Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados
Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior
Caro(a) concurseiro(a),
Primeiramente, gostaríamos de fazer uma breve apresentação.
Prof. Alexandre Lima: Como vai? Sou Auditor-Fiscal Tributário Municipal de
São Paulo (“Fiscal do ISS/SP”) desde 1998. Além disso, sou professor de
Contabilidade (Geral, Avançada e de Custos), Estatística e Econometria em
cursos preparatórios para concursos públicos. Servi à Marinha do Brasil, por 14
anos, como oficial de carreira. Posteriormente, atuei como consultor/instrutor
na área de tecnologia da informação por 8 anos. Sou Bacharel em Ciências
Navais (ênfase em Eletrônica) pela Escola Naval e em Engenharia Elétrica
(ênfase em Telecomunicações) pela Escola Politécnica da Universidade de São
Paulo. Sou Doutor em Engenharia Elétrica pela Escola Politécnica da USP.
Ministro cursos de graduação e de pós-graduação na USP, PUC-SP e
Universidade Paulista (UNIP).
Prof. Moraes Junior: Tudo bem? Sou Auditor-Fiscal da Receita Federal do
Brasil, aprovado em 5o lugar para as Unidades Centrais no concurso de 2005 e
trabalho na Coordenação-Geral de Fiscalização. Sou professor de Contabilidade
Geral, Avançada, Análise das Demonstrações Financeiras, Contabilidade de
Custos, Matemática Financeira, Estatística e Raciocínio Lógico. Além disso,
trabalhei, durante 17 anos, na Marinha da Brasil, como oficial de carreira e 1
ano, no Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada, como assessor da
presidência. Sou Bacharel em Ciências Navais (ênfase em Eletrônica) pela
Escola Naval e em Engenharia Elétrica (ênfase em Telecomunicações) pela
Escola Politécnica da Universidade de São Paulo.
Vamos ao nosso curso. Reforçando as palavras do Prof. Vicente Paulo, a Esaf
resolveu pegar muita gente pelo “pé” e vem destruindo nas provas de
Raciocínio Lógico. Foi assim nas provas de Auditor-Fiscal da Receita Federal do
Brasil, Analista Tributário da Receita Federal do Brasil, Analista de
Planejamento e Orçamento do MPOG, Analista da Susep. Enfim, é uma nova
tendência da Esaf.
Portanto, precisamos estudar esta matéria com mais calma, pois, muitos
conceitos só foram vistos no segundo grau (Tudo bem, pode rir, pois somos
adolescentes do século passado a, naquela época, ainda existia o segundo
grau. Risos. Conhecemos o Hebert Viana, dos Paralamas do Sucesso, quando
ele ainda tinha topete).
Neste curso vamos ensinar Matemática, Matemática Financeira, Geometria,
Trigonometria, Estatística e Raciocínio Lógico para os traumatizados da Esaf.
Vamos ensinar em detalhes, explicando o que for preciso.
Portanto, vamos começar a nossa longa jornada rumo ao conhecimento do
Raciocínio Lógico Quantitativo – Padrão Esaf de Qualidade. Ou seja, o curso é
voltado para todos os concursos, com foco em questões da Esaf, que cobram
Raciocínio Lógico Quantitativo propriamente dito e as outras vertentes da
Matemática.
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O curso terá uma aula por semana e terá a duração de cerca de cinco meses e
meio (é para você aprender mesmo). Vamos detalhar a teoria e resolver
exercícios da Esaf, relativos àquela teoria, em cada aula. Caso os exercícios da
Esaf, para determinado assunto, não sejam suficientes, utilizaremos exercícios
de outras bancas ou exercícios inéditos, pois os conceitos matemáticos não
mudam. Veja o conteúdo programático:
Aula
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Data
12/05
26/05
02/06
09/06
16/06
23/06
30/06
07/07
14/07
21/07
28/07
11
12
04/08
11/08
13
18/08
Conteúdo
Introdução.
Sinais, Frações, Decimais.
Expoentes e Radicais.
Fatoração.
Aplicações da Álgebra – Equações e Inequações – Parte 1
Aplicações da Álgebra – Equações e Inequações – Parte 2
Conjuntos e Funções.
Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares.
Trigonometria.
Geometria.
Estruturas Lógicas: Proposições; Valores Lógicos das
Proposições; Sentenças Abertas; Número de Linhas da
Tabela
Verdade;
Conectivos;
Proposições
Simples;
Proposições
Compostas.
Tautologia.
Contradição.
Contingência. Implicações Lógicas: Implicação entre
Proposições; Propriedade das Implicações Lógicas; Relações
entre Implicações. Equivalências Lógicas: Equivalência entre
Proposições; Equivalência entre Sentenças Abertas;
Propriedade das Equivalências Lógicas; Operação com
Conjuntos.
Lógica de Argumentação e Diagramas Lógicos.
Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio
de: raciocínio matemático (que envolvam, entre outros,
conjuntos numéricos racionais e reais - operações,
propriedades, problemas envolvendo as quatro operações
nas formas fracionária e decimal; conjuntos numéricos
complexos; números e grandezas proporcionais; razão e
proporção; divisão proporcional; regra de três simples e
composta; porcentagem); raciocínio sequencial; orientação
espacial e temporal; formação de conceitos; discriminação
de elementos – Parte 1
Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio
de: raciocínio matemático (que envolvam, entre outros,
conjuntos numéricos racionais e reais - operações,
propriedades, problemas envolvendo as quatro operações
nas formas fracionária e decimal; conjuntos numéricos
complexos; números e grandezas proporcionais; razão e
proporção; divisão proporcional; regra de três simples e
composta; porcentagem); raciocínio sequencial; orientação
espacial e temporal; formação de conceitos; discriminação
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de elementos – Parte 2
14
25/08
Representação Gráfica de Dados Estatísticos. Distribuição de
Freqüência. Estatística Descritiva: gráficos, tabelas, medidas
de Posição, medidas de dispersão, assimetria e curtose.
15
01/09
Teoria Elementar da Probabilidade.
Combinações, Arranjos e Permutação.
16
08/09
Variáveis
Aleatórias
e
Principais
Distribuições
de
Probabilidade.
17
15/09
Esperança, Correlação e Regressão.
18
22/09
Amostragem.
19
29/09
Estimação de Parâmetros.
20
06/10
Testes de Hipótese e Significância.
Inferência: intervalos de confiança. Testes de hipóteses para
médias e proporções.
21
13/10
Regressão Linear Simples.
22
20/10
Juros Simples. Montante e juros. Descontos Simples.
Equivalência Simples de Capital. Taxa real e taxa efetiva.
Taxas equivalentes. Capitais equivalentes. Descontos:
Desconto racional simples e desconto comercial simples.
23
27/10
Juros Compostos. Montante e juros. Desconto Composto.
Taxa real e taxa efetiva. Taxas equivalentes. Capitais
equivalentes. Capitalização contínua. Equivalência Composta
de Capitais. Descontos: Desconto racional composto e
desconto comercial composto.
24
03/11
Sistemas de Amortização
25
10/11
Taxa Interna de Retorno: TIR do acionista e TIR do projeto.
Payback e Valor Presente Líquido. Metodologia de
precificação de títulos públicos e privados: títulos préfixados, títulos pós-fixados, títulos com pagamentos de
cupons, debêntures.
Finalmente, esperamos que este curso seja bastante útil para você e que possa
auxiliá-lo de forma substantiva na preparação da disciplina de Raciocínio
Lógico Quantitativo.
As dúvidas serão sanadas por meio do fórum do curso, ao qual todos os
matriculados terão acesso. As críticas ou sugestões poderão ser enviadas para
as seguintes caixas postais:
Prof. Moraes Junior: [email protected]
Prof. Alexandre Lima: [email protected].
Finalmente, gostaríamos de salientar a você, concurseiro(a): NUNCA DESISTA
DOS SEUS SONHOS. Deus nos deu o livre arbítrio para que possamos
determinar nosso destino. Se você deseja ser aprovado em um concurso
público, lute por isso, faça com dedicação, com sacrifício, sempre visando ao
seu objetivo. Desta forma, você conseguirá ser aprovado!
Prof. Alexandre Lima
Prof. Moraes Junior
Maio/2010
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Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados
Aula 00
Conceitos Iniciais – Parte 1: Sinais, Frações e Decimais.
Conteúdo
1. Introdução ................................................................................................................................ 5
1.1.
Números ......................................................................................................................... 5
1.2.
Outros Conceitos Iniciais Importantes ............................................................. 10
1.3.
Exercícios de Fixação ............................................................................................... 14
1.4.
Gabarito ........................................................................................................................ 15
1.5.
Exercícios de Fixação Comentados e Resolvidos .......................................... 16
2. Bibliografia ............................................................................................................................. 25
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1.
Introdução
1.1. Números
Como poderíamos falar de matemática sem os números? Impossível, não? A
cada dia, por mais que você não queira, acaba falando de números.
Você precisa de um número para definir o tempo que você gasta para ir de sua
casa para o seu trabalho; você precisa verificar os preços (números) de
roupas, de alimentos, de ingressos de cinema, do litro da gasolina; você
precisa de números para falar a sua idade; você precisa de um número para
definir as questões que você acertou em uma prova de Raciocínio Lógico.
Enfim, os números estão sempre presentes em sua vida.
Como precisaremos de números em, praticamente, todo o nosso curso, vamos
começar, então, a aprender os tipos de números.
Os números naturais são utilizados para contar itens (pessoas, animais,
coisas, ou quaisquer itens que não podem ser divididos). Caso eu pergunte
qual é a sua idade, você me responderá: 23 anos. Está aí um número natural.
Portanto, os números naturais são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,
14, 15, 16, 17, 18, 19, 20,...
Quer ver outro exemplo? Quantas pessoas foram ao último jogo de futebol do
Brasil com a Argentina? 50.000 (cinqüenta mil) pessoas. Temos outro número
natural.
Repare que o zero (0) representa um valor nulo. Se você for ao zoológico com
seu filho e ele te perguntar: Pai, quantos elefantes podem ser colocados dentro
de um fusca? (Risos). Se você for “sério”, responderá: Nenhum (zero).
Contudo, se quiser fazer graça, dirá: 2 (dois) na frente e 3 (três) atrás. Olha
os números naturais aí!
Memorize para a prova:
Números Naturais: são números utilizados para expressar quantidades
inteiras.
ℕ ⇒ conjunto dos números naturais.
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} ⇒ números naturais.
Os números inteiros englobam os números naturais (inteiros positivos) e
seus opostos (inteiros negativos), ou seja, são conhecidos como números
inteiros positivos e negativos, tais como: ...-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...
Vou dar um exemplo de número inteiro negativo que foi um “fato” da minha
vida de concurseiro. Comecei a estudar para concursos em 1998, ainda no
século passado.
Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior
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O primeiro concurso que fiz, ainda sem experiência alguma e com pouco
tempo de estudo, foi para o TCU (queria treinar e me acostumar com o
ambiente de prova).
A banca examinadora era o Cespe que, normalmente, faz provas por itens,
onde o concurseiro deve avaliar se o item está certo ou errado. Além disso, se
você avaliar o item de acordo com o gabarito (acertar a resposta), você ganha
um ponto. Por outro lado, a cada item que você marcar em desacordo com o
gabarito (errar a resposta), você perde um ponto. Há ainda a opção de deixar
o item em branco (não marcar nem certo e nem errado). Nessa situação, você
não ganha e nem perde ponto.
Bom, como eu não sabia nada de concursos (risos), li o edital e decidi, antes
de fazer a prova, que não deixaria itens em branco, ou seja, marcaria todos,
seja como certo ou como errado. Para aqueles itens que eu não tivesse certeza
utilizaria o bom e velho “chute”.
Ainda havia uma informação do edital que determinava que o candidato seria
eliminado se ficasse com nota negativa em alguma disciplina (é isso
mesmo!!!). E o que aconteceu comigo? Exatamente, isso! Fui eliminado, pois,
em Informática, fiquei com -4 (menos quatro). Olha o nosso número inteiro
negativo.
Para entender melhor este meu “trágico” exemplo da vida real, vamos fazer
um exemplo com números!
Exemplo: Moraes Junior, concurseiro novato, se inscreveu no concurso do
TCU. Na disciplina de Informática eram 20 itens a ser analisados e Moraes
Junior preencheu todos (com certo ou errado). Sabendo-se que Moraes Junior
acertou 8 (oito) itens, qual será a sua nota final na disciplina considerando que
cada erro elimina um acerto, ou seja, cada acerto vale 1 ponto e cada erro
vale -1 ponto?
Total de Itens da Prova = 20
Número de Acertos = 8
Número de Erros = Total de Itens – Número de Acertos = 20 – 8 = 12
Pela regra, cada acerto vale 1 (um) e cada erro vale -1 (menos um). Portanto,
a nota final seria:
Nota Final na Disciplina = Acertos – Erros = 8 – 12 = -4 (menos quatro). Esta
foi a minha nota: um número inteiro negativo.
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Memorize para a prova:
Números Inteiros: são números que possuem as características dos
números naturais, mas podem ser positivos ou negativos.
ℤ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...} ⇒ números inteiros
ℤ ⇒ conjunto dos números inteiros.
ℤ + ⇒ conjunto dos números inteiros não negativos (inclui o zero).
ℤ − ⇒ conjunto dos números inteiros não positivos (inclui o zero).
ℤ*+ ⇒ conjunto dos números inteiros positivos (não inclui o zero).
ℤ*− ⇒ conjunto dos números inteiros negativos (não inclui o zero).
Repare que o asterisco (*) sobrescrito ao símbolo que representa os inteiros
( ℤ ) indica a exclusão do 0 (zero). Por outro lado, o “mais” (+) subscrito ao
símbolo indica os inteiros não negativos e o “menos” indica os inteiros não
positivos. Juntando o asterisco (*) com o “mais”, temos os inteiros positivos e
juntando o asterisco (*) com o “menos”, temos os inteiros negativos.
Os próximos números que veremos são os números racionais. Caramba, que
história é essa de número racional? Calma, vamos ao conceito. Os números
racionais são aqueles que podem ser descritos em forma de fração, ou seja,
todos os números racionais possuem uma fração equivalente. Pode-se concluir
que os números racionais englobam os números inteiros e, consequentemente,
englobam os números naturais.
E o que são frações? Veja:
a
numerador
=
(fração)
b deno min ador
São exemplos de números racionais:
3
7 1
= 0,75; ;
= 0,1; etc.
4
5 10
Repare que existem números racionais cujas casas decimais se repetem de
acordo com um padrão (4,156156156.... ou 0,777777777...). Esse números
são conhecidos como dízimas periódicas.
Vamos ver um exemplo que utilize números racionais, que é uma adaptação de
um problema do livro “O Homem que Calculava”, de Malba Tahan.
Exemplo: Suponha que você possua um camelo de sua propriedade e que três
irmãos te contrataram para dividir a herança deles, de 35 camelos, pois eles
não estavam conseguindo chegar a um acordo. De acordo com o testamento
do pai, a herança deveria ser dividida da seguinte forma: o irmão mais velho
fica com a metade dos camelos, o irmão do meio com a terça parte e o irmão
mais novo com a nona parte. Você não pode dividir um mesmo camelo, pois,
deste modo teria que matá-lo. Assinale a alternativa que deixaria todos os
irmãos felizes na partilha da herança, cumprindo o disposto no testamento:
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(a) 18 camelos para o irmão mais velho; 10 camelos para o irmão do meio e
camelos para o irmão mais novo.
(b) 18 camelos para o irmão mais velho; 12 camelos para o irmão do meio e
camelos para o irmão mais novo e 1 camelo para você.
(c) 17 camelos para o irmão mais velho; 12 camelos para o irmão do meio e
camelos para o irmão mais novo.
(d) 17 camelos para o irmão mais velho; 11 camelos para o irmão do meio e
camelos para o irmão mais novo e 2 camelos para você.
(e) 17 camelos para o irmão mais velho; 11 camelos para o irmão do meio e
camelos para o irmão mais novo e 2 camelos para você.
7
4
6
6
5
Resolução
Se você colocar também o seu camelo como parte da herança, teríamos:
Camelos dos irmãos = 35
Seu Camelo = 1
Total de Camelos = 35 + 1 = 36
Efetuando a partilha:
Irmão mais velho = 36/2 = 18 camelos (deveria receber 35/2 = 17,5 camelos
e recebeu 18 ⇒ saiu feliz).
Irmão do meio = 36/3 = 12 camelos (deveria receber 35/3 = 11,666666...
camelos e recebeu 12 ⇒ saiu feliz).
Irmão mais novo = 36/9 = 4 camelos (deveria receber 35/9 = 3,888888...
camelos e recebeu 4 ⇒ saiu feliz).
Total dos Irmãos = 18 + 12 + 4 = 34 camelos (todos saíram felizes)
Você efetuaria a partilha e ainda sairia com 2 camelos (1 que já era seu) e
outro da própria herança. Isto é que é negócio da China! Risos.
E aí, qual o mistério deste problema. Como pode todos os irmãos saírem
felizes e você ainda ganhar um camelo?
É simples. Repare:
Irmão mais velho = 35/2 = (17 + 1/2) = 17,5 camelos
Irmão do meio = 35/3 = (11 + 2/3) = 11,66666... camelos
Irmão mais novo = 35/9 = (3 + 8/9) = 3,88888... camelos
Soma = 17,5 + 11,66666... + 3,88888.. = 33,055555....
Ou seja, a soma da partilha não dá os 35 camelos da herança, pois há uma
sobra de quase 2 camelos. Ou seja, você percebeu isso e ainda ganhou um
camelo!
GABARITO: B
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Memorize para a prova:
Números Racionais: ℚ = {x | x = n / d , n ∈ ℤ, d ∈ ℤ, d ≠ 0} ⇒ números que
podem ser escritos na forma de fração, onde n é o numerador e d é o
denominador.
Exemplos: 3/4 = 0,75; 7/5; 1/10 = 0,1; 1/3 = 0,33333... (dízima
periódica); etc.
O
O
O
O
símbolo ℚ representa o conjunto de números racionais.
símbolo ∈ indica “pertence a”.
símbolo | indica “tal que”.
símbolo ≠ indica “é diferente de”.
Portanto, vamos escrever “ ℚ = {x | x = n / d , n ∈ ℤ, d ∈ ℤ, d
≠ 0} ” em “português”:
o conjunto dos números racionais é formado por números “x” tal que “x” é
igual a uma fração (n/d), onde n pertence ao conjunto dos números inteiros, d
pertence ao conjunto dos números inteiros e d é diferente de zero.
Os números irracionais, como o próprio nome diz, são irracionais. Risos. Ou
seja, são números não racionais, ou opostos aos números racionais, não
podendo, por conseguinte, ser representados por frações. São conhecidos
como dízimas não periódicas.
Memorize para a prova:
Números Irracionais: não podem ser escritos com frações e possuem um
número infinito de casas decimais.
I = {x | x é uma dízima não periódica} ⇒ números irracionais.
Exemplos: 3,01234567134....; √3 = 1,732050807...; π = 3,1415....
O símbolo
π
representa o número irracional “pi”.
Finalmente, os números reais! Como o próprio nome indica, os números reais
representam valores reais. Os números reais podem ser representados por
frações, números inteiros, com casas decimais, sem casas decimais, por
dízimas periódicas, por dízimas não periódicas.
Enfim, os números reais englobam todos os números racionais (que já
englobam os inteiros e, consequentemente, os naturais) e irracionais.
O que são casas decimais? Casas decimais são os números localizados à direita
da vírgula.
Exemplo: 3,1415 possui quatro casas decimais, que são: 1, 4, 1 e 5.
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Memorize para a prova:
Números Reais: representam valores reais e incluem a totalidade dos
números racionais e irracionais.
ℝ = {x | x é racional ou x é irracional} ⇒ números reais.
ℝ ⇒ conjunto dos números reais.
ℝ + ⇒ conjunto dos números reais não negativos (inclui o zero).
ℝ − ⇒ conjunto dos números reais não positivos (inclui o zero).
ℝ*+ ⇒ conjunto dos números reais positivos (não inclui o zero).
ℝ*− ⇒ conjunto dos números reais negativos (não inclui o zero).
Repare que o asterisco (*) sobrescrito ao símbolo que representa os reais ( ℝ )
indica a exclusão do 0 (zero). Por outro lado, o “mais” (+) subscrito ao símbolo
indica os reais não negativos e o “menos” indica os reais não positivos.
Juntando o asterisco (*) com o “mais”, temos os reais positivos e juntando o
asterisco (*) com o “menos”, temos os reais negativos.
Portanto, poderíamos fazer a seguinte representação dos números:
ℝ
ℕ
ℤ
ℚ
I
Nota: Ainda há os números imaginários (fruto da nossa imaginação. Risos),
mas veremos em aula posterior.
1.2. Outros Conceitos Iniciais Importantes
Uma variável representa algo que é desconhecido, ou seja, algo que você
quer calcular em um problema, também denominada de incógnita. Portanto,
uma variável sempre será a representação de um número. Normalmente, são
utilizadas letras para representar as variáveis.
No exemplo na minha nota negativa na prova de Informática, a variável é
justamente a nota que tirei na prova, que, no caso, poderia ter chamado de
“n”.
Uma operação representa uma combinação de um ou mais números gerando
um resultado. Ou seja, as operações são adição, subtração, multiplicação,
divisão, raízes, expoentes, etc. Como exemplo, temos que 3 + 5 = 8.
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Uma expressão representa qualquer combinação de valores e operações.
Como exemplo, temos a expressão 3xy + 5z.
Um termo é o agrupamento de um ou mais fatores, como por exemplo, 3xy.
Uma equação demonstra a relação entre duas expressões iguais. Como
exemplo, temos a equação 3xy + 5z = 10.
Uma constante é um número que nunca muda de valor em uma equação.
Uma variável também pode ser uma constante (que estranho, não?) desde
que seja definido um valor constante para tal. Como exemplo, sabemos que o
número 10 é uma constante e as variáveis a e b na equação ax + b = 0,
também são definidas como constantes.
Um expoente é um número sobrescrito a uma variável ou a um número.
Como exemplo, temos 32 (2 é expoente) e x5 (5 é expoente).
Os principais símbolos utilizados em álgebra são:
+: Significa adicionar ou somar. O resultado da adição é a soma.
– : significa subtrair ou diminuir. O resultado da subtração é a diferença.
x ou . (ponto): significa multiplicar ou vezes. O resultado da multiplicação é o
produto e os valores que serão multiplicados são os multiplicadores ou fatores.
÷ ou : ou / ou –- (linha de fração): Significa dividir. O resultado é o
quociente e o número que divide o dividendo é o divisor.
a = b.q + r
a = dividendo
b = divisor
q = quociente
r = resto
a
numerador
=
b deno min ador
Representando de forma diferente:
a
b
r
q
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Exemplo: Quantas quinzenas existem em um ano de 365 dias?
Uma quinzena possui 15 dias. A variável que queremos calcular é o número de
quinzenas, que chamarei de “z”.
Se montássemos a nossa estrutura: 365 = z . 15 + r
Dividindo 365 por 15, teríamos:
365
15
5
24
Ou seja, um ano de 365 dias possui 24 quinzenas e 5 dias. Se o ano fosse
bissexto, com 366 dias, teria 24 semanas e 6 dias.
Nota: As regras para fazer divisões serão vistas em aula posterior.
: significa raiz quadrada (será vista com mais detalhes em aula posterior).
| |: significa módulo ou valor absoluto de um número.
Exemplo: |-3| = 3; |3| = 3. Ou seja, o módulo de um número positivo é ele
mesmo; e o módulo de um número negativo, é a distância deste número até o
zero.
= : significa que o primeiro valor é igual ao valor seguinte.
≠ ou <>: significa que o primeiro valor é diferente do valor seguinte.
≈ : significa que o primeiro valor é aproximadamente igual ao valor seguinte.
≤ : significa que o primeiro valor é menor que ou igual ao valor seguinte.
≥ : significa que o primeiro valor é maior que ou igual ao valor seguinte.
< : significa que o primeiro valor é menor que o valor seguinte.
> : significa que o primeiro valor é maior que o valor seguinte.
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Memorize para a prova:
+ ⇒ soma
– ⇒ subtração
÷ ou : ou / ou --- ⇒ divisão
x ou . ⇒ multiplicação
⇒ raiz quadrada
| | ⇒ valor absoluto ou módulo
= ⇒ igual
≠ ou <> ⇒ diferente
≈ ⇒ aproximadamente igual
≤ ⇒ menor ou igual
≥ ⇒ maior ou igual
> ⇒ maior
< ⇒ menor
Para resolver problemas, você deve considerar os sinais de agrupamento, pois,
caso não faça dessa maneira, não chegará ao resultado correto. Os sinais de
agrupamento são:
(): parênteses
[]: colchetes
{ }: chaves
Exemplo: 10 x (5 – 2) ⇒ primeiro, você deve calcular aquilo que está dentro
dos parênteses, logo, 10 x 3 = 30.
Se fosse calcular da esquerda para direita, sem respeitar os parênteses,
teríamos: 10 x 5 – 2 = 50 – 2 = 48, que não corresponde ao resultado correto.
Memorize para a prova:
Agrupamentos:
( ) ⇒ parênteses
[ ] ⇒ colchetes
{ } ⇒ chaves
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1.3. Exercícios de Fixação
Nesta aula serão poucos exercícios, pois ainda estamos na parte introdutória
da matéria. Minha intenção é fazer, em média, de 20 a 30 exercícios por aula,
e todos serão comentados e resolvidos.
1.(Analista de Processos Organizacionais-Administração-Bahiagás2010-FCC) Sendo x e y números reais, definiremos a operação Θ tal que xΘy
é igual a x−y. Partindo-se dessa definição, é correto dizer que (xΘy) Θ (yΘx) é
igual a
(A) 2x
(B) 2y
(C) 2(x−y)
(D) −2(x−y)
(E) −2x
2.(Analista Judiciário-Área Administrativa-TRT/15R-2009-FCC) Do total
de projetos que estavam em um arquivo, sabe-se que:
analisados e
2
deveriam ser
5
4
referiam-se ao atendimento ao público interno. Com essa
7
informação, é correto concluir que o total de projetos existentes nesse arquivo
NUNCA poderia ser um número compreendido entre
(A) 10 e 50.
(B) 60 e 100.
(C) 110 e 160.
(D) 150 e 170.
(E) 180 e 220.
3.(Analista de Planejamento e Orçamento-APO-2008-Esaf) Sabe-se que
os números x, y e z são números racionais. Sabe-se, também, que
z=
x−2 3
3− y 3
Com essas informações, conclui-se que:
a) x. y = − 6
b) x + y = 6
c) x. y = 0
d) x/y = 6
e) x. y = 6
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4.(Assistente Administrativo-Besc-2004-FGV) Em uma prova de 20
questões, o candidato recebe 4 pontos por cada resposta certa e perde 1 ponto
por cada questão não respondida corretamente. André obteve 20 pontos. Qual
seria a nota de André, se cada resposta certa valesse 6 pontos e cada resposta
errada fizesse com que ele perdesse 2 pontos?
(A) 12
(B) 16
(C) 20
(D) 22
(E) 24
5.(AFTN-1998-Esaf) Indique qual das opções abaixo é verdadeira.
a) Para algum número real x, tem-se que x < 4 e que x > 5
b) Para todo número real y, tem-se que y < 3 e que y > 2
c) Para algum número real x, tem-se que x < 4 e que x2 + 5x = 0
d) Para algum número real k, tem-se que k > 5 e que k2 – 5k = 0
e) Para todo número real positivo x, tem-se que x2 > x
1.4. Gabarito
1.
2.
3.
4.
5.
C
D
E
E
C
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1.5. Exercícios de Fixação Comentados e Resolvidos
1.(Analista de Processos Organizacionais-Administração-Bahiagás2010-FCC) Sendo x e y números reais, definiremos a operação Θ tal que xΘy
é igual a x−y. Partindo-se dessa definição, é correto dizer que (xΘy) Θ (yΘx) é
igual a
(A) 2x
(B) 2y
(C) 2(x−y)
(D) −2(x−y)
(E) −2x
Resolução
Primeiramente, não precisa se assustar com símbolo Θ e outros que possam
vir a aparecer em questões desse tipo. O que você precisa “tirar de
informação” da questão é qual o significado do símbolo.
No caso desta questão, o símbolo significa o “sinal de menos”. Portanto:
xΘy = x−y; ou seja, Θ = – (menos).
Portanto, basta pegar a informação dada na questão, substituir na expressão
que a questão informa e calcular o resultado. Vamos lá:
(xΘy) Θ (yΘx) = (x – y) – (y – x). Beleza até aqui?
Bom, na próxima aula, veremos os sinais e as operações entre eles. Contudo,
para resolver esta questão, precisamos ter este conhecimento. Então, vou falar
aqui, mas repetirei na próxima aula.
Repare que, no segundo termo: – (y – x) = – (+ y – x). Se retirarmos os
parênteses, teríamos: – + y – – x = – y + x. Portanto, o que temos que
guardar no momento, para adição e subtração, é:
1. Normalmente, não mostramos o sinal de mais (+) no primeiro termo, ou
seja, (x + y) = (+ x + y).
2. Menos (–) com mais (+) é igual a menos (–): – + = –.
3. Menos (–) com menos (–) é igual a mais (+): – – = +.
Voltando, a nossa questão, teríamos:
(xΘy) Θ (yΘx) = (x – y) – (y – x) = x – y – y + x = 2x – 2y.
Como aparece o número 2 nos dois termos, podemos colocar em evidência
(todos os termos estão multiplicados por 2). Logo: 2x – 2y = 2 . (x – y).
GABARITO: C
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2.(Analista Judiciário-Área Administrativa-TRT/15R-2009-FCC) Do total
de projetos que estavam em um arquivo, sabe-se que:
analisados e
2
deveriam ser
5
4
referiam-se ao atendimento ao público interno. Com essa
7
informação, é correto concluir que o total de projetos existentes nesse arquivo
NUNCA poderia ser um número compreendido entre
(A) 10 e 50.
(B) 60 e 100.
(C) 110 e 160.
(D) 150 e 170.
(E) 180 e 220.
Resolução
Se consideramos que o números total de projetos é igual a “X”, sabemos que:
Projetos a serem analisados = X .
2
5
Projetos relacionados ao público interno = X .
4
7
Repare que o número de projetos a serem analisados e o número de projetos
relacionados ao público interno devem ser números naturais, certo? Claro!
Você já viu alguém analisar meio processo ou um processo negativo? Risos.
Pois é. Esta é a “informação chave” da questão, pois, se são números naturais,
o número total de processos deve ser divisível por 5 e divisível por 7. Também
falaremos dos critérios de divisibilidade em aula posterior, mas, no momento,
temos que saber que, se um número deve ser divisível por 5 e divisível por 7,
ele deve ser divisível por 5 x 7 = 35.
Generalizando, se um número é divisível por A e divisível por B, ele
deve ser divisível por A . B (A multiplicado por B).
Portanto, basta conhecer os múltiplos de 35 para verificarmos a resposta
correta. Veja:
1
2
3
4
5
6
7
x
x
x
x
x
x
x
35
35
35
35
35
35
35
=
=
=
=
=
=
=
35
70
105
140
175
210
245
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Logo, o número total de projetos “X” pode ser: 35, 70, 105, 140, 175, 210,
245,... Analisando as alternativas, temos que verificar em qual delas não há
algum dos números supramencionados:
(A) 10 e 50. ⇒ 35 está compreendido entre 10 e 50.
(B) 60 e 100. ⇒ 70 está compreendido entre 60 e 100.
(C) 110 e 160. ⇒ 105 e 140 estão compreendidos entre 110 e 160.
(D) 150 e 170. ⇒ não há número divisível por 35 neste intervalo
(E) 180 e 220. ⇒ 210 está compreendido entre 180 e 220.
GABARITO: D
3.(Analista de Planejamento e Orçamento-APO-2008-Esaf) Sabe-se que
os números x, y e z são números racionais. Sabe-se, também, que
z=
x−2 3
3− y 3
Com essas informações, conclui-se que:
a) x. y = − 6
b) x + y = 6
c) x. y = 0
d) x/y = 6
e) x. y = 6
Resolução
A questão informa que x, y e z são números racionais (representados por
fração).
Como z pode ser representado por uma fração, não podemos ter a raiz
quadrada de três (que é um número irracional) no valor de z. Falaremos de
raízes em aula posterior, mas, para já começar a se acostumar:
3 = 1,73205...
A melhor maneira de resolver esta questão é analisando as alternativas:
a) x. y = − 6
De acordo com a alternativa: x . y = − 6. Para isolarmos o x, deve-se dividir os
dois lados da equação por y. Deste modo, a igualdade não se altera. Quer ver
um exemplo numérico para entender melhor? Então, vamos lá:
2 x 3 = 6 (ok). Se dividirmos os dois lados da equação por 2, teríamos:
2×3 6
= ⇒ 3 = 3 (ok).
2
2
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Voltando à questão:
x . y = − 6. Dividindo os dois lados da equação por y.
x. y −6
−6
=
⇒x=
y
y
y
Substituindo o valor de x na expressão dada pelo enunciado da questão:
−6 − 2 3
y
x−2 3
z=
⇒ z=
3− y 3
3− y 3
Repare que, para eliminar o y que é denominador de -6, debemos multiplicar
por y o numerador e o denominador de z, que a igualdade não será alterada.
Vejamos:
−6i y
−6 − 2 3
− 2y 3
y
y
y
−6 − 2 y 3 −2(3 + y 3)
z=
=
i =
=
∉ ℚ (não é racional).
3− y 3 y
y(3 − y 3) y(3 − y 3) y(3 − y 3)
Na expressão “ −6 − 2 y
evidência. Veja:
3 ”, como -6 é igual a -2 x 3, podemos colocar o -2 em
−6 − 2 y 3 = −2 × 3 − 2 y 3 = −2.(3 + y 3)
A alternativa está INCORRETA.
b) x + y = 6
x+y=6
⇒ x=6–y
Aqui, para isolar x, passei o y para o outro lado da equação e, com isso, o sinal
se inverte. Quer ver um exemplo numérico:
3+5=8
⇒ 3 = 8 – 5 = 3 (ok)
Substituindo o valor de x na expressão dada pelo enunciado da questão:
z=
x−2 3
⇒
3− y 3
⇒ z=
(6 − y) − 2 3
∉ ℚ (não é racional). A alternativa está INCORRETA.
3− y 3
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c) x. y = 0
Mais uma propriedade que será vista em aula posterior: Se x . y = 0, x = 0 ou
y = 0 ou x = y = 0. Veja exemplos numéricos:
x=0ey=4
x=3ey=0
x=0ey=0
⇒ 0x4=0
⇒ 3x0=0
⇒ 0x0=0
Portanto, temos três opções para substituir na expressão dada no enunciado:
x = 0; ou y = 0; ou x = y = 0
−2 3
0−2 3
⇒z=
∉ℚ
3− y 3
3− y 3
x−2 3
x−2 3
⇒z=
∉ℚ
y =0⇒ z =
3
3 − 0. 3
−2 3
0−2 3
⇒z=
∉ℚ
x = 0 e y −0⇒ z =
3
3 − 0. 3
x =0⇒ z =
A alternativa está INCORRETA.
d) x/y = 6
E agora? Como faremos para isolar o x. Simples! Basta multiplicar por y nos
dois lados da equação. Vamos ver um exemplo numérico:
12
12
= 6 ⇒ × 2 = 6 × 2 ⇒ 12 = 12(ok )
2
2
x
x
= 6 ⇒ i y = 6i y ⇒ x = 6 y
y
y
Substituindo o valor de x na expressão dada pelo enunciado da questão:
z=
x−2 3
⇒
3− y 3
⇒ z=
6y − 2 3
∉ ℚ (não é racional). A alternativa está INCORRETA.
3− y 3
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e) x. y = 6
x . y = 6. Dividindo os dois lados da equação por y.
x. y 6
6
= ⇒x=
y
y
y
Substituindo o valor de x na expressão dada pelo enunciado da questão:
z=
x−2 3
⇒
3− y 3
Substituindo o valor de x na expressão dada pelo enunciado da questão:
6 −2 3
y
x−2 3
z=
⇒ z=
3− y 3
3− y 3
Repare que, para eliminar o y que é denominador de 6, debemos multiplicar
por y o numerador e o denominador de z, que a igualdade não será alterada.
Vejamos:
6i y
6 −2 3
− 2y 3
y
y
y
6 − 2 y 3 2(3 − y 3) 2
z=
i =
=
=
= ∈ ℚ (é racional).
3 − y 3 y y(3 − y 3) y(3 − y 3) y(3 − y 3) y
Na expressão “ 6 − 2 y
evidência. Veja:
3 ”,
como 6 é igual a 2 x 3, podemos colocar o 2 em
6 − 2 y 3 = 2 × 3 − 2 y 3 = 2.(3 − y 3)
Além disso, podemos “cortar”
Com isso, sobrará apenas
(3 − y 3) ,
no numerador e no denominador.
2
2
. Como, pela questão, y é um número racional,
y
y
também será racional. A alternativa está CORRETA.
GABARITO: E
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4.(Assistente Administrativo-Besc-2004-FGV) Em uma prova de 20
questões, o candidato recebe 4 pontos por cada resposta certa e perde 1 ponto
por cada questão não respondida corretamente. André obteve 20 pontos. Qual
seria a nota de André, se cada resposta certa valesse 6 pontos e cada resposta
errada fizesse com que ele perdesse 2 pontos?
(A) 12
(B) 16
(C) 20
(D) 22
(E) 24
Resolução
Caramba! Até parece o meu exemplo da vida real! Risos.
Total de Questões da Prova = 20
Regras:
Questão Certa = 4 pontos
Questão Errada = -1 ponto (perde 1 ponto)
Nota da Prova = 20 pontos
Se considerarmos que André acertou “C” questões, teríamos que o número de
questões erradas seria:
Questões Erradas (“E”) = Total de Questões da Prova – Questões Certas
⇒ E = 20 – C
⇒
A nota da prova será formada da seguinte maneira:
Nota da Prova = (Questões Certas x Pontos Por Questão Certa) + (Questões
Erradas x Pontos Por Questão Errada) ⇒
Substituindo os valores, teríamos:
20 = C x 4 + E x (-1) ⇒ 20 = 4C + (20 – C) x (-1) ⇒
⇒ 20 = 4C – 20 + C (lembre que –C x -1 = – – C = + C)
⇒ 20 + 20 = 4C + C ⇒ 5C = 40 ⇒
⇒ C=
⇒
40
⇒C = 8
5
Portanto, o número de questões erradas será: E = 20 – C = 20 – 8 = 12
Agora, de acordo com a questão, houve alteração da pontuação das certas e
das erradas, da seguinte forma:
Questão Certa = 6 pontos
Questão Errada = -2 pontos (perde 2 pontos)
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Total de Questões Certas = 8
Total de Questões Erradas = 12
Nessa situação, a nota da prova será:
Nota da Prova = Questões Certas x Pontos Por Questão Certa + Questões
Erradas x Pontos Por Questão Errada
Substituindo os valores, teríamos:
Nota da Prova = 8 x 6 + 12 x (-2) (lembre que +12 x -2 = + – 24 = – 24)
⇒ Nota da Prova = 48 – 24 = 24
GABARITO: E
⇒
5.(AFTN-1998-Esaf) Indique qual das opções abaixo é verdadeira.
a) Para algum número real x, tem-se que x < 4 e que x > 5
b) Para todo número real y, tem-se que y < 3 e que y > 2
c) Para algum número real x, tem-se que x < 4 e que x2 + 5x = 0
d) Para algum número real k, tem-se que k > 5 e que k2 – 5k = 0
e) Para todo número real positivo x, tem-se que x2 > x
Resolução
Vamos analisar as alternativas:
a) Para algum número real x, tem-se que x < 4 e que x > 5
Não há número real que seja, simultaneamente, menor que 4 e maior que 5.
A alternativa está INCORRETA.
b) Para todo número real y, tem-se que y < 3 e que y > 2
Esta alternativa não é válida para todo número real y. Por exemplo, para y
igual 2,5; y é maior que 2 e é menor que 3. Contudo, para y igual 5; y é
maior que 2 e não é menor que 3. A alternativa está INCORRETA.
c) Para algum número real x, tem-se que x < 4 e que x2 + 5x = 0
Nós veremos equação do segundo grau e potências em aula posterior, mas
perceba que esta equação pode ser resolvida sem conhecer todos os
conceitos. Veja:
x2 + 5x = 0
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2
x é o mesmo que x vezes x, ou seja, x.x. Portanto, teríamos:
x.x + 5x = 0. Como x aparece nos dois termos à direita da equação,
podemos colocá-lo em evidência:
x . (x + 5) = 0. Lembra da questão 3, alternativa “c”? x . y = 0. Qual era a
solução? x = 0 ou y = 0 ou x = 0 e y = 0.
No caso dessa equação, x . (x + 5) = 0, as soluções ou raízes da equação
serão x = 0 e x + 5 = 0 ⇒ x = –5
Ou seja, as raízes da equação são reais (0 e –5) e são menores que
4. Logo, a alternativa está CORRETA.
d) Para algum número real k, tem-se que k > 5 e que k2 – 5k = 0
Resolução da equação: k2 – 5k = 0
Raízes: k = 0 e k – 5 = 0
⇒ k . (k – 5) = 0
⇒ k=5
Ou seja, uma das raízes da equação, k = 5, não é maior que 5 (k > 5) e sim
igual a 5. A alternativa está INCORRETA.
e) Para todo número real positivo x, tem-se que x2 > x
Esta alternativa não é válida para todo número real x. Por exemplo, para x
igual a 1. x2 = 12 = 1 . 1 = 1 = x. A alternativa está INCORRETA.
GABARITO: C
Espero que tenha gostado desta introdução e te aguardo na próxima aula.
Abraços e até a próxima aula,
Bons estudos,
Moraes Junior
[email protected]
Alexandre Lima
[email protected]
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2.
Bibliografia
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Paulo. Novas Conquistas, 2001.
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CARVALHO FILHO, Sérgio de, Estatística Básica para concursos: teoria e 150
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DOXIADIS, Apóstolos, Tio Petros e a conjectura de Goldbach: um romance
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IEZZI, Gelson, Fundamentos da Matemática Elementar. 3: Trigonometria/
Gelson Iezzi. 8a Edição. São Paulo. Atual, 2004.
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IEZZI, Gelson, Fundamentos da Matemática Elementar. 4: Seqüências,
Matrizes, Determinantes, Sistemas/Gelson Iezzi, Samuel Hazzan. 7a Edição.
São Paulo. Atual, 2004.
IEZZI, Gelson, Fundamentos da Matemática Elementar. 6: Complexos,
Polinômios, Equações/Gelson Iezzi. 7a Edição. São Paulo. Atual, 2004.
IEZZI, Gelson, Fundamentos da Matemática Elementar. 11: Matemática
Comercial, Matemática Financeira, Estatística Descritiva/Gelson Iezzi, Samuel
Hazzan, David Mauro Degenszajn. 1a Edição. São Paulo. Atual, 2004.
MORGADO, Augusto César, Raciocínio Lógico-Quantitativo: teoria, questões
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Morgado, Benjamim César de Azevedo Costa. 4a Edição. Rio de Janeiro.
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NORBIM, Fernando Dalvi, Raciocínio Lógico Descomplicado: Mais de 400
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ROCHA, Enrique, Raciocínio Lógico: você consegue aprender. Rio de Janeiro.
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