FCTM – Capítulo 4 – Bombas, Turbinas e Perda de carga
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Equação da Energia e presença de uma
máquina:
v12
   g  h1 
2
p1 v12

h 
 2 g 1
p
v2
H1  1  1  h1 
 2 g
p1  
1
p2  
PeixoB 
v22
   g  h2
2
PB
B
 PeixoB 
 Q  HB
B
 Se a máquina for uma turbina:
T 
v22

h
 2 g 2
p2
PT
PfT
PT  T  PfT  PT  T    Q  HT
v2
 2  h2  H 2
 2 g
p2
A equação de Bernoulli, quando há uma
Se colocarmos uma máquina entre os pontos máquina entre os pontos (1) e (2) e o deslocamento do
fluido se dá de (1) para (2) pode ser reescrita da forma,
(1) e (2), escreveremos a relação como:
considerando que há uma perda de carga Hp12 (Energia
H1  H M  H 2
perdida por unidade de peso):
Se H M  H 2  H1  0  Motor;
h
Se H M  H 2  H1  0  Turbina.
Vazões:
Definimos como:
 Vazão em Peso:
Qg 

M

Vazão em Massa:
Vazão em Volume:
Q
(2)

H2( p2, v2 ,h2)
Peso
t
m
Qm 
t

h2
V
t
Potência de uma máquina
A potência de uma máquina é definida como:
Em
t
E
E P
Pt  m  m  eso
t Peso t
E
H m
Peso
P
Como: Pt  H  eso
t
m g
Pt  H 
t
 V  g
Pt  H 
t
V
Q
t
  g
Pt  H    Q
Pt 
Rendimento de uma máquina:
O Rendimento de uma máquina é definido quanto
a sua natureza.
 Se a máquina for um motor:
P
B  B
PeixoB
H1( p1, v1 ,h1)
h1
(1)
H1  H M  H 2  H p12
Se HM > 0  Bomba
Pot 
PotB

Potência da Bomba e rendimento:
Pot   QH B  B 
Pot
PotB
Se HM < 0  turbina
Pot 
PotT

Potência da Turbina e rendimento:
Pot   QH B  T 
PotT
Pot
1
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Equação da continuidade:
Como
e como H1
E
H2 são
chamados cargas totais,
Para fluidos incompressíveis:
v1 A1  v2 A2 {2}
Se for considerada também a presença de uma máquina
entre (l) e (2), a equação da energia ficará:
p1   gy1 
 v12
2
 p2   gy2 
H1  H 2
 v22
2
{3}
Substituindo {2} em {3}, a velocidade é dada
por:
2p
v12 p1
v2 p
  z1  H M  2  2  z2  H p12
2g 
2g 
Da Equação deve-se notar que, no escoamento de um
fluido real entre duas seções onde não existe máquina, a
energia é sempre decrescente no sentido do escoamento, isto é,
a carga total a montante é sempre maior que a de jusante,
desde que não haja máquina entre as duas.
A potência dissipada pêlos atritos é facilmente
calculável raciocinando da mesma maneira que para o cálculo
da potência do fluido. A potência dissipada ou perdida por
atrito poderá ser calculada por:
H O
Ndiss  QH p12
2
Com:
cq 
2
1
é denominado 'perda de
H1  H M  H 2  H p12
v12 p1
v22 p2
  z1 

 z2
2g 
2g 
v2  cq
H p12
carga'.
Equação de Bernoulli:
2
H p12  H1  H 2
m1  m2  1V1  2 V2
1v1 A1  2v2 A2
4
1
A
d

2
4
A  A2
d1  d 24
2
1
A vazão será:
Q  A1  v1  A2v2
 Exemplos:
1. Um tubo admite água ( = 1000 kg/m3) num
reservatório cuja vazão é de 20 L/s. No mesmo
reservatório é trazido óleo ( = 800 kg/m3) por outro
tubo com vazão de 10L/s. A mistura homogênea
formada é descarregada por um tubo cuja seção tem uma
área de 30 cm2. Determinar a massa específica da
mistura no tubo de descarga e a velocidade da mesma.
Equação da energia para fluido real
Nesse item será retirada a hipótese de fluido
ideal; logo, serão considerados os atritos internos no
escoamento do fluido. São mantidas as hipóteses de
regime permanente, fluido incompressível, propriedades
uniformes na seção e sem trocas de calor induzidas. Esta
3
última significa que não existe uma troca de calor
Q1  20 Ls  20 103 ms ;
provocada propositalmente; no entanto, ao se considerar
3
Q2  10 Ls  10 103 ms
os atritos no escoamento do fluido, deve-se imaginar
que haverá uma perda de calor do fluido para o
Qm  Q
ambiente causada pêlos próprios atritos. Como será
visto a seguir, a construção da equação da energia pode
Q1  Q2  Q3  Q3  20  10  30 Ls  30 103 ms
ser realizada sem se falar, explicitamente, dessa perda
Qm1  Qm2  Qm3  aQ1  oQ2  mQ3
de calor.
Da equação de Bernoulli sabe-se que, se o fluido 1000  0,02  800  0,01   0,03    933,33 kg
m
m
m3
fosse perfeito. H1 = H2 (Figura 4.8).
3
m  933,33 mkg
3
Qm  Avm  vm 
3
Qm 30 10

 vm  10 ms
A 30 104
vm  10 ms
Se, no entanto, houver atritos no transporte do
fluido, entre as seções (l) e (2) haverá uma dissipação da
energia, de forma que H1 > H2.
Querendo restabelecer a igualdade, será
necessário somar no segundo membro a energia dissipada no transporte.
H1  H 2  H p12
H p12 : energia perdida entre (l) e (2) por unidade
de peso do fluido.
2. No tubo da figura, transporta-se ar. Na área
da maior seção do tubo a área vale 25 cm2, a densidade
1,2 kg/m3 e a velocidade 10 m/s; no ponto de menor
seção a área vale 5 cm2, a densidade 0,8 kg/m3.
Determine na menor seção a velocidade e as vazões em
massa, volume e em peso.
v
(1)
(2)
Qm1  Qm2  1 A1v1  2 A2v2  v2 
1 A1v1
2 A2
2
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v2 
1, 2  25 10
 v2  75 ms
0,8  5
Equação de Bernoulli:
v2
v2
p1   gh1  1  p2   gh2  2
Q2  A2v2  Q2  5 104  75  Q2  0.0375 ms
2
3
Qm2  2Q2  Qm2  0.8  0.0375  Qm2  0.03 kgs
3
Qg 2  gQm2  Qg 2  9.81 0.03  Qg 2  0.29 Ns
Equação da energia para fluido real
Nesse item será retirada a hipótese de fluido
ideal; logo, serão considerados os atritos internos no
escoamento do fluido. São mantidas as hipóteses de
regime permanente, fluido incompressível, propriedades
uniformes na seção e sem trocas de calor induzidas. Esta
última significa que não existe uma troca de calor
provocada propositalmente; no entanto, ao se considerar
os atritos no escoamento do fluido, deve-se imaginar
que haverá uma perda de calor do fluido para o
ambiente causada pêlos próprios atritos. Como será
visto a seguir, a construção da equação da energia pode
ser realizada sem se falar, explicitamente, dessa perda
de calor.
Da equação de Bernoulli sabe-se que, se o fluido
fosse perfeito. H1 = H2 .
2
v2 p
v2
 h1  1  2  h2  2  H1  H 2

2g 
2g
p1
h
h2
(2)

H2( p2, v2 ,h2)
M
3

H1( p1, v1 ,h1)
h1
(1)
H1  H M  H 2  H p12
Números Adimensionais
 Número de Reynolds
Expressa a relação entre a força de inércia e a
Se, no entanto, houver atritos no transporte do
fluido, entre as seções (l) e (2) haverá uma dissipação da força de atrito.
energia, de forma que H1 > H2.
 v 
NR 
Querendo restabelecer a igualdade, será

necessário somar no segundo membro a energia dissipada no transporte.

H1  H 2  H p12
H p12 : energia perdida entre (l) e (2) por unidade
de peso do fluido.
Como
H p12  H1  H 2 e como H1 E H2 são
chamados cargas totais,
H p12 é denominado 'perda de
carga'.
Se for considerada também a presença de uma
máquina entre (l) e (2), a equação da energia ficará:
H1  H M  H 2  H p12
v12 p1
v2 p
  z1  H M  2  2  z2  H p12
2g 
2g 
   g   
g

        
g
  v 
v 
NR 
 NR 


g  
g
Quanto maior o número de Reynolds, tanto maior
a influência das forças de inércia e a sua diminuição
corresponde um aumento das forças de viscosidade.
 Número de Froude
Expressa a relação entre a força de inércia e a
força de gravidade:
V 2
 L


V2
L g
Da equação deve-se notar que, no escoamento de
 Número de Weber
um fluido real entre duas seções onde não existe
Relaciona a força devida a pressão e a força de
máquina, a energia é sempre decrescente no sentido do
escoamento, isto é, a carga total a montante é sempre inércia:
p
maior que a de jusante, desde que não haja máquina
Eeu 
entre as duas.
V 2
A potência dissipada pêlos atritos é facilmente
 Número de Mach
calculável raciocinando da mesma maneira que para o
Expressa a relação entre a raiz quadrada da
cálculo da potência do fluido. A potência dissipada ou força de inércia e a raiz quadrada da força relativa da
perdida por atrito poderá ser calculada por:
compressibilidade do fluido:
Ndiss    Q  H p12
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M ma
V 2
L

V 2
C
M ma 
4
V
C
h 
p1  p2
 y2  y1

Para efeitos práticos, supõe-se que a energia
consumida para vencer as resistências, que se opõem ao
movimento é uma conseqüência do atrito do líquido
contra as paredes do conduto. Admitindo-se que o
líquido se deslize como um êmbolo dentro da tubulação,
verifica-se que a perda de carga será proporcional à
rugosidade das paredes do conduto.
Considerando-se o prisma líquido entre as
seções 1 e 2 , com seção transversal constante e igual a
A e comprimento L, sobre ele estão agindo a gravidade e
as pressões p1 e p2, nas referidas seções, sendo
equilibradas pela resistência oferecida pela parede.
Para se obter a equação geral da perda de carga,
que é uma energia perdida por unidade de peso, basta
escrever a equação de equilíbrio das forças que agem no
prisma líquido.
C: velocidade do som.
Regimes de escoamento
De acordo com o valor do número de
Reynolds, o escoamento de um líquido pode ser
classificado em 3 tipos, conforme mostra a experiência
de Reynolds-Hagens.
Na experiência, Reynolds-Hagens utilizaram
um reservatório com água mantido à nível constante,
alimentando um tubo transparente com uma válvula.
Um líquido corante foi introduzido no tubo, vindo de
um reservatório.
Abrindo-se
gradualmente
a
válvula,
p
 R X L
p
h  1  y1   2  y2  
primeiramente a velocidade é baixa e o líquido corante

 A
 

se mantém em faixas, com a perda de carga sendo
R: Tensão de atrito (N/m2).
proporcional à velocidade (Δh α V).
X: perímetro.
Nessas condições tem-se o regime laminar
A: área.
que se dá teoricamente para Re ≤ 2.000.
L: comprimento.
Com o aumento da velocidade a perda de carga
é proporcional ao quadrado da velocidade (Δh α V2) e o
Verificou-se que a relação R/ é função da
líquido corante começa a se ramificar, estabelecendo-se velocidade. Assim:
o regime dito de transição ou estado crítico que ocorre
R
 b  v2
para:

2.000 < Re ≤ 4.000 .
B: coeficiente experimental que depende da
Para velocidade altas o líquido corante misturase completamente com a água, devido ao aumento da rugosidade e tem origem no atrito. Também se constatou
turbulência e a perda de carga é proporcional ao que:
quadrado da velocidade (Δh α V2), estabelecendo o
f
b
regime turbulento para Re > 4.000.
8 g
Fórmula fundamental para perda de carga
A figura mostra um regime de escoamento
permanente:
f: coeficiente de atrito.
Assim:
h 
R  X  L f  v2  X  L

 A
8 g  A
A relação entre a área molhada de um conduto
e o seu perímetro é conhecida como raio hidráulico
(Rh). Assim para um conduto forçado e circular, tem-se:
A
P

Rh 
4
Rh 
A: área molhada; P : perímetro molhado.
: diâmetro hidráulico.
Assim:
h 
Aplicando-se a equação de Bernoulli:
v12 p1
v22 p2
  y1 

 y2  h
2g 
2g 
v1  v2
f  v2  4  L
8 g 
Assim:
L v2
h  f  
 2g
4
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

f  f  NR , 
K

5
O valor do coeficiente de atrito f , nas fórmulas
de perda de carga, é dado por expressões que o
relacionam com a rugosidade da parede, com as
propriedades do líquido e as dimensões do conduto,
através do número de Reynolds.
Para a determinação do coeficiente de atrito,
podem ser utilizadas as fórmulas de: Prandtl; Blasius;
Moody; Coolebrook e Nikuradse.
Rugosidade ou aspereza, da parede interna de
conduto, pode ser determinada através de um aparelho
denominado rugosímetro, que mede a altura média das
asperezas da parede interna do tubo, representada pela
letra ― e ‖.
Experiência de Nikuradse:
Número de Reynolds:
NR 
 v 

   g   
NR 
  v 
g 

g
Nikuradse realizou uma experiência que visou
determinar como a função f variava para condutos com
rugosidade uniforme. Fixou valores de , L DH,  e  no
dispositivo indicado e, para diversas aberturas da válvula
(diferentes velocidades) encontrou os valores de p1 e p2
indicados.
Efetuada a experiência, construiu um gráfico de
f em função do número de Reynolds e da razão:
 DH

K



f  f  NR , 
K

5
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6
A fórmula geral da perda de carga foi deduzida,
supondo que o prisma líquido se deslocasse no interior
do conduto, com velocidade v, atritando com as paredes
do mesmo. Essa hipótese não é verdadeira, porque junto
à parede do conduto forma-se uma película aderente e
imóvel de líquido. Assim o líquido que está em
movimento, não está em contato direto com a parede do
conduto, mas com uma camada de líquido estacionária,
que é denominada camada limite ou laminar ou
lamelar ou de Prandtl.
Dessa maneira, os esforços tangenciais se
originam pelo atrito entre duas camadas de líquido, uma
estacionária e aderente a parede do conduto e outra em
movimento. Segundo Prandtl, a espessura da camada
limite, δ é dada por:
e

3
 Condutos lisos:

Fórmula de Blasius N R  100000
f  0.316  N R0.25

Fórmula de Prandtl


1
 2  log N R  f  0.8
f

Fórmula de Nikuradse
6
f  0.0032  0.0021 N R0.237
 Condutos de transição
A espessura da camada limite é tal, que o
coeficiente de atrito é função da rugosidade e donúmero
de Reynolds.

 e  8
3

Fórmula de Moody
1

6 3


20000

e
10

f  0.0055 1  

 
 

NR 



Fórmula de Coolebrook
 2e
1
18.7
 1.74  2  log 

  N  f
f
R




 Condutos rugosos
A espessura da camada limite é tal, que o
coeficiente de atrito é função somente da rugosidade
relativa.
e  8 

32.8

NR  f
Fórmula de Nikuradse
f 
1

2e 
1.74  2  ln  


2
Classificação dos condutos segundo a
Fórmulas para cálculo da perda de carga
camada limite:
Comparando a rugosidade e com a
 Perda de carga distribuída: Δhd
espessura da camada limite δ, um conduto pode ser
A
perda
de
carga distribuída é a que ocorre ao longo
classificado em: liso, de transição ou rugoso. Portanto
um mesmo conduto, dependendo das condições de do escoamento, na extensão do tubo.
escoamento, pode ser classificado como liso, de
 Regime laminar: N R  2000
transição ou rugoso.
O regime laminar ou de Poiseuille, é
 Cálculo do coeficiente de atrito f para:
característico de escoamento com baixa velocidade,
pequenos diâmetros e líquidos muito densos.
A espessura da camada limite é tal, que a
Segundo Poiseuille:
rugosidade do tubo não tem influência na determinação
32   v  L
do coeficiente de atrito, que passa a ser função do
hd 
  2
número de Reynolds.
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hd 
64   v 2  L
2  g  2
64 L v 2
hd 
 
NR  g
64
f 
NR
L v2
hd  f  
 g
7
Tipos de
condutos
Ferro Fundido
ou aço
galvanizado em
uso
Chumbo
Ferro Fundido
ou aço
galvanizado
novos
b1
b2
0,00092
0,0014
0,00056 a 0,00062
0,00074
0,00086 a 0,00095
0,00113
 Fórmula de Fair-Whipple-Hsiao
Utilizada para cálculo de condutos de pequeno
 Regime turbulento: N R  4000
diâmetro, nas instalações domiciliares (φ ≤ 50 mm).
O regime turbulento ou hidráulico é característico
Para tubos de aço ou ferro galvanizado,
de escoamento com velocidades médias e altas, grandes conduzindo água fria:
diâmetros e líquidos com baixa viscosidade. É o tipo de
Q1.88
escoamento que mais ocorre.
J  0.002021 4.88

 Fórmula geral para perda de carga
Para tubos de cobre ou latão:
v C R J
h
J: perda de carga unitária (m/m).
C: coeficiente de perda de carga.
v: velocidade (m/s).
Rh: raio hidráulico (m).
 Fórmula universal:
L v2
hd  f  
 g
Q  55.934 2.71  J 0.57
(água fria)
Q  63.2812.71  J 0.57
(água quente)
 Fórmula de Hazen-Williams
Válida para tubulações com φ ≥ 50 mm.
 Fórmula de Darcy
Válida para tubulação de FoFo (Ferro Fundido) e
0,05m ≤  ≤ 0,50m.
4  b  v2


b 

J
Tubos

Novos
0,0002535
Usados
0,000507

0,00000647
0,00001294
 Fórmula de Flamant
A fórmula de Flamant foi muito utilizada,
devido a sua praticidade. Atualmente é utilizada para o
cálculo de condutos de pequeno diâmetro (φ ≤ 100 mm),
principalmente para tubos de PVC em instalações
domiciliares.
v1.75
Q1.95
J  b1  1.25  J  b2  4.75


J: Perda de carga unitária (m/m).
Q: vazão (m³/s).
v: velocidade (m/s).
: diâmetro da tubulação (m).
v  0.355  C 0.63  J 0.54
J  10.643  Q1.852  C 1.852 4.87
Q  0.2785 2.63  J 0.54
φ: diâmetro da tubulação (m)
v: velocidade de escoamento (m/s)
Q: vazão (m3/s)
J: perda de carga unitária (m/m)
C: coeficiente de Hazen-Williams; tabelado em
função do tipo e do estado da tubulação
Perda de carga localizada ou acidental: hL
Ocorre perda de carga localizada ou acidental,
devido à peças especiais, que são introduzidas nas
instalações hidráulicas, com os seguintes objetivos:
- mudança de direção de escoamento (curva ou
cotovelo)
- derivações (tê)
- cruzamentos de tubulações (cruzetas)
- mudanças de diâmetro (ampliação ou redução)
- entrada e saída de reservatório
- bloqueio e ou controle de vazão (válvula)
- outras
A perda de carga localizada pode ser calculada por
dois métodos:
 Fórmula geral da perda de carga localizada
As perdas de carga singulares ocorrem quando
há perturbações bruscas (válvulas, cotovelos, etc.) no
escoamento do fluido e são calculadas por expressões
que envolvem análise dimensional, dadas por:
hL  K s 
v2
2g
7
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ΔhL: perda de carga localizada (m).
Ks: coeficiente de perda de carga localizada
(tabelado em função da geometria da peça).
v: velocidade de escoamento (m/s).
g: aceleração da gravidade (9,81 m/s2).
Singularidade
Esquema
Ks
1
Alargamento
8
A1
A2
1
Caso limite
 A1 

 A2 
Estreitamento
 
Caso Limite
0.5
Cotovelo a 90°
0.9
Válvula de
gaveta
Totalmente aberta
Válvula tipo
globo
Totalmente aberta
Válvula de
retenção
0.5
Cotovelo 45º
0,40
Crivo
0,75
Curva 90º
Curva 45º
0,40
0,20
Saída de
canalização
Tê passagem
direta
Tê saída lateral
Tê saída
bilateral
Válvula de pé
Válvula de
retenção
Válvula gaveta
aberta
Curva 22 1/2º
0,10
Entrada normal
0,50
em canalização
Entrada de
1,00
borda
Existência de
0,03
pequena
derivação
* Com base na velocidade maior (menor diâmetro)
** Relativa à velocidade na canalização
Fonte: Manual de Hidráulica, Azevedo Netto
1,00
0,60
1,30
1,80
1,75
2,50
0,20
 Detalhes das válvulas
 Válvula Gaveta
0.2
 Válvula Globo
10

Rugosidade dos tubos
Material
Tubos novos e(m)
Aço galvanizado
Aço rebitado
Aço revestido
Aço soldado
Concreto bem
acabado
Concreto ordinário
Ferro fundido
Ferro fundido com
revestimento
asfáltico
0,00015 à 0,00020
0,0010 à 0,0030
0,0004
0,00004 à 0,00006
0,0003 à 0,0010
Tubos usados
e(m)
0,0046
0,0060
0,0005 à 0,0012
0,0024
-
0,0010 à 0,0020
0,00025 à 0,00050
0,00012
0,003 à 0,0050
0,0021
Fonte: Manual de Hidráulica, Azevedo Netto
Tabela - Valores aproximados do coeficiente K de perda localizada
Peça
Ampliação
gradual
Bocais
K
0,30
Peça
(*)
K
Junção 0,40
2,75
2,50 (**)
Comporta
aberta
Controlador de
vazão
Cotovelo 90º
1,00
Medidor
Venturi
Redução
gradual
Válvula de
ângulo aberta
Válvula globo
aberta
2,50
0,90
 Válvula de retenção
 Método do comprimento equivalente ou virtual:
Leq
Consiste em transformar uma peça inserida em uma
instalação hidráulica, para efeito de cálculo, em um
comprimento de tubulação retilínea de mesmo diâmetro
0,15 (*)
e material da peça, de tal maneira que provoque a
mesma perda de carga que a peça provoca. Esse
5,00
comprimento é denominado comprimento equivalente
10,00 (L ) e é tabelado em função do diâmetro, do material e
eq
8
FCTM – Capítulo 4 – Bombas, Turbinas e Perda de carga
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da peça. Obtém-se o comprimento equivalente da determinação da potência da máquina hidráulica
seguinte maneira:
instalada.
v2
hL  K s 
2g
Leq v 2
hL  f 

 2g
K 
Leq  s
f
9
9
Comprimentos
equivalentes
expressos em
número de
diâmetro
12
45
20
30
15
17
35
30
6
8
350
170
35
20
50
65
250
100
Peça
Ampliação gradual
Cotovelo 90º
Cotovelo 45º
Curva 90º
Curva 45º
Entrada normal
Entrada de borda
Junção
Redução gradual
Válvula gaveta aberta
Válvula globo aberta
Válvula ângulo aberta
Saída de canalização
Tê passagem direta
Tê saída lateral
Tê saída bilateral
Válvula de pé e crivo
Válvula de retenção
Fonte: Manual de Hidráulica, Azevedo Netto
 Perda de carga total
A perda de carga total será a soma das perdas
de cargas distribuídas e localizadas:
hT  hd  hL
Instalações de racalque
É o conjunto de equipamentos que permite o
transporte e o controle do fluido. Compreende, em
geral, um reservatório, tubos, singularidades, máquina e
um reservatório de descarga.
A tubulação vai desde o reservatório de tomada
até a maquina é denominada tubulação de sucção.
Geralmente contém uma válvula de pé com crivo na
entrada (válvula de retenção com filtro), objetivando
obstruir detritos na máquina e não permitindo o retorno
do fluido ao desligar a bomba.
A tubulação que liga o reservatório de descarga
chama-se tubulação de recalque e contém uma válvula
de retenção e um registro para o controle da vazão.
O objetivo dessas instalações é a seleção e a
Diâmetro
(mm)
Cotovelo
90° RL
Cotovelo
90° RM
Cotovelo
90° RC
Cotovelo
45°
13
19
25
32
38
0,3
0,4
0,5
0,7
0,9
0,4
0,6
0,7
0,9
1,1
0,5
0,7
0,8
1,1
1,3
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
Curva
90°
Curva
90°
RD = 1 1/2
RD = 1
0,2
0,3
0,3
0,4
0,5
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
Curva
45°
Entrada
Normal
Entrada
de borda
0,2
0,2
0,2
0,3
0,3
0,2
0,2
0,3
0,4
0,5
0,4
0,5
0,7
0,9
1,0
Válvula
Gaveta
aberta
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
FCTM – Capítulo 4 – Bombas, Turbinas e Perda de carga
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50
63
75
100
125
150
200
250
300
350
10
1,1
1,3
1,6
2,1
2,7
3,4
4,3
5,5
6,1
7,3
1,4
1,7
2,1
2,8
3,7
4,3
5,5
6,7
7,9
9,5
Diâmetro
(mm)
Válvula
Globo
aberta
1,7
2,0
2,5
3,4
4,2
4,9
6,4
7,9
9,5
10,5
Válvula
ângulo
aberta
0,8
0,9
1,2
1,5
1,9
2,3
3,0
3,8
4,6
5,3
0,6
0,8
1,0
1,3
1,6
1,9
2,4
3,0
3,6
4,4
0,9
1,0
1,3
1,6
2,1
2,5
3,3
4,1
4,8
5,4
0,4
0,5
0,6
0,7
0,9
1,1
1,5
1,8
2,2
2,5
Tê
passagem
direta
Tê saída
lateral
Tê saída
bilateral
Válvula
de pé e
crivo
0,7
0,9
1,1
1,6
2,0
2,5
3,5
4,5
5,5
6,2
Saída da
canalização
1,5
1,9
2,2
3,2
4,0
5,0
6,0
7,5
9,0
11,0
Válvula
de
retenção
tipo leve
0,4
0,4
0,5
0,7
0,9
1,1
1,4
1,7
2,1
2,4
Válvula
de
retenção
tipo
pesado
1,6
2,4
3,2
4,0
4,8
6,4
8,1
9,7
12,9
16,1
19,3
25,0
32,0
38,0
45,0
13
4,9
2,6
0,3
1,0
1,0
3,6
0,4
1,1
19
6,7
3,6
0,4
1,4
1,4
5,6
0,5
1,6
25
8,2
4,6
0,5
1,7
1,7
7,3
0,7
2,1
32
11,3
5,6
0,7
2,3
2,3
10,0
0,9
2,7
38
13,4
6,7
0,9
2,8
2,8
11,6
1,0
3,2
50
17,4
8,5
1,1
3,5
3,5
14,0
1,5
4,2
63
21,0
10,0
1,3
4,3
4,3
17,0
1,9
5,2
75
26,0
13,0
1,6
5,2
5,2
20,0
2,2
6,3
100
34,0
17,0
2,1
6,7
6,7
23,0
3,2
8,4
125
43,0
21,0
2,7
8,4
8,4
30,0
4,0
10,4
150
51,0
26,0
3,4
10,0
10,0
39,0
5,0
12,5
200
67,0
34,0
4,3
13,0
13,0
52,0
6,0
16,0
250
85,0
43,0
5,5
16,0
16,0
65,0
7,5
20,0
300
102,0
51,0
6,1
19,0
19,0
78,0
9,0
24,0
350
120,0
60,0
7,3
22,0
22,0
90,0
11,0
28,0
Fonte: Hidráulica Geral, Paschoal Silvestre;Obs.: RL = Raio Longo RM = Raio Médio RC = Raio Curto
Diâmet Joelho
Joelho
Curva
Curva
Tê 90º
Tê 90º
Tê 90º
Entrada
Entrada
Saída da
ro mm
90º
45º
90º
45º
passagem
saída
saída
normal
de
canalizaçã
direta
lateral
bilateral
borda
o
20
1,1
0,4
0,4
0,2
0,7
2,3
2,3
0,3
0,9
0,8
25
1,2
0,5
0,5
0,3
0,8
2,4
2,4
0,4
1,0
0,9
32
1,5
0,7
0,6
0,4
0,9
3,1
3,1
0,5
1,2
1,3
40
2,0
1,0
0,7
0,5
1,5
4,6
4,6
0,6
1,8
1,4
50
3,2
1,3
1,2
0,6
2,2
7,3
7,3
1,0
2,3
3,2
60
3,4
1,5
1,3
0,7
2,3
7,6
7,6
1,5
2,8
3,3
75
3,7
1,7
1,4
0,8
2,4
7,8
7,8
1,6
3,3
3,5
85
3,9
1,8
1,5
0,9
2,5
8,0
8,0
2,0
3,7
3,7
110
4,3
1,9
1,6
1,0
2,6
8,3
8,3
2,2
4,0
3,9
140
4,9
2,4
1,9
1,1
3,3
10,0
10,0
2,5
5,0
4,9
160
5,4
2,6
2,1
1,2
3,8
11,1
11,1
2,8
5,6
5,6
Fonte: Hidráulica Geral, Paschoal Silvestre
Diâmetro
Válvula de pé e
Válvula de
Válvula de
Válvula globo
Válvula gaveta
Válvula ângulo
externo mm
crivo
retenção tipo
retenção tipo
aberta
aberta
aberta
leve
pesado
20
8,1
2,6
3,6
11,1
0,1
5,9
25
9,5
2,7
4,1
11,4
0,2
6,1
32
13,3
3,8
5,8
15,0
0,3
8,4
40
15,5
4,9
7,4
22,0
0,4
10,5
50
18,3
6,8
9,1
35,8
0,7
17,0
60
23,7
7,1
10,8
37,9
0,8
18,5
75
26,0
8,2
12,5
39,0
0,9
19,0
85
26,8
9,3
14,2
40,0
0,9
20,0
110
28,6
10,4
16,0
42,3
1,0
22,1
140
37,4
12,5
19,2
50,9
1,1
26,2
160
43,4
13,9
21,4
56,7
1,2
28,9
Fonte: Hidráulica Geral, Paschoal Silvestre
seção (2) é 0,16 MPa, a vazão é l0 L/s, a área da seção
dos tubos é l0 cm2 e a perda de carga entre as seções (l)
e (4) é 2 m.
Não é dado o sentido do escoamento,
 H2O  104 N m3 ; g = 10 m/s2.
Exemplos:
 Solução
l. Na instalação da figura, verificar se a máquina
Deve ser notado, inicialmente, que a seção (4) é o
é uma bomba ou uma turbina e determinar a sua
potência, sabendo que seu rendimento é 75%. Sabe-se nível do reservatório inferior sem incluir a parte interna
que a pressão indicada por um manômetro instalado na do tubo, já que nesta não se conhece a pressão.
10
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Sabe-se que o escoamento acontecerá no sentido
das cargas decrescentes, num trecho onde não existe
máquina. Para verificar o sentido, serão calculadas as
cargas nas seções (l) e (2).
A figura mostra a variação de v(r) com r.
(a) Encontre a velocidade média:
v
 v  r dA
A
 dA
A
(b) Mostre que:
vm
1

vmax 2
11
H1 
v12 p1
  z1  0  0  24  24m
2g 
H2 
v22 p2
  z2
2g 
v2 
Q 10 103

 10 m s
A 10 104
v22 p2
H2 
  z2
2g 
H2 
102
0,16 106

 4  25m
2 10
104
Como H2> H1, conclui-se que o escoamento
terá o sentido de (2) para (1) ou de baixo para coma,
sendo a máquina, portanto, uma bomba.
Aplicando-se a equação da energia entre as seções
(4) e (1), que compreendem a bomba.
Lembrar que a equação deve ser escrita
no sentido do escoamento.
17
r

v  r   vmax  1  
R


Mostre que:
vm
49

vmax 60
4. Na instalação da figura, a máquina é uma
bomba e o fluido é água. A bomba tem uma potência de
5 kW e seu rendimento é 80 %. A água é descarregada à
atmosfera com uma velocidade de 5 m/s pelo tubo cuja
área de seção é 10 cm2 Determinar a perda de carga do
fluido entre (1) e (1) e a potência dissipada ao longo da
tubulação. Dados: H2O=104N/m3; g = 10m/s2.
(1)
5m
(2)
B
H 4  H B  H1  H p14
v42 p4
H4 
  z4
2g 
H1  24m
H4  0  H p  2
11
3. No escoamento turbulento de um fluido em
condutos circulares, o diagrama de velocidades é dado
pela equação:

Solução:
H1  H B  H 2  H p12
H1 
v12 p1
  z1  0  0  5  H1  5m
2g 
14
H B  H1  H 4  H p14  24  0  2  26
PotB 
QH B 104 10 103  26

 3470W  3, 47kW
B
0,75
2. No escoamento lamelar de um fluido em
condutos circulares, o diagrama de velocidades é
representado pela equação:
  r 2 
v  r   vmax  1    
  R  
onde vmax é a velocidade no eixo do conduto, R é
o raio do conduto e r é um raio genérico para o qual a
velocidade v é genérica. Sendo vm a velocidade média:
R
1
vm   v  r dA  dA  2 r  dr
A0
H2 
v22 p2
52
  z2 
00
2g 
2 10
H 2  1.25m
 Q  HB
PB 
B
HB 
B  PB
 P
 Q  v  A  HB  B B
 Q
 v A
3
0.8  5 10
HB  4
10  5 10 104
H B  80m
H1  H B  H 2  H p12
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H p12  H1  H 2  H B
PotT
H p12  5  1.25  80
H p12  83.75m

Pdiss    Q  H p1,2
Pdiss  104  5 10  83.75
Pdiss  4190W
Pdiss  4.19kW
12
5. A equação de Bernoulli, quando há uma
máquina entre os pontos (1) e (2) e o deslocamento do
fluido se dá de (1) para (2) pode ser reescrita da forma,
considerando que há uma perda de carga Hp12 (Energia
perdida por unidade de peso) de 3m :
h
h2
(2)

H2( p2, v2 ,h2)
Pot   QH B  T 
PotT
Pot
Considere que não há perda de carga (Hp12=0)
na figura abaixo:
(1)
(2)
12
24 m
5m
M
Considere o reservatório grande fornecendo
água para o tanque a 10L/s. Verifique se a máquina
instalada é bomba ou turbina e determine sua potência,
se o seu rendimento é de 75%. Supor fluido ideal.
Dados: Atubos = 10 cm2; g = 10m/s2; a=104N/m3.
6. Na instalação da figura, verificar se a máquina
é uma bomba ou uma turbina e determinar a sua
potência, sabendo que seu rendimento é 70%. Sabe-se
que a pressão indicada por um manômetro instalado na
seção (2) é 0,17 MPa, a vazão é l2 L/s, a área da seção
dos tubos é l0 cm2 e a perda de carga entre as seções (l)
e (4) é 2 m.
Não é dado o sentido do escoamento:
2
 H O  104 N m3 ; g = 10 m/s .
M

H1( p1, v1 ,h1)
h1
Potência da Turbina e rendimento:
(1)
2
H1  H M  H 2  H p12

H1 
Se HM > 0  Bomba
Pot 
v2 
Solução:
2
1
v
p
 1  z1  0  0  24  24m
2g 
Q 12 103

 12 m s
A 10 104
H2 
PotB

Potência da Bomba e rendimento:
Pot   QH B  B 
Pot
PotB
Se HM < 0  turbina
Pot 
H2 
v22 p2
  z2
2g 
122
0,17 106

 4  27.2m
2 10
104
Como H2> H1, conclui-se que o escoamento terá o
sentido de (2) para (1) ou de baixo para coma, sendo a
máquina, portanto, uma bomba.
Aplicando-se a equação da energia entre as seções
(4) e (1), que compreendem a bomba.
Lembrar que a equação deve ser escrita
no sentido do escoamento.
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H 4  H B  H1  H p14
H4 
8000
 0.0026
10
kg
Qm  2.1
s
Qm 
v42 p4
  z4
2g 
H1  24m
H4  0  H p  2
Qg  g  Qm
Qg  21 N s
14
H B  H1  H 4  H p14  24  0  2  26
8. Na extremidade de uma tubulação de diâmetro D,
acha-se instalado um bocal que lança um jato de água na
atmosfera com diâmetro de 2 cm. O manômetro
7. Quais são as vazões de óleo em massa e em peso metálico registra uma pressão de 20 kPa e a água sobe
do tubo convergente da figura, para elevar uma coluna no tubo de Pitot até a altura de 2.5 m. Nessas condições,
de 20 cm de óleo no ponto (0)?
determinar:
(a) A vazão em peso do escoamento.
80 mm
40 mm
(b) O diâmetro D do tubo admitindo escoamento
permanente e sem atrito. a = 10 N/L
20 cm
PotB 
13
QH B 104 12 103  26

 4457.14W  4.457kW
B
0, 70
D
(1)
(0)
(2)
(1)

Solução:
v02 p0
v2 p
  z0  1  1  z1
2g 
2g 

p0
 0.2

v22
 h  v2  2  g  h  v2  7.07 ms
2g

Qg    D22  v2
4

Qg  104  0.022  7.07
4
v12 v02 p0


2g 2g 
v12  v02  0.2  20
v12  v02  4
A0  v0  A1  v1
  D02
  D12
 v0 
 v1
4
4
  802
  402
 v0 
 v1  v1  4v0
4
4
16v02  v02  4  v0  0.52
Q
Q
 2
D0  v0
4
m
s

0.082  0.52
4
Q  0.0026
m3
l
 Q  2.6
s
s
Qm   Q
Qm 

Q
g
Solução:
(a)
Qg  22.2
N
s
v12 p1
v22 p2


z

  z2
(b)
1
2g 
2g 
v12
v22 p1


2g 2g 
v12 7.072 20 103


 v1  3.16 ms
2 g 2 10
104
  D12
  D22
 v1 
 v2
4
4
D1  D2 
v2
v1
D1  3cm
13
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9. Um dos métodos para se produzir vácuo numa
10. Desprezando os atritos do pistão da figura,
câmara é descarregar água por um tubo convergente- determinar:
divergente, como é mostrado na figura. Qual deve ser a
vazão em massa de água pelo convergente-divergente
(a) a potência da bomba em kW se seu rendimento
para produzir uma depressão de 22 cm de mercúrio na for 80%.
câmara da figura? Dados: desprezar as perdas de carga.
(b) a força que o pistão pode equilibrar a haste.
N
5 N
;  Hg  1.36 10
3
m
m3
m
g  10 2
s
D1  72mm D2  36mm
 H O  104
2
14
14
Câmara
patm
H 2O
(1)
(2)

Dados: A2 = A3 = A4 = A5 = A6 = 10 cm2
AG = 8 cm2; Ap = 20 cm2; AH = 10 cm2
Hp1,2 = Hp1,4 = 0.5 m; Hp4,5 = 0.
 Solução:
(a)
Solução:
p2   Hg  h  p2  1.36 105  0.22
p2  29920Pa
v12 p1
v2 p
  z1  2  2  z2
2g 
2g 
p2

29920
v22  v12  20
104
v22  v12  59.84
A1  v1  A2  v2
v22  v12  2 g
 D12
 D22
 v1 
 v2
4
4
v2  4v1
v1  2 ms

Qm   Q
g

Qm   A1  v1
g
  D12
Qm  
 v1
g
4
Qm 
104  0.0722

2
10
4
Qm  8.14 kgs
v62 p6
v12 p1
  z1  H B 
  z6  H p1,6
2g 
2g 
v2
z1  H B  6  H p1,6
2g
2
v
H B  6  H p1,6  z1
2g
102
24
20
H B  3m
Q  A6  v6
HB 
Q  10 10 104
m3
Q  0.01
s
 Q  HB
PB 
B
104  0.01 3
PB 
0.80
PB  375W
(b)
p4  Ap  pG   Ap  AH   F
F  p4  Ap  pG   Ap  AH 
v2 p
v42 p4

 z4  6  6  z6  H p4,6
2g 
2g 
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p4
 H p4,6  p4    H p4,6

p4  104 1  p4  104 Pa
v52  v42  2 g
Equação manométrica:
p4  p5    F     h
v2 p
v42 p4

 z4  G  G  zG
2g 
2g 
pG p4 v42  vG2




2g
Q  AG  vG  vG 
15
p4  p5  1.2 105  104   0.8
p4  p5  8.8 104 Pa
8.8 104
104
v52  v42  176
A4  v4  A5  v5
3  A5  v4  A5  v5
v5  3  v4
v52  v42  2 10
Q
AG
0.01
8 104
m
vG  12.5
s
2
pG p4 v4  vG2




2g
vG 
 3v4 
2
 v42  176  9v42  v42  176
176
m
 v4  4.7
8
s
4
Q4  A4  v4  Q4  100 10  4.7
v4 
pG 104 102  12.52


104 104
20
pG  1.81104 Pa
Q4  0.047
F  p4  Ap  pG   Ap  AH 
(b)
F  104  20 104   1.81104    20 104  10 104 
11. Sabendo que a potência da bomba é 3 kW, seu
rendimento é 75 % e que o escoamento é de (1) para (2),
determinar:
(a) a vazão.
(b) a carga manométrica da bomba.
(c) a pressão do gás.
Dados:
3A5 = A4 = 100 cm2
Hp1,2 = Hp5,6 = 1.5 m; Hp1,4 = 0.7m.
2
N
m3
Gás
(6)
4m
(2)
(3)
(4)
(5)
 Q  HB
B
P 
HB  B B
 Q
2m
h = 0.8m
F =1.2.105N/m3
(c)
v62 p6
v
p1
  z1  H B 
  z6  H p1,6
2g 
2g 
p
p
H B  6  z6  H p1,6  6  H B  z6  H p1,6


p
p
H B  6  z6  H p1,6  6  H B  z6  H p1,6


2
1


H p1,6  H p1,2  H p3,4  H p5,6
H p1,6  1.5  1.5  0.7
H p1,6  3.7m

(H2O)

3 103  0.75
104  0.047
H B  4.8m
HB 
p6    H B  z6  H p1,6
B
(1)
m3
s
PB 
F  38.1N
 H O  104
p4  p5

Solução:
(a)
v52 p5
v42 p4

 z4 
  z5
2g 
2g 
p6  104   4.8  6  3.7 
p6  4.9 104 Pa
p6  4.9 104 Pa
p6  49kPa
15
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12. Dado o dispositivo, calcule a vazão de
hf  f 
escoamento de água no conduto.
v12 p1
v2 p
  z1  2  2  z2
2g 
2g 
Tubulação de aço:
K = 4.6.10-5m

0.45


  104
5
K 4.6 10
K
p1  p2 v22  v12


2g
p1  p2    m     h
A função f deve ser calculada no ponto:



f  f  N R  5 104 ,  104 
K


p1  p2   6 104  1104   0.2
16
f  0.021
p1  p2  1102 Pa
1000 1.192
h f  0.021

0.45 2 10
h f  3.3m
p1  p2 v  v


2g
2
2
2
1
p1    h
p1  3.8 10 Pa
4
p1  p2  1102 Pa
p2  20kPa
L v2

DH 2 g
14. Calcular a vazão num conduto de ferro
fundido, sendo dados D = 10 cm,  = 0.7.10-6 m²/s e
sabendo que os dois manômetros instalados a uma
distância de 10m indicam, respectivamente, 0.15MPa e
0.145 MPa. Dado: a = 104N/m³.
p1  20 103  1102
p1  20100Pa
2p

A1  v1  A2  v2
v1 
p1
13. Determinar a perda de carga por km de
comprimento de uma tubulação de aço de seção circular
de diâmetro 45 cm. O fluido é óleo com viscosidade
cinemática  = 1.06.10-5 m²/s e a vazão é 190 L/s.
 Solução:
Tubulação de aço: k = 4.6.10-5m.
D = DH = 0.45m
Q
Q  Av  v 
A
4Q 4 190 103
v

D 2
 0.45
m
v  1.19
s
Número de Reynolds:
 v 

  v 
NR 
g 
v  DH
NR 

1.19  0.45
NR 
1.06 105
N R  5 104
NR 
p2
(1)

L = 10 m
(2)
Solução:
p1  p2

 0.15  0.145 106  h  0.5m
h1,2 
1,2
104
L v2
hL  f 

DH 2 g
h1,2 
v
f 
2  g  hL  DH
f L
2  g  hL  DH
v2  L
Nota-se que o valor de f é função de:
D 

f  f  NR f , H 
K 

16
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Calculando:
17
NR f
v  DH
NR 

v  DH 2  g  hL  DH
NR f 


v2  L
D 2  g  hL  DH
NR f  H

L
0.1
2 10  0.5  0.1
NR f 
0.7 106
10
4
N R f  4.5 10
DH DH
D
0.1


 H  385
4

K 2.59 10

D


f  f  N R f  4.5 104 , H  385 
K


D


f  f  N R f  4.5 104 , H  385   0.027
K


2  g  hL  DH
v
f L
v
hL  f 
v
4Q
L 8  Q2


h

f


L
 D 2
D 5 2 g
8  f  L  Q2
D5
hL  2  g
1a tentativa: Adotando-se f1 = 0.02
D1  5
D1 
v1 
N R1 
5
8  0.02  600  19 103 
17
2
3  2 10
D1  0.164m
4Q
4 19 103
m

v

 v1  0.9
1
2
2
 D1
 0.164
s
v1  D
0.9  0.164
 N R1 
 N R1  4.92 104
6

3 10
D1
DH
0.164


 3.56
 4.6 105

8  f2  L  Q2
D2  5
hL  2  g
Note que podemos azer:
v
8  f1  L  Q 2
hL  2  g
2a tentativa: Adotando-se f2 = 0.023
2 10  0.5  0.1
m
 v  1.92
0.027 10
s
NR 
L v2

DH 2 g
v  DH
N 
v R

DH
D2 
2.8 105  0.7 106
m
 v  1.96
0.1
s
5
8  0.023  600  19 103 
2
3  2 10
D2  0.165m
Veja que não há variação significativa no
O primeiro resultado é de maior confiabilidade, número de Reynolds e na razão D/ diâmetro com
mudanças no diâmetro. Assim:
pois a leitura de f é mais precisa, pela escala utilizada.
Assim:
D  0.165m
Q  Av  Q 
 D 2
v
4
 0.12
1.92
4
m3
Q  1.51102
s
L
Q  15.1
s
Q
15. Calcular o diâmetro de um tubo de aço que
deverá transportar uma vazão de 19L/s de querosene
(viscosidade cinemática:  = 3.10-6 m²/s) a uma
distância de 600 m, com uma perda de carga de 3m.
 Solução:
16. Na instalação da figura, a bomba B recalca
a água do reservatório R1 para o reservatório R2, ambos
em nível constante. Desprezando as perdas de carga
singulares, calcule:
(a) A vazão da tubulação.
(b) A potência na bomba em kW quando o
rendimento é 75%.
(2) R2
10 m
R1
(1)
B
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
Solução:
(a) Como
desprezíveis:
as
hL  f 
v
NR f 
18
NR f 
perdas
singulares
são
L v2

DH 2 g
H B  10  4  14m
2  g  hL  DH
f L
DH

2
10 10
1106
50 2.552

 4.064m
0.1 2 10
H B  z2  z1  H p1,2
H p1,2  hL  0.025 
2  g  hL  DH
L
2
2 10 10 10  4
50
N R f  4 104
 Q  HB
104  20 103 14
PBe 
 PBe 
B
0.73
PBe  3.8kW
17. Dada a tubulação na figura, cuja seção (2)
está aberta à atmosfera, calcular:
(a) a perda de carga entre as seções (1) e (2).
(b) a vazão em volume.
Sabe-se que o escoamento é laminar.
Dados:  = 9.103N/m³;  = 0.5.10-³m²/s;
L12 = 30m; D = 15 cm; p1 = 32.8 kPa.
DH 10 102
D

 H  400
4

2.5 10

p1
Pelo diagrama de Moody-Rouse:
D


f  f  N R f  4 104 , H  400   0.025
K


2  g  hL  DH
v
f L
2 10 10 102  4
m
v
 v  2.55
0.025  50
s
2
 D
Q  Av  Q 
v
4
 10 102
Q
 2.55
4
m3
Q  20 103
s

Q  20
(1)

L
s
H1  H B  H 2  H p1,2
H B  H 2  H1  H p1,2
p2  p1
 z2  z1

H 2  H1  z2  z1
H 2  H1 
H 2  H1  10m
L v2
 hL  f 

DH 2 g
H p1,2  hL  0.025 
50 2.552

0.1 2 10
L12
(2)
Solução:
H1  H 2  H p1,2

(b) Montando a equação da energia entre (1) e
(2) teremos:
H p1,2
D
p1  p2
 z1  z2

p
 H1  H 2  1

H1  H 2 
H p12
H p12
32.8 103
 H1  H 2 
 H p12  3.64m
9000
L v2
H p1,2  hL  f 

DH 2 g
Como o escoamento é laminar:
f 
H p1,2  hL 
64
NR
64 L v 2


N R DH 2 g
64   L v 2
H p1,2  hL 


v  DH DH 2 g
64   v  L
H p1,2  hL 
2 g  DH2
18
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hL  2 g  DH2
64   L
h  2 g  DH4
Q  A  v  Q   L
256   L
L
Q  30.1
s
v
19
18. No trecho (1) – (5) de uma instalação
existem: uma válvula de gaveta (2), uma válvula tipo
globo (3) e um cotovelo (4). Sendo a tubulação de aço
de diâmetro 2‖ (5cm), determinar a perda de carga entre
(1) e (5) sabendo que a vazão é 2L/s e que o
comprimento da tubulação entre (1) e (5) é 30 m.
Dado:  = 10-6m²/s.
NR 
v  DH
1 5 102
 NR 

106
N R  5 104
Para aço:
k  4.6 105 m
DH DH
D
5 102


 H  1090
5

k
4.6 10

Pelo diagrama de Moody-Rouse:
D


f  f  N R  5 104 , H  1090   0.025
k


51
12
h f  0.025

5 102 2 10
h f  1.28m
19. Sendo a pressão p8 mantida igual a 532 kPa
constante, determinar a potência da bomba de
rendimento 0.7 e a pressão de entrada dela se a vazão for
40 L/s. Dados:
Tubos de ferro galvanizado:
K = 0.15.10-3m;
ks1 = 15; ks2 = ks6 = 10; ks7 = 1; ks4 = 0.5;
pvH2O = 1.96 kPa (abs.);
 = 104 N/m²;  = 10-6 m²/s;
patm = 101 kPa

Solução:
O comprimento das singularidades é
desprezado e supõe-se que a perda de carga
distribuída seja devida a 30 m de tubulação.
Assim:
H p1,5  h f1,5  hs2  hs3  hs4
Da tabela de um fabricante, obtém-se:
Válvula gaveta (2‖): Leq2 = 0.335m
Válvula tipo globo (2‖): Leq3 = 17.61 m
Cotovelo (2‖): Leq4 = 3.01 m.
Tudo se passa como se a tubulação tivesse um
comprimento de:
L  Lreal  Leq( 2)  Leq(3)  Leq( 4)
L  30  0.335  17.61  3.01
L  51m
L v2
hf  f

DH 2  g

Solução:
A velocidade será:
 DH2
4Q
Q  A v  Q 
v  v 
4
 DH2
v
4  2 103
  5 10

2 2
 v 1
m
s
Nota-se que os diâmetros da sucção e do
recalque são diferentes. Portanto, o cálculo das perdas
deverá ser feito separadamente. Se os diâmetros fossem
os mesmos, poderíamos efetuar o cálculo diretamente
entre as seções (0) e (8).
H 0  H B  H8  H p0,8
Assumindo o PHR no nível (0), tem-se H0 = 0.
19
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H p0,8  k8
v82
p
532 103
 8  z8  H p0,8  0 
 7.5
2 g 
104
H p0,8  60.7m
H p0,8  h fS  h f R   hsS   hsR
Sucção:
Q  A  vS  Q 
 DH2
4Q
 vS  vS 
4
 DH2
4  40 103
v
 15 102 
20
NR 
2
 v  2.26
m
s
Perda distribuída:
DH DH
D
15 102


 H  1000
3

k
0.15 10

Pelo diagrama de Moody-Rouse:
D


f S  f  N R  3.4 104 , H  1000   0.021
k


2
L
v
h fS  f S  S  S
DH S 2  g
12
2.262

15 102 2 10
h fS  0.43m
h f S  0.021

hsS  6.61m
2
2.26
2 10
hpe  hs f  hsS  0.43  6.61  7.04m
Recalque:
2
D 
 15 
vR   S   vS  vR     2.26
 10 
 DR 
m
vR  5.1
s
2
Perda distribuída:
v  DH
5.110 102
NR 
 NR 

106
N R  5.1105
Perda singular:
vR2
vR2
vR2
vR2
hsR  ks4 
 ks5 
 ks6 
 ks7 
2 g
2 g
2 g
2 g

hsR  ks4  ks5  ks6  ks7

vR2

2 g
5.12
hsR   0.5  10  0.9  1 
2 10
hsR  16.1m
H p5,8  hsR  hsR  10.8  16.1  26.9m
H 0  H B  H8  H p0,8
2
S

hsS  15  0.9  10  
36
5.12

10 102 2 10
h f R  10.8m
H p0,8  H p0,e  H p5,8  7  26.9  33.9m
v
v
v
 ks2 
 ks3 
2 g
2 g
2 g
2
v
hsS  ks1  ks2  ks3  S
2 g
hsS  ks1 
D


f R  f  N R  5.1105 , H  666   0.023
k


2
L
v
hfR  f R  R  R
DH R 2  g
A perda total na instalação será:
Perda singular:
2
S
Pelo diagrama de Moody-Rouse:
h f R  0.023
v  DH
2.26 15 102
 NR 

106
N R  3.4 105
2
S
DH DH
D
10 102


 H  666
3

k
0.15 10

H B  H8  H p0,8  H 0
H B  60.7  33.9  0
H B  94.6m
A potência da bomba será:
 Q  HB

4
10  40 103  94.6
PB 
0.7
PB  54kW
PB 
Pressão na entrada:
Aplicando a equação da energia entre (0) e (e):
H 0  H M  H e  H p0,e
0  0  H e  H p0,e
ve2 pe
0
  ze  H p0,e
2g 
 ve2

pe    
 ze  H p0,e 
 2g

20
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peabs
 2.262

pe  104  
 0.5  7 
 2 10

pe  77.5kPa
 pe  patm  peabs  77.5kPa  101kPa
peabs  23.5kPa
peabs  23.5kPa  pv  1.96kPa
vm3
vmax3

vm3  0.0628
m
s
21. O esquema a seguir representa um canal
com 25 cm de largura. Admitindo escoamento
bidimensional e sendo o diagrama de velocidades dado
por:
v  30  y  y 2
Logo, a tubulação está bem dimensionada.
21
49
49
 vm3 
 0.07696
60
60
20. Água escoa num conduto que possui dois onde y está em cm e v em cm/s. Determinar a velocidade
ramais de derivação. O diâmetro do conduto principal é média na seção.
15 cm e os das derivações são 2.5 cm e 5 cm,
vm = 66.7 cm/s
respectivamente. O perfil de velocidades no conduto
principal é:
  r 2 
v  r   vmax1  1    
  R1  
e nas derivações:

r 
v  r   vmax 2,3  1 

 R2,3 
1
7
Exemplos resolvidos
1. Determinar a vazão de água no tubo Venturi,
mostrado na figura abaixo, sabendo-se que a diferença
Se vmax1 = 0.02 m/s e vmax2 = 0.13 m/s, de pressão entre os pontos A e B é igual a 5.286kgf/m².
Resp.: Q = 172 L/s
determinar a velocidade média no tubo de 5 cm de
diâmetro.
(3)
5cm
15cm
(1)
2.5cm

(2)

Solução:
Q1  Q2  Q3  A1  vm1  A2  vm2  A3  vm3
 d32 49
 d12 1
 d 22 49
 vmax1 
 vmax2 
 vmax3
4 2
4 60
4 60
152 1
 2.52 49
 52 49
 vmax1 
 vmax 2 
 vmax3
4
2
4
60
4 60
225
306.25
1225
0.02 
0.13 
vmax3
8
240
240
0.5625  0.17  5.1 vmax3
vmax3  0.07696
m
s
Solução:
H A  HB
vA2 p A
v2 p

 y A  B  B  yB
2g 
2g 
AA  vA  AB  vB
 2A
 2B
 vA 
 vB
4
4
2B
v A  2  vB
A
1502
vA 
 vB
3002
1
vA   vB  vB  4vA
4
2
vA pA
v2 p

 y A  B  B  yB
2g 
2g 
21
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p A  pB
v2  v2
 yB  y A  B A

2g
vC 
 4vA   vA2
5286 10

0.75

104
2  9.81
2
16vA  vA2
5.286  0.75 
19.62
19.62  5.286  19.62  0.75  15vA2
2B
 vB
C2
2
vC 
1
vC   vB  vB  4  vC
4
Q
4Q
vC 
 vC 
2
 C
 C2
4
4  0.105
m
vC 
 vC  2.139
2
 0.250
s
103.711  14.715  15vA2
22
vA2 
103.711  14.715
88.996
 vA 
15
15
m
vA  2.436
s
vB  4  vC  vB  4  2.139  vB  8.556
Q  AA  vA
  2A
 vA
4
  0.32
Q
 2.436
4
m3
Q  0.1722
s
1000 L
s
L
Q  172.2
s
Q  0.1722
2. Calcular a pressão relativa no início do duto
de 250mm de diâmetro e a altura ―h‖ de água, sabendose que a vazão é de 105 L/s e descarrega na atmosfera.
Resp.: p1 = 0,350 kgf/cm2 h = 3,73 m
(A)

vA2 p A
v2 p

 y A  B  B  yB
2g 
2g 
m
s
8.5562
h
2  9.81
h  3.7311m
(B)
Solução:
22
vC2 pC
v2 0

0  B  0
2g 
2g 
2
p
2.139
8.5562 0
 C4  0 
 0
2  9.81 10
2  9.81 
p
0.233196  C4  3.731148
10
pC
 3.731148  0.233196
104
pC  34979.53Pa
N
1
kgf
1Pa  1 2 
4
m
9.8110 cm2
kgf
pC  0.35 2
cm
v2
vB  2  g  h  h  B
2 g
Q
(C)
1252
 vB
2502
3. Sabe-se que, no sistema abaixo, as pressões
relativas nos pontos ―A‖ e ―B‖ são respectivamente 1,5 e
-0,35 kgf/cm2 e a vazão de água é igual a Q = 0,21 m3/s.
Determinar a potência real da turbina, para rendimento
de 60%.
Resp.: PrT = 33,5 cv
vB2 0
02 0
 h 
  0  vB  2  g  h
2g 
2g 
vC2 pC
v2 p

 yC  B  B  yB
2g 
2g 
AC  vC  AB  vB  105
L
m3
 0.105
s
s
 C2
 2B
 vC 
 vB
4
4

Solução:
 H O  9.81103
2
N
N
kgf
 104 3  103 3
2
m
m
m
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H A  H B  HT
vA2 pA
vB2 pB

 yA 

 yB  H T
2g 
2g 
AA  vA  AB  vB
2A
2B
 vA 
 vB  0.21
4
4
 3002
 6002
 vA 
 vB  vA  4vB
v32 p3
v22 p2
4
4

 y2 
  y3
2g 
2g 
kgf
4 N
1 2  9.8110 2
cm
m
p2
3.2942
9.152 0.5  9.81104


0


 6.1
3
3
 0.32
 0.62
2

9.81
9.81

10
2

9.81
9.81

10
 vA 
 vB  0.21
p2
4
4
0.553029 
 4.2672  5  6.1
3
4  0.21
m
9.81

10
vA 
 vA  2.97
p2
 0.32
s
 5.3672  0.553029
3
vA
2.97
m
9.81

10
vB 
 vB 
 vB  0.743
4
4
s
2
2
kgf
vA pA
v
p
p2  4814.17 2

 y A  yB  B  B  H T
m
2g 
2g 
1 2
4

m
2.972 1.5  9.81104
0.7432  0.35 9.8110
Q

A

v

A

v

v2  v1  3.294


1



H
2
2
1
1
T
3
3
s
2  9.81
9.8110
2  9.81
9.8110
H 0  H1
0.44959  15  1  0.028137  3.5  HT
Q
23
 32
 22
 v2 
 v3
4
4
2
1502
v2  32  v3  v2 
 9.15
2
2502
m
v2  3.294
s
H 2  H3
16.44959  3.471863  HT
HT  19.921453m
v02 p0
v12 p1
  y0 
  y1
2g 
2g 
PT  T    Q  HT
p1
02 0
3.3942
  30.5 

0
2g 
2  9.81 9.81103
p1
30.5  0.58711 
9.81103
p1   30.5  0.58711  9.81103
PT  0.6  9.81103  0.2119.921453
PT  24624.11W
1cv  735W  1HP  1.014CV
24624.11
PT 
W  PT  33.5cv
735
4. Calcular a potência real da turbina (ηT =
70%) e as pressões relativas nos pontos 1 e 2, do
sistema mostrado na figura abaixo.
Resp.: PrT = 38 cv p1 = 2,99 kgf/cm2 p2 = 0,481
kgf/cm2
p1  293445.4509Pa
1
kgf
p1  293445.4509
4
9.8110 cm2
kgf
p1  2.99 2
cm
H1  HT  H 2
v12 p1
v2 p
  y1  HT  2  2  y2
2g 
2g 
HT 

Solução:
 H O  9.81103  104
2
Q  A2  v2  A3  v3
N
m3
HT 
 v2 p

v22 p2

 y2   1  1  y1 
2g 
 2g 

v12 p1
v2 p
  y1  2  2  y2
2g 
2g 
p  p2
HT  1

23
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293445.4509  47227.007
9.81103
HT  25.1328m
PT  T    Q  HT
Q  A3  v3
v1  0.4804
HT 
 32
 v3
4
 0.152
Q
 9.15
4
m3
Q  0.16169
s
3
PT  0.7  9.8110  0.16169  25.13
PT  27902.47W
1cv  735W  1HP  1.014CV
27902.47
PT 
W  PT  37.96cv
735
Q
24
5. Calcular a potência teórica da bomba, no
sistema mostrado na figura abaixo, sabendo-se que as
pressões relativas nos pontos 1, 2 e 3 são
respectivamente: -2.290 kgf/m²; 15.000 kgf/m² e 11.220
kgf/m².
Resp.: PtB = 7,9 cv

Solução:
Q  A2  v2  A1  v1  A3  v3
 32
 12
 22
 v1 
 v2 
 v3
4
4
4
2
3002
v2  12  v1  v2 
 v1  v2  4  v1
2
1502
v3 
m
s
v2  4  v1  v2  4  0.4804  v2  1.9216
v3  18.367  v1  v3  18.367  0.4804
m
v3  8.8235
s
H1  H B  H 2
HB 
 v2 p

v22 p2

 y2   1  1  y1 
2g 
 2g 

HB 
HB 
v22  v12 p2  p1

2g

1.92162  0.4816752 15000   2290    9.81

2  9.81
9.81103
H B  0.17637  17.29
H B  17.46637m
PB    Q  H B
 12
PB   
 v1  H B
4
 0.32
PB  9.81103 
 0.4804 17.46637
4
PB  5818.446W
1
1W 
cv
735
5818.446
PB 
cv
735
PB  7.91cv
6. Calcular a vazão de água no sistema abaixo,
sabendo-se que a potência teórica da bomba é de 11,8 cv
e a tubulação tem diâmetro constante.
Resp.: Q = 0,203 m3/s
12
3002

v

v

 v1  v3  18.367  v1
1
3
32
702
H 2  H3
v2 p
v22 p2

 y2  3  3  y3
2g 
2g 
 4v1 
15000  9.81 18.367  v1  11220  9.81


2  9.81 9.81103
2  9.81
9.81103
2
2

0.81549v12  15  17.194v12  11.22
15  11.22  17.194v12  0.81549v12
16.37853v12  3.78  v1 
3.78
16.37853
m
s

Solução:
1cv  735W
PB  11.8  735W
PB  8673W
PB    Q  H B
H1  H B  H 2
24
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1
cv
735
10091.088
PT 
cv
735
v12 p1
v2 p
  y1  H B  2  2  y2
2g 
2g 
v 2 v 2 p2  p1
HB 


 y2  y1
2g 2g

p  p1
HB  2
 y2  y1

HB 
25
1.035  2.1  9.8110
9.81103
H B  4.35m
PB    Q  H B
P
Q B
  HB
8673
Q
9.81103  4.35
m3
Q  0.203
s
4
 15
7. Calcular a potência teórica da turbina, no
sistema abaixo, sabendo-se que a água sai na atmosfera
no final do tubo de diâmetro 75 mm.
Resp.: PrT = 13.7 cv
1W 
PT  13.729cv
8. No sistema abaixo, a velocidade no ponto ―C‖
é igual a 3.66 m/s, onde a água sai na atmosfera. A
pressão relativa no ponto ―A‖ é igual a – 0.35 kgf/cm2.
A perda de carga entre os pontos ―A‖ e ―C‖ é igual a Δh
= 3.05m. A potência real da bomba é igual a 20 cv, com
rendimento de 70%. Até que altura ―H‖ , a bomba
poderá elevar água, sabendo-se que o sistema tem
diâmetro constante e igual a 150 mm?
Resp.: H = 7,8 m

Solução:
 Q  HB
B
PB  B
HB  e
 Q
Q  AC  vC
PBe 
  C2
 vC
4
  0.152
Q
 3.66
4
m3
Q  0.064677
s
Q

Solução:
 2
Q  Av 
v
4
 0.0752
m3
Q
 9  Q  0.03976
4
s
H 0  HT  H 3
2
0
2
3
2
2
v
p
v
p
 0  y0  HT 
 3  y3
2g 
2g 
0
0
9
0
  30  HT 
 0
2g 
2  9.81 
HT  30  4.128  HT  25.872m
PT    Q  HT
PT  9.81103  0.03976  25.872
PT  10091.088W
HB 
20  735  0.7
9.81103  0.064677
H B  16.2179m
H A  H B  HC  H pAC
v2 p
vA2 pA

 y A  H B  C  C  yC  H pAC
2g 
2g 
vA2 0.35  9.81104
vA2 0


0

16.2179

  1.8  H  3.05
2g
9.81103
2g 
3.5  16.2179  1.8  H  3.05
12.7179  4.85  H  H  12.7179  4.85
H  7.8679m
9. Determinar a potência real da bomba (ηB =
80%) e as pressões relativas nos pontos 1 e 2 , no
sistema abaixo, sabendo-se que: a vazão de água é de 40
L/s, a perda de carga entre os pontos A e 1 é 3 vezes a
25
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carga cinética do ponto 1 e a perda de carga entre os
pontos 2 e B é 20 vezes a carga cinética do ponto 2.
Resp.: PrB = 66 cv p1 = 0,496 kgf/cm2 p2 = 10,408
kgf/cm2
p
0 0
2.26352
2.26352
 0
 1 3  6  3
2g 
2g
g 10
2g
0  0.261133 
p1
 6  0.7833994
9.81103
p1  4.9554675  9.81103
p1  48613,1369Pa
1
kgf
4
9.8110 cm2
kgf
p1  0.495546 2
cm
H 2  H B  H p2,B
p1  48613,1369 
26
v22 p2
v2 p
v2
  y2  B  B  yB  20  2
2g 
2g 
2g
5.09292 p2
02 0
5.09292
 6 
  73  20 
2g

2g 
2g
p2
1.289033 
 6  73  26.43999
9.81103
p2  98.15095  9.81103

p2  962860.89Pa
Solução:
PBe 
  Q  H Bomba
B
1
kgf
4
9.8110 cm2
kgf
p2  9.815 2
cm
p2  962860.89 
H PA,1  3  Ec1
H1  H Bomba  H 2
v12
2g
 20  Ec2
H PA ,1  3 
H P2,B
H P2,B
v12 p1
v2 p
  y1  H Bomba  2  2  y2
2g 
2g 
v22
 20 
2g
Q  A1  v1  A2  v2  40
L
m3
 0.04
s
s
0.04
0.16
0.16
 v2 
 v2 
2
2
 2
 2
 0.12
4
m
v2  5.0929
s
0.04
0.16
0.16
v1 
 v1 
 v1 
2
2
 1
 1
 0.152
4
m
v1  2.2635
s
H A  H1  H pA,1
2.26352 48613,1369
5.09292 962860.89

 6  H Bomba 

6
3
2  9.81
9.8110
2  9.81 9.81103
0.261133  4.955467  H Bomba  1.289  98.150957
5.2165  H Bomba  99.43
H Bomba  94.2135m
v2 
2
A
2
1
2
1
v
p
v
p
v
 A  yA 
 1  y1  3 
2g 
2g 
2g
PBe 
PBe 
  Q  H Bomba
B
9.81103  0.04  94.2135
0.8
PBe  46211.72W
PBe 
45896.28
cv
735
PBe  63cv
10. Supondo que no sistema do exercício nº 9,
os dois reservatórios estejam fechados (pA e pB ≠ 0) e
sabendo-se que as pressões relativas nos pontos 1
e 2 são respectivamente 0,2 kgf/cm2 e 9,5 kgf/cm2 .
Calcular as pressões nos pontos ―A‖ e ―B‖ e potência
26
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real da bomba (ηB = 80%), para essa nova situação.
Obs.: utilizar as mesmas perdas de carga do exercício nº
9.
Resp.: PrB = 63 cv pA = - 0,296 kgf/cm2 pB = - 0,912
kgf/cm2
27
L v2
hf  f  
 2g
Experiência de Nikuradse:


f  f  NR , 
K

11. Óleo de viscosidade dinâmica μ = 0,01
kgf.s/m² e peso específico γ = 850 kgf/m³ , escoa em
regime permanente e com vazão Q = 50,0 L/s, através
de 3.000,0 m de comprimento de tubo de Ferro Fundido
(FºFº), com diâmetro φ = 300,0 mm. Pede-se calcular a
perda de carga distribuída através da fórmula Universal
de perda de carga.
Resp.: Δhd ≅ 8,9 m
h 
R X L
 A
X: Perímetro.
L: comprimento
R: Tensão de atrito em kgf/cm2.

27
Q  Av  v 
Solução:
R X L
h 
 A

R
dv
 R  
dv
dy
dy
R  
v
y
Q  A  v  v 
R  
v
 Q A  R 
y
Q
A
Q
A  y
X L
 A
Q X  L
h 

A  y   A
 Q  X  L
h  y 
  A2
h  y 
 Q  X  L
  2 
 

 4 
2
16   Q  X  L
2  4
h  y 16 0.01 50 103  3000
 2
X

850  0.34
h  y
 0.35m
X
4  50 103
m
 v  0.7074
2
 0.3
s
Número de Reynolds:
NR 
 v 

   g   
h  R 
h  y 
Q
4Q
v
2
 
 2
4
NR 
NR 

g
  v 
g 
850  0.7074  0.3
9.81 0.01
N R  1838.8
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Ferro Fundido: K = 3.75.10-4m
  3.3687 103

0.3


  800
4
K 3.75 10
K
N s
m2
A função f deve ser calculada no ponto:



f  f  N R  1838.8,  1158.3 
K


f  0.0195
28
L v2
hf  f  
 2g
3000 0.70742
h f  0.0195 

0.3 2  9.81
h f  4.97m
Ou
Como NRe é<2000:
f 
f 
64
N Re
64
 f  0.0348
1838.8
L v2
hf  f  
 2g
3000 0.70742
h f  0.0348 

0.3 2  9.81
h f  8.87m
12. Calcular a perda de carga distribuída em
uma tubulação de aço revestido nova, com 900,0 m de
comprimento e 100,0 mm de diâmetro, devido ao
escoamento de 375000,0 L/dia de óleo combustível à
temperatura de 20ºC ( γ = 855,0 kgf/m³ , ν = 3,94x10-6
m²/s), em regime permanente.
Resp.: Δhd = 4,93 m
 Solução:
L
103 m3
m3
Q  375000
 375000
 Q  4.34 103
dia
24  3600 s
s
Q  Av  v 
4.34 103
m
 v  0.5529
2
  0.1
s
4

   


   g   
g

  
g
855  g
  3.94 106 
g

Número de Reynolds:
 v 

  v 
NR 
g 
855  g  0.5529  0.1
NR 
g  3.3687 103
N R  14032.99
NR 
L v2
hf  f  
 2g
Tubulação de aço:
K = 4.6.10-5m

0.1


  2173.9
5
K 4.6 10
K
A função f deve ser calculada no ponto:



f  f  N R  14032.99,  2173.9 
K


f  0.03
L v2
hf  f  
 2g
900 0.55292

0.1 2  9.81
h f  4.2m
h f  0.03 
13. Calcular a perda de carga distribuída em
uma tubulação de aço soldado nova, com 3.200,0 m de
comprimento e 300,0 mm de diâmetro, devido ao
escoamento de 10.6x106 L/dia de gasolina à temperatura
de 25ºC ( γ = 720,0 kgf/m³ , ν = 6,21x10 -6 m²/s), em
regime permanente.
Resp.: Δhd ≅ 23,82 m
 Solução:
L
103 m3
m3
Q  10.6 106
 10.6 106
 Q  0.122685
dia
24  3600 s
s
Q  Av  v 
0.122685
m
 v  1.7356
2
  0.3
s
4
Aço: L = 3200m
R = 4.6.10-5m

0.3


  6521.7
5
K 4.6 10
K
Número de Reynolds:
NR 
 v 

28
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
g

        
g
  v 
v 
NR 
 NR 


g  
g
   g   
NR 
29
1.7356  0.3
 N R  83845.4
6.21106
Número de Reynolds:
NR 
NR 
1.5915  0.4
 N R  1.2337 105
6
5.16 10
A função f deve ser calculada no ponto:



f  f  N R  1.2337 105 ,  8695.6 
K


Pelo diagrama de Moody-Rouse:
f  0.03
L v2
hf  f  
 2g
A função f deve ser calculada no ponto:



f  f  N R  83845.4,  6521.7 
K


Pelo diagrama de Moody-Rouse:
f  0.019
L v2
hf  f  
 2g
3200 1.73562
h f  0.019 

0.3 2  9.81
h f  29.47m
v 

29
2000 1.59152

0.4 2  9.81
h f  19.36m
h f  0.03 
H A  H Bomba  h f  H R
vA2 pA
v2 p

 y A  H Bomba  h f  R  R  yR
2g 
2g 
1.59152
13734
0 0

 100  H Bomba  19.36 
  180
2  9.81 861 9.81
2g 
14. Um óleo combustível à 10ºC (γ = 861.0
0.12909  1.626  100  H Bomba  199.36
kgf/m³ , ν = 5.16x10-6 m²/s) escoando em regime
permanente com vazão Q = 0,2 m³/s, é bombeado para o
H Bomba  199.36  101.755
tanque "C", como mostra a figura abaixo, através de
uma tubulação de aço rebitado nova, com diâmetro
constante φ = 400,0 mm e comprimento de recalque L =
2.000,0 m. O reservatório em "C" está em contato com a
pressão atmosférica. Sabe-se que a pressão relativa do
ponto "A" é igual a 0,14 kgf/cm². Pede-se calcular a
potência real da bomba, para rendimento de 80%.
Resp.: PtB ≅ 282,0 cv
R
H Bomba  97.605m
  Q  H Bomba
PBe 
B
PBe 
861 9.81 0.2  97.605
0.8
PBe  206102.962W
PBe 
206102.962
cv
735
PBe  280.4cv

Solução:
Q  0.2
Q  Av  v 
m3
s
0.2
m
 v  1.5915
2
  0.4
s
4
Aço: L = 3200m
R = 4.6.10-5m

0.4


  8695.6
5
K 4.6 10
K
15. No sistema mostrado na figura abaixo, a
vazão de água à 20ºC em regime permanente é Q = 22.1
L/s. No trecho 0-1 o comprimento é 60.0 m e o diâmetro
é 200.0 mm. No trecho 2-3 o comprimento é 260.0 m e o
diâmetro é 150.0 mm. A tubulação em toda sua extensão
é de ferro fundido nova. Pede-se calcular: a) as pressões
relativas nos pontos 1 e 2; b) a potência real da bomba
para rendimento de 60%.
Obs.: -Utilizar a fórmula Universal da perda de carga e o
método do comprimento equivalente.
-No desenho:
a, b = curva 90º R/D = 1 1/2; c, d = cotovelo 90º RM
Resp.: a) p1 ≅ 1.760,0 kgf/m² ; p2 ≅ 1,652 kgf/cm²;
b) PrB ≅ 7,26 cv
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hR  K sR 
v2
0.7032
 hR  0.2 
 0.005037m
2g
2  9.81
H 0  ha  hb  hR  hp01  H1
v02 p0
v2 p
  y0  ha  hb  hR  h f01  1  1  y1
2g 
2g 
02 0
0.7032 p1
  2  0.02267  0.02267  0.005037  0.1586 
 0
2g 
2  9.81 
2  0.208977  0.02518 
30

p1
 1.7658

Solução:
3
L
m
Q  22.1  Q  22.1103
s
s
Q
0.0221
m
Q  A1  v1  v1 

 v1  0.703
 012  0.22
s
4
4
H O  0.7 106
2
m2
s
(viscosidade cinemática da água)
Perda de carga no trecho 0-1:
Ferro fundido: L 01 = 60m
R = 2.59.10-4m
01
0.2


  772
4
K 2.59 10
K
Número de Reynolds no trecho 01:
v 
N R1  1 01

N R1 
0.703  0.2
 N R1  2 105
6
0.7 10
p1

p1  1.7658    1.7658  9.81103
p1  1765.8
Singularidade
30
N
m2
kgf
m2
Esquema
Ks
1
Alargamento
A1
A2
1
Caso limite
 A1 

 A2 
Estreitamento
 
Caso Limite
0.5
Cotovelo a 90°
0.9
A função f deve ser calculada no ponto:



f  f  N R1  2 105 , 01  772 
K


Pelo diagrama de Moody-Rouse:
f  0.021
L01 v12
h f01  f 

01 2 g
60 0.7032

0.2 2  9.81
h f01  0.1586m
h f01  0.021
As perdas de carga singulares ocorrem quando
há perturbações bruscas (válvulas, cotovelos, etc.) no
escoamento do fluido e são calculadas por expressões
que envolvem análise dimensional, dadas por:
v2
hs  K s 
2g
v2
0.7032
ha  hb  K sa   ha  0.9 
 0.02267m
2g
2  9.81
0.2
Válvula de
gaveta
Totalmente
aberta
10
Válvula tipo
globo
Totalmente
aberta
Válvula de
retenção
0.5
23
0.15


  579.15
4
K
2.59 10
K
Cálculo da velocidade no trecho 2-3:
Q
0.0221
m
Q  A2  v2  v2 

 v2  1.2506
 232  0.152
s
4
4
Número de Reynolds no trecho 23:
N R2 
v2 23

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Prof. Dr. Cláudio S. Sartori www.claudio.sartori.nom.br
N R2 
1.2506  0.15
 N R2  2.6798 105
6
0.7 10
PBe  5110.259W



f  f  N R1  2.67 105 , 23  579.15 
K


Pelo diagrama de Moody-Rouse:
f  0.0225
h f23  f 
L23 v22

23 2 g
260 1.25062
h f01  0.0225 

0.15 2  9.81
h f01  3.108m
31
H 2  h f23  hvr  hvga  hc  hd  H3
v2
1.25062
hc  hd  K sd   hc  0.9 
 0.07174m
2g
2  9.81
PBe  6.95cv
16. No sistema mostrado abaixo, a tubulação é
de aço galvanizado nova com diâmetro de 75,0 mm em
toda sua extensão de 280,0 m. A tubulação descarrega
água à 20ºC, na atmosfera. O regime de escoamento é
permanente com vazão Q = 6,5 L/s. Pede-se determinar
a altura H, utilizando a fórmula Universal da perda de
carga e a expressão para calcular as perdas de carga
localizadas.
Obs.: -No desenho: a = curva 90º; b, c = curva 45º
Resp.: H ≅ 11,93 m
patm
0
a
v2
1.25062
hvr  K svr   hvr  0.5 
 0.03985m
2g
2  9.81
H
b
v2
1.25062
hvg  K svg   hvg  10 
 0.797m
2g
2  9.81
2
3
2
2
v
p
v
p
 2  y2  h f23  hvr  hvga  hc  hd   3  y3
2g 
2g 
1.25062 p2
02 0
  0  3.108  0.03985  0.797  0.07174  0.07174    12
2  9.81 
2g 
p
0.07971  2  16.08833

p2
 16.00862

p2  16.00862    16.00862  9.81103
p2  16.00862    16.00862  9.81103
N
m2
1
kgf
4
9.8110 cm2
kgf
p2  1.600862 2
cm
H1  H Bomba  H 2
v12 p1
v2 p
  y1  H Bomba  2  2  y2
2g 
2g 
Q
c

Solução:
H 0  h f  hL  H R
H 0  h f  ha  hb  hc  hvg  hvG  H R
L
m3
Q  6.5  Q  6.5 103
s
s
Q
0.0065
m
Q  Av  v 

 v  1.4713
2
2
 
 0.075
s
4
4
H O  1106
2
H Bomba  14.14272m
  Q  H Bomba
PBe 
B
PBe 
3
9.8110  22.110 14.14272
0.6
3
m2
s
(viscosidade cinemática da água)
 Perda de carga no trecho L = 280m:
Aço galvanizado novo.
Rugosidade  = K = 1.5.10-4 a 2.0.10-4m

0.075


  500
4
K 1.5 10
K
Número de Reynolds no trecho L:
0.7032 18839.16
1.25062 157044.56

 0  H Bomba 

0
3
2  9.81 9.8110
2  9.81 9.81103
0.02518  1.9204  H Bomba  0.0797  16.0086
H Bomba  16.0883  1.94588
5110.259
cv
735
PBe 
A função f deve ser calculada no ponto:
NR 
N R1 
v 

1.4713  0.075
 N R  1.103 105
6
110



f  f  N R1  1.1105 ,  500 
K


Pelo diagrama de Moody-Rouse:
f  0.025
31
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L v2
h f  f  
 2g
J  0.002021
n
280 1.47132
h f  0.025 

0.075 2  9.81
h f  10.297m

hL   Ki 
i
hs  K s 
v2
2 g (m)
Local
Denominação
a
b
c
Curva 90°
Curva 45°
Curva 45°
Válvula de retenção
tipo leve
0.4
0.2
0.2
2.5
0.044
0.022
0.022
0.022
Válvula globo
aberta
10
1.1033
32



ha  K a 
Trecho 0 – 1: L01 = 5m; 01 = 0.05m
L
m3
Q  3.6  Q  3.6 103
s
s
Q
3.6 103
m
Q  A  v  v01 

 v01  1.833
2
2
 01  0.050
s
4
4
3.6 10 
Q1.88
J  0.002021 4.88  J  0.002021
01
0.054.88
3 1.88
v2
1.47132
 hb  0.2 
 ha  0.022m
2g
2  9.81
hvg  Kvg 
v2
1.47132
 hvg  0.2 
 hvg  0.022m
2g
2  9.81
hvg  KvG 
v2
1.47132
 hvG  10 
 hvg  1.1033m
2g
2  9.81
H 0  h f  ha  hb  hc  hvg  hvG  H R
H 0  H1  h01  hvg  heb
hvg  K s 
v2
1.8332
 hvg  0.2 
 hvg  0.0342m
2g
2  9.81
v2
1.8332
 hvg  1
 hvg  0.1713m
2g
2  9.81
heb  Keb 
p1
H0 
patm
v12
 z1  h01  hvg
2 g
p1
 2.048
9.81103
H 0  11.51m
17. No sistema mostrado na figura abaixo, a
vazão de água à 20ºC em regime permanente é Q = 3.6
L/s. No trecho 0-1 o diâmetro é 50.0 mm. No trecho 2-3
o diâmetro é 63.0 mm. A tubulação em toda sua
extensão é de aço galvanizado nova. Pede-se calcular: a)
as pressões relativas nos pontos 1 e 2; b) a potência
teórica da bomba.
Obs.: Utilizar a fórmula de Fair-Whipple-Hsiao da
perda de carga para calcular as perdas de carga
localizadas.
No desenho: a, b = cotovelo 90º
Resp.: a) p1 ≅ 2.060,0 kgf/m² ; p2 ≅ 3,047 kgf/cm²; b)
PtB ≅ 1,36 cv


p1
1.8332
3

 0  0.5745  0.0342  0.1713
9.81103 2  9.81
H0  10.297  0.044  3  0.022  1.1033  0
3
 J  0.1149
h01  L1  J  h01  5  0.1149  h01  0.5745m
v2
1.47132
 ha  0.4 
 ha  0.044133m
2g
2  9.81
hb  hc  Kb 
v2
2g

Perdas de carga localizadas:
Ks
Q1.88
4.88
p1  2.2200  9.81103
N
m2
kgf
m2
H1  H B  H 2
p1  2048.0

Trecho 2-3:
Comprimento:
L23 = 8+26.5+6 = 40.5 m
L
m3
Q  3.6  Q  3.6 103
s
s
Q
3.6 103
m
Q  A  v  v23 

 v23  1.155
2
2
 23  0.063
s
4
4
3.6 10 
Q1.88
 J  0.002021
4.88
01
0.0634.88
3 1.88
6.0 m
J  0.002021
b
 J  0.0372
h23  L23  J  h23  40.5  0.0372  h23  1.5069m
patm
26.5 m
28.0 m
0
3.0m
a
B
1
5.0 m
2
8.0 m
 Solução:
Para tubos de aço galvanizado, conduzindo
água fria:

Perdas de carga localizadas:
hb  ha  K a 
hvr  Kvr 
hvg  KvG 
v2
1.1552
 ha  0.9 
 ha  0.0612m
2g
2  9.81
v2
1.1552
 hb  2.5 
 hvr  0.17m
2g
2  9.81
v2
1.1552
 hvG  10 
 hvg  0.6799m
2g
2  9.81
32
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Ks
hs  K s 
v2
2 g (m)
Local
Denominação
a
b
Cotovelo 90°
Cotovelo 90°
Válvula gaveta
aberta
0.9
0.9
0.2
0.0612
0.0612
0.022
Válvula globo
aberta
Válvula de
retenção
10
1.1033
2.5
0.17




H 2  h23  ha  hb  hvr  hvg  H3
33
v22 p2
  y2  h23  ha  hb  hvr  hvg  H 3
2g 
1.1552 p2
  0  1.5069  0.0612  0.0612  0.17  0.6799  28
2  9.81 
p
0.06799  2  30.4792

p2
 30.4792  0.06799  p2  30.41121 9.81103

p2
 30.4792  0.06799  p2  30.41121 9.81103

N
p2  2.9833 105 2
m
1
kgf
p2  2.9833 105
4
9.8110 cm2
kgf
p2  3.041 2
cm
H1  H B  H 2
v12 p1
v2 p
  y1  H B  2  2  y2
2g 
2g 
HB 
é C = 100. No trecho 3-4 o comprimento é 100,0 m, o
diâmetro é 150,0 mm e o coeficiente de Hazen-Williams
é C = 90. Utilizando a fórmula de Hazen-Williams da
perda de carga e o método do comprimento equivalente,
pede-se determinar:
(a) a pressão relativa no ponto 3;
(b) a vazão de água, para escoamento
permanente;
(c) a cota do ponto 4;
(d) o comprimento da tubulação no trecho 0-1.
Obs.: -No desenho: a = cotovelo 90º RL; b = curva 45º
Resp.: (a) p3 = 0.903 kgf/cm² ; (b) Q = 24.0 L/s ;
(c) z4 = 810.33 m ; (d) L0-1 = 194.5 m
patm
?
4
b
a
804.0 m
B
800.0m
p
atm
0
1

(a)
2
3
Solução:
H 2  h23  hvr  hvg  H3
(b)
H1  H B  H 2
v12 p1
v2 p
  y1  H B  2  2  y2
2g 
2g 
Como os diâmetros das seções 1 e 2 são iguais:
v1 = v2. Também y1 = y2. Assim:
p2  p1

p  p1
HB  2

HB 
v22  v12 p2  p1

2g

1.1552  1.8332 2.9833 105  2.17782 104
HB 

kgf
9.81 N
N
p1  0.5 2  p1  0.5  4 2  p1  0.5  9.81104 2
2  9.81
9.81103
cm
10 m
m
H B  0.103255  28.19
H B  28.0876m
PB    Q  H Bomba
PB  9.81103  3.6 103  28.0867
PB  991.9W
PBe 
991.9
cv
735
PBe  1.3495cv
18. No sistema abaixo, as pressões relativas
nos pontos 1 e 2 são respectivamente: -0,5 kgf/cm² e
10.500,0 kgf/m². A potência teórica da bomba é 5,0 cv e
a tubulação é de ferro fundido. No trecho 0-1 o diâmetro
é 200,0 mm e o coeficiente de Hazen-Williams é C =
120. No trecho 2-3 o comprimento é 180,0 m, o
diâmetro é 200,0 mm e o coeficiente de Hazen-Williams
p1  0.5
kgf
kgf
N
 p2  10500 2  p2  10500  9.81 2
cm2
m
m
HB 
10500  9.81   0.5  9.81104 
9.81103
H B  15.5m
PB  5cv  PB  5  735  PB  3675W
PB    Q  H B
P
3675
Q B Q
  HB
9.81103 15.5
m3
Q  0.024168
s
L
Q  24.16
s
33
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Q  A1  v1  Q 
v1 
4  0.024168
m
 v1  v2  v3  0.76929
2
 0.2
s

Perdas localizadas no trajeto de 2-3:
hvg  KvG 
34
 12
4Q
 v1  v1 
4
 12
hvr  Kvr 
v2
0.769292
 10 
 hvg  0.302m
2g
2  9.81
v2
0.769292
 hvr  2.5 
 hvr  0.0754m
2g
2  9.81
v2
0.769292
hvr  Kvr 
 hvr  0.2 
 hvr  0.006m
2g
2  9.81
Ks
Local
Denominação


Válvula globo
aberta
Válvula de
retenção
Válvula gaveta
aberta



hs  K s 
v2
2 g (m)
Válvula
gaveta aberta
0.006
(=0.2m)

4.87
1.852
23
C
4.87
23

J 23  10.643  0.0241681.852 1001.852  0.24.87
J 23  0.005405
h23  J 23  L23
h23  0.005405 180
h23  0.9729m
H 2  h23  hvr  hvg  H3
v32 p3
v22 p2

 z2  h23  hvr  hvg 
  z3
2g 
2g 
Como v2 = v3 e z2 = z3:
 0.9729  0.0754  0.302 
(=0.2m)

(=0.2m)
a
(=0.2m)
b
(=0.15m)
Leq
Comprimento
equivalente (m)
Válvula globo
(aberta)
Válvula de
retenção tipo
leve
Cotovelo 90°
RL
Curva 45°
1.4
67
16
4.3
1.1
v32 p3
v2 p
  z3  h34  hb  4  4  z4
2g 
2g 
kgf
9149.7 2
0.97292
m  804  0.656  1.1  0  0  z

4
kgf
2  9.81
2g 
103 3
m
0.04824  9.1497  804  1.756  z4
z4  814.44m
H 0  h01  L01  ha  hvg  H1
v02 p0
v12 p1

 z0  h01  L01  ha  hvg 
  z1
2g 
2g 
0 0
0.7692
  800  0.003856  L01  L01  4.3  1.4 

2g 
2  9.81
800  1.003856  L01  5.7 
p
p2
 h23  hvr  hvg  3


10.5  1.3503 

0.2
J 01  10.643  0.024168 120
 0.2
J 01  0.003856
h01  J 01  L01
 Trecho 2-3: 23  0.2m C23  100
10
Nome

1.852
p3
 p3  9.1497 103
3
10
 Tubulação de Ferro fundido:
Rugosidade: 2.5.10-4m
Trecho 0-1 e 1-2:

0.2


  800
4
K 2.5 10
K
Número de Reynolds:
kgf
m2  804
3 kgf
10 3
m
0.5 104
0.7692
 5  804
2  9.81
L01 ?
p3
103
34
Comprimentos equivalentes:
Dispositivo
0.0754
1.852
10500

2.5
4.87
J 01  10.643  Q1.852  C011.852 01
kgf
m2
3 kgf
m3
J 34  10.643  0.0241681.852  901.852  0.154.87
J 34  0.00656
h34  J 34  L34
h34  0.00656 100  h34  0.656m
0.302
J  10.643  Q1.852  C 1.852 4.87
 Trecho 0-1: 01  0.2m C01  120
J 23  10.643  Q
4.87
J 34  10.643  Q1.852  C341.852 34
10
Fórmula de Hazen-Williams
1.852
kgf
m2
kgf
p3  9149.7 2
m
kgf
p3  0.91497 2
cm
 Trecho 3-4: 34  0.15m C34  90
p3  9149.7
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NR 
N R1 
v 

Resp.: a) Q = 96,0 L/s; b) pB = 3.490,0 kgf/m² , pC =
5,412 kgf/cm²; c) LA-B = 500,5 m
1317.69  0.2
 N R  2.635 108
6
110



f  f  N R1  2.6 108 ,  800 
K


Pelo diagrama de Moody-Rouse:
f 
K 
Leq 
f
35
19. No sistema abaixo a vazão de água à 20ºC,
em regime permanente é Q = 11,9 L/s. Sabe-se que a
pressão relativa no ponto 2 é p2 = 2,3 kgf/cm². No
trecho 0-1 o diâmetro é 150,0 mm e o comprimento é
182,0 m. No trecho 2-3 o diâmetro é 100,0 mm.
Utilizando a fórmula Universal da perda de carga e o
método do comprimento equivalente, pede-se: a) a
pressão relativa no ponto 1; b) o comprimento do trecho
2-3; c) a potência real da bomba para rendimento de
58%.
Obs.: -No desenho: a, b = cotovelo 90º RL
Resp.: a) p1/γ = 3,0 mcH2O; b) L2-3 = 117,3 m; c) PrB ≅
5,5 cv

Solução:
20. Para o sistema abaixo, a potência real da
bomba (rendimento de 90%) é 72 cv. A perda de carga
localizada devida à válvula de retenção na tubulação CD é igual a 0,127m. O fluido é água à 20ºC e as pressões
relativas nos pontos "A" e "D" são respectivamente: 0,2 kgf/cm² e 0,3 kgf/cm². Pede-se: a) a vazão do
sistema; b) as pressões relativas nos pontos B e C; c) o
comprimento da tubulação A-B.
Obs.: -Considerar no trecho A-B: rugosidade: e =
0,005m ; diâmetro igual a 400mm -Considerar no trecho
C-D: comprimento: L = 1200m; diâmetro igual a
350mm; rugosidade: e = 0,0003m
-Utilizar a fórmula Universal da perda de carga e o
método do comprimento equivalente.
Não considerar as perdas de carga devidas à
entrada normal e à saída da canalização,
respectivamente nos reservatórios A e D -No desenho: a
= curva 45º
35

Solução:
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Apêndice
37
Turbinas Hidráulicas - Tipos
Basicamente existem dois tipos de turbinas
hidráulicas: as de ação e as de reação. No primeiro caso,
de ação, a energia hidráulica disponível é transformada
em energia cinética para, depois de incidir nas pás do
rotor, transformar-se em mecânica: tudo isto ocorre a
pressão atmosférica Na turbina de reação, o rotor é
completamente submergido na água, com o escoamento
da água ocorre uma diminuição de pressão e de
velocidade entre a entrada e a saída do rotor.
Tradicionalmente o uso de turbinas hidráulicas temse concentrado no tipo Pelton, com um ou mais jatos, no
caso das máquinas de ação; na Francis, Hélice e Kaplan,
no caso do tipo de reação. A escolha do tipo adequado
baseia-se nas condições de vazão, queda líquida, na
altitude do local, na conformação da rotação da turbina
com a do gerador e na altura de sucção, no caso de
máquinas de reação.
Conhecidos a altura (H) e a vazão (O) disponíveis
no local, levando-se em conta: a rotação (n) imposta em
valores discretos em função do número de pares de
pólos (z), do gerador elétrico, e altura de sucção,(hs), no
caso da turbina hidráulica ser de reação, determina-se
uma rotação específica nq = 3 n Q05 / H~1’75 , que
definirá o tipo de rotor da turbina hidráulica, adequado
ao aproveitamento em questão.
Definido o tipo de máquina, a preocupação passa ser
o tipo de carga a ser atendida. Deve-se procurar adequar
a curva de carga com a de comportamento da turbina.
No caso de grandes variações na carga, divide-se a
instalação em duas ou mais máquinas, de maneira que
através de manobras, a instalação atenderá a demanda
sempre com as máquinas trabalhando a cargas
adequadas. Neste caso, faz-se necessário a mudança do
tipo do rotor, já que a rotação específica mudou, devido
a divisão da vazão.
Em grandes centrais hidroelétricas as turbinas
somente serão construídas após a definição de todos os
parâmetros topográficas, hidrológicos e operacionais.
Com isto, existe uma perfeita caracterização da rotação
específica. Neste caso é feito um projeto exclusivo para
as condições impostas. A preocupação do fabricante é
obter um ganho do rendimento que é resultante de
extensos estudos hidrodinâmicos na máquina. O alto
custo desta exclusividade é diluído, face às grandes
potências geradas e ao considerável aumento de receita
representado por cada percentual acrescido da turbina.
Já, em instalações de pequeno porte, mini e
microcentrais hidroelétricas, a preocupação maior é
obter energia elétrica a baixo custo. Neste caso, o estudo
da escolha do tipo e do número de turbina, feita de
maneira análoga às das grandes instalações, tem como
fatores limitantes a rotação mínima admissível para o
gerador, na ordem de 600 rpm (rotações por minuto), a
necessidade de utilizar-se de modelos padronizados
oferecidos pelo fabricante. Este as oferece dentro de um
campo de aplicação pré-limitado, dividido em várias
faixas, sendo cada uma atendida por um modelo padrão
da turbina em questão. Conseqüentemente uma turbina
assim especificada dificilmente irá operar no seu ponto
ótimo de funcionamento. Além do que, cada máquina
deverá atender a uma variação de carga preestabelecida.
Impreterivelmente, quedas de rendimento da instalação
deverão ocorrer.
No Brasil, os fabricantes nacionais mais conhecidos
se contentam em oferecer modelos padronizados dos
tipos: Pelton, Francis e Hélice. Recentemente é que,
baseados em projetos desenvolvidos no exterior, se
encorajaram e passaram a oferecer a Kaplan e suas
derivações como: Bulbo, ―S" e Tubular.
Objetivando diminuir os custos e aumentar o seu
campo de aplicação as Francis, além de caixa espiral,
são oferecidas em caixas cilíndricas e abertas. Já as
Pelton são oferecidas com um ou dois injetores.
Normalmente, em se tratando de PCHs, estas máquinas
são instaladas com eixo horizontal.
Algumas empresas atuantes em outros segmentos do
mercado, outras criadas especialmente para a fabricação
de equipamentos hidromecânicos e até mesmo grandes
empresas tradicionais no setor hidroelétrico voltaram
seus interesses ao mercado das PCHs, procurando
desenvolver modelos de turbinas hidráulicas possíveis
de serem fabricadas em série. Poucas empresas, não
tradicionais no mercado, trabalham exclusivamente com
a muito divulgada, mas quase desconhecida, MichellBanki, a maioria concentra suas atividades nas clássicas:
Pelton, Francis e Hélice, deixando os caros rotores
Kaplan para uma fase posterior, quando o mercado
assim o permitir. Em caso das instalações exigirem este
último tipo, os projetos geralmente são importados das
sedes de origem do fornecedor.
Alguns tipos de turbinas que, embora bastante
utilizadas, são consideradas não convencionais. Dos
tipos descritos a seguir, somente a Michell-Banki
encontra-se devidamente divulgada no país, é construída
em pequena escala. Todas elas apresentam como
vantagens comuns: simplicidade construtiva, adequação
à padronização, baixo custo, simplicidade de operação e
manutenção, robustez dos componentes, bom
comportamento em sistemas
isolados.
Como
desvantagem, conseqüentes das simplificações impostas,
elas apresentam rendimentos ligeiramente inferiores às
turbinas tradicionais.
 Turbinas Convencionais
 Turbina Pelton
As Turbinas Pelton são máquinas de ação,
escoamento tangencial. Operam altas quedas e baixas
vazões. Podem ser de um (01) jato, dois (02) jatos,
quatro (04) jatos e seis (06) jatos. C controle da vazão é
realizado na agulha e injetor. A figura 4 mostra uma
turbina Pelton de dois (02) jatos, com suas partes
principais.
 Turbina Francis
As Turbinas Francis são máquinas de reação,
escoamento radial (lenta e normal) e escoamento misto
(rápida). Operam médias vazões e médias quedas. O
controle da vazão é realizado no distribuidor ou sistema
de pás móveis.
 Turbina Axial: Hélice e Kaplan
As Turbinas axiais são máquinas de reação, de
escoamento axial. Operam grandes vazões e baixas
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quedas. O controle de vazão é realizado: turbina Hélice a estender o campo de aplicação das turbinas Michel— pás do distribuidor (simples regulagem) e turbina Banki à rotação específica, nq inferiores a 40 (de 15 a
Kaplan - pás do distribuidor e pás do rotor.
40). Com um campo de aplicação limitado entre queda
de 50 a 150 (m) e vazões de 0,01 a 0,13 (m3/s), esta
turbina deverá concorrer com a turbina Pelton de um
 Turbinas Não Convencionais
 Turbina Michell Banki
jato.
Inicialmente patenteada na Inglaterra, em 1903, por
O seu funcionamento ocorre da seguinte maneira: a
A G. Michell, engenheiro australiano, mais tarde, entre água oriunda das tubulações, passa por uma peça de
os anos de 1917 e 1919, pesquisada e divulgada pelo transição, que muda a secção transversal de circular para
professor
húngaro
Banki,
esta
turbina
foi retangular, entra no injetor o qual, juntamente com a pá
extensivamente comercializada pela empresa alemã diretriz, direciona o fluxo d’água para o rotor primário,
Ossberger Turbinen Fabrik que associou-se a Michell que está contido no interior do rotor secundário, que por
por volta de 1923. Nestes últimos 65 anos esta empresa sua vez é bi-partido, figura 5. A água escoa através das
responsável pela entrega de mais de 7.000 unidades em pás em formato de arco de círculo do rotor primário e o
todo o mundo, especialmente para em desenvolvimento. jato d’água é partido de maneira a incidir no interior das
Atualmente, o número de fabricante deste tipo de pás, também em arco de círculo, do rotor secundário e
turbina supera uma centena. No Brasil, o objeto de daí sair para o canal de fuga. Ambos os rotores são
pesquisa do LHPCH-UNIFEI desde 1983, a turbina solidários a um eixo horizontal. Todo o conjunto é
Michell-Banki, ou fluxo-cruzado, como também é contido no interior de uma tampa.
conhecido, já foi fabricada pela empresa Mescli, de
Em testes feitos pela Politécnica de Hong Kong,
Piracicaba-SP, na década de 60. Nesta mesma época a obteve-se rendimentos na ordem de 58 a 610/o, sendo
Fundição Brasil também a oferecia com o nome de que o primário testado sozinho forneceu 46 a 56%.
Duplex. Atualmente, o país conta por volta de quatro
A vantagem deste tipo de turbina, além de ampliar o
fabricantes deste tipo de turbina. Devido às suas campo de aplicação de Michel-Banki, é a sua facilidade
características específicas, estas turbinas cobrem o de fabricação, já que pode usar processo de fundição
campo das turbinas tipo Pelton dois jatos até a Francis para o rotor. A desvantagem consiste no rendimento
normal. Sendo classificada como uma máquina de ação sensivelmente inferior a Michel-Banki de rotações
ela apresenta características de reação na primeira específicas equivalente, conforme os resultantes obtidos
passagem.
nos testes desenvolvidos na politécnica de Hong Kong.
O seu campo de aplicação atende quedas de 3 a 100
m, vazões de 0,02 a 2,0 (m3/s) e potências de t a 100
 Turbina Turgo
kW Devido à sua facilidade de padronização pode
apresentar rotações específicas, nqa, entre 40 a 200.
A turbina Turgo é fabricada pela Gilkers & Gordon
Devido à sua simplicidade construtiva e as Ltda, empresa inglesa. Trata-se de uma máquina de ação
peculiaridades quanto ao seu funcionamento, esta e diferencia da Pelton quanto ao ângulo de incidência do
turbina mostra-se altamente indicada para ser usada em jato d’água. Quando na Pelton o jato é tangencial, na
microcentrais hidroelétricas. Destaca-se:
Turgo é lateral, O jato d’água incidente no injetor, e no
rotor lateralmente, formando um ângulo ente 100 a 200.
- Construção simples, poucas peças móveis, facilitando A água escoa pelas pás saindo livremente do outro lado
a manutenção;
para o canal de fuga. Com rotações específicas, nq,
- Fácil instalação, diminuindo os custos de obras civis; variando de 15 a 65, a Turgo atende quedas entre 15 a
- Custos iniciais inferiores aos dos outros tipos de 100 m e vazões de 0,01 a 0,100 m3/s, com potências de
turbinas usadas em centrais de baixa queda;
100W a 100 kW.
Devido às suas particularidades, a Turgo compete
- Trabalha sob condições ideais de funcionamento, com a Pelton multijatos até a Francis Normal. Se com
mesmo se funcionando a cargas parciais;
características semelhantes, a Turgo apresenta as
- Pode trabalhar em várias situações de queda e vazão, seguintes vantagens diante da Pelton Multi-jatos:
permitindo a sua padronização, conseqüentemente
- Devido a posição do jato, a turbina Turgo pode
diminuindo os custos de fabricação;
assumir diâmetros até a metade da roda Pelton para as
- Componentes, como o disco do rotor, a tampa e as pás mesmas condições.
podem ser fabricados a partir de uma chapa de aço
- Como a Pelton, a Turgo pode ser dotada de ate três
carbono;
injetores.
- Pás são apenas calandradas;
- Devido às maiores vazões admissíveis nos injetores
- Adapta-se a tubos de sucção.
da roda turgo, ocorre uma diminuição do número de
injetores, e conseqüentemente, há uma simplificação no
sistema de controle de velocidade.
 Turbina de Fluxo Partido
A turbina de Fluxo Partido, mostrada na figura 9,
trata de uma variação da Michell-Banki. Originada no
Com a diminuição do diâmetro há um aumento na
Nepal onde foi, pela primeira vez, construída e testada rotação, logo, sob quedas menores, é possível obter
pela empresa N. Y 8., e mais tarde testada pela Escola rotações adequadas ao gerador.
Politécnica de Hong Kong, a Turbina de Fluxo-Partido,
Atualmente, além da Gilkers, existem propostas de
SplitFlow, assim denominada, foi concebida de maneira outros modelos de turbinas Turgo mais simplificados,
38
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como a pesquisada pelos chineses. Estes propõem o uso
de pás semi-esféricas que, equacionadas, permitiram o
dimensionamento e construção de um protótipo, cujos
resultados obtidos em ensaios foram equivalentes ao
fornecido pelas Gilkers.
No Chile, a exemplo das rodas Pelton, existe uma
proposta para construção de simples rodas Turgo,
construídas com pás semi-esféricas e setias, no lugar de
injetores.

39
Turbina Shiele
A Turbina Schiele produzida somente pela empresa
Water Power Engineering, Cambridge, Inglaterra,
apresenta-se como um interessante tipo de turbina de
reação. De rotor aberto, com fluxo em paralelo, ela
opera submersa, abaixo do nível de jusante.
O seu campo de aplicação cobre quedas de 1 a 10 m,
vazões de 0,095 a 1,7m3/s, gerando potencias desde 1,7
a 58 kW. Pelos dados fornecidos pelo seu fabricante a
rotação específica adotada é na ordem de 60. Trata-se de
uma concorrente da Turbina Michell-Banki, sendo que
as vantagens estão no fato de assumirem diâmetros
menores e, conseqüentemente, maiores rotações que as
turbinas de impulso.
O rotor, que é fabricado em diâmetros padrões: 200,
300, 400, 600 mm, é instalado com eixo vertical, dentro
de uma caixa espiral que, por sua vez, é ligada à tomada
d’água por uma tubulação de PVC. A água que vem
escoando pelo rotor é dividida, saindo tanto pela parte
superior e inferior do rotor, para daí escoar para o canal
de fuga através de um curto tubo de sucção.
Devido ao emprego de polímeros na fundição do
rotor, não se faz necessário a usinagem pós-fabricação.
Com um acabamento extremamente liso e de alta
integridade, o polímero por ser flexível, dá à turbina
uma alta resistência à erosão dos detritos que por
ventura passem pela grade.
O fabricante da turbina Schiele, ou de fluxo em
paralelo como também é denominada, fornece-a em
forma de pacote. Empregando materiais leves e
resistentes, como é o caso de fibras de vidro, PVC e
polímeros, são fornecidos todos os componentes básicos
da microcentral de maneira a minimizar o emprego da
mão-de-obra na construção da microcentral. A tomada
d’água, feita de fibra de vidro, é dotada de uma
comporta desviadora, uma grade, e um extravasor. A
água é conduzida até a turbina, instalada dentro de um
tanque, através de um conduto de PVC. A água após
passar pela turbina escoa pelo tanque através de um
pequeno tubo de sucção para sair pelo rio. A potência é
transmitida para o gerador, através de um eixo e uma
transmissão por polias, que se faz necessário para
adequar a rotação da turbina ao gerador. A velocidade
da instalação é controlada eletronicamente através de
um banco de resistência, que pode ser usado para
aquecer água dispondo assim a carga não consumida
pela usuário.
importante no caso de microcentrais. O uso da bomba
funcionando corno turbina, B.F.T., mostra-se altamente
adequado para geração de potências inferiores a 50 W
com a instalação trabalhando a plena carga. A
experiência já adquirida no país, através de pesquisas
desenvolvidas no LHPCH - UNIFEI, que iniciou os
estudos em trabalhos publica-os pela Worthington e
alguns pesquisadores estrangeiros, demonstra que o uso
da B.F.T. pode tornar-se de imediato uma solução
altamente econômica para as microcentrais.
O funcionamento da instalação se dá pelo princípio
de se operar uma bomba ao reverso, que motivos
econômicos, pode ser de fabricação seriada, não
sofrendo qualquer modificação. Ainda, admite-se
somente o uso de um tubo de sucção cônico e o uso de
uma válvula na entrada da B.F.T. para pequenas
regulagens de carga.
Posta a operar, a B.F.T. tem se comportado
excelentemente. Não ocorrem vibrações, o rendimento é
igual ou, em alguns casos, superior ao rendimento da
bomba quando em operação.
A dificuldade consiste em saber se o rendimento
garantido pelo fabricante é real ou não, se o ponto ótimo
de funcionamento é realmente para as condições de
altura manométrica, vazão e rotação conforme mostrado
em catálogos. As experiências têm demonstrado que, em
se tratando de bombas fabricadas em série, dificilmente
o apresentado em catálogos é obtido em ensaios no
laboratório.
Devido ao baixo custo, as B.F.T.s apresentam os
inconvenientes de não admitirem variações de carga.
Problema este que pode facilmente ser solucionado com
regulador eletrônico de carga constante.

Turbina Hidrocinética
Em 1982, J. H. Harwood, um pesquisador da
Universidade do Amazonas, desenvolveu um tipo de
turbina hidrocinética com tecnologia apropriada à
geração de pequenas potências denominado cata-água.
Tal como mostrado na figura 13. O dispositivo é
constituído por um cata-vento, com um número menor
de pás, imerso na água. O rotor, através de uma correia,
aciona o gerador instalado estrategicamente sobre
flutuadores, O conjunto é ancorado, através de cabos, de
forma a melhor aproveitar a correnteza do rio.
A turbina de rotor hélice desenvolvida em Nova
Iorque, pois este rotor permite maiores eficiências,
permitindo gerar em ambos os sentidos, alcançando 25
 Bombas Funcionando como Turbinas
kW Existe um exemplar desta turbina em Brasília na
Por fim, destaca-se o caso das bombas funcionando UNB. A figura 14 mostra esta turbina.
Uma outra proposta é a turbina hidrocinética axial,
como turbinas (B.F.T.), que se tratam de a solução
que foi elaborada pelo pesquisador do LHPCH-UNIFEI,
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FCTM – Capítulo 4 – Bombas, Turbinas e Perda de carga
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cujo o arranjo está mostrado na figura 15. Nesta
proposta o rotor, em forma de polia, aciona diretamente
o gerador posicionado sobre os flutuadores.
Uma outra proposta é o uso do rotor eólico Darreus
de pás retas como a turbina hidrocinética, mostrado na
figura 16. Este tipo de turbina tem a vantagem de ter
eixo na posição vertical, facilitando a instalação do
gerador ou de polia multiplicadora de velocidade, e
caracteriza-se, principalmente, em produzir energia
independente da direção da correnteza.

40
Turbina Helicoidal (Gorlov)
A turbina Helicoidal, desenvolvida pelo pesquisador
Alexander M.Gorlov também baseada na turbina
Darreus, concebida na década de 1930, se difere da
primeira pelo formato das pás. Tal turbina mostrada nas
figuras 17 e 18, elas assumem forma helicoidal e
apresentam um maior rendimento e menores vibrações,
uma vez que sempre haverá uma pá em posição de
receber o fluxo.
Os primeiros testes foram realizados em 1996, no
Laboratório de Turbinas Helicoidais de Massachusetts,
Cambridge, USA. A partir destes testes, verificaram-se
que esta é uma máquina que ocupa pouco espaço; é leve
e fácil de manusear; apresenta baixo custo de fabricação
e apresenta pequena vibração mecânica.
São turbinas hidráulicas capazes de gerar até 5 kW
de potência, operando independentemente da direção da
correnteza. Esta turbina possui rotação unidirecional
mantendo um escoamento livre, com um rendimento
máximo que pode alcançar 35%, é fabricada em
alumínio e revestida com uma camada de material
antiaderente, reduzindo desta forma o atrito na água e
prevenindo contra o acúmulo de crustáceos e sujeira.
Esta pode ser usada na posição vertical ou horizontal.
A turbina Gorlov também pode ser denominada de
turbina ―ecológica‖ em razão do seu aspecto
construtivo, ou seja, dimensão, ângulo e distanciamento
entre suas pás, que permitem a passagem fácil de
peixes, não contribuindo para denegrir o meio ambiente.
As turbinas Gorlov têm sido testadas para diferentes
finalidades, a saber: em plataformas marítimas, onde
produzem a eletricidade usada na eletrólise da água para
fornecer hidrogênio e oxigênio; e na produção de
eletricidade para abastecer pequenas propriedades rurais
nas regiões ribeirinhas de rios, nos EUA, China e
Coréia.
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