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Um barco a vapor, que navega com velocidade constante v km/h, consome
0,3 + 0,001 v 3 toneladas de carvão por hora. Calcular:
a) A velocidade que deverá ter num percurso de 1000 km para haver o mínimo consumo;
b) A quantidade de carvão consumida nesta viagem.
Dado do problema
•
c = 0,3 + 0,001 v 3 ton
taxa de consume de carvão:
h
.
Solução
a) O consumo total de carvão (C T) durante a viagem será a taxa de consumo por unidade de
tempo (c) dada no problema multiplicada pelo tempo de duração da viagem (∆t), assim
podemos escrever
CT = c ∆t
(I)
como a velocidade do navio é constante o tempo de viagem pode ser obtido da expressão da
velocidade média
v=
∆x
∆x
⇒ ∆t =
∆t
v
(II)
substituindo o consumo de carvão fornecido no problema e o tempo de viagem obtido de (II) na
expressão (I), temos
(
C T = 0,3 + 0,001 v 3
) ∆vx
para a distância dada no problema (∆ x = 1000 km)
) 1000
v
(
C T = 0,3 + 0,001 v 3 .
300 v 3
+
v
v
300
CT =
+v 2
v
CT =
(III)
Para encontrarmos a velocidade em que o consumo é mínimo devemos derivar a
expressão (III) e impor que ela seja igual a zero
d CT
dv
= −300 v − 2 + 2 v = 0
−
300
+ 2v = 0
v2
2
multiplicando esta expressão por v , obtemos
300
+ 2v = 0
v2
− 300 + 2 v 3 = 0
−
2 v 3 = 300
1
(v )
2
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300
2
v3 =
v 3 = 150
v = 3 150 km/h
Para verificarmos se este é o ponto de mínimo da função calculamos a segunda
derivada
d2x
= 600 v − 3 + 2
2
dt
d2x
dt
d2x
=
dt2
v3
+2
600
(
d2x
2
dt
600
=
2
)
3
+2
3
150
=
600
+2
150
d2x
dt2
=6>0
como a segunda derivada é maior que zero a velocidade encontrada representa mesmo um
ponto de mínimo da função.
b) A quantidade de carvão consumida é obtida substituindo o resultado do item anterior na
expressão (III) para o consumo total
CT =
300
3
150
+
(
3
150
300
2
+ ( 5,3 )
5,3
C T = 56,6 + 28,1
CT =
C T = 84,7 ton
2
)
2