Revista Brasileira de Ensino de Fı́sica, v. 36, n. 3, 3305 (2014)
www.sbfisica.org.br
Poderia Arquimedes ter calculado π com areia e um bastão?
(Could Archimedes have calculated π with sand and a stick?)
Fernanda J. Dellajustina1 , Luciano C. Martins
Departamento de Fı́sica, Universidade do Estado de Santa Catarina, Joinville, SC, Brasil
Recebido em 17/2/14; Aceito em 23/3/14; Publicado em 31/7/2014
Neste artigo propomos três métodos para determinar numericamente o valor de uma das constantes mais
famosas e importantes da matemática, a constante π. Apresentamos um método numérico inspirado no método
original de Arquimedes, um método mecânico experimental que utiliza areia e um bastão, e finalmente, a partir
de um modelo baseado na ideia de probabilidade, o método de Monte Carlo que é usado para a determinação
de π. O aparato experimental usado é bastante simples e de baixo custo, facilitando a utilização do método
experimental e sua aplicação no ensino de fı́sica e matemática em escolas de Ensino Médio.
Palavras-chave: valor numérico de π, método experimental para obter π, método de Monte Carlo para calcular π.
We propose three methods to numerically determine the value of one of the most famous and important
mathematical constants, the constant π. We present a numerical method inspired by the original method of
Archimedes, an experimental mechanical method that uses sand and a stick, and finally, from a model based on
the idea of probability, the Monte Carlo method is used for the evaluation of π. The experimental apparatus is
very simple and of low cost, which makes easy the use of the experimental method and its application in physics
and mathematics courses at high-school level.
Keywords: numerical value of π, experimental method to determine π, Monte Carlo method to determine π.
1. Introdução
Arquimedes de Siracusa (287-212 a.C.), um dos mais
importantes cientistas da antiguidade [1], entre outras
façanhas calculou quantos grãos de areia haveria no universo. Para isso utilizou o modelo heliocêntrico de Aristarco de Samos, e quase todo o conhecimento de sua
época, tendo sido um dos pioneiros na construção de um
sistema numérico para operar e representar números gigantes. Ele muitas vezes fazia seus cálculos escrevendo
na areia, com um bastão, pois nessa época o papel era
raro e precioso demais para rascunhos e desenhos.
Dentre muitos feitos inovadores para a ciência, Arquimedes utilizou um engenhoso método geométrico
para estimar um intervalo de valores numéricos que delimitou o valor de uma das constantes mais famosas
e importantes da matemática, a constante π. Poderia
Arquimedes ter determinado experimentalmente o valor dessa constante utilizando apenas areia, o seu bastão
como alavanca e considerações de simetria e aleatoriedade? A resposta a essa pergunta é sim, como demons1 E-mail:
traremos nesse trabalho.
O número π é conhecido desde a Babilônia de
onde se tem os primeiros registros de aproximações
numéricas do valor da constante [2]. Acredita-se
também que os egı́pcios tinham conhecimento do valor
de π, o qual foi utilizado para a construção da grande
pirâmide de Gizé que possui um perı́metro de 1.760
côvados2 e uma altura de 280 côvados, de forma que a
relação 1.760/280 ≈ 6, 29 que é aproximadamente iguai
2π ≈ 6, 28 [3].
Abordagens instrucionais contemporâneas esperam
os alunos se tornem produtores ativos de conhecimento.
Isso leva à necessidade de criação de ferramentas de ensino e tarefas que podem oferecer aos alunos oportunidades de aprendizagem ativa [4]. Neste estudo utilizamos a experiência computacional como uma integração
da ciência computacional com o método de aprendizagem por descoberta. O experimento computacional
suporta ambos os tipos de pesquisa, a exploração experimental, bem como a pesquisa criativa, ajudando os
alunos a desenvolver modelos não só de exploração, mas
[email protected].
2 Unidade de medida de comprimento que foi usada por diversas civilizações antigas, entre eles os babilônios, egı́pcios e hebreus. Era
baseada no comprimento do antebraço, da ponta do dedo médio até o cotovelo. O côvado real dos antigos egı́pcios media 50 cm, o dos
romanos media 45 cm.
Copyright by the Sociedade Brasileira de Fı́sica. Printed in Brazil.
3305-2
Dellajustina e Martins
também de modelos consistentes. A extensa literatura
cientı́fica é uma evidência robusta de que as simulações
de computador podem melhorar a instrução tradicional,
especialmente na medida em que as atividades laboratoriais são consideradas [5, 6].
Propomos um experimento prático e simples que
ilustra o conceito empı́rico de probabilidade e como se
pode chegar intuitivamente na ideia central do método
de Monte Carlo [7], muito utilizado em simulações
numéricas feitas em computadores. No experimento
proposto, apenas uma medida linear simples feita com
régua será usada para a determinação da constante π,
com o uso de areia e um bastão apoiado, para equilibrar
e comparar massas como uma balança primitiva.
Para revisão e motivação, apresentamos na Seção 2.
a relevância e a utilidade prática da constante π, pra
que se possa entender melhor o porque de tanto interesse e esforço histórico de tantos povos e civilizações
na sua determinação.
Discutimos brevemente na Seção 3. o método original de Arquimedes para a determinação geométrica
de π, que a seguir será comparado com outros três
métodos, um método numérico, um método experimental e outro por simulação computacional, o método de
Monte Carlo [7, 8], respectivamente nas Seções. 4. a 7..
Ao final, na Seção 8., comparamos os métodos apresentados e resumimos as principais conclusões finais
deste trabalho.
2.
Figura 1 - Cı́rculo de raio R partido em 4 setores idênticos, B)
os setores alinhados e C) reorganizados na forma aproximada de
um retângulo.
Um raciocı́nio análogo pode ser usado para a obtenção do volume de uma esfera, seccionando-a em N
setores esféricos idênticos e reorganizando-os na forma
aproximada de um paralelepı́pedo, que no limite N →
∞ terá o volume exato da esfera V = 4πR3 /3.
Em resumo, o perı́metro de uma circunferência, á
área de um cı́rculo e o volume de uma esfera, são quantidades geométricas diretamente proporcionais ao valor
da constante π, daı́ a importância do seu cálculo exato.
Todas essas relações envolvendo a constante π foram demonstradas rigorosamente por Arquimedes através do
método da exaustão de Eudoxo, e apresentadas nos seus
livros A Medida do Cı́rculo e Sobre a Esfera e o Cilindro.
Qual a utilidade da constante π?
O número π, é definido como a razão do perı́metro S
de uma circunferência pelo seu diâmetro D, ou seja,
S
π≡
,
D
(1)
e a partir desta definição, o perı́metro da circunferência
pode ser escrito como S = 2πR, já que o seu diâmetro
é D = 2R.
A área do cı́rculo pode ser obtida a partir do seu
perı́metro usando-se o seguinte argumento geométrico.
Considere um cı́rculo partido em N setores idênticos,
sendo N um número par. Por exemplo, para N = 4,
veja a Fig. 1A. Reorganizando-se os setores do cı́rculo
conforme mostra a Fig. 1B, dividindo-se esse padrão
ao meio e dispondo-os como mostra a Fig. 1C, obtemos uma primeira aproximação para a área do cı́rculo,
considerando o retângulo de base πR e altura R, sendo
A ≈ πR2 ,
(2)
já que existe uma pequena diferença entre as áreas do
retângulo e dos setores originais do cı́rculo. Ao se dividir o cı́rculo em um grande número de partes (N ≫ 4),
obteremos uma melhor aproximação com a área do
retângulo da Fig. 1C, e pode-se mostrar que no limite
N → ∞, a fórmula aproximada dada pela Eq. (2) se
torna exata, ou seja, uma igualdade.
3.
O método geométrico de Arquimedes
No ano de 250 a.C. Arquimedes estimou o valor de
π, através de um engenhoso método geométrico, utilizando polı́gonos regulares inscritos e circunscritos a
uma circunferência de diâmetro unitário, e portanto
de perı́metro π, conforme prevê a Eq. (1). Como
o perı́metro do polı́gono inscrito Si é menor que
o perı́metro da circunferência, e este, menor que o
perı́metro do polı́gono circunscrito Sc , Arquimedes delimitou um intervalo para o valor da constante procurada, ou seja,
Si < π < Sc .
(3)
A medida que o número de lados dos polı́gonos for sendo
aumentado, o valor de π poderá ser calculado com uma
precisão cada vez maior, pois o perı́metro dos polı́gonos
tendem ao da circunferência.
Por exemplo, utilizando inicialmente quadrados e
a seguir octógonos, polı́gonos regulares de quatro e
oito lados, respectivamente, obtemos os desenhos da
Figs. 2A e 2B, e sucessivamente podemos ir dobrando
o número de lados para que os perı́metros das três figuras se aproxime cada vez mais. Observa-se na Fig. 2D,
para n = 32, já quase não há diferença visual entre as
três figuras geométricas.
Poderia Arquimedes ter calculado π com areia e um bastão?
3305-3
onde Ai e Ac são as áreas de polı́gonos inscritos e circunscritos ao cı́rculo.
Assim, para o cálculo de π, ao invés do perı́metro,
vamos considerar a área de polı́gonos com número de lados n = 4, 8, 16, 32, . . . , 2m , ou seja, potências de 2, para
m = 2, 3, 4, . . .. Partindo da Eq. (6), vamos escrever
uma expressão para as sucessivas áreas dos polı́gonos
inscritos no cı́rculo que sejam função do número de
lados dos polı́gonos, e para isso, começaremos desenhando um quadrado inscrito no cı́rculo, conforme a
Fig. 2A. Traçando as diagonais do quadrado obtemos 4
triângulos, cujas áreas são fáceis de determinar, pois
a área de um triângulo é a metade da área de um
retângulo com a base e a altura do próprio triângulo.
Figura 2 - Método de Arquimedes para estimar o valor de π por
polı́gonos regulares inscritos e circunscritos numa circunferência,
para polı́gonos de 4, 8, 16 e 32 lados.
A ideia é simples, mas os cálculos necessários são
trabalhosos, se considerarmos que não existia ainda a
trigonometria e muito menos as ferramentas modernas
do cálculo na época de Arquimedes, mas apenas a geometria euclidiana, aritmética e álgebra elementares.
Cerca de um século antes de Arquimedes, o filósofo
grego Aristóteles havia demostrado a incomensurabilidade [9] da diagonal de um quadrado com relação ao seu
lado, pois aquela medida não podia ser expressa como
uma fração desta, o que chamamos hoje de número irracional, sendo que a matemática grega não considerava
válida a existência de tais números que não podiam ser
medidos ou calculados exatamente.
Repetindo o processo, com polı́gonos inscritos e circunscritos de até 96 lados, Arquimedes demonstrou que
o número procurado deve satisfazer a desigualdade
3+
10
1
<π <3+ ,
71
7
(4)
ou seja 3, 140 < π < 3, 143. Tomando-se o valor médio
do intervalo acima, obtemos o melhor valor de Arquimedes para a constante como sendo
Figura 3 - Um triângulo ABC de um polı́gono A) inscrito e B)
circunscrito num cı́rculo são aproximações para a área do setor
circular.
O triângulo inscrito mostrado na Fig. 3A possui área
Ai,n = R2 sin(θn /2) cos(θn /2) = R2 sin(θn ), sendo que
para um polı́gono regular de n lados, θn = 360◦ /n. Assim, como a área do cı́rculo foi dividida em n setores,
podemos aproximar a área do cı́rculo com raio unitário,
e portanto,
Ai = n Ai,n = (n/2) sin(360◦ /n)
(7)
já que sin(2α) = 2 sin α cos α é uma identidade válida
para qualquer ângulo α. De modo similar, o triângulo
circunscrito da Fig. 3B possui área Ac,n = R2 tan(θ/2),
e para polı́gonos regulares de n lados, circunscritos no
cı́rculo de raio unitário, temos
Ac = n Ac,n = n tan(180◦ /n) .
(8)
(5)
A partir dessas áreas podemos calcular π com uma
precisão muito grande. A Tabela 4. mostra os resultados obtidos para as primeiras aproximações de π.
uma aproximação correta até a terceira casa decimal,
com o ultimo algarismo sendo o duvidoso.
Tabela 1 - Aproximações de π obtidas com o método numérico,
para alguns valores de n.
π =3+
4.
141
≈ 3, 1418
994
O método numérico
Adaptando a ideia original de Arquimedes, calcularemos com um método numérico as aproximações
numéricas de π. Para a área de um cı́rculo com
raio unitário, vale uma desigualdade similar àquela da
Eq. (3), dada por
Ai < π < Ac .
(6)
m
2
3
4
5
6
7
14
21
28
n
4
8
16
32
64
128
16.384
2.097.152
268.435.456
Ai < π
2,000000000000000
2,828427124746190
3,061467458920718
3,121445152258052
3,136548490545939
3,140331156954753
3,141592576584872
3,141592653585093
3,141592653589793
π < Ac
4,000000000000000
3,313708498984760
3,182597878074528
3,151724907429256
3,144118385245904
3,142223629942457
3,141592692092254
3,141592653592143
3,141592653589793
3305-4
Dellajustina e Martins
Verificamos nesta tabela que conseguimos estimar o
valor de π com 15 casas decimais para m = 28, sendo
portanto suficiente um polı́gono com 228 = 268, 435, 456
lados, para se obter o valor de π com a precisão dupla
padrão. O método numérico apresentado aqui é um
método exato, pois após um número finito de passos
podemos determinar o valor numérico de π com a uma
precisão finita qualquer. Os dados da Tabela 4. foram obtidos com o código em linguagem C, listado no
Apêndice 9.1..
5.
e nem muito pouca, difı́cil de pesar. No arranjo experimental que montamos para fazer as medidas usamos
L = 33,10 cm e h = 7,50 cm.
A caixa pode ser feita de qualquer material que suporte o peso sem se deformar, sem perder ou misturar
os grãos de areia durante a coleta para a realização das
medidas. Veja na Fig. 5 o aparato experimental que
montamos.
O modelo
Com base na Fig. 2A podemos escrever uma relação entre o lado do quadrado circunscrito e o raio da cı́rculo,
dada por 2R = L, e definindo-se a razão p entre a área
do cı́rculo e a área do quadrado temos
p=
Ac
πR2
π
= 2 =
Aq
L
4
(9)
que é a fração da área do quadrado ocupada pelo
cı́rculo.
Isolando π na equação anterior temos
π = 4p
(10)
sendo esta a relação fundamental a partir da qual podemos determinar o valor π, sendo necessário apenas
calcular a fração p.
6.
O método experimental
Para a determinação da fração p da Eq. (10) podemos
usar grãos de areia para determinar experimentalmente
o valor de π, usando um aparato experimental bastante
simples e fácil de montar. Tal aparato consiste numa
caixa quadrada de lado interno L e altura h e um tronco
de cilindro com raio externo igual a L/2 e mesma altura
da caixa, que deverá ser encaixado dentro desta caixa,
veja na Fig. 4.
Figura 4 - Esquema de montagem do experimento para calcular
π usando areia.
Os valores para o tamanho da caixa devem ser escolhidos com o critério de uma boa medida, baseada
no volume e peso da areia que será colocada dentro da
caixa, para que não seja muito grande, e muito pesada,
Figura 5 - Montagem experimental para a determinação do π com
a caixa de areia vazia (acima) e cheia de areia (abaixo), com a
borda do cilindro pintada de azul.
Para medir o número π vamos precisar ainda de
areia bem seca, para que ela não fique grudada na parede da caixa ou no tronco de cilindro, ou forme cavidades sem preenchimento uniforme, interferindo assim nos
resultados numéricos. Com a areia preenchemos a caixa
e o cilindro, raspando a parte superior para remover o
excesso de areia e nivelar a superfı́cie de forma mais
plana possı́vel. Na sequência vamos separar em um
saco a areia externa ao tronco de cilindro, que chamamos de mr , e em outro saco a areia interna ao cilindro
mc , nesta ordem. Na última etapa do experimento usaremos uma balança simples, construı́da com um bastão,
dois ganchos e um ponto de apoio, conforme ilustrado
na Fig. 6.
Poderia Arquimedes ter calculado π com areia e um bastão?
3305-5
ajuste, recolocamos as mesmas massas mc e mr em seus
lugares anteriores e reequilibramos o sistema inteiro,
juntamente com o bastão e o contrapeso. Devido a presença do contrapeso, o novo ponto de equilı́brio será
encontrado à direita de O, a uma pequena distância
ϵ. Então, para esse bastão compensado pelo contrapeso, a nova distância da massa mr até o novo ponto
de equilı́brio será também aumentado na mesma quantidade ϵ. Com esse ajuste, podemos calcular o valor de
π pela fórmula corrigida
Figura 6 - Balança esquemática usada na comparação de massas
das massas mr e mc de areia.
Para montagem da balança usamos um cabo de vassoura, com um gancho em cada ponta, e um pequeno
pedaço de madeira na forma de um prisma triangular
para fazer o apoio. Se apoiado no seu centro de gravidade, o sistema pode ficar em repouso, como uma
gangorra em equilı́brio. Esse método foi desenvolvido
por Arquimedes para determinar o centro de gravidade
de um corpo ou de uma figura geométrica, baseado no
seu princı́pio de alavanca e no conceito de torque. Para
que o sistema fique em equilı́brio, os torques devem ser
compensados, ou seja, sua soma deve ser nula. Matematicamente, o momento das massas em relação ao
ponto de apoio deve ser nulo, pois esse ponto é o centro
de massa do sistema, então
lc mc = lr mr ,
(11)
e isolando a massa contida no cilindro temos
mc = mr
lr
.
lc
(12)
A partir da Eq. (10), e como as massas são proporcionais as volumes, e portanto às áreas superficiais,
temos
mc
π=4
.
(13)
mc + mr
Pela Eq. (12), eliminando-se as massas mc e mr da
expressão acima temos
π=4
lr
lr
=4 ,
lc + lr
l
(14)
onde l = lc + lr é a distância entre as massas equilibradas no bastão.
Dessa forma podemos determinar π simplesmente
a partir da razão entre o comprimento do bastão e a
distância lr do ponto onde mr esta pendurada até o
ponto de apoio O.
No modelo simplificado descrito acima a massa do
bastão não foi considerada no cálculo, o que acarreta
um pequeno erro na medida experimental de π. Para
corrigir esse erro, após marcado o ponto O de equilı́brio
das massas, voltamos a reequilibrar apenas o bastão e
um pequeno contra-peso colocado na mesma posição
que a massa mc estava. Com esse procedimento, garantimos que o centro de massa do bastão, com o contrapeso, coincida com o ponto O anterior. Após esse
π=4
lr + ϵ
.
l
(15)
Escrevendo-se as equações exatas para o sistema
completo, com o contrapeso que reequilibra o bastão na
posição original O, obtemos uma equação exata para o
cálculo de π, porém bastante complicada, dada por
(2
)
l − 2 llq + 2 lq 2 ϵ + l2 lq − 3 llq 2 + 2 lq 3
(
)
π=4
.
l lϵ + l2 − 3 llq + 2 lq 2
(16)
Essa fórmula exata pode ser expandida em série de
Taylor, em torno do valor ϵ = 0, donde obtemos a série
π=4
( )
lr + ϵ
4ϵ2
+ O ϵ3 ,
+ 2
l
l − 3 l lr + 2 lr2
(17)
donde concluı́mos que a fórmula corrigida dada pela
Eq. (15) é a correção de primeira ordem da fórmula
exata acima. No modelo exato acima, ainda assim não
consideramos a massa dos dois pequenos ganchos usados para a sustentação dos sacos contendo as massas
mc e mr , e também desprezamos as massas dos sacos
plásticos utilizados. Como se vê, o modelo acima ainda
não é um modelo exato, mas apenas um modelo melhorado. Em fı́sica, os modelos exatos são um limite
inatingı́vel, e por mais que melhoremos o nosso modelo, sempre será apenas um modelo para descrever um
fenômeno ou experimento fı́sico [10].
Para a medição experimental de π utilizamos o aparato mostrado na Figs. 5A e 5B para a determinação
das massas mc e mr , através do equilı́brio das massas
penduradas no bastão conforme mostra a Fig. 6. Utilizamos inicialmente areia e depois grãos de arroz para
preencher a caixa, e com o uso das fórmulas apresentadas acima, obtivemos as aproximações numéricas para
a constante π, através das medidas de lr e ϵ, sendo que
a distância entre os ganchos que sustentam as massas
foi mantida sempre fixa em l = 99, 8 cm. Os resultados
podem ser vistos na Tabela 6..
Tabela 2 - Resultados experimentais de π para um bastão de
comprimento l = 99,8 cm.
Material / Medida
Areia
1
2
Arroz
1
lr (cm)
π
πcorr
πexato
77,6
78,0
3,11
3,13
3,12
3,14
3,12
3,14
77,7
3,11
3,14
3,14
3305-6
Dellajustina e Martins
De forma alternativa, podemos obter experimentalmente o valor de π através das medidas das massas mc
e mr em uma balança, ou através das medidas dos seus
respectivos volumes, Vc e Vr , o que também medimos.
Veja-se os resultados mostrados nas Tabelas 6. e 6..
Tabela 3 - Resultados experimentais de π obtidos com medidas
dos volumes Vc e Vr .
Material / Medida
AReia
Arroz
Vc (mL)
6450
6615
Vr (mL)
1750
1760
π
3,146
3,159
O valor médio de π obtido a partir de todos as medidas parciais mostradas nas Tabelas 6., 6. e 6. é, com
a margem normal de erro, π̄ = 3, 136 ± 0, 006.
Tabela 4 - Resultados experimentais de π obtidos com medidas
das massas mc e mr .
Material / Medida
Areia
Arroz
mc (kg)
10,110
5,630
mr (kg)
2,726
1,524
π
3,150
3,148
Este método experimental usando grãos de areia
para preencher um volume pode ser comparado com
o método de Monte Carlo que veremos na seção 7.. No
método de Monte Carlo a razão entre o número de pontos pertencentes ao cı́rculo e o total de pontos é proporcional a π, sendo que quanto maior o número de pontos
melhor é a aproximação do valor numérico de π.
No nosso experimento, de forma semelhante ao
método de Monte Carlo, o valor de π é obtido, indiretamente, pela proporção dos grãos de areia pertencente
ao tronco cilı́ndrico e o resto sobrante que pertenciam a
caixa originalmente. Mas e qual seria o total de grãos de
areia na caixa? Seria comparável ao total de pontos que
usamos na simulação de Monte Carlo? Para responder
estas perguntas vamos estimas a quantidade de grão
de areia contida na caixa. Para isto vamos considerar
que um grão de areia seja aproximadamente esférico.
Segundo a escala de Krumbein-Wentwort [11, 12] um
grão de areia de tamanho médio, como foi o caso usado
no nosso experimento, tem aproximadamente 0,25 mm
de diâmetro médio, e portanto o volume de apenas um
grão seria da ordem de 8,2 ×10−3 mm3 . Então, num
volume de 1,0 cm3 de areia existem aproximadamente
1,2 ×105 grãos de areia. A caixa usada no nosso experimento tinha um volume de Vcaixa = L2 h = (33,1
cm)2 × 7, 5 cm = 8,2 ×103 cm3 = 8,2 L, e continha
aproximadamente 1, 0 × 109 grãos de areia.
7.
Método de Monte Carlo
Na natureza observamos muitos fenômenos que não podem ser descritos de forma exata ou determinı́stica,
mas podem ser entendidos através do uso da estatı́stica.
Por exemplo, durante uma chuva regular em um local
aberto, as gotas caem no chão em posições que não podem ser previstas, e se observarmos o fenômeno sobre
uma dada superfı́cie durante um tempo razoavelmente
longo, depois que muitas gotas caem, somos levados a
uma hipótese estatı́stica fundamental: se não sabemos
onde e quando uma gota cairá sobre a superfı́cie, então
uma gota pode cair em qualquer lugar, num dado instante, de forma que a chance ou probabilidade deve ser
uniforme sobre a superfı́cie, já que não existe razão para
que uma certa região seja privilegiada em relação à outra, ou que as gotas apresentem um padrão espacial ou
temporal nesse fenômeno. Consideramos então que a
queda de cada gota de chuva representa um evento independente, e a observação de um grande número desses eventos pode ser tratada estatisticamente, embora
os eventos individuais sejam imprevisı́veis (aleatórios).
Por simetria, ou pura ignorância dos eventos individuais, podemos supor que a quantidade de gotas que caem
numa determinada área seja proporcional ao tamanho
da área, ao intervalo de tempo em que se observa o
fenômeno e da taxa média com que as gotas caem, veja
a Fig. 7.
Figura 7 - O número de gotas de chuva que caem sobre uma placa
horizontal, em um determinado intervalo de tempo, é proporcional ao tamanho da área.
Se compararmos duas áreas diferentes, expostas à
mesma chuva e durante um mesmo intervalo de tempo
suficientemente longo, podemos pensar empiricamente
que a razão das quantidades de gotas que caem nas
áreas seja a mesma razão das áreas consideradas, respectivamente, isto é,
Na
Aa
≈
.
Nb
Ab
(18)
Os meteorologistas costumam usar essa mesma ideia
para medir a quantidade de chuva que cai numa região,
pois medem em milı́metros (mm) a altura total (diária,
mensal ou anual) da coluna de água que se forma dentro
de um tubo (pluviômetro).
O método de Monte Carlo [7] é um método de
simulação computacional que consiste em sortear um
grande número de pontos aleatórios (x, y, z, . . .) numa
região do espaço de volume V , e estimar o valor
médio f de uma função destas variáveis f (x, y, z, . . .).
Poderia Arquimedes ter calculado π com areia e um bastão?
Determina-se numericamente a integral da função f sobre um volume conhecido V , através da definição do
valor médio,
∫
1
f≡
f (x, y, z, . . .) dV .
(19)
V V
Aplicando-se esse método para o cálculo da área de
um cı́rculo, geramos pontos aleatórios (x, y) com distribuição uniforme dentro de um quadrado circunscrito
a um cı́rculo, e verificamos quantos pontos pertencem
ao cı́rculo, para a determinação numérica da fração p
da área do quadrado que pertence ao cı́rculo, e assim,
determinamos π através da Eq. (10).
Quando falamos em escolher um ponto dentro do
quadrado, não se trata de uma escolha definida ou previsı́vel, mas sim de uma escolha aleatória, ou seja, que
não tem uma regra definida para a escolha dos pontos de forma que a escolha de um ponto não tem nenhuma relação com a escolha do ponto seguinte ou do
ponto anterior. Esta ideia intuitiva de aleatoriedade é
fundamental para a aplicação deste método, pois se,
por exemplo, definirmos que todos os pontos devem
cair dentro do cı́rculo então sabemos que todos os pontos irão pertencer ao cı́rculo, caracterizando assim uma
probabilidade viciada.
Para isso sortearemos N pontos dentro da região delimitada pelo quadrado, isto é, no intervalo 0 ≤ x ≤ 1
e 0 ≤ y ≤ 1, conforme a Fig. 8. Deste total de pontos
uma certa quantidade Nc cairão dentro da cı́rculo.
O objetivo deste procedimento seria o de preencher
toda a área do quadrado com os pontos, resultando na
área total do quadrado, sendo que no limite em que N
tender a infinito teremos a área exata do quadrado e do
cı́rculo, cuja razão dará p, com o qual calculamos π.
Como não se pode gerar infinitos pontos dentro de
um quadrado, podemos obter sucessivas aproximações
para π aumentando cada vez mais o número de pontos
N , permitindo assim que meçamos o valor de π com a
precisão que desejarmos. Para efeito de ilustração montamos a Tabela 7. com os respectivos valores de π para
cada valor de N utilizado.
3305-7
A probabilidade p definida na Eq. (9) pode ser avaliada numericamente pela fração do número de ponto
que caem dentro do cı́rculo Nc , em relação ao número
total de pontos N , ou seja,
Nc
,
N
que substituı́da na equação (10) resultará,
p=
(20)
4Nc
,
(21)
N
considerando-se um grande número N de pontos.
Usando o gerador randômico [13] sorteamos pontos
(x, y) dentro do quadrado unitário, e a distância r de
cada ponto ao centro do cı́rculo é dada pela métrica
euclidiana r2 = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 , onde (x0 , y0 ) é o
centro do cı́rculo. O exemplo mostrado na Fig. 8 utiliza
um cı́rculo de diâmetro unitário, ou seja, x0 = y0 = 1/2.
Usando a medida r determinamos se o ponto sorteado
pertence ou não ao cı́rculo, no caso em que r ≤ R,
e assim determinamos o número de pontos Nc que
pertencem ao cı́rculo. Por exemplo, a Fig. 8 mostra N = 10.000 pontos colocados na região delimitada
pelo quadrado gerados com o programa de computador listado no Apêndice 9.2.. Neste exemplo, contamos
Nc = 7.863 pontos dentro cı́rculo, e portanto a probabilidade experimental de um dos N pontos ser encontrado
dentro do cı́rculo é p ≈ 7.863/10.000 = 0, 7863, ou seja,
para essa simulação simples podemos estimar o valor
de π = 4p ≈ 3, 145. A convergência do valor estimado
pelo método de Monte Carlo para π é lenta, como em
todo método estatı́stico, a média converge para o valor
esperado
(exato) com erro inversamente proporcional
√
à N , de modo que para ganharmos cada novo dı́gito
decimal, temos que aumentar N em um fator 100. Por
exemplo, observe na Tabela 7., que para N = 1012 o
erro na estimativa
do valor π está na sexta casa deci√
mal, pois 1/ 1012 = 10−6 .
π=
Tabela 5 - Aproximações de π obtidas pelo método de Monte
Carlo.
Amostra
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
N
10
100
1.000
10.000
100.000
1.000.000
10.000.000
100.000.000
1.000.000.000
10.000.000.000
100.000.000.000
1.000.000.000.000
Nc
7
82
775
7.791
78.355
785.500
7.854.138
78.540.838
785.396.509
7.853.983.189
78.539.489.819
785.397.975.760
π
2,80000000
3,28000000
3,10000000
3,11640000
3,13420000
3,14200000
3,14165520
3,14163352
3,14158604
3,14159328
3,14157959
3,14159190
Figura 8 - Exemplo do cálculo de π via método de Monte Carlo,
para N = 10.000 pontos aleatórios gerados sobre o quadrado,
com Nc = 7.863 estão dentro do cı́rculo.
3305-8
Dellajustina e Martins
Em linguagens de programação usuais, como o
F ORT RAN e C, existem geradores de números
aleatórios [14] nativos da própria linguagem. Em
linguagem C o gerador é chamado usando a função
rand(), que retorna um inteiro aleatório uniformemente
distribuı́do no intervalo (0; RAN D M AX), sendo necessária a conversão deste número inteiro para os reais, dividindo-o pelo seu valor máximo RAN D M AX,
cujo resultado será um número aleatório uniformemente distribuı́do no intervalo [0, 1]. Em FORTRAN,
existe já um gerador de números aleatórios reais, já
normalizados no intervalo unitário, chamado RAN D()
ou DRAN D(0), dependendo da versão da linguagem.
Veja no apêndice 9.2. uma implementação computacional em linguagem F ORT RAN do método de Monte
Carlo3 . A partir deste programa geramos os dados vistos na Tabela 7. que são as sucessivas aproximações de
π, para N = 10m , com m = 1, 2, 3, . . . , 12.
8.
double n , THETA, Ai , Ac , A360 ;
A360 = 2 . 0 e0 ∗ a c o s ( −1.0 e0 ) ; // 360 g r a u s
f o r (m = 2 ; m < 3 2 ; m++){
n = pow ( 2 . 0 e0 , m) ;
THETA = A360/n ;
Ai = ( n / 2 . 0 e0 ) ∗ s i n (THETA) ;
Ac = n ∗ tan (THETA/ 2 . 0 e0 ) ;
p r i n t f ( ”%d %f %f %f \n” , m, n , Ai , Ac ) ;
}
return ( 0 ) ;
}
9.2.
Código FORTRAN: método de Monte
Carlo
C
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
PROGRAM PI METODO MONTE CARLO
IMPLICIT NONE
INTEGER I ,M,NC,BLOCO,N
DOUBLE PRECISION X, Y, S2 , R2 , PI ,RAND
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
M=1
NC=0
BLOCO=10
N=1000000000
R2=1.0D0
Conclusão
C
Revimos o método geométrico original de Arquimedes
para o cálculo de π e apresentamos um método experimental mecânico simples, que permite calcular π com
areia e um bastão, apenas com uma medida simples de
comprimento.
Apresentamos um modelo corrigido e um argumento
fı́sico para sua implementação, caso particular de um
modelo mais geral e exato, e mostramos que o modelo
corrigido nada mais é que a correção de primeira ordem
do modelo exato apresentado.
Introduzimos de forma intuitiva e aplicamos a ideia
fundamental que levou ao método de Monte Carlo aplicado para a determinação numérica da constante π.
Recalculamos o valor de π usando diferentes nı́veis
de investigação, desde a ideia original de Arquimedes
até o método de Monte Carlo, mas abstrato, mas que
utiliza ideias simples que poderiam ter sido exploradas
pelo próprio Arquimedes, em seu tempo, pois chegou a
resolver problemas muito mais complexos do que esse,
mesmo para a sua época.
9.
Código C: método numérico
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Cá l c u l o de π por p o lı́gonos i n s c r i t o s
e c i r c u n s c r i t o s a um cı́ r c u l o u n i t á r i o
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
INICIALIZA O GERADOR DRAND
CALL SRAND( 1 2 3 4 5 6 7 )
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
Apêndices
9.1.
//
//
//
//
C
C
1
DO I =1 ,N
PONTO (X,Y) ALEATÓRIO
X = 1 . 0 D0∗RAND( )
Y = 1 . 0 D0∗RAND( )
DISTÂNCIA DE (X,Y) AO CENTRO ( 0 , 0 )
S2 = X∗X + Y∗Y
PONTO ESTÁ DENTRO DO CÍRCULO?
IF ( S2 .LE. R2) NC = NC + 1
APROXIMA O VALOR DE π
PI = 4 . 0 D0 ∗ DFLOAT(NC) / I
IMPRIME A CADA POTÊNCIA DE 10
IF (MOD( I ,BLOCO) .EQ. 0 ) THEN
WRITE( ∗ , 1 ) M, I , NC, 4 . 0 D0∗ PI
BLOCO = BLOCO ∗ 10
M=M+ 1
ENDIF
ENDDO
FORMAT( I2 , 2 I16 , F18 . 1 5 )
END
Referências
#include<s t d i o . h>
#include<s t d l i b . h>
#include<math . h>
[1] T.G. Chondros. Mechanism and Machine Theory 45,
1766 (2010).
i n t main ( ) {
[2] B.T. and D. Garber. Historia Mathematica 25, 75
(1998).
i n t m;
3 Nesta
[3] L. Cooper. Historia Mathematica 38 (4), 455 (2011).
implementação utilizamos apenas 1/4 de cı́rculo para simplificação do código e maior velocidade de cálculo.
Poderia Arquimedes ter calculado π com areia e um bastão?
[4] S. Psycharis. Computers & Education 56, 547 (2011).
[5] N. Rutten, W.R. van Joolingen and J.T. van der Veen.
Computers & Education 58, 136 (2012).
[6] K.E. Chang, Y.L. Chen, H.Y. Lin and Y.T. Sung. Computers & Education 51, 1486 (2008).
3305-9
[10] J.M. Ferrater Dicionário de Filosofia (Dom Quixote,
Lisboa, 1978). Preparado por E.G.A. Belsunce e E.
Olaso, traduzido do espanhol por A.J. Massano e M.
Palmeirim.
[11] C.K. Wentwort. Journal of Geology 30, 377 (1922).
[7] N. Metropolis. Los Alamos Science 15, (1987).
[12] W.C. Krumbein. J. of Sed. Pretrol 4, 65 (1934).
[8] T. Pang. An Introduction to Computational Physics
(Cambridge University Press, Cambridge, 2010), 2a ed.
[13] D.E. Knuth. Commun. ACM 17, 667 (1974).
[9] K. von Fritz. Annals of Mathematics 46, 242 (1945).
[14] S.K. Park and K.W. Miller. Commun. ACM 31, 1192
(1988).