Aula Teórica 15
Equação Evolução da Energia Cinética e
equação de Navier-Stokes em
coordenadas cilíndricas
dC C
C


uj

dt
t
x j x j
1
2
C  V
2
 C

 x
j


  S o  S i 


1
2
d  V 
2
  1 V 2 d  V dV
dt
2
dt
dt
V 2  ui ui
1
2
d  V 
2
  1 u u d  u dui
i i
i
dt
2
dt
dt
u k
1
d
ui ui
 u i u i
 0 _ incom pressível
2
dt
x k
dui
u i
p

z
u i
 u i
 ui

 u i
dt
xi
x j x j
xi
ui
dui
u
p

z
 ui
 ui
 i  gui
dt
xi
x j x j
xi
  
x j  x j
ui
ui ui

1



 ui ui   ui
x j x j
x j x j
2

1
 ui ui
u i u i
d 1

p


gz

2


 ui
 u i u i   u i
dt  2
xi x j  x j
x j x j
xi

Se irrotacional o termo viscoso
desaparece
1
 ui ui
u u i
 1
 1
p
  2
gz



 i
 ui
 u i u i   u j
 u i u i   u i
t  2
x j  2
xi x j  x j
x j x j
xi



0
t
inviscido    0
irrotacional
estacionario 
u i u j
  u i
  u j
  u j

 ui
 ui
 ui
0
x j xi
x j  x j
x j  xi
 xi x j
E o termo viscoso desaparece. Nesse caso obtemos
a equação de Bernoulli

xk
1
1




p


u
u


gz

0

p


u
u


gz



  Cte
i i
i i
2
2




Equações em coordenadas cilíndricas:
Forças centrífuga e de Coriolis
x1  z
x 2  r cos
x3  r sin 
 1  rv r  1  v   v z 



0
t r r
r 
z
 v r
 1   v r  1  2 v r  2 v r
v r v v r v2
v r 
p
2 v 
     
  g r
 
 vr


 vz
r
 2


2
2
2

t

r
r


r

z

r
r

r

r


r 
z
r




 v
 1   v  1  2 v  2 v
v v v v v r
v 
1 p
2 v r 


  g 
 
 vr


 vz


r



2
2
2
2

 r r r


t

r
r


r

z
r




r



z
r




 1   v z  1  2 v z  2 v z
v z v v z
v z 
p
 v z

 vr

 vz
r
 2
 2
     
2
r
r 
z 
z
r

r

r
r


z
 t


  g z

Escoamento laminar em tubos
Balanço de Energia e de QM a um
troço de um tubo
P2
P1
τw
A
 1  rv r  1  v   v z 



0
t r r
r 
z
  1  rv z  1  2 v z
v z v v z
v z 
p
2 v z  2 v z
 v z

 vr

 vz
  
 2
 2


2

t

r
r



z

z

r
r

r


r r
r
z 2




  g z

 v z 
0
z
 1   v z  1  2 v z  2 v z
p

  
r
 2

2
z
r 
z 2
 r r r

  g z  0

 1   v z  1  2 v z  2 v z
  p  gz

  
r
 2

2
x
r 
z 2
 r r r
 1   v x   1   p  gz
r


x
 r r r  
  v x  r   p  gz
r

r r

x
 v x  r 2   p  gz
r

 C1
r
2
x
 v x 
r   p  gz C1


r
2
x
r
r 2   p  gz
v
C
4
x

  0

Condições de Fronteira
• r=R => v=0
r  p  gz
v
C
4
x
1  p  gz 2
2

v
R r 
4
x
2
Perfil Parabólico, vel máxima em r=0, vel aumenta com gradiente de
pressão ou com gradiente de cota.
Vmax
R 2   p  gz

4
x
2
R 2   p  gz 2
R
  p  gz 2
Q  
R  r 2 dA   
R  r 2 2rdr
4
x
4
x
A
0


R 4   p  gz
Q
8
x
Q Vmax
R 2   p  gz
Vmed  

A
2
8
x
v
R   p  gz
    
r
2
x

64
64
f 


1
Vmed D Re
2
Vmed
2
R


Tubo coaxial
 v x  r 2   p  gz
r

 C1
r
2
x
 v x 
r   p  gz C1


r
2
x
r
r 2   p  gz
v
 C1 ln r  C 2
4
x



2
2
1   p  gz  2
a b
a 
2
v
a r 
ln
b
4
x
r

ln


a


• Onde a é o Raio do tubo exterior e b do
interior