CONSTRUÇÕES COM A RÉGUA E O COMPASSO,
CONTRIBUIÇÕES E LIMITES DA GEOMETRIA DINÂMICA
Franck Bellemain
Labma-IME-UFRJ, Rio de Janeiro
[email protected]
Mini-curso em laboratório de computadores.
Geometrias dinâmicas oferecem a possibilidade de colocar problemas de geometria,
sobretudo problemas de construção de figuras, de uma forma diferente relativamente à
geometria papel-lápis. Com as geometrias dinâmicas, os problemas tratam de classes de
situações enquanto, com a geometria papel-lápis, os problemas são problemas de
desenhos particulares, para os quais uma atitude geométrica não é necessariamente
natural, particularmente para os alunos. Assim, uma das dificuldades do ensino da
geometria é conduzir os alunos a considerar o desenho não como objeto geométrico em
si, mas como uma representação particular de um conjunto de especificações
geométricas. Nos problemas de construção geométrica, o aluno deve não somente
realizar um desenho correto, mas, sobretudo elaborar um procedimento geral de
construção da solução que seja:
- independente do caso particular representado pelo desenho,
- e base da elaboração de uma prova da validade da construção.
A contribuição das geometrias dinâmicas é justamente de permitir de expressar
problemas que concernem explicitamente classes de desenhos e não somente desenhos
particulares e assim, favorecer a abordagem, no ensino da geometria, da geometria do
tratamento, etapa na realização pelos alunos de raciocínios hipotético-dedutivos [1].
É interessante observar que essa dificuldade tem fundamentos epistemológicos. O
desenho geométrico sempre teve a dupla propriedade:
- de dificultar a elaboração de demonstração podem introduzir implicitamente elementos
perceptivos nessas demonstrações,
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GT 7 – Formação de Professores que Ensinam Matemática
- de ser necessário à compreensão e a elaboração das demonstrações permitindo uma
organização e a elaboração de uma significação das etapas dessas demonstrações.
As diversas tentativas de Legendre de deduzir o quinto postulado a partir dos
precedentes falhando por conto do uso de elemento do desenho são exemplos da
complexidade do uso do desenho em geometria.
Através desse mini-curso, propomos explorar as contribuições, mas também os limites,
da geometria dinâmica tal que implementada nos diversos softwares de geometria
dinâmica para a elaboração de figuras geométricas, premissa à elaboração de
demonstração [2]. Particularmente, queremos abordar as contribuições das geometrias
dinâmicas à geometria computacional [3]. A geometria computacional aborda a
problemática da elaboração de algoritmos de construção de figuras e dos procedimentos
justificativos da validade dessas construções. Uma das contribuições dos softwares de
geometria dinâmica à elaboração de algoritmos de construções geométricas é a
possibilidade que eles oferecem:
- de validar de forma pragmática a generalidade dos algoritmos de construção pelo
deslocamento de objetos,
- como de reutilizar esses algoritmos através macro-construção ou script.
Elaboração de primitivas de construção de objetos básicos
O objetivo da primeira atividade é a partir da régua e do compasso, construir algumas
ferramentas de construção de objetos úteis em geometria. Essa atividade simples da a
oportunidade a os que não conhecem o software de descobrir uma utilização da
ferramenta de macro-construção e da possibilidade de configurar as ferramentas,
possibilidades oferecidas por diversos softwares de geometria dinâmica. Mas ela
permite sobretudo explicitar alguns dos problemas encontrados quando se trata elaborar
algoritmos de construção no quadro das geometrias dinâmicas. Particularmente, vamos
já encontrar em alguns casos simples (ponto médio por exemplo), a dificuldade de
conseguir um algoritmo único permitindo de resolver situações no caso geral. Esses
limites justificam por si mesmo a necessidade que certas construções sejam
programadas internamente.
Essas construções que propomos de recriar são:
Ponto médio de um segmento [AB]: ponto M do segmento [AB] tal que MA=MB
Reta passando por um ponto P e perpendicular a uma reta D: reta passando por P e
formando com D ângulos congruentes.
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Reta passando por um ponto P e paralela a uma reta D: reta passando por P tal que si
uma terceira reta corta as duas retas, ela forma com cada uma, ângulos congruentes.
Mediatriz de um segmento [AB]: reta perpendicular a [AB] passando pelo ponto médio
de [AB].
Bissetriz de um ângulo ABC: reta que divide o ângulo ABC em dois ângulos
congruentes.
Compasso: Adaptação da segunda proposição de Euclide, ou seja, construir em um
ponto A, uma circunferência de raio congruente a um segmento [BC].
Para cada uma dessas construções, será elaborada uma macro-construção. Para evitar
confusão com os nomes desses macros, propomos de começar cada nome com "M-".
Apesar de ser relativamente fácil, precisa para cada construção de ter o cuidado de
verificar que ela produz o resultado esperado para qualquer configuração dos elementos
iniciais. O que podemos observar é que, apesar de ser coerente do ponto de vista da
geometria, certas construções não produzem o resultado esperado. Em outros casos, não
parece possíveis achar uma única construção que funciona para qualquer configuração
inicial. Nesse ponto de vista, é importante observar o que acontece com a construção
nos casos limites. Observaremos também que certas construções parecem equivalentes
do ponto de vista dos objetos construídos, elas não são sempre equivalente do ponto de
vista do domínio de validade.
Transformações
Continuando no objetivo de reconstruir as ferramentas de base do Cabri, propomos
estudar algumas transformações.
Dado um ponto M, uma reta D e um segundo ponto O, o objetivo da primeira atividade
é determinar:
- um algoritmo de construção do simétrico do ponto M em relação com a reta D,
- um algoritmo de construção do simétrico do ponto M em relação com o ponto O.
Nesse dois casos, é importante verificar que a construção funciona mesmo nos casos
particulares do ponto refletido ser um ponto da reta de simetria ou o próprio centro de
simetria.
Uma outra transformação que propomos de estudar é a inversão. O objetivo da atividade
é elaborar o algoritmo de construção do ponto inverso de um ponto em relação com uma
circunferência.
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Dado a circunferência (C) (de centro O e raio R) e o ponto M, o ponto inverso M’ de M
em relação com (C) é o ponto da semi-reta [OM) tal que OM.OM'=R².
Uma das soluções usa a propriedade da proposição 35 de Euclide: Si, numa
circunferência, duas retas se encontram, o retângulo formado pelos segmentos de uma
dela é igual ao retângulo formado pelos segmentos da outra.
Pode se observar que as circunferências que passam por um ponto e seu inverso são
perpendiculares à circunferência de inversão. A partir dessa construção do ponto
inverso, considerando uma circunferência (C) e dois pontos A e B, construir a reta
hiperbólica (modelo de Poincaré) passando por A e B onde (C) representa a
circunferência euclidiana do modelo de Poincaré. A reta hiperbólica (AB) é
representada pela circunferência passando por A e B e perpendicular à circunferência
euclidiana. Pode em seguida observar as diferencias de comportamento entre sua figura
e a figura seguinte: retahiperbolica.fig, particularmente quando um dos pontos A ou B é
centro da circunferência euclidiana.
Cônicas
A proposta nessa atividade é, a partir de lugares geométricos, construir cônicas.
Existem diversos procedimentos para construir cônicas e propomos de limitar as
construções considerando duas situações/definições:
- cônica como curva quadrâtica passando por cinco pontos dados,
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- conjunto de pontos eqüidistantes de duas circunferências. Com essa definição,
dependendo das posições das circunferências, podem ser definidas duas cônicas
simultaneamente.
Para a construção da cônica por 5 pontos, podemos utilizar o teorema de Pascal:
considerando 6 pontos (1, 2, 3, 4, 5 e 6) de uma cônica, os pontos de interseção das retas
(16) e (34), das retas (15) e (24) e das retas (26) e (35) são alinhados.
Palavra-chave: Régua e compasso, geometria dinâmica
[1]: Rauscher J.C. (1993) L'hétérogénéité des professeurs face à des élèves hétérogènes,
le cas de l'enseignement de la géométrie au début du collège. Thèse de l'université des
sciences Humaines, Strasbourg, França.
[2]: Capponi B. (2000) De la géométrie de traitement aux constructions dans Cabrigéomètre II au collège. Repères n°40, Topiques Edition, Metz, França.
[3]: Toussaint G. A new look at Euclid's second proposition.