Professor Bruno Alves
Engenharia maecânica
Engenharia de produção
Engenharia de controle e automação
Poços de Caldas
Segundo semestre de 2012
Notas de aula da disciplina Cálculo III ministrada no segundo semestre
de 2012 na Faculdade Pitágoras - campus Poços de Caldas pelo professor
Bruno Alves. Algumas informações importantes sobre a disciplina podem ser
encontradas no portal do aluno, o qual pode ser acessado pelo site da faculdade, a saber: http://www.faculdadepitagoras.com.br/PocosdeCaldas.
Este material pode ser utilizado por alunos e docentes livremente, desde
que citada a fonte e sem fins lucrativos.
Quem pretende apenas a glória não a merece.
Mário Quintana
i
Sumário
1 Integrais duplas
1.1 Integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Áreas e integrais duplas . . . . . . . . . . . .
1.3 Integrais iteradas e o teorema de Fubini . . . .
1.3.1 Integrais iteradas . . . . . . . . . . . .
1.3.2 O teorema de Fubini . . . . . . . . . .
1.4 Integrais duplas sobre regiões quaisquer . . . .
1.5 Mudanças de coordenadas em integrais duplas
1.5.1 Mudanças de coordenadas quaisquer .
1.5.2 Coordenadas polares . . . . . . . . . .
1.6 Aplicações da integral dupla . . . . . . . . . .
1.6.1 Área de superfı́cies . . . . . . . . . . .
1.6.2 Algumas aplicações em fı́sica . . . . . .
1.6.3 Algumas aplicações em estatı́stica . . .
2 Integrais triplas
2.1 Volume e integrais triplas . . . . . . . . . . .
2.2 Mudanças de coordenadas em integrais triplas
2.2.1 Mudanças de coordenadas quaisquer .
2.2.2 Coordenadas cilı́ndricas . . . . . . . .
2.2.3 Coordenadas esféricas . . . . . . . . .
2.3 Aplicações da integral tripla . . . . . . . . . .
ii
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1
1
2
7
7
9
10
17
17
22
27
27
28
29
.
.
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31
31
37
37
38
40
43
2.3.1
2.3.2
2.3.3
Volume de um sólido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Algumas aplicações em fı́sica . . . . . . . . . . . . . . . 44
Algumas aplicações em estatı́stica . . . . . . . . . . . . 46
iii
Capı́tulo 1
Integrais duplas
Neste capı́tulo, estenderemos a idéia de integral definida para funções
de duas variáveis e aplicaremos algumas ferramentas para o cálculo destas,
dentre elas, o teorema de Fubini e as coordenadas polares.
1.1
Integral definida
Primeiro, vamos lembrar da definição de integral de funções de uma
variável para a seguir, extendermos a idéia para funções de duas variáveis. Se
f (x) é uma funçaõ definida no intervalo [a, b], começamos dividindo este in(basta
tervalo em n subintervalos [xi−1 , xi ], todos de comprimento ∆x = b−a
n
b−a
tomar xi = a + i n , para i = 0, 1, ..., n). Depois, tomamos um ponto x∗i no
intervalo [xi−1 , xi ], e então, formamos a soma de Riemann
n
X
f (x∗i )∆x.
i=0
1
(1.1)
Fazendo n → ∞ em (1.1), obtemos o que chamamos de integral definida da
função f , no intervalo [a, b], isto é:
Z
b
f (x)dx = lim
a
n→∞
n
X
f (x∗i )∆x.
(1.2)
i=0
Quando f (x) ≥ 0, a soma de Riemann pode ser interpretada como a soma
da área de retângulos que, juntos, aproximam a área entre o gráfico de f (x),
o eixo das abscissas e as retas x = a e x = b (de fato, a integral definida
(1.2), representa o valor exato da área em questão).
1.2
Áreas e integrais duplas
Considere agora uma função f (x, y) definida num retângunlo R = [a, b] ×
[c, d] = {(x, y) ∈ R2 |a ≤ x ≤ b e c ≤ y ≤ d}, e consideremos que f (x, y) ≥ 0.
O gráfico desta função será uma superfı́cie de equação z = f (x, y). Seja
então S = {(x, y, z) ∈ R3 |a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d e 0 ≤ z ≤ f (x, y)}. Vamos
determinar o volume de S.
2
De maneira análoga à integral definida (onde dividiamos um pequeno
intervalo em vários subintervalos), vamos dividir o retângulo R em vários
retângulos menores, e, para isto, basta dividirmos os intervalos [a, b] em m
subintervalos [xi−1 , xi ], todos de comprimento ∆x = b−a
e [c, d] em n subinm
d−c
tervalos [yj−1 , yj ], todos de comprimento ∆y = n , depois, cortamos R por
retas paralelas aos eixos coordenados passando pelos pontos xi e yj , formando
assim os subretângulos Ri,j = [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] = {(x, y) ∈ R2 |xi−1 ≤ x ≤
xi e yj−1 ≤ y ≤ yj }, cada um deles com área ∆A = ∆x∆y.
Escolhendo um ponto (x∗ij , yij∗ ) em cada retângulo Rij , podemos aproximar o pedaço do sólido S dentro do retângulo Rij pelo paralelepı́pedo de
base Rij e altura f (x∗ij , yij∗ ), cujo volume será f (x∗ij , yij∗ )∆A.
3
Repetindo este procedimento para cada retângulo Rij e depois somando o
volume de cada um dos paralelepipedos obtidos, obtemos uma aproximação
do volume do sólido S, a saber
V (S) ∼
=
m X
n
X
f (x∗ij , yij∗ )∆A.
(1.3)
i=0 j=0
Note que quanto maior o número de subretângulos que dividimos R (ou
seja, quanto maior m e n), melhor a nossa aproximação do sólido S. Assim,
fazendo m, n → ∞ em (1.3), obtemos
V (S) = lim
m,n→∞
m X
n
X
f (x∗ij , yij∗ )∆A.
(1.4)
i=0 j=0
A expressão em (1.4) é a que usamos para definir o volume do sólido S
em qustão, e, assim como no caso da integral definida para funções de uma
variável, esta intimamente ligada com a nossa definição de integral, dada a
seguir.
Definição 1.1. Se f (x, y) é uma função definida num retângulo R ⊂ R2 ,
definimos a integral de f sobre o retângulo R por
Z Z
Z Z
f (x, y)dA =
R
f (x, y)dxdy := lim
m,n→∞
R
4
m X
n
X
i=0 j=0
f (x∗ij , yij∗ )∆A, (1.5)
quando este limite existe (pode-se provar que o limite acima existe sempre
que f é uma função contı́nua, ou mesmo quando f não é contı́nua, mas o
conjunto onde f é descontı́nua é pequeno, num certo sentido).
Observação 1.2. O somatório duplo dado em (1.3) é chamado de soma
dupla de Riemann, enquanto que a integral definida em (1.5), é chamada de
integral dupla de Riemann.
Note que a única restrição na escolha de (x∗ij , yij∗ ) é que este ponto
esteja no retângulo Rij = [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ]. Procuraremos então, desde
então, tomar (x∗ij , yij∗ ) como o ponto médio de Rij , isto é, tomaremos x∗ij
como o ponto médio de [xi−1 , xi ] x∗ij = xi−12+xi e yij∗ como o ponto médio de
y
+y [yj−1 , yj ] yij∗ = j−12 j , obtendo assim a seguinte regra:
Propriedade 1.3 (Regra do ponto médio). Se (x∗ij , yij∗ ) é o ponto médio de
Rij , vale então que
Z Z
f (x, y)dA ∼
=
R
m X
n
X
f (x∗ij , yij∗ )∆A.
(1.6)
i=0 j=0
Exemplo 1.4. Usando a regra do ponto médio, com m = n = 2, encontre o
RR
valor aproximado de
(2xy − y 2 )dA, onde R = [0, 1] × [1, 3].
R
Solução: Usando a regra do ponto médio com m = n = 2, dividimos
[0, 1] em dois pedaços, pelos pontos x0 = 0, x1 = 21 e x2 = 1, assim, x∗1,j = 14
e x∗2,j = 34 . Dividimos agora [1, 3] em dois pedaços, pelos pontos y0 = 1,
∗
∗
y1 = 2 e y2 = 3, assim, yi,1
= 23 e yi,2
= 25 . A área ∆A de cada um destes
subretângulos será igual a 12 , assim:
Z Z
(2xy − y )dA ∼
=
2
R
=
2 X
2
X
f (x∗ij , yij∗ )∆A
i=0 j=0
∗
f (x∗11 , y11
)∆A
5
∗
∗
∗
+ f (x∗12 , y12
)∆A + f (x∗21 , y21
)∆A + f (x∗22 , y22
)∆A
1
1 5 1
3 3 1
3 5 1
+f
,
+f
,
+f
,
= f
2
4 2 2
4 2 2
4 2 2
"
"
2 #
2 #
13
3
1
15
5
1
= 2
−
+ 2
−
42
2
2
42
2
2
"
#
"
2
2 #
33
3
1
35
5
1
+ 2
−
+ 2
−
42
2
2
42
2
2
1 3
,
4 2
3 5
5
= − − +0−
4 2
4
9
= − = −4, 5 (o valor exato deste integral é − 4, 666...).
2
Propriedades 1.5. As integrais duplas tem propriedades semelhantes as
propriedades da integral definida, a saber:
(i)
RR
(ii)
RR
(iii)
RR
[f (x, y) + g(x, y)]dA =
R
cf (x, y)dA = c
R
f (x, y)dA ≤
R
todo (x, y) ∈ R.
RR
R
RR
R
RR
f (x, y)dA +
R
RR
R
g(x, y)dA;
f (x, y)dA, onde c é uma constante;
g(x, y)dA, sempre que vale f (x, y) ≤ g(x, y), em
Exercı́cios 1.6. Nos exercı́cios a seguir, use a regra do ponto médio com as
informações dadas para fazer o que se pede.
1) Com m = 2 e n = 3, estime a área do sólido entre a superfı́cie z = xy
e o retangulo R = [0, 4] × [1, 7].
2) Com m = 4 e n = 2, estime a área do sólido entre a superfı́cie z =
y 2 − 2x2 e o retangulo R = [−1, 3] × [0, 2].
3) Com m = 3 e n = 3, estime a o valor de
R = {(x, y) ∈ R2 | − 1 ≤ x ≤ 2 e 1 ≤ y ≤ 4}.
RR
R
(x2 − y 2 )dA, onde
4) Com uma calculadora, m = 4 e n = 4, estime a o valor de
onde R = [0, 1] × [0, 1].
6
RR
R
e−x
2 −y 2
dA,
5) Com uma calculadora, m = 4 e n = 4, estime a o valor de
y 2 )dA, onde R = [0, 1] × [0, 1].
6) Usando a tabela de valores abaixo, estime o valor de
para m = n = 2 e R = [1, 3] × [0, 4].
1.3
1.3.1
RR
R
RR
R
cos(x2 −
f (x, y)dA
Integrais iteradas e o teorema de Fubini
Integrais iteradas
Note que, tanto para integrais de funções de uma variável, quanto para
funções de duas variáveis, o cálculo de uma integral definida (simples ou dupla) a partir da definição é bastante trabalhoso. No caso de uma variável,
tinhamos uma ferramenta poderosa, o teorema fundamental do cálculo. Para
funções de duas (ou até mesmo de mais variáveis), temos o teorema de Fubini, que garante que para calcularmos uma integral dupla (ou tripla, ou ...),
é suficiente calcularmos duas (ou três, ou ...) integrais simples.
Seja f (x, y) uma função de duas variáveis, contı́nua num retângulo R =
Rb
[a, b] × [c, d]. Usaremos a notação a f (x, y)dx para indicar que y está fixado
e estamos integrando f (x, y) em relação a x apenas (de maneira semelhante
a que faziamos no calculo de derivadas parciais). Temos então que A(y) =
Rb
f (x, y)dx é um valor que depende apenas de y, ou seja, uma função de y.
a
7
Integrando agora a função A de y = c até y = d, obtemos
d
Z
Z
d
b
Z
A(y)dy =
c
f (x, y)dx dy.
c
(1.7)
a
A expressão do lado direito de (1.7) é o que chamamos de integral iterada,
isto é
Z d Z b
Z dZ b
f (x, y)dxdy =
f (x, y)dx dy,
(1.8)
c
a
c
a
indicando que integramos a função f (x, y) primeiro em relação a variável x,
de x = a a x = b e depois integramos o resultado em relação a variável y, de
y = c a y = d. De maneira análoga, obtemos
Z bZ
d
Z b Z
d
f (x, y)dydx =
a
f (x, y)dy dx.
c
a
c
Exemplo 1.7. Calcule as seguintes integrais iteradas
1
Z
1
Z
Z
y
1
Z
1
xey dydx
xe dxdy e
−1
−1
0
0
Solução:
Z
1
Z
1
Z
y
1
Z
1
xe dxdy =
−1
=
−1
Z 1
0
2 y x=1
xe
2
ey
dy
−1 2
y y=1
e
=
2 y=−1
=
=
8
xe dx dy
−1
Z 1
0
y
e − e−1
2
dy
x=0
(1.9)
Z
1
Z
1
Z
y
1
Z
1
xe dy dx
xe dydx =
0
−1
y
−1
0
Z
1
=
[xey dy]y=1
y=−1 dx
Z0 1
x(e − e−1 )dx
0
x=1
x(e − e−1 )
=
2
x=0
−1
e−e
=
2
=
Note que, em ambos os casos, obtivemos o mesmo resultado quando integramos a função f , independente da ordem de integração.
1.3.2
O teorema de Fubini
Em geral, o teorema a seguir, nos garante que isto, sob certas condições,
será sempre verdade que podemos integrar sob a ordem que nos for mais
conveniente, além de nos dar um método prático para o calculo de integrais
duplas, que consiste em calcular duas integrais simples
Teorema 1.8 (de Fubini). Se f é uma função de duas variáveis, contı́nua
no retângulo R = [a, b] × [c, d], então
Z bZ
Z Z
Z
d
Z
f (x, y)dydx =
f (x, y)dA =
R
d
a
f (x, y)dxdy.
c
c
b
a
De modo mais geral, tal resultado ainda é válido quando f é uma função
limitada em R e é descontı́nua apenas num número pequeno de pontos de R,
num certo sentido.
Exercı́cios 1.9. Nos exercı́cios a seguir, calcule as integrais para a região
retângular dada.
9
1)
RR
2)
RR
3)
RR
4)
RR
5)
RR
R
(x2 y − y 2 )dA, R = {(x, y) ∈ R2 |1 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 2}.
R
(2xy − cos(x))dA, R = {(x, y) ∈ R2 |0 ≤ x ≤ π e − 1 ≤ y ≤ 1}.
R
e−x
R
y 2 ln(x)dA, R = [1, 2] × [−1, 1].
R
tg(xy)dA, R = [0, 1] × [0, π2 ].
2 −y 2
dA, R = {(x, y) ∈ R2 |0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1}.
6) Calcule o valor exato da integral dada no exemplo 1.4.
7) Encontre o volume do sólido entre o plano 12x − 30y + 6z = 13 e o
retângulo R = [1, 3] × [2, 4]. Esboce o seu gráfico.
8) Encontre o volume do sólido entre a superfı́cie z = 5 − xy os planos
x = 1, x = −1, y = −1 e y = 2. Esboce o seu gráfico.
1.4
Integrais duplas sobre regiões quaisquer
No calculo de integrais simples, integramos sempre apenas em intervalos,
mas para integrais duplas, nem sempre a região na qual nos interessa integrar
uma função é retangular. Vamos supor que D ⊂ R2 é uma região limitada
na qual f está definida. Como D é limitada, podemos tomar um retângulo
R ⊂ R2 que contenha D, assim, extendemos a nossa função f da seguinte
maneira:
(
f (x, y)
quando (x, y) ∈ D;
F (x, y) =
0
quando (x, y) ∈ R\D.
Definição 1.10. Definimos a integral dupla da função f sobre a região D
por
Z Z
Z Z
f (x, y)dA :=
F (x, y)dA.
D
R
10
Observação 1.11. Note que a definição 1.10 faz sentido, uma vez que os
valores de F dentro de D coincidem com os de f , ennquanto que, fora de D,
F é nula, não contibuindo assim para a soma de Riemann. Note também,
que tal definição não depende da escolha do retângulo R, desde que este
contenha a região D. Note também que a função F definida acima, em
geral, é descontı́nua, mas ainda podemos calcular sua integral visto que, F
será descontı́nua na fronteira de D, além dos pontos onde f é descontı́nua.
Desde que este conjunto seja pequeno num certo sentido, não haverá problema
no cálculo da integral de F em R, consequentemente, no cálculo da integral
de f em D.
RR
Quando f (x, y) ≥ 0, a integral
f (x, y)dA pode ser interpretada como
D
o volume do sólido entre a região D e a superfı́cie z = f (x, y).
Muitas vezes, a região D é limitada por curvas que são gráficos de funções
(y = gi (x), e/ou x = hj (y)). Nestes casos (repartindo a região D em subregiões, se necessário), podemos descrever a região D por uma das seguintes
11
formas:
D = {(x, y) ∈ R2 |a ≤ x ≤ b e g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x)} e
D = {(x, y) ∈ R2 |h1 (y) ≤ x ≤ h2 (y) e c ≤ y ≤ d},
tornando assim o cálculo da integral de f em D respectivamente
Z bZ
Z Z
g2 (x)
f (x, y)dA =
f (x, y)dydx e
D
Z
Z Z
a
d
Z
g1 (x)
h2 (y)
f (x, y)dxdy.
f (x, y)dA =
c
D
h1 (y)
Ambos os casos podem ser representados nas figuras abaixo
Exemplo 1.12. Calcule
y = 2x2 e y = 1 + x2 .
RR
D
xydA, onde D é a região limitada pelas parábolas
12
Solução: Primeiro, devemos encontrar os pontos de interseção de tais
parábolas. Igualando as equações, obtemos:
2x2 = 1 + x2 =⇒ x2 = 1 =⇒ x = ±1 =⇒ y = 2.
Vemos então que D = {(x, y) ∈ R2 | − 1 ≤ x ≤ 1 e 2x2 ≤ y ≤ 1 + x2 }, e
assim:
Z Z
Z
1
Z
1+x2
xydA =
xydydx
2x2
−1
D
1+x2
xy 2
dx
2 2x2
−1
Z 1
x(1 + x2 )2 x(2x2 )2
−
dx
2
2
−1
Z 1
x + 2x3 + x5 4x5
−
dx
2
2
−1
Z 1
x + 2x3 − 3x5
dx
2
−1
Z
1 1
x + 2x3 − 3x5 dx
2 −1
1
1 x2 2x4 3x6
+
−
2 2
4
6 −1
Z
=
=
=
=
=
=
1
13
1
1 x2 + x4 − x6
=
2
2
−1
2
1 1 + 14 − 16 (−1)2 + (−1)4 − (−1)6
−
=
2
2
2
1 1 1
=
−
2 2 2
= 0.
Exemplo 1.13. Encontre o volume do sólido entre o parabolóide z = x2 + y 2
e a região D no plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x2 .
Solução: A região D em questão pode ser descrita de duas maneiras.
Resolveremos então tal problema com cada uma destas maneiras.
14
Escrevendo D como D = {(x, y) ∈ R2 |0 ≤ x ≤ 2 e x2 ≤ y ≤ 2x}, temos:
Z
V
=
2
Z
2x
(x2 + y 2 )dydx
0
2x
Z 2
y3
2
yx +
dx
3 x2
0
Z 2
8x3
x6
3
4
2x +
−x −
dx
3
3
0
4
2
2x
8x4 x5 x7
+
−
−
4
12
5
21 0
32 32 128
8+
−
−
3
5
21
216
.
35
x2
=
=
=
=
=
Agora, escrevendo D como D = {(x, y) ∈ R2 | 21 y ≤ x ≤
temos:
Z
V
4
Z
√
4
=
0
=
=
=
x3
+ xy 2
3
√ y
dy
1
y
2
"
#
3
5
y2
y3 y3
+ y2 −
−
dy
3
24
2
0
" 5
#4
7
2y 2
2y 2
y4 y4
+
−
−
15
7
96
8
0
4
64 256 8
+
− − 32
15
7
3
0
216
.
35
Z
=
y
1
y
2
0
y e 0 ≤ y ≤ 4},
(x2 + y 2 )dxdy
=
Z
√
4
Propriedades 1.14. As integrais duplas tem propriedades semelhantes as
propriedades da integral definida, a saber:
15
(i)
RR
(ii)
RR
(iii)
RR
D
[f (x, y) + g(x, y)]dA =
D
cf (x, y)dA = c
f (x, y)dA ≤
D
todo (x, y) ∈ D;
(iv) A(D) =
RR
D
RR
D
RR
D
RR
D
f (x, y)dA +
RR
R
g(x, y)dA;
f (x, y)dA, onde c é uma constante;
g(x, y)dA, sempre que vale f (x, y) ≤ g(x, y), em
1dA, onde A(D) representa a área da região D.
A partir das propriedades (iii) e (iv), pode-se provar a seguinte propriedade (tente provar você mesmo):
(v) Se m ≤ f (x, y) ≤ M , para todo (x, y) ∈ D, então mA(D) ≤
M A(D).
RR
D
f (x, y)dA ≤
Temos ainda uma propriedade muito útil no cálculo das integrais duplas,
que garante que podemos dividir uma região em quantas nos forem convenientes, integrar separadamente em cada uma dessas regiões e depois, somar
os resultados.
(vi) Se D = D1 ∪D2 e A(D1 ∩D2 ) = 0, então
RR
f (x, y)dA.
D2
RR
f (x, y)dA =
D
RR
D1
f (x, y)dA+
Exercı́cios 1.15. Nos exercı́cios a seguir, calcule o valor das integrais
1)
R 1 R x3
2)
R 2 R ey √
3)
R1 Rv√
4)
R π R cosθ
0
0
0
(x − y)dydx.
y
−1
0
2
0
0
xdxdy.
1 − v 2 dudv.
esin θ drdθ.
2
RR
ey dA, onde D = {(x, y) ∈ R2 |0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ x ≤ y}.
RR p
6)
x x2 − y 2 dA, onde D = {(x, y) ∈ R2 |0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ x}.
D
5)
D
16
7)
RR
8)
RR
9)
RR
2y
dA,
D x2 +1
onde D = {(x, y) ∈ R2 |0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤
√
x}.
xydA, onde D é a região limitada pelos triângulos de vértice (0, 2),
(−1, 1) e (3, 4).
D
(2x − y)dA, onde D é a região limitada pelo cı́rculo de centro na
origem e raio 2.
D
10) Encontre o volume do sólido limitado pelos planos z = x, y = x, x+y =
2 e z = 0.
11) Encontre o volume do sólido limitado pelos cilindros x2 + y 2 = r2 e
y 2 + z 2 = r2 .
12) Calcule
1.5
RR
D
xydA, onde D é a região dada na figura abaixo.
Mudanças de coordenadas em integrais
duplas
1.5.1
Mudanças de coordenadas quaisquer
No cálculo de integrais de funções de uma variável, temos uma regra para
mudança de coordenadas, ou de substituição, a qual se baseia na regra da
17
cadeia para derivadas. A saber:
Z
b
Z
f (x)dx =
a
(a)g(b) f (g(u))g 0 (u)du.
(1.10)
g
Uma mudança de variáveis pode muitas vezes ser útil no cálculo de integrais duplas, a fim de simplificarmos nossos cálculos. Neste sentido, considere
uma transformação T , do plano uv no plano xy, de forma que esta leve bijetivamente uma região S do plano uv numa região R do plano xy e que esta seja
de classe C 1 , isto é, se T (u, v) = (g(u, v), h(u, v)) = (x, y), então as funções g
e h, de R2 em R tanham todas as derivadas parciais contı́nuas. Sendo T bijetora e C 1 , T terá inversa T −1 , do plano xy no plano uv, a qual será também
bijetora e também C 1 , digamos T −1 (x, y) = (G(x, y), H(x, y)) = (u, v) conforme ilustrado abaixo.
Exemplo 1.16. Encontre a imagem do quadrado S = {(u, v) ∈ R2 |0 ≤ u ≤
1 e 0 ≤ v ≤ 1} pela transformação T definida pelas equações
x = u2 − v 2 e y = 2uv.
(1.11)
Solução:
A transformação leva a borda da região S na borda da sua
imagem. Assim, precisamos apenas encontrar as bordas da imagem de S
pela transformação em questão. Cada seguimento que compõe a borda de
S será analisado separadamente. O primeiro deles, S1 , dada por v = 0 e
18
0 ≤ u ≤ 1, assim, substituindo estes valores em (1.11), obtemos x = u2 e
v = 0, e como 0 ≤ u ≤ 1, temos que 0 ≤ u2 ≤ 1, assim, 0 ≤ x ≤ 1. O
segundo lado, S2 , dado por u = 1 e 0 ≤ v ≤ 1. Substituindo em (1.11),
2
obtemos x = 1 − v 2 e y = 2v, assim, x = 1 − y4 e 0 ≤ y ≤ 2. Similarmente, o
2
terceiro lado, S3 , dado por 0 ≤ u ≤ 1 e v = 1, nos dá x = y4 − 1 e 0 ≤ y ≤ 2,
enquanto o quarto lado, S4 , dado por u = 0 e 0 ≤ v ≤ 1, donde −1 ≤ x ≤ 0
e y = 0. Obtemos assim, a situação abaixo.
Semelhante ao termo g 0 (u) em (1.10), que é um fator corretor da mudança
de variáveis, no caso de integral duplas temos o determinante Jacobiano, ou
Jacobiano da transformação T .
Definição 1.17. O Jacobiano da transformação T dada por x = g(u, v) e
y = h(u, v) é
∂(x, y)
:= ∂(u, v)
∂x
∂u
∂y
∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
∂x ∂y ∂x ∂y
−
.
=
∂u ∂v ∂v ∂u
Exemplo 1.18. Encontre o Jacobiano da transformação T definida pelas
equações x = u2 − v 2 e y = 2uv.
Solução:
∂(x, y)
= ∂(u, v)
∂(u2 −v 2 )
∂u
∂(2uv)
∂u
19
∂(u2 −v 2 )
∂v
∂(2uv)
∂v
2u −2v = 2v 2u = 2u · 2u − (−2v) · 2v
= 4u2 + 4v 2 .
Assim, temos o seguinte resultao para mudañça de variáveis em integrais
duplas
Teorema 1.19 (Mudança de variáveis em integrais duplas). Suponha que
T é uma transformação C 1 com Jacobiano não nulo e que transforma uma
região S do plano uv numa região R do plano xy de forma bijetora (exeto,
no máximo nas bordas destas regiões) e que f seja uma função contı́nua na
região R. Nessas condições, vale
Z Z
Z Z
f (x, y)dA =
R
∂(x, y) dudv.
f (x(u, v), y(u, v)) ∂(u, v) S
R R x+y
Exemplo 1.20. Calcule o valor da integral
dA, onde R é a região
R x−y
limitada pelo trapézio de vértices (1, 0), (2, 0), (0, −2) e (0, −1).
R R x+y
Solução: Façamos a mudança de variáveis sugerida pela integral
dA,
R x−y
tomando u = x + y e v = x − y, assim, escrevendo x e y em função de u e v,
obtemos x = 21 (u + v) e y = 12 (u − v), e o Jacobiano da transformação é
1
∂ ( 2 (u+v))
∂(x, y)
∂u
= ∂ 1 (u−v)
(
)
2
∂(u, v)
∂u
1 1 = 21 2 1 2 −2 1
= − .
2
∂ ( 12 (u+v))
∂v
∂ ( 12 (u−v))
∂v
Para encontrarmos a região R do plano uv correspondente a região S pela
transformação em questão, notamos que S e a região limitada pelas retas
20
y = 0 x − y = 2 x = 0 e x − y = 1,
assim, temos que R é limitada por
u = v v = 2 u = −v e v = 1.
Temos então que S = {(u, v) ∈ R2 | − v ≤ u ≤ v e 1 ≤ v ≤ 2}, assim
Z Z
R
x+y
dA =
x−y
=
=
=
=
=
=
u ∂(x, y) dudv
S v ∂(u, v)
Z Z
u 1 − 2 dudv
S v
Z 2Z v
u1
dudv
1
−v v 2
Z v
1 2 u2
dv
2 1 2v −v
Z (−v)2
1 2 v2
−
dv
2 1 2v
2v
Z
1 2
0dv
2 1
0.
Z Z
21
Exercı́cios 1.21. Calcule o Jacobiano das transformações dadas por
1) x = u − 3v e y = 2v − 5u.
2) x = u2 − v e y = u2 + v 2 .
3) x = r cos θ e y = r sin θ.
4) x = eu+v e y = eu−v .
Encontre a imagem da região S para cada uma das seguintes transformações
5) S = [0, 3] × [0, 2], x = u − 3v e y = 2v − 5u.
6) S = [0, 1] × [0, 1], x = v e y = u(1 + v 2 ).
7) S é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 0) e (1, 1), x = u2 e y = v.
Calcule as integrais a seguir usando as transformações dadas
8)
RR
9)
RR
10)
x2 dA, onde R é a região limitada pela elipse 9x2 +4y 2 = 36, x = 2u
e y = 3v.
R
(x − 3y)dA, onde R é a região limitada pelo triângulo de vértices
(0, 0), (1, 2) e (2, 1), x = 2u + v e y = u + 2v.
R
RR
xydA, onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelas
retas y = x e y = 3x e pelas hiperboles xy = 1 e xy=3, x = uv e y = v.
1.5.2
R
Coordenadas polares
RR
Suponhamos que queremos calcular a integral
f (x, y)dA, onde R é
R
uma das regiões da figura abaixo. Nestas condições, é difı́cil descrever R em
coordenadas retângulares (coordenadas cartesianas tradicionais), porém, R
pode ser facilmente descrita em coordenadas polares.
22
Lembremos que as coordenadas polares (r, θ) e as coordenadas retangulares (x, y) de um ponto se relacionam pelas seguintes fórmulas.
r=
p
x2 + y 2
x = r cos θ
y = r sin θ,
(1.12)
onde sempre vale que r ≥ 0 e 0 ≤ θ ≤ 2π, podendo, obviamente, r e θ
estarem sujeitos a restrições mais fortes do que estas, dependendo da região
que desejamos descrever.
Vamos usar coordenadas polares para nos auxiliar em diversos casos, nos
quais a região na qual desejamos integrar uma função f (x, y), pode ser expressa de maneira bem mais simples com o uso destas coordenadas do que
23
com coordenadas cartesianas. Note que a transformação descrita em (1.12)
tem o Jacobiano dado por:
∂(x, y)
= ∂(r, θ)
= ∂(x)
∂r
∂(y)
∂r
∂(x)
∂θ
∂(y)
∂θ
∂(r cos θ)
∂r
∂(r sin θ)
∂r
∂(r cos θ)
∂θ
∂(r sin θ)
∂θ
= (cos θ) · (r cos θ) − (−r sin θ) · (sin θ)
= r cos2 θ + r sin2 θ
= r(cos2 θ + sin2 θ)
= r,
e como r =
p
x2 + y 2 ≥ 0, temos o seginte
Teorema 1.22 (Mudança de coordenadas retangulares para coordenadas
polares). Se D é uma região qualquer do plano cartesiano, vale que:
Z Z
Z Z
f (x, y)dA =
D
f (r cos θ, r sin θ)rdrdθ,
D
onde, em cada uma das integrais, consideramos a região D descrita nas coordenadas em questão.
Exemplo 1.23. Encontre o volume do sólido limitado pelo parabolóide z =
1 − x2 − y 2 e pelo plano z = 0.
Solução: A região D do plano xy correspondente, é a limitada pela curva
que satisfaz a equação 1 − x2 − y 2 = 0, isto é, é aquela limitada pelo cı́rculo
x2 + y 2 = 1, a qual pode ser descrita por D = {(x, y) ∈ R2 |0 ≤ x2 + y 2 ≤ 1},
ou, em coordenadas polares D = {(r, θ)|0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ 2π}. Assim,
temos:
Z Z
V =
(1 − x2 − y 2 )dA
D
24
Z Z
2
Z Z
(1 − r2 )rdrdθ
D
D
1
Z 2π Z 2π Z 1
r r4
3
(r − r )drdθ =
=
−
dθ
2
4 0
0
0
0
Z 2π
1
π
=
dθ = .
4
2
0
=
2
[1 − (x + y )]dA =
Exemplo 1.24. Encontre o volume do sólido limitado pelo parabolóide z =
x2 + y 2 , pelo cilindro x2 + y 2 = 2x e pelo plano z = 0.
Solução: A região D do plano xy correspondente, é a limitada pela
curva que satisfaz a equação x2 + y 2 = 2x, ou, depois de completarmos
quadrados, (x − 1)2 + y 2 = 1. Em coordenadas polares, r2 = 2r cos θ, ou
r = 2 cos θ. Assim, em coordenadas polares, podemos escrever tal região
25
como D = {(r, θ)|0 ≤ r ≤ 2 cos θ e −
Z Z
V
2
π
2
≤ θ ≤ π2 }. Temos então que
Z Z
2
r2 rdrdθ
D
D
Z π Z 2 cos θ
Z π 4 2 cos θ
2
2
r
=
r3 drdθ =
dθ
4 0
− π2 0
− π2
Z π
Z π
2
2
4
=
4 cos θdθ = 8
cos4 θdθ
(x + y )dA =
=
− π2
= 8
0
= 2
0
π
2
Z
1 + cos 2θ
2
2
Z
dθ = 2
1
3
θ + sin 2θ + sin 4θ
2
8
0
π2
=
0
π
2
1 + cos 4θ
1 + 2 cos 2θ
dθ
2
3π
2
Exercı́cios 1.25. Esboce a região em questão e calcule as integrais a seguir
RπR
1) 0 13r cos θdrdθ.
R 2π R
2) 0 3 0sin θrdrdθ.
RR
3)
xydA, onde D é a região limitada pelo cı́culo de centro na origem
D
e raio 4.
RR
4)
cos(x2 + y 2 )dA, onde D é a região acima do eixo x limitada pelo
D
cı́rculo de equação x2 + y 2 = 4.
RR
5)
yex dA, onde D é a região do primeiro quadrante limitada pelo
D
cı́rculo de equação x2 + y 2 = 25.
Esboce e encontre o volume dos sólidos descritos abaixo
6) Entre da parábola z = x2 +y 2 e a região do primeiro quadrante limitada
pelo cı́rculo de centro na origem e raio 1.
7) Entre a esfera de equação x2 + y 2 + z 2 = 16 e fora do cilindo de equação
x2 + y 2 = 4.
p
8) Entre o cone z = x2 + y 2 e a esfera de centro na origem e raio 1.
26
1.6
1.6.1
Aplicações da integral dupla
Área de superfı́cies
Teorema 1.26. Dada uma superfı́cie z = f (x, y), com (x, y) ∈ D ⊂ R2 ,
podemos calcular sua área atravez da fórmula
Z Z q
1 + [fx (x, y)]2 + [fy (x, y)]2 dA
A(S) =
D
s
2 2
Z Z
∂z
∂z
=
1+
+
dA.
∂x
∂y
D
Exemplo 1.27. Encontre a área da superfı́cie z = x2 + 2y sobre a região T
do plano xy, limitada pelo triângulo de vértices (0, 0), (1, 0) e (1, 1).
Solução: A região T do plano xy correspondente, pode ser descrita por
2
∂z
T = {(x, y) ∈ R2 |0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ x}, assim, como ∂x
= ∂(x∂x+2y) = 2x e
2
∂z
= ∂(x∂y+2y) = 2, temos
∂y
Z Z p
Z 1Z x√
2
2
A =
(2x) + 2 + 1dA =
4x2 + 5dydx
T
0
0
√
1
Z 1 √
3
1 2
27 − 5 5
2
2
=
x 4x + 5dx =
(4x + 5) 2 =
8 3
12
0
0
27
1.6.2
Algumas aplicações em fı́sica
Densidade e massa
Consideremos uma lâmina que ocupa uma região D do plano xy de massa
variável. Seja ρ(x, y) a função densidade de tal lâmina no ponto (x, y) em
. Nestas condições
unidade de massa por unidade de área, isto é, ρ = lim ∆m
∆A
temos que a massa total da lâmina é dada por
Z Z
m=
ρ(x, y)dA.
D
Pode se considerar fisicamente diversos tipos de densidade e aplicar o mesmo
modelo, como por exemplo, considerar uma lâmina carregada elétricamente,
onde ρ representa a densidade de carga elétrica.
Momento e contros de massa
Nas mesmas condições acima, definimos o momento em relação ao eixo x
de uma lâmina por
Z Z
yρ(x, y)dA,
Mx =
D
e, similarmente, o momento em relação ao eixo y é dado por
Z Z
My =
xρ(x, y)dA.
D
Temos também que as coordenadas (x, y) do centro de massa de uma
lâmina são dadas por
My
1
x=
=
m
m
Z Z
Mx
1
xρ(x, y)dA e y =
=
m
m
D
onde m acima representa a massa da lâmina.
28
Z Z
yρ(x, y)dA,
D
Momento de inércia
Nas mesmas condições, definimos o momento de inércia em relação ao
eixo x de uma lâmina por
Z Z
Ix =
y 2 ρ(x, y)dA,
D
e, similarmente, o momento de inércia em relação ao eixo y é dado por
Z Z
Iy =
x2 ρ(x, y)dA.
D
Definimos também o momento de inércia em relação a origem por
Z Z
(x2 + y 2 )ρ(x, y)dA = Ix + Iy .
IO =
D
1.6.3
Algumas aplicações em estatı́stica
Probabilidade
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias, como a vida útil de duas componentes de uma máquina. Se f (x, y) é a função densidade conjunta de X e
Y , temos que a probabilidade de (X, Y ) estar em uma certa região D é dada
por
Z Z
(P (X, Y ) ∈ D) =
f (x, y)dA.
D
Observação 1.28. Em tais condições, temos que f (x, y) é uma função que
RR
nos dá probabilidades, isso singnifica que f (x, y) ≥ 0 e
f (x, y)dA = 1.
R2
29
Valor esperado
Nas mesmas condições acima, temos que os valores esperados para X e
para Y são dados, respectivamente por
Z Z
Z Z
µx =
xf (x, y)dA e µy =
D
yf (x, y)dA.
D
Exercı́cios 1.29. Calcule o centro de massa e o momento de inércia das
lâminas dadas abaixo
1) Da lâmina definida em D = [0, 1] × [0, 1] com densidade ρ(x, y) =
2x + 3y.
2) Da lâmina definida na região circular de centro na origem e raio 2 com
2
2
densidade ρ(x, y) = ex +y .
Encontre a área das superfı́cies dadas
3) Da Superfı́cie definida em D = [−1, 1] × [0, 4] de equação z = 2x + 3y.
4) Da Superfı́cie definida em D = [−1, 1] × [−1, 1] de equação z = x2 − y 2 .
5) Da Superfı́cie definida em D = {(x, y) ∈ R2 |1 ≤ x2 +y 2 ≤ 9 de equação
z = xey .
Calcule o valor esperado e as probabilidades pedidas abaixo com base na
função densidade conjunta (dica: encontre primeiro o valor de C)
(
f (x, y) =
C(2x + y)
0
quando (x, y) ∈ [0, 10] × [0, 10];
caso contrário.
6) (P (X, Y ) ∈ [0, 5] × [0, 5]).
7) (P (X, Y ) ∈ D), onde D = {(x, y) ∈ R2 |1 ≤ x ≤ 9 e 1 ≤ y ≤
√
x}.
8) (P (X, Y ) ∈ D), onde D é a região limitada pelo cı́rculo de centro na
origem e raio 49.
30
Capı́tulo 2
Integrais triplas
Neste capı́tulo, estudaremos a integral de funções de três variáveis, e
veremos que a idéia é bastante semelhante a estudada no capı́tulo anterior.
De fato, a maioria dos resultados é uma generalização do caso para duas
variáveis, e podem também ser generalizadas para funções de quatro ou mais
variáveis sem grandes dificuldades (apesar de, a partir de quatro variáveis,
perdemos a visualização geométrica).
2.1
Volume e integrais triplas
Suponhamos inicialmente, uma função f (x, y, z) definida numa região B
limitada por um paralelepı́pedo, a saber B = [a, b]×[c, d]×[r, s] = {(x, y, z) ∈
R3 |a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d e r ≤ z ≤ s}. O primeiro passo a fim de integrar f em B é dividir B em subparalelepı́pedos. Para isto, basta dividir os
intervalos [a, b] em l subintervalos [xi−1 , xi ], todos de mesmo comprimento
), [c, d] em m subintervalos [yj−1 , yj ], todos de mesmo compri(∆x = b−a
l
mento (∆y = d−c
) e [r, s] em n subintervalos [zk−1 , zk ], todos de mesmo
m
). Traçando planos paralelos aos planos cartesianos,
comprimento (∆z = s−r
n
passando pelos pontos xi , yj e z − k, dividimos B em lmn subparalelepı́pedos
Bijk = [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] × [zk−1 , zk ], mostrado na figura abaixo. Cada um
31
desses subparalelepı́pedos com volume ∆V = ∆x∆y∆z.
Assim, formamos a soma tripla de Riemann, a saber
l X
m X
n
X
∗
∗
f (x∗ijk , yijk
, zijk
)∆V,
i=1 j=1 k=1
∗
∗
onde (x∗ijk , yijk
, zijk
) é o ponto médio de Bijk .
Temos então a seguinte
Definição 2.1. Definimos a integral tripla de uma função f sobre um paralelepı́pedo B por
Z Z Z
f (x, y, z)dV :=
B
lim
l,m,n→∞
l X
m X
n
X
∗
∗
f (x∗ijk , yijk
, zijk
)∆V.
i=1 j=1 k=1
A integral tripla existe sempre que a função f é contı́nua no paralelepı́pedo
B, ou ao menos, é descontı́nua apenas num conjunto pequeno de pontos num
certo sentido.
32
Temos também o
Teorema 2.2 (Teorema de Fubini para integrais triplas). Se f é uma função
contı́nua no paralelepı́pedo B = [a, b] × [c, d] × [r, s], então
Z bZ
Z Z Z
d
s
Z
f (x, y, z)dzdydx.
f (x, y, z)dV =
a
B
c
r
Mais que isso, podemos integrar em relação à x, y e z na ordem que julgarmos
mais conveniente.
Exemplo 2.3. Calcule
RRR
B
xy 2 z 3 dV , onde B = [−1, 1] × [0, 2] × [1, 4]
Solução:
Z Z Z
2 3
xy z dV
Z
1
Z
2
Z
=
−1
1
B
=
=
=
xy 2 z 3 dzdydx
1
4
xy 2 z 4
dydx
4
−1 0
1
Z 1 Z 2
255xy 2
dydx
4
−1 0
2
Z 1
85xy 3
dx
4
−1
0
Z 1
170xdx
Z
=
0
4
Z
2
−1
1
= 85x2 −1
= 0.
Definimos agora agora a integral tripla de uma função f sobre uma região
E qualquer do espaço tridimensional (um sólido). De maneira semelhante
àquela feita em integrais duplas, consideremos um paralelepı́pedo B qualquer
e definimos uma função F em B, de forma que F coincida com f em E, e
F ≡ 0 fora de E. Temos então a seguinte
33
Definição 2.4. Nas condições acima, definimos
Z Z Z
Z Z Z
f (x, y, z)dV :=
F (x, y, z)dV.
E
B
No caso em que E pode ser descrita por E = {(x, y, z) ∈ R3 |a ≤ x ≤
b, g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x) e u1 (x, y) ≤ z ≤ u2 (x, y)} (podendo ser x entre funções
RRR
de y e z, e y entre funções de z, ou ...), podemos calcular
f (x, y, z)dV
E
por
Z bZ
Z Z Z
g2 (x)
Z
u2 (x,y)
F (x, y, z)dzdydx,
f (x, y, z)dV :=
E
a
g1 (x)
u1 (x,y)
podendo ser trocada a ordem de integração, conforme nos for conveniente.
RRR √
Exemplo 2.5. Calcule
x2 + z 2 dV , onde E é a região limitada pelo
E
parabolóide y = x2 + z 2 e o plano y = 4.
34
Solução: Note que o sólido E pode ser descrito por E = {(x, y, z) ∈
p
p
R | − 2 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 4 e − y − x2 ≤ z ≤ y − x2 }, assim temos
3
Z Z Z √
Z
2
Z
4
x2 + z 2 dV =
−2
E
x2
Z √y−x2 √
x2 + z 2 dzdydx.
√
y−x2
−
A expressão acima está correta, porém não é muito fácil de se calcular tal
integral. Podemos tentar reescrever a região E, de forma a facilitar o cálculo
da integral. Note que podemos escrever a região E de outra forma, a saber
E = {(x, y, z) ∈ R3 |0 ≤ x2 + z 2 ≤ 4 e x2 + z 2 ≤ y ≤ 4}, assim
Z Z Z √
Z Z Z
x2
+
z 2 dV
4
=
x2 + z 2 dydA,
x2 +z 2
D
E
√
onde D é a região limitada pelo cı́rculo de centro na origem e raio 2 do plano
xz. Temos então
Z Z Z √
Z Z Z 4 √
2
2
x + z dV =
x2 + z 2 dydA
2
2
E
+z
Z ZD h x √
i4
=
y x2 + z 2
dA
x2 +z 2
D
Z Z
√
(4 − x2 − z 2 ) x2 + z 2 dA.
=
D
Escrevendo D em coordenadas polares (x = r cos θ e z = r sin θ), temos
Z Z Z √
x2 + z 2 dV
E
√
(4 − x2 − z 2 ) x2 + z 2 dA
Z 2πDZ 2
√
=
(4 − r2 ) r2 rdrdθ
Z0 2π Z0 2
=
(4r2 − r4 )drdθ
0
0
2
Z 2π 3
4r
r5
=
−
dθ
3
5 0
0
Z Z
=
35
(160 − 96)θ
=
15
128π
=
.
15
2π
0
Exercı́cios 2.6. Nos exercı́cios abaixo, esboce o sólido E e calcule
1)
RRR
E
2)
RRR
4)
RRR
5)
RRR
(xz 2 − y 3 )dV , onde E = [0, 3] × [−1, 1] × [0, 1].
xyzdV , onde E = {(x, y, z) ∈ R3 |0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ x e 0 ≤
z ≤ x + y}.
p
RRR
3)
xdV , onde E = {(x, y, z) ∈ R3 |0 ≤ y ≤ 4, 0 ≤ x ≤ 16 − y 2 e x ≤
E
z ≤ 2x}.
E
exy dV , onde E é a região abaixo do plano z = x + y + 1 e pela
√
região do plano xy limitada pelas curvas y = 0, x = 1 e y = x.
E
(x + y 2 + z 3 )dV , onde E é a região limitada pelo tetraedro de
vértices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 2, 0) e (0, 0, 3).
E
Propriedades 2.7. As integrais triplas tem propriedades semelhantes as
propriedades da integral dupla. São elas:
(i)
RRR
(ii)
RRR
(iii)
RRR
E
[f (x, y, z)+g(x, y, z)]dV =
E
cf (x, y, z)dV = c
RRR
E
RRR
E
RRR
f (x, y, z)dV +
g(x, y, z)dV ;
E
f (x, y, z)dV , onde c é uma constante;
RRR
f (x, y, z)dV ≤
g(x, y, z)dV , sempre que vale f (x, y, z) ≤
E
g(x, y, z), em todo (x, y, z) ∈ E;
E
A partir das propriedades (iii) e (iv), pode-se provar a seguinte propriedade (tente provar você mesmo):
(iv) Se m ≤ f (x, y, z) ≤ M , para todo (x, y, z) ∈ V , então mV (E) ≤
RRR
f (x, y, z)dV ≤ M V (E).
E
36
Temos ainda uma propriedade muito útil no cálculo das integrais triplas,
que garante que podemos dividir um sólido em quantos nos forem convenientes, integrar separadamente em cada um desses, e depois, somar os resultados.
(v) Se E = E1 ∪ E2 e V (E1 ∩ E2 ) = 0, então
RRR
RRR
f (x, y, z)dV .
f
(x,
y,
z)dV
+
E2
E1
2.2
RRR
E
f (x, y, z)dV =
Mudanças de coordenadas em integrais
triplas
2.2.1
Mudanças de coordenadas quaisquer
De modo semelhante ao feito em integrais duplas, vamos estudar como
fazer uma mudança de variáveis em integrais triplas. Seja T uma transformação que leva um sólido S no espaço uvw num sólido R no espaço xyz,
pelas equações
x = g(u, v, w)
y = h(u, v, w)
z = k(u, v, w).
Se T é uma transformação bijetora (exeto, no máximo, nas fronteiras de R e
S) e C 1 , podemos escrever T −1 , isto é, podemos escrever x, y e z em função
de u, v e w. Temos então a seguinte
Definição 2.8. O Jacobiano da transformação T dada por x = g(u, v, w),
y = h(u, v, w) e z = k(u, v, w) é
∂(x, y, z)
:= ∂(u, v, w)
∂x
∂u
∂y
∂u
∂z
∂u
37
∂x
∂v
∂y
∂v
∂z
∂v
∂x
∂w
∂y
∂w
∂z
∂w
.
2.2.2
Coordenadas cilı́ndricas
Vimos que muitas vezes, o uso de coordenadas polares facilitava o cálculo
de integrais duplas. Veremos agora uma transformação de coordenadas bastante parecida, as coordenadas cilı́ndricas, as quais muitas vezes facilitam o
cálculo das integrais triplas.
Dado um ponto do espaço tridimensional, suas coordenadas cartesianas
(x, y, z) se relacionam com suas coordenadas cilı́ndricas (r, θ, z) atravez das
seguintes equações
r=
p
x2 + y 2
x = r cos θ
y = r sin θ
z = z,
(2.1)
onde, em (2.1), sempre vale que r ≥ 0 e 0 ≤ θ ≤ 2π, podendo, obviamente,
r e θ estarem sujeitos a restrições mais fortes do que estas, dependendo da
região que desejamos descrever.
Note que tais coordenadas são basicamente as coordenadas polares, se ignoramos a coordenada z, uma vez que esta não sofre nenhuma alteração.
38
O Jacobiano da transformação dada em (2.1) é dado por
∂x ∂x ∂x ∂r ∂θ ∂z ∂(x, y, z)
∂y
∂y = ∂y
.
∂r
∂θ
∂z ∂(r, θ, z)
∂z ∂z ∂z ∂r
∂θ
∂z
∂r cos θ ∂r cos θ ∂r cos θ
∂r
∂θ
∂z
∂r sin θ ∂r sin θ ∂r sin θ
= ∂r
∂θ
∂z
∂z
∂z
∂z
∂r
∂θ
∂z
cos θ −r sin θ 0 = sin θ r cos θ 0 .
0
0
1 .
= r cos2 θ + r sin2 θ
= r.
Temos então o seguinte
Teorema 2.9 (Mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas cilı́ndricas).
Seja E um sólido qualquer, então vale que:
Z Z Z
Z Z Z
f (r cos θ, r sin θ, z)rdrdθdz,
f (x, y, z)dA =
E
E
onde, em cada uma das integrais, consideramos o sólido E descrita nas coordenadas em questão.
Exemplo 2.10. Calcule a massa de um sólido E, limitado pelo cilindro
x2 + y 2 = 1, pelo plano z = 4 e pelo parabolóide z = 1 − x2 − y 2 , onde a
densidade em cada ponto é igual a distância deste ponto ao eixo z.
Solução: Usando coordenadas cilı́ndricas, temos que o cilindo em
questão é dado por r = 1, enquanto o parabolóide é dado por z = 1 − r2 ,
assim, E = {(r, θ, z)|0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ r ≤ 1 e 1 − r2 ≤ z ≤ 4}. Visto também
p
que a distância de um ponto (x, y, z) para o eixo z é dada por x2 + y 2 = r,
temos que a solução é dada por
39
Z Z Z p
x2 + y 2 dV
Z
2π
Z
1
Z
4
r · rdzdrdθ
=
0
E
Z
1−r2
0
2π
Z
1
=
0
Z
0
2π
Z
zr2
4
1−r2
drdθ
1
3r2 + r4 drdθ
0
0
1
Z 2π r5
3
dθ
=
r +
5 0
0
Z 2π
6
dθ
=
5
0
12π
=
.
5
=
Observação 2.11. Algumas vezes, é conveniente considerar x ou y como a
variável que não se altera, e fazer a adaptação necessária.
2.2.3
Coordenadas esféricas
Um outro tipo de transformação, também muito útil no cálculo de integrais triplas é a transformação em coordenadas esféricas, que como o proóprio
nome diz, nos ajudarão quando a região na qual desejamos integrar é uma
região esféria (ou semelhante). Dado um ponto do espaço tridimensional,
40
suas coordenadas cartesianas (x, y, z) se relacionam com suas coordenadas
esféricas (ρ, θ, φ) atravéz das seguintes fórmulas
ρ=
p
x2 + y 2 + z 2
x = ρ sin φ cos θ
y = ρ sin φ sin θ
z = ρ cos φ(2.2)
onde, em (2.2), sempre vale que r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2π e 0 ≤ θ ≤ π, podendo,
obviamente, r, θ e φ estarem sujeitos a restrições mais fortes do que estas,
dependendo da região que desejamos descrever.
O Jacobiano da transformação dada em (2.2) é dado por
∂x ∂x ∂x ∂ρ
∂θ
∂φ ∂(x, y, z)
∂y
∂y = ∂y
.
∂ρ
∂θ
∂φ
∂(r, θ, z)
∂z ∂z ∂z ∂ρ
∂θ
∂φ
∂ρ sin φ cos θ ∂ρ sin φ cos θ ∂ρ sin φ cos θ ∂ρ
∂θ
∂φ
= ∂ρ sin∂ρφ sin θ ∂ρ sin∂θφ sin θ ∂ρ sin∂φφ sin θ .
∂ρ cos φ
∂ρ cos φ
∂ρ cos φ
∂ρ
∂θ
∂φ
sin φ cos θ −ρ sin φ sin θ ρ cos φ cos θ
= sin φ sin θ ρ sin φ cos θ ρ cos φ sin θ
cos φ
0
−ρ sin φ
.
= −ρ2 sin3 φ cos2 θ − ρ2 sin φ cos2 φ sin2 θ − ρ2 sin φ cos2 φ cos2 θ − ρ2 sin3 φ sin2 θ
= −ρ2 sin3 φ cos2 θ − ρ2 sin3 φ sin2 θ − ρ2 sin φ cos2 φ sin2 θ − ρ2 sin φ cos2 φ cos2 θ
41
= −ρ2 sin3 φ(cos2 θ + sin2 θ) − ρ2 sin φ cos2 φ(sin2 θ + cos2 θ)
= −ρ2 sin3 φ − ρ2 sin φ cos2 φ
= −ρ2 sin φ(sin2 φ + cos2 φ)
= −ρ2 sin φ,
∂(x,y,z) assim, como ρ ≥ 0 e 0 ≤ φ ≤ π → sin φ ≥ 0, temos que ∂(r,θ,z) = ρ2 sin φ,
assim, temos o seguinte
2
Teorema 2.12 (Mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas
esféricas). Se E é um sólido qualquer, vale que:
Z Z Z
Z Z Z
f (ρ sin φ cos θ, ρ sin φ sin θ, ρ cos φ)ρ2 sin φdρdφdθ,
f (x, y, z)dA =
E
E
onde, em cada uma das integrais, consideramos o sólido E descrita nas coordenadas em questão.
R R R (x2 +y2 +z2 ) 23
Exemplo 2.13. Calcule
e
dV , onde E é a região limitada
E
pela esfera de centro na origem e raio 1.
Solução: Veja que podemos escrever E = {(x, y, z) ∈ R3 |0 ≤ x2 +
y 2 + z 2 ≤ 1} em coordenadas cartesianas. Em coordenadas esféricas, temos
E = {(ρ, θ, φ)|0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π e 0 ≤ φ ≤ π}. Assim, temos
Z Z Z
Z
3
(x2 +y 2 +z 2 ) 2
e
dV
=
E
=
=
=
=
2π
Z
π
Z
1
3
eρ ρ2 sin φdρdφdθ
0
0
0
#1
Z 2π Z π " ρ3
e
sin φ dφdθ
3
0
0
0
Z 2π Z π
e−1
sin φdφdθ
3
0
0
π
Z 2π 1−e
cos φ dθ
3
0
0
Z 2π
2
(e − 1)dθ
3
0
42
=
4
π(e − 1).
3
Exercı́cios 2.14. Esboce as regiões em questão e calcule as seguintes integrais
1)
RRR
2)
RRR
x(y 2 +z 2 )dV , onde E é a região limitada pelo cilindro y 2 +z 2 = 1
e os planos x = 1 e x = −1.
E
ez dV , onde E é a região limitada pelo cilindro x2 + y 2 = 5, pelo
parabolóide z = 1 + x2 + y 2 e pelo plano xy.
E
3) Encontre a massa da região limitada pela esfera de equação x2 + y 2 +
z 2 = a2 , onde a densidade em cada ponto é proporcional à distância
deste ponto ao eixo z.
RRR
4)
xyzdV , onde E é a região limitada pelas esferas de centro na
origem e raios 1 e 2.
5)
RRR
y 2 z 2 dV , onde E é a região limitada pelo plano yz e pelo parabolóide
x = 1 − y2 − z2.
6)
dV , onde E é a região limitada pelo elipsóide de equação xa2 +
y2
= 1 (dica: use a transformação dada por u = ax, v = by e
b2
z = cz).
E
E
2
RRR
2.3
2.3.1
E
2
+ zc2
Aplicações da integral tripla
Volume de um sólido
Dada um sólido E ⊂ R3 , temos que seu volume é dado por
Z Z Z
V (E) =
dV.
E
43
Exemplo 2.15. Encontre o volume do tetraedro de vértices (0, 0, 0), (1, 0, 0),
(0, 1, 0) e (0, 0, 1).
Solução: Temos que tal região é a limitada pelos planos x = 0, y = 0,
z = 0 e z = 1 − x − y, assim
Z
V
1
Z
1−x
Z
=
1−x−y
dzdydx
0
Z
0
1
Z
0
1−x
(1 − x − y)dydx
=
0
Z
=
0
0
1
1 − 2x + x2
dx
2
1
=
.
6
2.3.2
Algumas aplicações em fı́sica
Densidade e massa
Consideremos um sólido E do plano xy de massa variável. Seja ρ(x, y, z)
a função densidade de tal lâmina no ponto (x, y, z) em unidade de massa por
. Nestas condições temos que volume
unidade de volum, isto é, ρ = lim ∆m
∆V
total do sólido é dado por
Z Z Z
m=
ρ(x, y, z)dV.
e
Pode se considerar fisicamente diversos tipos de densidade e aplicar o mesmo
modelo.
44
Momento e contros de massa
Nas mesmas condições acima, definimos o momento em relação ao plano
xy de um sólido por
Z Z Z
Mxy =
zρ(x, y, z)dV,
E
similarmente, o momento em relação ao planoyz é dado por
Z Z Z
Myz =
xρ(x, y, z)dV,
E
e, o momento em relação ao planoxz é dado por
Z Z Z
Mxz =
yρ(x, y, z)dV.
E
Temos também que as coordenadas (x, y, z) do centro de massa de um
sólido são dadas por
x=
Myz
Mxz
Mxy
,y=
ez=
m
m
m
onde m acima representa a massa do sólido.
Momento de inércia
Nas mesmas condições, definimos o momento de inércia em relação ao
eixo x de um sólido por
Z Z Z
(y 2 + z 2 )ρ(x, y, z)dV,
Ix =
E
similarmente, o momento de inércia em relação ao eixo y é dado por
Z Z Z
(x2 + z 2 )ρ(x, y, z)dV,
Iy =
E
45
e, o momento de inércia em relação ao eixo z é dado por
Z Z Z
(x2 + y 2 )ρ(x, y, z)dV.
Iz =
E
2.3.3
Algumas aplicações em estatı́stica
Probabilidade
Sejam X, Y e Z três variáveis aleatórias, como a vida útil de três componentes de uma máquina. Se f (x, y, z) é a função densidade conjunta de X,
Y e Z, temos que a probabilidade de (X, Y, Z) estar em uma certa região E
é dada por
Z Z Z
(P (X, Y, Z) ∈ E) =
f (x, y, z)dV.
E
Observação 2.16. Em tais condições, temos que f (x, y, z) é uma função que
RRR
nos dá probabilidades, isso singnifica que f (x, y, z) ≥ 0 e
f (x, y)dV =
R3
1.
Exercı́cios 2.17. Aplique os conhecimentos adiquiridos e resolva os seguintes
problemas
1) Encontre o centro de massa e o momento de inercia em relação a cada
um dos planos xy, xz e yz da metade superior da esfera de centro na
origem e raio 1, cuja densidade em cada ponto é dada por ρ(x, y, z) =
1 + x2 + y 2 + z 2 .
2) Encontre o valor de C para que a função f dada abaixo seja uma função
densidade conjunta
(
f (x, y, z) =
C(x + y 2 + z 3 )
0
46
quando (x, y, z) ∈ [0, 10] × [0, 10] × [0, 10];
caso contrário.
3) Para a mesma função do exercı́cio anterior, calcule P ((X, Y, Z) ∈ E),
onde E é a reg ião do primeiro octante entre as esferas de centro na
origem e raios 1 e 3 respectivamente.
47
Referências Bibliográficas
[1] LEITHOLD, Louis. Cálculo com geometria analı́tica, V.2. 3. ed. São
Paulo: HARBRA, 1994. ISBN: 9788529402062
[2] STEWART, James. Cálculo, V.2. 5. ed. São Paulo:
2005. ISBN: 9788522104840
Cengage,
[3] THOMAS, George B. Cálculo, V.2. 11. ed. São Paulo: Addison Wesley,
2008. ISBN: 9788588639362
[4] ANTON, Howard A. Cálculo, V.2. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.
ISBN: 9788560031801
[5] HUGHES-HALLET, Deborah; GLEASON, Andrew M; FLATH,
Daniele E. Cálculo e aplicações. São Paulo: Edgard Blucher, 1999.
ISBN: 9788521201786
[6] LARSON, Ron; EDWARDS, Bruce. Cálculo com aplicações. 6. ed. Rio
de Janeiro: LTC, 2005. ISBN: 9788521614333
[7] SIMMONS, George Finlay. Cálculo com geometria analı́tica, V.2. São
Paulo: Makron-Books ,1987. ISBN: 9788534614689
[8] LIMA, Elon Lages. Curso de análise, v. 2. Rio de Janeiro: IMPA, 2004.
ISBN: 9788524402210
48