MAT2127 - Cálculo Diferencial e Integral para Quı́mica II
Lista 12 - 2011
1. Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule a sua
soma.
(a) 3 + 2 +
∞
4 8
+ + ....
3 9
en
(d) ∑ n
3
n =1
∞ √
n
(g) ∑ 2
(b) 3 − 4 +
∞
16 64
−
+ ....
3
9
πn
(e) ∑ n
3
n =1
∞
(h)
n =1
2
n ( n + 3)
n =1
∑
∞
(−3)n−1
∑ 4n
n =1
∞
2n + 3n
(f) ∑
5n
n =1
∞
n
(i) ∑ ln
n+1
n =1
(c)
2. Encontre os valores de x para os quais a série converge. Calcule a soma da série para
esses valores de x.
∞
∞
∞
∞
xn
cosn x
(a) ∑ n (b) ∑ ( x − 4)n (c) ∑ 4n x n (d) ∑
3
3n
n =1
n =1
n =1
n =1
∞
3. Encontre o valor de c tal que
∑ (1 + c)−n = 2.
n =2
4. Teste a convergência ou divergência das séries.
∞
∞
∞
1
1
1
n n
(a) ∑
(b) ∑ (−1)
(c) ∑ 2 sen
n
n+3
n+2
n
n
n =1
n =1
n =1
∞
∞
∞
2
n
2
1
n
3 n
(e) ∑ √
(f) ∑ n
(g) ∑
e
n!
n=2 n ln n
n =1
n =1
∞
∞
∞
n
1
5
ln n
(j) ∑ (−1)n 2 n
(i) ∑ n
(k) ∑ (−1)n
n
3 +4
n
n =1
n =1
n =1
∞
n 2 2n −1
(−5)n
n =1
∞
nn
(h) ∑ n
3 n!
n =1
∞
2n n!
(l) ∑
( n + 2) !
n =1
(d)
∑
5. Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir.
∞
∞
∞
∞
n
xn
xn
( x − 2) n
n x
√
√
(a) ∑
(b) ∑ (−1) 4
(c) ∑ n
(d) ∑ 2
4 ln n
n +1
n
n
n =1
n =1
n =1
n =1
∞
∞
∞
∞
n
n
( x − 2)
n
x
n!
(e) ∑
(f) ∑ n ( x − 1)n (g) ∑ n 5
(h) ∑ n ( x − 2)n
n
n
e
n
5 n
n =1
n =1
n =1
n =1
6. Escreva a função f ( x ) =
de convergência da série.
1 + x2
como uma série de potências e encontre o intervalo
1−x
RESPOSTAS
1.
9
(c) diverge
7
e
5
(d)
(e) diverge (f)
3−e
3
11
(g) diverge (h)
(i) diverge
6
(a) 9
(b)
2.
x
(a) | x | < 3;
3−x
1 4x
(c) | x | < ;
4 1 − 4x
√
3. c =
4.
5.
x−4
5−x
(d) para todo x ∈ R;
(b) x ∈]3, 5[;
cos x
3 − cos x
3−1
2
(a) converge
(e) diverge
(i) diverge
(b) diverge
(f) converge
(j) diverge
(a) [−1, 1[
(e) para todo x ∈ R
(c) converge
(g) converge
(k) converge
(b) ] − 1, 1]
(f) ]1 − e, 1 = e[
6. 1 + x + 2x2 + 2x3 + .... = 1 + x +
∞
∑ 2xn
n =2
(d) converge
(h) converge
(l) diverge
(c) [−4, 4[
(g) [−5, 5]
(d) [1, 3]
(h) [2 − e, 2 + e[