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PROCESSO SELETIVO 2006
QUESTÕES DISCURSIVAS
MATEMÁTICA – QUESTÕES DISCURSIVAS
A
Seja M o ponto médio do segmento OB e N o ponto médio do segmento OC,
sendo B = (0, 2) e C = (2, 0) , conforme figura ao lado.
A.1) Encontre a equação da reta r determinada pelos pontos B e N e a
equação da reta s determinada pelos pontos C e M.
B
Comentário:
N é ponto médio de OC ∴ N = (1,0)
M é ponto médio de OB ∴ M = (0,1)
x y
reta r:
+ = 1 ∴ 2x + y – 2 = 0
1 2
x y
reta s:
+ = 1 ∴ x + 2y – 2 = 0
2 1
A.2) Encontre as coordenadas do ponto P de interseção das retas r e s.
Comentário:
Sendo P intersecção de r e s, basta resolver o sistema formado pelas equações de r e s:
O sistema formado pelas equações de r e s:
 2x + y − 2 = 0
2
2
resolvendo vem x = e y =

3
3
 x + 2y – 2 = 0
 2 2
∴P= , 
 3 3
A.3) Demonstre que a distância de P até B é o dobro da distância de P até N.
Comentário:
2

dPB =  − 2
3

2
2 
dPN =  − 1
3 
2
2

+  − 0
3

2
2

+  − 0
3

2
Logo, dPB é o dobro de dPN.
=
2 5
3
=
5
3
M
O
P
N
C
2
B
Uma empresa possui uma máquina que fabrica discos de metal a partir da especificação do raio r. O controle de
qualidade dessa empresa detectou que essa máquina está produzindo discos de raio maior que o especificado,
ocasionando um desperdício de material acima do esperado. Para quantificar o erro E cometido na fabricação de um
disco de raio r + x, o controle de qualidade utiliza a seguinte expressão:
E = A(r + x ) − A(r )
sendo A(r ) a área do disco de raio r e A(r + x ) a área do disco de raio r + x , com x > 0.
Fixando r = 10 cm, resolva os itens abaixo.
B.1) Qual é o erro E cometido na fabricação de um disco de raio 10,5 cm?
Comentário:
• E = A(r + x) – A(r)
E = A(10 + x) – A(10)
E = π.(10 + x)2 – π102
E = 100 π + 20πx + πx2 – 100π
E(x) = (20 + x).πx
• x = 10,5 – 10
x = 0,5 cm
• E(0,5) = (20 + 0,5).π.0,5
E(0,5) = 10,25 πcm2
Logo, o erro cometido foi de E = 10,25 πcm2 ou
E ≅ 32,2 cm2
B.2) O controle de qualidade dessa empresa estipulou que o erro máximo aceitável na fabricação desses discos é de
1% do valor da área A(r). Para atender essa exigência, qual é o valor máximo permitido para x?
Comentário:
• E(x) ≤ 1%.A(r)
A(r + x) – A(r) ≤ 0,01 A(r)
A(r + x) ≤ 1,01 A(r)
π(10 + x)2 ≤ 1,01 π.102
(10 + x)2 ≤ 101
– 101 ≤ 10 + x ≤ 101
– 101 – 10 ≤ x ≤ 101 – 10
O valor máximo é x = 101 – 10 ou x ≅ 0,05 cm
C Sejam AB, BC e AC diagonais das faces de um cubo de aresta 10 cm, conforme a
figura ao lado.
C.1) Calcule a área do triângulo ABC.
C
A
D
Comentário:
AC = BC = AB = 10 2 = l
SABC → Triângulo Equilátero
l 2 3 (10 2) 2 3 100 . 2 .
=
=
4
4
4
SABC = 50 3 cm2
S ABC =
3
B
3
C.2) Calcule a área total da pirâmide ABCD.
Comentário:
SABC = 50 3 cm2
10 . 10
= 50 cm2
2
ST = 150 + 50 3 = 50(3 + 3)cm2
SACD = SCBD = SABD =
C.3) Calcule o volume da pirâmide ABCD.
Comentário:
1
Sb . H
Adotando SACD como base, H = DB
3
1
500
V = . 50 . 10 =
cm3
3
3
V=
D Considere os números complexos z = cos π + i sen π e w = 2 cos π + i sen π  .
18
18
9
9

D.1) Mostre que o produto z ⋅ w é igual a
Comentário:
π
π 
π
π

Z.W = 1. cos
+ i sen  .2.  cos + i.sen 

18
18  
9
9

Z.W = 1.2. cos

π

Z.W = 2. cos

6
 π π
 π π
 +  + i.sen +  
 18 9 
 18 9  
π
+ i.sen 
6
 3
1
Z.W = 2 
+ i.  = 3 + i
2
 2
D.2) Mostre que z 18 é igual a −1 .
Comentário:

 18π 
 18π  
Z18 = 118  cos
 + i.sen 

 18 
 18  

Z18 = 1.(cos π + i.sen π)
Z18 = –1
3 +i.
4
E
Considere o seguinte sistema linear:
mx

 2x
 x

+
4y
+ (m − 1)y
y
+
+
5z
+ (m + 1)z
2z
+
= m+1
=
4
2
=
Sabendo que esse sistema é possível para qualquer m real:
E.1) Resolva o sistema para m = 2.
E.2) Encontre os valores de m que tornam esse sistema indeterminado.
Comentário:
Por Escalonamento
 x + y + 2z = 2

 2x + (m – 1)y + (m + 1)z = 4
mx + 4y + 5z = m +1

 x + y + 2z = 2

(m – 3)y + (m – 3)z = 0
(4 – m)y + (5 – 2m)z = 1 – m

 x + y + 2z = 2

(m – 3)y + (m – 3)z = 0
(m – 3)(1 – m)z = (1 – m)(m – 3)

 x + y + 2z = 2

(E.1) m = 2 →  –y – z = 0
z = 1

S = {(1; –1; 1)}
(E2) Observando a última equação no sistema escalonado
(m – 3) (1 – m)z = (1 – m) (m – 3)
m = 3 → 0 . z = 0 (indeterminado)
m = 1 → 0 . z = 0 (indeterminado)