PROVA APLICADA ÀS TURMAS DO 3O ANO DO ENSINO MÉDIO
DO COLÉGIO ANCHIETA AGOSTO_UIII_ DE 2009.
ELABORAÇÃO:
PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ.
RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA
QUESTÕES DE 01 A 08.
Assinale as proposições verdadeiras, some os resultados obtidos e marque na Folha de Respostas.
QUESTÃO 01. Uma das glebas de um loteamento é
constituída pelos lotes I, II e III, cujas dimensões, na
escala 1:200, estão indicadas na figura ao lado.
È verdade que:
(01) A área da gleba é de 1000m².
(02) Se as áreas dos lotes I, II e III, forem proporcionais, respectivamente, aos números 1, 2 e 2, então a área do
lote III é 400m2.
(04) Se na proposição anterior as áreas forem inversamente proporcionais aos números 1, 2 e 2,
respectivamente, então a área do lote III será 200m2.
(08) Se a área do lote I é 20% a mais que a área do lote II que por sua vez, é 80% da área do lote III, então a
área deste lote é superior a 400m2.
(16) Se as áreas dos lotes I, II e III, formam, nesta ordem, uma progressão aritmética, então a área do lote II é
maior que 320m2.
(32) Se, na proporção anterior, a progressão for geométrica de razão 2, então a área do lote I será superior a
140m2.
RESOLUÇÃO:
(01) VERDADEIRA
Cálculo da área integral do terreno.
I. Cálculo das dimensões do terreno representado, na figura à direita, pelo retângulo ABCD onde AB = x e
BC = y.
Se a escala representa a razão entre a dimensão da planta e a sua correspondente no terreno.
1
25
1
10

 x  5000cm  50m e

 y  2000cm  20m
200 x
200 y
II. Cálculo da área do terreno: S = (20  50) m² = 1000 m².
(02) VERDADEIRA.
Sendo as áreas dos lotes I, II e III, proporcionais, respectivamente, aos números 1, 2 e 2, então podem ser
representadas por a, 2a e 2a.
Logo: a + 2a + 2a = 1000m2  5a = 1000m²  a = 200m²  2a = 400m².
09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado
(04) FALSA.
Sendo as áreas dos lotes I, II e III, inversamente proporcionais aos números 1, 2 e 2, então podem ser
a
a
representadas, respectivamente, por a, e .
2 2
a a
a
Logo: a    1000  2a  a  a  2000  a  500   250m² .
2 2
2
(08) FALSA.
Pelos dados tem-se: SII = 0,8SIII e SI = 1,2SII = 1,2 0,8SIII = 0,96 SIII.
Logo: 0,96 SIII + 0,80 SIII + SIII = 1000  2,76 SIII = 1000  SIII  362,32 m² < 400m².
(16) VERDADEIRA.
Se as áreas dos lotes I, II e III, formam, nesta ordem, uma progressão aritmética, então pode-se representalas, respectivamente, por a – r, a e a + r.
Logo: a – r + a + a + r = 1000  3a = 1000  a  333,33. Assim a área do lote II é maior que 320m2.
(32) VERDADEIRA.
Se as áreas dos lotes I, II e III, formam, nesta ordem, uma progressão for geométrica de razão 2, então
podem ser representadas por a, 2a e 4a.
Logo: a + 2a + 4a = 1000  7a = 1000  a  142,86 m² >140m2.
QUESTÃO 02. (FCC-Adaptada) Numa ilha dos mares do Sul convivem três raças distintas de ilhéus: os
zel(s) só mentem, os del(s) só falam a verdade e os mel(s) alternadamente falam verdades e mentiras – ou
seja, uma verdade, uma mentira, uma verdade, uma mentira –, mas não se sabe se começaram falando uma
ou outra. Nos encontramos com três nativos, Sr. A, Sr. B, Sr. C, um de cada uma das raças.
Observe bem o diálogo que travamos com o Sr. C.
Nós: – Sr. C, o senhor é da raça zel, del ou mel ?
Sr. C: – Eu sou mel. (1ª resposta)
Nós: – Sr. C, e o senhor A, de que raça é ?
Sr. C: – Ele é zel. (2ª resposta)
Nós: – Mas então o Sr. B é Del, não é isso, Sr. C ?
Sr. C: – Claro, senhor! (3ª resposta)
Nessas condições é verdade que:
(01) O Sr. A é da raça zel
(02) O Sr. A é da raça del
(04) O Sr. A é da raça mel
(08) O Sr. B é da raça zel
(16) O Sr. B é da raça del
(32) O Sr. B é da raça mel
(64) Com base nas informações do enunciado da questão e no dialogo travado com o Sr. C nada podemos
concluir sobre as raças dos senhores A e B
RESOLUÇÃO:
1) Supondo que o Sr. C seja DEL (somente falam a verdade).
Ao responder à primeira pergunta: Eu sou MEL, estaria mentindo. O que leva a uma contradição.
Logo o Sr. C não é DEL.
2) Supondo que o Sr. C seja MEL (falam alternadamente verdades e mentiras).
2i) Ao responder à primeira pergunta: Eu sou MEL:
A
B
C
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DEL
ZEL
N
N
2
MEL
N
N
S
2ii) Supondo que falou a verdade, a sua próxima resposta será mentira, e ao responder à segunda
pergunta: A é ZEL, estará mentindo, ou seja A não é ZEL:
DEL
ZEL
MEL
A
S
N
N
B
N
C
N
S
S
2iii) Ao responder à terceira pergunta afirmando que o Sr. B é DEL:
DEL
A
S
B
S
C
N
Analisando a tabela final observamos uma contradição.
Logo o argumento não é válido.
ZEL
N
MEL
N
N
S
S
3) Supondo que o Sr. C seja ZEL (somente falam mentiras).
3i) Ao responder à primeira pergunta: Eu sou MEL estaria mentindo:
A
B
C
DEL
ZEL
MEL
N
S
N
3ii) Ao responder à segunda pergunta: A é ZEL, mentiu, ou seja A não é ZEL:
DEL
ZEL
MEL
A
S
N
B
N
N
C
N
S
N
3iii) Ao responder à terceira pergunta afirmando que o Sr. B é DEL, mentiu, ou seja B não é DEL:
DEL
ZEL
A
S
N
B
N
N
C
N
S
Analisando a tabela final observamos que não há contradição.
Logo o argumento é válido.
01) VERDADEIRA.
(16) FALSA.
(02) FALSA.
(32) VERDADEIRA.
MEL
N
S
N
(04) FALSA.
(64) FALSA.
(08) FALSA.
QUESTÃO 03.
Considere as sequências (an) = 3, 6, 9, 12, 15, ... e (bn) = (1, 1/3, 1/9, 1/27,...).
È correto afirmar:
(01) O centésimo termo de (an) é 300.
(02) A soma dos 100 primeiros termos de (an) é igual a 15.150.
3
1  3 9
2
(04) A soma dos 10 primeiros termos de (bn) é igual a
.
(08) O limite da soma dos termos de (bn) é igual a 3/2.
(16) Se a soma dos n primeiros termos de (an) é igual a 360, então n é um dos termos de (an).
(32) Existe termo an que é igual ao número n311 vezes o termo bn.

09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado
3

RESOLUÇÃO:
(01)VERDADEIRA.
A sequência (an) = 3, 6, 9, 12, 15, ... é uma P.A. na qual a1 = 3 e r = 3.
A expressão do termo geral de uma P.A. é an = a1 + (n – 1) r, logo a100 = 3 + (100 – 1)  3 = 300.
(02) VERDADEIRA.
A expressão da soma dos n primeiros termos de uma P.A. é S n 
S100
a1  a n  n , logo
2
3  300100  15150

2
(04) FALSA.
A sequência (bn) = (1, 1/3, 1/9, 1/27,...). é uma P.G., na qual a1 = 1 e q =
A expressão da soma dos n primeiros termos de uma P.G. é S n 

1
.
3

a1 q n  1
, então a soma dos 10 primeiros
q 1
 1 10 
1   1
 3 
 3
termos de (bn ) é S10  
 1  310 .
1
2
1
3


(08) VERDADEIRA.
O limite da soma dos termos de uma P.G. decrescente e infinita é dada pela relação:
a
1
3
Sn  1 
 .
1
1  q 1
2
3
(16) VERDADEIRA.
Sn 
a1  a1  (n  1)  r  n  6  (n  1)  3 n  360  n 3n  3  720  0 
2
n 2  n  240  0  n 
2
 1  1  960
 1  31
n
 n  15(n  0) , e 15 é o quinto termo de (an).
2
2
(32) VERDADEIRA.
1
3  (n  1)  3  n  311  1  
 3
n 1
 3n  n  312  n  312  n  3  12  n  1  n  11 .
QUESTÃO 04.
Sobre Lógica é verdade que :
(01) A negação da sentença “Todo baiano é bonito e inteligente” é “Algum baiano não é bonito e
não é inteligente”
(02) A proposição composta (p  q)  (~p  q) é uma tautologia.
(04) Se a proposição p  (r  s) é falsa então a proposição (t  s)  (p  t) é verdadeira
independente da valoração de t.
(08) x  Q e y  Q’  (x + y)  Q’
(16) O argumento abaixo é válido.
09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado
4




Se Paulo recebe dinheiro então ele sai a noite.
Se o Pai de Paulo está em casa então Paulo sai a noite.
Hoje, o pai de Paulo está em casa.
Logo, hoje Paulo recebe dinheiro.
(32) O argumento abaixo é válido.
 Se Pedro recebe dinheiro então ele sai a noite.
 Ou o Pai de Pedro está em casa ou está viajando.
 Se o pai de Pedro está viajando então a mãe de Pedro fica infeliz.
 Se o pai de Pedro está em casa então Pedro recebe dinheiro.
 Hoje, a mãe de Pedro está Feliz.
 Logo, hoje Pedro sai a noite.
RESOLUÇÃO:
(01) FALSA.
A negação da sentença “Todo baiano é bonito e inteligente” é “Algum baiano não é bonito ou não é
inteligente”
(02) VERDADEIRA.
A coluna 5 da tabela abaixo mostra que a proposição composta (p  q)  (~p  q) é uma tautologia.
P
V
V
F
F
(04) VERDADEIRA.
p
r
s
V
V
V
V
V
F
V
F
V
q
V
F
V
F
~p
F
F
V
V
(pq)
V
F
V
V
p
V
V
V

V
V
V
(r  s)
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
F
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
V
V
V
F

V
V
V
V
(~pq)
V
F
V
V
(t 
F
V
F
V
s)
F
F

(p 
V
V
V
V
F
V
t)
F
V
Analisando a tabela da esquerda conclui-se que a proposição p  (r  s) é falsa na linha amarela (linha 4)
na qual os valores lógicos de p e s são, respectivamente, V e F.
Preenchendo agora na tabela à direita, as duas linhas relacionadas à linha amarela da primeira tabela chegase à conclusão final de que a proposição (t  s)  (p  t) é verdadeira independente da valoração de t.
(08) VERDADEIRA.
(16) FALSA.
p: Se Paulo recebe dinheiro então ele sai a noite.
q: Se o Pai de Paulo está em casa então Paulo sai a noite.
r: Hoje, o pai de Paulo está em casa.
s: Logo, hoje Paulo recebe dinheiro.
 p  q  r s não é um argumento válido. (O pai de Paulo estar em casa não implica em
Paulo receber
dinheiro ou não).
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5
(32) VERDADEIRA.
Ou o Pai de Pedro está em casa ou está viajando.
Se o pai de Pedro está viajando então a mãe de Pedro fica infeliz.
Se hoje a mãe de Pedro está Feliz, é porque o pai de Pedro está em casa.
Se o pai de Pedro está em casa então Pedro recebe dinheiro.
Se Pedro recebe dinheiro então ele sai a noite.
 Logo, hoje Pedro sai a noite. (argumento válido)
QUESTÃO 05.
Numa olaria, um vaso cerâmico tem a forma de sólido obtido pela
rotação completa em torno da reta r, da região hachurada na figura
ao lado.
Considerando  = 3, é verdade que:
(01) O volume de argila necessário para a confecção do vaso é
12.050cm3.
(02) A área da parte interna do vaso é igual a 1800cm2.
(04) Da parte externa do vaso consta uma coroa circular de área
375cm2.
(08) A área da base do vaso é igual a 600cm2.
(16) A área total do vaso é 5550cm2.
(32) A área da parte interna é menos de 50% da área da parte externa.
RESOLUÇÃO:
(01) FALSA.
V= R²H – r²h = (3  15²  30 – 3  10²  25) cm³ = (20250 – 7500) cm³ = 12750 cm³.
(02) VERDADEIRA.
S = r² + 2rh = (3  10² + 2  3  10  25) cm2 = (300 + 1500) cm2 = 1800cm2.
(04) VERDADEIRA.
R² – r² = (3  15² – 3  10²) cm2 = 375cm2.
(08) FALSA.
R² = 675 cm2.
(16) VERDADEIRA.
Sinterna + Sbase + Scoroa + Slateral = (1800 + 675 + 375 + 2  3  15  30) cm2 = 5550cm2.
(32) VERDADEIRA.
SINTERNA 1800 12 48



 50%
SEXTERNA 3750 25 100
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6
QUESTÃO 06.
Sobre o binômio (kx 
1
) n sabe-se que tem oito termos e que a soma dos coeficientes é igual a 128,
x
sendo k uma constante. Sendo assim, sobre o desenvolvimento deste binômio, segundo as potências
decrescentes de x, podemos afirmar que:
(01) Apresenta termo médio.
(02) Apresenta termo independente.
(04) O coeficiente do termo x-2 é um divisor de 42.
(08) O quarto termo é  2835x 2 x .
(16) Os coeficientes dos termos equidistantes dos extremos tem sempre o mesmo sinal.
RESOLUÇÃO:
Se o desenvolvimento do binômio (kx 
1
) n tem oito termos, então n + 1 = 8  n = 7.
x
Se a soma dos seus coeficientes é igual a 128  (k  1)7  128  (k  1)7  2 7  k  1  2  k  3
7
1 n 
1 


Tem-se então (kx  x )   x  x  .


(01) FALSA.
7

1 
 3x 
 tem 8 termos, logo não existe termo médio.
O desenvolvimento de 
x

(02) FALSA.
p
p
 7 p
 7  1 
7
 3x 7  p   (1) p 37 - p x 2
Termo geral: Tp 1    
.
x
 p 
 p
No termo independente o grau de x é zero. Logo,
p
14
  7  p  0  p  14  2p  0  3p  14  p   N .
2
3
(04) VERDADEIRA.
p
  7  p  2  p  14  2p  4  3p  18  p  6
2
7
T6 1   (1) 6 3x  2  21x  2 .21 é divisor de 42.
6
(08) VERDADEIRA.
5
7
T3 1   (1)3  34 x 2  35  81x 2 x  2835x 2 x
3 
(16) FALSA.
11
7
Exemplo: T11   (1)1 36 x 2  7  729x 5 x  5103x 5 x e T6 1  21x 2 são termos equidistantes
1 
dos extremos e seus sinais são diferentes.
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QUESTÃO 07.
x y z


Considere as matrizes A =  y x z  e B =
 z x x


É verdade que:
 z x x


y x z
x y z


(01) detA + detB  0.
x y z


(02) detA é igual ao determinante da matriz C =  y x x  .
 z z x


a i j  i  j, se i  j
(04) Se 
, então detA =0.
a i j  0, se i  j
(08) Se  i, j; ai, j = i – j , então o sistema homogêneo AX = 0 é determinado.
(16) Se y = x, a matriz B é simétrica.
RESOLUÇÃO:
(01) FALSA.
Como as linhas 1 e 3 da matriz A são, respectivamente, as linhas 3 e 1 da matriz B, então os seus
determinantes são números siméticos e detA + detB = 0.
(02) VERDADEIRA.
det A  x
x
x
z
y
y
x
z
z
y
z
x
z
x
x
e det C  x
x
z
x
y
y
x
z
x
y
z
x
z
x
z
det A  x3  x 2 z  xy 2  yz 2  xyz  xz 2 e det C  x 3  x 2 z  xy 2  xyz  yz 2  xz 2
(04) FALSA.
0 3 4


A=  3 0 5   detA = 60+60=120
 4 5 0


(08) FALSA.
0 1  2
 0  1  2


A   1 0  1   detA  1 0  1  2  2  0 .
2 1
0 
2 1
0

(16) FALSA.
 z x x
z



B =  y x z  . Se y = x : B   x
x y z
x



09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado
x x

x z  que não é simétrica porque a2, 3  a3, 2.
x z 
8
QUESTÃO 08.
Sobre polinômios é verdade que:
(01) Se p(x) é um polinômio de grau 6 e q(x) é de grau 4, então o quociente da divisão de [p(x)] 2 por
[q(x)]2 é de grau 4.
(02) O polinômio x4 – 2x2 + x + 1 é divisível por x2 – 1.
(04) Se n é um número par positivo então o resto da divisão de p(x) = xn + 1 – 3xn por
x + 1 é – 4.
(08) Se a soma de duas raízes da equação 2x3 – 4x2 + mx + n = 0 é igual a 3, então uma das raízes
dessa equação é – 1.
(16) O gráfico ao lado representa o polinômio
p(x) = (x2 – 1) (x – 2).
RESOLUÇÃO:
(01) VERDADEIRA.
Se p(x) é um polinômio de grau 6 e q(x) é de grau 4, então os polinômios [p(x)]2 e [q(x)]2 , são,
respectivamente, de grau 12 e grau 8, logo o quociente
[p(x)]2
[q(x)]2
é de grau 4.
(02) FALSA.
Se polinômio x4 – 2x2 + x + 1 é divisível por x2 – 1 = (x – 1).(x + 1), então p(–1) = 0 e p(1) = 0.
p(–1) = 1 – 2 – 1 + 1 = –1.
(04) VERDADEIRA.
Se n é um número par positivo então n + 1 é um número ímpar positivo. Logo o resto da divisão de
p(x) = xn + 1 – 3xn por x + 1 é p(– 1) = (– 1) n +1 – 3(– 1)n = – 1 – 3 = – 4.
(08) VERDADEIRA.
Se a soma de duas raízes da equação 2x3 – 4x2 + mx + n = 0 é igual a 3, então uma das raízes dessa
b
x’ + x’’ + x’’’ =
 x’ + 3 = 2  x’ = – 1.
a
(16) FALSA.
p(x) = (x2 – 1) (x – 2) = x3 – 2x2 –x + 2  o gráfico
dessa função intercepta o eixo Oy no ponto (0,2)
portanto acima do eixo Ox. O seu gráfico tem a
representação ao lado.
09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado
9
QUESTÕES 09 E 10.
Faça os cálculos necessários e marque os resultados na Folha de Respostas.
QUESTÃO 09.
Um copinho de volume 95 de sorvete cujas medidas estão
indicadas na figura ao lado.
Quantas dessas porções de sorvete cabem no copinho?
RESOLUÇÃO:
O cone de raio 3cm e altura (x + 3)cm e o cone de raio 2cm e altura
xcm são semelhantes. Então vale a relação
R r
3
2
 
  3x  6  2x  x  6
H h
3 x x
9π  9 4π  6
O volume da porção de sorvete é:

 19π cm³.
3
3
Assim, como o volume do copinho é 95o número de porções que
ele comporta é 95 :19= 5.
RESPOSTA:
5
porções.
QUESTÃO 10.
De quantas maneiras diferentes podemos distribuir 16 bolas idênticas para 3 crianças (Huguinho, Zezinho e
Luizinho) de modo que cada uma delas receba pelo menos 4 bolas?
RESOLUÇÃO:
Distribuição das bolas
Huguinho
Zezinho
Luizinho
4
4
8
4
5
7
4
6
6
5
5
6
TOTAL DE POSSIBILIDADES
RESPOSTA: De 15 maneiras diferentes.
09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado
10
No de possibilidades
3!
P3,2 =
3
2!
P3 = 3! = 6
3!
P3,2 =
3
2!
3!
P3,2 =
3
2!
3 + 6 + 3 + 3 = 15