Estatística – Prof. Júlio Lociks
Medidas de Assimetria e de Curtose
Assimetria
As medidas de assimetria indicam o grau de assimetria de uma distribuição de freqüências
unimodal em relação a uma linha vertical que passa por seu ponto mais elevado.
Distribuição Simétrica
Graficament e, uma distribuição simétrica tem associada a si uma curva de freqüências
unimodal apresenta n d o duas "caudas" simétricas em relação a uma linha vertical que passa por seu
ponto mais alto (eixo de simetria).
f
Mo = Md = x
Simétrica: Mo = Md =
x
Distribuições Assimétricas
Uma distribuição assimétrica tem associada a si uma curva de freqüências unimodal que
apresenta, a partir do seu ponto mais alto, uma "cauda" mais longa para a direita (assimetria
positiva) ou para a esquerda (assimetria negativa).
Nas distribuições assimétricas os valores da moda, da mediana e da média divergem sendo
que a média sempre estará do mes mo lado que a cauda mais longa .
f
Mo
Assimétrica à direita (Positiva):
x
Md
x
à direit a da Mo (Mo < Md <
x)
f
x
Md
Assimétrica à esquerda (Negativa): ....
x
Mo
à esquerd a da Mo ( x < Md < Mo)
Coeficientes de Assimetria (AS)
Um coeficiente de assimet ria quantifica o desvio de uma distribuição em relação a uma
distribuição simétrica e o sinal resultante do seu cálculo nos dá o tipo de assimetria da distribuição.
Coeficientes de Pearson
Primeiro Coeficiente de Assimetria de Pearson:
AS P1 =
x − Mo
S
Segundo Coeficiente de Assimetria de Pearson:
AS P2 =
3 ⋅ ( x − Md )
S
Teoricament e, o segundo coeficiente de assimetria de Pearson pode variar entre −3 e +3. Na
prática, porém, rarament e ultrapas s a rá os limites de −1 e +1.
Os valores dos dois coeficiente de assimetria de Pearson serão iguais somente quando a
distribuição for simétrica.
Segundo Toledo & Ovale (Estatística Básica – Ed. Atlas), quando a distribuição não tiver forte
assimetria, o segundo coeficiente deverá ser usado preferencialmente ao primeiro.
Coeficiente Quartílico de Assimetria
Sejam A1 distância entre a mediana e o primeiro quartil e A2 a distância entre a mediana e o
terceiro quartil, ambas tomadas em termos positivos, como ilustra a figura abaixo:
Define - se o coeficiente quartílico de assimetria como:
AS Q =
A2 − A1
A2 + A1
O coeficiente quartílico de assimetria está sempre compreendido entre −1 e +1.
Coeficiente Momento de Assimetria
Sejam m 2 e m 3 os moment os de segunda e de terceira ordem centrados na média, define se o coeficiente momento de assimetria como sendo:
AS m =
m3
(m2 )
3
=
m3
S3
Curtose
Denomina - se curtose ao grau de “achata me nt o” de uma distribuição de freqüências,
geralment e unimodal, medido em relação ao de uma distribuição normal (de Gauss) que é tomada
como padrão.
Muito embora seja comu m explicar a curtose como o “grau de achata me nt o” de uma
distribuição de freqüências, o que as medidas de curtose buscam indicar realmente é o grau de
concentração de valores da distribuição em torno do centro desta distribuição.
Numa distribuição unimodal, quanto maior for a concentração de valores em torno do centro da
mes ma, maior será o valor da sua curtose. Graficamente isto será associado a uma curva com a
parte central mais afilada, mostra n do um pico de freqüência simples mais destacado, mais
pontiagudo, caracterizand o a moda da distribuição de forma mais nítida.
Dizemos que uma distribuição de freqüências é:
Mesocúrtica – quando apresent a uma medida de curtose igual à da distribuição normal.
Platicúrtica – quando apresent a uma medida de curtose menor que a da distribuição normal.
Leptocúrtica - quando apresenta uma medida de curtose maior que a da distribuição normal.
Coeficiente Percentílico de Curtose
Este coeficiente é definido como o quociente entre a amplitude semi - interquar tílica e a
amplitude entre o 10 o e o 90 o percentis.
 Q3 − Q1 


2 
Cp = 
P90 − P10
O valor deste coeficiente para a curva normal é 0, 26367...
Assim sendo, ao calcularm os o coeficiente percentílico de curtose de uma distribuição
qualquer teremos:
Quando Cp ≅ 0,263 →diremos que a distribuição é mesocúrtica .
Quando Cp < 0,263 →diremos que a distribuição é platicúrtica .
Quando Cp > 0,263 →diremos que a distribuição é leptocúrtica .
Coeficiente Momento de Curtose
O coeficiente momento de curtose é definido como o quociente entre o moment o centrado
de quarta ordem (m 4 ) e o quadra do do moment o centrado de segunda ordem (variância).
Cm =
m4
( m2 ) 2
=
m4
S4
O valor deste coeficiente para a curva normal é 3,00.
Portanto:
Quando Cm ≅ 3,00 →diremos que a distribuição é mesocúrtica .
Quando Cm < 3,00 →diremos que a distribuição é platicúrtica .
Quando Cm > 3,00 →diremos que a distribuição é leptocúrtica .