Mestrado – Medicina Veterinária
Estatística
DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS
• Da população X, com parâmetro
θ, retira-se k amostras de tamanho n e
^
calcula-se a estatística . θEstas estatísticas são as estimativas de θ.
• Os valores das estatísticas formarão uma nova população que recebe o nome
de distribuição amostral da estatística.
• A inferência estatística se baseia em tais distribuições, assumindo, portanto,
papel fundamental na análise estatística.
Para exemplificar o comportamento das estatísticas obtidas a partir de k
amostras de tamanho n, vamos desenvolver o seguinte exemplo:
Uma população X tem distribuição uniforme discreta. A variável X assume os
valores 1, 2 e 3. Estamos interessados em retirar todas as amostras possíveis de
tamanho 2 (n=2) com reposição e verificar o comportamento das médias
amostrais.
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CONCEITOS
• - Parâmetro: medida utilizada para descrever uma característica populacional.
Ex: μ, σ
• - Estimador: é uma variável aleatória que é função dos dados amostrais. Ex: é
um estimador de μ
• - Estimativa: é o valor numérico assumido pelo estimador, quando são
substituídos os dados amostrais. Ex: x = 170 cm
• - Inferência estatística: objetivo de inferir propriedades de um agregado maior
(a população) a partir de um conjunto menor (a amostra).
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1
μ: média
σ: desvio-padrão
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2
3
x 1 : média .amostra 1
s 1 : desvio − padrão . 1
x 2 : média .amostra 2
s 2 : desvio − padrão . 2
x 3 : média .amostra 3
s 3 : desvio − padrão . 3
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1
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Distribuições amostrais
Amostras
População
θˆ1
Distribuição
Amostral
θˆ2
θ
θˆ3
...
...
θˆn
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Resumindo o processo:
• a) População com um parâmetro θ .
• b) Retira-se k amostras por um processo aleatório qualquer
• c) Calcula-se o valor θ para cada amostra (1 = 1, 2, . . . , k)
i
• d) Com os valores de das k amostras constrói-se a
θ
distribuição amostral de θ.
i
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Principais Distribuições Amostrais:
•Distribuição amostral da média (distribuição de X ) Æ Z (normal) ou t (tstudent).
•Distribuição amostral da variância Æ qui-quadrado (χ2)
•Distribuição amostral de duas variâncias Æ F (Fisher e Snedecor)
•Distribuição amostral da proporção Æ Z (normal)
2.1. Distribuição amostral da média
Teorema do Limite Central (TLC)
"Se a variável aleatória X possui distribuição qualquer, com média μ e
variância σ2, a média amostral ( X ), baseada em amostras aleatórias de
tamanho n, possuirá distribuição normal aproximada com média das médias
amostrais igual a média da população ( μ x = μ x ) e com a variância das médias
2
amostrais igual a σ 2 = σ ".
X
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n
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OBSERVAÇÕES:
•Maior o n, melhor a aproximação normal.
• n ≥ 30 a aproximação normal é adequada, qualquer que seja a distribuição
populacional
• amostragem sem reposição (n/N > 0,05), deve-se fazer a correção para
população finita e, portanto:
σ x2 =
σ2 N −n
n n −1
Fator de correção
de
população
finita
Em notação estatística tem-se:
X ~ N ( μ X = μ X ; σ 2X =
Pop. Inf.
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σ 2X
)
n
X ~ N ( μ X = μ X ; σ 2X =
σ 2X
n
⎛ N −n⎞
⎜⎜
⎟⎟ )
⎝ N −1 ⎠
Pop. Finita
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Exemplo de Aplicação: Sabe-se que a média de tempo que candidatos a um
determinado emprego gastam para responder um teste psicológico é de
30 minutos, com desvio padrão de 10 minutos.
a) Se selecionarmos um indivíduo qualquer dessa população, qual a
probabilidade que ele gaste entre 25 e 35 minutos para responder ao
teste? (revisão de distribuição normal)
b) Se selecionarmos um grupo de 36 indivíduos dessa população, qual a
probabilidade que a média do tempo gasto pelo grupo seja superior a 32
minutos?
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Distribuição amostral da diferença entre duas médias
para n1 > 30 e n2 >30
( X1 − X 2 ) ~ N ( μ X
1− X2
= μ1 − μ 2 : σ 2X
1− X2
=
σ12 σ 22
)
+
n1
n2
Distribuição amostral da média em pequenas amostras (n
< 30) - Distribuição t – Student
• distribuição t - Student.
t=
X − μX
SX
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Distribuição Amostral de t (Student)
x−μ
2
• Sabe-se que x ~ N ⎛ μ ; σ ,⎞e sua distribuição padronizada é dada por: z = σ
⎜
⎟
⎝
n ⎠
• Em muitas situações não se conhece
σ2
ou σ, mas sim sua estimativa
s2
n
ou s
• Precisamos substituir σ por seu estimador s
• estatística t =
•
x−μ
, a qual segue uma distribuição t de Student com
s
n
(n-1) graus de liberdade.
• Esta estatística é utilizada quando se tem amostras pequenas (n ≤ 30), pois o valor de s2 torna-se
muito variável, ou seja, flutua muito de amostra para amostra
• Nestas situações a distribuição deixa de ser normal padronizada.
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Características da distribuição t
• a) É simétrica em relação a média (semelhante a distribuição de z)
• b) Tem forma campanular. Valores de t dependem da flutuação das
estatísticas média e desvio padrão amostrais e z depende somente
das mudanças da média das amostras
• c) Quando n tende para infinito, a distribuição t tende para a
distribuição normal. Na prática, a aproximação é considerada boa
quando n >30.
• d) Possui n-1 graus de liberdade.
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Condições para utilizar a distribuição de t de Student
• a) O tamanho da amostra é pequeno (n < 30)
• b) σ é desconhecido
• c) A população tem distribuição essencialmente normal.
•A tabela t - Student fornece as probabilidades do valor t ser maior
que um valor específico.
• Depende do número de graus de liberdade (v = n-1)
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Distribuição t de student
0
-∞
t
P (0 < T g < t )
P ( T10 > 2, 764 ) = ?
P ( T10 > 2, 764 ) = 0, 01
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+∞
g
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
50
60
1 20
∞
0 ,1
3 ,0 7 8
1 ,8 8 6
1 ,6 3 8
1 ,5 3 3
1 ,4 7 6
1 ,4 4 0
1 ,4 1 5
1 ,3 9 7
1 ,3 8 3
1 ,3 7 2
1 ,3 6 3
1 ,3 5 6
1 ,3 5 0
1 ,3 4 5
1 ,3 4 1
1 ,3 3 7
1 ,3 3 3
1 ,3 3 0
1 ,3 2 8
1 ,3 2 5
1 ,3 2 3
1 ,3 2 1
1 ,3 1 9
1 ,3 1 8
1 ,3 1 6
1 ,3 1 5
1 ,3 1 4
1 ,3 1 3
1 ,3 1 1
1 ,3 1 0
1 ,3 0 3
1 ,2 9 9
1 ,2 9 6
1 ,2 8 9
1 ,2 8 2
0 ,0 5 0 ,0 2 5 0,0 1 0 ,0 0 5
6 ,3 1 4 12 ,70 6 3 1 ,8 21 6 3 ,6 56
2 ,9 2 0 4 ,30 3 6 ,9 65 9 ,9 25
2 ,3 5 3 3 ,18 2 4 ,5 41 5 ,8 41
2 ,1 3 2 2 ,77 6 3 ,7 47 4 ,6 04
2 ,0 1 5 2 ,57 1 3 ,3 65 4 ,0 32
1 ,9 4 3 2 ,44 7 3 ,1 43 3 ,7 07
1 ,8 9 5 2 ,36 5 2 ,9 98 3 ,4 99
1 ,8 6 0 2 ,30 6 2 ,8 96 3 ,3 55
1 ,8 3 3 2 ,26 2 2 ,8 21 3 ,2 50
1 ,8 1 2 2 ,22 8 2 ,7 64 3 ,1 69
1 ,7 9 6 2 ,20 1 2 ,7 18 3 ,1 06
1 ,7 8 2 2 ,17 9 2 ,6 81 3 ,0 55
1 ,7 7 1 2 ,16 0 2 ,6 50 3 ,0 12
1 ,7 6 1 2 ,14 5 2 ,6 24 2 ,9 77
1 ,7 5 3 2 ,13 1 2 ,6 02 2 ,9 47
1 ,7 4 6 2 ,12 0 2 ,5 83 2 ,9 21
1 ,7 4 0 2 ,11 0 2 ,5 67 2 ,8 98
1 ,7 3 4 2 ,10 1 2 ,5 52 2 ,8 78
1 ,7 2 9 2 ,09 3 2 ,5 39 2 ,8 61
1 ,7 2 5 2 ,08 6 2 ,5 28 2 ,8 45
1 ,7 2 1 2 ,08 0 2 ,5 18 2 ,8 31
1 ,7 1 7 2 ,07 4 2 ,5 08 2 ,8 19
1 ,7 1 4 2 ,06 9 2 ,5 00 2 ,8 07
1 ,7 1 1 2 ,06 4 2 ,4 92 2 ,7 97
1 ,7 0 8 2 ,06 0 2 ,4 85 2 ,7 87
1 ,7 0 6 2 ,05 6 2 ,4 79 2 ,7 79
1 ,7 0 3 2 ,05 2 2 ,4 73 2 ,7 71
1 ,7 0 1 2 ,04 8 2 ,4 67 2 ,7 63
1 ,6 9 9 2 ,04 5 2 ,4 62 2 ,7 56
1 ,6 9 7 2 ,04 2 2 ,4 57 2 ,7 50
1 ,6 8 4 2 ,02 1 2 ,4 23 2 ,7 04
1 ,6 7 6 2 ,00 9 2 ,4 03 2 ,6 78
1 ,6 7 1 2 ,00 0 2 ,3 90 2 ,6 60
1 ,6 5 8 1 ,98 0 2 ,3 58 2 ,6 17
1 ,6 4 5 1 ,96 0 2 ,3 26 2 ,5 76
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Exemplo 1:
Obter os seguintes valores da distribuição t de Student:
a) P (-2,160 < t < a) = 0,95 com 13 g.l.
b) P (a < t < 1,708) = 0,90 com 25 g.l.
c) P (t > a) = 0,05 com 20 g.l.
d) P (t < a) = 0,10 com 9 g.l.
e) P( -2,021 < t< 2,021) =K com 40 g. l.
f) P(t < 2,201) = K com 11 g.l.
g) P(t > -2,132) = K com 4 g. l.
h) P(t > 2,821) = K com 9 g. l.
Exemplo 2:
Uma população tem média 500. Se uma amostra aleatória de tamanho 25
apresenta variância 100, qual a probabilidade de ter:
a) média amostral maior que 502,636?
d) média amostral entre 495,016 e 504,984 ?
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Distribuição amostral para a diferença entre duas médias
para n1 < 30 e /ou n2 < 30.
I)
amostras independentes
estatisticamente iguais.
( X 1 − X 2 ) ~ t( μ X
t=
1− X 2
variâncias
= μ 1 − μ 2 : S X2
( X 1 − X 2 ) − ( μ1 − μ 2 )
1− X 2
Sp =
1
1
+
n1 n 2
Sp
e
populacionais
⎛ 1
1 ⎞
⎟)
= S 2p ⎜⎜
+
n 2 ⎟⎠
⎝ n1
( n1 − 1 ) S 12 + ( n 2 − 1 ) S 22
n1 + n 2 − 2
v = n1 + n2 - 2
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II) Amostras independentes e variâncias populacionais
estatisticamente desiguais.
( X 1 − X 2 ) ~ t( μ X
t=
= μ 1 − μ 2 : S X2
1− X 2
1− X 2
=
S 12
S2
+ 2 )
n1
n2
2
⎛ S 12
S2 ⎞
⎜
+ 2 ⎟
⎜ n1
n 2 ⎟⎠
⎝
V =
( S 12 / n1 ) 2
( S 22 / n 2 ) 2
+
n1 − 1
n2 − 1
( X 1 − X 2 ) − ( μ1 − μ 2 )
S1
S
+ 2
n1
n2
III) amostras dependentes
X
D
~ t( μ X
D
= μ D ; S X2
D
=
S D2
)
n
X D −μX
t=
SX
As diferenças são dadas por:
Di = X1 - X2
D
v = n -1
D
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Distribuição amostral da variância - Distribuição de quiquadrado (χ2)
•
É uma distribuição amostral de variâncias
•
Retira-se uma amostra de n elementos de uma população normal com média
n
μ e variância σ2, teremos a seguinte distribuição
s2 =
∑ (x
i
− x)
i =1
n−1
2
, segue uma
distribuição de χ2 com n-1 graus liberdade , e que:
•
A variável χ 2
=
( n − 1) s 2
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σ
2
tem distribuição χ2 com n-1 graus de liberdade.
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• Os valores de
χ2
não podem ser negativos
• Não é simétrica em χ2 = 0
• quanto maior o tamanho de n, a distribuição tende a
normal.
• Como a curva não é simétrica, então se olha na tabela
dois valores de χ2, quando queremos saber se um valor
está entre 2 limites.
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Distribuição χ2
0
χ t2
+∞
P ( χ g2 > χ t2 )
P ( χ 102 > 3, 25) = ?
P ( χ 102 > 3, 25) = 0, 975
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g
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
50
60
70
80
90
10 0
0,0 05
7 ,88
10 ,60
12 ,84
14 ,86
16 ,75
18 ,55
20 ,28
21 ,95
23 ,59
25 ,19
26 ,76
28 ,30
29 ,82
31 ,32
32 ,80
34 ,27
35 ,72
37 ,16
38 ,58
40 ,00
41 ,40
42 ,80
44 ,18
45 ,56
46 ,93
48 ,29
49 ,64
50 ,99
52 ,34
53 ,67
66 ,77
79 ,49
91 ,95
1 04 ,21
1 16 ,32
1 28 ,30
1 40 ,17
0 ,0 10
6,63
9,21
1 1,34
1 3,28
1 5,09
1 6,81
1 8,48
2 0,09
2 1,67
2 3,21
2 4,72
2 6,22
2 7,69
2 9,14
3 0,58
3 2,00
3 3,41
3 4,81
3 6,19
3 7,57
3 8,93
4 0,29
4 1,64
4 2,98
4 4,31
4 5,64
4 6,96
4 8,28
4 9,59
5 0,89
6 3,69
7 6,15
8 8,38
1 0 0,43
1 1 2,33
1 2 4,12
1 3 5,81
0 ,02 5
5,0 2
7,3 8
9,3 5
1 1,1 4
1 2,8 3
1 4,4 5
1 6,0 1
1 7,5 3
1 9,0 2
2 0,4 8
2 1,9 2
2 3,3 4
2 4,7 4
2 6,1 2
2 7,4 9
2 8,8 5
3 0,1 9
3 1,5 3
3 2,8 5
3 4,1 7
3 5,4 8
3 6,7 8
3 8,0 8
3 9,3 6
4 0,6 5
4 1,9 2
4 3,1 9
4 4,4 6
4 5,7 2
4 6,9 8
5 9,3 4
7 1,4 2
8 3,3 0
9 5,0 2
10 6,6 3
11 8,1 4
12 9,5 6
0,05 0
3 ,84
5 ,99
7 ,81
9 ,49
11 ,0 7
12 ,5 9
14 ,0 7
15 ,5 1
16 ,9 2
18 ,3 1
19 ,6 8
21 ,0 3
22 ,3 6
23 ,6 8
25 ,0 0
26 ,3 0
27 ,5 9
28 ,8 7
30 ,1 4
31 ,4 1
32 ,6 7
33 ,9 2
35 ,1 7
36 ,4 2
37 ,6 5
38 ,8 9
40 ,1 1
41 ,3 4
42 ,5 6
43 ,7 7
55 ,7 6
67 ,5 0
79 ,0 8
90 ,5 3
1 01 ,88
1 13 ,15
1 24 ,34
0 ,1 00
2,71
4,61
6,25
7,78
9,24
1 0,64
1 2,02
1 3,36
1 4,68
1 5,99
1 7,28
1 8,55
1 9,81
2 1,06
2 2,31
2 3,54
2 4,77
2 5,99
2 7,20
2 8,41
2 9,62
3 0,81
3 2,01
3 3,20
3 4,38
3 5,56
3 6,74
3 7,92
3 9,09
4 0,26
5 1,81
6 3,17
7 4,40
8 5,53
9 6,58
1 0 7,57
1 1 8,50
0 ,90 0
0 ,01 6
0,2 1
0,5 8
1,0 6
1,6 1
2,2 0
2,8 3
3,4 9
4,1 7
4,8 7
5,5 8
6,3 0
7,0 4
7,7 9
8,5 5
9,3 1
1 0,0 9
1 0,8 6
1 1,6 5
1 2,4 4
1 3,2 4
1 4,0 4
1 4,8 5
1 5,6 6
1 6,4 7
1 7,2 9
1 8,1 1
1 8,9 4
1 9,7 7
2 0,6 0
2 9,0 5
3 7,6 9
4 6,4 6
5 5,3 3
6 4,2 8
7 3,2 9
8 2,3 6
0,95 0
0 ,0 0 39
0 ,10
0 ,35
0 ,71
1 ,15
1 ,64
2 ,17
2 ,73
3 ,33
3 ,94
4 ,57
5 ,23
5 ,89
6 ,57
7 ,26
7 ,96
8 ,67
9 ,39
10 ,1 2
10 ,8 5
11 ,5 9
12 ,3 4
13 ,0 9
13 ,8 5
14 ,6 1
15 ,3 8
16 ,1 5
16 ,9 3
17 ,7 1
18 ,4 9
26 ,5 1
34 ,7 6
43 ,1 9
51 ,7 4
60 ,3 9
69 ,1 3
77 ,9 3
χ t2
0 ,99 0
0 ,00 01 6
0 ,02 0
0,1 1
0,3 0
0,5 5
0,8 7
1,2 4
1,6 5
2,0 9
2,5 6
3,0 5
3,5 7
4,1 1
4,6 6
5,2 3
5,8 1
6,4 1
7,0 1
7,6 3
8,2 6
8,9 0
9,5 4
1 0,2 0
1 0,8 6
1 1,5 2
1 2,2 0
1 2,8 8
1 3,5 6
1 4,2 6
1 4,9 5
2 2,1 6
2 9,7 1
3 7,4 8
4 5,4 4
5 3,5 4
6 1,7 5
7 0,0 6
0,99 5
0,00 0 04
0,01 0
0,07 2
0 ,2 1
0 ,4 1
0 ,6 8
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1 ,3 4
1 ,7 3
2 ,1 6
2 ,6 0
3 ,0 7
3 ,5 7
4 ,0 7
4 ,6 0
5 ,1 4
5 ,7 0
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6 ,8 4
7 ,4 3
8 ,0 3
8 ,6 4
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9 ,8 9
10 ,5 2
11 ,1 6
11 ,8 1
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20 ,7 1
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Mestrado – Medicina Veterinária
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1,69
2,18
2,70
3,25
3,82
4,40
5,01
5,63
6,26
6,91
7,56
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8,91
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1 0,98
1 1,69
1 2,40
1 3,12
1 3,84
1 4,57
1 5,31
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1 6,79
2 4,43
3 2,36
4 0,48
4 8,76
5 7,15
6 5,65
7 4,22
Estatística
+∞
P ( χ g2 > χ t2 )
P ( χ 102 > 3, 25) = ?
P ( χ 102 > 3, 25) = 0, 975
P ( χ 152 > ?) = 0, 9
P ( χ 152 > 8, 55) = 0, 9
Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães
g
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12 ,84
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34 ,27
35 ,72
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41 ,40
42 ,80
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45 ,56
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52 ,34
53 ,67
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9,21
1 1,34
1 3,28
1 5,09
1 6,81
1 8,48
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1 1 2,33
1 2 4,12
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5,0 2
7,3 8
9,3 5
1 1,1 4
1 2,8 3
1 4,4 5
1 6,0 1
1 7,5 3
1 9,0 2
2 0,4 8
2 1,9 2
2 3,3 4
2 4,7 4
2 6,1 2
2 7,4 9
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3 0,1 9
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3 8,0 8
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4 0,6 5
4 1,9 2
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9 5,0 2
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5 ,99
7 ,81
9 ,49
11 ,0 7
12 ,5 9
14 ,0 7
15 ,5 1
16 ,9 2
18 ,3 1
19 ,6 8
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22 ,3 6
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30 ,1 4
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32 ,6 7
33 ,9 2
35 ,1 7
36 ,4 2
37 ,6 5
38 ,8 9
40 ,1 1
41 ,3 4
42 ,5 6
43 ,7 7
55 ,7 6
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6,25
7,78
9,24
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1 3,36
1 4,68
1 5,99
1 7,28
1 8,55
1 9,81
2 1,06
2 2,31
2 3,54
2 4,77
2 5,99
2 7,20
2 8,41
2 9,62
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3 2,01
3 3,20
3 4,38
3 5,56
3 6,74
3 7,92
3 9,09
4 0,26
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6 3,17
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8 5,53
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1 0 7,57
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0 ,01 6
0,2 1
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1,0 6
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3,4 9
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4,8 7
5,5 8
6,3 0
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8,5 5
9,3 1
1 0,0 9
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1 8,9 4
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16 ,9 3
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18 ,4 9
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43 ,1 9
51 ,7 4
60 ,3 9
69 ,1 3
77 ,9 3
0 ,9 75
0 ,00 10
0 ,0 51
0,22
0,48
0,83
1,24
1,69
2,18
2,70
3,25
3,82
4,40
5,01
5,63
6,26
6,91
7,56
8,23
8,91
9,59
1 0,28
1 0,98
1 1,69
1 2,40
1 3,12
1 3,84
1 4,57
1 5,31
1 6,05
1 6,79
2 4,43
3 2,36
4 0,48
4 8,76
5 7,15
6 5,65
7 4,22
0 ,99 0
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0 ,02 0
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3,0 5
3,5 7
4,1 1
4,6 6
5,2 3
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0,01 0
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0 ,2 1
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3 ,5 7
4 ,0 7
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5 ,7 0
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6 ,8 4
7 ,4 3
8 ,0 3
8 ,6 4
9 ,2 6
9 ,8 9
10 ,5 2
11 ,1 6
11 ,8 1
12 ,4 6
13 ,1 2
13 ,7 9
20 ,7 1
27 ,9 9
35 ,5 3
43 ,2 8
51 ,1 7
59 ,2 0
67 ,3 3
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Mestrado – Medicina Veterinária
Estatística
Exemplo 1: Obter os seguintes valores da distribuição de χ2:
a) P (χ2 > a) = 0,025 com 21 g.l.
b) P (χ2 < a) = 0,025 com 21 g.l.
c) P(χ2 > a) = 0,95 com 15 g. l.
d) P(χ2 > a) = 0,10 com 11 g. l.
e) P (7,26 < χ2 < a) = 0,90 com 15 g.l.
f) P (a < χ2 < 34,17) = 0,95 com 20 g.l.
g) P (19,768 < χ2 < 45,722) = k com 29 g.l.
h) P(χ2 >9,488) = K com 4 g.l.
i) P(χ2 < 30,191) = K com 17 g.l.
j) P(χ2 > 8,343) = K com 9 g
k) P(χ2 < 5,009) = K com 13 g.l.
Exemplo 2 - Um determinado equipamento está programado para apresentar
desvio padrão de 10 unidades. Em uma amostra de 16 testes aplicados a uma
certa população: a)qual a probabilidade de se obter variância maior que 48,407?
b) Se a norma do teste recomendar que se elimine 10% dos testes que
apresentarem as maiores dispersão, qual deve ser o limite aceitável para s2?
Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães
UFU
Mestrado – Medicina Veterinária
Estatística
Distribuição amostral de duas variâncias - Distribuição F.
•É a distribuição utilizada para verificar homogeneidade entre variáveis ou
entre amostras.
•A distribuição da razão entre duas variâncias é chamada de Distribuição F
de Fisher & Snedecor.
•Para se transformar a razão entre duas variâncias amostrais, na estatística F,
utiliza-se da seguinte expressão:
F=
σ22S12
σ12S22
v1= n1 - 1
v2 = n2 - 1
A curva de F é não simétrica, tem origem no zero e apresenta uma tabela
específica para cada valor de probabilidade solicitada (α). As tabelas mais usadas
são: α = 0,10; α = 0,05; α = 0,025; α = 0,01 e α = 0,005.
Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães
UFU
Mestrado – Medicina Veterinária
Estatística
2,5%
0
F
+∞
P ( F g 1 , g 2 > F ) = 0, 025
g2
P ( F15,20 > ?) = 0, 025
P ( F15,20 > 2, 57 ) = 0, 025
Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães
UFU
8
Mestrado – Medicina Veterinária
Estatística
2,5%
0
F
+∞
P ( F g 1 , g 2 > F ) = 0, 025
g2
P ( F25,5 < ?) = 0, 025
P ( F5,25 > ?) = 0, 025
Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães
UFU
Mestrado – Medicina Veterinária
Estatística
2,5%
0
F
+∞
P ( F g 1 , g 2 > F ) = 0, 025
g2
P ( F25,5 < ?) = 0, 025
P ( F5,25 > ?) = 0, 025
P ( F5,25 > 3,13) = 0, 025
1
) = 0, 025
3,13
P ( F25,5 <
P ( F25,5 < 0, 319 ) = 0, 025
Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães
Mestrado – Medicina Veterinária
UFU
Estatística
Exemplo 1: Obter os seguintes valores da distribuição F de Snedecor:
a) P(F > a) = 0,10 com v1 = 5 e v2 = 25 g.l.
b) P(F < a) = 0,90 com n1 = 6 e n2 = 26 g.l.
c) P(F > a) = 0,05 com v1 = 13 e v2 = 29 g.l.
d) P(F > 1,84) = k com v1 = 20 e v2 = 40 g.l.
e) P(F > 1,96) = k com v1 = 40 e v2 = 21 g.l.
g) P(F< 6,37) = k com v1 = 6 e v2 = 8 g. l.
Exemplo 2 - Sabe-se que a variância das alturas de mulheres adultas em uma
população X é de 100 cm2, já a variância das alturas dos homens nesta mesma
população é de 225 cm2. Retira-se, dessa população, uma amostra de 12
mulheres e uma amostra de 16 homens. Qual a probabilidade que a variabilidade
dos homens seja 6,12 maior que a variabilidade das alturas das mulheres?
Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães
UFU
9
Mestrado – Medicina Veterinária
Estatística
Distribuição amostral da proporção
•
Considerando uma população infinita, em que p é a probabilidade
(ou proporção) de certo evento
•
A distribuição amostral de p será:
⎛ pq ⎞
p ~ N ⎜ p ;
⎟; q = 1− p
⎝
n ⎠
•
Caso a amostragem seja realizada sem reposição e a população
seja finita :
⎛ pq N − n ⎞
⋅
p ~ N ⎜ p ;
⎟; q = 1− p
⎝
n N − 1⎠
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Mestrado – Medicina Veterinária
Estatística
Exemplo: Ao se utilizar determinado tipo de tratamento contra câncer, esperase que 70% dos cães tratados obtenham cura. Em uma pesquisa realizada em
um hospital veterinário com 80 cães, qual a probabilidade de obter sucesso
em pelo menos 50?
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Mestrado – Medicina Veterinária
Estatística
Distribuição amostral da diferença entre proporções
•
Supor duas populações infinitas 1 e 2, com proporções p1 e p2.
•
Destas populações retiram-se amostras n1 e n2, então:
•
⎛
pq
p q ⎞
pˆ 1 − pˆ 2 ~ N ⎜⎜ p1 − p 2 ; 1 1 + 2 2 ⎟⎟ ; sendo q = 1 − p
n1
n2 ⎠
⎝
Se a amostragem for realizada sem reposição, e a população for finita, usar o
fator de correção
questão.
Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães
N −n
N −1
multiplicando na variância da população em
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10
Mestrado – Medicina Veterinária
Estatística
Exemplo: As especificações técnicas do medicamento A informa que 95% das
pessoas que fazem uso desse medicamente ficam curadas, já as especificações
do medicamento B diz que 85% dos usuários são curados. Qual a probabilidade
de se realizar uma pesquisa com 100 indivíduos de cada grupo e a diferença
entre as proporções de curados ser de no máximo 5%?
Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães
UFU
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