Hashing
• Teoricamente, técnicas de hashing permitem acesso dinâmico aos dados (inserção/remoção/
recuperação) numa complexidade que independe do número N de registros do arquivo  O(1)
Hashing estático
- para arquivos que não variam de tamanho
Função de hashing
• Função que gera um endereço aleatório a partir de uma dada chave.
• Duas chaves podem definir dois endereços idênticos  COLISÃO
chave
k = Adão
Registros
0
h(k)
h(k)
1
2
endereço 4
3
4
5
6
Adão
Exemplo simples
• 75 registros de nomes de pessoas devem ser armazenados num espaço
de memória disponível para 1000 destes registros
função: transforme os dois primeiros caracteres dos nomes em inteiros, relativos
a sua posição na tabela ASCII, multiplique estes valores e utilize os três
dígitos menos significativos como endereço.
Nome
ASCII das duas
Produto
Endereço
priemeiras letras
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------BALL
66 65
66x65=4290
290
LOWELL
76 79
76x79=6004
004
TREE
84 82
84x82=6888
888
Colisões
• Funções de hashing devem gerar poucas colisões
Algumas ideias:
• distribuir o máximo possível os registros a serem armazenados, no arquivo, de tal forma
que dois ou mais registros não sejam atribuídos a um mesmo endereço.
• considerar uma grande quantidade de espaço disponível (memória) em relação ao
número de registros a serem armazenados (perda de espaço!!)
• associar mais de um registro a um único endereço (buckets)
Exemplo de um algoritmo de hashing
1. represente a chave numericamente
2. subdivida-a e adicione os diferentes subconjuntos
3. divida o resultado por um número primo (distribuição mais aleatória do resto)
e use o resto da divisão como endereço.
Para LOWELL:
1. L O W E L L _ _ _ _ _ _
76 79 87 69 76 76 32 32 32 32 32 32
2. | 76 79 | 87 69 | 76 76 | 32 32 | 32 32 | 32 32 |
7679 + 8769 + 7676 + 3232 + 3232 + 3232 = 33820
Para limitar o resultado a um valor máximo, x, e inserir mais aleatoriedade, podemos
utilizar o operador mod:
Ex.: x = 19937  número primo  distribuição mais aleatória do resto da divisão
Assim:
7679 + 8769 = 16448;
16448 + 7676 = 24128;
4187+ 3232 = 7419;
7419 + 3232 = 10651;
10651 + 3232 = 13883;
16448 mod 19937 = 16448
24128 mod 19937 = 4187
7419 mod 19937 = 7419
10651 mod 19937 = 10651
13883 mod 19937 = 13883
3. Objetivo: limitar a faixa de endereço resultante ao número de endereços disponíveis.
Seja s a soma obtida no passo 2 anteiror e n o número de endereços disponíveis no
arquivo. O endereço resultante, a, pode ser dado por:
a = s mod n
que gera um valor entre 0 e n-1
Assim:
arquivo com 75 registros e n=101 endereços disponíveis:
n = 101  primo !!!
s = 13883 (LOWELL)
75/101 = 0,743 = 74% do espaço utilizado
a = 13883 mod 101 = 84
84
LOWELL
Funções de Hashing
ideal (uniforme)
a
b
c
d
e
f
g
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
aceitável
ruim
a
b
c
d
e
f
g
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
a
b
c
d
e
f
g
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Exemplos de funções
- Menos aleatória
• explora o modelo de definição das chaves: e.g., baseado na informação
temporal (data de criação dos registros (dia, mês,ano)
• divisão de chaves por um número primo
- Mais aleatória
• “mid-square”: transforma a chave num grande número decimal, eleva-o
ao quadrado e extrai dígitos do meio desta representação, proporcional ao
número de casas decimais do maior endereço disponível
Ex.: endereços entre 0-99
chave = 342, chave2 = 116964
endereço da chave = 69
• transformação de base: converte a representação numérica decimal da
chave para outra base; calcula o mod deste resultado com o máximo endereço disponível.
Ex.: Endereços entre 0 – 99
chave10  453
Conversão para a base 11:
453 11  41(resto  2)
41 11  3 (resto  8)
3  11  0 (resto  3)
chave11  382  382 mod 100 = 82
Análise da distribuição dos registros no arquivo
• Calcula as diversas probabilidades de distribuição dos registros nos endereços
disponíveis
• Baseia-se na distribuição de Poisson
Função de Poisson
(r / N ) x e  ( r / N )
p ( x) 
x!
Função de Poisson
(r / N ) x e  ( r / N )
p ( x) 
x!
N = número de endereços disponíveis
r = número total de registros a serem armazenados
x = número de registros atribuídos a um dado endereço
p(x) = probabilidade de a um dado endereço serem atribuídos x registros
com uma função de hashing sobre r registros.
Exemplo:
N = 1000 endereços disponíveis
r = 1000 registros a serem armazenados

r
 1 (grande probabilid ade de colisões)
N
• Probabilidade de um dado endereço receber x = 0 registro:
10 e 1
p(0) 
 0,3679 36,79%
0!
• Probabilidade de um endereço receber x = 1 registro:
11 e 1
p(1) 
 0,3679 36,79%
1!
• Probabilidade de um endereço receber x = 2 registros:
12 e 1
p(2) 
 0,184  18,4%
2!
• Probabilidade de um endereço receber x = 3 registros:
13 e 1
p(3) 
 0,061 6,1%
3!
Predições de colisão
Pela teoria das probabilidades, temos que, para N endereços disponíveis,
o número de endereços do arquivo contendo x registros é dado por:
N  p(x)
Assim, para
N = r = 1000  r/N = 1
Podemos estimar o número de endereços com:
• x = 0 registro:
1000 x p(0) = 367,9
 endereço sem registros
• x = 1 registro:
1000 x p(1) = 367,9
 nenhuma colisão
• x = 2 registros: 1000 x p(2) = 183,9
 183,9 registros com um sinônimo
• x = 3 registros: 1000 X p(3) = 61,3
 61,3 registros com 2 sinônimos
(2 x 61,3 = 122,6 overflows)
Problema: Reduzir o número de colisões e tratar os casos de overflow !!
- Redução do número de colisões
• boa função de hashing
• uso de endereços extras
- Fator de carda D:
número de registros
r
D

número de endereços disponíveis N
Exemplo:
r
500
50


 0.5  50% do espaço do arquivo utilizado
N 1000 100
Questões:
1- Para este fator de carga, quantos endereços ficarão sem registros
associados?
(0.5) 0 e 0.5
N  p(0)  1000
 1000 0.607  607
0!
2- Quantos endereços devem receber exatamente 1 registro?
(0.5)1 e 0.5
N  p(1)  1000
 1000 0.303  303
1!
3- Quantos endereços devem receber um registro mais um ou mais
sinônimos?
0
N  [ p(2)  p(3)  p(4)  p(5)  ... ]
= 1000[0.0758 + 0.0126 + 0.0016 + 0.002 + 0] = 90
= 1000 – [607 + 303] = 90
4- Considerando-se apenas um registro/endereço, quantos overflows
ocorrem no arquivo?
p(2)  1 overflow
p(3)  2 overflow
p(4)  3 overflows
..
.
Nx1xp(2) + Nx2xp(3) + Nx3xp(4) + Nx4xp(5) + …
= 1000 x [1x0.0758 + 2x0.0126 + 3x.0016 + 4x0.0002 + 0]
= 107 overflows
5- Qual a porcentagem de overflows?
107
 0,214  21,4%
500
Conclusão: Para um fator de carga igual a 50%, e cada endereço com
um único registro, podemos obter 21% de todos os registros originando
colisões no arquivo.
Relação entre fator de carga e overflows
Fator de carga (%)
10
% de sinônimos
4.8
20
30
40
50
9.4
13.6
17.6
21.4
60
70
80
24.8
28.1
31.2
90
34.1
100
36.8
Redução de colisões por overflow progressivo
• Em casos de overflows, a lista de endereços é percorrida sequencialmente, até que uma área livre seja encontrada. Esta área representa o endereço destino do registro.
Novak
Rosen
York
hash(YORK)
Jasper
Moreley
YORK
Procurando um registro que não existe:
área vázia  Blue não existe
no arquivo
Blue
.
.
.
hash(Blue)
Jello
Se arquivo cheio, a busca sequencial retorna ao ponto de partida
(ciclo completo)  a busca se torna inviável!
Comprimento Médio de Busca (CMB)
compriment
o totalde busca
CMB 
númerototalde registros
Exemplo:
Chave
Endereço
Adams
20
Bates
21
Cole
21
Dean
22
Evans
20
Chave
Endereço
Adams
20
Bates
21
Cole
21
Dean
22
Evans
20
comprimento da busca
20
Adams
1
21
Bates
1
22
Cole
2
23
Dean
2
24
Evans
5
11 2  2  5
CMB 
 2.2
5
CMB versus fator de carga para uma função de hashing com um registro por
endereço e overflow progressivo empregado no caso de colisões
CMB
Fator de carga D
Abordagem de colisões por buckets
• Buckets: conjunto de registros associados a um mesmo endereço.
chave
Green
Hall
Jenks
King
Land
Marx
Nutt
30
Green
endereço
30
30
32
33
33
33
33
cada endereço pode conter 3 registros
Hall
31
32
Jenks
33
King
Land
Marks
Nutt é um
overflow
Densidade de armazenamento por buckets
• Considera o número de endereços (buckets), N, e o número de registros,
b, possíveis de serem armazenados em cada endereço (tamanho dos
buckets):
r
DB 
bN
Ex.:
r = 750
N = 1000
b=1
 750/1000 = 75%
r = 750
N = 500
b=2
 750/1000 = 75%
r/N = 0.75
r/n = 1.5
Distribuição de Poisson para os dois tipos de arquivos
p(x)
Sem buckets
(r/N=0.75)
Com buckets
(r/N=1.5)
p(0)
p(1)
p(2)
p(3)
p(4)
p(5)
p(6)
p(7)
0.472
0.354
0.133
0.033
0.006
0.001
-------
0.223
0.335
0.251
0.126
0.047
0.014
0.004
0.001
Comparação de performance:
• Para o caso de b=1, r/N=0.75 e N = 1000, o número de overflows é:
1000 x [1xp(2) + 2xp(3) + 3xp(4) + 4xp(5) + 0 ] = 222 registros de overflow
 222/750 = 29,6% de overflows
• Para o caso de b = 2, r/N = 1.5 e N = 500, o número de overflows é:
500 x [ 1xp(3) + 2xp(4) + 3xp(5) + 4xp(6) + 0 ] = 140 registros de overflow
 140/750 = 18,7% de overflows
Overflow de registros em função de diferentes tamanhos de buckets
e fator de carga
Tamanho do bucket
Fator de
carga
Porcentagem de overflows
Supressão de registros
• a supressão não deve comprometer novas buscas.
• o espaço liberado deve poder ser reutilizado, por exemplo, no caso
de um overflow progressivo
chaves
Adams
Jones
Morris
Smith
hash(chaves)
5
6
6
5
End. real
5
6
7
8
4
5
Adams
6
Jones
7
Morris
8
Smith
Apagando-se Morris
chaves
Adams
Jones
Morris
Smith
hash(chaves)
5
6
6
5
5
6
7
8
6
Adams
6
Jones
7
Morris
8
Smith
Adams
Jones
7
8
5
observe que Smith não se
encontra na melhor posição
após a supressão
4
5
4
End. real
Smith
Smith está no arquivo?
4
5
Adams
6
Jones
7
########
8
Smith
Hashing duplo
Objetivo: diminuir o clustering de registros em torno de um mesmo
endereço  menor CMB
Ideia: “espalhar” aleatoriamente os registros de overflow.
Método: Em casos de colisões, considere uma segunda função de hashing
cujo resultado será adicionado ao primeiro endereço do registro; repita este
procedimento até encontrar uma posição disponível.
desvantagem: falta de localidade  maior número de seeks eventualmente
Overflow progressivo encadeado
• Os sinônimos são encadeados a partir de apontadores
 cada endereço contém um apontador para o próximo registro de
mesmo endereço
- vantagem: apenas os sinônimos são acessados numa determinada busca.
- desvantagem: temos campo de apontadores a mais; é preciso garantir a
busca correta aos sinônimos a partir do primeiro registro.
Exemplo 1: Overflow progressivo
Chave
hash(chave)
Adams
Bates
Cole
Dean
Evans
Flint
20
21
20
21
24
20
End. real
Comprimento de busca
20
21
22
23
24
25
1
1
3
3
1
6
CMB = (1 + 1 + 3 + 3 + 1 + 6)/6 = 2.5
- Overflow progressivo encadeado
20 Adams
CMB = (1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 3)/6 = 1.7
22
21
Bates
23
22
Cole
25
23
Dean
-1
24 Evans
-1
25 Flint
-1
Exemplo 2:
Chave
hash(chave)
Adams
Bates
Cole
Dean
Evans
Flint
20
21
20
22
24
20
- Overflow progressivo encadeado
20 Adams
22
21
Bates
-1
22
Cole
?
23
Dean
-1
24 Evans
-1
25 Flint
-1
Área separada de overflow
• Objetivo: evitar que registros de overflow ocupem endereços errados.
Assim:
- área principal de dados contém registros com endereços “corretos”.
- área de overflow contém registros de overflows.
• Vantagens: os endereços da área principal de dados ficam livres para as novas
adições de registros; o espaço no arquivo de overflow é alocado quando necessário;
o processamento é simplificado
• Desvantagem: se overflow encontra-se em outro cilindro no disco  maior tempo
de seek
Exemplo:
Chave
hash(chave)
Adams
Bates
Cole
Dean
Evans
Flint
20
21
20
21
24
20
20
21
Adams
0
Bates
1
0
1
22
2
23
3
24
Evans
-1
Cole
2
Dean
-1
Flint
-1
Tabela de Índices
• ideia: definir uma função de hashing que consulte um arquivo (tabela)
de índices apontando para registros.
- Vantagem: a consulta aos índices se dá num único passo.
- Desvantagem: necessita de um acesso a mais na estrutura de hashing
K
20
Adams
Cole
21
Bates
Dean
22
h(K)
23
24
25
Evans
-1
Flint
-1
-1
Análise da frequência de aparição dos dados
• Baseia-se na frequência de ocorrência das chaves para decidir
quais devem ser armazenadas inicialmente no arquivo (aquelas de
maior fdp).