Cálculo Diferencial e Integral II – Introdução ao Cálculo Integral
1. Introdução ao Cálculo Integral
1.1 A importância do Cálculo Integral na resolução de problemas.
Na maioria dos problemas apresentados no curso de Cálculo Diferencial e Integral I, era dada a
função e tínhamos que determinar a taxa de variação instantânea (derivada ou diferencial) dessa função.
Já, nos problemas que serão apresentados no Cálculo Diferencial e Integral II, conheceremos apenas a
taxa de variação da função e teremos que determinar a própria função.
Exemplo 1.1.1 (Eletricidade) Considere um capacitor com tensão vo entre suas placas. Quando um
resistor R é conectado a este capacitor, estabelecendo um caminho de condução, a carga armazenada no
capacitor se move de uma placa para a outra, produzindo uma corrente i. Dessa forma, a tensão v no
capacitor é gradualmente reduzida até zero. Sabendo-se que v = Ri e i = - C.
determine:
a) A tensão v do capacitor em função do tempo t.
b) O tempo necessário para que tensão v se reduza até a fração 1/e da tensão inicial.
Exemplo 1.1.2 (Mecânica – Transferência de calor) O cilindro abaixo é isolado nas laterais (o que faz com
que o calor flua unicamente ao longo do eixo x) e constituído de um material maciço. Determine a
-4
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temperatura a 60 mm da origem O. Dados: A = 10 m (área por onde flui o calor), Q = - 20 W (taxa de
transferência de calor), K = 400/(1 – x) (coeficiente de condutividade térmica) e T(0) = 283 K (temperatura
na origem).
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1.2 O cálculo de áreas
Enquanto Isaac Newton brigava com os números relativos às leis de
Kepler e às descobertas de Galileu, ele percebeu que precisava
aprimorar suas “fluxões” (derivadas), e assim, em maio de 1666,
inventou o método das “fluxões inversas”, que, graças ao matemático
alemão Leibniz, hoje chamamos de cálculo integral. Embora Isaac
tivesse de quebrar a cabeça com números bem mais complicados para
alcançar o resultado que queria, no fim das contas o cálculo integral
não se revelou muito mais difícil que o cálculo diferencial.
Como já sabemos, o cálculo diferencial ajudou o Isaac a descobrir as inclinações das curvas nos gráficos.
Esse novo cálculo inverso permitiu que ele calculasse a área sob uma curva, o que o ajudaria a fazer
cálculos ainda mais extravagantes sobre como a Lua e os planetas se movem (na verdade, veremos mais
tarde que se conhecemos a velocidade de um corpo em instante t, através do cálculo integral é possível
determinar a sua posição em cada instante).
Claro, calcular por calcular não tem sentido, mas para Newton, que queria descobrir como a Lua e os
planetas se moviam e, em particular, estudar as Leis de Kleper, conseguir fazer esse tipo de cálculo era
fabuloso.
“Isaac Newton e sua maça” – Kjartan Poskitt
Começaremos o estudo do Cálculo Integral fazendo duas importantes perguntas:
a) Como determinar a área sob o gráfico da função y = f(x) no intervalo [a, b]?
b) Qual a importância da determinação da área sob o gráfico de uma função?
Exemplo 1.2.1. Cinemática
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Lembrando que v =
S
temos S = v. t  S = 30.6 = 180 m.
t
Observe que a área abaixo da curva velocidade fornece o espaço percorrido pelo corpo num determinado
intervalo de tempo.
O que fazer quando a velocidade não é constante?
Exemplo 1.2.2 Eletricidade
Considere o gráfico da potência elétrica instantânea absorvida por um resistor.
Qual é a energia elétrica consumida pelo resistor entre os instantes t = 4 e t = 10 s?
A resposta para essa pergunta está na área abaixo do gráfico da função P = f(t) no intervalo 4  t  10.
1.3 A grande ideia de Newton
A maneira mais simples de achar a área sob uma curva é decompô-la em retângulos minúsculos e
somá-los. Obviamente, quanto menores os retângulos, melhor o resultado, e é isso que o cálculo integral
faz. Dividindo a área procurada em retângulos de base x e altura f(x) temos:
A  f(xo)x + f(x1)x + ... + f(xn-1)x
Agora, observe que quanto maior for o número de retângulos, mais próximos estaremos da área procurada.
Assim, fazendo n   teremos x  0 e nesse caso
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O cálculo da integral anterior (chamada integral definida) é fundamento num famoso Teorema da
Matemática, chamado Teorema Fundamental do Cálculo. Esse Teorema relaciona a integral com a
derivada e será apresentado na próxima aula.
1.4 O Teorema Fundamental do Cálculo
b
Seja y = f(x) uma função contínua em [a, b]. Então
 f (x)dx = F(b) – F(a) onde F é uma função chamada
a
primitiva de f e é tal que F’(x) = f(x).
Exemplo. Determine a área abaixo do gráfico da função f(x) = 2x para 0  x  3.
De forma geral como fazer
para determinar a primitiva
de uma função f ?
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