CIRCUITOS ELÉTRICOS II
Prof.: Helder Roberto de O. Rocha
Engenheiro Eletricista
Doutorado em Computação
Circuitos de 1ª Ordem (RC)
Considera que Vc(0-) =4 V do circuito abaixo.
Após a abertura da chave em t=0 , uma corrente irá fluir do
capacitor para R2 até que toda a energia seja dissipada como
calor pelo resistor, fazendo com que Vc tornar-se zero.
• Imediatamente antes do chaveamento, temos:
0 0 6 4 2
• Imediatamente após a chave ser aberta, temos:
0 0; 0 0 4
,
Circuitos de 1ª Ordem (RC)
Após a o chaveamento (t=0) a corrente total no nó superior
com três ramos é zero e o capacitor esta carregado com
tensão V0=4.
Aplicando LKC quando t ≥ 0, temos:
→ 0
: C 1
→C
0→
∗ 0
Circuitos de 1ª Ordem (RC)
Considerado R e resolvendo a equação diferencial de
1ª ordem, temos que:
1
∗ 0
!
1 #
#" $%
!" ln ln % ln %
#
(
%
#
(
% Circuitos de 1ª Ordem (RC)
A tensão sobre o resistor R é :
%
)
*+
Portanto, a corrente é:
,- % #
(
Circuitos de 1ª Ordem (RC)
V,- % )
*+
Observe que a tensão é inicialmente V0 e que decai
exponencialmente, tendendo a 0, para t crescente.
Como a resposta é caracterizada pelos elementos do circuito
a resposta é denominada de resposta natural do circuito.
Circuitos de 1ª Ordem (RC)
Se o tempo inicial é t0, isto é, v(t0) = V0, então:
V,- % ##/
,1232#4#/
(
Constante de Tempo definido pelos parâmetros RC, definam
a velocidade de decaimento de um circuito.
Circuitos de 1ª Ordem (RC)
A resposta ao final de 1 constante de tempo é reduzida para
e-1 = 0,368 do valor inicial;
Ao final de 2 constantes de tempo, ela é igual a e-2 = 0,135;
Circuitos de 1ª Ordem (RC)
Exemplo: Determina tensão v1(t) após a abertura da chave.
Circuitos de 1ª Ordem (RC)
Em t = 0-, chave fechada ⇒ capacitor é um circuito aberto.
67
3,2 48
10:
3 ,2 4-
(Divisor de Tensão) 0 %
%;
< 100 40=>
Portanto, v(0-) = v(0+) = V0 = 40 [V].
Circuitos de 1ª Ordem (RC)
Para t > 0, temos:
Constante de tempo: t = ReqC =10*1=10 [s].
V #
(
% #
%
40
=>
Circuitos de 1ª Ordem (RC)
Em t > 0, Temos:
V 40
#
%
(Divisor de tensão)
#
#
2
%
%
8
=>
28
Circuitos de 1ª Ordem (RL)
Considera o seguinte circuito RL:
Indutor está conduzindo uma corrente I0 em t = 0.
Aplicando LKT quando t ≥ 0, temos:
? 0
: ? L A
L 0 → L ∗ 0
B
Circuitos de 1ª Ordem (RL)
Resolvendo a equação diferencial de 1ª ordem, temos que:
∗ 0
B
C
#
B #" $%
C" ln ln % B
ln %
B
#
?
%
i % *
D#
Circuitos de 1ª Ordem (RL)
A corrente no resistor R é :
%
*
#
D
Portanto, a tensão é:
V ∗ R*% ∗ *
D
#
Circuitos de 1ª Ordem (RL)
Constante de Tempo definido pelos parâmetros L/R, definam
a velocidade de decaimento de um circuito.
i,- % *
D
#
Circuitos de 1ª Ordem (RL)
Exemplo: Determina tensão v(t) após a abertura da chave.
Circuitos de 1ª Ordem (RL)
Em t = 0-, chave fechada ⇒ indutor é um curto.
0
100
2=G>
50
Portanto, i(0-) = i(0+) = I0 = 2 [A].
Circuitos de 1ª Ordem (RC)
Para t > 0, temos:
0 0 2=G>
67
75 < 100
50:
75 100
Circuitos de 1ª Ordem (RC)
Para t > 0, temos:
67 50 50 100:
Constante de tempo:
67 100
10=J>
I
10
B
Como I0 = i(0+) = 2 A, temos:
i 2 %# =G>
A tensão v(t) é dada por:
V < 50 < 2 %# 100 %# =G>
Circuitos de 1ª Ordem com Excitação
Circuitos que além de uma energia inicial armazenada, são
excitados por fontes independentes e constantes de tensão ou
de corrente.
Capacitor: v(0-) = V0
Circuitos de 1ª Ordem com Excitação
Para t > 0, a chave é fechada:
Capacitor: v(0+) = v(0-) = V0
E a equação nodal no nó superior fica:
1
A%
C
A% → C
∗ Circuitos de 1ª Ordem com Excitação
Resolvendo pelo método de separação de variáveis:
A%
∗
A%
1
1
→
A%
1
1
→
A%
→ KL A% K
→ A% exp K
∗ exp Q A%
→ exp → G ∗ exp A%
A =ek é determinada pelas condições iniciais;
Circuitos de 1ª Ordem com Excitação
A solução geral do problema é:
G ∗
#
(
A%
A solução possui duas partes:
• uma função exponencial idêntica a da resposta natural de
circuitos RC sem fontes (resposta natural ou homogênea) .
• uma função constante, dada por RI0, devida integralmente
à função de excitação (resposta forçada ou particular).
Com o passar do tempo a resposta natural desaparece e a
solução fica simplesmente RI0.
Circuitos de 1ª Ordem com Excitação
Valor de A deve ser escolhido de forma a satisfazer a
condição de tensão inicial.
Em t = 0+: v(0+)=v(0-)=V0 , assim tem-se que em t = 0+:
0
% G ∗ exp A%
→ % G ∗ 1 A%
→ G % A%
substituindo na solução temos:
,% A% - ∗ exp A%
Circuitos de 1ª Ordem com Excitação
Resposta natural vn para V0 – RI0 > 0 e a resposta forçada vf:
Resposta completa:
Circuitos de 1ª Ordem com Excitação
Corrente no capacitor para t > 0:
A Tensão no resistor muda abruptamente de RI0 em t = 0para V0 em t = 0+.
Tensão no capacitor é contínua , mas possui duas resposta:
Transitória: porção da resposta completa que tende azero
com o aumento do tempo.
Regime permanente: porção da resposta completa que
permanece após a resposta transitória ter se anulado.
Circuitos de 1ª Ordem com Excitação
Valores dos parâmetros do circuito em estado permanente:
v = R*I0,
ic = 0
iR = I0
Circuitos de 1ª Ordem com Excitação
Caso Geral
R
SR T
y = variável e P e Q = constantes;
Solução pelo método do fator de integração, que consiste
em multiplicar a equação por um fator que torna seu lado
esquerdo uma derivada perfeita e então integrar ambos os
lados.
Circuitos de 1ª Ordem com Excitação
Derivada de um produto :
R U#
R U# SR U#
R
R U# SR U#
Fazendo VW
SR T em uma derivada do produto.
V#
VW
V#
VW
V#
SR T U# →
→
SR U# T U# →
R U# → R U# R
U#
X
T U# V
V#
R U# = T U#
T U# T U# G
Y
U#
U#
G U
U#
G U#
Y
U
G U#
Circuitos de 1ª Ordem com Excitação
Quando Q é uma constante, temos:
R G
U#
Onde:
T
S
RZ G U#
T
R[ S
Circuitos de 1ª Ordem com Excitação
Exemplo: Calcular i2 para t>0, dado que i2(0)=1 A
Malha 1 ∶ 8 4 10
Malha 2 : 4 12 1
0
R
1 → 2 :
10 5 →
S∗R T
Circuitos de 1ª Ordem com Excitação
Solução do problema :
R G
Onde: P=10 e Q=5, logo:
G
Condições inicias, i2(0)=1
1 G
Assim temos que:
%∗%
U#
T
`
%#
1
2
1
1
→G
2
2
1 %# 1
G
2
2
Exercícios
Calcule v para t > 0, se o circuito está em regime permanente
em t = 0-.
2
2
. 20 exp 2 8 exp 2
23
5