MATEMÁTICA IV
ANÁLISE COMBINATÓRIA
DISCURSIVAS – SÉRIE AULA – AULA 01
1) (UERJ) Considere a situação abaixo:
Em um salão há apenas 6 mulheres e 6 homens que sabem dançar. Calcule o número total de
pares de pessoas de sexos opostos que podem ser formados para dançar.
Um estudante resolveu esse problema do seguinte modo:
A primeira pessoa do casal pode ser escolhida de 12 modos, pois ela pode ser homem ou
mulher. Escolhida a primeira, a segunda pessoa só poderá ser escolhida de 6 modos, pois
deve ser de sexo diferente da primeira. Há, portanto, 12 × 6 = 72 modos de formar um casal.
Essa solução está errada. Apresente a solução correta.
Resolução – MR
Há 6 possibilidades de se escolher uma mulher e, para cada uma dessas escolhas, existem 6 possibilidades
de se escolher um homem. Portanto, o número total “T” de maneiras distintas de se formar um casal é dado
por T =(6 )
(
⋅ 6)
= 36 .
Resposta: 36 maneiras distintas.
2) (FGV-SP) No sistema de numeração decimal, quantos números pares existem com 3 algarismos distintos
e maiores que 800?
Resolução – MR
Lembrando que devemos iniciar a contagem priorizando as restrições.
Caso 1: Números começando com o algarismo 8 (1ª restrição) e terminando em algarismo par (2ª restrição);
T1 =(1 )
(
⋅ 8)
(
⋅ 4 )⇒ T1 = 32
Caso 2: Números começando com o algarismo 9 (1ª restrição) e terminando em algarismo par (2ª restrição);
T2 =(1 )
(
⋅ 8)
(
⋅ 5 )⇒ T2 = 40
Assim, a quantidade de números que atendem ao enunciado será T = T1 + T2 ⇒
T = 72
Resposta: 72 números pares.
3) (UNESP adaptada) Considere todos os números formados por 6 algarismos distintos obtidos
permutando-se, de todas as formas possíveis, os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6. DETERMINE:
a) Quantos números é possível formar (no total) e quantos números se iniciam com o algarismo 1.
b) Escrevendo-se esses números em ordem crescente, qual posição ocupa o número 512346 e que número
ocupa a 242ª posição.
Resolução – MR
a) No total podemos formar
T
= P6 ⇒
T
= 6! ⇒
T = 720 números;
Verificando os números que se iniciam com o algarismo 1:
T =(1 )
⋅ P5 ⇒ T1 = 5! ⇒ T1 = 120
1
b) Verificamos que o número 512346 é o primeiro, em ordem crescente, que inicia com o algarismo “5”,
portanto, todos que começam com 1, com 2, com 3 e com 4 estão antes dele. Com os cálculos efetuados
no item anterior (120 números começam com 5) podemos afirmar que o número 512346 ocupa a posição
481º pois antes deles teremos 4(
⋅ 120 )
= 480 números.
A posição 242º será ocupada por:
120 números começando com o algarismo 1 (do 1º ao 120º);
120 números começando com o algarismo 2 (do 121º ao 240º);
O número da posição 241º será 3–1–2–4–5–6;
O número da posição 242º será 3–1–2–4–6–5.
Respostas: a) 720 números no total e 120 iniciando com o algarismo 1.
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b) 481º e 3-1-2-4-6-5.
4) (UFGO 2004) Uma senha com seis algarismos tem as seguintes características:
• seus algarismos são distintos;
• a soma dos dois últimos algarismos deve ser igual a seis.
Com essas características, determine a quantidade de senhas possíveis de serem formadas.
Resolução – MR
Como os algarismos são distintos não consideraremos a situação em que os dois últimos algarismos são
iguais a 3; assim, termos as seguintes situações para os dois últimos algarismos:
a b c d 1 5; a b c d 5 1; a b c d 2 4; a b c d 4 2; a b c d 0 6 e a b c d 6 0.
Pelo Princípio Fundamental
da Contagem:
8
7
6
5
T =(8 )
(
⋅ 7)
(
⋅ 6)
(
⋅ 5)
(
⋅ 6)
= 10 080
6
Resposta: 10.080 senhas distintas.
5) (UFOP-MG) No meio da “invasão tecnológica” que toma conta de nossas vidas, dona Antônia esqueceu
da sua senha bancária justamente na hora de efetuar um saque. Ela lembra que essa senha é formada
por quatro algarismos distintos, sendo o primeiro 5 e o algarismo 6 aparece em alguma outra posição.
Qual é o número máximo de tentativas que o banco deveria permitir para que dona Antônia consiga
realizar o saque?
Resolução – MR
Caso 1: senha 5 6 __ __
T1 =(1 )(⋅ 1 )(⋅ 8 )(⋅ 7 ) ⇒ T1 = 56
Caso 2: senha 5 __ 6 __
T2 =(1 )
(
⋅ 8)
(
⋅ 1)
(
⋅ 7 ) ⇒ T2 = 56
Caso 3: senha 5 __ __ 6
T3 =(1 )
(
⋅ 8)
(
⋅ 7)
(
⋅ 1 ) ⇒ T3 = 56
Podemos simplificar os cálculos acima efetuando, para o número máximo T de tentativas possíveis,
T = [(1 )
(
⋅ 1)
(
⋅ 8)
(
⋅ 7 )] ⋅ 3 ⇒ T = 168 .
Resposta: 168.
DISCURSIVAS – SÉRIE CASA – AULA 01
1) (UNESP 2003) Dispomos de 4 cores distintas e temos que colorir o mapa mostrado na
figura com os países P, Q, R e S, de modo que países cuja fronteira é uma linha não
podem ser coloridos com a mesma cor.
P
Q
Responda, justificando sua resposta, de quantas maneiras é possível colorir o mapa, se:
R
S
a) os países P e S forem coloridos com cores distintas?
b) os países P e S forem coloridos com a mesma cor?
Resolução – MR
a) os países P e S forem coloridos com cores
distintas?
b) os países P e S forem coloridos com a mesma
cor?
4
2
4
3
2
3
3
1
Ta =( 4 )(⋅ 3 )(⋅ 2 )(⋅ 2 )⇒
Respostas: a) 48 maneiras distintas.
Ta = 48
Ta =(4 )(⋅ 1 )(⋅ 3 )(⋅ 3 )⇒
b) 36 maneiras distintas.
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Tb = 36
2) (UFMS 2004) Uma pessoa esqueceu sua senha bancária de seis dígitos, escolhidos entre 0,1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8 e 9, diante de um caixa eletrônico. Lembrava-se apenas de que a sequência ordenada 2 0 0 3
figurava na senha, não sabendo se esse número localizava-se no começo, meio ou final da senha.
Supondo que a pessoa levou um minuto em cada tentativa de testar a senha correta (considere isso
possível) e que esgotou todas as possibilidades só acertando na última, quantos minutos a pessoa
demorou nessa operação?
Resolução – MR
Caso 1:
2
0
0
3
?
?
T1 =(1 )(⋅ 1 )(⋅ 1 )(⋅ 1 )(⋅ 10 )(⋅ 10 ) ⇒ T1 = 100
Caso 2:
?
2
0
0
3
?
T2 =(10 )
(
⋅ 1)
(
⋅ 1)
(
⋅ 1)
(
⋅ 1)
(
⋅ 10 )⇒ T2 = 100
Caso 3:
?
?
2
0
0
3
T2 =(10 )(⋅ 10 )(⋅ 1 )(⋅ 1 )(⋅ 1 )(⋅ 1 ) ⇒ T3 = 100
Podemos simplificar os cálculos acima efetuando, para o número máximo T de tentativas possíveis,
T = [(1 )
(
⋅ 1)
(
⋅ 1)
(
⋅ 1)
(
⋅ 10 )
(
⋅ 10 )] ⋅ 3 ⇒ T = 300 ; assim, a pessoa demorou 300 minutos, ou seja, o
tempo total é equivalente a 5 × 60 min = 5 horas .
Resposta: 300 minutos (5 horas).
3) (UNESP) Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}. Quantos números de dois algarismos distintos é
possível formar com os elementos do conjunto A, de modo que:
a) a soma dos algarismos seja ímpar?
b) a soma dos algarismos seja par?
Resolução – MR
• a) Soma ímpar: (algarismo par) e (algarismo ímpar) ou (algarismo ímpar) e (algarismo par)
⋅
+
⋅
⇒ Ta = 12 números.
a=
T (2 )(3 )(3 )(2 )
•
b) Soma par: (algarismo par) e (algarismo par) ou (algarismo ímpar) e (algarismo ímpar)
Tb =(2 )
(
⋅ 1)
+(3 )
(
⋅ 2 )⇒ Tb = 8 números.
Resposta: a) 12 números
b) 8 números,
4) (Unicamp-SP 2004 modificada) Considere o conjunto dos dígitos {1, 2, 3, ..., 9} e forme com eles
números de nove algarismos distintos.
a) Quantos desses números são pares?
b) Quantos números pares têm exatamente dois dígitos ímpares juntos?
Resolução – MR
Os algarismos pares são { 2, 4, 6, 8 } e os ímpares são { 1, 3, 5, 7, 9 };
a) O total de números pares, com nove algarismos distintos, será:
Ta =(8 )
(
⋅ 7)
(
⋅ 6)
(
⋅ 5)
(
⋅ 4)
(
⋅ 3)
(
⋅ 2)
(
⋅ 1)
(
⋅ 4 )⇒ Ta =(8! )
⋅ 4 ⇒ Ta = 161 280 .
b) Como a quantidade de algarismos ímpares é maior que a de algarismos pares, consequentemente, o
número, par, deverá iniciar com algarismo ímpar e, com as seguintes configurações:
I
I
P
I
P
I
P
I
P
I
P
I
I
P
I
P
I
P
I
P
I
P
I
I
P
I
P
I
P
I
P
I
P
I
I
P
T 4 4 (5 4 3 2 1)(3 2 1)
Assim, a quantidade de números assim formados será: b = ⋅
⋅ ⋅4⋅ 43
⋅ 4
⋅ ⋅1
⋅
4⋅24
3
{ 142
T 4(5!⋅ 4! )
Arrumando melhor: b = ⋅
Respostas: a)
⋅
4 8!
.
b)
par
4(⋅ 5!⋅ 4! ).
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ímpares
pares
5) (Unifor-CE) Em uma agência bancária, ao retirar-se o cartão de crédito, escolhe-se uma senha que deve
ser composta de 6 dígitos, escolhidos de 1 a 9. De quantos modos pode-se escolher uma senha que
tenha os três primeiros dígitos repetidos e o último dígito seja par?
Resolução: Como não há restrições para o 4º e para o 5º dígito, teremos:
9
1
1
9
9
4
Par
ou
ímpar
Igual
ao 1º
Igual
ao 1º
Sem
restr.
Sem
restr.
par
T = 9.1.1.9.9.4 ⇒
T = 2.916
Resposta: 2.916 senhas distintas.
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