Teorema de Green e Aplicação
Alcimar de Souza Braga
Universidade Católica de Brasília
Departamento de Matemática
Resumo: O teorema de green é uma ferramenta muito útil no cálculo de áreas de figuras planas fechadas. Seu
principio é utilizado para a demonstração de outros teoremas. Neste trabalho contamos um pouco da história do
Teorema de Green e de George Green embora tenha-se pouco sobre a vida pessoal deste grande matemático e físico
inglês que escreveu e demonstrou o teorema , ainda mostra que o principio do teorema de Green é utilizado num
aparelho que calcula áreas de figuras planas apenas se movendo sobre o contorno da curva fechada.
Palavras-chaves: Planímetro e Green.
Introdução
Este trabalho apresenta um estudo interessante do teorema de Green. Utiliza como fonte e
instrumento de pesquisa livros didáticos e artigos.
George Green nasceu em 1973 e morreu em 1841. Não existe nenhum registro de imagem deste
grande matemático e físico inglês. George Green era filho de um padeiro que vivia em
Notingham onde funcionava o estabelecimento de seu pai e foi ai que passou grande parte de sua
vida trabalhando. A história diz que ele freqüentou apenas dois anos do ensino elementar e não
fica bem claro como George Green obteve o conhecimento matemático já que não freqüentou
nenhuma instituição de ensino regular. Com 30 anos, Green tornou-se membro da Subscription
Library, Notingham, instituição fundada em 1816 e o objetivo claro desta instituição era o
encontro de não-acadêmicos para discutir questões de avanço da ciência. Quando completou 35
anos publicou seu primeiro e mais importante trabalho: uma obra sobre a aplicação da análise
matemática à eletricidade e ao magnetismo, onde o teorema de Green foi utilizado, mas passou
desapercebido pela pequena tiragem do trabalho. Como esta obra teve uma tiragem bastante
reduzida, por que foi financiada pelo autor e amigos da Subscription Library, não teve grande
repercussão. George Green foi a primeira pessoa a usar o termo potencial na teoria do campo e
introduziu vários teoremas de análise vetorial que permitiram calcular o potencial eletrostático.
Com 40 anos ingressou na Universidade de Caius, em Cambridge como estudante de licenciatura.
Algum tempo depois cerca de 4 anos, formou-se com desempenho desapontador possivelmente
por estar engajado em sua pesquisa, então voltou para sua casa em Notingham para cuidar de seus
filhos e do moinho de seu pai, onde alguns anos mais tarde ficou doente e faleceu aos 48 anos.
Posteriormente (1850-1854), William Thomson (Lord Kelvin), descobriu o trabalho de George
Green e conseguiu publica-lo num jornal importante de grande circulação e respeitado na época,
com a publicação descobriu-se que outros cientistas já tinham chegado a resultados obtidos por
George Green, entre eles Gauss, e de forma independente. O trabalho de George Green teve
influência em Thomson, Stokes e Maxwell.
A vida de George Green é um exemplo impressionante de um fenômeno nato que o ser humano
pode ter, o talento matemático, este se apresenta e firmar-se mesmo em circunstancias
desfavoráveis. Qualquer um com todas as pretensões a ser um matemático está bem ciente que as
funções de George Green é de suma importância e muitos de nós fizemos uma vida fora de sua
exploração. O teorema de Green relaciona efeitos do volume aos efeitos de superfície, é um
resultado bonito, fundamental às teorias gravitacionais e eletromagnéticas. Toda esta teoria veio
de alguém que teve quinze meses de educação formal e cujo os anos de adolescência foram
gastos trabalhando na padaria e no moinho de seu pai. Esta é a história de um extraordinário
gênio que sobre todas estas dificuldades venceu.
1. Teorema de Green
O teorema de green é um ferramenta da matemática utilizada para o cálculo de áreas de figuras
planas limitadas e fechada; Além disso seu principio é utilizado para formulação de outros
teoremas como por exemplo o teorema de Stokes e Gauss, suas aplicações são extensas e
extremamente úteis nas áreas da física, química, nas engenharias, geologia e etc.
Antes de demonstrarmos o teorema é preciso sabermos um pouco a respeito Campos vetoriais e
da integral de linha, vamos ter uma idéia do que se trata a integral de linha, pois o teorema de
Green também calcula esse valor de uma maneira bem mais rápida e direta.
1.1. Campos vetoriais
O campo vetorial associa um vetor a um ponto no espaço. Se uma função F com valores vetoriais
é definido numa bola aberta B em R3 ela é dada da seguinte forma,
F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+R(x,y,z)k, então F é um campo vetorial. E o domínio do campo
vetorial é um subconjunto de R3.
1.2. Integral de Linha
Suponha uma força exercida sobre uma partícula no ponto (x,y), em algum disco aberto B em R²,
seja dada pelo campo de forças F(x,y)=M(x,y)i + N(x,y)j, onde M e N são continuas em B. Seja
C a curva que está em B e tem a equação vetorial R(t)=f(t)i + g(t)j, a≤ t ≤b, as funções g e f tem
derivadas g´ e f´ continuas em [a,b]. Vamos definir caminho de F ao mover a partícula ao longo
de C, do ponto (f(a),g(a)) até (f(b),g(b)). Em um ponto qualquer de C ,por exemplo, (f(t),g(t)) a
força
é
dada
assim:
F(f(t),g(t))=M(f(t),g(t))i+N(f(t),g(t))j,
com
a = t 0 < t1 < t 2 < ... < t n −1 < t n = b
Figura 1 – representação vetorial de integral de linha.
Pi é o ponto ( xi , y i ) = ( f (t i ), g (t i )) em C, considerando a figura acima temos que
V ( Pi −1 Pi ) = R(t i ) − R(t i −1 ) ; logo
V ( Pi −1 Pi ) = f (t i )i + g (t i ) j − [ f (t i −1 )i + g (t i −1 ) j ]
V ( Pi −1 Pi ) = [ f (t i ) − f (t i −1 )]i + [ g (t i ) − g (t i −1 )] j
(1)
com f´ e g´ são continuas em [a,b] existem ci e d i no intervalo aberto (t i −1 , t i ) , de modo que:
f (t i ) − (t i −1 ) = f ´(ci )(t i − t i −1 )
g ( t i ) − g ( t i −1 ) = g ´( d i )( t i − t i −1 )
expressando ∆ i t = t i − t i −1
, e substituindo em (1) temos que:
V ( Pi −1 Pi ) = f ´(ci )(t i − t i −1 ) + g´(d i )(t i − t i −1 )
V ( Pi −1 Pi ) = [ f ´(ci ) + g´(d i )](t i − t i −1 )
V ( Pi −1 Pi ) = [ f ´(ci )i + g´(d i ) j ]∆ i t
Para cada i consideremos o vetor
Fi = M ( f (ci ), g (ci ))i + N ( f (d i ), g (d i )) j
Cada um dos vetores Fi = (i = 1,2,3,..., n) é uma aproximação do vetor F ( f (t ), g (t |)) . O valor
dos vetores na variação de i no intervalo aberto são os vetores muito próximos de Fi .
Uma aproximação da medida do trabalho realizado por F ( f (t ), g (t |)) ao longo de C é dada pela
n
∆iw
∆ iw = [ M ( f ( c i ), g ( c i )) i + N ( f ( d i ), g ( d i ) j ][ f ´(c )i + g ´( d ) j ]∆ it
, onde
∆iw = [ M ( f (ci ), g (ci ) f ´(ci ))]∆it + [ N ( f (d i ), g (d i ) g´(d i )]∆it
como
são
vários
i
então
a
i =1
n
i =1
[ M ( f (ci ), g (ci )) f ´(ci )]∆it +
n
i =1
[ N ( f (d i ), g (d i )) g´(d i )]∆it
somatória
, é uma soma de Riemann, e se n
a
crescer sem limitação podemos chegar à
usaremos F ( R (t )) para F ( f (t ), g (t )) .
[ M ( f (t i ), g ( t i )) f ´(t i )) + N ( f (t i ), g (t i )) g´(t i )]dt
b
,
Chegamos a seguinte definição: C é uma curva contida num disco aberto B em R², com a equação
R(t)=f(t)i + g(t)j, onde obrigatoriamente f` e g` tem que serem continuas em [a,b], consideremos
também um campo de forças em B definido por F ( x, y ) = M ( x, y )i + N ( x, y ) j , onde M e N são
continuas. Então a medida do trabalho realizado por F ao mover uma partícula ao longo de C, de
(f(a),g(a)) até (f(b),g(b)) é W.
a
w = [ M ( f (t i ), g (t i )) f ´(t i )) + N ( f (t i ), g (t i )) g´(t i )]dt
b
w=
a
M ( f (t i ), g (t i )) + N ( f (t i ), g (t i ) . f ´(t ), g´(t ) dt
b
, ou;
a
w = F ( R(t ).R´(t )dt
b
A integral de linha mede o trabalho realizado para movimentar uma partícula ao longo de uma
curva. E é calculada utilizando-se de duas notações a primeira w(trabalho) é medida pelo campo
de forças F ao se mover ao longo de C(Notação Diferencial)e a outra usando a notação vetorial.
Agora vamos fazer a demonstração do teorema de Green, observe no gráfico abaixo: A região R
fechada é dividida em duas curvas C1 e C2 , C1 começa no ponto a e vai até o b e C2 vai de b até
a, fechando assim todo o contorno da região.
y
f 2 ( x)
y
R
f 1 ( x)
0
a
x
Figura 2 – Representa uma curva fechada dividida em C1 e C2 .
b
x
A figura representa uma curva fechada simples e seccionalmente suave. As funções que M e N
representam possuem derivadas primeiras diferente de zero, C1 e C2 tem derivadas parciais
primeiras continuas em um disco aberto B em R².
dN dM
M ( x, y )dx + N ( x, y )dy =
−
dA
dx
dy
R
Prova: vamos considerar que a função intercepta no máximo dois pontos tanto na horizontal
como na vertical.
A demonstração consiste em mostrar que:
dM
dN
M ( x, y )dx = −
dA e N ( x, y )dy =
dA
dy
dx
C
R
C
R
Para
dM
M ( x, y )dx = −
dA
(2)
dy
C
R
R = {( x, y ) / a ≤ x ≤ b, f1 ( x) ≤ y ≤ f 2 ( x)}
Considerando a integral de linha. M ( x, y )dx .
C
M ( x, y )dx = M ( x, y )dx + M ( x, y )dx
C
C1
b
a
M ( x, y )dx = M ( x, f1 ( x))dx + M ( x, f 2 ( x))dx
C
a
(4)
b
b
b
a
a
M ( x, y )dx = M ( x, f1 ( x))dx − M ( x, f 2 ( x))dx
C
(3)
C2
(5)
b
M ( x, y )dx = [ M ( x, f1 ( x)) −M ( x, f 2 ( x))]dx
C
(6)
a
Considerando agora a integral dupla
R
∂M
dA , onde R é a região.
∂y
b f2 ( x)
R
∂M
dA =
∂y
b
R
∂M
dA =
∂y
R
∂M
dA = M ( x, y )
∂y
a
a
a
∂M
dy dx
∂
y
f1 ( x )
(7)
f2 ( x)
∂M
dy dx
∂y
f1 ( x )
b
] ff ((xx)) dx
2
1
(8)
9)
b
R
∂M
dA = [ M ( x, f 2 ( x)) − M ( x, f 2 ( x))]dx
∂y
a
Comparando (6) e (10) temos que (2) é verdade:
(10)
M ( x, y )dx = −
C
N ( x, y )dy =
A demonstração para
C
R
R
dM
dA
dy
dN
dA é análoga.
dx
Outra região:
Figura 3 – Representa uma R1 fechada.
Regiões como a da figura 3 podem ser trabalhadas sem grandes dificuldades. A equação (2) ainda
se aplica.
Figura 4 – Representa a uma Região R que é igual a R1 + R2 .
A região da figura 4 também pode ser calculada com o Teorema de Green, aplicando a equação
(2) (andando sempre no sentido anti-horário).
O teorema de Green facilita o cálculo de áreas de regiões limitadas por uma curva seccionalmente
suave, simples e fechada.
Isso pode acontecer utilizando o seguinte teorema que é conseqüência do teorema de Green. Se R
for uma região tendo por fronteira uma curva C fechada simples e seccionalmente suave e A
unidades de área for a área de R, então
1
A=
xdy − ydx .
(11)
2C
1
y e N ( x, y ) =
2
1
1
− ydx + xdy =
2
2
C
R
Prova: seja M ( x, y ) = −
−
C
1
x . Então,
2
∂ 1
∂
1
x −
− y dA
∂x 2
∂y
2
1
1
1 1
ydx + xdy =
+ dA
2
2
2 2
R
1
1
− ydx + xdy = dA
2
2
C
R
dA é a medida da área de R, então
Como
R
1
xdy − ydx = A
2C
Vamos ver um exemplo da aplicação deste teorema para calcular a área dada por uma elipse que
x2 y2
tem como equação 2 + 2 = 1 .
a
b
As equações paramétricas da elipse são: x = a cos t , y = b sen t , 0 ≤ t ≤ 2π
logo a derivada dx = − a sen tdt e dy = b sen tdt . Se C for a elipse e A for a área da região da
elipse, teremos:
1
A=
xdy − ydx
2c
1 2π
A=
[(a cos t )(b cos tdt ) − (b sen t (− a sen tdt ))], multiplicando as parênteses obteremos,
2 0
A=
2π
0
(
)
ab cos 2 t + sen 2 t dt , como cos 2 t + sen 2 t = 1
logo, A =
1
ab
2
2π
0
dt , então teremos que, A = πab unidades de área. (Louis Leithold, p. 1100-1106)
2. Aplicação
2.1 O Planímetro:
Em 1854, o matemático Jacob Amsler inventou um instrumento mecânico que era capaz de medir
área de regiões planas limitadas. Como a dificuldade para se medir áreas de figuras planas e
irregulares era muito difícil a invenção de um aparelho pequeno e tão fácil de ser manuseado foi
extremamente inovadora, encarado com muito entusiasmo na ocasião e até hoje é visto como um
instrumento inovador. Vamos estudar um pouco sobre seu manuseio e funcionamento.
Mecanicamente, o Planímetro tem uma construção muito simples, possui dois braços de
tamanhos iguais ou podem ser de tamanho diferente, ambos feito de metal. Os braços são capazes
de variar o ângulo entre eles, desde 0º a 180º graus. Na extremidade de um dos braços, temos
uma ponta que pode ser fixada na superfície plana. Na outra ponta temos uma rodinha que gira
perpendicularmente ao braço na qual é fixada. Na ponta dessa rodinha temos um contador, que
mede o número de voltas que ela dá quando a ponta móvel do instrumento se desloca sobre o
contorno da figura plana a ser medida. Quando a ponta se desloca sobre todo o contorno da figura
plana fechada, o contador indicará a área cercada pela curva.
Ao pensarmos em um instrumento tão simples, a nossa imaginação é induzida a princípios
simples de funcionamento, mas por trás deste instrumento tem um principio e um grau de
complexibilidade muito grande. É ai que entra o teorema de Green.
O Teorema de Green aliado ao Planímetro, os dois juntos tem sido de grande importância para o
calculo de áreas de figuras planas fechadas. Uma área R a ser medida pelo Planímetro não deve
conter a extremidade fixa do aparelho e podemos fixa-la em qualquer lugar desde que fora da
área a ser medida, depois com a extremidade móvel do aparelho devemos percorrer a curva C que
é fechada, sempre no sentido anti-horário(por causa do marcador) e após percorrer todo o
contorno da figura é calculada a área.
Para explicar como o Teorema de Green entra na historia, precisamos descrever o campo de
direções definido pelo instrumento. Para tal vamos definir as coordenadas x e y. Escolhemos para
a origem do eixo a ponta do Planímetro que esta fixa, a partir daí, dois eixos perpendiculares x e
y são traçados. Como a rodinha gira perpendicularmente ao braço no qual está fixada, o campo
F(x,y) definido pelo Planímetro é perpendicular ao braço móvel e suponhamos que ele tenha
módulo 1.
y
F(x,y)
x
0
Figura 5 – Representação de uma região sendo medida por um planimetro.
Agora definiremos a equação, primeiro considere que os braços do Planímetro tenham tamanhos
iguais a r. o primeiro esta com o centro na origem(0,0), e o braço móvel em (a,b). chamemos de
v o vetor que representa o braço móvel do Planímetro.
y
F(x,y)
(x,y)
v
(a,b)
x
0
Figura 6 – Representa os braços de um planimetro um centrado na origem e o outro em (a,b).
Temos então v =(x-a,y-b) e um vetor perpendicular é w =(-(y-b),x-a). como os braços tem
comprimento
F=
w
w
=
r
temos
v = w =
( y − b )2 + ( x − a )2
=r,
logo
o
nosso
campo
é
− ( y − b ) (x − a )
,
, precisamos determinar a e b. Considerando a equação dos
r
r
círculos que podem ser descritos por cada um dos braços do Planímetro.
a2 + b2 = r 2
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2
Desenvolvendo
a
Segunda
equação
acima
temos
que:
x 2 + y 2 xa
=
+b
2y
y
,
logo
x 2 + y 2 − 2 xa
, substituindo esses valores na equação do circulo com centro em (0,0) e
2y
desenvolvendo, teremos:
4 y 2 a 2 + ( x 2 + y 2 ) 2 + 4 x 2 a 2 − 4 xa( x 2 + y 2 ) = 4 y 2 r 2
4( x 2 + y 2 )a 2 − 4 x( x 2 + y 2 )a + ( x 2 + y 2 ) 2 − 4 y 2 r 2 = 0
Usando R 2 = ( x 2 + y 2 ) temos:
b=
R4 − 4y2r 2
a − xa +
=0
4R 2
2
e logo,
a=
ou seja,
R2 x2 − R4 + 4 y 2r 2
x
+
2
2R
a=
x y
+
2 2
4r 2
−1
x2 + y2
Com a escolha de um valor positivo para a implica simplesmente que o caminho a ser percorrido
pelo braço móvel do Planímetro é o sentido anti-horário(sentido padrão de funcionamento do
aparelho). Com o valor de a definido, o valor de b aparece, consequentemente, como sendo:
b=
2 2
4
2 2
y x R x − R + 4y r
+
2
2 Ry
ou seja,
b=
y x
+
2 2
4r 2
−1
x2 + y2
Calculados os valores de a e b temos que o campo para o Planímetro é:
1
1
y x
f ( x, y ) = − ( y − b ) = − +
r
r
2 2
1
1 x y
g ( x, y ) = ( x − a ) =
−
r
r 2 2
4r 2
−1
x2 + y2
4r 2
−1
x2 + y2
Derivando as duas equações acima vamos obter:
r
r
∂g 1
= +
∂x 2
∂f
1
=− +
∂y
2
8 xyr 2
2
2
x + y2
4r 2
−1
x2 + y2
8 xyr 2
2
2
x + y2
4r 2
−1
x2 + y2
fazendo,
r
∂g
∂f
∂g ∂f
−r
=r
−
=1
∂x
∂y
∂x ∂y
e,
k=r
∂g ∂f
∂g ∂f
1
−
= 1 , logo k =
−
=
∂x ∂y
∂x ∂y
r
Percebemos que se aplicarmos o Teorema Green ao Planímetro, a constante que multiplica a área
só depende do comprimento dos braços, ou seja
c
1
f ( x, y )dx + g ( x, y )dy = * área cercada por C
r
Então para o funcionamento do Planímetro é necessário sabermos o comprimento dos braços, o
diâmetro da rodinha colocada perpendicularmente ao braço móvel e o número de voltas dada pela
rodinha, que é marcado pelo contador ao percorrer a curva fechada C no sentido anti-horário,
essas medidas são dadas pelas variáveis r para comprimento dos braços, d para diâmetro e k o
número de voltas dada pela rodinha. O campo determinado pelo Planímetro é F(x,y)=(f,g). Então
1
πd
kπd = fdx + gdy = * área cercada por C ou seja: Área cercada por C = k
. (Rabelo, Adriano
r
r
c
Borges.; Manso, Fernando Ferreira. O Planímetro e o Teorema de Green)
Conclusão:
Existem varias maneiras de calcular áreas de figuras geométricas regulares como a do quadrado,
retângulo, etc., mas outras áreas irregulares como as que vimos nas figuras deste trabalho, são
mais difíceis para se calcular, no entanto com as ferramentas apresentadas no trabalho pode ficar
bem mais fácil o calculo destas áreas, tanto o teorema de Green como o planimetro pode fazer
este calculo. No século XIX quando foi inventado o planimetro baseado num teorema
relativamente simples(teorema de Green), este instrumento(o planimetro) tão simples mas
inovador foi visto com muito entusiasmo, já que podia calcular a área de regiões irregulares e
tudo isso se utilizando do mesmo principio do teorema de Green. Estas duas ferramentas causou
muito entusiasmo na época de suas invenções e ainda hoje são vistos com o mesmo entusiasmo
de antes, tendo aplicações extensas e extremamente úteis na engenharia, na física, etc. São estas
as conclusões que chegamos que o teorema e o planimetro são úteis no dia a dia de um
engenheiro, um físico e outros profissionais.
Abaixo temos fotos de planimetro.
Figura 7 – Planimetro analógico. (Rabelo, Adriano Borges.; Manso, Fernando Ferreira. O Planímetro e o
Teorema de Green. <.http://www.mat.ufmg.br/comed/2004/e2004/planimetro.pdf>)
Figura 8 – Planimetro digital. (http://www.haff.de/planimeter_e.htm)
Referência Bibliográfica:
LEITHOLD, Louis. O Cálculo Com Geometria Analítica. São Paulo: Harbra, 1986. 2v, p.1100-1006.
SWOKOWSKI, Earl Willian; FARIAS, Alfredo Alves de (Trad.). Cálculo Com Geometria Analítica. 2.ed São
Paulo: Makron, 1995. v . ISBN 8534603081
Rabelo, Adriano Borges.; Manso, Fernando Ferreira. O Planímetro e o Teorema de Green. Disponível em:
<.http://www.mat.ufmg.br/comed/2004/e2004/planimetro.pdf>
Villate, Jaime. George Green. Disponível em: <http://paginas.fe.up.pt/~villate/electromagnetismo/pioneiros/green.html>
Polkinghorne FRS, Dr. John. George Green and mathematics. Disponível em:
<http://www.stpetersnottingham.org/sermon/green.htm>