FI092
Capítulo I
Mauro M.G. de Carvalho
CAPÍTULO I
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
3
4
5
6
7
Algarismo duvidoso
Medimos
4,32
Qual o comprimento afinal?
É melhor assunir que a medida é1: 4,32 ± 0,05
Qualquer algarismo à direita, no sentido usual de leitura, do primeiro algarismo não nulo é um algarismo
significativo
Exemplos:
0,02
0,2
2
2,0
2,00
2000
2,0 x 103
 1 algarismo significativo
 1 algarismo significativo
 1 algarismo significativo
 2 algarismos significativos
 3 algarismos significativos
 4 algarismos significativos
 2 algarismos significativos
1
Convencionalmente, o erro de medida é a metade da menor escala, no caso ± 0,05. Todavia essa faixa pode ser
diminuída de acordo com a exatidão do aparelho de medida e da confiança do experimentador.
1
FI092
Capítulo I
Regras de arredondamentos
N = 3,87XY
N = 3,88
Se X > 5
N = 3,87
Se X < 5
N = 3,88
se Y ≥ 5
N = 3,87
se Y < 5
Se X =5 
Operações levando em conta os algarismos significativos
Soma:
135 + 2,73 - 10,57 - 4,3 + 0,8  123
Multiplicação e divisão:
24,63 x 12,3 = 302 no de algs.significativos = ao que tem menos
2
Mauro M.G. de Carvalho
FI092
Capítulo I
Mauro M.G. de Carvalho
REVISÃO DE MATEMÁTICA
Relações trigonométricas
B
A
C
sem B =AC/BC
cos B = AB/BC
tg B = AC/AB
tg B = sem B/cos B
Pelo teorema de Pitágoras:
cosec B = 1/sem B
sec B = 1/cos B
(AB)2 +(AC)2 = (BC)2
Dividindo por (BC)2 , temos:
sen2B+cos2B = 1
Fig.1 – Triângulo retângulo
Dividindo por cos2B, temos:
tg2B+1 = sec2B
Outras relações trigonométricas:
sen(x±y) = senx.cosy ± cosx.seny
cos(x±y) = cosx.cosy  senx.senyy
sen2x = 2senx.cosx
cos2x = cos2x – sen2x
Gráficos
Y
(1,4)
(-4,2)
Representação de pontos (x,y) no gráfico cartesiano.
Na figura estão os pontos (1,4); (-4,2); (-3,-3); (2, -5)
X
Exercício: (a) Marque os pontos (1,1), (3,2), (-2,3),
(-4, -1), (-2,3)
(b) Marque os pontos (-4,-1), (-2,0), (0,1), (2,2) e
(4,3).
Em seguida ligue esses pontos. Qual a realção que eles
guardam entre si?
(-3,-3)
(2,-5)
Fig.2 – Eixos Cartesianos
3
FI092
Capítulo I
Mauro M.G. de Carvalho
Cosideremos a equação: y = x2 + x - 2
y
Calculando y para alguns valores de x (abaixo) podemos
traçar a curva ao lado
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
4
0
-2
-2
0
4
10
x
F
Fig. 3 – Parábola
Em resumo, gráficos representam o comportamento de y em decorrência da variação de x. Por exemplo y pode ser, o
número de crianças nascidas num hospital e x os anos. O gráfico irá mostrar, no eixo y, número de crianças nascidas a
cada ano representado no eixo x, cmo se vê abaixo:
Número de
crianças nascidas
500
400
300
200
1990
1991
1992
4
Ano
1993
1990
FI092
Capítulo I
Mauro M.G. de Carvalho
Derivada
Fixando x1 e fazendo x2 x1 (fig.4a), a secante se transforma em tangente à curva em (x1,y1) (fig.4b) e:
y
dy

x
dx
y
y2
y1
x
x2
x1

(a)
y
y1
x
x1

tgα 
dy
dx
(b)
Fig4: A secante (em vermelho) de transforma em tangente quano x2 → x1
5
FI092
Capítulo I
Mauro M.G. de Carvalho
dy/dx é a derivada da curva em (x1,y1).
Portanto, a derivada num ponto dá a tangente trigonométrica (tgdo ângulo que a tangente geométrica, no ponto
considerado, forma com o eixo dos X.
6
FI092
Capítulo I
Mauro M.G. de Carvalho
VETORES
sentido
Módulo
A
direção
Nomenclatura: A é normalmente representado por A (em negrito). O módulo de A é representado por A (sem negrito)
Se A e B têm o mesmo módulo direção e sentido, então A = B
Algumas propriedades importantes:
B
A
Soma de vetores: Método geométrico
A
A+B
A+B
B
Produto de escalar por vetor
A
k3A
k1A
k2A
K1>1
0<K2<1
K3<0
Diferença entre vetores: Note que A-B = A + (-B) . Essa operação pode ser visualizada abaixo
A-B
A
-B
B
7
FI092
Capítulo I
Soma (diferença) de vetores colineares. É só somar (subtrair) seus módulos:
Mauro M.G. de Carvalho
A
A+B
8
FI092
Capítulo I
Mauro M.G. de Carvalho
EXERCÍCIOS
1) Na figura abaixo, dê o resultado das medidas de AB.
A
0
B
1
2
A
biol
AB =
B
AB =
0
1
2
biol
0
1
2
biol
AB =
0
1
2
biol
AB =
2) Quantos algarismos significativos têm os números abaixo:
a) 98,75 b) 2,00
c) 0,003 d) 0,0450
e) 3000 f) 1,0 x 103
3) Faça as aproximações solicitadas:
a)  = 3,14159
Para uma, duas, três e quatro casas decimais
b) e = 2,71828
Para uma, duas, três e quatro casas decimais.
c).me = 9,1091 x 10-31kg Para uma e duas casas decimais
d) e = 1,6021 C
Para uma e duas casas decimais
4) Transforme:
a) 2,3 mm
b) 2,303 m
c) 2,8 km
d) 2,0 kg
e) 2,753 mg
→m
→ mm
→m
→g
→g
6) Calcule x nas figuras a seguir:
9
FI092
Capítulo I
5,0 cm
Mauro M.G. de Carvalho
2,0 cm
30o
30o
x
x
(a)
(b)
6,0 cm
x
30o
75
o
75
o
x
(d)
4,0 cm
(c)
5o
2,0 cm
x
60o
x
10,0 m
(e)
(f)
10
FI092
Capítulo II
Mauro M.G. de Carvalho
CAPÍTULO II
Movimento
Velocidade média: Velocidade média de um corpo entre dois pontos é o deslocamento desse corpo (distância entre os
pontos) por unidade de tempo, ou seja, a razão entre o deslocamento e o tempo em que esse deslocamento foi feito.
v = S/t
S é o deslocamento, medido em metros no sistema internacional (SI), e t é o tempo decorrido durante o
deslocamento, medido em segundos no SI.
A unidade de velocidade é o m/s no SI. Uma unidade muito usada na prática é o km/h.
Aplic.1: Transforme: a) 10 m/s em km/h.
b) 80 km/h em m/s
R: a) 36 km/h; b) 22,2 m/s
Aplic.2: Um automóvel faz a viagem de Campinas a S.Paulo em 1h 30min. A distância entre essas duas cidades é
120 km. Qual a velocidade média na vigem?
R: 80 km/h
A velocidade média entre um ponto A e outo ponto muito perto de A (distância tendendo a zero) é chamada velocidade
instantânea em A. A velocidade indicada no velocímetro de um carro é a velocidade instantânea.
Se a velocidade é constante, a velocidade média e a velocidade instantânea são iguais.
Aceleração média: Aceleração média de um corpo entre dois pontos é a variação da velocidade do corpo (diferença
entre as velocidades nos dois pontos) por unidade de tempo.
a = v/t
A unidade de aceleração é o m/s2 no SI.
A aceleração média entre um ponto A e outo ponto muito perto (distância tendendo a zero) é chamada aceleração
instantânea em A. A velocidade indicada no velocímetro de um carro é a velocidade instantânea.
Se a aceleração é constante, a aceleração média e a velocidade instantânea são iguais.
Aplic. 3: A velocidade de um carro vai de zero a 20 m/s em 10s. Qual sua aceleração média?
R: 2 m/s2
Aplic.4: Qual a distância percorrida por um automóvel que mantém uma velocidade de 70 km/h durante 2h?
R: 140 km
Aplic.5:Uma pedra cai do 3º andar de um prédio (10m do chão). A aceleração da gravidade é 9,8 m/s2 . Qual a
velocidade que a pedra chega ao chão?
R: 14 m/s
Equações do movimento:
a) Uniformemente acelerado (aceleração constante):
(2) ΔS  v o t 
(1) v = vo + at
(3) v 2  v o 2  2a.S
Onde:
v - Velocidade final
vo – Velocidade inicial
a – Aceleração
t – Intervalo de tempo
b) Movimento circular uniforme:
Velocidade angular
t
Velocidade:
v =R
Aceleração normal:
aN = v2/R

aN
11
v
1 2
at
2
FI092
Capítulo II
Mauro M.G. de Carvalho
FORÇAS
Leis de Newton
1a Um corpo permanece em repouso ou em movimento retilíneo uniforme se nenhuma força atua sobre ele.
dp
2a A taxa de variação do momento de uma partícula é a força resultante que atua sobre ela, isto é: F 
dt
onde p = mv é o momento da partícula (quantidade de movimento). Se a massa m é constante, podemos fazer: F  ma
3a À ação de um corpo A sobre um corpo B, existe uma reação igual e de sentido oposto do corpo B sobre A.
Obs: Por enquanto vamos sempre usar F = ma
Aplic.6: Um bloco de 300,0 kg é puxado por uma força de 60,0N. Determine a aceleração do bloco.
R: 0,2m/s2
Torque. Quando uma força atua num corpo sólido, o módulo do torque em relação a um ponto é o produto da força
pela sua distância ao ponto de aplicação.
x
Seja NO o troque da força Fx em relação ao ponto O. Na figura ao
lado, teríamos.
F3
D4
D3
1
Módulo do torque da força F1 em relação a O
2
Módulo do torque da força F2 em relação a O
3
Módulo do torque da força F3 em relação a O
NO = 0
O
NO = F2xD2
D2
F1
F2
F4
NO = F3xD3
4
Módulo do torque da força F4 em relação a O
NO = F4xD4
Observe que alguns torques giram o sólido num sentido e outros, no sentido inverso. Normalmente assume-se como
positivo o torque num dos sentidos e, naturalmente, negativo no sentido inverso
Alguns tipos de força:
Peso, Normal, Atrito, Tração, Atração gravitacional, Atração / repulsão elétrica, Magnética, Nuclear etc
Força de atrito: Quando um corpo está no limite do deslizamento sobre uma superfície, a força de atrito estático é dada
por Fa = aN, onde a é chamado coeficiente de atrito estático e é característico das superfícies em contato. N é a força
normal entre as superfícies.
Força de deslizamento: Quando um corpo desliza sobre uma superfície, a força de atrito de deslizamento é dada por
F= dN, onde d é chamado coeficiente de atrito de deslizamento (ou cinético) e é característico das superfícies em
contato. N é a força normal entre as superfícies. Normalmente, d < a
Condições de equilíbrio para um sólido: Um sólido está em repouso quando a soma das forças e dos torques que
atuam sobre ele é nula.
Aplic.7: a)Um bloco de 10,0 kg está em repouso sobre um plano inclinado de 30 o. Qual a força de atrito que atua sobre
ele?
R:50 N
30o
b) É possível determinar o coeficiente de atrito entre o bloco e o plano?
c) Aumentando o ângulo do plano, verificamos que a partir de 45 o o bloco começa a deslizar. Qual o coeficiente de
atrito entre o bloco e o plano?
R : =1,0
12
FI092
Capítulo II
Mauro M.G. de Carvalho
Exercícios
1) O tempo de reação do ser humano (TRH) é, em média, 0,2s quando descansado e 0,45s em condições de cansaço.
Determine a distância percorrida por um automóvel a 60 km/h entre o instante em que o motorista vê o perigo e o
instante em que começa a frear o veículo nas duas condições, descansado e cansado.
R: 3m e 7,5m
2) Repita o problema anterior para o caso em que o automóvel está a 100 km/h.
R: 5,5m e 12,5m
3) A desaceleração máxima de um carro é de 6,0 m/s 2. Determine a distância mínima para um carro a 60 km/h parar.
Repita o cálculo para um carro a 100 km/h.
R: 23m e 64m
4) A felicidade. Determine o tempo para um motorista descansado parar seu carro a 60 km/h após ver o perigo.
R: 26m.
5) A infelicidade. Determine o tempo para um motorista cansado parar seu carro a 100 km/h após ver o perigo..
R: 76m
6) Um automóvel acelera de 0 a 100km/h em 10s. Determine sua aceleração média e a compare com a da gravidade.
R: 2,8m/s2
7) Um automóvel de 1200 kg a 72km/h freia e para em 40 m. Qual sua aceleração? Qual a força de atrito entre os
pneus e o chão?
R: 5,m/s2 e 6,0x103N
8) Um bloco de gelo é solto no alto de uma rampa que forma um ângulo  com a horizontal. Considerando desprezível
o atrito entre o o gelo e a rampa, determine a aceleração do gelo. A aceleração da gravidade é g.
R: g.sen
9) No problema anterior considere = 30º , g= 9,8 m/s2 e o comprimento da rampa 3,0 m. Calcule a aceleração do
bloco e sua velocidade final.
10) Como você pode notar nas figuras ao lado, a parte inferior do esqueleto humano é mais “robusta” que a parte
superior. Em particular, observe como as vértebras lombares da coluna são maiores do que as cervicais e dorsais.
Dê sua explicação para isso.
13
FI092
Capítulo II
Mauro M.G. de Carvalho
11) No exercício mostrado na figura, o torque que o peso exerce sobre o joelho varia com a posição da perna. Calcule o
torque para as quatro posições mostradas.
R: (a) 36 N.m; (b) 31 N.m;
(c) 18 N.m; (d) Não há torque
12) Uma pedra cai de uma altura de 12,0 m em 1,57 s. Determie a aceleração da gravidade.
R: 9,7 m/s2
12) Uma carro de 1000 kg para numa ladeira que faz 30º com a horizontal. Qual a força de atrito em cada roda?
Use g =10 m/s2
R: 5,0 x 103 N
13) Um homem de 80 kg calçando tamancos empurra um caixote de madeira. Qual a maior massa possível do caixote?
R: 80 kg
14) Na figura, a roldana e a corda têm massa desprezível. Determine aceleração do bloco B sabendo que: m A = 2kg,
mB = 4kg, g= 10 m/s2 . Considere
B
a) Não há atrito entre B e a superfície onde se apoia.
R: 5 m/s2
b) O coeficiente de atrito estático entre B e a superfície onde se apoia é 0,6.
R: 0
14
A
FI092
Capítulo III
Mauro M. G. de Carvalho
CAPÍTULO III
TRABALHO & ENERGIA
PARTE 1
Trabalho: Quando uma força F constante que atua sobre um corpo se desloca r ao longo de uma reta, o trabalho
realizado é definido por W = F.r.cos, onde  é o ângulo entre a força F e a direção do deslocamento r. Se a força
não é constante e/ou o deslocamento não é em linha em linha reta, a definição de trabalho requer uso de trabalho e
deslocamento infinitesimais. Não estudaremos esses casos. A unidade de trabalho é o Joule (J)
Aplic. 1: Calcule o trabalho realizado pela força F (constante) nos casos abaixo:
F
F
F
F
F

F
d
W=
d
d
W=
W=
Energia: É a capacidade de realizar trabalho
Aplic. 2: O bloco da figura tem 2,40 kg de massa e é arrastado por um cabo em cuja extremidade é aplicada uma força
constante de 15,0 N. Qual o trabalho realizado pela força que puxa o bloco quando ele é deslocado de A até B sendo
2,00 m a distância entre A e B? Qual o trabalho realizado pelo peso do bloco? Despreze qualquer forma de atrito.
R: 30 J ; zero
A
B
1
5
N
Relação entre Trabalho e Energia cinética
vo
Não havendo atrito, a aceleração do bloco da
figura 1 é dada por:
a = F/m
v
F
F
F
FPortanto: v2 = v 2 + 2(F/m).x
o
x
Fig. 1: O bloco de massa m é submetido a uma força constante F.
Dividindo todos os membros por 2 e
multiplicando por m, temos:
(1/2)mv2 = (1/2)mvo2 + F.x
Mas F.x é o trabalho W realizado pela força F, e (1/2) mv2 é chamada energia cinética do corpo. Logo podemos
escrever :
W = (1/2)mv2 – (1/2)mvo2 = Ec
Ou seja o trabalho realizado por uma força F sobre uma massa m é igual à variação da energia cinética de m.
15
FI092
Capítulo III
Mauro M. G. de Carvalho
E se houver atrito? Nesse caso, a força para deslocar o corpo terá que deslocar também a força de atrito f a. Portanto o
trabalho de F será igual ao trabalho da força de atrito, fa.x ,mais a variação da energia cinética do bloco.
W = Ec + fa.x
Aplic. 3: Na aplicação 2, desprezando qualquer forma de atrito, calcular a energia cinética do bloco quando ele está em
B supondo que tenha partido do repouso em A.. Calcule também sua velocidade.
R: 30 J
Aplic. 4: Repita o exercício anterior, considerando que exista uma força de atrito entro o bloco e o piso e que o
coeficiente de atrito seja 0,5.
R: 6 J
Aplic. 5: Um corpo de massa m cai de uma altura h. Qual o trabalho realizado pelo peso do corpo? Qual a energia
cinética do corpo quando está no ponto mais baixo de sua queda? Qual sua velocidade?
R: mgh; mgh; v = (2gh)1/2
Energia Potencial
Uma massa m cai do nível A para B sob a ação do peso, o trabalho da força peso é o mesmo qualquer que seja o
caminho seguido: W = p.h = mgh onde h é a altura de A em relação a B (demonstrado em aula).
Esta energia é utilizada pela massa para aumentar sua energia cinética. Assim mgh = EcB-EcA
.
Dizemos então que massa está parada em A
A
tem uma energia potencial de mgh em
relação a B, isto é, ela pode chegar em B
com energia cinética de mgh (pode chegar
com menos se houver perdas por atrito, por
exemplo). Se ela já tiver uma certa energia
h
cinética em A, ela chegará em B
(desprezando qualquer perda) com sua
energia cinética aumentada de mhg. Então
podemos escrever:
B
Fig .2: Uma massa m está em A a uma
altura h em relação a B
EcB = EpAB + EcA
EcB = EpAB + EcA - Eperdida
(1)
desprezando as perdas ou
Se houver energia perdida
onde EpAB é a energia potencial de A em relação a B.
Energia potencial é sempre em relação a alguma referência, isto é, não existe energia potencial simplesmente, só
existe energia potencial em relação a uma origem ou referência. No caso anterior, como dissemos energia potencial de
A em relação a B, a referência é B. Poderíamos ter usado outra referência. Por exemplo, vamos supor que A esteja a
uma altura h1 e B a uma altura h2 de um mesmo piso que tomaremos como referência.
A
Temos então: EpA = mgh1
EpB = mgh2
ambas em relação ao piso. A
energia potencial de A em relação a B será dada por:
h
B
h1
EpAB = EpA - EpB = mg(h1-h2) = mgh
(2)
como antes.
h2
referência (h=0)
Fig. 3: A energia potencial só
depende de h1 - h2
Podemos escrever a equação 1 da seguinte forma:
EcB = EpA - EpB + EcA
ou
EcA + EpA = EcB + EpB
16
(3)
FI092
Capítulo III
Mauro M. G. de Carvalho
Esta equação é importantíssima! Ela diz que, não importa onde está B, a energia cinética mais a potencial da massa m
em B é igual à mesma soma em A. Assim, podemos escrever que, de uma forma geral, quando as forças envolvidas são
conservativas,
E = Ep + Ec
(3)
onde E é, a energia mecânica total do sistema.
Nem sempre a energia potencial é mgh. A energia potencial entre duas massas, por exemplo, é: Ep = - G.m1m2 / r, onde
G = 6,7x10-11 N.m2 é a constante de gravitação universal e r a distância entre as massas m 1 e m2. Todavia, a equação (3)
vale sempre (se a força for conservativa!).
Aplic. 6: Um carrinho está parado no ponto A de uma montanha
russa quando começa a descer. Desprezando as forças dissipativas,
qual, será a velocidade do carrinho em B.
R: 17,9m/s
A
20m
B
4m
Potência - É a variação da energia por unidade de tempo: P = W/t
Unidade: J/s = Watt (W)
Aplic. 7: Uma pessoa empurra um bloco de pedra de 20kg, a partir do repouso, com uma força constante de 30N
durante 4 segundos. Despreze atritos.
(a) Qual o deslocamento do bloco nos 4s ? (b) Qual o trabalho realizado pela pessoa? (c) Qual a potência usada pela
pessoa?
R: a) 12m; b) 360 J; c)90 W
Aplic. 8: Considere que o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o solo na aplicação anterior é 0,2. Qual o
trabalho para a pessoa deslocar o bloco a mesma aceleração.
R: 840 J
Aplic. 9: Mostre que a potência necessária para uma força F manter uma massa com velocidade v é : P= F.v
R: 40N, 400 W
Aplic. 10: Um carro usa toda sua potência de 60hp para subir uma serra a 18km/h. Qual a força de atrito entre os pneus
do carro e a pista? Dado: 1hp = 750W
R: 9,0x103N
Aplic. 11: Qual a energia em joules consumida por uma casa que consome 150kW.h em um mês?
R: 5,4x108 J
17
FI092
Capítulo III
Mauro M. G. de Carvalho
Exercícios
1) Uma criança brinca num balanço. A figura mostra o balanço na posição de máximo afastamento da posição de
equilíbrio. Determine a velocidade da criança quando ela passa pela posição de equilíbrio (a) desprezando o atrito e (b)
considerando uma perda de 25% na energia devido às forças dissipativas.
Dado: sen37o=0,6
R: (a) 2,8 m/s ; (b) 2,4 m/s
2,0m
o
37
2) Qual a energia térmica liberada no sistema de freios de um trem de 1,0x10 7kg que freia para diminuir sua velocidade
de 30m/s para 10m/s. Despreze todas as forças que também podem diminuir a velocidade do trem.
R: 4x109J
3) A energia potencial acumulada numa mola é dada por (1/2)kx2, onde k é uma constante característica da mola e x
sua deformação (em qualquer sentido). Suponha que uma massa de 4,0 g seja colocada na extremidade de uma mola
que é comprimida de 10,0 cm. A constante da mola é 103 N/m. Se soltarmos a mola, qual a velocidade máxima atingida
pela massa?
R: 50m/s
18
FI092
Capítulo III
Mauro M. G. de Carvalho
CAPÍTULO III
PARTE 2
Equilíbrio térmico
Quando vários corpos que estão em temperaturas diferentes são colocados em contato, a energia térmica, que
chamaremos de calor, se redistribui entre os corpos passando dos mais quentes para os menos quentes até que a
temperadora de todos eles seja a mesma. Os corpos que perdem calor têm suas temperaturas reduzidas e os que ganham
calor têm suas temperaturas aumentadas. A quantidade Q de calor ganho ou perdido por um corpo quando sua
temperatura varia de  é:
Q = m.c.
onde m é a massa do corpo é a variação de temperatura e c o calor específico do material de que é constituído o
corpo.
O calor específico é característica do material e é dado, usualmente, por cal/g. oC, embora no Sistema Internacional seja
dado por J/kg.oC (usar oC ou K (Kelvin) não muda nada no valor do calor específico porque a variação de 1 oC é igual à
variação de 1K). Se um material tem um calor específico de x cal/g. oC, então 1g desse material necessita de x calorias
para que sua temperatura varie de 1oC.
Tabela 4:Alguns calores específicos a 20oC (salvo menção contrária) de alguns materiais e gases a pressão constante
Material
Alumínio
Cobre
Porcelana
Madeira
Água (15oC)
gelo (0oC)
Vapor d´água (100oC)
Corpo humano
Ar
c (cal/goC ou kcal/kgoC)
0,217
0,092
0,26
0,4
1,000
0,5
0,482
0,83
0,25
Q
Define-se a capacidade térmica de um sistema como: C 
. A capacidade térmica é dada por cal/oC, J/oC etc. A
ΔΘ
capacidade térmica é usual para caracterizar um sistema, i.é, um conjunto de materiais.
Observe que para um material, a capacidade térmica pode ser dada por: C = m.c
Calor latente de mudança de estado (L): É o calor necessário para mudar de estado a unidade de massa do material:
Q
L
m
Unidade: U(L)= cal/g ; J/kg etc.
Tabela 5: Algumas temperaturas de fusão (Tf), ebulição(Te) e alguns calores latentes de fusão (Lf) e evaporação(Lv)
Material
Oxigênio
Etanol
Água
Alumínio
Cobre
Tf(oC)
-218,8 (54,2K)
-114
0
327
1083
Lf(cal/g ou kcal/kg))
3,3
25
80
90
32
Te(oC)
-183(90K)
78
100
2450
2300
Lv (cal/g ou kcal/kg)
51
204
540
2720
1211
Os líquidos podem permanecer líquidos mesmo abaixo da temperatura de solidificação. É o fenômeno da superfusão
que ocorre principalmente em capilares, como os capilares que levam a seiva das plantas. Por isso algumas delas podem
permanecer vivas mesmo a temperaturas muito abaixo de zero.
R: 8,5 g/min
19
FI092
Capítulo III
Mauro M. G. de Carvalho
Aplic. 12: Um copo metálico de 20 cal/oC está em equilíbrio térmico com 100g de água a 20oC nele contida. Um bloco
de Al com 200g de massa é mergulhado na água. Desprezando as trocas de calor com o ambiente, determine a nova
temperatura de equilíbrio.
R:55oC
Dilatação
Os materiais variam suas dimensões quando aquecidos. Essa variação, em geral, é um aumento de comprimento (área e
volume) quando a temperatura aumenta e vice-versa.
O aumento de volume para uma mesma massa faz com que a densidade dos materiais ( = massa/volume) diminua com
o aumento da temperatura. Todavia isso nem sempre ocorre. A água tem uma dilatação irregular. Seu volume diminui
quando a temperatura aumenta de 0oC a 4oC. Quando se solidifica a água aumenta seu volume causando a quebra de
garrafas de vidro, por exemplo (ver gráficos abaixo).
Volume
Densidade
(g/cm3 )
1,0 g/cm3
Vmin
Volume
densidade
100oC
4oC
0oC
Fig. 6: Gráfico da
densidade e do volume
de certa massa de água
em função da
temperatura. Observe
que o mínimo de
volume corresponde a
um máximo de
densidade. Na
realidade, a variação
da densidade da água
entre 0 e 4oC é muito
pequena (0,015%), mas
tem consequências
importantíssimas.
É interessante mencionar ainda o baixo coeficiente de dilatação térmica do quartzo. Isto permite usá-lo para a confecção
de ampolas que podem ser levadas a altas temperaturas e resfriadas rapidamente sem risco de trincas. Além disso, o
quartzo não funde. Ele amolece e, dependendo de sua pureza, pode ser usado em temperaturas de até 1500 oC .
Aplic. 13: Dê algumas consequências, para a vida, do alto calor específico da água e de sua dilatação irregular.
Transporte de calor
O transporte de calor se faz por três processos: Condução, convecção e irradiação.
Tipicamente, temos:
Em sólidos  condução;
Em fluidos  convecção;
No vácuo  irradiação
Pode ocorrer mais de um processo simultaneamente. Por exemplo, condução e convecção nos líquidos, convecção e
irradiação nos gases etc.
T2
T1
A
d
Na condução, temos:
Q/t = kA(T1-T2)/d
, onde Q/t é a taxa de calor transferido de uma
face, na temperatura T1, para outra face, na temperatura T 2, de um
paralelepípedo onde d é a distância entre as faces e A é a área da seção reta do
paralelepípedo. k é a constante de condutividade térmica do material. K é dado
por cal/s.m.oC ou J/s.m.oC
Fig 7: Condução de calor numa barra
20
FI092
Capítulo III
Mauro M. G. de Carvalho
Tabela 6: Constante de condutividade térmica de alguns materiais
Material
Prata
cobre
Alumínio
Aço Inox
água
Tecidos Humanos sem sangue
Lã de vidro
Ar
k (J/s.m oC)
420
380
200
53
0,56
0,2
0,025
0,023
Na irradiação, temos: Q/t = eA(T14-T24) , onde Q/t é a taxa de calor irradiado por um corpo de área A e
temperatura absoluta T1 para um meio cuja temperatura absoluta é T 2. A emissão de radiação dos corpos depende de um
fator e chamado emissividade que varia de 0 a 1 dependendo da superfície do corpo. O corpo negro perfeito tem
emissividade 1 assim como o branco perfeito tem emissividade zero para a luz visível. Para radiação infravermelha, as
pessoas têm emissividade em torno de 0,97 independente da cor da pele. Finalmente,  é uma constante que vale
5,67x10-8J/s.m2K4 (constante de Stefan-Boltzmann)
21
FI092
Capítulo III
Mauro M. G. de Carvalho
Exercícios
Obs: Para a resolução dos problemas use as tabelas dos capítulos anteriores se for necessário.
1) Duas barras iguais, uma de cobre outra de alumínio, têm uma de suas extremidades soldadas. A região da solda é
aquecida e as duas extremidades são mantidas à mesma temperatura. Qual a razão entre as potências escoadas pelas
duas barras.
R: 1,9
3) Numa caixa de isopor existe 100g de água a 10 oC. Um pedaço de 300g de um metal desconhecido a 50 oC é colocado
dentro da caixa que é fechada. Após algum tempo, verifica-se que a temperatura da água dentro da caixa estabilizou-se
a 26oC. Desprezando as perdas de calor, qual deve ser o material desconhecido.
R: Alumínio
4) Um fogareiro, que fornece uma potência de 500W, é utilizado para aquecer 100g de gelo fundente contido numa
caneca de massa desprezível. Considerando que a eficiência do processo é 80%, qual o tempo necessário para fundir o
gelo e levar a água resultante à ebulição.
R: 187,5s
22
FI092
Capítulo IV
Mauro M.G. de Carvalho
CAPÍTULO IV
FLUIDOS
Hidrostática
Pressão média: É a razão entre a força normal a uma superfície de área A e a área A considerada:
P= F/A
Unidade: u(P)= u(F)/u(A) = N/m2 = Pascal (Pa)
Existem outras unidades: Torr, atm, bar, mm de Hg, kgf/cm 2, pound/sq.inch (psi) etc. Todas são usadas até hoje. A
tabela 1 dá os fatores de conversão entre as vátias unidades. A unidade torr não está na tabela porqie é igual ao mmHg.
A pressãopode ser diferenteda média numa determinada região, mas não estudaremos estes casos m detalhe. Portanto
usaremos sempre o termo pressão para a pressão média.
Tabela1:Fatores de conversão de unidades de pressão
1 Pa(N/m2)
1 mmHg
1 Bar
1 Psi (lb/in2)
1 atm
Pa(N/m2)
1
1,33x102
1x105
6,89x103
1,013X105
mmHg
7,5x10-3
1
750
51,71
760
Bar
1x10-5
1,33x10-3
1
6,89x10-2
1,013
Psi(lb/in2)
1,45x10-4
1,93x10-2
14,5
1
14,7
atm
9,87x10-6
1,32x10-3
0,987
6,8x10-2
1
Na tabela acima o caminho é da linha para a coluna. Por exemplo: 1 atm = 14,7 Psi; 1Bar = 750 mmHg etc
Princípio de Pascal: A pressão aplicada a um fluido confinado se transmite integralmente a todos os pontos do fluido.
P2+ P
P2
P
P1
P1+P
Sistemas hidráulicos:
F1
F2
F1 
A1 
 F
F
A
1
 2  F2  2 F1

A
A2
A1
F2  1

P2 
A 2 
P1 
Portanto, se A2>A1 então F2>F1
Aplic. 1: Na figura acima os cilindros 1 e 2 têm raios de 2,0 cm 20,0 cm respectivamente. Determine a força que deve
ser feita no cilindro 1 para equilibrar um peso de 4,0 ton no cilindro 2.
R:4000N
23
FI092
Capítulo IV
Mauro M.G. de Carvalho
Aplic. 2: O êmbolo de uma seringa tem 2,0 cm de diâmetro. Que força deve ser exercida sobre ele para injetar um
remédio numa veia cuja pressão é 10,0 mm de Hg.
R: 2,3x10-5 N
Pressão devido a uma coluna de fluido.
No fundo da coluna a força será : F = mg = V.g, onde  = m/V é a densidade do fluido
A pressão será; P = F/A = .V.g /A= A.h/A, onde A é a área da base do tubo.
h
Portanto:
P = .h.g
Observe que em todos os casos abaixo a pressão no fundo dos recipientes é a mesma:
Aplic. 3: Determine em atmosferas a pressão no fundo de um lago de 10m de profundidade. A pressão atmosférica
sobre o lago é 0,94 atm e a aceleração da gravidade 9,8 m/s2.
R: 1,91 atm
Aplic. 4: Uma pessoa pode conseguir uma pressão de 0,8 atm sugando um tubo. Se um tubo tem uma extremidade
imersa num refrigerante, a que altura acima do refrigerante (basicamente água) pode uma pessoa conseguir tomá-lo
sugando a outra extremidade do tubo?
R: 2 m
Pressão total e pressão manométrica : A pressão medida por um manômetro tipo bourdon é a pressão manométrica:
Pabs = Pman + Patm
Manômetro de Bourdon
24
FI092
Capítulo IV
Mauro M.G. de Carvalho
Empuxo
Princípio de Arquimedes: Qualquer objeto imerso num fluido sofre uma força de baixo para cima igual ao peso de
fluido deslocado
F2
E = F1 – F2 = P1.A – P2.A = f.h.A.g = f Vig
h
Ou seja:
E = f Vi g
F1
Aplic. 5: Uma pedra de densidade 2,7x103 kg/m3 pesa 80 kg. Determine seu peso aparente quando dentro d’água.
R: 29,6 kg
Aplic. 7: A densidade do gelo é a 0oC é 0,917 g/cm3 e da água a 0oC é 0,970 g/cm3. Determine a fração do volume e
gelo que fica imersa quando um bloco de gelo flutua na água.
R: 95%
Tabela2: Densidade de alguns materiais
em g/cm3 ou 103 kg/m3
2,70
8,44
8,8
19,3
7,8
11,3
10,1
2.6
2,7
0.3 – 0,9
0,917
1,7
Líquidos
Água (4oC)
1,000
Plasma sanguíneo
1,03
Sangue
1,05
Água do mar
1,025
Mercúrio
13,6
Álcool etílico
0,79
Glicerina
1,26
Azeite
0,92
Gases
Ar
1,29x10-3
Oxigênio
1,43x10-3
Metano
0,72x10-3
o
Vapor d´água(100 C) 0,60x10-3
Sólidos
Alumínio
Latão
Cobre
Ouro
Ferro
Chumbo
Prata
Vidro
Granito
Madeira
Gelo(0oc)
Osso
25
FI092
Capítulo IV
Mauro M.G. de Carvalho
Exercícios
1) Um bloco de madeira de densidade 0,7 g/cm3 flutua na água (H20 = 1,0 g/cm3). Qual a porcentagem do volume total
do bloco fica submersa?
R: 70%
2) Qual a força necessária para manter uma bola de borracha de 20,0 cm de diâmetro é submersa em água. Despreze o
peso da bola e faça g = 10 m/s2. O volume de uma esfera é dado por V = 4R3/3.
R: 41,9 N
3) Pra afundar uma lata de massa desprezível com 8,0cm de diâmetro e 5,0cm de altura num líquido desconhecido, é
necessário colocar um peso mínimo de 800g no seu interior. Determine a densidade do líquido.
R: 796 kg/m3
4) Um tubo contendo de mercúrio ( = 13,6x103 kg/m3) está ligado a um balão de
vidro conforme mostra a figura. Determine a pressão dentro do balão.
R: 0,73 atm
20 cm
26
FI092
Capítulo V
Mauro M.G. de Carvalho
CAPÍTULO V
ONDAS
Ondas transmitem energia. Existem ondas mecânicas, que necessitam um meio para se propagar, e eletromagnéticas,
que se propagam (até melhor) no vácuo.
Exemplo de ondas mecânicas – Som
Exemplo de ondas eletromagnéticas – luz
Quanto ao sentido da vibração, uma onda pode ser
v
A - Onda longitudinal
v
B – Onda Transversal
Fig. 1: A- onda longitudinal e b- onda transversal
Fenômenos ondulatórios
Reflexão, Refração, Difração e Interferência
reflexão
refração


transmissão
Fig 2 : Reflexão, refração e transmissão de uma onda
Fig3.: Difração: Ela é maior em fenda fina
Velocidade, comprimento de onda e período (frequência).
Período (T) : É o intervalo de tempo mínimo para a repetição do efeito ondulatório.
Frequência (f) : É o número de repetições na unidade de tempo. Se o período é medido em segundos, a frequência é
medida em Hertz (Hz). A frequência e o período se relacionam através de: f = 1/T
Comprimento de Onda (): É a distância percorrida pela onda em um período.
27
FI092
Capítulo V
Mauro M.G. de Carvalho
v
A partir das definições acima, temos::

f = 1/T
v
 = vT
v = f

Na difração, a abertura  provocada por uma fenda de largura a é dada por sen(/2) = /a
Aplic.1 Considere uma fenda de 5,0m de largura. Determine a abertura de uma radiação vermelha ( = 780nm) e de
um radiação violeta ( = 380nm) que passam por essa fenda.
R: 18º e 8,7o
Raios 
-9
10
Raios X
-6
10
ultravioleta
-3
10
infravermelho
0
10
Microondas
3
10
Ondas de rádio
Ondas longas
Espectro Eletromagnético
-12
10
LUZ VISÍVEL
780nm
380nm
Máxima sensibilidade do olho humano
Fig.4: Espectro eletromagnético
28
FI092
Capítulo V
Mauro M.G. de Carvalho
Polarização da luz: Normalmente a luz vibra em todos os planos que contêm sua linha de propagação, conforme
mostra a figura 5.
Sentido de propagação da onda
Direções de propagação do campo
elétrico em quatro instantes
distintos
Fig. 5: Em cada instante o campo elétrico ( e o magnético) vibram em direções diferentes. A luz é não polarizada,
Ao passar por certos materiais - denominados polarizadores – e ao sofrer reflexões, um plano de vibração prevalece
sobre os outros e a luz torna-se parcialmente ou totalmente polarizada, com forme mostra a figura 6. .
polarizador
Eixo do polarizador
Direções de propagação do campo
elétrico em quatro instantes
distintos
Sentido de propagação da onda
Luz polarizada
Fig.6: O polarizador só deixa passar a luz que vibra numa direção tornando-a totalmente polarizada.
A luz refletida sob certo ângulo (ângulo de Brewstwer) é altamente polarizada. Isso ajuda muito no aumento de
contraste em microscopia óptica e também na fabricação de óculos para sol.
Se um polarizador é seguido de outro – chamado analisador – a luz que sair polarizada do polarizador terá sua
intensidade diminuída pelo analisador de acordo com o ângulo entre eixos de polarização. Se essa diferença for 90º,
dizemos que polarizador e analisador estão cruzados e não sai luz pelo analisador. Se o ângulo entre seus eixos é 
então a intensidade I que sai do analisador pode se comparada com a que entra (Im) pela lei de Malus : I = Imcos2
A figura 7 ilustra este efeito
(a)
(b)
(c)
Fig. 7: (a) Polarizado e analisador com eixos paralelos. A superposição dos dois fica mais ecura dvido à cor dos
vidros. (b) Polarizador e analisador cruzados. Nenhuma luz passa na superposição entre eles. (c) acrescentou-se um
polarizador que forma uma ângulo de 45o com os outros dois.
29
FI092
Capítulo V
Mauro M.G. de Carvalho
Espectro sonoro
Máxima sensibilidade do ouvido humano
(3000 a 5000Hz)
Faixa
audível
Infrasom
20 Hz
Ultrasom
20000 Hz
Fig5: Espectro Sonoro
Aplic.2: Determine a faixa de comprimentos de onda audíveis. A velocidade do som no ar é 340m/s.
R: 17m e 17mm
Aplic.3: Determine a faixa de frequências visíveis. A velocidade da luz no ar 3x108m/s.
R: 3,8x1014Hz e 7,9x1014Hz
Aplic.4: Uma radiação tem comprimento de onda 6000Å no ar. Determine seu comprimento de onda num meio cujo
índice de refração é 1,5.
R: 4000 Å
Intensidade: Define-se a intensidade de uma onda como a razão entre a potência incidente numa área e a área
considerada.:
I = P/A
A unidade de intensidade é o W/m2. Na prática usa-se muito o W/cm2.
Aplic.5: Mostre que a intensidade de uma onda a uma distância R de sua fonte pontual é dada por I = P/4R2, onde P é
a potência da fonte. Calcule a intensidade de luz a 2m de uma lâmpada de 100W.
R: 2 W/m2
Nível de intensidade: Define-se como  = 10 log(I/Io). Apesar do nível de intensidade não ter unidade, criou-se u
nome para ele. É o Decibel, cujo símbolo é o dB. Note que também pode-se escrever  = 10log(P/Po)
30
25
20
10. log( x) 15
10
5
0
200
400
600
800
1000
x
Fig.8: A figura mostra a curva 10.logx versus x. Note que ela não aumenta linearmente. Nosso ouvido comporta-se de
forma parecida
30
FI092
Capítulo V
Mauro M.G. de Carvalho
Tabela 1: O efeito da intensidade do som no homem é mostradod na tabela abaixo
Nível
Do
Som (dB)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
140
160
Intensidade
(W/m2)
Efeitos
1X10-12
1X10-11
1X10-10
1X10-9
1X10-8
1X10-7
1X10-6
1X10-5
1X10-4
1X10-3
1X10-2
1X10-1
1
1X102
1X104
Limite de audição para 1000Hz
Farfalhada
Sussurro a 1m de distância
Casa em silêncio
Música suave
Escritório
Conversa normal
Escritório barulhento trânsito intenso
Rádio alto, Aula
Dentro de um metrô. Danos após exposição prolongada
Fábrica, sirene a 30m. Danos para uma exposição de 8h/dia
Danos para uma exposição de 30min/dia
Hard Rock em ambiente fechado. Limite de dor. Danos em minutos
Avião a jato a 30m. Dor forte
Rompimento do tímpano
31
FI092
Capítulo V
Mauro M.G. de Carvalho
Interferência: As amplitudes das ondas se somam algebricamente onde elas se encontram. A isso se chama
Interferência.
As figuras abaixo mostram a interferência entre dois pulsos iguais. À esquerda, temos uma interferência construtiva e ,à
direita, uma destrutiva.
(a)
(b)
Fig.9: Interferência construtiva (a) e destrutiva (b) entre dois pulsos
No caso de ondas periódicas alguns casos importantes ocorrem. Se a defasagem entre elas é /2 ou um número ímpar
de/2 (também dizemos ondas de fase invertidas), a interferência dá uma anulação:
/2
A
A+B
B
Fig.10: Interferência destrutiva entre duas ondas progressivas iguais
32
FI092
Capítulo V
Mauro M.G. de Carvalho
Se a defasagem é zero ou um número inteiro de ou um número par de, a interferência dá um reforço :
A
A+B
B
Fig.11: Interferência construtiva entre duas ondas progressivas iguais
Existem muitas aplicações da interferência, tanto luminosa como acústica. Para a luminosa podemos citar a medida de
espessura (ou variação da) de filmes finos. Em acústica, podemos citar a ultra-sonografia de uso corrente na medicina.
Ondas Estacionárias
Interferência de ondas periódicas iguais e deslocando-se em sentidos opostos dá como resultado uma Onda
Estacionária. A característica deste tipo de onda é ter pontos igualmente espaçados cuja amplitude é sempre zero e,
exatamente entre esses pontos, pontos cuja amplitude da onda é máxima e igual ao dobro da amplitude das ondas que a
Geraram. A figura abaixo mostra duas ondas (vermelha e azul) que se deslocam em sentidos contrários formando uma
onda estacionária.
Fig.12: Formação de uma onda estacionária
33
FI092
Capítulo V
Mauro M.G. de Carvalho
Aplic.6: Num violão as cordas são fixas nas duas extremidades. A velocidade de uma onda numa corda está ligada à
tração T na corda e à sua densidade linear (massa por unidade de comprimento) através da equação
v
T
. Considere uma corda que tem 1,00 g de massa por metro de comprimento. Se usarmos esta corda num violão
μ
cuja distância entre os pontos fixos das cordas é 65,0 cm, qual deverá ser a tração sobre ela para que vibre na nota C
(264Hz) no seu modo fundamental.
R: T = 117,8 N
Batimento
A interferência entre duas ondas periódicas de frequências próximas e deslocando-se no mesmo sentido dá como
resultado uma onda de frequência igual à média entre as das duas ondas e uma amplitude modulada com seus valores
máximos (em valor absoluto) ocorrendo a uma frequência igual a diferença entre as frequências das duas ondas. Essa
frequência é chamada de frequência de batimento entre as duas ondas.
1
X1( x) 0
1
0
10
20
30
40
50
60
40
50
60
40
50
60
x
1
X2( x) 0
1
0
10
20
30
x
1
X1( x)
X2( x) 0
1
0
10
20
30
x
Fig.13: Formação do batimento. Na figura acima, onda X1 tem frequência f1, a onda X2 tem frequência f2 e a onda
X1+X2 tem frequencia (f1 + f2)/2 e sua amplitude é modulada numa frequência  f1 - f2. As linhas verdes mostram a
posição dos picos das ondas e o resultado da interferência.
Aplic.7: Determine a frequência de batimento entre duas notas musicais de 400Hz e 450Hz.
R: 50Hz
Efeito Doppler
34
FI092
Capítulo V
Mauro M.G. de Carvalho
Uma fonte de ondas em movimento muda o comprimento de onda (frequência) da onda emitida, mas não sua
velocidade. Quando uma fonte se aproxima de um observador parado, o comprimento de onda (a frequência) diminui
(aumenta). Quando a fonte se afasta do observador parado, o comprimento de onda (a frequência) aumenta (diminui).
A
B
v



Fig. 14: Um observador ouve freqüências diferentes se está na frente ou atrás de uma fonte sonora em movimento
Na figura 14, vemos que o comprimento de onda quando a fonte está parada (à esquerda) é o mesmo em todas as
direções; já com a fonte em movimento, o comprimento de onda é menor para o observador A de quem a fonte se
aproxima, e maior para o observador B, de quem a fonte se afasta.
O comprimento de onda l1 vale:1= (vs –vf)T = (vs –vf)/f
O observador A percebe a frequência da onda como: f A = vs/1
vs
Substituindo (1) em (2), temos:
fA  f
(v s  v f )
(1)
(2)
Analise esta equação e entenda porque o observador B percebe uma frequência:
vs
fB  f
(v s  v f )
Portanto, o sinal + ou – no denominador será usados conforme a fonte afasta-se ou aproxima-se do observador
respectivamente.
Fonte sonora
parada
E quando a fonte está parada e o
observador em movimento?
A velocidade do som percebida pelo
observador é : v = vo+ vs
(1)
Portanto para ele: v = fA , onde fA é a
frequência que percebe. Mas  = vs/f,
sendo f a frequência verdadeira do
som. Então podemos escrever:
v = vsfA/f
Substituindo v em (1), temos:
vsfA/f = vo + vs
Ou seja:
fA 
vs
vo

vo  vs
f
vs
v  vo
f
Analise esta equação e entenda que quando o observador se afasta da fonte: f A  s
vs
35
FI092
Capítulo V
Mauro M.G. de Carvalho
Ouvido humano
Fig.15: Uma vista interna do ouvido humano
Fig. 16: Sensibilidade do ouvido humano. O percentual refere-se a quantos por centos de pessoas seguem a curva.
36
FI092
Capítulo V
Mauro M.G. de Carvalho
Exercícios:
1) A velocidade do som é mais rápida nos sólidos do que nos gases. Por quê? E o que dizer da velocidade do som nos
líquidos?
2) Qual a intensidade do som num ponto onde o nível sonoro é zero?
R: 10-12 W/m2
3) Qual o fator mais importante para uma nota musical quebrar um cristal, a frequência ou a potência?
R: A frequência
4) Qual o tempo necessário para um ciclo completo de vibração no ultra-som de 2,0 MHz?
R: 5,0x10-7 s
5) A velocidade de uma onda numa corda (ou fio) é dada por v 
T

, onde T é a tração e  a massa específica linear
da corda (massa por unidade de comprimento). Uma corda de aço de 0,5 mm de diâmetro é esticada entre o cavalete e a
pestana de um violão. A distância entre esses dois elementos é 65 cm e a densidade do aço é 7,86 g/cm3. Determine a
tração com que deve ser esticada a corda para que ela emita a nota C (264 Hz) no seu modo fundamental.
R: 181 N
6) Se a nota C (264 Hz) e D (297Hz) de um violão são tocadas simultaneamente, qual será a frequência dos batimentos?
R: 33 Hz
7) Quais as frequências de ressonância de um tubo de 34,0 cm fechado numa das pontas e aberto na outra?
R: (2n+1)x250 Hz
8) A figura mostra um tubo semi-aberto no qual existia um pó muito fino quando entrou em ressonância com uma onda
sonora. Os pontos a, b, c e d são pontos onde o pó ficou acumulado devido ã ressonância. Qual o comprimento de onda
da onda sonora?
a
b
5 cm
d
c
5 cm
5 cm
5 cm
R: 3400Hz
9) Um caminhão desloca-se numa estrada com a buzina ligada. Nominalmente a buzina emite um som de 800 Hz, mas
um observador parado na estrada observa 750 Hz. (a) O caminhão aproxima-se ou afasta-se do observador? (b) Qual a
velocidade do caminhão?
R: Afasta-se a 81,6km/h
11) A trompa de ouvido, muito usada pelos deficientes auditivos até o início do séc. XX, aumenta a intensidade do som
devido à diferença de área entre a parte que capta o som e o tímpano. Qual o ganho, em decibéis, de uma trompa com
uma entrada de 884 cm2 se a área do tímpano é 0,45 cm2 e a eficiência da trompa para transmitir o som é 5%.
R: 20dB
37
FI092
Capítulo VI
Mauro M.G. de Carvalho
CAPÍTULO VI
ELETRICIDADE
A carga elétrica
RESULTADO PARCIAL DA EXPERIÊNCIA
ATRAI
REPELE
REPELE
ATRAI
ATRAÇÃO !
CONTATO
NÃO HÁ FORÇA
Fig. 1: Experiência que demonstra a existência de dois tipos de carga
A experiência demonstra a existência de dois tipos de cargas que, convencionalmente formam denominadas positiva e
negativa.
As características principais das forças entre cargas são:
1) A força pode ser de atração ou repulsão;
2) A força entre duas cargas tem a direção linha que as une;
3) A força que duas ou mais carga exercem sobre uma carga q é a soma vetorial das forças que cada uma das
cargas exerceria sobre q se não existissem as outras (Princípio da Superposição).
4) Vale a lei da ação e reação entre duas cargas
Lei de Coulomb
O módulo da força entre duas cargas é:
FK
q 1q 2
r2
Onde K = 9x109 u(SI), q1 e q2 são as cargas em Coulomb(C) e r a distância entre as cargas. O valor de K está ligado ao
meio e pode ser expresso como: K=1/(4o) , onde o é a permissividade elétrica do meio (8,85x10 -12 u(SI) no vácuo).
A direção da força é a direção da reta que as une e o sentido, depende se a força é atração ou repulsão.
38
FI092
Capítulo VI
Mauro M.G. de Carvalho
Exemplos:
-
+
+
+
+
+
-
(a)
C
(b)
Fig. 2: Atração e repulsão entre cargas e força resultante(azul) na carga C (positiva) usando o princípio da
superposição.
Aplic. 1: Calcule a força sobre a carga q1= 2,0 C nas figuras abaixo:
a)
b)
q1
q1
3,0C
q1
3,0C
3,0m
1,5m
d)
c)
q1
3,0C
3,0m
-2,0C
3,0C
1,0m
q1
3,0m
39
3,0C
1,0m
FI092
Capítulo VI
Mauro M.G. de Carvalho
Campo Elétrico:
A intensidade de campo elétrico é definida como: E = F/q
A unidade de E é o N/C ou V/m.
Aplic. 2: Calcular o campo elétrico num ponto A distante r de uma carga q positiva. Faça uma figura para mostrar o
vetor Campo Elétrico. Repita o exercício para uma carga q negativa.
R: E = kq/r2
Aplic. 3: O campo elétrico numa certa região é dado por E = 100 (V/m) na direção e sentido do eixo x. Calcule o
trabalho para deslocar uma carga de 2 C (a) de (1,0) a (5,0); (b) de (3,0) a (0,0); (c) de (2,0) a (2, 7). As coordenadas
estão em metros.
R: (a) 8x10-4J ; (b) -6x10-4J; (c) zero
Aplic. 4: Na figura abaixo identificar os pontos onde o campo é mais intenso, onde ele é menos intenso e onde ele é
zero.
Diferença de Potencial (ddp): Def: VA-VB = VAB = WAB /q onde WAB é o trabalho realizado pela força elétrica sobre a
carga q durante o deslocamento de q entra A e B.
Unidade de VAB é o Volt
Essa definição só é possível porque o campo elétrico é conservativo.
Aplic. 5: Mostre que o campo elétrico também pode ser medido em V/m.
Aplic.6: Duas placas metálicas iguais de 25cm2 são colocadas faca-a-face a uma distância de 1cm. Uma ddp de 100V é
aplicada entre as placas. Qual o campo elétrico entre elas. Pode-se demonstrar que o campo entre duas placas é dado,
neste caso, por /o, onde  é a densidade de carga das placas (carga por unidade de área) e o é a permissividade
elétrica do meio (no vácuo (e no ar) o = 8,85x10-12 u(SI)). Calcule a carga nas placas.
R: 104V/m; 2,2x10-10C
Aplic. 7: Um elétron é acelerado entre dois pontos entre os quais a ddp é 1000V. Considerando que inicialmente sua
velocidade era de 10m/s, calcule sua velocidade final. A massa do elétron é 9,1x10 -31kg.
R:1,9x107m/s
Propriedades específicas dos condutores em equilíbrio elétrico.
O campo eletrostático dentro de um condutor é zero.
O potencial elétrico dentro de um condutor é constante, logo a ddp entre dois pontos no seu interior é zero.
Cuidado! O potencial dentro do condutor não é ZERO e sim constante.
Capacitores: São armazenadores de energia.
Símbolo:
As cargas nas placas dos capacitores são sempre iguais e de sinais opostos. O campo elétrico no seu interior é : E = /
onde  é a permissividade do meio. A razão k = o é chamada constante dielétrica do meio.
40
FI092
Capítulo VI
Mauro M.G. de Carvalho
Capacitância: A capacitância de um capacitor é definida por: C = Q/V
Onde Q é a carga na placa positiva do capacitor e V a diferença de potencial entre suas placas.
A unidade de C é o Farad (F).
Aplic. 8: Calcule a capacitância de uma capacitor de capacitor cujas placas têm área A , distam d entre si e , entre elas
existe um dielétrico de constante k.
R: C=koA/d
Aplic. 9: Aplica-se uma tensão de 100V num capacitor de 20F. Qual a carga no Capacitor.
R: 2x10-3C
Aplic. 10: Quando um capacitor está carregado, a energia nele armazenada é dada por U= CV2/2. Calcule a energia
armazenada no capacitor do exercício acima.
R: 0,1 J
Aplic. 11: Considere um capacitor carregado e duas lâmpadas, uma de 20W e outra de 100W. Ao se ligar a lâmpada de
100W no capacitor, ela acende e apaga logo depois. Explique o porquê desse comportamento. O que aconteceria se a
lâmpada ligada fosse a de 20W.
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Capítulo VI
Mauro M.G. de Carvalho
A corrente elétrica
No caso de corrente constante, matematicamente i é definido por: i = q/t
Unidade: A unidade de i é Coulomb/segundo que é chamada Ampère (A).
Para haver corrente é necessário haver:
1) Cargas livres (ou quase).
2) Um Campo elétrico (ou, o que vem a ser a mesma coisa, uma ddp).
Resistência eletrica : É a resistência que um condutor opõe à passagem de corrente elétrica. É dada pela razão entre a
ddp e a corrente no condutor.
R = V/I (volt/Ampère)
A unidade de R é o Ohm ()
Lei de Ohm: É constante a resistência de um condutor.
A resistência elétrica de um material é diretamente proporcional a seu comprimento (L) e de suas características
intrínsecas e inversamente proporcional à área de sua seção reta (A).
R  ρ
L
A
 é a resistividade do material e é medido em Ohm-m ou Ohm-cm. O inverso da resistividade é a condutividade que é
medida em Ohm-1-cm-1 A resistividade (condutividade) está ligada ao material. É uma característica intrínseca de cada
material..
Resistor : É um elemento passivo que dissipa energia elétrica. Símbolo:
Aplic. 12: Determine a ddp num resistor de 100k percorrido por uma corrente de 1mA.
R: 100V
Aplic. 13: Calcule a ddp nos resistores da figura abaixo onde VAB = 120V.
R:24 V e 96V
A
B
2
8
Gerador: É um elemento que transforma algum tipo de energia em energia elétrica. Símbolo
-
+
Força Eletromotriz (FEM): É a energia por unidade de carga que um gerador fornece às cargas. E = W/q
A unidade de FEM é o Volt.
Os geradores têm uma resistência interna que dissipa parte da energia que é obtida da sua fonte de energia. A potência
útil de um gerador é, portanto: P u = Pf - Pp , onde Pu é a potência útil que um gerador pode fornecer, P f é a potência
fornecida pelo sua fonte de energia (química, mecânica, solar etc) e Pp é a energia dissipada no gerador (internamente).
Energia e potência elétrica
Se V é a ddp entre dois pontos, então, pela própria definição de V , W = qV ., mas sendo q = it, temos:
W = V.i t
Evidentemente, a potência será:
P = Vi
Obs: Como a potência é definida por P=W/t , temos que W = P.t. Portanto, se multiplicarmos a potência por
qualquer unidade de tempo, teremos energia. Uma unidade de energia muito usada é o kW.h.
1kWh é a energia gasta (ganha) durante 1 hora por um aparelho que dissipa (absorve) 1kW. Em Joules essa energia
corresponde a:
42
FI092
Capítulo VI
Mauro M.G. de Carvalho
1Kw.h= 1000Wx3600s = 3,6 x 106J
A conta de luz: A energia gasta em sua casa é medida em kWh (quilowatt hora). Se o ferro de engomar que dissipa
500W fica ligado durante 1 hora, a energia consumida é de 500Wh. Um chuveiro elétrico que dissipa 3000W, consome
3000Wh (3kWh) em 1hora. A companhia de luz cobra cada kWh que você gasta em seus equipamentos elétricos!
Aplic. 14: Num gerador a ddp entre seu terminal positivo e negativo é 10V quando a corrente é 10A. Qual sua potência
útil.
R: 100W
Aplic. 15: Mostre que a potência dissipada numa resistência pode ser dada por : P = Vi = Ri 2 = V2/R
Aplic. 16: Se a resistência interna da bateria da aplicação 16 é 0,20, qual sua FEM?
R: 12V
Aplic. 17: Qual a resistência de uma lâmpada de 60W-120V?
R: 240
Aplic. 18: Qual a corrente num chuveiro elétrico de 2200W-220V?
R: 10ª
Aplic. 19: Se você tem que escolher entre um chuveiro elétrico de 2200W-120V e outro de 2200W-220V, qual
escolheria.
43
FI092
Capítulo VI
Mauro M.G. de Carvalho
Magnetismo
Existem dois pólos - norte e sul - que não podem existir separadamente. A divisão de um imã gera outros imãs sempre
com os dois pólos
S
S
N
S N
D
S N
D
S N
DD
N
S
N
Figura 3 – Imãs divididos continuam imãs com dois pólos
S N
D
A passagem de uma corrente elétrica num fio faz aparecer um
campo magnético. Isso pode ser constatado pelo movimento de uma agulha magnética colocada sobre o fio, conforme
mostra afigura ao lado.
Sem corrente
Figura 4 - Desvio da agulha magnética devido à corrente no
fio.
i
O fio também sofre ação do campo magnético como pode ser constatado com a experiência mostrada na figura
Figura 5 – O condutor sobe quando é
colocado num campo magnético
demonstrando que aparece uma forçca
na corrente devido ao campo magnético
F
44
FI092
Capítulo VI
S
Mauro M.G. de Carvalho
v
N
Figura 6 – O imã em movimento faz aparecer uma corrente na espira circular.
Em resumo, campo magnético variando dentro de um circuito fechado gera corrente elétrica
Do que acabamos de ver, a conclusão é óbvia: Magnetismo e eletricidade estão intrinsicamente ligados!
Força sobre carga em campo magnético
Características:
B
V

1. Força magnética só se manifesta em cargas em movimento;
2. A força magnética é perpendicular à velocidade da carga e ao campo magnético (ou
seja, ao plano formado por v e B). Portanto, a força magnética não muda o módulo da
velocidade ou, em outras palavras, não muda a energia cinética da carga.
3. O módulo da força magnética vale F= qvBsenPortanto, se a velocidade tem a
mesma direção do campo, a força magnética é nula.
F
Figura 7 – Os três vetores v,B e F.
Regra da mão direita:
Esta é uma regra útil para determinar a direção
de um dos três vetores (v, B ou F) conhecendo
os outros dois.
Figura 8 – A posição da mão direita representando v B e F
45
FI092
Capítulo VI
Mauro M.G. de Carvalho
Num plano, se uma força é sempre normal à velocidade o movimento é circular uniforme. Portanto, se uma partícula
carregada entra numa região de campo magnético uniforme e perpendicular a sua velocidade, seu movimento será
circular e uniforme. Vejamos algumas propriedades desse movimento.
Partícula carregada em campo magnético uniforme
A força que faz a partícula girar é a força centrípeta que, no caso é a força magnética
Fc = FM
onde
Fc = m v2/R e FM = qvB sen90o
, logo:
mv2/R = qvB
R = mv/qB (Não precisa decorar!)
Observe que mv é o momento da partícula, ou seja, p = mv. Logo,
podemos escrever:
R = p/qB (Não precisa decorar!)
R
Se expressarmos a energia cinética da partícula em função do
momento, o raio da trajetória poderá ser dado em função da energia
cinética e da massa da partícula. Isto é muito útil para os
espectrômetros de massa com campo magnético (ver exercício 6 da
lista 4).
F
v
Figura 9 – Trajetória de uma partícula carregada
(no caso, positiva) num campo magnético uniforme
Uma importante característica do movimento da partícula é o seu período. Por definição, o período T é o tempo
necessário para a partícula completar uma volta:, portanto, como sua velocidade escalar é v, temos: vT = 2R , ou seja,
v = 2R/T. Substituindo esta expressão para v na primeira equação para R, temos :
T = 2m/qB
ou ainda, lembrando que  =2/T

 = qB/m (Não precisa decorar!)
que é chamada frequência ciclotrônica.
Observe que nem o período nem a frequência ciclotrônica dependem da velocidade da carga.
Força sobre um fio que conduz uma corrente i.
A corrente num fio é o deslocamento de cargas. O sentido convencional da corrente é o de cargas positivas deslocandose. Logo é de se esperar que um fio sofra ação de
campo magnético se estiver conduzindo corrente.
L
Esta ação é uma força dada por:
i

F = iBLsen
(não precisa decorar!)
B
Figura 10 – Fio num campo magnético
F
46
FI092
Capítulo VI
Mauro M.G. de Carvalho
Campo devido a um fio.
O campo magnético em torno de um fio retilíneo, infinito (mas nem tanto!) e conduzindo uma corrente i é dado por:
B
r
(ar)
i
μ i
o
, onde o é a permeabilidade magnética do vácuo
2ππ
e vale: o = 4 x 10-7 u(SI). (Não precisa decorar!)
A direção do campo é perpendicular ao fio e o sentido é o do
fechamento da mão direita que tem o polegar apontando no
mesmo sentido da corrente (isto precisa saber!), conforme
mostra a figura 12.
Figura 11 – Campo devido a um fio
Figura 12 - Regra da mão direita para campo de um fio
Aplic. 22: Dois fios paralelos e distantes d entre si conduzem correntes iguais a i1 e i2. Determine a força por unidade de
comprimento entre eles:
a) no caso das correntes terem o mesmo sentido.
R: Atração - F/l = oi1i2/2r
b) no caso das correntes terem sentidos opostos .
R: Repulsão - F/l = oi1i2/2r
47
FI092
Capítulo VI
Mauro M.G. de Carvalho
Campos magnéticos importantes (não precisa decorar as equações!)
B
i
B
i
Campo no centro de uma espira
B= oi/2R
i
Campo no interior de um solenoide. É aproximadamente
uniforme e vale: B = oni, onde n é o número de espiras por
unidade de comprimento
Fluxo de campo uniforme através de uma superfície plana: É o produto da componente do campo na direção normal
à superfície pela área da superfície.

 = B.A.cos
B
Lei de Faraday
A força eletromotriz induzida num circuito fechado é numericamente igual ao valor absoluto da taxa de variação de
fluxo magnético no circuito.
E
dφ
dt
A corrente induzida é tal que cria um campo oposto à variação do fluxo.
Aplic. 23: Determine a força eletromotriz induzida numa espira quadrada de 2 cm de lado quando o campo magnético
uniforme e perpendicular a seu plano varia de acordo com a equação:
a) B(t) = 2t
R: E = 2V
Aplic. 24: No exercício anterior, representar o sentido da corrente.
48
FI092
Capítulo VI
Mauro M.G. de Carvalho
Exercícios
I- ELETRICIDADE
1) Qual a massa de um grupo de prótons cuja carga total é 1C? Qual a carga total de 1kg de prótons?
dado: mp = 1,67x10-27 kg
R: 1,04 x 10-8 kg; 9,6 x 107 C
2) A massa de um elétron é 9,1x10-31 kg e a do próton 1,67x10-27 kg. A constante de gravitação universal vale
6,67x10-11 u(SI). calcule a razão entre as forças de atração gravitacional e elétrica entre um próton e um elétron.
-4 C
3) Calcule a força sobre uma carga de 10-10 C no pontos A da figura ao lado.
R: 0,176 N para baixo.
0,5m
4C
4) O campo elétrico num determinado ponto vale 300V/cm na direção e sentido do eixo X. Qual a
força que atuaria numa carga de –2mC colocada no ponto considerado.
R: 60 N na direção x e sentido –x

2,5m
A
5) A Figura abaixo representa um campo elétrico, através de linhas de força, e quatro pontos .
a) Em qual ou quais dos pontos o campo elétrico é mais intenso?
b) Em qual ou quais dos pontos o campo é horizontal?
c) Em qual ou quais dos pontos o campo pode ser considerado
B
uniforme?
A
d) Desenhe o vetor força para uma carga positiva colocada em D;
C
e) Idem para uma carga negativa colocada em B.
D
R: a) C; b) A e C; c) A
6) Considere os pontos A, B e B’ do campo elétrico uniforme de 1000V/m representado abaixo.
B'
A
B
0,50 m
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Qual a força elétrica que atua numa carga de 20 C em A ? E em B?
Onde a energia potencial da carga é maior, em A ou em B?
Onde o potencial é maior, em A ou em B?
Responda aos itens a e b considerando uma carga de –20 C.
Determine a diferença de potencial ente B e B’.
Desenhe uma equipotencial que passe por A e outra que passe por B.
R: a) 2,0x10-2 N no sentido das linhas de força; b) Em A ; c) Em A; d) 2,0x10-2 N no sentido oposto ao das linhas de
força; e) 500 V; f) zero
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FI092
Capítulo VI
Mauro M.G. de Carvalho
7) Considere um sólido qualquer (uma batata, por exemplo) carregado com carga q positiva. Qual o campo para pontos
a uma distância r do sólido, r sendo muito maior que a maior dimensão do sólido.
R: É o mesmo que o de uma carga pontual q no lugar do sólido.
8) Num tubo de raios catódicos, um elétron é acelerado, a partir do repouso, por uma diferença de potencial de 16kV.
Qual a energia cinética final do elétron? Qual sua velocidade?
Dado: me = 9,1 x 10-31 kg
R: 16 keV; 7,5x107 m/s
9) Duas placas metálicas de 10x10 cm2 são colocadas face-a-face e ligadas numa fonte de tensão fixa de 500V. Se à
distância entre as placas é 10 cm, qual o campo elétrico entre elas?
R: 5000 V/m
10) Experiência de Millikan -A massa m de uma gotícula de óleo pode ser facilmente calculada conhecendo seu
diâmetro e a densidade do óleo . Suponha que uma gotícula carregada com N elétrons (o que também não é difícil se
fazer em laboratório) entra, por cima, numa região entre duas placas paralelas, horizontais e submetidas a uma ddp V
que pode ser variada. Um operador (em geral, aluno) observa, através de uma luneta, as gotículas passarem e tenta, até
conseguir, parar uma. Conhecendo a massa m da gotícula, a distância d entre as placas, a ddp V aplicada e a aceleração
local da gravidade qual a carga da gotícula? Como, com muitas repetições desta medida pode-se chegar ao valor da
carga do elétron?
ionizador
Olho do aluno
Fonte de tensão
variável
...
.
.
.
pulverizador
d
R: q = mdg/V
lâmpada
11) Nos trechos de circuitos abaixo, calcular :
a) A corrente em cada resistor;
b) A ddp em cada resistor;
c) A ddp entre A e C
d) A potência dissipada em cada resistor
6
3
B
A
C
8
I=9A
R: a) 3A (6) , 6A(3) e 9A (8); b) 18V (6 e 3e 72V; c) 90V; d) 54W (6), 108W (3) e 648W (8)
12) Na figura, cada lado do hexágono é um fio de resistência 1,0 e C é um capacitor de
20 F.
a) Uma tensão de 15 V é aplicada entre A e D. Calcule a corrente em cada fio;
b) Nas mesmas condições, determine a carga no capacitor;
c) Nas mesmas condições, determine a ddp ente B e C;
R: a) 5,0 A; b) 3,0x102 C; c) 5,0 V
C
D
A
B
50
E
F
C
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Capítulo VI
Mauro M.G. de Carvalho
II- MAGNETISMO
1) Uma partícula  (2 prótons + 2 nêutrons) com energia de 1,0MeV penetra num campo magnético uniforme de
2000G. A velocidade da partícula é perpendicular ao campo.
(a) Determine o raio do círculo descrito pela partícula;
R: 0,72m
(b) Determine o tempo para a partícula descrever meia volta.
R: 6,5x10-7s
-27
Mp ≈ Mn ≈ 1,67 x 10 kg
2) Um feixe de elétrons de 10keV penetra numa região de campo
magnético uniforme perpendicular a esta folha. A trajetória do feixe é
mostrada abaixo. Determine:
(a) O(s) sentido(s) do(s) campo(s);
R: Entrando na folha no 1o arco e saindo no segundo
3,4cm
3,4cm
(b) O(s) módulo(s) do(s) campo(s);
R: 200G
3) Na figura abaixo, calcule a força (módulo, direção e sentido) na espira de 40x60 cm2 percorrida por uma corrente de
100mA. O módulo de B é 0,5T.
R: 2x10 –2 N
40 cm
60 cm
4) Acelerado por uma ddp V, um feixe de ions positivos de massa m penetra num campo magnético uniforme B
conforme mostra a figura abaixo. Os ions têm carga +e (ionização simples). (a) Determine D.
(b) Determine D para
ions de ionização dupla. Considere íons de H , C e N, todos com carga +e. Para um campo magnético de 0,5T, e ddp
V = 10kV, calcule D para os três casos.
2 V 12
2 2V 12
m
m
R: (a) D 
(b) D 
B e
B e
Canhão de íons
D
(c)DH= 5,0 cm; DC = 17,4 cm; DN = 18,7 cm
5) Na figura abaixo, o campo magnético cresce. Qual o sentido da corrente induzida?.
51