UNIVERSIDADE COMUNITÁRIA DA REGIÃO DE CHAPECÓ
CURSO DE LICENCIATURA DE GRADUAÇÃO PLENA EM MATEMÁTICA
Deise Cíntia Camilo de Almeida
Mirtes Simone Costacurta
ATIVIDADES LÚDICAS PARA O ENSINO E APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA
NOS ANOS FINAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL
Chapecó-SC, 2010
DEISE CINTIA CAMILO DE ALMEIDA
MIRTES SIMONE COSTACURTA
ATIVIDADES LÚDICAS PARA O ENSINO E APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA
NOS ANOS FINAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL
Relatório de pesquisa apresentado à UNOCHAPECÓ,
desenvolvido no componente curricular de Pesquisa II do
7º período do Curso de Matemática, sob orientação da
Profª. Cláudia Maria Grando.
Chapecó-SC, jun. 2010
FOLHA DE APROVAÇÃO
AGRADECIMENTOS
Agradecemos a DEUS, força soberana e suprema que existe e em quem acreditamos
muito, por ter nos dado o dom da vida, bem como coragem e perseverança para que
concluíssemos o Curso de Matemática.
Eu, Deise, agradeço ao meu querido marido VALDIR VELOSO, pessoa que soube
compreender minhas ausências quando de meus estudos e que sempre me deu muita força e
apoio para que eu seguisse em frente.
Eu Mirtes, faço agradecimento especial à TANIA COSTACURTA DALBERTO,
minha irmã, que me auxiliou em todos os momentos, sendo amiga, companheira.
Também agradecemos à professora/orientadora CLÁUDIA MARIA GRANDO,
pessoa brilhante pelo conhecimento que nos repassou, bem como pela amizade e confiança
que nos dedicou.
Agradecemos aos nossos PROFESSORES que sempre nos auxiliaram, com paciência
e dedicação, contribuindo com a formação do profissional que somos hoje.
E a todos, AMIGOS e FAMILIARES, que contribuíram em nossa caminhada no
Curso de Matemática e para o desenvolvimento desta pesquisa.
Para pensar numa mudança é preciso antes de tudo ter coragem, é
preciso ousar, criar e experimentar; é preciso buscar uma mudança de
paradigmas para testar e avaliar o potencial de nossos alunos e vê-los
sob uma perspectiva de competência, mas isso significa antes de tudo
um teste e avaliação de nós mesmos enquanto profissionais.
(RABELO; LORENZATO)
RESUMO
A geometria é um conhecimento de extrema importância, tendo uma vasta aplicação em
situações do nosso dia-a-dia. Os conceitos geométricos desenvolvem no aluno um meio de
representar o mundo em que vive. Embora a sua importância seja inquestionável, surgem
vários problemas no ensino e na aprendizagem da Geometria, tanto nas metodologias
utilizadas quanto no envolvimento dos alunos na compreensão deste conceito. Diante desta
realidade, o papel da motivação e da afetividade no ensino da Geometria torna-se essencial
para aprendizagem dos alunos, o uso de atividades lúdicas com os conceitos geométricos
envolvidos pode auxiliar o professor tornando a aula prazerosa e interessante para os alunos.
Elencamos como objetivo geral desta pesquisa, analisar a utilização de atividades lúdicas no
ensino da Geometria dos anos finais do Ensino fundamental, como recurso para a motivação
dos alunos e para uma aprendizagem significativa, fazendo proposições. Como objetivos
específicos, refletir sobre o ensino da Geometria nos anos finais do Ensino Fundamental;
identificar o papel da motivação na aprendizagem da Geometria; compreender no que se
constituem as atividades lúdicas; examinar como as atividades lúdicas podem melhorar o
ensino e aprendizagem dos alunos dos anos finais do Ensino Fundamental e fazer proposição
de utilização de atividades lúdicas para o ensino de Geometria nos anos finais do Ensino
Fundamental, assim identificando os conceitos envolvidos em cada atividade e em que
dimensão (construção, aprofundamento, fixação dos conceitos) a atividade contribui na
aprendizagem da geometria. Todo o trabalho de pesquisa foi permeado por leituras teóricas
que contribuíram para fundamentação deste estudo. O relatório da pesquisa está dividido em
três capítulos: Ensino e aprendizagem da geometria; Motivação e atividades lúdicas no
ensino da geometria e Propostas envolvendo o lúdico no ensino da geometria. O ensino da
Geometria está bastante defasado, usa-se ainda a metodologia tradicional, portanto é
necessário o uso de atividades que motivem o aluno. Ao trabalhar com atividades lúdicas o
professor promove a melhor interação da turma com o grupo de colegas, desenvolve a
iniciativa, interesse, curiosidade, capacidade de análise e reflexão dos conceitos geométricos,
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sendo um excelente apoio pedagógico para o professor. Assim, propomos atividades lúdicas
contemplando seus objetivos, os conceitos geométricos envolvidos e comentários e
procedimentos sobre a atividade.
Palavras chave: Geometria, Atividades Lúdicas, Ensino e Aprendizagem.
SUMÁRIO
FOLHA DE APROVAÇÃO .................................................................................................... 2
AGRADECIMENTOS ............................................................................................................. 3
RESUMO................................................................................................................................... 5
INTRODUÇÃO ........................................................................................................................ 8
CAPÍTULO I - ENSINO E APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA ................................. 13
1.1.
Situação do ensino da Geometria ............................................................................. 14
1.2.
Prática pedagógica para o ensino da Geometria .................................................... 16
CAPITULO II - MOTIVAÇÃO E ATIVIDADES LÚDICAS NO ENSINO DA
GEOMETRIA ......................................................................................................................... 20
CAPÍTULO III – PROPOSTAS ENVOLVENDO O LÚDICO NO ENSINO DA
GEOMETRIA ......................................................................................................................... 28
3.1 Tangram ........................................................................................................................ 28
3.2 Geoplano ....................................................................................................................... 44
3.3 Dobraduras.................................................................................................................... 57
3.4 Mosaicos ....................................................................................................................... 69
3.5 Jogos ............................................................................................................................. 75
CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................................. 87
REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 90
INTRODUÇÃO
Os níveis de insucesso em Matemática são hoje um fator de grande apreensão. Este
fenômeno não é exclusivo da disciplina de Matemática, mas fica evidenciado com
classificações não satisfatórias em instrumentos como a Prova Brasil que, desde 2005, avalia
os estudantes da 4ª série (ou 5º ano) e 8ª série (ou 9º ano) do Ensino Fundamental com provas
de Língua Portuguesa e Matemática.
A geometria representa uma parte do conhecimento matemático de fundamental
importância, com uma vasta aplicabilidade. No entanto, apresenta inúmeros problemas
relacionados com seu ensino e sua aprendizagem, tanto nas metodologias utilizadas pelos
professores de Matemática quanto na efetiva compreensão por parte dos alunos, criando assim
lacunas no seu ensino.
Os conhecimentos de Matemática no campo da Geometria estão divididos em dois
eixos pelos Parâmetros Curriculares Nacionais (1998), sendo também dessa forma
considerados na Prova Brasil (BRASIL, 2008): (1) espaço e forma e (2) grandezas e medidas,
que, juntos, abrangem 42% das habilidades avaliadas em Matemática, restando 58% para os
eixos “números e operações” e “tratamento da informação”, o que indica equilíbrio na
distribuição dos conteúdos, e também, espaço significativo para a Geometria.
Esse equilíbrio nem sempre ocorre no trabalho de sala de aula, como indica Delmanto,
(2007, p. 38): “De modo geral, os conteúdos mais trabalhados estão relacionados a Números e
Operações, com ênfase no cálculo aritmético (séries iniciais do ensino fundamental) e no
cálculo algébrico e resolução de equações (séries finais)”.
Pautadas, principalmente pela nossa experiência como estudantes, constatamos o
descaso com o estudo da geometria. Isso aparece na prática de muitos professores que tivemos
ao longo do ensino fundamental e médio, nos livros didáticos – os conceitos divididos, fora
do cotidiano do aluno e deixados muitas vezes para as últimas aulas/páginas. E, desta forma, é
comum que o aluno veja a Geometria como algo distante da realidade, que foge da sua
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possibilidade de compreensão e sem utilidade prática, criando desta maneira sentimentos
negativos que são causas de futuro fracasso escolar, insucesso em testes que envolvam esse
conhecimento, sentimento de incapacidade e crescente sentimento negativo em relação à
geometria e à matemática de modo geral.
Frente a essa problemática que destaca o insucesso dos estudantes em Matemática, a
necessidade de um trabalho pedagógico que priorize o ensino de todos os blocos de conteúdos
que compõem o currículo de Matemática e identificando a necessidade de espaço maior para
Geometria – com qualidade, significado e prazer – no trabalho de sala de aula, elencamos
Atividades lúdicas para o ensino e aprendizagem da geometria nos anos finais do ensino
fundamental como tema de estudo na pesquisa que é exigida pelo currículo do Curso de
Graduação Plena em Matemática.
Neste estudo, com a intenção de contribuir com a melhoria do ensino e aprendizagem
da Geometria nos anos finais do Ensino Fundamental, com ênfase na motivação do estudante
para aprendizagem significativa com o envolvimento do lúdico como recurso/estratégia de
ensino, estabelecemos o seguinte problema de pesquisa: Como utilizar atividades lúdicas
para o ensino da Geometria nos anos finais do Ensino fundamental (6º ao 9º ano), visando a
motivação dos alunos e uma aprendizagem significativa?
Como forma de detalhamento do problema de pesquisa as seguintes questões foram
abordadas:
 Quais as características do ensino da Geometria nos anos finais do ensino fundamental?
 Qual o papel da motivação na aprendizagem da Geometria?
 No que se constituem as atividades lúdicas e de que forma podem auxiliar no ensino e
aprendizagem da Geometria?
 Que conceitos geométricos podem ser construídos, ou aprofundados, ou fixados e quais
atividades lúdicas podem ser utilizadas, considerando cada uma dessas dimensões do
processo de aprendizagem?
Deste modo, temos como objetivo geral analisar a utilização de atividades lúdicas no
ensino da Geometria dos anos finais do Ensino fundamental, como recurso para a motivação
dos alunos e para uma aprendizagem significativa, fazendo proposições. Como objetivos
específicos, refletir sobre o ensino da Geometria nos anos finais do Ensino Fundamental;
identificar o papel da motivação na aprendizagem da Geometria; compreender no que se
constituem as atividades lúdicas; examinar como as atividades lúdicas podem melhorar o
ensino e aprendizagem dos alunos dos anos finais do Ensino Fundamental e fazer proposição
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de utilização de atividades lúdicas para o ensino de Geometria nos anos finais do Ensino
Fundamental, assim identificando os conceitos envolvidos em cada atividade e em que
dimensão (construção, aprofundamento, fixação dos conceitos) a atividade contribui na
aprendizagem da geometria.
Escolhemos a Geometria dos anos finais do Ensino fundamental (área/nível em que
trabalharemos futuramente) por nossas inquietações de estudantes e por ser um campo de
estudo bem abrangente, que nos dará suporte para a prática pedagógica. Este estudo surgiu da
necessidade de encontramos opções para superar essas dificuldades, que esse campo da
Matemática tem apresentado nos últimos tempos, pois alguns estudos recentes também estão
mostrando que podemos mudar esta problemática, através da adoção de novas e diferenciadas
práticas de ensino.
Lembrando a música, interpretada por Gabriel, o Pensador “Estudo Errado”, que diz:
“E sei que o estudo é uma coisa boa. O problema é que sem motivação a gente enjoa [...]. Eu
quero jogar botão, vídeo-game, bola de gude. Mas meus pais só querem que eu ‘vá pra aula!’
e ‘estude!’. [...] Tá tudo errado e eu já tô de saco cheio. Agora me dá minha bola e deixa eu
ir embora pro recreio”, destacamos a crítica ao ensino tradicional, a uma escola que não
envolve o aluno afetivamente. Além do compromisso de socializar o saber historicamente
acumulado é preciso garantir a alegria, o envolvimento, a satisfação e o prazer em aprender.
A pesquisa que realizamos teve como motivação inicial o cumprimento de requisito do
currículo do Curso de graduação, mas, ao desenvolver esse projeto vimos que é mais que isso.
Cumpriu papel de exercício científico, de procurar respostas para nossas inquietações com o
fazer pedagógico para o qual estamos nos preparando, de modo a desenvolver atitudes de
pesquisador, indo além do senso comum. Esperamos incorporar a pesquisa como atividade
cotidiana, como indica Demo (1996, p. 34), um “questionamento sistemático crítico e criativo,
mais a intervenção competente na realidade, ou o diálogo crítico permanente com a realidade
em sentido teórico e prático”.
Existem vários tipos de classificação de uma pesquisa. Utilizamos as categorias
indicas por Silva e Menezes (2001). Quanto à sua natureza, a pesquisa que desenvolvemos é
uma pesquisa aplicada e, quanto aos seus objetivos é propositiva, pois objetiva gerar
conhecimentos para aplicação prática, dirigidos à qualificação da ação docente com a
elaboração de proposições de atividades.
Do ponto de vista da abordagem do problema ela foi qualitativa, não necessitou o uso
de métodos e técnicas estatísticas, pois o foco de análise estavam no processo de produção das
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proposições e na articulação/produção de seus significados para a motivação e aprendizagem
significativa.
Foi um estudo bibliográfico, considerando os procedimentos técnicos, centrada nas
diversas contribuições teóricas de vários autores que realizaram pesquisas como dissertações,
artigos, livros e teses que retratam o atual ensino da geometria nos anos finais do ensino
fundamental, a importância da motivação e ludicidade no ensino, facilitando o ensino e a
aprendizagem da Matemática, especialmente da Geometria e mesmo na seleção de atividades
lúdicas para adequação em nossas proposições de atividades.
O estudo tem base descritiva das características apresentadas pelos vários autores
sobre a importância das atividades lúdicas, bem como sua utilização como um recurso
pedagógico e por fim a proposição dessas como forma de auxiliar na superação dos problemas
do ensino e da geometria.
O presente relatório de pesquisa foi estruturado da maneira indicada a seguir.
No primeiro capítulo: Ensino e aprendizagem da geometria, descrevemos a
importância da geometria, estando ela presente em nosso cotidiano. Relatamos também como
é trabalhada a geometria na sala de aula, porque nem sempre esta área recebe a atenção que
merece, e os principais problemas que atingem o ensino e aprendizagem da geometria.
No segundo capítulo: Motivação e atividades lúdicas no ensino da geometria,
destacamos que não só os fatores cognitivos, mas também os afetivos, exercem influências
decisivas na aprendizagem dos alunos. A preocupação com a motivação para uma
aprendizagem significativa deve estar presente no planejamento do ensino da Matemática. As
atividades lúdicas, em especial os jogos, são recursos que o professor pode utilizar. Buscamos
fundamentar sobre o papel da motivação na aprendizagem da Geometria; no que se
constituem as atividades lúdicas e como elas podem melhorar o ensino e a aprendizagem dos
alunos dos anos finais do Ensino Fundamental.
No terceiro capítulo: Propostas envolvendo o lúdico no ensino da geometria,
apresentamos atividades lúdicas que podem ser utilizadas quando abordados conteúdos de
Geometria. Usamos diferentes recursos: Tangram, Geoplano, Mosaicos, Dobraduras e Jogos,
identificando os objetivos, os conceitos da geometria envolvidos em cada atividade e
comentários em relação às atividades propostas.
Como finalização da pesquisa temos as Considerações Finais, onde destacamos o que
alcançamos com este trabalho.
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O insucesso em matemática merece reflexão profunda por parte dos professores,
acreditamos que o fato dos alunos não aprenderem decorre de um ensino que não está sendo
eficiente. A consciência da ineficiência do ensino da Matemática é o primeiro passo para
enfrentarmos o problema, mas não é suficiente. São necessárias ações planejadas e
fundamentadas teoricamente visando práticas pedagógicas transformadoras, que possibilitem
o envolvimento do aluno, o desenvolvimento da curiosidade, do prazer em aprender sempre e
cada vez mais, o espírito de investigação e o conhecimento matemático não com fim em si
mesmo, mas como meio de compreender o mundo para poder agir e ser feliz.
CAPÍTULO I - ENSINO E APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA
Muitas pessoas, até mesmo alguns professores da educação básica, restringem o
conhecimento matemático apenas ao que se relaciona com números: quantificação, registro,
operações, propriedades, ou seja, ao campo da Matemática conhecido como Aritmética.
A História da Matemática relata que as primeiras ideias da Matemática se referiam à
Aritmética, mas também, a conhecimentos da Geometria, pois desde muito cedo o homem,
necessitando se deslocar, reconhecer o espaço, satisfazer suas necessidades, utiliza as formas
geométricas para construção de instrumentos e utensílios e representar o mundo em que vive.
Muniz (2004, p. 82) afirma:
[...] a Geometria aparece inicialmente atrelada às necessidades de resolução de
problemas para demarcar a terra, prever o estoque de água e construir instrumentos
de trabalho. Em suma, os conceitos geométricos surgem como ferramentas para que
o homem aja racionalmente no processo de transformação do seu mundo.
As primeiras ideias geométricas se originaram com a capacidade humana de buscar
alternativas para resolver problemas de ordem prática:
Buscando a origem do desenvolvimento da geometria nos primórdios, com o homem
primitivo, podemos imaginar que o conhecimento das configurações do espaço,
formas e tamanhos tenham se originado, possivelmente, com a capacidade humana
de observar e refletir sobre os deslocamentos, com a construção de estratégias de
caça e colheita de alimentos, com a criação de ferramentas e utensílios, visando
satisfazer suas necessidades básicas.
Ao fixar moradia, com a divisão do trabalho, outras necessidades foram surgindo e a
produção do conhecimento geométrico se ampliando. A necessidade de fazer
construções, delimitar a terra levou à noção de figuras e curvas e de posições como
vertical, perpendicular, paralela. (GRANDO, 2008, p. 7).
Mais tarde o homem “procurou organizar esse conhecimento, partindo da observação e
reunindo situações semelhantes, extrair propriedades, buscando expressar generalizações,
como forma de „receitas‟ práticas, ainda relacionadas a situações empíricas” (GRANDO,
2008, p. 7).
Com os gregos a ênfase deslocou-se para o raciocínio dedutivo, visando garantir a
“verdade” do conhecimento geométrico através de demonstrações.
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Euclides (300 a. C.) é o nome de maior destaque nesse processo, mas Tales de
Mileto (primeira metade do século VI a.C.) e Pitágoras (572 a. C.) foram
precursores no processo de organizar a geometria como um corpo de proposições
logicamente ordenadas: cada proposição é demonstrada a partir de proposições
evidentes, denominadas de “postulados” ou “axiomas”, garantindo a verdade do
conhecimento. (GRANDO, 2008, p. 7).
Vemos um processo de desenvolvimento do conhecimento geométrico, uma forma de
aprimorá-lo, mas que, em seus diferentes aspectos, convivem até os dias de hoje.
Com esse breve resgate histórico procuramos evidenciar que o conhecimento
Matemático envolve muito mais do que os números e que a Geometria deve fazer parte do
currículo da Educação Básica.
1.1. Situação do ensino da Geometria
As noções ligadas à Geometria são necessárias para compreender, interpretar e
apreciar o mundo que nos rodeia. Estão intimamente associadas à realidade, uma vez que é o
estudo do espaço e das formas, das grandezas e medidas que constituem essa realidade. Nossa
vida diária envolve inúmeras relações espaciais. Tarefas simples como escolher um itinerário
num mapa ou pendurar um quadro numa parede exigem sentido de orientação no espaço, de
medida. Tarefas mais complexas como a construção de uma casa ou um prédio, também vão
envolver conceitos geométricos.
Mas a Geometria é, dos tópicos da Matemática, aquele que recebe uma de duas
respostas dos alunos do final do ensino médio: ou não gostaram e por isso pouco se lembram
dos conceitos que estudaram, ou pouco estudaram sobre a Geometria. Os professores também
não se sentem muito à vontade com a Geometria e por isso quando não há tempo de cumprir
todo o programa é a Geometria que é sacrificada.
Nos últimos anos, no Brasil, a importância do estudo de Geometria nas escolas vem
sendo assunto cada vez mais pesquisado. De acordo com Almouloud e Manrique (2001), o
ensino de geometria tem menos atenção do que os demais temas, sendo restrito ao estudo de
medidas e ficando seu ensino em fase inicial, onde muitos alunos fazem conclusões
precipitadamente erradas. Portanto, várias pesquisas já apontam a geometria com problemas
no seu ensino e consequentemente em sua aprendizagem.
Segundo Lorenzato (1995) a Geometria está ausente ou quase ausente na sala de aula.
Muitos fatores podem explicar esta ausência, mas um dos motivos destacados por esse autor é
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que muitos professores não possuem os conhecimentos necessários sobre Geometria, para que
possam ensinar Geometria:
Considerando que o professor que não conhece Geometria também não conhece o
poder, a beleza e a importância que ela possui para a formação do futuro cidadão,
então, tudo indica que, para esses professores, o dilema é tentar ensinar Geometria
sem conhecê-la ou então não ensiná-la. (LORENZATO, 1995, p. 3).
De que maneira um professor pode ensinar bem um conteúdo se ele não sabe esse
conteúdo, se não está bem preparado?
Pavanello (1993) também indica que a atual desvalorização do Ensino da Matemática
está bastante associada à formação geométrica do professor. Conclui dizendo que não
podemos culpar este profissional pela atual situação do ensino e sim investir em capacitações
para a sua formação, resgatando a importância e o significado da Geometria na sociedade
moderna.
Outro motivo para a omissão do ensino da Geometria, elencada por Lorenzato (1995,
p. 4) “deve-se à exagerada importância que, entre nós, desempenha o livro didático”. Os
livros didáticos, em sua maioria, ainda apresentam a Geometria como um conjunto de
definições, propriedades, nomes e fórmulas, sem qualquer aplicação. Deixando muitas vezes
este estudo para a última parte do livro, aumentando a probabilidade de não vir a ser estudado
por falta de tempo letivo.
Não podemos fazer descaso da importância do livro didático, mas não podemos
também utilizá-lo como recurso único para a realização das aulas, tornando-as pouco
participativas e sem motivação.
Este mesmo autor cita ainda outras razões que os professores utilizam para justificar a
ausência do estudo da Geometria, indicando que o maior de todos eles seja, possivelmente, o
fato de exigir do aluno uma maneira específica de raciocinar nas situações geométricas; isso
quer dizer que ser bom conhecedor de outros campos da matemática não é suficiente para
resolver problemas de Geometria.
Sem estudar Geometria as pessoas não desenvolvem o pensar geométrico ou o
raciocínio visual e, sem essa habilidade, elas dificilmente conseguirão resolver as
situações de vida que forem geometrizadas; também não poderão se utilizar da
Geometria como fator altamente facilitador para a compreensão e resolução de
questões de outras áreas de conhecimento humano. Sem conhecer a Geometria a
leitura interpretativa do mundo torna-se incompleta, a comunicação das idéias fica
reduzida e a visão da Matemática torna-se distorcida. (LORENZATO, 1995, p. 5).
Mas, é importante salientar que esses problemas do ensino e aprendizagem do campo
da geometria não são tão recentes, pois como destaca Pavanello (1993), a carência no ensino
da Geometria tem sido percebida desde a década de setenta, onde a cada ano o conhecimento
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de conceitos elementares tem se restringido mais. Desse modo, vemos cada vez mais, que
como futuras professoras, devemos trabalhar para resgatar o espaço da Geometria na escola.
Vale destacar ainda, que a Geometria não pode ser considerada um campo de
conhecimento da Matemática que deve ser ensinada/aprendida separadamente dos outros
campos. Um exemplo é o da reta numérica que constitui um modelo representativo do
número. Outro é o das figuras geométricas que podem auxiliar na compreensão de frações.
A integração de conceitos algébricos e aritméticos com o ensino da geometria
fortaleceria em muito o aprendizado. Também, que o estudo de um determinado tema deve
acontecer de forma contextualizada, tanto no aspecto sócio-histórico de produção do
conhecimento, quanto nas relações com os demais conteúdos da matemática, bem como com
as outras áreas do conhecimento.
1.2. Prática pedagógica para o ensino da Geometria
Autores afirmam a importância de rever as práticas pedagógicas dos professores
criando em sala de aula momentos de troca de ideias, construindo conhecimento,
redescobrindo saberes, propiciando ao aluno prazer em aprender.
Segundo Fainguelernt:
O ensino da Geometria não pode ser reduzido à mera aplicação de fórmulas e de
resultados estabelecidos por alguns teoremas, sem a preocupação da descoberta de
caminhos para sua demonstração, como também para dedução de suas fórmulas.
(1995, p. 46).
Muniz (2004) destaca que o professor deve fazer os seguintes questionamentos
referentes às suas aulas:
Tenho buscado no dia-a-dia explorar com meus alunos os conceitos geométricos?
Não tenho evitado tratar deste assunto com eles, ficando quase todo tempo tratando
apenas dos números e das suas operações? Tenho insegurança quanto aos conceitos
geométricos e receio propor trabalhos implicando construções geométricas? O meu
ensino de Geometria tem sido quase exclusivamente uma memorização de
terminologia das figuras e entes geométricos? Busco ver a Geometria fora das
formas e figuras? (p. 88)
De acordo com esse mesmo autor é necessário que haja uma discussão sobre o ensino
e aprendizagem da Geometria, mesmo que isto acarrete uma série de desafios, pois esse
ensino, ao longo da escolaridade, deixa muito a desejar, sendo que muitos desenvolvem um
pensamento negativo desta área da Matemática. Veem a Geometria como sendo de difícil
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aprendizagem, com conceitos excessivamente complexos, definições desarticuladas e
representações distantes da realidade do aluno. É preciso quebrar os (pre)conceitos para que
esse conhecimento seja aprendido no seu todo.
É necessário que o professor repense seu modo de ensinar Geometria. Muniz (2004)
coloca que muitas vezes as visões erradas geram frutos de experiências escolares negativas,
que os professores muitas vezes trazem para sala de aula.
Acreditamos que o professor, além de dispor de materiais e saber usá-los, deve dar
atenção especial à aprendizagem dos alunos, onde esses se sintam livres e integrados no
conteúdo, tornando-os participantes e produtivos.
Muniz (2004, p. 90) faz uma observação sobre o currículo do ensino da Geometria:
Acontece que no currículo escolar observa-se uma forte priorização da Geometria
formal, com significativo abandono da Geometria como ferramenta de resolução de
problemas da vida concreta. Na escola com excessiva valorização dos aspectos
formais da Geometria, constata-se um distanciamento entre o seu ensino e as
situações de vida que dão origem e sentido aos conceitos e procedimentos
geométricos. Portanto, na formação do professor, é necessário resgatar uma
Geometria mais significativa, impregnada de motivação sócio-cultural. Isto implica,
por parte dos professores, durante seu processo formativo, a descobertas de outros
aspectos epistemológicos desta área de conhecimento, para o desenvolvimento de
uma postura diferente em relação a ela. Assim, será possível que estes profissionais,
a partir de um novo paradigma, concebam novas e diferentes formas de mediação
pedagógica da Geometria na sala de aula.
Fainguelernt (1995) também afirma que a interação da criança com o meio
desempenha um papel ativo no processo de aprendizagem. Esta autora destaca ainda a
importância da Geometria para o desenvolvimento intelectual do aluno, tanto para o seu
raciocínio lógico quanto para processos de abstração:
A Geometria também ativa as estruturas mentais, possibilitando a passagem do
estágio das operações concretas para o das operações abstratas. É, portanto, tema
integrador entre as diversas partes da Matemática, bem como campo fértil para o
exercício de aprender a fazer e aprender a pensar (p. 46).
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCNs (BRASIL, 1998), os conceitos
geométricos constituem parte importante do currículo de Matemática no Ensino Fundamental,
pois por meio deste o aluno desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe permite
compreender e representar o mundo em que vive. Este saber, se trabalhado a partir do mundo
físico, permite ao aluno fazer conexões entre a Matemática e outras áreas de conhecimento.
A Proposta Curricular de Santa Catarina - PCSC (SANTA CATARINA, 1998) diz
que, ao ensinar geometria é preciso primeiro refletir sobre as possíveis características e
habilidades que constituem o pensamento geométrico. Algumas destas características e
habilidades socialmente relevantes, que podem contribuir para a formação do pensamento do
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aluno são: o estudo ou exploração do espaço físico e das formas; orientação, visualização e
representação do espaço físico; visualização e representação das formas geométricas;
denominação e reconhecimento das formas, segundo suas características; classificação de
objetos segundo suas formas; estudo das propriedades da figuras e das relações entre elas;
construção de figuras ou modelos geométricos; medição do espaço geométrico uni, bi e
tridimensional (conceito e cálculo de perímetro, de área, de volume e capacidade); construção
e justificação de relações e proposições tendo como base o raciocínio hipotético dedutivo.
Desta forma o ensino crítico dos Campos Geométricos deve dar conta do
desenvolvimento das habilidades anteriormente especificadas, a partir da Educação Infantil e
dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental onde esse trabalho tem uma abordagem mais
experimental e exploratória do espaço e das formas presentes no cotidiano do aluno.
A aprendizagem da Geometria nesses níveis de ensino deve constituir uma experiência
informal e, dessa forma, representar uma base para um ensino mais formal. Devem ser
proporcionadas a realização de experiências que lhes permitam explorar, visualizar, desenhar,
comparar, usando materiais concretos e relacionando com objetos/situações do dia a dia.
Gradativamente, passa a ter uma abordagem mais sistemática, momento em que se
intensifica o uso do raciocínio hipotético-dedutivo.
Para desenvolver características do pensar geométrico devemos trabalhar desde cedo
com as crianças, para que a partir das experiências positivas elas adquirem gosto pela
geometria.
Lorenzato afirma:
Em termos de prática pedagógica, as crianças devem realizar inúmeras experiências
ora com o próprio corpo, ora com objetos e ora com imagens; para favorecer o
desenvolvimento do senso espacial das crianças é preciso oferecer situações onde
elas visualizem, comparem e desenhem formas: é o momento do dobrar, recortar,
moldar, deformar, montar, fazer sombras, decompor, esticar... para, em seguida,
relatar e desenhar, é uma etapa que pode parecer mero passatempo, porém é de
fundamental importância (1995, p. 8).
Portanto, a utilização de diferentes materiais, atividades e, até mesmo, métodos de
ensino facilitariam o ensino e aprendizagem da Geometria, sempre indo ao encontro do aluno:
O que ele gosta? Como ele aprende melhor? Que atividades eu poderia utilizar para trabalhar
determinado conteúdo da Geometria?
O professor é responsável pelo que o aluno vai aprender ou deixar de aprender, pois é
ele quem escolhe quais os assuntos que serão enfatizados, mesmo que os PCNs e a Proposta
Curricular de Santa Catarina orientem sobre quais conteúdos devem ser trabalhados em cada
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série/ano sabemos que em virtude do tempo disponível nem sempre se pode trabalhar tudo o
que está previsto.
Muniz (2004) destaca a ideia de que só se aprende Geometria agindo sobre ela, que o
aluno precisa construir seus conceitos através do fazer, sendo agente ativo. Que o professor
deve seguir a lógica do “olhar o mundo e agir sobre ele”, privilegiando o espaço a ser
explorado, ter momentos de prazer na Geometria, trabalhando com jogos e ao confeccionálos, valorizar o desenho e suas formas. Este deve ir além das quatro paredes, livro didático e
quadro negro, precisa dar oportunidades para que o aluno se desenvolva e produza seus
próprios conceitos, dando significado a sua aprendizagem.
A utilização de atividades lúdicas no ensino não só da Geometria, mas de muitas
outras partes da matemática auxiliaria em muito na compreensão dos conceitos, pois quando a
atividade nos causa prazer ao realizá-la facilita o entendimento dos objetivos estipulados.
A seguir, em nossa reflexão, estaremos dando destaque à motivação para aprender, em
especial, para aprender Geometria. Centra-se no desafio de envolver a afetividade dos alunos
em relação à Matemática/Geometria a partir de diferentes atividades que envolvam o aluno
como um todo e proporcionem uma aprendizagem com significado e prazer.
CAPITULO II - MOTIVAÇÃO E ATIVIDADES LÚDICAS NO ENSINO DA
GEOMETRIA
Historicamente, são prerrogativas do espaço e tempo escolar, especialmente quando
nos referimos à Matemática, a tristeza, a dificuldade, a reserva para algumas mentes
privilegiadas, como se muitas vezes falássemos aos alunos:
Fique tristinha aí agora ... a escola tem que ser triste mesmo, porque amanhã é que
você vai se encher de contentamento. Hoje a escola tem que ser triste, sisuda, porque
o saber é uma coisa muito difícil de se adquirir. É amanhã que você vai ter a
recompensa pela tristeza de hoje. Você tem que adiar sua alegria para depois da
escola. (GADOTTI, 1995, p. 237).
Parece que a aprendizagem escolar está revestida de dificuldades e que o sucesso não é
para todos. Só a obrigatoriedade da escolarização é que mantém a escola cheia.
Diante de uma escola que oferece pouca alegria, os jovens dão provas de crescente
impaciência, e a resistência manifesta-se por meio da rebeldia, da apatia e até
mesmo na recusa em freqüentá-la, quando as condições objetivas são favoráveis
(VOLPATO, 2002, p. 115).
Não podemos nos conformar com essa situação e pensar no ensino da Matemática,
independente de sua aprendizagem ou não. Nossa função, enquanto educadores, é a formação
ampla dos cidadãos para o sucesso, para a felicidade. A aprendizagem, a memória, as
percepções são condicionadas pela afetividade na medida que esta envolve relacionamentos
entre as pessoas (alunos, colegas, professor) e o objeto de conhecimento (a Matemática, a
Geometria) e, no projeto de conhecer algo, produz as motivações. Assim,
Ao desenvolver nossa capacidade de educadores não exercemos apenas um ofício,
um papel, mas, através da nossa capacidade de vínculo, de amar, de sermos
nutritivos, de expressar nossa amorosidade por nosso educando, estamos
promovendo o desenvolvimento de sua Identidade, de sua articulação orgânica e
integrada consigo mesmo, com o outro, com a comunidade, com o cosmos. A
construção do conhecimento deve estar integrada à afetividade para o educando
desabrochar a consciência crítica, o engajamento transformador e criativo, numa
Identidade saudável, na sabedoria que integra o saber racional e o saber da vida
(VECCHIA, 2002, p. 109).
As pessoas desenvolvem suas habilidades em tarefas nas quais elas se identificam.
Desta forma, algumas pessoas podem encontrar maior facilidade, ou dificuldade, em aprender
21
determinados conteúdos ou em alguma(s) área(s) do conhecimento, baseadas na sua
identificação com as mesmas. Isso está muito relacionado com o “desejo de aprender”.
As
alternativas
encontradas,
na
ação
pedagógica,
para
influenciar
neste
desenvolvimento do desejo de aprender devem respeitar o grau de dificuldade encontrado
pelos educandos e o professor deve procurar ser um facilitador na superação destas
dificuldades.
Muitas vezes o aluno encontra dificuldades em aprender Geometria/Matemática, pois
não consegue relacioná-la com seu cotidiano, aprendem a resolver por fórmulas não
entendendo os conceitos geométricos e sem visualizar o porquê utilizar aquela determinada
fórmula. Da forma que a Geometria é estudada, não levando em conta a realidade do aluno e
suas necessidades, o aluno acaba não dando nenhum sentido aos teoremas e definições.
D‟Ambrósio (1989, p. 22) afirma que:
O aluno, acreditando e supervalorizando o poder da matemática formal perde
qualquer autoconfiança em sua intuição matemática, perdendo, dia a dia, seu “bom
senso” matemático. Além de acreditarem que a solução de um problema encontrada
matematicamente não estará, necessariamente, relacionada com a solução do mesmo
problema numa situação real.
Esta autora coloca que em nenhum momento o processo escolar proporciona, na aula
de matemática, situações em que o aluno seja criativo, desenvolva a curiosidade e esteja
motivado, o aluno não é levado a pesquisar sobre o assunto abordado.
Em vista disso, Elias (1995, p.6) declara que educadores não estando satisfeitos com
sua prática docente, buscam soluções, alternativas para tornar a aprendizagem mais
significativa, prazerosa e espontânea, voltada para o desenvolvimento de valores e atitudes.
Portanto, faz-se necessário conhecer diversas possibilidades de abordar os conteúdos
matemáticos e fazer uso de metodologias diversificadas para o fortalecimento do processo de
ensino e aprendizagem.
Para Chacón (2003) a interação que professor e aluno estabelecem na escola, os
fatores afetivos e cognitivos exercem influências decisivas, pois quando os alunos sentem-se
seguros, aprendem com mais facilidade, muitas atitudes nos alunos representam como eles
vêem a Matemática e como se motivam frente a um novo conhecimento e proposta de ensino.
Vale ressaltar a necessidade que o professor tem de conhecer cada um de seus alunos, suas
reações emocionais frente a uma atividade, tanto na direção positiva quanto negativa, isto é,
quando gosta da Matemática ou quando se frustra por não dar significado a este conceito.
Segundo Chacón (2003, p. 21):
[...] as atitudes em relação à matemática referem-se à valorização e ao apreço desta
disciplina, bem como o interesse por essa matéria e por sua aprendizagem,
22
sobressaindo mais o componente afetivo do que o cognitivo, o componente afetivo
manifesta-se em termos de interesse, satisfação, curiosidades, valorização, etc.
Já Brenelli (1993) defende a ideia de que o aspecto cognitivo é inseparável do aspecto
afetivo, sendo energia da ação que permeia a motivação, o interesse e o desejo.
Para Chacón (2003) ter atitude matemática vai além do gostar da matemática é
necessário conhecer o que o aluno é capaz de fazer e o que ele prefere fazer. O professor deve
tornar a aula motivacional, onde o aluno sinta prazer em aprender.
Koga e Souza (2003) afirmam que motivação é a palavra chave no processo de
aprendizagem. O aluno precisa de estímulo para aprender, e o exercício lúdico desperta o
interesse. O lúdico apresenta-se como apoio ao ensino/aprendizagem da geometria e/ou
qualquer outra área de conhecimento. Através do brincar a criança estará aprendendo a
conviver com o grupo desenvolvendo assim o lado afetivo e social. Motivar é conduzir o
aluno à satisfação por algo ou pelo conteúdo apresentado, mostrando motivos pelos quais
estaria valendo a pena a busca da cientificação.
De acordo com Marcellino (1990, apud ALVES, 2001, p. 11):
Atualmente um grande número de educadores vem se preocupando em oferecer aos
educandos uma atmosfera motivacional, permitindo uma participação mais ativa na
construção do conhecimento. E é nesse contexto que as atividades lúdicas se fazem
presentes, em especial os jogos. Talvez por serem uma atividade natural dos seres
humanos.
Ao trabalhar com atividades lúdicas o professor promove a melhor interação da turma
com o grupo de colegas, desenvolve a iniciativa, interesse, curiosidade, capacidade de análise
e reflexão dos conceitos matemáticos. As atividades lúdicas aumentam a motivação dos
alunos para a aprendizagem de conceitos matemáticos.
Alves (2001) destaca:
Na utilização de atividades lúdicas em aulas de matemática, além dos aspectos
cognitivos relevantes para sua aplicação, não devemos ignorar ou menosprezar o
aspecto afetivo desencadeado pela ação do jogo, na aproximação entre jogadores,
bem como na do aluno com o professor. (p. 28).
A autora destaca ainda, que embora seja notória a validade das atividades lúdicas no
ensino, ainda encontra-se bastante resistência da sua aplicação nas aulas. Montezel (2005)
coloca que muitos associam o lúdico a uma atividade sem importância, um passatempo, algo
improdutivo, mas que a vivência do lúdico deve ser vista como um processo e não somente
como um produto final.
Portanto, na escolha de uma atividade lúdica devemos levar em consideração alguns
princípios fundamentais para que se possa alcançar os objetivos propostos, que são eles a
23
gratuidade, a espontaneidade e a liberdade. Pois o que pode ser considerado atividade lúdica
por um determinado grupo de pessoas, pode ser algo insatisfatório para outros.
De acordo com Souza (2009) ao pensarmos em atividade lúdica, imediatamente
pensamos em atividades de lazer, que nos proporcionem sensação de bem estar, prazerosas,
desenvolvidas em ambientes agradáveis e respeitando o gosto de cada indivíduo, como ir ao
cinema, ler um livro, dançar, jogar, tocar um instrumento, praticar esportes, ir à escola ou ao
trabalho, podem ser exemplos de atividades lúdicas ou não, dependendo de quem pratica e
como a atividade é praticada. A autora afirma que para um matemático fazer matemática pode
se tornar uma atividade lúdica, onde este desenvolve com prazer e gosto pelo que faz,
enquanto para o aluno pode significar o pior dos castigos, pois não consegue sentir prazer e
liberdade para desenvolvê-la, sente-se preso a uma obrigação. Deve-se sempre respeitar a
vontade do aluno, caso contrário não será uma atividade lúdica.
Negrine (2001, p. 42) afirma que:
A ludicidade como ciência se fundamenta sobre quatro pilares de natureza
diferentes: o sociológico, porque a atividade lúdica engloba demanda social e
cultural; o psicológico, pois se relaciona com o desenvolvimento e a aprendizagem;
o pedagógico, porque se serve da fundamentação teórica existente e das experiências
da prática docente; e o epistemológico porque busca o conhecimento científico que
trata o jogo como fator de desenvolvimento.
Acreditamos que o professor deve procurar alternativas de motivar seus alunos para a
aprendizagem, desenvolver confiança, organização, concentração, respeito, saindo do
tradicional e estimulando o aluno à interação com o mundo e as pessoas ao seu redor, fazendo
da Geometria uma aprendizagem interessante.
O ensino da Geometria pode se tornar um ato prazeroso com a aplicação de atividades
como jogos, brincadeiras, mágicas, desafios, histórias, músicas entre outros.
Entre essas diversas maneiras de se utilizar a ludicidade no ensino da geometria,
podemos destacar a utilização do recurso jogo. Este deve ser bem escolhido pelo professor,
para que ele possa alcançar os objetivos propostos. A relação do conteúdo com o jogo é muito
importante, o jogo deve ser interessante e desafiador, sempre levando em consideração o nível
que a criança consegue atingir. Tem que ser um jogo em que todos os estudantes se sintam
motivados a participar proporcionando o desenvolvimento das crianças.
Souza (2009, p. 8) destaca que:
No jogo pode-se correr risco, experimentar, tentar, inventar, tudo isso livre do
fantasma de uma avaliação punitiva e castradora. O professor que utiliza o jogo tem
o papel de organizar e sistematizar essas atividades para que elas possibilitem aos
alunos caminhar em busca de novos conhecimentos. Como mediador, o professor
deve possibilitar o deslocamento do pensamento para níveis cada vez mais
generalizados e mais abrangentes, pois o fazer matemático é lúdico quando não há
24
medo de errar, assim, dependendo do contexto no qual está inserido o jogo pode ser
mais uma possibilidade para tentar seduzir o aluno a aprender, não é a única, e
também não tem a capacidade de solucionar as dificuldades que se vive na sala de
aula, tais como, a falta de interesse, de respeito mútuo, a dificuldade de
aprendizagem e suas várias causas, a baixa auto-estima etc.
O jogo proporciona a criança desenvolver a criatividade, analisar diversas
possibilidades, desenvolvendo habilidades mentais e cognitivas, ter estratégias para as
próximas jogadas, assim como socialização com o grupo que vive. Souza (2009) coloca que o
jogo na educação representa mais do que atividades de competição com regras, representam
uma ação lúdica, estabelecendo relação entre o brincar e o aprender.
É por meio da troca de pontos de vista com outras pessoas que a criança
progressivamente descentra-se, isto é, ela passa a pensar por uma outra perspectiva
e, gradualmente, a coordenar seu próprio modo de ver com outras opiniões. Isso não
vale apenas na infância, mas em qualquer fase da vida. (SMOLE, DINIZ, MILANI,
2007, p. 11).
Para as autoras citadas a criança só aprende a ser social através das situações
interpessoais, onde defende sua opinião e ouve a do outro, sozinha ela pode dizer e fazer o
que quer, sem ser contrariado e nem questionado sobre seus erros e acertos. Diante de um
grupo a criança sente a necessidade de pensar antes de falar para que não seja mal interpretada
e seja compreendida pelos demais. No processo do jogo ela aprende a cooperar, trabalhar
junto, ser coerente, negociar e chegar a um consenso.
As autoras levantam a proposta de utilização de jogos como uma perspectiva de
resolução de problemas, permitindo organizar o ensino não só com aspectos puramente
metodológicos, mas incluindo uma postura do que significa o que é ensinar e aprender.
Afirmam que para que o aluno desenvolva-se durante o jogo é necessário que as aulas tenham
tanto dimensão lúdica quanto educativa, isso acontece se o professor ter cuidado ao planejar o
uso deste recurso em sala de aula.
Durante muito tempo o jogo foi tratado com descaso por parte dos professores, assim
o jogo perde totalmente seu valor e a ideia de ludicidade. Ao propor um jogo em sala de aula
o professor não pode esquecer do seu caráter lúdico, deve-se lembrar que é uma atividade que
desafia, encanta, traz movimento, barulho e certa alegria, isto é determinante para que o aluno
seja chamado a participar. Essa dimensão lúdica envolve surpresa, possibilidade de fazer de
novo e de querer superar obstáculos. O jogo permite que o aluno erre e acerte várias vezes
quanto desejar jogar. No jogo o erro se torna natural propiciando diversas tentativas,
conhecendo e discutindo novas jogadas, esse processo desenvolve autonomia do processo de
aprendizagem. “A criança não tem medo do erro, pois este não significa fracasso e sim uma
forma de aprendizagem” (SMOLE; DINIZ; MILANI, 2007, p. 12).
25
De acordo com Smole, Diniz e Milani (2007) os jogos nas aulas de matemática
implicam em uma mudança significativa no processo de ensino e aprendizagem, pois permite
alterar o modelo do ensino tradicional da matemática. Os jogos auxiliam no desenvolvimento
de habilidades como observação, análise, levantamento de hipóteses, busca suposições,
reflexão, tomada de decisão, argumentação e organização, as quais estão ligadas ao raciocínio
lógico. Isso acontece porque ao jogar, o aluno resolve problemas, cria estratégias, torna-se
um investigador, descobrindo novos caminhos e soluções. Estes autores destacam o jogo
como um recurso que possibilita uma aprendizagem significativa e com prazer, favorecendo
muitas áreas de conhecimento dos alunos, como a interação com o grupo, desenvolvimento da
linguagem e diferentes processos de raciocínio.
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais:
[...] um aspecto relevante nos jogos é o desafio genuíno que eles provocam no aluno,
que gera interesse e prazer. Por isso, é importante que os jogos façam parte da
cultura escolar, cabendo ao professor analisar e avaliar a potencialidade educativa
dos diferentes jogos e o aspecto curricular que se deseja desenvolver (BRASIL,
1998, p. 49).
Um aspecto que deve ser observado pelo professor em relação à ação dos alunos é se
eles conseguem avaliar o seu próprio desempenho, então para que isso ocorra o professor
deve deixar bem explícito o que é considerado meta de alcance da atividade. O aluno/jogador
não aprende e pensa sobre o jogo se o pratica uma única vez, para que haja aprendizagem é
preciso que ele o faça mais de uma vez, assim compreendendo as regras e criando novas
estratégias.
Segundo Riccetti (2001, p. 20):
A professora sempre deverá observar a participação e a reação das crianças durante
o jogo, verificando se a criança está sendo mobilizada mentalmente.
O jogo deve proporcionar um contexto estimulador da atividade mental da criança e
de sua capacidade de cooperação, seja ele jogado ou não de acordo com regras
previamente determinadas.
As autoras Smole, Diniz e Milani (2007, p. 15) enfatizam a importância do
planejamento do professor na hora do jogo:
Trabalhar com jogos envolve o planejamento de uma seqüência didática. Exige uma
série de intervenções do professor para que, mais que jogar, mais que brincar, haja a
aprendizagem. Há que se pensar como e quando o jogo será proposto e quais
possíveis explorações ele permitirá para que os alunos aprendam. Comecemos pelas
formas de apresentação ao grupo.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCNs (BRASIL, 1998) recomendam a
utilização de jogos no Ensino Fundamental e ressaltam:
Os jogos podem contribuir para um trabalho de formação de atitudes- enfrentar
desafios, lançar-se à busca de soluções, desenvolvimento da crítica, da intuição, da
26
criação de estratégias e da possibilidade de alterá-las quando o resultado não é
satisfatório- necessárias para aprendizagem Matemática. (BRASIL, 1998, p. 48).
Desta maneira, devemos desenvolver em nossos estudantes o pensamento matemático,
não apenas o raciocínio.
Adotar postura crítica diante de situações-problema com metodologias que incluam os
jogos como alternância e instrumento pedagógico.
Os jogos possibilitam uma discussão matemática, em que podem ser abordados
diversas questões como:
▪ qual a melhor estratégia para vencer? (fazendo os envolvidos no jogo pensarem melhor no
desenvolvimento do raciocínio lógico);
▪ quais os erros cometidos que me levaram ao fracasso? (desta maneira percebesse o motivo
do fracasso e aprende-se de maneira diferente, observando o que não deu certo na jogada);
▪ se as regras forem modificadas, quais serão as novas estratégias? (verificando assim qual a
relação das regras com as estratégias de jogo);
▪ quais são os possíveis caminhos para uma mesma jogada? (ações diferentes que alcançam o
mesmo objetivo).
Essas são algumas questões que merecem destaque quanto a importância dos jogos no
ensino, principalmente da Matemática, que ampliam as maneiras de compreender o conteúdo
trabalhado.
Assim, para atingir o objetivo do jogo, os estudantes desenvolvem um trajetória que
compreende desde a leitura e compreensão das regras até a avaliação e verificação da
eficiência de suas jogadas, observando sempre qual a melhor estratégia para vencer. Desta
forma, desenvolve-se a formação do senso crítico e promoção da criatividade para resolver
quaisquer problemas.
A postura que o professor deverá assumir é de questionador e observador, não
interferindo no processo de construção do conhecimento.
No momento em que propomos o jogo na aula de matemática, não podemos deixar de
compreender o sentido da dimensão lúdica que eles apresentam na proposta.
Conforme, Smole, Diniz e Milani (2007, p. 12):
Por sua dimensão lúdica, o jogar pode ser visto como uma das bases sobre a qual se
desenvolve o espírito construtivo, a imaginação, a capacidade de sistematizar e
abstrair e a capacidade de interagir socialmente. Entendemos que a dimensão lúdica
envolve desafio, surpresa, possibilidade de fazer de novo, de querer superar os
obstáculos iniciais e o incômodo por não controlar todos os resultados. Esse aspecto
lúdico faz do jogo um contexto natural para o surgimento de situações-problemas
cuja superação exige do jogador alguma aprendizagem e um certo esforço na busca
por sua solução.
27
O jogo faz o jogador rever o erro sem frustrações, desenvolvendo iniciativa,
autonomia, autoconfiança. O jogo é uma atividade séria que não tem consequências
frustrantes para quem joga.
Os conteúdos trabalhados através de jogos possibilitam maior envolvimento com
conceitos que desejam desenvolver, além de estimular o desbloqueio de alguns alunos frente a
Matemática, melhorando a motivação pessoal e a auto estima.
O jogo também pode ser usado como um instrumento avaliativo, pois ao jogar os
estudantes demonstram naturalmente suas dificuldades, o que ajuda no diagnóstico e, assim,
na avaliação da aprendizagem uma vez que os conceitos trabalhados nos conteúdos são
utilizados nas jogadas.
O conhecimento matemático também deve ser algo adquirido de maneira
contextualizada, não apreendido de forma isolada. Assim segundo os autores acima citados
propõem alguns cuidados que devem ser tomados para que o jogo tenha efeitos sobre os
alunos: escolha do jogo, apresentação do jogo, organização da classe, tempo de jogo e
exploração do jogo.
CAPÍTULO III – PROPOSTAS ENVOLVENDO O LÚDICO NO ENSINO DA
GEOMETRIA
Existem diferentes materiais que podem ser utilizados pelo professor no ensino da
Geometria e também são muitas as atividades que podem ser desenvolvidas usando cada
material.
Com foco na motivação para os alunos aprenderem Geometria envolvendo a
afetividade, o prazer, o lúdico, apresentamos neste capítulo diferentes recursos e materiais
associados a atividades lúdicas que podem auxiliar o professor/aluno no processo de ensino e
aprendizagem da Geometria.
Buscamos nos fundamentar e apresentamos, inicialmente, informações sobre cada
material ou recurso pedagógico selecionado como proposição para esta pesquisa: Tangram,
Geoplano, Dobraduras, Mosaicos e Jogos. E dentre as inúmeras atividades possíveis de serem
realizadas, tivemos que optar por algumas. Usamos como critério para a seleção das
atividades aqui apresentadas a possibilidade de construir/envolver conceitos geométricos e o
caráter lúdico.
3.1 Tangram
De acordo com Andrini e Vasconcellos, no livro Praticando Matemática (2002), o
Tangram é um quebra-cabeça de origem chinesa formado por sete peças, chamadas de “tans”.
Já a palavra “gram” tem origem ocidental, se refere à estrutura do jogo e está relacionada aos
significados do diagrama. Mas essa não é a única versão do significado de Tangram:
(...) a parte final da palavra – gram – significa algo desenhado ou escrito como um
diagrama. Já a origem da primeira parte – Tam – é muito duvidosa e especulativa,
existindo várias tentativas de explicação. A mais aceita está relacionada à dinastia
Tang (618 – 906) que foi uma das mais poderosas e longas dinastias da história
chinesa, a tal ponto que em certos dialetos do sul da China a palavra Tang é
29
sinônimo de chinês. Assim, segundo essa versão, Tangram significa literalmente,
quebra-cabeça chinês.
Outra versão está ligada à palavra chinesa para Tangram, “Tchi Tchiao Pan”, cuja
tradução seria “Sete Peças da Sabedoria”. (SOUZA et al,, 2008, p. 2).
Não há registros do nome do inventor ou da época que foi inventado, mas há
indicação, por vários autores, que foi trazido da China para o Ocidente na metade do século
XIX.
Há várias lendas sobre o surgimento deste jogo. Uma lenda conta que este jogo foi
criado pelo Deus chinês Tan que escreveu sete livros onde constam cerca de dez mil figuras
feitas com todas as peças do Tangram. Já outra lenda conta que um serviçal estava limpando
os azulejos do palácio quando, de repente, quebrou um em sete pedaços. Quando o imperador
viu exigiu que o serviçal colasse o azulejo imediatamente e se não o fizesse teria sua cabeça
cortada. O serviçal ficou desesperado, quando percebeu que não conseguiria montar o azulejo,
então descobriu que as sete peças montavam diversas figuras, mostrando isso ao imperador
teve sua vida poupada.
O jogo é formado por sete peças que tem formas geométricas bem conhecidas. São
cinco triângulos: dois grandes, dois pequenos e um médio; um quadrado e um paralelogramo,
originados da decomposição de um quadrado, conforme a figura a seguir. Com as peças do
Tangram é possível criar e montar milhares de figuras diferentes: animais, plantas, pessoas,
objetos, letras, números, figuras geométricas.
Com o uso do Tangram o professor de Matemática pode trabalhar a identificação das
figuras geométricas, comparação, descrição, classificação e desenho. Através da composição
e decomposição das figuras, o aluno pode compreender as propriedades das figuras
30
geométricas, assim como seus elementos como ângulos, vértices, lados, diagonais, medidas,
como perímetro, área, entre outros, além de estar envolvido por desafios e pela ludicidade
inerente ao quebra-cabeças. Possibilita também o desenvolvimento da criatividade e da
imaginação, como forma de manifestação artística.
Construção do Tangram
Desde a sua criação são construídos Tangrans em todos os tipos de materiais, dependo
da finalidade a que se destinam, pode ser feito em cartolina, emborrachado EVA, em plástico,
madeira e até de metal. Quanto mais firme for o material mais fácil é seu manuseio.
Apresentamos a seguir três formas, que podem ser utilizadas em aula, para construção
de um Tangram. Destacamos que a própria construção do quebra-cabeças já possibilita o
desenvolvimento de habilidades geométricas, o uso de instrumentos de desenho, o
aprimoramento de vocabulário e formas de representação relativas à geometria, além da
criatividade.
1. Construção usando instrumentos de desenho1
1º passo: Desenhe e recorte um quadrado. Lembre que um quadrado
possui lados de mesma medida e ângulos retos. Indicamos seus
vértices com as letras maiúsculas A, B, H e J para facilitar a
indicação dos outros procedimentos.
2º Passo: Trace um segmento de reta que vai do vértice B ao vértice
H – que representa uma das diagonais, dividindo o quadrado em
dois triângulos retângulos congruentes.
3º Passo: Determine o ponto médio do segmento de reta BH. Para isso pode determinar a
medida de BH, dividindo por dois, ou usar dobraduras: pegue o vértice A e dobre até o
segmento BH; o ponto de encontro do vértice A e do segmento BH será o ponto médio de
BH, que vamos indicar por D.
1
Adaptado de www.educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/como-construir-tangram.htm
31
Depois trace um segmento de reta que vai
do vértice A ao ponto D, formando três
triângulos retângulos.
4º passo: Determine o ponto médio dos lados BJ e HJ, podendo medir ou usar dobraduras:
dobre o vértice J até o ponto D assim marcando a posição de dois pontos médios, ponto E no
segmento BJ e o ponto I no segmento HJ. Agora trace um segmento de reta do ponto E ao
ponto I.
5º Passo: Trace um segmento de reta perpendicular do ponto D ao segmento EI.
6º Passo: Trace dois segmentos de reta paralelos: um deles, partindo de I e paralelo ao
segmento DG; o outro, partindo de G e paralelo ao lado AH.
Com o traçado feito temos as sete peças do Tangram, bastando recortá-las para obter o
quebra-cabeças.
32
2. Construção do Tangram usando dobraduras e recortes2
1o Passo: Para a construção do Tangram pode ser entregue metade de uma folha de papel A4
colorida para cada aluno (assim o Tangram fica de um tamanho bom para fazer construções e
colar/representar no caderno) e através das dobraduras e recortes indicados a seguir vamos
obter um quadrado.

2o Passo: Dobre o quadrado ao meio e recorte-o de modo a obter 2 triângulos (A e B).
3o Passo: Dobre o triângulo A ao meio para obter 2 triângulos mais pequenos (1 e 2).
2
Adaptado de
www.esev.ipv.pt/mat1ciclo/tarefas/Tarefa%20Constru%C3%A7%C3%A3o%20do%20Tangran.pdf
33
4o Passo: Usando o triângulo B, marque o meio do lado maior e dobre o vértice oposto até o
ponto médio obtido e recorte-o obtendo o triângulo 3.
5o Passo: Dobre o trapézio ao meio, volte a dobrar ao meio uma das partes, encostando um
vértice da base maior do trapézio no ponto médio dessa base, e recorte de modo a obter o
triângulo 4 e o quadrado 5.
34
6o Passo: Dobre o trapézio retângulo que restou, encostando o vértice do ângulo reto da base
maior no vértice oposto da base menor do trapézio, e recorte para obter o triângulo 6 e o
paralelogramo 7.
Obtivemos dois triângulos grandes (1 e 2), um triângulo médio (3), dois triângulos
pequenos (4 e 6) – todos isósceles e retângulos, semelhantes entre si. Também temos um
quadrado (5) e um paralelogramo (7).
3. Construção a partir de quadriculados3
1o Passo: Pegamos um papel quadrado e dobramos ao meio, encostando dois lados do
quadrado, obtendo um vinco central.
2o Passo: Dobrando cada um dos lados do quadrado até o vinco central, obtemos mais dois
vincos paralelos ao primeiro.
3o Passo: Repetindo o mesmo procedimento feito até agora, encostando os outros dois lados
do quadrado, teremos um quadriculado que nos permite traçar as linhas indicadas no diagrama
a seguir que, ao recortarmos, formarão as peças do Tangram.
3
Retirado de GRANDO; BERNARDI, 2006, p. 13-15.
35
Ao recortar a figura acima os alunos terão as sete peças do Tangram.
Esse quadriculado também pode ser obtido com o uso de instrumentos de desenho. Se
a medida dos lados for um múltiplo de 4 teremos mais facilidade na obtenção do
quadriculado. A medida de 12 cm é adequada para uso didático, possibilitando montar/colar
em folhas de tamanho A4.
A participação do aluno na construção do Tangram possibilita que o mesmo se
envolva de maneira mais ampla na atividade, mostrando/desenvolvendo outras habilidades
além das cognitivas.
A construção do Tangram possibilita que cada aluno tenha o seu quebra-cabeças,
podendo manipulá-lo livremente e repetir a construção no momento que necessitar.
Atividades Propostas
1. Jogo Livre
Objetivos:
- utilizar figuras geométricas planas a partir dos recursos do Tangram para a composição de
outras figuras: de animais, de construções, de pessoas, de letras/números, de formas
geométricas;
- reconhecer e nomear figuras planas;
- identificar as principais propriedades e elementos das figuras planas;
- usar criatividade e imaginação na construção das figuras.
Conceitos da Geometria envolvidos:
- figuras geométricas planas.
36
Comentários:
Esta atividade pode ser realizada por alunos de qualquer idade (respeitando as
limitações e estimulando as potencialidades comuns em cada idade), visto que ela propicia a
criatividade e imaginação e possibilita a construção intuitiva de conceitos geométricos, a
partir da observação de suas características e propriedades, ou propicia aprofundar o
conhecimento sobre figuras planas.
Ao utilizar o Tangram a etapa do Jogo Livre é importante para que o aluno se
familiarize com as peças, para que perceba as semelhanças e diferenças das mesmas,
desenvolvendo a visualização geométrica.
Procedimentos:
(i) Fazer a construção do Tangram.
A escolha do material e do modo de construção vai depender da faixa etária em que os
alunos se encontram. Para os menores (6º ano) é mais adequado fazer dobraduras e recortes,
podendo envolver o quadriculado, conforme descrição feita anteriormente.
(ii) Solicitar aos alunos que construam figuras usando as peças do Tangram que possuem.
Inicialmente podemos deixar livre, não interfirindo se devem usar todas ou algumas
peças do quebra-cabeças. Ao longo da atividade podemos lançar desafios: pedir que usem as
sete peças do jogo, sem sobrepor nenhuma delas; pedir que construam figuras usando apenas
os triângulos; retirar uma ou duas peças e pedir que contruam figuras com as outras peças;
definir um tipo de figura a ser construída (um bicho, um forma humana, uma casa).
A atividade pode culminar com a confecção de um painel onde cada aluno vai expor
uma das figuras que montou. Pode fazer complementações na figura usando lápis colorido
(cenário ao fundo, rosto com expressões, roupas para os personagens, balões de pensamento
ou diálogo, ...).
2. Silhuetas
Objetivos:
- fazer composição e decomposição de figuras;
- desenvolver habilidades de discriminação visual e percepção da posição no plano;
- identificar figuras de mesma forma e com mesma medida ou com medidas diferentes;
- verificar a constância da forma a partir da composição de diferentes peças.
37
Conceitos da geometria envolvidos:
- figuras geométricas planas – características e propriedades.
Comentários:
Esta atividade pode ser desenvolvida em várias fases, em que se modifique o grau de
complexidade. Cada fase pode ser apresentada em sequência, para os alunos maiores (8º ou 9º
ano do ensino fundamental), ou cada fase ser intercalada com outras atividades de geometria
ou não (quando se tratar de alunos com menos idade – 5º ou 6º ano), visto que ela exige
raciocínios mais elaborados e abstratos ao modificar de complexidade.
Sugerimos que antes de propor as atividades envolvendo silhuetas seja feito uma
familiarização com as peças do Tangram através do Jogo Livre ou, pelo menos, da construção
de um Tangram.
Procedimentos:
(i) Fornecer a cada aluno um jogo de Tangram e uma silhueta (modelo de figura a partir de
sombra ou contorno) formada com as sete peças do Tangram em seu tamanho real para que
o aluno sobreponha a silhueta com as peças do quebra-cabeças.
É importante, inicialmente, que o Tangram tenha o mesmo tamanho daquele que foi
usado para a confecção da silhueta para que possa haver menor complexidade, tendo o apoio
da sobreposição, e a atenção esteja voltada para o reconhecimento das formas geométricas e a
associação com a disposição das peças para composição da forma que a silhueta apresenta.
Após efetuada a montagem de uma silhueta o aluno pode trocar com um colega,
ampliado o número e diversificando as montagens feitas.
O professor deve acompanhar a atividade, identificando as dificuldades apresentadas e
auxiliando com “dicas” da posição de alguma peça.
(ii) Fornecer a cada aluno um jogo de Tangram e uma silhueta formada com as sete peças do
Tangram mas em tamanho diferente do usado para a silhueta.
Sendo de tamanhos diferentes as peças do Tangram e as usadas na silhueta os alunos
não conseguem fazer a montagem sobre a silhueta, aumentando o grau de complexidade e
exigindo maior percepção visual e abstração ao “ïmaginar” como as peças devem ser
colocadas.
(iii) Fornecer a cada aluno um jogo de Tangram e apresentar diversas silhuetas formada com
as sete peças do Tangram em um cartaz que fique fixada na lousa.
38
No início o aluno faz a montagem usando tentativa e erro. Aos poucos, de maneira
reflexiva, vai sistematizando os procedimentos para resolver o desafio. Vai estabelecendo
relações, percebendo que, por exemplo, com dois triângulos pequenos pode formar o
quadrado ou, dispondo-os de maneira diferente, consegue formar o paralelogramo; também
percebe relações entre as medidas dos lados de algumas peças.
Posteriormente, o professor pode iniciar o estudo das figuras geométricas planas, seus
elementos, características, propriedades, tomando como ponto de partida a atividade do Jogo
Livre e de Silhuetas, se reportando ao que foi utilizado e construído para auxiliar na
elaboração conceitual e sistematização das informações.
A seguir apresentamos atividade proposta por Andrini e Vasconcellos (2002, p. 142)
que contempla algumas sugestões de silhuetas que podem ser reproduzidas pelo professor.
39
3. O Jogo do Tangram
Objetivos:
- desenvolver habilidades de discriminação visual e rapidez de raciocínio.
Conceitos da geometria envolvidos:
- composição e decomposição de figuras planas.
Comentários:
Para este jogo são necessários cinco conjuntos de Tangram, um relógio (ou
cronômetro) e cartões contendo: figuras para montagem, vantagens e desvantagens.
Para vencer, o jogador deve montar antes dos demais participantes a figura sorteada.
Para tanto, deve perceber quais peças compõem a figura e escolhe-las corretamente na hora da
“compra”.
Procedimentos:
1) Os adversários jogam em sequência, no sentido horário. Os jogadores devem escolher
quem inicia o jogo. Após embaralhar os cinco conjuntos de Tangram, cada jogador escolhe
sete peças. As restantes formam o monte. Em seguida, sorteia-se um cartão que contém a
figura para montagem.
2) O jogador iniciante deve comprar uma peça do monte e retirar um cartão de vantagem ou
desvantagem. Em seguida, tem que cumprir as exigências do cartão retirado e tentar
montar a figura em dois minutos. Caso não seja possível, deve selecionar uma de suas
peças para colocar de volta no monte. O jogo prossegue desta maneira até que se obtenha
um vencedor.
Os cartões de vantagem ou desvantagem são cartões que ou proporcionam mais peças
ao jogador, ou pulam a vez (o jogador permanece inativo por uma rodada). Caso o jogador
tenha como vantagem escolher um número maior de peças, deve devolvê-las em mesmo
número ao monte depois de acabado o seu tempo.
Trata-se de um jogo que exige atenção, lógica, percepção do todo e capacidade de
compor e de decompor figuras rapidamente, ou seja, para jogar é preciso estruturar o
raciocínio lógico e ter disciplina.
40
4. O que é, o que é? Desafios com o Tangram
Objetivos:
- observar elementos, características e propriedades de polígonos, fazendo sua identificação;
- encontrar diferentes maneiras para fazer a composição de polígonos com o Tangram;
- utilizar terminologia própria da geometria.
Conceitos da geometria envolvidos:
- polígonos – elementos, características e propriedades.
Comentários:
Esse jogo foi criado buscando a identificação do polígono a partir do reconhecimento
de seus elementos, de suas características e propriedades, além de incorporar o desafio de
fazer a construção do polígono de diferentes maneiras. É para ser jogado em equipes.
O professor já deve ter trabalhado os diferentes tipos de polígonos ao propor esse jogo.
O jogo vai ser instrumento de fixação e aprofundamento das características e propriedades dos
polígonos. Pode ser desenvolvido preferencialmente no 6º e 7º anos do Ensino Fundamental.
Para o desenvolvimento do jogo é necessário:
- vários Tangrans para cada equipe, sendo no mínimo, um Tangram para cada aluno;
- fichas “O que é, o que é” e quadro de polígonos.
A seguir apresentamos sugestões de como podem ser essas fichas. Essas fichas podem
ser alteradas enfocando diferentes aspectos dos polígonos que o professor esteja trabalhando
no momento.
O que é, o que é?
Possuo 3 lados, 3 ângulos e 3
vértices.
O que é, o que é?
Sou um quadrilátero. Possuo lados de
mesma medida e 4 ângulos retos.
O que é, o que é?
Possuo 4 lados, sendo 2 pares de
lados paralelos de mesma medida e
4 ângulos iguais dois a dois. Não sou
o quadrado e nem o retângulo.
O que é, o que é?
Sou um quadrilátero. Possuo apenas
2 lados paralelos e com medidas
diferentes.
41
O que é, o que é?
Sou um quadrilátero. Possuo 2 pares
de lados paralelos e de mesma
medida e 4 ângulos retos. Não sou o
quadrado.
O que é, o que é?
Possuo 5 lados, 5 ângulos e 5 vértices.
O que é, o que é?
Sou um quadrilátero. Possuo 4 lados
de mesma medida e 4 ângulos iguais
dois a dois. Estou na Bandeira do
Brasil e lá sou amarelo.
O que é, o que é?
Possuo 6 lados, 6 ângulos e 6 vértices.
Já sou o que o time do Brasil quer
nessa Copa do Mundo de 2010.
O quadro de polígonos apresentado a seguir serve de apoio para o reconhecimento do
polígono descrito nas fichas. Pode ser um suporte importante para os alunos discutirem no
grupo, servindo de subsídio para argumentação. Deve ficar sobre a mesa onde a equipe está
realizando as tarefas.
QUADRO DE POLÍGONOS
Procedimentos:
1) O jogo se desenvolve em equipes. É necessário o mínimo de duas equipes com o mínimo
de 2 jogadores por equipe. Todas as equipes jogam ao mesmo tempo.
2) Após embaralhar as fichas e colocá-las viradas para baixo, a equipe (uma de cada vez)
retira a ficha que vai indicar o que será construído. A mesma equipe deve ler em voz alta o
42
que consta na ficha e decidir qual o polígono que satisfaz ao que está indicado. Se está
correto, já ganha 1 ponto, se está errado perde 1 ponto (o professor deve servir de juiz em
caso de discordância entre as equipes).
3) Com o Tangram, cada equipe deve buscar todas as possibilidades para formar o polígono
definido pela ficha escolhida, usando:
a) só duas peças
b) só três peças
c) só quatro peças
d) só cinco peças
e) só seis peças
f) as sete peças
Cada solução diferente apresentada vale 1 ponto. A equipe quem fizer mais pontos
ganha o jogo.
Pode ser estipulado um tempo limite para o desenvolvimento da tarefa, assim os
alunos precisam aprender a se organizar em equipes, trocando ideias e dividindo tarefas.
Em cada caso é interessante analisar possíveis soluções diferentes. Duas soluções
serão consideradas diferentes se os polígonos obtidos forem diferentes ou, se os polígonos
obtidos forem iguais, mas formados por peças diferentes.
Eis, por exemplo, os esquemas das diferentes soluções para cada um dos casos, tendose um quadrado:
a)
quadrado só com duas peças
t
T
t
T
b) quadrado com três peças
t
t

43
c) quadrado com quatro peças
t
t
t
p
q

T
T
t
T
t
t
d) quadrado com cinco peças
t
q
p
t

p
e) quadrado de seis peças
Não é possível construir um quadrado com seis peças do Tangram. É instrutivo que o
aluno seja colocado diante de problemas impossíveis. A matemática está repleta deles.
f) quadrado com sete peças
A solução é única e o quadrado obtido é o quadrado que dá origem ao jogo.
Neste jogo, algumas figuras podem apresentar um maior grau de dificuldade para sua
obtenção, por exemplo, pentágonos e hexágonos, gerando menor número de pontos no jogo
mas maior interesse por parte de equipes adversárias em conhecer soluções criativas que
aparecerem.
Identificamos que o Tangram é um recurso interessante e rico para o ensino da
Geometria e vislumbramos muitas outras atividades lúdicas que poderiam ser propostas
envolvendo perímetro e área, ângulos, simetria, entre outros, mas que não apresentamos.
Optamos por não nos estendermos mais porque precisamos equacionar o tempo para o
desenvolvimento da pesquisa e o interesse que temos em outros materiais e recursos.
44
3.2 Geoplano
O Geoplano é um material que pode ser utilizado pelos professores nos diferentes anos
do ensino fundamental para auxiliar no trabalho com a geometria plana. É um material
simples, de fácil construção e muito versátil.
De acordo com Knijnik, Basso e Klüsener (1996) o Geoplano é um material criado
pelo matemático inglês Calleb Gattegno. Constitui-se por uma placa de madeira, marcada
com uma malha quadriculada ou pontilhada. Em cada vértice dos quadrados formados fixa-se
um prego (ou pinos), onde se prenderão os elásticos.
Existem diferentes tipos de Geoplano. O mais comum é o formado por uma base
quadrada. Chama-se Geoplano de 5x5 àquele onde a malha é quadrada e tem 5 pregos de cada
lado (25 pregos no total).
Outro tipo é o Geoplano Circular que é construído com pregos igualmente espaçados
dispostos sobre uma circunferência ou sobre várias circunferências concêntricas.
Geoplano Circular*4
Destacamos ainda mais dois tipos: o Geoplano Oval, em que parte dos pontos da
malha formam semicircunferências e o restante têm disposição retangular, e o Geoplano
Trelissado, em que os pontos formam uma malha triangular, ou seja, os pontos de uma linha
estão dispostos em posição intermediária aos pontos da linha seguinte ou anterior.
4
* (MACHADO, 2010, p. 2).
45
Geoplano Oval*
Geoplano Trelissado*
Andrini eVasconcellos (2002, p. 103) apresentam a seguinte indicação da construção
de um geoplano de base quadrada:
Notamos que a distância entre um prego e outro (medida dos quadrados da malha)
pode ser diferente daquela indicada na descrição anterior (5 cm). Essa medida pode ser
definida pelo professor. Sugerimos 3 cm como um medida adequada para o Geoplano de cada
aluno e 5 cm seria adequado ao Geoplano para uso do professor, possibilitando uma melhor
visualização e também fazer comparações.
46
Podem ser trabalhados conceitos como: polígonos (elementos, características,
propriedades), medidas (perímetro, área), simetria, ampliação e redução das figuras. É um
material dinâmico que possibilita construir, movimentar, modificar e desfazer. Smole, Diniz e
Cândido destacam que:
Uma das grandes vantagens do geoplano é que, ao contrário da folha de papel, ele
tem mobilidade, é “dinâmico”, e a flexibilidade com que se pode fazer e desfazer
construções permite que a criança habitue-se a ver figuras em diversas posições,
perceber se uma determinada hipótese que fez para a solução de um problema é
adequada e corrigi-la imediatamente se necessário.
Outra característica desse material é que as figuras são representadas por seus lados,
e não por seu interior, como acontece com o tangram, a dobradura e outros
materiais. Isto requer da criança um outro olhar sobre as formas e suas propriedades
e influirá na discriminação da fronteira de figuras já conhecidas.
(...) o geoplano traz um componente adicional no que diz respeito à localização
espacial, pois para se orientar no quadro de pinos é freqüente a contagem de pinos à
direita, à esquerda, sobre as linhas ou dentro da figura, criando um aspecto
quantitativo para a localização de posições que se assemelha ao que usamos no
plano cartesiano, mas de maneira mais simples e menos formal. (2003, p. 112).
Para complementar a utilização do Geoplano e/ou fazer o registro das atividades
desenvolvidas pode ser usado papel quadriculado ou pontilhado (que reproduz a malha do
Geoplano com o qual se está trabalhando).
Atividades Propostas
1. Jogo Livre
Objetivos:
- explorar e investigar o Geoplano;
- desenhar figuras no Geoplano, observando as características (forma e propriedades) de cada
figura formada;
- classificar os polígono.
Conceitos da geometria envolvidos:
- figuras geométricas planas;
- polígonos.
Comentários:
Com o uso das borrachinhas coloridas o aluno poderá “desenhar” e observar diversas
figuras e, usando a criatividade, brincar com a geometria, ao mesmo tempo em que constrói
conceitos, acontecendo a aprendizagem de forma lúdica.
47
O jogo livre pode ser proposto sempre que esse material for utilizado, independente da
idade ou ano do Ensino Fundamental. É um momento importante de exploração do material.
Associado a isso, já é possível fazer a identificação dos polígonos formados, classificando-os
de acordo com seus elementos, apresentando e discutindo conceitos iniciais.
Cada aluno pode ter o seu Geoplano, ou pelo menos, cada grupo de 3 alunos alunos
deve ter um Geoplano com atilhos de borracha coloridos.
Desenhar as figuras no Geoplano permite agilidade, pois as figuras podem ser feitas e
desfeitas, mas o registro da atividade, usando uma malha quadriculada ou pontilhada, também
é importante, pois exige outras habilidades e auxilia os alunos a refletirem mais em relação às
propriedades das figuras. Smole, Diniz e Cândido indicam que o trabalho no Geoplano,
associado ao registro no papel, possibilitam o desenvolvimento de habilidades de percepção
espacial, “em especial a coordenação visomotora, a memória visual e a constância da forma e
tamanho, bem como a percepção da posição de uma figura no espaço” (2003, p. 112).
Procedimentos:
(i) Indicar que o material que será utilizado inicialmente é o GEOPLANO, fazendo uma breve
caracterização do mesmo a partir do que consta no texto do quadro a seguir (explanação
oral).
O Geoplano é um material criado pelo matemático inglês Calleb Gattegno em 1961.
Constitui-se por uma placa de madeira, marcada com uma malha quadriculada. Em cada
vértice dos quadrados formados fixa-se um prego, onde se prenderão os elásticos (atilhos de
borracha), usados para "desenhar" sobre o Geoplano.
O Geoplano é um dos recursos que pode auxiliar o trabalho em geometria,
desenvolvendo atividades com figuras e formas geométricas planas, suas características e
propriedades, ampliação e redução de figuras, simetria, área e perímetro.
(ii) Usando os atilhos de borracha coloridos, construir polígonos/figuras diferentes no
Geoplano.
48
(ANDRINI; VASCONCELLOS, 2002, p. 104)
(iii) Observar as figuras e, a partir de suas características, identificar os polígonos formados.
Pedir que cada grupo mostre as construções feitas e que nomeie os polígonos
formados. Poderíamos ter as seguintes construções, onde constam (1) retângulo, (2)
dodecágono (estrela), (3) pentágono, (4) quadrado.
1
2
4
3
A partir das construções de cada grupo, auxiliar na indicação do nome de cada
polígono e complementar as informações com o que consta no texto a seguir.
As figuras geométricas formadas no plano (figuras planas) são chamadas de
polígonos.
49
Polígono é a região do plano limitada por segmentos de reta e pela sua parte interna.
A palavra polígono significa muitos ângulos (poli: muitos; gonos: ângulos). Então o polígono
é uma figura que tem muitos ângulos, ou seja, muitos lados.
Os polígonos recebem nomes a partir do número de lados (ou ângulos) que possuem:
triângulo (3 lados), quadrilátero (4 lados) – que pode ser quadrado, retângulo,
paralelogramo, losango, trapézio -, pentágono (5 lados), hexágono (6 lados), etc.
Outra figura plana conhecida é o círculo, mas este não é um polígono.
Também poderia ser feito outras classificações dos polígonos: regular ou não-regular,
côncavo ou convexo.
(iv) Fazer o registro das construções feitas, reproduzindo-os em malha pontilhada.
O distanciamento dos pontos na malha pode ser diferente do que o do Geoplano
quando o trabalho é desenvolvido com crianças do sexto ao nono ano do Ensino Fundamental;
com crianças menores, essa diferença pode ser elemento dificultador.
2. Adivinhando polígonos no Geoplano
Objetivos:
- reconhecer o polígono formado a partir de suas características.
Conceitos da geometria envolvidos:
- características dos polígonos.
Comentários:
Nessa atividade o foco está na atenção às características que cada polígono possui,
inclusive as que são comuns a mais de um polígono e as que diferenciam um do outro. É
importante também a precisão das informações, o uso correto da linguagem geométrica com
os termos próprios para especificar as características que a figura possui.
50
Pode ser desenvolvida em qualquer ano do Ensino Fundamental como forma de
aprofundamento ou retomada de conceitos.
Procedimentos:
(i) Cada grupo de alunos fica encarregado de fazer uma construção no Geoplano: triângulo
(podem ser de diferentes tipos), quadriláteros (quadrado, retângulo, paralelogramo,
losango, trapézio), e outros como o pentágono, o hexágono.
(ii) Listar as características que definem o polígono construído.
Algumas dessas características podem ser comuns a mais de um polígono, mas têm
outras que são exclusivas do polígono em questão. Ao usar o jogo o professor já deve ter
trabalhado essas características.
Vamos comparar, por exemplo o quadrado e o losango. Um quadrado tem as seguintes
características:

é um quadrilátero;

os lados têm a mesma medida,

possui 4 vértices

possui 4 ângulos

os ângulos são ângulos “retos”.

possui 2 pares de lados paralelos.
Um losango possui as mesmas características, mas nem sempre tem os ângulos retos.
(iii) Desafiar um grupo de colegas para “adivinhar” o polígono que o grupo desafiante fez,
dando como dica cada uma das características listadas.
O vencedor será o que tiver maior total de pontuação. Os dois grupos recebem
pontuação, de maneira complementar, conforme o que está indicado na tabela:
Número de dicas
fornecidas
Pontuação do
grupo desafiado
Pontuação do
grupo desafiante
1
5
0
2
4
1
3
3
2
4
2
3
5
1
4
6
0
5
51
3. Unidades de medida no Geoplano
Objetivos:
- estabelecer um padrão de unidade de medida de comprimento e de medida de superfície para
serem usadas no Geoplano;
- determinar o perímetro de polígonos construídos no Geoplano;
- determinar a área de polígonos no Geoplano.
Conceitos da geometria envolvidos:
- unidades de medida de comprimento e de superfície;
- determinação do perímetro e da área de um polígono.
Comentários:
Esta atividade não se constitui em um jogo usando o Geoplano, mas é necessária para
o estabelecimento do padrão a ser utilizado para medir comprimentos (lados dos polígonos) e
para medir superfícies (área dos polígonos), bem como da construção dos conceitos de
perímetro e área.
Sugerimos que seja utilizada com alunos do sexto ano ou do nono ano do Ensino
Fundamental, variando o grau de complexidade das abordagens feitas.
Procedimentos:
(i) Pedir que os alunos construam no Geoplano dois retângulos com medidas diferentes.
1
2
Os que indicamos na malha pontilhada acima servem como ilustração, não sendo
oferecidos como “modelo” aos alunos.
(ii) Questionar:
- qual a medida de cada lado dos retângulos?
52
- qual a medida do “contorno” de cada retângulo?
Pedir que um dos grupos de alunos mostre as construções feitas e que diga qual a
medida dos lados e do contorno de cada retângulo e então comentar o seguinte:
No Geoplano podemos definir como unidade de medida de comprimento (uc) a
distância entre um prego e outro, na horizontal ou na vertical.
Destacar que a medida de um prego a outro na diagonal é maior e que vale
aproximadamente 1,4 uc, o que pode ser confirmado com o Teorema de Pitágoras.
1 uc
1 uc
1,4 uc
Assim, no retângulo (1) os lados medem 5 uc e 2 uc e a medida do contorno é 14 uc;
no retângulo (2) os lados medem 3 uc e 4 uc e a medida do contorno também é 14 uc.
Destacar que a medida do contorno do polígono é o seu Perímetro.
(iii) Questionar:
- qual a medida da superfície, ou seja, da região interna dos retângulos?
- que unidade de medida de superfície poderia ser usada?
Ouvir as opiniões dos alunos e então comentar o seguinte:
Ao medir a superfície estamos determinando a área da figura.
No Geoplano podemos definir como unidade de medida de superfície (ua) a
superfície de um quadradinho formado entre os pregos.
1 ua
Assim, no retângulo (1) a medida da superfície (a área) é 10 ua; no retângulo (2) a
medida da superfície (a área) é 12 ua.
Comentar que:

oficialmente, no Brasil e no mundo, usamos o metro (m) como unidade de medida de
comprimento;

os instrumentos mais conhecidos para medir comprimento são a fita métrica, a régua, o
metro de carpinteiro, a trena (mostrar esses instrumentos);

usamos o metro quadrado (m2) como unidade oficial de medida de superfície/área, que
nada mais é do que um quadrado com um metro em cada lado (mostrar metro quadrado
confeccionado em papel pardo);
53

não costumamos medir uma superfície – não se vê um carpinteiro/construtor com um
metro quadrado no bolso ou usando-o para medir –, mas sim, costumamos calcular a
medida da superfície usando as fórmulas adequadas.
(iv) Construir no Geoplano diferentes polígonos e determinar a medida de seu perímetro e de
sua área, completando uma tabela como a indicada a seguir.
Polígonos
1
2
3
4
Perímetro
Área
Vamos observar as construções indicadas a seguir (retomamos as apresentadas
anteriormente), como ilustração da atividade.
1
2
4
3
Podemos perceber que podem aparecer construções em que a medida não é exata,
necessitando que seja feito “estimativa” dos valores, tanto para o comprimento dos lados
quanto para a superfície.
Na figura 3 a medida do comprimento de alguns dos lados do polígono estrelado vai
ter como medida 1,4 uc, como já havíamos comentado. Para a medida de superfície é preciso
fazer a composição de triângulos formando 1 ua.
Na figura 2 há um complicador maior porque os segmentos que formam os lados do
telhado da casinha representada não podem ser calculados simplesmente com uma soma de
1,4 uc. É necessário fazer outra estimativa ou então usar o Teorema de Pitágoras (se os alunos
já conhecem) para determinar a medida desses dois lados, obtendo aproximadamente 3,6 uc.
54
O mesmo acontece com a medida da superfície, a qual pode ser obtida completando
quadrados.
A tabela ficaria assim preenchida:
Polígonos
1
2
3
4
Perímetro
14 uc
15,2 uc
19,2 uc
8 uc
Área
12 ua
8 ua
24 ua
4 ua
4. Jogo da Área no Geoplano
Objetivos:
- observar regularidades que permitam generalizar a maneira de obter a área de um polígono;
- expressar algebricamente como a área de um polígono pode ser calculada.
Conteúdos da geometria envolvidos:
- área de polígonos.
Comentários:
Com o jogo proposto os alunos podem observar regularidades existentes no cálculo de
área de diferentes polígonos e expressar algebricamente essa regularidade, obtendo a fórmula
para calcular a área do polígono.
A proposição inicial é para determinação da área do retângulo e, em específico, do
quadrado. Pode ser adaptado para outros polígonos.
Procedimentos:
(i) Determinar quem inicia jogando. Deve jogar dois dados de uma vez. Os valores sorteados
nos dados vão representar a medida de cada um dos lados do retângulo que deve ser
construído no Geoplano.
Para construir cada retângulo deve ser representado um lado na horizontal e outro lado
na vertical.
(ii) Preencher tabela com os valores obtidos nas faces dos dados e com a área de cada
retângulo. A pontuação de cada um no jogo será o valor da área do retângulo formado.
Entregar folha com uma malha pontilhada e tabela para que representem na malha os
retângulos construídos no Geoplano e completem a tabela com as informações solicitadas.
1
2
3
4
Total de
Retângulo
Medida do lado horizontal
(base ou comprimento)
Medida do lado vertical
(altura ou largura)
Pontos
55
Medida da superfície
(área do retângulo)
Um dos alunos poderia ter o seguinte:
1
2
4
1
2
3
4
Medida do lado horizontal
(base ou comprimento)
1 uc
3 uc
5 uc
3 uc
Medida do lado vertical
(altura ou largura)
3 uc
2 uc
2 uc
4 uc
Medida da superfície
(área do retângulo)
3 ua
6 ua
10 ua
12 ua
Pontos
Retângulo
Total de
3
31
(iii) Questionar:
- Qual é a relação entre as medidas dos lados do retângulo e sua área (quantos
quadradinhos preenchem a superfície interna de cada retângulo)?
56
- Como podemos expressar essa relação em linguagem matemática?
Podemos observar que o número de quadradinhos que estão na superfície interna de
cada retângulo é o mesmo valor que o resultado da multiplicação das medidas dos lados do
retângulo, ou seja:
Área do retângulo é igual ao produto da medida de seus lados
Comentar
que
na
linguagem
matemática
costumamos
representar
valores
desconhecidos (incógnitas) ou valores que podem mudar (variáveis) por letras. Fazendo isso
teríamos:
Aret. = b  h
ou
A ret. = c  l
Usamos:
Aret.  para indicar a medida da superfície do retângulo, da sua área
b  para indicar a medida da base do retângulo
h  para indicar a medida da altura do retângulo
ou
c  para indicar a medida do comprimento do retângulo
l  para indicar a medida da largura do retângulo
Quando as faces dos dois dados apresentarem valores iguais teremos um quadrado.
Todo quadrado é um retângulo, mas podemos determinar uma fórmula um pouco diferenciada
para eles, pois os lados têm medidas iguais, não sendo necessário representar com variáveis
diferentes.
Área do quadrado é igual ao produto da medida de seus lados
Teremos:
Aquad. = l  l
ou
Aquad.= l2
Usamos:
Aquad.  para indicar a medida da superfície do quadrado
l  para indicar a medida dos lados do quadrado
Podemos repetir o jogo outras vezes variando o tipo de polígono e incentivando os
alunos a determinarem uma fórmula que permite calcular a área desse polígono. Dependendo
do polígono é necessário fazer algumas alterações, por exemplo, para o losango o valor obtido
nos dados deve representar a medida de suas diagonais; para o trapézio pode ser acrescentado
mais um dado; dois dados indicariam as medidas das bases e, o outro, a medida da altura.
57
3.3 Dobraduras
Acreditamos que a Dobradura (ou Origami) é um material muito rico para as aulas de
Matemática/Geometria.
Para os processos de ensino e de aprendizagem de matemática, o Origami representa
um importante (e divertido) recurso metodológico, um processo gradual de
desenvolvimento da capacidade imaginativa, conjugado com movimentos precisos,
que materializa-se em atividades que transformam uma folha de papel em figuras
planas ou tridimensionais. (BERNARDI; GRANDO, 2006, p. 15).
Envolve o lúdico por si só, sem necessitar estratégias de jogo para tornar a técnica da
Dobradura mais dinâmica ou desafiadora. Possibilita a criatividade e a imaginação a partir de
um simples pedaço de papel. Também envolve muitos conceitos geométricos. Por esses
motivos consideramos que é importante contemplarmos, nesta pesquisa, proposições de
atividades com as Dobraduras.
De acordo com o Andrini e Vasconcellos (2002) não se sabe precisamente quando que
o Origami, que significa dobradura de papel, surgiu, mas sabe-se que era utilizado em rituais
religiosos por volta do século VI. A dobradura original é feita somente com o papel, sem uso
de qualquer outro material. Bernardi e Grando indicam que “a arte de fazer figuras com
papeis dobrados é tão antiga quanto a origem do papel, que data do ano de 105 a. C.” (2006,
p. 9).
Indicam também que
Deve-se ao Japão o mérito de ter codificado, aprimorado e divulgado a arte de
dobrar papel, ou, como é conhecida no mundo inteiro, a arte do Origami.
A palavra japonesa Origami é composta por dois caracteres. O primeiro, ori, deriva
do desenho de uma mão e significa dobrar. O segundo, kami, deriva do desenho de
seda e significa papel. (BERNARDI; GRANDO, 2006, p. 10).
Vemos a Dobradura como uma arte oriental, praticada no mundo inteiro, e impregnada
de simplicidade, de precisão e beleza que encanta a todos.
São muitas as possibilidades pedagógicas ao utilizarmos a Dobradura nas aulas de
Matemática, em especial para a Geometria. Oportuniza a visualização de figuras geométricas
por meio da manipulação do papel. O ensino das dobraduras pode ser feito de forma divertida
também envolvendo histórias, músicas, construção de paisagens e painéis, como o
apresentado na figura a seguir.
58
5
Como fizemos com as proposições apresentadas envolvendo o Tangram e o Geoplano,
em cada atividade proposta vamos procurar destacar os objetivos da atividade, os conceitos da
geometria envolvidos, além do detalhamento dos procedimentos e comentários sobre o
desenvolvimento da atividade.
Ressaltamos a importância do professor, no desenvolvimento da explicação de cada
etapa da Dobradura, ser claro e ir avaliando as dificuldades de cada um, auxiliando, e para que
todos os alunos possam acompanhar e fazer a dobradura.
Atividades Propostas
1. Mário Marinheiro
Objetivos:
- identificar as figuras geométricas envolvidas na dobradura;
Conceitos da geometria envolvidos:
- figuras geométricas planas.
Comentários:
Esta atividade é recomendada para turmas do Ensino Fundamental, independente do
ano. O professor pode, por exemplo, trabalhar com o conceito de polígonos na 7ª série do
Ensino Fundamental, lembrando dos conceitos estudados nas séries anteriores.
Nesta atividade usamos a dobradura associada com uma história. O professor vai
fazendo contando a história e, ao mesmo tempo, vai propondo as etapas de uma dobradura. A
5
Ilustração retirada de http://lourdescriativa.blogspot.com.
59
seguir indicamos a história do Mário Marinheiro e, ao lado uma ilustração6 com a indicação
das etapas da Dobradura.
Procedimentos:
(i) Contar a história do Mário Marinheiro e com uso de uma folha (A4 colorida, folha de
revista, de rascunho) a ser distribuída a cada aluno, ir explicando o processo para fazer as
dobraduras em cada etapa da história.
Mário Marinheiro
1. Mário Marinheiro viajava muito e em suas viagens levava livros e papéis
de carta, pois gostava muito de ler e de escrever. As cartas que escrevia eram
depois dobradas e colocadas em envelopes.
Quando chegavam as respostas, ele as desdobrava para ler, dentro da barraca onde ficava
acampado, isso quando não estava em alto mar.
2. Na barraca, em contato com a vida ao ar livre, Mário Marinheiro podia
observar o vôo das aves e os ninhos de passarinhos dos mais variados
formatos. Certo dia, Mário Marinheiro percebeu que sua barraca estava
precisando de uma pintura na parte da frente e também de uma reforma no telhado, que era
reto e passara a ser bicudo.
3 Á noite, o toldo tinha que ser levantado, primeiro de um lado,
transpassando-o para ficar bem preso, e depois do outro.
4. Mário Marinheiro gostava de construir com papel um chapéu de forma
triangular para se proteger do sol. Quando precisava de saquinho para
pipoca, copo ou coador podia obtê-los virando o chapéu para baixo.
5. Um dia, sentiu que o chapéu que construíra era muito grande e resolveu
reformá-lo. Uniu então os pontos do chapéu, como se fosse o bico de um
passarinho.
6. Como o chapéu continuava grande, tentou diminuí-lo novamente,
repetindo as mesmas dobras.
6
Texto e ilustração retirada de http://lourdescriativa.blogspot.com.
60
7. Mas, arrependido, desdobrou as últimas abas, puxando para fora suas duas
pontas.
8. Qual não foi sua surpresa ao ver o chapéu transformar-se num barco.
9. Certo dia, navegando em alto-mar, o barco de Mário Marinheiro começou
a balançar de um lado para o outro, pois as ondas estavam revoltas por causa
da chuva que começara a cair. No céu havia muitas nuvens, que provocavam
trovões barulhentos.
10. De repente, o barco bateu num rochedo, o que lhe arrancou a parte da
frente - a proa.
11. O barco rodopiou e foi arrancada a parte de trás - a popa.
12. Em seguida o barco emborcou, virando o mastro de ponta cabeça e bateu
num recife, perdendo a ponta do mastro. O barco foi então afundando,
afundando e se desmanchando.
13. Como Mário Marinheiro sabia nadar e boiar muito bem, pois praticava
esportes e tinha muita resistência, foi nadando até a praia e salvou-se...
Graças a seu barco, que se transformara adivinhe em que?
14. Numa camiseta salva-vidas.
Apresentamos, a seguir, o esquema da Dobradura do barquinho que é bem simples,
sendo normalmente a primeira Dobradura que a criança aprende a fazer, ainda quando é bem
pequena. Após completar a Dobradura do barquinho, para formar a camiseta, basta rasgar
uma ponta em cada lado do barco (proa e popa) e também da parte superior (mastro), como
vai indicando a história. Virando para baixo e abrindo o papel, a Dobradura ficará
transformada numa camiseta.
61
7
Através da história Mario Marinheiro e a Dobradura os alunos vão dobrando e
mudando a forma do papel, que inicialmente era retangular, fazendo várias figuras
geométricas com as dobraduras de papel.
(ii) Retomar a dobradura, fazendo-a novamente. Pedir que vão desenhando no caderno e
anotando as informações solicitadas a seguir:
- Quais figuras geométricas vão aparecendo na Dobradura?
- O que estas figuras têm em comum?
- Quantos vértices, lados e ângulos têm cada figura?
- As figuras são regulares ou irregulares, convexas ou não convexas?
- Observe o número de diagonais das figuras.
- Dos polígonos encontrados qual tem número de lado igual ao de diagonais?
- Qual polígono que não tem nenhuma diagonal?
2. Dobradura do Balão
Objetivos:
– identificar as figuras geométricas planas que encontramos nesta dobradura;
- fazer a leitura de símbolos próprios das Dobraduras, interpretando seus significados e
executando as ações indicadas por essa linguagem.
Conceitos da geometria envolvidos:
– figuras geométricas planas
- figuras geométricas tridimensionais.
7
Esquema retirado de http://lourdescriativa.blogspot.com.
62
Comentários:
Esta atividade é indicada para alunos a partir do quinto ano do Ensino Fundamental.
É importante destacar que a Matemática é uma linguagem bastante simbólica, assim
como a linguagem que consta no esquema de uma dobradura. É preciso conhecer esses
símbolos para entender o significado da mensagem.
Procedimentos:
(i) Fazer a Dobradura do Balão, a partir do esquema a seguir que seve ser entregue aos
alunos.
8
8
Esquema retirado de http://lourdescriativa.blogspot.com.
63
O professor deve auxiliar “traduzindo” a linguagem simbólica apresentada, quando for
necessário.
(ii) Retomar a realização da dobradura, passo a passo, solicitando aos alunos a identificação
das figuras geométricas que vão sendo formadas.
É importante destacar quais as características do losango e comparar com a figura
formada nas etapas finais da Dobradura. Essa figura não é um losango, é um quadrilátero
(uma pipa).
Ao enchermos o Balão de ar formamos uma figura tridimensional denominada de
poliedro.
3. Ângulos formados com dobraduras
Objetivos:
- identificar ângulos formados no círculo.
Conceitos da geometria envolvidos:
- ângulos.
Comentários:
Esta atividade envolve os alunos de modo a perceberem como os ângulos estão
dispostos no círculo.
É recomendada para o estudo de ângulos realizado no sétimo ano do ensino
fundamental. Com esta atividade os alunos entendem de maneira diferente a disposição dos
ângulos em um transferidor, pois eles mesmos constroem o modelo de um transferidor.
Procedimentos:
(i) Desenhe um círculo com diâmetro de aproximadamente 10 a 15 cm, para facilitar as
dobraduras e recorte o círculo com cuidado.
O círculo pode ser feito contornando um objeto circular ou usando o compasso,
(ii) Dobre-o ao meio, de forma que as bordas se encaixem perfeitamente. Não o abra.
(iii) Dobre-o novamente ao meio, cuidando para que as quatro bordas estejam exatamente
sobrepostas. Abra o círculo.
As dobras marcam a divisão do círculo em quatro partes iguais.
64
(iv) Trace segmentos de reta sobre as dobras. Gire o círculo até as dobras ficarem na
horizontal e vertical. Marque 0° no ponto de encontro da dobra vertical com a borda
superior da circunferência.
(v) Com o seu dedo, siga todo o percurso da circunferência, até voltar ao 0°. Veja que você
deu uma volta completa, ou seja, equivalente a 360°.
O 0° e o 360° ocupam a mesma posição na circunferência.
(vi)
Novamente utilizando o dedo, siga em sentido horário pela circunferência, partindo de
0° até o ponto de encontro da dobra vertical com a inferior da circunferência.
Questionar:
- quanto de uma volta seu dedo percorreu?
- a quantos graus corresponde esse percurso?
Marque o número correto de graus em seu círculo. Então seu dedo percorreu meia
volta, se uma volta é 360° a metade de uma volta é 180°.
(vii)
Com seu dedo, siga em sentido horário pela circunferência, partindo de 0° até a
primeira posição onde a dobra horizontal encontra a borda da circunferência.
Questionar:
- quanto de uma volta seu dedo percorreu?
- quantos graus correspondem a esse percurso?
Marque o número correto de graus em seu círculo. Então seu dedo percorreu um
quarto de volta, 360° dividido em quatro partes iguais então seu dedo percorreu 90°.
(viii) Agora siga a circunferência em sentido horário, novamente a partir de 0°, até a
segunda posição onde a dobra horizontal encontra a circunferência.
Questionar:
- quanto de uma volta seu dedo percorreu?
- quantos graus correspondem a esse percurso?
Então seu dedo percorreu três quartos de volta. Três quartos de voltam correspondem a
270°. Marque novamente o resultado no círculo.
Obtivemos um círculo com os valores assim dispostos: uma meia volta = 180°. Um
quarto de volta = 90°. Três quartos de volta = 270°.
(ix) Dobre novamente seu circulo ao longo das marcas. Com cuidado, dobre-o mais uma vez
ao meio. Abra o círculo. Trace os dois novos segmentos de retas sobre as dobras.
Questionar:
- em quantas partes iguais o círculo está dividido?
65
Está dividido em oito partes iguais. Cada parte é um oitavo de volta. Marque o número
correto de graus nas quatro novas posições da circunferência. Os novos pontos correspondem
a 45°, 135°, 225° e 315°.
Esta atividade pode servir de subsídio para a realização de outras atividades
envolvendo ângulos.
4. Dobradura do
Cachorrinho9
Objetivos:
- determinar a bissetriz de um ângulo;
- determinar o valor de ângulos complementares.
Conceitos da geometria envolvidos:
- bissetriz de um ângulo;
- ângulos complementares.
Comentários:
Ao dobrar e desdobrar o papel quando fazemos alguma Dobradura, os vincos vão
surgindo e podemos relacionar com os ângulos que vão aparecendo. Sabemos que os ângulos
do quadrado são retos, ou seja, cada um mede 90º. A partir desse valor vamos obtendo outros
ângulos com as divisões feitas.
Destacamos apenas dois conceitos relativos aos ângulos, trabalhados no oitavo ano
(sétima série) do Ensino Fundamental, mas outros podem ser trabalhados com dobras básicas
do Origami.
Procedimentos:
(i) Preparar o material necessário. Vamos utilizar duas folhas:
- para o corpo, uma folha quadrada com 15 cm de lado.
- para a cabeça, 1/4 da folha usada para o corpo.
(ii) Fazer a Dobradura do Corpo, conforme indicado a seguir:
1- usando o quadrado maior, determine sua diagonal e dobre os dois lados para a diagonal.
9
Esquema retirado de http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/origami/origami-na-escola-9.php
66
2. Faça uma prega, feche o modelo e o corpo estará pronto.
(iii) Fazer a Dobradura da Cabeça, conforme indicado a seguir:
1. Agora dobre o quadrado formando um triângulo. Depois dobre as duas orelhas para baixo
e uma ponta do focinho para cima e a cabeça estará pronta.
(iv) Encaixe a ponta do corpo dentro da boca do cachorro, se desejar cole-as.
(v) Retome a dobra inicial para o corpo do cachorrinho, repetindo-a junto com os alunos.
67
Trabalhe inicialmente a bissetriz do ângulo de 90º, determinando a medida dos
ângulos formados. Dobre obtendo outra bissetriz, agora do ângulo de 45º e determine a
medida dos ângulos formados.
Também é possível problematizar situações envolvendo o complemento dos ângulos
formado.
Dobrando e desdobrando essa forma, como mostram os três desenhos acima, podemos
observar por meio dos vincos, a diagonal, as bissetrizes, os ângulos e também os triângulos
que se formaram.
5. Uso do Transferidor
Objetivo:
- medir ângulos usando o transferidor.
Conceitos da geometria envolvidos:
- medida de ângulos;
- unidades de medida de ângulo;
- instrumento para medir ângulos no plano: transferidor.
Comentários:
A partir da confecção da Dobradura de um pássaro vamos medir os ângulos formados
nos vincos obtidos. A atividade é indicada para o sétimo ano (sexta série) do Ensino
Fundamental.
Procedimentos:
(i)
10
Fazer a Dobradura do pássaro conforme esquema indicado a seguir10.
Esquema retirado de http://www.sushiyoshi.com.br/imagens/origami.tsuru.gif
68
(ii)
Repetir o processo da Dobradura, fazendo um segundo Tsuru e abrindo o primeiro para
olhar os vincos que ficaram no papel.
Sendo a Dobradura do Tsuru um pouco mais complexa, é interessante repetir o
processo mais de uma vez e, assim, aproveitar para desmanchar a construção anterior e
usar para fazer medição de ângulos.
(iii) Usando o Transferidor, medir os ângulos formados pelos vincos das dobras.
Ao desdobrar a base do pássaro é possível visualizar a formação de ângulos dos
ângulos indicados na figura a seguir.
69
3.4 Mosaicos
De acordo com Andrini e Vasconcellos (2002) o mosaico é utilizado desde as antigas
civilizações, mas seu auge foi na Idade Média nos adornos das Igrejas da época. As imagens
dos mosaicos auxiliavam as pessoas a compreenderam as passagens bíblicas.
A técnica do mosaico consiste em organizar peças coloridas formando diversas
figuras, podendo ser uma composição a partir de peças irregulares ou sobre uma malha
regular. Encontramos os mosaicos no nosso dia-a-dia, nos azulejos, nas cerâmicas e murais,
no calçamento das ruas e pisos em geral, em obras de arte, na natureza.
Os autores destacam que as crianças compreendem os conceitos geométricos de forma
lúdica, transformando simples retalhos de papéis coloridos em obras de arte.
Através dos mosaicos é possível, além de estimular a criatividade dos alunos,
desenvolver conceitos da geometria plana como: simetria, soma dos ângulos, polígonos,
comparação de figuras.
70
Existem
cinco
tipos
fundamentais
de
malhas
para
se
fazer
mosaicos,
compostas/formada por: quadrados, retângulos, paralelogramos, triângulos equiláteros e
losangos. Combinando uma ou mais isometrias é possível obter vários tipos de mosaicos
sobre a malha, obedecendo um padrão geométrico.
“Isometrias são transformações no plano que preservam distâncias” (REZENDE;
QUEIROZ, 2000, p. 214). Preservando distâncias entre pontos, ficam preservadas também as
medidas dos ângulos e as posições relativas entre os segmentos de reta e suas medidas, ou
seja, as isometrias produzem figuras congruentes.
As principais isometrias são:
- reflexão – a transformação feita leva cada ponto ao seu simétrico, em relação a um eixo de
simetria definido; é como fosse um “espelhamento” da figura;
- translação – a transformação é feita fazendo a figura “deslizar” sobre uma reta, mudando a
sua posição;
- rotação – a transformação no plano é obtida fixando um de seus pontos e girando a figura.
Todos os pontos mudarão de posição – exceto aquele que está fixo –, mas as medidas dos
lados e dos ângulos não serão alteradas.
No primeiro momento o professor pode trabalhar em grupos, para que o aluno possa
discutir com os colegas a composição do mosaico e as propriedades das figuras já, no segundo
momento, é importante que ele faça seu próprio mosaico.
Atividades Propostas
1. Criando Mosaicos
Objetivos:
- compor uma matriz de repetição usando figuras geométricas planas conhecidas;
- criar mosaicos a partir da translação da matriz formada.
Conceitos da geometria envolvidos:
- composição de figuras;
- translação.
Comentários:
O movimento de translação consiste num deslocamento no espaço, mantendo, no
entanto, a forma e dimensões da figura o matriz de repetição escolhida. Todos os pontos vão
71
se deslocar na mesma direção, a figura como um todo passará a ocupar uma nova posição,
mas seus ângulos, bem como todas as distâncias entre seus pontos, permanecerão constantes.
A translação pode ser feita sobre uma malha escolhida.
Procedimentos:
Os procedimentos estão indicados na figura a seguir
(ANDRINI; VASCONCELLOS, 2002, p. 104)
2. Observação e construção de mosaicos
Objetivos
- representar formas geométricas simples, identificando os nomes das mesmas;
- reconhecer as formas identificadas nos diferentes espaços, utilizadas para composição de um
mosaico
- identificar formas geométricas congruentes.
Conceitos envolvidos:
- formas geométricas;
72
- congruências.
Comentários:
Nesta atividade é importante que o professor comece explicando para o aluno que eles
deverão identificar as figuras planas presentes na malha e na composição dos mosaicos, e que
a partir destas identificações e que ele irá colorir os mosaicos.
No 6º e 7º ano o professor começa com mosaicos mais simples, os quais sejam
formados por um número pequeno de figuras planas. Neste primeiro momento trabalhe com
mosaicos os quais já destaquem as figuras congruentes através de seu colorido, aumentando o
grau de dificuldade assim que os alunos compreendam o anterior.
Procedimentos:
(i) Observar os mosaicos e identificar a malha utilizada e as formas geométricas que
compõem o mosaico, destacando as figuras congruentes.
Mosaico 1:
(IMENES, 1998, p. 25)
73
(ii) Compor um mosaico a partir da malha triangular entregue aos alunos.
3. Redução e Ampliação de Imagens
Objetivos:
- fazer a redução ou ampliação de uma imagem.
74
Conceitos da geometria envolvidos:
- Redução e ampliação.
Comentários:
Redução e ampliação de imagens são processos pelo quais as dimensões das figuras
são aumentadas ou diminuídas, sem mudar as semelhanças entre as duas, ou seja, a proporção
entre dois segmentos quaisquer da figura será a mesma.
Para aumentar uma figura basta duplicar este valor em ambos os lados. Para reduzir é
o processo inverso.
Estas atividades buscam desenvolver a noção de semelhança de figuras, solicitando
que os alunos ampliem ou reduzam uma figura. É importante que os alunos saibam que as
propriedades das figuras não podem ser alteradas, como ângulos e formatos.
O professor deve observar se o aluno usa a linguagem correta de ampliar e reduzir
imagens ao invés de mais comprido ou mais largo. Quando isso acontecer o professor pode
chamar atenção dos alunos para a noção de maior ou menor e introduzir o conceito de
semelhança.
Procedimentos:
(i) Ampliar o desenho, conforme a atividade de Andrini e Vasconcellos (2002, p. 114).
75
(ii) Representar uma imagem em malha quadricular e fazer sua redução, como indicado a
seguir.
(ANDRINI; VASCONCELLOS, 2002, p. 104)
As atividades com mosaicos tem caráter lúdico pois envolvem o aluno através do
desenho, da pintura. Temos a possibilidade de aproximar a geometria e a reguladade de
formas presente na natureza ou nas construções do homem, evidenciando a harmonia e a
criação artística.
3.5 Jogos
Costuma-se justificar a importância da utilização pedagógica dos jogos por fazer parte
do cotidiano em todas as culturas e por ser elemento motivador, fazendo com que os alunos
passem a gostar de Matemática. Também, se justifica a sua não utilização com base nos
argumentos de “perda de tempo” e do “controle do comportamento” da turma, pois gera muito
barulho.
Consideramos que a importância desse recurso se sobrepõe às dificuldades de
aplicação.
76
Em se tratando de aulas de matemática, o uso de jogos implica uma mudança
significativa nos processos de ensino e aprendizagem que permite alterar o modelo
tradicional de ensino, que muitas vezes tem no livro e em exercícios padronizados
seu principal recurso didático. O trabalho com jogos, quando bem planejado e
orientado, auxilia o desenvolvimento de habilidades como observação, análise,
levantamento de hipóteses, busca de suposições, reflexão, tomada de decisão,
argumentação e organização, as quais são estreitamente relacionadas ao assim
chamado raciocínio lógico. (SMOLE; DINIZ; CÂNDIDO, 2007, p. 9).
Evitando práticas espontaneístas, que produzem a perda do controle em sala de aula, é
função do professor o planejamento das atividades com jogos, com a definição dos objetivos
de ensino e dos procedimentos a serem utilizados, definindo as regras do jogo e das atitudes
do grupo de alunos. Também é importante planejar formas de registro para o jogo, que pode
ser uma conversa, ou um desenho, ou um texto, entre outras.
O uso de jogos nas aulas de Geometria possibilita trabalhar com os conceitos
geométricos de maneira lúdica, contribuindo na formação de atitudes e desenvolvimento de
habilidades, servem também como instrumentos de análise do professor, onde este pode
observar como o aluno se comporta diante de resolução, aplicação dos conceitos e atitudes
frente ao grupo.
Atividades Propostas
1: Batalha Geométrica
Objetivos:
- localizar as figuras geométricas no plano cartesiano;
- identificar características de figuras geométricas.
Conceitos da geometria envolvidos:
- localização no plano cartesiano;
77
- características das figuras geométricas.
Comentários:
Este jogo é indicado para 6º e 7º ano do Ensino Fundamental, ao trabalhar com
coordenadas geométricas e as características de cada figura geométrica.
Procedimentos:
(i) A seguir temos a indicação de construção do jogo e suas regras.
(ANDRINI; VASCONCELLOS, 2002, p. 104)
2. Gincana dos Sólidos
Objetivos:
- compreender as características de várias formas: bloco retangular e cubo; prismas e
pirâmides, cilindro, cone;
- diferenciar superfície plana e não plana.
Conceitos da geometria envolvidos:
- características das figuras espaciais;
- figuras planas que compõem cada figura espacial.
Comentário:
78
Este jogo pode ser trabalhado do 7º ao 9º ano, pois envolve vários conceitos, desde a
planificação das figuras, quanto vértices, faces ângulos, medidas de perímetro, área e volume.
Procedimentos:
(ANDRINI; VASCONCELLOS, 2002, p. 104)
3. Caça ao Tesouro
Objetivos:
- localizar pontos no espaço, assim como a distância entre pontos referência;
- interpretar e analisar mapas.
Conceitos da geometria envolvidos:
- localização de pontos no espaço, distância, lateralidade, pontos de referência e ângulos.
Comentários:
Este jogo pode ser trabalhado com todos os alunos do Ensino Fundamental, o
professor deverá adaptar as regras e o desenvolvimento da atividade, conforme o ano
trabalhado. É importante que antes de começar o jogo os alunos conheçam o espaço a sua
volta.
79
Após esta atividade o professor pode propor que os alunos escondam seu tesouro e
construam um mapa para as outras equipes.
(ANDRINI; VASCONCELLOS, 2002, p. 104)
4. Tiras de Propriedades11
Objetivos:
- reconhecer propriedades geométricas de figuras relativas a: ângulo, lados de polígonos,
paralelismo e perpendicularismo;
- desenvolver a linguagem geométrica relativa à geometria plana; observação e análise de
figuras geométricas planas.
Conceitos da geometria envolvidos:
- propriedades das figuras planas.
11
Jogo retirado de http://www.mathema.com.br/e_fund_b/jogos/tiras.html
80
Comentários:
Este jogo foi retirado do site do Grupo Mathema, que é coordenado por Kátia Stocco
Smole e Maria Ignez Diniz. O endereço do site é http://www.mathema.com.br.
Esta atividade é indicada para alunos do 6° ao 9º ano.
Pode se realizar este jogo também trocando as figuras geométricas planas por
poliedros.
Procedimentos:
(i) Os alunos devem ser organizados em grupos de 3 ou 4 jogadores. Em grupo é escolhida
uma figura geométrica plana de um conjunto de figuras que podem estar em cartaz ou
serem desenhadas pelo professor no quadro.
(ii) O grupo deve selecionar as tiras com as propriedades da figura, discutir as escolhas e
serem capazes de explicar estas escolhas.
(iii) Regras:
• As tiras são embaralhadas e cada jogador pega seis tiras (o número de tiras pode ser maior se
houver o suficiente);
• Uma figura é sorteada e cada jogador seleciona entre suas tiras aquelas que correspondem à
propriedade da figura. Cada tira de propriedade selecionada representa um ponto para o
jogador;
• Nova figura é selecionada e é feita a distribuição das tiras. Isso pode se repetir de oito a dez
vezes;
• O ganhador é aquele que ao final tiver o maior número de pontos.
FORMAS GEOMÉTRICAS PARA O JOGO
81
TIRAS DAS PROPRIEDADES PARA O JOGO
3 LADOS
4 LADOS
5 LADOS
6 LADOS
3 ÂNGULOS
4 ÂNGULOS
5 ÂNGULOS
6 ÂNGULOS
1 PAR DE LADOS IGUAIS
2 PARES DE LADOS IGUAIS
3 LADOS IGUAIS
4 LADOS IGUAIS
5 LADOS IGUAIS
6 LADOS IGUAIS
TODOS OS LADOS IGUAIS
2 LADOS DIFERENTES
3 LADOS DIFERENTES
4 LADOS DIFERENTES
5 LADOS DIFERENTES
6 LADOS DIFERENTES
TODOS OS LADOS DIFERENTES
2 ÂNGULOS IGUAIS
3 ÂNGULOS IGUAIS
4 ÂNGULOS IGUAIS
5 ÂNGULOS IGUAIS
6 ÂNGULOS IGUAIS
TODOS OS ÂNGULOS IGUAIS
2 ÂNGULOS DIFERENTES
3 ÂNGULOS DIFERENTES
4 ÂNGULOS DIFERENTES
5 ÂNGULOS DIFERENTES
6 ÂNGULOS DIFERENTES
TODOS OS ÂNGULOS DIFERENTES
1 ÂNGULO RETO
2 ÂNGULOS RETOS
4 ÂNGULOS RETOS
NENHUM ÂNGULO RETO
82
5. Batalha dos Ângulos12
Objetivos:
- relembrar medidas de ângulos e o uso do transferidor;
- situar a posição de um ponto no plano.
Conceitos da geometria envolvidos:
- coordenadas no plano;
- ângulos no plano.
Comentários:
O jogo Batalha dos Ângulos é aconselhável para 8º e 9º ano do Ensino Fundamental.
Este jogo pode ser jogado em duplas e repetido quantas vezes quiser.
O material necessário para o jogo é um Tabuleiro um transferidor (opcional) para cada
jogador.
Procedimentos:
- Cada jogador recebe um tabuleiro no qual deve marcar 12 embarcações que correspondem a
12 pontos (3 de cada tipo).
As embarcações são:
Submarino
Destroyer
Cruzador
Porta-aviões
- O tabuleiro com as marcações não pode ser visto pelo adversário.
- Cada jogador, alternamente, dá um “tiro” com objetivo de afundar a embarcação do
adversário.
Tiro – o jogador escolhe um ponto do tabuleiro dizendo o número que identifica a
circunferência a que pertence o ponto e a medida da amplitude do ângulo.
- O jogador deve informar o seu adversário dizendo afundou se o tiro acertou a embarcação e
água se o tiro não acertou.
- Todos os tiros são registrados no tabuleiro menor.
- Se julgarem necessário, os jogadores podem usar o transferidor.
- O vencedor é o primeiro que afundar toda a tropa do adversário.
12
Retirado de (SMOLE; DINIZ; MILANI, 2007, p. 71-4)
83
TABULEIRO
6. Capturando Polígonos13
Objetivos:
- explorar propriedades relativas a lados e ângulos de polígonos.
Conceitos da geometria envolvidos:
- propriedades dos polígonos.
13
Retirado de (SMOLE; DINIZ; MILANI, 2007, p. 75-9).
84
Comentários:
Este jogo é aconselhável para alunos de 7º e 8º ano do Ensino Fundamental. Pode ser
utilizado para retomar e aprofundar o estudo das propriedades de polígonos.
Na primeira aula que é inserido, é importante que o professor jogue com os alunos,
para que depois de já conhecido as regras os alunos consigam jogar sozinhos.
As autoras sugerem que depois de terminada a jogada, o professor conduza uma
discussão com os seguintes questionamentos:
- Quais as dificuldades encontradas e por quê?
- Quais os polígonos podem ser capturados se tiramos as cartas Ao menos um ângulo reto e
Nenhum par de lados paralelos?
- Há dois pares de cartas que se forem sorteados, não permitem capturar nenhum dos
polígonos?
- Quais as cartas de propriedades eu preciso retirar para capturar os polígonos F, L e P?
- Qual par de cartas de propriedades permite capturar o maior número de polígonos?
Procedimentos:
- O jogo é para dois a quatro jogadores;
- As 20 cartas de polígonos são colocadas no centro da área do jogo e viradas para cima.
- As cartas de propriedades relativas a ângulos são embaralhadas e colocadas em uma pilha
com faces viradas para baixo. O mesmo é feito com as cartas com propriedades relativas a
lados.
- Os jogadores decidem quem começa o jogo.
- Na sua vez de jogar, o primeiro jogador retira uma carta com uma propriedade sobre os
ângulos e uma carta com uma propriedade sobre os lados de polígonos. Ele analisa os
polígonos sobre a mesa e pode capturar todos os polígonos que apresentam ambas as
propriedades. As figuras capturadas ficam com o jogador.
- O jogo prossegue assim, até que restem apenas dois ou menos polígonos,
- Se um jogador não conseguir relacionar as propriedades com cartas da mesa e um outro
jogador souber, ele pode capturar as cartas.
- Se nenhum polígono puder ser capturado com as cartas retiradas pelo jogador, ele pode
retirar mais uma e tentar capturar polígonos com duas das três cartas de propriedades. Se
ainda assim ele não conseguir capturar um polígono, ele passa a vez.
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- As cartas de propriedades retiradas a cada jogada ficam fora do jogo até que duas pilhas
terminem. Nesse caso, as cartas retiradas são embaralhadas novamente e colocadas no jogo,
como no inicio.
- Se uma das cartas retiradas for Coringa, ele pode escolher uma propriedade referente ao lado
que conheça e dizer em voz alta para capturar os polígonos que desejar. Por exemplo, se ele
tirou a carta Todos os ângulos são retos e a carta Coringa, ele pode dizer Os lados opostos tem
o mesmo tamanho. Nesse caso, captura todos os retângulos do jogo.
- Se um jogador tirar a carta Capture, ele pode capturar as cartas de seu oponente. Além disso,
deve olhar as cartas já capturadas pelo seu oponente e, sem selecionar uma outra carta, deve
dizer uma propriedade sobre lados e outra sobre ângulos e capturar todos os polígonos do seu
oponente que apresentarem essas duas propriedades. Se o oponente não tem cartas para serem
capturadas, a carta Capture é devolvida a pilha de propriedades sobre ângulos e o jogador
retira outras duas cartas como em uma rodada normal.
- O vencedor será um jogador com maior número de polígonos ao final do jogo.
Material:
- Cartas contendo as propriedades sobre ângulos e sobre lados e o retroprojetor.
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Ao pesquisarmos jogos envolvendo a Geometria identificamos muito material, o que
nos deixou bem contentes e, ao mesmo tempo, mais preocupadas pois, normalmente, não
fazem parte do cotidiano das aulas de Matemática. Fizemos uma seleção contemplando os que
consideramos mais interessantes.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A importância da Geometria é destacada em documentos oficiais, como nos
Parâmetros Curriculares Nacionais – PCNs (BRASIL, 1998) e na Proposta Curricular de
Santa Catarina (SANTA CATARINA, 1998) que recomendam a inserção deste conhecimento
em todas o anos da educação básica, iniciando desde a educação infantil com a exploração do
espaço, devendo se prolongar por todo tempo escolar do indivíduo.
Muitos estudiosos apontam a Geometria como um conhecimento matemático mais
adequado ao desenvolvimento das capacidades intelectuais como a percepção espacial,
criatividade, raciocínio, propiciando ao aluno relacioná-la com seu cotidiano, pois está
presente em diversos espaços, proporcionando a descoberta e compreensão da realidade.
Destacam a importância da Geometria na formação do indivíduo, pois possibilita uma
interpretação mais completa do mundo, uma comunicação mais abrangente e uma visão
equilibrada da Matemática.
Por outro lado, apontam o descaso e o desaparecimento gradativo da Geometria nas
escolas brasileiras. Essa situação diagnosticada por vários estudos, relacionam o problema de
ensino com a formação geométrica do professor e os recursos didáticos por ele utilizados, ou
seja, dependência extrema do livro didático tornando as aulas monótonas e não motivando os
alunos. O livro didático apresenta-se como um forte recurso a ser adotado, auxiliando tanto o
professor quanto o aluno, mas não pode se tornar único, deve-se utilizá-lo em conjunto com
outros métodos/recursos de ensino.
Diante disso nossa pesquisa aprofundou-se nesta atual situação do ensino e
aprendizagem da geometria, enfocando a apresentação de proposições que auxiliem na
superação das dificuldades encontradas nos anos finais do Ensino Fundamental.
Com esta pesquisa procuramos envolver formas de motivação do aluno tanto afetiva
quanto cognitiva.
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Algumas pessoas conseguem aprender matemática, apesar da insistência de muitos
professores em um ensino fragmentado, que prima por destruir a autoconfiança e gerar um
sentimento de intensa incapacidade, mas não podemos nos contentar em ensinar apenas
“alguns”, o desafio é que “todos” consigam aprender.
O uso de diferentes recursos, como jogos, história, tecnologia (calculadora,
computador), significações culturais, modelação de situações reais, no ensino de matemática é
válido, uma vez que o professor deve motivar e envolver o aluno no objeto de conhecimento
de maneira que este se sinta com desejo de aprender. O desejo, o prazer é uma questão central
para a aprendizagem.
O conhecimento matemático, especialmente o conhecimento geométrico, deve ser
desenvolvido dentro do contexto social e cultural, ele não pode ser algo isolado, distante da
realidade. A realidade do aluno do Ensino Fundamental ainda não é o mundo do trabalho,
pelo menos para a grande maioria. Nessa fase de desenvolvimento do aluno, o lúdico constitui
papel formador de competências e de caráter, é aspecto que motiva e envolve e, deste modo, é
importante também como recurso pedagógico.
As atividades lúdicas são uma ótima maneira de motivar para aprendizagem da
Geometria. As atividades foram apresentadas como uma proposta de melhoramento do ensino
e da aprendizagem da geometria, suas vantagens, modo de usá-las e objetivos. Sendo uma
maneira diferenciada de trabalhar o conteúdo proposto. Procurando tornar o ensino da
Geometria prazeroso, onde o aluno tenha motivação para aprender e conhecer conceitos
geométricos brincando, mas sempre relacionados com a sua realidade.
Se queremos mudar a situação do ensino e aprendizagem da geometria temos que
optar por mudanças, que venham ao encontro das dificuldades apresentadas pelos alunos.
Essas mudanças tem que satisfazer os envolvidos para que queiram transformar as
dificuldades em novas oportunidades de ensino e aprendizagem.
Vimos com a pesquisa que a motivação tem papel muito importante não só no ensino e
na aprendizagem da Geometria, mas para a aprendizagem de modo geral, destacamos aqui a
relação com a Geometria porque este é o foco da pesquisa. A geometria é uma parte da
matemática fascinante que possui uma grande aplicabilidade como já foi comentado, sendo
um ponto inicial de motivação. Também muito rica em atividades lúdicas, vindo ao encontro
para auxiliar na superação das dificuldades encontradas para se trabalhar com esta área da
matemática.
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Na pesquisa não tínhamos o objetivo de aplicar as atividades com alunos – por ser
necessária uma delimitação em virtude do tempo para o desenvolvimento da mesma, que
esteve restrito ao semestre letivo –, apenas de formular as proposições. O Estágio III,
componente curricular do Curso de Matemática, desenvolvido em paralelo à pesquisa, foi
momento onde aproveitamos para utilizar algumas das atividades, com o intuito de nos
desafiar na utilização de uma nova metodologia. Verificamos como os alunos se envolvem
nessas atividades – com entusiasmo, analisamos a viabilidade de determinados recursos/jogos
como instrumento de construção e fixação dos conceitos geométricos.
Nesta etapa do Estágio podemos observar que os jogos foram bem aceitos pelos
alunos, com disposição e entusiasmo se sentindo convidados a realizar as atividades como
sendo um desafio a vencer. Percebemos também que para realizar aulas lúdicas temos que
disponibilizar de um bom tempo, para que se consiga atingir os objetivos propostos para as
atividades. Concluindo também porque então a maioria dos professores não oferecem aulas
com estes recursos, visto que temos um currículo disciplinar extenso que devemos vencer até
o findar do ano letivo. Deste modo optando por aulas mais clássicas. No nosso entendimento,
essa atitude não qualifica o trabalho pedagógico e, muito do que é ensinado, não é aprendido,
se é que podemos dizer então que foi ensinado.
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