Gráficos e Funções
Alex Oliveira
Allysson Lacerda
Noção de Função
O conceito de função é um dos mais importantes da matemática.
Vejamos alguns exemplos:
o Número de litros de gasolina e preço a pagar.
Números de litros
Preço a pagar
1
2,30
2
4,60
3
6,90
x
2,30x
Nesse caso, temos:
P = 2,30x, lei da função ou fórmula matemática da função.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
2
Noção de Função
o A distância percorrida em função do tempo.
Tempo(h)
1
2
3
t
Distância(km)
90
180
270
90t
Teremos:
D = 90t, lei da função ou equação da função.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
3
Noção de Função
o A máquina de dobrar
Entrada
Dobrar
1
2
3
3,5
5
x
Saída
2
4
6
7
10
2x
o Nesse caso, temos:
O número de saída n é igual a duas vezes o número de
entrada x. A lei da função é n = 2x.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
4
Noção de Função
Observe que em ambos os casos, o preço a
pagar e a distância percorrida são
determinados em função do número de
litros e do tempo, respectivamente. Onde:
o P = 2,30x
P é a variável dependente.
x é a variável independente.
o D = 90t
D é a variável dependente.
t é a variável independente.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
5
Vamos praticar...
Um cabeleireiro cobra R$12,00 pelo corte para clientes com
hora marcada e R$10,00 sem hora marcada. Ele sempre atende
por dia um número fixo de 6 clientes com hora marcada e um
certo número variável de clientes sem hora marcada. Qual a lei
que fornece a quantia Q arrecadada por dia em função de x.
 RESPOSTA: Como o cabeleireiro trabalha com um número fixo de 6
clientes com hora marcada por dia e cada cliente desse tipo paga R$12,00
pelo serviço, há uma arrecadação fixa de R$72,00 (resultado da
multiplicação de 6 por R$12,00). De maneira semelhante, para cada x
clientes sem hora marcada atendidos, como cada um paga R$10,00, ele
arrecada 10x (resultado da multiplicação de x por R$10,00). Perceba que
essa última quantia arrecadada é variável, pois depende do número de
clientes atendidos sem hora marcada. Portanto, se chamarmos de Q a
quantia total arrecadada, a lei da função que representa a quantia
arrecadada em relação a um certo número x de clientes sem hora marcada
é obtida pela soma das quantias variável e fixa, ou seja:
Q = 10x + 72
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
6
Vamos praticar...
• Qual a quantia arrecadada num dia em
que foram atendidos 16 clientes?
Q = 10.10 + 12.6  Q = 100 + 72  Q = 172
A quantia arrecadada neste dia foi R$172,00.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
7
Vamos praticar...
• Qual foi o número de clientes atendidos num
dia em que foram arrecadados R$212,00?
O x representa a quantidade de clientes sem hora
marcada, logo o número de clientes atendidos será
a quantidade fixa de clientes com hora marcada
mais a quantidade de clientes sem hora marcada.
212 = 10x + 72  10x = 212 - 72  10x = 140
 x = 140/10  x = 14 (quatorze sem hora marcada)
C = 14 + 6  C = 20
20 clientes no total foram atendidos nesse dia.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
8
Noção de função em conjuntos
Vejamos a noção de função junto à nomenclatura de
conjuntos. Exemplo:
• Dados A e B, usando o diagrama de flechas devemos associar
cada elemento de A a seu triplo em B.
-1.
0.
1.
2.
A
. -6
xA
yB
. -3
-1
-3
.0
0
0
.3
1
3
2
6
.6
B
Nesse caso, temos uma função de A em B, expressa por y = 3x.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
9
Noção de função em conjuntos
Observa-se que para que tenhamos uma
função de A em B:
• Todos os elementos de A têm correspondentes
em B;
• A cada elemento de A corresponde um único
elemento em B.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
10
Vamos praticar...
Dados os conjuntos A e B, determine quais representam
uma função de A em B.
A
A
B
-2.
.0
-1.
.1
0.
.4
1.
.8
2.
.16
B
2.
.1
5.
.0
10.
.2
20.
A
0.
B
.2
.3
4.
.5
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
11
Vamos praticar...
Analisaremos o diagrama de flechas abaixo:
A
-2.
.0
-1.
.1
0.
.4
1.
.8
2.
.16
B
o Observamos que para os elemento de A, há um
correspondente em B.
o A cada elemento de A corresponde um único elemento de B.
Observamos que há elementos em B que tem 2
correspondentes em A, mas isso não é problema. Logo,
temos uma função de A em B.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
12
Vamos praticar...
Trataremos o diagrama de flechas abaixo:
A
B
2.
.1
5.
.0
10.
.2
20.
o Observamos que para os elemento de A, há um
correspondente em B.
o A cada elemento de A corresponde um único elemento de B.
Observamos que há um elemento em B que tem 3
correspondentes em A, mas isso não é problema. Logo,
temos uma função de A em B.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
13
Vamos praticar...
Analisaremos o diagrama de flechas abaixo:
A
0.
B
.2
.3
4.
.5
o Observamos que para os elemento de A, há um
correspondente em B.
o Entretanto, há um elemento de A que corresponde a
mais de um único elemento de B. Sendo assim,
essa característica NÃO permite existir uma função de
A em B.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
14
Vamos praticar...
Podemos concluir então que:
A
-2.
.0
-1.
.1
0.
.4
1.
.8
2.
.16
B
A
B
2.
.1
5.
.0
10.
.2
20.
É uma função
É uma função
A
B
.2
0.
.3
4.
.5
Não é uma função
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
15
Domínio
Dada uma função f de A em B, o conjunto A
chama-se domínio da função, pois representa
as entradas para a função f. Ou seja, os
valores que podem ser usados na função. O
domínio da função indicaremos por D(f).
0.
.0
.1
1.
.2
.3
2.
.4
.5
3.
.6
A
B
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
16
Contradomínio
Dada uma função f de A em B, o conjunto B chama-se
contradomínio da função, pois representa as possíveis
saídas para a função f. Ou seja, os possíveis
resultados para quando aplicamos um valor do x do
domínio na função. O contradomínio da função
indicaremos por CD(f).
0.
.0
.1
1.
.2
.3
2.
.4
.5
3.
.6
A
B
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
17
Imagem
Dada uma função f de A em B, o conjunto de todos
os valores de y obtidos através de x é chamado de
conjunto imagem da função f. Ou seja, ele é o
resultado de f(x), que representa os valores reais
obtidos quando aplicamos um x do domínio na
função e é indicado por Im(f).
0.
.0
.1
1.
.2
.3
2.
.4
.5
3.
.6
A
B
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
18
Componentes de uma função
Para caracterizar uma função é necessário
conhecer seus três componentes: o domínio
A, o contradomínio B e a regra que associa
cada elemento de A apenas a um único
elemento y = f(x) de B.
Nos dados anteriores, o domínio é A = {0; 1;
2; 3}, o contradomínio é B = {0; 1; 2; 3; 4; 5;
6}, a regra é dada por y = 2x e o conjunto
imagem é dado por Im(f) = {0; 2; 4; 6}.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
19
Vamos praticar...
Considere g uma função de A em B, para a
qual A = {1; 3; 4}, B = {3; 9; 12} e g(x) é o triplo
de x para todos x  A.
• Construa o diagrama de flechas da função;
1.
.3
3.
.9
4.
.12
A
B
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
20
Vamos praticar...
•
Determine D(g), CD(g) e Im(g);
o
De acordo com o diagrama de flechas dado, o conjunto A representa o
conjunto de todos os valores reais de x que podem ser aplicados na
função, caracterizando-se assim o domínio. Logo, D(g) = {1; 3; 4}.
o
De forma semelhante, o conjunto B representa o conjunto de todos os
possíveis valores que podem ser resultados da aplicação de x na
função, caracterizando-se assim o contradomínio. Logo, CD(g) = {3; 9;
12}.
o
Obtemos o conjunto imagem através da aplicação dos valores de x do
domínio da função em g. Como g(x) = 3x, aplicando:
o x = 1, g(1) = 3.1  g(1) = 3
o x = 3, g(3) = 3.3  g(3) = 9
o x = 4, g(4) = 3.4  g(4) = 12
Assim, Im(g) = {3; 9; 12}
Perceba que, neste caso, o conjunto imagem da função é igual ao
contradomínio. Isto nem sempre é verdadeiro, apenas em casos especiais
como este!
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
21
Vamos praticar...
• Determine g(3);
Como g(x) = 3x, então para g(3), usa-se x = 3,
pois o 3 representa o valor que substituirá x,
assim:
g(3) = 3.3  g(3) = 9
• Determine x para o qual g(x) = 12.
Como g(x) = 3x, e segundo o enunciado para
g(x) utilizaremos 12, então:
g(x) = 3x  12 = 3x  x = 12/3  x = 4
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
22
Funções definidas por fórmulas
• No início vimos uma correspondência
entre o número de litros e o preço a pagar
expressa por:
P = 2,30x
• Essa função pode ser expressa pela
fórmula matemática:
y = 2,30x ou f(x) = 2,30x
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
23
Funções definidas por fórmulas
Numa indústria, o custo operacional de uma
mercadoria é composto de um custo fixo de
R$300,00 mais um custo variável de R$0,50 por
unidade fabricada. Vamos expressar, por meio de
uma fórmula matemática, a função do custo
operacional.
o Seja f(x) o custo operacional de uma mercadoria e x o
número de unidades fabricadas. Como a indústria
cobra um custo de R$0,50 por unidade fabricada, o
custo para x unidades fabricadas é 0,50x (o produto).
Ela também cobra uma custo fixo de R$300,00 na
fabricação. Assim, o custo operacional é dado soma
da parte variável com a fixa, f(x) = 0,50x + 300.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
24
Vamos praticar...
Uma firma que conserta televisores cobra uma
taxa fixa de R$40,00 de visita e mais R$20,00,
por hora de mão de obra. Então o preço que se
deve pagar pelo conserto de um televisor é
dado em função do número de horas de
trabalho. Determine essa função.
o Seja f(x) o preço a ser pago pelo conserto do televisor e
x o número de horas trabalhadas. Como a firma cobra
R$20,00 por hora trabalhada, o custo para x horas
trabalhadas é de 20x (o produto). Há também uma taxa
fixa de R$40,00 de visita. Logo, o custo total é dado pela
soma da parte variável com a fixa, f(x) = 20x + 40
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
25
Vamos praticar...
Dada uma função cuja lei envolve mais de uma sentença
3𝑥 + 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≤ 2
f(x) =
. Vamos determinar:
𝑥2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 2
•
f(5)
Para f(5), utilizaremos x = 5, pois o 5 representa o valor que substituirá x,
como 5 > 2 utilizaremos a segunda sentença, ou seja, x2. Assim:
f(x) = x2  f(5) = 52f(5) = 25
•
f(0)
Para f(0), utilizaremos x = 0, pois o 0 representa o valor que substituirá x,
como 0  2 utilizaremos a primeira sentença, ou seja, 3x + 1. Assim:
f(x) = 3x + 1  f(0) = 3.0 + 1  f(0) = 1
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
26
Vamos praticar...
• f
5
2
5
𝟓
𝟓
Para f , utilizaremos x = , pois o representa o valor que
2
𝟐
𝟐
𝟓
substituirá x, como = 2,5; e 2,5  2 utilizaremos a segunda
𝟐
sentença, ou seja, x2. Assim:
f(x) = x2  f
• f
1
3
5
2
5 2

2
=
5
2
f
1
=
25
4
𝟏
𝟏
Para f , utilizaremos x = , pois o representa o valor que
3
𝟑
𝟑
𝟏
substituirá x, como  0,3; e 0,3 ≤ 2 utilizaremos a primeira
𝟑
sentença, ou seja, 3x + 1. Assim:
f(x) = 3x + 1  f
1
3
= 3.
1
3
+1f
1
3
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
= 1+ 1  f
1
3
=2
27
Domínio de uma função real
Vimos que em uma função há três
componentes: domínio, contradomínio e
lei da função.
Às vezes, porém, é dada somente a lei da
função, sem que A e B sejam citados. Assim
para que possamos usar algum valor na
função é necessário saber se ele pertence
ao domínio da função.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
28
Domínio de uma função real
Vejamos alguns exemplos:
• f(x) =
1
𝑥
1
𝑥
só é possível se x  0, pois não existe divisão
por 0.
Assim, 0 (zero) não pode fazer parte do
domínio. Logo, D(f) = R – {0} = R*
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
29
Domínio de uma função real
• g(x) = 3 − 𝑥
3 − 𝑥 só é possível se 3 – x  0, pois não há
raiz quadrada de número negativo.
3 – x  0  -x  - 3  x  3.
Assim, x  3 é o domínio da função. Portanto,
D(f) = {x  R | x  3}
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
30
Domínio de uma função real
• h(x) =
7 −𝑥
𝑥 −2
7 − 𝑥 só é possível se 7 – x  0, pois não há
raiz quadrada de número negativo.
7 – x  0  - x  - 7  x  7.
𝑥 − 2 só é possível se x - 2 0, pois não há
raiz quadrada de número negativo e como
𝑥 − 2 é o denominador ele não pode ser nulo.
x - 2  0  x 2.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
31
Domínio de uma função real
• Devemos considerar o intervalo que satisfaz a
ambas ao mesmo tempo. Então faremos a
intersecção de x  7 e x  2.
7
7 −𝑥
2
𝑥 −2
7 −𝑥
2
7
𝑥 −2
• Assim, teremos como domínio o intervalo (2, 7] ou
2  x  7.
• Logo, D(f) = {x  R | 2  x  7}
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
32
Vamos praticar...
Explicite o domínio das seguintes funções:
• f(x) =
1
𝑥 −6
Para que a função dada possa existir, o denominador
x – 6  0, pois não existe divisão por ZERO.
Logo, x – 6  0  x  6. D(f) = {x  R | x  6}
• y=
𝑥+1
𝑥
Para que a função dada anteriormente possa existir o
denominador x  0, pois não existe divisão por ZERO.
Logo, x  0. D(f) = {x  R | x  0} ou R*
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
33
Vamos praticar...
• y=
3
𝑥
Dada a função, para qualquer que seja o x
existe um valor para sua raiz cúbica, pois tanto
para valores positivos quanto negativos a raiz
cúbica nos retorna um resultado. Sendo
diferente da raiz quadrada, que só retorna
resultado quando trata de valores positivos ou
nulo.
Logo, D(f) = {x  R} ou R
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
34
Vamos praticar...
• g(x) =
𝑥 −2
𝑥 −3
x – 2  0  x  2.
x – 3  0  x 3.
𝑥 −2
2
3
𝑥 −3
𝑥 −2
𝑥 −3
2
3
Logo, o domínio da função é x  2 e x  3.
D(g) = {x  R | x  2 e x  3}
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
35
Para que serve mesmo o domínio de uma função?
Como vimos o domínio de uma função representa as
entradas para a função, ou seja, os valores que podem ser
usados na função. Façamos um paralelo entre essa
definição e nossas experiências cotidianas. Por exemplo:
Se imaginarmos f como sendo um liquidificador, e usarmos
x como sendo frutas, esse liquidificador poderá nos retorna
um resultado f(x), então essas frutas (x) fazem parte do
domínio da função (liquidificador).
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
36
Para que serve mesmo o domínio de uma função?
Entretanto, se usarmos uma pedra (x) a
função liquidificador não poderá processar
esse x (pedra), NÃO sendo possível obter
f(x). Sendo assim, o x (pedra) não faz parte
do domínio da função (liquidificador).

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
37
Para que serve mesmo o domínio de uma função?
Concluímos então que, o domínio de uma
função serve para sabermos que
valores x podem ser usados na
função f para obtermos f(x).
Exercendo,
assim,
uma
importância
fundamental no estudo de funções.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
38
Gráficos
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
39
Gráfico de uma função
• Em livros, revistas e jornais frequentemente
encontramos gráficos e tabelas que
procuram
retratar
uma
determinada
situação.
• Esses gráficos e tabelas, em geral,
representam FUNÇÕES, e por meio deles
podemos obter informações sobre a
situação que retratam, bem como sobre as
funções que representam.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
40
Gráfico de uma função: Definições
1. O Gráfico facilita à análise de dados,
que, muitas vezes, estão dispostos em
planilhas ou tabelas complexas.
2. Gráficos, consiste em recursos visuais
que facilitam a compreensão dos dados
expostos.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
41
Gráfico de uma função
• O gráfico de uma função auxilia na análise
da variação de duas (ou mais) grandezas
quando uma depende da outra.
• Analisemos o gráfico a seguir um gráfico
que mostra pontos de consumo de água
em uma residência (em porcentagem).
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
42
Analisando gráficos
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
43
Analisando gráficos
Analisando o gráfico, vemos que:
• O lavatório e o tanque consomem a mesma
quantidade de água;
• A bacia sanitária consome aproximadamente 5
vezes mais água do que o tanque;
• A bacia sanitária e o chuveiro são os que mais
consomem água;
• Desta lista, a máquina de lavar louças é o
aparelho que menos consome água.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
44
Vamos Praticar?
(Adaptado de Enem 2007) Explosões solares emitem
radiações eletromagnéticas muito intensas e ejetam,
para o espaço, partículas carregadas de alta energia,
o que provoca efeitos danosos na Terra. O gráfico
seguinte mostra o tempo transcorrido desde a
primeira detecção de uma explosão solar até a
chegada dos diferentes tipos de perturbação e seus
respectivos efeitos na Terra.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
45
Vamos Praticar?
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
46
Vamos Praticar?
Considerando-se o gráfico, é correto afirmar que a
perturbação por ondas de rádio geradas em uma
explosão solar:
a) dura mais que uma tempestade magnética.
b) chega à Terra dez dias antes do plasma solar.
c) chega à Terra depois da perturbação por raios X.
d) tem duração maior que a da perturbação por
raios X.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
47
Resolução
a)
Duração inferior à 10 h
Duração de, aproximadamente10 dias
FALSA! Podemos perceber que a duração T das ondas
de rádio é tal que 1min<T<10h e a tempestade magnética
tem duração de, aproximadamente, dez dias.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
48
Resolução
ATENÇÃO!
Percebe-se, que este item ressalta a necessidade
de sabermos analisar gráficos que NÃO ESTÃO EM
ESCALA, deixando assim de confiarmos apenas na
nossa percepção visual de comprimento, e
passando analisar cuidadosamente todas as
informações de um gráfico!
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
49
Resolução
b)
Diferença na Chegada é um pouco maior que 1 dia!
FALSA! Pelo esquema acima, analisando cuidadosamente o
eixo horizontal do gráfico percebemos que as perturbações
por ondas de rádio chegam na Terra, aproximadamente, um
dia antes do plasma solar.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
50
Resolução
c)
Diferença na Chegada é menor que 1 minuto!
FALSA! Pode-se perceber pelo esquema acima
que as perturbações por ondas de rádio e de raios
X chegam, praticamente, simultaneamente à Terra.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
51
Resolução
d)
Duração de pouco mais
de 10 min.
Duração superior à 1h.
d) VERDADEIRA. Percebam que a perturbação por raio X tem
duração de pouco mais de dez minutos, enquanto as
perturbações por ondas de raio dura algumas horas.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
52
Coordenadas cartesianas
• A notação (a,b) é usada para indicar o par
ordenado de números reais a e b, no qual o
número a é a primeira coordenada e o
número b é a segunda coordenada.
• Observe que os pares ordenados (3;4) e
(4;3) são diferentes, pois a primeira
coordenada de (3;4) é 3, enquanto a
primeira coordenada de (4;3) é 4.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
53
Sistema de Eixos Ortogonais
• Um sistema de eixos ortogonais é
constituído por dois eixos perpendiculares,
Ox e Oy, que têm a mesma origem O.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
54
Sistema de Eixos Ortogonais
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
55
Sistema de Eixos Ortogonais
• Damos o nome de plano cartesiano a um
plano munido de um sistema de eixos
ortogonais.
• Os eixos ortogonais dividem o plano
cartesiano em quatro regiões chamadas
quadrantes. A figura a seguir ilustra melhor a
noção de quadrante.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
56
Sistema de Eixos Ortogonais
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
57
Sistema de Eixos Ortogonais
• Usamos esse sistema para localizar pontos
no plano. Dado um ponto P desse plano,
dizemos que os números a e b são as
coordenadas cartesianas do ponto P, em
que a é a abscissa e b é a ordenada.
• Por exemplo, vamos localizar em um plano
cartesiano os pontos A(4;1), B(1;4), C(-2;-3),
D(2;-2), E(-1;0).
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
58
Sistema de Eixos Ortogonais
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
59
Construção de Gráficos de Funções
Para construirmos o gráfico de uma função
dada por y=f(x), com x ϵ D(f), no plano
cartesiano devemos:
1. Construir uma tabela com valores de x e y;
2. A cada par ordenado da tabela associar um
ponto do plano cartesiano;
3. Marcar o número suficiente de pontos, até
que seja possível esboçar o gráfico da
função.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
60
Exemplos
Vamos construir o gráfico da função dada por f(x)
= 2x+1, sendo o domínio D=(0,1,2,3,4).
Façamos uma tabelados valores de x e f(x), para
termos uma noção do comportamento da função.
x
y = f(x)
0
1
2
3
4
1
3
5
7
9
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
61
Exemplos
• Diante dos valores
da tabela podemos
construir o gráfico
de f (gráfico ao
lado).
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
62
Exemplos
Vamos construir o gráfico da função dada por
f(x) = 2x+1, sendo o domínio D = IR.
Façamos uma tabelados valores de x e f(x),
para termos uma noção do comportamento da
função.
x
y=f(x)
-2
-3
-1
-1
0
1
1
3
2
5
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
63
Exemplos
• Diante dos valores
da tabela podemos
construir o gráfico
de f (gráfico ao
lado).
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
64
Construção de Gráficos de Funções
R= Os domínios são diferentes
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
65
Vamos Praticar?
(Enem 2007. Adaptado) O gráfico da página
seguinte, obtido a partir de dados do Ministério
do Meio Ambiente, mostra o crescimento do
número de espécies da fauna brasileira
ameaçadas de extinção.
Se mantida, pelos próximos anos, a tendência
de crescimento mostrada neste gráfico, o
número de espécies ameaçadas de extinção em
2011 será igual a:
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
66
Vamos Praticar?
Alternativas:
a) 465.
b) 493.
c) 498.
d) 538.
e) 699.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
67
Resposta
Se observarmos o comportamento do gráfico,
notaremos que este pode ser modelado por uma
função do 1º grau, da forma f(x) = ax+b.
Admitindo f(x) como o número de espécies
ameaçadas de extinção, e x como seus
respectivos anos. Podemos escrever a equação
da reta que passa por dois pontos: P1(1983;239)
e P2(2007;461).
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
68
Resposta
A partir destes dados podemos formar um
sistema de equações. Como f(x) = ax+b.
239  1983a  b L1
461  2007a  b L2
Vamos resolver este sistema 2X2:
L2 = L2 - L1
222=24a
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
a=9,25
69
Resposta
Como já descobrimos o valor de a, podemos
encontrar, facilmente, o valor de b:
L1
239=1983*9,25+b
b = - 18103,75
Desta forma a função que procurávamos é:
f(x)=9,25x-18103,75.
Basta descobrir o valor de f(2011):
f(2011) = 9,25*2011-18103,75 = 498
Logo a alternativa correta é a C
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
70
Função Crescente e Decrescente
De modo geral, analisando o gráfico de uma
função, podemos observar propriedades
importantes dela, tais como:
1. Onde ela é positiva (f(x)>0), onde ela é
negativa (f(x)<0) e onde ela se anula
(f(x)=0). Os valores de x nos quais ela se
anula (f(x)=0) são chamados de zero da
função f.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
71
Função Crescente e Decrescente
2. Onde ela é crescente (se x1<x2, então
f(x1)<f(x2)), onde ela é Decrescente (se
x1<x2, então f(x1)>f(x2)) e onde ela assume
um valor máximo ou um mínimo, se
existirem. Por exemplo, vamos considerar
o gráfico seguinte e analisá-lo no intervalo
(-6, 6).
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
72
Função Crescente e Decrescente
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
73
Analisando o Gráfico
 f é positiva em (-5,-1) e em (5,6);
 f é negativa em (-6,-5) e em (-1,5);
 f é nula em x=-5, x=-1 e x=5. Esses são os zeros
da função
 f é crescente em (-6,-3] e em [2,6);
 f é decrescente em [-3,2];
 O ponto com x=-3 é um ponto de máximo e f(x)=2 é
o valor máximo de f;
 O ponto com x=2 é um ponto de mínimo e f(x) = -3
é o valor mínimo de f.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
74
Vamos Praticar?
• Um rapaz desafia seu pai para uma
corrida de 100m. O pai permite que o filho
comece 30 m à sua frente. Um gráfico
bastante simplificado dessa corrida é dado
a seguir:
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
75
Vamos Praticar?
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
76
Vamos Praticar?
• Pelo gráfico, quem ganhou a corrida e
qual foi a diferença de tempo?
O pai chegou, aproximadamente, 14s após a largada
O garoto chegou, aproximadamente, 17s após a
largada
R= Portanto o Pai
Ganhou a corrida com
3s de diferença!
Esta linha verde representa a corrida garoto, pois no tempo inicial a distância vale 30m
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
77
Vamos Praticar?
• A que distância do início o pai alcançou
seu filho?
70m
R= Como a ordenada do
ponto de intersecção
vale 70 m, logo o pai
ultrapassou o garoto
nesta distância.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
78
Vamos Praticar?
• Em que momento depois do início da
corrida ocorreu a ultrapassagem?
R= Como a abscissa do
ponto de intersecção
vale 10s, logo o pai
ultrapassou o garoto
neste momento.
10s
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
79
Gráficos no Enem!
Gráfico de Setores/ Pizza
Vendas
1º Tri
•
O ângulo central de cada setor
está relacionado com a frequência
relativa de cada variável.
2º Tri
3º Tri
4º Tri
•
A
circunferência
(360º)
corresponderá a 100% da frenquência
relativa.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
80
Gráficos no Enem!
6
Gráfico de linhas
4
Série 1
2
Série 2
Série 3
0
1
2
3
4
•
Esses
Gráficos
são
muito
usados
principalmente para mostrar a evolução das
frequências dos valores de uma variável durante
um certo período.
•
A posição de cada segmento indica se
ocorreu crescimento, decréscimo ou estabilidade.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
81
Gráficos no Enem!
Gráfico de barras
•
Este
gráfico
é
normalmente usado para
comparar as frequências dos
valores de uma mesma
variável em um período
estabelecido.
•
2
Série 3
Série 2
Série 1
1
0
2
4
6
Esse é um dos Gráficos que mais aparecem na prova do ENEM.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
82
Para treinar mais...
Caiu no Enem- (Adaptado)
Essa era uma questão referente à uma pesquisa eleitoral.
Ela pedia apenas que calculasse o ângulo central referente
ao candidato Brizola.
1%
6%
Brizola
10%
Brancos e nulos
47%
14%
Basta
calcular
a
porcentagem de 360°:
Bittar
Resposta
Nelson
Ronaldo
22%
Jussara
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
83
Para treinar mais...
(ENEM 2009 - Questão 136 – Prova Azul)
Dados
da
Associação
Nacional
de
Empresas
de Transportes Urbanos (ANTU) mostram que o número de
passageiros transportados mensalmente nas principais
regiões
metropolitanas
do
país
vem
caindo
sistematicamente. Eram 476,7 milhões de passageiros em
1995, e esse número caiu para 321,9 milhões em abril de
2001. Nesse período, o tamanho da frota de veículos
mudou pouco, tendo no final de 2008 praticamente o
mesmo tamanho que tinha em 2001.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
84
Para treinar mais...
O gráfico a seguir mostra um índice de produtividade utilizado
pelas empresas do setor, que é a razão entre o total de
passageiros transportados por dia e o tamanho da frota de
veículos.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
85
Para treinar mais...
Supondo
que
as
frotas
totais
de
veículos
naquelas regiões metropolitanas em abril de 2001 e
em outubro de 2008 eram do mesmo tamanho, os dados
do gráfico permitem inferir que o total de passageiros
transportados no mês de outubro de 2008 foi
aproximadamente igual a:
a) 355 milhões
b) 400 milhões
c) 426 milhões
d) 441 milhões
e) 477 milhões
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
86
Resolução
Segundo o enunciado, o número de passageiros era 321,9
milhões em abril de 2001 e de acordo com o Gráfico neste
mesmo período tínhamos 400 passageiros transportados
por veículos.
Em outubro de 2008 o número de passageiros
transportados por veículos foi para 441. Precimaos
descobrir qual foi o número de passageiros nesse período.
Como o enunciado afirma que o tamanho da frota de
veículos mudou pouco, tendo no final de 2008
praticamente o mesmo tamanho que tinha em 2001. Basta
montar uma Regra de Três Simples.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
87
Resolução
Nº de passageiros p/ veículo Nº de passageiros (milhões)
400
441
321,9
x
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
88
Para treinar mais...
ENEM 2010 - Questão 166 – Prova Rosa
Em sete de abril de 2004, um jornal publicou o ranking de
desmatamento,
conforme gráfico, da
Chamada Amazônia
Legal, integrada por
nove estados.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
89
Para treinar mais...
Considerando-se que até 2009 o desmatamento cresceu
10,5%
em
relação
aos
dados
de
2004,
o
desmatamento médio por estado em 2009 está entre
A) 100 km² e 900 km²
B) 1000 km² e 2700 km²
C) 2800 km² e 3200 km²
D) 3300 km² e 4000 km²
E) 4100 km² e 5800 km²
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
90
Resolução
2004
Desmatamento total: 23750 Km²
2009 -> 100% + 10,5%= 110,5% de 23750 Km²=
110,5 . 23750 Km²
100
26243,75 Km²
26243,75
9
29,16 Km²
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
91
Referências
• DANTE, L. R. Matemática: Ensino Médio. 1.ed. São Paulo:
Ática, 2004.
• NIEDERAUER,J.Z.
Funções.
Disponível
em:
<
http://www.somatematica.com.br/zips/funcoes1.zip>. Acesso
em:19 maio 2012.
_______. Função. Disponível em: <
http://www.matematicadidatica.com.br/Funcao.aspx >. Acesso
em:19 maio 2012.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
92