Analise Matematica I
2o Semestre de 2005/06
2a Aula Pratica - Semana 6-3 a 10-3
Soluco~es e algumas resoluco~es abreviadas
1. Fazer tabelas de verdade.
2. Ver Texto de apoio - Logica, pag.18-19.
Falsa em R (a condic~ao e falsa para x = 0). Verdadeira em N1 .
Verdadeira em R e em N1 .
Verdadeira em R e em N1 (note-se que se x 2 N1 ent~ao x2 2 N1 ).
Falsa em R e em N1 : por exemplo, para x = 1 e x = 2 ter-se-ia
simultaneamente y = 1 e y = 4.
e) Falsa em R: por exemplo, para y = 0 e x 6= 0, n~ao existe nenhum z
com x = yz . Falsa em N1 : por exemplo, para x = 1 e y = 2 ter-se-ia
z = 21 , que n~
ao e um numero natural.
f) Verdadeira em R e em N1 : por exemplo, para x; y tais que x = y , a
condica~o quanticada transforma-se numa proposica~o verdadeira.
g) Falsa em R e em N1 : por exemplo, para x = 1, y = 2 a igualdade e
falsa.
3. a)
b)
c)
d)
4. a) Falsa em R: se x = 0 a equival^encia e falsa e, logo, a condic~ao quanticada n~ao e verdadeira para todo o x. Verdadeira em N1 : qualquer que
seja x 2 N1 , tem-se que x2 > 0 e verdadeira e, portanto, a equival^encia
e verdadeira para qualquer x 2 N1 .
b) Verdadeira em R: se x e n~ao positivo a implicaca~o e verdadeira. Falsa
em N1 : se x 2 N1 ent~ao x > 0 e verdadeira e a implicac~ao e necessariamente falsa.
c) Verdadeira em R: a cada numero real x corresponde um outro real
(raiz cubica de x) y , tal que y 3 = x e verdadeira. Falsa em N1 : se
x = 2 (por exemplo) n~
ao existe nenhum y 2 N1 tal que y 3 = x (a raiz
cubica de um natural n~ao e necessariamente um numero natural).
d) Falsa em R e em N1 : n~ao existe nenhum numero y tal que y 3 possa
assumir mais do que um valor e, por conseguinte, que y 3 possa ser igual
a todos os reais ou a todos os naturais.
e) Verdadeira em R: para x e y quaisquer, se x y a implicac~ao e
trivialmente verdadeira e, se x < y , como ]x; y [ 6= ;, tomando z neste
intervalo, a implicaca~o e verdadeira. Falsa em N1 : se x e y s~ao dois
naturais tais que y = x + 1, ent~ao n~ao existe nenhum natural tal que
x < z < y e, logo, para certas escolhas de naturais x; y a implica
ca~o e
falsa para qualquer escolha de z natural.
5. a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
^ jf (x)j ,
jf (x)j < ^ x z,
9xy =6 x2,
8y y =6 x2,
9x9y z x =6 x y,
8x9y z x =6 x y,
8x8y z x =6 x y,
9y 8z 9xx > z ^ jf (x)j y,
9y 8z 9xx < z ^ jf (x)j y.
x>z
6. a) Verdadeira;
f) Verdadeira.
b) Falsa;
7. a) Verdadeira;
f) Verdadeira;
b) Verdadeira;
g) Verdadeira;
8.
c) Falsa;
d) Falsa;
c) Falsa;
h) Falsa.
e) Falsa;
d) Falsa;
e) Verdadeira;
; tem 0 elementos;, f;g tem 1 elemento, , f;; f;gg tem 2 elementos,
ff;gg tem 1 elemento.
Algumas relac~oes de inclus~ao e pertenca:
9.
10.
; 2 f;g; ; 2 f;; f;gg; ; 2= ff;gg
f;g 2 f;; f;gg; f;g f;; f;gg; ff;gg f;; f;gg:
Por exemplo, A = f1g, B = f1; f1gg. Se A e um conjunto arbitrario,
pode fazer-se por exemplo B = A [ fAg, e tem-se que A B e A 2 B .
a) P (;) = f;g tem 1 elemento; P (P (;)) = P (f;g) = f;; f;g) tem 2
elementos.
b) fxg 2 P (A) , fxg A , x 2 A.
11. a) Bijectiva;
tiva.
b) Injectiva, n~ao sobrejectiva;
c) Injectiva, n~ao sobrejec-
12. a)
b)
c)
d)
e)
f)
e injectiva: se x3 = z 3 , ent~ao, pela unicidade da raiz cubica, neces sobrejectiva: qualquer que seja y existe x tal que
sariamente x = z . E
3
x = y (exist^
encia de raiz cubica de qualquer real). Logo, e bijectiva.
g e injectiva: se x; y 2 N ent~ao x; y 0 e, portanto, se x2 = y 2 temse, por unicidade da raiz quadrada, x = y . N~ao e sobrejectiva: por
exemplo, n~ao existe x 2 N tal que g (x) = 2. N~ao e bijectiva.
h n~
ao e injectiva: por exemplo, 2 6= 2 e, no entanto, h( 2) = h(2).
sobrejectiva: dado qualquer y 2 R+ , se x = 1 + 1 , ent~ao h(x) = y .
E
y
N~ao e bijectiva.
F n~
ao e injectiva nem sobrejectiva (justicac~ao trivial). N~ao e bijectiva.
G e injectiva: se x; y s~ao dois naturais quaisquer, ent~ao trivialmente,
x 6= y ) G(x) 6= G(y ). N~
ao e sobrejectiva: por exemplo, n~ao existe
1
x 2 N tal que G(x) = 2 . N~
ao e bijectiva.
f (C ) = f 1; 0; 1g, f (D ) = [ 8; 27], f (N) = fn3 : n 2 Ng, f (R) = R.
g (C ) = f0; 1; 2g, g (D ) = [ 1; 4], g (N) = N1 , g (R) = R.
+
h(C ) = f0; 1g, h(D ) = [0; 3], h(N) = N, h(R) = R0 .
f