Questão 1 ALTERNATIVA C Se a quantidade de bactérias dobra em cada dia, e no décimo dia observa­se 1024 bactérias, no nono dia teremos ​
512 ​
bactérias (metade de 1024). Questão 2​
(Solução retirada da ​
OBMEP 2015 ­ Nível 1​
) Questão 3 ALTERNATIVA E b = nº de bolas 100 < b < 140 a) Regina ­­­> 100 < b < 120 b) Paulo ­­­­> 105 < b < 130 c) Iracema ­­­> 120 < b < 140 Um deles está certo. Se a Regina estiver certa, então Paulo tem que estar errado. Portanto devemos ter 100 < b ≤ 105, logo, há 5 possíveis valores de ​
b​
(101, 102, 103, 104 e 105) Se Iracema estiver certa, então Paulo, novamente tem que estar errado. Logo devemos ter 130 ≤ b < 140; portanto, 10 valores possíveis. Se Paulo estiver certo, então Regina e Iracema devem, ambas, estar erradas. Logo devemos ter b=120 que é o único valor coberto apenas pelo Paulo. Portanto, 1 valor possível. Então, os possíveis valores serão a soma dos valores possíveis (desculpe, não sei dizer de outro jeito), a saber: 5 + 10 + 1 = 16. Questão 4 ALTERNATIVA D Papagaio é o único animal que voa, portanto, não pertence ao grupo. Questão 5 ALTERNATIVA B As sequências são formadas por letras minúsculas do alfabeto. As letras são selecionadas com os seguintes critérios: Seleciona­se as letras de trás para frente, na ordem lexicográfica, de cinco em cinco, depois de quatro em quatro, depois de três em três, depois de duas em duas, depois uma a uma. Outra lógica possível seria verificar que a primeira letra das sequências formam uma sequência lexicográfica. Portanto, a alternativa correta é a letra B. Questão 6 ALTERNATIVA D Temos que analisar os casos em que Adriano é um tamanduá ou uma preguiça. Se Adriano é um tamanduá: 1 ­ Adriano diz: “Bruno é uma preguiça”. Portanto, considere que ​
Bruno é uma preguiça​
, já que Adriano sempre fala verdades. 2 ­ Bruno diz: “Carlos é um tamanduá”. Como Bruno é uma preguiça, e sempre diz mentiras, ​
Carlos é uma preguiça.​
3 ­ Carlos diz: ”Daniel e Adriano são diferentes tipos de animais”. Nesse caso, como Carlos é uma preguiça e sempre diz mentiras, isso nos leva que Daniel e Adriano ​
não são animais diferentes. Portanto, ​
Daniel é um tamanduá.​
4 ­ Daniel diz: “Adriano é uma preguiça”. Se Daniel é um tamanduá, ele só pode dizer verdade, e neste caso, estaria considerando Adriano uma preguiça. ​
Mas Adriano é um tamanduá. Como podemos ver, considerar Adriano um tamanduá nos leva à uma ​
contradição​
. Agora, se Adriano é uma preguiça: 1 ­ Adriano diz: “Bruno é uma preguiça”. Como Adriano agora é uma preguiça, está mentindo, e portanto, ​
Bruno é um tamanduá.​
2 ­ Bruno diz: “Carlos é um tamanduá”. Como Bruno diz verdades, ​
Carlos é um tamanduá. 3 ­ Carlos diz: ”Daniel e Adriano são diferentes tipos de animais”. Como Carlos diz verdades, e como Adriano é uma preguiça, ​
Daniel é um tamanduá.​
4 ­ Daniel diz: “Adriano é uma preguiça”. De fato, Adriano é uma preguiça. Daniel disse verdade, como todo tamanduá. Portanto: Adriano é uma preguiça, Bruno é um tamanduá, Carlos é um tamanduá e Daniel é um tamanduá.​
Temos 3 tamanduás. Questão 7 ALTERNATIVA D B + 2 = D; D + 3 = G; G + 4 = L; L + 5 = Q; Q + 6 = ​
X. Questão 8 ALTERNATIVA D Essa é uma sequência de Fibonacci, cuja lei de formação é: Cada elemento, a partir do terceiro, é obtido somando­se os dois elementos anteriores à ele. Seguindo esse lei de formação, os três próximos números serão: 34, 55, 89. A soma dos três números, então: ​
178​
. Questão 9 ALTERNATIVA B Partimos da premissa que todas as proposições são verdadeiras, portanto: 1 ­ Alberto não é médico (V) e Carlos não é médico (V). Conectivo "E" ­> as 2 proposições devem ser verdadeiras para a frase ser toda Verdadeira. Dessa maneira, Aberto e Carlos não são médicos, restando tal profissão para Bruno; 2 ­ Ou o Bruno pratica voleibol (F) ou o Bruno pratica basquetebol (V). Conectivo "ou ou" disjunção exclusiva ­> as 2 proposições devem ser diferentes (F/ V ou V/F) para a frase toda ser verdadeira. Dessa maneira, como na frase 4 é Carlos que pratica voleibol, então: Bruno não pratica voleibol e sim basquetebol; 3 ­ Se o Bruno não pratica futebol (V), então Alberto não é advogado (V). Conectivo "se Então" ­> as proposições devem ser diferentes de V­F para serem verdadeiras. Então, já pude ver na frase 2 que Bruno não pratica futebol. E para a frase 3 ser toda verdadeira a proposição "Alberto não é advogado" precisa ser verdade. 4 ­ Carlos pratica voleibol (V). Proposição simples é sempre Verdade. Logo: Carlos ­ voleibol e advogado Bruno ­ basquetebol e médico Alberto ­ futebol e engenheiro Questão 10 ALTERNATIVA A Veja que de 900 a 1900 folhas, pelo ​
princípio das gavetas de Dirichlet,​
temos 1001 possíveis quantidades de folhas para as árvores. Assim, se temos 1002 árvores, pelo menos duas delas terão a mesma quantidade de folhas. Questão 11 ALTERNATIVA A A chave dessa questão é saber trabalhar com ​
disjunções exclusivas.​
Temos duas afirmações: 1 ­ ​
Ou Gil é o mais alto ou Caetano é o mais baixo; 2 ­ ​
Ou Caetano é o mais alto ou Chico é o mais alto; Portanto, se considerarmos em (2) Caetano como mais alto, estaríamos dizendo em (1) que Gil é o mais alto, nos levando à uma ​
inconsistência​
. A outra opção seria considerar em (2) Chico como mais alto. Se Chico é o mais alto, em (1) só poderíamos considerar como verdadeiro que Caetano é o mais baixo. Assim sendo, por ordem decrescente de alturas: ​
Chico, Gil, Caetano. Questão 12 ALTERNATIVA A Como apenas uma das 3 afirmações dadas é verdadeira, teremos 3 casos para avaliar. 1° Caso: ​
A1 é verdadeira.​
Portanto, A2 e A3 são necessariamente falsas. Se A1 é verdadeira, então João é médico. Contudo, se A3 é falsa, estaríamos dizendo que Carlos também é médico. Teríamos dois indivíduos com a mesma profissão, sendo ​
impossível pelo enunciado do problema. 2° Caso: ​
A3 é verdadeira.​
Portanto, A1 e A2 são necessariamente falsas. Se A3 é verdadeira, então Carlos NÃO é médico, podendo ser Engenheiro ou Advogado. Contudo, se A2 é falsa, então Marcelo é advogado. Portanto, só sobra a Carlos ser Engenheiro. Assim, estaríamos dizendo que João é Médico, o que ​
está incorreto​
já que A1 é necessariamente falsa e ele não pode ser Médico. 3° Caso: ​
A2 é verdadeira.​
Portanto, A1 e A3 são necessariamente falsas. Se A2 é verdadeira, então Marcelo NÃO é advogado, podendo ser Engenheiro ou Médico. Por A3, descobrimos que Carlos é médico. Assim, Marcelo só pode ser Engenheiro e João ser Advogado. Carlos é médico, Marcelo é Engenheiro e João é Advogado. Questão 13 ALTERNATIVA A Devemos considerar as seis situações possíveis: ­ Ari só pede água; ­ Ari só pede suco; ­ Bruna só pede água; ­ Bruna só pede suco; ­ Carlos só pede água; ­ Carlos só pede suco; Apenas uma pode ser verdadeira, segundo o enunciado do problema. Temos três afirmações para avaliar: (1) ​
Se Ari pede a mesma bebida que Carlos, então Bruna pede água. (2) Se Ari pede uma bebida diferente da de Bruna, então Carlos pede suco. (3) Se Bruna pede uma bebida diferente da de Carlos, então Ari pede água. 1° Caso: Considere que Bruna só pede água. Então, por (3), se Carlos pede suco, Ari pede água. Por (2), se Ari pede suco, Carlos pede suco. O que nos leva à uma ​
inconsistência​
. * ​
Prova da inconsistência: A contraposição diz que A­>B é o mesmo que ~B­>~A, sendo “~B” o negado de B e “~A” o negado de A. Se considerarmos A como “Carlos pede suco” e B como “Ari pede água”, descreveremos a situação (2). Portanto, novamente, por contraposição, teríamos que se Ari NÃO pede água (pede suco), então Carlos NÃO pede suco (pede água). 2° Caso: Considere que Bruna só pede suco. Então, por (3), se Carlos pede água, Ari pede água. Por (2), se Ari pede água, Carlos pede suco. O que nos leva à uma ​
inconsistência, já que se Carlos pedir água, Ari também pedirá água e por (1), Bruna pedirá água (ela só pede suco). 3° Caso: Considere que Carlos só pede água. Então, por (3), se Bruna pede suco, Ari pede agua. O que já nos leva à uma ​
inconsistência​
em (2), já que se Bruna pedir suco e Ari pedir água, Carlos pedirá suco (ele só pede água). 4° Caso: Considere que Carlos só pede suco. Então, por (3), se Bruna pede água, Ari pede água. Por (1), se Ari pede suco, então Bruna pede água. Novamente, teremos uma inconsistência​
, que pode ser provada exatamente como no 1° caso. 5° Caso: Considere que Ari só pede suco. Então, por (1), se Carlos pede suco, Bruna pede água. Mas se (1) ocorrer, por (3), Ari pedirá água. O que nos leva à uma​
inconsistência​
, pois Ari só pede suco. 6° Caso: Considere que Ari só pede água. Por (1), se Carlos pede água, Bruna pede água. Por (2), se Bruna pede suco, Carlos pede suco. Essas duas afirmações estão corretas, e por contraposição, são equivalentes. Por (3), Ari pediria água caso (1) ou (2) ocorrer. O que também está correto, já que ele sempre pede água. Portanto, esse caso nos mostra ​
consistência​
: Ari só pede água. Questão 14 ALTERNATIVA D) Por álgebra booleana básica, podemos transformar a afirmação “Vamos comprar macarrão ou arroz integral” em: M v A, sendo “M” = Macarrão e “A” = arroz integral e “v” = OU. Como a esposa negou a afirmação, teremos então que ~(M v A), sendo “~” = Negado. Por ​
lógica proposicional de De Morgan​
, ~(M v A) <­> ~M ^ ~A, sendo “^” = E. Daí, teremos que a afirmação “​
Não vamos comprar macarrão e não vamos comprar arroz integral.” está correta. Questão 15 ALTERNATIVA A) Um simples desenho da situação descrita nos leva somente à alternativa A.