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4.3 DIAGRAMA DE DESLOCAMENTOS
4.3.1 Introdução
A geometria de uma came é determinada pelo movimento que se pretende induzir ao seguidor. O
problema resolve-se mais facilmente com recurso a uma inversão do mecanismo, considerando a came
estacionária e o seguidor em rotação em sentido oposto, obtendo-se assim o denominado Diagrama de
Deslocamentos.
Na realidade, o processo de concepção de uma came inicia-se pela traçagem do referido diagrama,
em que:
- a abcissa corresponde aos 360o de rotação completa da came,
(devendo ter o perímetro da circunferência principal)
- a ordenada representa o deslocamento linear pretendido do seguidor.
tal como o esboçado na Fig.4.4, aplicado ao caso da came da Fig.4.3.
Figura 4.4 - Diagrama de deslocamentos
Neste diagrama podem identificar-se facilmente os períodos de subida, de retorno e de
estacionamento quer ‘em cima’ quer ‘em baixo’ do seguidor, sendo de salientar que uma came pode
apresentar vários destes estágios ao longo de uma única rotação.
De notar também a existência de pontos de inflexão das curvas, que correspondem aos pontos
primitivos do traçado da came e que, coincidindo com a maior inclinação da curva primitiva, se
traduzem nos pontos de ângulo de pressão máximo.
A abcissa do diagrama divide-se num número conveniente de partes, dependendo unicamente da
precisão requerida para a traçagem, correspondendo a sectores angulares de rotação da própria came.
Obs.: do exposto acima depreende-se que, para a criação de um Diagrama de Deslocamentos,
deverão ter sido definidos previamente os diâmetros do rolete (caso exista) e da circunferência
principal (ou da circunferência de base) da came; a forma de dimensionar estes parâmetros,
assim como as implicações dos seus valores no resultado final, serão abordadas mais adiante
neste capítulo.
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4.3.2 Movimentos Básicos do Seguidor
4.3.2.1 Movimento uniforme
O movimento uniforme (ou, mais exactamente, o movimento a velocidade constante) corresponde a
um deslocamento regido por uma equação do tipo,
y=C⋅θ
em que (y) é o deslocamento do seguidor, (C) uma constante e (θ
θ) o ângulo de rotação da came.
Considerando que se pretende uma elevação total (d) numa rotação de (β
β) radianos, então:
d=C⋅β
ou seja,
C = d/β
pelo que,
y = d/β ⋅ θ
ou seja, (y = d) para (θ
θ = β), o que equivale à equação de uma recta - Fig.4.5.
Por sua vez, velocidade e aceleração do seguidor serão dadas por,
v = dy/dt = d/β dθ/dt = d/β⋅ω
a = d2y/dt2 = d/β dω/dt = 0
em que (ω
ω) é a velocidade angular (constante) da came.
Figura 4.5 - Diagrama de movimento uniforme
Nota: no caso de o movimento ser de descida, e não de subida como o ilustrado, a análise e respectivas conclusões
seriam idênticas, sendo apenas necessário ajustar o sinal nas equações acima.
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4.3.2.2 Movimento uniforme modificado
Pelo facto de implicar uma passagem abrupta da condição de repouso à de velocidade constante (e
vice-versa) tornam-se óbvios os inconvenientes da utilização de um movimento uniforme 'puro'.
A situação - que se traduz na existência de acelerações teóricamente infinitas na zona de transição,
como se pode ver na Fig.4.5 - levaria à geração de forças elevadíssimas no ínício do movimento e à
impossibilidade de o seguidor se manter em contacto com a superfície da came, no fim da subida.
Questões similares se põem na sua utilização para o retorno (descida) do seguidor.
Assim, uma solução simples reside no 'arredondamento' das zonas de transição, com o auxílio de
arcos de raio igual à elevação total (d), tal como ilustrado na Fig.4.6.
Figura 4.6 - Movimento uniforme modificado
4.3.2.3 Movimento parabólico
Correspondendo à construção de uma curva de deslocamentos como a da Fig.4.7,
Figura 4.7 - Diagrama de movimento parabólico
a respectiva equação vem como,
y = C ⋅ θ2
expressão que apenas é aplicável para (0 ≤ θ ≤ ponto de inflexão).
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Considerando que o ponto de inflexão é tal que (y = d/2), pelo que (θ
θ = β/2) e (C = 2⋅⋅d/β
β2), então
na primeira parte do movimento,
y = 2⋅d (θ/β)2
e, por seu turno,
v = dy/dt = (4⋅d⋅ω/β2)⋅θ
a = d2y/dt2 = 4⋅d⋅ω2/β2
Para a segunda parte do movimento, após o ponto de inflexão, vem que:
y = C1 + C2 θ + C3 θ2
donde, tendo em atenção que (θ
θ = β) para (y = d),
d = C1 + C2 β + C3 β2
Por sua vez, como para (θ
θ = β) a velocidade é nula e para (θ
θ = β/2) é máxima, então de:
dy/dt = C2⋅ω + 2⋅C3⋅ω⋅θ
resulta que:
0 = C2⋅ω + 2⋅C3⋅ω⋅β
2⋅d⋅ω/β = C2⋅ω + 2⋅C3⋅ω⋅(β/2)
sendo possível calcular:
C1 = -d
C2 = 4⋅d/β
C3 = -2⋅d/β2
Assim, virá finalmente:
y = d⋅[1-2⋅(1- θ/β)2]
v = dy/dt = (4⋅d⋅ω/β)⋅(1-θ/β)
a = d2y/dt2 = -4⋅d⋅ω2/β2
cujos resultados podem ser visualizados na Fig.4.8, em que (B) designa o ponto de inflexão da curva
de deslocamentos, à esquerda e à direita do qual são aplicáveis um ou outro dos grupos de equações
deduzidos acima.
Adicionalmente, a Fig.4.8 inclui a curva correspondente à terceira deriva do deslocamento designada como o impulso ou choque - e que, correspondendo à variação da aceleração, fornece uma
indicação adicional da qualidade do accionamento conseguido.
No caso do movimento parabólico torna-se evidente que, apesar de a aceleração ser constante,
existem situações de impulso 'infinito' no princípio e no fim do movimento, bem como no ponto de
inflexão, sendo assim de esperar alguns problemas de funcionamento nestes pontos.
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Por esta razão, sistemas empregando este tipo de movimento estão sujeitos a consideráveis
restrições de velocidade de rotação.
Figura 4.8 - Movimento parabólico
4.3.2.4 Movimento harmónico simples
A curva para este tipo de movimento pode ser obtida conforme mostra a Fig.4.9, sendo o
deslocamento do seguidor dado por:
y = d/2 ⋅[1-cos(π⋅θ/β)]
Figura 4.9 - Diagrama de movimento harmónico simples
enquanto para a velocidade e a aceleração temos:
v = dy/dt = [π⋅d⋅ω/(2⋅β)]⋅sen(π⋅θ/β)
a = d2y/dt2 = [(d/2) ⋅(π⋅ω/β)2]⋅cos(π⋅θ/β)
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Como mostra a Fig.4.10, os problemas de funcionamento devido à existência de impulso 'infinito'
no início e no fim do movimento levam a restrições na sua aplicação, não muito diferentes daquelas
verificadas para o movimento parabólico.
Figura 4.10 - Movimento harmónico simples
4.3.2.5 Movimento cicloidal
Geometricamente, a curva para pode ser obtida como ilustrado na Fig.4.11, sendo o deslocamento
do seguidor dado por:
y = d ⋅[(θ/β) - (1/2π)⋅sen(2πθ/β)]
Figura 4.11 - Diagrama de movimento cicloidal
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sendo a velocidade e a aceleração dadas por:
v = dy/dt = (d⋅ω/β) ⋅[1 - cos(2πθ/β)]
a = d2y/dt2 = (2πd) ⋅[(ω/β)2⋅sen(2πθ/β)]
Os diagramas correspondentes encontram-se na Fig.4.12. A notória ausência de problemas de
funcionamento faz com que este tipo de perfil seja indicado para mecanismos de alta velocidade.
Figura 4.12 - Movimento cicloidal
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4.4 DETERMINAÇÃO GRÁFICA DO PERFIL DA CAME
4.4.1 Came com Seguidor de Rolete Centrado de Deslocamento Linear
Inicia-se o procedimento dividindo o diagrama de deslocamentos num número conveniente de
partes, tendo em consideração os pontos mais relevantes do movimento - isto é, início e fim de subida,
descida, etc. Estes troços são depois sub-divididos equitativamente, contrabalançando a precisão
requerida com o número de pontos de traçagem a obter. Seguidamente, divide-se a circunferência de
base da came nos sectores angulares equivalentes à divisão efectuada no diagrama de deslocamentos.
Partindo de um diagrama de deslocamentos, como o da Fig.4.13.b) - o valor da ordenada de cada
ponto pode ser transferido para o correspondente raio do sector angular, no desenho da came Fig.4.13.a) - adicionando-o à circunferência principal.
(a)
(b)
Figura 4.13 - Came com seguidor de rolete centrado
A união de todos os pontos assim determinados dá origem à curva primitiva da came, que
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corresponde à trajectória do ponto de traçagem.
Finalmente, o esboço das circunferências do rolete em todos os ponto determinados, e a traçagem
de uma linha tangente a todas elas, permite a obtenção da superfície da came.
4.4.2 Came com Seguidor de Rolete Descentrado de Deslocamento Linear
No desenho da came, começa-se por traçar uma circunferência de raio igual ao descentramento do
seguidor (distância, na perpendicular, entre a linha de acção do seguidor e o eixo da came).
Seguidamente divide-se esta circunferência no número de sectores angulares correspondentes às
divisões definidas no diagrama de deslocamentos. Na intercepção de cada um dos raios, assim
marcados, com a circunferência de descentramento traçam-se as respectivas perpendiculares Fig.4.14.
Nota: estas perpendiculares correspondem, de facto, à linha de acção do seguidor
Figura 4.14 - Came com seguidor de rolete descentrado
A transferência dos valores das ordenadas do diagrama de deslocamentos é feita para estas
perpendiculares, definindo os pontos da curva primitiva. A continuação do procedimento é idêntica ao
caso do rolete centrado.
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4.4.3 Came com Seguidor de Prato de Deslocamento Linear
O procedimento é genericamente idêntico aos anteriores, para seguidor centrado ou descentrado,
conforme o caso, até à traçagem da curva primitiva.
Tendo em atenção que, neste caso, o ponto de traçagem corresponde ao ponto central do prato, o
passo seguinte é o esboço de linhas perpendiculares à linha de actuação do seguidor, passando pelo
ponto de traçagem (que, na realidade, são esboços da superfície de contacto do prato).
A curva da came obtem-se por traçagem de uma linha tangente à superfícies do prato, em todas as
posições definidas.
Adicionalmente, é possível determinar a largura mínima do prato que, dependendo do diagrama de
deslocamentos, pode não ser simétrico - valores a e b, na Fig.4.15.
Figura 4.15 - Came com seguidor de prato
4.4.4 Came com Seguidor de Rolete de Deslocamento Angular
Inicia-se o procedimento por traçar a circunferência correspondente ao eixo de rotação do seguidor,
com centro no eixo da came, dividindo-a depois no número de sectores angulares previamente definido
no diagrama de deslocamentos (1”, 2”, ..., na Fig.4.16).
Nota: nestes casos, a ordenada do diagrama de deslocamentos corresponde a variações angulares e
não lineares
Seguidamente, esboça-se o seguidor na sua posição de partida e sobrepõe-se-lhe o arco de oscilação
pretendido, marcando-lhe as diferentes posições angulares (1’, 2’,...) constantes do diagrama de
deslocamentos.
A curva primitiva é então determinada pela intercepção do arco, com centro no eixo da came, saído
de cada ponto acima referido (1’, 2’, ...) com o arco de raio igual ao comprimento do seguidor (*) e
centro no eixo da posição considerada (1”, 2”, ...).
(*) entendendo-se por comprimento do seguidor a distância entre o seu eixo e o eixo do respectivo rolete
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A superfície da came é traçada do mesmo modo que nos casos anteriores.
Figura 4.16 - Came com seguidor oscilante