensões McPherson. Sendo assim é necessário
calcular a rigidez de mola e a constante de amortecimento considerando os braços de alavanca
proporcionados pelas balanças das suspensões. Para esse caso, como a suspensão dianteira é
a Mc Pherson e que a mola e amortecedor estão na torre da suspensão, a constante de mola
e de amortecimento não se alteram, pois o deslocamento e a velocidade que a mola sofre é
aproximadamente (a diferença se deve à leve inclinação do eixo da mola e do amortecedor
da vertical) a do plano médio do pneu. Para a suspensão traseira, sendo que o tipo é semi
trailing, considera-se as seguinte grandezas:  = 0 2 m e  = 0 3 m medidas em relação ao
ponto de pivotamento da balança a mola e a roda, respectivamente. Sendo assim:
µ
¶2
³  ´2
0 3
= 20744 51
= 46675 15 
real = 

0 2
Com o valor estabelecido para as molas das suspensões dianteira e traseira, pode-se calcular
a deflexão estática da mola para suportar o peso próprio do veículo, como segue:
2 (1 − ) ³  ´2 405 9(1 − 0 45)9 81
(1 0)2 = 0 126  = 126 
  =
=


17348 05
µ
¶2
2   ³  ´2 332 1 0 45 9 81 0 2
=
= 0 031  = 31 
  =


20744 51
0 3
Supondo que durante o deslocamento o veículo fique submetido a uma carga proporcional a
0 5 g de aceleração vertical, a deflexão do centro da roda é calculado como segue:
   =
2 (1 − )
405 9(1 − 0 45)0 5 9 81
= 0 063  = 63 
=

17348 05
2  
332 1 0 45 0 5 9 81
=
= 0 035  = 35 

20744 51
Esses valores significam que, para suportar uma aceleração vertical de cerca de 0 5 g, as
suspensões devem permitir um curso livre da roda de pelo menos 63 mm e 35 mm nos eixos
dianteiro e traseiro respectivamente.
 

=
287
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
11.6
Modelos com sete graus de liberdade
A abordagem apresentada a seguir vale para todas as combinações possíveis de suspensões
para automóveis. A formulação é desenvolvida em termos energéticos, visto que se procura
uma ferramenta mais flexível para permitir que se agrege, oprtunamente, alguns outros
efeitos no modelo, tais como efeitos giroscópicos, massas descentradas, ou então graus de
liberdade associados aos subsistemas que compõem um automóvel (por exemplo direção e
transmissão). O objetivo desses modelos é o da melhor representação do comportamento
de um veículo transitando em linha reta, porém modelos com número maior de graus de
liberdade, de tal forma a simular dirigibilidade e frenagem como feito por Sayers e Han
na referência [?], podem ser construídos. Como o objetivo primeiro deste trabalho é o de
levantar cargas durante o deslocamento em linha reta do veículo, os modelos com sete graus
de liberdade são adequado para uma primeira abordagem.
Para o desenvolvimento que será feito neste capítuloa influência do campo gravitacional
não será considerada, já que os carregamentos médios impostos pelo peso e as resistências
ao movimento do veículo foram determinados em capítulo anterior,
11.6.1
Veículos com dois eixos rígidos
O modelo com sete graus de liberdade para o caso em que os eixos traseiro e dianteiro
são rígidos, mostrado na Figura 11.8, é desenvolvido neste item.
Vale a pena salientar que as coordenadas generalizadas, para o modelo do veículo discretizado com sete graus de liberdade, podem ser escritas na forma de um vetor, comno
segue:
⎫ ⎧
⎫
⎧
()

()
⎪
⎪
⎪
⎪
1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
()

()
⎪
⎪
⎪
⎪
2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎨ 3 () ⎬ ⎨ () ⎪
 ()
4 ()
=
(11.115)
x() =
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
5 () ⎪
 () ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪


()
()
⎪
⎪
⎪
⎪
6

⎪
⎪
⎪
⎪
⎭ ⎩
⎭
⎩
7 ()
 ()
e as velocidades associadas a esses graus de liberdade por
⎧
⎫ ⎧
̇
()
⎪
⎪
⎪
1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
̇
()
⎪
⎪
⎪
2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎨ ̇3 () ⎬ ⎪
̇4 ()
=
ẋ() =
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
̇
()
⎪
⎪
⎪
5
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
̇
()
⎪
⎪
⎪
6
⎪
⎪
⎩
⎩
⎭ ⎪
̇7 ()
⎫
̇() ⎪
⎪
⎪
̇() ⎪
⎪
⎪
⎪
̇() ⎪
⎬

̇ ()

(11.116)
⎪
⎪
⎪
̇ () ⎪
⎪
⎪
̇ () ⎪
⎪
⎭
̇ ()
Os graus de liberdade associados ao vetor x() são mostrados na Figura 11.8.
Com estas grandezas definidas, as deflexões das molas, dadas pelas equações (11.36) a
(11.39) e repetidas a seguir, são


 1 () = () − () − () −  () +  () 
(11.117)
2
2
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
288
Figura 11.8: Modelo de sete graus de liberdade para um veículo com dois eixos rígidos.
289
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos


− () −  () −  () 
2
2
(11.118)
 3 () = () + ()


+ () −  () −  () 
2
2
(11.119)
 4 () = () − ()


+ () −  () +  () 
2
2
(11.120)
̇ 1 () = ̇() − ̇()


− ̇() − ̇ () + ̇ () 
2
2
(11.121)
̇ 2 () = ̇() + ̇()


− ̇() − ̇ () − ̇ () 
2
2
(11.122)


+ ̇() − ̇ () − ̇ () 
2
2
(11.123)
 2 () = () + ()
e as velocidades dadas por
̇ 3 () = ̇() + ̇()


+ ̇() − ̇ () + ̇ () 
(11.124)
2
2
As deflexões dos pneus para um eixo rígido, dadas pelas equações (11.9) a (11.12), são
repetidas a seguir
̇ 4 () = ̇() − ̇()
 1 () =  () −  ()

− 1 ()
2
(11.125)
 2 () =  () +  ()

− 2 ()
2
(11.126)

− 3 ()
2
(11.127)

− 4 ()
2
(11.128)
 3 () =  () +  ()
 4 () =  () −  ()
e as velocidades associadas por:


− ̇1 ()
2
(11.129)


− ̇2 ()
2
(11.130)

− ̇3 ()
2
(11.131)
̇ 1 () = ̇ () − ̇ ()
̇ 2 () = ̇ () + ̇ ()

̇ 3 () = ̇ () + ̇ ()

− ̇4 ()
(11.132)
2
Tendo sido estabelecidos as deflexões e as velocidades de deflexão das molas, a seguir se
determina a energia potencial, a energia cinética e a função dissipação de Rayleigh para cada
um dos subsistemas, sendo a superposição dos efeitos feita posteriormente.

̇ 4 () = ̇ () − ̇ ()
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
290
Cálculo da energia associada a carroceria
Energia cinética
O objetivo de calcular a energia cinética do sistema é o de determinar
a matriz de inércia do conjunto, a partir de conceitos de mecânica Lagrangeana. Assim a
energia cinética do subsistema carroceria é dada por:
i
1h
2
2
(11.133)
 =
 ̇ 2 () +  ̇ () +  ̇ ()
2
sendo:
 - massa da carroceria;
 - momento de massa da carroceria em torno do eixo, , axial ao carro;
 - momento de massa da carroceria em torno do eixo, , transversal ao carro.
Energia potencial
O objetivo da determinação da energia potencial é o de determinar
a matriz de rigidez do sistema. Assim a energia potencial da carroceria devido a deflexão
das molas das suspensões é dada por:
¤
1£ 2
1  1 () + 2  22 () + 3  23 () + 4  24 ()
2
a qual, inseridas as equações (11.117) a (11.120), é reescrita como
∙
1


1 (() − () − () −  () +  () )2
 =
2
2
2


+2 (() + () − () −  () −  () )2
2
2


+3 (() + ()
+ () −  () −  () )2
2
2 ¸

 2
+ 4 (() − ()
+ () −  () +  () ) 
2
2
 =
(11.134)
(11.135)
Função dissipativa de Rayleigh
As forças dissipativas ou não conservativas podem
ser oriundas de mecanismos de amortecimento viscoso bem como de forças circulatórias, as
quais são incluídas nos sistemas de equações de movimento a partir da função dissipadora
definida por:
¶
 µ
 X
X
1
(11.136)
 ̇ ̇ +  ̇ 
==
2
=1 =1
sendo:
 - é o coeficiente de amortecimento viscoso;
 - é o coeficiente do amortecimento das forças circulatórias;
̇ - é a velocidade da i’ésima coordenada generalizada;
 - é a j’ésima coordenada generalizada;
 - é o número de graus de liberdade do sistema.
Na equação (11.136) o primeiro termo do lado direito é associado com as forças de
amortecimento viscoso enquanto que o último é associado ao amortecimento das forças circulatórias. Como neste modelo a aerodinâmica não será considerada como um fator importante
291
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
no amortecimento do veículo, o último termo da equação (11.116) é negligenciado. Com esta
hipótese simplificativa adotada, a potência dissipada pelos amortecedores do veículo é dada
por:
i
1h 2
2
2
2
(11.137)
1 ̇ 1 () + 2 ̇ 2 () + 3 ̇ 3 () + 4 ̇ 4 ()
= =
2
ou, em termos dos graus de liberdade da carroceria e das suspensões, por:
∙
1


= =
1 (̇() − ̇() − ̇() − ̇ () + ̇ () )2
2
2
2


+2 (̇() + ̇() − ̇() − ̇ () − ̇ () )2
2
2


+ ̇() − ̇ () − ̇ () )2
+3 (̇() + ̇()
2
2 ¸

 2
(11.138)
+ 4 (̇() − ̇()
+ ̇() − ̇ () + ̇ () ) 
2
2
Cálculo da energia associada ao eixo dianteiro
Neste item são calculadas apenas a energia cinética e a energia potencial do eixo, já que
o efeito das forças dissipativas dos pneus é desprezada nessa primeira aproximação.
Vale salientar que o modelo mais adequado para a consideração do efeito dissipativo dos
pneus não é o de amortecimento viscoso, mas sim o de amortecemento histerético, tendo
em vista o comportamento dos pneus sob a ação de cargas radiais nas operações de carga e
descarga. Detalhes deste comportamento dos pneus estão descritos na referência [?] e na [4].
Energia cinética
Como neste modelo não há interesse na análise do comportamento
torcional do eixo, a energia cinética do conjunto eixo dianteiro é dada por:
1
 = [ (̇ ())2 +  (̇ ())2 ]
2
(11.139)
sendo
 - é a massa do eixo dianteiro;
̇ () - é a velocidade vertical do centro de gravidade do eixo rígido;
 - é o momento de massa do eixo dianteiro em relação ao eixo axial do veículo;
̇ () - é a velocidade de giro do eixo dianteiro em relação ao eixo axial.
Energia potencial
é dada por:
A energia potencial do eixo dianteiro devido as deflexões dos pneus
¤
1£  
1 ( 1 ())2 + 2 ( 2 ())2
(11.140)
2
Substituindo na equação acima as deflexões do pneu em termos dos deslocamentos do eixo
bem como em função da rugosidade do solo, equações (11.125) a (11.126), a mesma pode ser
reescrita como:
( ∙
∙
¸2
¸2 )
1


(11.141)
1  () −  () − 1 () + 2  () +  () − 2 ()
 =
2
2
2
 =
292
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
Cálculo da energia associada ao eixo traseiro
Desprezando a energia dissipada pelo amortecimento interno dos pneus, neste item se
calcula, também, apenas a energia cinética e a potencial.
Energia cinética
Considerando apenas os deslocamentos vertical e de giro do eixo em
relação a direção axial do veículo, a energia cinética é dada por
1
 = [ (̇ ())2 +  (̇ ())2 ]
2
(11.142)
sendo
 - é a massa do conjunto eixo traseiro;
̇ () - é a velocidade vertical do centro de gravidade do eixo rígido;
 - é o momento de massa do eixo traseiro em relação ao eixo axial do veículo;
̇ () - é a velocidade de giro do eixo traseiro em relação ao eixo axial.
Energia potencial
A energia potencial para o eixo traseiro rígida é dada por
 =
¤
1£  
3 ( 3 ())2 + 4 ( 4 ())2 
2
(11.143)
Com a substituição das equações (11.127) a (11.128), a equação 11.143 é reescrita como:
¸
∙
1 




2

2
(11.144)
 ( () +  ()
− 3 ()) + 4 ( () −  ()
− 4 ()) 
 =
2 3
2
2
Superposição dos efeitos
A seguir é feita a superposição das energias calculadas para que se possa aplicar o princípio de Lagrange e gerar o sistema de equações diferenciais para o modelo de sete graus de
liberdade de um veículo com dois eixos rígidos.
Energia cinética total para um veículo com eixos rígidos na frente e traseira
Com as considerações feitas anteriormente a energia cinética de um veículo dotado de dois
eixos rígidos é dada por
  =  +  +  
(11.145)
Sendo
 - energia cinética da carroceria;
 - energia cinética do eixo dianteiro;
 - energia cinética do eixo traseiro.
Em termos dos graus de liberdade do sistema, a energia cinética de todo o sistema é dada
por
  =
1h
2
2
 ̇ 2 () +  ̇ () +  ̇ () +  (̇ ())2 +  (̇ ())2 ]
2
i
+ (̇ ())2 +  (̇ ())2 
(11.146)
293
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
Energia potencial total para um veículo com eixos rígidos na frente e traseira
A energia potencial de todo o conjunto é dada pela soma direta de todas as parcelas desenvolvidas anteriormente, como segue.
  =  +  + 
(11.147)
ou, em termos dos graus de liberdade do sistema, por
( µ
¶2

1

1 () − () − () −  () +  ()
  =
2
2
2
µ
¶2


+2 () + () − () −  () −  ()
2
2
µ
¶2


+3 () + ()
+ () −  () −  ()
2
2
µ
¶2


+ () −  () +  ()
+4 () − ()
2
2
µ
µ
¶2
¶2






+1  () −  () − 1 () + 2  () +  () − 2 ()
2
2
µ
µ
¶2
¶2 )




− 3 () + 4  () −  ()
− 4 () (11.148)
+ 3  () +  ()
2
2
Potência dissipada pelos amortecedores de um veículo com eixos rígidos na frente
e na traseira
Para veículo, no qual a influência do amortecimento dos pneus é desprezável, a função dissipação de Rayleigh é dada por
=
∙
1


=
1 (̇() − ̇() − ̇() − ̇ () + ̇ () )2
2
2
2


+2 (̇() + ̇() − ̇() − ̇ () − ̇ () )2
2
2


+3 (̇() + ̇()
+ ̇() − ̇ () − ̇ () )2
2
2 ¸

 2
+ ̇() − ̇ () + ̇ () ) 
+ 4 (̇() − ̇()
2
2
(11.149)
Equações de Lagrange.
As equações de Lagrange, referência [?], para sistemas dinâmicos são dadas por:
µ ¶
µ ¶

=
 
−
=    = 1  
+
(11.150)
  ̇

 ̇
sendo:
 - é denominado de Lagrangiano e dado por  =   −   ;
  ̇ - é o deslocamento e a velocidade da i’-iésima coordenada generalizada do sistema
e
294
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
 - é o número de graus de liberdade do sistema.
As matrizes de inércia, amortecimento e de rigidez deste sistema, desenvolvidas a partir
da aplicação da equação (11.150), tem os seus elementos dados por
 2 2
;
 ̇  ̇
(11.151)
2=
;
 =
 ̇  ̇
(11.152)
2
;
 
(11.153)
 =
 =
sendo que, para este problema específico, tem-se que a energia cinética 2 é dada por
2 =  
(11.154)
já que se não se considera os efeitos giroscópicos nem o enrigecimento da estrutura devido a
campos longitudinais de força.
A energia potencial  do sistema em questão é dada por:
(11.155)
 =  
Matriz massa
A seguir são determinados os elementos da matriz massa com o auxílio
da equação (11.151).
 2  
=
11 =
 ̇ 2
 2  
22 =
= 
2
 ̇
33 =
44
= 
2
 ̇
 2  
=
= 
 ̇2
55 =
66 =
77 =
ou, na forma matricial, como segue
 2  
 2  
2
 ̇
= 
 2  
= 
2
 ̇
 2  
2
 ̇
= 
(11.156)
295
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
M =⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
 0 0 0
0
0
0
0  0 0
0
0
0
0 0  0
0
0
0
0 0 0  0
0
0
0 0 0 0 
0
0
0 0 0 0
0  0
0 0 0 0
0
0 
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(11.157)
Matriz amortecimento
Os elementos da matriz amortecimento, obtidos a partir da
função dissipação de Rayleigh com o auxílio da equação (11.152), são:
11 =
2=


= − (1 − 2 ) + (3 − 4 )
2
2
 ̇ ̇
12 = 21 =
13 = 31 =
14
2=
= 1 + 2 + 3 + 4
 ̇ 2
2=
= − (1 + 2 )  + (3 + 4 ) 
 ̇ ̇
2=
= 41 =
= − (1 + 2 )
 ̇ ̇
(11.159)
(11.160)
(11.161)
15 = 51 =
2=

= (1 − 2 )
2
 ̇ ̇
(11.162)
16 = 61 =
2=
= − (3 + 4 )
 ̇ ̇
(11.163)
2=

= − (3 − 4 )
2
 ̇ ̇
¶
µ
µ ¶2
2
2=


22 =
+ (3 + 4 )
2 = (1 + 2 )
2
2
 ̇
¶
¶
µ
µ
2=
 
 
+ (3 − 4 )
=
= (1 − 2 )
2
2
 ̇ ̇
17 = 71 =
23 = 32
(11.158)
2=

= (1 − 2 )
2
 ̇ ̇
¶2
µ
2=

=
= − (1 + 2 )
2
 ̇ ̇
24 = 42 =
25 = 52
2=

= − (3 − 4 )
2
 ̇ ̇
¶2
µ
2=

=
= − (3 + 4 )
2
 ̇ ̇
26 = 62 =
27 = 72
33 =
2=
 ̇
2
= (1 + 2 ) 2 + (3 + 4 ) 2
(11.164)
(11.165)
(11.166)
(11.167)
(11.168)
(11.169)
(11.170)
(11.171)
296
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
2=
= (1 + 2 ) 
34 = 43 =
 ̇ ̇
 2=
 
35 = 53 =
= − (1 − 2 )
2
 ̇ ̇
 2=
= − (3 + 4 ) 
 ̇ ̇
2=
 
=
= − (3 − 4 )
2
 ̇ ̇
36 = 63 =
37 = 73
44 =
45 = 54 =
2=
= 1 + 2
 ̇2
2=

= − (1 − 2 )
2
 ̇  ̇
2=
=0
 ̇  ̇
2=
=0
47 = 74 =
 ̇  ̇
µ ¶2
2=

55 =
2 = (1 + 2 )
2
 ̇
46 = 64 =
66
(11.173)
(11.174)
(11.175)
(11.176)
(11.177)
(11.178)
(11.179)
(11.180)
2=
=0
 ̇  ̇
(11.181)
2=
=
=0
 ̇  ̇
(11.182)
56 = 65 =
57 = 75
(11.172)
2=
= 2 = 3 + 4
 ̇
(11.183)
2=

(11.184)
= (3 − 4 )
2
 ̇  ̇
µ ¶2
2=

(11.185)
77 =
2 = (3 + 4 )
2
 ̇
Os termos apresentados acima tem sua disposição na matriz de amortecimento, C,
mostrada na expressão que segue.
⎤
⎡
11 12 13 14 15 16 17
⎢ 21 22 23 24 25 26 27 ⎥
⎥
⎢
⎢ 31 32 33 34 37 36 37 ⎥
⎥
⎢
⎥
(11.186)
C =⎢
⎢ 41 42 43 44 45 46 47 ⎥ 
⎢ 51 52 53 54 55 56 57 ⎥
⎥
⎢
⎣ 61 62 63 64 65 66 67 ⎦
71 72 73 74 75 76 77
67 = 76 =
É conveniente salientar que a matriz acima é simétrica, já que não são considerados efeitos
giroscópicos.
297
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
Matriz de rigidez
Os elementos da matriz rigidez, obtidos a partir da energia potencial com o auxílio da equação (11.153), são:
11
12 = 21 =
 2  
=
= 1 + 2 + 3 + 4
 2
(11.187)
 2  


= − (1 − 2 ) + (3 − 4 )

2
2
(11.188)
 2  
= − (1 + 2 )  + (3 + 4 ) 

 2  
14 = 41 =
= − (1 + 2 )
 ̇
13 = 31 =
(11.190)
15 = 51 =
 2  

= (1 − 2 )

2
(11.191)
16 = 61 =
 2  
= − (3 + 4 )
 ̇
(11.192)
 2  

= − (3 − 4 )

2
¶
µ
µ ¶2
2
 2  


22 =
= (1 + 2 )
+ (3 + 4 )
2
2
2

¶
¶
µ
µ
 2  
 
 
= (1 − 2 )
+ (3 − 4 )
=

2
2
17 = 71 =
23 = 32
(11.189)
 2  

= (1 − 2 )

2
¶2
µ
 2  

=
= − (1 + 2 )

2
24 = 42 =
25 = 52
 2  

= − (3 − 4 )

2
µ
¶2
 2  

=
= − (3 + 4 )

2
26 = 62 =
27 = 72
 2  
= (1 + 2 ) 2 + (3 + 4 ) 2
2

 2  
34 = 43 =
= (1 + 2 ) 

33 =
35 = 53 =
36 = 63 =
37 = 73
(11.193)
(11.194)
(11.195)
(11.196)
(11.197)
(11.198)
(11.199)
(11.200)
(11.201)
 2  
 
= − (1 − 2 )

2
(11.202)
 2  
= − (3 + 4 ) 

(11.203)
 2  
 
=
= − (3 − 4 )

2
(11.204)
298
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
 2  
= 1 + 2 + 1 + 2
44 =
2

2
  

= (−1 + 2 − 1 + 2 )
45 = 54 =
 
2
 2  
46 = 64 =
=0
  ̇
 2  
=0
47 = 74 =
 
µ ¶2
µ ¶2
 2  




= (1 + 2 )
+ (1 + 2 )
55 =
2
2
2

56
 2  
=0
 
 2  
=
=0
 
= 65 =
57 = 75
(11.205)
(11.206)
(11.207)
(11.208)
(11.209)
(11.210)
(11.211)
 2  
= 3 + 4 + 3 + 4
(11.212)
2

 2  


+ (3 − 4 )
(11.213)
= (3 − 4 )
67 = 76 =
 
2
2
µ ¶2
 2  


77 =
(11.214)
= (3 + 4 )
+ (3 + 4 )
2
2
2

Os termos desnvolvidos acima, tem sua disposição na matriz de rigidez, K , mostrada na
expressão que segue.
⎤
⎡
11 12 13 14 15 16 17
⎢ 21 22 23 24 25 26 27 ⎥
⎥
⎢
⎢ 31 32 33 34 37 36 37 ⎥
⎥
⎢
⎥
(11.215)
K =⎢
⎢ 41 42 43 44 45 46 47 ⎥ 
⎢ 51 52 53 54 55 56 57 ⎥
⎥
⎢
⎣ 61 62 63 64 65 66 67 ⎦
71 72 73 74 75 76 77
66 =
Vetor excitação
Neste caso, sendo que a excitação é pela base, tem-se que o vetor de
carregamentos é dado por:
⎧
⎫
⎫ ⎧
0

()
⎪
⎪
⎪
⎪
1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
0

()
⎪
⎪
⎪
⎪
2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
0
⎨ 3 () ⎬ ⎨
⎬
 
 
1 1 () + 2 2 ()
4 ()
(11.216)
=
f() =
⎪
⎪
⎪
 
 
 ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
5 () ⎪
− (1 1 () − 2 2 ()) 2 ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
 
 
⎪
⎪
⎪
⎪

()


()
+


()
⎪
⎪
⎪
⎪
6
3
4
3
4
⎪
⎪
⎪
⎪ ⎩
⎩
⎭
 
 
 ⎭
7 ()
(3 3 () − 4 4 ()) 2
sendo:
 - é a rigidez do i’-ésimo pneu;
 () - é a rugosidade do solo sob o i’-ésimo pneu.
299
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
11.6.2
Veículos com suspensão independente na dianteira e eixo
rígido na traseira
No modelo com sete graus de liberdade, para o caso em que o eixo dianteiro é independente e o traseiro rígido, tem-se que os deslocamentos e as velocidades generalizadas
são
⎧
⎫ ⎧
⎫
() ⎪
1 () ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
()

()
⎪
⎪
⎪
⎪
2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 3 () ⎬ ⎨ () ⎪
⎬
1 ()
4 ()
=
(11.217)
x() =
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
5 () ⎪
2 () ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪


()
⎪
⎪
⎪
6
 () ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎭ ⎩
⎭
7 ()
 ()
e
⎧
⎫ ⎧
̇
()
⎪
⎪
⎪
1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
̇
()
⎪
⎪
⎪
2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ ̇3 () ⎬ ⎪
⎨
̇4 ()
ẋ() =
=
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪
̇5 () ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
̇
()
⎪
⎪
⎪
6
⎪
⎪
⎩
⎩
⎭ ⎪
̇7 ()
̇()
̇()
̇()
̇1 ()
̇2 ()
̇ ()
̇ ()
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭

(11.218)
Estas grandezas estão sintetizadas na Figura 11.9.
Para este caso as deflexões das molas são dadas pelas equações (11.22), (11.23), (11.38),
(11.39), repetidas a seguir
 1 () = () − ()

− () − 1 ()
2
(11.219)
 2 () = () + ()

− () − 2 ()
2
(11.220)


+ () −  () −  () 
2
2


+ () −  () +  () 
 4 () = () − ()
2
2
e as velocidades por

̇ 1 () = ̇() − ̇() − ̇() − ̇1 ()
2

̇ 2 () = ̇() + ̇() − ̇() − ̇2 ()
2
 3 () = () + ()
(11.221)
(11.222)
(11.223)
(11.224)
̇ 3 () = ̇() + ̇()


+ ̇() − ̇ () − ̇ () 
2
2
(11.225)
̇ 4 () = ̇() − ̇()


+ ̇() − ̇ () + ̇ () 
2
2
(11.226)
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
300
Figura 11.9: Modelo de sete graus de liberdade para um veículo com suspensão dianteira
independente e eixo traseiro rígido.
301
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
As deflexões dos pneus para um eixo rígido, dadas pelas equações (11.1), (11.11) e (11.12),
são repetidas a seguir
(11.227)
1 () = 1 () − 1 ();
2 () = 2 () − 2 ();

− 3 ();
 3 () =  () +  ()
2

− 4 ()
 4 () =  () −  ()
2
e as velocidades dadas por:

(11.228)
(11.229)
(11.230)
̇1 () = ̇1 () − ̇1 ();
(11.231)
̇2 () = ̇2 () − ̇2 ();
(11.232)


̇ 3 () = ̇ () + ̇ ()

− ̇3 ();
2
(11.233)

− ̇4 ()
(11.234)
2
A seguir se determina a energia potencial, a energia cinética e a função dissipação de
Rayleigh para cada um dos subsistemas, bem como é feita a superposição dos efeitos.

̇ 4 () = ̇ () − ̇ ()
Cálculo da energia associada à carroceria
Energia cinética
A energia cinética do subsistema carroceria para um veículo com
suspensão dianteira independente e traseira rígida é exatamente igual ao do caso anterior,
equação (11.133), que é repetida a seguir
 =
i
1h
2
2
 ̇ 2 () +  ̇ () +  ̇ ()
2
(11.235)
sendo:
 - massa da carroceria;
 - momento de massa da carroceria em torno do eixo, , axial ao carro;
 - momento de massa da carroceria em torno do eixo, , transversal ao carro.
Energia potencial
A energia potencial da carroceria do veículo com a configuração
suspensão independente na dianteira e eixo rígido na traseira é levemente diferente do caso
anterior, visto que as deflexões associadas ao eixo são função do tipo de suspensão. Assim
pode-se escrever:
¤
1£ 2
(11.236)
1  1 () + 2  22 () + 3  23 () + 4  24 ()
 =
2
302
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
ou em termos dos deslocamentos generalizados por:
" µ
¶2

1
1 () − () − () − 1 ()
 =
2
2
µ
¶2

+2 () + () − () − 2 ()
2
µ
¶2


+ () −  () −  ()
+3 () + ()
2
2
µ
¶2 #



+ () −  () +  ()
+ 4 () − ()
2
2
(11.237)
Função dissipativa de Rayleigh
A potência dissipada pelos amortecedores do veículo,
com suspensão independente na dianteira e eixo rígido na traseira, é dada por:
i
1h 2
2
2
2
= =
1 ̇ 1 () + 2 ̇ 2 () + 3 ̇ 3 () + 4 ̇ 4 ()
(11.238)
2
ou, em termos dos graus de liberdade da carroceria e das suspensões, por:
" µ
¶2

1
1 ̇() − ̇() − ̇() − ̇1 ()
= =
2
2
µ
¶2

+2 ̇() + ̇() − ̇() − ̇2 ()
2
µ
¶2


+ ̇() − ̇ () − ̇ ()
+3 ̇() + ̇()
2
2
µ
¶2 #



+ ̇() − ̇ () + ̇ ()
+ 4 ̇() − ̇()
2
2
(11.239)
Cálculo da energia associada ao eixo dianteiro
Neste item são calculadas apenas a energia cinética e a energia potencial do eixo dianteiro.
As expressões gerais do cálculo das energias é igual ao feito anteriormente para eixos rígidos,
sendo a diferença restrita os graus de liberdade do eixo de suspensão independente em relação
ao rígido
Energia cinética
Como neste modelo também não há interesse na análise do comportamento torcional do eixo, a energia cinética do conjunto eixo dianteiro é dada por:
1
 = [1 (̇1 ())2 + 2 (̇2 ())2 ]
2
sendo
1 - é a massa do conjunto roda dianteira esquerda do veículo;
2 - é a massa do conjunto roda dianteira direita do veículo;
̇1 () ̇2 () - é a velocidade vertical das rodas dianteiras.
(11.240)
303
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
Energia potencial
é dada por:
A energia potencial do eixo dianteiro devido a deflexão dos pneus
¤
1£  
1 ( 1 ())2 + 2 ( 2 ())2
(11.241)
2
Substituindo na equação acima as deflexões do pneu em termos dos deslocamentos do eixo
e da rugosidade do solo, equações (11.125) a (11.126), a mesma é reescrita como:
 =
 =
ª
1© 
1 [1 () − 1 ()]2 + 2 [2 () − 2 ()]2
2
(11.242)
Cálculo da energia associada ao eixo traseiro
Neste caso a energia cinética e potencial do eixo traseiro são exatamente iguais ao do caso
anterior, onde os eixos são rígidos na dianteira e traseira. Sendo assim, aquelas equações são
repetidas a seguir.
Energia cinética
1
 = [ (̇ ())2 +  (̇ ())2 ]
2
Energia potencial
¸
∙
1 




2

2
 =
 ( () +  ()
− 3 ()) + 4 ( () −  ()
− 4 ()) 
2 3
2
2
(11.243)
(11.244)
Superposição dos efeitos
A seguir é feita a superposição das energias calculadas para que se possa aplicar o princípio de Lagrange.
Energia cinética
A energia cinética de um veículo dotado de suspensão independente
na frente e eixo rígido na traseira é:
  =  +  + 
(11.245)
Em termos dos graus de liberdade do sistema, a energia cinética de todo o sistema é dada
por
  =
1h
2
2
 ̇ 2 () +  ̇ () +  ̇ () + 1 (̇1 ())2 + 2 (̇2 ())2 ]
2
i
+ (̇ ())2 +  (̇ ())2 
(11.246)
Energia potencial
A energia potencial de todo o conjunto é dada pela soma direta
de todas as parcelas desenvolvidas anteriormente, como segue.
  =  +  + 
(11.247)
304
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
ou
 
" µ
¶2

1
1 () − () − () − 1 ()
=
2
2
µ
¶2

+2 () + () − () − 2 ()
2
¶2
µ


+ () −  () −  ()
+3 () + ()
2
2
µ
¶2


+ () −  () +  ()
+4 () − ()
2
2
2
2


+1 (1 () − 1 ()) + 2 (2 () − 2 ())
µ
µ
¶2
¶2 #





− 3 () + 4  () −  ()
− 4 () (11.248)
+ 3  () +  ()
2
2
Potência dissipada pelos amortecedores
A dissipação da potência neste caso também é feita apenas pelos amortecedores das suspensões dianteira e traseira. Sendo assim, a
dissipação total da potência é dada pela equação (11.239), repetida a seguir.
=
" µ
¶2

1
=
1 ̇() − ̇() − ̇() − ̇1 ()
2
2
µ
¶2

+2 ̇() + ̇() − ̇() − ̇2 ()
2
µ
¶2


+3 ̇() + ̇()
+ ̇() − ̇ () − ̇ ()
2
2
µ
¶2 #



+ ̇() − ̇ () + ̇ ()
+4 ̇() − ̇()
2
2
(11.249)
Determinação das matrizes de inércia, amortecimento e rigidez
As matrizes de inércia, amortecimento e de rigidez deste sistema, também têm os seus
elementos dados pelas equações (11.151), (11.152) e (11.153). Assim, parte-se para a determinação destas matrizes.
Matriz massa
A seguir são determinados os elementos da matriz massa com o auxílio
da equação (11.151).
 2  
=
11 =
 ̇ 2
 2  
22 =
= 
2
 ̇
33 =
 2  
 ̇
2
= 
305
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
44
 2  
=
= 1
 ̇12
55
 2  
=
= 2
 ̇22
66 =
77 =
ou, na forma matricial, como segue
⎡

⎢ 0
⎢
⎢ 0
⎢
M =⎢
⎢ 0
⎢ 0
⎢
⎣ 0
0
(11.250)
 2  
= 
2
 ̇
 2  
2
 ̇
= 
0 0 0
0
0
0
 0 0
0
0
0
0  0
0
0
0
0 0 1 0
0
0
0 0 0 2 0
0
0 0 0
0  0
0 0 0
0
0 
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(11.251)
Matriz amortecimento
Os elementos da matriz amortecimento, obtidos a partir da
função dissipação de Rayleigh com o auxílio da equação (11.152), são:
11 =
12 = 21 =
13 = 31 =
2=
= 1 + 2 + 3 + 4
 ̇ 2
2=


= − (1 − 2 ) + (3 − 4 )
2
2
 ̇ ̇
2=
= − (1 + 2 )  + (3 + 4 ) 
 ̇ ̇
2=
14 = 41 =
= −1
 ̇ ̇1
15 = 51 =
16 = 61
2=
= −2
 ̇ ̇2
2=
=
= − (3 + 4 )
 ̇ ̇
2=

= − (3 − 4 )
2
 ̇ ̇
µ ¶2
µ ¶2
2=


+ (3 + 4 )
22 =
2 = (1 + 2 )
2
2
 ̇
¶
¶
µ
µ
2=
 
 
+ (3 − 4 )
=
= (1 − 2 )
2
2
 ̇ ̇
17 = 71 =
23 = 32
24 = 42 =

 2=
= 1
2
 ̇ ̇1
(11.252)
(11.253)
(11.254)
(11.255)
(11.256)
(11.257)
(11.258)
(11.259)
(11.260)
(11.261)
306
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
25 = 52

2=
=
= −2
2
 ̇ ̇2
2=

= − (3 − 4 )
2
 ̇ ̇
µ
¶2
2=

=
= − (3 + 4 )
2
 ̇ ̇
26 = 62 =
27 = 72
33 =
2=
(11.262)
(11.263)
(11.264)
= (1 + 2 ) 2 + (3 + 4 ) 2
(11.265)
34 = 43 =
2=
= 1 
 ̇ ̇1
(11.266)
35 = 53 =
2=
= 2 
 ̇ ̇2
(11.267)
 2=
= − (3 + 4 ) 
 ̇ ̇
(11.268)
2=
 
= − (3 − 4 )
2
 ̇ ̇
(11.269)
 ̇
2
36 = 63 =
37 = 73 =
44 =
2=
= 1
 ̇12
(11.270)
45 = 54 =
2=
=0
 ̇1  ̇2
(11.271)
46 = 64 =
2=
=0
 ̇1  ̇
(11.272)
47 = 74 =
2=
=0
 ̇1  ̇
(11.273)
55 =
2=
= 2
 ̇22
(11.274)
56 = 65 =
2=
=0
 ̇2  ̇
(11.275)
57 = 75 =
2=
=0
 ̇2  ̇
(11.276)
66 =
2=
= (3 + 4 )
2
 ̇
(11.277)
2=

= (3 − 4 )
(11.278)
2
 ̇  ̇
µ ¶2
2=

(11.279)
77 =
2 = (3 + 4 )
2
 ̇
A disposição dos termos, acima desenvolvidos, na matriz de amortecimento, é a mesma que
a apresentada na equação (11.186)
67 = 76 =
307
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
Matriz de rigidez
Os elementos da matriz rigidez, obtidos a partir da energia potencial com o auxílio da equação 11.152, são:
11 =
12 = 21 =
13 = 31 =
 2  
= 1 + 2 + 3 + 4
 2
 2  


= − (1 − 2 ) + (3 − 4 )

2
2
 2  
= − (1 + 2 )  + (3 + 4 ) 

 2  
14 = 41 =
= −1
1
23 = 32
(11.285)
25 = 52 =
(11.287)
(11.288)
(11.289)

 2  
= −2

2
(11.290)
 2  

= − (3 − 4 )

2
µ
¶2
 2  

=
= − (3 + 4 )

2
 2  
=
= (1 + 2 ) 2 + (3 + 4 ) 2
2

 2  
= 1 
34 = 43 =

(11.291)
(11.292)
(11.293)
(11.294)
 2  
= 2 

(11.295)
 2  
= − (3 + 4 ) 

(11.296)
35 = 53 =
37 = 73
(11.286)

 2  
= 1
1
2
26 = 62 =
36 = 63 =
(11.283)
 2  
= − (3 + 4 )

24 = 42 =
33
(11.282)
(11.284)
 2  

= − (3 − 4 )
17 = 71 =

2
¶
µ
µ ¶2
2
 2  


22 =
= (1 + 2 )
+ (3 + 4 )
2
2
2

µ
µ
¶
¶
 2  
 
 
=
= (1 − 2 )
+ (3 − 4 )

2
2
27 = 72
(11.281)
 2  
= −2
2
15 = 51 =
16 = 61 =
(11.280)
 2  
 
=
= − (3 + 4 )

2
(11.297)
308
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
 2  
=
= 1 + 1
2

(11.298)
45 = 54 =
 2  
=0
 
(11.299)
46 = 64 =
 2  
=0
 
(11.300)
47 = 74 =
 2  
=0
 
(11.301)
 2  
=
= 2 + 2
2

(11.302)
56 = 65 =
 2  
=0
 
(11.303)
57 = 75 =
 2  
=0
 
(11.304)
44
55
66 =
 2  
= 3 + 4 + 3 + 4
2

 2  


= (3 − 4 )
+ (3 − 4 )
 
2
2
¶
µ
2
 2  


=
=
(
+

)
+ (3 + 4 )
3
4
2
2
2

67 = 76 =
77
(11.305)
(11.306)
(11.307)
A disposição dos termos, acima desenvolvidos, é a mesma que a apresentada na equação
(11.215)
Vetor excitação
Neste caso, sendo que a excitação é pela base, tem-se que o vetor de
carregamentos é dado por:
⎫
⎫ ⎧
⎧
0

()
⎪
⎪
⎪
⎪
1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
0

()
⎪
⎪
⎪
⎪
2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
0
⎬
⎨ 3 () ⎬ ⎨
 
1 1 ()
4 ()
(11.308)
=
f() =
⎪
⎪
⎪
⎪
 
⎪
⎪
⎪
⎪


()

()
⎪
⎪
⎪
⎪
5
2 2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
 
 
⎪
⎪
⎪
⎪


()

()
+


()
⎪
⎪
⎪
⎪
6
3 3
4 4
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭ ⎩  
⎩
 
 ⎭
7 ()
(3 3 () − 4 4 ()) 2
sendo:
 - é a rigidez do i ’ésimo pneu;
 () - é a rugosidade do solo sob o i ’ésimo pneu.
309
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
11.6.3
Veículos com suspensão independente na dianteira e na traseira
O modelo com sete graus de liberdade, para o caso em que as suspensões dianteira e
traseira são independentes, tem os deslocamentos e as velocidades generalizadas dados por
⎫ ⎧
⎫
⎧
()

()
⎪
⎪
⎪
⎪
1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
()

()
⎪
⎪
⎪
⎪
2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎨ 3 () ⎬ ⎨ () ⎪
1 ()
4 ()
=
(11.309)
x() =
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪


()
()
⎪ 2
⎪ ⎪
⎪
⎪ 5
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪


()
()
⎪
⎪
⎪
⎪
6
3
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭ ⎩
⎭
⎩
7 ()
4 ()
e
⎧
⎫ ⎧
̇1 () ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
̇
()
⎪
⎪
⎪
2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
̇
()
⎨
⎨ 3
⎬ ⎪
̇4 ()
=
ẋ() =
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪
̇5 () ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
̇
()
⎪
⎪
⎪
6
⎪
⎪
⎩
⎩
⎭ ⎪
̇7 ()
̇()
̇()
̇()
̇1 ()
̇2 ()
̇3 ()
̇4 ()
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭

(11.310)
Um diagrama do modelo está mostrado na Figura 11.10.
Para este caso as deflexões das molas são dadas pelas equações (11.22) a (11.25) e repetidas a seguir

 1 () = () − () − () − 1 ()
(11.311)
2

(11.312)
 2 () = () + () − () − 2 ()
2

 3 () = () + ()
+ () − 3 ()
(11.313)
2

(11.314)
+ () − 4 ()
 4 () = () − ()
2
e, a partir destas, as velocidades por
̇ 1 () = ̇() − ̇()

− ̇() − ̇1 ()
2
(11.315)
̇ 2 () = ̇() + ̇()

− ̇() − ̇2 ()
2
(11.316)
̇ 3 () = ̇() + ̇()

+ ̇() − ̇3 ()
2
(11.317)
̇ 4 () = ̇() − ̇()

+ ̇() − ̇4 ()
2
(11.318)
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
310
Figura 11.10: Modelo de sete graus de liberdade para um veículo com suspensões independentes.
311
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
As deflexões dos pneus para um eixo rígido, generalizada pela equação (11.1), são
1 () = 1 () − 1 ();
(11.319)
2 () = 2 () − 2 ();
(11.320)
3 () = 3 () − 3 ();
4 () = 4 () − 4 ()
(11.321)
(11.322)
As velocidades são dadas por:

̇1 () = ̇1 () − ̇1 ();

̇2 () = ̇2 () − ̇2 ();

̇3 () = ̇3 () − ̇3 ();

̇4 () = ̇4 () − ̇4 ()
(11.323)
(11.324)
(11.325)
(11.326)
A seguir se determina a energia potencial, a energia cinética e a função dissipação de
Rayleigh para cada um dos subsistemas.
Cálculo da energia associada à carroceria
Energia cinética
por
A energia cinética do subsistema carroceria para o veículo é dada
i
1h
2
2
2
 ̇ () +  ̇ () +  ̇ ()
 =
2
(11.327)
sendo:
 - massa da carroceria;
 - momento de massa da carroceria em torno do eixo, , axial ao carro;
 - momento de massa da carroceria em torno do eixo, , transversal ao carro.
Energia potencial
pendentes é:
A energia potencial da carroceria do veículo com suspensões inde =
¤
1£ 2
1  1 () + 2  22 () + 3  23 () + 4  24 ()
2
(11.328)
312
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
que em termos dos deslocamentos é reescrita como:
" µ
¶2

1
1 () − () − () − 1 ()
 =
2
2
µ
¶2

+2 () + () − () − 2 ()
2
µ
¶2

+ () − 3 ()
+3 () + ()
2
µ
¶2 #


+ 4 () − ()
+ () − 4 ()
2
(11.329)
Função dissipativa de Rayleigh
A potência dissipada pelos amortecedores do veículo,
dada por:
i
1h 2
2
2
2
= =
(11.330)
1 ̇ 1 () + 2 ̇ 2 () + 3 ̇ 3 () + 4 ̇ 4 ()
2
é reescrita, em termos dos graus de liberdade da carroceria e das suspensões, como
" µ
¶2

1
1 ̇() − ̇() − ̇() − ̇1 ()
= =
2
2
µ
¶2

+2 ̇() + ̇() − ̇() − ̇2 ()
2
µ
¶2

+ ̇() − ̇3 ()
+3 ̇() + ̇()
2
µ
¶2 #


(11.331)
+ 4 ̇() − ̇()
+ ̇() − ̇4 ()
2
Cálculo da energia associada ao eixo dianteiro
Energia cinética
1
 = [1 (̇1 ())2 + 2 (̇2 ())2 ]
2
(11.332)
Energia potencial
¤
1£  
1 ( 1 ())2 + 2 ( 2 ())2 
2
que em termos dos deslocamentos é reescrita como:
 =
 =
ª
1© 
1 [1 () − 1 ()]2 + 2 [2 () − 2 ()]2 
2
(11.333)
(11.334)
Cálculo da energia associada ao eixo traseiro
Energia cinética
1
 = [3 (̇3 ())2 + 4 (̇4 ())2 ]
2
(11.335)
313
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
Energia potencial
 =
Superposição dos efeitos
¤
1£ 
3 (3 () − 3 ())2 + 4 (4 () − 4 ())2 
2
(11.336)
A seguir é feita a superposição das diversas parcelas de energia para que se possa aplicar
o princípio de Lagrange.
Energia cinética total para um veículo com suspensão independente na dianteira
e eixo rígido na traseira
A energia cinética de um veículo dotado de suspensões
independentes é:
(11.337)
  =  +  + 
que, em termos dos graus de liberdade do sistema, é reescrita como
1h
2
2
  =
 ̇ 2 () +  ̇ () +  ̇ () + 1 (̇1 ())2 + 2 (̇2 ())2 ]
2
¤
+3 (̇3 ())2 + 4 (̇3 ())2 
(11.338)
Energia potencial total para um veículo com eixos rígidos na frente e traseira
A energia potencial de todo o conjunto é dada pela soma direta de todas as parcelas desenvolvidas anteriormente, como segue.
(11.339)
  =  +  + 
ou
 
" µ
¶2

1
1 () − () − () − 1 ()
=
2
2
µ
¶2

+2 () + () − () − 2 ()
2
µ
¶2

+3 () + ()
+ () − 3 ()
2
µ
¶2

+ () − 4 ()
+4 () − ()
2
+1 (1 () − 1 ())2 + 2 (2 () − 2 ())2
+ 3 (3 () − 3 ())2 + 4 (4 () − 4 ())2
¤
(11.340)
Potência dissipada pelos amortecedores de um veículo com eixos rígidos na
frente e na traseira
A dissipação da potência, neste caso, é dada pela equação 11.331,
repetida a seguir.
314
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
=
" µ
¶2

1
1 ̇() − ̇() − ̇() − ̇1 ()
=
2
2
µ
¶2

+2 ̇() + ̇() − ̇() − ̇2 ()
2
µ
¶2

+ ̇() − ̇3 ()
+3 ̇() + ̇()
2
µ
¶2 #


+4 ̇() − ̇()
+ ̇() − ̇4 ()
2
(11.341)
Determinação das matrizes de inércia, amortecimento e rigidez
As matrizes de inércia, amortecimento e de rigides deste sistema, também são calculadas
a partir das equações (11.151), (11.153) e (11.152).
Matriz massa
A seguir são determinados os elementos da matriz massa com o auxílio
da equação (11.151).
 2  
=
11 =
 ̇ 2
 2  
22 =
= 
2
 ̇
33 =
44
 2  
= 
2
 ̇
 2  
=
= 1
 ̇12
55 =
 2  
= 2
 ̇22
66 =
 2  
= 3
2
 ̇
77 =
 2  
2
 ̇
(11.342)
= 4
ou, na forma matricial, como segue
⎡
 0 0 0
0
0
0
⎢ 0  0 0
0
0
0
⎢
⎢ 0 0  0
0
0
0
⎢
0
0
0

0
0
0
M =⎢
1
⎢
⎢ 0 0 0 0 2 0
0
⎢
⎣ 0 0 0 0
0 3 0
0 0 0 0
0
0 4
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(11.343)
315
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
Matriz amortecimento
Os elementos da matriz amortecimento, obtidos a partir da
função dissipação de Rayleigh com o auxílio da equação (11.152), são:
11 =
2=
= 1 + 2 + 3 + 4
 ̇ 2
2=


= − (1 − 2 ) + (3 − 4 )
2
2
 ̇ ̇
12 = 21 =
13 = 31 =
2=
= − (1 + 2 )  + (3 + 4 ) 
 ̇ ̇
2=
= −1
14 = 41 =
 ̇ ̇1
(11.346)
(11.347)
2=
= −2
 ̇ ̇2
(11.348)
16 = 61 =
2=
= −3
 ̇ ̇3
(11.349)
2=
= −4
 ̇ ̇4
µ ¶2
µ ¶2
2=


+ (3 + 4 )
22 =
2 = (1 + 2 )
2
2
 ̇
¶
¶
µ
µ
2=
 
 
+ (3 + 4 )
=
= (1 − 2 )
2
2
 ̇ ̇
(11.350)
(11.351)
(11.352)

 2=
= 1
2
 ̇ ̇1
(11.353)
25 = 52 =

2=
= −2
2
 ̇ ̇2
(11.354)
26 = 62 =

2=
= −3
2
 ̇ ̇3
(11.355)
24 = 42 =
27 = 72
33 =
(11.345)
15 = 51 =
17 = 71 =
23 = 32
(11.344)
2=
2=

=
= 4
2
 ̇ ̇4
(11.356)
= (1 + 2 ) 2 + (3 + 4 ) 2
(11.357)
34 = 43 =
2=
= 1 
 ̇ ̇1
(11.358)
35 = 53 =
2=
= 2 
 ̇ ̇2
(11.359)
36 = 63 =
2=
= −3 
 ̇ ̇3
(11.360)
37 = 73 =
2=
= −4 
 ̇ ̇4
(11.361)
 ̇
2
316
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
44
2=
=
= 1
 ̇12
(11.362)
45 = 54 =
2=
=0
 ̇1  ̇2
(11.363)
46 = 64 =
2=
=0
 ̇1  ̇3
(11.364)
47 = 74 =
2=
=0
 ̇1  ̇4
(11.365)
2=
= 2
 ̇22
55 =
(11.366)
56 = 65 =
2=
=0
 ̇2  ̇3
(11.367)
57 = 75 =
2=
=0
 ̇2  ̇4
(11.368)
2=
= 3
 ̇32
66 =
67 = 76
2=
=
=0
 ̇3  ̇4
77 =
2=
= 4
 ̇42
(11.369)
(11.370)
(11.371)
A disposição dos termos, acima desenvolvidos, na matriz de amortecimento é a mesma que
a apresentada na equação (11.186)
Matriz de rigidez
Os elementos da matriz rigidez, obtidos a partir da energia potencial com o auxílio da equação (11.152), são:
11 =
12 = 21 =
13 = 31 =
 2  
= 1 + 2 + 3 + 4
 2
 2  


= − (1 − 2 ) + (3 − 4 )

2
2
 2  
= − (1 + 2 )  + (3 + 4 ) 

 2  
14 = 41 =
= −1
1
(11.372)
(11.373)
(11.374)
(11.375)
15 = 51 =
 2  
= −2
2
(11.376)
16 = 61 =
 2  
= −3
3
(11.377)
17 = 71 =
 2  
= −4
4
(11.378)
317
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
23 = 32
µ ¶2
µ ¶2
 2  


= (1 + 2 )
+ (3 + 4 )
22 =
2
2
2

¶
¶
µ
µ
 2  
 
 
= (1 − 2 )
+ (3 − 4 )
=

2
2
(11.380)
 2  

= 1
1
2
(11.381)
25 = 52 =

 2  
= −2
2
2
(11.382)
26 = 62 =

 2  
= −3
3
2
(11.383)
 2  

= 4
4
2
(11.384)
24 = 42 =
27 = 72 =
33 =
(11.379)
 2  
= (1 + 2 ) 2 + (3 + 4 ) 2
2
 2  
= 1 
34 = 43 =
1
(11.385)
(11.386)
 2  
= 2 
2
(11.387)
 2  
= −3 
3
(11.388)
 2  
=
= −4 
4
(11.389)
 2  
= 1 + 1
12
(11.390)
45 = 54 =
 2  
=0
1 2
(11.391)
46 = 64 =
 2  
=0
1 3
(11.392)
47 = 74 =
 2  
=0
1 4
(11.393)
 2  
= 2 + 2
2
2
(11.394)
56 = 65 =
 2  
=0
2 3
(11.395)
57 = 75 =
 2  
=0
2 4
(11.396)
 2  
= 3 + 3
32
(11.397)
35 = 53 =
36 = 63 =
37 = 73
44 =
55 =
66 =
318
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
 2  
=0
(11.398)
67 = 76 =
3 4
 2  
= 4 + 4
(11.399)
77 =
2
4
A disposição dos termos acima desenvolvidos, é a mesma que a apresentada na equação
(11.215)
Vetor excitação
Neste caso, sendo que a excitação é pela base, tem-se que o vetor de
carregamentos é dado por:
⎫ ⎧
⎫
⎧
0
1 () ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
0

()
⎪
⎪
⎪
⎪
2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
0
⎬
⎨ 3 () ⎬ ⎨
 
1 1 ()
4 ()
=
(11.400)
f() =
⎪
⎪
⎪
⎪
 
⎪
⎪
⎪
⎪
5 () ⎪
2 2 () ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪

3 3 () ⎪
()
⎪
⎪
⎪
⎪
6
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭ ⎩  
⎭
⎩
7 ()
4 4 ()
sendo:
 - é a rigidez do i’-ésimo pneu;
 () - é a rugosidade do solo sob o i’-ésimo pneu.
11.6.4
Modelo para arfagem e bounce
Os modelos de sete graus de liberdade desenvolvidos, podem ser simplificados para um
caso particular, sendo que apenas os efeitos de arfagem (pitch) resultantes do giro do carro
em torno do eixo , mostrado na Figura 11.1, e o de bounce são considerados. A excitação
desses graus de liberdade é ocasionada pelo deslocamento vertical das rodas dianteiras e
traseiras do veículo ao trilharem as mesmas irregularidades da pista em instantes distintos.
A excitação desses graus de liberdade afeta de maneira sensível o bom rodar do automóvel
e, consequentemente, o conforto de seus ocupantes.
Uma modelagem simples desse comportamento do veículo pode ser obtido considerando
considerando apenas os seguintes graus de liberdade.
¾
¾ ½
½
()
1 ()
(11.401)
=
x() =
()
2 ()
Sendo assim, a análise modal a ser feita nesse caso é identica àquela do item 11.5.1, sendo
que devem ser tomados cuidados especiais na análise do deslocamento angular.
11.7
Unificação dos modelos desenvolvidos
As equações do movimento para os modelos apresentados anteriormente, genericamente
podem ser escritas da mesma forma que a apresentada no item 11.5 para dois graus de
liberdade. Assim, a equação (11.52) é repetida a seguir.
[M ẍ() + C ẋ() + K x()] = f()
(11.402)
319
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
sendo:
M é a matriz massa do sistema, equações (11.53), (11.157), (11.251) ou (11.343);
C é a matriz de amortecimento do sistema, equações (11.54) ou (11.186);
K é a matriz de rigidez do sistema, equações (11.55) ou (11.215);
x() é o vetor de deslocamentos equações (11.56), (11.115), (11.217) ou (11.309);
f() é o vetor excitação, equações (11.57), (11.216), (11.308) ou (11.400);
A análise das características do sistema pode ser feita da mesma maneira que a apresentada para dois graus de liberdade, item 11.5. Para isto, a excitação bem como a resposta do
problema são dadas pelas equações (11.58), (11.59) e (11.60), repetidas a seguir
 () =  (Ω)Ω
̇ () = Ω (Ω)Ω
(11.403)
̈ () = −Ω2  (Ω)Ω
 () =  (Ω)Ω 
̇ () = Ω (Ω)Ω =  (Ω)Ω 
(11.404)
̈ () = −Ω2  (Ω)Ω =  (Ω)Ω 
() = (Ω)Ω 
̇() = Ω(Ω)Ω =  (Ω)Ω 
(11.405)
̈() = −Ω2 (Ω)Ω = (Ω)Ω
sendo:
 - é a entidade matemática imaginária;
Ω - é a frequência;
 - é a variável tempo;
 (Ω)  (Ω) (Ω)  (Ω)  (Ω) (Ω)  (Ω) - são as amplitudes dos deslocamentos,
das velocidades e das acelerações em frequência.
Sendo assim, o equacionamentono domínio da frequência é dado genericamente por:
¤
£
M 2 + C  + K Z(Ω) = F(Ω)
(11.406)
sendo:
M, C e K são as matrizes definidas nas equações (11.53), (11.54) e (11.55);
Z(Ω) é a resposta em frequência e
F(Ω) é a excitação no domínio da frequência.
Com estas definições a equação (11.406) pode ser reescrita como
Ð()Z(Ω) = F(Ω)
(11.407)
320
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
sendo:
Ð() = [M 2 + C  + K ].
Definindo a matriz receptância como
£
¤−1
Λ() = Ð()−1 = M 2 + C  + K
(11.408)
tem-se que a resposta, Z(Ω) do sistema é calculada por:
Z(Ω) = Λ()F(Ω)
(11.409)
Genericamente esta análise modal é idêntica a aquela desenvolvida no item 11.5 e, assim,
a análise das frequências naturais para um sistema com  graus de liberdade, bem como a
obtenção das velocidades e das acelerações do sistema, são feitos da mesma maneira que a
apresentada naquele item.
11.7.1
Modelo de excitação
Como foi mostrado anteriormente, a resposta Z(Ω) de um sistema no domínio da frequência é dada pela equação (11.409) sendo que a matriz de receptância Λ() é uma característica
do sistema físico analisado e F(Ω) é a excitação.
A excitação, F(Ω) depende do tipo de piso que o veículo trafega. Se a função que define
a rugosidade do solo é integrável, não importando que seja periódica ou não, um modelo de
excitação pode ser obtido com o conceito da transformada de Fourier apresentado a seguir
1
F(Ω) =
2
Z+∞
f()−Ω 
(11.410)
−∞
sendo que f() é a excitação dada pelas equações (11.216), (11.308) e (11.400), para os casos
de eixos rígidos na frente e na traseira, suspensão independente na frente e eixo rígido na
traseira e suspensão independente na frente e na traseira, respectivamente.
Com isto definido, a resposta do problema, em frequência é obtida a partir da equação
(11.409), sendo a resposta no tempo dada pela transformada inversa, definida a seguir
Z+∞
Z(Ω)Ω Ω
z() =
(11.411)
−∞
Tendo-se em mãos a solução do problema, que no caso podem ser os deslocamentos, as
velocidades ou as acelerações, é possível fazer a análise dos esforços, ou do ruído bem como
do conforto do veículo, dependendo do interesse do analista.
Rugosidade da pista
A determinação da excitação, f() é função da rugosidade do solo  () bem como da
rigidez dos pneus. É interessante salientar que a rugosidade do solo, da forma que está
mostrada acima, é função não somente da geometria da superfície do contato pneu pista,
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
321
Figura 11.11: Modelo de pista para velocidade constante.
mas também do tempo. Como a geometria do solo é invariante com o tempo, esta variável é introduzida na função rugosidade  () a partir da velocidade de deslocamento do
veículo. Para o caso em questão, sendo que não há um interesse em estudar o problema
com acelerações na direção do eixo  ou axial, a variação da velocidade do veículo não será
considerada.
A construção da função rugosidade  () a partir da geometria da superfície de contato
com o solo é apresentada a seguir para um caso simples, porém o procedimento é geral e
pode ser estendido para qualquer tipo de geometria. Para isto seja uma pista plana onde o
veículo se desloca com velocidade constante , onde, em uma determinada posição 1  existe
um obstáculo na pista. Este obstáculo é uma rampa que termina na posição 2 . A partir
desta posição a pista fica novamente plana, porém com uma altura  em relação ao primeiro
trecho. O modelo da superfície  () desta pista está mostrado na Figura 11.11.
A função rugosidade do solo, em termos da posição  é dada por:
⎧
0 para -∞ ≤  ≤ 1
⎨


( − 1 ) para 1 ≤  ≤ 2
(11.412)
 () =
⎩ (2 −1 )
 para 2 ≤  ≤ ∞
Considerando que o veículo não perca velocidade na subida da rampa, pode-se escrever
que:
 = 
(11.413)
Capítulo 11 - Modelos dinâmicos
322
sendo:
 - é a posição do veículo;
 - é a velocidade de deslocamento do veículo;
 - tempo.
Com isto, a função  () pode ser escrita a partir da equação (11.412) com a mudança
de coordenadas definida na expressão (11.413).
⎧
para -∞ ≤  ≤ 1
⎨ 0


( − 1 ) para 1 ≤  ≤ 2
(11.414)
 () =
⎩ (2 −1 )

para 2 ≤  ≤ ∞
sendo:
1 =
2 =
1

2

Capítulo 12
Aplicações em dinâmica torcional
12.1
Modelo torcional de um grau de liberdade
Seja um inércia rotativa 1 , sumetida a um toque motriz  e a um torque reativo
 , o qual é proporcional ao quagrado da velocidade angular. Esse problema tem o modelo
diagramático mostrado na Figura 12.1. Considerando que a velocidade angular dessa inércia
rotativa é ̇1 sendo que  é dado por
2
(12.1)
 = Ψ̇1
Com o auxílio do digrama de corpo livre mostrado na Figura 12.1 e da segunda lei de
Newton se pode escrever a seguinte equação de equilíbrio:
1 ̈1 =  − 
(12.2)
Considerando a troca de variáveis proposta a seguir, a equação acima apresentada pode
ser escrita de maneira mais adequada para uma solução numérica.
1 = 1
(12.3)
2 = ̇1
(12.4)
e
y1
Tresist
Eixo de rotação
x1; 1
Tmotor
Inércia I1
Figura 12.1: Inércia rotativa submetida a um torque motor e a um torque reativo.
323
324
Capítulo 12 - Aplicações
y1
y2
ct
Eixo de rotação
Tmotor
x1; 1
Tresist
x2; 2
kt
Inércia I1
Inércia I2
Figura 12.2: Problema com dois graus de liberdade rotativos.
̇1 = ̇1 = 2
¢
1 ¡
 − Ψ22
̇2 = ̈1 =
1
(12.5)
(12.6)
Ou seja, na forma de equações de estado. Essas equações de estado podem ser colocadas
na forma matricial que segue.
¸½ ¾ ½ ¾
½ ¾ ∙
½ ¾
0
0
0 1
1
̇1
=
+ 1  − Ψ 22
(12.7)
̇2
2
0 0
1
1
12.2
Modelo torcional de dois graus de liberdade
Sejam duas inércias rotativas 1 e 2 , ligadas através de uma mola e um amortecedor
torcionais, tal como mostrado na Figura 12.2.
Considerando que o deslocamento angular da inércia 1 seja 1 e que o da inércia 2 seja
2 , bem como que o deslocamento da inércia número 1 e menor do que o da inércia 2 tem-se
que o deslocamento e a velocidade angular relativa entre essas duas inércias é dado por:
 = 2 − 1
(12.8)
̇ = ̇2 − ̇1
(12.9)
e por
Com isso definido o torque devido à mola torcional é dado por:
 =   =  (2 − 1 )
(12.10)
E o torque devido ao amortecedor, que nessa primeira parte do desenvolvimento é considerado viscoso e linear, é dado por:
325
Capítulo 12 - Aplicações
y1
Tm
x 1 ; 1
Tmotor
Tc
Inércia I1
Figura 12.3: Diagrama de corpo livre da primeira inércia.
Tm
y2
Eixo de rotação
Tresist
x2; 2
Tc
Inércia I2
Figura 12.4: Diagrama de corpo livre da segunda inércia.
 =  ̇ =  (̇2 − ̇1 )
(12.11)
Com essas considerações, podem-se construir os diagramas de corpo livre mostrados nas
Figuras 12.3 e 12.4.
A partir desses diagramas de corpo livre, aplicando a segunda lei de Newton, pode-se
escrever as seguintes equações de equilíbrio:
1 ̈1 =  +  + 
(12.12)
2 ̈2 = − −  − 
(12.13)
para as inércias 1 e 2, respectivamente.
Essas duas equações, cominadas com a equação 12.1, podem ser reescritas como segue:
1 ̈1 =  +   +  ̇
(12.14)
2 ̈2 = −  −  ̇ − Ψ22
(12.15)
326
Capítulo 12 - Aplicações
Essas equações ainda podem ser escritas em termos dos deslocamentos e velocidades das
duas inércias, como segue.
´
1 ³
 +  (2 − 1 ) +  (̇2 − ̇1 )
(12.16)
1
´
1 ³
2
̈2 =
− (2 − 1 ) −  (̇2 − ̇1 ) − Ψ ̇2
(12.17)
2
Sendo Ψ uma constante de proporcionalidade.
Considerando a troca de variáveis proposta a seguir, o sistema de equações acima apresentado pode ser escrito de maneira mais adequada para uma solução numérica.
̈1 =
1 = 1
(12.18)
2 = 2
(12.19)
3 = ̇1
(12.20)
4 = ̇2
(12.21)
e
̇1 = ̇1 = 3
(12.22)
̇2 = ̇2 = 4
1
̇3 = ̈1 = ( +  (2 − 1 ) +  (4 − 3 ))
1
¢
1 ¡
− (2 − 1 ) −  (4 − 3 ) − Ψ24
̇4 = ̈2 =
2
(12.23)
(12.24)
(12.25)
Ou seja, na forma de equações de estado. Essas equações de estado podem ser colocadas
na forma matricial que segue.
12.3
⎧ ⎫
⎡
⎤⎧ ⎫
0
0
1
0
1 ⎪
̇1 ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎬
⎨ ⎬
⎢
⎥
0
0
0
1
̇2

2
⎢
⎥
= ⎣  
− 1 1 − 1 1 ⎦ ⎪
̇3 ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ 3⎪
⎭
⎩ ⎭




̇4
4
−
−
2
2
2
2
⎧ ⎫
⎧ ⎫
0⎪
0⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨0⎬
⎨0⎪
⎬
2
 + 1 
−
0⎪ 4 ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩Ψ⎪
⎩ 1 ⎪
⎭
⎭
0
2
(12.26)
Problema torcional de duas inércias e uma relação
de transmissão
Sejam duas inércias rotativas 1 e 2 , ligadas através de uma relação de transmissão bem
como de uma mola e um amortecedor torcionais, tal como mostrado na Figura 12.5.
327
Capítulo 12 - Aplicações
y1
Tmotor
x1; 1
Par de engrenagens com
relação de transmissão i
Inércia I1
y2
Eixo de rotação 2
x2; 2
Tresist
Inércia I2
Figura 12.5: Duas inércias rotativas ligadas por um par de engrenagens.
Há duas maneiras de resolver esse problema. A primeira delas é fazer o equilíbrio de
momentos diretamente e achar as equações do movimento. A segunda maneira é fazer
uma transformação de inércia na segunda massa girante e transformar o sistema acima em
um equivalente, porém para esse desenvolvimento é necessário lançar mão do princípio da
conservação da energia.
Em função da facilidade da transformação de inércias de translação em inércia de rotação
equivalente, vai ser desenvolvida a segunda abordagem desse problema. Sendo assim, para
esse desenvolvimento se parte do modelo mostrado na Figura 12.6. Para esse caso específico
se vai transformar a inércia 2 para o espaço da inércia 1 . Caso seja mais adequado se pode
transformar a inércia 1 para o espaço da inércia 2 .
Considerando a conservação da energia, com a hipótese que não há atrito mecânico e
aerodinâmico, tem-se que a energia cinética da massa rotativa 2 é igual a energia cinética
da inércia rotativa  . Isso pode ser expresso da forma que segue:
(12.27)
 = 2
ou, em termos das inércias e das respectivas velocidades angulares:
1
1
2
2
 ̇1 = 2 ̇2
2
2
Isolando a grandeza de interesse, tem-se:
 = 2
Ã
̇2
̇1
!2
(12.28)
(12.29)
lembrando da definição de relação de transformação, repetida a seguir
=
    ̇1
=
   ́
̇2
(12.30)
328
Capítulo 12 - Aplicações
Par de engrenagens com
relação de transmissão i
Inércia equivalente Iequival
Inércia I2
2
Figura 12.6: Transformação de espaço de uma inércia rotativa.
Figura 12.7: Problema equivalente.
A equação 12.31 pode ser reescrita de maneira mais adequada, como segue:
µ ¶2
1
 = 2

(12.31)
Com isso definido o modelo diagramático mostrado na Figura 12.6 pode ser representado
de maneira mais simples, tal como o mostrado na Figura 12.7.Assim a inércia do sistema
equivalente é dada por:
µ ¶2
1
(12.32)
  = 1 +  = 1 + 2

Como se está querendo fazer a modelagem do sistema em movimento, a equação do movimento pode ser obtida a partir da aplicação da segunda lei de Newton no modelo diagramático mostrado na Figura 12.8, ou seja:
 ̈1 =  −


(12.33)
329
Capítulo 12 - Aplicações
y1
y1
Tresist
Tmotor
x1; 1
x1; 1 Tresist
Tmotor
Inércia I1
Inércia Iequival
Itotal=I1 + I2(1/i)2
Figura 12.8: Sistema equivalente.
Lembrando da relação dada pela equação 12.32, a equação do movimento pode ser reescrita da forma que segue:
Ã
µ ¶2 !
1

1 + 2
̈1 =  −
(12.34)


Para o caso do torque resistente ser proporcional ao quadrado da velocidade, tal como a
forma proposta na equação 12.1, a equação de movimento é, finalmente, dada por:
Ã
µ ¶2 !
2
1
Ψ̇1
̈1 =  −
1 + 2
(12.35)


Da mesma forma que desenvolvido no item 12.1, com a mesma troca de variáveis lá
proposta e repetida a seguir, a equação acima apresentada pode ser escrita de maneira mais
adequada para uma solução numérica.
1 = 1
(12.36)
2 = ̇1
(12.37)
e
̇1 = ̇1 = 2
(12.38)
̇2
(12.39)
µ
¶
1
Ψ22
= ̈1 =
¡ ¢2  −

1 + 2 1
Ou seja, na forma de equações de estado. Essas equações de estado podem ser colocadas
na forma matricial que segue.
)
¸½ ¾ (
∙
½ ¾
0
1
0 1
̇1
1
 −
=
+
2
0 0
̇2
2
1 +2 ( 1 )
(
)
0
Ψ
22


2
1 +2 ( 1 ) 
(12.40)
330
Capítulo 12 - Aplicações
ct1
y1
Tmotor
x1; 1
kt1
Par de engrenagens com
relação de transmissão i
Inércia I1
ct2
y2
Eixo de rotação
Tresist
x2; 2
kt2
Inércia I2
2
Figura 12.9: Sistema de dois graus de liberdade com uma redução entre as inércias rotativas.
Comparando a equação 12.40 com a 12.7, percebe-se que a única diferença entre as duas
está no momento de massa. Com isso a solução numérica das equações de movimento se
distinguem apenas por uma constante.
12.4
Problema torcional de dois graus de liberdade
com uma redução entre as inércias
Sejam duas inércias rotativas 1 e 2 , ligadas através de um redutor bem como molas e
amortecedores torcionais, tal como mostrado na Figura 12.9.
No desenvolvimento que segue, o sistema mecânico mostrado na Figura 12.9 vai ser
transformado em um mais simples, tal como o mostrado na Figura 12.10, que é equivalente
ao desenvolvido no item 12.2.
Para esse desenvolvimento é necessário lembrar da transformação de inércia feita no item
12.3, mais especificamente da equação 12.31, bem como um desenvolvimento adicional para
a determinação da rigidez e do amortecimento equivalentes quando há um redutor entre
duas inércias rotativas. Esse desenvolvimento adicional é feita no que segue. Inicialmente
se determina a transformação da rigidez de uma mola e em segundo lugar a constante de
amortecimento de um amortecedor viscoso.
Sendo assim, seja uma mola com rigidez 2 colocada logo após um redutor com relação
de redução , tal como mostrado na Figura 12.11. Considerando a conservação da energia,
pode-se escrever que a energia potencial uma mola equivalente no espaço 1 , 1 é igual a
energia potencial da mola no espaço 2 , 2 .
331
Capítulo 12 - Aplicações
y1
*
y2
ctequival
Eixo de rotação
x1; 1
Tmotor
T
*
resist
x 2;  2
*

ktequival
Inércia I1
2
Inércia Iequival= I2(1/i)
Figura 12.10: Sistema equivalente ao da Figura 12.9.
ktequival1,2
y1
T1
x1; 1
Eixo de rotação
Par de engrenagens com
relação de transmissão i
y2
Eixo de rotação
x2; 2
T2
kt2
Figura 12.11: Transformação de rigidez de mola real em uma equivalente.
332
Capítulo 12 - Aplicações
A energia de deformação da mola real, com rigidez 2 , é dado por:
1
 = 2 2
2
porém o torque 2 se relaciona com a deflexão e com a rigidez da mola através de:
(12.41)
2 = 2 2
com isso definido a energia  pode ser reescrita como segue:
1
 = 2 22
2
(12.42)
A energia potencial armazenada pela mola equivalente no espaço 1 , 1 , de maneira
semelhante ao desenvolvido para a mola real, é dada por:
1
(12.43)
 = 12 21
2
Com isso, lembrando da conservação da energia, nesse caso a potencial, pode-se escrever
que:
(12.44)
 = 
ou
1
1
2 22 = 12 21
(12.45)
2
2
com as devidas simplificações e lembrando que a relação de transmissão se relaciona com o
giro através da relação  = 12 , essa equação pode ser colocada na forma que segue:
12 = 2
µ
2
1
¶2
µ ¶2
1
= 2

(12.46)
Agora seja um amortecedor no espaço 2 , 2 , tal como mostrado na Figura 12.12. Considerando a conservação da energia, nesse caso dissipada, pode-se escrever que o trabalho
realizado por um amortecedor equivalente no espaço 1 , 1 é igual ao trabalho realizado pelo
amortecedor do espaço 2 , 2 . Porém antes de aplicar esse conceito é necessário desenvolver
a modelagem matemática um pouco mais, como segue.
O trabalho realizado pelo amortecedor real, com constante de amortecimento 2 , é dado
por:
 = 2 2
Porém o torque 2 se relaciona com a a velocidade e com a constante de amortecimento
do amortecedor através de:
(12.47)
2 = 2 ̇2
com isso definido o trabalho  pode ser reescrito como segue:
 = 2 2 ̇2
(12.48)
O trabalho realizado pelo amortecedor equivalente no espaço 1 , 1 , de maneira semelhante ao desenvolvido para o real, é dado por:
333
Capítulo 12 - Aplicações
ctequival1,2
y1
T1
x1; 1
Eixo de rotação
Par de engrenagens com
relação de transmissão i
y2
Eixo de rotação
x2; 2
T2
ct2
Figura 12.12:
 = 12 2 ̇2
(12.49)
Com isso, lembrando da conservação da energia da energia, nesse caso a potencial, pode-se
escrever que:
(12.50)
 = 
ou
2 2 ̇2 = 12 2 ̇2
(12.51)
com as devidas simplificações e lembrando que a relação de transmissão se relaciona com o
giro através de  = 12 e que a velocidade angular se relaciona com a relação de transmissão
através de  =
̇1
,
̇2
essa equação pode ser colocada na forma que segue:
12
2 ̇2
= 2
= 2
1 ̇1
µ ¶2
1

(12.52)
Como se está transformado o sistema para o sistema de coordenadas 1 , 1 , é necessário lembrar de algumas transformações adicionais, no que se refere ao torque, ao giro, a velocidade
e a aceleração angular, grandezas essas mostradas na Figura 12.9.
∗2 =  2
∗
̇2
∗
̈2
∗

(12.53)
=  ̇2
(12.54)
=  ̈2

=

(12.55)
(12.56)
Com tudo isso isso definido o sistema mecânico mostrado na Figura 12.9 se transformou em
um sistema equivalente tal como o mostrado na Figura 12.13.
334
Capítulo 12 - Aplicações
y1
*
ct1
y2
ctequival1,2
Eixo de rotação
x1; 1
Tmotor
Tresist/i
kt1
x 2 ; i  2; i  2
*
ktequival1,2
Inércia I1
2
Inércia Iequival= I2(1/i)
Figura 12.13: Modelo transformado.
As somas de molas e amortecedores em série são dadas pelas seguintes relações:
1

1

1
1
1
1
+
=
+
1 12
1 2 (1)2
1
1
1
1
=
+
=
+
1 12
1 2 (1)2
=
(12.57)
(12.58)
as quais, devidamente reorganizadas, podem ser reescritas como:
 =
 =
1 2
2
 1 + 2
1 2
2
 1 + 2
(12.59)
(12.60)
Com isso definido a defleção da mola equivalente e a velocidade de acionamento do
amortecedor equivalente são dadas por:
 =  2 − 1
(12.61)
̇ =  ̇2 − ̇1
(12.62)
e
Assim o torque devido a mola torcional equivalente bem como do amortecedor equivalente
são dados por:
 =   =  ( 2 − 1 )
(12.63)
 =  ̇ =  ( ̇2 − ̇1 )
(12.64)
Com o auxílio dos diagramas de corpo livre das duas inércias, mostrados nas Figuras
12.15 e 12.16, a equação de movimento da primeira inércia rotativa é dada por:
335
Capítulo 12 - Aplicações
2
ctequival= ct1ct2/(i ct1+ct2)
y1
*
y2
Eixo de rotação
Tmotor
x1; 1
Tresist /ix ; i ; i ; i
2
2
2
2
2
ktequival= kt1kt2/(i kt1+kt2)
Inércia I1
Inércia Iequival= I2(1/i)
2
Figura 12.14: Modelo equivalente ao da Figura 12.9, com as devidas grandezas transformadas.
y1
Tm
x1; 1
Tmotor
Tc
Inércia I1
Figura 12.15: Diagrama de corpo rígido da primeira inércia rotativa.
Tm
y*2
Tresist /i
Eixo de rotação
x2; i2; i2; i2
Tc
Inércia Iequival= I2(1/i)2
Figura 12.16: Diagrama de corpo livre da segunda inércia rotativa.
336
Capítulo 12 - Aplicações
(12.65)
1 ̈1 =  +  + 
enquanto que a equação de movimento da segunda inércia rotativa é dada por:

(12.66)

Com as definições acima estabelecidas bem como considerando que o  é função do
quadrado da velocidade, dado por
  ̈2 = − −  −
2
(12.67)
 = Ψ̇1
as equações de movimento podem ser reescritas como segue:
1 ̈1 =  +
1 2
2
 1 + 2
( 2 − 1 ) +
1 2
2
 1 + 2
( ̇2 − ̇1 )
(12.68)
e por:
2
2
1 2
1 2
Ψ̇1
 ̈2 = − 2
( 2 − 1 ) − 2
( ̇2 − ̇1 ) −
2

 1 + 2
 1 + 2

A última equação ainda pode ser simplificada e reescrita como:
2 ̈2 = −
1 2
2
 1 + 2
(2 2 − 1 ) −
1 2
2
 1 + 2
(12.69)
2
(2 ̇2 − ̇1 ) − Ψ̇1
(12.70)
Essas equações ainda podem ser escritas em termos dos deslocamentos e velocidades das
duas inércias, como segue.
µ
¶
1
1 2
1 2
 + 2
( 2 − 1 ) + 2
( ̇2 − ̇1 )
(12.71)
̈1 =
1
 1 + 2
 1 + 2
1
̈2 =
2
µ
−
1 2
1 2
2
(2 2 −  1 ) − 2
(2 ̇2 −  ̇1 ) − Ψ̇1
2
 1 + 2
 1 + 2
¶
(12.72)
Considerando a troca de variáveis proposta no item 12.2 e repetidas a seguir, o sistema
de equações acima apresentado pode ser escrito de maneira mais adequada para uma solução
numérica.
e
1 = 1
(12.73)
2 = 2
(12.74)
3 = ̇1
(12.75)
4 = ̇2
(12.76)
337
Capítulo 12 - Aplicações
(12.77)
̇1 = ̇1 = 3
(12.78)
̇2 = ̇2 = 4
µ
¶
1
1 2
1 2
̇3 = ̈1 =
 + 2
(2 − 1 ) + 2
( 4 − 3 )
(12.79)
1
 1 + 2
 1 + 2
µ
¶
1 2
1
1 2
2
2
2
̇4 = ̈2 =
− 2
( 2 −  1 ) − 2
( 4 −  3 ) − Ψ4 (12.80)
2
 1 + 2
 1 + 2
⎡
⎧ ⎫
0
0
1
0
̇1 ⎪
⎪
⎪
⎢
⎪
0
0
0
1 ´
⎨ ⎬
⎢ ³
´
³
´
´
³
³
̇2
⎢
1 2
2
1 2
1

1

= ⎢ − 21 2
− 21
̇3 ⎪
⎪
 1 +2 1
2 1 +2 1
1
2 1 +2 1
1 +2
⎪
⎪
⎣
³
³
³
´
´
³
´
´
⎩ ⎭
1 2
2
1 2
1 2

2

2
̇4
− 21
−
2  +
2  +
2 1 +2 2
+





1
2
2
1
2
2
1
2
2
⎧ ⎫
⎧ ⎫
0⎪
0⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨0⎪
⎨0⎪
⎬
⎬
24 + 1 
−
0⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩Ψ⎪
⎩ 1 ⎪
⎭
⎭
0
2
⎤
⎧ ⎫
⎪1 ⎪
⎪
⎥⎪
⎥ ⎨2 ⎬
⎥
⎥ ⎪3 ⎪
⎦⎪
⎩ ⎪
⎭
4
(12.81)
Pode ser observado que as equações desenvolvidas nesse item são estruturalmente iguais as
desenvolvidas no item 12.2. As diferenças se restrigem apenas aos coeficientes da matriz
que multiplica o vetor das variáveis de estado. Isso implica que a solução desse sistema de
equações é exatamente a mesma daquela desenvolvida para o item 12.2.
12.5
Vibrações torcionais de um eixo rígido
Alguns veículos tais como camionetas médias e pequenas, veículos fora de estrada, alguns
utilitários esportivos (SUV) e caminhões utilizam o eixo traseiro rígido com molas elípticas,
tal como mostrado na Figura 12.17.
Uma das análises mais importantes que pode ser feita em eixos desse tipo é a determinação
das suas frequências naturais. Quando o sistema é linear, que é uma aproximação para
a maioria dos sistemas encontrados em dinâmica de máquinas, pode ser feita a análise e
a superposição modais. Um dos resultados obtidos da análise modal são as frequências
naturais do sistema linearizado e, sendo assim, o desenvolvimento que segue é voltado a
determinação dessas frequências, as quais são uma característica física do sistema mecânico,
independentemente das exitações ou carregamentos impostos ao sistema.
Essa configuração, desprezando a flexibilidade do eixo, no máximo apresenta seis graus
de liberdade, mostrados na Figura 12.18, os quais são:
• Três deslocamentos lineares (  );
• Três deslocamentos angulares (  ), respectivamente rolamento, arfagem e guinada.
338
Capítulo 12 - Aplicações
Figura 12.17: Eixo rígido com molas semi-elípticas.
x,
y,
z,
Figura 12.18: Sistema de coordenadas e respectivos deslocamentos.
339
Capítulo 12 - Aplicações
ctequival
y
y; 
ktequival
Icarcaça
Chassi
Figura 12.19: Idealização do problema torcional de um eixo rigido.
M
EI = constante
a
b
l
Figura 12.20: Viga bi-apoida representando uma mola semi-elíptica.
Dos deslocamentos lineares o mais importante é o vertical, , visto que o mesmo está
associado com a transmissibilidade das imperfeições da pista à carroceria, porém foi tratado
no Capítulo 11 em detalhes.
Dos demais, o mais importante é o deslocamento angular na direção transversal, ,
seguido do deslocamento linear na direção transversal, . Os demais deslocamentos também estão associados com problemas de ressonâncias, porém, nesse desenvolvimento, será
tratado apenas o problema de dinâmica torcional do eixo na direção transversal do veículo.
O problema torcional, associado com o deslocamento angular , pode ser idealizado como
mostrado na Figura 12.19.
Nesse modelo, onde foi introduzido um amortecedor torcional em relação ao mostrado
nas Figuras 12.17 e 12.18, a flexibilidade do eixo foi desconsiderada na mola torcional. A
mola torcional pode ser idealizada como sendo resultado da rigidez de uma viga bi-apoida
submetida a um torque perto da posição média, tal como mostrado na Figura 12.19.
Considerando o problema da linha elástica, equacionada pela equação 12.82
4 
 4 = 0

(12.82)
e com as devidas condições de contorno, o momento fletor pode ser escrita genericamente
por:
(12.83)
 =  
340
Capítulo 12 - Aplicações
c
ct
x,
x,
e
z,
z,
Figura 12.21: Amortecimentos equivalentes.
sendo  o deslocamento angular e  a rigidez torcional, que para esse caso é dada por:
 =
3( + )
2 −  + 2
(12.84)
Antes de continuar o desenvolvimento é interessante lembrar que os amortecedores desse
tipo de suspensão são telescópicos. Com isso é necessário transformar o amortecedor telescópico
em um amortecedor torcional equivalente. Para esse desenvolvimento se parte do modelo
mostrado na Figura 12.21.
A determinação da equivalência entre os amortecedores real e o equivalente pode ser feita
considerando que o trabalho realizado pelo sistema real é igual ao trabalho realizado pelo
sistema equivalente. O trabalho  do sistema real, quando a carcaça do eixo é submetida
um giro  é dado por:
(12.85)
 =  ̇2
sendo o trabalho realizado pelo sistema equivalente dado por:
 =  ̇
(12.86)
Com isso definido, iguala-se os trabalhos realizados e se obtém o amortecedor torcional
equivalente ao telescópico:
(12.87)
 = 2
Com esse desenvolvimento o próximo passo é determinar as equações do movimento para
esse sistema de um grau de liberdade. Antes de iniciar esse desenvolvimento é importante
lembrar que esse tipo de suspensão é dotada de duas molas em paralelo e de dois amortecedores também em paralelo. Assim sendo, a rigidez das duas molas bem como a dos dois
amortecedores são dadas por:
 = 2 =
e
6( + )
2 −  + 2
 = 22 
(12.88)
(12.89)
Com isso feito o próximo passo é a determinação da equação de movimento. Para a determinação da equação de movimento pode ser aplicada a segunda lei de Newton no modelo
diagramático mostrado na Figura 12.22.
341
Capítulo 12 - Aplicações
Figura 12.22: Diagrama de corpo livre de um eixo rigido.
 −  −  = ç ̈
(12.90)
 =  ̇ = 22  ̇
(12.91)
Sendo que:
 =   = 2  =
6( + )

2 −  + 2
(12.92)
6( + )

2 −  + 2
(12.93)
É importante observar que a inércia do eixo, ou seja ç , consiste na inércia somente
da carcaça do próprio eixo na direção , das pinças ou cilindros de freio e, caso o eixo seja
motriz, a do pinhão do diferencial. Vale salientar que nessa grandeza não podem ser incluídos
a inércia das rodas e flanges, dos semi eixos, dos discos ou tambores de freio e da caixa de
satélites. Isso significa dizer que ç é a inércia de todas as peças que sofrem o mesmo
deslocamento da carcaça.
Com isso tudo definido a equação de movimento é:
ç ̈ =  − 22  ̇ −
ou
2 
6( + )

+ 22  + 2
 = 
(12.94)
2

  −  + 2
Da mesma forma que desenvolvido no item 12.1, caso seja preciso fazer uma análise no
domínio do tempo, a equação pode ser escrita de maneira mais adequada para uma solução
numérica.
ç
e
1 = 
(12.95)
2 = ̇
(12.96)
342
Capítulo 12 - Aplicações
̇1 = ̇ = 2
̇2 = ̈ =
1
ça
µ
¶
6( + )
2
 − 2 2 − 2
1
 −  + 2
(12.97)
(12.98)
Ou seja, na forma de equações de estado. Essas equações de estado podem ser colocadas
na forma matricial que segue.
#½ ¾ ½
¾
½ ¾ "
1
0
1
̇1
³0
´
=
+

6(+)
1
1
2
̇2
2
− ça
− ça
2 
ç a
2 −+2
(12.99)
Quanto a análise modal o primeiro passo para o desenvolvimento é escrever as equações
do movimento no domínio da frequência. Isso só é possível de ser feito se o problema é
linear, como nesse caso. Dentre várias maneiras de abordar esse problema, no presente
desenvolvimento vai se considerar que a excitação e a resposta do sistema são harmônicos e
na forma complexa. Isso é feito porque essa forma consegue representar todas as grandezas
possíveis de uma excitação, tais como frequência e ângulo de fase de maneira bastante
compacta. Sendo assim, a excitação, a resposta bem como as suas derivadas em relação ao
tempo podem ser escritas como o produto de duas funções, uma no domínio da frequência
e outra no tempo, como segue:
(12.100)
 () = Υ(Ω)Ω 
() = Θ(Ω)Ω 
̇() = ΩΘ(Ω)Ω =  (Ω)Ω 
Ω
2
̈() = −Ω Θ(Ω)
(12.101)
Ω
= (Ω)
sendo:
 - a entidade matemática imaginária;
Ω - a frequência;
 - a variável tempo;
Θ(Ω)  (Ω) (Ω) Υ(Ω)- são as amplitudes dos deslocamentos, das velocidades, das
acelerações e da excitação, em frequência.
Com isso e as devidas simplificações, a equação do movimento pode ser reescrita como:
−ç Ω2 Θ(Ω)Ω + 22 ΩΘ(Ω)Ω +
ou
6( + )
Θ(Ω)Ω = Υ(Ω)Ω
2 −  + 2
¶
µ
6( + )
2
2
Θ(Ω)Ω = Υ(Ω)Ω
−ç Ω + 2 Ω + 2
2
 −  + 
Definindo
 = Ω
(12.102)
(12.103)
343
Capítulo 12 - Aplicações
e lembrando que
2 = (Ω)2 = −Ω2 
pode-se escrever que:
µ
¶
6( + )
2
2
ç  + 2  + 2
Θ(Ω) = Υ(Ω)
 −  + 2
(12.104)
traçando um paralelo com o que foi desenvolvido no Capítulo 11 a última expressão pode
ser expressada de forma matricial:
£
¤
M 2 + C  + K Z(Ω) = F(Ω)
(12.105)
sendo:
M, C e K - as matrizes de inércia, de amortecimento e rigidez, que nesse caso tem
dimensão 1, ou seja, são escalares ;
F(Ω) é o vetor carregamento no domínio da frequência.
Com estas definições a equação (12.105) pode ser reescrita como
(12.106)
Ð()Z(Ω) = F(Ω)
que é a equação de equilíbrio escrita compactamente em termos da frequência.
Como pode ser visto na equação 12.104 a mesma é algébrica, sendo as suas soluções
facilmente obtidas, como é mostrado a seguir.
Definindo a matriz receptância como
¸−1
∙
6( + )
−1
2
2
Λ() = Ð() = ç  + 2  + 2
(12.107)
 −  + 2
tem-se que a resposta, Z(Ω) do sistema é calculada por:
(12.108)
Z(Ω) = Λ()F(Ω)
A receptância, em termos das propriedades do sistema, é dada por:
Λ() =
1
ç
2
+ 22  +
6(+)
2 −+2
(12.109)
Teoricamente, na ressonância, a resposta do sistema, equação (12.108), tende ao infinito
e para que isto aconteça é necessário que a inversa tenda a infinito, o que ocorre nos pólos de
Λ(). A determinação destes pólos, que correspondem as frequências de naturais do sistema,
são obtidos a partir da solução da seguinte equação algébrica:
ç 2 + 22  +
6( + )
= 0
(2 −  + 2 )
(12.110)
que, para facilitar a solução, pode ser reescrita como segue
2 +
22 
6
( + )
= 0
+
ç
ç (2 −  + 2 )
(12.111)
344
Capítulo 12 - Aplicações
A solução dessa equação é dada por:
sµ
¶2
( + )
2 
2 
6
12 = −
±
−
ç
ç
ç (2 −  + 2 )
Caso o amortecimento seja nulo, a equação acima pode ser reescrita como segue:
s
s
6
( + )
6
( + )
=
±
12 = ± −
ç (2 −  + 2 )
ç (2 −  + 2 )
s
6
( + )
12 = Ω12 = ±
ç (2 −  + 2 )
Assim a frequência natural não amortecida desse sistema torcional é dada por:
s
s
6
( + )

Ω1 =
=
2
2
ç ( −  +  )
ç
(12.112)
(12.113)
(12.114)
(12.115)
Com a definição da frequência natural não amortecida do sistema analisado, pode-se desenvolver um pouco mais a equação geral da frequência natural para o sistema de um grau de
liberdade. Para isso parte-se de:
sµ
¶2
( + )
2 
2 
6
12 = −
(12.116)
±
−
ç
ç
ç (2 −  + 2 )
ou
2
12 = −

ç
±
sµ
2 
ç
¶2
− Ω21
(12.117)
ou, com as devidas manipulações:
12
2 
=−
Ω1 ± Ω1
Ω1 ç
sµ
2 
Ω1 ç
¶2
−1
(12.118)
Com as definições estabelecidas para o sistema de um grau de liberdade não amortecido,
pode-se retornar ao problema de autovalor para o problema amortecido e reescrever a equação
para o caso de amortortecimento subcrítco,   1, como segue:
q
(12.119)
 = −Ω1 ±  Ω1 1 −  2
ou
=± 
sendo:
=
2 
Ω1 p
ç 
=


- a razão de amortecimento;
 = Ω1 1 −  2 - a frequência natural amortecida;
 = − Ω1 a parte real do autovalor;
(12.120)
345
Capítulo 12 - Aplicações
 - entidade imaginária.
Problema: Calcular a frequência natural de um eixo rígido. Esse eixo é de uma camioneta
leve e tem as seguintes características. A mola tem  = 800mm de comprimento largura de
s = 70mm e espessura de h = 13mm sendo que o eixo é fixado na sua posição média. O
eixo, numa aproximação simplista de um eixo real, é um tubo vazado de aço com diâmetro
externo de de = 70mm, t = 10mm de espessura de parede e comprimento de  = 1200mm.
Considerar que a densidade do aço é de  = 7835kgm 3 e que o módulo de alasticidade é de
E = 210 000MPa. O suporte do amortecedor está deslocado em relação ao centro do eixo
de 150mm, sendo que a sua constante é  = 900.
Cálculo do momento de massa do eixo:
1
1
ç = (4 − 4 ) = 7835 1 2(0 0354 − 0 0254 ) = 0 0164  2
2
2
Cálculo do momento de inércia da mola:
=
0 070 0 0133
3
=
= 1 28 10−8 4
12
12
Rigidez da mola;
 =
3( + )
3(0 4 + 0 4) 210000 106 1 28 10−8
=
= 40320
2 −  + 2
0 42 − 0 4 0 4 + 0 42
Com isso definido a frequência natural não amortecida do eixo é dada por:
s
6
( + )
Ω1 =
ç (2 −  + 2 )
s
6 (0 4 + 0 4) 210000 106 1 282 10−8
=
0 0164
(0 42 − 0 4 0 4 + 0 42 )
= 2219 28
Esse valor também pode ser obtido pela seguinte relação:
s
r
2
2 40320
=
=2219 28
Ω1 =
ç
0 0164
lembrando que há duas molas em paralelo, nessa montagem.
Ω1 = 2219 82 = 353 14
Cálculo da razão de amortecimento:
=
0 152 900
2 
= 0 5566
=
Ω1 ç
2219 28 0 0164
(12.121)
(12.122)
(12.123)
(12.124)
346
Capítulo 12 - Aplicações
Deslocamento
[rad]
0.02
0.015
0.01
0.005
0.001
0.002
0.003
Tempo [s]
Tempo [s]
Figura 12.23: Deslocamento angular em função do tempo.
Cálculo do amortecimento crítico
=
900


=
= 1616 94
→  =


0 5566
Isso significa dizer que esse eixo é sub-amortecido. A característica de um sistema subamortecido é que ele oscila muito pouco e tende a retornar a posição de equilíbrio após um
determinado tempo.
Como o eixo tem um amortecimento, a frequência natural amortecida é dada por:
q
 = −Ω1 ±  Ω1 1 −  2 =  ±  
p
 = −0 556 2218 82 ±  2218 82 1 − 0 5562 = −1233 66 ±  1844 24
A solução do problema é mostrada na equação abaixo, considerando que as condições iniciais
são velocidade nula e deslocamento angular inicial igual a 0,02rad. Essa solução é mostrada
na figura.
() =   ( cos( ) +  sin( ))
() = −123366  (0 02 cos(1844 24 ) + 0 0133997 sin(1844 24 ))
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