Capítulo 2
Probabilidades
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Definições
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Acontecimento
Qualquer colecção de resultados de uma
experiência.
Acontecimento elementar
Um resultado que não pode ser simplificado ou
reduzido.
Espaço de resultados- Ω
Constituído por todos os acontecimentos
elementares.
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Notação das Probabilidades
P - denota a probabilidade.
A, B, e C - denota acontecimentos
específicos.
P (A) -
denota a probabilidade de
ocorrer o acontecimento A.
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Regras Básicas para o
Cálculo das Probabilidades
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Regra 1: Frequência Relativa;
Aproximação da Probabilidade
Realize (ou observe) a experiência um
grande nº de vezes, e conte o nº de vezes em
que ocorreu o acontecimento A. Baseado
nestes resultados, P(A) é estimada como se
segue:
P(A) =
nº de vezes que A ocorreu
nº de vezes que a experiência se realizou
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Regras Básicas para o
Cálculo das Probabilidades
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Regra 2: Abordagem Clássica
(Requer
Acontecimentos Equiprováveis)
Suponha que uma experiência é composta por n
acontecimentos elementares distintos, em que
cada um tem a mesma possibilidade de ocorrer. Se
o acontecimento A pode ocorrer em k desses n
acontecimentos elementares, então
k
P(A) = n =
nº de vezes que A pode ocorrer
nº de acontecimentos
elementares distintos
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Lei dos Grandes
Números
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Quando uma experiência é repetida um
grande nº de vezes, o valor da
frequência relativa (regra 1) de um
acontecimento tende a se aproximar do
valor da verdadeira probabilidade.
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Exemplo
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Cartas Num baralho de cartas, planeia apostar na saída
de uma carta de copas. Qual a probabilidade de
perder?
Solução Um baralho tem 52 cartas, 13 das quais são
copas, e as restantes 52-13= 39 não. Cada carta tem a
mesma possibilidade de ser retirada do baralho. Como
o espaço de resultados é constituído por
acontecimentos equiprováveis, usamos a abordagem
clássica (regra2) e obtemos
37
P(perder) = 39
52
38
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Valores da
Probabilidade
A probabilidade de um acontecimento
impossível é 0 (zero).
A probabilidade de um acontecimento
certo é 1.
•
0 ≤ P(A) ≤ 1 para qualquer
acontecimento A.
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Valores Possíveis para as
Probabilidades
Figura 2-1
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Definição
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O complementar do acontecimento A,
denotado por Ac, consiste em todos os
acontecimentos nos quais o
acontecimento A não ocorre.
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Arredondamento do
Valor das Probabilidades
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Quando se apresenta o valor de uma
probabilidade, ou se indica a fracção
exacta ou se faz um arredondamento
com 3 casas decimais.
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Resumo
Nesta secção apresentámos:
Regras da Probabilidade.
Lei dos Grandes Números.
Acontecimentos Complementares.
Arredondamento das Probabilidades.
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Definição
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Reunião de acontecimentos
Notação
P(A ou B) = P(A ∪ B)=
= P (o acontecimento A ocorre ou o
acontecimento B ocorre ou ambos
ocorrem)
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Regra Geral para a
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Reunião de Acontecimentos
Para determinar a probabilidade de o
acontecimento A ou B ocorrer, determine
a probabilidade de A ocorrer e a
probabilidade de B ocorrer; em seguida
determine o total de tal forma que nenhum
acontecimento seja contado mais do que
uma vez.
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Reunião de
Acontecimentos
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Regra formal
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B)
onde P(A e B) denota a probabilidade de A e B
ocorrerem simultaneamente. A igualdade anterior
também se escreve na forma
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
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Definição
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Os acontecimentos A e B são disjuntos
(ou mutuamente exclusivos) se não
podem ocorrer em simultâneo.
Figuras 2-2 e 2-3
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Aplicando a Regra da
Reunião de Acontecimentos
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P(A ou B)
AeB
são
disjuntos?
Sim
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Não
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Figura 2-4
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Exemplo
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Passageiros do Titanic
Homens Mulheres Rapazes Raparigas
Sobreviventes
332
318 29
27
706
Mortos
1360
104 35
18
1517
Totais
1692
422 64
56
Totais
2223
Determine a probabilidade de seleccionar ao
acaso um homem ou um rapaz.
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Exemplo
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Homens Mulheres Rapazes Raparigas
Sobreviventes
332
31829
27
706
Mortos
1360
10435
18
1517
Totais
1692
422 64
56
Totais
2223
Determine a probabilidade de seleccionar ao acaso
um homem ou um rapaz.
P(homem ou rapaz) = 1692 + 64 = 1756 = 0.790
2223 2223 2223
* Disjuntos *
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Exemplo
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Homens Mulheres Rapazes Raparigas
Sobreviventes
332
31829
27
706
Mortos
1360
10435
18
1517
Totais
1692
42264
56
Totais
2223
Determine a probabilidade de seleccionar ao
acaso um homem ou um sobrevivente.
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Exemplo
Slide 21
Homens Mulheres Rapazes Raparigas
Sobreviventes
332
31829
27
706
Mortos
1360
10435
18
1517
Totais
1692
42264
56
Totais
2223
Determinar a probabilidade de seleccionar ao acaso um
homem ou um sobrevivente.
P(homem ou sobrevivente) =1692 + 706 - 332 = 2066
2223 2223 2223 2223
= 0.929
* NÃO Disjuntos *
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Acontecimentos
Complementares
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P(A) e P(Ac)
são
mutuamente exclusivos
Todos os acontecimentos elementares
ou estão em A ou em Ac.
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Regras dos
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Acontecimentos Complementares
P(A) +
c
P(A )
= 1, logo
P(Ac) = 1 – P(A),
P(A) = 1 –
c
P(A )
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Diagrama de Venn para o Slide 24
Acontecimento Complementar
de A
Area Total =1
Ω
P(A)
P(A)
P(Ac)=1-P(A)
Figura 2-5
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Resumo
Nesta secção estudámos:
Cálculo da reunião de acontecimentos.
Acontecimentos disjuntos.
Acontecimentos complementares.
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Notação
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P(A e B) = P(A ∩ B)
P(o acontecimento A ocorre na 1ª
experiência e o acontecimento B
ocorre na 2ª experiência )
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Princípio Importante
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É importante notar que a probabilidade
do 2º acontecimento deve ser calculada
tendo em conta que o 1º acontecimento
já ocorreu.
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Notação para a
Probabilidade Condicional
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P(B|A) representa a probabilidade de o
acontecimento B ocorrer após o
acontecimento A ter ocorrido (lê-se B|A
como “B dado A.”)
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Definições
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Acontecimentos Independentes
• Dois acontecimentos A e B são independentes
se a ocorrência de um não afecta a
probabilidade de ocorrência do outro. Se A e B
não são independentes, dizem-se dependentes.
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Algumas Regras Formais
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❖ P(A e B) = P(A ∩ B) = P(A)• P(B|A)
❖ Temos também P(A ∩ B) = P(B) • P(A|B)
❖ Note que se A e B são acontecimentos
independentes, P(B|A) é igual a P(B) e
P(A|B) é igual a P(A).
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Aplicando as regras de acordo
com a independência
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P(A
e B)
P(A
e B)
Sim
AeB
são
independentes?
P(A
P(A∪∩B)B)= =P(A)
P(A)+ .P(B)
P(B)
Não
P(A ∩ B) = P(A) . P(B|A)
= P(B) . P(A|B)
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Figura 2-6
Em suma
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Na regra da probabilidade da reunião de
acontecimentos, a palavra “ou” em P(A ou B) sugere
adição. Adicione P(A) e P(B), mas de tal forma a que cada
acontecimento seja considerado apenas uma vez.
Na regra da probabilidade condicionada, a palavra “e”
em P(A e B) sugere multiplicação. Multiplique P(A) e P(B),
mas certifique-se de que a probabilidade do
acontecimento B tem em conta o facto de que o
acontecimento A já ocorreu.
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Definição
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A probabilidade condicionada de um acontecimento
é a probabilidade obtida com a informação adicional
de que um outro acontecimento já ocorreu. P(B | A)
denota a probabilidade condicionada de o
acontecimento B ocorrer, dado que o acontecimento
A já ocorreu, e pode ser
calculado dividindo a probabilidade de os
acontecimentos A e B ocorrerem pela probabilidade
de ocorrer o acontecimento A :
P(B A) =
P(A e B)
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P(A)
Verificando a Independência
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Já sabemos que os acontecimentos A e B são
independentes se a ocorrência de um não afecta a
probabilidade de ocorrência do outro.
Formalmente, temos:
Dois acontecimentos A
e B são independentes se
Dois acontecimentos A
e B são dependentes se
P(B | A) = P(B)
P(B | A) ≠ P(B)
ou
ou
P(A | B) = P(A)
P(A | B) ≠ P(A)
ou
ou
P(A e B) = P(A) . P(B)
P(A e B) ≠ P(A) . P(B)
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Complementos: a Probabilidade
de “Pelo Menos Um”
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“Pelo menos um” é equivalente a “um
ou mais.”
O complementar de obter pelo menos
um item é o mesmo do que não obter
qualquer item.
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Exemplo
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Sexo de uma criança. Determine a probabilidade de
um casal com 3 filhos ter pelo menos uma menina.
Considere que a probabilidade de nascer menina é a
mesma do que a probabilidade de nascer rapaz e que
o sexo de uma criança é independente do sexo dos
irmãos.
Solução
Passo 1: Use um símbolo (letra) para representar o
acontecimento em causa. Neste caso, seja A =“o casal
ter pelo menos uma menina, de entre os 3 filhos”.
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Exemplo
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Solução (cont.)
Passo 2: Identifique o acontecimento complementar
de A.
Ac = “o casal não ter pelo menos uma
menina, de entre os 3 filhos”
= “os 3 filhos são rapazes”
= rapaz e rapaz e rapaz
Passo 3: Determine a probabilidade do complementar:
P(A) = P(rapaz e rapaz e rapaz)
= 1. 1. 1 = 0.125
2 2 2
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Exemplo
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Solução (cont)
Passo 4: Determine P(A) através do cálculo de
P(A) = 1-0.125 = 0.875
Interpretação Um casal com 3 filhos, tem uma
probabilidade 0.875 de ter, pelo menos, uma
menina.
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Princípio Chave
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Para determinar a probabilidade de pelo
menos um, calcule a probabilidade de
nenhum, e depois subtraia o resultado
a 1. Ou seja,
P(pelo menos um) = 1 – P(nenhum)
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Resumo
Nesta secção estudámos:
Notação para P(A e B).
Notação para a probabilidade
condicionada.
Acontecimentos independentes.
Definição formal para o cálculo da
probabilidade condicionada.
Noção de “pelo menos um”.
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