Pró-Reitoria de Graduação
Curso de Licenciatura em Matemática
Trabalho de Conclusão de Curso
NOÇÕES DE LUGARES GEOMÉTRICOS
Autor: Henrique Guedes Oliveira
Orientador: Prof. MSc. Marcos Antonio Pereira
Brasília - DF
2012
HENRIQUE GUEDES OLIVEIRA
NOÇÕES DE LUGARES GEOMÉTRICOS:
UMA PONTE ENTRE A RÉGUA E O COMPASSO, A ÁLGEBRA E O SOFTWARE
GEOGEBRA
Artigo apresentado ao curso de graduação em
Matemática da Universidade Católica de
Brasília, como requisito parcial para obtenção
do Título de Licenciado em Matemática.
Orientador: Prof. MSc. Marcos Antonio Pereira
Brasília - DF
2012
Artigo de autoria de Henrique Guedes Oliveira, intitulado “NOÇÕES DE LUGARES
GEOMÉTRICOS”, apresentado como requisito parcial para obtenção do grau de Licenciado
em Matemática da Universidade Católica de Brasília, em 28 de novembro de 2012, defendido
e aprovado pela banca examinadora abaixo assinada:
_____________________________________________________
Prof. MSc. Marcos Antônio Pereira
Orientador
Matemática – UCB
_____________________________________________________
Prof. MSc. Thiago Borduqui Ferrari
Física – UCB
_____________________________________________________
Prof. Dr. Claudio Manoel Gomes de Sousa
Física – UCB
Brasília-DF
2012
1
NOÇÕES DE LUGAR GEOMÉTRICO:
UMA PONTE ENTRE A RÉGUA E O COMPASSO, A ÁLGEBRA E O SOFTWARE
GEOGEBRA
HENRIQUE GUEDES OLIVEIRA
Resumo:
Este artigo apresenta algumas noções do Desenho Geométrico, mais precisamente sobre os
Lugares Geométricos (L.G.), utilizando uma linguagem algébrica para a descrição dos passos
necessários para a construção com régua e compasso. Concomitante com a ação anterior, os
Lugares Geométricos também são construídos utilizando o software Geogebra. Uma breve
história sobre o Desenho Geométrico é inserida logo no início. Em seguida foram feitas
algumas considerações sobre a história do Geogebra e suas propriedades. Após cada definição
há uma representação gráfica que detalha o conceito do Lugar Geométrico trabalhado.
Também são estruturados os passos para a construção com régua e compasso. Segue ainda, na
sequência, o passo a passo para a construção com o Geogebra e o resultado também é
apresentado em seguida. Há ainda o “Construindo e Analisando”, uma parte dedicada para
uma análise da construção feita no Geogebra, que visa tornar a definição ainda mais clara. Ao
fim, considerações e comparações são apresentadas, com o intuito de mostrar o potencial da
aliança entre o Desenho Geométrico, a Álgebra e o Geogebra.
Palavras-chave: Desenho geométrico. Geometria. Construções geométricas. Régua e
compasso. Lugar geométrico. Circunferência. Mediatriz. Bissetriz. Par de paralelas. Arco
capaz.
Abstract:
This article presents some notions about Geometric Design, more precisely about Locus
(Geometric Place), using an algebraic language to describe the steps necessary to construct
with ruler and compass. Together with the previous action, the Locus is also built using the
software Geogebra. A brief history about Geometric Design is inserted at the beginning. Next
we´ve made some comments about the history of Geogebra and their properties. After each
definition there is a graphical representation which details the concept of the Locus in
question. Steps for building with ruler and compass are structured too. In sequence, there is
the step by step to build with Geogebra and the result is also shown below. There is also the
"Building and Analysis" section, devoted to an analysis of the construction done in Geogebra,
which aims to make the definition more clear. At the end, considerations and comparisons are
presented in order to show the potential of the alliance between Geometric Design, Algebra
and Geogebra.
Keyword: Geometric design. Geometry. Geometric constructions. Ruler and compass. Locus.
Circumference. Bisector. Bissetriz. Pair of parallel. Arch able.
2
1. INTRODUÇÃO
Existe atualmente uma quantidade relativamente pequena de escritos relacionados ao
Desenho Geométrico. É notável que, com o passar dos tempos, este campo de estudo da
Matemática perdeu, e vem perdendo cada vez mais, espaço nas salas de aula, quer pela falta
de gosto ou interesse do profissional, quer pela deficiência em sua formação. Esta última, na
maioria das vezes, causada pela ausência da disciplina na grade curricular do curso de
Matemática. Além disso, a falta ou insuficiência de uma literatura eficiente pode ser uma das
responsáveis diretas deste empecilho.
Esse trabalho surge justamente na busca e tentativa do redirecionamento dessa
insuficiência de literatura, em que se busca prover um material de qualidade, ao mesmo tempo
em que se pretende fazer uma fusão entre o Desenho Geométrico, a Álgebra e o Software
Geogebra. Nesse sentido, pretende-se estabelecer um parâmetro entre o antigo (régua e
compasso) e o novo (Geogebra), demonstrando a importância singular de cada um e, ao
mesmo tempo, de ambos.
O Desenho Geométrico, que é uma das muitas ramificações da Geometria, nesse
trabalho será direcionado à professores e estudantes interessados em aprofundar seus
conhecimentos sobre o assunto. E, considerando que boa parte do conteúdo será produzido
adotando uma abordagem algébrica, será exigido do leitor conhecimentos básicos sobre a
escrita matemática (álgebra pura) e da própria Geometria. A manipulação do software
Geogebra também será exigida e devido a isso noções básicas de informática serão
necessárias.
2. NOÇÃO HISTÓRICA DO DESENHO GEOMÉTRICO
Em geometria, uma construção com régua e compasso é o desenho geométrico de
segmentos de reta ou arcos (ângulos) usando, geralmente, apenas uma régua e um compasso,
ambos “ideais”. Entende-se-á por “ideais” o seguinte:
•
•
A régua pode ser usada para construir um segmento tão longo quanto se queira que
contenha dois pontos dados. Particularmente, a régua não é necessariamente graduada,
podendo ser ou não utilizada para medir.
O compasso pode ser usado para construir a circunferência de centro em um dado
ponto C e que passa por um dado ponto P. Assim, deve ter ‘pernas’ tão compridas
quanto preciso for para uma construção.
As construções com régua e compasso são baseadas nos três primeiros postulados dos
Elementos (em grego, Stoikheia) de Euclides1. Por isso, são também conhecidas por
“construções euclidianas”. Percebe-se assim, que problemas de construções geométricas há
muito tempo motiva os estudiosos da Geometria.
Com a régua e o compasso, as ferramentas básicas do Desenho Geométrico, é possível
resolver diversos problemas. Problemas que vão desde a construção de figuras regulares até a
resolução de sistemas lineares, por exemplo.
1
Matemático grego que viveu por volta de 300 a.C.
3
Numa retrospectiva histórica, Merlyn Retz e Meta Darlene Keihn (apud EVES, 1992),
em suas “Construções com régua e compasso”, relatam que Euclides nos três primeiros
postulados dos Elementos enuncia as três construções permitidas em geometria. A primeira é
traçar uma reta por dois pontos; a segunda é prolongar uma reta limitada continuamente
segundo uma reta; e a terceira é descrever um círculo com qualquer centro e qualquer
distância. Euclides não usa a palavra compasso em seu escrito e também não descreve como
as construções devem ser feitas.
A restrição de que as construções geométricas devem ser realizadas apenas com o uso
de uma régua sem escalas e de um compasso tem tradicionalmente sido atribuída a Platão
(390 a.C.). Tal restrição ao uso do compasso e régua apenas, fez com que os gregos
chegassem à inúmeras construções possíveis. Mas, eles tinham ciência de problemas, que
somente com essas duas ferramentas não eram possíveis, como é o caso do problema de
duplicação de um cubo2, assim concorda Retz e Keihn (apud EVES, 1992).
Muito engenhosos porém, os geômetras gregos empenharam-se na busca de outros
meios para resolver problemas que necessitavam mais do que a régua e o compasso. E foi
com o uso de curvas que não a circunferência, como as secções cônicas, a conchóide e a
quadratriz, que os geômetras conseguiram produzir soluções que antes eram consideradas
impossíveis, devido à restrição àquelas duas ferramentas.
Alguns problemas de Desenho Geométrico tiveram destaque no decorrer da história.
Um deles é o problema de Apolônio, no qual três círculos arbitrários no plano são dados e
procura-se um quarto círculo tangente a todos os três. Outros problemas de construção
impossíveis, que desde a antiguidade causam aflição àqueles que buscam suas soluções, são o
trisseccionamento de um ângulo arbitrário e provar a quadratura do círculo (RICHARD
COURANT & HERBERT ROBBINS, 2000).
Durante muito tempo, a “necessidade de uma resposta” que convencesse os
matemáticos sobre a impossibilidade de construções semelhantes às citadas anteriormente é
que levou à migração de estudiosos para o campo da Álgebra.
Eduardo Wagner em “Uma introdução às construções geométricas” (2009), diz que
há 2000 anos a palavra número significava número natural. Não havia números negativos e as
frações não eram consideradas números, eram apenas razões entre números. Porém, os gregos
tiveram uma ideia engenhosa, comenta Wagner. Começaram a representar uma grandeza
qualquer por um segmento de reta. Esta ideia é equivalente a dizer que todo número real
positivo está associado a um ponto de uma semirreta graduada. Hoje, um número real x que
seja maior que um, pode ser visualizado assim:
Figura 1
2
Segundo João Pitombeira em Os Três Problemas Clássicos da Matemática Grega, há duas lendas sobre a
origem da duplicação do cubo, com detalhes contraditórios. Uma delas se refere à duplicação de um túmulo e a
outra à duplicação de um altar [apud WAERDEN, pp. 160-161]. Segundo a primeira lenda, Minos mandou fazer
um túmulo para Glauco. Ao saber que o túmulo era um cubo cuja aresta media 100 pés, ele disse que a
residência real tinha sido construída demasiadamente pequena e que ela deveria ser duas vezes maior e ordenou
imediatamente que duplicassem cada aresta do túmulo, sem estragar sua bela forma. De acordo com a segunda
lenda, quando Deus anunciou aos Delianos, por meio de um oráculo que, para se verem livres de uma peste,
deveriam construir um altar duas vezes maior do que o existente, os arquitetos ficaram muito confusos, pois não
sabiam como construir um cubo duas vezes maior do que outro.
4
Mas, antigamente a mesma ideia era vista assim:
Figura 2
As operações de adição e subtração de segmentos tornam-se inteiramente intuitivas.
Adição:
Figura 3
Subtração:
Figura 4
Um problema bastante comum também é como calcular a hipotenusa de um triângulo
cujos catetos são dados. Supondo que 2 e 3 sejam os catetos dados e que x é o comprimento
da hipotenusa, então x = 2 2 + 3 2 = 4 + 9 = 13 . O mesmo problema porém, antigamente seria
assim: construir o triângulo retângulo cujos catetos medem 2 (duas) unidades e 3 (três)
unidades. Considerava-se então um segmento unitário u e o triângulo era construído com as
medidas dadas.
5
Figura 5
Observando a figura acima e associando o segmento u ao número 1, o segmento AB é
a visualização do número real 13 .
Desta forma, conclui Wagner (2009), que a palavra calcular que se utiliza hoje seria
um sinônimo de construir, antigamente. Aí está então uma importante ligação entre a
Geometria e a Álgebra.
3. METODOLOGIA
Esse trabalho pode ser considerado uma pesquisa com enfoque na análise e na
produção documental, pois visa estudar traçados de desenho geométrico e a construção dos
mesmos no Geogebra; e, num outro momento, produzir um material diferenciado dedicado ao
estudo do Desenho Geométrico com uma linguagem algébrica específica.
Para tanto, foi feito um levantamento de dados sobre o desenho geométrico. E durante
o levantamento de dados foram utilizados alguns livros e artigos existentes sobre o assunto.
Após uma análise crítica dos dados, foi estruturado um planejamento do que seria
produzido.
Durante a produção do material, foram feitos alguns desenhos geométricos a mão, com
régua e compasso. E, posteriormente, com linguagem algébrica, era escrito o passo a passo da
construção executada. Feito isso, com base nos passos, sempre era produzido novamente o
mesmo desenho geométrico com o intuito de verificação.
A verificação tinha o objetivo de avaliar a clareza da escrita dos passos e também o
resultado.
Toda construção também foi feita no Geogebra. O passo a passo também foi
apresentado. E, no final de cada construção, foi feito um “Construindo e Analisando”, visando
reforçar as definições utilizadas.
A título de comprovação da consistência deste trabalho, após a produção do material
ele foi analisado pelo professor orientador do artigo e pelo professor Sinval Braga, assessor do
Curso de Matemática da Universidade Católica de Brasília, professores que atuam ou já
atuaram em sala de aula ensinando o Desenho Geométrico.
6
4. CONHECENDO O SOFTWARE GEOGEBRA
O Software GeoGebra - Dynamic Mathematics for Everyone3 é um programa livre
para cópia, distribuição e transmissão. Sem propósitos de comercialização. Segundo um texto
escrito por Markus Hohenwarter e Judith Preiner em The Journal of Online Mathematics and
Its Applications (2007), o Geogebra foi criado por Markus Hohenwarter entre 2001 e 2002
como parte da sua tese de mestrado em Educação Matemática e Ciência Computacional na
University of Salzburg na Áustria. Apoiado por uma bolsa de estudo da Austrian Academy of
Science, Markus continuou desenvolvendo seu projeto, que lhe permitiu a titulação como PhD
em Educação Matemática. Durante esse tempo o Geogebra ganhou várias premiações
internacionais e foi traduzido por professores e instrutores de toda parte do mundo para mais
de 25 línguas. E desde 2006, o Geogebra é apoiado pelo Ministério de Educação da Áustria,
visando a permanência desse programa na condição gratuita.
Este software reúne recursos de geometria, álgebra, gráficos e cálculos em um único
ambiente. Desta forma, pode apresentar, simultaneamente, representações distintas de um
mesmo objeto. Além dos aspectos didáticos, o GeoGebra é uma excelente ferramenta para se
criar ilustrações para serem usadas no Microsoft Word, no Open Office ou no LaTeX. Escrito
em JAVA e disponível em português, o GeoGebra pode ser instalado em computadores com
Windows, Linux ou Mac OS. Hoje, 03 de outubro de 2012, existe a versão atualizada para
download no site http://www.geogebra.org/ ou em http://www.geogebra.org/cms/pt_BR/road
map. É importante lembrar que para a utilização do Geogebra deve-se ter a linguagem Java
habilitada. Para baixar e instalar o Java Runtime Environment acesse
http://www.java.com/pt_BR/. A versão do Gerogebra utilizada para a elaboração deste artigo
foi a 3.2.40.0 de janeiro de 2010.
5. LUGAR GEOMÉTRICO
Lugar Geométrico é o conjunto de infinitos pontos coplanares (em um mesmo plano)
que se estruturam segundo uma propriedade em comum. Dentre os diversos lugares
geométricos, os principais são: a circunferência, a mediatriz, a bissetriz, o par de paralelas
e o arco-capaz.
5.1. A CIRCUNFERÊNCIA
A circunferência corresponde ao lugar geométrico dos infinitos pontos coplanares e
equidistantes de um ponto dado.
3
Para baixar o Software Geogebra e conhecer um pouco mais sobre sua história acesse os
seguintes
sites:
<http://www.geogebra.im-uff.mat.br/>,
<http://www.geogebra.imuff.mat.br/cig.html>,
<http://www.geogebra.org/>,
<http://www.geogebra.org/cms/pt_BR/roadmap>.
7
ponto dado
(centro)
Observe a existência de
“infinitos” pontos
Figura 6
Observação1:
Entende-se por “infinitos pontos” quantos
pontos que “se queiram imaginar”.
A.
i.
ii.
iii.
Construção com régua e compasso
É dado o ponto O ∀ ;
(O, r ) / r ∀ ⇒ λ ;
λ é a circunferência procurada.
Figura 7
B.
Construção com o Software Geogebra
i.
Tanto para essa construção quanto para as demais, ao abrir o Geogebra
maximize a tela;
8
ii.
Para facilitar a construção, retire os eixos ordenados do plano. Para isto, clique
com o botão direito do mouse sobre a área de trabalho e, em seguida, clique no rótulo
“Eixos” (assim os eixos cartesianos desaparecem/aparecem).
Observação 2:
O passo i. e ii. será omitido a partir da próxima
construção, devendo porém ser lembrado.
iii.
Selecione a opção “Círculo” definido pelo centro e um de seus pontos (Janela
6).
iv.
Para fazer o centro da circunferência, clique com o botão esquerdo do mouse
sobre a tela, arraste o mouse sobre a tela e clique novamente.
Observação 3:
Perceba que não se deve manter o botão
esquerdo pressionado enquanto arrastar o mouse.
v.
Clicando com o botão direito do mouse sobre os objetos, omita o ponto B ,
renomeie o Centro A para O e o rótulo c para λ . Mova o rótulo λ para fora da
circunferência.
vi.
Resultado:
Figura 8
C.
Construindo e Analisando a Circunferência
Crie um Novo ponto (janela 2) sobre λ . Com a ferramenta Segmento definido
por Dois Pontos (janela 3) ligue este ponto ao centro da circunferência. Em seguida,
crie outro Novo ponto sobre λ e repita o que foi dito anteriormente. Selecione a
ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro (janela 8). Clique sobre os dois
segmentos.
Pergunta-se:
O que se pode concluir sobre as medidas destes dois segmentos?
Observação4: Toda pergunta proposta
no “Construindo e Analisando” será
comentada em uma parte específica,
que constará em tópico único.
9
5.2. MEDIATRIZ
É o conjunto de “infinitos pontos” coplanares e equidistantes dos extremos de um
segmento dado.
Mediatriz
(visualização de “infinitos pontos”)
Segmento dado ( AB )
Figura 9
Observação5:
C, D,... tem uma mesma propriedade,
estar a uma mesma distância de A e B.
A.
i.
ii.
iii.
iv.
v.
4
Construção com régua e compasso
AB ∀ ;
( A, r ) / r >
d( A, B )
⇒α ;
2
( B, r ) ⇒ β ;
α ∩ β = {P, Q};
PQ ≡ mtz ( AB) .
4
“ mtz ( AB ) ” significa “mediatriz do segmento
AB ”
10
Figura 10
B.
Construção com o Software Geogebra
i.
Selecione Segmento definido por Dois Pontos (janela 03).
ii.
Na área de trabalho do Geogebra, clique com o botão esquerdo do mouse em
qualquer local e arraste o cursor, clique novamente com o botão esquerdo. Terá
determinado um segmento AB .
iii.
Na quarta caixa de trabalho, selecione a ferramenta mediatriz. Em seguida
clique sobre o segmento AB .
iv.
Oculte o rótulo a , ajuste o rótulo b para a posição que achar melhor e o
renomeie para “mediatriz”.
v.
Resultado:
Figura 11
11
C.
Construindo e Analisando a Mediatriz
Selecione Novo Ponto (janela 02). Clique sobre a reta mediatriz, criando o
ponto C . Selecione Segmento definido por Dois Pontos (janela 03). Ligue o ponto A
ao ponto C e, ainda com a mesma ferramenta, o ponto B ao ponto C . Selecione
Distância, Comprimento ou Perímetro (janela 08). Com esta ferramenta clique
sobre o segmento AC e depois sobre o segmento BC . Perceba que foi dado o
comprimento de ambos os segmentos.
Pergunta-se: O que se pode concluir sobre estas duas medidas?
5.3. PAR DE PARALELAS
Trata-se do lugar geométrico dos pontos equidistantes e coplanares de uma reta dada.
Conjunto dos pontos
equidistantes da reta dada
Par
de
paralelas
Reta dada
Figura 12
Observação6:
Note que d1=d2.
A.
Caso 1 : Construção com régua e compasso
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
Dados s, A ∀ / A ∉ s ;
( A, r ) / r > d ( A, S ) ⇒ arco α ;
α ∩ s = {Q} ;
(Q, r ) ⇒ β / A ∈ β e β ∩ S = {P};
(Q, r2 = AP) ⇒ θ / θ ∩ α = {B};
AB ≡ t é a paralela procurada ;
t // s .
12
Figura 13
B.
Caso 2 : Construção com régua e compasso
i.
ii.
iii.
iv.
v.
Dados A, s ∀ /A ∉ s ;
Escolher O ∈ s ;
(O, OA) ⇒ α / α ∩ s = {P, Q} ;
(Q, PA) ⇒ θ / θ ∩ α = {B};
AB ≡ t // s .
Figura 14
13
C.
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
Caso 3 : Construção com régua e compasso
Dados A, s ∀ / A ∈ s ;
( A, r1 ) / r1 > d ( A, s ) ⇒ arco α / α ∩ s = {P, Q} ;
mtz ( PQ) ≡ m1 / A ∈ m1 e m1 ∩ s = {E} ;
Escolher F ∀ / F ∈ s e F ≠ E ;
( F , r2 ∀) ⇒ arcoβ / β ∩ s = {R, T } ;
mtz ( RT ) ≡ m 2 / F ∈ m 2 ;
( F , AE ) ⇒ arcoθ / θ ∩ m 2 = {B};
AB ≡ t // s .
Figura 15
D.
Construção com o Software Geogebra
i.
Selecione a ferramenta Reta definida por Dois Pontos (janela 3) e crie uma
reta qualquer.
ii.
Faça um Novo ponto (janela 2) fora da reta.
iii.
Selecione a ferramenta Reta Paralela (janela 4) e clique na reta e no ponto,ou
vice versa. Será gerada a reta paralela à reta dada.
iv.
Resultado:
14
Figura 16
E.
Construindo e Analisando o Par de Paralelas
Sobre a reta paralela que foi gerada crie alguns pontos, utilizando a ferramenta Novo
Ponto (janela 02). Selecione a ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro (janela
08) e clique primeiramente sobre um ponto localizado na reta gerada e depois sobre a reta
dada AB , tal ação dará a distância ente estes dois objetos. Repita este último procedimento
com todos os pontos que criou sobre a reta gerada.
Após estas ações o que é possível concluir sobre as medidas apresentadas?
Observação7:
É importante notar que para o Geogebra Ca, Da, Ea, …
são as medidas da menor distância entre os pontos respectivos e a reta a .
Portanto, embora não esteja evidenciado, o programa também
reconhece a noção de perpendicularidade e de menor distância.
5.4. BISSETRIZ
É o lugar geométrico dos pontos coplanares e equidistantes em relação aos lados de
um ângulo dado, podendo ou não o vértice ser conhecido. Vale destacar que, no caso do
vértice ser desconhecido, a equidistância se mantém em relação às retas concorrentes
conhecidas.
Bissetriz
Vértice
Figura 17
15
Observação8:
Note que os pontos A, B,... da bissetriz
são equidistantes dos lados “a” e “b”
do ângulo dado.
A.
Caso 1: O vértice do ângulo é conhecido. Construção com régua e
compasso.
i.
ii.
AOˆ B ∀ ;
(O, r1 ) / r1∀ ⇒ α / α ∩ OA = {P} e α ∩ OB = {Q} ;
iv.
PQ
⇒β;
2
(Q, r2 ) ⇒ σ / β ∩ σ = {C } ;
v.
OC ≡ btz ( AÔB) 5
iii.
( P, r2 ) / r2 >
Figura 18
B.
Caso 1: Construção com o Software Geogebra
i.
Selecione a ferramenta Semirreta Definida por Dois Pontos (janela 3).
ii.
Na área de trabalho do Geogebra, clique em alugum lugar da tela, será criado o
ponto A ; em seguida clique em outro ponto da tela, será criado um ponto B e
simultaneamente será projetada uma semirreta que começa em A e passa por B .
iii.
Ainda com a mesma ferramenta crie uma semirreta, por um processo
semelhante ao anterior, que comece em A e passe por C qualquer.
iv.
Selecione a ferramenta Bissetriz (janela 4), clique em B , A e C ,
respectivamente. Será gerada a reta bissetriz.
v.
Resultado:
5
“ btz
( AÔB ) ” significa “bissetriz do ângulo AÔB ”.
16
Figura 19
C.
Caso 1: Construindo e Analisando a Bissetriz
Selecione a ferramenta Ângulo (janela 8), clique sobre o ponto C, A e B
respectivamente. Será dada a medida o ângulo BAˆ C . Crie um Novo ponto (janela 2)
interno ao ângulo BAˆ C e sobre a reta Bissetriz. Selecione a ferramenta Ângulo (janela
8), clique sobre o ponto D que foi criado, em A e em B , respectivamente. Ainda com
a ferramenta Ângulo, clique em C , em A e no ponto D que está sobre a Bissetriz.
Percebe-se que foram aferidos os ângulos.
Pergunta-se:
O que se pode afirmar sobre as medidas de CAˆ D e DAˆ B ?
D.
Caso 2: Quando o vértice do ângulo é desconhecido. Ilustração:
O vértice
existe, porém é
desconhecido.
Bissetriz
Figura 20
E.
Caso 2: Construção com régua e compasso
i.
ii.
iii.
u, v ∀ / u × v ;
t1 , t 2 / t1 ∩ u = {A} , t1 ∩ v = {B} , t 2 ∩ u = {C} , t 2 ∩ v = {D};
( A, r1 ) / r1∀ ⇒ α / α ∩ u = {H } e α ∩ t1 = {G};
17
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
ix.
x.
btz (GÂH );
( B, r2 ) / r2 ∀ ⇒ β / β ∩ v = {J } e β ∩ t1 = {I };
btz ( IBˆ J );
(C , r3 ) / r3∀ ⇒ θ / θ ∩ u = {K } e θ ∩ t 2 = {L};
btz ( KCˆ L) ;
( D, r4 ) / r4 ∀ ⇒ λ / λ ∩ v = {M } e λ ∩ t 2 = {N } ;
btz ( MDˆ N ) ;
xii.
btz (GÂH ) ∩ btz ( IBˆ J ) = {E } ;
btz ( KCˆ L) ∩ btz ( MDˆ N ) = {F }
xiii.
EF = btz (u, v)
xi.
Figura 21
F.
Caso 2: Construção com o Software Geogebra
i.
Selecione a ferramenta Reta definida por Dois Pontos (janela 3), crie duas
retas que sejam concorrentes, mas que você não veja onde elas se tocam.
ii.
Selecione a ferramenta Bissetriz (Janela 4) e clique sobre as duas retas, uma de
cada vez. Será gerada a reta Bissetriz (renomeie o rótulo para Bissetriz).
iii.
Resultado:
18
Figura 22
G.
Construindo e Analisando a Bissetriz
Com a ferramenta Novo Ponto (janela 02) crie pontos sobre a reta Bissetriz.
Em seguida, selecione a ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro (janela
08) e clique sobre um ponto “P”, qualquer, da reta bissetriz e sobre a reta a. Será dada
a distância de “P” até a. Ainda com a mesma ferramenta, clique sobre o ponto “P” e
em seguida sobre a reta b. Repita esta sequência de ações para todos os pontos que
criou sobre a reta bissetriz.
O que é possível verificar no final das ações?
5.5. ARCO-CAPAZ
É o lugar geométrico dos pontos de onde segmentos dados, são vistos segundo ângulos
dados.
Segmento
dado
Ângulo
dado
Arco capaz
de ver o ângulo α .
Todos os pontos,
sobre o arco capaz,
veem o segmento
segundo o
AB
ângulo α .
Figura 23
19
A.
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
ix.
Construção com régua e compasso:
AB ∀ ;
Traçar t ∀ / A, C ∈ t ( A ≠ C ) ;
CAˆ B ≡ α ;
( A, r ∀) ⇒ λ / λ ∩ t = {E , F };
mtz ( EF ) ≡ s / s ⊥ t ;
mtz ( AB) ≡ u / u ∩ AB = {M };
u ∩ s = {O};
(O, OA) ⇒ ϕ ;
ϕ é o arco
capaz
de ver
o ângulo
Figura 24
α .
20
B.
Construção com o Software Geogebra
i.
Selecione Segmento definido por Dois Pontos (janela 3);
ii.
Clique em dois pontos distintos da área de trabalho do Geogebra, para criar o
Segmento AB ≡ a ;
Observação 9:
Lembre-se que o Geogebra é um programa
que nomeia os objetos de acordo com a
ordem em que são criados. Por isso,
o segmento AB foi chamado de a .
iii.
Selecione Reta Definida por Dois Pontos (janela 3);
iv.
Clique no ponto A e em um ponto qualquer diferente de A , para criar a reta
AC ≡ b ;
v.
Selecione a ferramenta Ângulo (janela 8) e meça o ângulo ABˆ C ;
Selecione a ferramenta Círculo definido pelo centro e um de seus pontos
vi.
(janela 06), clique no ponto A e em outra parte do plano. Será gerado o Ponto D e
simultaneamente a circunferência “c”.
vii.
Selecione a ferramenta Interseção de Dois objetos (janela 02) e clique sobre a
circunferência c e sobre a reta b. Serão gerados os pontos E e F .
Selecione a ferramenta Mediatriz (janela 04) e clique sobre E e F . Será
viii.
gerada a reta d , mediatriz do segmento EF .
ix.
Selecione a ferramenta Mediatriz (janela 4) e clique sobre o segmento AB ,
para gerar e , a mediatriz do segmento AB ;
Selecione Interseção de Dois Objetos (janela 2) e clique sobre d , e em
x.
seguida, em e ; Será gerado o ponto G;
Selecione a ferramenta Arco circular dados o centro e dois pontos (janela 6)
xi.
e clique sobre G, A e B, respectivamente. Será gerado o lugar geométrico f , tal que
f é o arco capaz de ver o ângulo α .
xii.
Clique com o botão direito sobre f e selecione propriedades.
xiii.
Na Barra de Ferramentas que surgiu, clique em Estilo. Mude a Espessura da
Linha para 5. E mude o Estilo das Linhas para “pontilhado” ( .......). Por último, clique
em Fechar.
Resultado após algumas mudanças das posições dos rótulos:
xiv.
21
Arco capaz
de ver o
ângulo α .
Figura 25
C.
Construindo e Analisando o Arco Capaz
Sobre o Arco Capaz f , crie pontos P “quaisquer” com a ferramenta Novo
Ponto (janela 02). Selecione a ferramenta Ângulo (janela 08) e clique em B, em um
ponto P que criou e em A. Será gerado o ângulo APˆ B . Repita esta ação com todos os
pontos que criou.
Compare os ângulos APˆ B e o ângulo α . Qual a relação entre estes dois
ângulos?
Sugestão: Com o botão direito do mouse clique naqueles objetos ou rótulos que estão deixando a sua
imagem com muita informação e clique em Exibir Objeto ou em Exibir rótulo. Assim você ocultará
aqueles objetos indesejados. Caso oculte algo por engano, pressione Ctrl + Z, para cancelar a ação.
Deixe na sua área de trabalho do Geogebra apenas o segmento dado, o ângulo dado, o arco capaz, os
pontos que criou e os ângulos APˆ B .
22
6. SOLUÇÕES PARA O CONSTRUINDO E ANALISANDO
A. Construindo e Analisando a circunferência
Percebe-se que os
dois segmentos têm a
mesma medida. Provando
de fato que qualquer ponto
sobre λ sempre estará a
uma mesma distância do
centro da circunferência.
Circunferência:
lugar geométrico dos
infinitos pontos coplanares
e equidistantes de um
ponto dado.
Figura 26
B. Construindo e Analisando a Mediatriz
Pode-se concluir
que os segmentos AC e
têm
medidas
BC
equivalentes.
Comprovando
a
definição de Mediatriz.
Mediatriz: É o
conjunto de “infinitos
pontos” coplanares e
equidistantes
dos
extremos
de
um
segmento dado.
Figura 27
23
C. Construindo e Analisando o Par de Paralelas
Percebe-se que a
distância (a menor possível)
entre a reta dada AB e um
ponto da reta paralela gerada
é constante, para qualquer
ponto que esteja localizado
sobre a reta paralela gerada.
Par de Paralelas:
Lugar geométrico dos pontos
equidistantes e coplanares de
uma reta dada.
Figura 28
D. Construindo e Analisando a Bissetriz, Caso 1:
Pode-se concluir
que CAˆ D e DAˆ B são
ângulos congruentes.
Figura 29
E. Construindo e Analisando a Bissetriz, Caso 2:
É
possível
verificar que a distância
(a menor possível) do
ponto “E” até a reta “a”
é igual a distância do
ponto “E” até a reta “b”
e o mesmo acontece
com os pontos “F” e
“G”.
Figura 30
Bissetriz: É o
lugar geométrico dos
pontos
coplanares e
equidistantes
em
relação aos lados de um
ângulo dado.
24
F. Construindo e Analisando o Arco Capaz
Sendo P, uma
representação de qualquer
ponto criado sobre o arco
capaz f , percebe-se que
o
ângulo
é
APˆ B
congruente
à
α.
Confirmando a definição
de Arco Capaz.
Arco-capaz: é o
lugar geométrico dos
pontos de onde segmentos
dados, são vistos segundo
ângulos dados.
Figura 31
7.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Noções de Desenho Geométrico há muito tempo proporciona ao homem melhor
desempenho em suas funções. Existem exemplos simples, porém não menos importantes, que
ilustram como o conhecimento sobre Lugares Geométricos nos ajuda no dia a dia. Por
exemplo, quando pessoas desejam conversar de tal maneira que todas se vejam e se ouçam
claramente elas podem se alocar de modo a formar uma circunferência; seja na construção de
um pequeno logadouro ou na edificação de um “arranha céu”, o construtor encarregado
quando lança mão de conceitos de perpendicularidade (mediatriz), paralelismo (retas
paralelas) e simetria (bissetriz) sempre finda em uma obra mais bela e bem acabada; e mais,
uma sala de cinema pode ser projeta para que as pessoas enxerguem o telão sob um ângulo
qualquer (por exemplo: 30°, 45° ou 60°), percebe-se então o emprego do conceito de ArcoCapaz.
Nesse artigo o Desenho Geométrico, a Álgebra e o Geogebra cada um com sua
peculiariedade, porém jamais auto-excludentes, foram fundidos em prol da produção de um
bom material para o leitor. Assim, o professor que tiver acesso a este material terá a
oportunidade de inspirar-se para a criação de uma aula mais incrementada, onde os sistemas
anteriormente citados possam ser trabalhados com vistas a tornar mais clara a definição e as
propriedades geométricas. Já o estudante tem a oportunidade de reforçar, ou até mesmo
esclarecer, conceitos geométricos que estão em fase de interiorização.
O estudo da Matemática está cada vez mais aperfeiçoado e dinâmico. A simbiose aqui
apresentada entre a régua e o compasso e o software Geogebra mostra que não deve haver
25
distinção entre técnicas passadas e atuais, entre o papel e o digital. Tanto professores quanto
alunos devem agir de modo a abraçar o antigo e o novo.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
AABOE, A. Episódios da história antiga da matemática. 2. Ed, Rio de Janeiro: Sociedade
Brasileira de Matemática, 2002.
BEJARANO, Santos R. W. Sanguino. Resolução de equações com régua e compasso
eletrônico com Cabri II. Universidade Federal da Bahia: II Bienal da SBM, 25 a 29 de
outubro de 2004.
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CARVALHO, João Pitombeira de. Os três problemas clássicos da matemática grega.
Disponível em <http://www.bienasbm.ufba.br/M20.pdf>. Acesso em: 09 de novembro de
2012.
COURANT, Richard; ROBBINS, Herbert E. What is mathematics? Nova York: Oxford
University Press, 1941.
DÖRRIE, H. 100 great problems of elementary mathematics. New York: Dover
Publications, 1965.
EVES, Howard. Tópicos de história da matemática: para uso em sala de aula. São Paulo:
Atual, 1992.
HOHENWARTER, Markus; PREINER, Judith. Short History of GeoGebra. Disponível em
<http://www.maa.org/joma/volume7/hohenwarter/History.html>.Acesso em: 09 de novembro.
PEDROSO, Hermes Antônio; PRECIOSO, Juliana Conceição. O problema da construção
de
polígonos
regulares
de
Euclides
a
Gauss.
Disponível
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<
http://www.portal.famat.ufu.br/sites/famat.ufu.br/files/Anexos/Bookpage/famat_revista_13_ar
tigo_6_0.pdf>. Acesso em 19 de novembro de 2012.
PENEIREIRO, João Batista; SILVA, Maurício Fronza da. Geometria plana e desenho
geométrico. Universidade Federal de Santa Maria, 2008.
26
VARHIDY, Charles G. J. Louis. Desenho geométrico: uma ponte entre a álgebra e a
geometria. Resoluções de equações pelo processo euclidiano. Minas Gerais – Ouro Preto,
Universidade Federal de Ouro Preto, 2010.
WAGNER, Eduardo. Construções geométricas. Coleção do Professor de Matemática. SBM,
2009.
Henrique Guedes Oliveira ([email protected])
Curso de Matemática, Universidade Católica de Brasília
EPCT – QS 07 – Lote 01 – Águas Claras – Taguatinga – CEP.: 72966-700