LIMPÍADA CAPI
ABA DE MATE
ÁTICA
Segunda Fase – 10 de novembro de 2007
NÍVEL 1 – 6ª e 7ª séries
SOLUÇÕES DAS QUESTÕES
1) Um triângulo com dois (ou três) lados iguais é chamado de triângulo isósceles. Quantos triângulos
isósceles cujos lados são números inteiros têm perímetro igual a 2007?
y
y
x
Solução: Existem 502 triângulos isósceles de lados inteiros e perímetro 2007.
Com efeito, se x é a medida da base e y é a medida dos lados de um triângulo isósceles de
perímetro 2007 então x + 2y = 2007 . Dessa igualdade conclui-se que x é um número ímpar. Se
x = 1 então y = 1003. Se x = 3 então x = 1002 . Até onde podemos aumentar a base?
1003
1003
1002
1002
1
.............
502
502
3
1003
Sabe-se que o lado de um triângulo é menor do que a soma dos outros dois. Portanto devemos ter
também x < 2y . Logo 2007 é a soma de um número ímpar e um par maior do que o ímpar. A maior
possibilidade para o ímpar é quando a soma for 2007 = 1003 + 1004. Portanto o maior valor x é
quando x = 1003 e y = 502 . Logo x = 1, 3, 5, ...,1003 e y = 1003, 1002, 1001, ..., 502,
respectivamente. Logo existem 1003 − 501 = 502 triângulos isósceles de lados inteiros e perímetro
2007.
2) Um número natural é dito legal quando cada par de algarismos consecutivos formam um quadrado
perfeito. Por exemplo, o número 364 é legal, pois 36 = 6 × 6 e 64 = 8 × 8 são quadrados perfeitos. O
número 1649 também é legal. Quais são todos os números legais?
Solução: Existem 14 números legais.
Com efeito, os quadrados perfeitos com dois algarismos são 16, 25, 36, 49, 64 e 81. Todos
eles são números legais e qualquer número legal começa por um desses. Os números legais
começando por 16 são: 16, 164 e 1649. A lista não continua por que nenhuma dezena começando
por 9 é um quadrado perfeito. A lista completa dos números legais é a seguinte: 16, 164, 1649, 25,
36, 364, 3649, 49, 64, 649, 81, 816, 8164, 81649.
3) Preencha cada quadrado abaixo com um número inteiro, de modo que o produto de 4 números
vizinhos seja sempre 120.
4
[email protected]
3
2
Solução: A lista completa é: 2, 3, 5, 4, 2, 3, 5, 4, 2, 3, 5, 4, 2, 3.
Com efeito, o produto de 3 números vizinhos, multiplicado pelo que está à esquerda é igual
ao produto deles multiplicado pelo que está à direita. Por isso, a lista de números se repete de quatro
em quatro. Logo o número 4 ocupa a 4ª, 8ª e a 12ª posição na lista. O número 3 ocupará a 2ª, 6ª, 10ª
e 14ª posição e o número 2 a 1ª, 5ª, 9ª e 13ª posição. Assim restaram os quadrados 3º, 7º e 11º.
Como o produto de quatro vizinhos é 120 então esses quadrados devem ser preenchidos com o
número 5. Assim, a lista completa é a seguinte:
2
3
5
4
2
3
5
4
2
3
5
4
2
3
4) Pedro saiu de férias numa viagem de carro. No início da viagem Pedro notou que o hodômetro do
carro, instrumento do painel que registra os quilômetros percorridos, marcava AB km. Na primeira
parada para abastecimento o hodômetro marcava BA km. Depois de percorrer a mesma distância do
trecho anterior ele teve que parar para o lanche. Nesse instante Pedro notou que o hodômetro
marcava A0B km. Qual a distância percorrida por Pedro, do início da viagem até a segunda parada?
Solução: A distância entre a primeira e a segunda parada foi de 45 km.
Com efeito, no início, o hodômetro marcava AB = 10 A + B . Na primeira parada ele passou
para BA = 10B + A , logo o carro percorreu BA − AB = 10B + A − (10 A + B ) = 9(B − A) km. Na segunda
parada o hodômetro marcava A0B = 100 A + B . Como o segundo trecho tem o mesmo tamanho do
primeiro, 100 A + B − (10B + A) = 9(B − A) . Simplificando obtém-se 6 A = B . Como A e B são
algarismos, conclui-se que A = 1 e B = 6 . Portanto, a distância entre a primeira e a segunda parada
foi de 9(B − A) = 9 ⋅ 5 = 45 km e as marcações do hodômetro foram 16, 61 e 106 km.
5) André Luiz deseja preencher completamente o tabuleiro abaixo com peças de dois tipos, conforme
o desenho. Ele pode fazer qualquer movimento com as peças para encaixá-las. Quantas peças, de
cada tipo, André Luiz vai precisar?
Tipo 1
Tipo 2
Solução: É possível preencher o tabuleiro com dezesseis pedras do tipo 1 e oito pedras do tipo 2.
Com efeito, com duas peças
do tipo 1 e uma do tipo 2 pode-se
preencher a região 3 × 5 do tipo
abaixo.
O tabuleiro tem 8 regiões desse tipo.
[email protected]