Actividade 2
Imagina que num grupo de 10 pessoas há 6 que sabem nadar. Se te perguntar quantas dessas pessoas
não sabem nadar, dir-me-ás que é muito fácil! Imagina então que há 5 pessoas nesse grupo que sabem
andar de bicicleta, mas só 2 delas sabem nadar. Pergunto-te agora quantas são as pessoas desse grupo que
sabem nadar ou andar de bicicleta. Conseguiste responder? Diz-me então quantas são as que não sabem
nadar nem andar de bicicleta. Imagina ainda que nesse grupo há 4 pessoas que sabem andar de skate,
entre as quais 2 que sabem nadar, 3 que sabem andar de bicicleta, mas só 1 que sabe nadar e andar de
bicicleta. Quantas pessoas nesse grupo sabem fazer pelo menos uma das 3? Será que há alguma pessoa
nesse grupo que não saiba fazer nenhuma?
As figuras seguintes vão ajudar-te:
U é o grupo de pessoas e A o grupo das pessoas que
sabem nadar. É óbvio que o grupo de pessoas que não sabem
nadar, U \A, tem
A
10 − 6 = 4 pessoas.
U
Agora chama B ao grupo das pessoas que sabem andar de bicicleta. O grupo das pessoas que sabem
nadar ou andar de bicicleta é A ∪ B. Mas A ∪ B não tem
exactamente 6 + 5 pessoas, visto que há pessoas comuns
A
B
em A e em B, exactamente duas. Na verdade, o número de
pessoas que sabem nadar ou andar de bicicleta é 6+5−2 = 9.
Portanto, o número de pessoas que não sabem nadar nem
andar de bicicleta é 10 − 9 = 1.
U
Esta figura chama-se diagrama de Venn e o método de contagem que acabei de te apresentar
Princı́pio da Inclusão-Exclusão.
Finalmente, chama C ao grupo das pessoas que sabem andar
de skate. O grupo das pessoas que sabem fazer pelo menos
uma das 3 é A ∪ B ∪ C. Novamente o número das pessoas
que sabem fazer pelo menos uma das 3 não é exactamente
igual a 6 + 5 + 4 = 15. O problema é que estamos a contar
duas vezes o número de pessoas que sabem nadar e andar
de bicicleta, uma vez na parcela 6 e outra na parcela 5. E
o mesmo acontece com 5 e 4 e com 6 e 4. Então, podemos
pensar que o número que se pretende é 6 + 5 + 4 − 2 − 3 − 2.
A
B
C
U
No entanto, há um pequeno problema! Quantas vezes estamos a contar o número de pessoas que sabem
nadar, andar de bicicleta e de skate? Será que consegues estabelecer o Princı́pio da Inclusão-Exclusão
neste caso?
Se gostas deste tipo de problemas, tens aqui mais alguns desafios:
1. Entre 300 jovens, há 240 que falam inglês, francês ou ambas as lı́nguas e 160 que falam apenas inglês.
Se há 20 que falam as duas lı́nguas, quantos jovens falam apenas francês?
2. Num grupo de 980 pessoas, há 510 que têm casa própria, 340 que têm carro, mas só há 100 que têm
casa e carro. Quantas pessoas não têm casa nem carro?
spm
3. Num grupo de 15 cientistas europeus, 10 já estiveram na América, 5 na Ásia e 7 em África. Todos
estiveram em pelo menos um dos Continentes, mas nenhum visitou os três Continentes. Quantos
cientistas visitaram exactamente dois Continentes?
4. De quantas maneiras diferentes te podes disfarçar com 3 pares de óculos, 4 bigodes e 5 perucas?
5. Na cantina da escola há 2 sopas, 4 pratos principais e 3 sobremesas à escolha, mas só tens dinheiro
para dois pratos. Quantas refeições diferentes podes fazer?
6. Numa equipa de 11 jogadores é necessário eleger o capitão e o segundo capitão. De quantas maneiras
diferentes é possı́vel fazer isso?
7. Numa loja vendem-se algarismos para numerar as casas. De momento, a loja só tem os algarismos
5, 7 e 9. Quantos números diferentes de 1, 2 ou 3 algarismos se conseguem obter?
8. 100 pessoas responderam a um questionário formado por 3 perguntas. Cada pergunta devia ser
respondida com Sim ou Não e só uma das respostas estava correcta. Sabendo que 6 pessoas responderam bem às 3 perguntas, 9 responderam bem à primeira e à segunda perguntas, 11 responderam
bem à primeira e à terceira, 8 responderam bem à segunda e à terceira, 55 responderam bem pelo
menos à primeira, 32 responderam bem pelo menos à segunda e 49 responderam bem pelo menos à
terceira, quantas pessoas não acertaram nenhuma pergunta?
9. De quantas maneiras diferentes se podem colocar 10 pessoas numa mesa redonda?
10. Numa festa foram dados 28 apertos de mão. Cada pessoa apertou a mão a cada uma das outras
exactamente uma vez. Quantas pessoas estavam na festa?
11. Numa batalha sangrenta, houve pelo menos 70% dos soldados que se feriram na mão esquerda e pelo
menos 75% que se feriram na mão direita. Quantos soldados, pelo menos, se feriram nas duas mãos
e quantos, no máximo, saı́ram ilesos?
12. De quantas maneiras podemos enviar 6 cartas urgentes se só temos 3 mensageiros?
13. Nos últimos 7 dias comi ao pequeno almoço 4 laranjas, 2 toranjas e um kiwi, exactamente uma peça
de fruta por dia. De quantas maneiras diferentes pode isso ter sido feito?
14. Na banda da escola 5 crianças tocam flauta. De quantas maneiras diferentes podem exactamente
3 crianças ter levado para casa a flauta errada, enquanto que as restantes 2 levaram a sua própria
flauta?
15. Uma associação constituı́da por 12 homens e 8 mulheres tem de escolher uma comissão de 5 pessoas,
na qual devem entrar pelo menos 2 homens e 2 mulheres. De quantas maneiras podem fazê-lo?
16. Dez pessoas entram num autocarro na paragem de origem e vão saindo nas paragens A, B e C, onde
o autocarro fica vazio. Sabendo que saiu sempre alguém em cada uma das três paragens, de quantas
maneiras pode isto ter sucedido?
17. Numa classe com 25 estudantes 17 são ciclistas, 13 jogadores de basketball e 8 nadadores e nenhum
deles é as 3 coisas. No teste de matemática, 6 estudantes tiveram 1 ou 2. Se os ciclistas, os jogadores
de basketball e os nadadores tiveram todos 3 ou 4, qual é o número de estudantes que tiveram 5? E
qual é o número de ciclistas que são jogadores de basketball?
E não te esqueças! Volta ao Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra no dia 7 de
Fevereiro às 14 horas. Estamos à tua espera!
spm