MECÂNICA NEWTONIANA A
– FIS 1025
Lista de problemas 2
1) Pedro caminha em direção a João. O trecho AB da calçada tem 18m. Neste exercício, use a
escala 1:100. A FIG.1 mostra as posições de Pedro e João no instante t=10s. Use os pontos P e J
(topo da cabeça) para representar as posições de Pedro e João, respectivamente.
P
J
A
B
FIG. 1
a)Desenhe na FIG.1 a reta suporte do movimento de Pedro (ponto P). Suponha que J esteja sobre a
mesma reta suporte de P. Faça uma escolha para a referência das posições, R, com a ressalva de que
R não deve coincidir com as posições de Pedro nem de João em t=10s. Escolha a convenção de
sinais e represente-as na figura, juntamente com R. As respostas aos itens seguintes devem utilizar
essas convenções.
b)Represente na FIG.1 os segmentos que fornecem os módulos das coordenadas de posição de
Pedro e João, sP e sJ respectivamente, no instante t=10s. Diga quanto valem sP e sJ e explique como
obteve a resposta.
c)Qual das expressões abaixo fornece a distância D entre Pedro e João no instante t=10s? Obs.:
distância é por definição um número positivo.
(i) D = sP - sJ
(ii) D = -sP + sJ
(iii) D = sP + sJ
(iv) D = -sP - sJ
2) Um automóvel trafega numa rodovia. Seu movimento é retilíneo e sua posição é dada pelo ponto
P, situado no pára-choque dianteiro. A FIG.2 mostra a posição do automóvel no instante t = 0 e a
reta suporte da trajetória de P. O movimento é estudado por dois observadores, observador 1 cuja
coordenada de posição é representada por s e o observador 2, cuja coordenada de posição é
representada por y. É dada a referência R’ e a convenção de sinais adotadas pelo observador 2 (ver
FIG.2).
reta suporte da
trajetória de P
90 m
P
45 m
B
- R’ +
sentido do
movimento
FIG. 2 - mostra a posição do automóvel em t=0
C
MECÂNICA NEWTONIANA A
– FIS 1025
Algumas medidas feitas pelo observador 1 são mostradas na tabela abaixo. Considere que o
movimento inicia em t=0 e termina em t=12,0s.
t em seg.
0
3,50
6,00
7,80
8,70
10,2
12,0
posição
s em m
0
62
y em m
B
120
C
163
194
Marque V(verdadeiro), F(falso).
[ ] o ponto B é a posição do automóvel no instante 6,00 s.
[ ] o ponto C é a coordenada de posição do automóvel em 8,70 s, para ambos os observadores.
[ ] em t=3,50s o automóvel encontra-se a uma distância de 62m da referência R utilizada pelo
observador 1.
[ ] a referência R utilizada pelo observador 1 coincide com P em t=0.
[ ] para o observador 1 a coordenada de posição do ponto B é sB = - 90 m.
[ ] para o observador 1 a coordenada de posição do automóvel em t= 8,70s é s(8,70s) = 45 m.
[ ] sR’ = 90m.
[ ] todos os valores de y(t) são positivos para tempos maiores do que 0 e menores do que 6,00s.
[ ] em t=6,00s tem-se y(6,00s) = 0.
[ ] quando o automóvel está a igual distância de R e de R’, sua coordenada de posição segundo o
observador 2 é y = 45m.
[ ] para qualquer instante t entre 0 e 12,0s, tem-se s(t) – y(t) = 90m.
[ ] para todos os instantes t entre 0 e 12,0s tem-se y(t )   y(t ) .
[ ] em t=3,50s tem-se y(3,50s) = 28m.
[ ] a distância entre R e R’ é de 45m.
[ ] em t=12,0s o automóvel está a 104m de R’.
3) Numa experiência, estudou-se o movimento de uma caçamba suspensa por mola. A reta suporte
da trajetória, a referência R e a convenção de sinais estão representadas na figura ao lado. Os pontos
A, B, C, D e E, indicados na Tabela 1, são as 5 posições da caçamba nos extremos de duas
oscilações completas. No instante t=0 a caçamba encontra-se no ponto A, estando esse ponto
representado na figura ao lado. O terceiro extremo do movimento está 10 cm acima de A. A figura
está na escala 1:10.
Tabela 1
posição
A
B
C
D
E
t em seg.
0
0,6
1,2
1,8
2,4
s em cm
- 40
R
+
-25
20
a) Complete a Tabela 1 com os dados que estão faltando na terceira coluna.
A
MECÂNICA NEWTONIANA A
– FIS 1025
b) Como modelo matemático para descrever esse movimento, os pontos da amostragem são ligados
por retas, formando-se desse modo uma função contínua no intervalo 0t2,4s. Segundo esse
modelo, em que instante de tempo a caçamba passa pela primeira vez pelo ponto R?
4) Para estudar o movimento de uma caçamba suspensa por mola, um certo observador mediu o
período das oscilações da caçamba e a posição da mesma nos pontos extremos de duas oscilações
completas. Os resultados dessas medidas estão mostrados na Tabela 1, a seguir. A FIG.3 mostra a
montagem experimental, a reta suporte da trajetória da caçamba, bem como a referência R e
convenção de sinais escolhidas pelo observador. A figura está na escala 1:10.
R
+
reta suporte
da trajetória
80 cm
solo
FIG. 3
t em segundos
0
0,5
1,0
1,5
2,0
sexp em cm
80
10
65
18
58
Tabela 1 – A segunda coluna mostra coordenadas de posição da caçamba medidas pelo observador,
que usou a referência e convenção de sinais mostradas na FIG.3.
a)Em t=0 a caçamba está no ponto A. Qual á a distância entre A e a referência R? Explique sua
resposta e marque A na FIG.3.
MECÂNICA NEWTONIANA A
– FIS 1025
b)Qual é o período T das oscilações da caçamba? Explique sua resposta, utilizando em sua resposta
o conceito de oscilação completa.
c)Um segundo observador escolhe para referência o ponto R’ no solo. A convenção de sinais usada
é tal que os valores yexp de sua amostragem são positivos. Obtenha a expressão que relaciona os
módulos de sexp (t) e yexp (t), para qualquer instante de tempo t. Em seguida resolva os módulos e
escreva a expressão que relaciona essas funções entre si.
d) O modelo matemático escolhido pelo segundo observador, é a função y(t) que une por retas
pontos sucessivos de sua amostragem experimental. Obtenha a expressão do trecho de y(t) referente
ao intervalo entre T e (3/2)T.
5) Uma patinadora numa pista de gelo, passa pelo ponto A no instante em que se registra t=0 e
chega em B 12s depois. Seu movimento se dá sobre a reta suporte desenhada na FIG. 4. A
referência das posições para a coordenada s é tal que s(12s) = 0 e s(0) >0. Escala da FIG. 4:
1cm:10m.
reta suporte
B
A
FIG. 4
MECÂNICA NEWTONIANA A
– FIS 1025
a)Marque R e indique a convenção de sinal na FIG. 4
b)Qual a amostragem do movimento da patinadora?
c)Constroi-se um modelo linear para descrever o movimento da patinadora sobre a reta suporte, s(t)
= a + bt. As constantes a e b são obtidas utilizando-se os dois pontos da amostragem do movimento,
t=0 e t=12s. Determine essas constantes e dê a função s(t). Considere que esse modelo é válido no
intervalo 0≤t≤15s (limite do intervalo, 15s, é de 3s além do instante em que passa por B).
d)Após construido o modelo s(t), obtém-se como informação adicional que 3s após passar po B a
patinadora atinge o ponto C, cuja coordenada foi medida como sendo s C = -10,5 m. Dê a
discrepância entre o modelo s(t) e a medida de posição da patinadora em t=15s. Considere
s(t )  sexp (t )

x100 . Obs.: 94,5m é a distância entre A e C
94,5
6) Um nadador treina numa piscina e seu movimento é estudado por dois observadores. É a seguinte
a convenção usada por cada um:
observador 1: referência R e convenção de sinais mostradas na FIG.5; coordenada s
observador 2: referência R´ e convenção de sinais mostradas na FIG.5; coordenada y
Após o mergulho, o nadador encontra-se na posição mostrada na FIG. 5 e esse instante é registrado
como t = 0 para ambos os observadores. A posição do nadador é dada pelo ponto P (cabeça) cuja
trajetória pode ser tomada como retilínea e sobre a superfície da água. O movimento é de ida e
volta, uma única vez.
3,0 m
-R+
P
27 m
A
+ R´-
15 m
54 m
Borda esquerda
Borda direita
FIG. 5 - mostra a posição do nadador em t=0
MECÂNICA NEWTONIANA A
– FIS 1025
A tabela a seguir mostra alguns dados obtidos pelo observador 1. Considere que o movimento
inicia-se em t = 0 e termina em t = 30 s. Foram registrados os dois instantes de tempo nos quais a
posição do nadador é A.
t em seg.
0
2,0
5,0
7,5
19,0
30,0
posição
s em m
y em m
0
A
A
- 25
Marque V(verdadeiro), F(falso) ou X(branco) ao lado de cada uma das afirmações.
( ) para o observador 1, a coordenada de posição inicial do nadador é s(0) = 3,0 m.
( ) em t = 2,0 s a coordenada de posição do nadador, segundo 1, é positiva.
( ) o nadador leva 5,0 s para atingir R.
( ) segundo 1, ao passar por A na ida (t=7,5s), a coordenada de posição é igual a 15 m e, ao passar
por A na volta (t=19,0s), a coordenada de posição é igual a -15 m.
( ) o ponto P nunca atinge a borda esquerda da piscina durante o movimento descrito pela tabela.
( ) em t = 0 tem-se y(0) = 51 m.
( ) em t = 0, y(0)  s(0)  27m
( ) para 2, a coordenada de posição do nadador ao passar por A é sempre igual a 12 m, na ida
como na volta.
( ) no ponto A tem-se sA + yA = 27 m.
( ) para qualquer instante de tempo t < 5,0 s tem-se y(t) – s(t) = 27 m .
( ) sR´ = yR.
( ) sR´ = - yR
( ) y(30s) = 52 m.
( ) para 2, a coordenada de posição do nadador nunca é negativa, nesse movimento.
( ) na posição em que y = 40 m, a coordenada s é negativa.
7) Durante a poda de uma árvore um pedaço de um galho é baixado por uma corda. A partir dos
trechos desenrolados do carretel, foram registados na Tabela 1 os valores do comprimento  de
corda (FIG. 1) para 5 instantes de tempo contados a partir do instante da largada (t=0). São
decorridos 12,0s até que o galho (ponto P) atinja o solo.
Dois observadores descrevem o movimento de P no intervalo 0 ≤ t ≤ 12,0s, construindo
amostragens de 5 pontos a partir dos dados da Tabela 1.
Observador 1: Toma como referência R um ponto na mesma altura do peitoril de uma varanda,
situado a 3,5 m do solo; sua coordenada num instante t é representada por sexp(t) e a convenção de
sinais é tal que sexp(0) < 0.
Observador 2: Toma como referência R´ um ponto do solo; sua coordenada num instante t é
representada por yexp(t) e a convenção de sinais é tal que yexp(0) > 0.
MECÂNICA NEWTONIANA A
– FIS 1025
A figura mostra a posição do galho num instante t qualquer. A figura está fora de escala; apenas os
valores indicados devem ser usados na solução do problema.
t=0
Tabela 1

P
peitoril da varanda
t (s)
0,0
3,0
6,0
9,0
12,0
 (m)
0,0
2,8
3,5
7,2
10,0
sexp
yexp
Se necessário, utilize as colunas da direita
para auxiliar na solução.
3,5 m
solo
Marque V(verdadeiro), F(falso) ao lado de cada uma das afirmações.
[ ] o ponto R situa-se no peitoril da varanda
[ ] os pontos R´e P situam-se na mesma reta
[ ] a figura mostra que a reta suporte da trajetória de P corta o peitoril da varanda.
[ ] a partir dos dados fornecidos é possível acrescentar pontos à amostragem yexp(t);
[ ] sexp(6,0s) = 0
[ ] em t=0 o galho (ponto P) está a 10m do solo
[ ] sexp (t )  6,5 m;
[ ] sexp (t )  l  10 m;
[ ] sexp (t )  yexp (t )  3,5 m;
[
] yexp (t )  l  yexp (t )  l
[
] sexp(12,0s) = - 3,5m
O observador 1 toma como modelo matemático do movimento a função s(t), obtida ligando-se
por uma reta os pontos correspondentes a t=3,0s e t=12,0s da amostragem sexp(t), e considera
s(t) válida no intervalo 0 ≤ t ≤ 12,0s.
[
] s(3,0s) = - 3,7 m
[
] s(t) nunca é igual a zero
[
] s(t) = a + bt , onde b = 0,8 m/s
[
] s(t) = - 6,5 + 0,8 t (m,s)
MECÂNICA NEWTONIANA A
– FIS 1025
8) Num experimento foram estudadas as oscilações periódicas de uma caçamba suspensa por mola.
A FIG.6 mostra a reta suporte da trajetória de um ponto P da mesma, a referência R e convenção de
sinais escolhidas pelo observador. O experimento registrou instantes de tempo e coordenadas de
posição dos extremos superior e inferior de duas oscilações completas. O gráfico da FIG.7 mostra o
modelo matemático s(t), que consiste em unir por retas pontos da amostragem experimental( ) .
s(cm)
Gráfico do modelo matemático
80
70
reta suporte
da trajetória
-
60
R
+
50
40
30
80 cm
20
10
0
chão
t (s)
0
FIG. 6
FIG. 7
a)Para estimar o período T das oscilações da caçamba, foram medidos os tempos correspondentes a
10 oscilações, repetindo-se três vezes a medida, com os resultados abaixo:
primeira medida : 12,03 s;
segunda medida : 12,13 s;
terceira medida : 11,98 s
Determine o valor estimado de T. Resposta com 3 dígitos.
b)A escala de tempo da FIG.7 é marcada em termos das oscilações da caçamba. Complete-a com
os valores numéricos pertinentes usando duas casas decimais. Explique sua resposta.
T=
MECÂNICA NEWTONIANA A
– FIS 1025
c)Em t=1,50s, a caçamba encontra-se no ponto A, segundo o modelo matemático. Marque A na
FIG. 6 justificando abaixo sua resposta. Use a escala 1:10.
d) Em que instante de tempo a caçamba está mais perto do chão e a que distância do mesmo?
9) Todas as perguntas referem-se a movimento retilíneo. Por coordenada de posição entendese coordenada sobre a trajetória. O corpo é representado por um de seus pontos. Se não for
especificado o tipo de função, amostragem ou modelo, a resposta deve ser válida para ambos
os casos.
Parte I
1[ ] dois observadores, 1 (coordenada denominada s1) e 2 (coordenada denominada s2), usam os
pontos R1 (na parede da porta) e R2 (na parede da janela) respectivamente, como referência, sobre
uma reta traçada no chão de uma sala. A reta vai da parede da porta à parede da janela; se um ponto
P se move no sentido da porta para a janela s1 cresce e s2 decresce, necessariamente;
2[ ] P move-se numa reta onde estão marcados dois pontos fixos A e B; para o observador desse
movimento, os módulos das coordenadas de A e B crescem se o corpo se afasta de ambos;
3[ ] se um ponto móvel P passa pela referência R uma vez, sem parar em R, o valor mínimo da
coordenada de posição de P é igual a zero;
4[ ] um ciclista andou numa pista retilínea e seu movimento foi estudado por João (que usa a
coordenada denominada sJ) e Manuela (que usa a coordenada denominada s M) durante o intervalo
de tempo 0≤ t ≤ 10s; dado que sJ(t) = 32 – 2t (m, s) pode-se afirmar que em t=1s o ciclista encontrase a 30 m de João porém, usando unicamente sJ(t), nada se pode afirmar a respeito de sua distância a
Manuela;
5[ ] para um observador, a coordenada de posição de P num dado instante de tempo de seu
movimento é igual a -30 cm e seu valor crescerá se P se aproximar de um ponto A, fixo.
Conhecendo-se as posições de P e A há duas possibilidades para a posição da referência R;
6[ ] um observador obtém uma função modelo s(t) para descrever um movimento a partir da
amostragem sexp(t); o intervalo de observação é 0 ≤ t ≤ 6,5s. Pode-se calcular a discrepância
s(t )  sexp (t )

 100 em qualquer instante t desse intervalo;
s (t )
MECÂNICA NEWTONIANA A
– FIS 1025
7[ ] para um certo movimento, foi obtida a função modelo s(t) = 67 – 134t (cm, s) válida para o
intervalo de tempo 1,5s ≤ t ≤ 7,0s; de acordo com esse modelo, pode-se afirmar que o corpo
encontra-se na referência R no instante t = 0,5s;
8[ ] dois observadores estudam movimentos sobre uma reta, e denominam as coordenadas de
posição s e y, respectivamente; se eles usam referências diferentes e mesma convenção de sinais,
para qualquer ponto da reta a diferença y - s é constante;
9[ ] dois observadores, 1 e 2, obtém funções modelo matemático s(t) e y(t), respectivamente, para
descrever o movimento de um corpo num dado intervalo de tempo; sabe-se que s(t) = 45 – 20t
(cm,s) e y(t) = -13 + 20t (cm,s); pode-se afirmar que a referência do observador 2 está a 32m cm da
referência do observador 1 e que eles usam a mesma convenção de sinais;
10[ ] dois corpos, A e B movem-se numa reta e um observador estuda o movimento de ambos; a
distância entre os corpos é dada sempre por s A (t )  sB (t ) independente das posições de cada um;
11[ ] P e Q são dois pontos fixos de uma reta; um observador escolhe a referência R e convenção
de sinais para definir a coordenada s sobre essa reta; sabe-se que para esse observador, sP = -40 cm e
sQ =-30cm e quer-se descobrir onde se situa R e qual a convenção de sinais escolhida por ele; para
os dados fornecidos há uma única resposta possível;
Parte II
As próximas afirmações referem-se ao seguinte enunciado:
Pedro registra 9 posições que ocupou durante uma caminhada, a intervalos de 10s, usando, para
identificá-las, alguns elementos no seu entorno (árvores, postes, barraquinhas de venda, etc.); em
seguida, refaz o percurso com o fim de tomar medidas das coordenadas de posição dos elementos
que usou e constrói uma tabela posição-tempo para sua caminhada. Ele considerou um ponto de seu
corpo para registro das posições.
12[ ] os 9 objetos do entorno, que usou para registrar suas posições, são as referências a partir das
quais mediu os 9 valores de coordenada constantes da tabela;
13[
] a tabela de 9 pontos é uma amostragem de seu movimento durante a caminhada;
14[ ] Pedro tomou o instante inicial como t=0; a tabela que construiu é uma função do tempo
definida em todo o intervalo 0 ≤ t ≤ 90s;
15[
] pode-se afirmar que a amostragem registra coordenada nula para t=0.
MECÂNICA NEWTONIANA A
– FIS 1025
10) Vanessa move-se numa pista retilínea e seu movimento é estudado por dois observadores entre
t=0 e t=60s:
Observador 1: referência R1 e coordenadas s1
Observador 2: referência R2 e coordenadas s2
As referências e convenções de sinal estão indicadas na FIG.1. Os dois observadores obtém
amostragens para o movimento de Vanessa tomando medidas para 5 instantes de tempo. São em
seguida construídas funções modelo unindo pontos sucessivos das amostragens por 4 segmentos de
retas com diferentes inclinações. A FIG.2 mostra o gráfico da função modelo feito por um dos dois
observadores entre t=0 e t= 60s. A posição inicial de Vanessa é o ponto A. As afirmações a seguir
referem-se ao intervalo 0≤t≤60s.
A
- R1 +
+ R2 -
14 m
FIG.1
18
0
14
0
Coordenada
de posição
em metro
10
0
FIG.2
6
2
-2
0
12
24
36
48
60
t (s)
[ ] o gráfico da FIG.2 foi feito pelo observador 2;
[ ] o modelo matemático mostrado na FIG.2 prevê que entre t=0 e t=6s Vanessa atinge a
referência escolhida pelo observador que o construiu;
[ ] no intervalo 12s ≤ t ≤ 24s, a coordenada de posição do modelo matemático mostrado na FIG.2
é dada por 2 + (1/6) t (m, s);
[ ] s1(t) nunca é igual a s2(t);
[ ] para qualquer instante de tempo t, s1(t) + s2(t) = 14m;
MECÂNICA NEWTONIANA A
[ ] durante o movimento, Vanessa atinge apenas uma das referências.
Respostas
2- .
VFV VFF VFV FVF FFV
3-
b) 0,32 s.
4-
d) y (t) = -79 + 94 t (cm, s) para 1,0s  t  1,5s.
5-
c) s(t) = 85 – 7,08 t (m,s)
d) 11%
6–
FFV FVV FVV FVF VVV
7-
FVF FFV VFV VFV
8-
d) t= T/2; 10 cm
9-
FFF VFF FVF FVF VFF
10-
FVV FVF
FVF
– FIS 1025