23º Congresso Brasileiro de Engenharia Sanitária e Ambiental
I-145 – ANÁLISE COMPARATIVA DE METODOLOGIAS DE OTIMIZAÇÃO DE
REDES DE ABASTECIMENTO DE ÁGUA.
Marco Aurélio Holanda de Castro(1)
Engenheiro Civil pela Universidade de Brasília, UNB. Mestre em Recursos Hídricos pela University Of New
Hampshire, UNH, Estados Unidos. Doutorado em Engenharia pela Drexel University, DREXEL, Estados
Unidos.
Luis Henrique Magalhães Costa
Engenheiro Civil pela Universidade Federal do Ceará, UFC. Mestrando em Recursos Hídricos pela UFC.
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RESUMO
Inúmeras metodologias de otimização foram elaboradas no sentido de se obter um dimensionamento
econômico das redes de distribuição de água. Tais redes constituem relevante importância nos grandes setores
da sociedade, pois abastecem pontos de consumo como residências, indústrias, comércios, hospitais, etc.
Neste trabalho, objetivou-se analisar uma metodologia de otimização de redes de abastecimento de água
apresentada por Morgan & Goulter (1985), tendo uma segunda como parâmetro. Foi implementada à
metodologia o software de dimensionamento hidráulico EPANET. O modelo pode ser aplicado ao
dimensionamento de novas redes, assim como na expansão das já existentes, respeitando as exigências
estabelecidas pelas normas técnicas vigentes. Com isso, consegue-se efetuar a implantação de uma rede de
abastecimento a um custo mínimo.
PALAVRAS-CHAVE: Otimização, Redes de Distribuição, EPANET.
INTRODUÇÃO
Nos últimos anos, um grande número de pesquisas tem-se realizado na área de otimização de redes de
distribuição de água. Para atingir este objetivo é necessário o desenvolvimento de duas etapas: o
dimensionamento da rede e a redução dos custos. Não é suficiente apenas resolver hidraulicamente a rede,
mas também encontrar as soluções mais baratas.
O objetivo principal dos diversos métodos de otimização de redes de distribuição de água é encontrar o
sistema de menor custo que atenda aos requerimentos hidráulicos de vazão e pressão nos pontos de consumo.
Com o advento e a disseminação dos computadores a Pesquisa Operacional tem ajudado bastante em tomadas
de decisões em várias áreas, inclusive em aplicações na engenharia hidráulica. A metodologia de otimização
apresentada neste trabalho utiliza-se da Programação Linear.
O presente trabalho visa apresentar uma análise comparativa de metodologias de otimização em redes de
distribuição de água. Será desenvolvida a metodologia apresentada por MORGAN e GOULTER (1985), que
para simplificação será chamado de método de Morgan. Tal metodologia se procede em dois estágios
distintos: o balanceamento hidráulico e os ajustes dos diâmetros através da programação linear, buscando a
solução de menor custo. Terá como referência uma metodologia baseada no Algoritmo Genético apresentado
por Holland (1975), cujo foco principal baseia-se na propagação genética.
METODOLOGIA
O desenvolvimento do método de Morgan é baseado na formulação de um problema de programação linear
unido a um procedimento de equilíbrio hidráulico na rede, visando garantir a consistência hidráulica. A cada
iteração a programação linear tenta reduzir o diâmetro dos trechos tendo como restrições parâmetros obtidos a
partir das variáveis hidráulicas geradas em cada balanceamento.
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As equações de continuidade e da conservação de energia e a relação entre a vazão e perda de carga que
caracterizam o equilíbrio hidráulico da rede, podem ser resolvidas através de vários métodos. No
desenvolvimento do processo de otimização apresentado neste trabalho, o balanceamento hidráulico é
realizado pelo software de domínio público EPANET,desenvolvido pela Agência de Proteção Ambiental dos
Estados Unidos, que utiliza o Método do Gradiente apresentado por Todini (1987).
A partir de uma configuração inicial dos diâmetros das tubulações, novas vazões e pressões são obtidas
através do EPANET. Em seguida utiliza-se a programação linear para determinar os novos diâmetros. Nesta
etapa, o procedimento de otimização tenta reduzir o diâmetro das tubulações, mantendo o equilíbrio
hidráulico. A nova configuração é repassada ao EPANET para obter novas vazões e pressões. O processo é
repetido até que os ajustes dos diâmetros aplicados às novas vazões e pressões sejam os adequados à solução
ótima. A Figura 1 demonstra o esquema do método proposto.
Figura 1: Esquema da Metodologia Proposta.
FORMULAÇÃO DA PROGRAMAÇÃO LINEAR
Função Objetivo:
NL'
Minimizar
∑ (K
jdr.Xjdr
+ Kjds.Xjds)
equação(1)
j=1
Onde:
Kjdr: custo unitário de reposição do trecho j, de diâmetro d para um diâmetro maior representado por r;
Kjds: custo unitário de reposição do trecho j, de diâmetro d para um diâmetro menor representado por s;
Cd: custo unitário do tubo de diâmetro d;
Cr: custo unitário do tubo reposto de diâmetro maior r,
Cs: custo unitário do tubo reposto de diâmetro menor s;
Xjdr e Xjds: Variáveis de decisão, representam o comprimento do tubo de diâmetro d, a ser substituído pelo
tubo de diâmetro r ou s, respectivamente;
NL: representa o número de ligações.
Restrições:
A fim de assegurar o equilíbrio hidráulico da rede, algumas restrições foram inseridas no modelo da
programação linear, como segue:
Restrição de Pressão:
Estas restrições mantêm as exigências mínimas de pressão em cada nó.
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NL'
∑ (W .G
ij
jdr.Xjdr
+ Wij.Gjds.Xjds) ≤ Hi-hi
∀i
equação(2)
j=1
Onde:
Wij: peso atribuído ao trecho j em relação aos seus efeitos no nó i. Para cada restrição, os trechos j assumem
pesos diferentes, pois suas influências são específicas para cada nó. Uma breve descrição do Algoritmo dos
Pesos é demonstrada posteriormente;
Gidr: variação no gradiente hidráulico, no trecho j, causado pela substituição do comprimento unitário do tubo
d pelo tubo de diâmetro maior r;
Gids: variação no gradiente hidráulico, no trecho j, causado pela substituição do comprimento unitário do tubo
d pelo tubo de diâmetro maior s;
Jjd ,Jjr, Jjs: perda de carga unitária, em m/m, para os tubos no trecho j, de diâmetros d, r e s, respectivamente;
Pi: conjunto de caminhos da fonte ao nó i. Cada trecho deve ser contado somente uma vez;
Hi: carga piezométrica mínima admissível;
hi: carga piezométrica inicial.
Restrição de Comprimento:
As restrições de comprimento asseguram que o tubo a ser trocado não terá o comprimento maior que o
existente.
equação(3)
Xjdr ≤ Lj
≤
Xjds Lj
equação(4)
Para trechos com tubulações de diâmetros diferentes, onde L1j e L2j são os comprimentos de menor e maior
diâmetro a serem substituídos. Pode-se considerar a seguinte restrição para cada ligação:
L1j + L2j = Lj
equação(5)
ALGORITMO DOS PESOS
Para cada restrição de pressão, um peso é atribuído a cada ligação j referente ao nó i, sendo representada por
uma matriz Wij. A equação utilizada para determinar Wij, fixando um nó i é representada da seguinte
maneira:
Wij = Wj = (Qj/Im) x Wm
equação(6)
onde,
Qj :fluxo na ligação j;
Im :representa a soma das vazões que chegam ao nó m;
Wm :peso do nó imediatamente a jusante da ligação j.
Pode-se também dizer que o peso do nó m pode ser calculado por:
Wm=
∑
j∈B
Wj
equação(7)
onde B representa o conjunto de vazões que saem do nó m.
DISCUSSÃO DA FORMULAÇÃO
As novas vazões que serão calculadas, através do EPANET, após as devidas variações nos diâmetros das
tubulações ocorridas na programação linear serão utilizadas para determinar os novos pesos das ligações. A
nova configuração é repassada à técnica da programação linear, formando um processo iterativo, até alcançar
a solução ótima.
O critério utilizado pela programação linear para modificar as ligações da rede funciona da seguinte forma: se
as pressões, em algum nó, estiverem inferiores ao mínimo permissível, a tubulação deverá ser substituída por
outra de maior diâmetro. Ao contrário, quando as pressões estiverem acima do mínimo permitido serão
substituídas por outra de diâmetro menor.
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Percebe-se que ao longo do processamento, existem constantes reduções nos diâmetros das ligações em
relação ao inicialmente assumido.
Uma solução ótima é obtida a partir do momento em que as variáveis Xjds e Xjdr apresentam valores iguais a
zero, pois não se verifica ocorrências de modificações nos diâmetros das tubulações da rede. Dessa forma,
atinge-se um dimensionamento econômico ótimo.
Com a finalidade de tornar as atividades dos projetistas de redes de abastecimento de água mais simplificado e
acessível, foi desenvolvido um software denominado UFC4 que unifica o balanceamento hidráulico, efetuado
pelo EPANET, ao processo de otimização supracitado.
Tal fusão é possível devido a capacidade que o EPANET possui de ser incorporado a outros programas e ser
utilizado conforme as necessidades do usuário, pois as rotinas de cálculo estão dispostas em uma biblioteca
(Epanet2.dll) para as linguagens C++ , Delphi, Visual Basic possibilitando a implementação de programas
específicos. Além disso, este software resolve as variáveis hidráulicas da rede quantas vezes forem
necessárias.
A partir de um layout inicial de uma rede inserida no EPANET podemos gerar relatórios que servem de
arquivos de entrada para o software UFC4 iniciando o processo de otimização. A figura 2 apresenta o
fluxograma do procedimento.
Figura 2: Fluxograma do software UFC4.
O mesmo procedimento apresentado no fluxograma acima foi utilizado por ALENCAR (2003) para
desenvolver um software de otimização em redes de abastecimento baseado no Algoritmo Genético.
A partir de um relatório gerado pelo EPANET podemos obter soluções ótimas através destas duas
metodologias. Para efeito de análise tem-se um exemplo do livro de PORTO (1998), uma rede malhada como
mostrada na Figura 3.
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Figura 3: Rede de distribuição malhada – layout inicial (PORTO,1998)
As tabelas 1 e 2 mostram os valores iniciais dos trechos e nós da rede em análise. A tabela 3 apresenta o custo
unitário para cada diâmetro.
Trechos
Comprimento(m)
1
520
2
1850
3
790
4
850
5
850
6
700
7
600
8
650
9
980
Tabela 1: Valores iniciais dos trechos.
Diâmetro(mm)
250
150
125
200
100
100
100
200
100
Vazão (l/s)
40.00
13.98
8.72
26.02
4.74
0.72
1.28
21.02
6.28
Nós
Cons.(l/s)
Pressão(m)
2
0
23.01
3
10
19.20
4
8
17.51
5
5
20.60
6
10
24.85
7
5
15.34
8
2
17.12
Tabela 2: Valores iniciais dos nós.
50
75
100
125
D(mm)
3,54
6,74
12,8
18,4
R$/m
Tabela 3: Valores em R$/metro dos diâmetros.
150
23,41
200
39,24
250
58,52
300
83,12
350
122,15
A pressão mínima requerida pela rede é de 15 mca.
RESULTADOS OBTIDOS
Após a comparação das duas metodologias constata-se que os resultados obtidos pelo Método de Morgan
obtiveram custos inferiores aos obtidos pelo método do Algoritmo Genético, conforme mostra a tabela 4.
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Trecho
Diâmetro (mm)
Morgan
200
150
125
200
75
50
75
200
125
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Total
Tabela 4: Soluções Finais.
Diâmetro (mm)
Alg. Genético
300
200
50
250
150
150
150
200
150
Comprimento
(m)
520
1850
790
850
850
700
600
650
980
Custo (R$)
Morgan
104.000,00
277.500,00
98.750,00
170.000,00
63.750,00
35.000,00
45.000,00
130.000,00
122.500,00
1.046.500,00
Custo (R$)
Alg. Genético
156.000,00
370.000,00
39.500,00
212.500,00
127.500,00
105.000,00
90.000,00
130.000,00
147.000,00
1.377.500,00
Uma das características do Método de Morgan é a possibilidade de secionar uma tubulação em dois diâmetros.
Como tal propriedade não é usual, a equação (5) foi retirada das restrições da programação linear. A solução
ótima obtida através do Método de Morgan encontra-se na figura 4.
Figura 4: Rede de distribuição malhada – solução ótima.
A tabela 5 apresenta a redução do custo total da rede obtido com o Método de Morgan.
Custos - Método de Morgan(R$)
Custos - Algoritmo Genético(R$)
1.046.500,00
1.377.500,00
Redução(%):
24,0
Tabela 5: Resultado Comparativo.
Custos - Rede PORTO(1998)(R$)
1.119.250,00
6,5
CONCLUSÕES
As redes de distribuição de água representam uma grande parcela sobre o custo total de implantação de um
sistema público de abastecimento de água. As soluções adotadas devem conter os critérios especificados pelas
normas e apresentar um investimento mínimo.
Atualmente a grande maioria dos softwares disponíveis para o desenvolvimento de projeto de redes de
abastecimento de água não considera o custo de implantação dos mesmos. No momento de analisar o custo
da obra o engenheiro utiliza outros métodos. A unificação desses dois processos aumentaria
consideravelmente a eficiência no desenvolvimento de projetos de redes de abastecimento de água.
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O software UFC4 apresentado neste trabalho proporciona um suporte computadorizado às decisões de
projetos freqüentemente solicitadas em empresas de distribuição de água ou de irrigação, sejam elas públicas
ou privadas.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1.
2.
3.
4.
5.
6.
LABORATÓRIO NACIONAL DE ENGENHARIA CIVIL, EPANET 2.0 em Português-Manual do
Utilizador,LNEC.Lisboa,2002.
MACULAN FILHO,N; PEREIRA, M.V.F. Programação Linear, Atlas, São Paulo, 1980.
MORGAN,D.R; GOULTER,I.C. Optimal Urban Water Distribution Design. Water Resource Research,
v.21, n.5,p.642-652,1985.
PONTE,V.M.R.Otimização de Redes de Distribuição de Água Aplicando Programação Linear e Não
Linear. Dissertação de mestrado-Faculdade de Engenharia Civil-Universidade Federal do Ceará, 2000.
PORTO,R.M. Hidráulica Básica – EESC/USP, 2ª edição.São Paulo,1998.
ALENCAR,M.F. Otimização de Redes de Distribuição de Água por Algoritmos Genéticos. Dissertação de
mestrado-Faculdade de Engenharia Civil-Universidade Federal do Ceará,2003.
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