INTRODUÇÃO ................................................................................................2
NOÇÕES BÁSICAS........................................................................................2
POSIÇÃO DE UM PONTO EM RELAÇÃO AO SISTEMA .......................4
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS ..........................................................6
RAZÃO DE SECÇÃO .................................................................................. 15
DIVISÃO DE UM SEGMENTO NUMA RAZÃO DADA .......................... 16
PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO ...................................................... 17
CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS.......................... 21
RESPOSTAS ................................................................................................ 28
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ............................................................... 30
No final das séries de exercícios podem aparec er
sugestões de atividades complementares. Estas
sugestões referem-se a exercícios do livro
“Matemática” de Manoel Paiva fornecido pelo
FNDE e adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto
durante o triênio 2015-2017.
Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se
referem ao volume 3.
MATEMÁTICA III
1
GEOM. ANALÍTICA – ESTUDO DO PONTO
INTRODUÇÃO
As
técnicas
da
Geometria
Analítica desempenham um papel
fundamental ainda hoje, por exemplo, no
desenvolvimento
da
Computação
Gráfica.
As
telas
dos
nossos
computadores são modelos da estrutura
do plano cartesiano com um número finito
de pontos, que é sempre mencionado
quando escolhemos a configuração da
tela. Aumentando o número de pontos,
melhoramos a qualidade da imagem do
monitor ou da impressão dessa imagem.
Nas muitas utilizações de recursos de
imagens, como na tomografia ou na
localização
por
satélite,
essa
organização é fundamental para uma
interpretação precisa dos resultados
obtidos.
Em 1637, o matemático e filósofo
francês Renée Descartes publicou seu
grande trabalho O Discurso sobre o
Método, em que são estabelecidas as
bases filosóficas de seu método para o
estudo das ciências, o chamado método
cartesiano, até hoje presente na
organização do conhecimento em muitas
áreas. No apêndice, Descartes ilustra o
seu método apresentando a “Géométrie”,
que foi o passo inicial no estabelecimento
de relações mais estreitas entre a
Álgebra e a Geometria. O trabalho
contém uma teoria para equações
algébricas associadas a curvas planas –
por exemplo, equações de segundo grau
associadas a parábolas.
A nomenclatura da Geometria
Analítica
(coordenadas,
abscissas,
ordenadas, etc.) foi introduzida por
Leibniz, que e inspirou na terminologia
adotada pelos gregos em seus cálculos
geométricos. As bases da Geometria
Analítica estão, portanto, contidas nos
trabalhos
desses
três
grandes
matemáticos - Descartes, Fermat e
Leibniz - e foram posteriormente
adotadas por Euler ao formalizar o
conceito de função.
Alguns anos mais tarde, um outro
matemático francês, Pierre Fermat,
publicou um trabalho onde também
relacionou equações a retas, às curvas
que chamamos cônicas e a outras curvas
até então pouco conhecidas. Tem-se
registros de que as idéias iniciais de
Fermat sobre a Geometria Analítica são,
na verdade, anteriores ao trabalho de
Descartes, mas esses registros só foram
encontrados e publicados em 1769, após
a sua morte.
NOÇÕES BÁSICAS
A Geometria Analítica, trata,
portanto, desde a sua origem, das
relações entre as equações algébricas e
os objetos geométricos, buscando
a simplificação técnica dos problemas
geométricos e a interpretação geométrica
dos resultados obtidos nos cálculos
algébricos. Os cálculos e a descrição dos
objetos geométricos ficam mais simples
com os recursos algébricos da teoria das
matrizes associados aos processos de
resolução de equações.
CASSIO VIDIGAL
Consideremos dois eixos x e y
perpendiculares em O, os quais
determinam um plano  .
Dado um ponto P qualquer tal que
P  , conduzamos por eles retas x’ e y’
tais que:
x' // x e y’ // y.
2
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Denominemos P 1 a intersecção
de x com y’ e P 2 a intersecção de y com
x’.
Ex.: Vamos localizar no plano cartesiano
os pontos A(2, 0); B(0, 3), C(2, 5),
5 9
D(-3, 4), E(-7, -3), F(4, -5), G( ,
),
2 2
5
9
H(  ,  );
2
2
Nestas condições, definimos:
a) abscissa de P é o número real
xp = OP1.
b) ordenada de P é o número real
yp = OP2.
Entre o conjunto de pontos do
plano e o conjunto de pares ordenados
(x, y), existe uma correspondência
biunívoca, ou seja, para cada ponto do
plano existe um único par ordenado e
para cada par ordenado existe um único
ponto no plano.
c) coordenadas de P são os números
reais xp e yp geralmente indicados na
forma de um par ordenado (xp, yp) onde
xp é o primeiro termo.
d) o eixo das abscissas é o eixo Ox .
e) o eixo das ordenadas é o eixo Oy.
A principal consequência desta
propriedade é o fato de:
f) sistema de eixos cartesianos
ortogonais (ou sistema ortonormal ou
sistema retangular) é o sistema xOy.
g) a origem do sistema é o ponto O.

“dar um ponto” significa dar um
par ordenado (xp, yp);

“pedir um ponto” significa pedir
um par de coordenadas (xp, yp);

Todo
ponto
P
procurado
representa duas incógnitas: xp e
yp.
h) plano cartesiano é o plano .
MATEMÁTICA III
3
GEOM. ANALÍTICA – ESTUDO DO PONTO
Notemos que os pares ordenados
A1(3, 5) e A2(5, 3) são diferentes visto que
a ordem em que os termos são
apresentados
difere
dois
pares
ordenados. Na figura abaixo você pode
ver a representação destes dois pontos
no plano.
Sendo P um ponto qualquer do
plano cartesiano temos que:
P  I Quad .  xp  0 e yp  0
P  II Quad.  xp  0 e yp  0
P  III Quad.  xp  0 e yp  0
P  IV Quad.  xp  0 e yp  0
Existem ainda os pontos que estão
sobre os eixos, assim:

P pertence ao eixo das abscissas
se a ordenada é nula:
P  Ox  y p  0

P pertence ao eixo das ordenadas
se a abscissa é nula:
P  Oy  x p  0
De forma geral, se a  b então
(a, b)  (b, a).
Destas propriedades temos que os
pontos que estão no eixo vertical são do
tipo (0, a) e os pontos do eixo horizontal
são do tipo (a, 0).
POSIÇÃO DE UM PONTO EM
RELAÇÃO AO SISTEMA
O pontos do tipo (a, a) formam um
conjunto de pontos chamado de bissetriz
dos quadrantes ímpares. Observe a
figura:
Os eixos x e y dividem o plano
cartesiano em quatro regiões chamadas
QUADRANTES que recebem os nomes
indicados na figura:
Assim, temos que P  b13  x p  y p
CASSIO VIDIGAL
4
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
b) ao segundo quadrante?
O pontos do tipo (a, -a) formam um
conjunto de pontos chamado de bissetriz
dos quadrantes pares. Observe a figura:
c) ao terceiro quadrante?
Assim, temos que P  b24  xp  yp
Se uma reta é paralela ao eixo das
abscissas, então todos os seus pontos
possuem a mesma ordenada.
d) ao quarto quadrante?
Se uma reta é paralela ao eixo das
ordenadas, então todos os seus pontos
possuem a mesma abscissa.
Também valem as recíprocas das
duas propriedades acima.
e) ao eixo das abscissas?
01) Dados os pontos A5 ; 5  , B 6;  6 
, C2,5 ;  2,5  , D 9,1; 9,1 , E0 ; 0  ,
F7 ,2 ; 0  , G0 ;  5 , H 3; 0  , I0; 2  ,
 9 18 
J  ;  3 , K 2 ;  2 e L ;
,
2 4 
pergunta-se:
quais
pontos
são
pertencentes:
a) ao primeiro quadrante?


MATEMÁTICA III


5
GEOM. ANALÍTICA – ESTUDO DO PONTO
DISTÂNCIA ENTRE DOIS
PONTOS
f) ao eixo das ordenadas?
Dados os pontos A(x1; y1) e
B(x2; y2), calculemos a distância d entre
eles:
1º caso: AB é horizontal:
g) à bissetriz dos quadrantes ímpares?
dAB  x 2  x1
h) à bissetriz dos quadrantes pares?
2º caso: AB é vertical:
02) Localize no plano cartesiano, os 12
pontos dados na questão anterior:
dAB  y 2  y1
3º caso: AB é oblíqua:
dAB 
CASSIO VIDIGAL
6
x 2  x1 2  y 2  y1 2
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Demonstração:
O triângulo ABC é retângulo em C,
assim, pelo teorema de Pitágoras temos
que:
2
Como Ax1 , y1  ,
Cx2 , y1  , então:
2
2
dAB 
dAB 
 3  3 2  6   2 2
 6 2  8 2
dAB  36  64
2
dAB  100
Bx 2 , y 2 
dAB  x 2  x1  y 2  y1
x 2  x1 2  y 2  y1 2
dAB 
dAB  dAC  dBC
2
dAB 
dAB  10
e
Observação: Convém destacar que a
ordem dos termos nas diferenças das
abscissas ou das ordenadas não influi no
cálculo de d já que inverteria apenas o
sinal das diferenças e, quando elevado
ao
quadrado,
esse
sinal
é
desconsiderado.
2
x 2  x1 2  y 2  y1 2
Observação: a notação de módulo em
x 2  x1 e y 2  y1 foi desconsiderada
pois, ao elevar ao quadrado o resultado é
positivo ou nulo.
Ex.(1): Calcule a distância entre os
pontos A(-3, 6) e B(3, -2).
MATEMÁTICA III
7
GEOM. ANALÍTICA – ESTUDO DO PONTO
c) H 2,  5  e O0 , 0 
Ex. (2): A distância entre os pontos
A(a – 1, 1) e B(-1, 2) é 3. Determine a.
x 2  x1 2  y 2  y1 2
dAB 
3
a  1   12  1  2 2
9  a2  1
a2  8
a 8
a  2 2

d) M0,  2  e N 5 ,  2

03) Calcule a distância entre os pontos
dados:
a) A 3 , 7  e B1, 4 
e) P3,  3  e Q 3, 3 
b) E3,  1 e F3 , 5 
CASSIO VIDIGAL
8
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
f) C 4, 0  e D0, 3 
05) Calcular a distância entre os pontos
A(a-3, b+4) e B(a+2, b-8)
g) K1, 3  e L 1, 4 
06) Calcular o perímetro do triângulo ABC
sendo dados A(2, 1), B(-1, 3) e
C(4, -2).
04) Qual a distância do ponto (10, -24) à
origem?
MATEMÁTICA III
9
GEOM. ANALÍTICA – ESTUDO DO PONTO
07) Mostre que o triângulo de vértices
A(2, 2), B(-4, -6) e C(4, -12) é retângulo.
110) Dados A(4, 5), B(1, 1) e C(x, 4),
determine x de forma que o triângulo ABC
seja retângulo em B.
08) Qual vértice o triângulo ABC citado na
questão anterior determina o ângulo
reto?
CASSIO VIDIGAL
10
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
10) Dados A(x, 5), B(-2, 3) e C(4, 1), obter
x forma que A seja equidistante de B e C.
MATEMÁTICA III
11) Obter P pertencente ao eixo das
abscissas de forma que o ponto P seja
equidistante de A(1, 3) e B(-3, 5).
11
GEOM. ANALÍTICA – ESTUDO DO PONTO
12) Determinar o ponto P da bissetriz dos
quadrantes pares que equidista dos
pontos A(8, -8) e B(12, -2).
13) Dados os pontos A(8, 11), B(-4, -5) e
C(-6, 9), obter o circuncentro do triângulo
ABC.
(A resolução desta questão encontra-se na secção de respostas)
CASSIO VIDIGAL
12
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
14) Dados os pontos M(a, 0) e N(0, a),
determinar P de modo que o triângulo
MNP seja equilátero.
MATEMÁTICA III
15) Dados os pontos B(2, 3) e C(-4,1),
determinar o vértice A pertencente ao
eixo das ordenadas sabendo que ABC é
retângulo em A.
13
GEOM. ANALÍTICA – ESTUDO DO PONTO
16) Dados A(-2, 4) e B(3, -1) vértices de
um quadrado, determinar os outros dois
vértices.
17) Dados A(8, 7) e C(-2, -3),
extremidades da diagonal de um
quadrado, calcular as coordenadas dos
outros dois vértices.
______________________
ATIVIDADES COMPLEMENTARES
Pág. 38 – Exercício R.2
Pág. 39 – Exercícios 1 a 6
______________________
CASSIO VIDIGAL
14
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
RAZÃO DE SECÇÃO
e x 3  x 2 são, ambos iguais a zero e a
Dados três pontos distintos e
COLINEARES A, B e C, chama-se razão
de secção do segmento AB pelo ponto C
o número real r tal que:
fração
r
fica
x3  x2
assim, usamos r 
indeterminada,
y1  y 3
. Situação
y3  y2
semelhante ocorre quando o segmento
for horizontal. Pelo mesmo motivo,
x  x3
faremos r  1
.
x3  x2
d AC
dCB
Existem duas formas de se
determinar este r. A primeira forma é
através da fórmula da distância como
apresentado na definição acima, assim,
sendo A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3),
temos:
r
x1  x 3
Ex.:Dados A(3, 7), B(5, 11) e C(6, 13),
determine a razão entre os comprimentos
dos segmentos AC e BC.
x1  x 3 2  y1  y 3 2
x 3  x 2 2  y 3  y 2 2
Resolução:
A partir das abscissas, temos:
A segunda forma, é por meio do
Teorema de Talles. Observe agora a
ilustração:
r
x1  x 3
x3  x2

3 6
6 5

3
3
1
A partir das ordenadas, temos:
r
x1  x 3
x3  x2

y1  y 3
y3  y2
7  13
13  11

6
3
2
Desconsiderando o módulo na
expressão apresentada na página
anterior, é possível, a partir do sinal de r,
determinar a posição de C em relação ao
segmento AB, assim, considerando A(x1 ,
y1), B(x2, y2) e C(x3, y3), e fazendo
x  x3
y  y3
r 1
 1
temos que:
x3  x2 y3  y2
Devemos ficar atentos apenas
quando o segmento considerado for
paralelo a um dos eixos coordenados.
Note que, caso o segmento seja vertical,
temos x1 = x2 = x3. Desta forma, x1  x 3
MATEMÁTICA III
y3  y2

Era natural que em ambas as
situações, encontrássemos o mesmo
resultado e, daí, concluímos que um
segmento tem o triplo do comprimento do
outro.
Pelo teorema de Talles, podemos
escrever:
r
y1  y 3
15
GEOM. ANALÍTICA – ESTUDO DO PONTO
i) r  0  C é interior a AB
ii) r  0  C é exterior a AB
iii) r  0  C  A
iv) r 1  C é médio de AB
v) C, r  1
DIVISÃO DE UM SEGMENTO
NUM A RAZÃO DADA
Dados A(x1, y1), B(x2, y2) e
C(x3, y3), calculemos as coordenadas
(x3, y3) do ponto C que divide o segmento
AB numa razão r ( r  1 ). Temos:
18) Tome três pontos quaisquer da reta
abaixo e verifique, com números, a
validade das afirmações acima:
r
x1  x 3
x3  x2
r x 3  x 2   x1  x 3
r  x 3  r  x 2  x1  x 3
r  x 3  x 3  x1  r  x 2
x 3 r  1  x1  r  x 2
x3 
r
x1  r  x 2
r 1
y1  y 3
y3  y2
r y 3  y 2   y1  y 3
r  y 3  r  y 2  y1  y 3
r  y 3  y 3  y1  r  y 2
y 3 r  1  y1  r  y 2
y3 
y1  r  y 2
r 1
Ex.1: Obter as coordenadas do ponto C
que divide AB na razão 2 sendo A(1, 5) e
B(4, 17).
Resolução:
x  r  x2 1  2  4 9
x3  1

 3
r 1
2 1
3
y  r  y 2 5  2 17 39
y3  1


 13
r 1
2 1
3
Assim, temos que C(3, 13)
CASSIO VIDIGAL
16
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
PONTO M ÉDIO DE UM
SEGMENTO
Ex.2: Obter as coordenadas do ponto C
que divide BA na razão 2 sendo A(1, 5) e
B(4, 17).
O ponto médio de um segmento é,
como o próprio nome diz, o ponto que
divide um segmento em duas partes
iguais, ou seja, cuja razão entre seus
comprimentos seja r = 1. Substituindo na
fórmula que já temos fazendo x3 = xm,
y3 = ym e r = 1, temos:
x  r  x2
y  r  y2
x3  1
y3  1
r 1
r 1
x  1  x2
y  1  y2
xm  1
ym  1
1 1
1 1
x1  x 2
y1  y 2
xm 
ym 
2
2
Resolução:
x  r  x 2 4  2 1 6
x3  1

 2
r 1
2 1
3
y  r  y 2 17  2  5 27
y3  1


9
r 1
2 1
3
Assim, temos que C(2, 9)
Observe que o ponto que divide o
segmento AB na razão 2 é diferente do
ponto que divide o segmento BA na
mesma razão 2.
19) No plano cartesiano , localize os
pontos A(1, 5) e B(4, 17) dados no
exemplo anterior e a seguir interprete os
pontos
C 1 e C 2 que dividem,
respectivamente, os segmentos AB e BA
na razão 2,
Ex.: Obter o ponto médio do segmento
AB sendo A(7, -2) e B(-3, 14).
Resolução:
7   3 
 2  14
xm 
 2 e ym 
6
2
2
Logo, M(2, 6)
1
4
20) Sendo A 2 , 3  , B1,  2  e C ,  
3
3
, determine a razão entre os segmentos
AC e BC.
MATEMÁTICA III
17
GEOM. ANALÍTICA – ESTUDO DO PONTO
21) Determinar as coordenadas dos
pontos que dividem o segmento AB em
três partes iguais sendo A = (-1, 7) e
B = (11, -8).
CASSIO VIDIGAL
22) Determinar os pontos que dividem AB
em quatro partes iguais quando
A = (-1, -3) e B = (23, 33).
18
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
24) Calcular o comprimento da mediana 1
AM do triângulo ABC cujos vértices são
os pontos A(0, 0), B(3, 7) e C(5, -1).
23) Até que ponto o segmento de
extremos A(1, -1) e B(4, 5) deve ser
prolongado para que seu comprimento
triplique?
1
Mediana de um triângulo é o segmento de reta
cujas extremidades são um vértice do triângulo e
o ponto médio do lado oposto.
MATEMÁTICA III
19
GEOM. ANALÍTICA – ESTUDO DO PONTO
25) De um triângulo ABC são conhecidos
o vértice A = (2, 4), o ponto M(1, 2) médio
do
lado
AB
e
o
ponto
N(-1, 1) médio do lado BC. Determine o
perímetro deste triângulo.
26) Sendo M(2, 1), N(3, 3) e P(6, 2) os
pontos médios, respectivamente, dos
lados AB, BC e CA, determine as
coordenadas dos vértices A, B e C.
(A resolução desta questão encontra-se na secção de respostas)
CASSIO VIDIGAL
20
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO
DE TRÊS PONTOS
27) Num triângulo ABC são dados:
i) A(2, 0)
ii) M(-1, 4) ponto médio de AB
iii) dAC = 10
iv) dBC = 10 2
Obtenha o vértice C.
Observe a figura:
Se os três pontos A(x1, y1),
B(x2, y2) e C(x3, y3), estão alinhados,
então satisfazem à seguinte condição:
x1  x 2
y  y2
 1
.
x2  x3 y2  y3
Note que
x1  x 2 y1  y 2

x2  x3 y2  y3
 x1  x 2  y 2  y3    x 2  x3  y1  y 2 
x1y 2  x1y 3  x 2 y 2  x 2 y 3  x 2 y1  x 2 y 2  x 3 y1  x 3 y 2
x1y 2  x1y 3  x 2 y 3  x 2 y1  x 3 y1  x 3 y 2
x1y 2  x 2 y 3  x 3 y1  x1y 3  x 2 y1  x 3 y 2  0
Por outro lado, sabemos que:
x1
D  x2
x3
y1 1
y2 1 
y3 1
 x1y 2  x 2 y 3  x 3 y1  x1y 3  x 2 y1  x 3 y 2
______________________
ATIVIDADES COMPLEMENTARES
Pág. 40 – Exercício R.4
Pág. 41 – Exercícios 7 a 11
______________________
MATEMÁTICA III
21
GEOM. ANALÍTICA – ESTUDO DO PONTO
Assim, podemos dizer que os três
pontos A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3),
estão alinhados quando:
x1
D  x2
x3
Ex.2: Determine k pra que os pontos
A(k, k), B(3, 1) e C(7, -3) estejam
alinhados.
Resolução:
y1 1
y2 1  0
y3 1
k
k
1
3
1
10
7 3 1
Observação: Este determinante acima
fica facilmente verificado também em
duas situações espeíficas:
k  7k  9  7  3k  3k  0
1º Se dois dos pontos coincidirem,
teremos
duas
linhas
iguais
e
consequentemente, D = 0.
k2
8k  16  0
8k  16
Resposta: k = 2
2º Se a reta for vertical (ou horizontal) as
três ordenadas (ou abscissas) serão
iguais. Como já temos uma coluna onde
os três termos são iguais a 1,
passaremos a ter duas colunas onde uma
é combinação linear da outra, e assim,
mais uma vez, D = 0.
Ex.1: Mostrar que os pontos A(-1, 1), B(1,
3) e C(7, 9) estão alinhados.
Resolução:
1 1 1
1
3 1
7
9 1
  1  3  1  1 1 7  1 1 9 
1 3  7  1 9  ( 1)  1 1 1 
 3  7  9  21  9  1
Logo, A, B e C estão alinhados.
CASSIO VIDIGAL
22
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
30) Mostrar que A(a; 2a – 1),
B(a + 1; 2a + 1) e C(a + 2; 2a + 3) são
colineares para qualquer valor de a real.
28) Os pontos A(1; 3), B(2; 5) e
C(49; 100) são colineares?
29) Determinar y para que os pontos A(3;
5), B(-3, 8) e C(4, y) estejam alinhados.
MATEMÁTICA III
23
GEOM. ANALÍTICA – ESTUDO DO PONTO
31) Para que valores de a existe o
triângulo MNP onde M(0, a), N(a, -4) e
P(1, 2)?
CASSIO VIDIGAL
32) Dados A(1, 1) e B(10, -2), obter o
ponto da reta AB que intercepta o eixo
das abscissas.
24
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
33) Dados os pontos A(3, 1) e B(5, 5),
determinar o ponto do eixo OY que
também pertence à reta AB.
35) Sendo A(7, 4) e B(-4, 2), determinar o
ponto de intersecção entre a reta que
passa por A e B e a bissetriz dos
quadrantes pares.
34) Dados A(2, -3) e B(8, 1) determinar o
ponto em que a reta que passa por A e B
intercepta a bissetriz dos quadrantes
ímpares.
MATEMÁTICA III
_______________________________
25
GEOM. ANALÍTICA – ESTUDO DO PONTO
37) Determinar m e n de tal forma que
P(m, n) seja colinear, simultaneamente,
com A(-1, -2) e B(2, 1) e com C(-2, 1) e
D(1, -4).
36) Dados A(-3, 4), B(2, 9), C(2, 7) e D(4,
5), determinar a intersecção entre as
retas AB e CD.
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38) Determinar o ponto P da reta AB que
está à distância 5 da origem onde
A(0, -25) e B(-2, -11)
______________________
ATIVIDADES COMPLEMENTARES
Pág. 46 – Exercícios 20 a 23
______________________
MATEMÁTICA III
27
GEOM. ANALÍTICA – ESTUDO DO PONTO
RESPOSTAS
01)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
A, J e L
D
B
C, e K
E, F, H
E, G, I
A, B, E, L
C, D, E, K
02)
03)
07)
demonstração
08)
B
09)
-3
10)
2
11)
P(-3, 0)
12)
P(-5, 5)
13)
Resolução
O circuncentro (Centro da
circunferência
circunscrita
ao
triângulo) é um ponto equidistante
dos três vértices.
Tomando P(x, y) e fazendo
dPA = dPB, temos
a)
13
b) 6
c)
29
d)
5
e) 6 2
f) 5
g)
5
x  8 2  y  112


x  4 2  y  5 2
x  8 2  y 112  x  4 2  y  5 2
x 2  16 x  64  y 2  22 y  121 
 x 2  8 x  16  y 2  10 y  25
04)
26
 16 x  22 y  185  8 x  10 y  41
05)
13
 24 x  32 y  144  0
3 x  4 y  18  0
06)
2 13  5 2
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28
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Fazendo agora dPB = dPC, temos:
x  4 
2
 y  5  
2
21)
C(3, 2) e D(7, -3)
22)
(5, 6), (11, 15) e (17, 24)
2
 y  9 
23)
(1, 17)
x  4 2  y  5 2  x  6 2  y  92
24)
5
x 2  8 x  16  y 2  10 y  25 
25)
Resolução:
Se M é ponto médio de AB, então:

x  6 
2
 x 2  12 x  36  y 2  18 y  81
x A  xB
2  xB
1 
 xB  0
2
2
y  yB
4  yB
ym  A
2 
 yB  0
2
2
xm 
8 x  10 y  41  12 x  18 y  117
 4 x  28 y  76  0
x  7 y  19  0
Assim, temos B = (0, 0)
Se N é ponto médio de BC, então:
Montando um sistema com as
duas equações lineares encontradas
temos:
xB  x C
0  xC
 1 
 x C  2
2
2
y  yC
0  yC
ym  B
1 
 yC  2
2
2
xm 
3 x  4 y  18  0
3 x  4 y  18


 x  7 y  19  0
x  7 y  19
Assim, temos c= (-2, 2)
Perímetro = dAB + dAC + dBC

x=2ey=3
dAB 
dAC 
Assim, temos P(2, 3)
14)
dBC 
aa 3 aa 3 
 ou
P
,

2
2


aa 3 aa 3 

P
,

2
2


2  0 2  4  0 2
0  2 2  0  2 2
2  2 2  4  2 2
 20  2 5
 8 2 2
 20  2 5
dAB  dAC  dBC  2 5  2 2  2 5 

4 5 2 2 2 2 5  2

Resposta: 2 2 5  2


26)
A(5; 0), B(-1; 2) e C(7; 4)
27)
C(10; 6) ou C(-6, -6)
28)
Não
8, 3  e  2, 7 
29)
y
18)
Questão aberta.
30)
(Demonstração)
19)
Questão aberta.
31)
a  -1 e a  4
20)
2
32)
(4, 0)
33)
(0, -5)
34)
(-13, -13)
15)
0,  1 ou 0, 5 
16)
C8,4  e D3,9  ou
C 2,6  e D 7 ,1
17)
MATEMÁTICA III
29
9
2
GEOM. ANALÍTICA – ESTUDO DO PONTO
35)
 30 30 
  13 ,  13 


36)
P(1, 8)
37)
m
38)
P(-3, -4) ou P(-4, 3)
1
3
e n
2
2
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
DANTE,
Luiz
Roberto;
Matemática, Volume dois. São Paulo,
Atica, 2005.
IEZZI,
Gelson
e
outros;
Fundamentos da Matemática Elementar,
Volume 4. São Paulo, Atual, 5ª edição,
1977.
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cia-entre-dois-pontos
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o-de-tres-pontos
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