1) Considere as seguintes sentenças:
I. Os gatos são pretos e os cachorros são brancos.
II. Se todos os gatos são brancos, não há gatos na varanda.
III. Não é verdade que os cachorros são pretos e que há gatos na varanda.
Admitindo-se que todas essas sentenças sejam verdadeiras, é CORRETO afirmar que:
a) Os gatos são pretos ou os cachorros são brancos.
b) Não há gatos na varanda.
c) Todos os gatos estão na varanda.
d) Os cachorros são pretos.
e) Os gatos são brancos.
Solução:
As três sentenças formam as premissas de um argumento lógico, para o qual se quer sua
conclusão. Usando o método visto em aula, coloca-se o argumento em linguagem simbólica e
retira-se, rapidamente, sua conclusão.
Sejam as proposições:
Pg : Os gatos são pretos;
Bg : Os gatos são brancos;
Pc : Os cachorros são pretos;
Bc : Os cachorros são brancos;
v : Há gatos na varanda.
O argumento, em linguagem simbólica, fica assim:
Condição de Validade
Pg ∧ Bc
I
V
II Bg →~ v
V
III ~ (Pc ∧ v )
V
C
?
V
A premissa I deve ser verdadeira (para conclusão verdadeira e validade do argumento). Observe
que a premissa é formada por uma proposição lógica conjuntiva. Assim, os valores lógicos de Pg
e Bc devem ser V. Na premissa II tem-se a proposição antecedente falsa, logo, ainda não se pode
determinar o valor lógico de sua conseqüente (ou seja, os gatos podem ou não estar na varanda).
Na premissa III (após se aplicar Lei de De Morgan), tem-se que é falsa, então ~ v é verdadeira. A
premissa III, após a aplicação da Lei de De Morgan, é disjuntiva. Então, a única conclusão
possível para o argumento é a apresentada na alternativa a.
Resposta: letra a.
2) Sejam as seguintes proposições:
(P ↔ (P → Q )) ∨ (P → R )
I.
II. (P →~ Q ) ↔ ((P ∨ R ) ∧ Q )
III. ((P ∧ Q ) → R ) → (P → (Q → R ))
Admitindo-se que os valores lógicos das proposições P, Q e R são respectivamente, F, F e V (V, se
verdadeiro; F, se falso), os valores lógicos das proposições compostas I, II e III são,
respectivamente:
a) F, F, F
b) F, F, V
c) F, V, F
d) V, V, V
e) V, F, V
Solução:
Facilmente solucionável para quem conhece a valoração de proposições lógicas compostas.
I. Se as proposições P e Q são falsas e R verdadeira, então P → R é verdadeira e a proposição
lógica disjuntiva deste item é verdadeira sem que seja preciso analisar o valor lógico de
(P ↔ (P → Q )) , que é falso (verifique!).
Apenas com a certeza do valor lógico da proposição do item I, já eliminamos as alternativas a, b e
c. Para se chegar à resposta correta, basta agora analisar a proposição do item II:
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(P →~ Q ) ↔ ((P ∨ R ) ∧ Q ) . Com os valores lógicos dados para as proposições P e Q (ambas
falsas) e R (verdadeira), verifica-se que (P →~ Q ) é verdadeira e que ((P ∨ R ) ∧ Q ) é falsa,
levando a bicondicional ao valor lógico falso.
Resposta: letra e.
3) Uma ilha muito distante era habitada por dois povos rivais que estavam em guerra: o povo
condicional e o povo incondicional. Ambos tinham as mesmas palavras em seu vocabulário, mas
estruturas oracionais distintas. O povo condicional conhecia proposições, a negação de
proposições, proposições condicionais e proposições bicondicionais, mas desconhecia a conjunção
e a disjunção entre proposições. O povo incondicional conhecia proposições, a negação de
proposições, a disjunção e a conjunção entre proposições. Qual das seguintes alternativas ilustra,
entre parênteses, a tradução CORRETA da língua condicional para a língua incondicional?
a) Se o povo condicional ganhar a batalha, não deixará o povo incondicional habitar a ilha. (O
povo condicional ganha a batalha e o povo incondicional não habitará a ilha)
b) Se o povo condicional não ganhar a batalha, o povo incondicional monopolizará a ilha. (O povo
condicional não ganha a batalha ou o povo incondicional monopolizará a ilha.)
c) Se o povo condicional perder a batalha, o povo incondicional ganhará a batalha. (O povo
condicional perde a batalha ou o povo incondicional perderá a batalha).
d) Não é o caso que, se o povo condicional não ganhar a batalha, ele deixará a ilha. (O povo
condicional não ganha a batalha e não deixará a ilha.)
e) O povo incondicional ganhará a batalha se, e somente se, ele monopolizar a ilha. (O povo
incondicional ganha a batalha e monopoliza a ilha.)
Solução:
Observe o candidato que a questão é puramente conceitual! Basta “traduzir” as proposições da
linguagem condicional (ou bicondicional) para proposições conjuntivas ou disjuntivas, usando as
seguintes equivalências:
(1) Para a condicional, tem-se as seguintes equivalências: p → q ⇔ ~ ( p ∧ ~ q ) ou
p → q ⇔ ~ p ∨ q ou ainda ~ ( p → q ) ⇔ ( p ∧ ~ q ) (equivalência da negativa da condicional)
(2) Para a bicondicional: p ↔ q ⇔ [(~ p ∨ q ) ∧ ( p ∨ ~ q )]
Pelas considerações acima, somente a proposição da alternativa d (negativa da condicional)
expressa corretamente a tradução da linguagem condicional para uma proposição conjuntiva.
Resposta: letra d.
4) Analise as seguintes proposições:
I.
P → Q é F, ou seja V (P → Q ) = F
II. R∨ ~ Q é V, ou seja V (R ∨ ~ Q ) = V
III. (Q ↔ R ) ∧ P é F, ou seja V ((Q ↔ R ) ∧ P ) = F
Os valores lógicos (V , se verdadeiro; F, se falso) de P, Q e de R são, respectivamente:
a) V, V, V
b) V, V, F
c) V, F, V
d) V, F, F
e) F, V, V
Solução:
I. A proposição é uma condicional e seu valor lógico é falso, logo a proposição antecedente é
verdadeira e a proposição conseqüente é falsa, ou seja: P é verdadeira e Q é falsa.
Imediatamente, eliminam-se as alternativas a, b, e.
Da proposição II vem a alternativa correta: R deve ter valor lógico verdadeiro para que a
proposição disjuntiva tenha valor lógico verdadeiro.
Resposta: letra c.
5) Beatriz, Carmem e Diana são esposas de Eduardo, Felipe e Gabriel, mas não necessariamente
nessa ordem. Sabe-se que:
I. Eduardo é marido da mulher mais jovem;
II. Beatriz é mais velha que a esposa de Felipe;
III. As três mulheres citadas têm idades distintas;
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IV. Não há bigamia entre esses casais.
Logo, pode-se afirmar com certeza que:
a) Beatriz é a esposa de Gabriel.
b) A idade de Beatriz é menor que a de Carmem.
c) Diana é esposa de Felipe.
d) Gabriel é marido de Carmem.
e) Eduardo é marido de Beatriz.
Solução:
Das proposições dadas, sabe-se que Beatriz não é esposa do Eduardo, nem do Felipe, logo, ela só
pode ser esposa do Gabriel.
Resposta: letra a.
6) Em determinado campeonato de futebol, analisam-se as condições de alguns resultados:
I. Se a Portuguesa venceu, nem o Estrela nem o Navegantes foram para a próxima fase.
II. Se o Navegantes não foi para a próxima fase, o Ipiranga venceu.
III. Se o Ipiranga venceu, o Serrinha foi rebaixado.
Sabe-se que o Serrinha não foi rebaixado; portanto:
a) a Portuguesa não venceu e o Navegantes não foi para a próxima fase.
b) O Estrela e o Navegantes não foram para a próxima fase.
c) O Navegantes não foi para a próxima fase e o Ipiranga não venceu.
d) A Portuguesa e o Ipiranga não venceram.
e) O Navegantes não foi para a próxima fase ou o Ipiranga venceu.
Solução:
Questão de lógica de argumentação. Usamos aqui nosso método1 rápido para encontrar a resposta.
Sejam as proposições:
Pv : A Portuguesa venceu;
E : O Estrela foi para a próxima fase;
N : O Navegantes foi para a próxima fase;
Iv : O Ipiranga venceu;
Sr : O Serrinha foi rebaixado.
O argumento, em linguagem simbólica, fica assim:
Condição de Validade
I Pv → (~ E ∧ ~ N )
V
~ N → Iv
II
V
Iv → Sr
III
V
~ Sr
IV
V
C
?
V
Da premissa IV sabe-se que o Serrinha não foi rebaixado. Desse modo, na premissa III sabe-se que
é falso que o Ipiranga venceu. Na seqüência, sabe-se, também, na premissa II, que é falso que o
Navegantes não foi para a próxima fase. Finalmente, da premissa I tem-se que é falso que a
Portuguesa venceu. Daí, tem-se a conclusão: Nem a Portuguesa e nem o Ipiranga venceram.
Resposta: letra d.
7) Se Alfredo ama Rebeca, ele vai se casar com ela e não vai comprar uma casa. Caso ele se case,
não comprará a casa. Mas, de fato, ele comprou uma casa. Logo, pode-se dizer que:
a) Alfredo vai se casa com Rebeca.
b) Alfredo não comprar a casa.
c) Alfredo vai se casar com Rebeca e vai comprar uma casa.
d) Alfredo ama Rebeca.
1
Nota do professor: o método que usamos para validar argumentos é visto em uma aula do curso presencial. Ele é um
método fácil de entender no modo “expositivo”, mas difícil de ser explicado de forma escrita. Nossos alunos do curso
presencial conseguem resolver qualquer questão de lógica de argumentação em menos de 30 segundos.
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e) Alfredo não ama Rebeca.
Solução:
Mais um questão de lógica de argumentação.
Sejam as proposições:
Ar : Alfredo ama Rebeca;
Cr : Alfredo vi se casar com Rebeca;
Cc : Alfredo compra uma casa;
O argumento, em linguagem simbólica, fica assim:
Condição de Validade
I Ar → (Cr ∧ ~ Cc )
V
Cr →~ Cc
II
V
Cc
III
V
C
?
V
Da premissa III sabe-se que ele comprou a casa, então, na premissa II tem-se que é falso que ele se
casou com Rebeca. Na premissa I, então, também se sabe que ele não ama Rebeca.
Resposta: letra e.
8) O que caracteriza uma tautologia e uma contradição é o fato de:
a) Ambas apresentarem, em suas tabelas-verdade, somente valores-verdade verdadeiros.
b) Ambas apresentarem, em suas tabelas-verdade, somente valores-verdade falsos.
c) Apresentarem, em suas tabelas-verdade, apenas valores-verdade verdadeiros e apenas valoresverdade falsos, respectivamente.
d) Apresentarem, em suas tabelas-verdade, apenas valores-verdade falsos e apenas valores-verdade
verdadeiros, respectivamente.
e) Ambas apresentarem, em suas tabelas-verdades, valores-verdades intercalados entre falso e
verdadeiro.
Solução:
Outra questão puramente conceitual.
“Tautologia é toda proposição lógica composta que sempre terá resultado lógico verdadeiro”.
“Contradição é toda proposição lógica composta que sempre terá resultado lógico falso”.
Resposta: letra c.
9) Sejam as proposições:
P : Faz frio.
Q : Chove.
R : Faz sol.
A proposição composta (P ∧ ~ Q ) → (~ P ∧ ~ R ) , na linguagem corrente, é:
a) Faz frio e chove, mas faz não faz frio e faz sol.
b) Faz frio e não chove, mas faz frio e não faz sol.
c) Faz frio e não chove, desde que faça frio e não faça sol.
d) Se faz frio e não chove, então não faz frio e não faz sol.
e) Se faz frio e não chove, não é verdade que faz frio e faz sol.
Solução:
Questão muito simples. Basta levar a proposição dada em linguagem simbólica para a linguagem
corrente. Aqui nem sequer o uso de álgebra de proposições foi exigido do candidato.
Resposta: letra d.
10) “Hoje é quarta-feira ou hoje é quinta-feira, e hoje é quarta-feira ou hoje é dia de feira no
supermercado”. Dito de outra forma, é:
a) “se hoje é quarta-feira, hoje é dia de feira no supermercado”.
b) “se hoje é dia de feira no supermercado, hoje é quarta-feira e não é quinta-feira”.
c) “se hoje não é quarta-feira, hoje é quinta-feira e é dia de feira no supermercado”.
d) “hoje não é quarta-feira e não é quinta-feira”.
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e) “se hoje é quinta-feira, hoje não é dia de feira no supermercado”.
Solução:
Ao contrário da questão anterior, esta já exigiu do candidato um bom domínio da álgebra
proposicional.
Sejam as proposições:
p : hoje é quarta-feira;
q : hoje é quinta-feira;
r : hoje é dia de feira no supermercado.
A proposição dada, em linguagem simbólica, fica assim: ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r )
Pela propriedade distributiva, pode-se escrever: p ∨ (q ∧ r ) .
Negando-se duplamente a proposição acima: ~ (~ p ∧ ~ ( p ∧ r ))
A proposição acima é equivalente à condicional: ~ p → (q ∧ r ) , que, em linguagem simbólica
fica: “Se hoje não é quarta-feira, então hoje é quinta-feira e é dia de feira no supermercado”.
Resposta: letra c.
11) Considere a tabela abaixo, na qual Aij = Ci + B j com i, j ∈ {1,2,3} .
+
B1
B2
B3
C1
A11
A12
A13
C2
A21
A22
A23
C3
A31
A32
A33
a) C1 = 2
b) A11 = 4
c) A12 = 5
d) A22 = 1
Solução:
Basta completar o quadro dado com as informações do enunciado:
+
B1 = 5
B2 = 3
B3 = -2
C1 = -1
A11 = 4
A12 = 2
A13 = -3
C2 = 2
A21 = 7
A22 = 5
A23 = 0
C3 = 7
A31 = 12
A32 = 10
A33 = 5
e) A23 = -1
Resposta: letra b.
12) Considere a proposição composta ~ (P ∨ Q ) ∨ (~ P ∧ Q ) . Uma forma alternativa (ou
simplificada) de expressar a mesma proposição é
a) P ∧ Q
b) P ∧ ~ Q
c) ~ P ∧ Q
d) ~ P ∧ ~ Q
e) ~ P
Solução:
Por De Morgan, tem-se, inicialmente: (~ P ∧ ~ Q ) ∨ (~ P ∧ Q ) .
Pela propriedade distributiva: ~ P ∧ (~ Q ∨ Q ) .
A expressão dentro do parênteses é uma tautologia. Numa proposição conjuntiva em que uma
delas for tautológica, o resultado será equivalente à outra proposição. No caso acima o resultado é
~ P.
Resposta: letra e.
13) Roberto viajou para Moscou no inverno. Durante o tempo em que esteve lá, houve 6 tardes e 3
manhãs sem neve; nevou 5 vezes, mas nunca durante a manhã e à tarde de um mesmo dia. Então,
Roberto permaneceu em Moscou por
a) 5 dias
b) 6 dias
c) 7 dias
d) 8 dias
e) 9 dias
Solução:
Esta questão consta no nosso simulado2 de número 13 (setembro de 2004), questão 8.
2
Consulte o caderno de Simulados do Instituto Integral.
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Somando-se todos os turnos com neve e sem neve, vem: 6 + 3 + 5 = 14. Deve-se dividir por 2...
Resposta: letra c.
14) Assinale a alternativa que apresenta uma estrutura de argumento não-válida.
a) Não é verdade que, se Ricardo foi à festa, Renata foi à festa. Portanto, se Ricardo não foi à festa,
Renata não foi à festa.
b) Ricardo não foi à festa e Renata não foi à festa. Consequentemente, ambos não foram à festa.
c) Não é o caso que Ricardo foi à festa ou Renata foi à festa. Logo, Ricardo não foi à festa ou
Renata não foi à festa.
d) Se Ricardo não foi à festa, Renata não foi à festa. Portanto, não é verdade que, se Ricardo foi à
festa, Renata foi à festa.
e) Não é o caso que, se Ricardo não foi à festa, Renata foi à festa. Assim, Renata não foi à festa.
Solução:
Analisam-se os argumentos um a um...
Alternativa a) Para que a proposição dada como premissa seja verdadeira, é necessário que sua
antecedente seja verdadeira e sua conseqüente seja falsa. Observe-se que a premissa traz a negação
da proposição condicional. A conclusão do argumento o torna válido.
Alternativa b) A premissa é uma proposição conjuntiva, logo, ambas as proposições simples que
formam a composta devem ter valor lógico verdadeiro. Argumento válido.
Alternativa c) A premissa é a negação de uma proposição disjuntiva, logo, nem Ricardo, nem
Renata foram à festa. Argumento válido.
Alternativa d) A premissa é a contrária ou inversa da conclusão. Argumento não-válido.
Resposta: letra d.
15) Karen, Luiza, Mara Nestor e Olga foram a um parque de diversões onde havia as seguintes
opções: montanha russa, carrossel e trem-fantasma . sabe-se que
I.
todos andaram em um dos brinquedos citados
II.
Mara foi a única que brincou sozinha
III. Olga e Nestor fizeram escolhas distintas
IV. Luiza não brincou com Olga
V.
Karen não andou no trem-fantasma
VI. Olga não andou no carrossel
VII. Mara não andou no trem-fantasma
Logo, é CORRETO afirmar que:
a) Mara andou na montanha russa.
b) Luiza e Karen andaram no carrossel.
c) Nestor e Luiza andaram na montanha russa.
d) Karen e Nestor andaram no trem-fantasma.
e) Nestor e Luiza andaram no trem-fantasma.
Solução:
O enunciado permite que se monte o seguinte quadro:
Karen Luíza Mara Nestor Olga
Montanha russa
X
X
Carrossel
X
Trem-fantasma
X
X
Resposta: letra e.
16) Sabe-se que,
I.
com 2 triângulos eqüiláteros de lado 1, forma-se um losango de lado 1
II.
com 8 triângulos eqüiláteros de lado 1, forma-se um losango de lado 2
III. com 18 triângulos eqüiláteros de lado 1, forma-se um losango de lado 3
IV. com 32 triângulos eqüiláteros de lado 1, forma-se um losango de lado 4
Logo, com 338 triângulos de lado 1, forma-se um losango de lado
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
e) 16
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Solução:
Os quocientes entre o número de triângulos e o valor do lado do losango formam a seguinte
Progressão Aritmética: 2, 4, 6, 8, ...
Assim, pode-se escrever: a n = a1 + (n − 1) ⋅ r
338
= 2 + (n − 1) ⋅ 2
n
169
= 1+ n −1
n
169 = n 2
n = 13
Resposta: letra b.
17) Considere as seguintes premissas:
I. Nenhum estudante é ignorante.
II. Todo administrador é estudante.
Uma conclusão possível, decorrente dessas premissas, é a de que
a) nenhum administrador é ignorante.
b) algum administrador é ignorante.
c) todo administrador é ignorante.
d) algum estudante é ignorante.
e) todo estudante é administrador.
Solução:
Resposta: letra a.
18) Seis estudantes vão viajar de ônibus para visitar certa empresa. Foram
reservadas as poltronas 7 e 8, 11 e 12, 15 e 16. essas poltronas são seqüenciais e
ficam do mesmo lado do corredor, como mostra a figura. Antes de os estudantes
entrarem no ônibus, foram designados os números das poltronas que cada um
ocuparia, levando-se em consideração as seguintes informações:
• Jorge e Pedro são irmãos e é melhor que não fiquem em poltronas consecutivas nem
adjacentes.
• Marcus e Bia pretendem ler, juntos um livro durante a viagem; portanto, devem sentar-se em
poltronas consecutivas.
• Aline e Gabi são amigas, mas não estão uma ao lado da outra, pois as duas gostam de sentar-se
no corredor
• Bia não está sentada atrás de Aline.
Assim, pode-se afirmar que um dos arranjos possíveis é:
a) Marcus e Bia na frente, Aline e Pedro no meio e Gabi e Jorge atrás.
b) Aline e Pedro na frente, Marcus e Bia no meio e Gabi e Jorge atrás.
c) Aline e Pedro na frente, Gabi e Jorge no meio e Marcus e Bia atrás.
d) Jorge e Pedro na frente, Marcus e Bia no meio, Gabi e Aline atrás.
e) Aline e Gabi na frente, Marcus e Bia no meio e Pedro e Jorge atrás.
Solução:
Para satisfazer a primeira consideração. Jorge e Pedro deverão ocupar poltronas na primeira e
terceira fileiras mostradas na figura da questão. Disso, resulta que Marcus e Bia deverão ocupar as
poltronas do centro. Aline e Gabi deverão ocupar as poltronas 8 e 16 (não necessariamente nesta
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mesma ordem). Entretanto, se Aline estiver na poltrona 8, Bia deverá estar na poltrona 11. Desse
modo, um possível arranjo seria: Pedro (poltrona 7), Aline (poltrona 8); Bia (poltrona 11, Marcus
(poltrona 12); Jorge (poltrona 15) e Gabi (poltrona 16).
Resposta: letra b.
19) Em um planta longínquo, a moeda é o dinheiru, simbolizada por Ж$. Sabe-se que, nesse
planeta, existe a seguinte tabela promocional de preços para alguns animais: 2 rinomachos por Ж$
10,00; 3 rinofêmeas por Ж$ 9,00 e 6 rinobebês por Ж$ 2,00. se Estevaldo gastou Ж$ 100,00 nessa
promoção, qual o número máximo de rinomachos que ele comprou, considerando-se que gastou
todo seu montante, levou ao menos um animal de cada tipo e comprou 100 animais?
a) 4
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14
Solução:
Questão idêntica à questão 19 do nosso primeiro simulado, e também à questão RL/14 – JUN/05,
resolvida em nossa super-aula de revisão, na véspera do teste...
Montando-se as equações:
2 Rm = 10 ⇒ Rm = 5 (o valor de cada rinomacho é Ж$ 5,00)
3Rf = 9 ⇒ Rf = 3 (o valor de cada rinofêmea é Ж$ 3,00)
6 Rb = 2 ⇒ Rb = 1 3 (o valor de cada rinobebê é Ж$ 0,33)
A partir daí, escrevem-se as seguintes equações (uma para a quantidade total de animais e outra
para o valor gasto pelo Estevaldo):
m + f + b = 100
isolando-se b na primeira equação, e, após multiplicar-se toda a segunda
b
5m + 3 f + = 100
3
equação por 3, substituir-se o novo valor de b nela, vem:
b = 100 − m − f
15m + 9 f + 100 − m − f = 300
14m + 8 f = 200
200 − 14m
100 − 7m
, simplificando-se: f =
Agora, isola-se o f : f =
8
4
Para os valores apresentados nas alternativas da questão, o número máximo de rinomachos que ele
poderia ter comprado seriam 12. Entretanto, para poder participar da “promoção”, ele deverá
adquirir quantidades de rinofêmeas em número múltiplo de 3 (ver tabela a seguir). Desse modo, o
número máximo possível de rinomachos “dentro da promoção” é 4.
m
f
b
Ж$
4
18
78
100,00 viável
8
11
81
100,00 inviável
10
7,5
82,5
100,00 inviável
12
84
100,00 inviável (4 não é múltiplo de 3)
4
14
0,5
85,5
100,00 inviável
Resposta: letra a.
20) Manoel recebeu as seguintes instruções para sua viagem:
I.
Siga à esquerda e retorne se, e somente se, seu destino for Albuquerque.
II.
Se seu destino for Albuquerque, siga à direita.
III. Siga à esquerda.
IV. Retorne ou siga para a colônia de férias.
Sabe-se que Manoel obedeceu a todas as instruções. Logo
a) seu destino era Albuquerque.
b) seu destino não era Albuquerque e ele seguiu para a colônia de férias.
c) chegou a Albuquerque, seguindo à esquerda.
d) seguiu sempre em frente e à direita.
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e) retornou.
Solução:
Mais uma questão de lógica de argumentação. Observe que, nesta questão, as premissas “seguir à
direita” e “seguir à esquerda” são contraditórias.
Colocando-se o argumento em linguagem simbólica:
Condição de Validade
I (e ∧ r ) ↔ a
V
a→d
II
V
e
V
III
IV
r∨ f
V
C
?
V
Da premissa III “seguir à esquerda” deve ser verdadeira, então, na premissa II, “seguir à direita” é
falsa, e, portanto, o destino de Manoel não é Albuquerque. Na premissa I verifica-se que
“retornar” é falsa, logo, na premissa IV, “ir para a colônia de férias” deve ser verdadeira.
Conclusão: Manoel não foi para Albuquerque e foi para a colônia de férias.
Resposta: letra b.
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1) Uma urna contém bolinhas de gude de várias cores: oito amarelas, doze vermelhas, cinco
brancas, treze azuis e sete verdes. A quantidade mínima de bolinhas de gude que precisamos
retirar da urna para garantir que teremos três bolinhas de uma mesma cor é
a) 11
b) 15
c) 21
d) 23
e) 28
Solução:
Questões desse tipo requerem um raciocínio simples do candidato. Basta que se retirem duas
bolinhas de cada cor (perfazendo-se 10, até o momento). A próxima bolinha retirada completará as
três de uma mesma cor. No total, ter-se-á retirado 11 bolinhas.
Resposta: letra a.
2) Considere a seguinte seqüência de figuras:
A figura que melhor completa a posição ocupada pelo símbolo ? é
a)
b)
c)
d)
e)
Solução:
No primeiro conjunto de estrelas, o pontinho se desloca para a esquerda (sentido horário), uma
ponta de cada vez. No segundo conjunto de estrelas, o deslocamento da bolinha passa a ser de duas
em duas pontas da estrela. No terceiro conjunto de estrelas, o deslocamento da bolinha é de três em
três pontas. Assim, na posição marcada com ? estará a figura da alternativa d.
Resposta: letra d.
3) Sejam as proposições p : “O cão é bravo” e q : “O gato é branco”. A linguagem simbólica
equivalente à proposição “Não é verdade que o cão é bravo ou o gato não é branco” é
b) ~ p ∨ ~ q
c) p → q
d) ~ p ∨ q
e) p∨ ~ q
a) ~ p ∧ q
Solução:
A proposição dada, em linguagem corrente, poderá ser facilmente colocada em sua forma
simbólica:
~ ( p∨ ~ q )
Aplicando-se a Lei de De Morgan à expressão acima, vem: ~ p ∧ q
Resposta: letra a.
4) Tio Fabiano vai dividir barras de chocolate para três sobrinhos: Rui, Sílvio e Tomé. Rui, por ser
o mais velho, recebeu a metade das barras mais meia barra. Do que restou, Sílvio recebeu a metade
mais meia barra e para Tomé, que é o mais novo, sobrou uma barra. Assim, a quantidade de barras
que Sílvio recebeu foi
a) 1,5
b) 2
c) 2,5
d) 3
e) 3,5
Solução:
Considerando-se que o número inicial de barras seja x , :Rui recebeu a metade das barras de
x 1
chocolate e mais meia barra, ou seja, recebeu + . Então, restou a outra metade das barras
2 2
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x 1
− . Metade dessa quantidade mais meia barra foi dada a Sílvio, ou
2 2
x 1 1
x 1
− + , que serão + barras para Sílvio. Agora, somando-se as quantidades que os três
4 4 2
4 4
receberam, teremos a quantidade inicial de barras, ou seja:
 x 1  x 1
 +  +  +  + (1) = x (os parênteses na expressão ao lado são para evidenciar as quantidades
2 2 4 4
de barras que cada um dos sobrinhos recebeu). Resolvendo-se a equação, tem-se x = 7 . Assim,
Rui recebeu 4 barras e Sílvio recebeu 2 barras.
Existe um modo mais rápido de se resolver esta questão. Dicas, atalhos, macetes e truques são
passados somente aos nossos alunos, durante o curso preparatório.
Resposta: letra b.
5) Ao redor de uma mesa redonda estão quatro amigas, Karen, Pámela, Rita e Yasmin, sentadas
em posições diametralmente opostas. Cada uma delas tem uma nacionalidade diferente: uma é
italiana, outra é francesa, outra é portuguesa e a outra é alemã, não necessariamente nessa ordem.
Considerem-se, ainda, as informações:
• “Sou alemã e a mais nova de todas”, diz Karen.
• “Estou sentada à direita da Karen”, diz Pâmela.
• “Rita está à minha direita”, diz a francesa.
• “Eu sou italiana e estou sentada em frente a Pâmela”, diz Yasmin.
É CORRETO afirmar que
a) Pâmela é francesa e Rita é italiana.
b) Pâmela é italiana e Rita é portuguesa.
c) Rita é francesa e Yasmin é portuguesa.
d) Rita é portuguesa e Yasmin é francesa.
e) Yasmin é portuguesa e Pámela é italiana.
Solução:
Das informações dadas no enunciado, tem-se que:
menos meia barra, ou seja:
Resposta: letra a.
6) Considere os seguintes conjuntos de premissas e conclusões:
I.
Algum avô é economista.
Algum economista é avô.
II.
Nenhum arquiteto é cantor.
Logo, nenhum cantor é arquiteto.
III. Todo advogado é poeta.
Logo, todo poeta é advogado.
Qual(is) argumento(s) é(são) válido(s)?
a) somente I
b) somente II
c) somente I e II
d) somente II e III e) todos
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Solução:
II.
I.
III.
Conclusão: Válido
Conclusão: Válido
Conclusão: Não-válido
Resposta: letra c.
7) Considere a seqüência de quadros, em que cada quadro é dividido em nove casas numeradas,
dispostas em linhas e colunas, da seguinte maneira:
1
4
7
2
5
8
3
6
9
,
10
13
16
11
14
17
12
15
18
,
19
22
25
20
23
26
21
24
27
, ...
A posição que o número 2006 ocupa no quadro é
a) linha 1 e coluna 3
b) linha 2 e coluna 2
c) linha 2 e coluna 3
d) linha 3 e coluna 1
e) linha 3 e coluna 2
Solução:
Observa-se, ,pelos quadros apresentados no enunciado, que os valores preenchidos na última
casela de cada quadro são múltiplos de 9. O múltiplo de 9 mais próximo de 2006 é o 2007. Como
2007 só poderá estar localizado na última casela de cada quadro, segue-se que 2006 estará
localizado imediatamente à esquerda do 2007. Portanto, 2006 está na terceira linha, segunda
coluna.
Resposta: letra e.
8) Se x e y são números inteiros, a operação Θ é definida por x Θ y = y ( x − y ) , na qual a
multiplicação e a subtração são as usuais. Assim, o valor da expressão 2 Θ (3 Θ 4) é
a) -28
b) -24
c) -3
d) 2
e) 8
Solução:
Seguindo-se a regra de aplicação do operador Θ, deveremos subtrair o número y do número x e
multiplicar o resultado por y .
Resolvendo a expressão dada, iniciando pelo parênteses:
2 Θ (3 Θ 4) =
2 Θ 4.(3 - 4) =
2 Θ -4 =
-4.(2 – (-4)) = -4 . 6 = -24
Resposta: letra b.
9) Cinco amigos,m Abel, Deise, Edgar, Fábio e Glória, foram lanchar e um deles resolveu sair sem
pagar. O garçom percebeu o fato, correu atrás dos amigos que saíam do restaurante e chamou-os
para prestarem esclarecimentos. Pressionados, informaram o seguinte:
• “Não fui eu nem o Edgar”, disse Abel.
• “Foi o Edgar ou a Deise”, disse Fábio.
• “Foi a Glória”, disse Edgar.
• “O Fábio está mentindo”, disse Glória.
• “Foi a Glória ou o Abel”, disse Deise.
Considerando que apenas um dos cinco amigos mentiu, pode-se concluir que quem resolveu sair
sem pagar foi
a) Abel
b) Deise
c) Edgar
d) Fábio
e) Glória
Solução:
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Em questões envolvendo verdades e mentiras, o candidato deverá sempre encontrar aquele único
elemento do grupo que diverge dos demais. No caso em tela, significa que deveremos encontrar o
único que está mentindo.
Vamos inicialmente inferir que o mentiroso é Abel. Ora, se ele fosse o mentiroso, sua afirmação
seria falsa, indicando que o culpado seria Abel ou Edgar.
Como ainda não poderemos confirmar se o mentiroso do grupo é realmente o Abel, vamos analisar
as outras afirmações em busca de uma possível contradição... Se o mentiroso for realmente o Abel,
as demais afirmações deverão ser todas verdadeiras, ou seja: Fábio, Edgar, Glória e Deise estariam
dizendo a verdade. Mas observe que a afirmação de Glória coloca nossa inferência inicial em
contradição, uma vez que afirma que Fábio está mentindo. Se assim fosse, haveria dois mentirosos
em vez de apenas um: Abel e Fábio. Como esta conclusão não está de acordo com o enunciado,
que diz haver apenas um mentiroso, sabemos que Abel está dizendo a verdade, e, assim, dois
suspeitos já estão excluídos: o próprio Abel e Edgar.
Passemos nossa inferência para a segunda afirmação: tomemos a afirmação de Fábio como sendo
falsa. Isto significaria dizer que, sendo a afirmação falsa, não foram Edgar e nem Deise. Já
sabemos que Edgar está fora da lista de suspeitos. Se a afirmação de Fábio for realmente falsa,
então as demais afirmações deverão ser todas verdadeiras, isto é, Edgar, Glória e Deise estarão
dizendo a verdade.
Passemos a uma nova busca por possíveis contradições... Observe que não há mais contradições:
Edgar disse que foi Glória; Glória diz que Fábio mente e Deise afirma que foi Glória ou Abel.
Como já sabemos que não foi Abel, a afirmação de Deise aponta para Glória, logo, Glória saiu
sem pagar a conta.
Resposta: letra e.
10) Das proposições “Nenhuma fruta marrom é doce” e “Algum abacaxi é doce”, conclui-se que
a) “Algum abacaxi não é marrom”.
b) “Todo abacaxi é marrom”.
c) “Nenhum abacaxi é marrom”.
d) “Algum abacaxi é marrom”.
e) “Todo abacaxi não é marrom”.
Solução:
Na figura acima, o diagrama que representa abacaxi (A) pode ser representado por qualquer um
dos diagramas que aparecem nas cores azul ou vermelho. Em qualquer das posições apresentadas
para o diagrama A, observa-se que sempre haverá algum elemento de A que não pertence ao
diagrama M. Daí, a conclusão para o argumento categórico: algum abacaxi não é marrom.
Nota do professor: A lógica de argumentação pode ser complicada de se entender em um primeiro
momento. Entretanto, os alunos do curso preparatório do Instituto Integral aprendem técnicas para
a resolução rápida e segura de qualquer tipo de argumento (cerca de dez segundos são
suficientes!). Como o método é expositivo, é necessário um conjunto de aulas presenciais para a
fixação dessas técnicas.
Resposta: letra a.
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11) Edmundo percebeu que, na terça-feira, 27 de julho, iriam terminar as suas férias; verificou que
o próximo feriado é o dia 7 de setembro e viu que esse dia cai
a) numa segunda-feira
b) numa terça-feira
c) numa quarta-feira
d) num sábado
e) num domingo
Solução:
Partindo-se do dia 27 de julho, restam 4 dias para finalizar o mês de julho. Agosto tem 31 dias. Até
7 de setembro, tem-se um total de 4 + 31 + 7 = 42 dias. Observe que 42 é múltiplo de 7, o que
indica que o dia 7 de setembro também cairá numa terça-feira (lembre-se de que os dias da semana
se repetem a cada sete dias!).
Resposta: letra b.
12) Considere a proposição “Não é verdade que, se Maria não é elegante, então ela é inteligente”.
Uma proposição logicamente equivalente é
a) “Maria é elegante ou é inteligente”.
b) “Maria é elegante e não é inteligente”.
c) “Maria não é elegante e é inteligente”.
d) “Maria não é elegante e nem é inteligente”.
e) “Maria não é elegante ou não é inteligente”.
Solução:
Na linguagem simbólica, tem-se: ~ (~ e → i ) , que uma das formas de se negar uma proposição
condicional. A outra seria pela equivalência (veja sua apostila!) que indica que o antecedente
deverá ser mantido e o conseqüente deve ser negado. Assim, chegamos rapidamente à resposta:
“Maria não é elegante e nem inteligente”.
Resposta: letra d.
13) Três amigos, Bernardo, Davi e Fausto, de sobrenome Pereira, Rocha e Silva, não
necessariamente nessa ordem, foram assistir, cada um, a um filme diferente – ação, comédia e
terror. Sabe-se que:
• Bernardo não assistiu ao filme de terror nem ao de ação.
• Pereira assistiu ao filme de ação.
• O sobrenome de Davi é Silva.
É CORRETO afirmar que
Solução:
Questões dessa natureza se resolvem rapidamente por meio de um quadro:
Bernardo Davi Fausto
Sobrenome Rocha
Silva Pereira
Filme
comédia terror ação
Resposta: letra b.
14) Considere as seguintes proposições:
I.
2 > 1 ou 3 2 = 6 .
II. ∀x , x ∈ ℜ , se x < 2 , então x = 1 ou x = 0 .
III. − 4 < −5 .
Os valores lógicos dessas proposições são, respectivamente,
a) F F V
b) F V F
c) V F F
d) V F V
e) V V V
Solução:
I. Proposição disjuntiva (ou). Como 2 > 1 é verdadeira e 3 2 = 6 é falsa, a proposição
composta é verdadeira;
II. Proposição falsa, pois x < 2 para qualquer valor real menor que 2 e não apenas para zero ou
um;
III. Proposição falsa. Quanto maior for o módulo de um número negativo, menor ele será!
Resposta: letra c.
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15) A figura abaixo mostra uma engrenagem formada por três rodas dentadas iguais (de mesmo
raio). Em duas das rodas, há bandeirinhas, e a roda de cima girou menos de uma volta e parou na
posição indicada pela bandeirinha pontilhada.
Nessas condições, qual das seguintes alternativas apresenta a posição aproximada da bandeirinha
da outra roda?
a)
b)
c)
d)
e)
Solução:
A engrenagem de cima gira no sentido anti-horário (vide enunciado da questão). Assim, a
engrenagem abaixo à esquerda gira no sentido horário, e, a da direita, gira novamente no sentido
anti-horário, colocando a bandeirinha contida nessa engrenagem na posição indicada pela
alternativa d.
Resposta: letra d.
16) Considere as seguintes informações sobre uma prova de concurso composta de dois
problemas, X e Y:
• 923 candidatos acertaram o problema X.
• 581 erraram o problema Y.
• 635 acertaram X e Y.
O número de candidatos que erraram os problemas X e Y é
a) 183
b) 293
c) 342
d) 635
e) 689
Solução:
A questão se resolve facilmente por meio de diagramas. Dica: inicie sempre esse tipo de questão
pela interseção de todos os conjuntos.
Resposta: letra b.
17) Considerem-se as seguintes proposições:
• “Todas as pessoas ricas são cultas”.
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• "Nenhum pescador é culto”.
• “Hugo é rico”.
Uma conclusão que necessita de todas essa proposições como premissas é
a) “Ricos são cultos”.
b) “Hugo não é culto”.
c) “Hugo não é pescador”.
d) “Hugo é rico e pescador”.
e) “Hugo é um pescador culto”.
Solução:
Resposta: letra c.
18) Considerem-se as seguintes premissas:
• “Todos os jogadores de futebol são bonitos”.
• “Lucas é bonito”.
• “Modelos fotográficos são bonitos”.
Considerem-se, também, as seguintes conclusões:
I. “Lucas não é jogador de futebol nem modelo fotográfico”.
II. “Lucas é jogador de futebol e também modelo fotográfico”.
III. “Lucas é bonito e jogador de futebol”.
Considerando as premissas, a validade de cada argumento gerado pelas conclusões I, II e III é,
respectivamente,
a) válido, válido, válido.
b) não-válido, válido, válido.
c) válido, não-válido, não-válido.
d) não-válido, válido, não-válido.
e) não-válido, não-válido, não-válido
Solução:
Observe que as premissas não permitem determinar como se relacionam os diagramas F e M.
Também não é possível determinar exatamente onde Lucas deve estar. Pode ser em qualquer das
posições indicadas no diagrama, nas cores azul, verde ou vermelha. Em outras palavras, o
argumento é inconcludente. Desse modo, nenhuma das conclusões apresentadas poderão validálo.
Resposta: letra e.
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19) As afirmativas a seguir correspondem a condições para a formação de um determinado número
X de três dígitos.
• 429 não tem nenhum dígito em comum com esse número.
• 479 tem apenas um dígito em comum com esse número, mas ele não está em seu devido
lugar.
• 756 tem apenas um dígito em comum com esse número, e ele está em seu devido lugar.
• 543 tem apenas um dígito em comum com esse número, mas ele não está em seu devido
lugar.
• 268 tem apenas um dígito em comum com esse número, e ele está em seu devido lugar.
O número X de três dígitos que satisfaz essas condições é
a) 837
b) 783
c) 738
d) 736
e) 657
Solução:
• Das duas primeiras afirmações, excluem-se os algarismos 4, 2 e 9 do número procurado e
pode-se inferir que o 7 é um dos dígitos do número procurado;
• A terceira afirmação exclui os algarismos 5 e 6 do número procurado e confirma o 7 na
primeira posição;
• A quarta afirmação confirma o 3 como o segundo algarismo do número procurado. Como
esse algarismo não está no seu devido lugar, conclui-se que o 3 é o segundo algarismo do
número procurado;
• A última afirmação completa o número procurado, visto que os algarismos 2 e 6 já haviam
sido excluídos. Desse modo, o algarismo 8 completa o número procurado.
Resposta: letra c.
20) Cada uma das três amigas Ana, Bia e Carla, gosta de apenas uma das seguintes frutas: maçã,
banana e pêra, não necessariamente nessa ordem. Ana gosta de pêra, Bia não gosta de pêra e Carla
não gosta de banana. Se apenas uma dessas três afirmações for verdadeira e se cada uma das três
amigas gosta de uma fruta diferente, então as frutas de que Ana, Bia e Carla gostam são,
respectivamente,
a) banana, pêra e maçã.
b) pêra, maçã e banana.
c) maçã, banana e pêra.
d) pêra, banana e maçã.
e) banana, maçã e pêra.
Solução:
Analisando-se as afirmações feitas:
• Ana gosta de pêra;
• Bia não gosta de pêra;
• Carla não gosta de banana.
Observe que, se a primeira afirmação for verdadeira, a segunda também o será, o que contradiz o
enunciado. Assim, sabemos com certeza que a primeira afirmação é falsa.
Passemos à segunda afirmação. Se ela fosse verdadeira, então Bia não gosta de pêra. Como já
sabemos que a primeira é falsa, Ana também não gosta de pêra, resta que Carla é quem gosta de
pêra. Mas, observe que a terceira afirmação também seria verdadeira, o que contradiz o enunciado
(apenas uma é verdadeira). Então a afirmação 2 também é falsa, o que nos leva a concluir que Bia
é quem gosta de pêra. A terceira afirmação é verdadeira: Carla não gosta de banana. Desse modo,
Ana é quem gosta de banana e Carla gosta de maçã.
Resposta: letra a.
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1) “Sejam X e Y conjuntos não vazios. Se a afirmação ‘todo X é Y’ é ______, então a afirmação
‘nenhum X é Y’ é falsa e a afirmação ‘alguns X são Y’ é ______. Agora, se a negação de ‘todo X
é Y’ é uma afirmação falsa, então a afirmação ‘alguns X são Y’ será ______.” Qual das seguintes
alternativas completa de forma CORRETA, na ordem, as lacunas do texto acima?
a) falsa, verdadeira; falsa.
b) falsa; falsa; falsa.
c) verdadeira; verdadeira; verdadeira.
d) verdadeira; falsa; falsa.
e) verdadeira; falsa; verdadeira.
Solução:
Se a afirmação “nenhum X é Y” é falsa, então a afirmação “todo X é Y” é verdadeira e a
afirmação “alguns X são Y” também é verdadeira.
A negação de “todo X é Y” é “algum X não é Y”. O enunciado diz que esta última afirmação é
falsa, logo, a afirmação “alguns X são Y” será verdadeira.
Resposta: letra c.
2) Sete pessoas comeram duas pizzas. Cada uma das pizzas estava dividida em dez pedaços iguais.
Sabendo-se que cada uma das pessoas comeu ao menos um pedaço de pizza, que não sobraram
pedaços, e ainda, que cada uma só comeu pedaços inteiros sem deixar restos, pode-se ter certeza
de que
a) uma delas comeu, no mínimo, três pedaços.
b) alguém comeu quatro pedaços.
c) uma delas comeu somente um pedaço.
d) todas comeram dois pedaços.
e) algumas comeram dois pedaços e as demais comeram três.
Solução:
O maior múltiplo de 7 contido em 20 é o 14. Significa que cada pessoa pode ter recebido dois
pedaços. Qualquer que seja a distribuição dos demais pedaços, tem-se que uma delas pode ter
comido, no mínimo, três pedaços.
Resposta: letra a.
3) Considera as proposições a seguir:
I. Josi é morena ou não é verdade que Josi é morena e Jorge é loiro.
II. Ou o café não está quente ou o bolo não está delicioso se, e somente se, o café está quente e o
bolo está delicioso.
Pode-se afirmar que
a) ambas as proposições são tautologias.
b) ambas as proposições são contradições.
c) a proposição I é uma contradição e a II é uma tautologia.
d) a proposição I é uma tautologia e a II é uma contradição.
e) ambas as proposições não são tautologias.
Solução:
I. Seja a proposição dada em linguagem simbólica:
m : Josi é morena;
l : Jorge é loiro.
A proposição composta é: m∨ ~ (m ∧ l ) . Aplicando-se Lei de De Morgan à proposição entre
parênteses, vem: m∨ ~ m∨ ~ l . Que é uma tautologia.
II. Seja a proposição dada em linguagem simbólica:
q : o café está quente;
d : o bolo está delicioso.
A proposição composta, em linguagem simbólica é: (~ q ∨ ~ d ) ↔ (q ∧ d ) observe o leitor que o
primeiro parênteses traz um “ou exclusivo”, que só será verdadeira quando apenas uma de suas
proposições for verdadeira. No segundo parênteses, tem-se uma proposição conjuntiva (“e”), que
somente terá resultado lógico verdadeiro quando as duas proposições simples forem verdadeiras.
Ora, a proposição composta bicondicional somente apresenta valor lógico verdadeiro quando suas
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proposições tiverem mesmo valor lógico. Analisando-se o caso de ambas as proposições simples
serem falsas, ter-se-á que a proposição com o “ou exclusivo” será falsa e a proposição conjuntiva
(“e”) também será falsa. desse modo, a proposição bicondicional terá resultado lógico verdadeiro.
Tem-se aqui, portanto, uma contingência.
Confirmação por Tabela-Verdade:
q d ~ q ~ d ~ q ∨ ~ d q ∧ d (~ q ∨ ~ d ) ↔ (q ∧ d )
V V
F
F
F
V
F
V F
F
V
V
F
F
F V
V
F
V
F
F
F F
V
V
F
F
V
Resposta: não há alternativa que responda corretamente a questão. A questão deveria ter sido
anulada, mas a banca não o fez!
4) Considere o anúncio a seguir:
“Todo governo democrata é para o povo e um governo que é para o povo é duradouro. Agora,
nenhum governo é duradouro.”
Pode-se afirmar que
a) o Brasil nunca teve um governo duradouro.
b) o Brasil nunca teve um governo trabalhista.
c) o Brasil nunca teve governo.
d) os governos não são democratas.
e) existem governos que não são para o povo.
Solução:
Sejam os diagramas: G : governo Gd : governo democrático P : povo D : duradouro.
Com as premissas, pode-se determinar a figura a seguir
Uma possível conclusão é: Alguns governos não são para o povo. Veja a região sombreada na
figura acima.
Resposta: letra e.
5) Sejam os enunciados ditos por José
I. A cor azul é a mais bonita.
II. O enunciado III é verdadeiro.
III. Dentre as cores primárias, uma é a mais bonita.
IV. As cores amarela e vermelha são as mais bonitas.
V. A cor verde não é a mais bonita.
VI. Somente uma das afirmações que fiz anteriormente é falsa.
Sabendo que o enunciado VI é verdadeiro, pode-se concluir que o valor verdade (V, se verdadeiro;
F, se falso) dos enunciados I a V é, respectivamente,
a) V, V, V, V, F.
b) V, V, V, F, V
c) V, V, F, V, V
d) V, F, V, V, V
e) F, V, V, V, V
Solução:
O melhor modo de se analisar a questão é buscar afirmações contraditórias. Verifica-se,
facilmente, que as afirmações III e IV estão em contradição. Arbitra-se o valor falso a uma delas,
analisando-se as demais. Supondo-se que a afirmação III seja falsa, verifica-se que a afirmação I
também será falsa. Ora, o enunciado indica apenas uma afirmação falsa. Então esta afirmação só
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poderá ser a IV. O leitor poderá fazer a verificação das demais afirmações, confirmando que serão
todas verdadeiras.
Resposta: letra b.
6) A empresa Estatix está realizando uma pesquisa nas escolas de certa região. As escolas terão
avaliações favoráveis se as duas regras a seguir forem satisfeitas.
Regra 1: Se a escola possui alguns professores estudiosos, a escola é recomendada.
Regra 2: A escola será recomendada se o diretor for competente ou se a biblioteca for suficiente.
Realizada a pesquisa na Escola XYZ, obtiveram-se as seguintes conclusões:
• Os alunos não são estudiosos.
• Os professores são estudiosos.
• O diretor é competente.
• A biblioteca é insuficiente.
Baseando-se nos dados acima, pode-s concluir que a Escola XYZ
a) não terá avaliação favorável, pois a biblioteca é insuficiente.
b) não terá avaliação favorável, pois os alunos não são estudiosos.
c) terá avaliação favorável, pois o diretor não é competente.
d) terá avaliação favorável, pois os professores são estudiosos e o diretor é competente.
e) terá avaliação favorável, pois a biblioteca é suficiente.
Solução:
As regras indicadas na questão não passam de premissas de um argumento lógico. Colocando as
proposições em linguagem simbólica:
p : alguns professores estudiosos;
r : escola recomendada;
d : diretor competente;
b : biblioteca suficiente.
Argumento em linguagem simbólica:
Condição de validade
p
→
r
V
P1 :
V
P2 : (d ∨ b ) → r
C:
?
V
Com o resultado da pesquisa indicado na questão, verifica-se que a proposição p é verdadeira,
assim como a proposição d .Já a proposição b é falsa. Colocando-se esses valores lógicos no
quadro acima, verifica-se, em ambas as premissas, que o valor lógico da proposição r deve ser
verdadeiro para que se verifique a condição de validade do argumento. Desse modo, a escola terá
avaliação favorável, uma vez que tem professores estudiosos e diretor competente.
Resposta: letra d.
7) Descobriu-se uma espécie de bactéria imortal que, a partir do momento de sua hospedagem e/ou
existência, começa seu ciclo reprodutivo infinito e ininterrupto. Sabe-se que dois exemplares dessa
espécie de bactéria geram seis exemplares em apenas 5 segundos, totalizando assim oito
exemplares em 5 segundos. Com esses dados, se tivéssemos agora dez exemplares da referida
bactéria, quantos exemplares teríamos daqui a 10 segundos?
a) 420
b) 160
c) 120
d) 50
e) 40
Solução:
A partir do número inicial de bactérias, cada novo número gerado é o quádruplo do anterior a cada
intervalo de 5 segundos.
Se o número inicial é de 10 bactérias, então, 5 segundos depois haverá o quádruplo desse número,
ou seja, 40 bactérias. Nos próximos 5 segundos, haverá o quádruplo de 40, ou seja, 160 bactérias.
Resposta: letra b.
8) O argumento que NÃO é válido é
a) O céu é azul e a terra é amarela. Logo, a terra é amarela.
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b) Manuel é rico. Todos os homens ricos são divertidos. Logo, Manuel é divertido.
c) O céu é azul ou a grama é verde. logo, a grama é verde.
d) Dinheiro é tempo e tempo é dinheiro. Logo, dinheiro é tempo.
e) O domingo é divertido e tudo é azul. Logo, tudo é azul.
Solução:
Pela definição de argumento dedutivo, é necessário que haja pelo menos duas premissas seguidas
de uma conclusão válida, que deve estar baseada em todas as premissas.
Observe o leitor que a questão não traz somente argumentos dedutivos. Na verdade, têm-se, nesta
questão, quatro argumentos indutivos e apenas um argumento dedutivo (que é o da alternativa
“b”). Em argumentos indutivos é necessário que a conclusão seja verdadeira e baseada em
premissa(s) verdadeira(s). Observe o leitor que, nos argumentos dedutivos, não é necessário que
uma ou mais premissas sejam verdadeiras para que o argumento seja válido Voltando aos
argumentos apresentados nesta questão, veja que, nas alternativas em que a premissa é formada
por uma proposição conjuntiva, esta somente será verdadeira se ambas as proposições simples
tiverem valor lógico verdadeiro. Isto posto, as alternativas “a”, “d” e “e” têm conclusões válidas. A
alternativa “b” é a única que traz um argumento que se encaixa na definição de argumento
dedutivo. Agora, na alternativa “c” se tem uma proposição disjuntiva, que terá valor lógico
verdadeiro se pelo menos uma de suas proposições simples for verdadeira. Dessa forma, a
conclusão apresentada não pode ser considerada válida.
Resposta: letra c.
9) Três amigos, Régis, Sílvio e Tiago, foram juntos a uma loja que vende camisetas, calças e bonés
somente nas cores verde, vermelha e azul. Sabe-se que
• Cada um deles comprou um boné, uma camiseta e uma calça;
• Cada uma das peças compradas (bonés, ou camisetas, ou calças) tem cor diferente;
• Todas as peças da mesma pessoa apresentam cores diferentes;
• Régis não comprou o boné vermelho, nem a calça azul;
• Sílvio comprou a camiseta azul;
• Tiago comprou o boné verde.
• Considerando as proposições acima, é CORRETO afirmar que
a) a calça do Tiago é azul.
b) a camiseta do Régis é vermelha.
c) a calça do Sílvio é vermelha.
d) a camiseta do Tiago é azul.
e) o boné do Sílvio é azul.
Solução:
Com as afirmações feitas no enunciado da questão, pode-se montar o quadro abaixo:
Régis
Sílvio
Tiago
Camiseta
Verde
Vermelha
Azul
Calça
Vermelha
Verde
Azul
Boné
Azul
Vermelho
Verde
O início da colocação das cores foi com as que aparecem em destaque (negrito): a camiseta de
Sílvio é azul e o boné de Tiago é verde. A partir daí as demais cores foram facilmente colocadas,
observando-se, ainda de acordo com o enunciado, que nenhum deles comprou duas peças da
mesma cor.
Resposta: letra a.
10) Analise as seguintes definições.
• Mx – x é maranhense.
• Bx – x é branco.
• Rx – x é rico.
• Cx – x é uma casa.
• Sx – x é em São Luiz.
• Pxy – x possui y.
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Utilizando-se as definições acima, qual das seguintes alternativas pode representar a expressão
“Todo maranhense branco que é rico possui uma casa em São Luiz”?
a) ∀x((Mx ∧ (Bx ∧ Rx )) → ∃y (Cy ∧ Pxy ))
b) ∀x((Mx ∧ Rx ) → ∃y (Rx ∧ (Cy ∧ Pxy )))
c) ∀x((Mx ∧ (Bx ∧ Rx )) → ∃y (Cy ∧ (Sy ∧ Pxy )))
d) ∀x((Mx ∧ (Bx ∧ Rx )) → ∀y (Cy ∧ (Sy ∧ Pxy )))
e) ∀x∀y ((Mx ∧ (Bx ∧ Sy )) → (Cy ∧ (Rx ∧ Pxy )))
Solução:
A lógica de predicados apresenta uma convenção notacional própria para proposições
categóricas,usando símbolos como ∀ , que significa “para todo” ou “qualquer que seja”, e ∃ , que
significa “existe” ou “algum” ou “alguns”. Nesse tipo de questão, o candidato deverá fazer a
versão da linguagem corrente para a linguagem simbólica, seguindo a convenção notacional da
lógica de predicados.
Desse modo, a sentença: “Todo maranhense branco que é rico possui uma casa em São Luiz”,
passa a ser:
∀ x = qualquer que seja x , ou para todo x ;
∃ y = existe y
A sentença dada pode ser apresentada do seguinte modo:
∀x((Mx ∧ (Bx ∧ Rx )) → ∃y (Cy ∧ (Sy ∧ Pxy )))
Resposta: letra c.
11) Dada a proposição composta “Não é verdade que se João estiver de férias ele não vai trabalhar,
então, ele está de férias e trabalhando”, pode-se afirmar que
a) é uma contradição.
b) é uma tautologia.
c) não é tautologia e nem contradição.
d) é equivalente a “se João está de férias então ele não trabalha”.
e) é equivalente a “se João está de férias então ele trabalha”.
Solução:
Sejam as proposições simples:
f : João está de férias;
t : João vai trabalhar.
A proposição composta “Não é verdade que se João estiver de férias ele não vai trabalhar; então
ele está de férias e trabalhando” em linguagem simbólica pode ser escrita como:
~ ( f →~ t ) → ( f ∧ t )
verifica-se que a primeira proposição condicional está negada, usando-se a equivalência da
negação da condicional, pode-se escrever a proposição acima como:
( f ∧ t) → ( f ∧ t)
ambos os membros da proposição condicional acima são iguais, o que caracteriza uma tautologia.
Resposta: letra b.
12) Considere as proposições a seguir.
P: -3 > -2 se, e somente se, 1 + 1 = 2.
Q: 33 é um múltiplo de 3 se, e somente se, 3 divide 33.
1 1
4 11
R: Se < , então > .
2 4
5 12
Os valores lógicos (V, se verdadeiro; F, se falso) das proposições P, Q e R são, respectivamente,
a) F, V, V.
b) F, V, F.
c) F, F, F.
d) V, V, F.
e) V, V, V.
Solução:
I. FALSA: proposição composta bicondicional na qual a primeira proposição simples é falsa e a
segunda proposição simples é verdadeira.
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II. VERDADEIRA: proposição composta bicondicional na qual a primeira proposição simples é
verdadeira e a segunda proposição simples também é verdadeira.
III. VERDADEIRA: proposição composta condicional na qual a primeira proposição simples é
falsa sempre terá resultado lógico verdadeiro (independentemente do valor lógico da segunda
proposição simples).
Resposta: letra a.
13) Considere as seguintes sentenças:
I. Paulo foi Ministro da Educação.
II. sen(kπ ) = 0 , com k ∈ {0,1,2,3}.
III. x + 5 = 12 .
Do ponto de vista da lógica, pode-se dizer que
a) I, II e III são proposições.
b) I e III são proposições.
c) II não é uma proposição.
e) I, II e III não são proposições.
e) I e III não são proposições e II é uma proposição.
Solução:
Do ponto de vista da lógica, uma proposição lógica é qualquer frase ou sentença declarativa, que
somente pode assumir valor lógico verdadeiro ou falso. Por outro lado, uma sentença que
contenha uma incógnita (elemento desconhecido) é uma sentença aberta. Paulo é um elemento
desconhecido na sentença I, visto que o leitor não poderá atribuir a essa sentença um valor lógico
verdadeiro ou falso, posto que desconhece o Paulo ao qual a frase faz referência. Portanto, a frase
do item I é uma sentença aberta e não uma proposição lógica.
A sentença II não possui qualquer incógnita, uma vez que k está definido e pode representar uma
proposição lógica. A essa sentença poderá ser atribuído apenas um valor lógico verdadeiro ou
falso.
A sentença III é, sem dúvida, uma sentença aberta, e, portanto, não pode ser uma proposição
lógica.
Resposta: letra e.
14) Foi usada para codificação a frase “O Brasil é um grande campo de flores”. Qual palavra está
representada no código “0216031009150405”,se o código “2404030304200105” representa a
palavra “farrapos”?
a) Ternuras
b) Carnudas
c) Permutas
d) Bermudas
e) Carinhas
Solução:
“Decodificando” a palavra “farrapos”...
24 04 03 03 04 20 01 05
f
a
r
r
a p o s
A palavra codificada por:
02 16 03 10 09 15 04 05
r
a s
A segunda letra da palavra acima não pode ser “a” uma vez que o código da letra “a” é 04. Assim,
o candidato poderá eliminar as alternativas “b” e “e”.
A letra “t” não aparece na frase “O Brasil é um grande campo de flores”. Eliminem-se as
alternativas “a” e “c”.
Resta, portanto, a alternativa “d”.
Resposta: letra d.
15) Se P é a proposição “José fez a prova” e Q é a proposição “Pedro estudou”, então a proposição
composta “Não é verdade que se José não fez a prova então Pedro estudou” pode ser escrita na
linguagem simbólica como
a) ~ (~ Q ∧ P )
b) ~ (~ P ∧ Q )
c) ~ (P → Q )
d) ~ P → Q
e) ~ P ∧ ~ Q
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Solução:
A proposição “Não é verdade que se José não fez a prova então Pedro estudou” pode ser escrita,
em linguagem simbólica como: ~ (~ P → Q )
A proposição acima na está entre as alternativas. Como se trata da negação da condicional, ela
também pode ser escrita como: ~ P ∧ ~ Q
Resposta: letra e.
16) Sabendo que P e Q são proposições, o que NÃO se pode afirmar sobre a função valoração (v)?
a) v(~P) = V se, e somente se, v(P) = F.
b) v(P ∧ Q) = V se, e somente se, v(P) = v(Q) = V.
c) v(P ∨ Q) = V se, e somente se, v(P) = V ou v(Q) = V.
d) v(P→Q) = V se, e somente se, v(P) = F ou v(Q) = V
e) v(P↔Q) = V se, e somente se, v(P) = v(Q) = V.
Solução:
Nesta questão, o candidato precisa apenas verificar a veracidade dos valores indicados em cada
alternativa:
a) CORRETO: significa que o valor lógico de ~ P é verdadeiro se e somente se o valor lógico de
P for falso.
b) CORRETO: significa que o valor lógico de uma proposição conjuntiva será verdadeiro se, e
somente se cada uma das proposições simples tiver valor lógico verdadeiro.
c) CORRETO: significa que a proposição disjuntiva terá valor lógico verdadeiro se e somente se
pelo menos uma das proposições simples tiver valor lógico verdadeiro.
d) CORRETO: significa que a proposição condicional terá valor lógico verdadeiro se e somente se
a primeira proposição simples for falsa ou a segunda proposição simples for verdadeira (vide
tabela-verdade da proposição condicional).
e) INCORRETO: a proposição composta bicondicional tem valor lógico verdadeiro sempre que
ambas as proposições simples forem verdadeiras ou ambas forem falsas.
Resposta: letra e.
17) Numa empresa, os funcionários Pedro, João, Antônio e Manoel trabalham como arquiteto,
engenheiro, administrador e contador, não necessariamente nessa ordem. Além disto, sabe-se que
• o tempo de empresa do administrador é o dobro do tempo de empresa do contador;
• o tempo de empresa do arquiteto é o dobro do tempo de empresa do administrador;
• o tempo de empresa do engenheiro é o dobro do tempo de empresa do arquiteto;
• Manoel começou a trabalhar na empresa exatamente três anos antes de Antônio;
• Pedro é mais antigo que qualquer pessoa que trabalha na empresa há mais tempo que João;
• o tempo de empresa de Pedro não é o dobro do tempo de empresa de João.
Considerando o tempo de serviço de todos os quatro como números inteiros, uma das conclusões
possíveis é que
a) Manoel é arquiteto, Antônio é contador, Pedro é engenheiro e João é administrador.
b) Manoel é engenheiro, Antônio é contador, Pedro é arquiteto e João é administrador.
c) Manoel é administrador, Antônio é contador, Pedro é engenheiro e João é arquiteto.
d) Manoel é contador, Antônio é arquiteto, Pedro é administrador e João é engenheiro.
e) Manoel é arquiteto, Antônio é engenheiro, Pedro é contador e João é administrador.
Solução:
Sejam: Ad advogados, Ct contadores, Ar arquitetos, En engenheiros; e
M = Manoel; A = Antônio; J = João; P = Pedro e X = qualquer pessoa mais antiga que João
na empresa.
Assim, podemos escrever:
Ad = 2 Ct ; Ar = 2 Ad ; En = 2 Ar ; M = A + 3; P > ( X > J ); P ≠ 2 J
Para facilitar a resolução da questão, vamos “arbitrar” o tempo de empresa do contador: Ct = 1.
então: Ad = 2; Ar = 4; En = 8.
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Observe que Ar = Ct + 3. Então Manoel é arquiteto e Antônio é contador.
Além disso, En ≠ 2 Ad . Então Pedro é engenheiro e João é administrador.
Resposta: letra a.
18) Observe a seqüência 112 = 121 , 1112 = 12.321 , 1.1112 = 1.234.321 . Qual o valor de 11.1112 ?
a) 121.131.141
b) 121.345.321
c) 123.444.321
d) 123.454.321
e) 123.451.234
Solução:
Seguindo a formação apresentada nos exemplos, o candidato poderá facilmente identificar a
resposta correta.
Resposta: letra d.
19) Sejam as notações predicativas.
Px: x é Presidente do Brasil.
Dx: x é democrata.
A proposição composta “O Presidente do Brasil não é democrata” pode ser representada na
linguagem simbólica por
a) ∀x((Px → ∀y (Py → x = y ))∧ ~ Dx )
b) ∀x((Px → ∃y (Py → x = y ))∧ ~ Dx )
c) ∃x((Px → ∃y (Py → x = y ))∧ ~ Dx )
d) ∃x((Px → ∀y (Py → x = y ))∧ ~ Dx )
e) ∃x(Px →~ Dx )
Solução:
A lógica de predicados apresenta convenção notacional para proposições categóricas, através de
símbolos como ∀ , que significa “para todo” ou “qualquer que seja”, e ∃ , que significa “existe” ou
“algum” ou “alguns”. Nesse tipo de questão, o candidato deverá fazer a versão da linguagem
corrente para a linguagem simbólica, seguindo a convenção notacional da lógica de predicados.
Desse modo, a sentença: “O Presidente do Brasil não é democrata”, deve ser escrita, em linguagem
simbólica, como:
Existe um sujeito x e se x é Presidente do Brasil então para qualquer sujeito y , tal que se y é
Presidente do Brasil, então x e y são a mesma pessoa e ela não é democrata. Em linguagem
simbólica, tem-se: ∃x((Px → ∀y (Py → x = y ))∧ ~ Dx )
Resposta: letra d.
20) Considere as regras do cálculo proposicional e suas derivações, qual das proposições abaixo
pode ser derivada das proposições: “ E →~ R ” e “ ~ E →~ A ”?
b) ~ ( A ∧ R )
c) A → R
d) ~ R → A
e) ~ ( A → R )
a) A ∧ R
Solução:
Da primeira proposição condicional vem: E →~ R ⇔ R →~ E (contrapositiva).
Acrescentando-se a segunda proposição condicional: ~ E →~ A , chega-se a: R →~ A (por
silogismo hipotético). A proposição R →~ A é equivalente a ~ (R ∧ A)
Resposta: letra b.
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1) Considere a seguinte seqüência da esquerda para a direita:
Dentre as alternativas abaixo, o próximo elemento que obedece à regra de formação até então
seguida é
a)
b)
c)
d)
e)
Solução:
As figuras internas giram no sentido anti-horário. Ao mesmo tempo, as figuras externas giram no
sentido horário. A figura que completa a seqüência é idêntica à primeira.
Resposta: letra d.
2) Algumas pessoas de uma mesma família estão reunidas e entre elas existem as seguintes
relações de parentesco: pai, mãe, filho, filha, irmão, irmã, primo, prima, sobrinho, sobrinha, tio e
tia. Considerando-se que todos têm um antepassado em comum e que não há casamento
consangüíneo entre eles, o número mínimo necessário de pessoas para a ocorrência de todas essas
relações é
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
Solução:
Resposta: letra a.
3) Considerando-se a proposição p : “Se Rui é bom poeta, então Jorge é atleta”, é CORRETO
afirmar que
a) a contrapositiva de p é “Se Rui não é bom poeta, então Jorge não é atleta”.
b) a contrapositiva de p é “Se Jorge não é atleta, então Rui não é bom poeta”.
c) a contrapositiva de p é “Se Jorge é atleta”, então Rui é bom poeta”.
d) a recíproca de p é “Se Rui não é bom poeta, então Jorge não é atleta”.
e) a recíproca de p é “Se Jorge não é atleta, então Rui não é bom poeta”.
Solução:
A expressão “é correto afirmar que” significa “é equivalente a”.
A equivalente natural de uma proposição condicional é a sua contrapositiva.
A contrapositiva de “Se Rui é bom poeta então Jorge é atleta” é:
“Se Jorge não é atleta, então Rui não é bom poeta”
Resposta: letra b.
4) Em uma bombonière há 13 bombons, cada qual recheado com apenas um dos sabores: avelã,
cereja, damasco ou morango. Sabe-se que existe pelo menos um bombom de cada recheio e que
suas quantidades são diferentes. Os bombons recheados com avelã ou cereja somam 4 bombons,
enquanto que os recheados com avelã ou morango totalizam 5. Considerando-se essas
informações, uma das possíveis alternativas é que somente
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a) 2 bombons sejam de avelã.
b) 2 bombons sejam de cereja.
c) 3 bombons sejam de damasco.
d) 4 bombons sejam de damasco.
e) 4 bombons sejam de morango.
Solução:
A + C + D + M = 13
A+C = 4
A+ M = 5
Sabe-se ainda que: A ≥ 1 , C ≥ 1 , D ≥ 1 , M ≥ 1
Das equações acima, podemos escrever:
D+M =9
E ainda: A ≠ 4 ; A ≠ 5 ; C ≠ 4 ; M ≠ 5 ; D ≠ 4
C+D=8
A ≤ 3 ; C ≤ 3; M ≤ 4; D ≤ 5
Com os resultados obtidos acima, conclui-se que a única alternativa correta é a da letra e.
Resposta: letra e.
5) Considere os seguintes argumentos:
I. Todas as aves são carnívoras.
Existem peixes que são carnívoros.
Logo, existem peixes que são aves.
II. Todos os minerais são aves.
Existem borboletas que são minerais.
Logo, existem borboletas que são aves.
III. O assassino é o chofer ou Lea é pretensiosa.
Ora, Lea não é pretensiosa.
Logo, o assassino é o chofer.
A seqüência CORRETA quanto à validade dos argumentos I, II e III é, respectivamente,
a) não-válido, válido, válido.
b) não-válido, válido, não-válido.
c) não-válido, não-válido, não-válido.
d) válido, válido, não-válido.
e) válido, válido, válido.
Solução:
Argumento I (categórico):
Sejam os diagramas A : aves, C : carnívoros, P : peixes
Colocando-se as premissas em forma de diagramas, tem-se:
Situação 1:
Situação 2:
Nesta situação, o conjunto P não interage com
o conjunto A . A conclusão do argumento
deveria ser:
“Não se pode tirar conclusão”
Nesta situação, o conjunto P pode interagir
com o conjunto A (ver a parte hachurada no
diagrama). A conclusão do argumento seria:
“As aves que são peixes, são carnívoras”.
O argumento I é não-válido.
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Argumento II (categórico):
Sejam os diagramas: M : minerais, A : aves, B : borboletas
Neste caso, da premissa 2, já se sabe que há borboletas que são minerais (ver região hachurada na
figura acima). A conclusão do argumento é: “Existem borboletas que são aves”.
O argumento II é válido.
Argumento III:
Este argumento é baseado em proposições lógicas.
Sejam as proposições (em linguagem simbólica):
c : o chofer é o assassino.
p : Lea é pretensiosa.
Escrevendo-se o argumento em linguagem simbólica:
Condição de validade
c
∨
p
V
P1 :
V
P2 : ~ p
c
C:
V
Partindo-se da premissa mais simples ( P2 ), tem-se que ~ p deve ser verdadeira. Desse modo, na
premissa 1 ( P1 ), a proposição p será falsa. Para que a premissa 1 seja verdadeira (a fim de
satisfazer a condição de validade), a proposição c , deve ser, necessariamente, verdadeira. Desse
modo, está validado o argumento.
Resposta: letra a.
6) Paulo possui 5 pares de meias, todos de cores diferentes. Para garantir que pegou um par de
mesma cor, ele precisa apanhar no mínimo
a) 2 meias
b) 5 meias
c) 6 meias
d) 9 meias
e) 10 meias
Solução:
Para que Paulo consiga a garantia de retirar um ar da mesma cor, ele necessitará retirar no mínimo
6 meias.
Resposta: letra c.
7) A negação da proposição “Se João é jogador de basquete, então ele é bonito”, é:
a) “Se João não é jogador de basquete, então ele não é bonito”.
b) “Se João não é bonito, então ele não é jogador de basquete”.
c) “João não é jogador de basquete ou ele é bonito”.
d) “João é jogador de basquete ou ele não é bonito”.
e) “João é jogador de basquete e ele não é bonito”.
Solução:
Na negação da proposição condicional, recorre-se à equivalência:
p → q ⇔~ ( p∧ ~ q)
cuja negação pode ser escrita como:
~ ( p → q ) ⇔ ( p∧ ~ q )
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Do segundo membro da equivalência acima, em linguagem corrente, tem-se a forma mais comum
da negação da proposição condicional. Para a questão proposta, a negação fica assim:
“João é jogador de basquete e não é bonito”
Resposta: letra e.
8) As primas Branca, Celeste e Rosa foram almoçar na casa da avó e notaram que estavam com
calçados das cores branca, celeste e rosa. Então, Branca disse: “as cores dos calçados combinam
com nossos nomes, mas nenhuma está com o calçado da cor que combine com seu próprio nome”.
“E daí?”, respondeu a jovem com o calçado rosa. Com essas informações, pode-se afirmar que
a) Branca está com calçado rosa.
b) Celeste está com calçado rosa.
c) Rosa está com calçado celeste.
d) Celeste está com calçado branco e Rosa está com calçado celeste.
e) Branca está com calçado celeste e Celeste está com calçado branco.
Solução:
A questão tem solução bastante simples:
(1) Branca só poderia estar com o calçado celeste ou rosa;
(2) A prima que retrucou sua afirmação é quem está com o calçado rosa, e seu nome não é Rosa.
Desse modo, conclui-se que: Branca está com o calçado celeste; Celeste está com o calçado rosa e
Rosa está com o calçado branco.
Resposta: letra b.
9) Fábia, Júlia e Mariana saíram com os seus namorados para passear de moto. Em certo momento,
elas trocaram entre si as motos e os acompanhantes. Cada uma está na moto de uma segunda e
com o namorado de uma terceira. A pessoa que está na moto de Fábia está com o namorado de
Júlia. Nessas condições, pode-se afirmar que
a) Mariana está com o namorado de Fábia.
b) Fábia está com o namorado de Júlia.
c) Júlia está com o namorado de Fábia.
d) Mariana está com a moto de Júlia.
e) Júlia está com a moto de Fábia.
Solução:
Como nenhuma das moças está com sua moto e seu namorado, então, quem está com a moto de
Fábia e com o namorado de Júlia só pode ser Mariana. Desse modo, podemos completar,
facilmente, o quadro abaixo:
Fábia
Júlia
Mariana
Moto
Júlia
Mariana Fábia
Namorado Mariana Fábia
Júlia
Com o quadro acima, pode-se, agora, selecionar a alternativa correta.
Resposta: letra c.
10) De 7 pacotes de biscoitos de mesmo tipo e aparentemente iguais, há 2 pacotes com o mesmo
peso e que pesam menos que os demais, cujo peso é idêntico. Para aferir a diferença entre os pesos
desses pacotes foi utilizada uma balança de dois pratos, sem pesos. Quantas pesagens, no mínimo,
são necessárias para garantir quais são os pacotes mais leves?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
Solução:
Colocam-se 3 pacotes em cada prato da balança, deixando-se um pacote fora da balança. Se
houver desequilíbrio na balança, sabe-se que pelo menos um dos pacotes mais leves estará no
prato que ficar mais alto. Se, inicialmente, apenas um dos pacotes mais leves foi colocado na
balança, saber-se-á que o outro é o que ficou fora da balança. Retiram-se, então, os pacotes deste
prato (o que ficou mais alto) e coloca-se um pacote em cada prato. Se houver novo desequilíbrio,
encontrou-se o outro pacote mais leve. Desse modo, ter-se-á encontrado os dois pacotes mais leves
com apenas duas pesagens.
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Resposta: letra a.
11) Sejam as proposições:
p : “Bruna foi ao cinema”.
q : “Caio foi jogar tênis”.
A proposição composta “Caio foi jogar tênis ou Bruna não foi ao cinema” pode ser escrita na
linguagem simbólica como
a) ~ (~ p ∧ ~ q )
b) ~ (~ p ∨ q )
c) ~ ( p ∨ ~ q )
d) ~ (~ p ∧ q )
e) ~ ( p ∧ ~ q )
Solução:
Em linguagem simbólica, a proposição dada é escrita como q∨ ~ p . Obviamente, esta proposição
não estará entre as alternativas. O candidato precisa se lembrar das propriedades das proposições
lógicas, principalmente, Leis de De Morgan e da propriedade comutativa, empregadas nesta
questão.
Aplicando-se Lei de De Morgan, vem: ~ (~ q ∧ p ) .
Aplicando-se, agora, a propriedade comutativa na proposição composta entre parênteses, vem:
~ ( p∧ ~ q )
Resposta: letra e.
12) Antônio distribuiu 25 pirulitos inteiros para seus 7 filhos. Sabendo que cada filho recebeu pelo
menos um pirulito, pode-se afirmar que
a) pelo menos um filho recebeu exatamente 4 pirulitos.
b) cinco filhos receberam exatamente 4 pirulitos cada um.
c) todos os filhos receberam a mesma quantidade de pirulitos.
d) pelo menos dois filhos receberam o mesmo número de pirulitos.
e) quatro filhos receberam 4 pirulitos e outros receberam 3 pirulitos cada um.
Solução:
Se, inicialmente, Antônio der um pirulito a cada filho e todos os 18 restantes para um deles, ou
ainda, se redistribuir os 18 restantes de qualquer forma que escolher, sempre haverá pelo menos
dois filhos que receberão a mesma quantidade de pirulitos.
Resposta: letra d.
13) Seja a proposição “Se Davi pratica natação, então Nair joga vôlei”. Uma proposição
equivalente pode ser dada por
a) “Davi pratica natação e Nair joga vôlei”.
b) “Davi não pratica natação ou Nair joga vôlei”.
c) “Se Nair joga vôlei, então Davi pratica natação”.
d) “Davi não pratica natação e Nair não joga vôlei”.
e) “Se Davi não pratica natação, então Nair não joga vôlei”.
Solução:
Uma equivalência da proposição condicional é: p → q ⇔ ~ ( p ∧ ~ q ) . Aplicando-se Lei de De
Morgan no segundo membro da equivalência acima, vem: p → q ⇔ ~ p ∨ q . Passando-se a
proposição para a linguagem corrente, tem-se: “Davi não pratica natação ou Nair joga vôlei”.
Resposta: letra b.
14) Lauro, Moisés e Nelson – cujos sobrenomes são Ramos, Souza e Teixeira, mas não
necessariamente nessa ordem – resolveram cada um, fazer uma obra diferente de reforma –
fachada, jardim, piscina – em suas casas. Sabe-se que:
• Souza não fez obra na fachada nem no jardim;
• Lauro e Moisés são os vizinhos de Ramos;
• Lauro fez obra na piscina e Teixeira não modificou o jardim.
Então, pode-se afirmar que
a) Lauro Ramos reformou o jardim.
b) Moisés Souza reformou a piscina.
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c) Moisés Teixeira reformou a fachada.
d) Nelson Souza reformou a piscina..
e) Nelson Teixeira reformou a fachada.
Solução:
Com as informações dadas, pode-se completar o quadro abaixo.
Lauro Nelson Moisés
Sobrenome Souza Ramos Teixeira
Reforma
Piscina Jardim Fachada
Resposta: letra c.
15) Numa sala de aula que conta com 48 alunos, 30 usam calças jeans e 13 usam tênis. Se 12
alunos não usam calças jeans nem tênis, o número de alunos que usam calças jeans e não usam
tênis é
a) 5
b) 17
c) 18
d) 23
e) 30
Solução:
Se 12 alunos não usam calças jeans nem tênis, então os outros 36 usam calças jeans ou tênis. Ora,
segundo o enunciado, a soma dos que usam calças jeans (30) com os que usam tênis (13) é 43. Isto
significa que 7 alunos estão na interseção dos dois conjuntos (ver diagrama). Desse modo, há 23
alunos que somente usam calças jeans (mas não estão de tênis) e 6 alunos que usam tênis (mas não
estão de calças jeans).
Resposta: letra d.
16) Considere as seguintes proposições:
p : -3 + 5 = -2 se, e somente se, 2 + 2 = 4.
q : 4 é par se, e somente se, um cachorro é um mamífero.
r : Se 1 2 < 1 3 , então 3 > 2.
Então, os valores lógicos das proposições p , q e r são, respectivamente,
a) F V V
b) F V F
c) F F F
d) V V F
e) V V V
Solução:
A primeira proposição composta dada acima é bicondicional e sua primeira proposição simples é
falsa (-3 + 5 = 2; e não -2). A segunda proposição simples é verdadeira: 2 + 2 = 4, logo, a
proposição bicondicional tem valor lógico falso.
A segunda proposição também é bicondicional, e, a exemplo da primeira, também tem suas
proposições simples com o mesmo valor lógico (ambas são verdadeiras: 4 é par e cachorro é
mamífero). Desse modo, a proposição bicondicional é verdadeira.
A terceira proposição é condicional. Quando a primeira proposição simples de uma condicional é
falsa, o valor lógico da proposição condicional é verdadeiro, independente do valor lógico da
segunda proposição simples.
Resposta: letra a.
17) A negação da proposição “Nenhuma fruta não é doce” pode ser
a) “Nenhuma fruta é doce”.
b) “Todas as frutas são doces”.
c) “Existem frutas que são doces”.
d) “Todas as frutas não são doces”.
e) “Existem frutas que não são doces”.
Solução:
A negação da proposição categórica “nenhum...” é “algum...”. Então, tem-se: “Alguma fruta não é
doce”. Lembre-se de que algum(ns) é o mesmo que existe(m).
Resposta: letra e.
18) Cinco amigos, André, Celso, Daniel, Hugo e Mário, prestam exame de seleção para a
Aeronáutica. Sabe-se que, se André estudou, Celso foi aprovado; se Daniel foi aprovado, André
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estudou; se Hugo não estudou, Mário também não o fez; se Hugo estudou,Daniel foi aprovado.
Como Mário estudou,
a) Daniel não foi aprovado.
b) Hugo não foi aprovado.
c) Mário foi aprovado.
d) André foi aprovado.
e) Celso foi aprovado.
Solução:
A questão é um argumento. Sejam as proposições simples:
Ae : André estudou;
Ca : Celso aprovado;
Da : Daniel aprovado;
He : Hugo estudou;
Me : Mário estudou.
Colocando-se o em linguagem simbólica:
Condição de validade
Ae → Ca
V
P1 :
Da → Ae
V
P2 :
V
P3 : ~ He →~ Me
He → Da
V
P4 :
Me
V
P5 :
C:
V
?
Partindo-se da premissa 5, tem-se que é verdade que Mário estudou. Assim, na premissa 3, a
proposição ~ Me é falsa. Desse modo, ~ He também deverá ser falsa, para que a proposição
condicional seja verdadeira, satisfazendo a condição de validade. Sabendo-se que ~ He é falsa,
tem-se que, na premissa 4, He é verdadeira. Como a premissa 4 é uma proposição condicional,
esta somente será verdadeira se Da for verdadeira. Com isso, na premissa 2, sabendo-se que Da é
verdadeira, então Ae também deve ser, para satisfazer a condição de validade. Ora, se Ae é
verdadeira, então na premissa 1 Ca também precisa ser verdadeira. A conclusão do argumento é,
portanto,
“André estudou e Celso foi aprovado e Daniel foi aprovado e Hugo estudou”.
Resposta: letra e.
19) Seja a proposição p : “Todos os filósofos são calvos”. A proposição que NÃO é equivalente a
p é
a) “Os filósofos são calvos”.
b) “Qualquer filósofo é calvo”.
c) “Nenhum filósofo não é calvo”.
d) “Se alguém é calvo, então ele é filósofo”.
e) “Se alguém não é calvo, então não é filósofo”.
Solução:
A proposição dada também pode ser escrita como: “Se alguém é filósofo, então ele é calvo”. Das
alternativas dadas, vem:
(a) “Os filósofos são calvos”. É equivalente.
b) “Qualquer filósofo é calvo”. É equivalente (a proposição categórica “todo” é sinônimo de
“qualquer que seja”
c) “Nenhum filósofo não é calvo”. É equivalente: “nenhum... não é...” é o mesmo que “todos...
são...”.
d) “Se alguém é calvo, então ele é filósofo”. É a recíproca. Sabe-se que a recíproca de uma
proposição condicional nem sempre é verdadeira.
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e) “Se alguém não é calvo, então não é filósofo”. É a contrapositiva. Sabe-se que a recíproca de
uma proposição condicional é equivalente à proposição dada (teorema contra-recíproco).
Resposta: letra d.
20) Em 8 horas, uma colônia que começou com 4 bactérias multiplica-se e preenche o espaço
reservado para sua cultura. Se o número de indivíduos dessa espécie duplica a cada hora,
começando-se com apenas uma bactéria, o mesmo espaço será preenchido em
a) 10 horas
b) 12 horas
c) 16 horas
d) 24 horas
e) 32 horas
Solução:
Começando-se com uma bactéria, tem-se, hora depois, duas bactérias. Duas horas depois, tem-se 4
bactérias e assim sucessivamente. Observe o leitor que a segunda cultura está defasada de duas
horas em relação à primeira (ver quadro abaixo). Desse modo, a segunda cultura preencherá seu
espaço em 10 horas.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Hora→
Cultura 1 4
8
16 32 64 128 256 512 1024 

Cultura 2 1
2
4
8
16 32 64 128 256 512 1024
Resposta: letra a.
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INSTRUÇÃO: As questões 1, 2 e 3 deverão ser respondidas tendo como base as afirmativas
abaixo.
I.
Há um mês, cinco amigos, Aline, Juliana, Lia, Mário e Sílvio estão fazendo dieta para
perder peso, e os pesos perdidos são dados em números inteiros.
II.
Aline perdeu 1 kg a mais que Mário.
III. Mário perdeu 2 kg a mais que Juliana.
IV. Juliana perdeu 1 kg a menos que Sílvio.
V.
Lia perdeu 2 kg a menos que Juliana .
1) Das alternativas abaixo, a que indica os nomes em ordem decrescente de perda de peso no
período é
a) Mário, Juliana, Aline, Lia, Sílvio.
b) Aline, Mário, Juliana, Sílvio, Lia.
c) Aline, Mário, Sílvio, Lia, Juliana.
d) Sílvio, Lia, Mário, Juliana, Aline.
e) Aline, Mário, Sílvio, Juliana, Lia.
Solução:
Com as instruções dadas, podem-se escrever as seguintes equações:
A = M +1
M = J +2
J = S −1
L = J −2
Para resolver a questão de modo mais rápido, o candidato poderá “arbitrar” uma das quantidades.
Melhor, ainda, seria usar o enunciado da questão 2 e colocar L = 7 . Então, J = 9 ; S = 10 ;
M = 11 ; A = 12
Resposta: letra e.
2) Se Lia perdeu 7 kg, nesse intervalo, então Mário perdeu
a) 8 kg
b) 9 kg
c) 10 kg
d) 11 kg
e) 12 kg
Solução:
A resposta já foi encontrada na questão 1.
Mário perdeu 11 kg.
Resposta: letra d.
3) Considere as seguintes afirmações:
I.
A soma dos pesos que Aline e Lia perderam juntas é igual à soma dos pesos perdidos por
Sílvio e Juliana juntos.
II.
A soma dos pesos que Mário e Sílvio perderam é um número ímpar.
III. Lia perdeu 2 kg a menos que Sílvio.
Assim, pode-se afirmar que é(são) VERDADEIRA(S)
a) apenas a I
b) apenas a II
c) apenas a III
d) apenas a I e II
e) apenas a I e III
Solução:
I.
CORRETO! A + L = 12 + 7 = 19 e S + J = 10 + 9 = 19
II.
CORRETO! M + S = 11 + 10 = 21
III. INCORRETO! Se L = 7 e S = 10 , então Lia perdeu 3 kg a menos que Sílvio.
Resposta: letra d.
4) Num grupo de pessoas, detectou-se que 19 são fumantes, 37 tomam café e todos os fumantes
tomam café. Oito pessoas não têm apetite porque fumam e outras duas porque só tomam café. O
número de pessoas não-fumantes, consumidoras de café e que têm apetite é
a) 8
b) 16
c) 18
d) 21
e) 37
Solução:
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No diagrama a seguir F indica o conjunto dos fumantes, C é o conjunto das pessoas que tomam
café, A identifica a parte das que têm apetite e A representa o grupo das que não têm apetite.
Resposta: letra b.
5) Uma proposição equivalente a “Se Tadeu é economista, então Renato não é estudioso” é
a) “Se Renato é estudioso, então Tadeu não é economista”.
b) “Se Renato é estudioso, então Tadeu é economista”.
c) Se Tadeu não é economista, então Renato é estudioso”.
d) “Tadeu é economista ou Renato é estudioso”.
e) “Tadeu é economista ou Renato não é estudioso”.
Solução:
Uma equivalente de uma proposição condicional é a sua contrapositiva:
“Se Renato é estudioso, então Tadeu não é economista”.
Resposta: letra a.
6) Considere A = {x ∈ ℜ; 2 x + 4 = 0} e as seguintes proposições:
I. Se o Estado de Rio de Janeiro está na Região Sul, então A = {− 1 2} .
II. Se o Estado de Rio de Janeiro está na Região Sudeste, então A = {− 2} .
III. Se o Estado de Rio de Janeiro está na Região Sudeste, então A = {− 6} .
IV. Se o Estado de Rio de Janeiro está na Região Sul, então A = {− 2} .
A seqüência formada pelo valor verdade (V, se verdade; F, se falso) dessas proposições é,
a) F V V V
b) F V F F
c) V V F V
d) V F F F
e) V V V V
Solução:
Ver tabela-verdade da proposição condicional.
A solução de 2 x + 4 = 0 é x = −2
O Estado do Rio de Janeiro está na região Sudeste.
I. Proposição condicional VERDADEIRA;
II. Proposição condicional VERDADEIRA;
III. Proposição condicional FALSA;
IV. Proposição condicional VERDADEIRA.
Resposta: letra c.
7) Fábio e Gerson estão numa embarcação que se dirige de uma ilha para a praia. Durante o
trajeto, eles resolvem fazer uma parte do percurso nadando. Fábio deixa a embarcação na metade
do tempo total gasto por ele e nada durante a outra metade, enquanto Gerson deixa a embarcação
na metade da distância, nadando o restante do percurso. Eles nadam à mesma velocidade constante
e esta é menor do que a velocidade constante da embarcação. Nessas condições, é CORRETO
afirmar que
a) Fábio e Gerson chegarão juntos à praia.
b) Fábio chegará primeiro à praia.
c) Gerson chegará primeiro à praia.
d) Fábio ultrapassará Gerson em algum ponto do percurso a nado.
e) não se pode concluir quem chegará primeiro à praia.
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Solução:
Como a velocidade do barco é maior do que a velocidade em que ambos conseguem nadar, seguese que aquele que ficar mais tempo no barco chegará antes à praia. Desse modo, Fábio chegará
antes à praia.
Resposta: letra b.
8) A negação da proposição “Vera vai ao cinema ou à festa” é
a) “Vera vai ao cinema ou não vai à festa”.
b) “Vera não vai ao cinema ou não vai à festa”.
c) “Vera vai ao cinema e à festa”.
d) “Vera não vai ao cinema e vai à festa”.
e) “Vera não vai ao cinema e não vai à festa”.
Solução:
Para a negação de uma proposição disjuntiva, aplica-se De Morgan à proposição. Neste caso, temse: “Vera não vai ao cinema e não vai à festa”.
Resposta: letra e.
9) Se x e y são inteiros com x < y , definimos x ⊕ y como sendo a soma dos inteiros entre x e
10 ⊕ 14
é
y , incluindo x e y . Por exemplo, 7 ⊕ 10 = 7 + 8 + 9 + 10 = 34 . O valor numérico de
3⊕5
a) 2
b) 3
c) 5
d) 7
e) 12
Solução:
10 ⊕ 14 10 + 11 + 12 + 13 + 14
Usando-se a definição dada no enunciado, tem-se:
=
=5
3⊕5
3+ 4+5
Resposta: letra c.
10) Sabe-se que Nei tem um filho a menos que seu irmão Paulo; este, por sua vez, tem um filho a
menos que Raul. Se Raul tem o dobro de filhos que Nei, então os três irmãos, Nei, Paulo e Raul,
têm, em conjunto,
a) 6 filhos
b) 7 filhos
c) 8 filhos
d) 9 filhos
e) 10 filhos
Solução:
Montando-se equações:
N = P −1
P = R −1
R = 2N
Deve-se calcular N + P + R . O sistema acima é de fácil solução:
P = 2N −1
N = 2N − 2
N =2
Assim: P = 3 e R = 4 , e: N + P + R = 9
Resposta: letra d.
11) A negação da proposição “Todas as máquinas não são eficientes” é
a) “Nenhuma máquina é eficiente”.
b) “Todas as máquinas são eficientes”.
c) “Existe máquina que é eficiente”.
d) “Existe máquina que não é eficiente”.
e) “Não é verdade que todas as máquinas são eficientes”.
Solução:
A negação da proposição categórica Todo é: Algum não é... ou Existe um... que não é...
Resposta: letra c.
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12) o número 1234567812345678...12345678 possui 80 dígitos formado pela repetição da
seqüência de algarismos 12345678. Dividindo-se esse número por 9, obtém-se como resto o
número
a) 0
b) 3
c) 5
d) 6
e) 8
Solução:
Para que um número qualquer seja divisível por 9 é necessário que a soma de todos os seus
algarismos seja um múltiplo de 9. somando-se os algarismos de uma das seqüências do número
dado, tem-se 36, que é múltiplo de 9. Segue-se que o número dado é múltiplo de 9 e o resto da
divisão é zero.
Resposta: letra a.
13) Duas jarras contêm, cada uma, o mesmo volume de uma mistura de água e álcool, nas
proporções de 2:8 na primeira jarra e de 2:3 na segunda jarra. Juntando-se os conteúdos das duas
jarras, obtém-se uma mistura de água e álcool cuja proporção entre água e álcool é
a) 2:5
b) 3:7
c) 3:11
d) 4:11
e) 4:24
Solução:
Trata-se de um problema de proporção. Entretanto, só se podem somar as quantidades se ambas as
razões tiverem o mesmo número de partes (subdivisões). Veja que a primeira razão tem 10 partes
(2 partes de álcool + 8 partes de água), mas a segunda tem apenas 5 partes (2 partes de álcool + 3
partes de água).
2 2
Vamos montar as razões de outra forma, para melhor visualização: e
8 3
Para que a segunda razão fique com 10 partes, basta multiplicar ambos os membros por 2.
4
. Pronto! Ambas as razões agora têm 10 partes. Agora, podemos somar
ficaremos com:
6
2+4 6 3
numerador com numerador e denominador com denominador:
=
=
8 + 6 14 7
Resposta: letra b.
14) O arranjo parcialmente representado ao lado é
composto por 26 hexágonos, e foi montado com
canudos de comprimento igual ao lado do
hexágono. Para montar esse arranjo são
necessários, no mínimo,
a) 96 canudos
b) 101 canudos
c) 113 canudos
d) 123 canudos
e) 136 canudos
Solução:
A questão se resolve por observação: há 8 seqüências iguais (após a retirada dos 5 canudos à
esquerda, na figura acima).
A soma dos canudos dessas 8 seqüências é 8 × 11 = 88 . A seguir, contam-se mais 13 canudos que
não fazem parte da seqüência, perfazendo um total de 101 canudos.
Resposta: letra b.
15) Considere os seguintes argumentos:
I.
Se o leão é manso, então o coelho não é branco.
Como o coelho é branco, o leão não é manso.
II.
O anel é de aço ou a bolinha é de ferro.
O anel não é de aço – logo, a bolinha não é de ferro.
III. Se Denise canta, então Flávio chora.
Ora, Denise não canta, logo, Flávio não chora.
A atribuição de validade aos argumentos I, II e III forma, respectivamente, a seguinte seqüência:
a) válido, não-válido, não-válido.
b) não-válido, não-válido, não-válido.
c) válido, válido, não-válido.
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d) não-válido, não-válido, válido.
e) válido, não-válido, válido.
Solução:
I.
Sejam as proposições:
m : o leão é manso;
b : o coelho é branco.
Colocando-se o argumento em linguagem simbólica, vem:
Condição de Validade
V
P1 : m →~ b
V
P2 : b
C: ~m
V
Para que o argumento seja válido, deveremos iniciar impondo que a premissa 2 (a mais simples)
seja verdadeira. Desse modo, se a proposição b é verdadeira, então, na premissa 1 ~ b é falsa.
como a premissa 1 é uma proposição condicional, para que esta seja verdadeira, é necessário que a
proposição m seja falsa. Desse modo, sendo a proposição m falsa, segue-se que a conclusão é
verdadeira. Conclui-se que o argumento é válido.
(Experimente usar o Modus Ponens para obter uma solução muito mais rápida!)
II.
Sejam as proposições:
a : o anel é de aço;
f : a bolinha é de ferro.
Colocando-se o argumento em linguagem simbólica, vem:
Condição de Validade
V
P1 : a ∨ f
V
P2 : ~ a
C: ~ f
V
Novamente iniciamos pela premissa 2, pois é a mais simples. Ora, se ~ a é verdadeira, então, na
premissa 1, a é falsa. Mas a premissa 1 é uma proposição disjuntiva. Então a proposição f dever
ser, necessariamente, verdadeira, para que a premissa 1 seja verdadeira. Observa-se que, sendo f
verdadeira, tem-se que ~ f é falsa, isto é, chegamos a uma conclusão falsa, o que não satisfaz a
condição de validade do argumento. Assim sendo, este argumento é não-válido.
III. Sejam as proposições:
d : Denise canta;
f : Flávio chora.
Colocando-se o argumento em linguagem simbólica, vem:
Condição de Validade
V
P1 : d → f
V
P2 : ~ d
C: ~ f
V
Novamente iniciamos pela premissa 2, pois é a mais simples. Ora, se ~ d é verdadeira, então, na
premissa 1, d é falsa. Mas a premissa 1 é uma proposição condicional, que será sempre verdadeira
quando a proposição antecedente tiver valor lógico falso. Dessa forma, qualquer que seja o valor
lógico da proposição f , ter-se-á que a premissa 1 será verdadeira. Como não se pode determinar
com exatidão o valor lógico da proposição f , não se pode validar o argumento, visto que esta
proposição é a conclusão do argumento. Tem-se, portanto, um argumento não-válido.
(Experimente usar o Modus Ponens para obter uma solução muito mais rápida!)
Resposta: letra a.
16) A média aritmética de oito números é seis. Acrescentando-se-lhe mais um número, a nova
média é sete; o número acrescentado é
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a) 9
b) 12
c) 14
d) 15
e) 17
Solução:
Se a média aritmética de 8 números é 6, então a soma desses 8 números é 48. Para o cálculo da
48 + x
= 7 , logo, x = 15
nova média, basta fazer:
9
Resposta: letra d.
17) O retângulo da figura ao lado está dividido em 7 quadrados.
Se a área do quadrado menor é igual a 1 u. a., a área do retângulo
é igual a
a) 40 u.a.
b) 42 u.a.
c) 45 u.a.
d) 48 u.a.
e) 50 u.a.
Solução:
A questão se resolve por simples observação da figura dada (ver figura abaixo). Então a área do
retângulo é igual a 45 u.a.
Obs. A banca indica no gabarito a alternativa “a”. A resposta da banca está incorreta.
Resposta: letra c.
18) Considere as seguintes proposições:
p : “Hoje é quarta-feira”.
q : “Celso vai jogar boliche”.
A proposição composta ~ (~ p ∨ q ) , em linguagem corrente, é expressa pela declaração:
a) “Hoje é quarta-feira e Celso não vai jogar boliche”.
b) “Hoje é quarta-feira ou Celso não vai jogar boliche”.
c) “Hoje não é quarta-feira e Celso vai jogar boliche”.
d) “Hoje não é quarta-feira e Celso não vai jogar boliche”.
e) “Hoje não é quarta-feira ou Celso não vai jogar boliche”.
Solução:
Inicialmente, aplica-se Lei de De Morgan à proposição dada em linguagem simbólica:
~ (~ p ∨ q ) ⇔ p ∧ ~ q
Em linguagem corrente, a sentença acima fica: “Hoje é quarta-feira e Celso não vai jogar
boliche”.
Resposta: letra a.
19) A soma de sete números inteiros é ímpar. Com base nessa informação é CORRETO afirmar
que
a) pelo menos um desses números é ímpar.
b) pelo menos um desses números é par.
c) pelo menos dois desses números são ímpares.
d) nenhum desses números é par.
e) pelo menos dois desses números são pares.
Solução:
Somando-se 6 números pares, tem-se resultado par. Para que o resultado seja impar, ao se somar
mais um número, é necessário que o sétimo número somado seja ímpar.
Resposta: letra a.
20) As margaridas são mais baratas do que as rosas. André não tem dinheiro suficiente para
comprar uma dúzia de margaridas. Logo,
a) André tem dinheiro suficiente para comprar meia dúzia de margaridas.
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b) André tem dinheiro suficiente para comprar meia dúzia de rosas.
c) André não tem dinheiro suficiente para comprar meia dúzia de rosas.
d) André não tem dinheiro suficiente para comprar uma dezena de margaridas.
e) André não tem dinheiro suficiente para comprar uma dúzia de rosas.
Solução:
Como não se pode “quantificar” os valores das margaridas e rosas, só se pode saber que, se André
não pode comprar uma dúzia de margaridas, tampouco conseguirá comprar uma dúzia de rosas.
Resposta: letra e.
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1) Considere os seguintes argumentos quanto a sua validade (legitimidade).
I. Há, quando muito, um lógico incoerente. Aristóteles é um lógico incoerente. Flamarion não é
Aristóteles. Portanto, Flamarion é um lógico coerente.
II. Todo leão é feroz. Alguns leões não caçam. Portanto, alguns animais ferozes não caçam.
III. Existem pessoas naquele bar. Todas as pessoas que estão no bar são homens. Portanto, todas
as pessoas que freqüentam o bar são homens.
A seqüência que corresponde à atribuição CORRETA de validade para os argumentos é
a) válido, válido, válido
b) inválido, inválido, inválido
c) válido, inválido, válido
d) válido, válido, inválido.
e) inválido, válido, inválido
Solução:
Argumento I.
Conclusão: Flamarion pode não ser lógico (ver diagrama). O argumento é não-válido.
Argumento II:
O argumento é válido (ver parte hachurada no diagrama acima).
Argumento III:
O argumento não é válido.
Resposta: letra e.
2) Em uma empresa, trabalham Paulo, Sérgio e João, que são, não necessariamente nesta ordem,
administrador, contador e advogado. A respeito deles, podem-se fazer as seguintes afirmações:
• Paulo é administrador;
• Sérgio não é administrador;
• João não é advogado.
Considerando-se que somente uma das afirmações acima é verdadeira, conclui-se que o contador e
o administrador se chamam, respectivamente,
a) Paulo e Sérgio
b) Sérgio e João
c) João e Sérgio
d) Paulo e João
e) João e Paulo.
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Solução:
Se apenas uma das afirmações é verdadeira, inicia-se a análise considerando a primeira como
verdadeira: “Paulo é administrador”. A seguir, verifica-se que, desta forma, a segunda afirmação
também seria verdadeira. Ora, o enunciado afirma que apenas uma afirmação é verdadeira, logo,
a consideração inicialmente feita não é válida. Então, Paulo não é administrador. Tenta-se, agora,
atribuir como verdadeira a segunda afirmação: “Sérgio não é administrador”. Novamente
contraria-se desta forma o enunciado, pois se já se sabe que Paulo não é administrador e Sérgio
também não é administrador, então João deveria ser administrador e a afirmação “João não é
advogado” seria verdadeira. Como há apenas uma afirmação verdadeira, conclui-se que a segunda
afirmação é falsa; portanto “Sérgio é administrador”. Como a afirmação “João não é advogado” é
a única verdadeira, então João só pode ser contador e Paulo é advogado.
Resposta: letra c.
3) Os dados mostrados abaixo têm apenas duas faces com algo inscrito: a da frente e a de baixo.
Todos os dados têm, numa dessas duas faces, uma “lua” ou um “coração”, mas um mesmo dado
não pode ter inscritas essas duas figuras. O menor número de dados a serem virados para revelar se
é verdadeira ou falsa a proposição “Se um dado tem um coração em uma das faces, então na outra
há um raio” é
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
Solução:
Da proposição condicional dada, pode-se escrever:
c : uma face do dado tem um coração;
r : uma face do dado tem um raio.
A proposição dada, em linguagem simbólica é: c → r , cuja tabela verdade é:
c
c→r
r
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
e) 5
Sabe-se que apenas duas faces de cada dado têm figura e que as figuras lua e coração não estarão
juntas no mesmo dado, mas que, cada dado tem uma dessas duas figuras em uma de suas faces.
Como se pede que a proposição: “Se um dado tem um coração em uma das faces, então na outra
há um raio” seja verdadeira ou falsa, não se necessita virar os dados das extremidades, nem o
dado do meio (que, neste caso já tem a primeira proposição verdadeira, e, qualquer que seja a
figura da outra face, tornará a proposição condicional verdadeira ou falsa). Como os dois dados
que contém um raio já colocam a proposição condicional dada na condição de verdadeira, restanos afirmar que não se necessitam virar nenhum dos dados para se ter a proposição condicional
verdadeira ou falsa. há, portanto uma incoerência na proposição da questão, que deveria ter sido
anulada!
O gabarito da banca é a letra b.
Resposta: letra ?
4) A figura ao lado mostra o mapa imaginário de uma cidade
constituída por cinco bairros. Deseja-se colorir cada bairro com
uma das cores vermelha, azul ou amarela, de maneira que, dois
bairros vizinhos não possuam a mesma cor. O número de
maneiras diferentes segundo as quais o mapa pode ser pintado é
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a) 6
b) 12
c) 24
d) 48
e) 120
Solução:
O bairro do centro poderá ter qualquer uma das 3 cores. Para cada cor colocada no bairro do
centro, há apenas duas possibilidades de se colorir os outros 4 bairros, sem que bairros adjacentes
fiquem coloridos com a mesma cor. Desse modo há 3 × 2 = 6 possibilidades de se colorir o mapa.
Resposta: letra a.
5) Sejam as faces X e Y de um cartão em branco. Escreve-se no lado X a afirmação “A proposição
que está escrita no lado Y é verdadeira”,e, no lado Y, “A proposição que está escrita no lado X é
falsa”. Chamando-se de p a proposição que está escrita no lado X e de q a que está escrita no
lado Y, pode-se afirmar que
a) a situação configura um paradoxo e p é verdadeira se, e semente se, p é falsa.
b) a situação configura um paradoxo e p é verdadeira se, e semente se, q é verdadeira.
c) a situação não configura um paradoxo; assim, p é verdadeira e q é falsa.
d) a situação não configura um paradoxo; assim, p é verdadeira e q é falsa.
e) ambas ( p e q ) são verdadeiras.
Solução:
p : a proposição que está escrita no lado Y é verdadeira;
q : proposição que está escrita no lado X é falsa.
Fica fácil analisar, visto que, se a proposição p for verdadeira, haverá uma contradição com a
proposição q , que deveria ser, necessariamente, falsa.
Resposta: letra a.
6) Sejam Carla, Igor e Fábio, três colegas de uma turma da disciplina de MTM_LOG, a respeito
dos quais podemos fazer as seguintes afirmações:
• não é verdade que Carla é mais alta que Fábio;
• não é verdade que Fábio é mais alto que Igor;
• não é verdade que Igor e Carla são os mais inteligentes dessa turma de MTM_LOG;
• é verdade que Carla e Fábio são estudiosos.
Com base nessas afirmações, pode-se concluir que
a) Carla e Fábio são os mais altos dessa turma de MTM_LOG.
b) não é verdade que Carla e Fábio são os mais estudiosos dessa turma de MTM_LOG.
c) Igor é o mais alto dessa turma de MTM_LOG.
d) não é verdade que Igor é mais baixo que Carla e Fábio.
e) Carla é mais estudiosa e mais inteligente que Igor.
Solução:
Colocando-se as afirmações na linguagem simbólica:
• não é verdade que Carla é mais alta que Fábio: ~ (C > F ) ;
• não é verdade que Fábio é mais alto que Igor: ~ (F > I ) ;
• não é verdade que Igor e Carla são os mais inteligentes da turma: ~ (Ci ∧ Ii ) ;
• é verdade que Carla e Fábio são estudiosos: Ce ∧ Fe .
Reescrevendo-se as três primeiras (por De Morgan):
• C≤F;
• F≤I;
• ~ Ci ∨ ~ Ii
Analisando-se as alternativas pode-se dizer que “não é verdade que Igor é mais baixo que Carla e
Fábio”, visto que Igor pode ter a mesma altura que Carla e Fábio.
Resposta: letra d.
7) Sejam dadas as premissas “Alguns engenheiros são estudiosos” e “Todos os engenheiros são
aprovados no teste”. Para que se tenha um argumento válido, pode-se concluir que
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a) “Todos os estudiosos são engenheiros”.
b) “Todos os estudiosos são aprovados no teste”.
c) “Alguns estudiosos são aprovados no teste”.
d) “Todos os aprovados no teste são engenheiros”.
e) “Todos os aprovados no teste são estudiosos”.
Solução:
No diagrama acima, N representa o conjunto dos engenheiros, E representa o conjunto dos
estudiosos e A representa o conjunto dos aprovados no teste. A conclusão do argumento é
“Alguns estudiosos são aprovados no teste”
Resposta: letra c.
8) Considere o enunciado “Alguns administradores são mais estudiosos do que os outros
administradores”, cujos elementos são submetidos à seguinte convenção notacional:
Ax : x é administrador.
Exy : x é mais estudioso que y .
O enunciado pode ser simbolizado por
a) ∃ x, y ((( Ax ∧ Ay ) ∧ x ≠ y ) ∨ Exy )
b) ∃ x, y ((( Ax ∧ Ay ) ∧ x ≠ y ) ∧ Exy )
c) ∃ x, y ((( Ax ∨ Ay ) ∧ x ≠ y ) ∧ Exy )
d) ∃ x, y ((( Ax ∨ Ay ) ∧ x ≠ y ) ∨ Exy )
e) ∃ x, y ((( Ax ∨ Ay ) ∨ x ≠ y ) ∨ Exy )
Solução:
Para se estabelecer a convenção notacional de uma proposição categórica, é preciso saber que:
Alguns = Existem = ∃ ;
Todo = ∀
Nenhum = ∃/
Colocando-se a proposição dada na convenção notacional, vem: ∃ x, y ((( Ax ∧ Ay ) ∧ x ≠ y ) ∧ Exy )
Resposta: letra b.
9) Dada a proposição “Não é verdade que, se a empresa não obtém lucro, então o gerente de
vendas é demitido”. A negação dessa proposição pode ser descrita por
a) “A empresa obteve lucro ou o gerente de vendas não é demitido”.
b) “A empresa não obteve lucro ou o gerente de vendas não é demitido”.
c) “A empresa não obteve lucro e o gerente de vendas é demitido”.
d) “A empresa não obteve lucro ou o gerente de vendas é demitido”.
e) “A empresa obteve lucro ou o gerente de vendas é demitido”.
Solução:
A proposição dada já traz a negação de uma proposição condicional, ou seja:
~ ( p → q) ⇔ p∧ ~ q
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Negar a sentença acima, significa negar o segundo membro dessa proposição. Por De Morgan,
tem-se: ~ ( p ∧ ~ q ) ⇔ ~ p ∨ q , que, em linguagem corrente fica: “A empresa obtém lucro ou o
gerente de vendas é demitido”.
Resposta: letra e.
10) Sejam as propostas notacionais:
Mx : x é um problema de matemática;
Lx : x é um problema de lógica;
Fx : x é fácil;
Cxy : x é mais complicado de resolver do que y
Considerem-se, além disso, as seguintes sentenças:
I. Existem problemas fáceis de matemática.
II. Nenhum problema de lógica é difícil.
III. Os problemas de matemática são mais complicados de resolver do que os problemas de lógica.
A seqüência que corresponde, respectivamente, a uma representação simbólica das sentenças I, II e
III, utilizando a notação oferecida, é
a) ∃ x (Mx ∧ Fx ) ; ∀x(Lx → Fx ) ; ∀x[Mx → ∀y (Ly → Cxy )]
b) ∃ x (Mx ∧ Fx ) ; ~ ∀x(Lx → Fx ) ; ∀x[Mx → ∀y (Ly → Cxy )]
c) ∃ x (Mx → Fx ) ; ∃x(Lx → Fx ) ; ∀x[Lx → My (Ly → Cxy )]
d) ∃ x (Mx ∨ Fx ) ; ∃x(Lx ∧ Fx ) ; ∀x[Mx →~ ∀y (Ly → Cxy )]
e) ∃ x (Mx ∨ Fx ) ; ∀x(Lx ∨ Fx ) ; ∀x[Lx → ∀y (My ∨ Cxy )]
Solução:
Para se estabelecer a convenção notacional de uma proposição categórica, é preciso saber que:
Alguns = Existem = ∃ ;
Todo = ∀
Nenhum = ∃/
Colocando-se as proposições dadas em convenção notacional, tem-se:
I. Existem problemas fáceis de matemática: ∃ x (Mx ∧ Fx ) ;
II. Nenhum problema de lógica é difícil: ∀x(Lx → Fx ) ;
III. Os problemas de matemática são mais complicados de resolver do que os problemas de lógica:
∀x[Mx → ∀y (Ly → Cxy )]
Resposta: letra a.
11) A negação de “Carmelinda é magra e loira” pode ser descrita por
a) “Carmelinda não é magra e não é loira”.
b) “Carmelinda não é magra ou é loira”.
c) “Carmelinda é magra e não é loira”.
d) “Carmelinda não é magra ou não é loira”.
e) “Carmelinda é magra ou não é loira”.
Solução:
A proposição dada em linguagem simbólica pode ser escrita como: m ∧ l . A negação da
proposição acima (por De Morgan) fica: ~ m∨ ~ l , que, em linguagem corrente é: “Carmelinda
não é magra ou não é loira”.
Resposta: letra d.
12) Uma leitura da negação de “Todo quadrilátero que tem quatro ângulos congruentes tem quatro
lados congruentes” pode ser
a) “Ou o quadrilátero tem quatro ângulos congruentes ou tem quatro lados congruentes”.
b) “Todo quadrilátero que tem quatro ângulos congruentes não tem quatro lados congruentes”.
c) “Nem todo quadrilátero que tem quatro ângulos congruentes tem quatro lados congruentes”.
d) “O quadrilátero não tem quatro ângulos congruentes e não tem quatro lados congruentes”.
e) “Todo quadrilátero que não tem quatro ângulos congruentes não tem quatro lados congruentes”.
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Solução:
A negação da proposição categórica Todo pode ser Algum... não é... ou “Nem todo... é...”
Resposta: letra c.
13) Considere as proposições abaixo
I. Todo S é P.
II. Nenhum S é P.
III. Algum S é P.
IV. Nenhum S não é P.
Supondo que a proposição categórica “Algum S não é P” seja falsa, a seqüência formada pelo
valor verdade (V, se verdade; F, se falso) das proposições apresentadas é, respectivamente,
a) V V V V
b) V F V F
c) F V F F
d) V F V V
e) F F F F
Solução:
Todo S é P
Nenhum S é P
Algum S é P
Nenhum S não é P
Se a proposição “Algum S não é P” é falsa, segue-se que “Todo S é P”. Desse modo, as
afirmações I e IV já são, automaticamente, verdadeiras. Se não há S que não seja P, a afirmação II
é falsa e a afirmação III é verdadeira.
Resposta: letra d.
14) João falou para seus alunos na aula de lógica formal:
“Se o princípio da lógica for entendido, então a aula é proveitosa, todavia, a aula será proveitosa
somente se vocês prestarem atenção”.
Advertiu ainda sobre o fato de que a aula poderia ser proveitosa, mesmo que o princípio da lógica
não fosse compreendido. Sabe-se que os alunos não prestaram atenção à aula.
Logo, pode-se concluir que
a) a aula foi proveitosa e o princípio da lógica foi entendido.
b) a aula foi proveitosa ou o princípio da lógica foi entendido.
c) a aula não foi proveitosa ou os alunos entenderam o princípio da lógica.
d) a aula foi proveitosa e o princípio da lógica não foi entendido.
e) a aula não foi proveitosa e os alunos não entenderam o princípio da lógica.
Solução:
Trata-se de um argumento lógico. Colocando-se as proposições na linguagem simbólica:
e : o princípio da lógica foi entendido;
p : a aula foi proveitosa;
a : os alunos prestaram atenção;
O argumento, em linguagem simbólica fica:
Condição de validade
e
→
p
V
P1 :
a
p
↔
V
P2 :
V
P3 : p →~ e
~a
V
P4 :
C:
V
?
A premissa 4 é verdadeira. Desse modo, na premissa 2 ter-se-á que p deverá ser falsa. Na
premissa 1, sendo p falsa, e também o será. Desse modo, na premissa 3, ajustam-se,
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naturalmente, os valores lógicos, para que esta seja verdadeira. A conclusão é ~ p ∧ ~ e , que, em
linguagem corrente fica: “A aula não foi proveitosa e os alunos não entenderam o princípio da
lógica”.
Resposta: letra e.
15) Quatro jogadores de futebol, a saber, o goleiro, o atacante, o meio de campo e o lateral, estão
numa fila. Sabe-se que:
I. o goleiro está após o jogador de meio de campo;
II. o lateral está antes do atacante;
III. o jogador que está imediatamente após o lateral, é mais alto do que o que está antes deste;
IV. o atacante é o mais baixo de todos.
Considerando a fila da esquerda para a direita, a seqüência que contém a posição CORRETA dos
quatro jogadores é
a) meio de campo, goleiro, lateral e atacante.
b) lateral, meio de campo, atacante e goleiro.
c) lateral, atacante, meio de campo e goleiro.
d) meio de campo, lateral, goleiro e atacante.
e) meio de campo, lateral, atacante e goleiro.
Solução:
Colocando-se os jogadores nas posições indicadas pelas afirmações do enunciado, tem-se:
I. o goleiro está após o jogador de meio de campo: MC ...........G;
II. o lateral está antes do atacante: L..............A;
III. o jogador que está imediatamente após o lateral, é mais alto do que o que está antes deste: há
um jogador após o lateral e um antes dele. Com as afirmações I e II, pode-se escrever:
MC, L, G, A;
IV. o atacante é o mais baixo de todos: .
Resposta: letra d.
16) A proposição “É necessário que todos os administradores saibam lógica” é equivalente a
a) “Nenhum administrador sabe lógica”.
b) “Não é verdade que existe administrador que não sabe lógica”.
c) “Não é verdade que todo administrador sabe lógica”.
d) “Existe administrador que não sabe lógica”.
e) “Todo administrador não sabe lógica”.
Solução:
A equivalente é obtida por dupla negação da proposição dada. A negação da proposição categórica
Todo é Algum... não é... Desse modo, a dupla-negação ficará: “Não é verdade que existe
administrador que não saiba lógica”. Lembre-se de que Algum e Existe são sinônimos.
Resposta: letra b.
17) Sabe-se que “Se chegam visitas, o cachorro late”. Assim, é CORRETO afirmar que
a) se não chegarem visitas, então o cachorro não latirá.
b) o fato de chegarem visitas é condição necessária para o cachorro latir.
c) o fato de chegarem visitas é condição suficiente para o cachorro latir.
d) o cachorro só vai latir se chegarem visitas.
e) se o cachorro latiu, então chegaram visitas.
Solução:
A proposição condicional tem, em sua proposição antecedente uma condição suficiente para sua
proposição conseqüente. Desse modo, o fato de chegarem visitas é condição suficiente para o
cachorro latir.
Resposta: letra c.
18) Considere as seguintes proposições.
• “Quem sabe pintar não é insensível”.
• “Mutantes não sabem escrever”.
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• “Quem não sabe escrever é insensível”.
Uma conclusão possível pode ser escrita como
a) “Os seres insensíveis não sabem escrever”.
b) “Mutantes não sabem pintar”.
c) “Seres que não sabem pintar são insensíveis”.
d) “Seres que sabem escrever não são insensíveis”.
d) “Seres que não sabem escrever são mutantes”.
Solução:
Sejam os conjuntos: P : sabem pintar; M : mutantes; E : não sabem escrever; e I : insensíveis.
Colocando-se as premissas na forma de diagramas, vem:
Conclusão: Mutantes não sabem pintar.
Resposta: letra b.
19) Às 18h havia, no estacionamento da empresa Avadex, quatro carros distintos com quatro cores
distintas. Sabe-se que eram um Corsa, um Ka, um Gol e um Uno nas cores branca, vermelha,
verde e preta, mas não necessariamente nessa ordem. Os donos dos veículos estavam trabalhando
na empresa. Considerem-se as afirmativas seguintes:
• o advogado tem um carro branco;
• o Ka é preto;
• o carro do gerente não é verde;
• o Corsa não é branco;
• a secretária não tem um carro preto;
• às 19h, há apenas dois carros no estacionamento – o Gol e o Corsa – e a secretária e o contador
já foram embora.
Com base nos dados anteriores e supondo que cada funcionário foi embora com seu próprio carro,
uma das soluções combinatórias corretas para essas afirmativas é:
a) O advogado tem um Gol, o carro do gerente é o Corsa e o Uno é vermelho.
b) O gerente tem um Ka, a secretária tem um carro vermelho e o Uno é verde.
c) A secretária tem um Uno, o advogado tem um Gol e o carro preto pertence ao gerente.
d) O contador possui um Uno, o carro verde é do gerente e o vermelho é da secretária.
e) O advogado tem um Gol, o carro preto é do contador e o Uno pertence à secretária.
Solução:
Com as afirmações feitas, pode-se completar o quadro abaixo:
Advogado Gerente Secretária Contador
Carro
Gol
Corsa
Uno
Ka
Cor
branca
Vermelho
Verde
Preto
Resposta: letra e.
20) A proposição composta “Maria vai ao cinema, ou não é verdade que Maria vai ao cinema e
João vai ao médico” é
a) uma tautologia.
b) uma contingência.
c) uma contradição.
d) um silogismo.
e) um paradoxo.
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Solução:
Em linguagem simbólica:
c : Maria vai ao cinema;
m : João vai ao médico.
A proposição dada pode ser escrita, em linguagem simbólica como: c∨ ~ (c ∧ m ) . Por De Morgan,
a expressão do parênteses fica: c∨ ~ c∨ ~ m , que é uma tautologia para qualquer valor lógico da
proposição c .
Resposta: letra a.
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1) Um fazendeiro contratou uma empresa para a construção de uma estrada de 5 km de extensão.
Como o terreno em que seria construída a estrada não era regular e o grau de dificuldade da
construção da mesma era crescente, os pagamentos deveriam ser realizados nas seguintes
condições: R$ 1.000,00 pelos primeiros 500 m, R$ 2.000,00 pelos 500 m seguintes, e assim por
diante, aumentando-se sempre de R$ 1.000,00 o valor do serviço a cada 500 m. Considerando-se
esses dados, o valor total que a empresa recebeu foi de
a) R$ 10.000,00
b) R$ 11.000,00
c) R$ 40.000,00
d) R$ 55.000,00
e) R$ 110.000,00
Solução:
A situação proposta indica que os pagamentos foram feitos sob a forma de uma progressão
aritmética de razão igual a R$ 1.000,00. O valor obtido pelo serviço é dado pela soma dos 10
termos (pois 10 × 500m = 5km ) da progressão aritmética.
(a + an ) ⋅ n (fórmula da soma de n termos de uma progressão aritmética), e
Sn = 1
2
a n = a1 + (n − 1) ⋅ r (fórmula do termo geral de uma progressão aritmética)
Tem-se, pelos dados da questão:
a1 = 1000 ; r = 1000 e n = 10
Assim, calculam-se:
a10 = 1000 + (10 − 1) ⋅ 1000 = 10000
(1000 + 10000) ⋅10 = 55000
S10 =
2
Resposta: letra d.
2) A diferença entre o comprimento x e a largura y de um paralelepípedo reto é de 3 cm,
enquanto a diferença entre a altura z e o comprimento x é de 5 cm. Sabendo-se que 4 e -3 são
raízes do polinômio p( x ) = x 3 + 2 x 2 − 15 x − 36 , e que o volume do paralelepípedo é menor que 36
cm 3 e diferente de zero, uma das soluções corretas para o problema prevê que
a) o comprimento x deve ser maior que 3 cm e menor que 5 cm.
b) o comprimento x deve ser maior que 3 cm e menor que 4 cm.
c) o comprimento x deve ser maior que zero e menor que 3 cm.
d) o comprimento x deve ser maior que zero e menor que 4 cm.
e) o comprimento x deve ser maior que 4 cm e menor que 6 cm.
Solução:
Pelos dados do problema, tem-se:
x− y =3
z−x=5
V = xyz < 36
O polinômio dado está em função do comprimento x do paralelepípedo.
Com as equações dadas, podemos escrever:
y = x−3
Substituindo-se estes resultados na inequação do produto:
z = x+5
x ⋅ ( x − 3) ⋅ ( x + 5) < 36
A expansão da inequação ao lado é dada pelo polinômio que consta no
x ⋅ ( x − 3) ⋅ ( x + 5) − 36 < 0
enunciado da questão, ou seja: p( x ) = x 3 + 2 x 2 − 15 x − 36 .
Então, temos a seguinte inequação: x 3 + 2 x 2 − 15 x − 36 < 0
No enunciado, foram dadas as raízes do polinômio, para facilitar a resolução...
Como 4 é a maior raiz do polinômio e x deve ser maior do que 3, pois y = x − 3 , então,
3< x <4
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Resposta: letra b.
3) Godofredo possui um cofre que tem 4 rodas na fechadura da porta, sendo que cada uma delas
tem 9 números que vão de 1 a 9. ele esqueceu o segredo, mas sabe que os quatro números são
distintos, que os números da primeira e da última rodas são ímpares, e que o da segunda e da
terceira são pares e um é múltiplo do outro. Como não gosta do número 4, ele também sabe que o
4 não faz parte do segredo do cofre. Assim, o número máximo de tentativas que Godofredo deverá
fazer para abrir seu cofre é
a) 80
b) 100
c) 120
d) 150
e) 180
Solução:
Para o número que ocupa a primeira posição do segredo, Godofredo tem 5 possibilidades:
{1,3,5,7,9}. Observe que, ao usar um desses números na primeira casa, Godofredo terá apenas 4
deles para a última casa (lembre-se: o segredo tem algarismos distintos, isto é, nenhum deles se
repete!). Para a segunda casa, Godofredo tem os seguintes algarismos pares: {2,6,8}, entretanto,
ele só poderá usar os pares {2,6} e {2,8}, visto que o par {6,8} está descartado, pois não forma um
par em que um dos números é múltiplo do outro. Disto resulta o seguinte (pelo Princípio
Fundamental da Contagem): 5 × 2 × 2 × 4 = 80
Resposta: letra a.
4) Em uma confeitaria, 4 doceiras trabalham 6 horas por dia de maneira a produzirem 120 doces
diariamente. Essa confeitaria recebeu uma encomenda de 2.000 doces e, para cumprir o prazo
estipulado, contratou mais 6 doceiras que, juntamente com as demais, passaram a trabalhar 8 horas
diárias, exclusivamente para atender essa encomenda. Supondo-se que as novas doceiras trabalhem
no mesmo ritmo das demais, o prazo de entrega da encomenda é de
a) 3 dias
b) 4 dias
c) 5 dias
d) 6 dias
e) 7 dias
Solução:
doceiras
h/dia
dias
doces
4
6

 1  120
10
8

 x  2000
inversa
inversa
direta
(consulte o arquivo ANPAD_Regras_de_Três_Passo-a-passo)
4 × 6 × 2000
x=
=5
10 × 8 × 120
Resposta: letra c.
5) Uma indústria fabrica três modelos diferentes de sofás: Berlin, Paris e Veneza. Abaixo, a Tabela
1 mostra o número de almofadas e de “pufs” que acompanham cada modelo, e a Tabela 2 mostra a
produção que a fábrica planeja alcançar para os meses de janeiro e fevereiro.
Modelo
Mês
Componentes
Modelo
Berlin Paris Veneza
janeiro fevereiro
Almofadas
4
6
8
Berlin
500
600
“Pufs”
2
3
4
Paris
200
300
Veneza
300
250
As quantidades de almofadas e de “pufs” que deverão ser produzidos nesses dois meses são,
respectivamente.
a) 5.600 e 5.900
b) 5.600 e 2.800
c) 6.200 e 3.100
d) 11.800 e 2.800
e) 11.800 e 5.900
Solução:
Basta realizar o produto matricial:
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500 600
200 300 


300 250
4 6 8  5600 6200
2 3 4 2800 3100

 

A soma das linhas da matriz-produto indica, respectivamente, o total de almofadas e de “pufs”:
5600 + 6200 = 11800
2800 + 3100 = 5900
Resposta: letra e.
6) Em um supermercado, um cartaz anuncia a seguinte promoção:
Capa de filé – R$ 4,00 (o quilo)
Na compra igual ou acima de 5 kg e abaixo de 10 kg, 10% de desconto sobre o valor total.
Na compra igual a ou acima de 10 kg, 15% de desconto sobre o valor total
A partir das informações constantes nesse cartaz, pode-se afirmar que a função v que melhor
representa o valor a ser pago por x quilos de capa de filé é
a) v( x ) = 4 x
4 x,

b) v( x ) = 0,4 x,
0,6 x,

0< x<5
4 x,

c) v( x ) = 3,6 x,
3,4 x,

0< x<5
5 ≤ x < 10
x ≥ 10
5 ≤ x < 10
x ≥ 10
0< x<5
4 x,

d) v( x ) = 4 x − 10, 5 ≤ x < 10
4 x − 15,
x ≥ 10

0< x<5
4 x,

e) v( x ) = 4 x − 1,0 x, 5 ≤ x < 10
4 x − 0,15 x,
x ≥ 10

Solução:
Descontando-se 10% de 4,00, tem-se: 3,60
Descontando-se 15% de 4,00, tem-se: 3,40
Resposta: letra c.
7) Um médico receitou a um paciente 10.000 gotas de um medicamento
injetável (tipo soro). O frasco que contém o medicamento tem a forma de
um cilindro circular reto de diâmetro igual a 4 cm e altura igual a 8 cm. O
líquido no frasco, porém, fica na marca de 1 cm abaixo da borda do
cilindro, conforme mostra a figura. Admitindo-se que uma gota é uma
esfera de raio 0,2 cm e utilizando-se π = 3, pode-se afirmar que
a) será necessário adquirir 4 frascos de soro.
b) será necessário adquirir 3 frascos de soro.
c) em cada frasco cabem 3.500 gotas de soro.
d) em cada frasco cabem 3.300 gotas de soro.
e) o volume do frasco é de 168 cm 3 .
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Solução:
O formulário foi fornecido na primeira página da prova!
Calculam-se o volume do líquido contido em um frasco (volume do cilindro) e o volume de uma
gota do medicamento (volume da esfera)
Volume do medicamento contido no frasco: Vc = π ⋅ r 2 ⋅ h = 3 ⋅ 2 2 ⋅ 7 = 84 cm 3
4
4
3
Volume de cada gota do medicamento: Ve = ⋅ π ⋅ r 3 = ⋅ 3 ⋅ (0,2 ) = 0,032 cm 3
3
3
Em um frasco, então, cabem 84 ÷ 0,032 = 2625 gotas.
O paciente deverá adquirir no mínimo 4 frascos do medicamento.
Resposta: letra a.
8) Em uma empresa foi realizada uma pesquisa com 1.000 funcionários sobre o número de filhos
de cada um deles. Os dados obtidos foram organizados na tabela abaixo.
0 1 2 3 4
5
Total
Número de filhos ( x )
Freqüência relativa (%) 10 35 28 20 5,5 1,5 100%
Baseando-se nessa tabela, pode-se afirmar que
a) existe uma tendência de os funcionários terem, aproximadamente, 3 filhos.
b) existe uma tendência de os funcionários terem, aproximadamente, 2 filhos.
c) existe uma tendência de os funcionários terem, aproximadamente, 1 filho.
d) 10% dos funcionários têm 4 ou 5 filhos.
e) 45% dos funcionários têm 2 ou 3 filhos.
Solução:
A média do conjunto dado é: x = 0 × 0,10 + 1 × 0,35 + 2 × 0,28 + 3 × 0,20 + 4 × 0,055 + 5 × 0,015 ≅ 1,8
Resposta: letra b.
9) Ainda a partir dos dados da tabela da questão 28, a probabilidade de um funcionário escolhido
ao acaso ter menos de três filhos é de
a) 0,93
b) 0,73
c) 0,63
d) 0,27
e) 0,07
Solução:
10% + 35% + 28% = 73%, ou 0,73
Resposta: letra b.
1
10) Sabendo-se que 0 ≤ x ≤ π , a solução da inequação < senx ≤ 1 é
2
π
π
π
3π
b) 0 < x ≤
c) < x <
a) 0 ≤ x <
3
3
4
4
π
π
5π
5π
d) < x <
e) < x ≤
6
6
6
6
Solução:
No gráfico acima estão assinalados os ângulos cujo seno é igual a
enunciado,
1
. Mas, de acordo com o
2
1
< senx ≤ 1 , o ângulo x não poderá assumir os valores extremos do intervalo, logo:
2
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π
5π
6
6
Resposta: letra d.
11) Em uma empresa, 30% dos funcionários cursaram apenas o Ensino Fundamental, 45%
cursaram apenas o Ensino Fundamental e Médio e o restante, além do Ensino Fundamental e
Médio, têm nível superior. Entre os que cursaram apenas o Ensino Fundamental, 20% trabalham
no setor A; entre os que cursaram apenas o Ensino Médio além do Fundamental, 10% trabalham
no mesmo setor A; e entre os que têm nível superior além do Ensino Fundamental e Médio, 3%
trabalham nesse setor A. Um funcionário desse setor pediu demissão; a probabilidade aproximada
de ele ter nível superior é de
a) 0,15
b) 0,13
c) 0,10
d) 0,09
e) 0,07
Solução:
Pelo modo prático3 de se resolver problemas pelo Teorema de Bayes...
Tomam-se 2000 funcionários (neste caso, tomam-se 2000 para facilitar os cálculos...). Então, temse:
600 cursaram apenas o Ensino Fundamental;
900 cursaram apenas o Ensino Fundamental e Médio;
500 têm nível superior.
20% de 600 = 120 cursaram apenas o Ensino Fundamental e trabalham no setor A;
10% de 900 = 90 cursaram apenas o Ensino Fundamental e Médio e trabalham no setor A;
3% de 500 = 15 têm nível superior e trabalham no setor A.
No caso acima, tem-se um total de 120 + 90 + 15 = 225 funcionários no setor A. dentre eles, há 15
com nível superior. Assim a probabilidade de o funcionário do setor A que pediu demissão ter
nível superior é dada por 15/225 = 0,0666...
Resposta: letra e.
12) Gumercindo foi ao banco resgatar um título, após 6 meses de aplicação, e recebeu R$ 39.200.
No momento do resgate, foi informado de que esse montante incluía R$ 4.200,00 referentes aos
juros do período. Assim, a taxa de juros anual é de
a) 12,44%
b) 14,40%
c) 25,44%
d) 30,12%
e) 35,44%
Solução:
Foram dados o montante ( M = 39200 ); os juros ( J = 4200 ) e o prazo, em meses, ( n = 6 ).
n
Fórmula: M = C ⋅ (1 + i ) . A taxa e o prazo devem estar na mesma referência de tempo, logo,
1
n = ano. O capital é calculado subtraindo-se os juros do montante, o que resulta em C = 35000 .
2
39200
12
12
12
Da fórmula, vem: 39200 = 35000 ⋅ (1 + i ) ⇒ (1 + i ) =
⇒ (1 + i ) = 1,12 . Elevando-se
35000
<x<
[
]
ambos os membros ao quadrado: (1 + i )
= (1,12) ⇒ (1 + i ) = 1,2544 ⇒ i = 25,44% ao ano.
Resposta: letra c.
13) Uma escola foi construída num lote retangular
de 1.750 m 2 de área. A parte térrea da escola é
também retangular e possui 600 m 2 de área, com
perímetro de 140 m. Os possíveis valores do
comprimento e da largura do lote, considerando-se
as indicações apresentadas na figura ao lado, são,
respectivamente.
a) 100m e 17,5 m
b) 87,5 m e 20 m
c) 70 m e 25 m
d) 60 m e 10 m
e) 50 m e 35 m.
3
12 2
2
Visto em nossas aulas do curso preparatório.
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Solução:
A figura acima foi cotada com as medidas desconhecidas. As medidas solicitadas na questão são
(x + 15) e y .
Os dados do problema permitem que se escrevam as seguintes equações:
xz = 600
Equação I
2 ⋅ ( x + z ) = 140 ⇒ ( x + z ) = 70
Equação II
(x + 15) ⋅ y = 1750
Equação III
600
600 

. Substituindo-se na Equação II:  x +
Da Equação I, vem: z =
 = 70 ⇒
x 
x

x 2 − 70 x + 600 = 0 , cujas raízes são 10 e 60 (que são as dimensões da escola: x = 10 e z = 60 ).
As dimensões do terreno são 25 e 70 (substitua o valor de x na Equação III e calcule y )
Resposta: letra c.
14) Considere o triângulo cujos vértices são os pontos A(4, 2), B(-3, -1) e C(-5, 0). Sobre o
perímetro P do triângulo ABC, pode-se afirmar que
a) é 15
b) é menor que 15
c) é maior que 21
d) pertence ao intervalo [18, 21]
e) pertence ao intervalo [15, 18]
Solução:
Utiliza-se a fórmula da distância entre dois pontos para o cálculo dos lados do triângulo:
d A, B =
(x B − x A )2 + ( y B − y A )2
.
Assim, a distância entre os vértices A e B é: d A, B =
(− 3 − 4)2 + (− 1 − 2)2
Distância entre os vértices A e C é: d A,C =
(− 5 − 4)2 + (0 − 2)2
= 85
Distância entre os vértices B e C é: d B ,C =
(− 5 + 3)2 + (0 + 1)2
= 5
= 58
Obtém-se o valor aproximado para o perímetro do triângulo, já que a soma 58 + 85 + 5 não
pode ser determinada com exatidão nas condições da prova...
Observe que 58 deve ser um valor maior do que 7; 85 deve resultar em um valor maior do que
(
)
9 e 5 deve ser maior do que 2. Então 58 + 85 + 5 > 18
Resposta: letra d.
15) O total de anagramas da palavra ANPAD é exatamente igual à medida, em graus, do ângulo de
um triângulo compreendido entre dois lados congruentes que medem 5 cm cada. Pode-se afirmar
que
a) o triângulo é eqüilátero e tem o perímetro de 15 cm.
b) o triângulo é eqüilátero e tem o perímetro de 16 cm.
c) o triângulo é eqüilátero e tem o perímetro de 20 cm.
d) o triângulo é isósceles e os ângulos da base medem 30º cada.
e) o triângulo é isósceles e os ângulos da base medem 70º cada.
Solução:
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O número de anagramas da palavra ANPAD é calculado pela fórmula da permutação com
5! 120
repetição: P52 = =
= 60 . Se dois lados congruentes de um triângulo formam um ângulo de
2!
2
60º, então este triângulo é eqüilátero. Então o perímetro do triângulo de lado igual a 5 cm é 15 cm.
Resposta: letra a.
16) Em relação aos intervalos de números reais A = ]− 2,5[ e B = [3,+∞[ , analise as afirmações
abaixo quanto a sua veracidade
I. A ∩ B = [3,5]
II. {− 1,4} ⊂ A
III. − 5 ∈ A
IV. 3 ∈ B
V. A ∪ B = ]− 2,+∞[
Logo,
a) somente as afirmações I e II são verdadeiras.
b) somente as afirmações II e IV são verdadeiras.
c) somente as afirmações IV e V são verdadeiras.
d) somente as afirmações I e III são falsas.
e) somente as afirmações III e V são falsas.
Solução:
Analisando-se as afirmações com o auxílio da figura acima:
I. Falsa;
II. Verdadeira;
III. Falsa;
IV. Verdadeira;
V. Verdadeira.
Resposta: letra d.
17) A empresa XYZ tem três opções de pagamento na compra de um equipamento novo:
• À vista, com 5% de desconto;
• Em duas prestações mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira um mês após a
compra; e
• Em três prestações mensais iguais, sem desconto, das quais a primeira vence no ato da
compra.
Se o custo financeiro para a empresa é de 3% ao mês, a melhor e a pior entre as opções de
pagamento da compra são, respectivamente.
a) a primeira e a segunda opções.
b) a primeira e a terceira opções.
c) a segunda e a primeira opções.
d) a segunda e a terceira opções.
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e) a terceira e a primeira opções.
Solução:
Pode-se arbitrar um valor para o equipamento e efetuar os cálculos para cada uma das opções
determinadas no enunciado da questão, usando como data focal n = 0 , com o uso da fórmula:
n
M = C ⋅ (1 + i )
Supondo-se que o equipamento custe R$ 1.200,00, tem-se:
• À vista, com 5% de desconto: R$ 1.140,00
• Em duas prestações mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira um mês após a
compra: são duas parcelas de R$ 600,00 cada uma, que “descapitalizadas”, à taxa de 3% ao
600
600
mês, para a data focal zero, produzem o seguinte valor:
+
≅ R$1.148,00
1
(1,03) (1,03)2
• Em três prestações mensais iguais, sem desconto, das quais a primeira vence no ato da
compra: são três parcelas de R$ 400,00 cada uma. Descapitalizando-se a segunda e a
400
400
terceira, tem-se: 400 +
+
≅ R$1.165,00
1
(1,03) (1,03)2
Com os valores encontrados na data focal zero para as três opções, conclui-se que a melhor delas é
a primeira e a pior é a terceira.
Resposta: letra b.
18) Considerando x e y números reais positivos e a e b números reais, qual das seguintes
alternativas está INCORRETA?
( )
a) (xy ) = x a y b
a
v) x a
b
= x a ×b
c) x 0 = y 0
a
d) x
a −b
=x −x
a
b
x
xa
e)   = b
y
 y
Solução:
Analisando-se cada uma das alternativas:
a) Correta! A potência de um produto é igual ao produto das potências;
b) Correta! A potência da potência resulta no produto dos expoentes;
c) Correta! Todo número elevado ao expoente zero é igual a 1. A exceção é “zero elevado a zero”,
porém, o enunciado evidencia que x e y são números reais positivos;
d) Incorreta! A regra que subtrai os expoentes é a do quociente de potências de mesma base, na
qual a base se conserva e subtraem-se os expoentes.
e) Correta! A potência de um quociente é igual ao quociente das potências.
Resposta: letra d.
19) Seja um cone reto com a área da base igual a 16π cm 2 . Sabe-se que a altura do cone é 5 cm
menor que o diâmetro da base; logo, sendo Al a área lateral e V o volume do cone, pode-se
afirmar que
a) Al = 40π cm 2 e V = 48π cm 3
b) Al = 40π cm 2 e V = 16π cm 3
c) Al = 24π cm 2 e V = 48π cm 3
d) Al = 20π cm 2 e V = 32π cm 3
e) Al = 20π cm 2 e V = 16π cm 3
Solução:
O raio da base do cone dado no enunciado é igual a 4. Logo, o diâmetro é igual a 8. Nestas
condições, a altura do cone é igual a 3.
No formulário dado na prova, tem-se:
Área lateral do cone: Sl cone = πrg (onde g é a geratriz do cone – observe a figura a seguir, que
mostra um corte longitudinal do cone).
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1
Volume do cone: Vcone = πr 2 h
3
A hipotenusa do triângulo hachurado acima é a geratriz do cone. Observe, também, que o triângulo
é pitagórico). Então:
Sl cone = π ⋅ 4 ⋅ 5 ⇒ Sl cone = 20π cm 2
1
Vcone = π ⋅ 4 2 ⋅ 3 ⇒ Vcone = 16π cm 3
3
Resposta: letra e.
20) Em um retângulo, traçaram-se paralelas a seus lados de modo a formar outros retângulos,
conforme a figura abaixo:
Com relação aos retângulos sombreados, R1 e R2 , pode-se afirmar que
a) suas áreas são iguais.
b) a área de R2 é igual a duas vezes a área de R1 .
c) a área de R1 é igual a duas vezes a área de R2 .
d) R1 tem área maior que o dobro da área de R2 .
e) R2 tem área maior que o dobro da área de R1 .
Solução:
Na figura acima foram nomeados alguns vértices e lados nos respectivos triângulos retângulos
correspondentes.
Os triângulos ABC e CDE são semelhantes e têm, respectivamente homólogos os ângulos ACˆ B e
CEˆ D , bem como os ângulos CAˆ B e ECˆ D . Desse modo, pode-se escrever a seguinte proporção:
x y
⇒ xw = yz . Ora, a área R1 = xw e a área R2 = yz . Então, R1 = R2
=
z w
Resposta: letra a.
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1) Realizou-se uma pesquisa com 57 estudantes, cuja pergunta central era: “Se você tivesse
camiseta, tênis ou boné, qual(is) peça(s) você usaria para sair à noite?”. Analisando as resposta,
constatou-se que:
• 15 pessoas usariam tênis;
• 18 usariam boné;
• 3 usariam camiseta e tênis;
• 6 usariam tênis e boné;
• 4 usariam boné e camiseta;
• 1 usaria as três peças; e
• 15 pessoas não usariam nenhuma dessas três peças.
Quantos estudantes usariam somente camiseta, sem boné e sem tênis?
a) 21
b) 18
c) 15
d) 12
e) 9
Solução:
Inicia-se o preenchimento dos valores no diagrama acima pela região hachurada em amarelo, a
seguir, passa-se às regiões em azul, e, após, as regiões na cor cinza. Como até agora se contam, no
total, 42 elementos no diagrama acima, conclui-se que a área em verde (que contém os elementos
que usam somente camiseta) deverá conter 15 elementos
Resposta: letra c.
2
1 
1

2
2) A matriz X , composta por números reais, de ordem 3 × 3, é igual a a − a − 2 . Para
1
1
2 
quais valores de a não se pode determinar a inversa dessa matriz X ?
a) a = 2 e a = 1
b) a = −1 e a = −2
c) a = 0 e a = −1
d) a = −1 e a = 2
e) a = 2 e a = −1
Solução:
Regra: toda matriz quadrada só admite inversa se o determinante da matriz for não-nulo.
A melhor forma de resolver a questão sem precisar calcular o determinante da matriz, é
observando os valores sugeridos nas alternativas... Se a = −1 , tem-se que a segunda linha é igual
ao produto da terceira por -1. Uma das propriedades dos determinantes diz o seguinte: “o
determinante de uma matriz quadrada será nulo se uma fila (linha ou coluna) for um múltiplo da
outra”. Assim, para a = −1 o determinante da matriz será nulo e esta não terá inversa.
O mesmo raciocínio se aplica para a = −2 .
Resposta: letra b.
3) Um grupo de sete pessoas é formado por dois irmãos, dois casais e um padre. Esse grupo deseja
tirar uma foto, obedecendo às seguintes regras:
• todos os membros do grupo devem se posicionar lado a lado (perfilados);
• o padre deve se posicionar em um extremo, no lado direito ou no lado esquerdo;
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• cada casal deve permanecer junto.
Considerando essas regras, quantas fotos distintas podem ser tiradas pelo grupo, ,ou seja, quantas
combinações de posicionamento dos membros do grupo podem ser geradas para tirar diferentes
fotos?
a) 84
b) 92
c) 96
d) 192
e) 5040
Solução:
Há dois modos de se posicionar o padre e também há dois modos de se posicionar cada casal.
Como os casais devem permanecer juntos, então, para cada posição do padre, teremos uma
permutação dos outros 4 (dois irmãos mais dois casais). Daí a solução: 2 × 2 × 2 × P4 = 8 × 24 = 192
Resposta: letra d.
4) O custo fixo mensal para produzir até 1.000 unidades de um determinado produto é de R$
300,00, e o custo variável para produzir cada unidade do mesmo produto é de R$ 2,00. O custo
fixo mensal existirá independentemente da quantidade produzida no mês, desde que não ultrapasse
o limite de 1.000 unidades. O custo variável unitário, por sua vez, existirá apenas para cada
unidade produzida, desde que o limite de 1.000 unidades também não seja ultrapassado. Sabendose que cada unidade do referido produto é vendida por R$ 3,00, o número mínimo de unidades que
devem ser produzidas e vendidas para que todos os custos sejam pagos é de
a) 700 peças
b) 600 peças
c) 500 peças
d) 400 peças
e) 300 peças
Solução:
Pelo enunciado, pode-se determinar a função custo como sendo:
C ( x ) = 300 + 2 x
Onde x é a quantidade de unidades produzidas e 0 ≤ x ≤ 1000 .
Se cada unidade será vendida por R$ 3,00, então o número de unidades que deverão ser vendidas
(faturamento igual a 3 x ) para cobrir o custo é dado pela expressão:
3 x = 300 + 2 x , onde x = 300
Resposta: letra e.
5) Se as arestas de um sólido de um dado material M, em forma de cubo, aumentam em 50%
devido à dilatação desse material, pode-se dizer que o volume desse cubo aumentará em
a) 50,5%
b) 75,5%
c) 126,5%
d) 150,5%
e) 237,5%
Solução:
O fator multiplicativo da aresta é igual a 1,5. Como se trata de um cubo, o fator multiplicativo do
3
volume é dado por (1,5) = 3,375 . A taxa de acréscimo é obtida multiplicando-se esse fator por 100
e subtraindo-se 100, o que resulta em 237,5%
Resposta: letra e.
6) O número de anagramas que podem ser feitos com a palavra ADMINISTRADOR, de modo que
as consoantes sejam mantidas em suas respectivas posições, é
a) 120
b) 56
c) 30
d) 20
e) 10
Solução:
Como as consoantes serão mantidas em suas respectivas posições, a solução se dá pela permutação
(com repetição das letras a e i) das 5 vogais contidas na palavra. Então...
5! 120
=
= 30
2!⋅2!
4
Resposta: letra c.
7) Em uma empresa trabalham 1.000 pessoas, todas com curso superior. Nenhuma dessas pessoas
tem mais do que dois cursos superiores, e
• 200 são apenas engenheiros,
• 250 são contadores,
• 230 são advogados,
• 100 são apenas bacharéis em computação,
• 300 são administradores,
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• 50 são administradores e contadores,
• 60 são advogados e administradores,
• 30 são contadores e advogados, e
• 60 têm outras profissões.
A probabilidade de, numa escolha aleatória, a pessoa escolhida ser somente administrador é de
a) 0,3
b) 0,25
c) 0,24
d) 0,20
e) 0,19
Solução:
Como não há pessoas com mais de dois cursos superiores, então o número de pessoas que têm
somente o curso de Administração é dado por: 300 – 50 – 60 = 190.
A probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente ser somente administrador é dada por:
190/1000 = 0,19
Resposta: letra e.
8) Os pontos nos quais a função f ( x ) = x 2 − 4 x − 12 toca o eixo x e o vértice desta parábola
formam um triângulo. A área do triângulo formado, em unidades de área (u. a.) é
a) 128 u. a.
b) 64 u. a.
c) 32 u. a.
d) 16 u. a.
e) 8 u. a.
Solução:
Os zeros da função dada podem ser facilmente obtidos, observando-se que o produto das raízes da
equação x 2 − 4 x − 12 = 0 é -12 e a soma das raízes é 4. Então, as raízes são: -2 e 6 (a base do
triângulo é 8). Como a abscissa do vértice é o ponto médio dos zeros da função do segundo grau,
tem-se, para abscissa do vértice o valor 2. Substituindo-se o valor de x = 2 na função dada, tem-se
a ordenada do vértice (que é a altura do triângulo e vale 16 unidades de comprimento). A área do
8 × 16
triângulo é dada pela metade do produto da base pela altura: A =
= 64
2
Resposta: letra b.
9) Um baralho tem quatro naipes, sendo que cada naipe tem 12 cartas. A probabilidade de se
retirar, sem reposição, três cartas do mesmo naipe desse baralho e
55
55
3
3
3
b)
c)
d)
e)
a)
4324
1081
48
24
12
Solução:
12
A probabilidade de se retirar desse baralho uma carta do mesmo naipe é dada por P( A) =
, onde
48
A representa o evento “carta do mesmo naipe”. Nas retiradas sucessivas, os eventos são
independentes, devendo-se, portanto, multiplicar as probabilidades de ocorrência de cada evento:
12 11 10
55
P( AAA) =
⋅ ⋅
=
48 47 46 4324
Resposta: letra a.
10) Hoje, o agiota Furtado concedeu um empréstimo de R$ 500,00 ao Sr. Inocêncio e adotou o
sistema de juros compostos a uma taxa de 10% a.m. Sabendo-se que o Sr. Inocêncio paga R$
200,00 a cada mês (desde o primeiro mês), e que esse valor é abatido do montante da dívida, podese afirmar que, após três meses,
a) o Sr. Inocêncio ainda deve R$ 3,50 ao agiota.
b) o Sr. Inocêncio ainda deve R$ 42,30 ao agiota.
c) o Sr. Inocêncio ainda deve R$ 38,00 ao agiota.
d) o agiota deve R$ 35,00 ao Sr. Inocêncio.
e) a dívida está liquidada.
Solução:
Como o número de parcelas é pequeno (apenas três) o cálculo pode ser efetuado mês a mês, do
seguinte modo:
Até o vencimento da primeira parcela, o valor inicial da dívida será acrescido de 10%, ficando em
R$ 550,00. Com o pagamento dos R$ 200,00 da primeira parcela, o “saldo devedor” será de R$
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350,00. Até o vencimento da segunda parcela, esse saldo devedor será novamente acrescido de
10%, ficando em R$ 385,00. Com o pagamento dos R$ 200,00 da segunda parcela, o novo saldo
devedor será de R$ 185,00. Até o pagamento da terceira parcela, esse saldo devedor sofrerá novo
acréscimo de 10%, ficando o novo saldo devedor em R$ 203,50. Com o pagamento da terceira e
última parcela de R$ 200,00, o saldo do Sr. Inocêncio ainda será de R$ 3,50.
Resposta: letra a.
11) Analise a veracidade das seguintes proposições.
 7π 
I.
O valor de cos
 é 1.
 2 
II.
A imagem da função y = 2senx é o intervalo [-2, 2].
III. O gráfico das funções y = ln x e y = e x são simétricos em relação à reta x = y .
Sobre a veracidade dessas proposições, pode-se afirmar que são verdadeiras as afirmações
a) II, apenas
b) III, apenas
c) I e III, apenas
d) II e III, apenas e) I, II e III
Solução:
I. Falso: o valor do cosseno de
π
é zero, bem como todos os múltiplos positivos desse arco;
2
II. Verdadeiro: o intervalo de variação da imagem da função seno é [-1, 1], logo, o intervalo da
função y = 2 sen( x ) é [-2, 2];
III. Verdadeiro: as funções são inversas uma da outra, o que torna o gráfico simétrico em relação à
reta y = x
Resposta: letra d.
12) Foi realizado um levantamento em relação ao peso de 10 estudantes universitários do curso de
administração. Obteve-se o seguinte resultado (em kg): 61, 66, 66, 67, 71, 72, 72, 72, 77, 78.
Assim, a mediana e a média aritmética desse conjunto são, respectivamente,
a) 71,5 e 70,2
b) 71,5 e 71,5
c) 71 e 70,2
d) 70,2 e 71,5
e) 72 e 70,2
Solução:
n +1
, onde n é o número de
A posição da mediana para dados não agrupados é dada por:
2
elementos da distribuição. Desse modo, a mediana do conjunto dado está entre o 5º e o 6º termos,
71 + 72
devendo ser calculada pela média aritmética desses elementos:
= 71,5 . O candidato poderá
2
observar que a resposta da questão só pode ser a da alternativa a, visto que a série dada não
apresenta uma perfeita simetria em torno da mediana. Mas, caso fosse calcular o valor da média,
seria útil lembrar-se de uma importante propriedade da média, que diz que “ao somarmos ou
subtrairmos uma constante de cada elemento da distribuição, sua média ficará somada ou subtraída
dessa mesma constante”. Vamos, então, subtrair 70 unidades de cada um dos elementos,
resultando no seguinte conjunto (sabemos que a média calculada estará subtraída de 70 unidades):
-9, -4, -4, -3, 1, 2, 2, 2, 7, 8
cuja média aritmética é 0,2. Acrescentando-se 70, tem-se a média do conjunto original, que é 70,2.
Resposta: letra a.
13) Em uma fábrica, três costureiras, em oito horas de trabalho, produzem 48 calças. Como
aumentou a demanda pelos produtos dessa fábrica, foram contratadas mais três costureiras, que
apresentaram o mesmo desempenho das funcionárias veteranas. Se o último pedido é de 120
calças, qual o tempo necessário de trabalho para que as seis costureiras produzam tal quantidade?
a) 8 horas
b) 10 horas
c) 12 horas
d) 16 horas
e) 24 horas
Solução:
Por regra de três...
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costureiras
horas
calças
3
8
48
x
6
120
inversa
direta
Com uma simplificação entre os elementos de mesma coluna, os cálculos serão mais rápidos.
A regra de três fica assim:
costureiras
horas
calças
1
8
2
x
2
5
inversa
direta
8 × 1× 5
x=
= 10
2× 2
(Veja o arquivo regras de três passo-a-passo na área de arquivos do plantão eletrônico de
dúvidas)
Resposta: letra b.
14) Em uma lanchonete, são gastos R$ 6,00 para se comprar três pastéis, dois copos de refrigerante
e uma porção de batatas fritas. Sabe-se que a mesma quantia de dinheiro é gasta para se comprar
dois pastéis, um copo de refrigerante e três porções de batatas fritas. Logo, pode-se concluir que
a) um pastel mais um copo de refrigerante custam o mesmo que duas porções de batatas fritas.
b) um pastel, um copo de refrigerante e uma porção de batatas fritas custam R$ 4,00.
c) um pastel, um copo de refrigerante e uma porção de batatas fritas custam R$ 6,00.
d) um pastel custa R$ 2,00 e um copo de refrigerante custa R$ 1,50.
e) todos custam menos de R$ 1,00.
Solução:
Com os dados da questão, tem-se:
3 p + 2r + b = 6
. A solução é obtida rapidamente pela subtração das duas equações membro-a
2 p + 1r + 3b = 6
membro: 1 p + 1r − 2b = 0 , de onde retiramos: 1 p + 1r = 2b
Resposta: letra a.
15) Um comerciante pretende fazer um investimento na modernização de sua loja no valor de X
reais. Esse investimento permitirá uma redução nos custos operacionais de sua loja no valor
mensal de Y reais por um período de n meses. Essa redução começa exatamente um mês após o
investimento. Considerando-se que, nesses n meses, a taxa de juros é de 1,5% a.m., a relação que
mostra como o comerciante pode avaliar se vale a pena efetuar o investimento na modernização de
sua loja é
n
n
1
1
n +1
a) X ∑
b)
c) nY > X (1,015)
>
Y
Y
>X
∑
i
i
i =1 (1,015)
i =1 (1,015)
e) nX > Y (1,015)
d) nY > X (1,015)
Solução:
Nas alternativas de investimentos, os economistas e financistas alertam que o investimento só será
viável se o Valor Presente Líquido ( VPL ) for superior a zero. Como o VPL é dado pela diferença
entre o retorno do investimento (que, neste caso, será dado pelo valor atual das n parcelas de valor
Y ) e o valor investido ( X ), pode-se escrever a seguinte equação:
n
1
Y ⋅∑
− X > 0 , onde o somatório representa o fator de atualização de capital.
i
i =1 (1,015 )
Resposta: letra b.
16) Alberto mora em um terreno quadrado de 40 metros de frente. Sua casa fica bem no centro do
terreno, cercada por um gramado. Ele dispõe de uma máquina de cortar grama que possui um cabo
n
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n
63
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elétrico original com 12 metros de comprimento. A máquina é ligada na única esquina da casa que
apresenta tomada externa. A residência, por sua vez, tem uma base quadrada de 8 metros de lado,
como está exposto neste desenho:
Sabendo-se que cada m 2 de grama cortada pesa 100 gramas, quantos quilogramas são obtidos
após o uso dessa máquina para cortar toda a grama possível utilizando apenas seu cabo elétrico
original? (utilize π = 3 )
a) 34,8 kg
b) 43,2 kg
c) 64 kg
d) 348 kg
e) 432 kg
Solução:
Tem-se uma semicircunferência de raio 12 (A1 no desenho abaixo) mais um quarto de
circunferência de raio 12 (A2 no desenho abaixo) e mais dois quartos de circunferência de raio 4
(A3 no desenho abaixo).
1
1
1
3
2
2
2
⋅ π ⋅ (12) + ⋅ π ⋅ (12 ) + ⋅ π ⋅ (4) = ⋅ π ⋅ 144 + 8 ⋅ π = 348 metros
2
4
2
4
quadrados. Como cada metro quadrado “pesa” 100 gramas, ter-se-á um “peso” total de 34,8 kg de
grama cortada.
Resposta: letra a.
17) Uma caixa d’água tem um escoamento constante de 200 litros de água por hora. Sabe-se que
quando o nível da caixa atinge 100 litros, um reabastecimento – com vazão constante de 205 litros
de água por hora – é acionado automaticamente até que a caixa atinja seu nível máximo. Se a
capacidade total da caixa é de 600 litros e o reabastecimento foi acionado nesse momento, ele será
acionado novamente daqui a
a) 2 horas e 30 minutos
b) 2 horas e 24 minutos
c) 4 dias e 4 horas.
Podemos escrever, então:
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64
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d) 4 dias, 6 horas e 30 minutos
e) 4 dias, 6 horas e 50 minutos
Solução:
Quando a caixa está com 600 litros o reabastecimento é acionado. Com a vazão de 200 litros por
hora, até chegar a 100 litros (ocasião em que o reabastecimento entra em ação), demora 2 horas e
meia. A partir desse ponto (quando a caixa atinge 100 litros), a válvula entra em ação, despejando
205 litros por hora, ou seja, na primeira hora ter-se-á 100 – 200 + 205 =105. Na segunda hora,
serão 105 – 200 + 205 = 110 litros. Em outras palavras, a cada hora, haverá um superávit de 5
litros por hora. Como se tem 500 litros para completar a capacidade da caixa, serão necessárias
100 horas para enchê-la. Somando-se as 2,5 horas iniciais (para a caixa ir dos 600 litros para 100
litros), o total de horas para que a caixa esteja completamente cheia novamente é de 102,5 horas,
ou 4 dias, 6 horas e 30 minutos.
Resposta: letra d.
18) Dada a seqüência de números 1, 20, 6, 15, 11, 10, ..., o décimo primeiro e o décimo segundo
termos (dessa seqüência) são, respectivamente,
a) 60 e 30
b) 31 e -10
c) 26 e -5
d) 16 e 5
e) 21 e 0
Solução:
Há duas seqüências alternadas na série de números dada. Na primeira seqüência, tem-se:
1, 6, 11, ... (que é uma progressão aritmética de razão igual a 5)
Na segunda seqüência, tem-se: 20, 15, 10, ... (que é uma progressão aritmética de razão igual a -5).
Desse modo, encontram-se, facilmente, o décimo-primeiro e o décimo-segundo termos da
seqüência:
26 e -5.
Resposta: letra c.
19) Dois postos de gasolina, A e B, apresentavam o mesmo preço de combustível. Devido ao
aumento de preços repassado pelos distribuidores, ambos os postos reajustaram seus preços aos
consumidores finais. Cada posto realizou os aumentos de uma forma particular. O posto A
reajustou três vezes os seus preços: 6% logo de imediato, 4% após dois meses e 5% após quatro
meses. O posto B, por sua vez, reajustou seus preços duas vezes: o primeiro reajuste foi de 8% e
coincidiu com a data do primeiro aumento do posto A, o segundo reajuste foi de 15% e ocorreu
após três meses. Sabendo-se que a gasolina em ambos os postos sempre apresenta a mesma
qualidade, a seqüência que indica o posto com o preço mais vantajoso para o consumidor final em
cada um desses seis meses é:
a) Posto A, Posto A, Posto B, Posto A, Posto A, Posto B.
b) Posto A, Posto B, Posto A, Posto B, Posto A, Posto B.
c) Posto A, Posto A, Posto B, Posto A, Posto B, Posto B.
d) Posto A, Posto A, Posto A, Posto A, Posto A, Posto A.
e) Posto A, Posto A, Posto B, Posto A, Posto A, Posto A.
Solução:
Outra questão de fácil solução. Observe a tabela abaixo (arbitrou-se o valor fictício de 100
unidades monetárias para o ponto de partida, a fim de simplificar os cálculos):
POSTO A
POSTO B
0
106
108
1º mês
106
108
2º mês
110
108
3º mês
110
124
4º mês
116
124
5º mês
116
124
6º mês
116
124
Os centavos foram desprezados. Os valores marcados em negrito acima, mostram em qual posto o
preço é mais vantajoso para o consumidor final, ao longo dos 6 meses.
Resposta: letra e.
20) O mapa abaixo representa três quadras da cidade Imaginópolis, onde as ruas A, B, C e D são
paralelas entre si, assim como as ruas E e F. Essas ruas delimitam quadras de mesma dimensão.
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Supondo-se que as unidades nos eixos horizontal e vertical estão em metros, que os vértices da
quadra Q1 são os pontos (40, 10), (82, 20), (40, 60) e (82, 70) e que cada m 2 está avaliado em R$
25,00,então o preço cobrado pelas três quadras é
a) R$ 52.500,00
b) R$ 87.500,00
c) R$ 157.500,00
d) R$ 175.500,00
e) R$ 262.500,00
Solução:
O paralelogramo Q1 tem as seguintes medidas (ver figura):
Base = 50 metros;
Altura = 42 metros.
Assim, sua área é: A = 50 × 42 = 2100 metros quadrados.
Como há três terrenos iguais e cada metro quadrado custa R$ 25,00, o preço final a ser pago pelas
três quadras é: 3 × 25 × 2100 = 157500
Resposta: letra c.
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1) Um comerciante compra uma caixa com barras de chocolate por R$ 100,00 e vende pelo mesmo
preço, depois de retirar 10 barras e aumentar o preço da dezena em R$ 5,00. Então, o número
original de barras de chocolate na caixa era
a) 31
b) 37
c) 40
d) 50
e) 51
Solução:
Seja x a quantidade de barras de chocolate original da caixa. Nessas condições, cada barra terá
100
. Ao se retirar 10 barras da caixa, a quantidade de barras ficou igual a (x − 10 ) .
custado
x
Quando Adalberto aumentou o preço da dezena em R$ 5,00, cada barra de chocolate aumentou R$
 100

0,50 e o novo preço da barra passou a ser de 
+ 0,5  . Assim, o preço da caixa de chocolates,
 x

após as modificações feitas por Adalberto, é calculado da seguinte forma:
 100

+ 0,5  ⋅ ( x − 10) = 100

 x

Uma dica para o candidato: antes de resolver a equação acima (lembre-se do tempo necessário
para efetuar os cálculos), observe que o valor de x é tal que 100 possa ser dividido por ele de forma
exata. Entre as alternativas, há apenas dois possíveis valores para que isto ocorra: “c” ou “d”. O
leitor poderá verificar, facilmente, que x = 50 é a solução da equação acima.
Resposta: letra d.
2) Numa cidade, a passagem de uma linha de ônibus custa R$ 1,50. Sabe-se que os cobradores
possuem apenas quatro espécies de moedas, a saber R$ 0,50; R$ 0,25; R$ 0,10 e R$ 0,05. Suponha
que todas as possibilidades de troco, utilizando combinações dos valores de moedas citados, têm a
mesma probabilidade. Qual a probabilidade de Afrânio, que usou essa linha de ônibus, ter o seu
troco com três espécies de moedas, sabendo-se que ele entregou ao cobrador R$ 2,00?
a) 1/11
b) 2/11
c) 4/11
d) 5/11
e) 6/11
Solução:
A probabilidade de ocorrência de um evento qualquer é dada pelo quociente entre o número de
casos favoráveis a este e o número de casos possíveis.
Ao entregar R$ 2,00 ao cobrador, Afrânio deverá receber R$ 0,50 de troco. As únicas
combinações para formar esse troco, usando três espécies de moedas são:
0,25 + 2 × 0,10 + 0,05 ou 0,25 + 0,10 + 3 × 0,05
em outras palavras, há dois casos favoráveis para o evento. O número de casos possíveis para o
evento em tela é dado por todas as combinações possíveis entre as espécies de moedas
disponíveis. Observe o leitor que, na questão dada, não é necessário efetuar esta contagem, uma
vez que todas as alternativas da questão apontam para o resultado, que é 11. Desse modo, a
resposta procurada é 2 / 11
Resposta: letra b.
3) Numa empresa, foram contratados seis novos funcionários, sendo dois advogados, dois
contadores e dois engenheiros. Pretende-se distribuir esses profissionais nos seus gabinetes. Sabese que
• as salas estão dispostas segundo o desenho abaixo;
• cada uma das seis pessoas citadas ocupa uma sala;
• os advogados ocupam as salas 1 e 4, os contadores ocupam as salas 2 e 5, e os engenheiros
ocupam as salas 3 e 6.
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Sala 1
Sala 2
Sala 3
corredor
Sala 4
Sala 5
Sala 6
Baseando-se nas informações dadas, é CORRETO afirmar que os seis funcionários podem ser
distribuídos nas salas descritas acima de
a) 90 maneiras distintas.
b) 36 maneiras distintas.
c) 20 maneiras distintas.
d) 8 maneiras distintas.
e) 6 maneiras distintas.
Solução:
Os arranjos possíveis para os seis profissionais são os seguintes:
Advogados: salas 1 e 4 ou 4 e 1;
Contadores: salas 2 e 5 ou 5 e 2;
Engenheiros: salas 3 e 6 ou 6 e 3.
Há duas formas possíveis de acomodar cada tipo de profissional em suas respectivas salas. Como
há três profissões, o número de possibilidades é dado por 2 × 2 × 2 = 8
Resposta: letra d.
4) Adalberto tem um terreno na forma de um triângulo cujos catetos medem a = 30 m e b = 40 m,
e a hipotenusa mede c = 50 m. Se Adalberto deseja construir, nesse terreno, uma casa cuja base é
um retângulo de área máxima, as dimensões da base da casa sobre os lados a e b são,
respectivamente,
a) 3 m e 36 m
b) 12 m e 24 m
c) 15 m e 20 m
d) 20 m e 15 m
e) 20 m e 20 m
Solução:
A área do retângulo CEDF da figura acima é dada por: A = xy .
Por semelhança de triângulos...
y 30 − x
120 − 4 x
=
(veja o triângulo BDE), y =
. Substituindo-se na função Área: A = xy
40
30
3
 120 − 4 x 
A = x ⋅
 . Os zeros da função Área são: zero e 30. Conforme vimos em aula, o vértice da
3


parábola indica a abscissa do ponto de máximo. Neste caso (duas raízes reais), o valor da abscissa
do vértice é calculado pelo ponto médio entre os zeros da função. Ora, a média aritmética entre
zero e 30 é 15. Tem-se, assim, o valor de uma das dimensões do terreno. A outra dimensão é
120 − 4 x
encontrada facilmente, pela substituição do valor x = 15 em y =
, de onde vem y = 20
3
Resposta: letra c.
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5) Roberval plantou 165 mudas de árvores frutíferas em canteiros, de modo que, no segundo
canteiro, plantou o dobro de mudas do primeiro; no terceiro, plantou tantas mudas quantas nos dois
anteriores juntos; no quarto canteiro, plantou um número de mudas igual à soma do primeiro
canteiro com o canteiro anterior, no quinto canteiro, plantou um número de mudas igual à soma do
primeiro canteiro com o canteiro anterior e assim por diante, até plantar todas as mudas. Sabendose que ele usou o maior número de canteiros possível e o número de canteiros é menor que 12, em
quantos canteiros ele plantou as mudas?
a) 11
b) 10
c) 9
d) 8
e) 7
Solução:
No primeiro canteiro Roberval plantou x mudas, no segundo canteiro, plantou 2 x mudas, no
terceiro canteiro, plantou 3 x mudas; no quarto canteiro plantou 4 x mudas, e assim por diante.
Observe o leitor que a seqüência forma uma P. A. de razão igual a x , cuja soma é igual a 165.
usando-se as fórmulas do termo geral de uma P. A.: a n = a1 + (n − 1) ⋅ r e a fórmula da soma dos n
+ an ) ⋅ n
. Substituindo-se os dados disponíveis nas fórmulas, tem-se:
2
(x + x + (n − 1) ⋅ x ) ⋅ n ⇒ [2 x + (n − 1) ⋅ x]⋅ n = 330 . Aqui o candidato
a n = x + (n − 1) ⋅ x e 165 =
2
precisa ser astuto! Sabe-se que n < 12 . Observe que 330 é um múltiplo inteiro de n , ou seja, a
divisão de 330 por n deve ser exata... Entre as alternativas da questão, somente 11 ou 10
preenchem esse quesito. Como o 11 não verifica a equação acima, tem-se que a resposta
procurada é 10 e o valor de x é 3.
Resposta: letra b.
6) Considerando um mês com 30 dias, 0,36 mês corresponde a
a) 10 dias.
b) 10 dias e 8 horas.
c) 10 dias, 19 horas e 2 minutos.
d) 10 dias, 19 horas e 12 minutos.
e) 10 dias, 19 horas e 12 segundos.
Solução:
30 × 0,36 = 10,8 , ou seja, 10 dias inteiros, mais uma fração de 0,8 do dia (que deve ser convertida
para horas e minutos). Assim, 0,8 do dia é 0,8 × 24 = 19,2 , ou 19 horas inteiras mais uma fração de
0,2 da hora, que, em minutos, equivale a 12. A resposta é: 10 dias 19 horas e 12 minutos.
Resposta: letra d.
7) Ronaldo deseja ladrilhar o chão de seu escritório de dimensões 5,2 m por 4 m, com n lajotas
quadradas inteiras de lado z cm, onde z é número inteiro. Supondo que as lajotas serão colocadas
sem espaço entre elas, o valor de z , para que o número n de lajotas seja mínimo, e o valor de n
são, respectivamente,
a) 40 e 130
b) 40 e 150
c) 30 e 160
d) 30 e 130
e) 20 e 180
Solução:
Para se encontrar o valor de z (medida do lado de cada lajota), deve-se encontrar o máximo
divisor comum entre 5,2 e 4. A fim de possibilitar o cálculo do MDC, devem-se converter as
medidas em decímetros, ou seja: 52 e 40. Tem-se, então, o valor do lado da lajota:
MDC (40,52 ) = 4 decímetros, ou 40 centímetros. O número n de lajotas utilizadas é dado pelo
5,2 × 4,0
quociente entre a área do piso dividido pela área da lajota, ou seja:
= 13 × 10 = 130
0,4 × 0,4
Resposta: letra a.
8) Joana fez uma aplicação num banco e a resgatou após seis meses. O juro aparente recebido,
durante esse período, foi de 15%. Se a taxa de inflação no período foi de 8%, então a taxa de juro
real recebido foi de, aproximadamente,
termos: S n =
(a
1
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a) 7,5% positivo
Solução:
b) 7% positivo
c) 6,5% positivo
A taxa real ( ir )de uma aplicação é dada por: ir =
d) 6% negativo
(1 + i ) , onde i
ap
(1 + i )
ap
e) 7% negativo
é a taxa aparente e ii é a taxa
i
de inflação do período. No resultado encontrado, deve-se deslocar a vírgula duas casas à direita e
subtrair 100 para se encontrar a taxa real da aplicação.
1,15
Substituindo-se os dados, tem-se: ir =
≅ 1,065 . Aproximadamente 6,5%
1,08
Resposta: letra c.
9) Uma empresa que trabalha com a revenda de notebooks tem lojas nas seguintes cidades: Porto
Alegre (POA), São Paulo (SPA) e Belo Horizonte (BHZ). Uma marca particular de notebook está
disponível nos modelos A, B e C. Além disso, cada modelo tem uma bolsa correspondente que,
geralmente, é vendida junto com o notebook. Os preços de venda (em reais) do notebook e da
bolsa são dados pela matriz X, onde a primeira linha indica os preços dos notebooks nos três
modelos e a segunda linha, o preço das bolsas.
A
B
C
4000 5000 8000
X =

 100 120 150 
O número de conjuntos (notebook e bolsa) disponíveis em cada loja é dado pela matriz Y.
POA
SPA
BHZ
A
8 15 10


Y = 6 10 8 
B
2 6 4 
C
Se João Paulo foi à loja de Porto Alegre e comprou todos os conjuntos do modelo A e todos do
modelo C, então ele gastou.
a) R$ 48.000,00
b) R$ 49.100,00
c) R$ 62.000,00
d) R$ 63.520,00
e) R$ 64.150,00
Solução:
O produto matricial X ⋅ Y fornece os valores de todos os modelos A, B e C (notebook e bolsa)
para cada uma das capitais indicadas na questão. Assim, o comprador que adquiriu todos os
produtos das marcas A e C em Porto Alegre, pagou: 8 × (4100 ) + 2 × (8150 ) = 49100
Resposta: letra c.
10) Usando o valor 0,48 para log 3 (onde log denota o logaritmo decimal), a que taxa anual de
juros compostos devo aplicar certo capital hoje para que, daqui a seis anos, eu tenha o triplo desse
capital?
a) 10 0, 48 − 1
b) 10 0,144 − 1
c) 10 0, 008 − 1
d) 10 0, 03 − 1
e) 10 0, 08 − 1
Solução:
n
M = C ⋅ (1 + i ) , onde M é o montante, C é o capital, i é a taxa da aplicação e n é o prazo.
Sabe-se que M = 3C e n = 6 . Assim, com a fórmula acima, tem-se: 3 = (1 + i ) . Logaritmizandose a expressão...: log 3 = 6 ⋅ log(1 + i ) . Com o dado da questão ( log 3 = 0,48 ), substitui-se na
expressão e, utilizando-se a definição de logaritmo... 0,48 = 6 ⋅ log(1 + i ) ⇒ i = 10 0 , 08 − 1
Resposta: letra e.
11) A empresa ABC adquiriu uma máquina por R$ 15.000,00 que, seis anos após a data da
compra, tinha um valor estimado de R$ 12.000,00. Admitindo que a depreciação seja linear, é
CORRETO afirmar que
a) o valor estimado da máquina será nulo em 30 anos após a data da compra.
b) a depreciação total estimada, 10 anos após a data da compra é de R$ 4.500,00.
6
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c) uma equação que representa essa depreciação é d = 600 x , onde d representa o valor da
depreciação total estimada em x anos após a data da compra.
d) uma equação que representa o valor y estimado da máquina, x anos após a data da compra, é
y = 500 x + 15000 .
e) uma equação que representa o valor y estimado da máquina, x anos após a data da compra, é
y = 30 − x .
Solução:
Se em 6 anos a máquina depreciou-se em R$ 3.000,00, então a depreciação (linear, segundo o
enunciado) é de R$ 500,00 por ano. Para que o seu valor inicial, que é de R$ 15.000,00 caia a
zero, serão necessários 30 anos.
Resposta: letra a.
12) O economista italiano Vilfrido Pareto, grande estudioso sobre distribuição de renda, propôs um
modelo matemático para distribuição de renda conhecido como Lei de Pareto. O modelo
simplificado é dado pela seguinte função:
A
y= α
x
onde y é o número de pessoas cujas rendas são superiores ou iguais a x ; x é a renda de um
indivíduo da população considerada; A é uma constante que depende da população em questão; e
α é o parâmetro que caracteriza a distribuição de renda. Se numa certa população a distribuição
de renda é dada por
80 ⋅ 1015
y=
x3
onde a renda é dada em reais, é CORRETO concluir que 10.000 pessoas ganham rendas
superiores ou iguais a
a) R$ 80.000,00
b) R$ 60.000,00
c) R$ 20.000,00
d) R$ 8.000,00
e) R$ 2.000,00
Solução:
80 ⋅ 1015
80 ⋅ 1015
80 ⋅ 1015
3
=
⇒
x
=
10000
Se y =
,
então,
para
y
=
10000
,
tem-se:
⇒
x3
x3
10000
x 3 = 8 ⋅1012 ⇒ x = 20000
Resposta: letra c.
13) De todos os funcionários de uma empresa, 30% solicitaram férias no mês de janeiro. Essas
empresa tem duas filiais, localizadas em Maceió e Cuiabá, e a matriz está localizada em São Paulo
(capital). 50% dos funcionários trabalham na matriz e 30% dos funcionários trabalham na filial de
Cuiabá. Tem-se a informação de que 20% dos empregados da matriz e 30% dos funcionários da
filial de Maceió solicitam férias em janeiro. A porcentagem de funcionários da filial de Cuiabá que
solicitaram férias em janeiro é de, aproximadamente,
a) 50%
b) 47%
c) 37%
d) 25%
e) 14%
Solução:
Soluciona-se este tipo de questão rapidamente arbitrando-se o valor 1000 para o total de
funcionários. Desse modo, tem-se:
Matriz Filial Maceió Filial Cuiabá
Nº de func. por Unidade 500
200
300
x
Tiraram férias
100
60
Outra informação da questão é a de que 30% do total de funcionários solicitaram férias em janeiro,
ou seja, 300 funcionários. Desse modo, x = 140 . Então, a porcentagem dos funcionários da filial
140
de Cuiabá que tiraram férias em janeiro é dada por:
≅ 0,47 , ou aproximadamente 47%
300
Resposta: letra b.
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71
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14) Marcus deve pagar a Paulo, daqui a dois meses, o valor nominal de R$ 10.500,00. Marcus,
porém, fez uma proposta a Paulo de pagar R$ 10.100,00 hoje para quitar a sua dívida. Sabendo-se
que a taxa de juros corrente de mercado é de 2% ao mês, a troca é
a) vantajosa para Paulo, pois ganhará em torno de R$ 8,00.
b) vantajosa para Paulo, pois ganhará em torno de R$ 20,00.
c) vantajosa para Marcus, pois economizará R$ 10,00.
d) desvantajosa para Paulo, pois perderá em torno de R$ 8,00.
e) desvantajosa para Paulo, pois perderá em torno de R$ 20,00.
Solução:
n
Para se atualizar o valor da dívida, basta dividir o seu montante por (1 + i ) , onde i é a taxa e n é
10500
o número de períodos. Neste caso, o valor atual da dívida de Marcus é dado por:
≅ 10092
1,02 2
Resposta: letra a.
15) Sobre os gráficos das funções f : IR → IR, definida por f ( x ) = x e g : IR → IR, definida por
g (x ) = x 2 − 3 x + 2 , é CORRETO afirmar que se interceptam em
a) um único ponto de abscissa positiva.
b) um único ponto de abscissa negativa.
c) dois pontos distintos com abscissas de sinais contrários.
d) dois pontos distintos com abscissas de mesmo sinal.
e) mais de dois pontos.
Solução:
Encontra-se a interseção entre duas funções igualando-se as equações, ou seja:
x 2 − 3x + 2 = x ⇒ x 2 − 4 x + 2 = 0 . A equação do segundo grau ao lado possui duas raízes reais
distintas, de mesmo sinal.
Resposta: letra d.
16) Considere a figura abaixo que mostra dois copos. Um deles, com formato de um cilindro reto,
está completamente cheio de água. O outro, com formato de um cone reto, apoiado num tronco de
cone, está totalmente vazio. As dimensões de ambos os copos estão descritas nesta figura. Sabe-se
que o plano no qual eles estão apoiados é horizontal, que a borda do copo cônico é paralela a este
plano e que os volumes de um cilindro e de um cone de raio r e altura h são dados
1
respectivamente por V = πr 2 h e V = πr 2 h
3
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72
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Assim, se despejarmos todo o conteúdo do copo cilíndrico no copo cônico, a distância da
superfície da água ao vértice deste copo será
4
4
b)
a) 3 3 cm
cm
c) 3,53 4 cm
d) 4 cm
e) 43 4 cm
3
3
Solução:
O volume do copo cilíndrico é: V = π ⋅ 4 2 ⋅ 3 = 48π . Este volume será integralmente despejado no
copo cilíndrico, cuja altura da água (do vértice até a superfície). A figura abaixo foi obtida da
seção transversal do cone e ilustra o raio na superfície da água, r1 , e a altura atingida pelo volume
d’água, h1 :
3 ⋅ h1
h1 r1
=
⇒ r1 =
. Substituindo-se esse resultado na
8 6
4
2
48 ⋅ 3 ⋅ 16
1
 3 ⋅ h1 
3
3
fórmula do volume do cone: 48 ⋅ π = ⋅ π ⋅ 
⇒ h1 = 4 4 ⇒ h1 = 43 4
 ⋅ h1 ⇒ h1 =
9
3
 4 
Resposta: letra e.
17) Uma empresa para produzir um determinado produto, pode utilizar dois processos distintos.
Para o processo A tem-se um custo fixo de R$ 100,00 mais R$ 5,00 por unidade produzida. Já para
o processo B tem-se um custo fixo de R$ 60,00 mais R$ 6,00 por unidade produzida. Com base
nessas informações, é CORRETO afirmar que
a) os custos são menores utilizando-se o processo A.
b) os custos são menores utilizando-se o processo B.
c) para produzir 40 unidades do produto, o custo é menor pelo processo A.
d) para produzir até 40 unidades do produto, o custo é menor pelo processo A.
e) para produzir até 40 unidades do produto, o custo é menor pelo processo B.
Por semelhança de triângulos, vem:
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Solução:
Custo do processo A: C A ( x ) = 100 + 5 x
Custo do processo B: C B ( x ) = 60 + 6 x
Onde x é a quantidade produzida.
Os custos acima se igualam para x = 40 unidades produzidas. Abaixo dessa quantidade, os custos
são mais vantajosos pelo processo B.
Resposta: letra e.
18) Sejam A, B e C os conjuntos que representa, respectivamente, pessoas que lêem o jornal 24
Horas, pessoas que lêem o jornal Gazetão e pessoas que lêem o jornal Diário da Noite.
Considerando que o público pesquisado foram os leitores residentes na cidade Oásis e que, após
essa pesquisa, foi feita a representação exposta abaixo, pode-se afirmar que a região sombreada
representa
a) U − [B ∩ ( A − C )]
b) U − [B − ( A − C )]
c) U − [B − ( A ∪ C )]
d) U − [B ∪ ( A ∩ C )]
e) U − [B ∩ ( A ∪ C )]
Solução:
A área hachurada representa U − [B − ( A ∪ C )]
Resposta: letra c.
19) O lucro na venda de x unidades mensais de certo produto é descrito por uma função de 2º
grau representada pela figura a seguir.
O lucro máximo, em reais, é
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74
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a) R$ 63.000,00
b) R$ 62.500,00
c) R$ 62.000,00
d) R$ 62,50
e) R$ 62,00
Solução:
No gráfico dado com a questão tem-se um dos zeros da função lucro, que é o valor 6. A função
lucro da questão é dada por: f ( x ) = k ⋅ ( x − a ) ⋅ ( x − 6 ) , onde k é uma constante e a é o outro zero
da função, cujo valor é inferior a 2 (veja o gráfico). Como foram dados 2 outros pontos para a
função, tem-se:
40 = k ⋅ (2 − a ) ⋅ (2 − 6 ) ⇒ k ⋅ (2 − a ) = −10 , e
60 = k ⋅ (4 − a ) ⋅ (4 − 6) ⇒ k ⋅ (4 − a ) = −30
Forma-se, desse modo, um sistema, cuja solução pode ser facilmente encontrada dividindo-se uma
(4 − a ) = 3 ⇒ a = 1 e k = −10
equação pela outra:
(2 − a )
Como foi solicitado o valor máximo da função lucro, obtém-se esse valor a partir do ponto médio
das raízes (abscissa do vértice), que é igual a 3,5. Substituindo-se os valores de k , a e = 3,5 na
função, tem-se o lucro máximo: f (35) = −10 ⋅ (3,5 − 1) ⋅ (3,5 − 6 ) = 62,5 . Cuidado ao fornecer a
resposta desse tipo de questão. Observe o candidato que o lucro está representado no gráfico em
milhares de reais. A resposta certa é 62500
Resposta: letra b.
20) Seja Q1 um quadrado de lado 2 cm, cujos vértices são A, B, C e D, e cujos lados são AB , BC ,
CD e DA . Consideremos os pontos médios A1 , B1 , C1 e D1 dos respectivos lados citados de Q1
e construímos um novo quadrilátero Q2, cujos lados são A1 B1 , B1C1 , C1 D1 e D1 A1 .
Consideremos os pontos médios A2 , B2 , C 2 e D2 dos respectivos lados ditados de Q2 e
construímos um novo quadrilátero Q3, cujos lados são A2 B2 , B2 C 2 , C 2 D2 e D2 A2 . Seguiremos
esse procedimento até construir o quadrilátero Q5. Assim, a soma das áreas Q1 + Q2 + Q3 + Q4 +
Q5 é
7+3 2 
31
341
 cm 2
a)
cm 2
b) 
c)
cm 2

2 
4
64

d) 20 2 cm 2
e) 40 cm 2
Solução:
A área do quadrado Q1 é igual a 4.
O lado do segundo quadrado ( Q 2 , segundo o enunciado) será igual a 2 e sua área é igual a 2.
As áreas dos 5 quadrados formam uma progressão geométrica de razão 1 2 . A soma finita de uma
a ⋅ (q n − 1)
. Substituindo-se os valores...
progressão geométrica é dada por: S = 1
q −1
  1 5 
4 ⋅    − 1
2
 = 31
S= 
1
4
−1
2
Resposta: letra a.
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1) Sejam A = {3, 4, 5} e f uma função de A em A definida por f (3) = 5 , f (4 ) = 3 e f (5) = 4 . O
conjunto-solução de f ( f (4 )) − 2 f ( f (5)) é
a) -2
b) -1
c) 0
d) 2
e) 4
Solução:
Sendo f (4 ) = 3 e f (5) = 4 , substituindo-se esses resultados na expressão f ( f (4 )) − 2 f ( f (5)) ,
esta pode ser escrita da seguinte forma: f (3) − 2 f (4 ) . Mas f (3) = 5 e f (4 ) = 3 . Faz-se nova
substituição em f (3) − 2 f (4 ) e fica-se com: 5 − 2 ⋅ 3 = −1
Resposta: letra b.
2) Uma escola levou 72 crianças para uma visita ao museu da cidade. A visitação é feita em grupos
pequenos com o mesmo número de participantes de cada vez, e os grupos são formados por mais
de 5 e menos de 20 alunos por vez. De quantas formas diferentes podem ser reunidos esses
estudantes, em grupos, para a visitação?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
Solução:
A solução da questão é dada pelos divisores de 72 contidos no intervalo entre 5 e 20.
Os divisores de 72 contidos no intervalo entre 5 e 20 são: 6, 8, 9, 12 e 18.
Resposta: letra c.
3) Num caminhão podem-se carregar 50 sacos de cimento ou 400 tijolos. Se forem colocados nele
42 sacos de cimento, ainda podem-se carregar nesse caminhão, no máximo,
a) 54 tijolos
b) 64 tijolos
c) 68 tijolos
d) 72 tijolos
e) 82 tijolos
Solução:
A quantidade de sacos de cimento está para 50 como a quantidade de tijolos está para 400, ou seja:
c
t
=
50 400
c t
Simplificando-se a proporção, chega-se a: = , ou seja, um saco de cimento equivale a 8 tijolos.
1 8
Se o caminhão já tem 42 sacos de cimento, ainda caberiam outros 8 sacos de cimento no
caminhão. Como a quantidade de tijolos é oito vezes a quantidade de sacos de cimento, então
ainda cabem 64 tijolos no caminhão.
Resposta: letra b.
4) Vitor comentou com seu tio Carlos que tinha uma economia de x reais, e este lhe propôs uma
brincadeira: cada vez que Vitor executasse uma tarefa, seu tio duplicaria o dinheiro que Vitor tem,
mas com a condição de que, após isso, o sobrinho lhe desse 8 reais. nessas condições, é
CORRETO afirmar que as economias de Vitor
a) aumentarão se ele tiver 10 reais.
b) diminuirão se ele tiver 10 reais.
c) não se alterarão se ele tiver 10 reais.
d) aumentarão independente do valor de x .
e) diminuirão independente do valor de x .
Solução:
Vítor só ganhará se tiver mais do que 8 reais, visto que, se tiver exatamente 8 reais, empataria.
Resposta: letra a.
5) Giovana gasta 3/8 do seu salário com o aluguel e R$ 42,00 com o transporte. Considerando-se
que seu salário é de R$ 840,00, o percentual do salário gasto com esses dois itens é de
a) 35,5%
b) 37,5%
c) 40,5%
d) 42,5%
e) 45,5%
Solução:
3 42
+
⇒ 37,5% + 5% = 42,5%
8 840
Resposta: letra d.
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76
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6). A quantidade de números inteiros que satisfazem a inequação x 2 − 6 x < 16 é
a) 5
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
Solução:
A inequação pode ser escrita como: x 2 − 6 x − 16 < 0 , cujas raízes são -2 e 8 (o candidato poderá
buscar as raízes da equação x 2 − 6 x − 16 = 0 usando a fórmula de Bháskara ou lembrando-se de
que se quer dois números cuja soma é 6 e cujo produto é -16).
Para valores no intervalo (− 2, 8) , a inequação acima é verificada. Note-se que os extremos do
intervalo estão excluídos da solução. Assim, quantidade de números inteiros que satisfazem a
inequação é o conjunto {−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} , que tem 9 elementos.
Resposta: letra c.
7) Dulce faz uma dieta e precisa pesar todos os alimentos que consome, mas sua balança só é
confiável para cargas com mais de 300g. Considerando-se que ela precisa saber o peso de uma
maçã, de uma pêra e de um caqui e que as frutas do mesmo tipo têm o mesmo peso, ela adotou o
seguinte procedimento: colocou na balança uma maçã e uma pêra e registrou 330g; uma maçã e
um caqui e registrou 390g; uma pêra e um caqui e registrou 360g. Então,o peso de uma maçã e
duas pêras é de
a) 540g
b) 525g
c) 510g
d) 495g
e) 480g
Solução:
Com os dados do problema, podem-se escrever as seguintes equações:
M + P = 330
M + C = 390
P + C = 360
Subtraindo-se as duas últimas equações uma da outra, tem-se:
M − P = 30
Forma-se, agora, um sistema com a primeira equação:
M + P = 330

M − P = 30
Resolvendo-se o sistema acima pelo método da adição, vem:
2 M = 360
M = 180
Então, P = 150 . Desse modo, o peso de uma maçã e duas pêras é 480g
Resposta: letra e.
8) Utilizando-se o teclado do computador, deseja-se atribuir códigos para algumas funções. Para
isso, deverão ser usadas no mínimo duas das três teclas SHIFT, CTRL e ALT, pressionadas
simultaneamente, seguidas de dois algarismos distintos de 0 a 9. A quantidade de códigos
diferentes que pode ser obtida por esse processo é de
a) 216
b) 270
c) 288
d) 360
e) 400
Solução:
Há duas situações a se considerar:
a) pressionando-se duas das teclas SHIFT, CTRL e ALT;
Como a ordem de pressionamento das teclas é simultâneo, não influi no resultado. Resolve-se esta
parte por Combinação: C 3, 2 = 3 . Para os algarismos, a ordem do pressionamento é importante,
logo, deve-se usar Arranjo: A10.2 = 90 . A senha se forma pelo pressionamento das teclas e dos
números, portanto devem multiplicar os resultados: C 3, 2 × A10, 2 = 270
b) pressionando-se a três teclas SHIFT, CTRL e ALT.
De modo análogo à solução apresentada no item anterior, tem-se: C 3,3 × A10 , 2 = 90
O total de possibilidades é 360.
Resposta: letra d.
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77
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9) Joaquim foi abastecer o reservatório de água cujo nível estava na marca de 1/6 e observou que,
quando foram colocados 21 litros, o nível de água subiu para a marca de 3/4. A capacidade do
reservatório é de
a) 27 litros
b) 28 litros
c) 36 litros
d) 63 litros
e) 84 litros
Solução:
1
3
x + 21 = x
6
4
3
1
x − x = 21
4
6
7x
= 21
12
x = 36
Resposta: letra c.
10) Se 3 x + (3 x + 4 ) + (3 x + 8) + ... + (3 x + 52 ) = 371 , o valor de 3 − x pode ser
a) 1/27
b) 1/4
c) 1/2
d) 2
e) 27
Solução:
A expressão dada pode ser escrita como n ⋅ 3 x + (0 + 4 + 8 + ... + 52 ) = 371 . O somatório entre
parênteses é uma progressão aritmética,cujo primeiro termo é zero, o último é 52 e a razão é 4.
O número de termos dessa PA é dado por: a n = a1 + (n − 1) ⋅ r , substituindo-se os dados, vem:
52 = 0 + (n − 1) ⋅ 4
.
n = 14
(a + an ) ⋅ n . Substituindo-se os dados...
A soma dos 14 termos da PA é: S n = 1
2
(0 + 52) ⋅14 = 364 .
Sn =
2
7
1
Voltando-se à expressão dada: 14 ⋅ 3 x + 364 = 371 ⇒ 14 ⋅ 3 x = 7 ⇒ 3 x =
⇒ 3x = .
14
2
1
Se 3 x = , então 3− x = 2
2
Resposta: letra d.
11) Os três Estados da região Sul do Brasil têm,
juntos, uma área aproximada de 575.000 km 2 . O
gráfico ao lado mostra a distribuição das áreas pelos
três Estados. De acordo com essas informações, a área
do Estado de Santa Catarina (SC) é de,
aproximadamente,
a) 82.100 km 2
b) 95.800 km 2
e) 191.600 km 2
d) 143.700 km 2
Solução:
Uma regra de três simples resolve a questão...
Área
Graus
575000  360
x
60

575000
x=
≅ 95800
6
Resposta: letra b.
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78
c) 115.000 km 2
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12) Na eleição do Diretório de Estudantes do Colégio Pardal, na qual 8% dos eleitores votaram em
branco e 12% anularam seus votos, o vencedor obteve 63% do total da apuração. Se os votos em
branco e nulos não são considerados válidos, o percentual de votos válidos que o vencedor recebeu
é de, aproximadamente
a) 50%
b) 56%
c) 63%
d) 71%
e) 79%
Solução:
Supondo-se que o número total de votos tenha sido 100, tem-se que 8 foram em branco e 12 foram
anulados, totalizando 20 votos não válidos. Dos 80 votos restante (válidos), o vencedor obteve 63,
63
≅ 80% (um pouco menos que 80% dos votos válidos)
ou seja:
80
Resposta: letra e.
13) Para proteger um arquivo que continha um documento confidencial, Alberto criou uma senha
com uma seqüência de 4 algarismos distintos, na qual o último algarismo é o dobro do primeiro.
Para abrir o arquivo, o número máximo de tentativas diferentes é igual a
a) 90
b) 112
c) 168
d) 224
e) 280
Solução:
Se a senha contém 4 algarismos (diferentes um do outro), então se sabe que ela não começa com
zero. Há 4 possíveis conjuntos de números para ocuparem a primeira e o última posições nessa
senha: 1 e 2, 2 e 4, 3 e 6 e, finalmente, 4 e 8. Para cada par de números fixados na primeira e
última posições da senha, sobram outros 8 a serem arranjados nas posições intermediárias, ou seja,
a solução é dada por: 4 ⋅ A8, 2 = 4 ⋅ 8 ⋅ 7 = 224
Resposta: letra d.
14) Considere a equação 5 x + 2 − 5 x = 48 . O valor de 5 x + 2 é
a) 23
b) 25
c) 50
d) 75
e) 125
Solução:
Reescrevendo-se a equação dada: 5 x ⋅ 5 2 − 5 x = 48 ⇒ 25 ⋅ 5 x − 5 x = 48 . Colocando-se 5 x em
evidência no primeiro membro... 5 x ⋅ (25 − 1) = 48 ⇒ 5 x = 2 . Desse modo, 5 x + 2 = 50
Resposta: letra c.
15) Para preparar um suco são usados, para cada 24 litros de água, 4 litros de suco concentrado. As
razões entre o número de litros de suco concentrado e o número de litros de água,e entre o número
de litros de suco concentrado e o número de litros do suco pronto são, respectivamente,
a) 4/24 e 20/24
b) 1/3 e 1/4
c) 1/6 e 3/4
d) 1/6 e 1/7
e) 5/5 e 1/6
Solução:
4
• razão entre o número de litros de suco concentrado e o número de litros de água:
24
4
• razão entre o número de litros de suco concentrado e o número de litros do suco pronto:
28
1 1
Simplificando-se as razões acima, tem-se:
e
6 7
Resposta: letra d.
16) Ester comprou um livro pela Internet, e o valor pago, incluindo as despesas de envio, foi de R$
63,28. Sabendo-se que a despesa do envio representa 12% do valor do livro, pode-se afirmar que o
valor da despesas do envio foi
a) maior que R$ 6,50 e menor que R$ 6,90.
b) maior que R$ 6,20 e menor que R$ 6,50.
c) maior que R$ 6,90 e menor que R$ 7,10.
d) maior que R$ 7,10.
e) menor que R$ 6,20.
Solução:
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Seja x o valor do livro. Podemos escrever a seguinte equação: 1,12 ⋅ x = 63,28 ⇒ x = 56,50 . O
valor da despesa de envio é 6,78.
Resposta: letra a.
17) Se a área do círculo de centro em O e raio x é de aproximadamente 114 cm 2 , a medida do
ângulo AÔE é 120º e a área do retângulo ABCD é 48 cm 2 , então a área da figura sombreada é de,
aproximadamente,
a) 50 cm 2
Solução:
b) 54 cm 2
c) 62 cm 2
d) 76 cm 2
e) -88 cm 2
1
da área do retângulo ABCD, ou seja, 12 cm 2 .
4
Se a área do círculo de centro O e raio x é de, aproximadamente 114 cm 2 , então, a área do setor
1
circular com 120º é de 114, ou seja, 38 cm 2 . Somando-se a área do setor circular com a área do
3
triângulo retângulo, tem-se a área da figura hachurada, que é de 50 cm 2 .
Resposta: letra a.
18) Renato comprou um lote de laranjas e num dia vendeu uma certa quantidade delas a R$ 0,30 o
quilo, obtendo um lucro de R$ 9,00. Em outro dia, vendeu a mesma quantidade das laranjas desse
lote a R$ 0,50 o quilo, obtendo um lucro de R$ 21,00. Considerando-se essas informações, qual o
preço de cada quilo de laranjas do lote originalmente comprado por Renato?
a) R$ 0,11
b) R$ 0,12
c) R$ 0,15
d) R$ 0,18
e) R$ 0,20
Solução:
Na primeira operação, Renato vendeu x quilos de laranja a R$ 0,30 o quilo,lucrou R$ 9,00 e
pagou, por esses mesmos x quilos a importância y . Pode-se, então, escrever a seguinte equação:
0,3x = y + 9
Na segunda operação, Renato vendeu x quilos de laranja a R$ 0,50 o quilo,lucrou R$ 21,00 e
pagou, por esses mesmos x quilos a importância y . Pode-se, então, escrever a seguinte equação:
0,5 x = y + 21
0,5 x = y + 21
por adição, tem-se: x = 60 e y = 9 . Então, cada quilo da
Resolvendo-se o sistema: 
0,3x = y + 9
9
3
laranja vale:
=
= 0,15
60 20
Resposta: letra c.
19) Durante o mês de janeiro, dois postos de gasolina – Veredas e Avenida – venderam três tipos
de combustível: álcool, diesel e gasolina, em milhares de litros conforme a seguinte tabela:
Álcool Diesel Gasolina
Veredas
53
12
176
Avenida
76
23
152
Analisando a tabela, pode-se afirmar que, no mês de janeiro, a quantidade
A área do triângulo retângulo AOD representa
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80
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a) de álcool vendida nesses dois postos foi de 119 mil litros.
b) de combustível vendida no posto Veredas foi de 241 mil litros.
c) de álcool e diesel vendida no posto Avenida é inferior à vendida no posto Veredas.
d) de álcool e gasolina vendida no posto Avenida é maior que a vendida no posto Veredas.
e) de diesel vendida no posto Veredas excede em 11 mil litros aquela vendida no posto Avenida.
Solução:
Da tabela dada, tem-se:
Álcool Diesel Gasolina TOTAIS
Veredas
53
12
176
241
Avenida
76
23
152
251
TOTAIS
129
35
328
492
Resposta: letra b.
20) O lucro obtido com a venda de uma unidade de calças é (x − 15) u.m., em que x u.m. é o
preço de venda e 15 u.m, o preço de custo. A quantidade vendida depende do preço de venda e é
igual a (85 − x ) . Nessas condições, o lucro máximo obtido com a venda das calças é de
a) 1000 u.m.
b) 1025 u.m.
c) 1125 u.m.
d) 1200 u.m.
e) 1225 u.m.
Solução:
Do enunciado do problema, pode-se escrever:
L = ( x − 15) ⋅ (85 − x ) , onde L é o lucro total;
R = (85 − x ) ⋅ x , onde R é a receita total; e
C = 15 ⋅ (85 − x ) , onde C é o custo total.
O candidato não necessita, nesta questão, equacionar as funções receita e custo, uma vez que a
função lucro já está definida e é ela que se quer maximizar...
Para se obter o valor máximo de uma função do segundo grau, basta encontrar o seu vértice.
O vértice da função L = ( x − 15) ⋅ (85 − x ) é o ponto médio entre seus zeros. Os zeros da função
lucro são facilmente determinados, uma vez que a função se apresenta em sua forma fatorada. São
eles: 15 e 85. O ponto médio (abscissa do vértice) é 50.
Substituindo-se o valor x = 50 na função lucro, tem-se: L = (50 − 15) ⋅ (85 − 50 ) = 1225
Resposta: letra e.
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1) Uma farmácia de manipulação produz mensalmente 10 frascos do xarope A, 20 do xarope B e
35 do xarope C. Todos os frascos têm capacidade de 100 ml. Os três xaropes são fabricados
utilizando-se, em sua composição, 40% de água destilada e as substâncias X, Y, Z e W. A tabela
abaixo mostra as percentagens das quatro substâncias que são utilizadas na fabricação dos três
xaropes.
X
Y
Z
W
Xarope A
10%
20%
0%
30%
Xarope B
15%
20%
5%
20%
Xarope C
20%
20%
10%
10%
Sabendo-se que essas quatro substâncias são utilizadas por essa farmácia apenas na fabricação
desses três xaropes, as quantidades mínimas que se devem comprar mensalmente são
a) 1.100 ml de X, 1.300 ml de Y, 450 ml de Z e 1.050 ml de W.
b) 2.925 ml de X, 3.900 ml de Y, 975 ml de Z e 3.900 ml de W.
c) 3.900 ml de X, 3.900 ml de Y, 975 ml de Z e 2.925 ml de W.
d) 2.550 ml de X, 3.100 ml de Y, 1.005 ml de Z e 3.100 ml de W.
e) 1.200 ml de X, 1.400 ml de Y, 550 ml de Z e 1.500 ml de W.
Solução:
Cálculo da quantidade do xarope X :
(10 × 0,1 + 20 × 0,15 + 35 × 0,2) × 100 = 1100 ml de X.
O raciocínio para o cálculo das outras quantidades é o mesmo. entretanto, o candidato não
necessita calcular as outras quantidades, uma vez que há apenas uma alternativa que aponta esse
resultado...
Resposta: letra a.
2) Um administrador de um fundo de ações dispõe de ações de 12 empresas distintas para venda,
dentre as quais encontram-se as empresas A, B e C. Ele deseja formar carteiras utilizando 8 dessas
empresas de modo que as duas regras abaixo sejam satisfeitas.
• A empresa A compõe a carteira se, e somente se, a empresa B também a compõe.
• A empresa C compõe a carteira se, e somente se, a empresa A não a compõe
Assim, o número de carteiras distintas que ele pode formar pode ser escrito como:
b) C 9, 6 + C10 ,8 = 129
c) C 9, 6 + C 9 , 7 = 120
a) A9 , 6 + A9, 7 = 241920
d) A9 , 6 + A9,8 = 423360
e) C12,8 + C 9,5 = 369
Solução:
Seguindo-se as regras estabelecidas no enunciado, basta monitorar a presença das ações da
empresa A no fundo, ou seja:
a) Com as ações da empresa A no fundo (obviamente, a empresa B também estará presente). Aqui
as ações da empresa C não estarão presentes. Desse modo, sobrarão seis vagas no fundo de ações
para serem preenchidas por ações das nove empresas restantes, ou seja: C9, 6 ;
b) Sem as ações da empresa A no fundo (obviamente, a empresa B também estará excluída do
fundo). Aqui as ações da empresa C podem ou não estar presentes. Desse modo, serão apenas 10
as empresas que poderão ter suas ações no fundo, ou seja: C10,8 .
A solução final é dada pela soma dos cálculos efetuados acima: C 9 , 6 + C10,8 = 129
Resposta: letra b.
3) Uma fábrica produz certo tipo de cadeira ao custo de R$ 30,00 cada. Se a fábrica vender
(242 − 4q ) cadeiras por mês, onde q é o preço em reais de cada cadeira, o valor de q para que a
fábrica tenha lucro máximo é
a) R$ 15,25
b) R$ 18,00
c) R$ 33,25
d) R$ 40,50
e) R$ 45,25
Solução:
A função lucro é dada por: L = R − C , onde L é o lucro R é a receita e C é o custo.
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Com os dados do problema, pode-se escrever:
R = q ⋅ (242 − 4q )
C = 30 ⋅ (242 − 4q )
Então, a função lucro é dada por: L = (242 − 4q ) ⋅ q − 30 ⋅ (242 − 4q ) . Colocando-se o fator comum
em evidência, tem-se: L = (242 − 4q ) ⋅ (q − 30 ) . Uma função do segundo grau tem seu máximo no
vértice. A abscissa do vértice de uma função do segundo grau é o ponto médio entre suas raízes.
Como a função já está fatorada, os cálculos são facilitados:
242 − 4q = 0 ⇒ q = 60,5
60,5 + 30
= 45,25
, cuja média é:
q − 30 = 0 ⇒ q = 30
2
Resposta: letra e.
4) Os dados da tabela abaixo se referem às idades dos funcionários de uma empresa
Classe
Freqüência
1
18 | 22
2
22 | 26
5
26 | 30
10
30 | 34
22
34 | 38
20
38 | 42
10
42 | 46
5
46 | 50
∑ f i = 75
i
A idade média das pessoas que trabalham na empresa e a porcentagem de funcionários que têm
idade igual ou superior a 38 são, respectivamente,
a) 35,4 e 40%
b) 35,4 e 62,5%
c) 37,3 e 45%
d) 37,3 e 46,66%
e) 42,3 e 46,66%
Solução:
Inicia-se o cálculo pela porcentagem de funcionários que têm idade igual ou superior a 38, por ser
20 + 10 + 5
≅ 46,67% .
um cálculo mais simples:
75
Há duas alternativas possíveis: d ou e
A partir daqui, antes de calcular a média (que envolveria um volume de cálculos bem maior), o
candidato poderá pensar do seguinte modo: a média é uma medida de tendência central, isto é,
tende a estar próxima do centro da distribuição. A classe mais provável para a localização da
média é 34 | 38
Resposta: letra d.
5) Há 10 funcionários em uma empresa, todos com curso superior completo. Desses, 4 são
formados em administração, 2 em economia, 3 em contabilidade e 1 em engenharia. Selecionandose ao acaso 4 desses funcionários, a probabilidade de cada um ser de uma área diferente é de,
aproximadamente,
a) 1%
b) 3%
c) 6%
d) 8%
e) 11%
Solução:
Sejam:
4
P( A) = , a probabilidade de o funcionário ter curso de administração;
10
2
P (E ) =
, a probabilidade de o funcionário ter curso de economia;
10
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3
, a probabilidade de o funcionário ter curso de contabilidade; e
10
1
P( N ) = , a probabilidade de o funcionário ter curso de engenharia.
10
Há duas considerações a serem feitas:
1) a ordem dos sorteios é aleatória; e
2) os sorteios são feitos sem reposição.
A aleatoriedade dos sorteios é dada por P4 = 4!= 24 (permutação de 4). A solução final é dada por:
4 3 2 1
24 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≅ 0,11 , ou 11%
10 9 8 7
Resposta: letra e.
6) Considere-se que 3 impressoras idênticas, trabalhando durante 10 horas por dia, levam 5 dias
para fazer determinado trabalho. Numa situação de emergência, em que esse mesmo trabalho
precisa ser realizado em apenas 4 dias, a jornada de trabalho diário dessas impressoras deve ter a
duração de
a) 8 h
b) 10 h 30 min
c) 12 h
d) 12 h 30 min
e) 14 h
Solução:
Uma regra de três simples inversa resolve o problema:
dias
h/dia
5  10
x
4
5 × 10
x=
= 12,5 , ou 12h 30min.
4
Resposta: letra d.
7) Uma indústria que produz materiais escolares da marca X fez uma pesquisa com 6000 alunos
de escolas públicas para saber se estes utilizam seus produtos (caderno X , lápis X e caneta X ).
Os dados obtidos nessa pesquisa são sumarizados na tabela abaixo,
Produtos
Número de alunos que utilizam
Caderno X
600
Lápis X
2000
Caneta X
1500
Caderno e lápis X
500
Caderno e caneta X
300
Lápis e caneta X
700
Caderno, lápis e caneta X
200
A partir das informações acima, analise a veracidade das afirmações apresentadas a seguir.
I.
O conjunto dos alunos que utilizam apenas cadernos da marca X é vazio.
II.
O conjunto dos alunos que não utilizam produtos da marca X possui 3200 elementos.
III. O conjunto dos alunos que utilizam apenas canetas e lápis da marca X possui 700
elementos.
a) apenas I
b) apenas III
c) apenas I e II
d) apenas I e III
e) apenas II e III
Solução:
No diagrama abaixo, inicia-se a distribuição dos valores pela área hachurada em amarelo. A seguir
preenchem-se as áreas em azul, e, após as áreas em verde. A diferença entre o total de elementos
pesquisados (6000) e aqueles contidos nos diagramas K (cadernos), C (canetas) e L (lápis) é o
número de elementos que está apenas no retângulo (3200).
P(C ) =
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Do diagrama acima, pode-se julgar as afirmações feitas na questão:
I.
VERDADEIRA!
II.
VERDADEIRA!
III. FALSO!
Resposta: letra c.
8) Marcelo comprou de um feirante tomates, abóboras e cebolas, cujos preços respectivos por
quilograma eram de R$ 2,50, R$ 0,50 e R$ 0,80. O feirante tinha uma balança de equilíbrio e havia
perdido os pesos menores, impossibilitando que se realizasse a pesagem individual. Assim, ele fez
a pesagem, da seguinte forma:
• Tomates, abóboras e cebolas pesaram, juntos, 10 kg;
• Abóboras e cebolas pesaram, juntos, 7 kg;
• Abóboras e tomates pesaram, juntos, 8 kg.
Quanto Marcelo pagou ao feirante pelos tomates, abóboras e cebolas?
a) R$ 9,00
b) R$ 9,60
c) R$ 9,90
d) R$ 10,30
e) R$ 11,60
Solução:
Do enunciado, escrevem-se as seguintes equações:
T + A + C = 10
A+C = 7
A+T = 8
Da primeira e da segunda equações, calcula-se que T = 3 . Substituindo-se esse resultado na
terceira equação, vem: A = 5 . Da equação 2 tem-se que C = 2 . O valor total pago pelos três
produtos é dado por 2,5 ⋅ T + 0,5 ⋅ A + 0,8 ⋅ C , que resulta num total de R$ 11,60.
Resposta: letra e.
9) O valor aplicado em um fundo de renda fixa é alterado a cada mês com acréscimo de 5% em
relação ao mês anterior. Se não são feitos resgates, a seqüência dos valores mensais aplicados
nesse fundo é uma progressão
a) geométrica de razão 0,5
b) geométrica de razão 0,005
c) geométrica de razão 1,05
d) aritmética de razão 5
e) aritmética de razão 0,05
Solução:
A cada mês, a partir do primeiro, o valor aplicado é multiplicado por 1,05 (fator multiplicativo
para uma taxa de 5%). Então, a seqüência dos valores mensais aplicados nesse fundo é uma
progressão geométrica de razão 1,05.
Resposta: letra c.
10) Sabendo-se que as ruas 1 e 2 abaixo são paralelas, qual a menor distância entre elas?
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85
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a) 150 2 m
b) 300 m
c) 100 3 m
Solução:
O triângulo abaixo é retângulo e isósceles.
d) 150 m
e) 100 m
onde x é a distância entre as duas ruas.
Pode-se encontrar o valor de x de duas formas:
1) Aplicando-se o Teorema de Pitágoras no triângulo: 300 2 = x 2 + x 2 ⇒ 2 x 2 = 300 2 ⇒
300 2
300
300 2
x=
⇒x=
. Racionalizando... x =
⇒ x = 150 2
2
2
2
2) Aplicando-se uma das relações métricas no triângulo retângulo: um cateto qualquer é dado pelo
produto da hipotenusa pelo seno do ângulo oposto a este, ou pelo co-seno do ângulo adjacente:
2
x = 300. cos(45º ) ⇒ x = 300 ⋅
⇒ x = 150 2
2
Resposta: letra a.
11) As fábricas Alfa e Beta produzem videocassetes. Os lucros dessas empresas são dados,
respectivamente, por Lα ( x ) = 12000 x − 100000 − 200 x 2 e Lβ ( x ) = 1000 x + 20000 , onde x
representa a quantidade vendida mensalmente e 0 ≤ x ≤ 60 . O lucro de Alfa supera o de Beta
quando a quantidade vendida no mês
a) é superior a 15.
b) é inferior a 40.
c) é superior a 10 e inferior a 50.
d) é superior a 15 e inferior a 40.
e) é inferior a 10 e superior a 50.
Solução:
A interseção entre as duas funções fornece o intervalo em que uma das funções tem lucro superior
à outra: 12000 x − 100000 − 200 x 2 = 1000 x + 20000 ⇒ 200 x 2 − 11000 x + 120000 = 0 dividindo-se
por 200, vem: x 2 − 55 x + 600 = 0 , cujas raízes são 15 e 40 (o leitor pode pegar “dicas” das
possíveis raízes pelas alternativas da questão).
Resposta: letra d.
12) Pedro fez uma aplicação de R$ 10000,00 em um determinado banco e obteve, após 2 anos,
segundo o banco, R$ 4400,00 de juros. Se a inflação foi de 10% a.a., a taxa anual de juros real
ganha foi de, aproximadamente,
a) 20%
b) 15%
c) 12%
d) 10%
e) 9%
Solução:
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86
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Capital aplicado: C = 10000 .
Prazo da aplicação: n = 2 anos.
Juros: J = 4400
A soma do capital com os juros fornece o montante (M): M = C + J ⇒
M = 10000 + 4400 = 14400
n
Usando a fórmula do montante para juros compostos: M = C ⋅ (1 + i ) , calcula-se a taxa anual da
aplicação:
2
14400 = 10000 ⋅ (1 + i )
14400
2
= (1 + i )
10000
(1 + i )2 = 1,44
(1 + i ) = 1,44
(1 + i ) = 1,2
i = 20%
A taxa da aplicação é de 20% ao ano. Se a taxa da inflação anual é de 10%, deveremos deflacionar
a taxa de aplicação pela seguinte fórmula:
1 + iap
1 + ir =
, onde ir é a taxa real, iap é a taxa aparente e ii é a taxa de inflação. Substituindo-se
1 + ii
1 + 0,2
os dados, vem: 1 + ir =
⇒ 1 + ir = 1,0909 ⇒ ir = 0,0909 ⇒ ir ≅ 9,1%
1 + 0,1
Resposta: letra e.
13) O esboço da planta de uma casa, apresentada abaixo, tem escala 1:100, ou seja, cada medida
de 1 cm representa uma medida real de 100 cm.
Sabendo-se que a área real da casa é 150 m 2 , qual é a área real da sala?
b) 72 m 2
c) 52 m 2
d) 48 m 2
a) 80 m 2
Solução:
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87
e) 5 m 2
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As dimensões que faltam para os cálculos estão representadas na figura acima. Sua área é
8 × 6 + 2 × 2 = 52 m 2
Resposta: letra c.
14) Os elementos d ij de uma matriz Dn×n representam as distâncias (em quilômetros) entre as
cidades i e j , e os elementos cij de uma matriz C n×n representam o custo por quilômetro do
transporte da cidade i para a cidade j (sendo que o custo de transporte da cidade i para a cidade
j é diferente do custo de transporte da cidade j para a cidade i ). Se A = D ⋅ C , a11 representa
a) a soma dos custos de transporte das cidades 2, 3, ..., n para a cidade 1.
b) a soma dos custos de transporte das cidades 2, 3, ..., n para a cidade 2.
c) o custo de transporte da cidade 1 para a cidade 2.
d) a soma das distâncias entre as cidades 2, 3, ..., n e a cidade 1.
e) a soma das distâncias entre as cidades 2, 3, ..., n e a cidade 2.
Solução:
O produto matricial que representa a matriz A = D ⋅ C é realizado da seguinte forma:
Multiplicam-se as linhas da matriz D pelas colunas da matriz C . Desse modo, o elemento a11 da
matriz A representa o seguinte resultado: a11 = d11 ⋅ c11 + d 12 ⋅ c 21 + d13 ⋅ c 21 + ... + d1n ⋅ c n1 , que
equivale à soma dos custos de transporte das cidades 2, 3, ..., n para a cidade 1
Resposta: letra a.
15) Ontem, Paulo comprou, numa loja de conveniência, 2 litros de leite, 5 pães e 3 doces por R$
5,00. hoje, ele comprou, na mesma loja, os mesmos produtos, porém, em quantidades diferentes: 1
litro de leite, 3 pães e 2 doces por R$ 3,10. Se, amanhã, ele comprar 1 litro de leite, 2 pães e 1
doce, quanto pagará, supondo-se que não houve alteração de preços nesses três dias?
a) R$ 1,00
b) R$ 1,50
c) R$ 1,90
d) R$ 2,10
e) R$ 2,70
Solução:
Sejam as variáveis:
t : número de litros de leite;
p : quantidade de pães; e
d : quantidade de doces.
Podem-se escrever as seguintes equações:
2t + 5 p + 3d = 5,0
t + 3 p + 2d = 3,1
O problema pede o valor pago por: t + 2 p + d .
Observe o leitor que basta subtrair as equações dadas, membro a membro, para se obter:
t + 2 p + d = 1,9
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88
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Resposta: letra c.
16) O perímetro do hexágono regular inscrito numa circunferência de raio unitário é
π 
π 
π 
π 
π 
a) 12 sen 
b) 6sen 
c) 12 cos 
d) 6 cos 
e) 6tg  
6
6
6
6
6
Solução:
O lado do hexágono regular inscrito em uma circunferência de raio r é igual ao raio. Na questão,
o raio é igual a 1, logo, o lado do hexágono também é igual a 1. Desse modo, o perímetro do
hexágono é igual a 6.
π  1
Sabendo-se que sen  = , a resposta está na alternativa a
6 2
Resposta: letra a.
17) Se log a x = log a y , com a > 1 e x, y > 0 , então x = y . Qual das alternativas abaixo avalia e
justifica corretamente essa afirmação?
a) Falsa, pois a função logaritmo não é injetora.
b) Falsa, pois a função logaritmo não é contínua.
c) Verdadeira, pois a função logaritmo é contínua.
d) Verdadeira, pois a função logaritmo (com base maior que 1) é constante.
e) Verdadeira, pois a função logaritmo (com base maior que 1) é estritamente crescente.
Solução:
A proposição traz uma igualdade de duas funções logarítmicas, com base maior do que 1 (a > 1) e
argumentos maiores que zero ( x, y > 0 ). Nestas condições, x = y .
A função logarítmica cuja base é maior do que 1 é estritamente crescente.
Resposta: letra e.
18) Analise as seguintes afirmações:
I. É mais provável obter o número 4 ou 5 no lançamento de um dado do que obter dois números
iguais no lançamento simultâneo de dois dados.
II. Se certo produto é vendido por R$ 100,00 pela loja A e por R$ 130,00 pela loja B, pode-se
dizer que, na loja B, o preço desse produto está 30% acima do praticado pela loja A, e que, nesta, o
preço é 30% menor do que o praticado pela loja B.
III. Obter 9 acertos em 15 tentativas é um desempenho inferior a obter 10 acertos em 16 tentativas,
porém superior a obter 8 acertos em 14 tentativas.
Está(ao) CORRETA(S)
a) apenas I.
b) apenas II
c) apenas I e II
d) apenas I e III
e) apenas II e III
Solução:
2
I. A probabilidade de se obter 4 ou 5 no lançamento de um dado é: , isto é, há 2 casos
6
favoráveis em 6 possíveis. Lembre-se de que aqui os eventos são mutuamente exclusivos!
A probabilidade de se obter dois números iguais no lançamento simultâneo de dois dados é:
6 1
= , isto é, há seis pares de números iguais e 36 pares no total. Comparando-se os dois
36 6
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89
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2
1
contra ,o que indica ser mais provável se obter 4 ou 5 no lançamento de
6
6
um dado do que se obter dois números iguais. O item é VERDADEIRO!
II. de 100 para 130, tem-se 30% de variação. Porém, de 130 para 100, a variação é de,
 V − VI 
 × 100 ,
aproximadamente, 23%. Usa-se, aqui, a fórmula da variação percentual: ∆% =  F
V
I


resultados, tem-se:
onde: ∆% é a “variação percentual”; VF é o “valor final”; VI é o “valor inicial”.
O item é FALSO!
9
10
; obter 10 acertos em 16 tentativas é:
; obter 8 acertos
III. Obter 9 acertos em 15 tentativas é:
15
16
8
8
9 10
em 14 tentativas é
. A questão afirma o seguinte:
<
< . Aqui é preciso comparar as
14
14 15 16
frações, o que só é possível se as frações tiverem o mesmo denominador. Primeiramente, uma
8 4 9 3
10 5
simplificação ajuda nos cálculos:
= ,
= e
= . O MMC entre 5, 7 e 8 é 280. As
14 7 15 5
16 8
4 160 3 168
5 175
frações dadas são equivalentes a:
=
,
=
e
=
. Verifica-se, portanto, que
7 280 5 280
8 280
8
9 10
<
< . O item é VERDADEIRO!
14 15 16
Resposta: letra d.
19) A média de idade de 20 funcionários de uma empresa é 30. Sabendo-se que, nessa empresa,
não há funcionários com menos de 18 anos de idade nem com mais de 75, pode-se afirmar que
a) necessariamente, dez desses funcionários têm mais de 20 anos.
b) quatro desses funcionários podem ter 20 anos, quatro podem ter 35, dez podem ter 30 e os
demais podem ter 40 anos.
c) dois desses funcionários podem ter 20 anos, quatro podem ter 25, dez podem ter 35, e os demais
podem ter 40 anos.
d) obrigatoriamente, cada funcionário tem mais de 25 anos.
e) dez desses funcionários podem ter 45 anos.
Solução:
Entre as alternativas, a que apresenta uma afirmação mais completa é a da letra “b”. Com efeito:
4 × 20 + 4 × 35 + 10 × 30 + 2 × 40
= 30 . E mais: observe o leitor que a média é uma medida de
20
tendência central e deve estar acomodada entre valores inferiores e superiores a ela.
Resposta: letra b.
20) Manoel fez um financiamento de R$ 20.000,00 no banco Bradex, pelo prazo de 6 meses, e
recebeu o valor líquido de R$ 18.000,00. Se a taxa de juros que o banco cobra é de 15% a.a., há
também taxa administrativa?
a) Sim, o banco cobra uma taxa administrativa de 1,0%.
b) Sim, o banco cobra uma taxa administrativa de 1,5%.
c) Sim, o banco cobra uma taxa administrativa de 2,0%.
d) Sim, o banco cobra uma taxa administrativa de 2,5%.
e) Não o banco não cobra taxa administrativa.
Solução:
7,5% de R$ 20.000,00 são R$ 1.500,00. Observe o leitor que Manoel teve um desconto de R$
2.000,00 na transação, isto é, R$ 500,00 reais a mais do que os juros. Ora, R$ 500,00 equivalem a
2,5% do valor do empréstimo, logo esta é a taxa administrativa cobrada pelo banco.
Resposta: letra d.
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1) Num certo país, o imposto de renda é cobrado da seguinte forma: os que têm rendimento até
1500 u. m. (unidades monetárias) são isentos; aos que possuem renda entre 1500 u. m. e 6000 u.
m., cobra-se um imposto de 10%; acima de 6000 u. m., o imposto é de 20%. Qual dos seguintes
gráficos melhor representa a situação acima descrita?
a)
b)
c)
d)
e)
Solução:
Observe o leitor que até 1500 u. m. não há imposto cobrado, isto é, o imposto é zero. No intervalo
entre 1500 e 6000 u. m., a alíquota é de 10%. A partir de 6000 u. m., a alíquota “pula” para 20%.
O gráfico que melhor ilustra essa situação é o da alternativa “a”.
Resposta: letra a.
2) Uma caixa sem tampa deve ser construída a partir de um pedaço de papelão cujas dimensões
são 12 por 20 centímetros. Devem-se cortar quadrados de lados x de cada canto e depois dobrar,
conforme mostra a figural o volume da caixa, em função do valor de x , é
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a) 2 x(10 − x )(12 − x )
c) 4 x(10 − x )(6 − x )
e) x(20 − x )(12 − 2 x )
Solução:
b) 2 x(10 − x )(6 − x )
d) x(20 − 2 x )(12 − x )
O volume de uma caixa é dado pelo produto da área de sua base pela sua altura.. A figura acima
mostra as dimensões da base da caixa, cuja altura é igual a x .Assim sendo, o volume da caixa é:
V = x ⋅ (20 − 2 x ) ⋅ (12 − 2 x ) . Colocando-se o fator “2” em evidência em cada um dos parênteses da
fórmula ao lado, vem: V = 4 x ⋅ (10 − x ) ⋅ (6 − x )
Resposta: letra c.
3) Uma certa linha de ônibus parte da cidade A e vai até a cidade E , parando nas cidades B , C e
D , onde podem descer ou embarcar passageiros. Em cada bilhete de passagem, apresentam-se
impressos os nomes das cidades de origem e de chegada. No sentido do percurso acima, quantos
tipos de bilhetes de passagens são necessários para permitir a viagem entre duas cidades
quaisquer?
a) 5
b) 10
c) 12
d) 15
e) 20
Solução:
O sentido do percurso é único: de A para E. não se menciona no enunciado da questão que o
bilhete é emitido na forma ida-e-volta. Portanto, tem-se uma combinação de 5 pontos tomados
dois a dois, isto é: C5, 2 = 10
Resposta: letra b.
4) Paulo está em casa e precisa chegar em sua empresa às dez horas. Ele sabe que, se dirigir a uma
velocidade média de 80 km/h, levará duas horas e meia para chegar até lá. Sabendo que agora são
oito horas, a velocidade média a que Paulo deverá guiar seu carro para chegar em sua empresa na
hora desejada é
a) 70 km/h
b) 85 km/h
c) 90 km/h
d) 95 km/h
e) 100 km/h
Solução:
Em duas horas e meia, dirigindo a 80 km/h, percorre-se a distância de: 80 × 2,5 = 200 km. Esta é a
distância da casa do Paulo até seu local de trabalho. Como Paulo tem apenas 2 horas para percorrer
200 km, deverá dirigir à velocidade média de 100 km/h para chegar a tempo até sua empresa. O
leitor poderá comprovar esses cálculos por meio de regras de três simples inversas.
Resposta: letra e.
5) Um pai repartiu seu capital em partes iguais entre seus três filhos. Hoje, a parte do primeiro está
aumentada de 2/3 em relação ao que recebeu, a do segundo, diminuída de 3/5, e a do último está
igual. Sabendo-se que o primeiro tem 190.000 u.m. a mais que o segundo, as fortunas atuais do
primeiro, do segundo e do terceiro filho são, respectivamente,
a) 500.000 u.m., 310.000 u.m. e 300.000 u.m.
b) 310.000 u.m., 120.000 u.m. e 300.000 u.m.
c) 290.000 u.m., 100.000 u.m. e 150.000 u.m.
d) 250.000 u.m., 60.000 u.m. e 150.000 u.m.
e) 250.000 u.m., 100.000 u.m. e 120.000 u.m.
Solução:
Cada filho recebeu, inicialmente, x unidades monetárias. Hoje, cada filho tem, respectivamente:
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2
3
x , x − x e x . Se o primeiro tem hoje 190.000 a mais do que o segundo, então:
3
5
2
3
x + x = 190000 + x − x
3
5
5
2
x = 190000 + x
3
5
5
2
x − x = 190000
3
5
19
x = 190000
15
x = 150000
5
desta quantia, isto é:
Isto significa que o terceiro filho tem hoje 150.000, o primeiro tem
3
2
250.000 e o segundo tem dessa quantia, isto é: 60.000.
5
Resposta: letra d.
6) A fazenda Gaves cria gado e frango. Se, em dado momento, há, no total, 135 cabeças e 352
pernas de animais em criação, o número de frangos é
a) 41
b) 46
c) 54
d) 94
e) 108
Solução:
Monta-se um sistema de duas equações com duas incógnitas:
 g + f = 135
. Pare se resolver o sistema pelo método da adição, basta multiplicar-se a primeira

4 g + 2 f = 352
equação por -2, adicionando-se as duas a seguir:
− 2 g − 2 f = −270

4 g + 2 f = 352
x+
2 g = 82
g = 41
Então, f = 94
Resposta: letra d.
7) Num restaurante, podem ser atendidas 204 pessoas simultaneamente. Para que se sentem no
máximo seis pessoas em cada mesa, o número de mesas devem ser, pelo menos,
a) 25
b) 27
c) 34
d) 36
e) 40
Solução:
204 ÷ 6 = 34
Resposta: letra c.
8) A inequação (x − 1)(2 − x ) ≥ 0 é satisfeita se
a) x ≤ 1 ou x ≥ 2
b) 1 ≤ x ≤ 2
c) x ≤ 2
e) x ≥ 1
d) x ≥ 2
Solução:
Inequação-produto se resolve, inicialmente, encontrando-se suas raízes. Neste caso, as raízes são 1
e 2. A regra indica que se deve colocar entre as raízes, o sinal contrário ao coeficiente do termo de
maior grau, e, fora das raízes, o mesmo sinal do coeficiente de maior grau. Como o coeficiente do
termo de maior grau na inequação acima é negativo, segue-se que a inequação em tela é maior ou
igual a zero para um valor de x entre as suas raízes, ou seja: 1 ≤ x ≤ 2
Resposta: letra b.
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9) Numa festa, havia 50 pessoas que dançavam. A primeira mulher dançou com 3 homens; a
segunda, com 4; a terceira, com 5 e assim sucessivamente, até que a última mulher dançou com
todos os homens. Assim, dançaram no baile
a) 23 homens e 27 mulheres
b) 25 homens e 25 mulheres
c) 26 homens e 24 mulheres
d) 28 homens e 22 mulheres
e) 30 homens e 20 mulheres
Solução:
A primeira mulher dançou com 2 + 1 homens;
A segunda mulher dançou com 2 + 2 homens;
A terceira mulher dançou com 2 + 3 homens;
e assim, sucessivamente, até que a última mulher dançou com
2 + n homens, onde n indica o número de mulheres. O raciocínio acima já sugere que o número
de mulheres é duas unidades inferior ao número de homens. Dentre as alternativas, apenas a da
letra “c” aponta uma resposta na qual o número de mulheres é duas unidades inferior ao número de
homens. Portanto, esta é a solução procurada.
Continuando a solução iniciada acima, pode-se escrever a seguinte equação:
2 + n + n = 50
. Há, portanto, 24 mulheres e 26 homens na festa.
n = 24
Resposta: letra c.
10) Considerando a dízima x = 0,1666666... qual a fração que a gerou?
16
15
b)
a)
90
90
16
15
c)
d)
100
100
e) Não existe uma fração que gere a dízima
Solução:
Observe que o número x é uma dízima periódica. Toda dízima periódica tem uma fração geratriz,
logo, a alternativa “e” já pode ser descartada. Observe, também,que as alternativas “c” e “d”
mostram números decimais e também devem ser descartadas. O candidato teria, então, 50% de
chance de acertar esta questão “no chute”, pois teria que escolher uma das alternativas “a” ou “b”.
O número x pode ser escrito da seguinte forma:
x = 0,1 + 0,0666...
1
6
x= +
10 90
15
x=
90
Resposta: letra b.
11) Joaquim deve remeter R$ 5.600,00 a seu filho Manoel, que está em Paris. Nesse dia, o câmbio
entre o Brasil e Nova Iorque estava a R$ 2,90, entre o Brasil e Paris estava a R$ 3,70 e entre Paris
e Nova Iorque estava a 0,80 euros. Assim, pode-se afirmar que
a) se Joaquim realizar uma remessa direta, Manoel receberá aproximadamente 1.513,00 euros.
b) se Joaquim realizar uma remessa indireta, Manoel receberá aproximadamente 1.394,00 euros.
c) se Joaquim realizar uma remessa direta, Manoel receberá aproximadamente 20.888,00 euros
d) se Joaquim realizar uma remessa indireta, Manoel receberá aproximadamente 2.560,00 euros
e) o valor, em euros, que Manoel receberá independe da forma como Joaquim fizer a remessa.
Solução:
A questão informou o câmbio entre o Brasil e Paris, que está cotado a R$ 3,70, logo, Joaquim
5600
≅ 1513
poderá efetuar o cálculo direto, da seguinte forma:
3,7
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Resposta: letra a.
12) O Sr. Gumercindo deve ao Banco Z 3.000 u.m. com vencimento em 2 anos e 4.500 u.m. com
vencimento em 4 anos. Ele pretende saldar suas dívidas por meio de um único pagamento a ser
realizado no final de 3 anos. Se a taxa de juros compostos for de 10% a.a., o valor que mais se
aproxima desse pagamento único será de
a) 7.900 u.m.
b) 7.700 u.m.
c) 7.600 u.m.
d) 7.500 u.m.
e) 7.400 u.m.
Solução:
O fluxo de caixa da operação é:
Para avançar na linha do tempo, multiplica-se o valor por (1 + i ) ;
n
Para recuar na linha do tempo, divide-se o valor por (1 + i ) .
Desse modo, o novo valor da dívida do Sr. Gumercindo será dado por:
4500
3000 ⋅ 1,1 +
≅ 7400
1,1
Resposta: letra e.
13) No gráfico abaixo, têm-se a oferta de fundos de investimentos e a procura de fundos de
investimentos, para as quais i0 é a taxa pura de juros e M 0 é o montante de capital. Sobre esse
gráfico, é correto afirmar que
n
a) M 0 corresponde ao retorno máximo esperado de um investimento.
b) M 0 corresponde ao retorno mínimo esperado de um investimento.
c) a taxa i0 é uma taxa de juros pura porque inclui o fator de risco, o qual está associado às
operações de mercado.
d) admitindo-se a hipótese de mercado perfeito, qualquer valor pode ser obtido ou aplicado a uma
taxa maior que i0 .
e) a taxa i0 corresponde à situação de equilíbrio, segundo a qual o montante de capital procurado é
M0.
Solução:
O ponto mais importante em um gráfico de oferta e demanda (procura) é o ponto de equilíbrio. A
única alternativa que menciona a situação de equilíbrio é a da letra “e”;
Resposta: letra e.
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14) Considere-se a seguinte seqüência de valores, à qual falta apenas um número: 5, 7, 10, 12, 15,
20, 27. Sabendo-se que a média aritmética do conjunto é 13, qual é o número que está faltando?
a) 8
b) 10
c) 12
d) 15
e) 20
Solução:
5 + 7 + 10 + 12 + 15 + 20 + 27 + x
= 13
8
x=8
Resposta: letra a.
15) A empresa Rinox produz recipientes cilíndricos com 1 m de raio externo e 3 m de altura, os
quais são vendidos sem pintura. Um cliente fez um pedido de 100 recipientes, cujas laterais
externas deveriam ser pintadas de amarelo. Diante disso, a fábrica teve de contratar uma empresa
de pinturas. Sabe-se que essa empresa cobra 10 u.m. por metro quadrado de pintura, incluindo a
tinta. Qual, dentre os valores apresentados a seguir, melhor aproxima o custo para a Rinox da
pintura desses recipientes?
a) 3.000 u.m.
b) 6.000 u.m.
c) 9.000 u.m.
d) 18.000 u.m.
e) 30.000 u.m.
Solução:
A área lateral de um cilindro é dada pelo produto do perímetro de sua base pela altura do cilindro,
isto é:
AL = 2πrh .
A área lateral de todos os 100 cilindros é: 100 × 2 × 3,14 × 1 × 3 = 1884 m 2 . O custo por metro
quadrado é 10 u.m., logo, o valor total a ser pago pela empresa Rinox é de, aproximadamente,
18840 . O valor, entre as alternativas, que mais se aproxima deste é o da alternativa “d”
Resposta: letra d.
16) A empresa Vax fabrica um determinado produto. Se o lucro da produção de x unidades é dado
por L( x ) = 6(− x − 3)( x − 67 ) , quantas unidades a fábrica deveria produzir para obter o lucro
máximo?
a) 213
b) 85
c) 35
d) 32
e) 18
Solução:
Observe que a função lucro é quadrática e sua concavidade está voltada para baixo. O máximo
valor atingido por uma função quadrática está localizado no seu vértice. O vértice de uma parábola
é facilmente encontrado calculando-se o ponto médio de suas raízes. Como a função lucro foi dada
em sua forma fatorada, as raízes podem ser encontradas rapidamente e são -3 e 67. o ponto médio
entre -3 e 67 é 32.
Resposta: letra d.
17) Sabendo-se que a seqüência de números 2, 7, 8, 10, 10, 15, 20 não está completa e tem como
única moda o número 8, conclui-se que essa seqüência
a) necessita de, pelo menos, mais um número 8.
b) necessita de, pelo menos, mais dois números 8.
c) necessita de, pelo menos, mais três números 8.
d) necessita de, pelo menos, mais quatro números 8.
e) necessita de, pelo menos, mais cinco números 8.
Solução:
A moda é medida estatística de tendência central que ocorre com maior freqüência. A fim de que o
8 na seqüência acima supere o valor 10 (que ocorre duas vezes), é necessário que haja pelo menos
mais dois 8 na seqüência.
Resposta: letra b.
18) Numa escola de 800 estudantes, 60% são descendentes de alemães; dentre estes, 70% falam
alemão. Todos os estudantes dessa escola que não falam alemão estão inscritos no curso de inglês.
Nessa escola, exatamente 100 estudantes descendentes de alemães não estão inscritos no curso de
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inglês. Quantos estudantes descendentes de alemães e que também falam alemão estão inscritos no
curso de inglês?
a) 480
b) 320
c) 236
d) 70
e) 60
Solução:
800 estudantes, 60% são descendentes de alemães; dentre estes, 70% falam alemão. Todos os
estudantes dessa escola que não falam alemão estão inscritos no curso de inglês. Nessa escola,
exatamente 100 estudantes descendentes de alemães não estão inscritos no curso de inglês.
Quantos estudantes descendentes de alemães e que também falam alemão estão inscritos no curso
de inglês?
60% de 70% de 800 falam alemão nessa escola, ou seja, 0,6 × 0,7 × 800 = 336 falam alemão. Sabese que todos os estudantes que não falam alemão estão inscritos no curso de inglês. Se 100
estudantes descendentes de alemães não estão inscritos no curso de inglês, então restam
336 − 100 = 236 que falam alemão e também estão inscritos no curso de inglês.
Resposta: letra c.
19) Considerando-se que uma tonelada (t ) de areia custa 15 u.m. e que uma tonelada de brita custa
150 u.m., qual dos gráficos abaixo melhor representa as quantidades de areia e de brita que podem
ser compradas com 900 u.m.?
b)
a)
c)
d)
e)
Solução:
900
900
= 60 toneladas de areia e nenhuma de brita ou
=6
15
150
toneladas de brita e nenhuma de areia. A relação entre as quantidades de areia e brita que se podem
Com 900 u. m. podem-se comprar
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comprar com 900 u. m. é linear, logo, o gráfico que melhor representa essa situação é o da letra
“a”.
Resposta: letra a.
20) Sendo A = {x ∈ ℜ − 1 < x ≤ 3}, B = {x ∈ ℜ 2 < x ≤ 5} e C = {x ∈ ℜ x ≤ −1}, podemos afirmar
que
a) A − B = C
b) A ∪ B ∪ C = {x ∈ ℜ − 1 ≤ x ≤ 5}
c) ( A ∪ B ) − C = {− 1}
d) ( A ∩ C ) − B = B
e) A ∩ B ∩ C = ∅
Solução:
Os intervalos podem ser representados na reta numérica, conforme a figura a seguir:
Observe que a interseção das três retas é um conjunto vazio.
Resposta: letra e.
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Prof. Milton Araújo: Matemático, Engenheiro Eletricista e Mestre em Sistemas
pela UFRGS. Atualmente é professor de Matemática Financeira na
Universidade Federal do Rio Grande do Sul – UFRGS e de Matemática II
(Cálculo Diferencial e Integral) na Fundação Getúlio Vargas - FGV-RS
(Decision). Coordenador e professor de Raciocínio Lógico e Quantitativo no
Instituto Integral (preparatório para o Teste ANPAD), desde 2002. Há mais de
15 anos atua em cursos preparatórios para concursos públicos. Pesquisador
acadêmico (UFRGS) na linha de pesquisa operacional, com modelos
matemáticos e computacionais baseados em redes neurais artificiais, algoritmos
genéticos e lógica difusa para previsão de demanda de energia elétrica e preços
de petróleo.
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