Modelagem Matemática no Estudo
do Problema de Ligas Metálicas
O que é uma Liga Metálica?
Uma liga metálica consiste num sólido ou líquido metálico
formado por mistura de dois ou mais elementos.
Na formação de ligas também se podem utilizar pequenas
quantidades de elementos não metálicos (por exemplo, silício,
carbono).
As características da liga metálica resultante são geralmente
melhoradas em relação às características dos metais puros.
.
Objetivo da Aula
Apresentar uma proposta de estudo do assunto programação linear para alunos do
ensino médio, mostrando
sua aplicação em um problema sobre ligas metálicas, desde a modelagem matemática
do problema à solução.
Pretende-se de maneira mais contextualizada e mais aplicada, despertar o interesse
dos alunos, tornando-os mais participativos, e desenvolvendo sua autonomia e
criatividade na resolução de problemas.
Pré-requisitos
O aluno para solucionar os problemas dever conhecer
proporções, regiões geradas por inequações no R², deve
conhecer a teoria da programação linear, incluindo seu
principal teorema e elementos
Problema Motivacional
Pretende-se com esse problema, trabalhar um problema de PPL sobre
ligas metálicas com 2 variáveis, apresentando a solução geométrica e o
Solver (Excel)
Uma metalúrgica deseja maximizar sua receita bruta. A tabela a seguir
ilustra a proporção de cada material na mistura para a obtenção das ligas
passíveis de fabricação, assim como a disponibilidade de cada matéria
prima (em toneladas) e os preços de venda por tonelada de cada liga. Qual
deve ser a quantidade produzida de cada liga?
Solução:
Função Objetivo: Maximizar
F(x,y)= 3000x+5000y
Variáveis de decisão:
x- quantidade da liga 1 (em
toneladas)
y- quantidade da liga 2 (em
toneladas)
As variáveis de decisão
representam quantidades
contínuas.
 Restrições
0,5x+0,2y ≤16
COBRE
0,25 x+ 0,3y ≤ 11 ZINCO
0,25 x+ 0,5 y≤ 15 CHUMBO
x, y ≥0
Solução por Software
Analisando os resultados
PROBLEMA PRINCIPAL – LIGA
METÁLICA
Uma companhia deseja fabricar uma nova liga metálica com 30% de chumbo, 20%
de zinco e 50% de estanho, a partir de minérios procedentes de 5 minas diferentes,
M1, M2, M3, M4, M5. O minério M1 tem 30% de chumbo, 60% de zinco e 10% de
estanho e custa 8,5 reais o quilo. M2 tem 10% de chumbo, 20% de chumbo e 70%
de estanho, custando 6 reais o quilo. O minério M3 tem 50% de chumbo, 20% de
zinco e 30% de estanho, custando 8,0 reais o quilo. O minério M4 tem 10% de
chumbo, 10% de zinco e 80% de estanho, custando 5,7 reais/kg e M5 tem 50% de
chumbo, 10% de zinco e 40% de estanho, custando 8,8 reais/kg. Quais as proporções
dos 5 minérios que devem ser misturadas para produzir a nova liga, com o menor
custo possível?
Modelagem
Restrições
Solução por Software
Dúvidas
Como fazer o gráfico?
O que é o R 5 ?
R5
Ideias a serem discutidas
Modelagem matemática
Número de variáveis
A impossibilidade da solução geométrica
Utilização do software Solver (Excel).
Conclusão
Acreditamos que a utilização da programação linear como
aprofundamento dos assuntos Matrizes e Sistemas Lineares no
Ensino Médio, através da resolução de problemas, pode contribuir
de forma positiva para a formação dos nossos alunos, não somente
sob os aspecto matemático, pois ela contextualiza e aproxima a
matemática da realidade, mas também como ferramenta motivadora
de descoberta, investigação, autonomia, criatividade e superação.