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O meu
livro de
Matemática
MATEMÁTICA
5.ª Classe
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Introdução
Os conteúdos matemáticos seleccionados para a 5.ª classe
visam adaptar o aluno ao desenvolvimento e progresso com
diferentes motivações, interesses capacidades e conhecimentos, criando condições para a sua inserção num mundo em
mudança.
Neste sentido, e seguindo a lógica dos manuais anteriores,
iremos tratar os seguintes conteúdos:
Estudo de números inteiros e números decimais; adição de
números inteiros e números decimais; subtracção de números
inteiros e números decimais; multiplicação de números inteiros e números decimais; divisão de números inteiros e números decimais; números racionais (absolutos), sua representação gráfica e comparação; fracções decimais; noções elementares de estatística; geometria.
Esclarece-se que, nesta classe, a ordem de apresentação dos
conteúdos não é linear, o que quer dizer que os conteúdos se
encontram em “bloco”.
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E
D
I C
Í N
TEMA I
Estudo de números inteiros e números decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Adição de números inteiros e números decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
Subtracção de números inteiros e números decimais . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
Multiplicação de números inteiros e números decimais . . . . . . . . . . . . . . .
41
Divisão de números inteiros e números decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
Números racionais e absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
TEMA II
Estatística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
TEMA III
Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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TEMA
I
Estudo de
números inteiros
e
números decimais
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Processos Primitivos de Contagem
Hoje é o primeiro dia de aulas!
Vamos certamente
O que iremos aprender?
falar de números e...
Mas afinal como é
que os números
Querem saber?
Vamos a isso!
apareceram?
Desde muito cedo, os homens sentiram necessidade de contar. Utilizaram vários processos:
• arranjavam pedrinhas;
• faziam cortes num pau
ou num tronco de árvore;
• davam nós numa corda.
A cada pedrinha, cada nó, cada corte correspondia um animal, um objecto, um dia, …
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Mas, rapidamente, o homem precisou de dar nomes aos números e de arranjar formas
simples de os representar.
Povos de várias civilizações criaram os seus próprios símbolos, como podes observar no
quadro seguinte:
EGÍPCIOS
BABILÓNIOS
GREGOS
ROMANOS
MAIAS
Com o passar dos tempos, o homem sentiu necessidade de inventar mais números, números cada vez maiores.
Foram assim aparecendo os SISTEMAS DE NUMERAÇÃO – conjuntos de símbolos e de
regras de utilização desses símbolos.
O sistema de numeração que usamos é, habitualmente, atribuído aos Árabes. No entanto, os símbolos que utilizamos para representar os números tiveram origem no norte da Índia,
300 anos antes de Cristo. Os Árabes serviram apenas de intermediários entre o Oriente e o
Ocidente.
Observa a evolução que esses símbolos sofreram ao longo dos tempos.
300 nos a. C.
Séc. IX
Séc. XV
Séc. XX
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
Como acabaste de ver, os algarismos que hoje usamos já foram escritos de outra
maneira.
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Números Inteiros e Números Decimais
A máquina de contar mais antiga que se conhece são os dedos. O Homem começou por
se servir dos dedos das mãos e dos pés para fazer contagens.
Depois, a necessidade de efectuar cálculos mais complicados levou-o a criar uma espécie
de máquina – o ábaco.
Neste ábaco está registado o número:
quatro mil duzentos e quarenta e cinco
Já sabes que no sistema de numeração decimal este número se escreve:
4
2
4
5
Na escrita deste número aparece duas vezes o algarismo 4.
Terá o mesmo valor nas duas posições?
Claro que não! Repara:
4
2
4
milhares
centenas
dezenas
4
2
4
5
unidades
Portanto
quatro mil
quarenta
8
5
ordens
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Recorda
No sistema de numeração decimal cada algarismo representa um valor diferente conforme a posição – ordem – que ocupa
na representação de um número
1. Quantas unidades representa o algarismo 5 em cada um dos números:
• 2587
• 15 329
• 58 001
2. Considera o número
653 204 817
e indica:
• o algarismo das centenas de milhar:
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• o algarismo dos milhões:
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• o algarismo das dezenas de milhão:
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Pai – Neste jornal diz-se que no mundo há, aproximadamente, cinco milhares de milhões
e setenta e oito milhões de pessoas
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Zé – Que número tão grande! Tem 10 algarismos. Vou escrever um ainda maior:
1 000 000 000 000
Com se lê este número?
Pai – Lê-se um bilião.
:
Repara
Recorda
1
000
000
000
000
biliões
milhares
de milhões
milhões
milhares
unidades
classes
Se um número tiver mais de 4 algarismos, deixa-se um intervalo entre as classes:
Ex:
25 174
7 124 319
1. Escreve, usando algarismos:
•Doze mil e oito unidades;
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
•Trinta e sete dezenas de milhar.
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
2. Escreve a leitura dos números:
•27 004
•536 102 500
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
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O bolo de aniversário do Rui está dividido em 10 partes iguais.
• Completa:
O bolo inteiro são –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– décimas.
Cada fatia de bolo é ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– do bolo.
Recorda
1 unidade
= 10 décimas
1 décima
= 10 centésimas
1 centésima = 10 milésimas
A décima, a centésima e a milésima são também ordens do sistema de numeração
decimal.
Tu sabes que, quando se escreve um número, se utiliza uma vírgula para separar a parte
inteira da parte decimal.
de
ze
un nas
ida
dé des
c
ce ima
n s
m tési
ilé m
sim as
as
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Recorda
38,512
parte inteira
parte decimal
Este número pode ler-se:
trinta e oito unidades, quinhentas e doze milésimas.
ou
trinta e oito mil quinhentas e doze milésimas.
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1. Escreve a leitura dos números:
• 0,5
• 2,38
• 1,459
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
2. Escreve com algarismos:
• trinta e quatro centésimas;
• vinte e cinco décimas.
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Comparação de números.
Fiz o trabalho de casa
Eu levei um
em 10 minutos!
quarto de hora!
• Qual dos amigos foi mais rápido?
Claro que foi a Rosa:
10 < 15
<
menor que
O João tem 1,6 m de altura e o Pedro 1,58 m.
• Qual deles é mais alto?
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R
1,6
1,5 8
:
Repara
Então
>
maior que
1,6 > 1,58
O mais alto é ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––.
1. Na semi-recta, cada unidade está dividida em 10 partes iguais.
0
1
0,3
2
3
4
1,2
2. Escreve todos os números inteiros maiores que 3,4 e menores que 7,12.
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
3. Completa com o sinal > ou <.
• 5,1 ––––––––––– 5,8
• 21,7 ––––––––––– 21,46
• 3 ––––––––––– 2,9
• 0,5 ––––––––––– 1
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Exercícios e Problemas
1. Representação:
• O menor número de 4 algarismos;
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• O menor número de 4 algarismos diferentes;
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• O menor número de 4 algarismos diferentes em que seja zero o algarismo das dezenas.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
2. Considera o número 46 356.
• Qual é o algarismo das centenas?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Quantos milhares há nesse número?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Quantas centenas há nesse número?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• O algarismo 6 aparece duas vezes. Terá o mesmo valor nas duas posições? Justifica a tua
resposta.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
3. Escreve a leitura dos números:
• 9018 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• 157 143 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• 12 384 006 –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
4. Representa, usando algarismos:
• Seis mil e quinze unidades; –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Trinta mil e oito dezenas; –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Doze milhões, cento e sete mil unidades. ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
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5. Escreve a leitura dos números:
• 0,6 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– • 1,4 –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• 2,125 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– • 0,05 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
6. Representa usando algarismos:
• Trezentas e quinze centésimas; –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Quatro unidades e vinte e duas milésimas; –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Três mil, cento e oito décimas. –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
7. Considera a tabela:
continentes
população
Europa
686 700 000
Ásia
África
446 000 000
América
620 000 000
Oceânia
• Completa-a, sabendo que a população da Ásia é de dois milhares de milhão, seiscentos
e trinta e sete milhões e cem mil habitantes e a população da Oceânia é de catorze
milhões e oitenta mil.
• Indica os continentes por ordem crescente da sua população.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Quais são os continentes que têm uma população superior a 600 milhões de habitantes?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
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8. Utilizando os algarismos 4, 7, 6 e 5 e sem os repetir, representa:
• O maior número possível; ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• O maior número par; ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• O menor número ímpar. ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
9. Um número tem 184 centenas; o algarismo das unidades é 5 e o das dezenas é 3.
• Qual é esse número?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
10. A Bety escreveu um número. Trocou as posições de todos os seus algarismos e o número não se modificou. Porquê?
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
11. A altura de uma casa está compreendida entre 3 e 4 metros.
• Indica dois valores possíveis da sua altura.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
12. Representa na recta graduada os números seguintes:
• 3,2; 4,6; 4,8
3
4
5
13• Entre que números inteiros consecutivos situam-se os números:
• 4,8 –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• 0,7 –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• 6,12 –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• 2,5 –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
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14. A Teresa comprou um ananás cujo peso está compreendido entre 1,125 kg
e 1,5 kg.
• Indica 3 pesos possíveis do ananás.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
15. Coloca um dos sinais >, < ou = de forma a obteres afirmações verdadeiras:
5 –––––––––––––––– 2,3
38 dezenas –––––––––––––––– 380
17 centenas –––––––––––––––– 169 dezenas
1,9 –––––––––––––––– 1,15
2,08 –––––––––––––––– 2,078
0,4 –––––––––––––––– 4 décimas
16. Escreve, por ordem crescente, os seguintes números:
• 3,4; 3; 3,25; 3,12
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• 5,09; 5,47; 5,12; 5,463; 5,5
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
17. O Zé bebe por dia 1,2 l de leite e o Manuel bebe 75 cl.
• Qual dos dois amigos bebe mais leite?
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18. Uma papelaria recebeu 4580 folhas de papel quadriculado. Com esse papel vão ser feitos cadernos de 100 folhas cada um.
• Quantos cadernos se podem fazer?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Quantas folhas seriam precisas para fazer mais um caderno?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
19. O Tomé é mais velho do que o Paulo e
o João é mais velho do que o Tomé. Um
tem 11 anos, outro 13 e o último 12.
• Quantos anos tem o Tomé? E o Paulo?
E o João?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Escreve as idades por ordem crescente.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
20. A Alice é mais baixa do que a Sara e esta é mais baixa do que a Adriana. Uma tem
1,36 metros de altura, outra 1,34 m e a terceira 1,38 m.
• Qual é a altura de cada uma?
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Escreve as alturas por ordem decrescente.
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
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+
+
+
Adição de
números inteiros
e
números decimais
+
+
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Adição
O Paulo tem vários caminhos para ir de casa à escola:
Igreja
1,8 km
1,5 km
Casa
1,2 km
Mercado
0,7 km
0,5 km
2 km
Escola
Parque
• Indica esses caminhos e completa:
Casa – Igreja – Escola – km
Casa – –––––––––––––––––––––––––– – –––––––––––––––––––––––––– – –––––––––––––––––––––––––– – km
Casa – –––––––––––––––––––––––––– – –––––––––––––––––––––––––– – –––––––––––––––––––––––––– – km
Para calculares a distância de cada um dos caminhos, tiveste de efectuar uma adição.
• Então, que caminho escolheria o Paulo para chegar mais depressa à escola?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Certamente escolheria o do mercado, pois corresponde ao caminho mais curto.
Em
20
1,2 + 0,7 =1,9
1,2 e 0,7 são as parcelas.
1,9 é a soma.
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Propriedades da Adição
Completa a tabela.
x
0,5
2
4,3
7
0,5
2
4,3
7
Utilizando a tabela, completa:
• 0,5 + 2 = ––––––––––––––––––––––––––
• 2 + 0,5 = ––––––––––––––––––––––––––
• 2 + 7 = ––––––––––––––––––––––––––
• 7 + 2 = ––––––––––––––––––––––––––
Certamente concluíste que:
• 0,5 + 2 = 2 + 0,5
•2+7=7+2
Tu até já sabias que a soma não depende da ordem das parcelas. Dizemos que a adição
tem a propriedade comutativa.
21
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O Sr. José e o Sr. Paiva moram em Luanda. Na semana passada
o Sr. José foi ao Namibe, tendo parado em Benguela para visitar uns
amigos.
Luanda
290 km
Percorreu, primeiro, 290 + 32 quilómetros e, depois, mais 200
quilómetros.
Assim, o número de quilómetros percorridos pelo Sr. José é
(290 + 32) + 200.
Lobito
Os parênteses ( ) indicam os cálculos a efectuar em primeiro
lugar.
32 km
O Sr. Paiva também teve de ir ao Namibe. No Lobito parou para
tratar de negócios.
Assim, o Sr. Paiva percorreu primeiro 290 quilómetros e depois
32 + 200 quilómetros.
O número de quilómetros que percorreu, no total, é pois
290 + (32 + 200).
Claro que o Sr. José e o Sr. Paiva percorreram a mesma distância.
Podemos então escrever:
(290 + 32) + 200 = 290 + (32 + 200)
Benguela
200 km
Namibe
Completa:
• (25 + 18) + 2 = ––––––––––––––––––––––––––
= –––––––––––––––––––––––––– +
2= 25 + ––––––––––––––––––––––––––
= ––––––––––––––––––––––––––
= ––––––––––––––––––––––––––
• (16 + 3,5) + 0.5 = ––––––––––––––––––––––––––
• 16 + (3,5 + 0,5 ) = ––––––––––––––––––––––––––
= –––––––––––––––––––––––––– + 0,5
= 16 + ––––––––––––––––––––––––––
= ––––––––––––––––––––––––––
= ––––––––––––––––––––––––––
Certamente concluíste que:
(25 + 18) + 2 = 25 + (18 + 2)
(16 + 3,5) + 0,5 = 16 + (3, 5 + 0,5)
22
• 25 + (18 + 2) = ––––––––––––––––––––––––––
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12:50 PM
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Dizemos, por isso, que a adição tem a propriedade associativa.
O cálculo de somas pode, por vezes, simplificar-se se aplicares propriedades da adição.
Queres ver?
Completa:
• 28 + 97 + 3 = ––––––––––––––––––––––––––
= 28 + 100
= ––––––––––––––––––––––––––
• 45 + 2,6 + 5 = ––––––––––––––––––––––––––
= 50 + 2,6
= ––––––––––––––––––––––––––
• 76 + 99 + 4 + 1 = ––––––––––––––––––––––––––
= (76 + 4) + (99 + ––––––––––––––––––––––––––)
= –––––––––––––––––––––––––– + ––––––––––––––––––––––––––
= ––––––––––––––––––––––––––
Calcula mentalmente aplicando propriedades da adição:
• 17 + 38 + 2
• 19,5 + 26 + 0,5
• 35 + 90 + 10 + 5
• 2,5 + 7,4 + 1,5 + 0,6
23
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10/1/07
5:28 PM
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Estimativas de Somas
No nosso dia-a-dia, muitas vezes é importante ter uma ordem de grandeza de resultados
de adições, isto é, estimar somas.
O João gosta muito de ler.
Com o dinheiro que recebeu no dia do seu aniversário, foi comprar dois livros.
João – Quanto é?
Empregado – São 3927 kwanzas.
João – Deve haver um engano! As “Aventuras” custam
perto de 2000 kz e as “Viagens” quase 1000 kz. Logo, os dois
livros devem custar à volta de 3000 kz!
1925 kz
AVENTURAS
1002 kz
VIAGENS
• Calcula exactamente o preço dos livros.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Quanto é que o João perdia se não tivesse feito a estimativa?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
1. A Amélia disse que a soma 215 + 382 era igual a 697.
Estima o valor da soma.
Achas que a Amélia fez bem a conta?
Calcula agora a soma e verifica se a tua estimativa foi boa.
2. Considera a soma 4017 + 25130 + 71205.
Indica, por estimativa, qual dos números (30 000, 90 000 ou100 000) se aproxima
mais do valor dessa soma.
24
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Exercícios e Problemas
1. Continua as sequências:
• 10; 16; 21; 25; –––––––––––––––––––; –––––––––––––––––––; –––––––––––––––––––
• 26; 20; 15; 11; –––––––––––––––––––; –––––––––––––––––––; –––––––––––––––––––
• 0,14; 0,12; 0,1; 0,08; –––––––––––––––––––; –––––––––––––––––––; –––––––––––––––––––
2. Na lista seguinte falta um número. Qual é esse número?
•1
6
11
16
21
31
36
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
3. Calcula:
• 59 997 + 1003 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––– • 8573 + 197 –––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• 9,6 + 0,4 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• 14,8 + 5,36 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• 1,8 + 1,9 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• 12 + 0,125 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
4. Substitui os pontos pelos algarismos convenientes.
538..
+ ..5..7
...4...19
2..8,19
+ 36,..2
..9..,91
6..24
26..8
+139..
....532
5. Calcula mentalmente.
• 18 + 9
• 25 + 9
• 42 + 9
• 15 + 99
• 41 + 99
• 36 + 99
25
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6. Considera a soma 3542 + 21315.
• Atendendo à sua ordem de grandeza, indica qual dos números
74 857
2587
2547
é o valor daquela soma.
24 857
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Verifica a tua resposta calculando, agora, o valor da soma.
7. Procura, mentalmente, um valor aproximado de:
• 304 + 197
• 20,09 + 7,95
• 398 + 205
• 19,8 + 50,3
8. Completa de modo a obteres afirmações verdadeiras e indica, em cada caso, a propriedade aplicada.
• 4 + ––––––––––– = 216 + –––––––––––
––––––––––––––––––––––––––––
• (23 + 19,2) + 0,8 = ––––––––––– + (19,2 + 0,8)
––––––––––––––––––––––––––––
• 5 + (49 + 1) = (49 + 1) + –––––––––––
––––––––––––––––––––––––––––
• 7,5 + 18 + 0,5 = 18 + ––––––––––– + 0,5
––––––––––––––––––––––––––––
9. Calcula mentalmente:
• 38 + 17 + 3
• 19,5 + 12 + 0,5
• 94 + 1,8 + 6 + 0,2
10. Escreve as expressões numéricas que traduzem:
• a soma de cinco com onze; ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• a soma de sete unidades com doze décimas. –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
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11. Calcula utilizando propriedades da adição.
• 191 + 42,7 + 0,3 + 9
• 0,25 + 3 + 4,5 + 1,75
12. Lançando dois dados simultaneamente, que pontuação
podes obter?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• E entre que valores pode variar a pontuação obtida se lançares simultaneamente 3 dados?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
13. O Henrique e a Geny foram com a mãe comprar sapatos. Os sapatos do Henrique custaram 5000 kz e os da Geny custaram mais 3000 kz do que os do Henrique.
• Ao todo, quanto pagou a mãe pelos sapatos?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
14. A soma de dois números ímpares é um número par ou ímpar?
E a soma de dois números pares?
15. A soma de um número par com um número ímpar é par ou ímpar?
Sempre?
16. Num quadrado mágico os números não se repetem e a soma
5
0
7
dos números de cada linha, de cada coluna e de cada diagonal é
sempre a mesma – “soma mágica”.
6
4
2
1
8
3
• Verifica que este quadro é mágico:
linhas
5 + 0 + 7 = ––––––
6 + –––––– + –––––– = ––––––
–––––– + –––––– + –––––– = ––––––
colunas
5 + 6 + 10 –––––– = ––––––
0 + –––––– + –––––– = ––––––
–––––– + –––––– + –––––– = ––––––
diagonal
5 + 4 + 3 –––––– = ––––––
7 + –––––– + –––––– = ––––––
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• Completa os quadros seguintes de modo a serem quadrados mágicos:
12
13
7
7
6
16
1
11
8
3
10
4
15
17. A Fátima comprou um caderno por 96 kwanzas, um lápis por 15 kwanzas e uma borracha por 39 kwanzas.
• Faz uma estimativa da despesa feita pela Fátima.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Calcula, agora, essa despesa.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Compara o resultado obtido com a estimativa que fizeste. A estimativa foi boa?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
18. O Sr. Fernandes quer vedar com rede o terreno representado na figura.
19 m
27 m
18,9 m
28,5 m
• Estima o comprimento da rede que o Sr. Fernandes precisa de comprar.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
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Página 29
-
–
Subtracção de
números inteiros
e
números decimais
–
–
–
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Página 30
Subtracção
Adivinha o número
Hum!
em que estou a pensar,
sabendo que a soma
desse número com
15 é igual a 24!
? + 15 = 24
24 - 15 = 9 !
Pensaste no
número 9!
Acertaste!
De facto,
9 +15 = 24.
9 é a diferença entre 24 e 15.
A senhora Luísa foi ao mercado comprar um mamão e bananas.
• Quando chegou a casa quis dizer quanto tinha custado o mamão, mas já não se lembrava. Sabia, no entanto, que ao todo pagara 3000 kwanzas e que as bananas lhe tinham custado 2000 kwanzas.
• Quanto terá pago a senhora Luísa pelo mamão?
2000 + ? = 3000
:
Repara
30
3000 – 2000 = ––––––––––––––––––––––––––––––––
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Para descobrires o preço do mamão, utilizaste a operação subtracção.
3000
- 2000
1000
Recorda
aditivo
subtractivo
diferença ou resto
• Tenta completar a tabela.
–
1
2,5
3
8
1
2,5
3
8
Concluíste, certamente, que a subtracção nem sempre é possível.
• Compara o aditivo com o subtractivo nos casos em que conseguiste calcular a diferença. O que verificas?
De facto, só quando o aditivo é maior ou igual ao subtractivo é possivel calcular a diferença.
Observa de novo a tabela. A subtracção será comutativa?
Completa e observa:
20 – 12 = ––––––––––––––––––––––––––––––
• 12 + 8 = 20
20 – 8 = ––––––––––––––––––––––––––––––––
7,5 – 3,5 = –––––––––––––––––––––––––––––
• 3,5 + 4 = 7,5
7,5 – 4 = –––––––––––––––––––––––––––––––
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Mat01
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Página 32
Descobre então, agora, os números que faltam:
240 + –––––––––––––––––––– = 350
––––––––––––––––––––
+ 1,8 = 12
A subtracção é a operação que permite determinar uma parcela, conhecida a soma e a
outra parcela.
Por isso se diz que a subtracção é a operação inversa da adição.
Identidade Fundamental da Subtracção
• Completa o quadro:
Aditivo Subtractivo Diferença Subtractivo + Diferença
14
9
7
5,4
21,8
16
45,9
3,25
Comparando a 1.ª e a 4.ª colunas, o que verificas?
O aditivo é igual à soma do subtractivo com a diferença.
Esta é a identidade fundamental da subtracção.
1. Descobre o número que falta:
–––––––––––––––
– 105 = 623
–––––––––––––––
– 24,6 = 0,12
2. A diferença entre dois números é 234,5.
Sabendo que o subtractivo é 68, qual é o aditivo?
32
Mat01
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5:28 PM
Página 33
Exercícios e Problemas
1. Completa a tabela, se possível:
–
5
6,3
28
8
17,5
23
2. Pensei num número, adicionei-lhe 584 e obtive 1008.
• Em que número pensei?
3. Completa, sem fazeres cálculos:
124,6 + 45,2 = 169,8
169,8 – 124,6 = ––––––––––––––––––––
169,8 – 45,2 = ––––––––––––––––––––
4. Calcula:
218 – 35,9
17,54 – 9,835
5. Substitui os pontos pelos algarismos convenientes:
.. 3 . .
– 2.. 4
2 8 3
48 ..
– .. 6 4
1.. 9
6. Indica, por estimativa, qual dos números
6483
60 483
é o valor da diferença 6718 – 1235
5483
483
• Verifica, agora, efectuando os cálculos.
7. Entre as estimativas dadas para cada diferença, escolhe a que achares melhor.
200
483 – 185 300
400
9
18,8 – 8 10
11
33
Mat01
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5:28 PM
Página 34
8. Atendendo à sua ordem de grandeza, coloca por ordem crescente:
14 000 – 150
15 200 – 30
3185 – 120
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
9. Indica o maior número inteiro que verifica a relação.
––––––––
-7<4
10. A diferença entre dois números é 128,5. Sabendo que o maior é 47 dezenas, qual é o
menor?
11. Numa subtracção, o subtractivo é o maior número inteiro de dois algarismos e o resto
é o menor número inteiro de dois algarismos. Calcula o aditivo.
12. Escreve as expressões numéricas que traduzem:
• a diferença entre quarenta e quinze;
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• a diferença entre três dezenas e dezoito décimas.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
13. Em 1991, a Ana tinha 10 anos, a mãe 29 e o pai 31 anos.
• Que idade tinham os pais da Ana quando ela nasceu?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Quando a mãe tiver 35 anos, que idade terá a Ana?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
14. A mãe da Márcia foi às compras e tomou nota das despesas:
bananas
feijão
tomate
batata
gindungo
2000 kz
1000 kz
1000 kz
2000 kz
1500 kz
• Chegarão 40 000 kwanzas para pagar tudo?
34
Mat01
10/11/07
12:38 PM
Página 35
Expressões Numéricas
Um autocarro partiu do Futungo para a Samba com 30 pessoas. No Ramiro saíram 22
pessoas e entraram 5. O autocarro seguiu então, sem parar, até à Samba.
O que representa a expressão numérica 30 – 22 + 5?
Claro que representa o número de pessoas que foram, no autocarro, para a Samba.
E quantas foram, afinal?
Como do Futungo partiram 30 pessoas e no Ramiro saíram 22, ficaram no autocarro 8 pessoas (30 – 22 = 8); mas como aí entraram 5, seguiram para a Samba 13 pessoas
(5 + 8 = 13).
Então, podemos escrever:
30 – 22 = 5
= –––––––– + 5
= ––––––––
:
Repara
Efectuámos os cálculos pela ordem em que aparecem – processo normal de
cálculo.
35
Mat01
10/1/07
5:28 PM
Página 36
Gosto muito do livro que estou a ler!
ontem li 18 páginas e hoje
já li 23!
E quantas
páginas tem
o livro?
Tem 130
páginas!
• Escreve a expressão numérica que traduz o número de páginas que a Elsa já leu.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Ainda lhe falta muito para acabar de ler o livro?
A expressão 130 – (18 + 23) representa o número de páginas que a Elsa ainda tem para
ler.
• Calcula o valor numérico desta expressão.
130 – (18 + 23) = –––––––– - ––––––––
= ––––––––
Recorda
Os parênteses indicam os cálculos a efectuar em 1.º lugar.
Então, à Elsa, ainda falta ler –––––––– páginas.
Não esqueças:
• Numa expressão em que haja parênteses, os calculos indicados dentro de parênteses
têm de ser efectuados em 1.º lugar.
Completa:
36
35 – (12 + 8) =
(16,5 – 4) – (7 + 1,2) =
= 35 – ––––––––
= –––––––– – ––––––––
=15
= 4,3
Mat01
10/1/07
5:28 PM
Página 37
• Numa expressão em que só haja somas e diferenças, efectuam-se os cálculos pela
ordem em que aparecem.
7 + 12 – 5 – 4
20,6 – 5,6 – 4 – 1,5
= –––––––– – 5 – 4
= –––––––– – 4 + 1,5
= –––––––– – 4
= –––––––– + 1,5
= 10
= 12,5
1. A Joana comprou, no mercado, bananas e pão, tendo pago com uma nota de 1000
kwanzas. As bananas custaram 200 kwanzas e o pão 250 kwanzas.
• Escreve, sem efectuares cálculos, uma expressão que represente o troco que a Joana
recebeu.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Calcula, agora, essa quantia.
2. Calcula o valor das seguintes expressões numéricas:
• 17 + 8 – (12 + 3)
• 28 – 17,5 + 10,5 – 8
• 40 – (18 – 5 + 6)
37
Mat01
10/11/07
12:38 PM
Página 38
Exercícios e Problemas
1. O António comprou um lápis por 15 kwanzas e um caderno por 50 kwanzas, tendo pago
com uma nota de 100 kwanzas.
• Quais das expressões seguintes representam a quantia que o António recebeu de troco?
100 – 15 + 50
100 – 15 + 50
100 – 15 + 50
• Calcula essa quantia.
2. O Luís, a Rosa e o João são irmãos.
O Luís tem 500 kwanzas e a Rosa tem 3800 kwanzas.
O João tem menos 1500 kwanzas do que o Luís.
Diz o que representa cada uma das expressões numéricas:
5000 – 1500
5000 + 3800 + (5000 – 1500)
3. Dados os números:
9+8
e
25 – 6
Escreve, sem efectuares cálculos, as expressões que representam:
• a soma daqueles dois números;
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• a diferença entre o segundo e o primeiro.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
4. Escreve expressões numéricas que representem:
• A diferença entre vinte e seis décimas e cinco centésimas.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
38
Mat01
10/1/07
5:28 PM
Página 39
• A diferença entre três unidades e a soma de duas unidades com oito décimas.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
5. Na turma da Natália há 35 alunos com idades dos 10 aos 12 anos. Há 8 alunos com 10
anos e 14 alunos com 11 anos.
Escreve sem efectuares cálculos uma expressão que represente o número de alunos da
turma da Natália que têm 12 anos.
• Quantos são esses alunos?
6. Calcula o valor numérico das seguintes expressões:
• 35 – 9 – 8 – 4
• 12,5 + 8,25 – 15
• 1 – (1,4 – 0,5)
• 50 – (26 + 12) – 4 + 7
• 35 + 40 – (25 – 14 – 8)
7. Coloca parênteses onde for necessário, de modo a obteres afirmações verdadeiras:
15 – 6 + 1 = 8
17 – 5 + 2 + 4 = 6
15 – 6 1 + = 10
17 – 5 + 2 + 4 = 14
8. Calcula o valor de cada uma das expressões numéricas seguintes:
• 85 – ( 34 + 19 )
• 85 – 34 – 19
Compara os resultados obtidos.
O que verificas?
39
Mat01
10/1/07
5:28 PM
Página 40
Mat01
10/1/07
5:28 PM
Página 41
Multiplicação de
números inteiros
e
números decimais
x
x
x
x
x
Mat01
10/1/07
5:28 PM
Página 42
Multiplicação
O Sr. Palma vendeu hoje 4 grades de gasosa. Cada grade leva 25 garrafas. Quantas garrafas de gasosa vendeu, ao todo?
25 + 25 + 25 + 25 = 100
4 x 25 = 100
O Sr. Palma e o Zeca seguiram processos de cálculo diferentes.
Estarão correctos os dois processos?
Claro que sim! O Sr. Palma resolveu o problema utilizando a operação adição.
O Zeca, como as parcelas eram iguais, abreviou o cálculo utilizando a operação multiplicação.
25 + 25 + 25 + 25 = 4 x 25
e
4 x 25 = 100
100 é o produto.
4 e 25 são os factores.
42
Mat01
10/1/07
5:28 PM
Página 43
Completa:
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = ––––––––––––– x 2 = –––––––––––––
9 + 9 + 9 + 9 + 9 = ––––––––––––– x ––––––––––––– = –––––––––––––
Substitui cada ponto pelo algarismo conveniente.
5 .
x 6
.48
Tens estado a recordar a multiplicação de números inteiros. Mas já aprendeste, também,
a multiplicar números decimais.
Ora vê:
• 2,5 x 93 = 232,5
• 4,6 x 0,73 = 3,358
93
2,5
46 5
186
232, 5
0,7 3
4,6
438
292
3,3 5 8
• Calcula:
• 5,8 x 3,6 =
• 15,4 x 7 =
43
Mat01
10/1/07
5:28 PM
Página 44
A D. Rita vende caixas de novelos de
linha para fazer renda.
Cada caixa tem 6 novelos.
Completa:
N.º de caixas
––––––––
1
2
3
4
5
N.º de novelos
0x6=0
1 x 6 = ––––––––
–––––––– x 6 = ––––––––
–––––––– x 6 = ––––––––
–––––––– x 6 = ––––––––
–––––––– x 6 = ––––––––
• Quantos novelos há em 8 caixas?
0, 6, 12, 18, 24, 30, ––––––––, 48, –––––––– são múltiplos de 6.
Os múltiplos de um número inteiro obtêm-se multiplicando esse por 0, 1, 2, 3, 4, …
Sendo assim, os
múltiplos de um número
nunca acabam!
Claro!
É um conjunto
infinito!
44
Mat01
10/1/07
5:28 PM
Página 45
Completa:
x
3
0
1
*
*
2
3
4
5
7
10
Repara agora nas colunas assinaladas com * e completa com é ou não é.
• Zero ––––––––––––– múltiplo de qualquer número.
• Qualquer número ––––––––––––– múltiplo de si próprio.
Propriedades da Multiplicação
Completa a tabela:
x
0,3
0,3
2
2,5
5
6,25
4
0,09
2
2,5
4
A multiplicação de números inteiros e números decimais será comutativa?
Investiga! Observa a tabela que acabaste de preencher e completa:
• 2 x 4 = –––––––––––––
• 0,3 x 2 = –––––––––––––
• 0,3 x 2,5 = –––––––––––––
• 4 x 2 = –––––––––––––
• 2 x 0,3 = –––––––––––––
• 2,5 x 0,3 = –––––––––––––
Certamente verificaste que:
2x4=4x2
0,3 x 2 = 2 x 0,3
0,3 x 2,5 = 2,5 x 0,3
45
Mat01
10/1/07
5:28 PM
Página 46
Tu já sabias que o produto não depende da ordem dos factores. Dizemos que a multiplicação tem a propriedade comutativa.
• Completa o quadro:
c
a
b
8
6
5
0,3
1,5
2
1,7
4
0,5
axb
(a x b) x c
bxc
*
a x (b x c)
*
• Comparando as colunas assinaladas com *, o que verificas?
Podes pois afirmar que:
(8 x 6)= x 5 = 8 x (6 x 5)
(0,3 x 1,5) x 2 = 0,3 x (1,5 x 2)
(1,7 x 4) x 0,5 = 1,7 x (4 x 0,5)
Dizemos, por isso, que a multiplicação tem a propriedade associativa.
O cálculo de produtos pode, por vezes, simplificar-se aplicando propriedades da multiplicação.
Repara e completa:
• 21 x 5 x 3 x 2 = (21 x 3) x (5 x 2)
= ––––––––––––– x –––––––––––––
= –––––––––––––
• 4 x 8 x 2,5 x 5 = (4 x ––––––––––––– ) x (8 x ––––––––––––– )
= ––––––––––––– x –––––––––––––
= –––––––––––––
• Calcula mentalmente aplicando propriedades da multiplicação:
46
• 4,18 x 2 x 50
• 25 x 0,3 x 4
• 0,1 x 3,6 x 10
• 5 x 0,25 x 2 x 4
Mat02
10/1/07
5:34 PM
Página 47
Multiplicação de números inteiros e números decimais
Potências
Oh! Nestes produtos
todos os factores
são iguais!
Professor – É verdade! E tu vais aprender a representá-los de forma abreviada.
:
Repara
5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 56
lê-se “cinco à sexta”
56 é uma potência
5 é a base (factor que se repete)
6 é o expoente (número de vezes que o factor se repete).
De igual modo
Base
56
Expoente
47
Mat02
10/1/07
5:34 PM
Página 48
1,2 x 1,2 x 1,2 x 1,2 x = (1,2)4
Lê-se “doze décimas à quarta”
(1,2)4 é a potência
1,2 é a ––––––––––––––
––––– é o expoente
Completa, de acordo com o exemplo:
4x4x4
43
quatro ao cubo
3x3x3x3x3x3
2x2x2x2x2
dois à quinta
52
0,1 x 0,1 x 0,1 x 0,1
Completa:
24= –––––––––– x –––––––––– x –––––––––– x –––––––––– = 16
0,23 = –––––––––– x –––––––––– x –––––––––– = 0,008
52= –––––––––– x –––––––––– x –––––––––– = ––––––––––
103 = .–––––––––– x –––––––––– x –––––––––– = ––––––––––
48
cinco ao quadrado
Mat02
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5:34 PM
Página 49
Multiplicação de números inteiros e números decimais
Exercícios e Problemas
1. Escreve sob a forma de produto de dois factores.
5 + 5 + 5+ 5 + 5 + 5
3,7 + 3,7 + 3,7 + 3,7
8+8+8
2. Escreve sob a forma de soma de parcelas iguais.
4x6
3 x 10
5x0
3. Escreve os algarismos que faltam.
8 . 4
. 4 2
x 6
x . 5
. . 0 .
7 . .
. . 4
. . . .
4. Sabendo que 238 x 54 = 12 852, completa sem fazeres cálculos:
23,8 x 54 = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
2,38 x 5,4 = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
2,38 x 54 = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
2, 38 x 0,54 = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
5. Completa a tabela.
4
x
8
12
7
27
0
80
49
Mat02
10/1/07
5:34 PM
Página 50
6. Quais dos números 12, 18, 22, 36 são múltiplos de 4?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
7. Calcula os múltiplos de 9 maiores que 40 e menores que 70.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
8. Completa as expressões seguintes escrevendo, em cada caso, o maior número inteiro possível:
19 > 3 x –––––––––
8 x ––––––––– < 60
43 > 7 x –––––––––
9 x ––––––––– < 70
9. Procura mentalmente um valor aproximado de cada um dos produtos.
• 99 x 4
• 5,8 x 9,9
• 7,05 x 3,1
• 29 x 21
• 4087 x 0,9
• 69 x 1,98
10. Sem fazeres cálculos, escreve por ordem crescente:
6 x 12
12 x 8
4 x 10
4 x 12
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
11. Calcula mentalmente:
• 7 x 10
• 100 x 85
• 24 x 1000
• 6,23 x 100
• 10 x 0,72
• 1000 x 1,25
12. Escolhe dois múltiplos de 4.
• Verifica se a sua soma é um múltiplo de 4.
• Verifica se o seu produto é múltiplo de 4.
• Experimenta com outros dois múltiplos de 4.
50
Mat02
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5:34 PM
Página 51
Multiplicação de números inteiros e números decimais
13. Completa:
x
7
0,1
0,01
0,001
45
618
0,2
12,75
14. Utilizando propriedades da multiplicação, calcula os produtos:
•6x5x2
• 25 x 79 x 4
• 20 x 20 x 5 x 5
• 0,1 x 38 x 10
• 2,8 x 4 x 2,5
• 40 x 0,01 x 3 x 100
15. Escreve sob a forma de potência:
•7x7x7
•8x8x8x8x8
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
16. Calcula o valor de:
• 25
• 62
17. Calcula:
• 23 + 5
• 12 - 32
• 102 + 8
• 24 - 13
18. Para encher um depósito foram necessárias 100 latas de água, com a capacidade de
12,5 litros.
• Qual é, em quilolitros, a capacidade do depósito?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
51
Mat02
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5:34 PM
Página 52
—
19. Sabendo que um número:
– está compreendido entre 20 e 30
– é múltiplo de 2
– é múltiplo de 3
Escreve todos os pares de números inteiros cujo produto é 24.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
20. Os pais da Isabel e do José compraram 4 cadeiras a 175 kz cada uma e uma mesa por
2500 kz.
• Quanto gastaram?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
21. A Senhora Luísa foi ao mercado e comprou 3,5 kg de milho, 2 kg de feijão vermelho e
0,5 kg de ervilhas.
• Calcula a despesa feita pela Senhora Luísa.
Preço
Pre
o por Kg
Feij o branco……200
Feijão
branco
200
Feijão
Feij
o vermelho……50
vermelho
50
Milho…………
Milho
………….…100
100
Ervilha…………
Ervilha
…………100
100
Kg
K
K
Kg
K
Kg
K
Kg
22. A mãe do Agostinho quer comprar tecido para fazer 3 lençóis com 2,75 m de comprimento cada um.
• Que quantidade de tecido precisa de comprar?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Quanto terá de pagar pelo tecido dos 3 lençóis?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
52
—
Mat02
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.
—
.
Página 53
.
—
.
Divisão de
números inteiros
e
números decimais
.
—
.
.
—
.
.
—
.
Mat02
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Página 54
Divisão de Números Inteiros
O Sr. João recebeu uma encomenda de 90 copos, em
caixas com 6 copos cada uma.
• Quantas caixas terá recebido?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Para resolver o problema, certamente utilizaste a operação divisão.
dividendo
90
90 : 6 = 15
30
0
divisor
6
15
quociente
90 é o dividendo
6 é o divisor
15 é o quociente
• Preenche a tabela.
:
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
Certamente não conseguiste completar a tabela.
No conjunto dos números inteiros a divisão nem sempre é possível.
• Observa a tabela que preencheste. Será a divisão comutativa?
54
Mat02
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Página 55
Divisão de números inteiros e números decimais
Ainda com base na tabela, completa:
• Quando o dividendo e o divisor são iguais, o quociente é ––––––––––––––– .
• Quando o divisor é ––––––––––––––– , o quociente é igual ao dividendo.
• Quando o dividendo é zero, o quociente é ––––––––––––––– .
Ó Joana! quanto dá 5
a dividir por zero?
5 0
?
Repara! não se
pode dividir!
não há nenhum
número que
multiplicado por
zero dê 5!
Numa divisão o divisor tem de ser diferente de zero, pois o produto de qualquer número por zero é zero.
O José e a Maria foram comprar lápis.
O José comprou na papelaria da escola 3 lápis por 45 kzs.
Na papelaria Nova, a Maria pagou 15 kzs por cada lápis, tendo gasto também 45 kzs.
• Quanto custou cada lápis ao José?
3 x ? = 45
45 : 3 = 15
R: Cada lápis custou 15 kzs.
55
Mat02
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Página 56
• Quantos lápis comprou a Maria?
? x 15 = 45
45 : 15 = 3
R: A Maria comprou 3 lápis.
45 : 3 = 15
:
Repara
3 x 15 = 45
45 : 15 = 3
• Completa:
36 : ––––––––– = 9
4 x 9 = 36
36 : ––––––––– = 4
Verificaste que, conhecido o produto de 2 factores (diferentes de zero) e sabendo um
deles, podes, por meio de uma divisão, calcular o outro. Por isso se diz que a divisão é a operação inversa da multiplicação.
• Sabendo que
14 x 25 = 350
completa sem efectuares cálculos.
350 : 14 = –––––––––
56
350 : 25 = –––––––––
Mat02
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Página 57
Divisão de números inteiros e números decimais
Identidade Fundamental da Divisão
Ó Célia! ajuda-me lá! tenho aqui
75 ovos. Quantos bolos posso
fazer se cada bolo levar 6 ovos?
Ó mãe! isso é fácil!
75 6
15 12
3
Pode fazer 12 bolos e
ainda sobram 3 ovos!
Achas que a Célia fez bem os cálculos?
Tu sabes que, multiplicando o divisor pelo quociente e adicionando o resto, obténs o dividendo.
Ou seja:
Dividendo = divisor x quociente + resto com resto < divisor.
Esta é a identidade fundamental da divisão.
Então, verifica:
6 x 12 + 3 = ––––––––– + 3
= –––––––––
Como vês, a Célia não se enganou.
1. Qual é o dividendo duma divisão inteira em que o divisor é 15, o quociente é 6
e o resto é 8?
2. Qual é o maior resto possível na divisão de um número por 4?
57
Mat02
10/1/07
5:34 PM
Página 58
Divisão de Números Inteiros e Números Decimais
O Paulo e o Rui têm 1,8 metros de barbante que querem
dividir em dois bocados iguais para jogarem ao pião.
• Qual o comprimento de cada bocado?
Como é que se divide
1,8 por 2
1,8 2
?
Se reduzires a outra unidade, podes “ver-te livre” da vírgula.
1,8 m = ––––––––– dm
:
Repara
em decímetros
18
0
2
9
Logo, cada bocado fica com 9 dm, ou seja, 0,9 m.
Então:
em metros
1,8
0,0
R: Cada bocado terá –––––––––––––––– metros.
58
2
0,9
Mat02
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5:34 PM
Página 59
Divisão de números inteiros e números decimais
O Sr. Artur comprou 4,76 kg de amêndoas.
Pretende encher 6 saquinhos, com igual peso, para dar
a cada um dos seus afilhados.
• Quanto levará cada saquinho?
4,76 kg = ––––––––– dag
em decagramas
476
56
2
6
79
Cada saquinho levará –––––––––––––––– dag e sobram –––––––––––––––– dag.
Ou seja,
Cada saquinho levará 0,79 kg e sobram 0,02 kg.
Logo:
em quilogramas
4, 7 6
56
0, 0 2
6
0, 7 9
R: Cada saquinho leva –––––––––––––––– kg e sobra –––––––––––––––– kg.
O Sr. José quer cortar uma peça de 41,5 metros em retalhos de 2,5 metros.
• Quantos retalhos pode fazer?
:
Repara
41,5 m = –––––––––––––– dm
2,5 m = –––––––––––––– dm
59
Mat02
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Página 60
Completa:
em decímetros
415
25
4 1, 5
25
ou
em metros
R: O Sr. José pode fazer –––––––––––––––– retalhos de 2,5 m e sobram –––––––––––––––– m de tecido.
Para dividir números decimais quando o número de casas decimais do dividendo é
igual ou maior que o número de casas decimais do divisor:
• Faz-se a divisão como se os números fossem inteiros;
• O número de casas decimais do quociente é a diferença entre o número de casas decimais do dividendo e o número de casas decimais do divisor;
• O resto tem o mesmo número de casas decimais que o dividendo.
• Calcula
60
• 31,8
4
• 18,73
2,9
• 91,7
1,2
• 6,495
0,46
Mat02
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Página 61
Divisão de números inteiros e números decimais
Quantas latas se podem encher com 18,5 kg de leite em pó, sabendo que cada lata leva
0,25 kg?
18,5 : 0,25
:
Repara
18,5 : 0,25 = –––––––––––––––– dag
0,25 kg = –––––––––––––––– dag
Completa:
em decagramas
em quilogramas
18,50
1 00
00
1850
25
0,25
74
R: Podem-se encher –––––––––––––––– latas.
Como vou dividir
A Senhora Margarida comprou 5 metros de tecido para
fazer calções.
5 por 12?
5 12
Se cada calção levar 1,2 metros, quantos calções pode
fazer?
:
Repara
5 m = –––––––––––––––– dm
e 1,2 m = –––––––––––––––– dm
61
Mat02
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Página 62
em decímetros
50
2
12
4
ou
em metros
5,0
0,2
1,2
4
R: Pode fazer –––––––––––––––– calções e sobram –––––––––––––––– metros de tecido.
Para dividir números decimais quando o dividendo tiver menos casas decimais que
o divisor:
• acrescentam-se zeros ao dividendo de forma que fique com o mesmo número de casas
decimais que o divisor;
• faz-se a divisão como se os números fossem inteiros;
• o resto tem o mesmo número de casas decimais com que ficou o dividendo.
1. Calcula:
• 6,4
0,25
• 27
1,2
2. O Sr. Almeida comprou um garrafão com 10 litros de vinho, que pretende
engarrafar.
• Se cada garrafa levar 0,7 litros, quantas garrafas consegue encher?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
62
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Página 63
Divisão de números inteiros e números decimais
Operando apenas no conjunto dos números inteiros, já tinhas preenchido esta tabela relativa à divisão.
:
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
1
1
1
Agora que sabes efectuar divisões com números inteiros e números decimais, já vais conseguir determinar o valor exacto de mais alguns quocientes.
• Calcula então esses quocientes.
Como certamente verificaste, a tabela ainda não ficou completamente preenchida.
• Efectua:
1500
10
1500
100
1500
1000
386
10
386
100
386
1000
Observa os quocientes obtidos.
• Completa, agora, as tabelas:
x
0,1
0,01
0,001
:
37
37
152
152
465
465
10
100
1000
Compara as tabelas preenchidas.
O que verificas?
63
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5:34 PM
Página 64
• Efectua:
7
0,1
3,125
7
0,1
0,01
3,125
7
0,01
0,001
3,125
0,001
• Observa os quocientes obtidos.
Completa, agora, as tabelas:
:
0,1
0,01
0,001
62
62
7,84
7,84
0,125
0,125
Compara as tabelas preenchidas.
O que verificas?
64
x
10
100
1000
Mat02
10/1/07
5:34 PM
Página 65
Divisão de números inteiros e números decimais
Exercícios e Problemas
1. Completa
Dividendo
Divisor
Quociente
Resto
21
4
0
5,04
3,1
0,08
4
0,125
0
2. Calcula
34,5 : 3,45
34,5 : 0,345
34,5 : 34,5
34,5 : 345
3. Numa divisão inteira, o divisor é 3 e o quociente é 18.
• Que valores pode ter o resto?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Que valores pode ter o dividendo?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
4. O Sr. Luís foi à fábrica de refrigerantes para comprar 13 grades de gasosa. De momento
só havia disponíveis 305 garrafas.
• Quantas grades completas compra o Sr. Luís, sabendo que cada grade leva 24 garrafas?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Quantas garrafas faltam para completar outra grade?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
5. Numa escola matricularam-se na 5.ª classe 480 alunos.
Pretende-se que cada turma fique com 32 alunos.
• Quantas turmas se irão formar?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
65
Mat02
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5:34 PM
Página 66
6. O Sr. Manuel comprou por 3040 kz 4 cestos de ananases com
8 kg cada um.
• Quanto pagou o Sr. Manuel por cada cesto de ananases?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Quanto pagou o Sr. Manuel por cada quilograma de fruta?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Calcula por quanto terá de vender cada quilograma de ananás, se quiser ganhar 100 kz
por quilograma.
7. Numa divisão o divisor é 3, o quociente é 2,75 e o resto é 0,02.
• Qual é o dividendo?
8. Calcula mentalmente:
• 47 : 10
• 47 : 0,1
• 179 : 0,01
• 179 x 100
• 13,1 x 10
• 13,1 : 10
9. Considera o quociente:
25,5 : 1,5
• Atendendo à sua ordem de grandeza, diz qual dos números (1,7; 17 ou 170) poderá
representar o valor daquele quociente?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Verifica se a tua resposta está certa, efectuando cálculos.
10. O José comprou uma bicicleta tendo pago de entrada 0,4 do preço total. O restante
será pago em 5 prestações mensais.
• Quanto pagou de entrada?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Qual o valor de cada prestação mensal?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
66
45 000 kz
Mat02
10/1/07
5:34 PM
Página 67
Números racionais
e
absolutos
Mat02
10/1/07
5:34 PM
Página 68
Números Racionais e Absolutos
1. A Paula tem 7 metros de fita e quer
dividi-la em duas partes iguais.
• Quantos metros terá cada bocado?
7
–6
10
–10
0
2
3,5
2. Jeremias comprou 5 metros de fita
e quer dividi-la em três partes iguais.
• Quantos metros terá cada parte?
5
–3
20
– 18
3
1,66 …
20
– 18
2
O caso da Paula é simples, pois cada bocado terá 3,5 metros de comprimento.
O caso de Jeremias é mais complicado, pois não se consegue determinar o valor exacto
do quociente. Mas, apesar disso, existe sempre o valor exacto do quociente de 5 por 3, que se
5
pode representar por 5 : 3 ou .
3
5
lê-se cinco terços
3
A esta nova forma de representar números dá-se o nome de fracção.
5 é o numerador
3 é o denominador
68
Mat02
10/1/07
5:34 PM
Página 69
Números racionais e absolutos
Também a Paula pode representar a medida de cada bocado da sua fita de várias manei7
ra: 7 : 2 ou 3,5 ou lê-se sete meios.
2
5 7
Os números , não são inteiros; então, chamam-se números fraccionários. Mas os
3 2
números inteiros também se podem representar sob a forma de fracção.
Exemplos: 3 =
15 =
3
1
15 3
15
,
e
são também fraccionários.
1 1
1
Vê diferentes maneiras de escrever números:
1: 2 ou 0,5 ou
1
2
3: 2 ou 1,5 ou
3
2
3: 4 ou 0,75 ou
3
4
3. Completa a tabela:
:
1
2
3
4
5
6
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0,5
1
3 - 1,66 …
2
2
1
3
3
1,5
0,6
4. Escreve sob a forma de fracções:
5:2
1:7
21 : 3
1 : 14
12 : 10
3 : 100
18: 9
23: 100
8:3
5. Indica, nas seguintes fracções, o numerador e o denominador.
3
5
8
6
9
4
6
6
10
7
15
12
69
Mat02
10/1/07
5:34 PM
Página 70
6. Escreve sob a forma de fracções os números que representam.
6:2
10 : 5
6:3
4:4
3:2
3:4
Dá-se o nome de número racional a todo o número que se pode representar sob a forma
de fracção.
Portanto, são números racionais quer os números inteiros quer os números fraccionários.
Vê como se lê uma fracção:
1
2
5
10
um quarto;
dois terços;
cinco oitavos;
dez nonos.
4
3
8
9
Quando o denominador for maior que 10, lê-se o denominador acompanhado da palavra
2
7
“avos” Ex:
dois doze avos;
sete trinta e cinco avos.
12
35
Mas não é o caso quando se trata de fracções com denominadores 10, 100, 1000 etc.; por
5
3
2
exemplo,
lê-se três décimos;
lê-se dois centésimos;
lê-se cinco milésimos.
1000
10
100
• Escreve a leitura das seguintes fracções.
a)
5
7
b)
15
25
c)
9
10
d)
19
36
e)
7
9
f)
56
11
g)
8
5
h)
1
15
7. Escreve na forma de fracção.
a) Dez quinze avos –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
b) Sete décimos –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
c) Vinte e oito, noventa e três avos –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
d) Duzentos e seis, quarenta e quatro avos –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
e) Um terço –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
f) Vinte e nove, sessenta e dois avos –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
g) Quinze quintos –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
h) Quatro sextos –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
i) Treze, vinte e seis avos –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
70
Mat02
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5:34 PM
Página 71
Números racionais e absolutos
Representação Gráfica de Números Racionais
O João comprou uma barra de sabão e dividiu-a em 4 partes iguais. Cada parte é um quar1
to ( ) da barra de sabão.
4
• Desenha uma barra de sabão.
• Observa agora as figuras. Cada uma delas está dividida em partes iguais.
1
2
As fracções
3
6
4
8
1 3 4
, e representam a parte pintada de cada figura.
2 6 8
1. Indica, em cada caso, a fracção correspondente à parte pintada.
2. Completa.
3. Compara, colocando um dos sinais >, < ou =.
2
3
––––––
1;
4
4
––––––
1;
1
2
––––––
1
6
5
––––––
1;
1
3
––––––
1;
3
2
––––––
1;1
71
Mat02
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5:34 PM
Página 72
Comparação de Números Racionais Absolutos
Tu já sabes comparar números representados por numerais decimais.
Recorda e completa com um dos sinais > ou <.
0,25 –––––––––––– 1,03
2,5 –––––––––––– 3,1
10,36 –––––––––––– 9,523
0,008 –––––––––––– 0,1
3 4
Agora compara os números sob a forma de fracção. Pinta a fracção equivalente a e .
5 8
Diz qual é a maior.
3
5
4
5
Então, completa
3
5
––––––––––––
4
.
5
4
1. A mãe da Ana fez um bolo para o lanche. A Ana come 1 do bolo, o Nito comeu e
a Mena comeu
3
.
8
8
No desenho, pinta de cores diferentes a porção de bolo comida por cada um.
• Escreve, agora, por ordem de grandeza, as fracções
1 4 3
, e .
8 8 8
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Qual dos meninos comeu mais?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Para comparar números representados por fracções com o mesmo denominador,
basta reparar nos numeradores.
– A fracção que tiver o maior numerador representa o número maior.
72
8
Mat02
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5:34 PM
Página 73
Números racionais e absolutos
Exercícios:
a)
b)
7
7
c)
15
d)
15
e)
17
17
20
20
42
42
f)
21
21
2. Observa as figuras.
3. Completa com um dos sinais < ou >.
3 –––––––– 3
2 –––––––– 2
Para comparar números representados por fracções com mesmo numerador, basta
observar os denominadores; a fracção que tiver menor denominador representa o
número maior.
Exemplo: Qual dos números 2 e 4 é maior?
4
=4:5
5
2
=2:3
3
20 3
– 18 0,66 …
20
– 18
2
40
– 40
0
5
0,8
0,66 < 0,8, então, a fracção 4 é maior que 2.
Completa com um dos sinais: =, < e >.
a) 15
12
15
16
b) 38
43
38
31
c) 26
23
26
28
d) 12
35
24
27
e) 23
15
23
19
f)
8
18
8
21
73
Mat02
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5:34 PM
Página 74
Fracções Equivalentes
Para fazerem cartazes para uma festa, Elsa, Beto e Mona cortaram as tiras de cartolina
indicadas a sombreado na figura.
1. Representa por uma fracção a parte com que cada um ficou.
Elsa
Beto
Mona
1
3
Qual dos amigos ficou com mais cartolina?
tes.
Claro que ficaram com quantidades iguais.
1 2 3
Assim, as fracções , e representam a mesma quantidade, são fracções equivalen3 6 9
2. Observa e completa.
x......
x3
1
3
=
1
3
……
=
5
3
x......
1
3
=
4
12
……
:4
4
12
=
4
12
……
……
3
9
74
=
1
3
=
2
6
Mat02
10/1/07
5:34 PM
Página 75
Números racionais e absolutos
Multiplicando ou dividindo os dois termos de uma fracção pelo mesmo número,
diferente de zero, obtém-se uma fracção equivalente à fracção dada.
3. Escreve a fracção equivalente a:
3
=
4
;
12
=
20
;
1
=
3
;
4
=
12
;
10
=
15
4. Completa, de modo a obteres fracções equivalentes.
40
2
= =
60 6
Das fracções equivalentes a
40 2
, é a fracção cujos termos (numerador e denominador)
60 3
são menores.
2
é a fracção irredutível equivalente a 40
3
60
5. Escreve as fracções irredutíveis a:
a)
12
16
b)
18
24
c)
21
42
d)
24
32
e)
22
121
f)
16
18
g)
15
25
h)
39
15
75
Mat02
10/1/07
5:34 PM
Página 76
Fracções Decimais
No dia do seu aniversário, o Sr. Dias comprou um bolo que dividiu em partes iguais entre
os dez colegas.
Que parte recebeu cada colega?
O bolo representa uma unidade. Cada um dos seus colegas recebeu a décima parte do
1
ou 0,1 .
bolo, ou seja,
10
Se dividirmos um metro em decímetro, cada parte representa
1
de modo igual. Se divi10
dirmos o metro respectivamente em centímetros e em milímetros, obteremos partes iguais,
1
1
1
= 0,1 ou
= 0, 01 e
ou 0, 001. As partes assim representa10
100
1000
1
1
1
das por
são chamadas fracções decimais por terem como denominador
,
e
10 100 1000
respectivamente, a
uma potência de dez (10, 100,1000...).
1. Representa sob forma de fracção decimal:
0,5;
0,7;
0,35;
0,002.
2. Escreve sob a forma de fracção decimal:
3
5
4
50
3. Representa sob a forma de numeral decimal:
5 15 3
;
;
10 10 100
76
1
2
Mat03
10/2/07
9:13 AM
Página 77
TEMA
Estatística
II
Mat03
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9:13 AM
Página 78
Noções Elementares de Estatística
A palavra estatística tem origem na palavra Estado. Isto porque, antigamente, era o
Estado que conduzia os inquéritos para calcular o número de habitantes do país ou determinar a composição da população, segundo a idade ou o sexo.
O José e a Maria fizeram um inquérito sobre as idades dos alunos da sua turma.
Ana – 10
Amélia – 11
Pedro – 9
Isabel – 12
João – 11
Paulo – 10
Carmen – 11
José – 13
Alberto – 12
Suzete – 11
André – 10
Vera – 9
Rui – 10
Joana – 11
Anabela – 11
Filomena – 12
Jaime – 13
Fernando – 11
Marina – 13
Francisco – 10
Belmiro – 12
Manuela – 12
Inês – 11
Márcia – 13
Ricardo – 11
Alda – 9
Duarte –13
Lurdes – 10
António – 12
Repara como o José está a organizar os dados recolhidos.
Ajuda-o a completar a tabela:
Idades
N.º de alunos
9 anos
3
10 anos
6
11 anos
12 anos
13 anos
Agora é mais fácil fazer a leitura dos dados.
Quantos alunos há com 11 anos?
Claro! Há 9 alunos. Dizemos que 9 é a frequência desse acontecimento. E a tabela que
completaste chama-se tabela de frequências.
78
Mat03
10/2/07
9:13 AM
Página 79
Estatística
A Mariana organizou os dados num gráfico de barras:
9 anos
10 anos
11 anos
Para o construir, utilizou uma escala:
12 anos
13 anos
representa 1 aluno.
As barras têm todas a mesma largura.
Observando o gráfico, a Joana disse:
Há tantos alunos com 10 anos como com 12 anos!
O que viu a Joana no gráfico para tirar esta conclusão?
Faz uma recolha de dados na tua turma relativa ao mês de aniversário de todos os
alunos.
• Organiza os dados e, no teu caderno, apresenta-os sob a forma de:
– tabela de frequências;
– gráfico de barras.
79
Mat03
10/2/07
9:13 AM
Página 80
Pictogramas
Para fornecer informações, há gráficos bem sugestivos; os números são representados por
desenhos, todos do mesmo tamanho, que sugerem o que se quer representar – são os pictogramas. O pictograma seguinte refere-se à venda de televisores pela ERT, em 1993, nos meses
indicados.
Venda de Televisores
5 televisores
Set.
• O que representa cada símbolo
Out.
Nov.
Dez.
?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Qual foi o mês em que a ERT vendeu mais televisores?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Quantos televisores se venderam em Dezembro?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Quantos televisores se venderam nos últimos 4 meses do ano?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
80
Mat03
10/11/07
12:40 PM
Página 81
Estatística
Exercícios e Problemas
1. No gráfico seguinte está representado o número de livros requisitados na Biblioteca
Nacional de Luanda, no 1.º semestre de 1993.
15 livros
Janeiro
Fevereiro
Março
Abril
Maio
Junho
• Em que mês foram requisitados mais livros?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Quantos livros foram requisitados no mês de Março?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Relativamente a Abril, quantos livros a mais foram requisitados em Junho?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
2. Fez-se um inquérito aos alunos das turmas da 6.ª classe de uma escola sobre o seu desporto favorito.
As respostas a esse inquérito foram apresentadas, inicialmente, da seguinte forma:
Futebol – HHHHHHHHHH
Voleibol – HHHHH
Natação – HHHHHHHHHHHH
Basquetebol – HHHHHHH
• Completa, com estes dados, a tabela que a seguir se apresenta:
Desporto escolhido
Número de alunos
Futebol
Natação
Voleibol
Basquetebol
81
Mat03
10/2/07
9:13 AM
Página 82
• Constrói no teu caderno um gráfico de barras correspondente às respostas obtidas.
(sugestão: toma uma quadrícula para representar o número 5).
3. O pictograma diz respeito à importação de milho por uma empresa nos anos indicados.
• Em 1990 foram importadas 500 toneladas de milho. Cada saco representa quantas
toneladas de milho?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Qual foi a importação de milho em 1993?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
4. No campeonato de atletismo organizado numa escola, os resultados em metros obtidos
por 15 alunos no salto em comprimento foram os seguintes:
2,45
2,95
2,65
2,40
2,65
2,85
2,70
2,45
2,65
2,65
2,40
3,10
2,85
2,70
2,45
• Indica qual a frequência do salto de 2,45 m.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Constrói uma tabela organizando os dados de forma a facilitar a consulta.
• Qual foi o melhor salto em comprimento?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
82
Mat03
10/2/07
9:13 AM
Página 83
Estatística
5. O gráfico seguinte, que está incompleto, refere-se à exportação de pares de sapatos por
uma empresa, em 1991, para alguns países africanos.
500
S. Tomé
e Príncipe
Cabo Verde
Gabão
Guiné
Angola
• Quantos pares de sapatos foram exportados para Cabo Verde?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• O número de pares de sapatos exportados para os 5 países foi de 9500.
Quantos foram exportados para Angola?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Completa o gráfico desenhando a barra correspondente a Angola.
6. A tabela e o gráfico seguintes referem-se ao número de refeições servidas no restaurante
da D. Amélia, nos meses indicados.
Meses
Número de refeições servidas
Maio
Junho
600
Julho
450
Agosto
900
Setembro
83
Mat03
10/2/07
9:13 AM
Página 84
Maio
Junho
Julho
Agosto
Setembro
• Indica a escala usada na construção do gráfico.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Completa a tabela.
• Desenha, no gráfico, as barras que faltam.
7. Na tua turma faz um inquérito para saber qual o programa de rádio preferido pelos teus
colegas.
• Organiza os dados recolhidos numa tabela de frequência ou num gráfico de barras.
84
Mat03
10/2/07
9:13 AM
Página 85
TEMA
Geometria
III
Mat03
10/2/07
9:13 AM
Página 86
Sólidos Geométricos
A palavra geometria (geo + metria) significa “medida da terra”, o que mostra que a geometria nasceu da necessidade de medir a extensão de terrenos.
Com o estudo da geometria vais recordar muita coisa que já aprendeste sobre a forma e
as dimensões dos objectos. Se olhares à tua volta, vês que estes têm formas muito variadas.
Os objectos que estudamos na geometria têm formas mais simples do que os da vida real.
:
Repara
86
Mat03
10/2/07
9:13 AM
Página 87
Geometria
As formas geométricas são formas perfeitas e ideais. Por isso só podem existir no nosso
pensamento.
Podemos, contudo, construir modelos dessas formas geométricas em madeira, cartolina,
plástico, etc.
Conheces os sólidos representados na figura?
Certamente que sim!
Recorda e completa:
Esfera
A
é limitada por uma superfície curva.
Base
A superfície lateral do cilindro é uma superfície
O cilindro tem
.
Base
bases, que são círculos.
Cilindro
Vértice
A superfície lateral do cone também é uma superfície curva.
A sua base é um
.
Base
Cone
Mas tu também conheces bem o cubo e o paralelepípedo.
Cubo
Paralelepípedo
Cubos e paralelepípedos fazem parte de uma família de sólidos a que chamamos prismas.
87
Mat03
10/11/07
12:40 PM
Página 88
Os prismas são limitados apenas por superfícies planas – faces.
Os prismas têm 2 bases.
Prismas
Também as pirâmides são limitadas apenas por superfícies planas.
As pirâmides têm 1 base.
Pirâmides
Observa agora o desenho e repara na forma dos objectos representados.
Quais te fazem lembrar:
– cilindros? –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
– cones? ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
– esferas? –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
– pirâmides? –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
– prismas? ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
88
Mat03
10/2/07
9:13 AM
Página 89
Geometria
Polígonos
Na aula de Matemática, a Cláudia esteve a desenhar, por contorno, a base de alguns prismas e pirâmides.
Pintou, depois, os polígonos obtidos:
Tu já conheces o nome de alguns polígonos e falaste em lados e vértices.
vértice
lado
lado
vértice
vértice
lado
Este polígono tem 3 lados e 3 vértices. É, como sabes, um triângulo.
Alguns polígonos têm nomes especiais, conforme o número de lados.
Polígono
:
Repara
n.º de lados
Nome do polígono
3
Triângulo (ou Trilátero)
4
Quadrilátero
5
Pentágono
6
Hexágono
8
Octógono
10
Decágono
Também os prismas e as pirâmides têm nomes especiais, de acordo com o polígono das
respectivas bases. Assim, podemos falar, por exemplo, de:
• Prisma quadrangular, se a base é um quadrilátero.
• Pirâmide pentagonal, se a base é um pentágono.
89
Mat03
10/2/07
9:13 AM
Página 90
Observa alguns prismas e pirâmides e completa:
• As faces laterais dos prismas são –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– .
• As faces laterais das pirâmides são ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– .
Hoje, na turma do Vítor, falou-se de faces, arestas, vértices…
vértice
Repara! Este prisma
tem 6 faces e 8 vértices!
aresta
face
vértice
aresta
face
vértice
Deixa-me ver...
é verdade!
E arestas tem 12.
Procura, na colecção da tua escola, os sólidos representados a seguir. Observa-os e completa o quadro.
nome
90
n.º de faces
n.º de arestas
n.º de vértices
Mat03
10/2/07
9:13 AM
Página 91
Geometria
Como na escola do Paulo e do Manuel há poucos modelos de sólidos geométricos, os alunos resolveram construir alguns.
Eu quero construir um cubo.
Vou recortar em cartolina
6 quadrados iguais e depois
colo-os com fita-cola!
Espera lá!
Penso que descobri
uma maneira de gastar
menos fita-cola!
Faz, em papel quadriculado, uma planificação como a do Manuel e tenta construir o cubo.
Paulo – Boa ideia! Nesse caso posso arranjar outras planificações do cubo. Queres ver?
A
B
C
D
Será que todos estes desenhos são planificações do cubo?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Dos desenhos feitos pelo Paulo quais são planificações do cubo?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Certifica-te da tua resposta reproduzindo as diferentes figuras em papel quadriculado,
recortando-as e tentando a montagem dos cubos.
91
Mat03
10/2/07
9:13 AM
Página 92
Observa as planificações seguintes.
• Sabes a que sólidos correspondem?
Reproduz estas planificações em cartolinas ou papel grosso.
Recorta, dobra e cola com bocadinhos de fita-cola.
Obtiveste os sólidos que esperavas?
92
Mat03
10/2/07
9:13 AM
Página 93
Geometria
Exercícios e Problemas
1. Na figura seguinte estão representados alguns sólidos geométricos.
• Indica o nome de cada um dos sólidos.
b
c
a
f
e
d
• Quantas faces, arestas e vértices tem o sólido d?
2. Indica se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:
• As faces laterais dos prismas são rectângulos. –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• As faces laterais das pirâmides são triângulos. ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Há prismas com 15 arestas. ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Há pirâmides com 15 arestas. –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• O cone tem duas bases. ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
3. Quantos cubos
foram necessários para construir cada um dos seguintes sólidos?
4. Na figura seguinte estão representados alguns polígonos.
a
b
c
d
e
• Classifica estes polígonos quanto ao número de lados.
5. A Maria recortou em cartolina polígonos com as seguintes formas:
a
b
c
93
Mat03
10/2/07
9:13 AM
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• Completa o quadro seguinte indicando o número de peças de cada tipo que a Maria utilizou para construir os sólidos representados.
6. Completa o quadro seguinte:
N.º de faces
N.º de vértices
N.º de arestas
4
4
6
Pirâmide hexagonal
Pirâmide quadrangular
7. À frente de cada frase escreve V ou F, conforme a afirmação for verdadeira ou falsa.
• Os cubos são prismas.
• A superfície lateral de um cone é uma superfície curva.
• As bases de um cilindro são círculos.
• Um cone tem duas bases.
• Há pirâmides com 9 arestas.
• Um prisma pode ter 15 arestas.
8. Indica qual ou quais das figuras seguintes são planificações de um paralelepípedo rectângulo.
• Verifica se a tua resposta está correcta reproduzindo as figuras em papel quadriculado,
recortando e tentando construir os sólidos.
94
Mat03
10/2/07
9:13 AM
Página 95
Geometria
Linha Recta, Segmento de Recta e Semi-Recta
Considera o paralelepípedo representado
na figura. Imagina uma das suas arestas
prolongada indefinidamente nos dois sentidos.
O que obténs?
Claro! Uma linha recta.
Como a linha recta é ilimitada, só em
parte a podemos representar.
Habitualmente utilizam-se letras minúsculas
para designar uma linha recta.
r
Como sabes, cada aresta do paralelepípedo é um segmento de recta.
No segmento
A
B
, os pontos A e B são os extremos.
• Verifica, usando a régua, que o comprimento do segmento é 3 cm.
Simbolicamente, podemos escrever:
AB = 3 cm
Considera agora a recta s e um ponto o pertencente a essa recta.
O
S
A recta s ficou dividida em duas partes – duas semi-rectas com origem em 0.
Considera os pontos A, B e C não alinhados.
A
Traça:
• o segmento de recta de extremos A e B.
• a recta que passa pelos pontos A e B.
• a semi-recta de origem B e que passa por C.
B
C
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Rectas Concorrentes e Rectas Paralelas
Se traçares duas rectas num plano, pode acontecer:
• As duas rectas terem
b
1 (e 1 só) ponto comum
– rectas concorrentes.
c
a
d
• As duas rectas não terem nenhum ponto comum
– rectas paralelas.
r
• Também podes traçar uma recta sobre outra; neste caso
s
ainda dizemos que as rectas são paralelas
– paralelas coincidentes.
e
Repara nas figuras seguintes:
c
d
Fig. 1
f
Fig. 2
Na fig. 1, as rectas concorrentes c e d dividem o plano em 4 ângulos que não são todos
geometricamente iguais – são rectas oblíquas.
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Geometria
Na fig. 2, as rectas concorrentes e e f dividem o plano em 4 ângulos geometricamente
iguais – são rectas perpendiculares.
• Observa como, utilizando régua e esquadro, podes traçar rectas paralelas:
r
s
t
As rectas r, s e t são rectas paralelas.
Simbolicamente:
r // s // t
b
:
Repara
Repara ainda como, utilizando o esquadro, é possível traçar uma recta perpendicular a outra recta.
a
b é perpendicular a a.
Simbolicamente, b
a.
Observa a figura:
a
Verificando com régua e esquadro, quando
necessário, indica:
b
c
• duas rectas paralelas;
• duas rectas perpendiculares.
d
e
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Figuras Geometricamente Iguais
Observa o desenho.
A
B
Utilizando papel vegetal, decalca a figura A.
Tenta agora fazer coincidir o decalque obtido com a figura B.
O que verificas?
Duas figuras que se podem fazer coincidir ponto por ponto são geometricamente iguais.
A e B são geometricamente iguais.
Ângulos
Considera num plano duas semi-rectas com a mesma origem.
B
O
A
O plano ficou dividido em duas regiões.
A cada uma delas dá-se o nome de ângulo.
B
No ângulo da figura:
O
• As semi-rectas de origem O são
os lados do ângulo.
A
• O ponto O é o vértice do ângulo.
Simbolicamente, o ângulo AOB representa-se por <) AOB.
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Geometria
Amplitude de um Ângulo
Na figura estão representados vários ângulos.
C
F
B
G
D
H
A
E
I
S
M
P
J
O
R
N
Q
L
• Usando papel vegetal, verifica, por decalque, quais os ângulos que são geometricamente iguais ao <) ABC.
• Completa:
<) ABC é geometricamente igual a
Ângulos geometricamente iguais têm a mesma amplitude.
Então, podes afirmar que <) ABC, <) GHI e <) NOP têm a mesma amplitude.
Simbolicamente, escreve-se:
^
^
^
AB C = GH I = NO P
^
(AB C = amplitude do <) ABC)
Ou
^ ^ ^
B =H =O
• Completa com um dos sinais >, = ou < (utiliza, quando for necessário, papel vegetal).
^
^
DE F ––––––––––––– JL M
^
^
NO P ––––––––––––– OR S
^
^
NO P ––––––––––––– DE F
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Mat03
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Página 100
Classificação de Ângulos
Repara no <) AOB.
Os lados deste ângulo são
perpendiculares
B
A este ângulo dá-se o nome
de ângulo recto.
O
A
Um ângulo cuja amplitude é menor
do que a de um ângulo recto diz-se
um ângulo agudo.
Um ângulo cuja amplitude é maior
do que a de um ângulo recto, mas
menor do que a de um ângulo raso,
diz-se um ângulo obtuso.
A amplitude do <) CDE é o
dobro da amplitude do ângulo
recto. Dizemos que o <) CDE é
um ângulo raso.
100
E
D
C
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Página 101
Geometria
Medida da Amplitude de um Ângulo
Dados dois ângulos, já és capaz de dizer se têm a mesma amplitude ou se um dos ângulos tem uma amplitude maior do que a do outro.
Mas como se mede a amplitude de um ângulo?
Internacionalmente adoptou-se o grau como unidade de medida da amplitude.
Um grau (1º) é a amplitude de cada um dos ângulos que se obtêm dividindo o ângulo
recto em 90 ângulos geometricamente iguais.
Podes então afirmar que é 90º a
amplitude de um ângulo recto.
90°
Para medir a amplitude de ângulos, utiliza-se o transferidor.
Na figura, exemplifica-se a maneira de o usar.
00 90 80 70
10 1
60
01
12
50
0
13
40
40
30
30
10
20
10
20
0
0
180 170 1
60 1
50
14
0
00 90 80 70
10 1
60
01
12
50
0
13
180 170 1
60 1
50
14
0
Mat03
Repara que se coloca o transferidor de modo que o ponto de referência coincida com o
vértice do ângulo e o zero da graduação fique sobre um dos lados do ângulo.
Assim, podes ver que:
^
AO B = 56º
• Completa:
^
MN P = –––––––––––––
Utilizando o transferidor, traça:
• Um ângulo de 75º;
• Um ângulo de 120º.
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Mat03
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Página 102
Classificação de Triângulos
Ó Joana! Hoje aprendi
a classifcar os triângulos
quanto aos ângulos!
Triângulo acutângulo – tem todos os
ângulos agudos.
Triângulo rectângulo – tem 1 ângulo
recto.
Triângulo obtusângulo – tem 1 ângulo
obtuso.
Triângulo escaleno –
os três lados têm comprimentos diferentes.
Triângulo isósceles – tem dois lados com o mesmo comprimento.
Triângulo equilátero – todos os lados têm o mesmo comprimento.
Mas então um triângulo equilátero também é isósceles?
Claro que sim, pois um triângulo isósceles tem, pelo menos, dois lados iguais.
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Página 103
Geometria
• Mede, em centímetros, o comprimento dos lados do triângulo [ABC] e completa:
C
A
B
AB =
BC =
AC =
Quanto aos lados, o triângulo [ABC] é ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– .
• Mede, em graus, a amplitude dos ângulos do triângulo [ABC] e completa:
^
BA C = ––––––––––––––––––––––––––––––––
^
AB C = ––––––––––––––––––––––––––––––––
^
AC B = ––––––––––––––––––––––––––––––––
Quanto ao ângulo, o triângulo [ABC] é –––––––––––––––––––––––––––––––– .
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Exercícios e Problemas
1. Considera a figura.
D
E
C
A
B
Verificando com régua e esquadro, quando necessário, indica:
• Dois segmentos de recta paralelos.
• Um segmento da recta perpendicular a [A E].
P
2. Traça uma recta que passe pelo ponto P
e seja paralela à recta r.
r
3. Traça uma recta que passe pelo ponto M
e seja perpendicular à recta l.
4. Observa a figura.
104
M
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Página 105
Geometria
• Algum dos ângulos te parece um ângulo recto?
Verifica.
• Quais são os ângulos agudos?
Mede a amplitude de cada um deles.
5. Utilizando um transferidor, traça:
• Um ângulo de 65º.
• Um ângulo de 140º.
• Um ângulo recto.
6. Considera o polígono.
D
A
C
B
Determina a amplitude de cada um dos ângulos do polígono.
Classifica cada um dos ângulos.
7. Usando régua e transferidor, classifica os triângulos seguintes quanto aos lados e quanto
aos ângulos.
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Mat03
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Perímetro de Polígonos
Considera o polígono.
C
A
B
Com a tua régua, mede o comprimento de cada um dos lados e completa:
AB = –––––––––––––––––––––––––––––
BC = –––––––––––––––––––––––––––––
AC = –––––––––––––––––––––––––––––
• Qual o perímetro do triângulo?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Recorda
Perímetro de um polígono é a soma dos comprimentos de
todos os lados.
Então, o perímetro P, do triângulo [ABC], é igual a ––––––––––––––––––– cm.
1. Calcula, em centímetros, o perímetro do rectângulo [ABCD], sabendo que:
D
C
A
B
AB = 3 cm
BC = 18 mm
2. Determina o perímetro de um terreno quadrado com 14,5 m de lado.
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Mat03
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Geometria
Comprimento do Círculo
Até agora aprendeste a calcular o perímetro de algumas figuras planas.
Hoje vais aprender a calcular o perímetro do círculo. Já sabes medir o comprimento de um
círculo, usando um fio ou uma fita métrica.
Vais usar um novo processo.
Arranja três moedas: uma de 2 kz, outra de 5 kz e a terceira de 1 kz. Mede os respectivos
diâmetros em cada moeda. Marca na ponta de cada moeda uma mancha de tinta. Coloca as
moedas na posição vertical de modo que a mancha esteja em contacto com a recta. Em seguida, roda-se até a fazer uma volta completa.
Depois de as rodar, encontramos pontos finais. Mede a distância entre os dois pontos nos
três casos.
Reparaste certamente que quanto maior for o diâmetro da face, maior é a distância entre
os dois pontos.
Divide cada distância obtida pelo respectivo diâmetro. Reparaste também que o quociente é sempre “três vírgula catorze”.
Esta quantidade chama-se em letra grega π (pi).
O perímetro de uma circunferência é igual a:
O diâmetro da circunferência vezes π ou C = d x π ou ainda C = 2π x r.
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Mat03
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Página 108
22
O número π é aproximadamente igual a 3,14 ou
e os 35 primeiros algarismos deci7
mais de π são os seguintes:
π = 3, 14 169 265 358 972 323 846 832 795 028 841 971.
Exercícios
1. Corta num cartão vários círculos cujos diâmetros sejam iguais a 2 cm, 4 cm, 6 cm, 8 cm,
10 cm e 12 cm.
Completa a tabela seguinte.
Diâmetro d em cm
2
4
8
10
18,84 cm
Perímetro C em cm
Quociente
6
c c
d d
3,14
2. Desenha circunferências utilizando o teu compasso.
a) 5 cm; 6 cm; 3,5 cm.
b) Calcula o comprimento de cada uma delas.
3. Calcula o comprimento de uma circunferência cujo raio seja igual a:
a) 5,8 cm
c) 1 km
b) 6,4 m
d) 17,6 cm
4. O perímetro de um círculo é igual a:
a) 5,2 mm;
43,1 mm;
17, 2 cm
2, 84 m
b) Calcula em cada um dos casos o diâmetro e o raio da circunferência.
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12
Mat03
10/2/07
9:13 AM
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Geometria
Áreas
Repara nas figuras seguintes:
A
B
C
Estas figuras foram construídas com as peças de um jogo de paciência de origem chinesa
– o Tangram.
O jogo tem 7 peças – 5 triângulos e 2 quadriláteros – que resultam da divisão de um quadrado, como a figura indica.
Figura T
Vais ver como este jogo é divertido!
Passa para uma folha a figura T. Recorta as 7 peças e tenta construir as figuras B e C.
Já conseguiste?
As figuras A, B e C não são geometricamente iguais, mas foram construídas com as mesmas peças.
A, B e C têm pois a mesma área – são figuras equivalentes.
Representa 2 superfícies equivalentes à superfície S, mas não geometricamente iguais a S.
S
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Mat03
10/2/07
9:13 AM
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Medição de Áreas – Unidades de Áreas
Na figura está representada a superfície A.
A
Tomando como unidade a área de
Se tomares com unidade a área de
, a medida da área de A é 8.
, a medida da área é –––––––––––––––––––––– .
Como vês, a medida da área de uma superfície depende da unidade escolhida.
Determina a medida da área da superfície B:
• Tomando como unidade a área de
medida da área
de B = –––––––––––––––––––––– .
• Tomando como unidade a área de
medida da
área de B = –––––––––––––––––––––– .
As unidades de área adoptadas internacionalmente são sempre áreas de quadrados.
A unidade fundamental de medida de área é, como sabes, o metro quadrado – m2 – área
de um quadrado com 1 metro de lado.
km2 hm2 dam2 m2
Recorda
1 cm2
dm2 cm2 mm2
Unidade de
medida de área.
O centímetro quadrado é a área de um quadrado
com 1 cm de lado.
Desenha numa folha de papel quadriculado um quadrado com 1 dm de lado.
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Mat03
10/2/07
9:13 AM
Página 111
Geometria
Recorta-o.
Usando o dm2 como unidade, tenta medir a área do tampo da tua carteira.
Completa:
1 m2 = ––––––––––––––––––– dm2
2,5 m2 = ––––––––––––––––––– dm2
1 dm2 = ––––––––––––––––––– cm2
17 000 m2 = ––––––––––––––––––– hm2
1 cm2 = ––––––––––––––––––– mm2
0,12 km2 = ––––––––––––––––––– dam2
Para medir a área de terrenos agrícolas, utiliza-se normalmente o hectare – ha –, que é
uma unidade agrária.
1 ha = 1 hm2
Completa:
12,5 ha = ––––––––––––––––––– hm2
100 m2 = ––––––––––––––––––– ha
6 ha = ––––––––––––––––––– m2
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Mat03
10/11/07
12:41 PM
Página 112
Áreas e Perímetro de Rectângulos e Quadrados
Observa a figura:
A
B
C
Repara que o rectângulo A tem 14 cm de perímetro.
E qual é o perímetro do rectângulo B? E o perímetro do C?
Verificaste, certamente, que os três rectângulos têm o mesmo perímetro.
Terão também a mesma área?
Tu sabes que cada quadrícula tem 1 cm2 de área. Conta então as quadrículas e completa:
área de A = ––––––––––––––––– .
área de B = ––––––––––––––––– .
área de C = ––––––––––––––––– .
Os três rectângulos, embora tenham o mesmo perímetro, não têm, como vês, a mesma
área.
Observa de novo a figura e completa o quadro seguinte:
Rectângulo
Perímetro
(cm)
Área
(cm2)
Comprimento
(cm)
Largura
(cm)
Comprimento x Largura
A
14
6
6
1
6x1=6
B
14
10
C
14
12
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Mat03
10/2/07
9:13 AM
Página 113
Geometria
Compara, agora, as colunas assinaladas com as setas.
O que verificas?
Área do rectângulo = comprimento x largura
Recorda
A
=C x L
Mas, se for um quadrado,
o comprimento e a largura
são iguais.
Podemos então escrever:
A = lado x lado
Ou
A
= l2
1. Um terreno rectangular tem 30 m de comprimento e 25 m de largura.
• Calcula a área do terreno.
2. Um quadrado tem 5 cm de lado.
• Qual é a sua área? ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Qual é o seu perímetro? ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
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Mat03
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9:13 AM
Página 114
Volumes
A Carmen está a brincar com as peças de um jogo.
Primeiro fez esta construção.
A
Depois desmanchou-a e fez outra:
B
Os dois sólidos construídos não têm a mesma forma, mas foram feitos com as mesmas
peças – ocupam o mesmo espaço.
A e B são sólidos equivalentes – têm o mesmo volume.
Medições de Volume – Unidades de Volume
O Rui tem uma colecção de cubos equivalentes.
De quantos cubos precisa para construir o sólido A?
A
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Mat03
10/2/07
9:13 AM
Página 115
Geometria
Tomando o volume de
como unidade, a medida do volume de A é 5.
Observa o sólido B.
B
• Tomando como unidade o volume de
, a medida do volume de B é –––––––––––––––––– .
• Tomando como unidade o volume de
, a medida do volume de B é –––––––––––––– .
• O Tomé diz que a medida do volume de B é 4.
Que unidade de volume terá ele escolhido?
Como vês, a medida do volume de um sólido depende da unidade escolhida.
As unidades de volume adoptadas internacionalmente são sempre volumes de cubos.
A unidade fundamental de medida de volume do sistema métrico é o metro cúbico (m3).
O metro cúbico é o volume de um cubo com 1 metro de aresta.
Habitualmente só se utilizam os submúltiplos de metro cúbico:
• O decímetro cúbico
1 dm3 – volume de um cubo com 1 dm de aresta.
• O centímetro cúbico
1 cm3 – volume de um cubo com 1 cm de aresta.
• O milímetro cúbico
1 mm3 – volume de um cubo com 1 mm de aresta.
Observa a caixa cúbica representada na página seguinte:
115
Mat03
10/11/07
12:42 PM
Página 116
– Podes cobrir o fundo da caixa com uma camada de:
10 x 10
ou seja
100 cubos
– Para encher a caixa são necessárias 10 camadas:
10 x 100
ou seja
1000 cubos
Então, a caixa tem de volume 1 dm3.
Leva exactamente 1000 cubos com 1 cm3 de volume.
Portanto:
1 dm3 = 1000 cm3
116
Mat03
10/2/07
9:13 AM
Página 117
Geometria
Quantos cubos com 1 dm de aresta serão necessários para encher uma caixa com 1 m de
aresta?
:
Repara
1 m3 = 1000 dm3
1 dm3 = 1000 cm3
1 cm3 = 1000 mm3
• Completa:
5 m3 = ––––––––––––––––––––– dm3
0,25 cm3 = ––––––––––––––––––––– mm3
0,2 dm3 = ––––––––––––––––––––– cm3
1400 dm3 = ––––––––––––––––––––– m3
Para medir o volume de líquidos, utilizam-se, normalmente, as unidades da capacidade.
Como sabes, a unidade fundamental de medida de capacidade é o litro.
quilolitro
hectolitro
decalitro
litro
decilitro
centilitro
mililitro
kl
hl
dal
l
dl
cl
ml
1 kl = 1000 l
1 hl = 100 l
1 dal = 10 l
1l
1 dl = 0,1 l
1 cl = 0, 01 l
1 ml = 0, 001 l
Uma caixa cúbica com 1 dm3 de aresta leva exactamente 1 l.
1 l = 1 dm3
• Completa:
1,4 l = ––––––––––––––––––– dl
7,5 dl = ––––––––––––––––––– cl
0,2 dl = ––––––––––––––––––– cl
25 cl = ––––––––––––––––––– l
5 dl = ––––––––––––––––––– l
18 dm3 = ––––––––––––––––––– l
117
Mat03
10/2/07
9:13 AM
Página 118
Volume do Paralelepípedo Rectângulo – Volume do Cubo
Professor/a – Quem é capaz de me dizer qual
é o volume deste paralelepípedo?
3
2
1 cm
4
Isabel – Eu sei! Basta contar quantos cubos de 1 cm3 tem.
Ora, cada camada tem 4 x 2 cubos.
Como há 3 camadas, o número total de cubos é 3 x 4 x 2, ou seja, 24 cubos.
Alberto – É isso mesmo. Então, o paralelepípedo tem 24 cm3 de volume.
Isabel – Mas é preciso estar sempre a contar cubinhos?
Não haverá uma maneira mais prática de calcular o volume de um paralelepípedo?
Professor/a – Reparem que 4 cm, 2 cm e 3 cm são as dimensões do paralelepípedo – o
comprimento, a largura e a altura.
Podemos escrever:
V paralelepípedo = comprimento x largura x altura.
Mas, se for um cubo,
as 3 dimensões são iguais.
V paralelepípedo = c x l x a
Podemos então escrever:
V cubo = aresta x aresta x aresta.
V cubo = a3
1. Calcula o volume do paralelepípedo.
2,5 cm
50 mm
0,8 dm
2. Calcula, em dm3, o volume de um cubo com 5 cm de aresta.
118
Mat03
10/2/07
9:13 AM
Página 119
Geometria
Exercícios e Problemas
1. Quantos metros de renda são necessários para pôr à
volta duma toalha com 1,80 m de comprimento e 1,20 m
de largura?
2. A figura seguinte representa um rectângulo.
D
C
A
B
• Mede o comprimento e a largura do rectângulo e completa:
AB = –––––––––––––––––––
BC = –––––––––––––––––––
• Quanto medirá o lado de um quadrado de perímetro igual ao deste rectângulo?
3. Desenha um quadrado com 16 cm de perímetro.
4. Representa uma superfície B equivalente à superfície A, mas não geometricamente
igual a A.
119
Mat03
10/2/07
9:13 AM
Página 120
5. Observa a figura C.
Determina a medida da área da superfície C.
• Tomando para unidade a área de
.
• Tomando para unidade a área de
.
6. O Sr. Vítor comprou uma placa de madeira de forma rectangular com 1,20 m de comprimento e 80 cm de largura.
O preço do metro quadrado da madeira é 500 kz.
• Quanto pagou o Sr. Vítor pela placa?
7. O Sr. Manuel quer pavimentar o chão da sala de jantar,
representado na figura, com azulejos quadrados de 25 cm
de lado.
3,5 m
4m
• Calcula a área de cada azulejo.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Calcula a área da sala de jantar.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Quantos azulejos vão ser necessários?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
120
Mat03
10/2/07
9:13 AM
Página 121
Geometria
8. Observa as figuras:
Tomando
• Como unidade de área uma quadrícula
e
• Como unidade de comprimento o lado dessa quadrícula.
Completa o seguinte quadro:
A
B
C
medida da área
medida do perímetro
12
9. Desenha um rectângulo com 12 cm2 de área.
• Determina o perímetro do rectângulo que desenhaste.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
121
Mat03
10/11/07
12:42 PM
Página 122
10. Um rectângulo tem 7 cm de comprimento.
Desenha-o sabendo que tem 20 cm de perímetro.
• Qual é a área desse rectângulo?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
11. O tampo duma mesa rectangular tem 54 cm2 de área.
• Calcula o comprimento da mesa sabendo que tem 60 cm de largura.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
12. Vai ser construída uma escola e um campo de jogos no terreno representado na figura.
90 m
40 m
60 m
• Qual é o perímetro do terreno?
50 m
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
• Calcula a sua área.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
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Mat03
10/2/07
9:13 AM
Página 123
Geometria
13. Para calcular o volume de um ovo, a Isabel utilizou um copo graduado em cm3.
50 cm3
75 cm3
• Qual é o volume do ovo?
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
14. Um camião-tanque transporta 40 m3 de gasolina.
Numa bomba despejou 18 000 l e noutra 7250 l.
• Com quantos litros de gasolina ficou ainda o camião?
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15. Um depósito de água com a forma de paralelepípedo rectângulo tem as seguintes
dimensões interiores:
comprimento – 2 m
largura – 1,5 m
altura – 2,5 m
• Quantos litros de água leva o depósito cheio?
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16. Calcula o volume do sólido representado na figura.
10 cm
5 cm
5 cm
17. O perímetro duma face de um cubo é 24 cm.
• Qual é o volume do cubo?
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