MODELAGEM DE SISTEMAS
SIMULAÇÃO
Parte I
Profa. Giovana Pasa, Dra.
[email protected]
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Escola de Engenharia
Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção
Ponto de partida

I keep six honest serving-men
(They taught me all I knew);
Their names What and Why, When
And How and Where and Who”.
Rudyard Kipling apud Carnegie (1956)
2
What

O que precisamos fazer em nosso trabalho?
3
What





gerenciar
decidir
resolver problemas
aprender
domínio da situação
4
Why

Por que?
5
Why




sermos a referência
competitividade
melhores resultados
sobrevivência
benchmark*
marco geodésico,
referência de nível
* http://www.merriam-webster.com/dictionary/benchmark
6
When

Quando?
7
When
futuro
hoje
8
How

Como?

Simulando:

realidade existente: cenários, decisões

projetos para o futuro: alternativas, impacto

técnica de aprendizagem organizacional
9
Where (Onde) MANUFATURA
10
Where (Onde) SERVIÇOS
11
Where (Onde) LOGÍSTICA
12
Who

Quem?
 especialistas em modelagem
 especialistas no sistema
 especialistas em áreas complementares


usuários do sistema
clientes do sistema
13
Who

você
14
Material

Básico:


Apostila impressa
Arquivos para download



http://www.producao.ufrgs.br/disciplinas.asp?cod_turma=86
demonstrativo de software Promodel: possui o demo, um
manual em pdf, um tutorial, exemplos
Complementar:


livros
artigos científicos
15
Material

Periódicos:





Produção
Gestão e Produção
Produto & Produção
Produção on line
Pesquisa
Operacional

Congressos (anais):



ENEGEP
SIMPEP
SBPO
16
Sites



http://www.abepro.org.br/
http://www.abepro.org.br/interna.asp?p=399&m=414
&s=1&c=395
http://www.sobrapo.org.br
17
HISTÓRIA
1908
Matemático A. K. Erlang
Central telefônica de Copenhagen
Dimensionar para não haver
congestionamentos
Modelagem matemática
TEORIA DAS FILAS

Erlang desenvolveu modelos matemáticos que oferecem
soluções analíticas
TEORIA DAS FILAS


Útil para: telefonia, malhas de transportes, redes
de computadores, manufatura, serviços, logística
Útil para fenômenos que geram FILAS
19
FILA
20
FILA
21
FILA: resultado do descompasso entre
chegadas e atendimento
EVENTO 2: atendimento
EVENTO 1: chega uma demanda
22
FILA
23
TERMINOLOGIA
1 - Processo de chegada

Descreve a forma como os
clientes chegam no sistema:




um por vez ou grupos
unidades ou lotes
intervalos entre chegadas
constantes ou variáveis
taxa de chegada 
25
2 - Processo de atendimento

Descreve a forma como os
clientes são atendidos :

um por vez ou em grupos
unidades ou lotes

um ou mais servidores disponíveis

série ou paralelo
atendimento com duração sempre
constante ou duração variável
taxa de atendimento 



26
Regra ou disciplina da fila

Descreve a ordem em que os clientes serão
atendidos




FIFO - primeiro a chegar é o primeiro a ser
atendido
LIFO - último a chegar é o primeiro a ser
atendido
aleatório em relação à chegada
prioridades por categorias
27
População

Fonte infinita –
sistema

Fonte finita – chegadas dependem do nro de clientes no
sistema


chegadas independem do nro de clientes no
população pequena
a decisão de entrar na fila depende do tamanho
atual da fila
28
Notação Kendall-Lee
1/2/3/4/5/6
1 – processo de chegada
2 – processo de atendimento
3 – número de atendentes
4 – regra da fila
5 – número máximo de clientes no sistema
6 – tamanho da população
29
exemplo:
M/M/1
1 – processo de chegada exponencial
2 – processo de atendimento exponencial
3 – número de atendentes = 1
4 – regra da fila: geral
5 – número máximo de clientes no sistema:
6 – tamanho da população: 

30
EXERCÍCIOS 1
1.
Desejo produzir 15 unidades hoje. Dada as três unidades produtivas (UPs) a
seguir, com seus respectivos tempos de processamento,considerando somente
um produto sendo produzido (produção empurrada) e uma taxa de chegadas a
UP1 que garante sempre haver peças disponíveis para trabalhar com lotes de
até 15 unidades em UP1, se desejado. Responda:
UP1
2 min.
a.
b.
c.
E12
UP2
3 min.
E23
UP3
1 min.
Mantendo um fluxo unitário de produtos, qual será a situação após meia hora de
produção? Determine o número de unidades produzidas e as quantidades nos
estoques intermediários E12 e E23, que antecedem, respectivamente, UP2 e UP3.
O fluxo unitário é a melhor solução? Por que?
Considerando que o transporte é feito por uma empilhadeira, e que o custo estimado
de cada transporte entre UPs é de R$ 1,00, calcule o custo de transporte total entre
UPs (fabricação das 15 unidades) com um fluxo unitário. Calcule, também, para
lotes de 15 unidades (dado que a empilhadeira comporta transportar esta quantidade
em um deslocamento).
31
UP1
2 min.
d.
e.
f.
g.
h.
E12
UP2
3 min.
E23
UP3
1 min.
O lote de 15 unidades é uma solução melhor? Por que?
Com o lote de transferência de 15 unidades, qual será a situação
após meia hora de produção? Determine o número de unidades
produzidas e as quantidades nos estoques intermediários que
antecedem UP2 e UP3.
Calcule, agora, qual será a situação após meia hora de produção
dado um lote de transferência de 5 unidades. Determine o número
de unidades produzidas e as quantidades nos estoques
intermediários que antecedem UP2 e UP3.
Calcule o custo de transporte total para lote de transferência de 5
unidades.
Quais os impactos, para as filas, do fluxo acontecer em “unidades”
ou “lotes”?
32
UP1
E12
3 min.
2 min.
i.
UP2
E23
UP3
1 min.
Para o exemplo do fluxo unitário, consideramos, até aqui, que o tempo de
transporte era desprezível. Considere que a empilhadeira que usamos para fazer
o transporte entre UP2 e UP3 passou a ser compartilhada. Agora, a
empilhadeira é usada também para ajudar no setup de uma UP7 vizinha. Isso
faz com que a chegada de uma peça que vai de UP2 para UP3 não ocorra mais
em intervalos constantes. Foram feitas tomadas de tempo e os valores
observados estão listados na tabela 1, a seguir, em minutos. Quantas peças
foram produzidas em 30 min.? Quais as quantidades em processamento em
UP1, UP2, UP3 e nos estoques E12 e E23?
TABELA 1
tempo
tempo
tempo
1)
2
6)
2
11)
1
2)
2
7)
2
12)
2
3)
1
8)
1
13)
1
4)
2
9)
2
14)
1
5)
1
10)
1
15)
1
33
UP1
E12
3 min.
2 min.
j.
k.
UP2
E23
UP3
1 min.
Considere, agora, um caso similar àquele apresentado na questão “i” (anterior). A
empilhadeira entre UP2 e UP3 continua sendo compartilhada, com os tempos entre E12 e
UP2 dados pela tabela 1. A empilhadeira usada para o transporte entre E23 e UP3 passou
a apresentar problemas que fazem com que seus tempos sejam aqueles apresentados na
tabela 2. Quais as quantidades em processamento em UP1, UP2, UP3 e nos estoques E12
e E23?
TABELA 2
tempo
tempo
1)
3
6)
1
11)
3
2)
2
7)
2
12)
2
3)
3
8)
1
13)
2
4)
2
9)
3
14)
1
5)
2
10)
1
15)
1
tempo
Quais os efeitos do tempo de transporte na produção? Esses efeitos tem relação com a
capacidade local das UPs?
34
Filas: dimensionamentos
FILAS
CLIENTE NA FILA
CLIENTE SENDO ATENDIDO
SISTEMA
chegada
IC

fila
atendimento
TF NF
TA NA 
sistema
TS NS
saída
36
FILAS
 - taxa de chegada
 - taxa de
atendimento
chegada
IC

IC – tempo médio entre chegadas IC=1/ 
TF - tempo médio na fila
NF – número médio de clientes na fila
TA - tempo médio de atendimento TA=1/
NA – número médio de clientes em atendimento
TS - tempo médio no sistema
NS – número médio de clientes no sistema
fila
atendimento
TF NF
c TA NA 
sistema
TS NS
saída
37
Fórmulas básicas
NS = NF + NA
TS = TF + TA
NA = /  = TA/IC
NS = NF + NA = NF + (/ ) = NF + (TA/IC)
intensidade de tráfego  =  /
chegada
IC

fila
atendimento
TF NF
c TA NA 
sistema
TS NS
saída
38
Fórmulas de Little
Aplicáveis a sistemas estáveis:

intensidade de tráfego  < 1, ou seja,  < 

 - taxa média de chegada constante

 - taxa média de atendimento constante
NF =  . TF
NS =  . TS
NA =  . TA
39
Teoria das Filas aplicada a sistemas M/M/1
Lembrando M/M/1:
1 – processo de chegada exponencial
2 – processo de atendimento exponencial
3 – número de atendentes = 1
4 – regra da fila: geral
5 – número máximo de clientes no sistema: infinito
6 – tamanho da população: infinito

 Solução analítica:
 fórmulas matemáticas
 usa o conhecimento sobre o comportamento das
distribuições
40
Modelagem dos tempos entre chegadas (IC=1/ )
Distribuição de probabilidade - Exponencial
a(x)= . e -x

.
e -x

E(A)=1/ 
é a taxa de chegadas
é a média dos tempos
entre de chegadas (ICs)
var(A)=1/ (2) é a variância dos tempos
entre de chegadas
63%
1/
x
41
Propriedades de um sistema M/M/1/G/  / 
2
númeromédio de clientes na fila NF 
    
núm ero m édio de clientesno sistem a NS 
tem po m édio na fila TF 

   

    
tem po m édio no sistem a TS 
1
   
    
Pr obabilidad e de existirem n clientes no sistema Pn  1   
    
n
42
EXERCÍCIOS 2
43
2.1. Filas – geral – quiosque do banco
1. Precisamos retirar dinheiro no quiosque de caixas automáticos.
Sabemos que:
 chegam  = 20 clientes por hora
 a taxa de atendimento é  = 25 clientes por hora
 o tempo médio que cada cliente gasta no sistema é TS = 0,3
horas (18 min.)

a) Qual a intensidade de tráfego ()?
b) Qual o tamanho médio da fila que vamos encontrar (NF)?
c) Qual o número médio de clientes no quiosque (NS)?
d) Qual o número médio de clientes sendo atendidos (NA)?
44



chegam  = 20 clientes por hora
a taxa de atendimento é  = 25 clientes por hora
o tempo que cada cliente gasta no sistema é TS = 0,3 horas (18 min.)

a) Qual a intensidade de tráfego ()?
 =  /
 =20/25=0,8

b) NF=?
NF = . TF = 20. TF
TS = TF + TA ou TF = TS – TA
TA = 1/  = 1/25 = 0,04 h
Substituindo:
TF = 0,3 – 0,04 = 0,26 h
NF = . TF = 20. 0,26 = 5,2 clientes
45





chegam  = 20 clientes por hora
a taxa de atendimento é  = 25 clientes por hora
o tempo que cada cliente gasta no sistema é TS = 0,3 horas (18 min.)
c) NS = . TS
NS = 20. 0,3 = 6 clientes
d) NA = . TA
TA = 1/  = 1/25 = 0,04
NA = 20. 0,04 = 0,8 clientes
46
Ao chegar ao quiosque, o que veremos será:
47
2.2. Filas – geral - lancheria





2. Na hora do intervalo, cada aluno desloca-se até o balcão de
lanches. Verificou-se que:

cada atendente é capaz de alcançar os lanches aos alunos a
uma taxa de =9 lanches/min);
 a taxa de chegada de alunos no balcão é de = 4 alunos/min.
a) Qual a intensidade de tráfego ?
b) Qual o tempo médio de atendimento (TA)?
c) Observando-se que a fila tem em média 10 alunos, determine o
tempo que o aluno permanece na fila (TF).
d) Considerando a informação do item c, calcule o tempo médio
de permanência de um aluno na lancheria (TS).
48
2.3. Fila M/M/1 – cabine telefônica
A cabine telefônica:
 as chegadas ocorrem de acordo com uma
distribuição exponencial com taxa = 0,1
pessoas/min;
 a duração média dos telefonemas é de TA = 3
minutos e também segue uma distribuição
exponencial.
a)
b)
c)
Qual a probabilidade de uma pessoa chegar à
cabine e não precisar esperar?
Qual o tempo médio na fila?
Qual ritmo de chegada de pessoas determinaria
um tempo médio na fila de 3 minutos?
49
A cabine telefônica:
= 0,1 pessoas/min.
TA = 3 minutos ou =0,33 telefonemas/min.
a) Qual a probabilidade de uma pessoa chegar à cabine e não
precisar esperar?
0

   
0,1  0,1 

P0  1     1 

  1  0,3  0,7
   
0,33  0,33 


0
A probabilidade de encontrar a cabine disponível é de 70%.
50
A cabine telefônica:
= 0,1 pessoas/min.
TA = 3 minutos ou =0,33 telefonemas/min.
b) Qual o tempo médio na fila?

0,1
TF 

1,28
     1 / 31 / 3  0,1
O tempo médio na fila é de 1,28 min.
51
A cabine telefônica:
= 0,1 pessoas/min.
TA = 3 minutos ou =0,33 telefonemas/min.
c) Qual ritmo de chegada de pessoas determinaria um
tempo médio na fila de 3 minutos?
TF 

    
3 1 / 31 / 3     
3

1 / 31 / 3   
  1/ 6  0,16 clientes/ min
O tempo médio na fila seria de 3 min. se o ritmo de
chegada fosse de 0,16 clientes/minuto.
52
2.4. Fila M/M/1 - ferramentaria
2.4. Os operários da fábrica, para realizarem as atividades diárias, precisam
recorrer ao auxílio da ferramentaria. Observou-se que o ritmo de
chegada de solicitações à ferramentaria segue uma distribuição
exponencial com ritmo de chegada de =1 solicitação/min. O ritmo de
atendimento da ferramentaria também segue uma exponencial com =12
atendimentos/min.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Pergunta-se:
Qual a probabilidade de um operário chegar à ferramentaria e não precisar
esperar?
Qual o tempo médio de espera do operário na fila (TF)?
Qual o tempo médio de atendimento do operário (TA)?
Qual o tempo médio do operário na ferramentaria (TS)?
Quantos operários em média estão na fila (NF)?
Quantos operários em média estão na ferramentaria (NS)?
53
2.5. Fila – M/M/1 – manutenção e ferramentaria
2.5. O gerente geral recebeu uma solicitação de reduzir custos com os setores de
apoio à produção. Uma idéia testada em outras filiais foi alocar a um mesmo
setor as atividades de ferramentaria e as atividades de manutenção básica.
Antes de estudar mais detalhadamente a proposta, o gerente resolveu fazer uma
análise dos impactos que esta mudança provocaria.
Observou-se que o ritmo de chegada de solicitações somando-se as demandas
da ferramentaria e da manutenção segue uma distribuição exponencial com
ritmo de chegada de =8 solicitações/min. O ritmo de atendimento do novo
setor ainda seguiria uma exponencial mas cairia para =10 atendimentos/min
devido ao aumento da complexidade.
Pergunta-se:
a)
Qual a probabilidade de um operário chegar à ferramentaria e precisar esperar?
b)
Qual o tempo médio de espera do operário na fila (TF)?
c)
Qual o tempo médio de atendimento do operário (TA)?
d)
Qual o tempo médio do operário no setor (TS)?
e)
Quantos operários em média estarão na fila (NF)?
f)
Quantos operários em média estarão no setor (NS)?
54
Conservação dos fluxos
a.


b.

A

B

C

55
Conservação dos fluxos
c.
1
1
3
C
2
d.
3
A
3= 1+ 2
B
A
3
2
B
2
2= 1- 3
C
3
56
Modelagem de sistemas: SIMULAÇÃO
Parte II
Profa. Giovana Pasa, Dra.
[email protected]
Situação:
Agora, desejo modelar as filas com que me deparo ao longo
do dia...
58
Agenda
término duração



ACORDAR
CAFÉ
ABASTECER
CARRO
5:45
6:00
6:15
5:55 0:10
6:20 0:20
6:45 0:30
melhor
intermediário
pior
6:15 0:20
6:50 0:30
7:25 0:40
melhor
intermediário
pior
melhor
intermediário
pior
59
Agenda
término duração



IR ATÉ NOVO
HAMBURGO
7:05 0:50
8:00 1:10
8:55 1:30
melhor
intermediário
pior
VISITA
EMPRESA A
9:45 2:40
10:50 2:50
11:55 3:00
melhor
intermediário
pior
REUNIÃO NA
EMPRESA B
11:15 1:30
12:30 1:40
13:45 1:50
melhor
intermediário
pior
60
Agenda
término duração


ALMOÇO
PALESTRA
VOLTAR A
PORTO ALEGRE

12:05 0:50
13:30 1:00
14:45 1:10
melhor
intermediário
pior
14:05 2:00
15:40 2:10
17:25 2:30
melhor
intermediário
pior
15:35 1:30 melhor
17:20 1:40 intermediário
19:15 1:50 pior
61
Observe!



Trabalhamos com os cenários MELHOR,
PIOR e INTERMEDIÁRIO.
Mas, qual a chance de cada um deles ocorrer?
Quais as implicações de desconsiderarmos
estas “chances” ?
Devo ser otimista?
Devo ser cauteloso?
62
Perguntas:
1.
2.
Os eventos ocorrem sempre no momento
planejado/esperado?
Um mesmo tipo de evento tem sempre a mesma
duração?
Modelos analíticos:


simplificações nos pressupostos
implica em solução inadequada
Simulação
63
Perguntas:
1.
2.
Os eventos ocorrem sempre no momento
planejado/esperado?
Um mesmo tipo de evento tem sempre a mesma
duração?
- Modelos determinísticos não servem se quero considerar
as chances de um evento ocorrer.
Modelos probabilísticos analíticos:
-
muito complexos
simplificações para conseguir resolver, implicam em solução
inadequada
64
Definição de Simulação

São técnicas que usam computadores para
“imitar” ou simular diversos tipos de
operações ou processos do mundo real
(Law e Kelton, 1994).
65
A simulação…

É uma metadisciplina

Existe com a finalidade de auxiliar outras áreas

Instrumento
66
Em que casos devemos usar simulação
COMPLEXIDADE
ALTA
BAIXA
DETERMINÍSTICO
PROBABILÍSTICO
ESTOCASTICIDADE
67
Por que usar simulação?
68
Objetivo: ....
MODELOS
pressupostos/
sofisticação
cenários
melhor
intermediário
pior
horizonte
longo
médio
curto
69
Fato: Existe um sistema real a ser estudado!
Sistema
Macro-sistema:
- Banco
micro sistema:
- Hospital
- atendimento nos caixas
- Montadora de automóveis
- emergência
- Universidade
- linha de pintura
- Restaurante
- processo de matrícula
- cozinha
70
Como posso estudar um sistema?
Sistema
71
Experimento com o sistema real
Sistema
Experimento
com o
sistema real
Fórmula I
zoologia
agricultura
72
Experimento com o sistema real
Sistema
Experimento
com o
sistema real
 destrutivo
Pode ser inviável:
 não existe (fase de projeto)
73
Experimentos com modelos físicos
Sistema
Experimento
com um modelo
do sistema
Maquetes arquitetônicas
Modelo
físico
Túnel de vento
74
Experimentos com modelos físicos
Dificuldade de construir
Sistema
Experimento
com um modelo
do sistema
Caro
Dificuldade de realizar
experimentos sem destruí-lo
Modelo
físico
75
Experimentos com modelos matemáticos
Sistema
Experimento
com um modelo
do sistema
Modelo
matemático
Funções matemáticas:
i=V/R
Funções lógicas:
Se A=B e B=C, então A=C
76
Modelo matemático com solução analítica
Sistema
Cálculos estequiométricos
Experimento
com um modelo
do sistema
Trajetória do robô
Modelo
matemático
Equações de MRUV
Solução
analítica
77
Modelo matemático com solução analítica
Terminal portuário
Sistema
Experimento
com um modelo
do sistema
Relação custo-benefício não
justifica o esforço
Modelo
matemático
clima
Solução analítica
é muito difícil ou
inexiste
Solução
analítica
Ex.:
Teoria das filas
78
Modelo matemático com simulação
Sistema
Experimento
com um modelo
do sistema
Modelo
matemático
Simulação
79
Sintetizando (Law e Kelton):
Sistema
Experimento
com o
sistema real
Experimento
com um modelo
do sistema
Modelo
físico
Modelo
matemático
Solução
analítica
Simulação
80
Razões para usar simulação - 1
Testar:
 configurações diferentes do sistema
• layout funcional, layout em linha
Funcional
A
A
C C
C
Linha
B
E
E
D
D
E
E
A
B
C
D
E
81
Razões para usar simulação - 1
Testar:
para uma configuração, condições alternativas
• capacidades de máquinas
A
B
D
D
C
E
E
C
A A
B
C C
C
E
E
D
D
E
E
•mix produtivos
30%
40%
20%
60%
50%
82
Razões para usar simulação - 1
Avaliar desempenho
• lead time ou tempo de atravessamento
108 min
95 min
A
C
C
B
D
D
E
E
A A
C C
C
B
E
E
D
D
E
E
•índice de retrabalho
25%
33%
83
Razões para usar simulação - 2
• controle das experiências antes
de alterar o sistema real
• estudar ao longo de um horizonte temporal extenso...
2007
2008
2009
2010
2011
84
Razões para usar simulação - 3

Ferramenta para tomada de decisão
Aprender sobre o processo
Testar modelos mentais
Senso de equipe/comando
Reações sob pressão
85
Razões para usar simulação - 4
• aproveita o conhecimento das pessoas
envolvidas rotineiramente no processo
• explicita
• permite compartilhamento
• consolida o conhecimento
86
Razões para usar simulação - 5
• recupera a visão sistêmica dos
processos
87
Razões para usar simulação - 6
• hardware:
• capacidade de processamento
• custo viável
• software:
• acessíveis
• amigáveis
88
Razões para usar simulação - 7
• Aprendizagem e inovação
• lápis e papel
Análises financeiras
• planilha eletrônica
Impacto gerencial
89
Razões para usar simulação - 8
• Cultura organizacional e comportamento
Perspectiva 1
90
91
92
93
94
95
O que foi possível aprender?
96
Razões para usar simulação - 8
Perspectiva 2
97
Razões para usar simulação - 8
• Cultura organizacional e comportamento
Perspectiva 2
98
Razões para usar simulação - 8
• Cultura organizacional e comportamento
Perspectiva 2
99
ONDE podemos usar simulação:
SERVIÇOS
100
Exemplo 1: Bancos
101
Simulação – bancos
 Nro de caixas automáticos
 Tipos de funcionalidades nos caixas automáticos
 Arranjo físico
 Alocação de funcionários por turno
 Horários de atendimento
 Tempos de espera na fila
102
Exemplo 2: Hospitais
103
Simulação - hospitais
 Nro de leitos por setor
 Nro de médicos por tipo de especialidade em
plantões de emergência
 Distribuição de medicamentos e material
 Alocação de leitos compartilhados por
hospitais de modo a reduzir transferências
104
Exemplo 3: Manufatura
105
Simulação da manufatura
 Lead time
 Layout
 Estoques intermediários
 Dimensionamento de
 Turnos de trabalho
capacidade
 Alocação de operadores
 Mix de produção
 Balanceamento da linha
 Substituição de
 Fluxo de pessoas
equipamentos
 Fluxo de materiais
 Manutenção
106
Exemplo 4: Logística
107
Simulação da logística
 Localização dos CDs
 Roteiros de coleta
 Tipos de veículos
 Alocação de cargas
 Lead times
 Composição das cargas
 Equipamentos de movimentação de cargas
108
Atividade 3 – Na sua empresa...








1. Na sua empresa, há formação de filas? Onde?
2. Quais as causas de cada uma destas filas?
3. Quais ações deveriam ser tomadas para eliminar cada
uma dessas filas?
4. Todas as filas deveriam ser eliminadas?
5. Quais os processos de chegada que você percebe em
sua empresa?
6. Eles ocorrem a taxas constantes?
7. Faz diferença, caso as chegadas não ocorram a
intervalos
--109
Atividade 3 – Na sua empresa...






8. Você deve modelar o funcionamento de toda a
empresa?
9. Qual seria a primeira modelagem que você realizaria?
Por que?
10. Quais processamentos deveriam ser considerados na
sua modelagem? Por que?
11. Estes processamentos ocorrem sempre com a mesma
duração?
12. Quais as variações apresentadas nos tempos de
processamento?
13. Você deve medir essas variações? Por que?
110
Atividade 3 – Na sua empresa...





14. Havendo um processo A com variações no tempo de
processamento da ordem de 10 unidades de medida, um
processo B com variações da ordem de 5 unidades de
medida e os processos C a H apresentarem variações nos
tempos da ordem de 0,01 unidades de medida, todos os
processos deverão ter sua variabilidade observada e
medida?
15. Como você obterá os dados sobre o processo?
16. Quais pessoas você irá convidar a participarem? Por
que?
17. Qual o objetivo de sua modelagem?
---111
Modelagem de sistemas: SIMULAÇÃO
Conceitos básicos e Terminologia
Parte III
Modelagem matemática

Erlang desenvolveu um modelo para o sistema
SISTEMA:
“Conjunto de entidades que interagem com o objetivo de
atingir algum fim lógico.”
MODELO:
Para estudar um sistema é preciso estabelecer
pressupostos a respeito de seu funcionamento.
Esses tomam a forma de expressões matemáticas ou
lógicas que constituem o modelo.
113
Terminologia em Simulação
Estado de um sistema
• conjunto de variáveis necessárias
para descrever o seu status em dado
momento no tempo
Ex.:
Em um banco, na medida em que os clientes chegam, são
atendidos ou partem o status do sistema muda.
114
Mudanças no Status
Para descrever cada mudança possível no estado
do sistema,
necessitamos de um conjunto de variáveis
chamadas de variáveis de estado.
Ex.:
 nº de atendentes ocupados
 nº de clientes no banco
 momento de chegada do próximo cliente
 momento de partida do cliente em atendimento
115
Num sistema
• objeto de interesse 
Entidade
• propriedades de uma entidade  Atributos
Ex.:
Banco
Entidade: cliente
Atributo: profissão
116
Modelos de simulação

ESTÁTICOS
Representam o sistema
num momento
particular do tempo
Monte Carlo

DINÂMICOS
Representam o sistema
modificando-se no
tempo.
117
Estáticos: Simulação de Monte Carlo




Law e Kelton (1991) definem:
 técnica que usa números aleatórios e variáveis
aleatórias para resolver problemas em que a
passagem do tempo não exerce um papel
significativo.
Então, geralmente trata-se de simulações estáticas.
Ex.: Resolver integrais e conjuntos de integrais não
passíveis de serem resolvidos analiticamente.
P.S. Há autores que usam a denominação Monte Carlo de
forma mais ampla, abrangendo qualquer simulação que
use números aleatórios.
118
Dinâmicos
Representam o sistema modificando-se no tempo.


simulação contínua
simulação discreta ou de eventos discretos
119
Simulação
Contínua
 Variáveis de
estado mudam
continuamente ao
longo do tempo
Discreta
 Variáveis de estado
mudam somente devido
à ocorrência de eventos
 mudam em pontos do
tempo discretos, ou seja,
aqueles pontos em que
ocorreu um evento
120
Simulação contínua
Processos químicos, biológicos
Usam equações diferenciais – resolvidas com técnicas
numéricas
121
Simulação discreta
Num banco:
Evento
 cliente tem o seu atendimento iniciado
 cliente tem o seu atendimento concluído
 variável de estado é atualizada
 Relógio ou clock é atualizado 10:00 10:15
122
Modelos de simulação

DETERMINÍSTICO


Valores exatos
Simplificação

ESTOCÁSTICO


Valores estimados
Variabilidade natural
do processo é
modelada
123
Modelagem ESTOCÁSTICA

lembrando:
 os tempos entre chegadas de clientes...
 os tempos entre chegadas de peças a serem
processadas...
 a duração dos atendimentos dos clientes...
 a duração dos processamentos nas máquinas...
 as tarefas feitas pelas pessoas...
... apresentam variabilidade natural!
Por isso usamos Distribuições de Probabilidade!
124
Os tempos de execução de uma atividade
apresentam variabilidade...
Tempo medido
125
Tempo medido
126
Tempo medido
127
Tempo medido
128
Tempo medido
129
Tempo medido
130
O que esta figura lembra?
Tempo medido
131
Distribuição de probabilidade normal
132
Simulação de eventos discretos
Estática
Dinâmica
Estuda sistemas
estocásticos que mudam
com o passar do tempo
Contínua
Discreta
As mudanças ocorrem
em momentos discretos
do tempo (eventos)
Determinística
Estocástica
O evento muda o
estado do sistema instantaneamente
(variáveis de
estado são atualizadas)! 133


Considere uma instalação com um único
servidor:
 atendente do banco
Você deseja estimar o tempo de espera na
fila (tempo desde que chegou à fila até
iniciar o atendimento)
134

Para estimar o tempo médio na fila, você precisa das
variáveis de estado:

status do servidor: ocupado ou ocioso

número de clientes na fila

instante de chegada de cada cliente na fila

O status do servidor é necessário para determinar se o
cliente que chegou vai ser atendido imediatamente ou vai
entrar na fila

O número de clientes na fila é necessário para saber se,
ao terminar o atendimento atual, o servidor ficará ocioso
ou ocupado com alguém que estava na fila

O instante de chegada é necessário para calcular o tempo
gasto na fila: = tempo de início do atendimento menos
instante de chegada
135
Eventos do exemplo:

1 - chegada de um cliente
 ou muda a variável de estado status do servidor de
ocioso para ocupado
 ou incrementa 1 na variável de estado número de
clientes na fila

2 - finalização de um atendimento
 ou muda a variável de estado status do servidor de
ocupado para ocioso
 ou decrementa 1 na variável de estado número de
clientes na fila
136
Mecanismos de avanço no tempo

simulation clock:
é a variável que fornece o valor atual do
tempo da simulação


incremento fixo
avanço no próximo evento
137
Avanço no próximo evento
e2 e3
e0
e1
0
t2
t1
A1
A2
ts1
e4
e5
t3
ts2
tempo
A3
S1
ei – instante de ocorrência do evento i
ti – instante de chegada do cliente i
S2
Ai – tempo entre chegada dos
clientes i-1 e i
tfi – tempo que o cliente i fica na fila
Ai = ti – ti-1
tsi – instante em que o cliente i tem seu
Si – tempo gasto atendendo o cliente i
atendimento concluído e sai
tsi = ti + tfi + Si
138
e0
e1
e2
e3
e4
e5
0
t1
t2
ts1
t3
ts2
A1
A2
A3
S1




S2
tempo
e0=0
Relógio é inicializado em zero: e0=0
Status do servidor: ocioso
Usamos distribuição de probabilidade (ddp) para
gerar o valor de A1 (tempo entre chegadas)
Então, primeiro cliente chegará em t1 = 0 + A1
139
e0
e1
e2
e3
e4
e5
0
t1
t2
ts1
t3
ts2
A1
A2
A3
S1






S2
tempo
e1 = t1
Avançamos o relógio para: e1= t1
O cliente 1 que chegou em t1 encontrou o servidor ocioso
O seu atendimento iniciou sem que ele ficasse em fila: tf1 = 0
Status do servidor passou a ocupado
Usamos ddp para gerar o valor de S1 (tempo de atendimento
do cliente 1)
Então, o primeiro cliente sairá em ts1 = t1 + tf1 + S1
140
e0
e1
e2
e3
e4
e5
0
t1
t2
ts1
t3
ts2
A1
A2
A3
S1


S2
tempo
e1 = t1
Usamos ddp para gerar o valor de A2 (tempo entre chegadas
para cliente 2)
Então, segundo cliente chegará em t2 = t1 + A2

Como t2 < ts1 , o cliente 2 chega enquanto o cliente 1 ainda
está sendo atendido e o relógio é avançado para e2= t2

(Se t2 ≥ ts1 , o relógio avançaria para e2= ts1)
141
e0
e1
e2
e3
e4
e5
0
t1
t2
ts1
t3
ts2
A1
A2
A3
S1





S2
tempo
e2 = t2
O cliente 2 encontrou o servidor ocupado, então vai para a
fila
A variável nro de clientes na fila é incrementada de 1 e
anotamos o instante de entrada na fila
Usamos ddp para gerar o valor de A3 (tempo entre chegadas
para cliente 3)
Então, cliente 3 chegará em t3 = t2 + A3
Como ts1 < t3 , o relógio é avançado para e3= ts1 e o cliente 1
sai
142
e0
e1
e2
e3
e4
e5
0
t1
t2
ts1
t3
ts2
A1
A2
A3
S1
S2
tempo
e3= ts1

O cliente 2 que estava na fila tem seu atendimento iniciado
O tempo de fila é calculado: tf2 = ts1 - t2
A variável nro de clientes na fila é decrementada de 1
Usamos ddp para gerar o valor de S2 (tempo atendimento do
cliente 2)
Então, cliente 2 sairá em ts2 = ts1 + S2

Como t3 < ts2 , o relógio é avançado para e4= t3 , etc.

Precisamos criar um critério de finalização 




143
Sintetizando:
Componentes e organização do modelo




Estado do sistema: conjunto de variáveis para
descrever o sistema em dado instante
Relógio ou clock: variável que fornece o valor
atual do tempo de simulação
Lista de eventos: registra o próximo instante em
que cada tipo de evento irá ocorrer
Contadores estatísticos: armazenam indicadores
de desempenho do sistema simulado
144
Componentes e organização do modelo




Rotina de inicialização: subprograma que inicializa o
sistema no instante zero
Rotina de timing: subprograma que determina qual o
próximo evento da lista e atualiza o relógio para o
instante de ocorrência deste evento
Rotina de evento: subprograma que atualiza o estado do
sistema quando um determinado tipo de evento ocorreu
(cada tipo de evento tem sua própria rotina)
Biblioteca de rotinas: conjunto de subprogramas para
gerar valores a partir das ddp
145
Componentes e organização do modelo


Gerador de relatório: subprograma que calcula as
estimativas dos indicadores de desempenho do modelo
Programa principal: controla o fluxo das ações
 chama rotina de timing para determinar próximo
evento
 transfere controle para rotina de evento atualizar
variáveis de estado
 verifica finalização
 chama gerador de relatório.
146
FLUXO DE CONTROLE
Rotina inicialização
1. Relógio é
zerado
2. Inicializa
estado do sistema
e contadores
3. Inicializa lista
de eventos
início
Rotina timing
Programa principal
0
0. Chama rotina inicialização
1
1. Chama rotina timing
2. Chama rotina evento i Repetidamente
i
2
Rotina evento i
Biblioteca de rotinas
1. Atualiza o estado do sistema
2. Atualiza os contadores estatísticos
3. Gera eventos futuros e adiciona à lista
de eventos
Simulação
concluída ?
sim
Gerador relatórios
1. Calcula estimativas
2. Gera relatórios
Fim
1. Determina o
tipo do próximo
evento i
2. Avança relógio
não
Gerador de
variáveis
aleatórias

Objetivo da simulação:


Quais entidades devem ser consideradas?


dimensionar o setor de manutenção com relação ao
número de funcionários para reduzir o tempo médio de
atendimento das solicitações de serviço de manutenção.
solicitação de serviço de manutenção.
Há a necessidade de diferenciar as entidades
através de atributos?

sim
148
manutenção


Entidade: solicitação de serviço de
manutenção
Atributo: tipo de manutenção



corretiva
preventiva
Preciso de outro atributo para distinguir as
solicitações de serviço?
149
manutenção

SIM, o tipo de máquina que vai sofrer manutenção

MAS: Haverá diversos tipos de máquinas! Será que preciso
criar tantos valores para o atributo máquina?!

Faça rapidamente um pareto ou use o seu conhecimento e
escolha os 3 tipos de máquinas que ocupam o maior
percentual de tempo do setor de manutenção. Inicie criando
estes 3 possíveis valores para o atributo “máquina que vai
sofrer manutenção”.
150
Como ficou até aqui:

Entidade: solicitação de serviço



Atributo 1: tipo de manutenção
 corretiva Att1=1
 preventiva Att1=2
Atributo: máquina que vai sofrer manutenção
 m1 Att2=1
 m2 Att2=2
 m3 Att2=3
Os atributos auxiliam a distinguir. Isto permite
saber que ação tomar em relação àquela entidade
específica.
151
Quais os recursos utilizados na manutenção?

Precisamos listar todos os recursos a serem
utilizados na manutenção?
Inicialmente, liste os recursos mais nobres (gargalos):
 Funcionários

Quais os locais envolvidos na modelagem?



chegada de solicitações de manutenção
setor de manutenção
saída
152
continuação:

Como é o processo de chegada?
Neste ponto, precisamos obter dados para as freqüências de
chegadas de solicitações de serviço dos tipos corretiva e
preventiva para as máquinas m1, m2 e m3.
Att1
Corretiva
1
40%
m1
m2 m3
1
2
3
Preventiva
2
60%
m1
m2
m3
1
2
3
8%
24% 24% 12%
Att2
Nro de
16% 16%
solicit.
153
continuação:

Como é o tempo de atendimento?
Neste ponto, precisamos obter dados para os tempos de
atendimento em cada serviço dos tipos corretiva e
preventiva para as máquinas m1, m2 e m3. Vamos
iniciar com valores determinísticos para obtermos
domínio sobre o modelo.
Corretiva
Preventiva
Att1
1
2
Att2
Tempo
de
atend.
m1
1
m2
2
m3
3
m1
1
m2
2
m3
3
10
20
50
60
70
80
154
continuação:

Quais eventos precisam ser modelados?
 1 - chegada de uma solicitação de serviço
 2 - finalização de uma manutenção

Quais as variáveis de estado necessárias para
descrever os possíveis estados desencadeados pelos
eventos?

status do funcionário: ocupado ou ocioso

número de solicitações na fila

instante de chegada de cada solicitação na fila
155
Status

1 - chegada de uma solicitação de serviço
 ou muda a variável de estado status do funcionário de
ocioso para ocupado
 ou incrementa 1 na variável de estado número de
solicitações na fila

2 - finalização de uma manutenção
 ou muda a variável de estado status do funcionário de
ocupado para ocioso
 ou decrementa 1 na variável de estado número de
solicitações na fila
156
medições

Quais as variáveis nos auxiliarão a determinar se estamos
nos aproximando do objetivo da simulação?
 tempo de fila
 tempo de atendimento
 tempo no sistema (=tempo fila+tempo atendimento)
 nível de ocupação dos funcionários
157
medições incrementando variáveis

As variáveis (tempo de fila, tempo de atendimento,
tempo no sistema, nível de ocupação dos
funcionários) que nos auxiliarão a determinar se
estamos nos aproximando do objetivo da simulação
serão incrementadas ou decrementadas na medida
em que os eventos ocorrerem.
158
pressupostos

Quais pressupostos assumimos
inicialmente?




modelagem das manutenções de maior
impacto na ocupação do setor
simplificação nos locais
simplificação na qualificação dos
funcionários
Regime: permanente
159